206. ჩვენ ვიცით (n. 175), რომ თუ ∠A (ნახ. 203 ან 204) იკვეთება ორი პარალელური KL და BC, მაშინ ამ კუთხის ერთ მხარეს ნებისმიერი ორი სეგმენტის შეფარდება უდრის ორი შესაბამისის შეფარდებას. სეგმენტები მეორეზე (მაგ., AK /KB = AL/LC; AB/AK = AC/AL და ა.შ.). მაგრამ ჩვენ ვხედავთ, რომ ჩვენ გვაქვს მეტი სეგმენტი თავად პარალელურებზე, კერძოდ KL და BC. ჩნდება კითხვა, შესაძლებელია თუ არა ავირჩიოთ ორი სეგმენტი AL, LC და AC, რომლებიც დევს ჩვენი A კუთხის ერთ მხარეს ისე, რომ მათი თანაფარდობა ტოლი იყოს KL და BC სეგმენტების თანაფარდობაზე.

ამ მიზნით პირველ რიგში KL სეგმენტს გადავიტანთ BC წრფეზე, რისთვისაც უნდა ავაშენოთ LD || AB; მაშინ BD = KL. შემდეგ KL და BC სეგმენტების ნაცვლად შეგვიძლია განვიხილოთ BD და BC სეგმენტები, რომლებიც განლაგებულია C კუთხის CB მხარეს. ვინაიდან ∠C აღმოჩნდა, რომ იკვეთება ორი პარალელური წრფით, კერძოდ AB და LD წრფეებით. , შემდეგ, § 175-ის გამოყენებით C კუთხეზე, ვპოულობთ

BD/BC = AL/AC ან KL/BC = AL/AC.

საკითხი მოგვარებულია: ჩვენ მოვახერხეთ ორი AL და AC სეგმენტის პოვნა AC მხარეს ისე, რომ მათი თანაფარდობა = KL/BC. იმის ცოდნაც, რომ AK/AB = AL/AC, ახლა შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობები:

AK/AB = AL/AC = KL/BC.

ამ ტოლობების გათვალისწინებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ისინი აკავშირებენ ორი მიღებული სამკუთხედის, კერძოდ ∆AKL და ∆ABC გვერდებს. ჩნდება ახალი კითხვა: არის თუ არა ამ სამკუთხედების კუთხეები ერთმანეთთან დაკავშირებული?

ბოლო კითხვაზე პასუხის პოვნა მარტივია: ∠A ჩვენს სამკუთხედებს აქვთ საერთო, ∠K = ∠B, რაც შეესაბამება პარალელურ KL და BC და AB სეკანტს, და ∠L = ∠C, როგორც იგივე პარალელის შესაბამისი, მაგრამ სეკანტური AC-ით.

ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ∆AKL (კლ. 203) სხვა ადგილას, ან, რაც იგივეა, ავაშენოთ ახალი ∆A"K"L" ტოლი ∆AKL; მისი გვერდები და კუთხეები შესაბამისად იქნება გვერდებისა და კუთხეების ტოლი. ∆AKL: AK = A "K", AL = A"L", KL = K"L", ∠A = ∠A", ∠K = ∠K", ∠L = ∠L".

შემდეგ მივიღებთ ∆A"K"L", რომელიც იგივე კავშირშია ∆ABC-სთან, როგორც ∆AKL:
1) ამ სამკუთხედებს აქვთ თანაბარი კუთხეები: ∠A" = ∠A, ∠K" = ∠B, ∠L" = ∠C;
2) მხარეებისთვის გვაქვს პროპორციები:

A"K"/AB = A"L"/AC = K"L"/BC (1)

უნდა აღინიშნოს, რომ თითოეული ურთიერთობის ორი მხარე შემთხვევით არ არის დაკავშირებული ერთ ურთიერთობაში - თქვენ არ შეგიძლიათ, მაგალითად, დაწეროთ A "L" / AB = A "K" / BC = K "L" / AC. ადამიანს უნდა შეეძლოს იმ პარტიების პოვნა, რომლებიც ერთი ურთიერთობის წევრები უნდა იყვნენ. ამის გაკეთების უმარტივესი გზაა სამკუთხედების კუთხით: შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ ყოველი მიმართების გვერდები ტოლობაში (1) დევს სამკუთხედებში თანაბარი კუთხით (A"K" ∠L და AB ტოლი კუთხით C და ა.შ. .). ჩვეულებრივ, იმ გვერდებს, რომლებიც ერთი და იგივე მიმართების წევრებს ასრულებენ, მსგავსს ვუწოდებთ (გვერდი A "K" მსგავსია AB მხარის, A "L" - AC-მდე და K "L" - BC), და მსგავსი გვერდები მდებარეობს. ჩვენს სამკუთხედებში თანაბარი კუთხით.

ტოლობა (1) შეიძლება წაიკითხოთ შემოკლებით:

∆A"K"L" სამკუთხედის გვერდები პროპორციულია მსგავსი გვერდების ∆ABC.

სიტყვა "პროპორციული" ნიშნავს: სამკუთხედების A"K"L" და ABC მსგავსი გვერდების ერთი წყვილის თანაფარდობა უდრის მეორე წყვილის შეფარდებას და უდრის მესამე წყვილის შეფარდებას.

სამკუთხედებს, რომლებსაც აქვთ ზემოთ ნაპოვნი ორი მახასიათებელი, მსგავსი ეწოდება. სამკუთხედების მსგავსების აღსანიშნავად გამოიყენება ნიშანი ~. მივიღეთ: ∆AKL ~ ∆ABC და ასევე ∆A"K"L" ~ ∆ABC.

ახლა შეგიძლიათ დააინსტალიროთ:

ორ სამკუთხედს ჰქვია მსგავსი, თუ ერთის კუთხეები წყვილებში ტოლია მეორის კუთხეებისა და მათი მსგავსი გვერდები პროპორციულია.

კომენტარი. ავიღოთ ტოლობიდან (1) მხოლოდ ერთი, მაგალითად, A"K"/AB = A"L"/AC. 178-ე პუნქტის თვისების აქ გამოყენებისას, მივიღებთ: A "K" / A "L" \u003d AB / AC, ე.ი. ერთი სამკუთხედის ორი გვერდის თანაფარდობა უდრის პირველის მსგავსი მეორე სამკუთხედის ორი მსგავსი გვერდის შეფარდებას.

207. სამკუთხედების მსგავსების მთავარი ნიშანი. წინა აბზაცის მიხედვით შეგვიძლია ავაშენოთ მოცემულის მსგავსი სამკუთხედების უთვალავი სიმრავლე: ამისათვის საჭიროა მოცემული სამკუთხედი გადავკვეთოთ მისი ერთ-ერთი გვერდის პარალელურად სხვადასხვა წრფეებით და შემდეგ, თუ გნებავთ, გადავიტანოთ ყოველი მიღებული სამკუთხედი. თვითმფრინავის სხვა ადგილას. ყველა მიღებულ სამკუთხედში კუთხეები უცვლელი რჩება და ერთის რომელიმე გვერდის შეფარდება მოცემული სამკუთხედის მსგავს მხარესთან (მსგავსების სკალა) იცვლება. ამიტომ ჩნდება აზრი, საკმარისი არ არის თუ არა ორი სამკუთხედის მსგავსებისთვის მხოლოდ მათი კუთხეების ტოლობა.

ავაშენოთ 2 სამკუთხედი: ∆ABC და ∆DEF (დიაგრამა 205) ისე, რომ ∠A = ∠E და ∠B = ∠D. შემდეგ, უპირველეს ყოვლისა, აღმოვაჩენთ, რომ ∠C = ∠F (რადგან თითოეული სამკუთხედის კუთხეების ჯამი = 2d).

ჩვენ ვაწესებთ ∆DEF ∆ABC-ს ისე, რომ, მაგალითად, E წერტილი მივიდეს A წერტილამდე. შემდეგ, ამ წერტილის გარშემო ბრუნვით, თანასწორობის გამო ∠E = ∠A, ED და EF მიდიან, შესაბამისად, AB და AC; მხარე DF უნდა დაიკავოს KL ისეთი პოზიცია, რომ ∠AKL = ∠D = ∠B და ∠ALK = ∠F = ∠C, ანუ ისე, რომ KL || ძვ.წ., ვინაიდან მიიღება თანაბარი შესაბამისი კუთხეები.

აქედან დავასკვნათ, რომ ∆DEF შეიძლება მივიღოთ წინა მონაკვეთის აგებით და, შესაბამისად, რომ ∆DEF ~ ∆ABC. ასე რომ, თუ ერთი სამკუთხედის ორი კუთხე უდრის, შესაბამისად, მეორის ორ კუთხეს, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.

208. დავალება. ააგეთ სამი მოცემული სეგმენტის მეოთხე პროპორციული.

მოყვანილი იყოს a, b და c სეგმენტები (დიაგრამა 206); საჭიროა ასეთი მე-4 x სეგმენტის აგება ისე, რომ ადგილი ჰქონდეს პროპორციას a/b = c/x.

ჩვენ ვაშენებთ ორ თვითნებურ ხაზს AB და CD, რომლებიც იკვეთებიან O წერტილში და ერთ-ერთ მათგანზე ვტოვებთ O წერტილიდან პირველი მიმართების სეგმენტებს: OA = a, OB = b (შესაძლებელია ერთი ან სხვადასხვა მიმართულებით. წერტილი O) და მეორე წრფეზე მეორე მიმართების ცნობილი სეგმენტი OC = c. შემდეგ სწორი ხაზით ვაკავშირებთ იმ სეგმენტების ბოლოებს, რომლებიც ემსახურებიან ჩვენი პროპორციის წინა წევრებს (თუ რომელიმე მათგანი ცნობილი არ იყო, მაშინ უნდა დავაკავშიროთ იმ სეგმენტების ბოლოები, რომლებიც ემსახურებიან ამ პროპორციის შემდგომ წევრებს); ვიღებთ AC ხაზს, რომელიც აკავშირებს a და c სეგმენტების ბოლოებს. შემდეგ B წერტილის მეშვეობით ვაშენებთ წრფეს BD || AC. შემდეგ ვსწავლობთ ∆OBD ~ ∆OAC (∠O = ∠O, როგორც ვერტიკალური და ∠C = ∠D, როგორც შიდა ჯვარედინი დაწოლა, რაც საკმარისია წინა აბზაცის მიხედვით ჩვენი სამკუთხედების მსგავსებისთვის). აქედან გამომდინარე, გვაქვს (n. 206) მსგავსი მხარეების პროპორციულობა:

OA/OB = OC/OD ან a/b = c/OD,

აქედან გამომდინარეობს, რომ სასურველი სეგმენტი x = OD.

თუ საჭირო იქნებოდა x/c = a/b პროპორციების დაკმაყოფილება, მაშინ საჭირო იქნებოდა B და C წერტილების დაკავშირება და AL || BD; მაშინ სეგმენტი OL იქნება სასურველი.

შენიშვნა . თუ x სეგმენტს ავაშენებთ ისე, რომ, მაგალითად, პროპორცია x/c = a/b დაკმაყოფილებულია, მაშინ ნებისმიერი სხვა სეგმენტი x" არ დააკმაყოფილებს ამ პროპორციას; თუ x"> x, მაშინ x"/c. > x>c და, შესაბამისად, x"/c > a/b თუ x"< x, то x"/c < x/c и x"/c < a/b.

209. სამკუთხედების მსგავსების სხვა ნიშნები. 1) თუ ერთი სამკუთხედის ორი გვერდი მეორის ორი გვერდის პროპორციულია და მათ შორის კუთხეები ტოლია, მაშინ ეს ორი სამკუთხედი მსგავსია.

გვქონდეს ∆ABC (კლ. 207); ავიღოთ თვითნებური სეგმენტი ED და ავაშენოთ, 208-ე პუნქტის მიხედვით, x სეგმენტი ისე, რომ მოხდეს x/AC = ED/AB პროპორცია. და ბოლოს, ჩვენ ვაშენებთ ∆EDF ისე, რომ მისი ერთი მხარე იყოს სეგმენტი ED, მეორე მხარე იყოს სეგმენტი EF = x და ბოლოს, ∠E = ∠A. შემდეგ ∆EDF და ∆ABC დაკავშირებულია შემდეგნაირად:

1) ∠E = ∠A და 2) EF/AC = ED/AB.

ეს სამკუთხედები მსგავსია?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მხოლოდ უნდა აღვნიშნოთ, რომ ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ ∆EDF ტოლი სამკუთხედი სხვაგვარად, უფრო მარტივი გზით. ამისათვის ჩვენ გვერდით ვდებთ AK = ED სეგმენტს AB მხარეს და ავაშენებთ KL || ძვ.წ. შემდეგ ∆AKL ~ ∆ABC (სექ. 197) და, შესაბამისად, AL/AC = AK/AB.

ვინაიდან AK = ED და რადგან არსებობს მხოლოდ ერთი გზა (შენიშვნა 208) x/AC = ED/AB პროპორციების დასაკმაყოფილებლად, აქედან ვასკვნით, რომ EF = AL და რომ ∆AKL = ∆EDF. მაშასადამე, ∆EDF შეიძლება დაიდოს ∆AKL და, შესაბამისად, ∆EDF ~ ∆ABC. ეს ამართლებს ამ პუნქტის დასაწყისში დადგენილ პროპორციულობის ნიშანს.

2) თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი პროპორციულია მეორე სამკუთხედის სამი გვერდის, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია..

გვქონდეს ∆ABC (კლ. 207); ავიღოთ სეგმენტი ED და 208-ე პუნქტის მიხედვით ავაგოთ ორი სხვა სეგმენტი x და y ისე, რომ პროპორციები ადგილი ჰქონდეს: x/AC = ED/AB და y/BC = ED/AB. მოდით ავაშენოთ სამკუთხედი EDF (EF = x, DF = y) სამი გვერდის ED, x და y.

შემდეგ ∆EDF და ∆ABC დაკავშირებულია შემდეგნაირად:

1) EF/AC = ED/AB და 2) DF/BC = ED/AB

ან მოკლედ:

EF/AC = DF/BC = ED/AB.

ეს სამკუთხედები მსგავსია?

ამ საკითხის გადასაჭრელად აღვნიშნავთ, რომ შესაძლებელია ∆EDF-ის ტოლი სამკუთხედის აგება განსხვავებული, უფრო მარტივი გზით.

ამისათვის ჩვენ გვერდით ვდებთ AK = ED სეგმენტს AB მხარეს და ავაშენებთ KL || ძვ.წ. შემდეგ (სექ. 206) ვიღებთ ∆AKL ~ ∆ABC და, შესაბამისად,

AL/AC = KL/BC = AK/AB.

ვინაიდან სეგმენტი AK = ED და ვინაიდან, 208-ე პუნქტის შენიშვნის მიხედვით, შეიძლება აშენდეს მხოლოდ ერთი სეგმენტი, რომელიც აკმაყოფილებს x/AC = ED/AB პროპორციას, დავასკვნათ, რომ AL = EF; ჩვენ ასევე ვხვდებით, რომ KL = DF, აქედან გამომდინარეობს, რომ ∆EDF = ∆AKL და სუპერპოზიციით შეგვიძლია გავაერთიანოთ ∆EDF ∆AKL-თან (ზოგჯერ შეიძლება საჭირო გახდეს ∆EDF მეორე მხარეს გადაქცევა). ამიტომ, ∆EDF ~ ∆ABC.

ეს ამართლებს მითითებულ ნიშანს.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ იპოვოთ მსგავსების კიდევ რამდენიმე ნიშანი, როგორც ზოგადად სამკუთხედებისთვის, ასევე ნებისმიერი განსაკუთრებული სამკუთხედისთვის. Მაგალითად, თუ ერთი მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა და ფეხი პროპორციულია მეორის ჰიპოტენუზასა და ფეხი, მაშინ ეს სამკუთხედები მსგავსია.. მისი მართებულობის გარკვევა ეფუძნება: 1) 208-ე და 2-ე პუნქტის შენიშვნას) მართკუთხა სამკუთხედების ტოლობის ნიშანს (74-ე პუნქტი, ნიშანი 4).

შენიშვნა . ზოგიერთ შემდეგ პრობლემაში, თქვენ მოგიწევთ იპოვოთ სეგმენტების თანაფარდობა, რომელიც გაზომილია ზოგიერთი ერთეულით. თუ, მაგალითად, სეგმენტი x = 7½ ლინი. მარტოხელა და სეგმენტი y = 3/10 ლინი. მარტოხელა (წრფივი ერთეული იგივეა), მაშინ იმისათვის, რომ ვიპოვოთ x სეგმენტის შეფარდება y სეგმენტთან, საჭიროა გამოვხატოთ x სეგმენტი რიცხვად, y სეგმენტის ერთეულად აღება. თუ y = 3/10 ლინი. ერთეული, შემდეგ ლინი. მარტოხელა = 10/3 * y და აქედან გამომდინარე

x = (7½ * 10/3)y, საიდანაც x/y = 7½ * 10/3 = 7½: 3/10,

ანუ, რომელიმე ერთეულით გაზომილი სეგმენტების თანაფარდობის ზედმეტად დასაყენებლად, საჭიროა ვიპოვოთ ჩვენი სეგმენტების გამომხატველი რიცხვების თანაფარდობა, ხოლო რიცხვების შეფარდება, როგორც ცნობილია არითმეტიკიდან, გვხვდება გაყოფით.

210. Სავარჯიშოები.

1. მოცემულია 2 მართკუთხა სამკუთხედი; ერთი მათგანის მახვილი კუთხე = 41°, ხოლო მეორის მწვავე კუთხე = 49°. გაარკვიეთ მსგავსია თუ არა ეს სამკუთხედები.

2. მოცემულია ∆ABC და ∆KLM (კლ. 208) ისე, რომ ∠B = ∠M და AB = 15 დმ, BC = 18 დმ, ML = 12 დმ. და MK = 10 დმ. ეს სამკუთხედები მსგავსია? თუ ისინი მსგავსია, მაშინ გამოთვალეთ AC გვერდი, იმის ცოდნა, რომ გვერდი KL = 5½ დმ.

3. ∆ABC და ∆KLM მოცემულია (ნახაზი 208) ისე, რომ AB = 18 დმ., BC = 20 დმ., AC = 8 დმ., KL = 6 დმ., KM = 13½ დმ., ML = 15 დმ. . ეს სამკუთხედები მსგავსია? როგორ შეგიძლიათ იპოვოთ მსგავსება აქ?

4. ABC და KLM სამკუთხედებში მოცემულია: AB = 16 დმ., AC = 8 დმ., BC = 20 დმ., KL = 5 დმ., MK = 10 დმ. და ML = 12 დმ. ეს სამკუთხედები მსგავსია? თუ ისინი არ არიან მსგავსი, მაშინ როგორ უნდა შეიცვალოს გვერდი ML ისე, რომ სამკუთხედები მსგავსი იყოს?

5. მოცემულია 2 მსგავსი სამკუთხედი, რომელთაგან ერთის გვერდები შესაბამისად ტოლია. 10, 14 და 16 დმ. ხოლო მეორის უფრო დიდი მხარე = 20 დმ. იპოვეთ მეორე სამკუთხედის დანარჩენი 2 გვერდი.

6. მოცემულია სამკუთხედი. 206-ე პუნქტის მეთოდის გამოყენებით ააგეთ მოცემულის მსგავსი სხვა სამკუთხედი ისე, რომ ახალი სამკუთხედის გვერდის ყოველი თანაფარდობა მეორეს მსგავს გვერდთან იყოს = ¾.
გააკეთეთ იგივე კონსტრუქცია, თუ ზემოაღნიშნული თანაფარდობა უნდა იყოს 2½.

211. მსგავსი სამკუთხედების სიმაღლისა და ფართობის შეფარდება. გვაქვს ∆ABC ~ ∆DEF (დიაგრამა 209). ამრიგად, გვაქვს: ∠A = ∠D, ∠B (∠ABC) = ∠E (∠DEF) და ∠C = ∠F (1) და

AB/DE = AC/DF = BC/EF (2)

ავაშენოთ BM და EN სიმაღლეები ჩვენს სამკუთხედებში, მსგავს გვერდებზე პერპენდიკულარების ჩამოგდება; ამ სიმაღლეებს მსგავსს დავარქმევთ. შემდეგ ∆ABM ~ ∆DEN, რადგან მათ აქვთ ∠A = ∠D ტოლობების საფუძველზე (1) და ∠AMB = ∠DNE, როგორც მართი კუთხეები (BM ⊥ AC და EN ⊥ DF), და ეს საკმარისია იმისათვის, რომ ჩვენი სამკუთხედები მსგავსი იყოს. (207) და მათი მსგავსებიდან ვიღებთ:

ტოლობების საფუძველზე (2), შეგვიძლია გავაგრძელოთ ბოლო ტოლობა:

BM/EN=AB/DE=AC/DF=BC/EF,

ანუ მსგავსი სამკუთხედების მსგავსი სიმაღლეების თანაფარდობა ტოლია მსგავსი გვერდების შეფარდებას.

ბოლო თანაბარი შეფარდების სერიიდან მივაქციოთ ყურადღება პროპორციას.

(მსგავსი სიმაღლეების თანაფარდობა = ფუძეთა თანაფარდობა).

212. 209-ე პუნქტში მითითებული იყო, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ერთი და იგივე ერთეულით გაზომილი ორი სეგმენტის შეფარდება. იგივე ეხება ერთი და იგივე კვადრატის ერთეულით გაზომილი ორი ფართობის თანაფარდობის პოვნას: ეს თანაფარდობა გვხვდება ჩვენი ფართობის გამომხატველი რიცხვების გაყოფით.

ჩვენ ამ აბზაცში, და ხშირ შემთხვევაში შემდგომში, აღნიშვნით, მაგალითად, AB, გავიგებთ რიცხვს, რომელიც გამოხატავს AB სეგმენტს ნებისმიერ წრფივ ერთეულში, ხოლო აღნიშვნის ქვეშ "ფართი ∆ABC" ჩვენ გავიგებთ რიცხვს, რომელიც გამოხატავს ფართობი ∆ABC კვადრატულ ერთეულებში. ერთი კითხვის გაანალიზებისას ყველა სეგმენტი განიხილება გაზომილი ერთი და იგივე წრფივი ერთეულით, ხოლო ყველა ფართობი - შესაბამისი კვადრატული ერთეულებით.

ჩვენ ვიცით (n. 201), რომ სამკუთხედის ფართობის კვადრატულ ერთეულებში გასაზომად საჭიროა მისი ფუძე და სიმაღლე შესაბამისი წრფივი ერთეულით გავზომოთ და მივიღოთ მიღებული რიცხვების ნამრავლის ნახევარი.
ახლა, ზემოაღნიშნული პირობის მიხედვით აღნიშვნის გამოყენებით, გვაქვს ∆ABC და ∆DEF (ნახ. 209)
ფართობი ∆ABC = (AC * BM) / 2 და ფართობი ∆DEF = (DF * EN) / 2.

იპოვეთ ჩვენი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა გაყოფით

ე.ი. ორი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ტოლია მათი ფუძეების თანაფარდობის ნამრავლისა და მათი სიმაღლეების შეფარდებას.

ახლა გავითვალისწინოთ, რომ საქმე გვაქვს მსგავს სამკუთხედებთან - მიგვაჩნია, რომ ∆ABC ~ ∆DEF.

შემდეგ წინა აბზაციდან გვაქვს:

სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობის გამომხატველ ფორმულაში ჩანაცვლებით, სიმაღლეების თანაფარდობით ფუძეების თანაფარდობით, მივიღებთ:

ასევე შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ეს თანაფარდობა = (AB/DE) 2 . Ისე,

მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი მსგავსი გვერდების თანაფარდობის კვადრატს.

ეს შედეგი ეთანხმება § 160-ში (სავარჯიშოები 5, 6 და 7).

Ვარჯიში. იპოვეთ 210-ე პარაგრაფში მოცემული მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა (სავარჯიშოები 2, 3, 5 და 6).

213. თანაბარი კუთხის მქონე სამკუთხედების ფართობების შეფარდება. მოდით ∆ABC-სა და ∆DEF-ში (ჩ. 210) გვაქვს ∠A = ∠D და სხვა კუთხეები არ არის ტოლი. მაშინ ჩვენი სამკუთხედები არ არის მსგავსი. ჩვენ, ისევე როგორც წინა აბზაცში, ავაშენებთ ამ სამკუთხედების BM და EN სიმაღლეებს და ვპოულობთ მათი ფართობების თანაფარდობის გაყოფით.

BM/EN = AB/DE (2)

მაგრამ ახლა უკვე შეუძლებელია სიმაღლეების თანაფარდობის (BM / EN) ჩანაცვლება ფუძეების თანაფარდობით (AC / DF), რადგან ეს სამკუთხედები არ არის მსგავსი. გამოყენებით (2)-დან (1) გვაქვს:

ანუ თანაბარი კუთხის მქონე ორი სამკუთხედის ფართობის თანაფარდობა ტოლია ამ კუთხეების შემადგენელი გვერდების შეფარდების ნამრავლის.

Ვარჯიში. მოცემულია სამკუთხედი; ააგეთ კიდევ ერთი სამკუთხედი ისე, რომ ერთი კუთხე უცვლელი დარჩეს და ამ კუთხის შემადგენელი გვერდები გაიზარდოს ერთი 2-ჯერ და მეორე 3-ჯერ. როგორ გაიზრდება მისი ფართობი? პასუხი, რომელიც ადვილად იპოვება გამოთვლებით, სასურველია გამოთვალოთ გეომეტრიულად.

252. სამკუთხედების მსგავსების ცნება მრავალკუთხედებზეც ვრცელდება. მიეცეს მრავალკუთხედი ABCDE (კლ. 245); შეასრულეთ 206-ე პუნქტის მსგავსი კონსტრუქცია. ააგეთ AC და AD დიაგონალები და A და B წერტილებს შორის ან AB სეგმენტის გარეთ AB მხარეს AB მხარეს K წერტილის არჩევით, ან AB სეგმენტის გარეთ, ააგეთ KL || BC, სანამ არ კვეთს დიაგონალს AC, შემდეგ LM || CD AD-ის კვეთამდე და ბოლოს MN || DE AE-სთან კვეთამდე. შემდეგ ვიღებთ მრავალკუთხედს AKLMN, რომელიც დაკავშირებულია ABCD-თან შემდეგი დამოკიდებულებებით:

1) ერთი მრავალკუთხედის კუთხეები წყვილად ტოლია მეორის კუთხეებთან: ისინი იზიარებენ კუთხეს A, ∠K = ∠B (შესაბამისად), ∠KLM = ∠BCD, რადგან ∠KLA = ∠BCA და ∠ALM = ∠ ACD და ა.შ.

2) ამ მრავალკუთხედების მსგავსი გვერდები პროპორციულია, ანუ მსგავსი გვერდების ერთი წყვილის შეფარდება უდრის მეორე წყვილის შეფარდებას, უდრის მესამე წყვილის შეფარდებას და ა.შ.

"მსგავსი" გვერდები აქ გარკვეულწილად განსხვავებულად უნდა იქნას გაგებული, ვიდრე სამკუთხედებისთვის: აქ ჩვენ განვიხილავთ მსგავს გვერდებს, რომლებიც ჩასმულია თანაბარ კუთხეებს შორის, მაგალითად, BC და KL.

ამ პროპორციულობის ვალიდობა შემდეგნაირად ჩანს:

∆AKL ~ ∆ABC, შესაბამისად AK/AB = KL/BC = AL/AC
∆ALM ~ ∆ACD, შესაბამისად AL/AC = LM/CD = AM/AD
∆AMN ~ ∆ADE, შესაბამისად AM/AD = MN/DE = AN/AE

ჩვენ ვხედავთ, რომ პირველ სამ თანაბარ თანაფარდობას შორის და მეორე სამ თანაბარ თანაფარდობას შორის არის ერთი იდენტური AL/AC; ასევე ბოლო სამი მიმართება უკავშირდება წინა მიმართებას AM/AD. ამრიგად, დიაგონალების შეფარდების გამოტოვებით, ჩვენ ვიღებთ:

AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = AN/AE

ეს ყველაფერი რჩება, როგორც ადვილი შესამჩნევია, ასევე მოქმედებს მრავალკუთხედისთვის, რომელსაც ჩვენზე მეტი გვერდი აქვს.

თუ AKLMN მრავალკუთხედს გადავიტანთ სიბრტყეში სხვა ადგილას, მაშინ ამ მრავალკუთხედის ზემოთ მოცემული 2 მიმართება ABCDE-სთან დარჩება ძალაში; ასეთ მრავალკუთხედებს მსგავსი ეწოდება. Ისე, ორ მრავალკუთხედს ჰქვია მსგავსი, თუ ერთის კუთხეები წყვილად ტოლია მეორის კუთხეებთან და თუ მათი მსგავსი გვერდები პროპორციულია..

ამიტომ ჩვენ ვიცით როგორ ავაშენოთ მსგავსი მრავალკუთხედი. ჩვენ ავაშენეთ AKLMN ~ ABCDE.

ჩვენ ასევე ვხედავთ, რომ მრავალკუთხედებში ABCDE და AKLMN დიაგონალები აგებულია მათი შესაბამისი წვეროებიდან და მიიღება მსგავსი სამკუთხედების ორი მწკრივი: ∆AKL ~ ∆ABC, ∆ALM ~ ∆ACD და ∆AMN ~ ∆ADE - ეს სამკუთხედები თანაბრად განლაგებულია. ორივე მრავალკუთხედში.

ჩნდება კითხვა, დარჩება თუ არა ეს უკანასკნელი თვისება ძალაში, თუ ჩვენ ავაშენებთ მოცემულ მსგავს მრავალკუთხედს სხვაგვარად, ვიდრე აქ გამოვიყენეთ.

253. დაე, მრავალკუთხედი A"B"C"D"E" როგორმე აგებული იყოს ABCDE მრავალკუთხედის მსგავსად (მტ. 246), ე.ი.

∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B, ∠C" = ∠C, ∠D" = ∠D, ∠E" = ∠E (1)

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"E"/DE = E"A"/EA (2)

წინა აბზაცის დასასრულის კითხვა მეორის ექვივალენტურია: შესაძლებელია თუ არა ამ ორი მრავალკუთხედის ისეთ მდგომარეობაში მოყვანა, რომ, მაგალითად, A წერტილი "ემთხვევა A-ს, ხოლო დარჩენილი წვეროები განლაგებულია წყვილებში მიმავალ ხაზებზე. ამ საერთო წერტილიდან და ისე, რომ მათი მსგავსი გვერდები ან იყო პარალელურად, ან ერთი მრავალკუთხედის მხარე მეორის მხარეს მდებარეობდა.

მოვაგვაროთ ეს საკითხი. ამისთვის A წერტილიდან გამოვყოფთ AB მხარეს AK = A"B" სეგმენტს და წინა აბზაცის გამოყენებით ავაშენებთ მრავალკუთხედს AKLMN ~ ABCDE.

გასარკვევია, შეიძლება თუ არა პოლიგონი A"B"C"D"E" ემთხვეოდეს AKLMN-ს, როდესაც ზედმიწევნით არის განლაგებული.

გვაქვს: AK/AB = KL/BC = LM/CD = MN/DE = NA/EA.

ამ ტოლობების (2) ტოლობების შედარებისას და იმის გათვალისწინებით, რომ AK = A"B", ჩვენ მარტივად მივიღებთ KL = B"C", LM = C"D" და ა.შ., ანუ A "B" მრავალკუთხედის ყველა მხარეს. C"D"E" და AKLMN წყვილებში ტოლია. AKLMN-ზე დავდოთ მრავალკუთხედი A"B"C"D"E" ისე, რომ A" მოხვდეს A-ში და A"B გვერდი ემთხვევა AK-ს (ჩვენ ავაშენეთ AK = A"B"); შემდეგ, B" და K კუთხეების ტოლობის გამო, B"C" გვერდი წავა KL-ის გასწვრივ, KL და B"C გვერდების ტოლობის გამო, წერტილი C" დაეცემა L-ში, და ა.შ.

ასე რომ, A"B"C"D"E" ემთხვევა AKLMN-ს და, შესაბამისად, თუ ავაშენებთ A"C" და A"D დიაგონალებს, მივიღებთ სამკუთხედების მსგავს და თანაბრად განლაგებულ ∆ABC, ∆ACD-თან. და ა.შ.

ამიტომ, ჩვენ ვასკვნით: თუ მსგავს მრავალკუთხედებში შესაბამისი წვეროებიდან ავაშენებთ დიაგონალებს, მივიღებთ მსგავსი და თანაბრად განლაგებული სამკუთხედების 2 მწკრივს.

საპირისპირო დასკვნის მართებულობის დანახვა მარტივია: თუ, ∆A"B"C" ~ ABC, ∆A"C"D" ~ ∆ACD და ∆A"D"E" ~ ∆ADE, მაშინ მრავალკუთხედი A. "B"C"D "E" ~ პოლიგონი ABCDE. შემდეგ ∆A"B"C" = ∆AKL, ∆A"C"D" = ∆ALM და ∆A"D"E" = ∆AMN, რაც გულისხმობს მრავალკუთხედების ტოლობას A"B"C"D"E" და AKLMN და აქედან გამომდინარე A"B"C"D"E" და ABCDE მსგავსება.

254. პოზიცია (ორი შესაბამისი წვერო ერთ წერტილში ერწყმის, დარჩენილი წვეროები წყვილად დევს ამ წერტილში გამავალ წრფეებზე და მსგავსი გვერდები პარალელურია), რომელშიც მოვახერხეთ ორი მსგავსი მრავალკუთხედის მოყვანა, მეორე უფრო ზოგადის განსაკუთრებული შემთხვევაა. ორი მსგავსი მრავალკუთხედის პოზიცია.

გვქონდეს KLMN ~ ABCD (ჩრ. 247). აიღეთ ნებისმიერი წერტილი S და შეაერთეთ იგი პირველი მრავალკუთხედის A, B, C და D წვეროებთან. ჩვენ შევეცდებით ავაშენოთ მრავალკუთხედის ტოლი KLMN ისე, რომ მისი წვეროები განთავსდეს SA, SB, SC და SD წრფეებზე და გვერდები იყოს ABCD მრავალკუთხედის გვერდების პარალელურად.

ამისათვის ჩვენ AB გვერდზე ვდებთ AP = KL სეგმენტს (ვვარაუდობთ, რომ KL და AB მსგავსი გვერდებია) და ვაშენებთ PB" || AS (წერტილი P და წრფე PB" არ არის მოცემული ნახაზზე). B წერტილის გავლით, სადაც SB კვეთს PB-ს, ვაშენებთ B"A" || AB. შემდეგ A"B" = AP = KL, შემდეგ ვაშენებთ B"C" || BC, C წერტილის გავლით, სადაც B"C" კვეთს SC-ს, დახაზეთ C"D" || CD და წერტილი D", სადაც C"D" კვეთს SD-ს, შეაერთეთ A-სთან". მიიღეთ მრავალკუთხედი A"B"C. "D", რომელიც, როგორც ცოტა ხანში დავინახავთ, ABCD მრავალკუთხედის მსგავსია.

ვინაიდან A"B" || AB, შემდეგ ∆SA"B" ~ ∆SAB, საიდანაც

SA"/SA = A"B"/AB = SB"/SB (1)

ვინაიდან B"C" || BC, შემდეგ ∆SB"C" ~ ∆SBC, საიდანაც

SB"/SB = B"C"/BC = SC"/SC (2)

ვინაიდან C"D" || CD, შემდეგ ∆SC"D" ~ ∆SCD, საიდანაც

SC"/SC = C"D"/CD = SD"/SD (3)

აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ SA "/SA \u003d SD" / SD და, შესაბამისად, ∆SA "D" ~ ∆SAD, რადგან ერთის ორი გვერდი მეორის ორი მხარის პროპორციულია და მათ შორის კუთხეები ტოლია. (∠S საერთო), - A "D" || ახ.წ. და

SD"/SD = D"A"/DA = SA"/SA (4)

(1), (2), (3) და (4) მიმართებების ტოლობებიდან ადვილად ვიღებთ:

A"B"/AB = B"C"/BC = C"D"/CD = D"A"/DA (5)

გარდა ამისა, ∠A" = ∠A, ∠B" = ∠B და ა.შ., როგორც კუთხეები პარალელური გვერდებით. ამიტომ, A"B"C"D" ~ ABCD.

გარდა ამისა, ადვილი მისახვედრია, რომ KLMN = A"B"C"D". მართლაც, ∠K = ∠A, მაგრამ ∠A = ∠A", აქედან გამომდინარე ∠K = ∠A"; ასევე ∠L = ∠B" და ა.შ. - ჩვენი მრავალკუთხედების კუთხეები ტოლია. გარდა ამისა, KLMN ~ ABCD მსგავსებიდან ვიღებთ:

KL/AB = LM/BC = MN/CD = NK/DA.

ამ ტოლი თანაფარდობების შედარებისას ტოლობებთან (5) და იმის გათვალისწინებით, რომ A"B" = KL, ჩვენ ვპოულობთ: B"C" = LM, C"D" = MN, D"A" = NK. ახლა ადვილია, როგორც ზემოთ გავაკეთეთ, დავინახოთ, რომ KLMN, როდესაც ზედ დადგმული იქნება, შეესაბამება A"B"C"D-ს. მაშასადამე, ჩვენ მოვახერხეთ ამ მსგავსი მრავალკუთხედების განთავსება ისეთ მდგომარეობაში, რომ მათი წვეროები წყვილად განლაგდეს S წერტილში გამავალ წრფეებზე და მათი მსგავსი გვერდები იყოს პარალელური, რასაც ჩვენ ვისწრაფვით.

ასევე აღვნიშნავთ, რომ ჩვენს მრავალკუთხედებში შესაბამისი წვეროები მიჰყვება ერთმანეთს იმავე მიმართულებით (იხ. ისრები მრავალკუთხედებთან ABCD, KLMN და A "B" C "D") - საათის ისრის მიმართულებით.

თუ ერთი მრავალკუთხედის წვეროები, რომლებიც შეესაბამება მეორის თანმიმდევრულ წვეროებს, მიჰყვება ერთმანეთს საპირისპირო მიმართულებით, თუ როგორ მდებარეობს მეორეში, მაშინ ჩვენ შევძლებთ ჩვენი მრავალკუთხედების განთავსებას ისე, რომ შესაბამისი წვეროები განლაგებული იყოს საპირისპირო მხარეს. წერტილი S (იხ. სურ. 248).

S წერტილი, სადაც მრავლკუთხედების შესაბამისი წვეროების წყვილის დამაკავშირებელი წრფეები იყრიან თავს, ე.წ. მსგავსების ცენტრი; პირველ შემთხვევაში (ნახაზი 247), როდესაც ორივე შესაბამისი წვერო (მაგალითად, A და A ") მდებარეობს S-ის ერთსა და იმავე მხარეს, მსგავსების ცენტრს ეწოდება გარე, ხოლო მეორეში (ნახაზი 248), როდესაც შესაბამისია. წვეროები განლაგებულია S წერტილის მოპირდაპირე მხარეს, მსგავსების ცენტრს ეწოდება შიდა... თუ მსგავსი მრავალკუთხედები განლაგებულია ისე, რომ მათ აქვთ მსგავსების ცენტრი, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ ისინი არიან. ანალოგიურად მდებარეობს.

255. თუ მოგვცეს მრავალკუთხედი ABCD (ჩ. 247 ან 248), - ამ მრავალკუთხედს ორიგინალს დავარქმევთ, - შეგვიძლია თვითნებური S წერტილის არჩევით მივიღოთ მისი მსგავსი გამოსახულებები ნებისმიერი მასშტაბით, - ეს სახელწოდებაა. ეწოდება გამოსახულების ნებისმიერი სეგმენტის შეფარდება ორიგინალში შესაბამის სეგმენტთან (მოცემულ მრავალკუთხედში). ამ ურთიერთობასაც ეძახიან მსგავსების კოეფიციენტი- კ-ით ავღნიშნოთ. ჯერჯერობით ჩვენთვის მსგავსების კოეფიციენტი არის გამოსახულების მხარის თანაფარდობა ორიგინალის მხარესთან, ე.ი.

A "B / AB \u003d B" C / BC \u003d ... \u003d k.

მომავალში ჩვენ გავაფართოვებთ ამ კონცეფციას გამოსახულების ნებისმიერი ორი სეგმენტისა და ერთმანეთის მსგავსი ორიგინალის თანაფარდობაზე.

წინა პუნქტის (1), (2), (3) და (4) ტოლობიდან გვაქვს:

SA"/SA = SB"/SB = SC"/SC = SD"/SD = A"B"/AB = k,

ანუ გამოსახულების შესაბამისი წვეროების მსგავსების ცენტრიდან მანძილების თანაფარდობა და ორიგინალი = მსგავსების კოეფიციენტი.

სახელწოდების ფიგურაში (ბრტყელი) ვგულისხმობთ სიბრტყეების წერტილებისა და ხაზების ერთობლიობას. მრავალკუთხედები ABCD - არის ფიგურა. ვამატებთ კიდევ ერთ წერტილს (სურვილისამებრ) E - ვიღებთ ახალ ფიგურას, რომელიც შედგება მრავალკუთხედის ABCD და E წერტილისგან, - ვპოულობთ E წერტილის გამოსახულებას. ამისათვის ავაგებთ სწორ წრფეს SE და გვერდს ვდებთ. სეგმენტი SE მასზე ისე, რომ SE "/SE \u003d k (ასეთი სეგმენტის აგება ადვილია 214 პუნქტის გამოყენებით); ჩვენ შეგვიძლია გადავდოთ ეს სეგმენტი SE-ს მიმართულებით (ნახ. 247); ან საპირისპირო მიმართულებით (ნახ. 248) შედეგად მიღებული წერტილი E "არის E წერტილის გამოსახულება - სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წერტილი E" და E არის შესაბამისი წერტილები ჩვენს ორ მსგავს და ერთნაირად მოთავსებულ ფიგურაში.

E წერტილის დაკავშირება, მაგალითად, B-სთან და E წერტილის B"-თან (B და B" ასევე შესაბამისი წერტილებია), ვიღებთ ორ შესაბამის სეგმენტს BE და B"E".

ადვილი მისახვედრია, რომ ∆SBE ~ ∆SB"E" (რადგან ∠BSE = ∠B"SE და ამ კუთხეების შემადგენელი გვერდები პროპორციულია: SB"/SB = k და SE"/SE = k, აქედან გამომდინარე SB " / SB = SE "/ SE), აქედან გამომდინარეობს:

1) B"E" || BE და 2) B"E"/BE = SB"/SB = k

ე.ი. სურათზე და ორიგინალში ერთმანეთის შესაბამისი სეგმენტები 1) ერთმანეთის პარალელურია და 2) მათი თანაფარდობა ტოლია მსგავსების კოეფიციენტის .

ეს გულისხმობს ორიგინალში მოცემული წერტილის შესაბამისი წერტილის საპოვნელად შემდეგი კონსტრუქციის შესაძლებლობას, თუ უკვე გვაქვს შესაბამისი წერტილების ერთი წყვილი და ცნობილია მსგავსების ცენტრი: მოდით, გვქონდეს შესაბამისი წერტილების წყვილი B და B. და საჭიროა E წერტილის შესაბამისი წერტილის პოვნა, - ვაშენებთ SE და BE წრფეებს და B-ს გავლით "ვქმნით BE-ს პარალელურ წრფეს, მის გადაკვეთის წერტილს E" SE-სთან და ვაძლევთ სასურველ წერტილს.

256. ავაშენოთ ნებისმიერი ფიგურისთვის, რომლის ერთი წერტილი არის A (ნახ. 249), მისი გამოსახულებები, მსგავსების გარე ცენტრებად ავიღოთ ორი თვითნებური წერტილი S 1 და S 2 და მსგავსების კოეფიციენტებად რიცხვები k 1 და k 2. დაე, წერტილი A შეესაბამებოდეს A წერტილს პირველ სურათზე, ხოლო წერტილი A"" შეესაბამება იმავე წერტილს მეორე სურათზე.

ამ ფიგურას ასევე ვუმატებთ B წერტილს, რომელიც მდებარეობს S 1 S 2 წრფეზე; მაშინ ეს B წერტილი პირველ სურათზე შეესაბამება B წერტილს, ხოლო მეორე სურათს B წერტილს, უფრო მეტიც, წერტილები B" და B"" უნდა მდებარეობდეს იმავე წრფეზე S 1 S 2 და ხაზები AB, A"B. " და A""B "" უნდა იყოს პარალელური და თანაბრად მიმართული.

მაშინ გვაქვს:

A"B"/AB = k 1 და A""B""/AB = k 2.

აქედან ვპოულობთ:

A"B"/A""B"" = k 1 /k 2.

შეაერთეთ A" და A" წერტილები, იპოვეთ გადაკვეთის წერტილი S 3 წრფე A""A" და S 2 S 1 . შემდეგ S 3 A"B" და S 2 A""B"" სამკუთხედების მსგავსებიდან ვხვდებით:

A" და A" წერტილების შეერთებით ვპოულობთ A""A" და S 2 S 1 წრფეების S 3 გადაკვეთის წერტილს. შემდეგ S 3 A"B" და S 2 A""B"" სამკუთხედების მსგავსებიდან ვხვდებით:

S 3 B"/S 3 B"" = A"B"/A""B"" = k 1 /k 2,

ანუ, წერტილი S 2 უნდა დაყოს B სეგმენტი "B" გარედან მოცემული რიცხვის k 1 / k 2 თანაფარდობით. ჩვენ ვიცით (n. 217), რომ არის მხოლოდ ერთი წერტილი, რომელიც ყოფს მოცემულ B სეგმენტს ". B "" ამ მხრივ გარეგნულად. თუ ავიღებთ ამ ფიგურის ნებისმიერ სხვა C წერტილს და ავაშენებთ მის გამოსახულებებს C" და C"", მაშინ C" და C"" წერტილების შეერთებით და გადაკვეთის წერტილის აღებით, ჩვენ კვლავ ვუწოდებთ მას S 3, წრფე C. "C"" S 1 S 2 ხაზით, მივიღებთ, რომ ∆S 3 B"C" ~ ∆S 3 B""C"" (B""C"" || BC და B"C" || BC, ამიტომ B"" C"" || B"C"), საიდანაც კვლავ აღმოვაჩენთ, რომ S 3 B"/S 3 B"" = k 1 /k 2 , ანუ ახალი წერტილი S 3 ემთხვევა ძველს. მაშასადამე, S 3 არის ფიგურების მსგავსების ცენტრი (A"B"C"...) და (A""B""C""...) და, უფრო მეტიც, გარე, რადგან მიმართულება, რომელშიც შესაბამისი წერტილები ერთმანეთს მიჰყვება ორივე ფიგურაში ერთნაირია, აქედან ვასკვნით, რომ ფიგურებს (A"B"C"...) და (A""B""C"...) ასევე აქვთ გარე ცენტრი. მსგავსება და ის მდებარეობს S 1 და S 2 ცენტრებთან იმავე ხაზზე.

თუ ერთ-ერთი მსგავსების ცენტრი S1 აღებულია გარედან, ხოლო მეორე S2 არის შიდა (ნახ. 250), მაშინ შესაბამისი სეგმენტების მიმართულებები ასეთია: A"B" იგივეა, რაც AB მიმართულება, მაგრამ A"" B"" არის საპირისპირო მიმართულება AB, - შესაბამისად, მიმართულება ""B"" უკან A"B" და S3 არის ფიგურების (A"B"...) და (A") შიდა მსგავსების ცენტრი. "ბ""...).

თუ მსგავსების ორივე ცენტრს ავიღებთ შინაგანად (მაგალითად, S 2 და S 3 ნახ. 250-ზე), მაშინ ადვილი მისახვედრია, რომ მსგავსების მესამე ცენტრი გარე აღმოჩნდება. ასე რომ, ზოგადად:

თუ სამი ფიგურა ერთნაირად განლაგებულია წყვილებში, მაშინ მსგავსების სამი ცენტრი განლაგებულია ერთ სწორ ხაზზე და სამივე მათგანი გარეა, ან ორი მათგანი შიდაა და ერთი გარე.

257. .
მივიღოთ ორი მსგავსი მრავალკუთხედი ABCDEF და A"B"C"D"E"F" (კლ. 251). მსგავსების კოეფიციენტი დავარქვათ k-ის მეშვეობით.

A"B"/AB = k, B"C"/BC = k და ა.შ.,

A"B" = k AB, B"C" = k BC, C"D" = k CD, ...

ამ ტოლობების ნაწილებად დამატება და მეორე ნაწილის k ფაქტორის ფრჩხილიდან ამოღება, მივიღებთ:

A"B" + B"C" + C"D" + ... = k(AB + BC + CD + ...),

(A"B" + B"C" + C"D" ...) / (AB + BC + CD + ...) = k = A"B"/AB,

ანუ მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრების შეფარდება ტოლია მსგავსი გვერდების თანაფარდობის (ან მსგავსების კოეფიციენტის ტოლი).

ვირჩევთ ორ შესაბამის წვეროს, მაგალითად, A და A" და ვაშენებთ მათში გამვლელ დიაგონალებს. შემდეგ ვიცით: 1) (253-ე პუნქტიდან) ∆ABC ~ ∆A"B"C", ∆ACD ~ ∆A" C "D" და ა.შ. 2) (212-ე პუნქტიდან) მსგავსი სამკუთხედების ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი მსგავსი გვერდების შეფარდების კვადრატს, მაშასადამე,

კვ. ∆A"B"C" / კვადრატი ∆ABC = (A"B"/AB) 2 = k 2; კვადრატი ∆A"C"D" / კვადრატი ∆ACD \u003d (C "D" / CD) 2 \u003d k 2 და ა.შ.,

კვ. ∆A"B"C" = k 2 pl. ∆ABC; pl. ∆A"C"D" = k 2 pl. ∆ACD;
კვ. ∆A"D"E" = k 2 კვადრატი ∆ADE ...

ამ ტოლობების ნაწილებად დამატება და საერთო კოეფიციენტის k 2 ჩასმა მეორე ნაწილში ფრჩხილიდან, მივიღებთ:

კვ. ∆A"B"C" + pl. ∆A"C"D" + ∆A"D"E" + ... = k 2 (pl. ∆ABC + pl. ∆ACD + pl. ∆ADE + .. .),

კვ. A"B"C"D"E"F" / pl. ABCDEF \u003d k 2 \u003d (A "B" / AB) 2,

ანუ მსგავსი მრავალკუთხედების ფართობების თანაფარდობა უდრის მათი მსგავსი გვერდების თანაფარდობის კვადრატს (ან მსგავსების კოეფიციენტის კვადრატს).

258. ერთი და იგივე სახელის ორი რეგულარული მრავალკუთხედი ყოველთვის მსგავსია. ფაქტობრივად, ამავე სახელწოდების მრავალკუთხედების კუთხეები ერთნაირია (n. 248) და ვინაიდან თითოეულის ყველა გვერდი ერთმანეთის ტოლია, აშკარაა, რომ ერთის რომელიმე მხარის შეფარდება რომელიმე მხარესთან. სხვა არის მუდმივი რიცხვი.

თუ წრეში ჩავწერთ რომელიმე კანონზომიერ მრავალკუთხედს (სურ. 252) და ავაშენებთ წრეზე ტანგენსებს მის გვერდებზე შეკუმშული რკალების შუა წერტილებით, მაშინ მივიღებთ იმავე სახელწოდების რეგულარულ მრავალკუთხედს, რომელიც აღწერილია ამ წრის გარშემო. ძნელი არ არის იმის გარკვევა (მსურველებს ვუტოვებთ), რომ შედეგად მიღებული ორი რეგულარული მრავალკუთხედი ერთნაირად მდებარეობს და წრის ცენტრი ემსახურება მათ მსგავსების გარე ცენტრს, - გარე, რადგან შესაბამისი წერტილების თითოეული წყვილი ( მაგალითად, A და A ") მდებარეობს ცენტრიდან იმავე მიმართულებით (თუ მრავალკუთხედს აქვს ლუწი გვერდების რაოდენობა, მაშინ წრის ცენტრი ასევე შეიძლება ჩაითვალოს მსგავსების შიდა ცენტრად, საჭიროა მხოლოდ ვივარაუდოთ, რომ მაგალითად, A წერტილი შეესაბამება A წერტილს "").

259. Სავარჯიშოები.

1. ერთი ხუთკუთხედის გვერდები არის შესაბამისად 12, 14, 10, 8 და 16 დმ. იპოვეთ პირველის მსგავსი სხვა ხუთკუთხედის გვერდები, თუ მისი პერიმეტრი = 80 დმ.

2. ორი მსგავსი მრავალკუთხედის ფართობების ჯამია 250 კვადრატული მეტრი. dm. და ორი მსგავსი მხარის თანაფარდობა = ¾. გამოთვალეთ თითოეული მათგანის ფართობი.

3. აჩვენეთ, რომ თუ კენტი რაოდენობის გვერდების რეგულარული მრავალკუთხედი ჩაწერილია წრეში და წრის ტანგენტები აგებულია მის წვეროებზე, მაშინ მიიღება შემოხაზული მრავალკუთხედი, რომელიც ანალოგიურად მდებარეობს წარწერილთან - წრის ცენტრი. ემსახურება მათ მსგავსების შიდა ცენტრს.

4. მოცემულია სამკუთხედი; ააგეთ კიდევ ერთი სამკუთხედი, რომელიც ანალოგიურად მდებარეობს პირველთან, ისე, რომ პირველის სიმძიმის ცენტრი იყოს შიდა მსგავსების ცენტრი და რომ მსგავსების კოეფიციენტი = ½. გამოიყენეთ ეს იმის გასარკვევად, თუ როგორ მდებარეობს ამ სამკუთხედის სიმაღლის წერტილები, სიმძიმის ცენტრი და შემოხაზული წრის ცენტრი.

5. ამ სამკუთხედში ჩაწერილია კვადრატი.

მოდით ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი (ჩ. 253) და DEFK სასურველი კვადრატი. მოდით ავაშენოთ სხვა კვადრატი MNPQ ისე, რომ MQ-ის ერთი გვერდი მდებარეობდეს სამკუთხედის AC მხარეს, ხოლო N წერტილი AB მხარეს. ადვილი მისახვედრია, რომ MNPQ კვადრატი ანალოგიურად მდებარეობს სასურველ კვადრატთან DEFK და მათი მსგავსების გარე ცენტრი არის წერტილი A; აქედან გამომდინარე, წერტილი F მდებარეობს AP წრფეზე. F წერტილის პოვნის შემდეგ სასურველი კვადრატის აგება ადვილია.

6. მოცემულია კუთხე და წერტილი მის შიგნით. იპოვეთ წერტილი კუთხის ერთ მხარეს, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილიდან და მეორე მხრიდან.

პრობლემა მოგვარებულია იმავე გზით.

7. ააგეთ სამკუთხედი მისი სიმაღლის მიხედვით.

ადვილია მივიღოთ სამკუთხედის გვერდები a, b და c და შესაბამისი სიმაღლეები h a , h b და h c გვერდების გამოძახებით შემდეგი მიმართებით:

ah a = bh b = ch c, საიდანაც a: b = h b: h a და b: c = h c: h b = h a: (h b h a)/h c

ადვილია x = (h b h a) / h c (x / h a = h b / h c - მე-4 პროპორციულის აგება) სეგმენტის აგება, რის შემდეგაც ვაშენებთ სამკუთხედს h b, h a და x გვერდებით. ეს სამკუთხედი სასურველს ჰგავს, ვინაიდან a: h: c = h b: h a: x; რჩება ახლად აგებულის მსგავსი სამკუთხედის აგება ისე, რომ მისი ერთ-ერთი სიმაღლე მოცემულის ტოლი იყოს.

თავი VIII.

ხაზების პროპორციულობა. ფიგურების მსგავსება.

§ 93. მსგავსი ფიგურების მშენებლობა.

1. მსგავსი სამკუთხედების აგება.

უკვე ვიცით, რომ მოცემულის მსგავსი სამკუთხედის ასაგებად საკმარისია სამკუთხედის გვერდის პარალელურად გავავლოთ წრფე სამკუთხედის გვერდიდან აღებული რაღაც წერტილიდან. ჩვენ ვიღებთ ამ სამკუთხედის მსგავსს (ნახ. 382):

/\ DIA /\ A"C"B"

2. მსგავსი მრავალკუთხედების აგება.

მოცემულის მსგავსი მრავალკუთხედის ასაგებად შეგვიძლია ვიმოქმედოთ შემდეგნაირად: მოცემულ მრავალკუთხედს ვყოფთ სამკუთხედებად მისი რომელიმე წვეროდან გამოყვანილი დიაგონალებით (სურ. 383). მოცემული ABCDE მრავალკუთხედის რომელიმე მხარეს, მაგალითად, AE მხარეს, ვიღებთ რაღაც E" წერტილს და ვხატავთ წრფეს ED გვერდის პარალელურად, სანამ არ გადაკვეთს AD დიაგონალს, მაგალითად, D წერტილში".

D წერტილიდან" გაავლეთ ხაზი DC მხარის პარალელურად, სანამ ის არ გადაკვეთს AC დიაგონალს C წერტილში". C წერტილიდან" გაავლეთ წრფე CB მხარის პარალელურად, სანამ არ გადაიკვეთება AB მხარეს B წერტილში". მიღებული მრავალკუთხედი AB"C"D"E" მსგავსია მოცემული მრავალკუთხედის ABCDE.

ამ განცხადების მართებულობა დამოუკიდებლად დასტურდება.

თუ საჭიროა მოცემულის მსგავსი მრავალკუთხედის აგება მითითებული მსგავსების კოეფიციენტით, მაშინ საწყისი წერტილი E" აღებულია AE მხარეს ან მის გაგრძელებაზე, შესაბამისად, მოცემული მსგავსების კოეფიციენტის მიხედვით.

3. მიწის ნაკვეთის გეგმის გადაღება.

ა) გეგმის სროლა ხორციელდება სპეციალური ხელსაწყოს გამოყენებით ე.წ ჭიქა(დევნ. 384).

მენზულა არის კვადრატული დაფა, რომელიც განთავსებულია სამფეხზე. გეგმის შედგენისას დაფა მიყვანილია ჰორიზონტალურ მდგომარეობაში, რომელიც მოწმდება დონის გამოყენებით. სწორი ხაზების დასახაზად სასურველი მიმართულებით გამოიყენება დიოპტრიებით აღჭურვილი ალიდადი. თითოეულ დიოპტრიას აქვს ჭრილი, რომელშიც თმაა დაჭიმული, რაც საშუალებას გაძლევთ ზუსტად მიმართოთ ალიდადი სწორი მიმართულებით. სასწორზე ღილაკებით მაგრდება თეთრი ქაღალდის ფურცელი, რომელზედაც დახატულია გეგმა.

ABCDE მიწის ნაკვეთიდან გეგმის ამოღების მიზნით, ნაკვეთის შიგნით არჩეულია O წერტილი ისე, რომ მისგან მიწის ნაკვეთის ყველა ზევით ჩანს (სურ. 385).

ქლიავის ხაზის მქონე ჩანგლის დახმარებით (სურ. 386) სასწორი ისეა დაყენებული, რომ ფურცელზე მონიშნული წერტილი O ადგილზე მოხვდეს ადგილზე არჩეულ O წერტილთან.

შემდეგ, ჭიქაზე დამაგრებულ ფურცელზე O წერტილიდან, სხივები ასახულია ალიდადით A, B, C, D და E წერტილების მიმართულებით; გაზომეთ მანძილი
OA, OB, OS, OD და OE და დაწექი ამ სხივებზე მიღებული მასშტაბის სეგმენტებში
OA", OB", OS, OD" და OE".

A, B, C, D და E წერტილები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. გამოდის A "B" C "D" E მრავალკუთხედი, რომელიც არის მოცემული მიწის ნაკვეთის გეგმა მიღებული მასშტაბით.

ჩვენ მიერ აღწერილ მასშტაბის სროლის მეთოდს პოლარული ეწოდება.

თვითმფრინავის სასწორით სროლის სხვა ხერხებიც არსებობს, რომლის შესახებაც შეგიძლიათ წაიკითხოთ მასშტაბის სროლის სპეციალურ სახელმძღვანელოებში.

თითოეულ გეგმაზე, ჩვეულებრივ, მოცემულია მასშტაბი, რომლითაც შეიძლება დადგინდეს ამოღებული ფართობის ნამდვილი ზომები, ისევე როგორც მისი ფართობი.

გეგმა ასევე მიუთითებს კარდინალური წერტილების მიმართულებაზე.

Პრაქტიკული სამუშაო.

ა) გააკეთეთ უმარტივესი მასშტაბის მოდელი სასკოლო სახელოსნოში და გამოიყენეთ იგი მცირე მიწის ნაკვეთის გეგმის შესაქმნელად.

ბ) მიწის ნაკვეთის გეგმის აზომვა შეიძლება მოხდეს ასტროლაბის დახმარებით.

დავუშვათ, რომ აუცილებელია მიწის ნაკვეთის ABCDE გეგმის ამოღება. საწყისად ავიღოთ მონაკვეთის ერთ-ერთი წვერო, მაგალითად A და ასტროლაბის საშუალებით გავზომოთ კუთხეები A წვეროზე, ე.ი.
/ 1, / 2, / 3 (დევნ. 387).

შემდეგ საზომი ჯაჭვის გამოყენებით ვზომავთ დისტანციებს AE, AD, AC და AB. ნაკვეთის ზომისა და ფურცლის ზომიდან გამომდინარე, რომელზედაც დატანილია გეგმა, შეირჩევა გეგმის დახატვის მასშტაბი.

A წერტილში, რომელიც მიღებულია მრავალკუთხედის წვეროდ, ვაშენებთ სამ კუთხეს, შესაბამისად ტოლი / 1, / 2 და / 3; შემდეგ, ამ კუთხეების გვერდებზე შერჩეულ შკალაზე A წერტილიდან "გააჩერეთ A" E ", A" D, A "C" და A "B სეგმენტები". A "და E" წერტილების შეერთება. E "and D", D "and C, C" და B", B" და A", ვიღებთ მრავალკუთხედს A"B"C"D"E", პოლიგონის მსგავსი ABCDE. ეს იქნება გეგმა ეს მიწის ნაკვეთი, შედგენილი არჩეული მასშტაბით.

მრავალი კონსტრუქციული პრობლემის გადაჭრისას გამოიყენება მსგავსების მეთოდი, რომლის არსი ასეთია: ჯერ აშენდება მოცემულის მსგავსი ფიგურა, შემდეგ ეს მაჩვენებელი იზრდება (მცირდება) საჭირო თანაფარდობით (ე.ი. მსგავსი ფიგურაა. აშენებული), რომელიც აკმაყოფილებს პრობლემის პირობას.

სწავლის პროცესი, თუ როგორ გამოიყენოს მსგავსება სამშენებლო პრობლემების გადაჭრაში, უნდა დაიყოს ოთხ ეტაპად: მოსამზადებელი, შესავალი, უნარების ფორმირება, უნარების გაუმჯობესება. თითოეულ ეტაპს აქვს თავისი დიდაქტიკური მიზანი, რომელიც მიიღწევა, როდესაც მოსწავლეები ასრულებენ სპეციალურად შემუშავებულ დავალებებს.

მოსამზადებელი ეტაპის დიდაქტიკური მიზანია მოსწავლეთა უნარ-ჩვევების ჩამოყალიბება: ფიგურის ფორმის განმსაზღვრელი მონაცემების გამოკვეთა, ერთმანეთის მსგავსი ფიგურების უამრავი წყვილი; ფორმის განმსაზღვრელი მონაცემების მიხედვით ფიგურის აგება; აშენებული ფიგურიდან სასურველზე გადასვლა.

სამკუთხედების მსგავსების პირველი კრიტერიუმის შესწავლის შემდეგ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ შემდეგი ნაკრები დავალებები:

ააგეთ სამკუთხედი ორი კუთხით. რამდენი გამოსავალი აქვს პრობლემას? რა ელემენტები განსაზღვრავს აგებული სამკუთხედების ფორმას?

დაასახელეთ მსგავსი სამკუთხედები სურათზე 35.

ცნობილია სამკუთხედის შემდეგი ელემენტები: ა) კუთხეები 75 და 25; ბ) სიმაღლე 1,5 სმ; გ) კუთხეები 75 და 25, სიმაღლე 1,5 სმ ამ მონაცემებიდან რომელი განსაზღვრავს 35-ზე გამოსახულ ერთადერთ ფიგურას?

რა კუთხეები განსაზღვრავს ნახატ 35-ზე მოცემული სამკუთხედების ფორმას?

შესაძლებელი იქნება თუ არა 35-ზე გამოსახული ერთ-ერთი სამკუთხედის ზომების დადგენა, თუ ცნობილი გახდება შემდეგი მონაცემები: ა) სამკუთხედის ფუძის კუთხეები; ბ) სამკუთხედის სიმაღლე; გ) გვერდი და კუთხეები ძირში?

მსგავსია თუ არა სამკუთხედები ABC და ABC სურათზე 36, თუ ACAC? თუ ისინი მსგავსია, რა არის მათი მსგავსების კოეფიციენტი?

ანალოგიურად არის შედგენილი სამკუთხედების მსგავსების 2 და 3 ნიშნის შესწავლის შემდეგ მოსწავლეებისთვის წარდგენილი ამოცანების ნაკრები. თუმცა, ამ მახასიათებლიდან მეორეზე გადასვლისას, კითხვები გარკვეულწილად რთულდება, კერძოდ: იცვლება სამკუთხედების მდებარეობა ფიგურებში, შორდება სტანდარტს, იცვლება ელემენტის ნაკრები, რომელიც განსაზღვრავს ერთადერთ ფიგურას. Დავალებებიმაგალითად, შეიძლება იყოს:

1. მსგავსია თუ არა სამკუთხედები ABC და ABC, თუ:

ა) AB=5სმ, BC=7სმ, B=30º, AB=10სმ, BC=14სმ, B=60º;

ბ) AB=5სმ, BC=7სმ, B=30º, AB=10სმ, BC=14სმ, H=30º;

გ) AB=3სმ, BC=5სმ, CA=7სმ, AB=4,5სმ, BC=7,5სმ, CA=10,5სმ;

დ) AB=1,7სმ, BC=3სმ, SA=4,2სმ, AB=34სმ, BC=60სმ, SA=84სმ.

2. ABC მახვილი C კუთხით სამკუთხედში დახაზულია სიმაღლეები AE და BD (სურ. 37). დაამტკიცეთ, რომ ABC ჰგავს EDC-ს.

3. დაამტკიცეთ, რომ მსგავსი სამკუთხედების პერიმეტრები დაკავშირებულია როგორც შესაბამისი გვერდები.

შესავალი ეტაპის დიდაქტიკური მიზანია მსგავსების მეთოდით აუხსნას მოსწავლეებს მშენებლობის პროცესის სტრუქტურას.

ახსნა პრობლემით იწყება.

დავალება. ააგეთ სამკუთხედი, მოცემული ორი კუთხით და მესამე კუთხის წვეროდან გამოყვანილი d სიგრძის ბისექტრი.

მოსწავლეებთან ერთად აანალიზებს დავალებას მასწავლებელი სთავაზობს დავალებებს - კითხვებს, რომლებზედაც პასუხები მოკლედ არის ჩაწერილი დაფაზე. კითხვები შეიძლება იყოს:

1. რა მონაცემები განსაზღვრავს საჭირო სამკუთხედის ფორმას?

2. რა მონაცემები განსაზღვრავს სასურველი სამკუთხედის ზომებს?

3. რამდენი სამკუთხედის აგება შეიძლება ორი კუთხით? როგორი იქნება ყველა აგებული სამკუთხედის კონსტრუქციის ფორმა?

4. რა სეგმენტი უნდა იყოს გამოსახული სასურველის მსგავს სამკუთხედში?

5. როგორ ავაშენოთ სასურველი სამკუთხედი?

კითხვებზე პასუხებს ახლავს დაფაზე თავისუფალი ნახატი (სურ. 38).

ა) ABC: A=, B=;

ბ) ააგეთ C კუთხის ბისექტრი ABC სამკუთხედში,

გ) კონსტრუქცია СN=d, NCD;

დ) სწორი ხაზის გავლება N, AB წერტილის გავლით;

ე) AC=A, BC=B;

ვ) ABC - სასურველი: A=, B= (რადგან ABC ABC 1 მახასიათებლით) და CN=d კონსტრუქციით. სცენის დიდაქტიკური დანიშნულება, რომელიც აყალიბებს განსახილველი ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარს, უკვე ნათლად ჩანს მისი სახელწოდებიდან. ამ ეტაპზე საქმიანობის ძირითადი ფორმა ინდივიდუალური ძიებაა. ის მთავრდება შემაჯამებელი საუბრით.

აქ მოცემულია ამოცანების რამდენიმე მაგალითი, რომელიც შეიძლება შემოთავაზებული იყოს ამ ეტაპზე.

დავალება. წერტილი F მოცემულია AOB კუთხის შიგნით. ააგეთ წერტილი M OA მხარეს, თანაბრად დაშორებული F და OB გვერდიდან.

გადაწყვეტილება.

1. ანალიზი. მოდით მივმართოთ სურათს 39. აშენდეს წერტილი M, შემდეგ MF=MP. ეს ნიშნავს, რომ სასურველი წერტილი M არის MF რადიუსის წრის ცენტრი M ცენტრით, რომელიც ეხება OB მხარეს P წერტილში.

თუ ავიღებთ თვითნებურ წერტილს M OA-ზე და ჩავაგდებთ MP-ს CB-ზე და ვპოულობთ F წრის კვეთას MP რადიუსის M ცენტრით OF წრფესთან, მაშინ MFP იქნება MFP-ის მსგავსი. აქედან გამომდინარეობს საჭირო კონსტრუქცია.

2. მშენებლობა. ჩვენ ვხატავთ OF-ს, ვიღებთ თვითნებურ წერტილს M CA-ზე და ქვევით MP-ზე CB-ზე. ვხატავთ MP რადიუსის წრეს, რომელიც ორიენტირებულია M წერტილზე. მოდით F იყოს ამ წრის გადაკვეთის წერტილი OF-თან. ვხატავთ FM და შემდეგ ვხაზავთ სწორ ხაზს FFM წერტილში. ამ წრფის OA-სთან გადაკვეთის წერტილი M არის საჭირო.

3. მტკიცებულება. ჩატარებული ანალიზიდან ჩანს.

4. კვლევა. პრობლემას აქვს 2 გამოსავალი. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ წრე კვეთს OF-ს 2 წერტილში.

დავალება. ააგეთ სამკუთხედი 2 კუთხით და პერიმეტრით.

გადაწყვეტილება.

1. ანალიზი. მიეცეს კუთხეები და P იყოს სასურველი სამკუთხედის პერიმეტრი (სურ. 40). დავუშვათ, რომ სასურველი სამკუთხედი აგებულია, მაშინ თუ განვიხილავთ რომელიმე ABC სასურველის მსგავსს, P ABC პერიმეტრის შეფარდება P ABC პერიმეტრთან ტოლია AC და AC გვერდების შეფარდებას.

2. მშენებლობა. ავაშენოთ სასურველის მსგავსი ABC. AB სხივზე გამოყავით სეგმენტები AD=P და AD=P, შემდეგ შეაერთეთ D და C წერტილი და გაავლეთ DC ხაზი D წერტილში. მოდით C იყოს წრფის გადაკვეთის წერტილი AC სხივთან. გაავლეთ CB ხაზი C წერტილში და აღნიშნეთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი AD-თან, მაშინ ABC არის საჭირო.

3. მტკიცებულება. ცხადია, ACD მსგავსია ACD-ის, შესაბამისად. ასპექტის თანაფარდობა უდრის მსგავსი ABC და ABC პერიმეტრების თანაფარდობას, ამიტომ პერიმეტრი ABC \u003d P, შესაბამისად, ABC არის სასურველი.

4. კვლევა. ვინაიდან სამკუთხედის ნებისმიერი ორი კუთხის ჯამი<180, то условие +<180 является необходимым условием для данного построения оно и достаточно. Затем указанным выше способом строится искомый АВС. Такой треугольник единственный, ибо любой другой с такими же данными будет иметь периметр Р и следовательно, будет подобен построенному с коэффициентом подобия равным 1, а два подобных треугольника с одним коэффициентом равны.

დავალება. მოცემულია AOB და წერტილი M, რომელიც მდებარეობს ამ კუთხის შიდა რეგიონში. ააგეთ წრე, რომელიც გადის A წერტილს და ეხება AOB კუთხის გვერდებს.

გადაწყვეტილება.

1. ანალიზი. მიეცით AOB და წერტილი M, რომელიც მდებარეობს კუთხის შიდა რეგიონში (ნახ. 41).

მოდით დავხატოთ კიდევ ერთი წრე, რომელიც ეხება AOB-ის გვერდებს. მოდით M იყოს წრის გადაკვეთის წერტილი OM სწორ ხაზთან და განვიხილოთ OMN და OMN (წრის N და N ცენტრები და).

ეს სამკუთხედები ორი კუთხით მსგავსია, ამიტომ სასურველი წრის აგება შეიძლება შემდეგნაირად:

2. მშენებლობა. ვინაიდან სასურველი წრის ცენტრი დევს AOB ბისექტორზე, ვხატავთ კუთხის ბისექტრისს. გარდა ამისა, აქ ვიღებთ N წერტილს და ვქმნით წრეს N ცენტრით, რომელიც ეხება AOB-ს. შემდეგ ვხაზავთ წრფეს SM და ვნიშნავთ M-ით - წრფის წრის გადაკვეთის წერტილს (არის ორი ასეთი წერტილი - M და M - ვიღებთ ერთ-ერთ მათგანს). M წერტილში ვხაზავთ MN წრფეს და მის წრფეს. მაშინ N არის წრფის გადაკვეთა კუთხის ბისექტრთან და არის სასურველი წრის ცენტრი და მისი რადიუსი უდრის MN. მოდით მისი მეშვეობით.

3. მტკიცებულება. კონსტრუქციით წრე მსგავსია, O არის მსგავსების ცენტრი. ეს გამომდინარეობს სამკუთხედების OMN და OMN მსგავსებიდან, მაშასადამე, რადგან წრე ეხება კუთხის გვერდებს, მაშინ წრე ასევე შეეხება კუთხის გვერდებს.

4. კვლევა. პრობლემას ორი გამოსავალი აქვს, რადგან OM იკვეთება წრესთან ორ წერტილში M და M, რომელთაგან თითოეული შეესაბამება თავის წრეს, რომელიც გადის M წერტილში და ეხება AOB-ის გვერდებს.

ეტაპის დიდაქტიკური მიზანი, რომელიც აუმჯობესებს ზემოთ განხილული ტიპის პრობლემების გადაჭრის უნარს, არის ჩამოყალიბებული უნარის გადატანა უფრო რთულ პრობლემებზე, კერძოდ შემდეგ სიტუაციებზე: სასურველი ფიგურა იკავებს გარკვეულ პოზიციას მოცემულ პუნქტებთან მიმართებაში ან ხაზები, ხოლო პრობლემის ერთ-ერთი პირობის აღმოფხვრა იწვევს მსგავსი ან ჰომოთეტური ფიგურების სისტემას. მოვიყვანოთ ასეთი დავალების მაგალითი.

დავალება. ჩაწერეთ კვადრატი მოცემულ სამკუთხედში ისე, რომ მისი ორი წვერო იყოს სამკუთხედის ერთ მხარეს, ხოლო დანარჩენი ორი - მეორე მხარეს.

ამ ეტაპის მიზნების შესაბამისი ამოცანები გამორიცხულია სავალდებულო დონის ამოცანებიდან. ამიტომ, მათ სთავაზობენ მხოლოდ წარმატებულ სტუდენტებს. ამ ეტაპზე ძირითადი ყურადღება ეთმობა სტუდენტების ინდივიდუალურ ძიების აქტივობას.

როგორც წესი, ორი სამკუთხედი განიხილება ერთნაირი, თუ მათ აქვთ ერთი და იგივე ფორმა, თუნდაც სხვადასხვა ზომის იყოს, შემობრუნებული ან თუნდაც თავდაყირა.

ნახატზე ნაჩვენები ორი მსგავსი სამკუთხედის A 1 B 1 C 1 და A 2 B 2 C 2 მათემატიკური წარმოდგენა შემდეგნაირად არის დაწერილი:

∆A 1 B 1 C 1 ~ ∆A 2 B 2 C 2

ორი სამკუთხედი მსგავსია, თუ:

1. ერთი სამკუთხედის თითოეული კუთხე უდრის მეორე სამკუთხედის შესაბამის კუთხეს:
∠A 1 = ∠A 2, ∠B 1 = ∠B 2და ∠C1 = ∠C2

2. ერთი სამკუთხედის გვერდების შეფარდება მეორე სამკუთხედის შესაბამის გვერდებთან ტოლია ერთმანეთის:
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$

3. ურთიერთობები ორი მხარეერთი სამკუთხედის მეორე სამკუთხედის შესაბამისი გვერდები ერთმანეთის ტოლია და ამავე დროს
ამ გვერდებს შორის კუთხეები ტოლია:
$\frac(B_1A_1)(B_2A_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)$ და $\კუთხე A_1 = \კუთხე A_2$
ან
$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)$ და $\კუთხე B_1 = \კუთხე B_2$
ან
$\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=\frac(C_1A_1)(C_2A_2)$ და $\კუთხე C_1 = \კუთხე C_2$

მსგავსი სამკუთხედები არ უნდა აგვერიოს თანაბარ სამკუთხედებთან. თანმიმდევრულ სამკუთხედებს აქვთ შესაბამისი გვერდის სიგრძე. ასე რომ, თანაბარი სამკუთხედებისთვის:

$\frac(A_1B_1)(A_2B_2)=\frac(A_1C_1)(A_2C_2)=\frac(B_1C_1)(B_2C_2)=1$

აქედან გამომდინარეობს, რომ ყველა თანაბარი სამკუთხედი მსგავსია. თუმცა, ყველა მსგავსი სამკუთხედი არ არის ტოლი.

მიუხედავად იმისა, რომ ზემოაღნიშნული აღნიშვნა აჩვენებს, რომ იმისათვის, რომ გავიგოთ არის თუ არა ორი სამკუთხედის მსგავსი, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ სამი კუთხის მნიშვნელობები ან თითოეული სამკუთხედის სამი გვერდის სიგრძე, მსგავსი სამკუთხედების ამოცანების ამოხსნა. საკმარისია თითოეული სამკუთხედისთვის ზემოთ ჩამოთვლილი სამი მნიშვნელობის ცოდნა. ეს მნიშვნელობები შეიძლება იყოს სხვადასხვა კომბინაციებში:

1) თითოეული სამკუთხედის სამი კუთხე (სამკუთხედების გვერდების სიგრძე არ არის საჭირო იცოდეთ).

ან ერთი სამკუთხედის მინიმუმ 2 კუთხე უნდა იყოს მეორე სამკუთხედის 2 კუთხის ტოლი.
ვინაიდან თუ 2 კუთხე ტოლია, მაშინ მესამე კუთხეც ტოლი იქნება (მესამე კუთხის მნიშვნელობა არის 180 - კუთხე1 - კუთხე2)

2) თითოეული სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები (კუთხების ცოდნა არ არის საჭირო);

3) ორი მხარის სიგრძე და მათ შორის კუთხე.

შემდეგ განვიხილავთ მსგავსი სამკუთხედების ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნას. პირველ რიგში განვიხილავთ ამოცანებს, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია უშუალოდ ზემოაღნიშნული წესების გამოყენებით, შემდეგ კი განვიხილავთ რამდენიმე პრაქტიკულ პრობლემას, რომელთა გადაჭრაც შესაძლებელია მსგავსი სამკუთხედების მეთოდით.

მსგავსი სამკუთხედების პრაქტიკული ამოცანები

მაგალითი #1: აჩვენეთ, რომ ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ორი სამკუთხედი მსგავსია.

გადაწყვეტილება:
ვინაიდან ორივე სამკუთხედის გვერდების სიგრძე ცნობილია, აქ შეიძლება გამოყენებულ იქნას მეორე წესი:

$\frac(PQ)(AB)=\frac(6)(2)=3$ $\frac(QR)(CB)=\frac(12)(4)=3$$\frac(PR)(AC )=\frac(15)(5)=3$

მაგალითი #2: აჩვენე, რომ ორი მოცემული სამკუთხედი მსგავსია და იპოვე გვერდების სიგრძე PQდა პიარი.

გადაწყვეტილება:
∠A = ∠Pდა ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(რადგან ∠C = 180 - ∠A - ∠B და ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედები ∆ABC და ∆PQR მსგავსია. აქედან გამომდინარე:
$\frac(AB)(PQ)=\frac(BC)(QR)=\frac(AC)(PR)$

$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AB)(PQ)=\frac(4)(PQ) \მარჯვენა ისარი PQ=\frac(4\ჯერ12)(6) = 8$ და
$\frac(BC)(QR)=\frac(6)(12)=\frac(AC)(PR)=\frac(7)(PR) \მარჯვენა ისარი PR=\frac(7\ჯერ12)(6) = 14$

მაგალითი #3: განსაზღვრეთ სიგრძე ABამ სამკუთხედში.

გადაწყვეტილება:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AEDდა ∠Aსაერთო => სამკუთხედები ΔABCდა ΔADEმსგავსია.

$\frac(BC)(DE) = \frac(3)(6) = \frac(AB)(AD) = \frac(AB)(AB + BD) = \frac(AB)(AB + 4) = \frac(1)(2) \მარჯვენა ისარი 2\ჯერ AB = AB + 4 \მარჯვენა ისარი AB = 4$

მაგალითი #4: სიგრძის განსაზღვრა AD(x)გეომეტრიული ფიგურა ფიგურაში.

სამკუთხედები ∆ABC და ∆CDE მსგავსია, რადგან AB || DE და მათ აქვთ საერთო ზედა კუთხე C.
ჩვენ ვხედავთ, რომ ერთი სამკუთხედი მეორის მასშტაბური ვერსიაა. თუმცა, ეს მათემატიკურად უნდა დავამტკიცოთ.

AB || DE, CD || AC და BC || ევროპა
∠BAC = ∠EDC და ∠ABC = ∠დეკ

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე და საერთო კუთხის არსებობის გათვალისწინებით C, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სამკუთხედები ∆ABC და ∆CDE მსგავსია.

აქედან გამომდინარე:
$\frac(DE)(AB) = \frac(7)(11) = \frac(CD)(CA) = \frac(15)(CA) \Rightarrow CA = \frac(15 \ჯერ 11)(7 ) = $23,57
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

პრაქტიკული მაგალითები

მაგალითი #5: ქარხანა იყენებს დახრილ კონვეიერს პროდუქციის გადასატანად 1 დონიდან მე-2 დონემდე, რომელიც 3 მეტრით მაღლა დგას 1 დონიდან, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე. დახრილ კონვეიერს ემსახურება ერთი ბოლოდან 1 დონემდე, ხოლო მეორე ბოლოდან სამუშაო სადგურამდე, რომელიც მდებარეობს 1 დონის სამუშაო წერტილიდან 8 მეტრის მანძილზე.

ქარხანას სურს კონვეიერის განახლება ახალ დონეზე მისასვლელად, რომელიც 1 დონიდან 9 მეტრით არის მაღლა, კონვეიერის კუთხის შენარჩუნებით.

განსაზღვრეთ მანძილი, რომელზედაც გჭირდებათ ახალი სამუშაო სადგურის დაყენება, რათა დარწმუნდეთ, რომ კონვეიერი მუშაობს ახალ ბოლოში მე-2 დონეზე. ასევე გამოთვალეთ დამატებითი მანძილი, რომელსაც პროდუქტი გაივლის ახალ დონეზე გადასვლისას.

გადაწყვეტილება:

პირველ რიგში, მოდით დავასახელოთ თითოეული გადაკვეთის წერტილი კონკრეტული ასოებით, როგორც ეს ნაჩვენებია სურათზე.

წინა მაგალითებში ზემოთ მოყვანილი მსჯელობიდან გამომდინარე, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ სამკუთხედები ∆ABC და ∆ADE მსგავსია. აქედან გამომდინარე,

$\frac(DE)(BC) = \frac(3)(9) = \frac(AD)(AB) = \frac(8)(AB) \მარჯვენა ისარი AB = \frac(8 \ჯერ 9)(3 ) = 24 მ$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16 მ

ამრიგად, ახალი პუნქტი არსებული წერტილიდან 16 მეტრის დაშორებით უნდა დამონტაჟდეს.

და რადგან სტრუქტურა შედგება მართკუთხა სამკუთხედებისგან, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ პროდუქტის მოგზაურობის მანძილი შემდეგნაირად:

$AE = \sqrt(AD^2 + DE^2) = \sqrt(8^2 + 3^2) = 8,54 მ$

ანალოგიურად, $AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(24^2 + 9^2) = 25,63 m$
რაც არის მანძილი, რომელსაც პროდუქტი გადის იმ მომენტში, როდესაც ის ხვდება არსებულ დონეს.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09 მ
ეს არის დამატებითი მანძილი, რომელიც პროდუქტმა უნდა გაიაროს ახალ დონეზე მისასვლელად.

მაგალითი #6: სტივს სურს მოინახულოს თავისი მეგობარი, რომელიც ახლახან გადავიდა ახალ სახლში. სტივისა და მისი მეგობრის სახლამდე მისასვლელი საგზაო რუკა, სტივისთვის ცნობილი დისტანციებთან ერთად, ნაჩვენებია სურათზე. დაეხმარეთ სტივს უმოკლეს გზაზე მიაღწიოს მეგობრის სახლს.

გადაწყვეტილება:

საგზაო რუკა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გეომეტრიულად შემდეგი ფორმით, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

ჩვენ ვხედავთ, რომ სამკუთხედები ∆ABC და ∆CDE მსგავსია, ამიტომ:
$\frac(AB)(DE) = \frac(BC)(CD) = \frac(AC)(CE)$

დავალების განცხადებაში ნათქვამია, რომ:

AB = 15 კმ, AC = 13,13 კმ, CD = 4,41 კმ და DE = 5 კმ

ამ ინფორმაციის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ შემდეგი დისტანციები:

$BC = \frac(AB \ჯერ CD)(DE) = \frac(15 \ჯერ 4,41)(5) = 13,23 კმ$
$CE = \frac(AC \ჯერ CD)(BC) = \frac(13.13 \ჯერ 4.41)(13.23) = 4.38 კმ$

სტივს შეუძლია მეგობრის სახლამდე მისვლა შემდეგი მარშრუტებით:

A -> B -> C -> E -> G, საერთო მანძილი არის 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61 კმ.

F -> B -> C -> D -> G, საერთო მანძილი არის 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64 კმ.

F -> A -> C -> E -> G, საერთო მანძილი არის 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51 კმ.

F -> A -> C -> D -> G, საერთო მანძილი არის 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54 კმ.

ამიტომ, მარშრუტი #3 არის უმოკლესი და შეიძლება შესთავაზოს სტივს.

მაგალითი 7:
ტრიშას სურს სახლის სიმაღლის გაზომვა, მაგრამ არ აქვს შესაბამისი ხელსაწყოები. მან შეამჩნია, რომ სახლის წინ ხე იზრდებოდა და გადაწყვიტა, შენობის სიმაღლის დასადგენად გამოეყენებინა სკოლაში შეძენილი მარაგი და გეომეტრიის ცოდნა. მან გაზომა მანძილი ხიდან სახლამდე, შედეგი იყო 30 მ. შემდეგ დადგა ხის წინ და დაიწყო უკან დახევა, სანამ შენობის ზედა კიდე არ ჩანდა ხის ზევით. ტრიშამ მონიშნა ადგილი და გაზომა მანძილი მისგან ხემდე. ეს მანძილი იყო 5 მ.

ხის სიმაღლეა 2,8 მ და ტრიშას თვალების სიმაღლე 1,6 მ. დაეხმარეთ ტრიშას შენობის სიმაღლის განსაზღვრაში.

გადაწყვეტილება:

პრობლემის გეომეტრიული გამოსახულება ნაჩვენებია სურათზე.

პირველ რიგში ვიყენებთ ∆ABC და ∆ADE სამკუთხედების მსგავსებას.

$\frac(BC)(DE) = \frac(1.6)(2.8) = \frac(AC)(AE) = \frac(AC)(5 + AC) \Rightarrow 2.8 \ჯერ AC = 1.6 \ჯერ (5 + AC) = 8 + 1.6 \ჯერ AC$

$(2.8 - 1.6) \ჯერ AC = 8 \ მარჯვენა ისარი AC = \frac(8) (1.2) = 6.67$

ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ სამკუთხედების ∆ACB და ∆AFG ან ∆ADE და ∆AFG მსგავსება. მოდით ავირჩიოთ პირველი ვარიანტი.

$\frac(BC)(FG) = \frac(1.6)(H) = \frac(AC)(AG) = \frac(6.67)(6.67 + 5 + 30) = 0.16 \მარჯვენა ისარი H = \frac(1.6 )(0.16) = 10 მ$