ზოგიერთი გეომეტრიული ფიგურის თვისებად განვიხილოთ ღერძული და ცენტრალური სიმეტრია; ზოგიერთი გეომეტრიული ფიგურის თვისებად განვიხილოთ ღერძული და ცენტრალური სიმეტრია; შეძლოს სიმეტრიული წერტილების აგება და ფიგურების ამოცნობა, რომლებიც სიმეტრიულია წერტილის ან წრფის მიმართ; შეძლოს სიმეტრიული წერტილების აგება და ფიგურების ამოცნობა, რომლებიც სიმეტრიულია წერტილის ან წრფის მიმართ; პრობლემის გადაჭრის უნარების გაუმჯობესება; პრობლემის გადაჭრის უნარების გაუმჯობესება; გააგრძელეთ მუშაობა გეომეტრიული ნახაზის ჩაწერისა და შესრულების სიზუსტეზე; გააგრძელეთ მუშაობა გეომეტრიული ნახაზის ჩაწერისა და შესრულების სიზუსტეზე;

ზეპირი ნაშრომი „ნაზი გამოკითხვა“ ზეპირი ნაშრომი „ნაზი გამოკითხვა“ რომელ წერტილს ეწოდება სეგმენტის შუა წერტილი? რომელ სამკუთხედს ეწოდება ტოლფერდა სამკუთხედი? რა თვისება აქვთ რომბის დიაგონალებს? ჩამოაყალიბეთ ტოლფერდა სამკუთხედის ბისექტრის თვისება. რომელ წრფეებს უწოდებენ პერპენდიკულურს? რა არის ტოლგვერდა სამკუთხედი? რა თვისება აქვთ კვადრატის დიაგონალებს? რომელ ფიგურებს უწოდებენ ტოლს?

რა ახალი ცნებები ისწავლეთ კლასში? რა ახალი ცნებები ისწავლეთ კლასში? რა ისწავლეთ გეომეტრიული ფორმების შესახებ? რა ისწავლეთ გეომეტრიული ფორმების შესახებ? მიეცით ღერძული სიმეტრიის მქონე გეომეტრიული ფიგურების მაგალითები. მიეცით ღერძული სიმეტრიის მქონე გეომეტრიული ფიგურების მაგალითები. მიეცით ცენტრალური სიმეტრიის მქონე ფიგურების მაგალითი. მიეცით ცენტრალური სიმეტრიის მქონე ფიგურების მაგალითი. მიეცით ობიექტების მაგალითები გარემომცველი ცხოვრებიდან, რომლებსაც აქვთ ერთი ან ორი სახის სიმეტრია. მიეცით ობიექტების მაგალითები გარემომცველი ცხოვრებიდან, რომლებსაც აქვთ ერთი ან ორი სახის სიმეტრია.

„სიმეტრიის წერტილი“ – სიმეტრია არქიტექტურაში. თვითმფრინავის ფიგურების სიმეტრიის მაგალითები. ორ წერტილს A და A1 ეწოდება სიმეტრიულ O-სთან მიმართებაში, თუ O არის AA1 სეგმენტის შუა წერტილი. ცენტრალური სიმეტრიის მქონე ფიგურების მაგალითებია წრე და პარალელოგრამი. C წერტილს სიმეტრიის ცენტრს უწოდებენ. სიმეტრია მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში.

„გეომეტრიული ფორმების აგება“ – საგანმანათლებლო ასპექტი. ასიმილაციის კონტროლი და კორექტირება. თეორიის შესწავლა, რომელსაც მეთოდი ეფუძნება. სტერეომეტრიაში - არა მკაცრი კონსტრუქციები. სტერეომეტრიული კონსტრუქციები. ალგებრული მეთოდი. ტრანსფორმაციის მეთოდი (მსგავსება, სიმეტრია, პარალელური ტრანსლაცია და ა.შ.). მაგალითად: სწორი; კუთხის ბისექტორი; მედიანური პერპენდიკულარული.

„ადამიანის ფიგურა“ – ადამიანის სხეულის ფორმასა და მოძრაობას დიდწილად ჩონჩხი განსაზღვრავს. გამოფენა თეატრალური წარმოდგენით. როგორ ფიქრობთ, არის თუ არა სამუშაო მხატვრისთვის ცირკში? ჩონჩხი ფიგურის სტრუქტურაში ჩარჩოს როლს ასრულებს. მთავარი სხეული (მუცელი, მკერდი) არ მიაქციე ყურადღება თავი, სახე, ხელები. ა.მატისი. პროპორციები. Უძველესი საბერძნეთი.

„სიმეტრია წრფის მიმართ“ - წრფის სიმეტრიას ღერძული სიმეტრია ეწოდება. სწორი ხაზი a არის სიმეტრიის ღერძი. სიმეტრია სწორი ხაზის მიმართ. ბულავინ პაველი, 9B კლასი. სიმეტრიის რამდენი ღერძი აქვს თითოეულ ფიგურას? ფიგურას შეიძლება ჰქონდეს სიმეტრიის ერთი ან მეტი ღერძი. ცენტრალური სიმეტრია. ეკვოსელური ტრაპეცია. მართკუთხედი.

"ფიგურების კვადრატების გეომეტრია" - პითაგორას თეორემა. სხვადასხვა ფიგურების არეები. ამოხსენი თავსატეხი. თანაბარი ფართობის მქონე ფიგურებს ტოლ ფართობებს უწოდებენ. ტერიტორიის ერთეულები. სამკუთხედის ფართობი. მართკუთხედი, სამკუთხედი, პარალელოგრამი. კვადრატული სანტიმეტრი. თანაბარი ფართობის ფიგურები. ტოლი ფიგურები ბ). კვადრატული მილიმეტრი. in). რა იქნება A და D ფიგურებისგან შემდგარი ფიგურის ფართობი.

„ფუნქციის ლიმიტი წერტილში“ - მაშინ ამ შემთხვევაში. როცა ისწრაფვის. ფუნქციის ლიმიტი წერტილში. უწყვეტი ერთ წერტილში. უდრის ფუნქციის მნიშვნელობას. მაგრამ ფუნქციის ლიმიტის გაანგარიშებისას at. ღირებულების ტოლი. გამოხატულება. სწრაფვა. ან შეგიძლიათ თქვათ ეს: წერტილის საკმარისად პატარა სამეზობლოში. შედგენილია. გადაწყვეტილება. უწყვეტი ინტერვალებით. Შორის.

ერთობლიობა და მსგავსება.ჰომოთეტურობა - ტრანსფორმაცია, რომელშიც თითოეული წერტილიმ (სიბრტყე ან სივრცე) ენიჭება წერტილიმ“, იწვა OM-ზე (ნახ. 5.16) და თანაფარდობა OM":OM= λ იგივე ყველა პუნქტისთვის, გარდაო. ფიქსირებული წერტილიო ჰომოთეტურ ცენტრს უწოდებენ. დამოკიდებულება OM": OM დადებითად ითვლება თუმ" და მ დაწექი ერთ მხარესო, უარყოფითი - მოპირდაპირე მხარეს. ნომერი X ეწოდება ჰომოთეტურობის კოეფიციენტი. ზე X< 0 ჰომოთეტურობას ინვერსიული ეწოდება. ზეλ = - 1 ჰომოთეტურობა ხდება სიმეტრიის ტრანსფორმაცია წერტილის მიმართო. ჰომოთეტურობით, სწორი ხაზი გადადის სწორ ხაზში, შენარჩუნებულია პარალელური ხაზები და სიბრტყეები, დაცულია კუთხეები (წრფივი და დიჰედრული), თითოეული ფიგურა გადადის მასში.მსგავსი (სურ. 5.17).

პირიქითაც მართალია. ჰომოთეტურობა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც აფინური ტრანსფორმაცია, რომლის დროსაც შესაბამისი წერტილების დამაკავშირებელი ხაზები გადის ერთ წერტილში - ჰომოთეტის ცენტრში. Homothety გამოიყენება სურათების გასადიდებლად (პროექციის ნათურა, კინო).

ცენტრალური და სარკის სიმეტრია.სიმეტრია (in ფართო გაგებით) - გეომეტრიული ფიგურის Ф თვისება, რომელიც ახასიათებს მისი ფორმის გარკვეულ სისწორეს, მის უცვლელობას მოძრაობებისა და ანარეკლების მოქმედების ქვეშ. ფიგურას Ф აქვს სიმეტრია (სიმეტრიული), თუ არის არაიდენტური ორთოგონალური გარდაქმნები, რომლებიც ამ ფიგურას თავის თავში იღებს. ყველა ორთოგონალური ტრანსფორმაციის სიმრავლე, რომელიც აერთიანებს Ф ფიგურას თავისთავად, არის ამ ფიგურის ჯგუფი. ასე რომ, ბრტყელი ფიგურა (სურ. 5.18) წერტილით M, ტრანსფორმირება -

Xia საკუთარ თავში სარკესთან ერთად ანარეკლი, სიმეტრიული სწორი ღერძის მიმართ AB. აქ სიმეტრიის ჯგუფი შედგება ორი ელემენტისგან - წერტილისგანმ გადაკეთდამ".

თუ სიბრტყეზე Ф ფიგურა ისეთია, რომ ბრუნავს რაღაც წერტილის გარშემოო 360°/n კუთხით, სადაც n > 2 არის მთელი რიცხვი, გადააქციეთ იგი თავისთავად, მაშინ Ф ფიგურას აქვს n-ე რიგის სიმეტრია წერტილის მიმართ.ო - სიმეტრიის ცენტრი. ასეთი ფიგურების მაგალითია რეგულარული მრავალკუთხედები, მაგალითად, ვარსკვლავის ფორმის (ნახ. 5.19), რომელსაც აქვს მერვე რიგის სიმეტრია ცენტრის მიმართ. სიმეტრიის ჯგუფი აქ არის ეგრეთ წოდებული n-th რიგის ციკლური ჯგუფი. წრეს აქვს უსასრულო რიგის სიმეტრია (რადგან იგი შერწყმულია თავისთან ნებისმიერი კუთხით შემობრუნებით).

სივრცული სიმეტრიის უმარტივესი სახეობაა ცენტრალური სიმეტრია (ინვერსია). ამ შემთხვევაში პუნქტთან მიმართებაშიო ფიგურა Ф შერწყმულია თავისთან სამი ერთმანეთის პერპენდიკულარული სიბრტყიდან თანმიმდევრული არეკვლის შემდეგ, ანუ წერტილიო - სიმეტრიული წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტის შუა F. ასე რომ, კუბისთვის (ნახ. 5.20) წერტილიო არის სიმეტრიის ცენტრი. ქულები M და M" კუბი

სივრცითი ფიგურების სიმეტრია

ცნობილი გერმანელი მათემატიკოსის გ.ვეილის (1885-1955) აზრით, „სიმეტრია არის იდეა, რომლის მეშვეობითაც ადამიანი საუკუნეების მანძილზე ცდილობს გაიაზროს და შექმნას წესრიგი, სილამაზე და სრულყოფილება“.
სიმეტრიის მშვენიერი გამოსახულებები დემონსტრირებულია ხელოვნების ნიმუშებით: არქიტექტურა, ფერწერა, ქანდაკება და ა.შ.
სიბრტყეზე ფიგურების სიმეტრიის კონცეფცია განიხილებოდა პლანიმეტრიის დროს. კერძოდ, განისაზღვრა ცენტრალური და ღერძული სიმეტრიის ცნებები. სივრცული ფიგურებისთვის, სიმეტრიის ცნება განისაზღვრება ანალოგიურად.
ჯერ განვიხილოთ ცენტრალური სიმეტრია.
სიმეტრიული წერტილის მიმართოჰ, დარეკა სიმეტრიის ცენტრი, თუ O არის AA სეგმენტის შუა წერტილი". წერტილი O ითვლება თავის მიმართ სიმეტრიულად.
სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელშიც თითოეული A წერტილი ასოცირდება მის სიმეტრიულ A წერტილთან (მოცემული O წერტილის მიმართ) ე.წ. ცენტრალური სიმეტრია. წერტილი O ეწოდება სიმეტრიის ცენტრი.
ორ ფიგურას F და F" ეწოდება ცენტრალურად სიმეტრიული, თუ არის სიმეტრიის ტრანსფორმაცია, რომელიც ერთ მათგანს მეორეზე გადააქვს.
ფიგურა F ეწოდება ცენტრალურად სიმეტრიულითუ ის ცენტრალიზებული სიმეტრიულია თავის მიმართ.
მაგალითად, ყუთი ცენტრალურად სიმეტრიულია მისი დიაგონალების გადაკვეთის წერტილის მიმართ. ბურთი და სფერო ცენტრალურად სიმეტრიულია მათი ცენტრების მიმართ.
რეგულარული პოლიედრებიდან კუბი, ოქტაედრონი, იკოსაედონი და დოდეკედრონი ცენტრალურად სიმეტრიულია. ტეტრაედონი არ არის ცენტრალურად სიმეტრიული ფიგურა.
განვიხილოთ ცენტრალური სიმეტრიის ზოგიერთი თვისება.
საკუთრება 1.თუ ო 1, ო 2 არის Ф ფიგურის სიმეტრიის ცენტრები, შემდეგ წერტილი O 3 სიმეტრიულია O 1-ის მიმართ O 2-თან მიმართებაში ასევე არის ამ ფიგურის სიმეტრიის ცენტრი.
მტკიცებულება.დაე, A იყოს წერტილი სივრცეში, A 2 არის მისთვის სიმეტრიული წერტილი O-სთან მიმართებაში 2, A 1 – წერტილი სიმეტრიულია A-სთან 2 O 1-თან და A 3-თან შედარებით - სიმეტრიული წერტილი A 1 O 2-თან შედარებით (ნახ. 1).

შემდეგ სამკუთხედები O 2 O 1 A 1 და O 2 O 3 A 3, O 2 O 1 A 2 და O 2 O 3 A ტოლია. ამიტომ, A და A 3 სიმეტრიულია O-ს მიმართ 3 . ასე რომ, სიმეტრია O-სთან მიმართებაში 3 არის სიმეტრიათა კომპოზიცია O-ს მიმართ 2, O 1 და O 2 . შესაბამისად, ამ სიმეტრიით ფიგურა Ф გარდაიქმნება თავისთავად, ე.ი. ო 3 არის F-ის სიმეტრიის ცენტრი.

შედეგი.ნებისმიერ ფიგურას ან არ აქვს სიმეტრიის ცენტრი, ან აქვს ერთი სიმეტრიის ცენტრი, ან აქვს უსასრულო რაოდენობის სიმეტრიის ცენტრი.

მართლაც, თუ ო 1, ო 2 არის Ф ფიგურის სიმეტრიის ცენტრები, შემდეგ წერტილი O 3 სიმეტრიულია O 1-ის მიმართ O 2-თან მიმართებაში ასევე არის ამ ფიგურის სიმეტრიის ცენტრი. ანალოგიურად, წერტილი O 4 სიმეტრიული O 2 O 3-ის მიმართ ასევე არის Ф ფიგურის სიმეტრიის ცენტრი და ა.შ. ამრიგად, ამ შემთხვევაში Ф ფიგურას აქვს უსასრულოდ ბევრი სიმეტრიის ცენტრი.

ახლა განიხილეთ კონცეფცია ღერძული სიმეტრია.
სივრცის A და A“ წერტილებს უწოდებენ სიმეტრიული სწორი ხაზის მიმართ ადაურეკა სიმეტრიის ღერძითუ სწორი აგადის AA სეგმენტის შუა წერტილში და პერპენდიკულარულია ამ სეგმენტზე. წრფის თითოეული წერტილი აითვლება სიმეტრიულად თავისთვის.
სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელშიც თითოეული A წერტილი ასოცირდება მის სიმეტრიულ A წერტილთან ( მოცემული წრფის მიმართ ა), ეწოდება ღერძული სიმეტრია. პირდაპირ ამას ჰქვია სიმეტრიის ღერძი.
ორ ფიგურას ე.წ სიმეტრიული სწორი ხაზის მიმართ ათუ ამ წრფის სიმეტრიის ტრანსფორმაცია ერთ მათგანს მეორეზე გადაიყვანს.
ფიგურა Ф სივრცეში ე.წ სიმეტრიული სწორი ხაზის მიმართ ათუ ის სიმეტრიულია თავის მიმართ.
მაგალითად, კუბოიდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ, რომელიც გადის მოპირდაპირე სახეების ცენტრებში. მარჯვენა წრიული ცილინდრი სიმეტრიულია მისი ღერძის მიმართ, ბურთი და სფერო სიმეტრიულია ნებისმიერი სწორი ხაზის მიმართ, რომელიც გადის მათ ცენტრებში და ა.შ.
კუბს აქვს სიმეტრიის სამი ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე სახეების ცენტრებში და ექვსი სიმეტრიის ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
ტეტრაედრონს აქვს სიმეტრიის სამი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
ოქტაედრონს აქვს სიმეტრიის სამი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო წვეროებზე და სიმეტრიის ექვსი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
იკოსაედრონსა და დოდეკაედრონს აქვს სიმეტრიის თხუთმეტი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
საკუთრება 3.Თუა 1 , ა 2 - ფიგურის Ф სიმეტრიის ღერძი, შემდეგ სწორი ხაზია 3, სიმეტრიული ა 1 შედარებით ა 2 ასევე არის ამ ფიგურის სიმეტრიის ღერძი.

მტკიცებულება მსგავსია საკუთრების 1-ის მტკიცებულების.

საკუთრება 4.თუ სივრცეში ორი გადამკვეთი პერპენდიკულარული წრფე არის მოცემული ფიგურის Ф სიმეტრიის ღერძი, მაშინ გადაკვეთის წერტილიდან გამავალი და ამ წრფეების სიბრტყის პერპენდიკულარული ხაზი ასევე იქნება Ф ფიგურის სიმეტრიის ღერძი.
მტკიცებულება.განვიხილოთ კოორდინატთა ღერძი O x, ო წ, ო ზ. სიმეტრია O ღერძის გარშემო x x, წ, ზ) ფიგურის Ф წერტილამდე კოორდინატებით ( x, -y, -z). ანალოგიურად, სიმეტრია O ღერძის მიმართ წთარგმნის ფიგურის Ф წერტილს კოორდინატებით ( x, –წ, –ზ) ფიგურის Ф წერტილამდე კოორდინატებით (– x, -y, z) . ამრიგად, ამ სიმეტრიების შემადგენლობა თარგმნის ფიგურის Ф წერტილს კოორდინატებით ( x, y, z) ფიგურის Ф წერტილამდე კოორდინატებით (– x, -y, z). ამიტომ, O ღერძი ზარის F-ის სიმეტრიის ღერძი.

შედეგი.სივრცეში ნებისმიერ ფიგურას არ შეიძლება ჰქონდეს სიმეტრიის ღერძების ლუწი (არანულოვანი) რაოდენობა.
მართლაც, ჩვენ ვაფიქსირებთ სიმეტრიის გარკვეულ ღერძს ა. Თუ ბ- სიმეტრიის ღერძი, არ იკვეთება აან კვეთს მას არა მართი კუთხით, მაშინ მისთვის არის კიდევ ერთი სიმეტრიის ღერძი ბ', სიმეტრიული მიმართებით ა. თუ სიმეტრიის ღერძი ბჯვრები ამართი კუთხით, მაშინ მისთვის არის კიდევ ერთი სიმეტრიის ღერძი ბ'გადაკვეთის წერტილში გამავალი და ხაზების სიბრტყის პერპენდიკულარული ადა ბ. ამიტომ სიმეტრიის ღერძის გარდა აშესაძლებელია სიმეტრიის ღერძების ლუწი ან უსასრულო რაოდენობა. ამრიგად, სიმეტრიის ღერძების მთლიანი ლუწი (არანულოვანი) რაოდენობა შეუძლებელია.
გარდა ზემოთ განსაზღვრული სიმეტრიის ღერძებისა, განვიხილავთ აგრეთვე სიმეტრიის ღერძი ნ- ბრძანება, ნ 2 .
პირდაპირ ადაურეკა სიმეტრიის ღერძი ნ- ბრძანებაფიგურა Ф, თუ ფიგურის Ф სწორი ხაზის გარშემო მობრუნებისას აკუთხით, ფიგურა Ф შერწყმულია თავისთან.

ნათელია, რომ სიმეტრიის მე-2 რიგის ღერძი უბრალოდ სიმეტრიის ღერძია.
მაგალითად, სწორი ნ- კუთხოვანი პირამიდა, სწორი ხაზი, რომელიც გადის ფუძის ზედა და ცენტრში, არის სიმეტრიის ღერძი. ნ- ბრძანება.
მოდით გავარკვიოთ სიმეტრიის რომელ ღერძებს აქვთ რეგულარული პოლიედრები.
კუბს აქვს სამი მე-4 რიგის სიმეტრიის ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე სახეების ცენტრებში, ოთხი მე-3 რიგის სიმეტრიის ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო წვეროებზე და ექვსი მე-2 რიგის სიმეტრიის ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
ტეტრაედრონს აქვს მეორე რიგის სიმეტრიის სამი ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე კიდეების შუა წერტილებში.
იკოზაედრონს აქვს სიმეტრიის ექვსი მე-5 რიგის ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო წვეროებზე; მე-3 რიგის სიმეტრიის ათი ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე სახეების ცენტრებში და მე-2 რიგის სიმეტრიის თხუთმეტი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებში.
დოდეკაედრონს აქვს სიმეტრიის ექვსი მე-5 რიგის ღერძი, რომელიც გადის მოპირდაპირე სახეების ცენტრებში; მე-3 რიგის სიმეტრიის ათი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო წვეროებზე და მე-2 რიგის სიმეტრიის თხუთმეტი ღერძი, რომელიც გადის საპირისპირო კიდეების შუა წერტილებზე.
განიხილეთ კონცეფცია სარკის სიმეტრია.
წერტილები A და A" სივრცეში ეწოდება სიმეტრიულია თვითმფრინავის მიმართან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, სარკე სიმეტრიული, თუ ეს სიბრტყე გადის AA სეგმენტის შუა წერტილში და არის მასზე პერპენდიკულარული. სიბრტყის თითოეული წერტილი ითვლება სიმეტრიულად თავის მიმართ.
სივრცის ტრანსფორმაცია, რომელშიც თითოეული A წერტილი ასოცირდება მის სიმეტრიულ A წერტილთან (მოცემული სიბრტყის მიმართ), ე.წ. სარკის სიმეტრია. თვითმფრინავი ე.წ სიმეტრიის სიბრტყე.
ორ ფიგურას ე.წ სარკე სიმეტრიულისიბრტყის მიმართ, თუ სიმეტრიის ტრანსფორმაცია ამ სიბრტყის მიმართ ერთ მათგანს მეორეზე გადააქვს.
ფიგურა Ф სივრცეში ე.წ სარკე სიმეტრიულითუ ის სარკე სიმეტრიულია თავის მიმართ.
მაგალითად, კუბოიდი სარკისებრი სიმეტრიულია სიმეტრიის ღერძზე გამავალი სიბრტყის მიმართ და პარალელურად მოპირდაპირე სახეების ერთ-ერთი წყვილის პარალელურად. ცილინდრი სარკე-სიმეტრიულია მის ღერძზე გამავალი ნებისმიერი სიბრტყის მიმართ და ა.შ.
რეგულარულ პოლიედრებს შორის კუბსა და ოქტაედრონს აქვს სიმეტრიის ცხრა სიბრტყე. ტეტრაედრონს აქვს სიმეტრიის ექვსი სიბრტყე. იკოსაედრონსა და დოდეკაედრონს აქვთ თხუთმეტი სიმეტრიის სიბრტყე, რომლებიც გადიან საპირისპირო კიდეების წყვილებში.
საკუთრება 5.ორი სარკის სიმეტრიის შემადგენლობა პარალელური სიბრტყეების მიმართ არის პარალელური ტრანსლაცია ვექტორის მიერ ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული და სიდიდით ტოლია ამ სიბრტყეებს შორის მანძილის ორჯერ.
შედეგი.პარალელური ტრანსპორტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი სარკის სიმეტრიის კომპოზიცია.
საკუთრება 6.ორი სარკის სიმეტრიის შემადგენლობა სწორი ხაზით გადაკვეთილ სიბრტყეებთან მიმართებაში არის ბრუნვა ამ სწორი ხაზის გარშემო კუთხით, რომელიც ტოლია ამ სიბრტყეებს შორის დიედრული კუთხის ორჯერ. კერძოდ, ღერძული სიმეტრია არის ორი სარკის სიმეტრიის შემადგენლობა პერპენდიკულარულ სიბრტყეებზე.
შედეგი.ბრუნვა შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც ორი სარკის სიმეტრიის კომპოზიცია.
საკუთრება 7.ცენტრალური სიმეტრია შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სამი სარკის სიმეტრიის კომპოზიციის სახით.
მოდით დავამტკიცოთ ეს თვისება კოორდინატთა მეთოდის გამოყენებით. მოდით წერტილი A სივრცეში აქვს კოორდინატები ( x, y, z). სარკის სიმეტრია კოორდინატთა სიბრტყის მიმართ ცვლის შესაბამისი კოორდინატის ნიშანს. მაგალითად, სარკის სიმეტრია O სიბრტყის მიმართ xyთარგმნის წერტილს კოორდინატებით ( x, y, z) წერტილამდე კოორდინატებით ( x, y, –z). სამი სარკის სიმეტრიის კომპოზიცია კოორდინატთა სიბრტყეზე თარგმნის წერტილს კოორდინატებით ( x, y, z) წერტილამდე კოორდინატებით (– x, -y, -z), რომელიც ცენტრალურად სიმეტრიულია საწყისი წერტილის A.
მოძრაობები, რომლებიც თარგმნიან F ფიგურას თავისთავად, ქმნიან ჯგუფს კომპოზიციის მიმართ. მას ეძახიან სიმეტრიის ჯგუფიფიგურები F.
ვიპოვოთ კუბის სიმეტრიის ჯგუფის რიგი.
ნათელია, რომ ნებისმიერი მოძრაობა, რომელიც კუბს თავის თავში იღებს, ტოვებს კუბის ცენტრს ადგილზე, სახეების ცენტრებს გადააქვს სახეების ცენტრებში, კიდეების შუა წერტილები კიდეების შუა წერტილებში, ხოლო წვეროები - წვეროები.
ამრიგად, კუბის მოძრაობის დასაყენებლად საკმარისია განვსაზღვროთ სად მიდის სახის ცენტრი, ამ სახის კიდის შუა და კიდის წვერო.
განვიხილოთ კუბის დაყოფა ტეტრაედრად, რომელთაგან თითოეულის წვეროებია კუბის ცენტრი, სახის ცენტრი, ამ სახის კიდის შუა წერტილი და კიდის წვერო. ასეთი 48 ტეტრაედრია, ვინაიდან მოძრაობა მთლიანად განისაზღვრება იმით, თუ რომელ ტეტრაედრებს გადაეცემა მოცემული ტეტრაედრები, კუბის სიმეტრიის ჯგუფის რიგი 48-ის ტოლი იქნება.
ანალოგიურად, გვხვდება ტეტრაედრის, ოქტაედრონის, იკოსაედრის და დოდეკედრის სიმეტრიის ჯგუფების რიგები.
იპოვეთ S ერთეული წრის სიმეტრიის ჯგუფი 1 . ეს ჯგუფი აღინიშნება O(2). ეს არის უსასრულო ტოპოლოგიური ჯგუფი. ჩვენ წარმოვადგენთ ერთეულ წრეს, როგორც კომპლექსური რიცხვების ჯგუფს მოდულო ერთი. არსებობს ბუნებრივი ეპიმორფიზმი p:O(2) --> S 1 , რომელიც O(2) ჯგუფის u ელემენტს ანიჭებს u(1) ელემენტს S-ში 1 . ამ რუკების ბირთვი არის ჯგუფი Z 2 , წარმოქმნილი ერთეული წრის სიმეტრიით Ox ღერძის გარშემო. ამიტომ, O(2)/Z 2S1 . უფრო მეტიც, თუ ჯგუფის სტრუქტურა არ არის გათვალისწინებული, მაშინ არსებობს ჰომეომორფიზმი O(2) და პირდაპირი პროდუქტი S. 1 და Z 2 .
ანალოგიურად, ორგანზომილებიანი სფეროს სიმეტრიის ჯგუფი S 2 აღინიშნება O(3) და ის აკმაყოფილებს O(3)/O(2) S იზომორფიზმს 2 .
n-განზომილებიანი სფეროების სიმეტრიული ჯგუფები მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ ტოპოლოგიის თანამედროვე დარგებში: მრავალფეროვნების თეორია, ბოჭკოვანი სივრცეების თეორია და ა.შ.
ბუნებაში სიმეტრიის ერთ-ერთი ყველაზე ნათელი გამოვლინებაა კრისტალები. კრისტალების თვისებები განისაზღვრება მათი გეომეტრიული სტრუქტურის თავისებურებებით, კერძოდ, ატომების სიმეტრიული განლაგებით ბროლის ბადეში. კრისტალების გარეგანი ფორმები მათი შინაგანი სიმეტრიის შედეგია.
პირველი, ჯერ კიდევ ბუნდოვანი ვარაუდები, რომ ატომები კრისტალებში განლაგებულია რეგულარული, რეგულარული, სიმეტრიული თანმიმდევრობით, გამოითქვა სხვადასხვა ბუნებისმეტყველების ნაშრომებში უკვე იმ დროს, როდესაც ატომის კონცეფცია გაურკვეველი იყო და არ არსებობდა ექსპერიმენტული მტკიცებულება. მატერიის ატომური სტრუქტურა. კრისტალების სიმეტრიული გარეგანი ფორმა უნებურად ვარაუდობდა, რომ კრისტალების შიდა სტრუქტურა უნდა იყოს სიმეტრიული და რეგულარული. კრისტალების გარეგანი ფორმის სიმეტრიის კანონები სრულად ჩამოყალიბდა მე-19 საუკუნის შუა ხანებში და ამ საუკუნის ბოლოსთვის ნათლად და ზუსტად იქნა გამოყვანილი სიმეტრიის კანონები, რომლებიც მართავენ კრისტალების ატომურ სტრუქტურებს.
კრისტალების სტრუქტურის მათემატიკური თეორიის ფუძემდებელია გამოჩენილი რუსი მათემატიკოსი და კრისტალოგრაფი - ევგრაფი სტეპანოვიჩ ფედოროვი (1853-1919). მათემატიკა, ქიმია, გეოლოგია, მინერალოგია, პეტროგრაფია, სამთო - ე. 1890 წელს მან მკაცრად მათემატიკურად გამოიტანა ყველა შესაძლო გეომეტრიული კანონი ბროლის სტრუქტურებში სიმეტრიის ელემენტების კომბინაციისთვის, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კრისტალების შიგნით ნაწილაკების განლაგების სიმეტრია. აღმოჩნდა, რომ ასეთი კანონების რაოდენობა შეზღუდულია. ფედოროვმა აჩვენა, რომ არსებობს 230 კოსმოსური სიმეტრიის ჯგუფი, რომლებსაც მოგვიანებით, მეცნიერის პატივსაცემად, ფედოროვის სახელი დაარქვეს. ეს იყო გიგანტური სამუშაო, რომელიც ჩატარდა რენტგენის სხივების აღმოჩენამდე 10 წლით ადრე, 27 წლით ადრე, სანამ ისინი თავად ბროლის გისოსის არსებობას დაამტკიცებდნენ. ფედოროვის 230 ჯგუფის არსებობა თანამედროვე სტრუქტურული კრისტალოგრაფიის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი გეომეტრიული კანონია. "ე.ს. ფედოროვის გიგანტური მეცნიერული ღვაწლი, რომელმაც მოახერხა უთვალავი კრისტალური წარმონაქმნების მთელი ბუნებრივი "ქაოსი" ერთი გეომეტრიული სქემის ქვეშ მოექცია, დღემდე აღფრთოვანებას იწვევს. ეს აღმოჩენა ჰგავს დ.ი. მენდელეევის პერიოდული ცხრილის აღმოჩენას." კრისტალების სამეფო "არის ურყევი ძეგლი და კლასიკური ფედოროვის კრისტალოგრაფიის საბოლოო მწვერვალი", - თქვა აკადემიკოსმა ა.ვ. შუბნიკოვი.

ლიტერატურა
1. Hadamard J. ელემენტარული გეომეტრია. ნაწილი II. სტერეომეტრია. - მე-3 გამოცემა. – მ.: უჭპედგიზი, 1958 წ.
2. Weil G. სიმეტრია. – მ.: ნაუკა, 1968 წ.
3. Wigner E. ეტიუდები სიმეტრიაზე. – მ.: მირი, 1971 წ.
4. Gardner M. ეს მარჯვენა, მარცხენა სამყარო. – მ.: მირი, 1967 წ.
5. Gilde V. Mirror world. – მ.: მირი, 1982 წ.
6. Kompaneets A.S. სიმეტრია მიკრო და მაკროსამყაროში. – მ.: ნაუკა, 1978 წ.
7. პარამონოვა ი.მ. სიმეტრია მათემატიკაში. - M.: MTsNMO, 2000 წ.
8. პერეპელკინი დ.ი. ელემენტარული გეომეტრიის კურსი. ნაწილი II. გეომეტრია სივრცეში. - M.-L.: სახელმწიფო რედ. ტექნიკურ-თეორიული ლიტერატურა, 1949 წ.
9. სონინი ა.ს. სრულყოფილების გააზრება (სიმეტრია, ასიმეტრია, დისიმეტრია, ანტისიმეტრია). – მ.: ცოდნა, 1987 წ.
10. ტარასოვი ლ.ვ. ეს საოცრად სიმეტრიული სამყარო. – მ.: განმანათლებლობა, 1982 წ.
11. სიმეტრიის ნიმუშები. – მ.: მირი, 1980 წ.
12. შაფრანოვსკი ი.ი. სიმეტრია ბუნებაში. - მე-2 გამოცემა. – ლ. 1985 წ.
13. შუბნიკოვი ა.ვ., კოპციკ ვ.ა. სიმეტრია მეცნიერებასა და ხელოვნებაში. – მ.: ნაუკა, 1972 წ.