შესავალი

თავის საქმიანობაში ადამიანს ყველგან უწევს სივრცითი ფიგურების ფორმის, ზომისა და ფარდობითი პოზიციის შესწავლის აუცილებლობა. მსგავს პრობლემებს წყვეტენ ასტრონომები, რომლებიც უდიდეს მასშტაბებს ასრულებენ, და ფიზიკოსები, რომლებიც სწავლობენ ატომებისა და მოლეკულების სტრუქტურას. გეომეტრიის იმ მონაკვეთს, რომელშიც შესწავლილია ასეთი ამოცანები, ეწოდება სტერეომეტრია (ბერძნულიდან "stereos" - მოცულობითი, სივრცითი).

1.1. სტერეომეტრიის ძირითადი აქსიომები

სტერეომეტრიაში კიდევ ერთი რამ ემატება პლანიმეტრიის ცნებებს – სიბრტყე და მასთან ერთად – აქსიომები, რომლებიც არეგულირებენ სიბრტყეების „ურთიერთობებს“ გეომეტრიის სხვა ობიექტებთან. სამი ასეთი აქსიომაა.

1) აქსიომა 1 – სივრცის ნებისმიერი სამი წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე, არის მხოლოდ ერთი სიბრტყე. (ნახ.1)

სურათი 1.

2) აქსიომა 2 - სივრცეში ნებისმიერი ორი წერტილის გავლით არის მხოლოდ ერთი ხაზი. (ნახ.2)

სურათი 2.

3) აქსიომა 3 - თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო ხაზი, რომელზეც დევს ამ სიბრტყის ყველა საერთო წერტილი. (ნახ.3)

სურათი 3. 1

მესამე აქსიომა ძალიან მნიშვნელოვან როლს ასრულებს სტერეომეტრიაში: ის სივრცეს ზუსტად სამგანზომილებიანს ხდის, რადგან ოთხი განზომილების და ზემოთ სივრცეებში სიბრტყეებს შეუძლიათ ერთ წერტილში გადაკვეთა. აღნიშნულ სამს ემატება აგრეთვე პლანიმეტრიული აქსიომები, ხელახლა გააზრებული, იმის გათვალისწინებით, რომ ახლა საქმე გვაქვს არა ერთ, არამედ რამდენიმე სიბრტყესთან. მაგალითად, სწორი ხაზის აქსიომა - ერთი და მხოლოდ ერთი სწორი ხაზის დახატვა შესაძლებელია ორ სხვადასხვა წერტილში - სიტყვასიტყვით გადადის სტერეომეტრიაში, მაგრამ მხოლოდ ის უკვე ვრცელდება სივრცეში ორ წერტილამდე.

როგორც დასკვნა, ჩვენ გამოვიყვანთ ერთ სასარგებლო დასკვნას პირდაპირ აქსიომებიდან:ხაზი, რომელსაც აქვს მინიმუმ ორი საერთო წერტილი სიბრტყესთან, მთლიანად დევს ამ სიბრტყეში.

ეს აქსიომები ფართოდ გამოიყენება სტერეომეტრიაში ფიგურების აგებაში.

1.2. საკოორდინაციო სიბრტყე სტერეომეტრიაში.

პლანიმეტრიისგან განსხვავებით, რომელშიც სიბრტყე განისაზღვრება მხოლოდ 2 ღერძით - ღერძი x (აბსციზა) და წ (ორდინატი), სტერეომეტრიას ემატება მე-3 ღერძი - ღერძი ზ (აპლიკაცია) . ეს ღერძი მიდის წინ, როგორც ნაჩვენებია ნახ.4-ზე. მაგრამ კონსტრუქციის მოხერხებულობისთვის, კოორდინატთა ღერძების გამოსახვა დაიწყო, როგორც ნაჩვენებია 5-ზე.

სურათი 4. სურათი 5.

მე-3 სივრცეში წერტილის კოორდინატების სტერეომეტრიაში: წერტილის აბსციზა, წერტილის ორდინატი, წერტილის აპლიკაცია.

მოდით შევხედოთ ამას კონკრეტული მაგალითით. სეგმენტები OB, OS, OD ნახაზ 6-ში ტოლია 1-ის. მაშინ A წერტილის აბსციზა არის 1, A წერტილის ორდინატი არის 1 და A წერტილის აპლიკაცია არის 1. სიმბოლურად ეს იწერება შემდეგნაირად:

ან დააკავშირეთ კოორდინატთა ჩანაწერი კონკრეტულ წერტილში ინდექსის გამოყენებით:

სურათი 6

თითოეული ღერძი განიხილება როგორც რიცხვითი წრფე, ანუ მას აქვს დადებითი მიმართულება, ხოლო მანძილის კოორდინატის უარყოფითი მნიშვნელობები ენიჭება უარყოფით სხივზე მდებარე წერტილებს (მანძილი აღებულია მინუს ნიშნით). ანუ, თუ, მაგალითად, B წერტილი არ დევს, როგორც ფიგურაში, OX სხივზე, არამედ მის გაგრძელებაზე O წერტილიდან საპირისპირო მიმართულებით (OX ღერძის უარყოფით ნაწილზე), მაშინ აბსციზა Xწერტილი A იქნება უარყოფითი (გამოკლებული OB მანძილი). ანალოგიურად დანარჩენი ორი ღერძისთვის.

ყველა მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა სამგანზომილებიან სივრცეში იყოფა ორ კლასად - მარჯვნივ (ასევე გამოიყენება დადებითი, სტანდარტული ტერმინები) და მარცხნივ. ჩვეულებრივ, ნაგულისხმევად, ისინი ცდილობენ გამოიყენონ მემარჯვენე კოორდინატთა სისტემები და როდესაც ისინი გრაფიკულად არიან გამოსახული, ისინი ასევე მოთავსებულია, თუ ეს შესაძლებელია, რამდენიმე ჩვეულებრივ (ტრადიციულ) პოზიციაზე. (სურათი 6 გვიჩვენებს სწორი კოორდინატთა სისტემას). მარჯვენა და მარცხენა კოორდინატთა სისტემების გაერთიანება შეუძლებელია ბრუნვით ისე, რომ შესაბამისი ღერძები (და მათი მიმართულებები) დაემთხვეს. თქვენ შეგიძლიათ განსაზღვროთ რომელ კლასს ეკუთვნის კონკრეტული კოორდინატთა სისტემა მარჯვენა წესის, ხრახნიანი წესის და ა.შ. (ღერძების დადებითი მიმართულება არჩეულია ისე, რომ როდესაც OX ღერძი ბრუნავს საათის ისრის საწინააღმდეგოდ 90 °-ით, მისი დადებითი მიმართულება ემთხვევა. OY ღერძის დადებითი მიმართულებით, თუ ეს ბრუნვა შეინიშნება OZ ღერძის დადებითი მიმართულების მხრიდან).

მაგალითად, სამგანზომილებიანი კოორდინატულ სისტემაში კუბის გამოსასახავად, თქვენ უნდა იცოდეთ ამ კვადრატის გვერდების სიგრძე. მაგალითად, ავაშენოთ კუბი 1 გვერდით და წვეროებით O, C, T, B, D, R, A, S (ნახ. 7). შემდეგ ამ კუბის წვეროების კოორდინატები:

სურათი 7

დასკვნა

სამგანზომილებიანი კოორდინატთა სისტემის არსებობის წყალობით, თქვენ შეგიძლიათ ააწყოთ ნებისმიერი სამგანზომილებიანი ფიგურა, როგორიცაა პარალელეპიპედი, პირამიდა, პრიზმა და ა.შ. ეს კოორდინატთა სისტემა გამოიყენება ფიზიკაში, ასტრონომიაში და სხვა მეცნიერებებში, რომლებიც საჭიროებენ კონსტრუქციის სიზუსტეს.

ბიბლიოგრაფია:

A.V. Pogorelov, გეომეტრია 7-11 კლასებისთვის, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.

ა.ლ. ვერნერის სტერეომეტრია. 7-9 კლასი, სახელმძღვანელო გეომეტრიის მასწავლებლებისთვის.

Atanasyan L. გეომეტრია 10-11 კლასი,

ე.ვ.პოტოსკუევი, ლ.ი. ზვავიჩის გეომეტრია 11 კლასი,სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.

თავი IV. ხაზები და თვითმფრინავები სივრცეში. პოლიჰედრა

§ 45. სტერეომეტრიის ძირითადი აქსიომები

უმარტივესი სივრცითი ფიგურები (სხეულები): კუბი, პრიზმა, პირამიდა, ბურთი, კონუსი, ცილინდრი და სხვ. და მათი თვისებები შესწავლილი იყო რვაწლიანი სკოლის გეომეტრიის კურსზე. გაითვალისწინეთ, რომ სივრცითი ფიგურების ზოგიერთი თვისება გამოყენებული იყო ამ სახელმძღვანელოს I თავში ვექტორების შესწავლისას.

ამ თავში უფრო დეტალურად, ვიდრე ადრე იყო, შესწავლილია გეომეტრიის მონაკვეთი, რომელიც დაკავშირებულია სივრცეში ხაზებისა და სიბრტყეების განლაგებასთან. გეომეტრიის დარგი, რომელიც ეხება სივრცეში დალაგებულ ფიგურებს, ეწოდება სტერეომეტრია.

სტერეომეტრიის ძირითადი ცნებებია წერტილი, ხაზი და სიბრტყე. სივრცე შედგება უსასრულო რაოდენობის ქულებისგან. ხაზები და სიბრტყეები შედგება უსასრულო რაოდენობის წერტილებისგან სივრცეში და არ ემთხვევა მთელ სივრცეს.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ მთავარი სტერეომეტრიის აქსიომები. შეგახსენებთ, რომ აქსიომები არის დებულებები, რომლებიც მიღებულია მტკიცების გარეშე. გეომეტრიის აქსიომები არის ჩვენს გარშემო არსებული რეალური სამყაროს შესაბამისი თვისებების აბსტრაქცია.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სივრცის ნებისმიერი სიბრტყისთვის პლანიმეტრიის ყველა აქსიომა, განმარტება და თეორემა დაკმაყოფილებულია. გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მართებულია სტერეომეტრიის შემდეგი აქსიომები:

1. არის მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი ნებისმიერი ორი განსხვავებული წერტილის გავლით.

2. თუ წრფის ორი განსხვავებული წერტილი ეკუთვნის სიბრტყეს, მაშინ წრფის ყველა წერტილი ეკუთვნის ამ სიბრტყეს.

3. ნებისმიერი სამი წერტილის გავლით, რომელიც არ დევს ერთ ხაზზე, არის ერთი და მხოლოდ ერთი სიბრტყე.

4. თუ ორი განსხვავებული სიბრტყე იკვეთება, მაშინ ისინი იკვეთებიან სწორ ხაზზე.

ამ აქსიომების გამოყენებით ჩვენ ვამტკიცებთ შემდეგ მტკიცებას:

1. ერთი თვითმფრინავი გადის ხაზსა და წერტილს, რომელიც მას არ ეკუთვნის.

2. მხოლოდ ერთი სიბრტყეა ორი გადამკვეთი ხაზის გავლით.

1. ამ სწორ ხაზზე ლავიღოთ ორი A და B წერტილი (სურ. 128). შემდეგ, მე-3 აქსიომის მიხედვით, ერთი სიბრტყე გადის მოცემულ M წერტილში და A და B წერტილებში რდა ხაზის ყველა წერტილი ლეკუთვნის თვითმფრინავს რ.

ამიტომ, თვითმფრინავი რგადის სწორ ხაზზე ლდა წერტილი M, რომელიც მას არ ეკუთვნის სხვა ასეთი სიბრტყე არ არსებობს, ვინაიდან მან უნდა გაიაროს სამი წერტილი A, B, M, რომლებიც არ დევს ერთ სწორ ხაზზე და, შესაბამისად, უნდა ემთხვეოდეს სიბრტყეს. რ.

2. მართლაც, დაუშვით სწორი ხაზები 1 1 და 1 2 იკვეთება M წერტილში (სურ. 129). სწორ ხაზებზე 1 1 და 1 2 აიღეთ რამდენიმე A და B წერტილი, რომლებიც განსხვავდება M წერტილისგან. შემდეგ სამი წერტილის A, B, M გადის ერთადერთი სიბრტყე რ. აქსიომ 2-ის ძალით სიბრტყე რგადის მოცემულ ხაზებს 1 1 და 1 2 .

ამ სტატიაში ჩვენ განვიხილავთ სამგანზომილებიან სივრცეში სწორი ხაზის კონცეფციას, განვიხილავთ სწორი ხაზების შედარებითი პოზიციის ვარიანტებს და ვისაუბრებთ სივრცეში სწორი ხაზის განსაზღვრის ძირითად გზებზე. უკეთესი პრეზენტაციისთვის წარმოგიდგენთ გრაფიკულ ილუსტრაციებს.

გვერდის ნავიგაცია.

ხაზი სივრცეში არის კონცეფცია.

მას შემდეგ რაც მივეცით სივრცეში პარალელური წრფეების განმარტება, უნდა ითქვას სწორი ხაზის მიმართულ ვექტორებზე მათი მნიშვნელობის გამო. ნებისმიერ არანულოვან ვექტორს, რომელიც დევს ამ წრფეზე ან მოცემულ წრფეზე, რომელიც პარალელურად არის მოცემული, ეწოდება წრფის მიმართულ ვექტორად. სწორი ხაზის მიმართულების ვექტორი ძალიან ხშირად გამოიყენება სივრცეში სწორ ხაზთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად.

და ბოლოს, სამგანზომილებიან სივრცეში ორი ხაზი შეიძლება იყოს დახრილი. ნათქვამია, რომ სივრცეში ორი ხაზი იკვეთება, თუ ისინი არ დევს ერთ სიბრტყეში. სივრცეში ორი ხაზის ეს ურთიერთგანლაგება მიგვიყვანს კუთხის კონცეფციამდე დახრილ ხაზებს შორის.

სივრცეში სწორი ხაზის დაყენების მეთოდები.

სივრცეში სწორი ხაზის ცალსახად განსაზღვრის რამდენიმე გზა არსებობს. ჩამოვთვალოთ ძირითადი.

აქსიომიდან ვიცით, რომ სწორი ხაზი გადის ორ წერტილს და მხოლოდ ერთს. ამრიგად, თუ სივრცეში ორ წერტილს მოვნიშნავთ, მაშინ ეს საშუალებას მოგვცემს ცალსახად განვსაზღვროთ მათში გამავალი სწორი ხაზი.

თუ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა შეყვანილია სამგანზომილებიან სივრცეში და სწორი ხაზი მოცემულია მისი ორი წერტილის კოორდინატებით, მაშინ გვაქვს შესაძლებლობა შევადგინოთ ორ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლება.

სივრცეში წრფის მითითების მეორე გზა ემყარება თეორემას: სივრცის ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს მოცემულ წრფეზე, გადის მოცემული წრფე პარალელურად და მხოლოდ ერთი.

ამრიგად, თუ ჩვენ მივუთითებთ წრფეს (ან ამ წრფის მონაკვეთს) და წერტილს, რომელიც არ დევს მასზე, მაშინ ცალსახად განვსაზღვრავთ მოცემულის პარალელურ და მოცემულ წერტილში გამავალ წრფეს.

თქვენ შეგიძლიათ მიუთითოთ წერტილი, რომლითაც გადის ხაზი და მისი მიმართულების ვექტორი. ეს ასევე საშუალებას მოგცემთ ცალსახად ამოიცნოთ ხაზი.

თუ სწორი ხაზი ამ გზით არის განსაზღვრული ფიქსირებული მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დაუყოვნებლივ ჩავწეროთ მისი კანონიკური განტოლებები სწორი ხაზისა და სივრცეში სწორი ხაზის პარამეტრული განტოლებები.

სივრცეში სწორი ხაზის დაზუსტების შემდეგი გზა ემყარება სტერეომეტრიის აქსიომას: თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ მათ აქვთ საერთო სწორი ხაზი, რომელზეც დევს ამ სიბრტყის ყველა საერთო წერტილი.

ამრიგად, ორი გადამკვეთი სიბრტყის დაყენებით, ჩვენ ცალსახად განვსაზღვრავთ სწორ ხაზს სივრცეში.

სივრცეში წრფის მითითების კიდევ ერთი გზა მომდინარეობს თეორემიდან (მისი დადასტურება შეგიძლიათ ამ სტატიის ბოლოს ჩამოთვლილ წიგნებში): თუ მოცემულია სიბრტყე და წერტილი, რომელიც მასში არ არის, მაშინ გადის ერთი ხაზი. ამ წერტილის გავლით და მოცემულ სიბრტყეზე პერპენდიკულარულად.

ამრიგად, სწორი ხაზის დასადგენად, შეგიძლიათ მიუთითოთ სიბრტყე, რომელზედაც სასურველი ხაზი პერპენდიკულარულია და წერტილი, რომლითაც ეს ხაზი გადის.

თუ სწორი ხაზი ამ გზით არის განსაზღვრული შემოყვანილი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის მიმართ, მაშინ სასარგებლო იქნება მოცემული სიბრტყის პერპენდიკულარულ მოცემულ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლების სტატიის მასალის ფლობა.

ბიბლიოგრაფია.

• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პოზნიაკი ე.გ., იუდინა ი.ი. გეომეტრია. 7-9 კლასები: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.
• ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., კისელევა ლ.ს., პოზნიაკი ე.გ. გეომეტრია. სახელმძღვანელო საშუალო სკოლის 10-11 კლასებისთვის.
• ბუგროვი ია.ს., ნიკოლსკი ს.მ. უმაღლესი მათემატიკა. ტომი პირველი: წრფივი ალგებრის ელემენტები და ანალიტიკური გეომეტრია.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. ანალიტიკური გეომეტრია.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

Ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. www.site-ის არც ერთი ნაწილი, შიდა მასალებისა და გარე დიზაინის ჩათვლით, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.

პრეზენტაცია თემაზე „სტერეომეტრიის აქსიომები“ გეომეტრიაზე powerpoint ფორმატში. სკოლის მოსწავლეებისთვის პრეზენტაციაში ჩამოთვლილია სტერეომეტრიის 7 აქსიომა, ამოცანები მოცემულია ამ აქსიომების გამოყენებით. პრეზენტაციის ავტორი: სუხორუკოვა ე.ვ.

ფრაგმენტები პრეზენტაციიდან

• სივრცეში ნებისმიერი ორი წერტილიდან მხოლოდ ერთი სწორი ხაზია.
• სივრცის ნებისმიერი სამი წერტილის გავლით, რომელიც არ მიეკუთვნება იმავე წრფეს, არის მხოლოდ ერთი სიბრტყე
• თუ ორ სიბრტყეს აქვს საერთო წერტილი, მაშინ ისინი იკვეთება სწორ ხაზზე
• არის მინიმუმ ოთხი წერტილი, რომლებიც არ ეკუთვნის იმავე სიბრტყეს
• თუ წრფეს აქვს სიბრტყესთან ორი საერთო წერტილი, მაშინ ის დევს ამ სიბრტყეში.
• ხაზისა და წერტილის გავლით, რომელიც მას არ ეკუთვნის, მხოლოდ ერთი სიბრტყეა
• მხოლოდ ერთი სიბრტყეა ორი გადამკვეთი ხაზის გავლით.

ᲙᲘᲗᲮᲕᲐ 1

იპოვეთ შეცდომა ნახაზებში, თუ:

პასუხის ვარიანტები აქ.

პასუხი:ა) A, B, C წერტილები ერთსა და იმავე წრფეს უნდა ეკუთვნოდეს; ბ) K, L, M წერტილები ერთ წრფეს უნდა ეკუთვნოდეს.

კითხვა 2

ნახატიდან დაადგინე, რომელ სიბრტყეებს ეკუთვნის სიბრტყის წერტილი M.

კითხვა 3

იპოვეთ შეცდომა ნახაზში. მიეცით განმარტება

პასუხი:წერტილი M არ ეკუთვნის AC-ს

კითხვა 4

როგორ განლაგებულია α და β სიბრტყეები ერთმანეთთან შედარებით ფიგურაში? ახსენი პასუხი. საჭიროების შემთხვევაში დაასრულეთ ნახაზი.

პასუხი:რადგან თვითმფრინავებს აქვთ ერთი საერთო წერტილი, შემდეგ ისინი იკვეთებიან სწორ ხაზზე

კითხვა 5

რამდენი სიბრტყის დახატვა შეიძლება ხაზის გავლით?

პასუხი:უსასრულოდ ბევრი

პარალელური ხაზები სივრცეში

• ხაზები სივრცეში ე.წ პარალელურადთუ ისინი ერთ სიბრტყეში წევენ და არ იკვეთებიან
• ხაზები, რომლებიც არ იკვეთება და არ დევს ერთ სიბრტყეში, ეწოდება შეჯვარება

• პარალელეპიპედში A…D1 მიუთითეთ პარალელური და დახრილი ხაზები
• ABCD პირამიდაში მიუთითეთ ყველა წყვილი გადამკვეთი წრფე