წარმოებული მოცემული მიმართულებით. მიმართულების წარმოებული

დაუშვით ფუნქცია u = f(x, y, z)უწყვეტი ზოგიერთ მხარეში დდა აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ რეგიონში. მოდით ავირჩიოთ წერტილი განხილულ ზონაში M(x,y,z)და დახაზეთ ვექტორი მისგან ს, რომლის მიმართულების კოსინუსებია cosα, cosβ, cosγ. ვექტორზე ს მანძილზე Δ სთავიდანვე ვპოულობთ წერტილს მ 1 (x+Δ x, y+Δ y, z+Δ ზ), სადაც

წარმოვიდგინოთ ფუნქციის სრული ზრდა ვროგორც:

სად

Δ-ზე გაყოფის შემდეგ სჩვენ ვიღებთ:

Იმდენად, რამდენადაც წინა თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

გრადიენტი.

განმარტებამიმართების ზღვარი at ეწოდება ფუნქციის წარმოებული u = f(x, y, z)ვექტორის მიმართულებით ს და აღინიშნება.

ამ შემთხვევაში, (1)-დან ვიღებთ:

(2)

შენიშვნა 1. ნაწილობრივი წარმოებულები არის მიმართულების წარმოებულის განსაკუთრებული შემთხვევა. მაგალითად, როდის ჩვენ ვიღებთ:

შენიშვნა 2. ზემოთ, ორი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა განისაზღვრა, როგორც ტანგენტების დახრილობის კოეფიციენტები ზედაპირის გადაკვეთის ხაზებზე, რაც წარმოადგენს ფუნქციის გრაფიკს სიბრტყეებთან. x = x 0და y = y 0. ანალოგიურად, ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ამ ფუნქციის წარმოებული მიმართულების მიმართ ლწერტილში M(x 0, y 0)როგორც მოცემული ზედაპირის გადაკვეთისა და წერტილში გამავალი სიბრტყის ხაზის დახრილობა მ O ღერძის პარალელურად ზდა პირდაპირი ლ.

განმარტებავექტორი, რომლის კოორდინატები რომელიმე ფართობის თითოეულ წერტილში არის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები u = f(x, y, z)ამ ეტაპზე ე.წ გრადიენტიფუნქციები u = f(x, y, z).

დანიშნულება: გრადი u = .

გრადიენტური თვისებები.

1. წარმოებული რომელიმე ვექტორის მიმართულების მიმართ ს უდრის ვექტორული გრადის პროექციას uვექტორზე ს . მტკიცებულება. ერთეული მიმართულების ვექტორი ს ფორმა აქვს ე ს =(cosα, cosβ, cosγ), ამიტომ ფორმულის მარჯვენა მხარე (4.7) არის გრადის ვექტორების სკალარული ნამრავლი uდა ე ს , ანუ მითითებული პროექცია.

2. წარმოებული მოცემულ წერტილში ვექტორის მიმართულებით ს აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა |გრადის ტოლი uთუ ეს მიმართულება იგივეა, რაც გრადიენტის მიმართულება. მტკიცებულება. აღნიშნეთ კუთხე ვექტორებს შორის ს და გრადი uφ-ს მეშვეობით. შემდეგ თვისება 1-დან გამომდინარეობს, რომ |გრადი u|∙cosφ, (4.8) შესაბამისად, მისი მაქსიმალური მნიშვნელობა მიიღწევა φ=0-ზე და უდრის |გრადს u|.

3. წარმოებული ვექტორის გრადზე პერპენდიკულარული ვექტორის მიმართულების მიმართ u, უდრის ნულს.

მტკიცებულება. ამ შემთხვევაში, ფორმულაში (4.8)

4. თუ z = f(x,y)არის ორი ცვლადის ფუნქცია, შემდეგ grad ვ= მიმართულია დონის ხაზის პერპენდიკულარულად f (x, y) = c,ამ წერტილის გავლით.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების ექსტრემა. ექსტრემისთვის აუცილებელი პირობა. საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. პირობითი უკიდურესი. ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი. ყველაზე დიდი და უმცირესი მნიშვნელობების პოვნა.

განმარტება 1.Წერტილი M 0 (x 0, y 0)დაურეკა მაქსიმალური ქულაფუნქციები z = f (x, y),თუ f (x o, y o) > f(x, y)ყველა პუნქტისთვის (x, y) M 0.

განმარტება 2. Წერტილი M 0 (x 0, y 0)დაურეკა მინიმალური ქულაფუნქციები z = f (x, y),თუ f (x o, y o) < f(x, y)ყველა პუნქტისთვის (x, y)წერტილის რომელიღაც უბნიდან M 0.

შენიშვნა 1. მაქსიმალური და მინიმალური ქულა ეწოდება ექსტრემალური წერტილებირამდენიმე ცვლადის ფუნქციები.

შენიშვნა 2. ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი განისაზღვრება ანალოგიურად.

თეორემა 1(აუცილებელი ექსტრემალური პირობები). Თუ M 0 (x 0, y 0)არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი z = f (x, y),მაშინ ამ მომენტში ამ ფუნქციის პირველი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია ან არ არსებობს.

მტკიცებულება.

დავაფიქსიროთ ცვლადის მნიშვნელობა ზეითვლიდა y = y 0. შემდეგ ფუნქცია f(x, y0)იქნება ერთი ცვლადის ფუნქცია X, რისთვისაც x = x 0არის უკიდურესი წერტილი. მაშასადამე, ფერმას თეორემით ან არ არსებობს. იგივე მტკიცება დადასტურებულია .

განმარტება 3.რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის დომენის კუთვნილ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ნულის ტოლია ან არ არსებობს, ე.წ. სტაციონარული წერტილებიამ ფუნქციას.

კომენტარი. ამრიგად, ექსტრემუმის მიღწევა შესაძლებელია მხოლოდ სტაციონარულ წერტილებში, მაგრამ ის აუცილებლად არ შეინიშნება თითოეულ მათგანზე.

თეორემა 2(საკმარისი პირობები ექსტრემისთვის). შეუშვით წერტილის რომელიმე სამეზობლოში M 0 (x 0, y 0), რომელიც არის ფუნქციის სტაციონარული წერტილი z = f (x, y),ამ ფუნქციას აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მე-3 რიგის ჩათვლით. აღნიშნე შემდეგ:

1) f(x, y)აქვს წერტილში M 0მაქსიმალური თუ AC-B² > 0, ა < 0;

2) f(x, y)აქვს წერტილში M 0მინიმალური თუ AC-B² > 0, ა > 0;

3) არ არის ექსტრემუმი კრიტიკულ წერტილში თუ AC-B² < 0;

4) თუ AC-B² = 0, საჭიროა დამატებითი კვლევა.

მაგალითი. ვიპოვოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები z=x² - 2 xy + 2წ² + 2 x.სტაციონარული წერტილების მოსაძებნად ჩვენ ვხსნით სისტემას . ასე რომ, სტაციონარული წერტილი არის (-2,-1). სადაც A = 2, AT = -2, თან= 4. მაშინ AC-B² = 4 > 0, მაშასადამე, უკიდურესობა მიიღწევა სტაციონარულ წერტილში, კერძოდ, მინიმალური (რადგან ა > 0).

პირობითი უკიდურესი.

განმარტება 4.თუ ფუნქციის არგუმენტები f (x 1 , x 2 ,…, x n)შეკრული დამატებითი პირობებით ფორმაში მგანტოლებები ( მ< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (1)

სადაც φ i ფუნქციებს აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები, მაშინ (1) განტოლებები ეწოდება კავშირის განტოლებები.

განმარტება 5.ექსტრემალური ფუნქცია f (x 1 , x 2 ,…, x n)პირობებში (1) ეწოდება პირობითი ექსტრემუმი.

კომენტარი. ჩვენ შეგვიძლია შემოგთავაზოთ ორი ცვლადის ფუნქციის პირობითი ექსტრემის შემდეგი გეომეტრიული ინტერპრეტაცია: მოდით, ფუნქციის არგუმენტები f(x,y)დაკავშირებულია φ განტოლებით (x, y)= 0, განსაზღვრავს რაღაც მრუდს O სიბრტყეში ჰუ. ამ მრუდის თითოეული წერტილიდან აღდგენილი პერპენდიკულარული O სიბრტყეზე ჰუზედაპირის გადაკვეთამდე z = f (x, y),ჩვენ ვიღებთ სივრცულ მრუდს, რომელიც დევს ზედაპირზე მრუდის φ ზემოთ (x, y)= 0. პრობლემა არის მიღებული მრუდის უკიდურესი წერტილების პოვნა, რომლებიც, რა თქმა უნდა, ზოგად შემთხვევაში არ ემთხვევა ფუნქციის უპირობო უკიდურეს წერტილებს. f(x,y).

მოდით განვსაზღვროთ აუცილებელი პირობითი ექსტრემალური პირობები ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, წინასწარ შემდეგი განმარტების შემოღებით:

განმარტება 6.ფუნქცია L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (2)

სადაც λ i -ზოგიერთი მუდმივი, ე.წ ლაგრანგის ფუნქციადა ნომრები λ i– განუსაზღვრელი ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.

თეორემა(აუცილებელი პირობითი ექსტრემალური პირობები). ფუნქციის პირობითი ექსტრემუმი z = f(x, y)შეზღუდვის განტოლების არსებობისას φ ( x, y)= 0-ის მიღწევა შესაძლებელია მხოლოდ ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარულ წერტილებში L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

განვიხილოთ ფუნქცია u(x, y, z) М(x, y, z) წერტილში და წერტილი М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

დავხაზოთ ვექტორი M და M 1 წერტილებში. ამ ვექტორის დახრილობის კუთხეები კოორდინატთა ღერძების x, y, z მიმართულებამდე აღინიშნება a, b, g-ით. ამ კუთხეების კოსინუსები ე.წ მიმართულების კოსინუსებივექტორი .

ვექტორზე M და M 1 წერტილებს შორის მანძილი აღინიშნა DS-ით.

სადაც e 1, e 2, e 3 რაოდენობები უსასრულოდ მცირეა.

გეომეტრიული მოსაზრებებიდან აშკარაა:

ამრიგად, ზემოაღნიშნული თანასწორობები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგნაირად:

გაითვალისწინეთ, რომ s არის სკალარული მნიშვნელობა. ის მხოლოდ ვექტორის მიმართულებას განსაზღვრავს.

ამ განტოლებიდან გამომდინარეობს შემდეგი განმარტება:

ლიმიტი ე.წ u(x, y, z) ფუნქციის წარმოებული ვექტორის მიმართულებითკოორდინატების მქონე წერტილში (x, y, z).

ავხსნათ ზემოთ მოყვანილი თანასწორობების მნიშვნელობა მაგალითით.

მაგალითი 9.1. გამოთვალეთ z \u003d x 2 + y 2 x ფუნქციის წარმოებული A (1, 2) წერტილში ვექტორის მიმართულებით. (3, 0)-ში.

გადაწყვეტილება.უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრა.

ჩვენ ვპოულობთ z ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს ზოგადი ფორმით:

ამ რაოდენობების მნიშვნელობები A წერტილში:

ვექტორის მიმართულების კოსინუსების საპოვნელად ვასრულებთ შემდეგ გარდაქმნებს:

მოცემული ვექტორის გასწვრივ მიმართული თვითნებური ვექტორი მიიღება მნიშვნელობად, ე.ი. დიფერენცირების მიმართულების განსაზღვრა.

აქედან ვიღებთ ვექტორის მიმართულების კოსინუსების მნიშვნელობებს:

კოზა = ; cosb=-

საბოლოოდ მივიღებთ: - მოცემული ფუნქციის წარმოებულის მნიშვნელობა ვექტორის მიმართულებით.

თუ ფუნქცია u = u(x, y, z) მოცემულია ზოგიერთ D დომენში და ზოგიერთ ვექტორში, რომლის პროგნოზები კოორდინატთა ღერძებზე უდრის u ფუნქციის მნიშვნელობებს შესაბამის წერტილში.

მაშინ ეს ვექტორი ეწოდება გრადიენტიფუნქციონირებს u.

ამ შემთხვევაში ჩვენ ვამბობთ, რომ გრადიენტების ველი მოცემულია D რეგიონში.

თეორემა: მოცემული იყოს ფუნქცია u = u(x, y, z) და გრადიენტური ველი

მაშინ წარმოებული რომელიმე ვექტორის მიმართულების მიმართ უდრის ვექტორის გრადუს პროექციას ვექტორზე.

მტკიცებულება: განვიხილოთ ერთეული ვექტორი და ფუნქცია u = u(x, y, z) და იპოვეთ ვექტორების სკალარული ნამრავლი და გრადუსი.

გამოხატულება ამ ტოლობის მარჯვენა მხარეს არის u ფუნქციის წარმოებული s მიმართულებით.

იმათ. . თუ კუთხე ვექტორებს შორის გრადუსიდა აღინიშნება j-ით, მაშინ სკალარული ნამრავლი შეიძლება დაიწეროს როგორც ამ ვექტორების მოდულების ნამრავლი და მათ შორის კუთხის კოსინუსი. იმის გათვალისწინებით, რომ ვექტორი ერთეულია, ე.ი. მისი მოდული უდრის ერთს, შეგვიძლია დავწეროთ:

ამ თანასწორობის მარჯვენა მხარეს გამოხატულება არის ვექტორის პროექცია grad uვექტორამდე.

თეორემა დადასტურდა.

გრადიენტის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობის საილუსტრაციოდ, ვთქვათ, რომ გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც აჩვენებს რომელიმე სკალარული ველის უსწრაფესი ცვლილების მიმართულებას რაღაც მომენტში. ფიზიკაში არსებობს ისეთი ცნებები, როგორიცაა ტემპერატურის გრადიენტი, წნევის გრადიენტი და ა.შ. იმათ. გრადიენტის მიმართულება არის ფუნქციის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულება.

გეომეტრიული წარმოდგენის თვალსაზრისით, გრადიენტი პერპენდიკულარულია ფუნქციის დონის ზედაპირზე.

1) ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა. მიმართულება მოცემულია ვექტორით. ჩვენ ვირჩევთ ერთეულ ვექტორს, რომელიც განსაზღვრავს მიმართულებას სიბრტყეზე: . ეს ვექტორი ქმნის კუთხეს OX ღერძის დადებითი მიმართულებით. ორი ცვლადის ფუნქციის მიმართულების წარმოებულს ეწოდება გამოხატულება .

2) სამი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა. მიეცეს ერთეული ვექტორი, რომელიც ქმნის კუთხეებს ღერძებით OX, OY და OZ, შესაბამისად. თუ ვექტორის კოორდინატებს აღვნიშნავთ როგორც , მაშინ ორ ვექტორს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულით მივიღებთ . ანალოგიურად,. ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ერთეულ ვექტორს, რომელიც ქმნის კუთხეებს ღერძებით OX, OY და OZ, აქვს კოორდინატები. სამი ცვლადის ფუნქციის მიმართულების წარმოებულს ეწოდება გამოხატულება

განმარტება.გრადიენტიფუნქციებს ჩვეულებრივ უწოდებენ ვექტორს . ამ მიზეზით, ფუნქციის წარმოებული ერთეული ვექტორის მიერ მოცემული მიმართულებით შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით , სადაც ფორმულაში მარჯვნივ არის ფუნქციის გრადიენტისა და ერთეულის მიმართულების ვექტორის სკალარული ნამრავლი.

გრადიენტის მთავარი თვისება: ყველა შესაძლო მიმართულებას შორის, წარმოებული მიმართულებით იღებს ყველაზე დიდ და დადებით მნიშვნელობას გრადიენტის მიმართულებით. ეს თვისება გამომდინარეობს სკალარული პროდუქტის განმარტებიდან. ვინაიდან წარმოებულის პოზიტიურობა ნიშნავს ფუნქციის ზრდას, გრადიენტის მიმართულება წერტილში არის ϶ᴛᴏ ფუნქციის უდიდესი ზრდის მიმართულება.

უმაღლესი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

ცვლადების ფუნქციის ნებისმიერი ნაწილობრივი წარმოებული თავად ასევე ცვლადების ფუნქციაა. მრავალი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის ნაწილობრივი წარმოებული ეწოდება მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებულიფუნქციები. ამ შემთხვევაში, თუ ცვლადები, რომლებთან დაკავშირებითაც წარმოებულები აღებულია ჯერ ფუნქციიდან და შემდეგ ფუნქციიდან, არ ემთხვევა, ასეთ ნაწილობრივ წარმოებულს ჩვეულებრივ უწოდებენ შერეულს. მეორე რიგის ნაწილობრივი წარმოებული აღნიშვნა: . იმ შემთხვევაში, როდესაც და არიან უწყვეტი ფუნქციები რომელიმე წერტილის სამეზობლოში, ამ მომენტში.

ანალოგიურად, შემოტანილია ნებისმიერი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები.

მაგალითი
მასპინძლობს ref.rf
იპოვეთ ფუნქციიდან. Ჩვენ გვაქვს
.

იმისათვის, რომ გამოვთვალოთ იგივე წარმოებული MAXIM-ების გამოყენებით, ვიყენებთ ბრძანებას diff(log(x+3*y),x,2,y,1).

უმაღლესი რიგის დიფერენციაციები.

წარმოებულების ანალოგიით შემოტანილია უმაღლესი რიგის დიფერენციები, ანუ დიფერენციალებისგან. განვიხილოთ სამი ცვლადის ფუნქცია. ამ ფუნქციის დიფერენციალი არის გამოხატულება. გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო გამოსახულებაში შეტანილი წარმოებულები არის ფუნქციები და ცვლადების დიფერენციალი არ არის დამოკიდებული. ამ მიზეზით, შერეული წარმოებულების უწყვეტობის პირობებში, მეორე რიგის დიფერენციალს აქვს ფორმა

ბოლო ფორმულაში გამოვიყენეთ შერეული წარმოებულების ტოლობის თვისება. ადვილი მისახვედრია, რომ მეორე რიგის დიფერენციალური ფორმულა მსგავსია სამი წევრის ჯამის მეორე ხარისხის ფორმულის. ძნელი არ არის ორი ცვლადის ფუნქციის მეორე და მესამე რიგის დიფერენციაციების გამოთვლა:

Ვარჯიში.Პოვნა (1,1) წერტილის ფუნქციისთვის.

ტეილორის ფორმულა მრავალი ცვლადის ფუნქციისთვის.

როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციების შემთხვევაში, მრავალი ცვლადის ფუნქციისთვის, ტეილორის ფორმულა იძლევა ურთიერთობას ფუნქციის ზრდას წერტილში და მის დიფერენციალებს შორის იმავე წერტილში:

სადაც .

კერძოდ, ორი ცვლადის ფუნქციისთვის გვაქვს:

Აქ .

მიმართულების წარმოებული. - კონცეფცია და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები "მიმართული წარმოებული". 2017, 2018 წ.

- მიმართულების წარმოებული. გრადიენტი. მიმართება გრადიენტსა და მიმართულების წარმოებულს შორის.

განვიხილოთ ფუნქცია u(x, y, z) М(x, y, z) წერტილში და წერტილი М1(x + Dx, y + Dy, z + Dz). დავხაზოთ ვექტორი M და M1 წერტილებში. ამ ვექტორის დახრილობის კუთხეები კოორდინატთა ღერძების x, y, z მიმართულებამდე აღინიშნება a, b, g-ით. ამ კუთხეების კოსინუსებს ვექტორის მიმართულების კოსინუსებს უწოდებენ. ....

- მიმართულების წარმოებული

სკალარული ველის U(M) მნიშვნელოვანი მახასიათებელია ველის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე მითითებული მიმართულებით. თუ ეს მიმართულება ემთხვევა ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის მიმართულებას, მაშინ მივიღებთ შესაბამისი ნაწილობრივი წარმოებულის მნიშვნელობას. ვექტორული ალგებრადან... .

- მიმართულების წარმოებული. გრადიენტი.

მოდით ფუნქცია U = F (X, Y, Z) იყოს უწყვეტი ზოგიერთ D დომენში და ჰქონდეს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ამ დომენში. განსახილველ უბანში ვირჩევთ M(X,Y,Z) წერტილს და მისგან ვხატავთ S ვექტორს, რომლის მიმართულების კოსინუსებია cosA, cosB, cosG. ვექტორზე S მისი საწყისიდან DS მანძილზე... .

- თემა 11. წარმოებული მიმართულებით. გრადიენტი

ფუნქციის წარმოებულს მიმართულების გასწვრივ წერტილში ეწოდება ლიმიტი, სადაც ლიმიტი არსებობს. თუ ფუნქცია დიფერენცირებადია, მაშინ მიმართულების წარმოებული გამოითვლება ფორმულით (1), სადაც არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები, კერძოდ, თუ არის ორი ცვლადის ფუნქცია,... .

- მიმართულების წარმოებული. გრადიენტი

სკალარული ველი. დონის ზედაპირები. მათემატიკური ველის თეორიის ელემენტები მათემატიკური ფიზიკის განვითარების ძირითადი ეტაპები მათემატიკური ფიზიკა წარმოიშვა, როგორც დამოუკიდებელი მეცნიერება მე-18 საუკუნის ბოლოს და მე-19 საუკუნის დასაწყისში. ეს არის ამ...

მრავალი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის კონცეფციის შემოღებით, ჩვენ გავზარდეთ ცვლადები ინდივიდუალურად, ყველა სხვა არგუმენტი უცვლელი დავტოვეთ. კერძოდ, თუ განვიხილავთ ორი ცვლადის ფუნქციას z = f(x, y), მაშინ ან x ცვლადს მიენიჭა ნამატი Δx, შემდეგ კი ფუნქციის დომენში ადგილი ჰქონდა გადასასვლელი წერტილიდან კოორდინატებით (x. , y) კოორდინატების მქონე წერტილამდე (x + Δx ;y); ან y ცვლადს მიენიჭა ნამატი Δy, შემდეგ კი ფუნქციის დომენში მოხდა გადასვლა კოორდინატების მქონე წერტილიდან (x, y) წერტილზე კოორდინატებით (x; y + Δy) (იხ. სურათი 5.6). ამრიგად, წერტილი, სადაც ჩვენ ავიღეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული, მოძრაობს სიბრტყეზე კოორდინატთა ღერძების პარალელურად (ან აბსცისის ღერძის პარალელურად ან ორდინატთა ღერძის პარალელურად). ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც მიმართულება შეიძლება თვითნებურად, ე.ი. მატება ეძლევა რამდენიმე ცვლადს ერთდროულად. ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში გადავალთ წერტილში (x + Δx; y + Δy), ხოლო გადაადგილება იქნება Δ. ლ(იხ. სურათი 5.6).

ამ მიმართულებით გადაადგილებისას ფუნქცია z მიიღებს ნამატს Δ ლ z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), რომელსაც ეწოდება z ფუნქციის ზრდა მოცემული მიმართულებით. ლ.

წარმოებული ზ ლ` მიმართულებით ლ ორი ცვლადის ფუნქცია
z = f(x,y) არის ამ მიმართულებით ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი Δ გადაადგილების რაოდენობასთან. ლროცა ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის, ე.ი. .

წარმოებული ზ ლ` ახასიათებს ფუნქციის ცვლილების სიჩქარეს მიმართულებით ლ.

მიმართულების წარმოებულის კონცეფცია შეიძლება განზოგადდეს ნებისმიერი რაოდენობის ცვლადის მქონე ფუნქციებზე.

სურათი 5.6 - წერტილის გადაადგილება მიმართულებით ლ

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ზ ლ` = z x `cos α + z y `cos β, სადაც α და β არის კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება წერტილის მოძრაობის მიმართულებით კოორდინატთა ღერძებით (იხ. სურათი 5.6).

მაგალითად, ვიპოვოთ z = ln ფუნქციის წარმოებული (x 2 + xy) წერტილში.
(3; 1) ამ წერტილიდან (6; -3) წერტილამდე მიმავალი მიმართულებით (იხ. სურათი 5.7).

ამისათვის ჯერ იპოვნეთ ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები წერტილში (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3 *1) = 7 /12;
z y ` \u003d x / (x 2 + xy) \u003d 3 / (3 2 + 3 * 1) \u003d 3/12 \u003d 1/4.

გაითვალისწინეთ, რომ Δx = 6 – 3 = 3; Δy \u003d -3 - 1 \u003d -4; (Δ ლ) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ ლ| = 5. მაშინ cos α = 3/5; cos β = -4/5; ზ ლ` = z x `cos α + z y `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4 / 5) = (7*1 - 1*4)/(4*5) = 3/20.

ფუნქციის გრადიენტი

სასკოლო მათემატიკის კურსიდან ცნობილია, რომ ვექტორი სიბრტყეზე არის მიმართული სეგმენტი. მის დასაწყისს და დასასრულს ორი კოორდინატი აქვს. ვექტორული კოორდინატები გამოითვლება საწყისი კოორდინატების ბოლო კოორდინატებს გამოკლებით.

ვექტორის ცნება ასევე შეიძლება გავრცელდეს n-განზომილებიან სივრცეში (ორი კოორდინატის ნაცვლად იქნება n კოორდინატი).

გრადიენტი grad z ფუნქციის z = f(х 1 , х 2 , …х n) არის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების ვექტორი წერტილში, ე.ი. ვექტორი კოორდინატებით .

შეიძლება დადასტურდეს, რომ ფუნქციის გრადიენტი ახასიათებს ფუნქციის დონის ყველაზე სწრაფი ზრდის მიმართულებას წერტილში.

მაგალითად, ფუნქციისთვის z \u003d 2x 1 + x 2 (იხ. სურათი 5.8), გრადიენტს ნებისმიერ წერტილში ექნება კოორდინატები (2; 1). ის შეიძლება აშენდეს თვითმფრინავზე სხვადასხვა გზით, ვექტორის დასაწყისად ნებისმიერი წერტილის აღებით. მაგალითად, შეგიძლიათ დააკავშიროთ წერტილი (0; 0) წერტილს (2; 1), ან წერტილი (1; 0) წერტილს (3; 1), ან წერტილი (0; 3) წერტილს (2; 4), ან ტ .პ. (იხ. სურათი 5.8). ამ გზით აგებულ ყველა ვექტორს ექნება კოორდინატები (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

სურათი 5.8 ნათლად აჩვენებს, რომ ფუნქციის დონე იზრდება გრადიენტის მიმართულებით, რადგან აშენებული დონის ხაზები შეესაბამება დონის მნიშვნელობებს 4 > 3 > 2.

სურათი 5.8 - გრადიენტური ფუნქცია z \u003d 2x 1 + x 2

განვიხილოთ სხვა მაგალითი - ფუნქცია z = 1/(x 1 x 2). ამ ფუნქციის გრადიენტი აღარ იქნება ყოველთვის იგივე სხვადასხვა წერტილში, რადგან მისი კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

ნახაზი 5.9 გვიჩვენებს z = 1 / (x 1 x 2) ფუნქციის დონის ხაზებს 2 და 10 დონეებისთვის (სწორი ხაზი 1 / (x 1 x 2) = 2 მითითებულია წერტილოვანი ხაზით, ხოლო სწორი ხაზი.
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - მყარი ხაზი).

სურათი 5.9 - z \u003d 1 / (x 1 x 2) ფუნქციის გრადიენტები სხვადასხვა წერტილში

აიღეთ, მაგალითად, წერტილი (0.5; 1) და გამოთვალეთ გრადიენტი ამ ეტაპზე: (-1 / (0.5 2 * 1); -1 / (0.5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . გაითვალისწინეთ, რომ წერტილი (0.5; 1) დევს დონის ხაზზე 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, რადგან z \u003d f (0.5; 1) \u003d 1 / (0.5 * 1) \u003d 2. ასახეთ ვექტორი (-4; -2) სურათზე 5.9, ჩვენ ვაკავშირებთ წერტილს (0.5; 1) წერტილს (-3.5; -1), რადგან
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

ავიღოთ სხვა წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგალითად, წერტილი (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). გამოთვალეთ გრადიენტი ამ ეტაპზე
(-1/(1 2 *0.5); -1/(1*0.5 2)) = (-2; -4). 5.9-ზე მის გამოსასახად, წერტილს (1; 0.5) ვუკავშირებთ წერტილს (-1; -3.5), რადგან (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

ავიღოთ კიდევ ერთი წერტილი იმავე დონის წრფეზე, მაგრამ მხოლოდ ახლა არაპოზიტიურ კოორდინატთა კვარტალში. მაგალითად, წერტილი (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). გრადიენტი ამ ეტაპზე იქნება
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). მოდით გამოვსახოთ იგი ნახაზზე 5.9 წერტილის (-0.5; -1) (3.5; 1) წერტილის შეერთებით, რადგან (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

უნდა აღინიშნოს, რომ სამივე განხილულ შემთხვევაში, გრადიენტი აჩვენებს ფუნქციის დონის ზრდის მიმართულებას (დონის ხაზისკენ 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

შეიძლება დადასტურდეს, რომ გრადიენტი ყოველთვის პერპენდიკულარულია მოცემულ წერტილში გამავალი დონის წრფეზე (დონის ზედაპირი).

სკალარული ველიეწოდება სივრცის ნაწილს (ან მთელ სივრცეს), თითოეულ წერტილს, რომელიც შეესაბამება ზოგიერთი სკალარული სიდიდის რიცხობრივ მნიშვნელობას.

მაგალითები

სხეული, რომელსაც აქვს გარკვეული ტემპერატურის მნიშვნელობა თითოეულ წერტილში არის სკალარული ველი.

არაჰომოგენური სხეული, რომლის თითოეული წერტილი შეესაბამება გარკვეულ სიმკვრივეს - სკალარული სიმკვრივის ველს.

ყველა ამ შემთხვევაში U სკალარული მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული დროზე, არამედ დამოკიდებულია M წერტილის პოზიციაზე (კოორდინატებზე) სივრცეში, ანუ არის სამი ცვლადის ფუნქცია, ე.წ. საველე ფუნქცია. და პირიქით, სამი ცვლადის ნებისმიერი ფუნქცია u=f(x, y, z)განსაზღვრავს გარკვეულ სკალარ ველს.

პლანური სკალარული ველის ფუნქცია დამოკიდებულია ორ ცვლადზე z=f(x, y).

განვიხილოთ სკალარული ველი u=f(x, y, z).

ვექტორს, რომლის კოორდინატები არის მოცემულ წერტილში გამოთვლილი ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები, ეწოდება გრადიენტიფუნქცია ამ წერტილში ან სკალარული ველის გრადიენტი.

განვიხილოთ ვექტორი მასზე ორი წერტილით M 0 (x 0 , y 0 , z 0)და . ვიპოვოთ ფუნქციის ზრდა მიმართულებით:

მიმართულების წარმოებულიშემდეგი ლიმიტი ეწოდება, თუ ის არსებობს:

სად არის ვექტორის მიმართულების კოსინუსები; α, β, γ არის კუთხეები, რომლებსაც ვექტორი ქმნის კოორდინატთა ღერძებით, თუ .

ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ეს ფორმულები იღებენ ფორმას:

ან ,

როგორც .

არსებობს კავშირი გრადიენტსა და მიმართულების წარმოებულს შორის იმავე წერტილში.

თეორემა.ფუნქციისა და გარკვეული მიმართულების ვექტორის გრადიენტის სკალარული ნამრავლი უდრის მოცემული ფუნქციის წარმოებულს ამ ვექტორის მიმართულებით:

შედეგი.წარმოებულს მიმართულების მიმართ აქვს ყველაზე დიდი მნიშვნელობა, თუ ეს მიმართულება ემთხვევა გრადიენტის მიმართულებას (გაიმართლეთ თავი წერტილის ნამრავლის განმარტებით და დაუშვით, რომ ).

დასკვნები:

1. გრადიენტი არის ვექტორი, რომელიც აჩვენებს მოცემულ წერტილში ფუნქციის უდიდესი ზრდის მიმართულებას და აქვს მოდული, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ზრდის სიჩქარეს:

2. წარმოებული მიმართულებით არის ფუნქციის ცვლილების სიჩქარე მიმართულებით: თუ , მაშინ ფუნქცია ამ მიმართულებით იზრდება, თუ , მაშინ ფუნქცია მცირდება.

3. თუ ვექტორი ემთხვევა ერთ-ერთ ვექტორს, მაშინ წარმოებული ამ ვექტორის მიმართულებით ემთხვევა შესაბამის ნაწილობრივ წარმოებულს.

მაგალითად, თუ, მაშინ.

მაგალითი

მოცემული ფუნქცია , წერტილი A(1, 2)და ვექტორი .

იპოვე: 1) ;

გადაწყვეტილება

1) იპოვეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები და გამოთვალეთ ისინი A წერტილში.

, .

მერე .

2) იპოვეთ ვექტორის მიმართულების კოსინუსები:

პასუხი: ; .

ლიტერატურა [ 1,2]

კითხვები თვითშემოწმებისთვის:

1. რას ჰქვია ორი ცვლადის ფუნქცია, მისი განმარტების სფერო?

2. როგორ განისაზღვრება ნაწილობრივი წარმოებულები?

3. რა არის ნაწილობრივი წარმოებულების გეომეტრიული მნიშვნელობა?

4. რას ეწოდება სკალარული ველის გრადიენტი მოცემულ წერტილში?

5. რას ეწოდება მიმართულების წარმოებული?

6. ჩამოაყალიბეთ ორი ცვლადის ფუნქციის ექსტრემის პოვნის წესები.

ვარიანტი 1

დავალება ნომერი 1

ა) ; ბ) ;

in) ; გ) .

დავალება ნომერი 2გამოიკვლიეთ ფუნქცია უწყვეტობისთვის: იპოვეთ ფუნქციის წყვეტის წერტილები და განსაზღვრეთ მათი ტიპი. შექმენით ფუნქციის სქემატური გრაფიკი.

დავალების ნომერიმოცემულია რთული რიცხვი Z. საჭიროა: რიცხვი Z ჩაწეროთ ალგებრული და ტრიგონომეტრიული ფორმებით. .

დავალება ნომერი 4.

1) y \u003d 3x 5 - sinx, 2) y \u003d tgx, 3) y \u003d, 4) .

დავალება ნომერი 5.ფუნქციის გამოკვლევა დიფერენციალური გამოთვლის მეთოდების გამოყენებით და კვლევის შედეგების გამოყენებით გრაფიკის აგება. .

დავალება ნომერი 6.მოცემულია z=f(x,y) ფუნქცია. შეამოწმეთ შესრულებულია თუ არა პირადობა F≡0?

დავალება ნომერი 7მოცემული ფუნქცია Z=x2+xy+y2, წერტილი და ვექტორი . Პოვნა:

1) გრადციწერტილში მაგრამ;

2) წარმოებული წერტილში მაგრამვექტორის მიმართულებით .

ვარიანტი 2

დავალება ნომერი 1გამოთვალეთ ფუნქციების საზღვრები L'Hopital-ის წესის გამოყენების გარეშე.

ა) ; ბ) ;

in) ; გ) .

დავალება ნომერი 3მოცემულია რთული რიცხვი Z. საჭიროა: რიცხვი Z ჩაწეროთ ალგებრული და ტრიგონომეტრიული ფორმებით.

დავალება ნომერი 4.იპოვეთ ამ ფუნქციების პირველი რიგის წარმოებულები.

პორტალი სტუდენტისთვის. თვითმმართველობის მომზადება

ᲓᲐᲙᲐᲕᲨᲘᲠᲔᲑᲣᲚᲘ ᲡᲢᲐᲢᲘᲔᲑᲘ