მართკუთხედი?

გადაწყვეტილება. ვინაიდან 2,88 dm2 \u003d 288 cm2 და 0,8 dm \u003d 8 სმ, მართკუთხედის სიგრძეა 288: 8, ანუ 36 სმ \u003d 3,6 დმ. ჩვენ აღმოვაჩინეთ რიცხვი 3.6 ისეთი, რომ 3.6 0.8 = 2.88. ეს არის 2,88-ის კოეფიციენტი გაყოფილი 0,8-ზე.

ისინი წერენ: 2.88: 0.8 = 3.6.

პასუხი 3.6 შეიძლება მიიღოთ დეციმეტრების სანტიმეტრებად გადაყვანის გარეშე. ამისთვის გავამრავლოთ გამყოფი 0.8 და დივიდენდი 2.88 10-ზე (ანუ გადაიტანეთ მძიმით ერთი ციფრი მარჯვნივ) და გავყოთ 28.8 8-ზე. ისევ მივიღებთ: 28.8: 8 = 3.6.

რიცხვის ათწილად წილადზე გასაყოფად საჭიროა:

1) დივიდენდსა და გამყოფში გადაიტანეთ მძიმით მარჯვნივ იმდენი ციფრით, რამდენიც არის გამყოფში ათწილადის შემდეგ;
2) ამის შემდეგ შეასრულეთ გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე.

მაგალითი 1გაყავით 12.096 2.24-ზე. გადაიტანეთ მძიმით 2 ციფრი მარჯვნივ დივიდენდში და გამყოფში. ვიღებთ რიცხვებს 1209.6 და 224. 1209.6 წლიდან: 224 = 5.4, შემდეგ 12.096: 2.24 = 5.4.

მაგალითი 2 4.5 გაყავით 0.125-ზე. აქ აუცილებელია მძიმის 3 ციფრის მარჯვნივ გადატანა დივიდენდში და გამყოფში. ვინაიდან დივიდენდში ათწილადის შემდეგ მხოლოდ ერთი ციფრია, მას მარჯვნივ დავამატებთ ორ ნულს. მძიმის გადატანის შემდეგ ვიღებთ ნომრები 4500 და 125. 4500 წლიდან: 125 = 36, შემდეგ 4,5: 0,125 = 36.

1 და 2 მაგალითებიდან ჩანს, რომ როდესაც რიცხვი იყოფა არასწორ წილადზე, ეს რიცხვი მცირდება ან არ იცვლება, ხოლო სათანადო ათობითი წილადზე გაყოფისას ის იზრდება: 12.096\u003e 5.4 და 4.5.< 36.

გაყავით 2.467 0.01-ზე. დივიდენდში და გამყოფში მძიმის გადატანის შემდეგ 2 ციფრით მარჯვნივ, მივიღებთ, რომ კოეფიციენტი არის 246,7: 1, ანუ 246,7.

აქედან გამომდინარე, და 2.467: 0.01 = 246.7. აქედან ვიღებთ წესს:

ათწილადის გაყოფა 0.1-ზე; 0,01; 0.001, თქვენ უნდა გადაიტანოთ მძიმით მასში მარჯვნივ იმდენი ციფრი, რამდენიც არის ნულები გამყოფში ერთეულის წინ (ანუ გაამრავლეთ იგი 10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე).

თუ არ არის საკმარისი რიცხვები, ჯერ უნდა დაასახელოთ ბოლოს წილადებირამდენიმე ნული.

მაგალითად, 56.87: 0.0001 = 56.8700: 0.0001 = 568,700.

ათწილადის წილადის გაყოფის წესის ჩამოყალიბება: ათობითი წილადით; 0.1-ით; 0,01; 0.001.
რა რიცხვის გამრავლება შეიძლება 0,01-ზე გაყოფის შესაცვლელად?

1443. იპოვე კოეფიციენტი და გამოსცადე გამრავლებით:

ა) 0.8: 0.5; ბ) 3.51: 2.7; გ) 14.335: 0.61.

1444. იპოვე კოეფიციენტი და გამოსცადე გაყოფით:

ა) 0,096: 0,12; ბ) 0,126: 0,9; გ) 42.105: 3.5.

ა) 7.56: 0.6; ზ) 6.944: 3.2; მ) 14.976: 0.72;
ბ) 0,161: 0,7; თ) 0,0456: 3,8; პ) 168.392: 5.6;
გ) 0,468: 0,09; ი) 0,182: 1,3; ო) 24.576: 4.8;
დ) 0,00261: 0,03; კ) 131.67: 5.7; ჟ) 16.51: 1.27;
ე) 0,824: 0,8; ლ) 189.54: 0.78; გ) 46.08: 0.384;
ე) 10.5: 3.5; მ) 636: 0,12; უ) 22.256: 20.8.

1446. ჩამოწერეთ გამოთქმები:

ა) 10 - 2.4x = 3.16; ე) 4.2p - p = 5.12;
ბ) (y + 26.1) 2.3 = 70.84; ვ) 8,2ტ - 4,4ტ = 38,38;
გ) (z - 1,2): 0,6 = 21,1; ზ) (10,49 - ს): 4,02 = 0,805;
დ) 3,5მ + მ = 9,9; თ) 9k - 8.67k = 0.6699.

1460. ორ ავზში იყო 119,88 ტონა ბენზინი. პირველ ავზში ბენზინი მეტი იყო, ვიდრე მეორეში, 1,7-ჯერ. რამდენი ბენზინი იყო თითოეულ ავზში?

1461. სამი ნაკვეთიდან მოკრეფილია 87,36 ტონა კომბოსტო. ამასთან, პირველი მონაკვეთიდან 1,4-ჯერ მეტი, ხოლო მეორე განყოფილებიდან 1,8-ჯერ მეტი შეგროვდა, ვიდრე მესამე განყოფილებიდან. რამდენი ტონა კომბოსტო მოიკრიფა თითოეული ნაკვეთიდან?

1462. კენგურუ ჟირაფზე 2,4-ჯერ დაბალია, ხოლო კენგურუზე 2,52 მ-ით, რა სიმაღლეა ჟირაფი და როგორია კენგურუ?

1463. ორი ფეხით მოსიარულე იყო ერთმანეთისგან 4,6 კმ მანძილზე. ერთმანეთისკენ წავიდნენ და შეხვდნენ 0,8 საათში იპოვეთ თითოეული ფეხით მოსიარულეს სიჩქარე, თუ ერთის სიჩქარე 1,3-ჯერ აღემატება მეორის სიჩქარეს.

1464. გააკეთეთ შემდეგი:

ა) (130.2 - 30.8): 2.8 - 21.84:
ბ) 8.16: (1.32 + 3.48) - 0.345;
გ) 3.712: (7 - 3.8) + 1.3 (2.74 + 0.66);
დ) (3.4: 1.7 + 0.57: 1.9) 4.9 + 0.0825: 2.75;
ე) (4.44: 3.7 - 0.56: 2.8): 0.25 - 0.8;
ვ) 10.79: 8.3 0.7 - 0.46 3.15: 6.9.

1465. გადააქციეთ საერთო წილადი ათწილადად და იპოვეთ მნიშვნელობა გამონათქვამები:

1466. გამოთვალეთ ზეპირად:

ა) 25,5: 5; ბ) 9 0,2; გ) 0.3: 2; დ) 6,7 - 2,3;
1,5: 3; 1 0,1; 2:5; 6- 0,02;
4,7: 10; 16 0,01; 17,17: 17; 3,08 + 0,2;
0,48: 4; 24 0,3; 25,5: 25; 2,54 + 0,06;
0,9:100; 0,5 26; 0,8:16; 8,2-2,2.

1467. იპოვე ნამუშევარი:

ა) 0,1 0,1; დ) 0,4 0,4; ზ) 0,7 0,001;
ბ) 1.3 1.4; ე) 0,06 0,8; თ) 100 0,09;
გ) 0,3 0,4; ვ) 0,01 100; ი) 0,3 0,3 0,3.

1468. იპოვე: 30 რიცხვის 0,4; 0.5 ნომერი 18; 0.1 ნომრები 6.5; 2.5 ნომერი 40; 0.12 ნომერი 100; 0.01 1000-დან.

1469. რას ნიშნავს გამოთქმა 5683.25a a = 10-ით; 0.1; 0,01; 100; 0,001; 1000; 0.00001?

1470. დაფიქრდი, რომელი რიცხვი შეიძლება იყოს ზუსტი, რომელიც არის მიახლოებითი:

ა) კლასში არის 32 მოსწავლე;
ბ) მანძილი მოსკოვიდან კიევამდე 900 კმ;
გ) პარალელეპიპედს აქვს 12 კიდე;
დ) მაგიდის სიგრძე 1,3 მ;
ე) მოსკოვის მოსახლეობა 8 მილიონი ადამიანია;
ვ) ტომარაში 0,5 კგ ფქვილი;
ზ) კუნძულ კუბის ფართობია 105000 კმ2;
თ) სკოლის ბიბლიოთეკაში 10 000 წიგნია;
ი) ერთი დიაპაზონი უდრის 4 ვერშოკს, ხოლო ვერშოკი 4,45 სმ (ვერშოკი)
საჩვენებელი თითის ფალანსის სიგრძე).

1471. იპოვე უტოლობის სამი ამონახსნი:

ა) 1.2< х < 1,6; в) 0,001 < х < 0,002;
ბ) 2.1< х< 2,3; г) 0,01 <х< 0,011.

1472. შეადარეთ გამოთვლების გარეშე გამონათქვამების მნიშვნელობები:

ა) 24 0.15 და (24 - 15): 100;

ბ) 0,084 0,5 და (84 5): 10000.
Განმარტე შენი პასუხი.

1473. დამრგვალეთ რიცხვები:

1474. შეასრულეთ გაყოფა:

ა) 22.7: 10; 23.3:10 ; 3.14:10 ; 9.6:10 ;
ბ) 304: 100; 42.5:100; 2.5:100; 0.9:100; 0.03:100;
გ) 143.4: 12; 1.488:124; 0.3417: 34; 159.9:235; 65.32:568.

1475. ველოსიპედისტი სოფლიდან 12 კმ/სთ სიჩქარით დატოვა. 2 საათის შემდეგ მეორე ველოსიპედისტი დატოვა იგივე სოფელი საპირისპირო მიმართულებით.
ხოლო მეორის სიჩქარე 1,25-ჯერ აღემატება პირველს. რა მანძილია მათ შორის მეორე ველოსიპედისტის წასვლიდან 3,3 საათის შემდეგ?

1476. ნავის საკუთარი სიჩქარეა 8,5 კმ/სთ, ხოლო დინების სიჩქარე 1,3 კმ/სთ. რა მანძილს გაივლის ნავი დენით 3,5 საათში? რამდენ მანძილზე გაივლის ნავი დინების ზემოთ 5,6 საათში?

1477. ქარხანამ დაამზადა 3,75 ათასი ნაწილი და გაყიდა 950 რუბლის ფასად. ნაწილი. ქარხნის ღირებულება ერთი ნაწილის წარმოებისთვის შეადგენდა 637,5 რუბლს. იპოვეთ ქარხნის მოგება ამ ნაწილების გაყიდვიდან.

1478. მართკუთხა პარალელეპიპედის სიგანე 7,2 სმ, რაც არის იპოვეთ ამ უჯრის მოცულობა და დამრგვალეთ თქვენი პასუხი უახლოეს მთელ რიცხვზე.

1479. პაპი კარლო პირობა დადო, რომ პიეროს მისცემს 4 ჯარისკაცს ყოველდღე, ხოლო პინოქიოს 1 ჯარისკაცს პირველ დღეს და 1 ჯარისკაცს ყოველ მეორე დღეს, თუ ის კარგად მოიქცევა. პინოქიო განაწყენებული იყო: მან გადაწყვიტა, რომ რაც არ უნდა ეცადოს, ვერასოდეს მიიღებდა იმდენ სოლიდოს, როგორც პიერო. დაფიქრდით, მართალია თუ არა პინოქიო.

1480. 231 მ დაფები წავიდა 3 კარადაზე და 9 წიგნის თაროზე და 4-ჯერ მეტი მასალა მიდის კაბინეტში, ვიდრე თაროზე. რამდენი მეტრი დაფა მიდის კაბინეტში და რამდენი - თაროზე?

1481. ამოხსენით პრობლემა:
1) პირველი რიცხვია 6.3 და არის მეორე რიცხვი. მესამე ნომერი მეორეა. იპოვნეთ მეორე და მესამე რიცხვები.

2) პირველი რიცხვია 8.1. მეორე ნომერი არის პირველი ნომრიდან და მესამე ნომრიდან. იპოვნეთ მეორე და მესამე რიცხვები.

1482. იპოვე გამოთქმის მნიშვნელობა:

1) (7 - 5,38) 2,5;

2) (8 - 6,46) 1,5.

1483. იპოვეთ პირადის მნიშვნელობა:

ა) 17.01: 6.3; დ) 1,4245: 3,5; ზ) 0,02976: 0,024;
ბ) 1.598: 4.7; ე) 193.2: 8.4; თ) 11.59: 3.05;
გ) 39.156: 7.8; ე) 0,045: 0,18; ი) 74.256: 18.2.

1484. გზა სახლიდან სკოლამდე 1,1 კმ. გოგონა ამ გზას გადის 0.25 საათში რამდენად სწრაფად დადის გოგონა?

1485. ოროთახიან ბინაში ერთი ოთახის ფართობია 20,64 მ 2, ხოლო მეორე ოთახის ფართობი 2,4-ჯერ ნაკლები. იპოვეთ ამ ორი ოთახის ფართობი ერთად.

1486. ​​ძრავი 7,5 საათში მოიხმარს 111 ლიტრ საწვავს. რამდენ ლიტრ საწვავს მოიხმარს ძრავი 1.8 საათში?
1487. ლითონის ნაწილის მოცულობა 3,5 დმ3 აქვს 27,3 კგ. იგივე ლითონისგან დამზადებულ სხვა ნივთს აქვს მასა 10,92 კგ. რა არის მეორე ნაწილის მოცულობა?

1488. ორი მილით ავზში 2,28 ტონა ბენზინი ჩაასხეს. პირველი მილით საათში 3,6 ტონა ბენზინი შემოდიოდა, ის ღია იყო 0,4 საათის განმავლობაში, მეორე მილით საათში 0,8 ტონა ბენზინი ნაკლები შემოდიოდა, ვიდრე პირველი მილით. რამდენი ხანი იყო გახსნილი მეორე მილი?

1489. ამოხსენი განტოლება:

ა) 2.136: (1.9 - x) = 7.12; გ) 0,2ტ + 1,7ტ - 0,54 = 0,22;
ბ) 4.2 (0.8 + y) = 8.82; დ) 5,6გ - 2ზ - 0,7ზ + 2,65 = 7.

1490. 13,3 ტონა საქონელი განაწილდა სამ მანქანაზე. პირველი მანქანა 1,3-ჯერ მეტი იყო დატვირთული, ხოლო მეორე - 1,5-ჯერ მეტი, ვიდრე მესამე მანქანა. რამდენი ტონა საქონელი იყო დატვირთული თითოეულ მანქანაზე?

1491. ორი ფეხით მოსიარულე ერთდროულად დატოვა ერთი და იგივე ადგილი საპირისპირო მიმართულებით. 0,8 საათის შემდეგ მათ შორის მანძილი 6,8 კმ-ს გაუტოლდა. ერთი ფეხით მოსიარულეს სიჩქარე 1,5-ჯერ აღემატებოდა მეორის სიჩქარეს. იპოვნეთ თითოეული ფეხით მოსიარულეთა სიჩქარე.

1492. გააკეთეთ შემდეგი:

ა) (21.2544: 0.9 + 1.02 3.2): 5.6;
ბ) 4.36: (3.15 + 2.3) + (0.792 - 0.78) 350;
გ) (3.91: 2.3 5.4 - 4.03) 2.4;
დ) 6.93: (0.028 + 0.36 4.2) - 3.5.

1493. სკოლაში ექიმი მოვიდა და აცრისთვის 0,25 კგ შრატი მოიტანა. რამდენ ბავშვს შეუძლია ინექციის გაკეთება, თუ ყოველი ინექცია მოითხოვს 0,002 კგ შრატს?

1494. მაღაზიაში 2,8 ტონა ჯანჯაფილი შემოიტანეს. ლანჩამდე ეს ჯანჯაფილის ნამცხვრები იყიდებოდა. რამდენი ტონა ჯანჯაფილი დარჩა გასაყიდად?

1495. 5,6 მ იყო ამოჭრილი ნაჭრისგან, რამდენი მეტრი ქსოვილი იყო ნაჭერში თუ ეს ნაჭერი მოჭრილი იყო?

N.Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, მათემატიკა მე-5 კლასი, სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის

§ 107. ათობითი წილადების შეკრება.

ათწილადების შეკრება ხდება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების შეკრება. ვნახოთ ეს მაგალითებით.

1) 0.132 + 2.354. ხელი მოვაწეროთ პირობებს ერთმანეთის ქვეშ.

აქ 2 მეათასედის 4 მეათასედთან მიმატებიდან მიღებული იქნა 6 მეათასედი;
3 მეასედის 5 მეასედთან მიმატებიდან გამოვიდა 8 მეასედი;
1 მეათედის 3 მეათედთან მიმატებიდან -4 მეათედი და
0 მთელი რიცხვის 2 რიცხვის მიმატებიდან - 2 მთელი რიცხვი.

2) 5,065 + 7,83.

მეორე ტერმინში მეათასედი არ არის, ამიტომ მნიშვნელოვანია, რომ არ დაუშვათ შეცდომები ერთმანეთის ქვეშ მყოფი პირობების ხელმოწერისას.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

აქ მეათასედების შეკრებისას მივიღებთ 21 მეათასედს; მეათასედების ქვეშ დავწერეთ 1, მეასედებს კი დავუმატეთ 2, ასე რომ მეასე ადგილზე მივიღეთ შემდეგი ტერმინები: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; ჯამში 19 მეასედს აძლევენ, 9 მეასედზე მოვაწერეთ ხელი და 1 მეათედად ჩაითვალა და ა.შ.

ამრიგად, ათობითი წილადების დამატებისას უნდა დაიცვან შემდეგი თანმიმდევრობა: წილადები იწერება ერთმანეთის ქვეშ ისე, რომ ყველა ტერმინში ერთი და იგივე ციფრები იყოს ერთმანეთის ქვეშ და ყველა მძიმეები ერთსა და იმავე ვერტიკალურ სვეტში; ზოგიერთი ტერმინის ათწილადი ადგილების მარჯვნივ, ისინი მიაწერენ, სულ მცირე, გონებრივად, ნულების ისეთ რაოდენობას, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ ყველა ტერმინს აქვს ერთი და იგივე რიცხვი. შემდეგ, შეკრება ხდება ციფრებით, დაწყებული მარჯვენა მხრიდან და შედეგად მიღებული მძიმით მოთავსებულია იმავე ვერტიკალურ სვეტში, როგორც ეს არის ამ ტერმინებში.

§ 108. ათობითი წილადების გამოკლება.

ათწილადების გამოკლება ხდება ისევე, როგორც მთელი რიცხვების გამოკლება. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითებით.

1) 9.87 - 7.32. მოდი ხელი მოვაწეროთ სუბტრაჰენდს მინუენდის ქვეშ ისე, რომ ერთი და იგივე ციფრის ერთეულები ერთმანეთის ქვეშ იყოს:

2) 16.29 - 4.75. მოდით ხელი მოვაწეროთ ქვეტრაჰენდს მინუენდის ქვეშ, როგორც პირველ მაგალითში:

მეათედების გამოსაკლებლად, უნდა აეღო 6-დან ერთი მთლიანი ერთეული და მეათედებად გაყო.

3) 14.0213-5.350712. მოდი, ხელი მოვაწეროთ სუბტრაჰენდს მინიუენდის ქვეშ:

გამოკლება შესრულდა შემდეგნაირად: რადგან 0-ს 2 მემილიონედს ვერ გამოვაკლებთ, უნდა მივმართოთ მარცხნივ უახლოეს ციფრს, ანუ ას-ათათასეულს, მაგრამ ასევე არის ნული ას-ათათასიანის ადგილას, ამიტომ ავიღებთ 1-ს. ათიათასიანი 3 ათიათასეულიდან და ვყოფთ ასიათასებად, მივიღებთ 10 ასიათასეულს, საიდანაც 9 ასიათასიანი რჩება ასიათასიანების კატეგორიაში და 1 ასიათასედი დამსხვრეულია მემილიონედებად, ვიღებთ 10 მემილიონედს. ამრიგად, ბოლო სამ ციფრში მივიღეთ: მემილიონეები 10, ას-ათასათასიანი 9, ათიათასათასედი 2. მეტი სიცხადისა და მოხერხებულობისთვის (არ დაგავიწყდეს), ეს რიცხვები იწერება შემცირებულის შესაბამისი წილადი ციფრების თავზე. ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავიწყოთ გამოკლება. 10 მემილიონს გამოვაკლებთ 2 მემილიონედს, მივიღებთ 8 მემილიონედს; გამოვაკლოთ 1 ასიათასიანი 9 ასათათასიანი, მივიღებთ 8 ასათათასიანს და ა.შ.

ამრიგად, ათობითი წილადების გამოკლებისას დაცულია შემდეგი თანმიმდევრობა: ქვეტრაჰენდი იწერება შემცირებულის ქვეშ ისე, რომ ერთი და იგივე ციფრები იყოს ერთი მეორის ქვეშ და ყველა მძიმეები ერთსა და იმავე ვერტიკალურ სვეტში; მარჯვნივ, გონებრივად მაინც აწერენ იმდენი ნულის შემცირებას ან გამოკლებას ისე, რომ მათ აქვთ ერთი და იგივე რიცხვი, შემდეგ აკლებენ ციფრებით, დაწყებული მარჯვენა მხრიდან და მიღებულ განსხვავებაში სვამენ მძიმით. იგივე ვერტიკალური სვეტი, რომელშიც ის მდებარეობს შემცირებული და გამოკლებული.

§ 109. ათობითი წილადების გამრავლება.

განვიხილოთ ათწილადის წილადების გამრავლების რამდენიმე მაგალითი.

ამ რიცხვების ნამრავლის საპოვნელად შეგვიძლია შემდეგნაირად ვიმსჯელოთ: თუ კოეფიციენტი გაზრდილია 10-ჯერ, მაშინ ორივე ფაქტორი იქნება მთელი რიცხვები და შეგვიძლია გავამრავლოთ ისინი მთელი რიცხვების გამრავლების წესების მიხედვით. მაგრამ ჩვენ ვიცით, რომ როდესაც ერთ-ერთი ფაქტორი რამდენჯერმე იზრდება, პროდუქტი იმავე რაოდენობით იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი, რომელიც მიღებულია მთელი ფაქტორების გამრავლების შედეგად, ანუ 28-ზე 23-ზე, 10-ჯერ მეტია ნამდვილ ნამრავლზე და იმისათვის, რომ მიიღოთ ჭეშმარიტი ნამრავლი, თქვენ უნდა შეამციროთ ნაპოვნი ნამრავლი 10-ჯერ. ამიტომ, აქ ერთხელ უნდა შეასრულოთ 10-ზე გამრავლება და ერთხელ 10-ზე გაყოფა, მაგრამ გამრავლება და 10-ზე გაყოფა ხდება მძიმის მარჯვნივ და მარცხნივ ერთი ნიშნით გადაადგილებით. ამიტომ, თქვენ უნდა გააკეთოთ ეს: მულტიპლიკატორში გადაიტანეთ მძიმით მარჯვნივ ერთი ნიშნით, აქედან ის იქნება 23-ის ტოლი, შემდეგ თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული მთელი რიცხვები:

ეს პროდუქტი 10-ჯერ აღემატება ნამდვილს. ამიტომ ის 10-ჯერ უნდა შემცირდეს, რისთვისაც მძიმით ერთი სიმბოლო მარცხნივ გადავიტანოთ. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ

28 2,3 = 64,4.

გადამოწმების მიზნით შეგიძლიათ დაწეროთ ათობითი წილადი მნიშვნელით და შეასრულოთ მოქმედება ჩვეულებრივი წილადების გამრავლების წესის მიხედვით, ე.ი.

2) 12,27 0,021.

განსხვავება ამ მაგალითსა და წინა მაგალითს შორის არის ის, რომ აქ ორივე ფაქტორი წარმოდგენილია ათობითი წილადებით. მაგრამ აქ, გამრავლების პროცესში, მძიმებს არ მივაქცევთ ყურადღებას, ანუ მამრავლს დროებით გავზრდით 100-ჯერ, ხოლო მამრავლს 1000-ჯერ, რაც პროდუქტს 100000-ჯერ გაზრდის. ამრიგად, 1227-ის 21-ზე გამრავლებით მივიღებთ:

1 227 21 = 25 767.

იმის გათვალისწინებით, რომ მიღებული პროდუქტი 100000-ჯერ მეტია ნამდვილზე, ახლა ჩვენ უნდა შევამციროთ ის 100000-ჯერ მასში მძიმის სწორად დაყენებით, მაშინ მივიღებთ:

32,27 0,021 = 0,25767.

მოდით შევამოწმოთ:

ამგვარად, ორი ათობითი წილადის გასამრავლებლად საკმარისია, მძიმეების ყურადღების გარეშე, გავამრავლოთ ისინი მთელ რიცხვებად და ნამრავლში გამოვყოთ მძიმით მარჯვენა მხარეს იმდენი ათწილადი, რამდენიც იყო მრავლობითში და ფაქტორი ერთად.

ბოლო მაგალითში, შედეგი არის პროდუქტი ხუთი ათობითი ადგილით. თუ ასეთი დიდი სიზუსტე არ არის საჭირო, მაშინ ხდება ათობითი წილადის დამრგვალება. დამრგვალებისას უნდა გამოიყენოთ იგივე წესი, რაც მითითებული იყო მთელი რიცხვებისთვის.

§ 110. გამრავლება ცხრილების გამოყენებით.

ათწილადების გამრავლება ზოგჯერ შეიძლება გაკეთდეს ცხრილების გამოყენებით. ამ მიზნით შეგიძლიათ, მაგალითად, გამოიყენოთ ორნიშნა რიცხვების გამრავლების ცხრილები, რომელთა აღწერაც ადრე იყო მოცემული.

1) გაამრავლეთ 53 1,5-ზე.

53-ს გავამრავლებთ 15-ზე. ცხრილში ეს ნამრავლი უდრის 795-ს. ჩვენ ვიპოვეთ 53-ის ნამრავლი 15-ზე, მაგრამ ჩვენი მეორე კოეფიციენტი იყო 10-ჯერ ნაკლები, რაც ნიშნავს, რომ ნამრავლი უნდა შემცირდეს 10-ჯერ, ე.ი.

53 1,5 = 79,5.

2) გაამრავლე 5.3 4.7-ზე.

ჯერ ვიპოვოთ ცხრილში 53-ის ნამრავლი 47-ზე, ეს იქნება 2491. მაგრამ რადგან გამრავლება და მამრავლი სულ 100-ჯერ გავზარდეთ, მაშინ მიღებული ნამრავლი 100-ჯერ მეტია ვიდრე უნდა იყოს; ასე რომ, ჩვენ უნდა შევამციროთ ეს პროდუქტი 100-ჯერ:

5,3 4,7 = 24,91.

3) გაამრავლეთ 0,53 7,4-ზე.

ჯერ ცხრილში ვხვდებით 53-ის ნამრავლს 74-ზე; ეს იქნება 3922. მაგრამ მას შემდეგ რაც ჩვენ გავზარდეთ მამრავლი 100-ჯერ და მულტიპლიკატორი 10-ჯერ, ნამრავლი გაიზარდა 1000-ჯერ; ასე რომ, ჩვენ ახლა უნდა შევამციროთ ის 1000-ით:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. ათწილადების დაყოფა.

ჩვენ განვიხილავთ ათობითი გაყოფას შემდეგი თანმიმდევრობით:

1. ათობითი წილადის დაყოფა მთელ რიცხვზე,

1. ათობითი წილადის გაყოფა მთელ რიცხვზე.

1) გაყავით 2.46 2-ზე.

გავყავით 2 ჯერ მთელ რიცხვზე, შემდეგ მეათედებზე და ბოლოს მეასედებზე.

2) 32.46 გაყავით 3-ზე.

32,46: 3 = 10,82.

3 ათეული გავყავით 3-ზე, შემდეგ დავიწყეთ 2 ერთეულის 3-ზე გაყოფა; ვინაიდან დივიდენდის (2) ერთეულების რაოდენობა გამყოფზე (3) ნაკლებია, უნდა ჩავსვათ 0 კოეფიციენტში; შემდგომ, დანარჩენს დავანგრევთ 4 მეათედი და გავყავით 24 მეათედი 3-ზე; კერძოში მიიღო 8 მეათედი და ბოლოს დაყო 6 მეასედი.

3) გაყავით 1.2345 5-ზე.

1,2345: 5 = 0,2469.

აქ, პირველ რიგში, ნულოვანი რიცხვები აღმოჩნდა, რადგან ერთი მთელი რიცხვი არ იყოფა 5-ზე.

4) გაყავით 13.58 4-ზე.

ამ მაგალითის თავისებურება ის არის, რომ როცა კერძოში მივიღეთ 9 მეასედი, მაშინ აღმოჩნდა ნაშთი 2 მეასედის ტოლი, ეს ნაშთი გავყავით მეათასედებად, მივიღეთ 20 მეათასედი და გაყოფა ბოლომდე მივიტანეთ.

წესი.ათობითი წილადის დაყოფა მთელ რიცხვზე ისევე ხორციელდება, როგორც მთელი რიცხვების დაყოფა და მიღებული ნაშთები გარდაიქმნება ათწილად წილადებად, უფრო და უფრო მცირე; გაყოფა გრძელდება მანამ, სანამ ნაშთი ნულის ტოლია.

2. ათობითი წილადის გაყოფა ათობითი წილადზე.

1) გაყავით 2.46 0.2-ზე.

ჩვენ უკვე ვიცით, როგორ გავყოთ ათობითი წილადი მთელ რიცხვზე. მოდი ვიფიქროთ იმაზე, შეიძლება თუ არა დაყოფის ეს ახალი შემთხვევაც წინაზე დაყვანა? ერთ დროს განვიხილავდით კოეფიციენტის საყურადღებო თვისებას, რომელიც მდგომარეობს იმაში, რომ ის უცვლელი რჩება დივიდენდისა და გამყოფის ერთსა და იმავე რაოდენობაზე გაზრდის ან შემცირებისას. ჩვენ ადვილად შევასრულებთ ჩვენთვის შეთავაზებული რიცხვების გაყოფას, თუ გამყოფი იქნებოდა მთელი რიცხვი. ამისათვის საკმარისია მისი 10-ჯერ გაზრდა, ხოლო სწორი კოეფიციენტის მისაღებად საჭიროა დივიდენდის გაზრდა ამდენივეჯერ, ანუ 10-ჯერ. შემდეგ ამ რიცხვების დაყოფა შეიცვლება ასეთი რიცხვების გაყოფით:

და არ არის საჭირო რაიმე სახის შესწორების შეტანა პირადში.

მოდით გავაკეთოთ ეს დაყოფა:

ასე რომ 2.46: 0.2 = 12.3.

2) გაყავით 1,25 1,6-ზე.

გამყოფს (1,6) გავზრდით 10-ჯერ; რომ კოეფიციენტი არ შეიცვალოს, დივიდენდს გავზრდით 10-ჯერ; 12 მთელი რიცხვი არ იყოფა 16-ზე, ამიტომ ვწერთ 0-ზე და ვყოფთ 125 მეათედს 16-ზე, ვიღებთ 7 მეათედს კოეფიციენტში და დარჩენილია 13. 13 მეათედს ვყოფთ მეათედებად ნულის მინიჭებით და 130 მეათედი ვყოფთ 16-ზე და ა.შ. ყურადღება მიაქციეთ შემდეგს:

ა) როდესაც რიცხვები არ არის მიღებული კოეფიციენტში, მაშინ მათ ადგილას იწერება ნულოვანი რიცხვები;

ბ) როდესაც დივიდენდის ციფრის ნაშთზე აღების შემდეგ მიიღება რიცხვი, რომელიც არ იყოფა გამყოფზე, მაშინ წილადში ნული იწერება;

გ) როდესაც დივიდენდის ბოლო ციფრის ამოღების შემდეგ გაყოფა არ მთავრდება, მაშინ ნაშთებისთვის ნულების მინიჭებით გაყოფა გრძელდება;

დ) თუ დივიდენდი არის მთელი რიცხვი, მაშინ ათწილად წილადზე გაყოფისას მისი ზრდა ხორციელდება მისთვის ნულების მინიჭებით.

ამრიგად, რიცხვის ათწილად წილადზე გასაყოფად, თქვენ უნდა გადააგდოთ მძიმით გამყოფში, შემდეგ კი დივიდენდი გაზარდოთ იმდენჯერ, რამდენჯერაც გამყოფი გაიზარდა მასში მძიმის ჩაშვებისას და შემდეგ შეასრულოთ გაყოფა შესაბამისად. ათობითი წილადის მთელ რიცხვზე გაყოფის წესი.

§ 112. მიახლოებითი კოეფიციენტი.

წინა აბზაცში განვიხილეთ ათწილადის წილადების გაყოფა და ყველა ჩვენ მიერ ამოხსნილ მაგალითში გაყოფა იყო მიყვანილი ბოლომდე, ანუ ზუსტი კოეფიციენტი იქნა მიღებული. თუმცა, უმეტეს შემთხვევაში ზუსტი კოეფიციენტის მიღება შეუძლებელია, რაც არ უნდა შორს გავაგრძელოთ გაყოფა. აქ არის ერთი ასეთი შემთხვევა: გაყავით 53 101-ზე.

ჩვენ უკვე მივიღეთ ხუთი ციფრი კოეფიციენტში, მაგრამ დაყოფა ჯერ არ დასრულებულა და არ არის იმედი, რომ ის ოდესმე დასრულდება, რადგან ის რიცხვები, რომლებიც ადრე შევხვდით, იწყება დანარჩენში. რიცხვები ასევე განმეორდება კოეფიციენტში: ცხადია, 7 რიცხვის შემდეგ გამოჩნდება რიცხვი 5, შემდეგ 2 და ასე უსასრულოდ. ასეთ შემთხვევებში გაყოფა წყდება და შემოიფარგლება კოეფიციენტის პირველი რამდენიმე ციფრით. ამ კერძოს ე.წ მიახლოებითი.როგორ განვახორციელოთ გაყოფა ამ შემთხვევაში, ჩვენ გაჩვენებთ მაგალითებით.

დაე, საჭირო გახდეს 25-ის 3-ზე გაყოფა. აშკარაა, რომ ზუსტი კოეფიციენტი, გამოსახული მთელი რიცხვით ან ათობითი წილადით, ვერ მიიღება ასეთი გაყოფისგან. ამიტომ, ჩვენ ვეძებთ სავარაუდო კოეფიციენტს:

25: 3 = 8 და დარჩენილი 1

სავარაუდო კოეფიციენტია 8; ის, რა თქმა უნდა, ზუსტ კოეფიციენტზე ნაკლებია, რადგან რჩება 1-ის ნაშთი. ზუსტი კოეფიციენტის მისაღებად, ნაპოვნ სავარაუდო კოეფიციენტს, ანუ 8-ს უნდა დაუმატოთ ნაშთის გაყოფის შედეგად მიღებული წილადი. 1-ის ტოლი 3-ით; ეს იქნება წილადი 1/3. ეს ნიშნავს, რომ ზუსტი კოეფიციენტი გამოისახება როგორც შერეული რიცხვი 8 1/3. ვინაიდან 1/3 არის სწორი წილადი, ანუ წილადი, ერთზე ნაკლები, მაშინ, მისი უგულებელყოფა, ჩვენ ვვარაუდობთ შეცდომა, რომელიც ერთზე ნაკლები. კერძო 8 ნება სავარაუდო კოეფიციენტი ერთამდე ნაკლით.თუ 8-ის ნაცვლად 9-ს ავიღებთ, მაშინ ასევე დავუშვებთ შეცდომას, რომელიც ერთზე ნაკლებია, რადგან დავამატებთ არა მთლიან ერთეულს, არამედ 2/3-ს. ასეთი კერძო ანდერძი მიახლოებითი კოეფიციენტი ერთამდე ჭარბი.

ახლა ავიღოთ სხვა მაგალითი. დაე, საჭირო გახდეს 27-ის 8-ზე გაყოფა. ვინაიდან აქ ჩვენ ვერ მივიღებთ ზუსტ კოეფიციენტს, რომელიც გამოხატულია მთელი რიცხვით, ჩვენ ვეძებთ სავარაუდო კოეფიციენტს:

27: 8 = 3 და დარჩენილი 3.

აქ შეცდომა არის 3/8, ის ერთზე ნაკლებია, რაც ნიშნავს, რომ მიახლოებითი კოეფიციენტი (3) გვხვდება ნაკლოვანებამდე ერთამდე. ვაგრძელებთ დაყოფას: 3-ის ნარჩენს ვყოფთ მეათედებად, ვიღებთ 30 მეათედს; გავყოთ ისინი 8-ზე.

ჩვენ ადგილზე მივიღეთ მეათედი 3 და დარჩენილი b მეათედი. თუ კონკრეტულად 3.3 რიცხვით შემოვიფარგლებით და დარჩენილ 6-ს გავაუქმებთ, მაშინ დავუშვებთ მეათედზე ნაკლებ შეცდომას. რატომ? რადგან ზუსტი კოეფიციენტი მიიღება, როცა 6 მეათედი 8-ზე გაყოფის შედეგს 3.3-ს დავუმატებდით; ამ გაყოფიდან იქნება 6/80, რაც მეათედზე ნაკლებია. (შეამოწმეთ!) ამრიგად, თუ მეათედებით შემოვიფარგლებით კოეფიციენტში, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ვიპოვეთ კოეფიციენტი. ზუსტი მეათედი(მინუსებით).

გავაგრძელოთ გაყოფა კიდევ ერთი ათობითი ადგილის საპოვნელად. ამისათვის ვყოფთ 6 მეათედს მეასედებად და ვიღებთ 60 მეასედს; გავყოთ ისინი 8-ზე.

კერძოში მესამე ადგილზე აღმოჩნდა 7, დანარჩენში კი 4 მეასედი; თუ მათ გავაუქმებთ, მაშინ დავუშვებთ მეასედზე ნაკლებ შეცდომას, რადგან 4 მეასედი გაყოფილი 8-ზე ნაკლებია მეასედზე. ასეთ შემთხვევებში, კოეფიციენტი მოიძებნება. ზუსტი მეასედამდე(მინუსებით).

მაგალითში, რომელსაც ახლა განვიხილავთ, შეგიძლიათ მიიღოთ ზუსტი კოეფიციენტი, გამოხატული როგორც ათობითი წილადი. ამისათვის საკმარისია ბოლო ნაშთი, 4 მეასედი, გავყოთ მეათასედებად და გავყოთ 8-ზე.

თუმცა, შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში შეუძლებელია ზუსტი კოეფიციენტის მიღება და ადამიანმა უნდა შემოიფარგლოს მისი მიახლოებითი მნიშვნელობებით. ახლა განვიხილავთ ასეთ მაგალითს:

40: 7 = 5,71428571...

რიცხვის ბოლოს წერტილები მიუთითებს, რომ გაყოფა არ არის დასრულებული, ანუ ტოლობა არის მიახლოებითი. ჩვეულებრივ მიახლოებითი თანასწორობა იწერება ასე:

40: 7 = 5,71428571.

ჩვენ ავიღეთ კოეფიციენტი რვა ათობითი ადგილით. მაგრამ თუ ასეთი დიდი სიზუსტე არ არის საჭირო, შეიძლება შემოიფარგლოს კოეფიციენტის მთელი ნაწილით, ანუ რიცხვით 5 (უფრო ზუსტად, 6); უფრო მეტი სიზუსტისთვის, მეათედების გათვალისწინება შეიძლება და კოეფიციენტის ტოლი 5,7; თუ რაიმე მიზეზით ეს სიზუსტე არასაკმარისია, მაშინ შეგვიძლია გავჩერდეთ მეასედებზე და ავიღოთ 5,71 და ა.შ. ჩამოვწეროთ ცალკეული კოეფიციენტები და დავასახელოთ ისინი.

პირველი სავარაუდო კოეფიციენტი ერთ 6-მდე.

მეორე » » » ერთ მეათედამდე 5.7.

მესამე » » » მეასედამდე 5.71.

მეოთხე » » » 5.714-მდე მეათასედამდე.

ამგვარად, იმისთვის, რომ ვიპოვოთ მიახლოებითი კოეფიციენტი ზოგიერთამდე, მაგალითად, მე-3 ათწილადამდე (ე.ი. მეათასედამდე), გაყოფა წყდება ამ ნიშნის აღმოჩენისთანავე. ამ შემთხვევაში, უნდა გვახსოვდეს §40-ში ჩამოყალიბებული წესი.

§ 113. უმარტივესი პრობლემები ინტერესისთვის.

ათობითი წილადების შესწავლის შემდეგ მოვაგვარებთ კიდევ რამდენიმე პროცენტულ ამოცანას.

ეს პრობლემები ისეთივეა, როგორიც ჩვენ გადავწყვიტეთ ჩვეულებრივი წილადების განყოფილებაში; მაგრამ ახლა ჩვენ დავწერთ მეასედებს ათობითი წილადების სახით, ანუ აშკარად განსაზღვრული მნიშვნელის გარეშე.

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა შეგეძლოთ მარტივად გადახვიდეთ ჩვეულებრივი წილადიდან ათწილად წილადზე მნიშვნელით 100. ამისათვის თქვენ უნდა გაყოთ მრიცხველი მნიშვნელზე:

ქვემოთ მოყვანილი ცხრილი გვიჩვენებს, თუ როგორ იცვლება რიცხვი % (პროცენტიანი) სიმბოლოთი ათწილადით 100 მნიშვნელით:

ახლა განვიხილოთ რამდენიმე პრობლემა.

1. მოცემული რიცხვის პროცენტების პოვნა.

დავალება 1.ერთ სოფელში მხოლოდ 1600 ადამიანი ცხოვრობს. სასკოლო ასაკის ბავშვების რაოდენობა მთლიანი მოსახლეობის 25%-ია. რამდენი სკოლის ასაკის ბავშვია ამ სოფელში?

ამ ამოცანაში თქვენ უნდა იპოვოთ 25%, ანუ 0.25 1600-დან. პრობლემა მოგვარებულია გამრავლებით:

1600 0.25 = 400 (ბავშვები).

აქედან გამომდინარე, 1600-დან 25% არის 400.

ამ ამოცანის გასაგებად, სასარგებლოა გავიხსენოთ, რომ მოსახლეობის ყოველ ასეულზე არის 25 სკოლის ასაკის ბავშვი. მაშასადამე, სასკოლო ასაკის ყველა ბავშვის რაოდენობის საპოვნელად, ჯერ შეგიძლიათ გაიგოთ, რამდენი ასეულია რიცხვში 1600 (16), შემდეგ კი გაამრავლოთ 25 ასობით რიცხვზე (25 x 16 = 400). ამ გზით თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ გადაწყვეტის მართებულობა.

დავალება 2.შემნახველი ბანკები მეანაბრეებს ყოველწლიურად აძლევენ შემოსავლის 2%-ს. რამდენ შემოსავალს მიიღებს წელიწადში მეანაბრე, რომელმაც შეიტანა: ა) 200 მანეთი? ბ) 500 მანეთი? გ) 750 მანეთი? დ) 1000 მანეთი?

ოთხივე შემთხვევაში პრობლემის გადასაჭრელად საჭირო იქნება მითითებული თანხებიდან 0,02-ის გამოთვლა, ანუ თითოეული ეს რიცხვი უნდა გამრავლდეს 0,02-ზე. Მოდი გავაკეთოთ ეს:

ა) 200 0.02 = 4 (რუბლი),

ბ) 500 0.02 = 10 (რუბლი),

გ) 750 0.02 = 15 (რუბლი),

დ) 1000 0.02 = 20 (რუბლი).

თითოეული ეს შემთხვევა შეიძლება შემოწმდეს შემდეგი მოსაზრებებით. შემნახველი ბანკები აძლევენ მეანაბრეებს შემოსავლის 2%-ს, ანუ შემნახველში ჩადებული თანხის 0,02-ს. თუ თანხა იყო 100 რუბლი, მაშინ მისგან 0,02 იქნებოდა 2 რუბლი. ეს ნიშნავს, რომ ყოველ ასეულს მოაქვს მეანაბრე 2 მანეთი. შემოსავალი. ამიტომ, თითოეულ განხილულ შემთხვევაში, საკმარისია გაერკვნენ, რამდენი ასეულია მოცემულ რიცხვში და გავამრავლოთ 2 რუბლი ამ ასობით. მაგალითში ა) ასობით 2, ასე

2 2 \u003d 4 (რუბლი).

დ) მაგალითში ასეულები არის 10, რაც ნიშნავს

2 10 \u003d 20 (რუბლი).

2. რიცხვის პოვნა მისი პროცენტით.

დავალება 1.გაზაფხულზე სკოლამ დაამთავრა 54 მოსწავლე, რაც მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 6%-ია. რამდენი მოსწავლე იყო სკოლაში გასულ სასწავლო წელს?

ჯერ განვმარტოთ ამ პრობლემის მნიშვნელობა. სკოლამ დაამთავრა 54 მოსწავლე, რაც შეადგენს მოსწავლეთა საერთო რაოდენობის 6%-ს, ანუ სკოლის ყველა მოსწავლის 6 მეასედს (0,06). ეს ნიშნავს, რომ ვიცით მოსწავლეთა ნაწილი, რომელიც გამოხატულია რიცხვით (54) და წილადით (0,06) და ამ წილადიდან უნდა ვიპოვოთ მთელი რიცხვი. ამრიგად, ჩვენ წინაშე დგას რიგითი პრობლემა მისი წილადით რიცხვის პოვნის შესახებ (§ 90 გვ. 6). ამ ტიპის პრობლემები წყდება გაყოფით:

ეს ნიშნავს, რომ სკოლაში 900 მოსწავლე იყო.

ასეთი ამოცანების შემოწმება სასარგებლოა შებრუნებული ამოცანის ამოხსნით, ანუ ამოცანის ამოხსნის შემდეგ, სულ მცირე, გონებაში უნდა გადაწყვიტოთ პირველი ტიპის პრობლემა (მოცემული რიცხვის პროცენტის პოვნა): აიღეთ ნაპოვნი რიცხვი ( 900) როგორც მოცემულია და იპოვეთ მისგან ამოხსნილ ამოცანაში მითითებული პროცენტი, კერძოდ:

900 0,06 = 54.

დავალება 2.თვეში ოჯახი კვებაზე 780 რუბლს ხარჯავს, რაც მამის ყოველთვიური შემოსავლის 65%-ია. განსაზღვრეთ მისი ყოველთვიური შემოსავალი.

ამ ამოცანას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რაც წინა. იგი იძლევა ყოველთვიური შემოსავლის ნაწილს, გამოხატული რუბლით (780 რუბლი) და მიუთითებს, რომ ეს ნაწილი შეადგენს მთლიანი შემოსავლის 65%-ს, ანუ 0,65-ს. და სასურველია მთელი შემოსავალი:

780: 0,65 = 1 200.

აქედან გამომდინარე, სასურველი შემოსავალი არის 1200 რუბლი.

3. რიცხვების პროცენტის პოვნა.

დავალება 1.სკოლის ბიბლიოთეკაში სულ 6000 წიგნია. მათ შორის არის 1200 წიგნი მათემატიკაში. მათემატიკის წიგნების რამდენი პროცენტია ბიბლიოთეკაში არსებული წიგნების საერთო რაოდენობა?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ (§97) მსგავსი პრობლემა და მივედით დასკვნამდე, რომ ორი რიცხვის პროცენტის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა იპოვოთ ამ რიცხვების თანაფარდობა და გაამრავლოთ იგი 100-ზე.

ჩვენს ამოცანაში უნდა ვიპოვოთ 1200 და 6000 რიცხვების პროცენტი.

ჯერ ვპოულობთ მათ თანაფარდობას და შემდეგ ვამრავლებთ 100-ზე:

ამრიგად, 1200 და 6000 რიცხვების პროცენტი არის 20. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მათემატიკის წიგნები შეადგენს ყველა წიგნის საერთო რაოდენობის 20%-ს.

შესამოწმებლად, ჩვენ ვხსნით შებრუნებულ პრობლემას: იპოვეთ 6000-დან 20%.

6 000 0,2 = 1 200.

დავალება 2.ქარხანამ 200 ტონა ქვანახშირი უნდა მიიღოს. 80 ტონა უკვე ჩაბარებულია, ნახშირის რამდენი პროცენტი იქნა მიტანილი ქარხანაში?

ეს პრობლემა სვამს კითხვას, რამდენი პროცენტია ერთი რიცხვი (80) მეორეს (200). ამ რიცხვების შეფარდება იქნება 80/200. გავამრავლოთ 100-ზე:

ეს ნიშნავს, რომ ნახშირის 40% მიწოდებულია.

ამ სტატიაში ჩვენ გავაანალიზებთ ისეთ მნიშვნელოვან მოქმედებას ათობითი წილადებით, როგორიცაა გაყოფა. პირველ რიგში, ჩვენ ვაყალიბებთ ზოგად პრინციპებს, შემდეგ გავაანალიზებთ, თუ როგორ სწორად გავყოთ ათობითი წილადები სვეტით, როგორც სხვა წილადებად, ასევე ნატურალურ რიცხვებად. შემდეგ გავაანალიზებთ ჩვეულებრივი წილადების დაყოფას ათწილადებად და პირიქით და ბოლოს ვნახავთ როგორ სწორად გავყოთ წილადები, რომლებიც მთავრდება 0, 1, 0, 01, 100, 10 და ა.შ.

აქ ვიღებთ მხოლოდ შემთხვევებს დადებითი წილადებით. თუ წილადის წინ არის მინუსი, მაშინ მასთან სამოქმედოდ, თქვენ უნდა შეისწავლოთ მასალა რაციონალური და რეალური რიცხვების გაყოფის შესახებ.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ყველა ათობითი წილადი, როგორც სასრული, ასევე პერიოდული, არის ჩვეულებრივი წილადების ჩაწერის სპეციალური ფორმა. აქედან გამომდინარე, მათზე მოქმედებს იგივე პრინციპები, რაც მათ შესაბამის ჩვეულებრივ წილადებზე. ამრიგად, ჩვენ ვამცირებთ ათობითი წილადების გაყოფის მთელ პროცესს მათ ჩანაცვლებამდე ჩვეულებრივი წილადებით, რასაც მოჰყვება გამოთვლა ჩვენთვის უკვე ცნობილი მეთოდებით. ავიღოთ კონკრეტული მაგალითი.

მაგალითი 1

გაყავით 1.2 0.48-ზე.

გადაწყვეტილება

ათობითი წილადებს ვწერთ ჩვეულებრივი წილადების სახით. ჩვენ შევძლებთ:

1 , 2 = 12 10 = 6 5

0 , 48 = 48 100 = 12 25 .

ამრიგად, 6 5 უნდა გავყოთ 12 25-ზე. Ჩვენ გვჯერა:

1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2

მიღებული არასათანადო წილადიდან შეგიძლიათ აირჩიოთ მთელი ნაწილი და მიიღოთ შერეული რიცხვი 2 1 2, ან შეგიძლიათ წარმოადგინოთ ის ათწილადის სახით ისე, რომ იგი ემთხვეოდეს თავდაპირველ რიცხვებს: 5 2 \u003d 2, 5. როგორ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ უკვე დავწერეთ ადრე.

პასუხი: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .

მაგალითი 2

გამოთვალეთ რამდენი იქნება 0 , (504) 0 , 56 .

გადაწყვეტილება

პირველ რიგში, ჩვენ უნდა გადავიყვანოთ პერიოდული ათობითი წილადი ჩვეულებრივზე.

0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111

ამის შემდეგ ჩვენ ასევე გადავთარგმნით საბოლოო ათობითი წილადს სხვა ფორმაში: 0, 56 = 56 100. ახლა ჩვენ გვაქვს ორი ნომერი, რომლითაც ჩვენთვის ადვილი იქნება საჭირო გამოთვლების განხორციელება:

0 , (504) : 1 , 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111

გვაქვს შედეგი, რომლის გადაყვანაც შეგვიძლია ათწილადში. ამისათვის გაყავით მრიცხველი მნიშვნელზე სვეტის მეთოდის გამოყენებით:

პასუხი: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .

თუ გაყოფის მაგალითში შევხვდით არაპერიოდიულ ათობითი წილადებს, მაშინ ცოტა განსხვავებულად ვიმოქმედებთ. ჩვენ არ შეგვიძლია მათი მიყვანა ჩვეულებრივ ჩვეულებრივ წილადებამდე, ამიტომ გაყოფისას ჯერ უნდა დავამრგვალოთ ისინი გარკვეულ ციფრამდე. ეს მოქმედება უნდა შესრულდეს როგორც დივიდენდით, ასევე გამყოფით: ჩვენ ასევე დავამრგვალებთ არსებულ სასრულ ან პერიოდულ წილადს სიზუსტის ინტერესებიდან გამომდინარე.

მაგალითი 3

იპოვეთ რამდენი იქნება 0, 779 ... / 1, 5602.

გადაწყვეტილება

პირველ რიგში ვამრგვალებთ ორივე წილადს მეასედამდე. ასე გადავდივართ უსასრულო არაგანმეორებადი წილადებიდან სასრულ ათწილადებზე:

0 , 779 … ≈ 0 , 78

1 , 5602 ≈ 1 , 56

შეგვიძლია გავაგრძელოთ გამოთვლები და მივიღოთ სავარაუდო შედეგი: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78100: 156100 = 78100 100156 = 78156 = 12 = 0.5.

შედეგის სიზუსტე დამოკიდებული იქნება დამრგვალების ხარისხზე.

პასუხი: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .

როგორ გავყოთ ნატურალური რიცხვი ათწილადზე და პირიქით

გაყოფის მიდგომა ამ შემთხვევაში თითქმის იგივეა: ჩვენ ვცვლით სასრულ და პერიოდულ წილადებს ჩვეულებრივი წილადებით და ვამრგვალებთ უსასრულო არაპერიოდულებს. დავიწყოთ ნატურალური რიცხვითა და ათობითი წილადით გაყოფის მაგალითით.

მაგალითი 4

გაყავით 2.5 45-ზე.

გადაწყვეტილება

მოდით მივიყვანოთ 2, 5 ჩვეულებრივი წილადის სახით: 255 10 \u003d 51 2. შემდეგი, ჩვენ უბრალოდ უნდა გავყოთ იგი ნატურალურ რიცხვზე. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ გავაკეთოთ ეს:

25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30

თუ შედეგს ათწილადის აღნიშვნაში გადავთარგმნით, მაშინ მივიღებთ 0 , 5 (6) .

პასუხი: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .

სვეტით გაყოფის მეთოდი კარგია არა მხოლოდ ნატურალური რიცხვებისთვის. ანალოგიით შეგვიძლია გამოვიყენოთ წილადებისთვისაც. ქვემოთ ჩვენ მივუთითებთ მოქმედებების თანმიმდევრობას, რომელიც უნდა განხორციელდეს ამისათვის.

განმარტება 1

ათობითი წილადების სვეტი ნატურალურ რიცხვებზე გასაყოფად, თქვენ უნდა:

1. მარჯვენა ათწილად წილადს რამდენიმე ნული დავუმატოთ (გაყოფისთვის შეგვიძლია დავამატოთ ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც გვჭირდება).

2. ათწილადი წილადის გაყოფა ნატურალურ რიცხვზე ალგორითმის გამოყენებით. როცა წილადის მთელი ნაწილის გაყოფა დასრულდება, მიღებულ კოეფიციენტში მძიმით ვსვამთ და შემდგომ ვითვლით.

ასეთი გაყოფის შედეგი შეიძლება იყოს სასრული ან უსასრულო პერიოდული ათობითი წილადი. ეს დამოკიდებულია ნაშთზე: თუ ის ნულია, მაშინ შედეგი იქნება სასრული, ხოლო თუ ნაშთები დაიწყებენ გამეორებას, მაშინ პასუხი იქნება პერიოდული წილადი.

მაგალითისთვის ავიღოთ რამდენიმე დავალება და შევეცადოთ დავასრულოთ ეს ნაბიჯები კონკრეტული რიცხვებით.

მაგალითი 5

გამოთვალეთ რამდენი იქნება 65 , 14 4 .

გადაწყვეტილება

ჩვენ ვიყენებთ სვეტის მეთოდს. ამისათვის დაამატეთ წილადს ორი ნული და მიიღეთ ათწილადი წილადი 65, 1400, რომელიც იქნება ორიგინალის ტოლი. ახლა ჩვენ ვწერთ სვეტს 4-ზე გასაყოფად:

შედეგად მიღებული რიცხვი იქნება ჩვენთვის საჭირო მთელი ნაწილის გაყოფის შედეგი. ჩვენ ვსვამთ მძიმით, გამოვყოფთ მას და ვაგრძელებთ:

ჩვენ მივაღწიეთ ნულოვან ნაშთს, შესაბამისად, გაყოფის პროცესი დასრულებულია.

პასუხი: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .

მაგალითი 6

გაყავით 164.5 27-ზე.

გადაწყვეტილება

ჯერ ვყოფთ წილადურ ნაწილს და ვიღებთ:

მიღებულ ფიგურას გამოვყოფთ მძიმით და ვაგრძელებთ გაყოფას:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ნაშთებმა პერიოდულად იწყეს გამეორება და რიცხვებმა ცხრა, ორი და ხუთი იწყეს მონაცვლეობა კოეფიციენტში. ჩვენ აქ გავჩერდებით და პასუხს დავწერთ პერიოდული წილადის სახით 6, 0 (925) .

პასუხი: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .

ასეთი გაყოფა შეიძლება შემცირდეს კერძო ათობითი წილადისა და ზემოთ უკვე აღწერილი ნატურალური რიცხვის პოვნის პროცესზე. ამისთვის დივიდენდი და გამყოფი უნდა გავამრავლოთ 10-ზე, 100-ზე და ა.შ., რათა გამყოფი იქცეს ნატურალურ რიცხვად. შემდეგ ვასრულებთ მოქმედებების ზემოაღნიშნულ თანმიმდევრობას. ეს მიდგომა შესაძლებელია გაყოფისა და გამრავლების თვისებების გამო. პირდაპირი ფორმით, ჩვენ დავწერეთ ისინი ასე:

a: b = (a 10) : (b 10) , a: b = (a 100) : (b 100) და ასე შემდეგ.

ჩამოვაყალიბოთ წესი:

განმარტება 2

ერთი საბოლოო ათობითი წილადის მეორეზე გასაყოფად თქვენ უნდა:

1. გადაიტანეთ მძიმით დივიდენდში და გამყოფში მარჯვნივ სიმბოლოების რაოდენობის მიხედვით, რაც აუცილებელია გამყოფის ნატურალურ რიცხვად გადაქცევისთვის. თუ დივიდენდში საკმარისი ნიშნები არ არის, მას მარჯვენა მხარეს ვამატებთ ნულებს.

2. ამის შემდეგ წილადს ვყოფთ სვეტად მიღებულ ნატურალურ რიცხვზე.

მოდით შევხედოთ კონკრეტულ პრობლემას.

მაგალითი 7

გაყავით 7, 287 2, 1-ზე.

ამოხსნა: იმისათვის, რომ გამყოფი გავხადოთ ნატურალური რიცხვი, უნდა გადავიტანოთ მძიმით ერთი სიმბოლო მარჯვნივ. ასე რომ, ჩვენ გადავედით ათობითი წილადის 72, 87 21-ზე გაყოფაზე. მიღებული რიცხვები ჩავწეროთ სვეტში და გამოვთვალოთ

პასუხი: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47

მაგალითი 8

გამოთვალეთ 16, 3 0, 021.

გადაწყვეტილება

ჩვენ მოგვიწევს მძიმის გადატანა სამ ციფრზე. ამისათვის გამყოფში არ არის საკმარისი ციფრები, რაც ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა გამოიყენოთ დამატებითი ნულები. ვფიქრობთ, საბოლოო შედეგი იქნება:

ჩვენ ვხედავთ ნარჩენების პერიოდულ გამეორებას 4 , 19 , 1 , 10 , 16 , 13 . კოეფიციენტი იმეორებს 1 , 9 , 0 , 4 , 7 და 5 -- ს . მაშინ ჩვენი შედეგი არის პერიოდული ათობითი 776 , (190476).

პასუხი: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476) ​​​​​​

ჩვენს მიერ აღწერილი მეთოდი საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ პირიქით, ანუ გაყოთ ნატურალური რიცხვი საბოლოო ათობითი წილადზე. ვნახოთ, როგორ კეთდება.

მაგალითი 9

გამოთვალეთ რამდენი იქნება 3 5 , 4 .

გადაწყვეტილება

ცხადია, ჩვენ მოგვიწევს მძიმის მარჯვნივ გადატანა ერთი სიმბოლოთი. ამის შემდეგ შეგვიძლია დავიწყოთ 30, 0-ის გაყოფა 54-ზე. მოდით ჩავწეროთ მონაცემები სვეტში და გამოვთვალოთ შედეგი:

ნაშთის გამეორება გვაძლევს რიცხვს 0 , (5) , რომელიც პერიოდული ათობითი რიცხვია.

პასუხი: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .

როგორ გავყოთ ათწილადები 1000, 100, 10 და ა.შ.

ჩვეულებრივი წილადების გაყოფის უკვე შესწავლილი წესების მიხედვით, წილადის ათეულებად, ასეულებად, ათასებად დაყოფა მისი 1/1000-ზე, 1/100, 1/10 და ა.შ. გამრავლების მსგავსია. , ამ შემთხვევაში საკმარისია მხოლოდ მძიმის გადატანა სასურველ ოდენობის ციფრებზე. თუ გადასატანად რიცხვში არ არის საკმარისი მნიშვნელობები, თქვენ უნდა დაამატოთ ნულების საჭირო რაოდენობა.

მაგალითი 10

ასე რომ, 56, 21: 10 = 5, 621 და 0, 32: 100,000 = 0, 0000032.

უსასრულო ათწილადების შემთხვევაში ჩვენც იგივეს ვაკეთებთ.

მაგალითი 11

მაგალითად, 3 , (56) : 1000 = 0 , 003 (56) და 593 , 374 ... : 100 = 5 , 93374 ... .

როგორ გავყოთ ათწილადები 0.001, 0.01, 0.1 და ა.შ.

იგივე წესის გამოყენებით შეგვიძლია წილადებიც გავყოთ მითითებულ მნიშვნელობებზე. ეს მოქმედება იქნება 1000-ზე, 100-ზე, 10-ზე გამრავლების მსგავსი. ამისთვის პრობლემის პირობებიდან გამომდინარე გადავიტანთ მძიმით ერთ, ორ ან სამ ციფრზე და ვამატებთ ნულებს, თუ რიცხვში არ არის საკმარისი ციფრები.

მაგალითი 12

მაგალითად, 5, 739: 0, 1 = 57, 39 და 0, 21: 0, 00001 = 21,000.

ეს წესი ასევე ვრცელდება უსასრულო ათწილადებზე. ჩვენ მხოლოდ გირჩევთ იყოთ ფრთხილად იმ წილადის პერიოდთან, რომელიც მიღებულია პასუხში.

ასე რომ, 7 , 5 (716) : 0 , 01 = 757 , (167) , რადგან მას შემდეგ რაც მძიმით გადავიტანეთ ათობითი აღნიშვნით 7 , 5716716716 ... ორი ციფრი მარჯვნივ, მივიღეთ 757 , 167167 ... .

თუ მაგალითში გვაქვს არაპერიოდული წილადები, მაშინ ყველაფერი უფრო მარტივია: 394 , 38283 ... : 0 , 001 = 394382 , 83 ... .

როგორ გავყოთ შერეული რიცხვი ან საერთო წილადი ათწილადზე და პირიქით

ჩვენ ასევე ვამცირებთ ამ მოქმედებას ჩვეულებრივ წილადებთან ოპერაციებამდე. ამისათვის შეცვალეთ ათობითი რიცხვები შესაბამისი ჩვეულებრივი წილადებით და შერეული რიცხვი ჩაწერეთ არასწორ წილადად.

თუ არაპერიოდულ წილადს გავყოფთ ჩვეულებრივ ან შერეულ რიცხვზე, უნდა გავაკეთოთ პირიქით, ჩვეულებრივი წილადი ან შერეული რიცხვი შევცვალოთ შესაბამისი ათობითი წილადით.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

როგორ გავამრავლოთ და გავყოთ ათწილადები?

1. არ ინერვიულო და არ იჩქარო.
2. 
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   

   
   მაგალითად: 1.1 0.2 = 0.22
   მაგალითად: 22 0.1 = 2.2
   22: 10 = 2,2

3. თუ ათობითი წილადს აქვს მძიმე, მაშინ 10-ზე, 100, 1000-ზე გამრავლებისას მძიმით გადაინაცვლებს მარჯვნივ 1 2 ან 3 ციფრი 0.234*10=2.34 0.234*100=23.4.
   თუ მას არ აქვს მძიმე, მაშინ 23*10=230 უკან ემატება 0 00 ან 000
   გაყოფისას მძიმით გადადის მარცხნივ 1 2 ან 3 ციფრი 234/100=2/34
4. 2
   თქვენ ჯერ კიდევ უნდა გაამრავლოთ რიცხვები, მაგრამ უნდა გესმოდეთ, როგორ იცვლება მძიმის პოზიცია. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ გარკვეული წესი, მაგრამ მის გასაგებად, თქვენ უნდა გესმოდეთ, როგორ გარდაიქმნება ათობითი წილადები ჩვეულებრივ წილადებად და როგორ მრავლდება ჩვეულებრივი წილადები.

   ათწილადი წილადის ჩვეულებრივად წარმოსადგენად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ეს რიცხვი ათწილადის გარეშე მრიცხველში, ხოლო მნიშვნელში ერთი ფორმის რიცხვი და იმდენი ნული, რამდენი ათწილადი იყო გამოყოფილი ათწილადის წილადში ( ანუ რიცხვის მნიშვნელში 10, 100, 1000 და ა.შ. შემდგომი).

   მაგალითად, რიცხვი 1.238 ჩვეულებრივი წილადის სახით შეიძლება ჩაიწეროს როგორც 12381000 მრიცხველში იგივე რიცხვი, მაგრამ მძიმის გარეშე, ხოლო მნიშვნელში 1000 ერთი და სამი ნული, რადგან სამი სიმბოლო გამოყოფილია 1.238-ში მძიმით. .

   ამ მაგალითში წილადები იქნება 5410, 710 და 2810.

   ანალოგიურად, საპირისპირო მიმართულებით, თუ მნიშვნელი არის ნულოვანი ერთეული: მრიცხველში მძიმით გამოყოფს იმდენ სიმბოლოს, რამდენიც იყო ნულები მნიშვნელში. Მაგალითად:

   537100=5,37
   შემდეგ განიხილეთ ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისა და გაყოფის საკითხი. ჩვეულებრივი წილადების გამრავლებისას შედეგის მრიცხველი იქნება ფაქტორების მრიცხველების ნამრავლი, შედეგის მნიშვნელი კი ფაქტორების მნიშვნელების ნამრავლი. Მაგალითად:

   3752=3572=1514
   ერთი ათობითი წილადის მეორეზე გაყოფისას წილადი, რომლითაც ის იყოფა, უკუგდება და პირველი წილადი მრავლდება მასზე. Მაგალითად:

   3475=3457=1528
   ახლა ვნახოთ, როგორ მრავლდება ათობითი წილადები. ავიღოთ ორი წილადი, წარმოვადგენთ ჩვეულებრივ წილადებად, გავამრავლოთ და ისევ დავწეროთ ათწილადის სახით:

   5,40,7=5410710=547100=378100=3,78

5. 4.15 * 10 \u003d 41.5 - ერთი 0 ნიშნავს, რომ ათობითი წერტილის შემდეგ იქნება 1 ციფრი.
   ასევე 3.12 * 1000 = 3120 - ჩვენ ვხსნით მძიმეს, რადგან არ არის საკმარისი რიცხვები
   Სულ ეს არის.
6. გამრავლებისას: მრიცხველი გავამრავლოთ მრიცხველზე, ხოლო მნიშვნელი მნიშვნელზე.
   გაყოფისას: პირველ წილადს ვტოვებთ იგივეს და მეორეს - გადავატრიალებთ, შემდეგ კი გამრავლების წესით.
7. თქვენ ამრავლებთ და რიცხვებად მძიმის გარეშე და შემდეგ გამოყოფთ იმდენ სიმბოლოს (მარჯვნიდან მარცხნივ) რამდენი სიმბოლოა ორივე ფაქტორში ერთად
8. ათწილადი წილადის 10, 100, 1000 და ა.შ. გამრავლებისას აუცილებელია ამ წილადში მძიმის მარჯვნივ გადატანა იმდენი ციფრით, რამდენიც ნულებია მულტიპლიკატორში. Მაგალითად:
   0,065 1000 = 0065 = 65;
   2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900.

   ორი ათწილადის გამრავლება ხდება ასე: რიცხვები მრავლდება ათწილადის გარეშე. პროდუქტში მძიმი მოთავსებულია ისე, რომ გამოყოს იმდენი სიმბოლო მარჯვნივ, რამდენიც გამოყოფილია ორივე ფაქტორში ერთად.
   მაგალითად: 1.1 0.2 = 0.22
   ნებისმიერი რიცხვის 0.1-ზე გამრავლების ნაცვლად; 0,01; 0.001, შეგიძლიათ ეს რიცხვი გაყოთ 10-ზე; 100; ან 1000 შესაბამისად.
   მაგალითად: 22 0.1 = 2.2
   22: 10 = 2,2

9. შენ არ მინახიხარ, უბრალოდ ქულებს ვაგროვებ)
10. ათობითი წილადების გამრავლება ხორციელდება ისევე, როგორც ნატურალური რიცხვების გამრავლება, იგივე წესების მიხედვით, მაგრამ ნამრავლში მძიმით იდება წილადის ფაქტორების ციფრების ჯამის მიხედვით, დათვლა მარჯვნივ მარცხნივ (ფაქტორების ციფრების ჯამი არის ციფრების რაოდენობა ათწილადის შემდეგ ერთად აღებული ფაქტორებისთვის).

    წილადების გაყოფისას ათობითი წილადის გამყოფი იზრდება იმდენი ციფრით, რამდენიც არის მის წილადში. ისე, რომ წილადი არ შეიცვალოს, დივიდენდი იზრდება იგივე რაოდენობის ციფრებით (დივიდენდში და გამყოფში მძიმით გადადის სიმბოლოების იმავე რაოდენობაზე). წილადში მძიმით იდება გაყოფის საფეხურზე, როდესაც იყოფა წილადის მთელი ნაწილი.

ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ ათწილადის წილადების შეკრება და გამოკლება (იხილეთ გაკვეთილი "ათწილადი წილადების შეკრება და გამოკლება"). ამავე დროს, მათ შეაფასეს, რამდენად გამარტივებულია გამოთვლები ჩვეულებრივ "ორსართულიან" წილადებთან შედარებით.

სამწუხაროდ, ათობითი წილადების გამრავლებითა და გაყოფით, ეს ეფექტი არ ხდება. ზოგიერთ შემთხვევაში, ათობითი აღნიშვნა ამ ოპერაციებსაც კი ართულებს.

პირველ რიგში, მოდით შემოვიტანოთ ახალი განმარტება. მას საკმაოდ ხშირად შევხვდებით და არა მხოლოდ ამ გაკვეთილზე.

რიცხვის მნიშვნელოვანი ნაწილია ყველაფერი პირველ და ბოლო არანულოვან ციფრებს შორის, თრეილერების ჩათვლით. საუბარია მხოლოდ ციფრებზე, ათობითი წერტილი არ არის გათვალისწინებული.

რიცხვის მნიშვნელოვან ნაწილში შემავალ ციფრებს მნიშვნელოვან ციფრებს უწოდებენ. ისინი შეიძლება განმეორდეს და იყოს ნულის ტოლიც კი.

მაგალითად, განიხილეთ რამდენიმე ათობითი წილადი და ჩაწერეთ მათი შესაბამისი მნიშვნელოვანი ნაწილები:

1. 91.25 → 9125 (მნიშვნელოვანი ციფრები: 9; 1; 2; 5);
2. 0.008241 → 8241 (მნიშვნელოვანი ციფრები: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (მნიშვნელოვანი მაჩვენებლები: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0.0304 → 304 (მნიშვნელოვანი მაჩვენებლები: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (არსებობს მხოლოდ ერთი მნიშვნელოვანი ფიგურა: 3).

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: ნულები რიცხვის მნიშვნელოვანი ნაწილის შიგნით არსად არ მიდის. მსგავსი რამ ჩვენ უკვე შეგვხვდა, როდესაც ვისწავლეთ ათწილადი წილადების ჩვეულებრივად გადაქცევა (იხილეთ გაკვეთილი „ათწილადი წილადები“).

ეს პუნქტი იმდენად მნიშვნელოვანია და შეცდომებს აქ ისე ხშირად უშვებენ, რომ უახლოეს მომავალში გამოვაქვეყნებ ტესტს ამ თემაზე. აუცილებლად ივარჯიშეთ! და ჩვენ, მნიშვნელოვანი ნაწილის კონცეფციით შეიარაღებული, ფაქტობრივად, გაკვეთილის თემას გადავალთ.

ათწილადი გამრავლება

გამრავლების ოპერაცია შედგება სამი თანმიმდევრული ეტაპისგან:

1. თითოეული წილადისთვის ჩაწერეთ მნიშვნელოვანი ნაწილი. თქვენ მიიღებთ ორ ჩვეულებრივ მთელ რიცხვს - ყოველგვარი მნიშვნელებისა და ათობითი წერტილების გარეშე;
2. გაამრავლეთ ეს რიცხვები ნებისმიერი მოსახერხებელი გზით. პირდაპირ, თუ რიცხვები მცირეა, ან სვეტში. ვიღებთ სასურველი წილადის მნიშვნელოვან ნაწილს;
3. გაარკვიეთ სად და რამდენი ციფრით არის გადატანილი ათობითი წერტილი თავდაპირველ წილადებში შესაბამისი მნიშვნელოვანი ნაწილის მისაღებად. შეასრულეთ საპირისპირო ცვლა წინა ეტაპზე მიღებულ მნიშვნელოვან ნაწილზე.

კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ მნიშვნელოვანი ნაწილის გვერდებზე ნულები არასოდეს არის გათვალისწინებული. ამ წესის უგულებელყოფა იწვევს შეცდომებს.

1. 0,28 12,5;
2. 6.3 1.08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0.0108 1600.5;
5. 5.25 10000.

ჩვენ ვმუშაობთ პირველი გამოსახულებით: 0.28 12.5.

1. ამ გამოთქმიდან ჩამოვწეროთ რიცხვების მნიშვნელოვანი ნაწილები: 28 და 125;
2. მათი პროდუქტი: 28 125 = 3500;
3. პირველ მულტიპლიკატორში ათობითი წერტილი გადაინაცვლებს 2 ციფრით მარჯვნივ (0,28 → 28), ხოლო მეორეში - კიდევ 1 ციფრით. საერთო ჯამში, საჭიროა სამი ციფრით მარცხნივ გადანაცვლება: 3500 → 3.500 = 3.5.

ახლა მოდით გაუმკლავდეთ გამოთქმას 6.3 1.08.

1. ჩამოვწეროთ მნიშვნელოვანი ნაწილები: 63 და 108;
2. მათი პროდუქტი: 63 108 = 6804;
3. ისევ, ორი ცვლა მარჯვნივ: 2 და 1 ციფრით, შესაბამისად. ჯამში - ისევ 3 ციფრი მარჯვნივ, ასე რომ საპირისპირო ცვლა იქნება 3 ციფრი მარცხნივ: 6804 → 6.804. ამჯერად არ არის ნულები ბოლოს.

მივედით მესამე გამოთქმამდე: 132.5 0.0034.

1. მნიშვნელოვანი ნაწილები: 1325 და 34;
2. მათი პროდუქტი: 1325 34 = 45,050;
3. პირველ წილადში ათობითი წერტილი მარჯვნივ მიდის 1 ციფრით, ხოლო მეორეში - 4-ით. სულ: 5 მარჯვნივ. ჩვენ ვასრულებთ ცვლას 5-ით მარცხნივ: 45050 → .45050 = 0.4505. ნული ამოიღეს ბოლოს და დაემატა წინა მხარეს, რათა არ დარჩეს "შიშველი" ათობითი წერტილი.

შემდეგი გამოთქმა: 0.0108 1600.5.

1. ჩვენ ვწერთ მნიშვნელოვან ნაწილებს: 108 და 16 005;
2. ვამრავლებთ მათ: 108 16 005 = 1 728 540;
3. რიცხვებს ვითვლით ათობითი წერტილის შემდეგ: პირველ რიცხვში არის 4, მეორეში - 1. ჯამში - ისევ 5. გვაქვს: 1,728,540 → 17,28540 = 17,2854. დასასრულს, "დამატებითი" ნული მოიხსნა.

ბოლოს ბოლო გამოთქმა: 5.25 10000.

1. მნიშვნელოვანი ნაწილები: 525 და 1;
2. ვამრავლებთ მათ: 525 1 = 525;
3. პირველი წილადი გადაინაცვლებს 2 ციფრით მარჯვნივ, ხოლო მეორე წილადს 4 ციფრით მარცხნივ (10000 → 1.0000 = 1). სულ 4 − 2 = 2 ციფრი მარცხნივ. ჩვენ ვასრულებთ საპირისპირო ცვლას 2 ციფრით მარჯვნივ: 525, → 52 500 (უნდა დავამატო ნულები).

ყურადღება მიაქციეთ ბოლო მაგალითს: ვინაიდან ათობითი წერტილი მოძრაობს სხვადასხვა მიმართულებით, მთლიანი ცვლა ხდება განსხვავებაში. ეს ძალიან მნიშვნელოვანი წერტილია! აი კიდევ ერთი მაგალითი:

განვიხილოთ რიცხვები 1.5 და 12500. გვაქვს: 1.5 → 15 (მარჯვნივ 1-ით გადანაცვლება); 12 500 → 125 (გადატანა 2 მარცხნივ). ჩვენ "გადაბიჯებთ" 1 ციფრი მარჯვნივ, შემდეგ კი 2 ციფრი მარცხნივ. შედეგად, ჩვენ გადავდგით 2 − 1 = 1 ციფრი მარცხნივ.

ათწილადი დაყოფა

განყოფილება ალბათ ყველაზე რთული ოპერაციაა. რა თქმა უნდა, აქ შეგიძლიათ იმოქმედოთ გამრავლებით ანალოგიით: გაყავით მნიშვნელოვანი ნაწილები და შემდეგ "გადაიტანეთ" ათობითი წერტილი. მაგრამ ამ შემთხვევაში, არსებობს მრავალი დახვეწილობა, რომელიც უარყოფს პოტენციურ დანაზოგს.

მოდით შევხედოთ ზოგად ალგორითმს, რომელიც ოდნავ გრძელია, მაგრამ ბევრად უფრო საიმედო:

1. ყველა ათწილადის გადაქცევა ჩვეულებრივ წილადებად. მცირე პრაქტიკით, ეს ნაბიჯი რამდენიმე წამს წაგართმევთ;
2. მიღებული წილადები გაყავით კლასიკური გზით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გავამრავლოთ პირველი წილადი "შებრუნებულ" წამზე (იხილეთ გაკვეთილი " რიცხვითი წილადების გამრავლება და გაყოფა");
3. თუ შესაძლებელია, დააბრუნეთ შედეგი ათწილადის სახით. ეს ნაბიჯი ასევე სწრაფია, რადგან ხშირად მნიშვნელს უკვე აქვს ათის სიმძლავრე.

დავალება. იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

ჩვენ განვიხილავთ პირველ გამონათქვამს. ჯერ გადავიყვანოთ obi წილადები ათწილადებად:

იგივეს ვაკეთებთ მეორე გამონათქვამით. პირველი წილადის მრიცხველი კვლავ იშლება ფაქტორებად:

მესამე და მეოთხე მაგალითებში არის მნიშვნელოვანი წერტილი: ათობითი აღნიშვნის მოშორების შემდეგ ჩნდება გაუქმებადი წილადები. თუმცა, ჩვენ არ განვახორციელებთ ამ შემცირებას.

ბოლო მაგალითი საინტერესოა, რადგან მეორე წილადის მრიცხველი მარტივი რიცხვია. აქ უბრალოდ არაფერია გასათვალისწინებელი, ასე რომ, ჩვენ მას ვთვლით "ცარიელად":

ხანდახან გაყოფის შედეგად მიიღება მთელი რიცხვი (ბოლო მაგალითზე მაქვს საუბარი). ამ შემთხვევაში მესამე ნაბიჯი საერთოდ არ სრულდება.

გარდა ამისა, გაყოფისას ხშირად ჩნდება "მახინჯი" წილადები, რომლებიც ვერ გადაიქცევა ათწილადებად. ეს არის ის, სადაც გაყოფა განსხვავდება გამრავლებისგან, სადაც შედეგები ყოველთვის გამოხატულია ათობითი ფორმით. რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში, ბოლო ნაბიჯი კვლავ არ სრულდება.

ასევე ყურადღება მიაქციეთ მე-3 და მე-4 მაგალითებს. მათში ჩვენ განზრახ არ ვამცირებთ ათწილადებიდან მიღებულ ჩვეულებრივ წილადებს. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ეს გაართულებს შებრუნებულ პრობლემას - წარმოადგენს საბოლოო პასუხს ისევ ათობითი ფორმით.

დაიმახსოვრეთ: წილადის ძირითადი თვისება (როგორც სხვა წესი მათემატიკაში) თავისთავად არ ნიშნავს იმას, რომ ის ყველგან და ყოველთვის, ყველა შესაძლებლობის შემთხვევაში უნდა იქნას გამოყენებული.