ჩვენ გავარკვიეთ, რომ ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ქცევა და ფუნქციები y = ცოდვა x კერძოდ, მთელ რიცხვით ხაზზე (ან არგუმენტის ყველა მნიშვნელობისთვის X) მთლიანად განისაზღვრება მისი ქცევით ინტერვალში 0 < X < π / 2 .

ამიტომ, პირველ რიგში, ჩვენ დავსახავთ ფუნქციას y = ცოდვა x ზუსტად ამ ინტერვალში.

მოდით გავაკეთოთ ჩვენი ფუნქციის მნიშვნელობების შემდეგი ცხრილი;

კოორდინატულ სიბრტყეზე შესაბამისი წერტილების მონიშვნით და გლუვი ხაზით შეერთებით ვიღებთ ნახატზე გამოსახულ მრუდს.

შედეგად მიღებული მრუდი ასევე შეიძლება აშენდეს გეომეტრიულად ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილის შედგენის გარეშე y = ცოდვა x .

1. 1 რადიუსის წრის პირველი მეოთხედი დაყოფილია 8 ტოლ ნაწილად.წრის გამყოფი წერტილების ორდინატები არის შესაბამისი კუთხეების სინუსები.

2. წრის პირველი მეოთხედი შეესაბამება კუთხეებს 0-დან π / 2 . ამიტომ, ღერძზე Xაიღეთ სეგმენტი და გაყავით 8 თანაბარ ნაწილად.

3.დავხაზოთ სწორი ხაზები ღერძის პარალელურად Xდა გაყოფის წერტილებიდან აღვადგენთ პერპენდიკულარებს ჰორიზონტალურ ხაზებთან კვეთაზე.

4. შეაერთეთ გადაკვეთის წერტილები გლუვი ხაზით.

ახლა მოდით შევხედოთ ინტერვალს π / 2 < X < π .
თითოეული არგუმენტის მნიშვნელობა Xამ ინტერვალიდან შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

x = π / 2 + φ

სადაც 0 < φ < π / 2 . შემცირების ფორმულების მიხედვით

ცოდვა ( π / 2 + φ ) = cos φ = ცოდვა ( π / 2 - φ ).

ღერძის წერტილები Xაბსცისით π / 2 + φ და π / 2 - φ სიმეტრიული ერთმანეთის მიმართ ღერძის წერტილის მიმართ Xაბსცისით π / 2 და სინუსები ამ წერტილებში იგივეა. ეს საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ ფუნქციის გრაფიკი y = ცოდვა x ინტერვალში [ π / 2 , π ] ამ ფუნქციის გრაფიკის უბრალოდ სიმეტრიულად ჩვენებით სწორი ხაზის მიმართ ინტერვალში X = π / 2 .

ახლა იყენებს ქონებას უცნაური ფუნქცია y \u003d sin x,

ცოდვა (- X) = -ცოდვა X,

ადვილია ამ ფუნქციის დახატვა ინტერვალში [- π , 0].

ფუნქცია y \u003d sin x პერიოდულია 2π პერიოდით ;. მაშასადამე, ამ ფუნქციის მთელი გრაფიკის ასაგებად, საკმარისია ნახატზე ნაჩვენები მრუდი პერიოდულად გავაგრძელოთ წერტილით მარცხნივ და მარჯვნივ. 2π .

მიღებული მრუდი ე.წ სინუსოიდი . ეს არის ფუნქციის გრაფიკი y = ცოდვა x.

ფიგურა კარგად ასახავს ფუნქციის ყველა იმ თვისებას y = ცოდვა x , რაც ადრე ჩვენ მიერ იყო დადასტურებული. გაიხსენეთ ეს თვისებები.

1) ფუნქცია y = ცოდვა x განსაზღვრულია ყველა მნიშვნელობისთვის X , ისე რომ მისი დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

2) ფუნქცია y = ცოდვა x შეზღუდული. ყველა მნიშვნელობა არის -1-დან 1-მდე, ამ ორი რიცხვის ჩათვლით. ამრიგად, ამ ფუნქციის დიაპაზონი განისაზღვრება -1 უტოლობით < ზე < 1. როცა X = π / 2 + 2 კ π ფუნქცია იღებს ყველაზე დიდ მნიშვნელობებს 1-ის ტოლი და x = - π / 2 + 2 კ π - უმცირესი მნიშვნელობები - 1-ის ტოლი.

3) ფუნქცია y = ცოდვა x კენტია (სინუსოიდი სიმეტრიულია საწყისის მიმართ).

4) ფუნქცია y = ცოდვა x პერიოდული პერიოდით 2 π .

5) ინტერვალებით 2n π < x < π + 2n π (n არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი) ის დადებითია და ინტერვალებით π + 2 კ π < X < 2π + 2 კ π (k არის ნებისმიერი მთელი რიცხვი) უარყოფითია. x = k-სთვის π ფუნქცია ნულამდე მიდის. ამიტომ, x არგუმენტის ეს მნიშვნელობები (0; ± π ; ±2 π ; ...) ეწოდება ფუნქციის ნულები y = ცოდვა x

6) ინტერვალებით - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π ფუნქცია y = ცოდვა x იზრდება მონოტონურად და ინტერვალებით π / 2 + 2 კ π < X < 3π / 2 + 2 კ π მონოტონურად მცირდება.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ ფუნქციის ქცევას y = ცოდვა x წერტილთან ახლოს X = 0 .

მაგალითად, sin 0.012 ≈ 0.012; sin (-0.05) ≈ -0,05;

sin2° = ცოდვა π 2 / 180=ცოდვა π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის

| ცოდვა x| < | x | . (1)

მართლაც, მოდით, ფიგურაში ნაჩვენები წრის რადიუსი იყოს 1-ის ტოლი,
ა / AOB = X.

მერე ცოდვა x= AC. მაგრამ AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. ამ რკალის სიგრძე აშკარად ტოლია X, რადგან წრის რადიუსი არის 1. ასე რომ, 0-სთვის< X < π / 2

ცოდვა x< х.

აქედან გამომდინარე, ფუნქციის უცნაურობის გამო y = ცოდვა x ადვილია იმის ჩვენება, რომ როდესაც - π / 2 < X < 0

| ცოდვა x| < | x | .

საბოლოოდ, ზე x = 0

| sin x | = | x |.

ამრიგად, | X | < π / 2 დადასტურებულია უტოლობა (1). ფაქტობრივად, ეს უთანასწორობა ასევე მართალია | x | > π / 2 იმის გამო, რომ | | ცოდვა X | < 1, ა π / 2 > 1

Სავარჯიშოები

1.ფუნქციის განრიგის მიხედვით y = ცოდვა x განსაზღვრეთ: ა) ცოდვა 2; ბ) ცოდვა 4; გ) ცოდვა (-3).

2. განრიგის ფუნქცია y = ცოდვა x განსაზღვრეთ რომელი რიცხვი ინტერვალიდან
[ - π / 2 , π / 2 ] აქვს სინუსი ტოლი: ა) 0,6; ბ) -0.8.

3. დაგეგმილი ფუნქცია y = ცოდვა x დაადგინეთ რომელ რიცხვებს აქვთ სინუსი,
უდრის 1/2-ს.

4. იპოვეთ დაახლოებით (ცხრილების გამოყენების გარეშე): ა) ცოდვა 1°; ბ) ცოდვა 0,03;
გ) ცოდვა (-0,015); დ) ცოდვა (-2°30").

ფუნქციის გრაფიკის ტრანსფორმაცია

ამ სტატიაში მე გაგაცნობთ ფუნქციის გრაფიკების წრფივ გარდაქმნებს და გაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენოთ ეს გარდაქმნები ფუნქციის გრაფიკის მისაღებად ფუნქციის გრაფიკიდან.

ფუნქციის წრფივი ტრანსფორმაცია არის თავად ფუნქციის ან/და მისი არგუმენტის ტრანსფორმაცია ფორმაში , ასევე არგუმენტის და/ან ფუნქციების მოდულის შემცველი ტრანსფორმაცია.

შემდეგი მოქმედებები იწვევს უდიდეს სირთულეებს გრაფიკების შედგენისას ხაზოვანი გარდაქმნების გამოყენებით:

1. საბაზისო ფუნქციის იზოლაცია, ფაქტობრივად, რომლის გრაფიკს ჩვენ გარდაქმნით.
2. გარდაქმნების რიგის განმარტებები.

დასწორედ ამ პუნქტებზე ვისაუბრებთ უფრო დეტალურად.

მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუნქციას

ის დაფუძნებულია ფუნქციაზე. მოდით დავურეკოთ მას ძირითადი ფუნქცია.

ფუნქციის შედგენისას ვაკეთებთ საბაზისო ფუნქციის გრაფიკის გარდაქმნებს.

თუ ფუნქციის გარდაქმნას ვაპირებთ იმავე თანმიმდევრობით, რომლითაც მისი მნიშვნელობა იქნა ნაპოვნი არგუმენტის გარკვეული მნიშვნელობისთვის, მაშინ

მოდით განვიხილოთ რა ტიპის წრფივი არგუმენტები და ფუნქციების გარდაქმნები არსებობს და როგორ განვახორციელოთ ისინი.

არგუმენტის გარდაქმნები.

1. f(x) f(x+b)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. ფუნქციის გრაფიკს ვცვლით OX ღერძის გასწვრივ |b|-ით ერთეულები

• დარჩა თუ b>0
• უფლება თუ ბ<0

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გადაიტანეთ ის 2 ერთეულით მარჯვნივ:

2. f(x) f(kx)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. გრაფიკის წერტილების აბსციები გავყოთ k-ზე, დავტოვოთ წერტილების ორდინატები უცვლელად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გრაფიკის წერტილების ყველა აბსცისი გაყავით 2-ზე, დატოვეთ ორდინატები უცვლელი:

3. f(x) f(-x)

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OY ღერძის მიმართ.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OY ღერძის მიმართ:

4. f(x) f(|x|)

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. ვშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარცხნივ, გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარჯვნივ, ვასრულებთ მას სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ:

ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს (ეს არის ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც გადაადგილებულია OX ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით მარცხნივ):

2. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OY-ის მარცხნივ (x<0) стираем:

3. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OY ღერძის მარჯვნივ (x>0) სრულდება სიმეტრიულად OY ღერძის მიმართ:

Მნიშვნელოვანი! არგუმენტის კონვერტაციის ორი ძირითადი წესი.

1. ყველა არგუმენტის ტრანსფორმაცია ხორციელდება OX ღერძის გასწვრივ

2. არგუმენტის ყველა ტრანსფორმაცია შესრულებულია „პირიქით“ და „საპირისპირო თანმიმდევრობით“.

მაგალითად, ფუნქციაში, არგუმენტების გარდაქმნების თანმიმდევრობა ასეთია:

1. ვიღებთ მოდულს x-დან.

2. დაამატეთ რიცხვი 2 მოდულო x-ს.

მაგრამ ჩვენ გავაკეთეთ შეთქმულება საპირისპირო თანმიმდევრობით:

ჯერ შევასრულეთ ტრანსფორმაცია 2. - გრაფიკი 2 ერთეულით გადავწიეთ მარცხნივ (ანუ წერტილების აბსციები შემცირდა 2-ით, თითქოს "პირიქით")

შემდეგ ჩვენ შევასრულეთ ტრანსფორმაცია f(x) f(|x|).

მოკლედ, გარდაქმნების თანმიმდევრობა იწერება შემდეგნაირად:

ახლა მოდით ვისაუბროთ ფუნქციის ტრანსფორმაცია . ტრანსფორმაციები ხდება

1. OY ღერძის გასწვრივ.

2. იმავე თანმიმდევრობით, რომლითაც სრულდება მოქმედებები.

ეს არის გარდაქმნები:

1. f(x)f(x)+D

2. გადაიტანეთ იგი OY ღერძის გასწვრივ |D|-ით ერთეულები

• ზემოთ, თუ D>0
• ქვემოთ თუ დ<0

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვხატავთ ფუნქციას

2. გადაიტანეთ იგი OY ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით ზემოთ:

2. f(x)Af(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატებს ვამრავლებთ A-ზე, აბსცისებს ვტოვებთ უცვლელად.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა

2. გრაფიკის ყველა წერტილის ორდინატებს ვამრავლებთ 2-ზე:

3.f(x)-f(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

მოდით დავხატოთ ფუნქცია.

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს.

2. ჩვენ მას სიმეტრიულად ვაჩვენებთ OX ღერძის მიმართ.

4. f(x)|f(x)|

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, უცვლელი რჩება, გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, გამოსახულია სიმეტრიულად ამ ღერძის მიმართ.

მოდით დავხატოთ ფუნქცია

1. ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს. ის მიიღება ფუნქციის გრაფიკის OY ღერძის გასწვრივ 2 ერთეულით ქვემოთ გადატანით:

2. ახლა გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, სიმეტრიულად იქნება ნაჩვენები ამ ღერძის მიმართ:

და ბოლო ტრანსფორმაცია, რომელსაც, მკაცრად რომ ვთქვათ, არ შეიძლება ეწოდოს ფუნქციის ტრანსფორმაცია, რადგან ამ ტრანსფორმაციის შედეგი აღარ არის ფუნქცია:

|y|=f(x)

1. ვხატავთ ფუნქციას y=f(x)

2. ვშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ, შემდეგ ვასრულებთ გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, ამ ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

ავაშენოთ განტოლების გრაფიკი

1. ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს:

2. ჩვენ ვშლით გრაფიკის ნაწილს, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ქვემოთ:

3. გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს OX ღერძის ზემოთ, სრულდება ამ ღერძის მიმართ სიმეტრიულად.

და ბოლოს, მე გთავაზობთ უყუროთ ვიდეო გაკვეთილს, რომელშიც მე ვაჩვენებ ნაბიჯ-ნაბიჯ ალგორითმს ფუნქციის გრაფიკის გამოსახატავად

ამ ფუნქციის გრაფიკი ასე გამოიყურება:

§ 11. სინუსის და კოსინუსის გრაფიკები
გაიმეორეთ: § 5. საათი, ან ტრიგონომეტრიის თანამედროვე ხედი.
დავხატოთ ფუნქცია y = sin x. ამავე დროს, ჩვენ ისევ
§ 5 საათები შესაფერისია.
თუ x = 0, მაშინ, ცხადია, y = 0. როდესაც x
დნება 0-დან π/2-მდე, რიცხვი sin x იზრდება 0-დან
1 (წარმოიდგინეთ, როგორ არის კონ-
ისრები ჩვენს ხელმოწერის საათებზე). ნაკვეთი
გრაფიკი x-სთვის 0-დან π/2-მდე ნაჩვენებია ნახ. 11.1.
მცირე x-ისთვის ჩვენი გრაფიკი ახლოს არის სწორ ხაზთან
y = x: დაიმახსოვრე ეს მცირე x-ისთვის
მიახლოებითი ფორმულა sin x ≈ x. Შეგიძლია თქვა
რომ წრფე y = x არის განტოლების მრუდის ტანგენსი
y = sin x წერტილში (0; 0). ასევე გაითვალისწინეთ, რომ გრაფიკის ჩვენი მონაკვეთი
მდებარეობს ამ სწორი ხაზის ქვემოთ: ბოლოს და ბოლოს, მწვავე კუთხეებისთვის x, იზომება
რადიანებში, sin x< x.
რაც უფრო ახლოს არის x π/2-თან, მით უფრო ბრტყელი მიდის ჩვენი მრუდი. Ეს არის
ხდება იმის გამო, რომ ისრის ბოლო პროექცია y ღერძზე,
სეგმენტის გასწვრივ რხევა [−1; 1], ყველაზე სწრაფად მოძრაობს შუაში
სეგმენტი და ანელებს მის კიდეებზე: ჩვენ უკვე განვიხილეთ ეს § 5-ში.

π-დან 3π/2-მდე, sin x მცირდება 0-დან -1-მდე და როდესაც x იზრდება 3π/2-დან 2π-მდე, ის იზრდება -1-დან 0-მდე. ასე რომ, გრაფიკის განყოფილება 0 6 x 6 2π-ისთვის მზად არის (ნახ. 11.2 ბ). სხვათა შორის, გაითვალისწინეთ, რომ ნახატზე 11.2 a მრუდი სიმეტრიულია ვერტიკალური სწორი ხაზის მიმართ განტოლებით x = π/2. მართლაც, შემცირების ფორმულა sin(π/2 - x) = sin x გვიჩვენებს, რომ წერტილებს აბსცისებით x და π - x აქვთ იგივე ორდინატები გრაფიკზე და, შესაბამისად, სიმეტრიულია x = π/ სწორი ხაზის მიმართ. 2 (სურ. 11.3 ა).

პრობლემა 11.1. დაწერეთ სწორი ხაზის განტოლება y = sin x ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსი კოორდინატების მქონე წერტილში (π; 0).

ნახ. 11.2 b-ის მრუდი ცენტრალურად სიმეტრიულია კოორდინატების მქონე წერტილის მიმართ (π; 0); ეს გამომდინარეობს სხვა შემცირების ფორმულიდან: sin(2π - x) = - sin x (ნახ. 11.3 ბ).

მას შემდეგ რაც გვექნება y \u003d sin x ფუნქციის გრაფიკის მონაკვეთი 0 6 x 6 2π-ისთვის, მთელი გრაფიკი უკვე მარტივია. მართლაც, როდესაც ისრის ბოლომ გაიარა გზა 2π, ისარი დაუბრუნდა საწყის მდგომარეობას; როგორც თქვენ წინ მიიწევთ, ყველაფერი მეორდება. ეს ნიშნავს, რომ გრაფიკი შედგება იგივე ნაწილებისგან, როგორც 11.2 ბ. y = sin x ფუნქციის საბოლოო გრაფიკი ჰგავს ნახ. 11.4. ამავდროულად, გრაფიკის მონაკვეთები x , , [−2π; 0]. . . მიღებულია 11.2 ბ ნახაზის გრაფიკიდან x-ღერძის გასწვრივ 2π, 4π, −2π, გადაადგილებით. . . შესაბამისად. ეს არის მხოლოდ ხელახალი ჩამოყალიბება იმისა, რომ ფუნქციას y = sin x აქვს პერიოდი 2π.

ბრინჯი. 11.4. y = sinx.

ბრინჯი. 11.5. y = cos x.

ახლა დავხატოთ ფუნქცია y = cos x. შესაძლებელი იქნებოდა მისი აგება ისევე, როგორც ჩვენ ავაშენეთ სინუს გრაფიკი. თუმცა, ჩვენ ავირჩევთ განსხვავებულ გზას, რომელიც საშუალებას მოგვცემს გამოვიყენოთ ის ინფორმაცია, რაც უკვე გვაქვს.

კერძოდ, ვიყენებთ შემცირების ფორმულას sin(x + π/2) = cos x. ეს ფორმულა შეიძლება გავიგოთ შემდეგნაირად: ფუნქცია y = cos x იღებს იგივე მნიშვნელობებს, როგორც ფუნქცია y = sin x, მაგრამ π/2 უფრო ადრე. მაგალითად, ფუნქცია y = sin x იღებს მნიშვნელობას 1 x = π/2-ზე, ხოლო ფუნქცია y = cos x = sin(x + π/2) იღებს იგივე მნიშვნელობას უკვე x = 0-ზე. გრაფიკზე, ეს ნიშნავს შემდეგს: თითოეული გრაფიკის წერტილისთვის y \u003d sin x არის გრაფიკის წერტილი y \u003d cos x, რომლის ორდინატი იგივეა, ხოლო აბსციზა არის π / 2 ნაკლები (ნახ. 11.5). მაშასადამე, გრაფიკი y = cos x მიიღება, თუ გრაფიკი y = sin x გადაინაცვლებს x-ღერძის გასწვრივ π/2-ით მარცხნივ. ნახაზზე 11.5, y = cos x ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია მყარი მრუდის სახით.

ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ კოსინუსის გრაფიკი მიიღება გარდაქმნით

ზაცია (გადანაცვლება) სინუს გრაფიკიდან. თავისთავად საინტერესოა შემთხვევები, როდესაც ერთი ფუნქციის გრაფიკის მიღება შესაძლებელია სხვა ფუნქციის გრაფიკიდან ტრანსფორმაციის გზით, ასე რომ ვთქვათ მათ შესახებ რამდენიმე სიტყვა.

როგორ გამოიყურება, მაგალითად, y = 2 sin x ფუნქციის გრაფიკი? ნათელია, რომ ამ გრაფიკის წერტილების ორდინატები მიიღება გრაფიკის შესაბამისი წერტილების ორდინატებიდან y \u003d sin x გამრავლებული 2-ზე, ასე რომ ჩვენი გრაფიკი ნაჩვენები იქნება როგორც მყარი მრუდი ნახ. 11.6. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გრაფიკი y = 2 sin x მიიღება გრაფიკიდან y = sin x y ღერძის გასწვრივ ორჯერ გაჭიმვით.

ბრინჯი. 11.6. y = 2 ცოდვა x.

ბრინჯი. 11.7. y = ცოდვა 2x.

ახლა დავხატოთ ფუნქცია y = sin 2x. ადვილი გასაგებია

ბრინჯი. 11.8. y = sin (2x + π/3).

რომ ფუნქცია y = sin 2x იღებს იგივე მნიშვნელობებს, როგორც ფუნქცია y = sin x, მაგრამ ორჯერ მეტი x-ის მნიშვნელობებით. მაგალითად, ფუნქცია y = sin x იღებს მნიშვნელობას 1 x = π/2-ზე, ხოლო ფუნქცია y = sin 2x უკვე x = π/4-ზე; სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გრაფიკის მისაღებად y = sin 2x, აუცილებელია y = sin x გრაფის ყველა წერტილის აბსცისის განახევრება და ორდინატების უცვლელად დატოვება. რა ხდება ნაჩვენებია ნახ. 11.7. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გრაფიკი y \u003d sin 2x (მყარი ხაზი ნახ. 11.7-ზე) მიღებულია გრაფიკიდან y \u003d sin x 2-ჯერ შემცირებით y-ღერძზე.

ვცადოთ y = sin(2x + π/3) ფუნქციაც გამოვსახოთ. ნათელია, რომ ის უნდა იყოს მიღებული რაიმე სახის გარდაქმნით გრაფიკიდან y = sin 2x. ერთი შეხედვით, შეიძლება ჩანდეს, რომ ეს ტრანსფორმაცია არის მარცხნივ ცვლა π/3-ით აბსცისის ღერძის გასწვრივ, ნახ. 11.5-ზე ნაჩვენები ანალოგიით. თუმცა, ასე რომ ყოფილიყო, მაშინ აღმოჩნდება, რომ, მაგალითად, ფუნქცია y = sin(2x + π/3) იღებს 1 მნიშვნელობას x = π/4 − π/3 = π/12, რაც არ შეესაბამება სიმართლეს (შეამოწმეთ!). სწორი მსჯელობაა: sin(2x + π/3) = sin 2(x + π/6), ამიტომ ფუნქცია y = sin(2x+π/3) იღებს იგივე მნიშვნელობებს, რასაც ფუნქცია y = sin 2x. , მაგრამ π/6 ადრე. ასე რომ, მარცხნივ ცვლა არის არა π / 3, არამედ π / 6-ით (ნახ. 11.8).

მოსახვევებს, რომლებიც წარმოადგენს y \u003d a sin bx ფუნქციების გრაფიკებს, სადაც a 6 \u003d 0, b 6 \u003d 0, ეწოდება სინუსოიდები. გაითვალისწინეთ, რომ „კოსინუსის“ მრუდის შემოღება საჭირო არ არის: როგორც ვნახეთ, კოსინუსების გრაფიკი იგივე მრუდია, როგორც სინუს გრაფიკი, მხოლოდ ის განსხვავებულად მდებარეობს.

naya კოორდინატთა ღერძების მიმართ.

პრობლემა 11.2. როგორია ნახ. მონიშნული წერტილების კოორდინატები. 11.8 კითხვის ნიშნები?

პრობლემა 11.3. აიღეთ სანთელი, თხელი ფურცელი და ბასრი დანა. სანთლის ირგვლივ შემოახვიეთ ქაღალდის ფურცელი რამდენიმე ფენად და ფრთხილად დაჭერით ეს სანთელი ქაღალდთან ერთად დანით დახრილად. ახლა გახსენით ქაღალდი. დაინახავთ, რომ ის ტალღოვანი ხაზის გასწვრივ იყო გაჭრილი. დაამტკიცეთ, რომ ეს ტალღოვანი ხაზი არის სინუსოიდი.

პრობლემა 11.4. დახატეთ ფუნქციის გრაფიკები:

დ) y = 3 cos 2x;

ა) y = − sinx; ბ)

გ) y = cos(x/2);

ზ) y = sin(πx). ე)

კომენტარი. თუ თქვენ ასახავთ ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებს ფურცელზე, მოსახერხებელია აირჩიოთ ოდნავ განსხვავებული მასშტაბები ღერძების გასწვრივ ისე, რომ უჯრედების მთელი რიცხვი შეესაბამებოდეს π რიცხვს x ღერძზე. მაგალითად, ხშირად ირჩევენ ასეთ შკალას: ორდინატთა ღერძის გასწვრივ 1 სიგრძის სეგმენტი იკავებს ორ უჯრედს, აბსცისის ღერძის გასწვრივ, π სიგრძის სეგმენტი იკავებს 6 უჯრედს.

პრობლემა 11.5. დახატეთ ფუნქციის გრაფიკები:

ა) y \u003d arcsin x; ბ) y = arccos x.

ვნახოთ, როგორ გამოიყურება ჩვენთვის უკვე ცნობილი განტოლებების ამონახსნები sin x = a და cos x = a გრაფიკებზე. ეს ამონახსნები არის y = a ჰორიზონტალური წრფის გადაკვეთის წერტილების აბსცისები ფუნქციის გრაფიკით y = sin x (შესაბამისად, y = cos x). ნახ. 11.9, 11.10 ნათლად ჩანს −1-ზე მიღებული ამონახსნების ორი სერია< a < 1.

სინუსის და კოსინუსების გრაფიკები გვიჩვენებს, რა ინტერვალებით იზრდება ეს ფუნქციები და რა ინტერვალებით მცირდება. ნათელია, მაგალითად, რომ ფუნქცია y = sin x იზრდება ინტერვალებზე [−π/2; π/2],

აირჩიეთ რუბრიკა წიგნები მათემატიკა ფიზიკა კონტროლი და წვდომის კონტროლი ხანძარსაწინააღმდეგო სასარგებლო აღჭურვილობა მომწოდებლები საზომი ხელსაწყოები (KIP) ტენიანობის საზომი - მომწოდებლები რუსეთის ფედერაციაში. წნევის გაზომვა. ხარჯების გაზომვა. ნაკადის მრიცხველები. ტემპერატურის გაზომვა დონის გაზომვა. დონის მრიცხველები. თხრილის გარეშე ტექნოლოგიები საკანალიზაციო სისტემები. ტუმბოების მომწოდებლები რუსეთის ფედერაციაში. ტუმბოს შეკეთება. მილსადენის აქსესუარები. პეპლის სარქველები (დისკის სარქველები). გამშვები სარქველები. საკონტროლო არმატურა. ბადისებრი ფილტრები, ტალახის შემგროვებლები, მაგნიტო-მექანიკური ფილტრები. ბურთიანი სარქველები. მილები და მილსადენების ელემენტები. ბეჭდები ძაფებისთვის, ფლანგებისთვის და ა.შ. ელექტროძრავები, ელექტროძრავები… სახელმძღვანელო ანბანები, დასახელებები, ერთეულები, კოდები… ანბანი, მათ შორის. ბერძნული და ლათინური. სიმბოლოები. კოდები. ალფა, ბეტა, გამა, დელტა, epsilon… ელექტრო ქსელების დასახელებები. ერთეულის კონვერტაცია დეციბელი. ოცნება. ფონი. რისი ერთეული? წნევის და ვაკუუმის საზომი ერთეულები. წნევის და ვაკუუმის ერთეულების კონვერტაცია. სიგრძის ერთეული. სიგრძის ერთეულების თარგმნა (წრფივი ზომა, მანძილი). მოცულობის ერთეული. მოცულობის ერთეულების კონვერტაცია. სიმკვრივის ერთეულები. სიმკვრივის ერთეულების კონვერტაცია. ტერიტორიის ერთეულები. ფართობის ერთეულების კონვერტაცია. სიხისტის საზომი ერთეულები. სიხისტის ერთეულების კონვერტაცია. ტემპერატურის ერთეულები. ტემპერატურული ერთეულების კონვერტაცია კელვინში / ცელსიუსში / ფარენჰეიტში / რანკინში / დელისში / ნიუტონში / კუთხეების საზომი ერთეულები ("კუთხური ზომები"). გადააქციეთ კუთხური სიჩქარისა და კუთხური აჩქარების ერთეულები. სტანდარტული გაზომვის შეცდომები გაზები განსხვავდება როგორც სამუშაო მედია. აზოტი N2 (მაცივარი R728) ამიაკი (მაცივარი R717). ანტიფრიზი. წყალბადი H^2 (მაცივარი R702) წყლის ორთქლი. ჰაერი (ატმოსფერო) ბუნებრივი აირი – ბუნებრივი აირი. ბიოგაზი არის კანალიზაციის გაზი. თხევადი გაზი. NGL. LNG. პროპან-ბუტანი. ჟანგბადი O2 (მაცივარი R732) ზეთები და საპოხი მასალები მეთანი CH4 (მაცივარი R50) წყლის თვისებები. ნახშირბადის მონოქსიდი CO. ნახშირბადის მონოქსიდი. ნახშირორჟანგი CO2. (მაცივარი R744). ქლორი Cl2 წყალბადის ქლორიდი HCl, ჰიდროქლორინის მჟავა. მაცივრები (მაცივრები). მაცივარი (მაცივარი) R11 - ფტორტრიქლორმეთანი (CFCI3) მაცივარი (მაცივარი) R12 - დიფტორდიქლორმეთანი (CF2CCl2) მაცივარი (მაცივარი) R125 - პენტაფტორეთანი (CF2HCF3). მაცივარი (მაცივარი) R134a - 1,1,1,2-ტეტრაფტორეთანი (CF3CFH2). მაცივარი (მაცივარი) R22 - დიფტორქლორმეთანი (CF2ClH) მაცივარი (მაცივარი) R32 - დიფტორმეთანი (CH2F2). მაცივარი (მაცივარი) R407C - R-32 (23%) / R-125 (25%) / R-134a (52%) / პროცენტი მასის მიხედვით. სხვა მასალები - თერმული თვისებები აბრაზიული - ღრძილები, სისუფთავე, სახეხი აღჭურვილობა. ნიადაგი, მიწა, ქვიშა და სხვა ქანები. ნიადაგებისა და ქანების შესუსტების, შეკუმშვისა და სიმკვრივის ინდიკატორები. შეკუმშვა და შესუსტება, დატვირთვები. ფერდობის კუთხეები. რაფების სიმაღლეები, ნაგავსაყრელები. Ტყე. ხე-ტყე. ხე-ტყე. ჟურნალები. შეშა… კერამიკა. ადჰეზივები და წებოს სახსრები ყინული და თოვლი (წყლის ყინული) ლითონები ალუმინი და ალუმინის შენადნობები სპილენძი, ბრინჯაო და სპილენძი ბრინჯაო სპილენძი სპილენძი (და სპილენძის შენადნობების კლასიფიკაცია) ნიკელი და შენადნობები შესაბამისობა შენადნობის კლასებთან ფოლადები და შენადნობები ნაგლინი ლითონის პროდუქტების წონების საცნობარო ცხრილები მილები. +/-5% მილის წონა. ლითონის წონა. ფოლადების მექანიკური თვისებები. თუჯის მინერალები. აზბესტი. საკვები პროდუქტები და საკვები ნედლეული. თვისებები და ა.შ. ბმული პროექტის სხვა მონაკვეთზე. რეზინები, პლასტმასი, ელასტომერები, პოლიმერები. ელასტომერების დეტალური აღწერა PU, TPU, X-PU, H-PU, XH-PU, S-PU, XS-PU, T-PU, G-PU (CPU), NBR, H-NBR, FPM, EPDM, MVQ , TFE/P, POM, PA-6, TPFE-1, TPFE-2, TPFE-3, TPFE-4, TPFE-5 (PTFE მოდიფიცირებული), მასალების სიმტკიცე. სოპრომატი. Სამშენებლო მასალები. ფიზიკური, მექანიკური და თერმული თვისებები. ბეტონი. ბეტონის ხსნარი. გამოსავალი. სამშენებლო ფიტინგები. ფოლადი და სხვები. მასალების გამოყენებადობის ცხრილები. ქიმიური წინააღმდეგობა. ტემპერატურის გამოყენებადობა. კოროზიის წინააღმდეგობა. დალუქვის მასალები - სახსრის დალუქები. PTFE (ფტოროპლასტი-4) და წარმოებული მასალები. FUM ლენტი. ანაერობული ადჰეზივები არასაშრობი (არაგამკვრივება) დალუქვა. სილიკონის დალუქვა (organosilicon). გრაფიტი, აზბესტი, პარონიტები და მიღებული მასალები პარონიტი. თერმულად გაფართოებული გრაფიტი (TRG, TMG), კომპოზიციები. Თვისებები. განაცხადი. წარმოება. სელის სანიტარიული ბეჭდები რეზინის ელასტომერებისგან იზოლატორები და თბოსაიზოლაციო მასალები. (პროექტის განყოფილების ბმული) საინჟინრო ტექნიკა და ცნებები აფეთქებისგან დაცვა. გარემოს დაცვა. კოროზია. კლიმატური ცვლილებები (მასალის თავსებადობის ცხრილები) წნევის, ტემპერატურის, შებოჭილობის კლასები წნევის ვარდნა (დაკარგვა). - საინჟინრო კონცეფცია. Ცეცხლდამცავი. ხანძრები. ავტომატური მართვის (რეგულირების) თეორია. TAU მათემატიკური სახელმძღვანელო არითმეტიკა, გეომეტრიული პროგრესიები და ზოგიერთი რიცხვითი სერიების ჯამები. გეომეტრიული ფიგურები. თვისებები, ფორმულები: პერიმეტრი, ფართობები, მოცულობა, სიგრძე. სამკუთხედები, ოთხკუთხედები და ა.შ. გრადუსი რადიანამდე. ბრტყელი ფიგურები. თვისებები, გვერდები, კუთხეები, ნიშნები, პერიმეტრები, ტოლობები, მსგავსებები, აკორდები, სექტორები, ფართობები და ა.შ. არარეგულარული ფიგურების არეები, არარეგულარული სხეულების მოცულობა. სიგნალის საშუალო მნიშვნელობა. ფართობის გამოთვლის ფორმულები და მეთოდები. გრაფიკები. გრაფიკების აგება. სქემების კითხვა. ინტეგრალური და დიფერენციალური გაანგარიშება. ტაბულური წარმოებულები და ინტეგრალები. წარმოებული ცხრილი. ინტეგრალების ცხრილი. პრიმიტივების ცხრილი. იპოვეთ წარმოებული. იპოვნეთ ინტეგრალი. დიფურია. რთული რიცხვები. წარმოსახვითი ერთეული. ხაზოვანი ალგებრა. (ვექტორები, მატრიცები) მათემატიკა პატარებისთვის. საბავშვო ბაღი - მე-7 კლასი. მათემატიკური ლოგიკა. განტოლებათა ამოხსნა. კვადრატული და ბიკვადრატული განტოლებები. ფორმულები. მეთოდები. დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა პირველიდან მაღალი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების მაგალითები. ამონახსნების მაგალითები უმარტივესი = ანალიტიკურად ამოსახსნელი პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების. საკოორდინაციო სისტემები. მართკუთხა კარტეზიული, პოლარული, ცილინდრული და სფერული. ორგანზომილებიანი და სამგანზომილებიანი. რიცხვითი სისტემები. რიცხვები და ციფრები (რეალური, რთული, ....). რიცხვითი სისტემების ცხრილები. ტეილორის, მაკლარინის (=მაკლარენის) და პერიოდული ფურიეს სერიების სიმძლავრეები. ფუნქციების დაშლა სერიებად. ლოგარითმების ცხრილები და ძირითადი ფორმულები რიცხვითი მნიშვნელობების ცხრილები ბრედის ცხრილები. ალბათობის თეორია და სტატისტიკა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, ფორმულები და გრაფიკები. sin, cos, tg, ctg….ტრიგონომეტრიული ფუნქციების მნიშვნელობები. ტრიგონომეტრიული ფუნქციების შემცირების ფორმულები. ტრიგონომეტრიული იდენტობები. რიცხვითი მეთოდები აღჭურვილობა - სტანდარტები, ზომები საყოფაცხოვრებო ტექნიკა, საყოფაცხოვრებო ტექნიკა. სადრენაჟო და სადრენაჟო სისტემები. სიმძლავრეები, ტანკები, რეზერვუარები, ტანკები. ინსტრუმენტაცია და კონტროლი ინსტრუმენტაცია და ავტომატიზაცია. ტემპერატურის გაზომვა. კონვეიერები, ქამარი კონვეიერები. კონტეინერები (ბმული) ლაბორატორიული აღჭურვილობა. ტუმბოები და სატუმბი სადგურები ტუმბოები სითხეებისა და რბილობებისთვის. საინჟინრო ჟარგონი. ლექსიკონი. სკრინინგი. ფილტრაცია. ნაწილაკების გამოყოფა ბადეებისა და საცრების მეშვეობით. თოკების, კაბელების, სადენების, სხვადასხვა პლასტმასისგან დამზადებული თოკების სავარაუდო სიმტკიცე. რეზინის პროდუქტები. სახსრები და დანართები. დიამეტრი პირობითი, ნომინალური, Du, DN, NPS და NB. მეტრული და დიუმიანი დიამეტრი. SDR. გასაღებები და გასაღებები. კომუნიკაციის სტანდარტები. სიგნალები ავტომატიზაციის სისტემებში (I&C) ინსტრუმენტების, სენსორების, ნაკადის მრიცხველებისა და ავტომატიზაციის მოწყობილობების ანალოგური შემავალი და გამომავალი სიგნალები. კავშირის ინტერფეისები. საკომუნიკაციო პროტოკოლები (კომუნიკაციები) ტელეფონი. მილსადენის აქსესუარები. ამწეები, სარქველები, კარიბჭის სარქველები…. შენობის სიგრძე. ფლანგები და ძაფები. სტანდარტები. დამაკავშირებელი ზომები. ძაფები. აღნიშვნები, ზომები, გამოყენება, ტიპები... (საცნობარო ბმული) მილსადენების კავშირები ("ჰიგიენური", "ასეპტიკური") კვების, რძის და ფარმაცევტული მრეწველობის მრეწველობაში. მილები, მილსადენები. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილსადენის დიამეტრის არჩევანი. ნაკადის განაკვეთები. Ხარჯები. სიძლიერე. შერჩევის ცხრილები, წნევის ვარდნა. სპილენძის მილები. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. პოლივინილ ქლორიდის მილები (PVC). მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილები არის პოლიეთილენის. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილები პოლიეთილენის PND. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. ფოლადის მილები (უჟანგავი ფოლადის ჩათვლით). მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილი არის ფოლადი. მილი უჟანგავია. უჟანგავი ფოლადის მილები. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილი უჟანგავია. ნახშირბადოვანი ფოლადის მილები. მილების დიამეტრი და სხვა მახასიათებლები. მილი არის ფოლადი. მორგება. ფლანგები GOST, DIN (EN 1092-1) და ANSI (ASME) მიხედვით. ფლანგური კავშირი. ფლანგური კავშირები. ფლანგური კავშირი. მილსადენების ელემენტები. ელექტრო ნათურები ელექტრო კონექტორები და სადენები (კაბელები) ელექტროძრავები. ელექტროძრავები. ელექტრო გადართვის მოწყობილობები. (სექციის ბმული) ინჟინრების პირადი ცხოვრების სტანდარტები გეოგრაფია ინჟინრებისთვის. დისტანციები, მარშრუტები, რუქები... ინჟინრები ყოველდღიურ ცხოვრებაში. ოჯახი, ბავშვები, დასვენება, ტანსაცმელი და საცხოვრებელი. ინჟინრების შვილები. ინჟინრები ოფისებში. ინჟინრები და სხვა ადამიანები. ინჟინრების სოციალიზაცია. კურიოზები. ისვენებენ ინჟინრები. ამან გაგვაოცა. ინჟინრები და საკვები. რეცეპტები, კომუნალური. ხრიკები რესტორნებისთვის. საერთაშორისო ვაჭრობა ინჟინრებისთვის. ჩვენ ვსწავლობთ ფიქრს ჰაკსტერული გზით. ტრანსპორტი და მოგზაურობა. პირადი მანქანები, ველოსიპედები... ადამიანის ფიზიკა და ქიმია. ეკონომიკა ინჟინრებისთვის. Bormotologiya ფინანსისტები - ადამიანის ენა. ტექნოლოგიური ცნებები და ნახატები ქაღალდის წერა, ნახატი, ოფისი და კონვერტები. სტანდარტული ფოტოების ზომები. ვენტილაცია და კონდიციონერი. წყალმომარაგება და კანალიზაცია ცხელი წყლით მომარაგება (DHW). სასმელი წყლის მიწოდება ნარჩენი წყალი. ცივი წყალმომარაგება გალვანური ინდუსტრია სამაცივრო ორთქლის ხაზები / სისტემები. კონდენსატის ხაზები / სისტემები. ორთქლის ხაზები. კონდენსატის მილსადენები. კვების მრეწველობა ბუნებრივი აირის მიწოდება შედუღების ლითონები ნახატებზე და დიაგრამებზე აღჭურვილობის სიმბოლოები და აღნიშვნები. სიმბოლური გრაფიკული წარმოდგენები გათბობის, ვენტილაციის, კონდიცირებისა და სითბოს და ცივი მიწოდების პროექტებში, ANSI / ASHRAE სტანდარტის 134-2005 მიხედვით. აღჭურვილობისა და მასალების სტერილიზაცია სითბოს მიწოდება ელექტრონული მრეწველობა ელექტრომომარაგება ფიზიკური მითითება ანბანი. მიღებული აღნიშვნები. ძირითადი ფიზიკური მუდმივები. ტენიანობა არის აბსოლუტური, ფარდობითი და სპეციფიკური. ჰაერის ტენიანობა. ფსიქომეტრიული ცხრილები. რამზინის დიაგრამები. დროის სიბლანტე, რეინოლდსის ნომერი (Re). სიბლანტის ერთეულები. გაზები. გაზების თვისებები. გაზის ინდივიდუალური მუდმივები. წნევა და ვაკუუმი ვაკუუმის სიგრძე, მანძილი, ხაზოვანი განზომილება ხმა. ულტრაბგერა. ხმის შთანთქმის კოეფიციენტები (ბმული სხვა მონაკვეთზე) კლიმატი. კლიმატის მონაცემები. ბუნებრივი მონაცემები. SNiP 23-01-99. შენობის კლიმატოლოგია. (კლიმატური მონაცემების სტატისტიკა) SNIP 23-01-99 ცხრილი 3 - ჰაერის საშუალო თვიური და წლიური ტემპერატურა, ° С. ყოფილი სსრკ. SNIP 23-01-99 ცხრილი 1. წლის ცივი პერიოდის კლიმატური პარამეტრები. RF. SNIP 23-01-99 ცხრილი 2. თბილი სეზონის კლიმატური პარამეტრები. ყოფილი სსრკ. SNIP 23-01-99 ცხრილი 2. თბილი სეზონის კლიმატური პარამეტრები. RF. SNIP 23-01-99 ცხრილი 3. ჰაერის საშუალო თვიური და წლიური ტემპერატურა, °С. RF. SNiP 23-01-99. ცხრილი 5a* - წყლის ორთქლის საშუალო თვიური და წლიური ნაწილობრივი წნევა, hPa = 10^2 Pa. RF. SNiP 23-01-99. ცხრილი 1. ცივი სეზონის კლიმატური პარამეტრები. ყოფილი სსრკ. სიმჭიდროვე. წონა. სპეციფიკური სიმძიმე. Მოცულობითი წონა. ზედაპირული დაძაბულობა. ხსნადობა. აირების და მყარი ნივთიერებების ხსნადობა. მსუბუქი და ფერი. ასახვის, შთანთქმის და გარდატეხის კოეფიციენტები ფერადი ანბანი:) - ფერის (ფერების) აღნიშვნები (კოდირები). კრიოგენული მასალების და მედიის თვისებები. მაგიდები. ხახუნის კოეფიციენტები სხვადასხვა მასალისთვის. თერმული რაოდენობები, დუღილის, დნობის, ცეცხლის და ა.შ. ტემპერატურის ჩათვლით... მეტი ინფორმაციისთვის იხილეთ: ადიაბატური კოეფიციენტები (ინდიკატორები). კონვექცია და სრული სითბოს გაცვლა. თერმული ხაზოვანი გაფართოების კოეფიციენტები, თერმული მოცულობითი გაფართოება. ტემპერატურა, დუღილი, დნობა, სხვა… ტემპერატურის ერთეულების კონვერტაცია. აალებადი. დარბილების ტემპერატურა. დუღილის წერტილები დნობის წერტილები თბოგამტარობა. თბოგამტარობის კოეფიციენტები. თერმოდინამიკა. აორთქლების სპეციფიკური სითბო (კონდენსაცია). აორთქლების ენთალპია. წვის სპეციფიკური სითბო (კალორიული ღირებულება). ჟანგბადის საჭიროება. ელექტრული და მაგნიტური სიდიდეები ელექტრული დიპოლური მომენტები. დიელექტრიკული მუდმივი. ელექტრული მუდმივი. ელექტრომაგნიტური ტალღების სიგრძე (სხვა განყოფილების საცნობარო წიგნი) მაგნიტური ველის სიძლიერე ელექტროენერგიისა და მაგნიტიზმის ცნებები და ფორმულები. ელექტროსტატიკა. პიეზოელექტრული მოდულები. მასალების ელექტრული სიმტკიცე ელექტრული დენი ელექტრული წინააღმდეგობა და გამტარობა. ელექტრონული პოტენციალი ქიმიური საცნობარო წიგნი "ქიმიური ანბანი (ლექსიკონი)" - დასახელებები, აბრევიატურები, პრეფიქსები, ნივთიერებებისა და ნაერთების აღნიშვნები. წყალხსნარები და ნარევები ლითონის დამუშავებისთვის. წყლის ხსნარები ლითონის საფარის გამოსაყენებლად და მოსაშორებლად წყალხსნარები ნახშირბადის საბადოების გასაწმენდად (ტარის საბადოები, ნახშირბადის საბადოები შიგაწვის ძრავებიდან...) წყალხსნარები პასივაციისთვის. წყალხსნარები ამოსაჭრელად - ოქსიდების ამოღება ზედაპირიდან წყალხსნარები ფოსფატირებისთვის წყალხსნარები და ნარევები ლითონების ქიმიური დაჟანგვისა და შეღებვისთვის. წყლის ხსნარები და ნარევები ქიმიური გასაპრიალებლად. pH ცხრილები. დამწვრობა და აფეთქებები. დაჟანგვა და შემცირება. ქიმიური ნივთიერებების საშიშროების (ტოქსიკურობის) კლასები, კატეგორიები, აღნიშვნები DI მენდელეევის ქიმიური ელემენტების პერიოდული სისტემა. Პერიოდული ცხრილი. ორგანული გამხსნელების სიმკვრივე (გ/სმ3) ტემპერატურის მიხედვით. 0-100 °С. ხსნარების თვისებები. დისოციაციის მუდმივები, მჟავიანობა, ფუძეობა. ხსნადობა. მიქსები. ნივთიერებების თერმული მუდმივები. ენთალპია. ენტროპია. Gibbs Energy… (ლინკი პროექტის ქიმიური საცნობარო წიგნზე) ელექტროტექნიკის რეგულატორები უწყვეტი ელექტრომომარაგების სისტემები. დისპეტჩერიზაციისა და კონტროლის სისტემები სტრუქტურირებული საკაბელო სისტემები მონაცემთა ცენტრები

ტრიგონომეტრიული მრუდები. სინუსოიდი. კოსინუსური ტალღა. ტანგენტოიდი. კოტანგენტოიდი.

ყველა A კუთხე ნაგულისხმევად არის გრადუსით. მნიშვნელობების და ფორმულების ყველა ცხრილი სინუსების, კოსინუსების, ტანგენტების, კოტანგენტების (). ლიმიტებისა და რიგის გაფართოების ყველა ფორმულაში კუთხეები რადიანებშია.

y=sinA, y=cosA, y=tgA ფუნქციების გრაფიკები, რომლებიც აგებულია 0 o-დან 360 o-მდე დიაპაზონისთვის, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურებში.

გრაფიკებიდან ჩანს, რომ:

1. სინუსები და კოსინუსები მერყეობენ -1 და 1 შორის
2. კოსინუს მრუდს აქვს იგივე ფორმა, როგორც სინუს მრუდი, მაგრამ მის მიმართ გადაადგილებულია 90 o-ით.
3. სინუსის და კოსინუსების მრუდები უწყვეტია და მეორდება 360 o პერიოდით, ტანგენტის მრუდს აქვს უწყვეტობა და მეორდება 180 o პერიოდით.

ნახ. მარცხნივ ნაჩვენებია პერპენდიკულარული ღერძი XX’ და YY’; კვეთა საწყისი O. გრაფიკებთან მუშაობისას გაზომვები O-დან მარჯვნივ და ზევით დადებითად ითვლება, O-დან მარცხნივ და ქვევით - უარყოფითი. მიეცით OA თავისუფლად ბრუნავს O-სთან შედარებით. როდესაც OA ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ, გაზომილი კუთხე ითვლება დადებითად, ხოლო როდესაც ბრუნავს საათის ისრის მიმართულებით, ის უარყოფითია.

განრიგი. დადებითი ან უარყოფითი
მიმართულება წრიულ მოძრაობაში.

მოდით OA ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ისე, რომ Θ 1 იყოს ნებისმიერი კუთხე პირველ კვადრატში და ავაშენოთ პერპენდიკულარული AB, რათა მივიღოთ OAB მართკუთხა სამკუთხედი ნახ. დატოვა. ვინაიდან სამკუთხედის სამივე გვერდი დადებითია, პირველ კვადრატში ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სინუსი, კოსინუსი და ტანგენსი დადებითი იქნება. (გაითვალისწინეთ, რომ OA-ს სიგრძე ყოველთვის დადებითია, რადგან ეს არის წრის რადიუსი.)
მოდით OA ბრუნავს შემდგომ ისე, რომ Θ 2 იყოს ნებისმიერი კუთხე მეორე კვადრატში და ააგეთ AC ისე, რომ ჩამოყალიბდეს მართკუთხა სამკუთხედი OAC. მაშინ sin Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. მოდით OA ბრუნავს შემდგომ ისე, რომ Θ 3 იყოს ნებისმიერი კუთხე მესამე კვადრატში და ავაშენოთ AD ისე, რომ ჩამოყალიბდეს მართკუთხა სამკუთხედი OAD. მაშინ sin Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+.

განრიგი. კუთხეების აშენება
სხვადასხვა კვადრატები.

პირველ კვადრატში ყველა ტრიგონომეტრიულ ფუნქციას აქვს დადებითი მნიშვნელობები, მეორეში დადებითია მხოლოდ სინუსი, მესამეში მხოლოდ ტანგენსი, მეოთხეში მხოლოდ კოსინუსი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. დატოვა.

თვითნებური სიდიდის კუთხეების ცოდნა აუცილებელია, მაგალითად, ყველა კუთხის პოვნისას 0 o-დან 360 o-მდე, რომელთა სინუსი არის, ვთქვათ, 0,3261. თუ კალკულატორში შეიყვანთ 0,3261 და დააჭერთ sin -1 ღილაკს, მივიღებთ პასუხს 19,03 o. თუმცა, არის მეორე კუთხე 0 o-დან 360 o-მდე, რომელსაც კალკულატორი არ აჩვენებს. სინუსი ასევე დადებითია მეორე კვადრატში. სხვა კუთხე ნაჩვენებია ნახ. ქვემოთ, როგორც Θ კუთხე, სადაც Θ=180 o - 19.03 o = 160.97 o. ამრიგად, 19,03 o და 160,97 o არის კუთხეები 0 o-დან 360 o დიაპაზონში, რომელთა სინუსი არის 0,3261.

Ფრთხილად იყავი! კალკულატორი იძლევა ამ მნიშვნელობებიდან მხოლოდ ერთს. მეორე მნიშვნელობა უნდა განისაზღვროს თვითნებური სიდიდის კუთხეების თეორიის მიხედვით.

მაგალითი 1

იპოვეთ ყველა კუთხე 0 o-დან 360 o-მდე, რომელთა სინუსი არის -0,7071

გადაწყვეტილება:
კუთხეები, რომელთა სინუსი არის -0,7071 o, არიან მესამე და მეოთხე ოთხკუთხედებში, რადგან ამ ოთხკუთხედებში სინუსი უარყოფითია (იხ. სურათი მარცხნივ).

განრიგი. ყველა კუთხის მოძიება
მოცემული სინუს მნიშვნელობა (მაგალითი)

შემდეგი ფიგურიდან Θ = arcsin 0.7071 = 45 o. ორი კუთხე 0 o-დან 360 o დიაპაზონში, რომელთა სინუსი არის -0,7071, არის 180 o +45 o \u003d 225 o და 360 o - 45 o \u003d 315 o.

Შენიშვნა.კალკულატორი მხოლოდ ერთ პასუხს იძლევა.
განრიგი. ყველა კუთხის მოძიება
მოცემული სინუს მნიშვნელობა (მაგალითი)

მაგალითი 2

იპოვეთ ყველა კუთხე 0 o-დან 360 o-მდე, რომელთა ტანგენტია 1,327.

გადაწყვეტილება:
ტანგენსი დადებითია პირველ და მესამე კვადრატში - ნახ. დატოვა.
განრიგი. ყველა კუთხის მოძიება

ქვემოთ მოცემული ფიგურიდან Θ = arctan1,327= 53 o .
ორი კუთხე 0 o-დან 360 o დიაპაზონში, რომელთა ტანგენტია 1,327 არის 53 o და 180 o + 53 o, ე.ი. 233o.
განრიგი. ყველა კუთხის მოძიება
მოცემული ტანგენტის მნიშვნელობა (მაგალითი)

მოდით OR ნახ. მარცხნივ არის ერთეული სიგრძის ვექტორი, რომელიც თავისუფლად ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ O-ის გარშემო. ერთი შემობრუნება ქმნის ნახ. და იყოფა სექტორებად 15 o . თითოეულ რადიუსს აქვს ჰორიზონტალური და ვერტიკალური კომპონენტი. მაგალითად, 30 o-სთვის ვერტიკალური კომპონენტია TS და ჰორიზონტალური კომპონენტია OS.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციების განსაზღვრებიდან
sin30 o =TS/TO=TS/1, ე.ი. TS=sin30oდა cos30 o =OS/TO=OS/1, ე.ი. OS=cos30o

ვერტიკალური კომპონენტი TS შეიძლება გამოსახული იყოს როგორც T'S', რომელიც უდრის 30° კუთხის შესაბამის მნიშვნელობას y წინააღმდეგ x კუთხის ნახაზში. თუ ყველა ვერტიკალური კომპონენტი, როგორიცაა TS, გადატანილია გრაფიკზე, მაშინ მიიღება სინუსოიდი, რომელიც ნაჩვენებია ნახ. უფრო მაღალი.

თუ ყველა ჰორიზონტალური კომპონენტი, როგორიცაა OS, დაპროექტებულია y v x-ის ნაკვეთზე, თქვენ მიიღებთ კოსინუს ტალღას. ამ პროექციების ვიზუალიზაცია მარტივია OR რადიუსის მქონე წრის გადახაზვით და ვერტიკალური კუთხით, როგორც ეს ნაჩვენებია მარცხნივ სურათზე.
ნახ. მარცხნივ ხედავთ, რომ სინუსოიდს აქვს იგივე ფორმა, რაც კოსინუს ტალღას, მაგრამ გადაადგილებულია 90 o-ით.

ფუნქციის თითოეული გრაფიკი ნაჩვენებია ოთხ ნახ. ზემოთ, მეორდება A კუთხის გაზრდით, ამიტომ მათ უწოდებენ პერიოდული ფუნქციები.
y=sinA და y=cosA ფუნქციები მეორდება ყოველ 360 o (ან 2π რადიანი), ასე რომ, 360 o ე.წ. პერიოდიეს ფუნქციები. y=sin2A და y=cos2A ფუნქციები მეორდება ყოველ 180 o (ან π რადიანი), ამიტომ 180 o არის პერიოდი ამ ფუნქციებისთვის.
ზოგადად, თუ y=sinpA და y=cospA (სადაც p არის მუდმივი), მაშინ ფუნქციის პერიოდი არის 360 o/p (ან 2π/p რადიანები). ამიტომ, თუ y=sin3A, მაშინ ამ ფუნქციის პერიოდია 360 o /3= 120 o, თუ y=cos4A, მაშინ ამ ფუნქციის პერიოდია 360 o /4= 90 o.

Დიაპაზონი
Დიაპაზონისინუსოიდის მაქსიმალურ მნიშვნელობას უწოდებენ. თითოეულ გრაფიკს 1-4 აქვს +1 ამპლიტუდა (ანუ ისინი მერყეობს +1-სა და -1-ს შორის). თუმცა, თუ y=4sinA, თითოეული sinA მნიშვნელობა მრავლდება 4-ზე, ამიტომ მაქსიმალური ამპლიტუდის მნიშვნელობა არის 4. ანალოგიურად, y=5cos2A-სთვის, ამპლიტუდა არის 5, ხოლო პერიოდი არის 360 o /2= 180 o.

მაგალითი 3
ააშენეთ y=3sin2A A= 0 o-დან A=360 o-მდე დიაპაზონში.

გადაწყვეტილება:
ამპლიტუდა =3, პერიოდი = 360 o /2 =180 o .

მაგალითი 4
დახაზეთ y=4cos2x დიაპაზონში x=0 o-დან x=360 o-მდე

გადაწყვეტილება:
ამპლიტუდა = 4. პერიოდი = 360 o /2 =180 o .

სინუსის და კოსინუსების მრუდები ყოველთვის არ იწყება 0 o-დან. ამ გარემოების გასათვალისწინებლად, პერიოდული ფუნქცია წარმოდგენილია როგორც y=sin(A± α), სადაც α არის ფაზის ცვლა y=sinA და y=cosA მიმართ.

მნიშვნელობების ცხრილის შედგენის შემდეგ, შეგიძლიათ დახაზოთ ფუნქცია y=sin(A-60 o), რომელიც ნაჩვენებია ნახ. დატოვა. თუ y=sinA მრუდი იწყება 0 o-დან, მაშინ y=sin(A-60 o) მრუდი იწყება 60 o-დან (ანუ მისი ნულოვანი მნიშვნელობა არის 60 o მარჯვნივ). ამრიგად, ნათქვამია, რომ y=sin(A-60 o) გვიან y=sinA-სთან შედარებით 60°-ით.
განრიგი. y=sin(A-60 o) (სინუს ტალღა).

მნიშვნელობების ცხრილის შედგენის შემდეგ, შეგიძლიათ დახაზოთ ფუნქცია y=cos(A+45 o), რომელიც ნაჩვენებია ნახ. ქვევით.
თუ მრუდი y=cosA იწყება 0 o-დან, მაშინ მრუდი y=cos(A+45 o) იწყება 45 o მარცხნივ (ანუ მისი ნულოვანი მნიშვნელობა არის 45 o ადრე).
ამრიგად, ნაკვეთი ნათქვამია, რომ არის y=cos(A+45 o) წინნაკვეთი y=cosA 45°-ზე.
განრიგი. y=cos(A+45 o) (კოსინუსი).

ზოგადად, გრაფიკი y=sin(A-α) y=sinA-სთან შედარებით ჩამორჩება α კუთხით.
კოსინუს ტალღას აქვს იგივე ფორმა, როგორც სინუსოიდი, მაგრამ იწყება 90 o მარცხნივ, ე.ი. უსწრებს მას 90 o . ამიტომ, cosA=sin(A+90o).

მაგალითი 5
დახაზეთ y=5sin(A+30 o) A=0 o-დან A=360 o-მდე დიაპაზონში

გადაწყვეტილება:
ამპლიტუდა = 5, პერიოდი = 360 o /1 = 360 o.
5sin(A+30 o) მივყავართ 5sinA 30 o-ით ე.ი. იწყება 30 საათით ადრე.
გრაფიკი y=5sin(A+30 o) (სინუსოიდი).

მაგალითი 6
დახაზეთ y=7sin(2A-π/3) A=0 o-დან A=360 o-მდე დიაპაზონში.

გადაწყვეტილება:
ამპლიტუდა = 7, პერიოდი = 2π/2= π რადიანები
Ზოგადად y=sin(pt-α) ჩამორჩება y=sinpt-თან შედარებით α/p, შესაბამისად 7sin(2A-π/3) ჩამორჩება 7sin2A-სთან შედარებით (π/3)/2-ით, ე.ი. თითო π/6 რადიანზე ანუ 30 o

მოდით OR ნახ. მარცხნივ არის ვექტორი, რომელიც თავისუფლად ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ O გარშემო ω რადიანები/წმ სიჩქარით. მბრუნავი ვექტორი ეწოდება ფაზის ვექტორი. t წამის დროის შემდეგ, OR ბრუნავს ωt რადიანების კუთხით (მარცხნივ სურათზე ეს არის კუთხე TOR). თუ ST აგებულია OR-ის პერპენდიკულურად, მაშინ sinωt=ST/OT, ე.ი. ST=OTsinωt.
თუ ყველა ასეთი ვერტიკალური კომპონენტი დაპროექტებულია ნაკვეთზე y წინააღმდეგ ωt, მიიღება სინუსოიდი ამპლიტუდის OR-ით.

თუ ფაზის ვექტორი OR აკეთებს ერთ შემობრუნებას (ანუ 2π რადიანს) T წამში, მაშინ კუთხური სიჩქარე ω=2π/T რად/წმ, საიდანაც
Т=2π/ ω (s), სადაც
T არის პერიოდი
სრული პერიოდების რაოდენობას, რომელიც გადის 1 წამში, ეწოდება სიხშირევ.
სიხშირე = (პერიოდების რაოდენობა)/(მეორე) = 1/ T = ω/2π Hz,იმათ. f= ω/2π Hz
ამიტომ, კუთხური სიჩქარე
ω=2πf რად/წმ.

თუ ზოგადად სინუსოიდური ფუნქცია ჰგავს y=sin(ωt± α), მაშინ
A - ამპლიტუდა
ω - კუთხური სიჩქარე
2π/ω არის პერიოდი T, s
ω/2π — სიხშირე f, Hz
α არის წამყვანი ან ჩამორჩენის კუთხე (y=Аsinωt-ის მიმართ) რადიანებში, მას ასევე უწოდებენ ფაზის კუთხეს.

მაგალითი 7
ალტერნატიული დენი მოცემულია i=20sin(90πt+0.26) ამპერად. განსაზღვრეთ ამპლიტუდა, პერიოდი, სიხშირე და ფაზის კუთხე (გრადულებში)

გადაწყვეტილება:
i \u003d 20sin (90πt + 0.26) A, შესაბამისად,
ამპლიტუდა არის 20 ა
კუთხური სიჩქარე ω=90π, შესაბამისად,
პერიოდი თ= 2π/ ω = 2π/ 90π = 0.022 s = 22ms
სიხშირე ვ\u003d 1 / T \u003d 1 / 0.022 \u003d 45.46 Hz
ფაზის კუთხე α= 0,26 რადი. \u003d (0.26 * 180 / π) o \u003d 14.9 o.

მაგალითი 8
რხევის მექანიზმს აქვს მაქსიმალური გადაადგილება 3 მ და სიხშირე 55 ჰც. t=0 დროს გადაადგილება არის 100 სმ. გამოხატეთ ცვლა ზოგადი სახით Аsin(ωt± α).

გადაწყვეტილება
ამპლიტუდა = მაქსიმალური გადაადგილება = 3 მ
კუთხური სიჩქარე ω=2πf = 2π(55) = 110 რად/წმ
აქედან გამომდინარე, გადაადგილება არის 3sin(110πt + α) m.
t=0 offset = 100cm=1m.
ამიტომ, 1= 3sin(0 + α), ე.ი. sinα=1/3=0.33
ამიტომ α=arcsin0,33=19 o
ასე რომ, ოფსეტი არის 3sin (110 πt + 0.33).

მაგალითი 9
მყისიერი ძაბვის მნიშვნელობა AC წრეში ნებისმიერ t წამში მოცემულია v=350sin(40πt-0.542)V. Პოვნა:
ა) ამპლიტუდა, პერიოდი, სიხშირე და ფაზის კუთხე (გრადულებში)
ბ) ძაბვის მნიშვნელობა t = 0-ზე
გ) ძაბვის მნიშვნელობა t = 10 ms
დ) დრო, რომელიც სჭირდება ძაბვის პირველად 200 ვ-მდე მიღწევას.
გადაწყვეტილება:
ა) ამპლიტუდა არის 350 ვ, კუთხური სიჩქარე ω=40π
აქედან გამომდინარე,
პერიოდი Т=2π/ ω=2π/40π=0.05 s =50ms
სიხშირე f=1/T=1/0.05=20 ჰც
ფაზის კუთხე \u003d 0,542 rad (0,542 * 180 / π) \u003d 31 o დაყოვნებით v \u003d 350sin (40πt)
ბ) თუ t \u003d 0, მაშინ v \u003d 350sin (0-0,542) \u003d 350sin (-31 o) \u003d -180,25 ვ
გ) თუ t \u003d 10 ms, მაშინ v \u003d 350sin (40π10 / 10 3 -0,542) \u003d 350sin (0,714) \u003d 350sin41 o \u003d 229,6 V
დ) თუ v=200 AND, მაშინ 200=350sin(40πt-0.542) 200/350=sin(40πt-0.542)

განრიგი. რხევის მექანიზმი
(მაგალითად, სინუსოიდი).

v=350sin(40πt-0.542) ამიტომ, (40πt-0.542)=arcsin200/350=35 o ან 0.611 რად.
40πt= 0.611+0.542=1.153.
ამიტომ, თუ v=200V, მაშინ დრო t=1.153/40π=9.179 ms

სტატიის რეიტინგი: