ჯერ გავიხსენოთ განტოლებათა სისტემის ამოხსნის განმარტება ორ ცვლადში.

განმარტება 1

რიცხვთა წყვილს ეწოდება ამონახსნი განტოლებათა სისტემის ორი ცვლადით, თუ მათი ჩანაცვლებისას განტოლებაში სწორი ტოლობა მიიღება.

შემდეგში განვიხილავთ ორი განტოლების სისტემას ორი ცვლადით.

არსებობს განტოლებათა სისტემის ამოხსნის ოთხი ძირითადი გზა: ჩანაცვლების მეთოდი, დამატების მეთოდი, გრაფიკული მეთოდი, ცვლადების მართვის ახალი მეთოდი. მოდით შევხედოთ ამ მეთოდებს კონკრეტული მაგალითებით. პირველი სამი მეთოდის გამოყენების პრინციპის აღსაწერად განვიხილავთ ორი წრფივი განტოლების სისტემას ორი უცნობით:

ჩანაცვლების მეთოდი

ჩანაცვლების მეთოდი ასეთია: აღებულია რომელიმე განტოლება და $y$ გამოიხატება $x$-ით, შემდეგ $y$ ჩანაცვლებულია სისტემის განტოლებაში, საიდანაც გვხვდება $x.$ ცვლადი. ამის შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია მარტივად გამოვთვალოთ $y.$ ცვლადი

მაგალითი 1

მოდით გამოვხატოთ მეორე განტოლებიდან $y$ $x$-ით:

ჩაანაცვლეთ პირველ განტოლებაში, იპოვეთ $x$:

\ \ \

იპოვეთ $y$:

პასუხი: $(-2,\ 3)$

დამატების მეთოდი.

განვიხილოთ ეს მეთოდი მაგალითით:

მაგალითი 2

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (მასივი) \მარჯვნივ.\]

გავამრავლოთ მეორე განტოლება 3-ზე, მივიღებთ:

\[\ მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

ახლა დავუმატოთ ორივე განტოლება:

\ \ \

იპოვეთ $y$ მეორე განტოლებიდან:

\[-6-y=-9\] \

პასუხი: $(-2,\ 3)$

შენიშვნა 1

გაითვალისწინეთ, რომ ამ მეთოდით აუცილებელია ერთი ან ორივე განტოლების გამრავლება ისეთ რიცხვებზე, რომ ერთ-ერთი ცვლადის დამატებისას „გაქრეს“.

გრაფიკული გზა

გრაფიკული მეთოდი ასეთია: სისტემის ორივე განტოლება გამოსახულია კოორდინატულ სიბრტყეზე და ნაპოვნია მათი გადაკვეთის წერტილი.

მაგალითი 3

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end (მასივი) \მარჯვნივ.\]

მოდით გამოვხატოთ $y$ ორივე განტოლებიდან $x$-ით:

\[\ მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

მოდით დავხატოთ ორივე გრაფიკი ერთ სიბრტყეზე:

სურათი 1.

პასუხი: $(-2,\ 3)$

როგორ შემოვიტანოთ ახალი ცვლადები

ამ მეთოდს განვიხილავთ შემდეგ მაგალითში:

მაგალითი 4

\[\ მარცხნივ\( \ დასაწყისი(მასივი)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(მაივი) \მარჯვნივ .\]

გადაწყვეტილება.

ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

\[\ მარცხნივ\( \დაწყება(მასივი)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(მაივი) \ მართალია.\]

მოდით, $2^x=u\ (u>0)$ და $3^y=v\ (v>0)$, მივიღებთ:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

მიღებულ სისტემას ვხსნით დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

შემდეგ მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებას რომ დავუბრუნდეთ, ჩვენ ვიღებთ ექსპონენციალური განტოლებების ახალ სისტემას:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

ჩვენ ვიღებთ:

\[\მარცხენა\( \დაწყება(მასივი)(c) (x=0) \\ (y=1) \end(მასივი) \მარჯვნივ.\]

უფრო საიმედო ვიდრე წინა პარაგრაფში განხილული გრაფიკული მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასში გამოვიყენეთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად. მე-7 კლასში შემუშავებული ალგორითმი საკმაოდ შესაფერისია ნებისმიერი ორი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად (არ არის აუცილებელი წრფივი) ორი ცვლადით x და y (რა თქმა უნდა, ცვლადები შეიძლება აღვნიშნოთ სხვა ასოებით, რაც არ აქვს მნიშვნელობა). ფაქტობრივად, ეს ალგორითმი გამოვიყენეთ წინა აბზაცში, როდესაც ორნიშნა რიცხვის პრობლემამ გამოიწვია მათემატიკური მოდელი, რომელიც არის განტოლებათა სისტემა. ჩვენ გადავწყვიტეთ ზემოთ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით (იხ. მაგალითი 1 § 4-დან).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ორი ცვლადით x, y.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა, შესაბამისად, მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

4) თავის მხრივ შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი თითოეული მნიშვნელობა ფორმულაში x \u003d 5 - Zy. თუ მაშინ
5) განტოლებათა მოცემული სისტემის წყვილები (2; 1) და ამონახსნები.

პასუხი: (2; 1);

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდი, თქვენთვის ცნობილია მე-7 კლასის ალგებრის კურსიდან, სადაც იგი გამოიყენებოდა წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად. ჩვენ ვიხსენებთ მეთოდის არსს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის პირველი განტოლების ყველა წევრს 3-ზე და ვტოვებთ მეორე განტოლებას უცვლელად:
გამოვაკლოთ სისტემის მეორე განტოლება მის პირველ განტოლებას:

თავდაპირველი სისტემის ორი განტოლების ალგებრული შეკრების შედეგად მიღებული იქნა განტოლება, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე მოცემული სისტემის პირველი და მეორე განტოლება. ამ მარტივი განტოლებით ჩვენ გვაქვს უფლება შევცვალოთ მოცემული სისტემის ნებისმიერი განტოლება, მაგალითად, მეორე. შემდეგ განტოლებათა მოცემული სისტემა შეიცვლება უფრო მარტივი სისტემით:

ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს ჩანაცვლების მეთოდით. მეორე განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ ამ გამოხატვის y-ის ნაცვლად სისტემის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

რჩება x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

თუ x = 2 მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ სისტემის ორი გამოსავალი:

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი

მე-8 კლასის ალგებრის კურსში ერთი ცვლადით რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდს გაეცანით. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ამ მეთოდის არსი იგივეა, მაგრამ ტექნიკური თვალსაზრისით არის რამდენიმე მახასიათებელი, რომელსაც შემდეგ მაგალითებში განვიხილავთ.

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, შემდეგ სისტემის პირველი განტოლება შეიძლება გადავიწეროთ უფრო მარტივი ფორმით: მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება t ცვლადის მიმართ:

ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას და, შესაბამისად, არის რაციონალური განტოლების ფესვები t ცვლადით. მაგრამ ეს ნიშნავს ან საიდან ვპოულობთ, რომ x = 2y, ან
ამრიგად, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის დახმარებით, ჩვენ შევძელით, თითქოსდა, სისტემის პირველი განტოლება, რომელიც საკმაოდ რთულია გარეგნულად, ორ მარტივ განტოლებად „სტრატიფიცირება“ გავხადეთ:

x = 2 y; y - 2x.

Რა არის შემდეგი? შემდეგ კი მიღებული ორი მარტივი განტოლებიდან თითოეული თავის მხრივ უნდა განიხილებოდეს სისტემაში განტოლებით x 2 - y 2 \u003d 3, რომელიც ჯერ არ გვახსოვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა მცირდება განტოლებების ორი სისტემის ამოხსნით:

აუცილებელია იპოვოთ გადაწყვეტილებები პირველი სისტემისთვის, მეორე სისტემისთვის და პასუხში შევიტანოთ მნიშვნელობების ყველა წყვილი. მოდით ამოხსნათ განტოლების პირველი სისტემა:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი, მით უმეტეს, რომ აქ ყველაფერი მზად არის: სისტემის მეორე განტოლებაში ვცვლით გამოხატულებას x-ის ნაცვლად 2y. მიიღეთ

x \u003d 2y-დან შესაბამისად ვპოულობთ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. ამრიგად, მიიღება მოცემული სისტემის ორი ამონახსნი: (2; 1) და (-2; -1). გადავწყვიტოთ განტოლების მეორე სისტემა:

ისევ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის მეორე განტოლებაში y-ის ნაცვლად გამოსახულებას ვცვლით 2x. მიიღეთ

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები. ამრიგად, პასუხში მხოლოდ პირველი სისტემის გადაწყვეტილებები უნდა იყოს შეტანილი.

პასუხი: (2; 1); (-2;-1).

ორი ცვლადით ორი განტოლების სისტემების ამოხსნისას ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი გამოიყენება ორ ვერსიაში. პირველი ვარიანტი: შემოტანილია ერთი ახალი ცვლადი და გამოიყენება სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდა მე-3 მაგალითში. მეორე ვარიანტი: ორი ახალი ცვლადი შემოტანილია და ერთდროულად გამოიყენება სისტემის ორივე განტოლებაში. ასე იქნება მე-4 მაგალითში.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ორი ახალი ცვლადი:

ამას მაშინ ვიგებთ

ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ მოცემული სისტემა ბევრად უფრო მარტივი ფორმით, მაგრამ ახალი a და b ცვლადების მიმართ:

ვინაიდან a \u003d 1, შემდეგ განტოლებიდან a + 6 \u003d 2 ვპოულობთ: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. ამრიგად, a და b ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

x და y ცვლადებს დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ ალგებრული მიმატების მეთოდს:

მას შემდეგ 2x + y = 3 განტოლებიდან ვპოულობთ:
ამრიგად, x და y ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ ეს ნაწილი მოკლე, მაგრამ საკმაოდ სერიოზული თეორიული განხილვით. თქვენ უკვე მიიღეთ გარკვეული გამოცდილება სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ირაციონალური. თქვენ იცით, რომ განტოლების ამოხსნის მთავარი იდეა არის ეტაპობრივი გადასვლა ერთი განტოლებიდან მეორეზე, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური. წინა განყოფილებაში ჩვენ შემოვიღეთ ეკვივალენტობის ცნება ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის. ეს კონცეფცია ასევე გამოიყენება განტოლებათა სისტემებისთვის.

განმარტება.

განტოლების ორი სისტემა x და y ცვლადებით ითვლება ეკვივალენტურად, თუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები ან თუ ორივე სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

სამივე მეთოდი (ჩანაცვლება, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება), რომლებიც განვიხილეთ ამ ნაწილში, აბსოლუტურად სწორია ეკვივალენტობის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მეთოდების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებათა ერთ სისტემას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური სისტემით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ისეთი საერთო და საიმედო გზებით, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების დანერგვა. ახლა კი გავიხსენოთ მეთოდი, რომელიც უკვე შეისწავლეთ წინა გაკვეთილზე. ანუ გავიმეოროთ ის, რაც იცით გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის შესახებ.

განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნის მეთოდი არის გრაფიკის აგება თითოეული კონკრეტული განტოლებისთვის, რომლებიც შედის ამ სისტემაში და არის იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში, ასევე სადაც საჭიროა ამ გრაფიკების წერტილების კვეთის პოვნა. . განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად არის ამ წერტილის კოორდინატები (x; y).

უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლებათა გრაფიკულ სისტემას ჩვეულებრივ აქვს ან ერთი სწორი ამონახსნი, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ან საერთოდ არ აქვს ამონახსნები.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ამ გადაწყვეტას. ასე რომ, განტოლებათა სისტემას შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური ამონახსნი, თუ ხაზები, რომლებიც სისტემის განტოლებების გრაფიკებია, იკვეთება. თუ ეს წრფეები პარალელურია, მაშინ განტოლებათა ასეთ სისტემას აბსოლუტურად არ აქვს ამონახსნები. სისტემის განტოლებების პირდაპირი გრაფიკების დამთხვევის შემთხვევაში, ასეთი სისტემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მრავალი ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ალგორითმს 2 უცნობით:

ჯერ პირველ რიგში ვაშენებთ 1-ლი განტოლების გრაფიკს;
მეორე ნაბიჯი იქნება გრაფიკის დახატვა, რომელიც ეხება მეორე განტოლებას;
მესამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
და შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თითოეული გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იქნება განტოლებების სისტემის ამოხსნა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად მაგალითით. ჩვენ გვეძლევა გადასაჭრელ განტოლებათა სისტემა:

განტოლებების ამოხსნა

1. ჯერ ავაშენებთ ამ განტოლების გრაფიკს: x2+y2=9.

მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ განტოლებების ეს გრაფიკი იქნება საწყისზე ორიენტირებული წრე და მისი რადიუსი სამის ტოლი იქნება.

2. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი იქნება განტოლების გამოსახვა, როგორიცაა: y = x - 3.

ამ შემთხვევაში უნდა ავაგოთ წრფე და ვიპოვოთ წერტილები (0;−3) და (3;0).

3. ვნახოთ რა მივიღეთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ წრფე კვეთს წრეს მის ორ წერტილში A და B.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ამ წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვხედავთ, რომ კოორდინატები (3;0) შეესაბამება A წერტილს, ხოლო კოორდინატები (0;−3) - B წერტილს.

და რას მივიღებთ შედეგად?

სწორი წრფის წრის გადაკვეთაზე მიღებული რიცხვები (3;0) და (0;−3) ზუსტად სისტემის ორივე განტოლების ამონახსნებია. და აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვები ასევე არის ამ განტოლების სისტემის ამონახსნები.

ანუ ამ ამოხსნის პასუხი არის რიცხვები: (3;0) და (0;−3).

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა (SLAE) უდავოდ არის ხაზოვანი ალგებრის კურსის ყველაზე მნიშვნელოვანი თემა. მათემატიკის ყველა დარგიდან ამოცანების დიდი რაოდენობა დაყვანილია წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნით. ეს ფაქტორები ხსნის ამ სტატიის შექმნის მიზეზს. სტატიის მასალა ისეა შერჩეული და სტრუქტურირებული, რომ მისი დახმარებით შეძლოთ

• აირჩიეთ ოპტიმალური მეთოდი თქვენი წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად,
• შეისწავლეთ არჩეული მეთოდის თეორია,
• ამოხსენით თქვენი წრფივი განტოლებების სისტემა, დეტალურად განიხილავენ ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნებს.

სტატიის მასალის მოკლე აღწერა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვაძლევთ ყველა საჭირო განმარტებას, კონცეფციას და შემოგთავაზებთ რამდენიმე აღნიშვნას.

შემდეგ განვიხილავთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდებს, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და რომლებსაც აქვთ უნიკალური ამონახსნები. ჯერ კრამერის მეთოდზე გავამახვილოთ ყურადღება, მეორეც ვაჩვენებთ განტოლებათა ასეთი სისტემების ამოხსნის მატრიცულ მეთოდს და მესამედ გავაანალიზებთ გაუსის მეთოდს (უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი). თეორიის გასამყარებლად, ჩვენ აუცილებლად მოვაგვარებთ რამდენიმე SLAE-ს სხვადასხვა გზით.

ამის შემდეგ მივმართავთ ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნას, რომლებშიც განტოლებების რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას ან სისტემის მთავარი მატრიცა არის გადაგვარებული. ჩვენ ვაყალიბებთ კრონეკერ-კაპელის თეორემას, რომელიც საშუალებას გვაძლევს დავადგინოთ SLAE-ების თავსებადობა. მოდით გავაანალიზოთ სისტემების ამოხსნა (მათი თავსებადობის შემთხვევაში) მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფციის გამოყენებით. ჩვენ ასევე განვიხილავთ გაუსის მეთოდს და დეტალურად აღვწერთ მაგალითების ამონახსნებს.

დარწმუნდით, რომ ყურადღება მიაქციეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი სისტემების ზოგადი ამოხსნის სტრუქტურას. მოდით მივცეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის კონცეფცია და ვაჩვენოთ, როგორ იწერება SLAE-ის ზოგადი ამონახსნები ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით. უკეთესი გაგებისთვის, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

დასასრულს, ჩვენ განვიხილავთ განტოლებათა სისტემებს, რომლებიც შემცირებულია წრფივზე, ასევე სხვადასხვა ამოცანებს, რომელთა გადაწყვეტისას წარმოიქმნება SLAE.

გვერდის ნავიგაცია.

განმარტებები, ცნებები, აღნიშვნები.

განვიხილავთ p წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემებს n უცნობი ცვლადით (p შეიძლება ტოლი იყოს n ) ფორმის

უცნობი ცვლადები, - კოეფიციენტები (ზოგიერთი რეალური ან რთული რიცხვი), - თავისუფალი წევრები (ასევე რეალური ან რთული რიცხვები).

SLAE-ის ამ ფორმას ე.წ კოორდინაცია.

AT მატრიცის ფორმაგანტოლებათა ამ სისტემას აქვს ფორმა,
სადაც - სისტემის მთავარი მატრიცა, - უცნობი ცვლადების მატრიცა-სვეტი, - თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტი.

თუ A მატრიცას (n + 1)-ე სვეტად დავუმატებთ თავისუფალი ტერმინების მატრიცა-სვეტს, მაშინ მივიღებთ ე.წ. გაფართოებული მატრიცაწრფივი განტოლებათა სისტემები. ჩვეულებრივ, გაძლიერებული მატრიცა აღინიშნება ასო T-ით, ხოლო თავისუფალი წევრების სვეტი გამოყოფილია ვერტიკალური ხაზით დანარჩენი სვეტებისგან, ანუ,

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამოხსნითეწოდება უცნობი ცვლადების მნიშვნელობების ერთობლიობას, რომელიც აქცევს სისტემის ყველა განტოლებას იდენტურებად. უცნობი ცვლადების მოცემული მნიშვნელობების მატრიცული განტოლება ასევე იქცევა იდენტურობაში.

თუ განტოლებათა სისტემას აქვს ერთი ამონახსნი მაინც, მაშინ მას უწოდებენ ერთობლივი.

თუ განტოლებათა სისტემას ამონახსნები არ აქვს, მაშინ მას უწოდებენ შეუთავსებელი.

თუ SLAE-ს აქვს უნიკალური გამოსავალი, მაშინ მას ე.წ გარკვეული; თუ არსებობს ერთზე მეტი გამოსავალი, მაშინ - გაურკვეველი.

თუ სისტემის ყველა განტოლების თავისუფალი წევრები ნულის ტოლია , მაშინ სისტემას ეძახიან ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული.

წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნა.

თუ სისტემის განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას და მისი მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ ასეთ SLAE-ებს დავარქმევთ. ელემენტარული. განტოლებათა ასეთ სისტემებს აქვთ უნიკალური ამონახსნები და ერთგვაროვანი სისტემის შემთხვევაში ყველა უცნობი ცვლადი ნულის ტოლია.

ასეთი SLAE-ის შესწავლა საშუალო სკოლაში დავიწყეთ. მათი ამოხსნისას ავიღეთ ერთი განტოლება, გამოვხატეთ ერთი უცნობი ცვლადი სხვების მიხედვით და ჩავანაცვლეთ დარჩენილ განტოლებებში, შემდეგ ავიღეთ შემდეგი განტოლება, გამოვხატეთ შემდეგი უცნობი ცვლადი და ჩავანაცვლეთ სხვა განტოლებებით და ა.შ. ან გამოიყენეს შეკრების მეთოდი, ანუ დაამატეს ორი ან მეტი განტოლება ზოგიერთი უცნობი ცვლადის აღმოსაფხვრელად. ამ მეთოდებზე დეტალურად არ ვისაუბრებთ, რადგან ისინი არსებითად გაუსის მეთოდის მოდიფიკაციებია.

წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემების ამოხსნის ძირითადი მეთოდებია კრამერის მეთოდი, მატრიცული მეთოდი და გაუსის მეთოდი. მოდით დაალაგოთ ისინი.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა კრამერის მეთოდით.

დაგვჭირდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა

რომლებშიც განტოლებათა რაოდენობა უცნობი ცვლადების რაოდენობის ტოლია და სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან, ანუ .

მოდით იყოს სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი და არის მატრიცების განმსაზღვრელი, რომლებიც მიიღება A-დან ჩანაცვლებით 1-ლი, მე-2, ..., მე-რსვეტი, შესაბამისად, თავისუფალი წევრების სვეტში:

ასეთი აღნიშვნით უცნობი ცვლადები გამოითვლება კრამერის მეთოდის ფორმულებით როგორც . ასე მოიძებნება წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემის ამონახსნი კრამერის მეთოდით.

მაგალითი.

კრამერის მეთოდი .

გადაწყვეტილება.

სისტემის მთავარ მატრიცას აქვს ფორმა . გამოთვალეთ მისი განმსაზღვრელი (საჭიროების შემთხვევაში, იხილეთ სტატია):

ვინაიდან სისტემის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი არის არანულოვანი, სისტემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, რომელიც შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით.

შეადგინეთ და გამოთვალეთ საჭირო დეტერმინანტები (დეტერმინანტი მიიღება A მატრიცაში პირველი სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, განმსაზღვრელი - მეორე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით, - A მატრიცის მესამე სვეტის თავისუფალი წევრების სვეტით ჩანაცვლებით. ):

უცნობი ცვლადების პოვნა ფორმულების გამოყენებით :

პასუხი:

კრამერის მეთოდის მთავარი მინუსი (თუ შეიძლება მას მინუსად ვუწოდოთ) არის დეტერმინანტების გამოთვლის სირთულე, როდესაც სისტემის განტოლებათა რაოდენობა სამზე მეტია.

ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით (შებრუნებული მატრიცის გამოყენებით).

მოდით, წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა მატრიცული სახით იყოს მოცემული, სადაც A მატრიცას აქვს განზომილება n-ზე n-ზე და მისი განმსაზღვრელი არის არანულოვანი.

ვინაიდან , მაშინ მატრიცა A არის შექცევადი, ანუ არსებობს შებრუნებული მატრიცა. თუ ტოლობის ორივე ნაწილს გავამრავლებთ მარცხნივ, მაშინ მივიღებთ ფორმულას უცნობი ცვლადების სვეტის მატრიცის საპოვნელად. ასე მივიღეთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამონახსნი მატრიცული მეთოდით.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა მატრიცული მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

მოდით გადავიწეროთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით:

როგორც

მაშინ SLAE შეიძლება ამოხსნას მატრიცული მეთოდით. ინვერსიული მატრიცის გამოყენებით, ამ სისტემის გამოსავალი შეიძლება მოიძებნოს როგორც .

მოდით ავაშენოთ შებრუნებული მატრიცა A მატრიცის ელემენტების ალგებრული დანამატების მატრიცის გამოყენებით (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

რჩება გამოთვლა - უცნობი ცვლადების მატრიცა შებრუნებული მატრიცის გამრავლებით თავისუფალი წევრების მატრიცა-სვეტზე (საჭიროების შემთხვევაში იხილეთ სტატია):

პასუხი:

ან სხვა აღნიშვნით x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

მატრიცული მეთოდით წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამონახსნების ძიების მთავარი პრობლემა არის შებრუნებული მატრიცის პოვნის სირთულე, განსაკუთრებით მესამეზე მაღალი რიგის კვადრატული მატრიცებისთვის.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

დავუშვათ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ამონახსნი n წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის n უცნობი ცვლადით
რომლის მთავარი მატრიცის განმსაზღვრელი განსხვავდება ნულისაგან.

გაუსის მეთოდის არსიშედგება უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული გამორიცხვაში: ჯერ x 1 გამოირიცხება სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული, შემდეგ x 2 გამოირიცხება ყველა განტოლებიდან, დაწყებული მესამედან და ასე შემდეგ, სანამ მხოლოდ უცნობი ცვლადია. x n რჩება ბოლო განტოლებაში. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის სისტემის განტოლებების გარდაქმნის ასეთ პროცესს ე.წ პირდაპირი გაუსის მეთოდი. გაუსის მეთოდის წინ გაშვების დასრულების შემდეგ, x n მოიძებნება ბოლო განტოლებიდან, x n-1 გამოითვლება ბოლო განტოლებიდან ამ მნიშვნელობის გამოყენებით და ასე შემდეგ, x 1 გვხვდება პირველი განტოლებიდან. სისტემის ბოლო განტოლებიდან პირველზე გადასვლისას უცნობი ცვლადების გამოთვლის პროცესს ეწოდება გაუსის საპირისპირო მეთოდი.

მოკლედ აღვწეროთ უცნობი ცვლადების აღმოფხვრის ალგორითმი.

ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ , რადგან ამის მიღწევა ყოველთვის შეგვიძლია სისტემის განტოლებების გადალაგებით. ჩვენ გამოვრიცხავთ უცნობი ცვლადი x 1 სისტემის ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული. ამისთვის სისტემის მეორე განტოლებას დავუმატოთ პირველი გამრავლებული განტოლება, მესამე განტოლებას მივამატოთ პირველი გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა .

იმავე შედეგამდე მივიდოდით, თუ სისტემის პირველ განტოლებაში გამოვხატავთ x 1-ს სხვა უცნობი ცვლადების მიხედვით და მიღებული გამონათქვამი ჩავანაცვლებდით ყველა სხვა განტოლებით. ამრიგად, ცვლადი x 1 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მეორედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვიმოქმედებთ ანალოგიურად, მაგრამ მხოლოდ შედეგად მიღებული სისტემის ნაწილით, რომელიც აღნიშნულია ფიგურაში

ამისთვის სისტემის მესამე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული განტოლება, მეოთხე განტოლებას დავუმატოთ მეორეზე გამრავლებული და ა.შ. განტოლებათა სისტემა ასეთი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას

სად, ა . ამრიგად, ცვლადი x 2 გამორიცხულია ყველა განტოლებიდან, მესამედან დაწყებული.

შემდეგი, ჩვენ ვაგრძელებთ უცნობი x 3-ის აღმოფხვრას, ხოლო ანალოგიურად ვიმოქმედებთ ფიგურაში მონიშნული სისტემის ნაწილთან.

ასე რომ, ჩვენ ვაგრძელებთ გაუსის მეთოდის პირდაპირ კურსს, სანამ სისტემა არ მიიღებს ფორმას

ამ მომენტიდან ვიწყებთ გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსს: ბოლო განტოლებიდან ვიანგარიშებთ x n-ს, როგორც x n-ის მიღებული მნიშვნელობის გამოყენებით ვპოულობთ x n-1-ს ბოლო განტოლებიდან და ასე შემდეგ, ვპოულობთ x 1-ს. პირველი განტოლება.

მაგალითი.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა გაუსის მეთოდი.

გადაწყვეტილება.

სისტემის მეორე და მესამე განტოლებიდან გამოვრიცხოთ უცნობი ცვლადი x 1. ამისათვის, მეორე და მესამე განტოლების ორივე ნაწილს ვამატებთ პირველი განტოლების შესაბამის ნაწილებს, გამრავლებული და შესაბამისად:

ახლა ჩვენ გამოვრიცხავთ x 2-ს მესამე განტოლებიდან, მის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს დავუმატებთ მეორე განტოლების მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, გამრავლებული:

ამაზე დასრულებულია გაუსის მეთოდის წინა კურსი, ვიწყებთ საპირისპირო კურსს.

შედეგად მიღებული განტოლებათა სისტემის ბოლო განტოლებიდან ვპოულობთ x 3:

მეორე განტოლებიდან ვიღებთ.

პირველი განტოლებიდან ვპოულობთ დარჩენილ უცნობ ცვლადს და ამით სრულდება გაუსის მეთოდის საპირისპირო კურსი.

პასუხი:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნა.

ზოგად შემთხვევაში, p სისტემის განტოლებათა რაოდენობა არ ემთხვევა უცნობი ცვლადების რაოდენობას n:

ასეთ SLAE-ებს შეიძლება არ ჰქონდეთ ამონახსნები, ჰქონდეთ ერთი გამოსავალი ან უსასრულოდ ბევრი გამოსავალი. ეს განცხადება ასევე ეხება განტოლებების სისტემებს, რომელთა ძირითადი მატრიცა არის კვადრატული და გადაგვარებული.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა.

წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნის პოვნამდე აუცილებელია მისი თავსებადობის დადგენა. პასუხი კითხვაზე, როდის არის SLAE თავსებადი და როდის შეუთავსებელი, იძლევა კრონეკერ-კაპელის თეორემა:
იმისათვის, რომ p განტოლებათა სისტემა n უცნობით (p შეიძლება იყოს n-ის ტოლი) თანმიმდევრული იყოს, აუცილებელია და საკმარისია, რომ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი ტოლი იყოს გაფართოებული მატრიცის რანგის, ანუ რანგი( A)=რანგი(T) .

მაგალითისთვის განვიხილოთ კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის თავსებადობის დასადგენად.

მაგალითი.

გაარკვიეთ აქვს თუ არა წრფივი განტოლებათა სისტემა გადაწყვეტილებები.

გადაწყვეტილება.

. გამოვიყენოთ არასრულწლოვანთა შემოსაზღვრების მეთოდი. მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. მოდით გადავხედოთ მის გარშემო არსებულ მესამე რიგის არასრულწლოვანებს:

ვინაიდან ყველა მოსაზღვრე მესამე რიგის მცირეწლოვანი უდრის ნულს, მთავარი მატრიცის წოდება არის ორი.

თავის მხრივ, გაზრდილი მატრიცის რანგი უდრის სამს, ვინაიდან მესამე რიგის მინორი

განსხვავდება ნულიდან.

ამრიგად, Rang(A) , შესაბამისად, კრონეკერ-კაპელის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემა არათანმიმდევრულია.

პასუხი:

გადაწყვეტის სისტემა არ არსებობს.

ამრიგად, ჩვენ ვისწავლეთ სისტემის შეუსაბამობის დადგენა კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით.

მაგრამ როგორ მოვძებნოთ SLAE-ს გამოსავალი, თუ დადგინდა მისი თავსებადობა?

ამისათვის ჩვენ გვჭირდება მატრიცის საბაზისო მინორის კონცეფცია და მატრიცის რანგის თეორემა.

A მატრიცის უმაღლესი რიგის მინორი, გარდა ნულისა, ეწოდება ძირითადი.

საბაზისო მინორის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ მისი რიგი უდრის მატრიცის რანგს. არანულოვანი მატრიცისთვის A, შეიძლება იყოს რამდენიმე ძირითადი მინორი; ყოველთვის არის ერთი ძირითადი მინორი.

მაგალითად, განიხილეთ მატრიცა .

ამ მატრიცის ყველა მესამე რიგის მინორი ნულის ტოლია, რადგან ამ მატრიცის მესამე რიგის ელემენტები არის პირველი და მეორე რიგების შესაბამისი ელემენტების ჯამი.

მეორე რიგის შემდეგი მცირე რაოდენობა ძირითადია, რადგან ისინი არ არიან ნულოვანი

არასრულწლოვანთა არ არის ძირითადი, რადგან ისინი ნულის ტოლია.

მატრიცის რანგის თეორემა.

თუ n-ით p რიგის მატრიცის რანგი არის r, მაშინ მატრიცის მწკრივების (და სვეტების) ყველა ელემენტი, რომლებიც არ ქმნიან არჩეულ საფუძველს მინორი, წრფივად არის გამოხატული მწკრივების (და სვეტების) შესაბამისი ელემენტების მიხედვით. ) რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს.

რას გვაძლევს მატრიცის რანგის თეორემა?

თუ კრონეკერ-კაპელის თეორემით დავადგინეთ სისტემის თავსებადობა, მაშინ ვირჩევთ სისტემის მთავარი მატრიცის ნებისმიერ ძირითად მინორს (მისი რიგი უდრის r) და გამოვრიცხავთ სისტემიდან ყველა განტოლებას, რომელიც არ არის შექმენით არჩეული ძირითადი მცირე. ამ გზით მიღებული SLAE იქნება თავდაპირველის ექვივალენტი, ვინაიდან გაუქმებული განტოლებები ჯერ კიდევ ზედმეტია (მატრიცის რანგის თეორემის მიხედვით, ისინი არის დარჩენილი განტოლებების წრფივი კომბინაცია).

შედეგად, სისტემის გადაჭარბებული განტოლებების გაუქმების შემდეგ შესაძლებელია ორი შემთხვევა.

თუ მიღებულ სისტემაში r განტოლებების რაოდენობა უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ ის იქნება განსაზღვრული და ერთადერთი ამონახსნი შეიძლება მოიძებნოს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

მაგალითი.

.

გადაწყვეტილება.

სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი უდრის ორს, ვინაიდან მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულიდან. გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის ორს, რადგან მესამე რიგის ერთადერთი მინორი ნულის ტოლია

ხოლო ზემოთ განხილული მეორე რიგის მინორი განსხვავდება ნულისაგან. კრონეკერ-კაპელის თეორემაზე დაყრდნობით შეიძლება დავამტკიცოთ წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის თავსებადობა, ვინაიდან რანგ(A)=Rank(T)=2 .

როგორც მინორის საფუძველს ვიღებთ . იგი იქმნება პირველი და მეორე განტოლების კოეფიციენტებით:


სისტემის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, ამიტომ მას გამოვრიცხავთ სისტემიდან მატრიცის რანგის თეორემაზე დაყრდნობით:


ამრიგად მივიღეთ წრფივი ალგებრული განტოლებების ელემენტარული სისტემა. მოდით გადავჭრათ კრემერის მეთოდით:


პასუხი:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

თუ R განტოლებათა რაოდენობა მიღებულ SLAE-ში ნაკლებია n უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ განტოლებების მარცხენა ნაწილებში ვტოვებთ ძირითად მინორის ფორმირებას, ხოლო დანარჩენ წევრებს გადავიტანთ განტოლებების მარჯვენა ნაწილებზე. სისტემა საპირისპირო ნიშნით.

განტოლებების მარცხენა მხარეს დარჩენილი უცნობი ცვლადები (არსებობს r) ეწოდება მთავარი.

უცნობ ცვლადებს (არის n - r), რომლებიც მთავრდება მარჯვენა მხარეს, ეწოდება უფასო.

ახლა ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს შეუძლიათ მიიღონ თვითნებური მნიშვნელობები, ხოლო r მთავარი უცნობი ცვლადები გამოისახება თავისუფალი უცნობი ცვლადების სახით უნიკალური გზით. მათი გამოხატულება შეიძლება მოიძებნოს მიღებული SLAE-ის ამოხსნით კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ავიღოთ მაგალითი.

მაგალითი.

წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოხსნა .

გადაწყვეტილება.

იპოვეთ სისტემის მთავარი მატრიცის რანგი მოსაზღვრე მცირეწლოვანთა მეთოდით. ავიღოთ 1 1 = 1, როგორც პირველი რიგის მინორი. დავიწყოთ ამ მინორის ირგვლივ არანულოვანი მეორე რიგის მინორის ძიება:


ასე რომ, ჩვენ ვიპოვეთ მეორე რიგის არანულოვანი მინორი. დავიწყოთ მესამე რიგის არანულოვანი მოსაზღვრე მინორის ძებნა:


ამრიგად, მთავარი მატრიცის წოდება არის სამი. გაძლიერებული მატრიცის წოდება ასევე უდრის სამს, ანუ სისტემა თანმიმდევრულია.

მესამე რიგის ნაპოვნი არანულოვანი მინორი მიიღება ძირითადში.

სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მინორის საფუძველს:


სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ძირითად მინორში მონაწილე ტერმინებს, ხოლო დანარჩენს საპირისპირო ნიშნებით გადავცემთ მარჯვენა მხარეს:


ჩვენ ვაძლევთ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს x 2 და x 5 თვითნებურ მნიშვნელობებს, ანუ ვიღებთ , სადაც არის თვითნებური რიცხვები. ამ შემთხვევაში, SLAE იღებს ფორმას


წრფივი ალგებრული განტოლებების მიღებულ ელემენტარულ სისტემას ვხსნით კრამერის მეთოდით:


აქედან გამომდინარე,.

პასუხში არ დაგავიწყდეთ მიუთითოთ უფასო უცნობი ცვლადები.

პასუხი:

სად არის თვითნებური რიცხვები.

შეაჯამეთ.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად, პირველ რიგში გავარკვევთ მის თავსებადობას კრონეკერ-კაპელის თეორემის გამოყენებით. თუ მთავარი მატრიცის რანგი არ არის გაფართოებული მატრიცის რანგის ტოლი, მაშინ დავასკვნით, რომ სისტემა არათანმიმდევრულია.

თუ მთავარი მატრიცის წოდება ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის, მაშინ ჩვენ ვირჩევთ ძირითად მინორს და ვტოვებთ სისტემის განტოლებებს, რომლებიც არ მონაწილეობენ არჩეული ძირითადი მინორის ფორმირებაში.

თუ საბაზისო მინორის რიგი უდრის უცნობი ცვლადების რაოდენობას, მაშინ SLAE-ს აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომლის პოვნაც ჩვენთვის ცნობილი ნებისმიერი მეთოდით შეიძლება.

თუ საბაზისო მინორის რიგი ნაკლებია უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებების მარცხენა მხარეს ვტოვებთ ტერმინებს ძირითად უცნობ ცვლადებთან, დარჩენილ წევრებს გადავცემთ მარჯვენა მხარეს და ვანიჭებთ თვითნებურ მნიშვნელობებს. თავისუფალ უცნობ ცვლადებს. წრფივი განტოლებათა სისტემიდან ჩვენ ვპოულობთ მთავარ უცნობ ცვლადებს კრამერის მეთოდით, მატრიცული მეთოდით ან გაუსის მეთოდით.

ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნის გაუსის მეთოდი.

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, შესაძლებელია ნებისმიერი სახის წრფივი ალგებრული განტოლების სისტემების ამოხსნა მათი წინასწარი გამოკვლევის გარეშე. უცნობი ცვლადების თანმიმდევრული გამორიცხვის პროცესი შესაძლებელს ხდის დასკვნის გამოტანას როგორც SLAE-ის თავსებადობის, ასევე შეუსაბამობის შესახებ და თუ გამოსავალი არსებობს, შესაძლებელს ხდის მის პოვნას.

გამოთვლითი მუშაობის თვალსაზრისით სასურველია გაუსის მეთოდი.

მისი დეტალური აღწერა და გაანალიზებული მაგალითები იხილეთ სტატიაში გაუსის მეთოდი ზოგადი ფორმის წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების ამოხსნისთვის.

ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი ალგებრული სისტემების ზოგადი ამოხსნის ჩაწერა ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების გამოყენებით.

ამ განყოფილებაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთობლივ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან სისტემებზე, რომლებსაც აქვთ ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

ჯერ ერთგვაროვან სისტემებს გავუმკლავდეთ.

ფუნდამენტური გადაწყვეტილების სისტემა p წრფივი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემა n უცნობი ცვლადებით არის ამ სისტემის (n – r) წრფივი დამოუკიდებელი ამონახსნების ერთობლიობა, სადაც r არის სისტემის მთავარი მატრიცის საბაზისო მინორის რიგი.

თუ ერთგვაროვანი SLAE-ის წრფივად დამოუკიდებელ ამონახსნებს დავნიშნავთ, როგორც X (1), X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2), …, X (n-r) არის n განზომილების მატრიცების სვეტები. 1-ით), მაშინ ამ ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემის ვექტორების წრფივი კომბინაცია თვითნებური მუდმივი კოეფიციენტებით С 1 , С 2 , …, С (n-r), ანუ .

რას ნიშნავს ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნის ტერმინი (ოროსლაუ)?

მნიშვნელობა მარტივია: ფორმულა განსაზღვრავს ორიგინალური SLAE-ს ყველა შესაძლო გადაწყვეტას, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, აღებულია თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობების ნებისმიერი ნაკრები C 1 , C 2 , ..., C (n-r), ჩვენ მიერ ფორმულის მიხედვით. მიიღებს ორიგინალური ერთგვაროვანი SLAE-ის ერთ-ერთ ხსნარს.

ამრიგად, თუ ჩვენ ვიპოვით ამონახსნების ფუნდამენტურ სისტემას, მაშინ ჩვენ შეგვიძლია დავაყენოთ ამ ერთგვაროვანი SLAE-ის ყველა ამონახსნები, როგორც .

მოდით ვაჩვენოთ ხსნარების ფუნდამენტური სისტემის აგების პროცესი ერთგვაროვანი SLAE-სთვის.

ჩვენ ვირჩევთ წრფივი განტოლებათა ორიგინალური სისტემის ძირითად მინორს, გამოვრიცხავთ ყველა სხვა განტოლებას სისტემიდან და გადავიტანთ სისტემის განტოლებების მარჯვენა მხარეს საპირისპირო ნიშნებით ყველა ტერმინს, რომელიც შეიცავს თავისუფალ უცნობი ცვლადებს. მოდით, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცეთ მნიშვნელობები 1,0,0,…,0 და გამოვთვალოთ მთავარი უცნობი წრფივი განტოლებების ელემენტარული სისტემის ნებისმიერი გზით ამოხსნით, მაგალითად, კრამერის მეთოდით. ამრიგად, მიიღება X (1) - ფუნდამენტური სისტემის პირველი ამონახსნი. თუ თავისუფალ უცნობებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,1,0,0,…,0 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (2) . და ა.შ. თუ თავისუფალ უცნობ ცვლადებს მივცემთ მნიშვნელობებს 0,0,…,0,1 და გამოვთვლით მთავარ უცნობებს, მაშინ მივიღებთ X (n-r) . ასე აშენდება ერთგვაროვანი SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და მისი ზოგადი ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს სახით.

წრფივი ალგებრული განტოლებების არაჰომოგენური სისტემებისთვის ზოგადი ამონახსნები წარმოდგენილია როგორც

მოდით შევხედოთ მაგალითებს.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა და წრფივი ალგებრული განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემის ზოგადი ამონახსნი .

გადაწყვეტილება.

წრფივი განტოლებების ერთგვაროვანი სისტემების მთავარი მატრიცის რანგი ყოველთვის ტოლია გაფართოებული მატრიცის რანგის. მოდი ვიპოვოთ მთავარი მატრიცის რანგი არასრულწლოვანთა ფრაგმენტის მეთოდით. როგორც პირველი რიგის არანულოვანი მინორი, ვიღებთ ელემენტს a 1 1 = 9 სისტემის მთავარი მატრიციდან. იპოვეთ მეორე რიგის მოსაზღვრე არა-ნულოვანი მინორი:

ნაპოვნია მეორე რიგის მინორი, რომელიც განსხვავდება ნულიდან. მოდით გავიაროთ მესამე რიგის არასრულწლოვანები, რომლებიც მას ესაზღვრება არანულოვანი ერთის მოსაძებნად:

მესამე რიგის ყველა მოსაზღვრე არასრულწლოვანი უდრის ნულს, შესაბამისად, მთავარი და გაფართოებული მატრიცის წოდება არის ორი. ავიღოთ ძირითადი მინორი. სიცხადისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ სისტემის ელემენტებს, რომლებიც ქმნიან მას:

ორიგინალური SLAE-ის მესამე განტოლება არ მონაწილეობს ძირითადი მინორის ფორმირებაში, ამიტომ შეიძლება გამოირიცხოს:

ჩვენ ვტოვებთ ტერმინებს, რომლებიც შეიცავს ძირითად უცნობებს განტოლებების მარჯვენა მხარეს, ხოლო ტერმინებს გადავიტანთ თავისუფალი უცნობიებით მარჯვენა მხარეს:

მოდით ავაშენოთ ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა წრფივი განტოლებათა თავდაპირველი ერთგვაროვანი სისტემისთვის. ამ SLAE-ის ამონახსნების ფუნდამენტური სისტემა შედგება ორი ამონახსნისგან, ვინაიდან თავდაპირველი SLAE შეიცავს ოთხ უცნობ ცვლადს და მისი ძირითადი მინორის რიგია ორი. X (1) საპოვნელად, თავისუფალ უცნობ ცვლადებს ვაძლევთ მნიშვნელობებს x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, შემდეგ ვპოულობთ მთავარ უცნობებს განტოლებების სისტემიდან.
.

განტოლებათა სისტემები ფართოდ გამოიყენება ეკონომიკურ ინდუსტრიაში სხვადასხვა პროცესის მათემატიკური მოდელირებისას. მაგალითად, წარმოების მართვისა და დაგეგმვის, ლოგისტიკური მარშრუტების (ტრანსპორტის პრობლემა) ან აღჭურვილობის განთავსების პრობლემების გადაჭრისას.

განტოლების სისტემები გამოიყენება არა მხოლოდ მათემატიკის დარგში, არამედ ფიზიკაში, ქიმიასა და ბიოლოგიაში, მოსახლეობის რაოდენობის პოვნის ამოცანების გადაჭრისას.

წრფივი განტოლებათა სისტემა არის ტერმინი ორი ან მეტი განტოლებისთვის რამდენიმე ცვლადით, რისთვისაც აუცილებელია საერთო ამოხსნის პოვნა. რიცხვების ისეთი თანმიმდევრობა, რომლისთვისაც ყველა განტოლება ხდება ჭეშმარიტი თანასწორობა ან ამტკიცებს, რომ მიმდევრობა არ არსებობს.

წრფივი განტოლება

ax+by=c ფორმის განტოლებებს წრფივი ეწოდება. აღნიშვნები x, y არის უცნობი, რომელთა მნიშვნელობა უნდა მოიძებნოს, b, a არის ცვლადების კოეფიციენტები, c არის განტოლების თავისუფალი წევრი.
განტოლების ამოხსნა მისი გრაფიკის გამოსახვით სწორ ხაზს წააგავს, რომლის ყველა წერტილი მრავალწევრის ამონახსნია.

წრფივი განტოლებათა სისტემების ტიპები

უმარტივესი არის ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითები ორი ცვლადით X და Y.

F1(x, y) = 0 და F2(x, y) = 0, სადაც F1,2 არის ფუნქციები და (x, y) ფუნქციის ცვლადები.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა - ეს ნიშნავს ისეთი მნიშვნელობების პოვნას (x, y), რომლებისთვისაც სისტემა ხდება ნამდვილი თანასწორობა, ან იმის დადგენა, რომ არ არსებობს x და y-ის შესაფერისი მნიშვნელობები.

მნიშვნელობების წყვილს (x, y), დაწერილი როგორც წერტილის კოორდინატები, ეწოდება ამონახსნი წრფივი განტოლებათა სისტემისთვის.

თუ სისტემებს აქვთ ერთი საერთო გამოსავალი ან არ არის გამოსავალი, მათ ექვივალენტი ეწოდება.

წრფივი განტოლებების ჰომოგენური სისტემები არის სისტემები, რომელთა მარჯვენა მხარე ნულის ტოლია. თუ "თანაბრის" ნიშნის შემდეგ მარჯვენა ნაწილს აქვს მნიშვნელობა ან გამოიხატება ფუნქციით, ასეთი სისტემა არ არის ერთგვაროვანი.

ცვლადების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე ბევრად მეტი, მაშინ უნდა ვისაუბროთ ხაზოვანი განტოლების სისტემის მაგალითზე სამი ან მეტი ცვლადით.

სისტემების წინაშე სკოლის მოსწავლეები ვარაუდობენ, რომ განტოლებების რაოდენობა აუცილებლად უნდა ემთხვეოდეს უცნობთა რაოდენობას, მაგრამ ეს ასე არ არის. განტოლებების რაოდენობა სისტემაში არ არის დამოკიდებული ცვლადებზე, შეიძლება იყოს მათი თვითნებურად დიდი რაოდენობა.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის მარტივი და რთული მეთოდები

ასეთი სისტემების გადაჭრის ზოგადი ანალიტიკური გზა არ არსებობს, ყველა მეთოდი ეფუძნება რიცხვით ამონახსნებს. სასკოლო მათემატიკის კურსი დეტალურად აღწერს ისეთ მეთოდებს, როგორიცაა პერმუტაცია, ალგებრული შეკრება, ჩანაცვლება, ასევე გრაფიკული და მატრიცული მეთოდი, ამოხსნა გაუსის მეთოდით.

ამოხსნის მეთოდების სწავლების მთავარი ამოცანაა ასწავლოს სისტემის სწორად გაანალიზება და თითოეული მაგალითისთვის ოპტიმალური გადაწყვეტის ალგორითმის პოვნა. მთავარია არა თითოეული მეთოდისთვის წესების და მოქმედებების სისტემის დამახსოვრება, არამედ კონკრეტული მეთოდის გამოყენების პრინციპების გაგება.

ზოგადსაგანმანათლებლო სასკოლო პროგრამის მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია და დეტალურად არის ახსნილი. მათემატიკის ნებისმიერ სახელმძღვანელოში ამ განყოფილებას საკმარისი ყურადღება ეთმობა. წრფივი განტოლებათა სისტემების მაგალითების ამოხსნა გაუსის და კრამერის მეთოდით უფრო დეტალურად არის შესწავლილი უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების პირველ კურსებში.

სისტემების ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

ჩანაცვლების მეთოდის მოქმედებები მიზნად ისახავს ერთი ცვლადის მნიშვნელობის გამოხატვას მეორის მეშვეობით. გამოთქმა ჩანაცვლებულია დარჩენილ განტოლებაში, შემდეგ ის მცირდება ერთ ცვლადის ფორმამდე. მოქმედება მეორდება სისტემაში უცნობის რაოდენობის მიხედვით

მოვიყვანოთ მე-7 კლასის წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითი ჩანაცვლების მეთოდით:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, x ცვლადი გამოისახებოდა F(X) = 7 + Y-ით. შედეგად მიღებული გამოხატულება, რომელიც ჩანაცვლებულია სისტემის მე-2 განტოლებაში X-ის ნაცვლად, დაეხმარა მე-2 განტოლებაში ერთი ცვლადის Y მიღებაში. . ამ მაგალითის ამოხსნა არ იწვევს სირთულეებს და საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ Y მნიშვნელობა. ბოლო ნაბიჯი არის მიღებული მნიშვნელობების შემოწმება.

ყოველთვის არ არის შესაძლებელი წრფივი განტოლებათა სისტემის მაგალითის ამოხსნა ჩანაცვლებით. განტოლებები შეიძლება იყოს რთული და ცვლადის გამოხატვა მეორე უცნობის მიხედვით ზედმეტად რთული იქნება შემდგომი გამოთვლებისთვის. როდესაც სისტემაში 3-ზე მეტი უცნობია, ჩანაცვლების გადაწყვეტა ასევე არაპრაქტიკულია.

წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებების სისტემის მაგალითის ამოხსნა:

ამოხსნა ალგებრული შეკრების გამოყენებით

სისტემების ამოხსნის შეკრების მეთოდით ძიებისას, ხორციელდება ტერმინით შეკრება და განტოლებების გამრავლება სხვადასხვა რიცხვებზე. მათემატიკური მოქმედებების საბოლოო მიზანი არის განტოლება ერთი ცვლადით.

ამ მეთოდის გამოყენება მოითხოვს პრაქტიკას და დაკვირვებას. ადვილი არ არის წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდის გამოყენებით ცვლადების 3 ან მეტი რაოდენობით. ალგებრული შეკრება სასარგებლოა, როდესაც განტოლებები შეიცავს წილადებსა და ათობითი რიცხვებს.

ამოხსნის მოქმედების ალგორითმი:

1. გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე რომელიმე რიცხვზე. არითმეტიკული მოქმედების შედეგად ცვლადის ერთ-ერთი კოეფიციენტი უნდა გახდეს 1-ის ტოლი.
2. დაამატეთ მიღებული გამოთქმა ტერმინით და იპოვნეთ ერთ-ერთი უცნობი.
3. შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა სისტემის მე-2 განტოლებაში, რათა იპოვოთ დარჩენილი ცვლადი.

ამოხსნის მეთოდი ახალი ცვლადის შემოღებით

შესაძლებელია ახალი ცვლადის შემოღება, თუ სისტემას სჭირდება ამოხსნის პოვნა არაუმეტეს ორი განტოლებისათვის, უცნობის რაოდენობა ასევე უნდა იყოს არაუმეტეს ორი.

მეთოდი გამოიყენება ერთ-ერთი განტოლების გასამარტივებლად ახალი ცვლადის შემოღებით. ახალი განტოლება წყდება შეყვანილი უცნობის მიმართ და მიღებული მნიშვნელობა გამოიყენება თავდაპირველი ცვლადის დასადგენად.

მაგალითიდან ჩანს, რომ ახალი t ცვლადის შემოღებით შესაძლებელი გახდა სისტემის 1-ლი განტოლება სტანდარტულ კვადრატულ ტრინომამდე დაყვანა. თქვენ შეგიძლიათ ამოხსნათ მრავალწევრი დისკრიმინანტის მოძიებით.

აუცილებელია დისკრიმინანტის მნიშვნელობის პოვნა ცნობილი ფორმულის გამოყენებით: D = b2 - 4*a*c, სადაც D არის სასურველი დისკრიმინანტი, b, a, c არის მრავალწევრის მამრავლები. მოცემულ მაგალითში a=1, b=16, c=39, შესაბამისად D=100. თუ დისკრიმინანტი ნულზე მეტია, მაშინ არის ორი ამონახსნი: t = -b±√D / 2*a, თუ დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია, მაშინ არის მხოლოდ ერთი ამონახსნი: x= -b / 2*a.

შედეგად მიღებული სისტემების გამოსავალი გვხვდება დამატების მეთოდით.

სისტემების ამოხსნის ვიზუალური მეთოდი

ვარგისია 3 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდი შედგება სისტემაში შემავალი თითოეული განტოლების გრაფიკების გამოსახვაში კოორდინატთა ღერძზე. მრუდების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატები იქნება სისტემის ზოგადი გადაწყვეტა.

გრაფიკულ მეთოდს აქვს მრავალი ნიუანსი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებების სისტემების ვიზუალურად ამოხსნის რამდენიმე მაგალითი.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, თითოეული ხაზისთვის აშენდა ორი წერტილი, თვითნებურად აირჩიეს x ცვლადის მნიშვნელობები: 0 და 3. x-ის მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, y-ის მნიშვნელობები იქნა ნაპოვნი: 3 და 0. წერტილები (0, 3) და (3, 0) კოორდინატებით დაფიქსირდა გრაფიკზე და ერთმანეთთან იყო დაკავშირებული ხაზით.

ნაბიჯები უნდა განმეორდეს მეორე განტოლებისთვის. ხაზების გადაკვეთის წერტილი არის სისტემის ამოხსნა.

შემდეგ მაგალითში საჭიროა წრფივი განტოლებათა სისტემის გრაფიკული ამოხსნის პოვნა: 0,5x-y+2=0 და 0,5x-y-1=0.

როგორც მაგალითიდან ჩანს, სისტემას არ აქვს გამოსავალი, რადგან გრაფიკები პარალელურია და არ იკვეთება მთელ სიგრძეზე.

მაგალითები 2 და 3 სისტემები მსგავსია, მაგრამ როდესაც აგებულია, აშკარა ხდება, რომ მათი გადაწყვეტილებები განსხვავებულია. უნდა გვახსოვდეს, რომ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი იმის თქმა, აქვს თუ არა სისტემას გამოსავალი, ყოველთვის საჭიროა გრაფიკის აგება.

მატრიცა და მისი ჯიშები

მატრიცები გამოიყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის მოკლედ დასაწერად. მატრიცა არის სპეციალური ტიპის ცხრილი, რომელიც ივსება ციფრებით. n*m აქვს n - სტრიქონი და m - სვეტები.

მატრიცა არის კვადრატი, როდესაც სვეტების და რიგების რაოდენობა ტოლია. მატრიცა-ვექტორი არის ერთსვეტიანი მატრიცა მწკრივების უსასრულოდ შესაძლო რაოდენობით. მატრიცას ერთეულებით ერთ-ერთი დიაგონალის და სხვა ნულოვანი ელემენტების გასწვრივ იდენტურობა ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცა არის ისეთი მატრიცა, რომლითაც გამრავლებისას ორიგინალი იქცევა ერთეულში, ასეთი მატრიცა არსებობს მხოლოდ თავდაპირველი კვადრატისთვის.

განტოლებათა სისტემის მატრიცად გადაქცევის წესები

განტოლებათა სისტემებთან დაკავშირებით, განტოლებების კოეფიციენტები და თავისუფალი წევრები იწერება მატრიცის რიცხვებად, ერთი განტოლება არის მატრიცის ერთი მწკრივი.

მატრიცის მწკრივს ეწოდება არანულოვანი, თუ მწკრივის ერთი ელემენტი მაინც არ არის ნულის ტოლი. მაშასადამე, თუ რომელიმე განტოლებაში ცვლადების რაოდენობა განსხვავდება, მაშინ აუცილებელია ნულის შეყვანა გამოტოვებული უცნობის ნაცვლად.

მატრიცის სვეტები მკაცრად უნდა შეესაბამებოდეს ცვლადებს. ეს ნიშნავს, რომ x ცვლადის კოეფიციენტები შეიძლება ჩაიწეროს მხოლოდ ერთ სვეტში, მაგალითად პირველი, უცნობი y-ის კოეფიციენტი - მხოლოდ მეორეში.

მატრიცის გამრავლებისას მატრიცის ყველა ელემენტი თანმიმდევრულად მრავლდება რიცხვზე.

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ვარიანტები

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ფორმულა საკმაოდ მარტივია: K -1 = 1 / |K|, სადაც K -1 არის შებრუნებული მატრიცა და |K| - მატრიცის განმსაზღვრელი. |კ| არ უნდა იყოს ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნი.

განმსაზღვრელი ადვილად გამოითვლება ორი-ორ მატრიცისთვის, საჭიროა მხოლოდ ელემენტების ერთმანეთზე დიაგონალზე გამრავლება. "სამი სამზე" ვარიანტისთვის არის ფორმულა |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა, ან გახსოვდეთ, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ერთი ელემენტი თითოეული მწკრივიდან და თითოეული სვეტიდან ისე, რომ ელემენტების სვეტები და მწკრივების ნომრები არ განმეორდეს პროდუქტში.

ხაზოვანი განტოლების სისტემების მაგალითების ამოხსნა მატრიცული მეთოდით

ამოხსნის პოვნის მატრიცული მეთოდი შესაძლებელს ხდის უხერხული ჩანაწერების შემცირებას ცვლადების და განტოლებების დიდი რაოდენობით სისტემების ამოხსნისას.

მაგალითში a nm არის განტოლებების კოეფიციენტები, მატრიცა არის ვექტორი x n არის ცვლადები და b n არის თავისუფალი ტერმინები.

სისტემების ამოხსნა გაუსის მეთოდით

უმაღლეს მათემატიკაში კრამერის მეთოდთან ერთად შეისწავლება გაუსის მეთოდი, ხოლო სისტემებისთვის ამოხსნის ძიების პროცესს ეწოდება გაუს-კრამერის ამოხსნის მეთოდი. ეს მეთოდები გამოიყენება წრფივი განტოლებების დიდი რაოდენობის მქონე სისტემების ცვლადების მოსაძებნად.

გაუსის მეთოდი ძალიან ჰგავს ჩანაცვლებისა და ალგებრული დამატების ამონახსნებს, მაგრამ უფრო სისტემატურია. სასკოლო კურსში გაუსის ამონახსნი გამოიყენება 3 და 4 განტოლების სისტემებისთვის. მეთოდის მიზანია სისტემის მიყვანა ინვერსიული ტრაპეციის სახით. ალგებრული გარდაქმნებითა და ჩანაცვლებით, ერთი ცვლადის მნიშვნელობა გვხვდება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებაში. მეორე განტოლება არის გამოხატულება 2 უცნობით და 3 და 4 - შესაბამისად 3 და 4 ცვლადით.

სისტემის აღწერილ ფორმამდე მიყვანის შემდეგ, შემდგომი ამოხსნა მცირდება ცნობილი ცვლადების თანმიმდევრულ ჩანაცვლებამდე სისტემის განტოლებებში.

მე-7 კლასის სასკოლო სახელმძღვანელოებში, გაუსის ამოხსნის მაგალითი აღწერილია შემდეგნაირად:

როგორც მაგალითიდან ჩანს, საფეხურზე (3) მიიღეს ორი განტოლება 3x 3 -2x 4 =11 და 3x 3 +2x 4 =7. რომელიმე განტოლების ამოხსნა საშუალებას მოგცემთ გაარკვიოთ ერთ-ერთი ცვლადი x n.

მე-5 თეორემა, რომელიც ნახსენებია ტექსტში, ნათქვამია, რომ თუ სისტემის ერთ-ერთი განტოლება შეიცვალა ეკვივალენტით, მაშინ მიღებული სისტემაც ორიგინალის ეკვივალენტური იქნება.

გაუსის მეთოდი რთული გასაგებია საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის, მაგრამ ეს არის ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო გზა მათემატიკისა და ფიზიკის კლასებში მოწინავე სასწავლო პროგრამაში სწავლის მქონე ბავშვების გამომგონებლობის გასავითარებლად.

გამოთვლების ჩაწერის გამარტივებისთვის, ჩვეულებრივ უნდა გააკეთოთ შემდეგი:

განტოლების კოეფიციენტები და თავისუფალი ტერმინები იწერება მატრიცის სახით, სადაც მატრიცის თითოეული მწკრივი შეესაბამება სისტემის ერთ-ერთ განტოლებას. გამოყოფს განტოლების მარცხენა მხარეს მარჯვენა მხრიდან. რომაული ციფრები აღნიშნავს სისტემაში განტოლებების რიცხვს.

ჯერ წერენ მატრიცას, რომლითაც უნდა იმუშაონ, შემდეგ კი ყველა მოქმედებას, რომელიც შესრულებულია ერთ-ერთი მწკრივით. შედეგად მიღებული მატრიცა იწერება "ისრის" ნიშნის შემდეგ და განაგრძობს საჭირო ალგებრული ოპერაციების შესრულებას შედეგის მიღწევამდე.

შედეგად, უნდა მივიღოთ მატრიცა, რომელშიც ერთ-ერთი დიაგონალი არის 1, ხოლო ყველა სხვა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, ანუ მატრიცა მცირდება ერთ ფორმამდე. არ უნდა დაგვავიწყდეს გამოთვლების გაკეთება განტოლების ორივე მხარის რიცხვებით.

ეს აღნიშვნა ნაკლებად შრომატევადია და საშუალებას გაძლევთ არ შეგაწუხოთ მრავალი უცნობის ჩამოთვლა.

გადაწყვეტის ნებისმიერი მეთოდის უფასო გამოყენება მოითხოვს ზრუნვას და გარკვეულ გამოცდილებას. ყველა მეთოდი არ გამოიყენება. გადაწყვეტილებების პოვნის ზოგიერთი გზა უფრო სასურველია ადამიანის საქმიანობის კონკრეტულ სფეროში, ზოგი კი არსებობს სწავლის მიზნით.

ამ სტატიის მასალა განკუთვნილია განტოლებების სისტემების პირველი გაცნობისთვის. აქ ჩვენ წარმოგიდგენთ განტოლებათა სისტემის განმარტებას და მის ამონახსნებს, ასევე განვიხილავთ განტოლებათა სისტემების ყველაზე გავრცელებულ ტიპებს. ჩვეულებისამებრ, ჩვენ მოვიყვანთ განმარტებით მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

რა არის განტოლებათა სისტემა?

ჩვენ თანდათან მივუახლოვდებით განტოლებათა სისტემის განმარტებას. ჯერ ერთი, ვთქვათ, რომ მოსახერხებელია მისი მიცემა, აღვნიშნოთ ორი წერტილი: ჯერ ერთი, ჩანაწერის ტიპი და მეორეც, ამ ჩანაწერში ჩადებული მნიშვნელობა. მოდით ვისაუბროთ მათზე, შემდეგ კი განვაზოგადოთ მსჯელობა განტოლებათა სისტემების განმარტებაში.

მოდით, რამდენიმე მათგანი ჩვენს თვალწინ გვქონდეს. მაგალითად, ავიღოთ ორი განტოლება 2 x+y=−3 და x=5. ვწერთ მათ ერთმანეთის ქვეშ და ვაერთიანებთ მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით:

ამ ტიპის ჩანაწერები, რომლებიც წარმოადგენს სვეტში განლაგებულ რამდენიმე განტოლებას და გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით, არის განტოლებათა სისტემების ჩანაწერები.

რას ნიშნავს ასეთი ჩანაწერები? ისინი განსაზღვრავენ სისტემის განტოლებების ყველა ისეთი ამონახსნის სიმრავლეს, რომლებიც თითოეული განტოლების ამონახსნიანია.

მისი სხვა სიტყვებით აღწერა არ არის მტკივნეული. დავუშვათ, პირველი განტოლების ზოგიერთი ამონახსნები სისტემის ყველა სხვა განტოლების ამონახსნებია. ასე რომ, სისტემის ჩანაწერი ასევე მიუთითებს მათ.

ახლა ჩვენ მზად ვართ ადეკვატურად მივიღოთ განტოლებათა სისტემის განმარტება.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემებიეწოდება ჩანაწერები, რომლებიც არის განტოლებები, რომლებიც მდებარეობს ერთმანეთის ქვემოთ, გაერთიანებულია მარცხნივ ხვეული ფრჩხილით, რომელიც აღნიშნავს განტოლებათა ყველა ამონახსნის ერთობლიობას, რომლებიც ერთდროულად ამონახსნებია სისტემის თითოეული განტოლებისთვის.

მსგავსი განმარტება მოცემულია სახელმძღვანელოში, მაგრამ იქ მოცემულია არა ზოგადი შემთხვევისთვის, არამედ ორი რაციონალური განტოლებისთვის ორი ცვლადით.

ძირითადი ტიპები

ნათელია, რომ არსებობს უსასრულოდ ბევრი განსხვავებული განტოლება. ბუნებრივია, ასევე არსებობს უსასრულოდ ბევრი განტოლების სისტემა, რომელიც შედგენილია მათ გამოყენებით. ამიტომ, განტოლებათა სისტემებთან შესწავლისა და მუშაობის მოხერხებულობისთვის, აზრი აქვს მათი ჯგუფებად დაყოფას მსგავსი მახასიათებლების მიხედვით, შემდეგ კი გავაგრძელოთ ცალკეული ტიპის განტოლებების სისტემების განხილვა.

პირველი ქვედანაყოფი თავს გვთავაზობს სისტემაში შემავალი განტოლებების რაოდენობით. თუ არის ორი განტოლება, მაშინ შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვაქვს ორი განტოლების სისტემა, თუ არის სამი, მაშინ სამი განტოლების სისტემა და ა.შ. გასაგებია, რომ ერთი განტოლების სისტემაზე ლაპარაკს აზრი არ აქვს, რადგან ამ შემთხვევაში, ფაქტობრივად, საქმე გვაქვს თავად განტოლებასთან და არა სისტემასთან.

შემდეგი დაყოფა ეფუძნება სისტემის განტოლებების ჩაწერაში ჩართული ცვლადების რაოდენობას. თუ არის ერთი ცვლადი, მაშინ საქმე გვაქვს განტოლებათა სისტემასთან ერთი ცვლადით (ერთ უცნობთანაც ამბობენ), თუ ორია, მაშინ განტოლებათა სისტემასთან ორი ცვლადით (ორი უცნობით) და ა.შ. Მაგალითად, არის განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით x და y.

ეს ეხება ჩანაწერში ჩართული ყველა სხვადასხვა ცვლადის რაოდენობას. ისინი არ უნდა იყოს ერთდროულად შეყვანილი თითოეული განტოლების ჩანაწერში, საკმარისია მათი ყოლა მინიმუმ ერთ განტოლებაში. Მაგალითად, არის განტოლებათა სისტემა სამი ცვლადით x, y და z. პირველ განტოლებაში, x ცვლადი წარმოდგენილია აშკარად, ხოლო y და z არის იმპლიციტური (შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ამ ცვლადებს აქვთ ნული), ხოლო მეორე განტოლებაში x და z არის წარმოდგენილი, ხოლო y ცვლადი აშკარად არ არის წარმოდგენილი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პირველი განტოლება შეიძლება ჩაითვალოს როგორც , ხოლო მეორე x+0 y−3 z=0 .

მესამე წერტილი, რომელშიც განტოლებათა სისტემები განსხვავდება, არის თავად განტოლებების ფორმა.

სკოლაში განტოლებათა სისტემების შესწავლა იწყება ორი წრფივი განტოლების სისტემები ორ ცვლადში. ანუ, ასეთი სისტემები ქმნიან ორ წრფივ განტოლებას. აქ არის რამდენიმე მაგალითი: და . მათზე ისწავლება განტოლებათა სისტემებთან მუშაობის საფუძვლები.

უფრო რთული ამოცანების ამოხსნისას შეიძლება ასევე შეგვხვდეს სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი უცნობით.

შემდგომ მე-9 კლასში, არაწრფივი განტოლებები ემატება ორი განტოლების სისტემებს ორი ცვლადით, უმეტესწილად მეორე ხარისხის მთელი განტოლებები, ნაკლებად ხშირად - უმაღლესი ხარისხის. ამ სისტემებს უწოდებენ არაწრფივი განტოლებების სისტემებს, საჭიროების შემთხვევაში მითითებულია განტოლებებისა და უცნობის რაოდენობა. მოდით ვაჩვენოთ არაწრფივი განტოლებების ასეთი სისტემების მაგალითები: და .

და შემდეგ სისტემებში ასევე არის, მაგალითად,. მათ ჩვეულებრივ უწოდებენ განტოლებათა სისტემებს, რომელი განტოლებების დაზუსტების გარეშე. აქ უნდა აღინიშნოს, რომ ყველაზე ხშირად ისინი უბრალოდ ამბობენ "განტოლებათა სისტემა" განტოლებათა სისტემის შესახებ და დახვეწა ემატება მხოლოდ საჭიროების შემთხვევაში.

საშუალო სკოლაში, მასალის შესწავლისას, სისტემებში შეაღწევს ირაციონალური, ტრიგონომეტრიული, ლოგარითმული და ექსპონენციალური განტოლებები: , , .

თუ კიდევ უფრო შორს გადავხედავთ უნივერსიტეტების პირველი კურსების პროგრამას, მაშინ მთავარი აქცენტი კეთდება წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემების (SLAE) შესწავლასა და ამოხსნაზე, ანუ განტოლებებზე, რომელთა მარცხენა ნაწილებში არის პოლინომები. პირველი ხარისხი, ხოლო მარჯვნივ - რამდენიმე რიცხვი. მაგრამ იქ, სკოლისგან განსხვავებით, უკვე აღებულია არა ორი წრფივი განტოლება ორი ცვლადით, არამედ განტოლებების თვითნებური რაოდენობა ცვლადების თვითნებური რაოდენობით, ხშირად არ ემთხვევა განტოლებების რაოდენობას.

რა არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი?

ტერმინი „განტოლებათა სისტემის ამოხსნა“ პირდაპირ ეხება განტოლებათა სისტემებს. სკოლა იძლევა ორი ცვლადით განტოლებათა სისტემის ამოხსნის განმარტებას :

განმარტება.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორი ცვლადითეწოდება ამ ცვლადების მნიშვნელობების წყვილი, რომელიც აქცევს სისტემის თითოეულ განტოლებას სწორში, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ეს არის სისტემის თითოეული განტოლების ამონახსნი.

მაგალითად, ცვლადის მნიშვნელობების წყვილი x=5, y=2 (ის შეიძლება დაიწეროს როგორც (5, 2)) არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი განმარტებით, ვინაიდან სისტემის განტოლებები, როდესაც x= 5 , y=2 ჩანაცვლებულია მათში, გადაიქცევა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლებად 5+2=7 და 5−2=3 შესაბამისად. მაგრამ მნიშვნელობების წყვილი x=3, y=0 არ არის გამოსავალი ამ სისტემისთვის, რადგან როდესაც ეს მნიშვნელობები ჩანაცვლდება განტოლებებში, პირველი მათგანი გადაიქცევა არასწორ ტოლობაში 3+0=7.

მსგავსი განმარტებები შეიძლება ჩამოყალიბდეს ერთი ცვლადის მქონე სისტემებისთვის, ასევე სამი, ოთხი და ა.შ. ცვლადები.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ერთი ცვლადითიქნება ცვლადი მნიშვნელობა, რომელიც არის სისტემის ყველა განტოლების ფესვი, ანუ ის აქცევს ყველა განტოლებას ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლებად.

ავიღოთ მაგალითი. განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა ფორმის ერთი ცვლადით . რიცხვი −2 არის მისი ამონახსნი, რადგან ორივე (−2) 2 =4 და 5·(−2+2)=0 ჭეშმარიტი რიცხვითი ტოლობებია. და t=1 არ არის სისტემის ამოხსნა, რადგან ამ მნიშვნელობის ჩანაცვლება მისცემს ორ არასწორ ტოლობას 1 2 =4 და 5·(1+2)=0 .

განმარტება.

სისტემის ამოხსნა სამი, ოთხი და ა.შ. ცვლადებიეწოდება სამმაგი, ოთხმაგი და ა.შ. ცვლადების მნიშვნელობები, შესაბამისად, რაც გარდაქმნის სისტემის ყველა განტოლებას ნამდვილ თანასწორებად.

ასე რომ, განსაზღვრებით, ცვლადების მნიშვნელობების სამმაგი x=1, y=2, z=0 არის სისტემის ამოხსნა. , ვინაიდან 2 1=2 , 5 2=10 და 1+2+0=3 სწორი რიცხვითი ტოლობებია. და (1, 0, 5) არ არის გამოსავალი ამ სისტემისთვის, რადგან როდესაც ცვლადების ეს მნიშვნელობები იცვლება სისტემის განტოლებებში, მეორე მათგანი გადაიქცევა არასწორ ტოლობაში 5 0=10, ხოლო მესამე ერთი ასევე არის 1+0+5=3.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლებათა სისტემებს შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები, შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნების სასრული რაოდენობა, მაგალითად, ერთი, ორი, ..., ან შეიძლება ჰქონდეს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნები. ამას დაინახავთ, როცა უფრო ღრმად ჩახვალთ თემაში.

განტოლებათა სისტემის განმარტებებისა და მათი ამონახსნების გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის მისი ყველა განტოლების ამონახსნების სიმრავლეთა კვეთა.

დასასრულს, აქ არის რამდენიმე დაკავშირებული განმარტება:

განმარტება.

შეუთავსებელითუ მას არ აქვს გადაწყვეტილებები, წინააღმდეგ შემთხვევაში სისტემა ეწოდება ერთობლივი.

განმარტება.

განტოლებათა სისტემა ე.წ გაურკვეველითუ მას აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი და გარკვეული, თუ მას აქვს ამონახსნების სასრული რაოდენობა, ან საერთოდ არ აქვს.

ეს ტერმინები, მაგალითად, სახელმძღვანელოშია შემოტანილი, მაგრამ სკოლაში იშვიათად გამოიყენება, უფრო ხშირად ისმის უმაღლეს სასწავლებლებში.

ბიბლიოგრაფია.

1. Ალგებრა:სახელმძღვანელო 7 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-17 გამოცემა. - M. : განათლება, 2008. - 240გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-7 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-17 გამოცემა, დამატება. - მ.: მნემოზინა, 2013. - 175გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, სრ. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ .: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Ალგებრადა ანალიზის დასაწყისი: პროკ. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn და სხვები; რედ. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M.: განმანათლებლობა, 2004.- 384 გვ.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
7. A. G. Kurosh. უმაღლესი ალგებრის კურსი.
8. Ilyin V. A., Poznyak E. G. ანალიტიკური გეომეტრია:სახელმძღვანელო: უნივერსიტეტებისთვის. - მე-5 გამოცემა. - მ.: მეცნიერება. Fizmatlit, 1999. - 224გვ. – (უმაღლესი მათემატიკისა და მათემატიკური ფიზიკის კურსი). – ISBN 5-02-015234 – X (გამოცემა 3)