ძალიან ხშირად, წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი არის ალგებრული გამონათქვამები, რომლებიც ჯერ უნდა დაიშალოს ფაქტორებად, შემდეგ კი, მათ შორის იგივეს პოვნისას, გაყოთ როგორც მრიცხველი, ასევე მნიშვნელი, ანუ შეამციროთ წილადი. მე-7 კლასში ალგებრას სახელმძღვანელოს მთელი თავი ეთმობა მრავალწევრის ფაქტორიზაციის ამოცანებს. შეიძლება გაკეთდეს ფაქტორინგი 3 გზა, ისევე როგორც ამ მეთოდების კომბინაცია.

1. შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოყენება

როგორც ცნობილია გავამრავლოთ მრავალწევრი მრავალწევრზე, თქვენ უნდა გაამრავლოთ ერთი მრავალწევრის თითოეული წევრი მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და დაამატოთ მიღებული პროდუქცია. არსებობს მრავალწევრების გამრავლების მინიმუმ 7 (შვიდი) გავრცელებული შემთხვევა, რომლებიც შედის კონცეფციაში. Მაგალითად,

ცხრილი 1. ფაქტორიზაცია 1-ლი გზით

2. საერთო ფაქტორის ფრჩხილიდან ამოღება

ეს მეთოდი ეფუძნება გამრავლების კანონის გამოყენებას. Მაგალითად,

ორიგინალური გამონათქვამის თითოეულ ტერმინს ვყოფთ იმ ფაქტორზე, რომელსაც ამოვიღებთ და ამავდროულად ვიღებთ გამონათქვამს ფრჩხილებში (ანუ იმის შედეგი, რაც იყო, რაც ამოვიღებთ, რჩება ფრჩხილებში). პირველ რიგში, თქვენ გჭირდებათ სწორად განსაზღვრეთ მულტიპლიკატორი, რომელიც უნდა იყოს ფრჩხილებში.

ფრჩხილებში პოლინომი ასევე შეიძლება იყოს საერთო ფაქტორი:

„ფაქტორიზაციის“ დავალების შესრულებისას განსაკუთრებული სიფრთხილე უნდა გამოიჩინოთ ნიშნების მიმართ, როდესაც ფრჩხილებიდან საერთო ფაქტორის ამოღება ხდება. თითოეული ტერმინის ნიშნის შეცვლა ფრჩხილებში (ბ - ა), ჩვენ ვიღებთ საერთო ფაქტორს -1 , ხოლო ფრჩხილში თითოეული წევრი იყოფა -1-ზე: (ბ - ა) = - (ა - ბ) .

იმ შემთხვევაში, თუ ფრჩხილებში გამოსახულება კვადრატშია (ან ნებისმიერ თანაბარ ძალაზე), მაშინ ფრჩხილებში მყოფი ნომრები შეიძლება შეიცვალოს სრულიად უფასოდ, რადგან ფრჩხილებიდან ამოღებული მინუსები გამრავლებისას მაინც პლიუსად გადაიქცევა: (ბ - ა) 2 = (ა - ბ) 2, (ბ - ა) 4 = (ა - ბ) 4 და ა.შ…

3. დაჯგუფების მეთოდი

ზოგჯერ გამოხატვის ყველა ტერმინს არ აქვს საერთო ფაქტორი, მაგრამ მხოლოდ ზოგიერთს. მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ ჯგუფის პირობები ფრჩხილებში ისე, რომ თითოეული ფაქტორის ამოღება შეიძლება. დაჯგუფების მეთოდიარის საერთო ფაქტორების ორმაგი ბრეკეტინგი.

4. რამდენიმე მეთოდის ერთდროულად გამოყენება

ზოგჯერ საჭიროა არა ერთი, არამედ რამდენიმე ხერხის გამოყენება პოლინომის ფაქტორებად ერთდროულად გასამრავლებლად.

ეს არის მოკლე შინაარსი თემაზე. "ფაქტორიზაცია". აირჩიეთ შემდეგი ნაბიჯები:

• გადადით შემდეგ აბსტრაქტზე:

ფაქტორიზაციისთვის აუცილებელია გამონათქვამების გამარტივება. ეს აუცილებელია იმისათვის, რომ შემცირდეს. მრავალწევრის დაშლას აზრი აქვს, როცა მისი ხარისხი არ არის მეორეზე დაბალი. პირველი ხარისხის მრავალწევრს წრფივი ეწოდება.

Yandex.RTB R-A-339285-1

სტატიაში გამოვლენილია დაშლის ყველა ცნება, თეორიული საფუძვლები და მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები.

თეორია

თეორემა 1

როდესაც ნებისმიერი მრავალწევრი n ხარისხით, რომელსაც აქვს ფორმა P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , წარმოდგენილია როგორც პროდუქტი მუდმივი კოეფიციენტით უმაღლესი ხარისხით a n და n წრფივი ფაქტორებით (x - x i), i = 1 , 2 , … , n , შემდეგ P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) . . . · (x - x 1) , სადაც x i , i = 1 , 2 , … , n - ეს არის მრავალწევრის ფესვები.

თეორემა განკუთვნილია x i , i = 1 , 2 , ... , n კომპლექსური ტიპის ფესვებისთვის და a k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n კომპლექსური კოეფიციენტებისთვის. ეს არის ნებისმიერი დაშლის საფუძველი.

როდესაც a k , k = 0 , 1 , 2 , ... , n ფორმის კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაშინ რთული ფესვები წარმოიქმნება შეერთებულ წყვილებში. მაგალითად, ფესვები x 1 და x 2 დაკავშირებულია P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრთან. . . + a 1 x + a 0 ითვლება რთულ კონიუგატად, მაშინ სხვა ფესვები რეალურია, აქედან გამომდინარე მივიღებთ, რომ მრავალწევრი იღებს ფორმას P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . (x - x 3) x 2 + p x + q, სადაც x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .

კომენტარი

მრავალწევრის ფესვები შეიძლება განმეორდეს. განვიხილოთ ალგებრის თეორემის მტკიცებულება, ბეზუტის თეორემის შედეგები.

ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა

თეორემა 2

n ხარისხის მქონე ნებისმიერ მრავალწევრს აქვს მინიმუმ ერთი ფესვი.

ბეზუტის თეორემა

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მრავალწევრის გაყოფის შემდეგ. . . + a 1 x + a 0 on (x - s) , მაშინ მივიღებთ ნაშთს, რომელიც უდრის მრავალწევრს s წერტილში, მაშინ მივიღებთ

P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) + P n (s) , სადაც Q n - 1 (x) არის მრავალწევრი n - 1 ხარისხით.

დასკვნა ბეზუტის თეორემიდან

როდესაც P n (x) მრავალწევრის ფესვად ითვლება s , მაშინ P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = (x - s) Q n - 1 (x) . ეს დასკვნა საკმარისია გამოსავლის აღწერისას.

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია

a x 2 + b x + c ფორმის კვადრატული ტრინომი შეიძლება გამრავლდეს წრფივ ფაქტორებად. შემდეგ მივიღებთ, რომ a x 2 + b x + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) , სადაც x 1 და x 2 არის ფესვები (კომპლექსური ან რეალური).

ეს აჩვენებს, რომ თავად დაშლა მცირდება კვადრატული განტოლების მოგვიანებით ამოხსნამდე.

მაგალითი 1

კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია ვიპოვოთ განტოლების ფესვები 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. ამისათვის თქვენ უნდა იპოვოთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა ფორმულის მიხედვით, შემდეგ მივიღებთ D \u003d (- 5) 2 - 4 4 1 \u003d 9. ამიტომ გვაქვს ეს

x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1

აქედან მივიღებთ, რომ 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.

შემოწმების შესასრულებლად, თქვენ უნდა გახსნათ ფრჩხილები. შემდეგ მივიღებთ ფორმის გამოხატვას:

4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1

გადამოწმების შემდეგ მივდივართ თავდაპირველ გამოხატვამდე. ანუ შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გაფართოება სწორია.

მაგალითი 2

3 x 2 - 7 x - 11 ფორმის კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვიღებთ, რომ აუცილებელია გამოვთვალოთ მიღებული კვადრატული განტოლება ფორმის 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.

ფესვების მოსაძებნად, თქვენ უნდა განსაზღვროთ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა. ჩვენ ამას მივიღებთ

3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 1816 წ

აქედან მივიღებთ, რომ 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6 .

მაგალითი 3

მრავალწევრის ფაქტორიზაცია 2 x 2 + 1.

გადაწყვეტილება

ახლა თქვენ უნდა ამოხსნათ კვადრატული განტოლება 2 x 2 + 1 = 0 და იპოვოთ მისი ფესვები. ჩვენ ამას მივიღებთ

2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 i x 2 = - 1 2 = - 1 2 i

ამ ფესვებს უწოდებენ კომპლექსურ კონიუგატს, რაც ნიშნავს, რომ თავად დაშლა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.

მაგალითი 4

გააფართოვეთ კვადრატული ტრინომი x 2 + 1 3 x + 1 .

გადაწყვეტილება

ჯერ უნდა ამოხსნათ x 2 + 1 3 x + 1 = 0 ფორმის კვადრატული განტოლება და იპოვოთ მისი ფესვები.

x 2 + 1 3 x + 1 = 0 D = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + D 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 i 6 = - 1 6 + 35 6 i x 2 = - 1 3 - D 2 1 = - 1 3 - 35 3 i 2 = - 1 - 35 i 6 = - 1 6 - 35 6 i

ფესვების მოპოვების შემდეგ, ჩვენ ვწერთ

x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 i = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 i

კომენტარი

თუ დისკრიმინანტის მნიშვნელობა უარყოფითია, მაშინ მრავალწევრები დარჩება მეორე რიგის მრავალწევრად. აქედან გამომდინარეობს, რომ ჩვენ არ დავშლით მათ ხაზოვან ფაქტორებად.

მეორეზე მაღალი ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორინგის მეთოდები

დაშლა ითვალისწინებს უნივერსალურ მეთოდს. ყველა შემთხვევა დაფუძნებულია ბეზოუთის თეორემის დასკვნაზე. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ფესვის მნიშვნელობა x 1 და შეამციროთ მისი ხარისხი მრავალწევრის 1-ზე გაყოფით (x - x 1-ზე) . მიღებულ მრავალწევრს სჭირდება x 2 ფესვის პოვნა და ძიების პროცესი ციკლურია, სანამ არ მივიღებთ სრულ დაშლას.

თუ ფესვი ვერ მოიძებნა, მაშინ გამოიყენება ფაქტორიზაციის სხვა მეთოდები: დაჯგუფება, დამატებითი ტერმინები. ეს თემა ითვალისწინებს განტოლებების ამოხსნას უფრო მაღალი სიმძლავრით და მთელი რიცხვითი კოეფიციენტებით.

საერთო ფაქტორის ამოღება ფრჩხილებიდან

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია, მაშინ მრავალწევრის ფორმა ხდება P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x.

ჩანს, რომ ასეთი მრავალწევრის ფესვი ტოლი იქნება x 1 \u003d 0, შემდეგ შეგიძლიათ წარმოადგინოთ მრავალწევრი გამოხატვის სახით P n (x) \u003d a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + a 1 x = = x (a n x n - 1 + a n - 1 x n - 2 + . . . + a 1)

ეს მეთოდი ითვლება საერთო ფაქტორის ფრჩხილებიდან ამოღებად.

მაგალითი 5

მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორიზაცია 4 x 3 + 8 x 2 - x.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვხედავთ, რომ x 1 \u003d 0 არის მოცემული მრავალწევრის ფესვი, შემდეგ შეგვიძლია x გამოვყოთ მთელი გამოსახულებიდან. ჩვენ ვიღებთ:

4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)

მოდით გადავიდეთ კვადრატული ტრინომის 4 x 2 + 8 x - 1 ფესვების პოვნაზე. მოდი ვიპოვოთ დისკრიმინანტი და ფესვები:

D = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + D 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - D 2 4 = - 1 - 5 2

შემდეგ ამას მოჰყვება

4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2

დასაწყისისთვის, განვიხილოთ დაშლის მეთოდი, რომელიც შეიცავს P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვების კოეფიციენტებს. . . + a 1 x + a 0 , სადაც ყველაზე მაღალი სიმძლავრის კოეფიციენტი არის 1 .

როდესაც მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ ისინი განიხილება თავისუფალი წევრის გამყოფებად.

მაგალითი 6

გააფართოვეთ გამონათქვამი f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.

გადაწყვეტილება

დაფიქრდით არის თუ არა მთელი რიცხვი ფესვები. აუცილებელია ამოვიწეროთ რიცხვის გამყოფები - 18. მივიღებთ რომ ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 , ± 9 , ± 18 . აქედან გამომდინარეობს, რომ ამ მრავალწევრს აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. შეგიძლიათ შეამოწმოთ ჰორნერის სქემის მიხედვით. ეს ძალიან მოსახერხებელია და საშუალებას გაძლევთ სწრაფად მიიღოთ მრავალწევრის გაფართოების კოეფიციენტები:

აქედან გამომდინარეობს, რომ x \u003d 2 და x \u003d - 3 არის თავდაპირველი მრავალწევრის ფესვები, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც ფორმის პროდუქტი:

f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

ჩვენ მივმართავთ x 2 + 2 x + 3 ფორმის კვადრატული ტრინომის დაშლას.

ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, ეს ნიშნავს, რომ არ არსებობს რეალური ფესვები.

პასუხი: f (x) \u003d x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 \u003d (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)

კომენტარი

დასაშვებია ჰორნერის სქემის ნაცვლად ძირეული შერჩევისა და მრავალწევრის მრავალწევრზე დაყოფის გამოყენება. განვაგრძოთ P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + ფორმის მთელი რიცხვითი კოეფიციენტების შემცველი მრავალწევრის გაფართოების განხილვა. . . + a 1 x + a 0, რომელთაგან ყველაზე მაღალი არ უდრის ერთს.

ეს შემთხვევა ხდება წილადი რაციონალური წილადებისთვის.

მაგალითი 7

ფაქტორიზაცია f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .

გადაწყვეტილება

აუცილებელია შეიცვალოს ცვლადი y = 2 x , უნდა გადავიდეს მრავალწევრში 1-ის ტოლი კოეფიციენტებით უმაღლესი ხარისხით. თქვენ უნდა დაიწყოთ გამოხატვის 4-ზე გამრავლებით. ჩვენ ამას მივიღებთ

4 f (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)

როდესაც ფორმის შედეგად მიღებულ ფუნქციას g (y) \u003d y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 აქვს მთელი რიცხვი ფესვები, მაშინ მათი აღმოჩენა თავისუფალი წევრის გამყოფებს შორისაა. ჩანაწერი ასე გამოიყურება:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 5 , ± 6 , ± 10 , ± 12 , ± 15 , ± 20 , ± 30 , ± 60

გადავიდეთ g (y) ფუნქციის გამოთვლაზე ამ წერტილებში, რათა შედეგად მივიღოთ ნული. ჩვენ ამას მივიღებთ

გ (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 გ (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 გ (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 გ (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 გ (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 გ (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 გ (4) = 4 3 + 19 4 2 + 82 4 + 60 = 756 გ (- 4) = (- 4) 3 + 19 (- 4) 2 + 82 (- 4) + 60 = - 28 გ (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 გ (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60

ჩვენ ვიღებთ, რომ y \u003d - 5 არის y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ფორმის განტოლების ფესვი, რაც ნიშნავს, რომ x \u003d y 2 \u003d - 5 2 არის ორიგინალური ფუნქციის ფესვი.

მაგალითი 8

აუცილებელია გავყოთ სვეტით 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 x + 5 2-ზე.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვწერთ და ვიღებთ:

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)

გამყოფების შემოწმებას დიდი დრო დასჭირდება, ამიტომ უფრო მომგებიანია x 2 + 7 x + 3 ფორმის შედეგად მიღებული კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია. ნულის ტოლობით ვპოულობთ დისკრიმინანტს.

x 2 + 7 x + 3 = 0 D = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

აქედან გამომდინარეობს, რომ

2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2

ხელოვნური ხრიკები მრავალწევრის ფაქტორინგისას

რაციონალური ფესვები არ არის თანდაყოლილი ყველა მრავალწევრში. ამისათვის თქვენ უნდა გამოიყენოთ სპეციალური მეთოდები ფაქტორების მოსაძებნად. მაგრამ ყველა პოლინომი არ შეიძლება დაიშალა ან წარმოდგენილი იყოს როგორც პროდუქტი.

დაჯგუფების მეთოდი

არის შემთხვევები, როდესაც შეგიძლიათ დააჯგუფოთ მრავალწევრის ტერმინები, რათა იპოვოთ საერთო ფაქტორი და ამოიღოთ იგი ფრჩხილებიდან.

მაგალითი 9

მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.

გადაწყვეტილება

იმის გამო, რომ კოეფიციენტები მთელი რიცხვებია, ფესვებიც შეიძლება იყოს მთელი რიცხვები. შესამოწმებლად ვიღებთ მნიშვნელობებს 1, - 1, 2 და - 2, რათა გამოვთვალოთ პოლინომის მნიშვნელობა ამ წერტილებში. ჩვენ ამას მივიღებთ

1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0

ეს გვიჩვენებს, რომ ფესვები არ არის, საჭიროა დაშლისა და ხსნარის სხვა მეთოდის გამოყენება.

დაჯგუფება საჭიროა:

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)

თავდაპირველი მრავალწევრის დაჯგუფების შემდეგ აუცილებელია მისი წარმოდგენა ორი კვადრატული ტრინომის ნამრავლად. ამისათვის ჩვენ გვჭირდება ფაქტორიზაცია. ჩვენ ამას ვიღებთ

x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 D = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3

x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3

კომენტარი

დაჯგუფების სიმარტივე არ ნიშნავს იმას, რომ საკმარისად მარტივია ტერმინების არჩევა. მისი ამოხსნის გარკვეული გზა არ არსებობს, ამიტომ აუცილებელია სპეციალური თეორემებისა და წესების გამოყენება.

მაგალითი 10

მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2.

გადაწყვეტილება

მოცემულ მრავალწევრს არ აქვს მთელი რიცხვი ფესვები. ტერმინები უნდა იყოს დაჯგუფებული. ჩვენ ამას მივიღებთ

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)

ფაქტორინგის შემდეგ, ჩვენ ამას ვიღებთ

x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2

შემოკლებული გამრავლებისა და ნიუტონის ბინომის ფორმულების გამოყენება მრავალწევრის ფაქტორიზაციისთვის

გარეგნობა ხშირად ყოველთვის არ ცხადყოფს, თუ რომელი გზა უნდა გამოვიყენოთ დაშლის დროს. გარდაქმნების განხორციელების შემდეგ შეგიძლიათ ააგოთ ხაზი, რომელიც შედგება პასკალის სამკუთხედისგან, წინააღმდეგ შემთხვევაში მათ ნიუტონის ბინომალი ეწოდება.

მაგალითი 11

მრავალწევრის ფაქტორიზაცია x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.

გადაწყვეტილება

აუცილებელია გამოხატვის ფორმაში გადაყვანა

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3

ფრჩხილებში ჯამის კოეფიციენტების თანმიმდევრობა მითითებულია გამოხატულებით x + 1 4 .

ასე რომ, გვაქვს x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.

კვადრატების განსხვავების გამოყენების შემდეგ მივიღებთ

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3

განვიხილოთ გამონათქვამი, რომელიც მეორე ფრჩხილშია. გასაგებია, რომ იქ ცხენები არ არის, ამიტომ კვადრატების განსხვავების ფორმულა კვლავ უნდა იქნას გამოყენებული. ჩვენ ვიღებთ გამონათქვამს, როგორიცაა

x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3

მაგალითი 12

ფაქტორიზაცია x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .

გადაწყვეტილება

გამოთქმა შევცვალოთ. ჩვენ ამას მივიღებთ

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2

აუცილებელია კუბურების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ:

x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3

ცვლადის ჩანაცვლების მეთოდი მრავალწევრის ფაქტორინგისას

ცვლადის შეცვლისას ხარისხი მცირდება და მრავალწევრი ფაქტორიზაცია ხდება.

მაგალითი 13

x 6 + 5 x 3 + 6 ფორმის მრავალწევრის ფაქტორიზაცია.

გადაწყვეტილება

პირობით, ცხადია, რომ აუცილებელია ჩანაცვლება y = x 3. ჩვენ ვიღებთ:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6

მიღებული კვადრატული განტოლების ფესვებია y = - 2 და y = - 3, მაშინ

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3

აუცილებელია კუბურების ჯამის შემოკლებული გამრავლების ფორმულის გამოყენება. ჩვენ ვიღებთ ფორმის გამონათქვამებს:

x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3

ანუ მივიღეთ სასურველი გაფართოება.

ზემოთ განხილული შემთხვევები დაგეხმარებათ მრავალწევრის განხილვასა და ფაქტორირებაში სხვადასხვა გზით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ალგებრაში "პოლინომის" და "პოლინომის ფაქტორიზაციის" ცნებები ძალიან გავრცელებულია, რადგან თქვენ უნდა იცოდეთ ისინი, რათა ადვილად შეასრულოთ გამოთვლები დიდი მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვებით. ეს სტატია აღწერს დაშლის რამდენიმე მეთოდს. ყველა მათგანი საკმაოდ მარტივი გამოსაყენებელია, თქვენ უბრალოდ უნდა აირჩიოთ სწორი თითოეულ შემთხვევაში.

მრავალწევრის ცნება

მრავალწევრი არის მონომების ჯამი, ანუ გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს მხოლოდ გამრავლების ოპერაციას.

მაგალითად, 2 * x * y არის მონომი, მაგრამ 2 * x * y + 25 არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება 2 მონომისაგან: 2 * x * y და 25. ასეთ მრავალწევრებს ორწევრებს უწოდებენ.

ზოგჯერ, მრავალმნიშვნელოვანი მნიშვნელობებით მაგალითების გადაჭრის მოხერხებულობისთვის, გამოხატულება უნდა გარდაიქმნას, მაგალითად, დაიშალა ფაქტორების გარკვეულ რაოდენობად, ანუ რიცხვებად ან გამონათქვამებად, რომელთა შორისაც ხორციელდება გამრავლების ოპერაცია. პოლინომის ფაქტორიზაციის მრავალი გზა არსებობს. ღირს მათი განხილვა დაწყებული ყველაზე პრიმიტიულიდან, რომელიც გამოიყენება დაწყებით კლასებშიც კი.

დაჯგუფება (ზოგადი ჩანაწერი)

ზოგადად, დაჯგუფების მეთოდით მრავალწევრის ფაქტორებად დაყოფის ფორმულა ასე გამოიყურება:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

აუცილებელია მონომების დაჯგუფება ისე, რომ თითოეულ ჯგუფში გამოჩნდეს საერთო ფაქტორი. პირველ ფრჩხილში ეს არის c ფაქტორი, ხოლო მეორეში - d. ეს უნდა გაკეთდეს იმისათვის, რომ შემდეგ ამოიღოთ იგი ფრჩხილიდან და ამით გაამარტივოთ გამოთვლები.

დაშლის ალგორითმი კონკრეტულ მაგალითზე

პოლინომის ფაქტორებად დაჯგუფების მეთოდის გამოყენებით ფაქტორების უმარტივესი მაგალითი მოცემულია ქვემოთ:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

პირველ ფრჩხილში უნდა აიღოთ პირობები a ფაქტორით, რომელიც იქნება საერთო, ხოლო მეორეში - b ფაქტორით. ყურადღება მიაქციეთ მზა გამოსახულებაში + და - ნიშნებს. მონომის წინ ვსვამთ ნიშანს, რომელიც იყო საწყის გამოხატულებაში. ანუ, თქვენ უნდა იმუშაოთ არა გამოსახულებით 25a, არამედ გამოსახულებით -25. მინუს ნიშანი, როგორც ეს იყო, "მიწებებულია" მის უკან გამოთქმაზე და ყოველთვის ითვალისწინებს მას გამოთვლებში.

შემდეგ ეტაპზე, თქვენ უნდა ამოიღოთ ის ფაქტორი, რომელიც საერთოა, ფრჩხილიდან. სწორედ ამისთვის არის დაჯგუფება. ფრჩხილიდან ამოღება ნიშნავს ფრჩხილის წინ ამოწერას (გამრავლების ნიშნის გამოტოვება) ყველა იმ ფაქტორს, რომელიც ზუსტად მეორდება ყველა იმ ტერმინებში, რომლებიც ფრჩხილშია. თუ ფრჩხილში არის არა 2, არამედ 3 ან მეტი ტერმინი, თითოეულ მათგანში უნდა იყოს საერთო ფაქტორი, წინააღმდეგ შემთხვევაში მისი ამოღება შეუძლებელია.

ჩვენს შემთხვევაში, მხოლოდ 2 ტერმინი ფრჩხილებში. მთლიანი მულტიპლიკატორი მაშინვე ჩანს. პირველი ფრჩხილები არის a, მეორე არის b. აქ ყურადღება უნდა მიაქციოთ ციფრულ კოეფიციენტებს. პირველ ფრჩხილში ორივე კოეფიციენტი (10 და 25) არის 5-ის ჯერადი. ეს ნიშნავს, რომ არა მხოლოდ a, არამედ 5a შეიძლება იყოს ფრჩხილებში. ფრჩხილის წინ ჩაწერეთ 5ა და შემდეგ ფრჩხილებში თითოეული ტერმინი გაყავით ამოღებულ საერთო კოეფიციენტზე და ასევე ჩაწერეთ კოეფიციენტი ფრჩხილებში, არ დაგავიწყდეთ + და - ნიშნები, იგივე გააკეთეთ მეორე ფრჩხილთან ერთად. , ამოიღეთ 7b, რადგან 14 და 35 7-ის ნამრავლი.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

აღმოჩნდა 2 ტერმინი: 5a (2c - 5) და 7b (2c - 5). თითოეული მათგანი შეიცავს საერთო ფაქტორს (აქ ფრჩხილებში მთელი გამოხატულება იგივეა, რაც იმას ნიშნავს, რომ საერთო ფაქტორია): 2c - 5. ასევე საჭიროა მისი ამოღება ფრჩხილიდან, ანუ ტერმინები 5a და 7b. დარჩით მეორე ფრჩხილში:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

ასე რომ სრული გამოხატულებაა:

10ac + 14bc - 25a - 35b \u003d (10ac - 25a) + (14bc - 35b) \u003d 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) \u003d (2c - 5) * (5a + 7b).

ამრიგად, მრავალწევრი 10ac + 14bc - 25a - 35b იშლება 2 ფაქტორად: (2c - 5) და (5a + 7b). წერისას მათ შორის გამრავლების ნიშანი შეიძლება გამოტოვოთ

ზოგჯერ არის ამ ტიპის გამონათქვამები: 5a 2 + 50a 3, აქ შეგიძლიათ ფრჩხილებში ჩადოთ არა მხოლოდ a ან 5a, არამედ 5a 2. თქვენ ყოველთვის უნდა შეეცადოთ ამოიღოთ ყველაზე დიდი საერთო ფაქტორი ფრჩხილიდან. ჩვენს შემთხვევაში, თუ თითოეულ წევრს გავყოფთ საერთო ფაქტორზე, მივიღებთ:

5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(თანაბარი საფუძვლებით რამდენიმე ხარისხების კოეფიციენტის გამოთვლისას ფუძე შენარჩუნებულია და მაჩვენებლის გამოკლება ხდება). ამრიგად, ერთი რჩება ფრჩხილში (არავითარ შემთხვევაში არ დაგავიწყდეთ ერთის დაწერა, თუ რომელიმე ტერმინს მთლიანად ამოიღებთ ფრჩხილიდან) და გაყოფის კოეფიციენტი: 10a. გამოდის, რომ:

5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)

კვადრატული ფორმულები

გამოთვლების მოხერხებულობისთვის, რამდენიმე ფორმულა იქნა მიღებული. მათ უწოდებენ შემცირებულ გამრავლების ფორმულებს და გამოიყენება საკმაოდ ხშირად. ეს ფორმულები ხელს უწყობს სიმძლავრის შემცველი მრავალწევრების ფაქტორიზაციას. ეს არის ფაქტორიზაციის კიდევ ერთი ძლიერი გზა. ასე რომ, აი ისინი:

• a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 -ფორმულა, რომელსაც ეწოდება "ჯამის კვადრატი", რადგან კვადრატში გაფართოების შედეგად, ფრჩხილებში ჩასმული რიცხვების ჯამი იღება, ანუ ამ ჯამის მნიშვნელობა მრავლდება თავის თავზე 2-ჯერ, რაც ნიშნავს, რომ ეს არის მულტიპლიკატორი.
• a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - განსხვავების კვადრატის ფორმულა, წინა მსგავსია. შედეგი არის ფრჩხილებში ჩასმული განსხვავება, რომელიც შეიცავს კვადრატულ სიმძლავრეს.
• a 2 - b 2 \u003d (a + b) (a - b)- ეს არის კვადრატების განსხვავების ფორმულა, რადგან თავდაპირველად პოლინომი შედგება რიცხვების ან გამონათქვამების 2 კვადრატისგან, რომელთა შორისაც ხდება გამოკლება. ეს არის ალბათ ყველაზე ხშირად გამოყენებული სამი.

კვადრატების ფორმულებით გამოთვლის მაგალითები

მათზე გამოთვლები საკმაოდ მარტივია. Მაგალითად:

1. 25x2 + 20xy + 4y 2 - გამოიყენეთ ფორმულა "ჯამის კვადრატი".
2. 25x2 არის 5x-ის კვადრატი. 20xy არის ორჯერ ნამრავლი 2*(5x*2y), ხოლო 4y 2 არის 2y-ის კვადრატი.
3. ასე რომ, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y).ეს პოლინომი იშლება 2 ფაქტორად (ფაქტორები ერთნაირია, ამიტომ იწერება კვადრატული სიმძლავრის გამოხატვის სახით).

მოქმედებები განსხვავების კვადრატის ფორმულის მიხედვით შესრულებულია ანალოგიურად. რჩება კვადრატების ფორმულის სხვაობა. ამ ფორმულის მაგალითების ამოცნობა და პოვნა სხვა გამონათქვამებს შორის ძალიან ადვილია. Მაგალითად:

• 25a 2 - 400 \u003d (5a - 20) (5a + 20). 25a 2 \u003d (5a) 2 და 400 \u003d 20 2 წლიდან
• 36x 2 - 25y 2 \u003d (6x - 5y) (6x + 5y). 36x 2 \u003d (6x) 2 და 25y 2 \u003d (5y 2)
• c 2 - 169b 2 \u003d (c - 13b) (c + 13b). ვინაიდან 169b 2 = (13b) 2

მნიშვნელოვანია, რომ თითოეული ტერმინი არის რაიმე გამოხატვის კვადრატი. მაშინ ეს პოლინომი ფაქტორირებული უნდა იყოს კვადრატების სხვაობის ფორმულით. ამისთვის არ არის აუცილებელი, რომ მეორე სიმძლავრე იყოს რიცხვზე მაღლა. არსებობს პოლინომები, რომლებიც შეიცავს დიდ სიმძლავრეებს, მაგრამ მაინც შესაფერისია ამ ფორმულებისთვის.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

ამ მაგალითში 8 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც (a 4) 2, ანუ გარკვეული გამონათქვამის კვადრატი. 25 არის 5 2 და 10a არის 4 - ეს არის 2*a 4*5 ტერმინების ორმაგი ნამრავლი. ანუ, ეს გამონათქვამი, მიუხედავად გრადუსების არსებობისა, დიდი მაჩვენებლებით, შეიძლება დაიშალოს 2 ფაქტორად, რათა მოგვიანებით იმუშაოს მათთან.

კუბის ფორმულები

იგივე ფორმულები არსებობს კუბურების შემცველი მრავალწევრების ფაქტორინგისთვის. ისინი ცოტა უფრო რთულია, ვიდრე კვადრატები:

• a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ამ ფორმულას ეწოდება კუბების ჯამი, რადგან თავდაპირველი ფორმით პოლინომი არის კუბში ჩასმული ორი გამონათქვამის ან რიცხვის ჯამი.
• a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2) -წინა იდენტური ფორმულა აღინიშნება როგორც კუბების სხვაობა.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - ჯამის კუბი, გამოთვლების შედეგად, მიიღება რიცხვების ან გამონათქვამების ჯამი, ჩასმული ფრჩხილებში და მრავლდება თავისთავად 3-ჯერ, ანუ მდებარეობს კუბში
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 -ფორმულას, რომელიც შედგენილია წინასთან ანალოგიით, მათემატიკური ოპერაციების მხოლოდ ზოგიერთი ნიშნის ცვლილებით (პლუს და მინუს), ეწოდება "განსხვავების კუბი".

ბოლო ორი ფორმულა პრაქტიკულად არ გამოიყენება მრავალწევრის ფაქტორინგისთვის, რადგან ისინი რთულია და საკმაოდ იშვიათია მრავალწევრების პოვნა, რომლებიც მთლიანად შეესაბამება ზუსტად ასეთ სტრუქტურას, რათა მათი დაშლა მოხდეს ამ ფორმულების მიხედვით. მაგრამ თქვენ მაინც უნდა იცოდეთ ისინი, რადგან ისინი საჭირო იქნება საპირისპირო მიმართულებით მოქმედებისთვის - ფრჩხილების გახსნისას.

კუბის ფორმულების მაგალითები

განვიხილოთ მაგალითი: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

ჩვენ ავიღეთ საკმაოდ მარტივი რიცხვები აქ, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ დაინახოთ, რომ 64a 3 არის (4a) 3 და 8b 3 არის (2b) 3. ამრიგად, ეს მრავალწევრი კუბების ფორმულის სხვაობით აფართოებს 2 ფაქტორად. კუბების ჯამის ფორმულაზე მოქმედებები შესრულებულია ანალოგიით.

მნიშვნელოვანია გვესმოდეს, რომ ყველა მრავალწევრის დაშლა არ შეიძლება ერთ-ერთი გზით მაინც. მაგრამ არის ისეთი გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს უფრო დიდ ძალას, ვიდრე კვადრატი ან კუბი, მაგრამ ისინი ასევე შეიძლება გაფართოვდეს გამრავლების შემოკლებულ ფორმებად. მაგალითად: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

ეს მაგალითი შეიცავს 12 გრადუსს. მაგრამ მისი გაანგარიშებაც კი შესაძლებელია კუბების ჯამის ფორმულის გამოყენებით. ამისათვის თქვენ უნდა წარმოადგინოთ x 12 როგორც (x 4) 3, ანუ, როგორც რაღაც გამოხატვის კუბი. ახლა, a-ს ნაცვლად, თქვენ უნდა შეცვალოთ იგი ფორმულაში. გამოთქმა 125y 3 არის 5y-ის კუბი. შემდეგი ნაბიჯი არის ფორმულის დაწერა და გამოთვლების გაკეთება.

თავდაპირველად, ან როდესაც ეჭვი გეპარებათ, ყოველთვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ შებრუნებული გამრავლებით. თქვენ მხოლოდ უნდა გახსნათ ფრჩხილები მიღებულ გამონათქვამში და შეასრულოთ მოქმედებები მსგავსი ტერმინებით. ეს მეთოდი ვრცელდება შემცირების ყველა ჩამოთვლილ მეთოდზე: როგორც საერთო ფაქტორთან და დაჯგუფებასთან მუშაობისთვის, ასევე კუბებისა და კვადრატული სიმძლავრის ფორმულებზე მოქმედებებზე.

მოყვანილია მრავალწევრების ფაქტორილიზაციის 8 მაგალითი. მათში შედის მაგალითები კვადრატული და ბიკვადრატული განტოლებების ამოხსნით, მაგალითები განმეორებადი მრავალწევრებით და მაგალითები მესამე და მეოთხე ხარისხის მრავალწევრების მთელი რიცხვის ფესვების აღმოჩენით.

1. მაგალითები კვადრატული განტოლების ამოხსნით

მაგალითი 1.1

x 4 + x 3 - 6 x 2.

გადაწყვეტილება

ამოიღეთ x 2 ფრჩხილებისთვის:
.
2 + x - 6 = 0:
.
განტოლების ფესვები:
, .

.

უპასუხე

მაგალითი 1.2

მესამე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორირება:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვიღებთ x-ს ფრჩხილებიდან:
.
ვხსნით x კვადრატულ განტოლებას 2 + 6 x + 9 = 0:
მისი განმასხვავებელი არის.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულის ტოლია, განტოლების ფესვები მრავლობითია: ;
.

აქედან ვიღებთ მრავალწევრის დაშლას ფაქტორებად:
.

უპასუხე

მაგალითი 1.3

მეხუთე ხარისხის მრავალწევრის ფაქტორირება:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.

გადაწყვეტილება

ამოიღეთ x 3 ფრჩხილებისთვის:
.
ვხსნით x კვადრატულ განტოლებას 2 - 2 x + 10 = 0.
მისი განმასხვავებელი არის.
ვინაიდან დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, განტოლების ფესვები რთულია: ;
, .

მრავალწევრის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა:
.

თუ ჩვენ გვაინტერესებს ფაქტორინგი რეალური კოეფიციენტებით, მაშინ:
.

უპასუხე

ფორმულების გამოყენებით მრავალწევრების ფაქტორინგის მაგალითები

მაგალითები ბიკვადრატული მრავალწევრებით

მაგალითი 2.1

ბიკვადრატული მრავალწევრის ფაქტორიზაცია:
x 4 + x 2 - 20.

გადაწყვეტილება

გამოიყენეთ ფორმულები:
ა 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ა 2 - b 2 = (a - b) (a + b).

;
.

უპასუხე

მაგალითი 2.2

მრავალწევრის ფაქტორირება, რომელიც მცირდება ბიკვადრატად:
x 8 + x 4 + 1.

გადაწყვეტილება

გამოიყენეთ ფორმულები:
ა 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
ა 2 - b 2 = (a - b) (a + b):

;

;
.

უპასუხე

მაგალითი 2.3 რეკურსიული მრავალწევრით

რეკურსიული პოლინომის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

რეკურსიულ მრავალწევრს აქვს კენტი ხარისხი. ამიტომ მას აქვს ფესვი x = - 1 . მრავალწევრს ვყოფთ x-ზე - (-1) = x + 1. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:
.
ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
, ;
;


;
.

უპასუხე

მაგალითები ფაქტორინგის პოლინომები მთელი რიცხვი ფესვებით

მაგალითი 3.1

მრავალწევრის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

დავუშვათ განტოლება

6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 .
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სამი ფესვი:
x 1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 3 .
ვინაიდან თავდაპირველი პოლინომი მესამე ხარისხისაა, მას არ აქვს სამი ფესვზე მეტი. ვინაიდან სამი ფესვი ვიპოვეთ, ისინი მარტივია. მერე
.

უპასუხე

მაგალითი 3.2

მრავალწევრის ფაქტორირება:
.

გადაწყვეტილება

დავუშვათ განტოლება

აქვს მინიმუმ ერთი მთელი ფესვი. მაშინ ეს არის რიცხვის გამყოფი 2 (წევრი x-ის გარეშე). ანუ, მთელი ფესვი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი რიცხვი:
-2, -1, 1, 2 .
ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობები სათითაოდ:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6 ;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0 ;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54 .
თუ ჩავთვლით, რომ ამ განტოლებას აქვს მთელი ფესვი, მაშინ ის არის რიცხვის გამყოფი 2 (წევრი x-ის გარეშე). ანუ, მთელი ფესვი შეიძლება იყოს ერთ-ერთი რიცხვი:
1, 2, -1, -2 .
ჩანაცვლება x = -1 :
.

ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ სხვა ფესვი x 2 = -1 . შესაძლებელია, როგორც წინა შემთხვევაში, მრავალწევრის გაყოფა ზე, მაგრამ ჩვენ დავაჯგუფებთ ტერმინებს:
.

ვინაიდან განტოლება x 2 + 2 = 0 არ აქვს ნამდვილი ფესვები, მაშინ მრავალწევრის ფაქტორიზაციას აქვს ფორმა.

ჩვენ უკვე ვიცით, თუ როგორ გამოვიყენოთ ხარისხთა სხვაობის ფაქტორიზაცია ნაწილობრივ - თემის „კვადრატების განსხვავება“ და „კუბების განსხვავება“ შესწავლისას ვისწავლეთ გამოსახულებების პროდუქტად წარმოდგენა იმ გამონათქვამების განსხვავების სახით, რომლებიც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს კვადრატებად ან როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის ან რიცხვის კუბურები.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

შემოკლებული გამრავლების ფორმულების მიხედვით:

კვადრატების სხვაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი რიცხვის ან გამონათქვამის სხვაობის ნამრავლი მათი ჯამით

კუბების სხვაობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი რიცხვის სხვაობის ნამრავლი ჯამის არასრული კვადრატით

გადასვლა გამოთქმათა განსხვავებაზე 4 ძალაში

კვადრატების ფორმულის განსხვავებიდან გამომდინარე, ვცადოთ გამონათქვამის ფაქტორიზაცია $a^4-b^4$

გავიხსენოთ, როგორ იზრდება სიმძლავრე ხარისხამდე - ამისათვის საფუძველი იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება, ანუ $((a^n))^m=a^(n*m)$

მაშინ შეგიძლია წარმოიდგინო:

$a^4=(((a)^2))^2$

$b^4=(((ბ)^2))^2$

ასე რომ, ჩვენი გამოხატულება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $a^4-b^4=((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$

ახლა პირველ ფრჩხილში ჩვენ კვლავ მივიღეთ რიცხვების სხვაობა, რაც ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია კვლავ გავამრავლოთ ორი რიცხვის ან გამოსახულებების სხვაობის ნამრავლად მათი ჯამის მიხედვით: $a^2-b^2=\left(a-b\right) (ა+ბ)$.

ახლა ვიანგარიშებთ მეორე და მესამე ფრჩხილების ნამრავლს მრავალწევრების ნამრავლის წესის გამოყენებით - ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის თითოეულ წევრს მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და ვამატებთ შედეგს. ამისათვის ჯერ გავამრავლოთ პირველი მრავალწევრის პირველი წევრი - $a$ - მეორის პირველ და მეორე წევრებზე ($a^2$ და $b^2$-ზე), ე.ი. მივიღებთ $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, შემდეგ ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის მეორე წევრს -$b$- მეორე მრავალწევრის პირველ და მეორე წევრებზე ($a^2$-ზე და $b^2$), ისინი. მიიღეთ $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ და შეაჯამეთ მიღებული გამონათქვამები

$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$

ჩვენ ვწერთ მე-4 ხარისხის მონომების განსხვავებას გამოთვლილი პროდუქტის გათვალისწინებით:

$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((ბ)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2 +b^2)$=$\ \მარცხნივ(a-b\მარჯვნივ)(a+b)(a^2+b^2)\ $=

მე-6 ხარისხში გამოთქმათა სხვაობაზე გადასვლა

კვადრატების ფორმულის განსხვავებიდან გამომდინარე, ვცადოთ გამონათქვამის ფაქტორიზაცია $a^6-b^6$

გავიხსენოთ, როგორ იზრდება სიმძლავრე ხარისხამდე - ამისათვის საფუძველი იგივე რჩება და მაჩვენებლები მრავლდება, ანუ $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$

მაშინ შეგიძლია წარმოიდგინო:

$a^6=(((a)^3))^2$

$b^6=(((ბ)^3))^2$

ასე რომ, ჩვენი გამონათქვამი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს $a^6-b^6=(((a)^3))^2-((b)^3))^2$

პირველ ფრჩხილში მივიღეთ მონომების კუბების სხვაობა, მეორეში - მონომების კუბების ჯამი, ახლა შეგვიძლია კვლავ გავამრავლოთ მონომების კუბების სხვაობა, როგორც ორი რიცხვის სხვაობის ნამრავლი ჯამის არასრული კვადრატით. $a^3-b^3=\მარცხნივ(a-b\მარჯვნივ)(a^2+ab+b^2)$

ორიგინალური გამოხატულება იღებს ფორმას

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$

მეორე და მესამე ფრჩხილების ნამრავლს ვიანგარიშებთ მრავალწევრების ნამრავლის წესის გამოყენებით - ვამრავლებთ პირველი მრავალწევრის თითოეულ წევრს მეორე მრავალწევრის თითოეულ წევრზე და ვამატებთ შედეგს.

$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$

ჩვენ ვწერთ მე-6 ხარისხის მონომების განსხვავებას, გამოთვლილი პროდუქტის გათვალისწინებით:

$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\left(a^3+b^3\right)=\left(a-b\right)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$

სიმძლავრის სხვაობის ფაქტორირება

მოდით გავაანალიზოთ კუბურების სხვაობის ფორმულები, სხვაობა $4$ გრადუსი, სხვაობა $6$ გრადუსი

ჩვენ ვხედავთ, რომ თითოეულ ამ გაფართოებაში არის გარკვეული ანალოგია, რომლის განზოგადებაც მივიღებთ:

მაგალითი 1

ფაქტორიზაცია $(32x)^(10)-(243y)^(15)$

გადაწყვეტილება:პირველ რიგში, ჩვენ წარმოვადგენთ თითოეულ მონომს, როგორც 5-ის ხარისხს:

\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]

ჩვენ ვიყენებთ სიმძლავრის განსხვავების ფორმულას

სურათი 1.