წარმოდგენილია უტოლობების ძირითადი ტიპები, მათ შორის ბერნულის, კოში-ბუნიაკოვსკის, მინკოვსკის, ჩებიშევის უტოლობა. განიხილება უტოლობების თვისებები და მათზე მოქმედებები. მოცემულია უტოლობების ამოხსნის ძირითადი მეთოდები.
ძირითადი უტოლობების ფორმულები
უნივერსალური უტოლობების ფორმულები
უნივერსალური უტოლობები დაკმაყოფილებულია მათში შემავალი რაოდენობების ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. უნივერსალური უტოლობების ძირითადი ტიპები ჩამოთვლილია ქვემოთ.
1) | a b | ≤ |a| + |ბ| ; | a 1 a 2 ... a n | ≤ |a 1 | + |a 2 | + ... + |a n |
2) |ა| + |ბ| ≥ | a-b | ≥ | |ა| - |ბ| |
3)
ტოლობა ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც a 1 = a 2 = ... = a n.
4)
კოში-ბუნიაკოვსკის უთანასწორობა
ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, თუ α a k = β b k ყველა k = 1, 2, ..., n და ზოგიერთი α, β, |α| + |ბ| > 0.
5)
მინკოვსკის უთანასწორობა, p ≥ 1-ისთვის
დამაკმაყოფილებელი უტოლობების ფორმულები
დამაკმაყოფილებელი უტოლობები დაკმაყოფილებულია მათში შემავალი რაოდენობების გარკვეული მნიშვნელობებისთვის.
1)
ბერნულის უტოლობა:
.
უფრო ზოგადად:
,
სადაც , ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვები და მეტი -1
:
.
ბერნულის ლემა:
.
იხილეთ „უტოლობების მტკიცებულებები და ბერნულის ლემა“.
2)
i ≥ 0-ისთვის (i = 1, 2, ..., n) .
3)
ჩებიშევის უთანასწორობა
ზე 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
და 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
ზე 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
და b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
4)
განზოგადებული ჩებიშევის უტოლობა
ზე 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
და 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
და კ ბუნებრივი
.
ზე 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n
და b 1 ≥ b 2 ≥ ... ≥ b n > 0
.
უტოლობების თვისებები
უტოლობების თვისებები არის იმ წესების ერთობლიობა, რომლებიც სრულდება მათი გარდაქმნისას. ქვემოთ მოცემულია უტოლობების თვისებები. ვარაუდობენ, რომ საწყისი უტოლობები დაკმაყოფილებულია x i (i = 1, 2, 3, 4) მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც მიეკუთვნება წინასწარ განსაზღვრულ ინტერვალს.
1) გვერდების თანმიმდევრობის შეცვლისას უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია.
თუ x 1< x 2
,
то x 2 >x 1 .
თუ x 1 ≤ x 2, მაშინ x 2 ≥ x 1.
თუ x 1 ≥ x 2, მაშინ x 2 ≤ x 1.
თუ x 1 > x 2, მაშინ x 2< x 1
.
2) ერთი ტოლობა უდრის სხვადასხვა ნიშნის ორ არამკაცრ უტოლობას.
თუ x 1 = x 2, მაშინ x 1 ≤ x 2 და x 1 ≥ x 2.
თუ x 1 ≤ x 2 და x 1 ≥ x 2, მაშინ x 1 = x 2.
3) ტრანზიტის თვისება
თუ x 1< x 2
и x 2 < x 3
,
то x 1 < x 3
.
თუ x 1< x 2
и x 2 ≤ x 3
,
то x 1 < x 3
.
თუ x 1 ≤ x 2 და x 2< x 3
,
то x 1 < x 3
.
თუ x 1 ≤ x 2 და x 2 ≤ x 3 მაშინ x 1 ≤ x 3.
4) შეგიძლიათ დაუმატოთ (გამოაკლოთ) ერთი და იგივე რიცხვი უტოლობის ორივე ნაწილს.
თუ x 1< x 2
,
то x 1 + A < x 2 + A
.
თუ x 1 ≤ x 2 მაშინ x 1 + A ≤ x 2 + A.
თუ x 1 ≥ x 2 მაშინ x 1 + A ≥ x 2 + A.
თუ x 1 > x 2, მაშინ x 1 + A > x 2 + A.
5) თუ არსებობს ორი ან მეტი უტოლობა ერთი და იგივე მიმართულების ნიშნით, მაშინ შეიძლება მათი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილების დამატება.
თუ x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
თუ x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
თუ x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
то x 1 + x 3 < x 2 + x 4
.
თუ x 1 ≤ x 2, x 3 ≤ x 4, მაშინ x 1 + x 3 ≤ x 2 + x 4.
მსგავსი გამონათქვამებია ნიშნები ≥, >.
თუ საწყისი უტოლობა შეიცავს არამკაცრ უტოლობას და მინიმუმ ერთ მკაცრ უტოლობას (მაგრამ ყველა ნიშანს ერთი და იგივე მიმართულება აქვს), მაშინ მიმატება იწვევს მკაცრ უტოლობას.
6) უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ (გაიყოთ) დადებით რიცხვზე.
თუ x 1< x 2
и A >0, შემდეგ A x 1< A · x 2
.
თუ x 1 ≤ x 2 და A > 0 , მაშინ A x 1 ≤ A x 2 .
თუ x 1 ≥ x 2 და A > 0, მაშინ A x 1 ≥ A x 2.
თუ x 1 > x 2 და A > 0, მაშინ A x 1 > A x 2.
7) უტოლობის ორივე ნაწილი შეიძლება გავამრავლოთ (გაიყოთ) უარყოფით რიცხვზე. ამ შემთხვევაში უთანასწორობის ნიშანი საპირისპიროდ შეიცვლება.
თუ x 1< x 2
и A < 0
,
то A · x 1 >A · x 2.
თუ x 1 ≤ x 2 და A< 0
,
то A · x 1 ≥ A · x 2
.
თუ x 1 ≥ x 2 და A< 0
,
то A · x 1 ≤ A · x 2
.
თუ x 1 > x 2 და A< 0
,
то A · x 1 < A · x 2
.
8) თუ არსებობს ორი ან მეტი უტოლობა დადებითი წევრებით, ერთნაირი მიმართულების ნიშნით, მაშინ მათი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები შეიძლება ერთმანეთზე გავამრავლოთ.
თუ x 1< x 2
,
x 3 < x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 შემდეგ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
თუ x 1< x 2
,
x 3 ≤ x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 შემდეგ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
თუ x 1 ≤ x 2, x 3< x 4
,
x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 შემდეგ x 1 x 3< x 2 · x 4
.
თუ x 1 ≤ x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 > 0 მაშინ x 1 x 3 ≤ x 2 x 4 .
მსგავსი გამონათქვამებია ნიშნები ≥, >.
თუ საწყისი უტოლობები შეიცავს არამკაცრ უტოლობას და მინიმუმ ერთ მკაცრ უტოლობას (მაგრამ ყველა ნიშანს ერთი და იგივე მიმართულება აქვს), მაშინ გამრავლება იწვევს მკაცრ უტოლობას.
9) დავუშვათ f(x) მონოტონურად მზარდი ფუნქცია. ანუ ნებისმიერი x 1 > x 2 , f(x 1) > f(x 2) . მაშინ ეს ფუნქცია შეიძლება გამოვიყენოთ უტოლობის ორივე ნაწილზე, საიდანაც უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
თუ x 1< x 2
,
то f(x 1) < f(x 2)
.
თუ x 1 ≤ x 2 მაშინ f(x 1) ≤ f(x 2) .
თუ x 1 ≥ x 2, მაშინ f(x 1) ≥ f(x 2) .
თუ x 1 > x 2, მაშინ f(x 1) > f(x 2) .
10) მოდით f (x) იყოს მონოტონურად კლებადი ფუნქცია, ანუ ნებისმიერი x 1 > x 2, f (x 1)< f(x 2)
.
Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
თუ x 1< x 2
,
то f(x 1) >f(x2) .
თუ x 1 ≤ x 2 მაშინ f(x 1) ≥ f(x 2) .
თუ x 1 ≥ x 2 მაშინ f(x 1) ≤ f(x 2) .
თუ x 1 > x 2, მაშინ f(x 1)< f(x 2)
.
უტოლობების ამოხსნის მეთოდები
უტოლობების ამოხსნა ინტერვალის მეთოდით
ინტერვალის მეთოდი გამოიყენება, თუ უტოლობა მოიცავს ერთ ცვლადს, რომელსაც აღვნიშნავთ როგორც x და აქვს ფორმა:
f(x) > 0
სადაც f(x) არის უწყვეტი ფუნქცია უწყვეტობის წერტილების სასრული რაოდენობით. უტოლობის ნიშანი შეიძლება იყოს ნებისმიერი: >, ≥,<, ≤
.
ინტერვალის მეთოდი შემდეგია.
1) იპოვეთ f(x) ფუნქციის დომენი და მონიშნეთ ინტერვალებით რეალურ ღერძზე.
2) იპოვეთ f(x) ფუნქციის უწყვეტობის წერტილები. მაგალითად, თუ ის წილადია, მაშინ ჩვენ ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც მნიშვნელი ქრება. ჩვენ აღვნიშნავთ ამ წერტილებს რიცხვით ღერძზე.
3) ამოხსენით განტოლება
f(x) = 0 .
ამ განტოლების ფესვები მონიშნულია რიცხვით წრფეზე.
4) შედეგად, რიცხვითი ღერძი წერტილებით დაიყოფა ინტერვალებად (სეგმენტებად). განმარტების დომენში შემავალი თითოეული ინტერვალის ფარგლებში ვირჩევთ ნებისმიერ წერტილს და ამ დროს ვიანგარიშებთ ფუნქციის მნიშვნელობას. თუ ეს მნიშვნელობა ნულზე მეტია, მაშინ სეგმენტზე (ინტერვალზე) ვსვამთ ნიშანს "+". თუ ეს მნიშვნელობა ნულზე ნაკლებია, მაშინ სეგმენტის (ინტერვალის) ზემოთ ვსვამთ ნიშანს "-".
5) თუ უტოლობას აქვს ფორმა: f(x) > 0, მაშინ შეარჩიეთ ინტერვალები „+“ ნიშნით. უტოლობის გამოსავალი არის ამ ინტერვალების გაერთიანება, რომელიც არ მოიცავს მათ საზღვრებს.
თუ უტოლობას აქვს ფორმა: f(x) ≥ 0, მაშინ ამონახსნებს ვუმატებთ წერტილებს, სადაც f(x) = 0 . ანუ, ზოგიერთ ინტერვალს შეიძლება ჰქონდეს დახურული საზღვრები (საზღვარი ეკუთვნის ინტერვალს). მეორე ნაწილს შეიძლება ჰქონდეს ღია საზღვრები (საზღვარი არ ეკუთვნის ინტერვალს).
ანალოგიურად, თუ უტოლობა არის: f(x)< 0
,
то выбираем интервалы с знаком „-“
.
Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
თუ უტოლობა ასე გამოიყურება: f(x) ≤ 0 , მაშინ ამონახსნებს ვუმატებთ წერტილებს, სადაც f(x) = 0 .
უტოლობების ამოხსნა მათი თვისებების გამოყენებით
ეს მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი სირთულის უტოლობებისთვის. იგი მოიცავს თვისებების გამოყენებას (ზემოთ წარმოდგენილი), რათა შევიყვანოთ უტოლობები უფრო მარტივ ფორმამდე და მივიღოთ ამონახსნები. სავსებით შესაძლებელია, რომ ამას მოჰყვეს არა ერთი, არამედ უთანასწორობის სისტემა. ეს უნივერსალური მეთოდია. ეს ეხება ნებისმიერ უთანასწორობას.
ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.
გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „რიცხობრივი უტოლობების ძირითადი თვისებები და მათი ამოხსნა“.
დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.
სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-8 კლასისთვის
კომბინატორიკა და ალბათობის თეორია განტოლებები და უტოლობა
რიცხვითი უტოლობების შესავალი
ბიჭებო, ჩვენ უკვე შეგვხვდა უთანასწორობა, მაგალითად, როდესაც დავიწყეთ კვადრატული ფესვის ცნების გაცნობა. ინტუიციურად ცხადია, რომ უტოლობების დახმარებით შესაძლებელია გამოვთვალოთ მოცემული რიცხვებიდან რომელია მეტი ან ნაკლები. მათემატიკური აღწერისთვის საკმარისია დაამატოთ სპეციალური სიმბოლო, რომელიც ნიშნავს მეტს ან ნაკლებს.გამოთქმის $a>b$ დაწერა მათემატიკური ენაზე ნიშნავს, რომ რიცხვი $a$ მეტია რიცხვზე $b$. თავის მხრივ, ეს ნიშნავს, რომ $a-b$ არის დადებითი რიცხვი. თითქმის ყველა მათემატიკური ობიექტის მსგავსად, უტოლობას აქვს გარკვეული თვისებები. ჩვენ შევისწავლით ამ თვისებებს ამ გაკვეთილზე. საკუთრება 1. მტკიცებულება. ეს თვისება შეიძლება უფრო ნათლად იყოს ნაჩვენები რიცხვითი ხაზის გამოყენებით. თუ $a>b$, მაშინ რიცხვი $a$ რეალურ ხაზზე იქნება $b$-ის მარჯვნივ. შესაბამისად, თუ $b>c$, მაშინ რიცხვი $b$ იქნება $c$ რიცხვის მარჯვნივ. საკუთრება 2. საკუთრება 3. საკუთრება 4. მტკიცებულება. საკუთრება 5. მტკიცებულება. განმარტება. შემდეგ თვისება 5 შეიძლება ხელახლა ჩამოყალიბდეს. როდესაც მრავლდება ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, რომლისთვისაც მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები დადებითია, მიიღება ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობა. საკუთრება 6. საკუთრება 7. მტკიცებულება. ვიცით, რომ $a-b$ დადებითი რიცხვია და ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლი ასევე დადებითი რიცხვია, ე.ი. $ab>0$. ქონება 8. მტკიცებულება. საკუთრება 9.კოშის უტოლობა (საშუალო არითმეტიკული გეომეტრიულ საშუალოზე მეტი ან ტოლია). მტკიცებულება. გადაწყვეტილება. ბ) გამოვიყენოთ თვისება 3. გავამრავლოთ უარყოფით რიცხვზე, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობის ნიშანი იცვლება. დ) გაამრავლეთ $3.1 უტოლობის ყველა ნაწილი ე) უტოლობის ყველა ნაწილი დადებითია, მათი კვადრატში ვიღებთ იგივე მნიშვნელობის უტოლობას. ე) უთანასწორობის ხარისხი უცნაურია, მაშინ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ ასწიოთ სიმძლავრემდე და არ შეცვალოთ ნიშანი. ზ) გამოვიყენოთ ქონება 7. მაგალითი 2 გადაწყვეტილება. ნამდვილ რიცხვთა ველს აქვს რიგის თვისება (პუნქტი 6, გვ. 35): ნებისმიერი რიცხვისთვის a, b, ერთი და სამი მიმართულებიდან მხოლოდ ერთი მოქმედებს: ან . ამ შემთხვევაში, აღნიშვნა a > b ნიშნავს, რომ განსხვავება დადებითია, ხოლო აღნიშვნის სხვაობა უარყოფითია. რეალური რიცხვების ველისგან განსხვავებით, რთული რიცხვების ველი არ არის დალაგებული: რთული რიცხვებისთვის არ არის განსაზღვრული ცნებები „ზე მეტი“ და „ნაკლები“; ამიტომ, ეს თავი ეხება მხოლოდ რეალურ რიცხვებს. მიმართებებს ვუწოდებთ უტოლობას, a და b რიცხვებს უტოლობის წევრები (ან ნაწილები), ნიშნები > (ზე მეტი) და უტოლობა a > b და c > d - იგივე (ან იგივე) მნიშვნელობის უტოლობა; უტოლობები a > b და c უტოლობის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ 1) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი, რომელიც აღემატება ნულს; 2) ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვი ნულზე ნაკლები; 3) ნებისმიერი დადებითი რიცხვი მეტია ნებისმიერ უარყოფით რიცხვზე; 4) ორი უარყოფითი რიცხვიდან, რომლის აბსოლუტური მნიშვნელობა უფრო მცირეა, უფრო დიდია. ყველა ეს განცხადება აღიარებს მარტივ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას. რიცხვთა ღერძის დადებითი მიმართულება წავიდეს საწყისი წერტილიდან მარჯვნივ; მაშინ, როგორიც არ უნდა იყოს რიცხვების ნიშნები, უფრო დიდი მათგანი წარმოდგენილია წერტილით, რომელიც მდებარეობს წერტილის მარჯვნივ, რომელიც წარმოადგენს პატარა რიცხვს. უტოლობას აქვს შემდეგი ძირითადი თვისებები. 1. ასიმეტრია (შეუქცევადობა): თუ , მაშინ , და პირიქით. მართლაც, თუ განსხვავება დადებითია, მაშინ სხვაობა უარყოფითია. ისინი ამბობენ, რომ როდესაც უთანასწორობის ტერმინები გადანაწილებულია, უტოლობის მნიშვნელობა უნდა შეიცვალოს საპირისპიროდ. 2. ტრანზიტულობა: თუ , მაშინ . მართლაც, განსხვავებების პოზიტიურობა პოზიტიურობას გულისხმობს უთანასწორობის ნიშნების გარდა გამოიყენება უთანასწორობის ნიშნებიც და ისინი განიმარტება შემდეგნაირად: ჩანაწერი ნიშნავს, რომ ან ან ამიტომ, მაგალითად, შეგიძლიათ დაწეროთ და ასევე. ჩვეულებრივ, ნიშნებით დაწერილ უტოლობას მკაცრ უტოლობას უწოდებენ, ნიშნით დაწერილს კი არამკაცრ უტოლობას. შესაბამისად, თავად ნიშნებს მკაცრი ან არამკაცრი უთანასწორობის ნიშნებს უწოდებენ. ზემოთ განხილული 1 და 2 თვისებები ასევე მართალია არამკაცრ უტოლობაზე. ახლა განვიხილოთ ოპერაციები, რომლებიც შეიძლება შესრულდეს ერთ ან მეტ უტოლობაზე. 3. უტოლობის წევრებზე ერთი და იგივე რიცხვის მიმატებიდან უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. მტკიცებულება. მიეცით უტოლობა და თვითნებური რიცხვი. განმარტებით, განსხვავება დადებითია. ამ რიცხვს ვუმატებთ ორ საპირისპირო რიცხვს, საიდანაც ის არ შეიცვლება, ე.ი. ეს თანასწორობა შეიძლება გადაიწეროს ასე: აქედან გამომდინარეობს, რომ განსხვავება დადებითია, ანუ ის და ეს დასამტკიცებელი იყო. ეს არის უთანასწორობის ნებისმიერი ტერმინის საპირისპირო ნიშნით გადახრის შესაძლებლობა მისი ერთი ნაწილიდან მეორეზე. მაგალითად, უთანასწორობიდან ამას მოჰყვება 4. უტოლობის წევრთა ერთსა და იმავე დადებით რიცხვზე გამრავლებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება; როდესაც უტოლობის ტერმინები მრავლდება იმავე უარყოფით რიცხვზე, უტოლობის მნიშვნელობა იცვლება საპირისპიროდ. მტკიცებულება. მოდით, თუ მაშინ, ვინაიდან დადებითი რიცხვების ნამრავლი დადებითია. ბოლო უტოლობის მარცხენა მხარეს ფრჩხილების გაფართოებით, ვიღებთ, ე.ი. საქმეც ანალოგიურად განიხილება. ზუსტად იგივე დასკვნა შეიძლება გამოვიტანოთ უტოლობის ნაწილების გაყოფაზე რაიმე არანულოვან რიცხვზე, ვინაიდან რიცხვზე გაყოფა რიცხვზე გამრავლების ტოლფასია და რიცხვებს აქვთ იგივე ნიშნები. 5. უტოლობა დადებითი იყოს. მაშინ, როცა მისი წევრები იმავე პოზიტიურ ძალამდე ამაღლდებიან, უთანასწორობის მნიშვნელობა არ იცვლება. მტკიცებულება. მოდით ამ შემთხვევაში გარდამავალობის თვისებით და. მაშინ სიმძლავრის ფუნქციის ერთფეროვანი გაზრდის გამო და დადებითი გვაქვს კერძოდ, თუ სად არის ნატურალური რიცხვი, მაშინ მივიღებთ ანუ უტოლობის ორივე ნაწილიდან დადებითი ტერმინებით ფესვის ამოღებისას უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. დაე, უტოლობის პირობები იყოს უარყოფითი. მაშინ ადვილია იმის დამტკიცება, რომ როდესაც მისი წევრები კენტ ბუნებრივ ძლიერებამდე არიან აყვანილი, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება და როცა ის ლუწი ბუნებრივ ძლიერებამდეა აყვანილი, იცვლება პირიქით. უარყოფითი ტერმინების მქონე უტოლობებიდან, ასევე შეგიძლიათ ამოიღოთ კენტი ხარისხის ფესვი. მოდით, უთანასწორობის ტერმინებს განსხვავებული ნიშნები ჰქონდეს. მაშინ, როცა ის კენტ ხარისხზეა აყვანილი, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება, ხოლო როდესაც ის ლუწი ხარისხზეა აყვანილი, ზოგად შემთხვევაში ვერაფერს ვიტყვით ცალსახად მიღებული უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ. მართლაც, როდესაც რიცხვი იზრდება კენტ ხარისხზე, რიცხვის ნიშანი შენარჩუნებულია და, შესაბამისად, უტოლობის მნიშვნელობა არ იცვლება. უთანასწორობის თანაბარ ხარისხზე აყვანისას ყალიბდება უტოლობა დადებითი ტერმინებით და მისი მნიშვნელობა დამოკიდებული იქნება საწყისი უტოლობის ტერმინების აბსოლუტურ მნიშვნელობებზე, იგივე მნიშვნელობის უტოლობაზე, როგორც თავდაპირველი, უტოლობა. საპირისპირო მნიშვნელობა და თანასწორობაც კი! სასარგებლოა ყველაფრის შემოწმება, რაც ითქვა უტოლობების ხარისხებამდე ამაღლების შესახებ შემდეგი მაგალითის გამოყენებით. მაგალითი 1. აწიეთ შემდეგი უტოლობა მითითებულ ხარისხზე, აუცილებლობის შემთხვევაში შეცვალეთ უტოლობის ნიშანი საპირისპიროდ ან ტოლობის ნიშნით. ა) 3 > 2 4-ის ხარისხზე; ბ) 3-ის ხარისხზე; გ) 3-ის ხარისხზე; დ) 2-ის ხარისხზე; ე) 5-ის ხარისხზე; ე) 4-ის ხარისხზე; ზ) 2 > -3 2-ის ხარისხზე; თ) 2-ის ხარისხზე, 6. უთანასწორობიდან შეგიძლიათ გადახვიდეთ უთანასწორობაზე, თუ უტოლობის ტერმინები ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი, მაშინ მათ ორმხრივებს შორის არის საპირისპირო მნიშვნელობის უტოლობა: მტკიცებულება. თუ a და b ერთნაირი ნიშნისაა, მაშინ მათი ნამრავლი დადებითია. გაყოფა უტოლობით ანუ რისი მიღება იყო საჭირო. თუ უტოლობის ტერმინებს აქვთ საპირისპირო ნიშნები, მაშინ მათ ორმხრივ უთანასწორობას იგივე მნიშვნელობა აქვს, რადგან ორმხრივების ნიშნები იგივეა, რაც თავად სიდიდეების ნიშნები. მაგალითი 2. შეამოწმეთ ბოლო თვისება 6 შემდეგ უტოლობებზე: 7. უტოლობათა ლოგარითმი შეიძლება შესრულდეს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როდესაც უტოლობათა ტერმინები დადებითია (უარყოფით რიცხვებსა და ნულს ლოგარითმები არ გააჩნიათ). იყოს . მერე როდის იქნება და როდის იქნება ამ განცხადებების სისწორე ემყარება ლოგარითმული ფუნქციის ერთფეროვნებას, რომელიც იზრდება, თუ ფუძე და მცირდება, თუ ასე რომ, დადებითი ტერმინებისგან შემდგარი უტოლობის ლოგარითმის აღებისას, ერთზე მეტი ფუძით, წარმოიქმნება იგივე მნიშვნელობის უტოლობა, როგორც მოცემული, ხოლო მისი ლოგარითმის ერთზე ნაკლები დადებითი ფუძით აღებისას, უტოლობა. ყალიბდება საპირისპირო მნიშვნელობა. 8. თუ , მაშინ თუ , მაგრამ , მაშინ . ეს დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ექსპონენციალური ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებებიდან (სექ. 42), რომელიც იზრდება იმ შემთხვევაში და მცირდება, თუ ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობების ტერმინის მიხედვით დამატებისას იქმნება მონაცემთა იგივე მნიშვნელობის უტოლობა. მტკიცებულება. მოდით დავამტკიცოთ ეს დებულება ორი უტოლობისთვის, თუმცა ეს მართალია ნებისმიერი რაოდენობის ჯამური უტოლობა. დაე, უტოლობები განსაზღვრებით, რიცხვები დადებითი იქნება; მაშინ მათი ჯამიც დადებითი გამოდის, ე.ი. ტერმინების განსხვავებულად დაჯგუფება, ჩვენ ვიღებთ და აქედან გამომდინარე და ეს დასამტკიცებელი იყო. არაფრის თქმა არ შეიძლება ზოგად შემთხვევაში უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ, რომელიც გამოწვეულია სხვადასხვა მნიშვნელობის ორი ან მეტი უტოლობის მიმატებით. 10. თუ საპირისპირო მნიშვნელობის სხვა უტოლობა ერთ უტოლობას ვაკლდება ტერმინით, მაშინ წარმოიქმნება პირველის იგივე მნიშვნელობის უტოლობა. მტკიცებულება. მიეცით ორი განსხვავებული მნიშვნელობის უტოლობა. მეორე მათგანი შეუქცევადობის თვისებით შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად: d > c. ახლა დავამატოთ ერთი და იგივე მნიშვნელობის ორი უტოლობა და მივიღოთ უტოლობა იგივე მნიშვნელობა. ამ უკანასკნელიდან ვხვდებით და ეს დასამტკიცებელი იყო. ზოგად საქმეში ცალსახად არაფერი შეიძლება ითქვას უტოლობის მნიშვნელობის შესახებ, რომელიც მიღებულია იმავე მნიშვნელობის სხვა უტოლობის გამოკლებით. უთანასწორობა მათემატიკაში მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. სკოლაში ძირითადად საქმე გვაქვს რიცხვითი უტოლობები, რომლის განმარტებით დავიწყებთ ამ სტატიას. შემდეგ კი ჩამოვთვლით და ვამართლებთ რიცხვითი უტოლობების თვისებები, რომელზედაც დაფუძნებულია უთანასწორობასთან მუშაობის ყველა პრინციპი. ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ რიცხვითი უტოლობების მრავალი თვისება მსგავსია. ამიტომ მასალას წარმოვადგენთ იმავე სქემის მიხედვით: ვაყალიბებთ თვისებას, ვაძლევთ მის დასაბუთებას და მაგალითებს და შემდეგ გადავდივართ შემდეგ თვისებაზე. გვერდის ნავიგაცია. როდესაც ჩვენ შემოვიღეთ უთანასწორობის ცნება, შევამჩნიეთ, რომ უტოლობები ხშირად მათი დაწერის წესით განისაზღვრება. ასე რომ, ჩვენ უტოლობას ვუწოდებთ მნიშვნელოვან ალგებრულ გამონათქვამებს, რომლებიც შეიცავს არა ტოლ ნიშნებს ≠, ნაკლები<, больше >, ≤-ზე ნაკლები ან ტოლი ან მეტი ან ≥-ის ტოლი. ზემოაღნიშნული განმარტებიდან გამომდინარე, მოსახერხებელია რიცხვითი უტოლობის განსაზღვრა: რიცხვითი უტოლობების შეხვედრა პირველ კლასში მათემატიკის გაკვეთილებზე ხდება პირველი ნატურალური რიცხვების 1-დან 9-მდე გაცნობის და შედარების ოპერაციის გაცნობისთანავე. მართალია, იქ მათ უბრალოდ უტოლობას უწოდებენ, რაც გამოტოვებს "რიცხვის" განმარტებას. სიცხადისთვის, ზიანს არ აყენებს უმარტივესი რიცხვითი უტოლობების რამდენიმე მაგალითის მოყვანა მათი კვლევის ამ ეტაპიდან: 1<2
, 5+2>3
. და ნატურალური რიცხვებიდან გარდა, ცოდნა ვრცელდება სხვა ტიპის რიცხვებზე (მთლიანი, რაციონალური, რეალური რიცხვები), შესწავლილია მათი შედარების წესები და ეს მნიშვნელოვნად აფართოებს რიცხვითი უტოლობების სახეობრივ მრავალფეროვნებას: −5> −72, 3> − 0.275 (7−5, 6) ,. პრაქტიკაში, უთანასწორობებთან მუშაობა იძლევა რიგს რიცხვითი უტოლობების თვისებები. ისინი გამომდინარეობენ ჩვენს მიერ შემოტანილი უთანასწორობის კონცეფციიდან. რიცხვებთან მიმართებაში ეს ცნება მოცემულია შემდეგი დებულებით, რომელიც შეიძლება ჩაითვალოს რიცხვების სიმრავლის მიმართების „ნაკლებად“ და „ზე მეტი“ განსაზღვრებად (მას ხშირად უწოდებენ უტოლობის განსხვავების განმარტებას): განმარტება.
ეს განმარტება შეიძლება გადაიხედოს დეფინიციაში ნაკლები ან ტოლი და მეტი ან ტოლი. აი მისი ფორმულირება: განმარტება.
ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განმარტებებს რიცხვითი უტოლობების თვისებების დასამტკიცებლად, რომელსაც ახლა განვიხილავთ. ჩვენ ვიწყებთ ჩვენს მიმოხილვას უტოლობების სამი ძირითადი თვისებით. რატომ არის ისინი აუცილებელი? რადგან ისინი ასახავს უტოლობების თვისებებს ყველაზე ზოგადი გაგებით და არა მხოლოდ რიცხვით უტოლობებთან მიმართებაში. რიცხვითი უტოლობები დაწერილი ნიშნების გამოყენებით< и >დამახასიათებელია: რაც შეეხება ≤ და ≥ არამკაცრ უტოლობათა ნიშნებით დაწერილ რიცხვობრივ უტოლობას, მათ აქვთ რეფლექსურობის (და არა ანტირეფლექსურობის) თვისება, ვინაიდან a≤a და a≥a უტოლობები მოიცავს a=a ტოლობის შემთხვევას. . მათ ასევე ახასიათებთ ანტისიმეტრია და გარდამავლობა. ამრიგად, ≤ და ≥ ნიშნებით დაწერილ რიცხვით უტოლობებს აქვთ შემდეგი თვისებები: მათი მტკიცებულება ძალიან ჰგავს უკვე მოცემულს, ამიტომ ჩვენ არ შევჩერდებით მათზე, მაგრამ გადავალთ რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვან თვისებებზე. მოდით შევავსოთ რიცხვითი უტოლობების ძირითადი თვისებები დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობის შედეგების სერიით. გამონათქვამების მნიშვნელობების შეფასების მეთოდები ეფუძნება მათ, პრინციპებს უტოლობების ამოხსნადა ა.შ. ამიტომ, მიზანშეწონილია მათთან კარგად გაუმკლავდეთ. ამ ქვეთავში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ უტოლობათა თვისებებს მკაცრი უტოლობის მხოლოდ ერთი ნიშნისთვის, მაგრამ უნდა გავითვალისწინოთ, რომ მსგავსი თვისებები ასევე მოქმედებს საპირისპირო ნიშნისთვის, ისევე როგორც არამკაცრი უტოლობის ნიშნებისთვის. ავხსნათ ეს მაგალითით. ქვემოთ ჩამოვაყალიბებთ და ვამტკიცებთ უტოლობათა თვისებას: თუ ა
მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ რიცხვითი უტოლობების თვისებებს სიის სახით, შესაბამისი განცხადების მიცემისას, ფორმალურად დაწერით ასოების გამოყენებით, ვაძლევთ მტკიცებულებებს და შემდეგ ვაჩვენებთ გამოყენების მაგალითებს. და სტატიის ბოლოს ჩვენ შევაჯამებთ რიცხვითი უტოლობების ყველა თვისებას ცხრილში. წადი! ნებისმიერი რიცხვის დამატება (ან გამოკლება) ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობის ორივე მხარეს იძლევა ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვები a და b ისეთია, რომ a
ამის დასამტკიცებლად, მოდით შევადგინოთ განსხვავება ბოლო რიცხვითი უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის და ვაჩვენოთ, რომ ის უარყოფითია a-ს პირობით. (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. ვინაიდან პირობით ა
ჩვენ არ ვჩერდებით რიცხვითი უტოლობების ამ თვისების მტკიცებულებაზე c რიცხვის გამოკლებისთვის, რადგან რეალური რიცხვების სიმრავლეზე გამოკლება შეიძლება შეიცვალოს -c-ის დამატებით. მაგალითად, თუ 7>3 სწორი რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილს დაუმატებთ რიცხვს 15, მიიღებთ სწორ რიცხვით უტოლობას 7+15>3+15, რაც იგივეა, 22>18. თუ სწორი რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილი გავამრავლოთ (ან გავყოთ) იმავე დადებით რიცხვზე c, მაშინ მიიღება სწორი რიცხვითი უტოლობა. თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გავამრავლოთ (ან გავყოთ) უარყოფით c რიცხვზე და უტოლობის ნიშანი შებრუნებულია, მაშინ მიიღება სწორი უტოლობა. პირდაპირი ფორმით: თუ რიცხვები a და b აკმაყოფილებენ a უტოლობას ძვ.წ. მტკიცებულება. დავიწყოთ იმ შემთხვევით, როდესაც c>0 . შეადგინეთ სხვაობა დასადასტურებელი რიცხვითი უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს შორის: a·c−b·c=(a−b)·c . ვინაიდან პირობით ა 0 , მაშინ ნამრავლი (a−b) c იქნება უარყოფითი რიცხვი, როგორც უარყოფითი რიცხვის a−b და დადებითი რიცხვის c ნამრავლის ნამრავლი (რომელიც მოდის დან). ამიტომ, a c−b c<0
, откуда a·c ჩვენ არ ვჩერდებით განხილული თვისების მტკიცებულებაზე ჭეშმარიტი რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილის ერთსა და იმავე c რიცხვზე გაყოფისთვის, რადგან გაყოფა ყოველთვის შეიძლება შეიცვალოს 1/c-ზე გამრავლებით. მოდით ვაჩვენოთ გაანალიზებული თვისების კონკრეტულ რიცხვებზე გამოყენების მაგალითი. მაგალითად, შეგიძლიათ სწორი რიცხვითი უტოლობის ორივე ნაწილი 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. რიცხვითი ტოლობის ორივე მხარის რიცხვზე გამრავლების ახლახან გამოკვლეული თვისებიდან გამომდინარეობს ორი პრაქტიკულად ღირებული შედეგი. ასე რომ, ჩვენ ვაყალიბებთ მათ დასკვნის სახით. ამ პარაგრაფში ზემოთ განხილულ ყველა თვისებას აერთიანებს ის, რომ თავდაპირველად მოცემულია სწორი რიცხვითი უტოლობა და მისგან, უტოლობის ნაწილებთან და ნიშნებთან გარკვეული მანიპულაციებით, მიიღება სხვა სწორი რიცხვითი უტოლობა. ახლა მივცემთ თვისებების ბლოკს, რომელშიც თავდაპირველად მოცემულია არა ერთი, არამედ რამდენიმე სწორი რიცხვითი უტოლობა და მიიღება ახალი შედეგი მათი ერთობლივი გამოყენებით მათი ნაწილების შეკრების ან გამრავლების შემდეგ. თუ a , b , c და d რიცხვებისთვის არის a უტოლობები
დავამტკიცოთ, რომ (a+c)−(b+d) უარყოფითი რიცხვია, ეს დაამტკიცებს, რომ a+c ინდუქციით, ეს თვისება ვრცელდება სამი, ოთხი და, ზოგადად, რიცხვითი უტოლობების ნებისმიერი სასრული რაოდენობის შეკრებაზე. ასე რომ, თუ რიცხვებისთვის a 1 , a 2 , ..., a n და b 1 , b 2 , …, b n უტოლობა a 1 a 1 +a 2 +…+a n . მაგალითად, მოცემულია ერთი და იგივე ნიშნის სამი სწორი რიცხვითი უტოლობა −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. თქვენ შეგიძლიათ გაამრავლოთ ერთი და იგივე ნიშნის რიცხვითი უტოლობა, რომელთა ორივე ნაწილი წარმოდგენილია დადებითი რიცხვებით. კერძოდ, ორი უტოლობისთვის ა
ამის დასამტკიცებლად შეგვიძლია გავამრავლოთ a უტოლობის ორივე მხარე
ეს თვისება ასევე მოქმედებს მოქმედი რიცხვითი უტოლობების ნებისმიერი სასრული რაოდენობის დადებით ნაწილებთან გასამრავლებლად. ანუ, თუ a 1 , a 2 , ..., a n და b 1 , b 2 , ..., b n დადებითი რიცხვებია და a 1 a 1 a 2 ... a n . ცალკე, აღსანიშნავია, რომ თუ რიცხვითი უტოლობების აღნიშვნა შეიცავს არადადებით რიცხვებს, მაშინ მათი ტერმინით გამრავლება შეიძლება გამოიწვიოს არასწორი რიცხვითი უტოლობა. მაგალითად, რიცხვითი უტოლობები 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство. შედეგი. a ფორმის იდენტური ჭეშმარიტი უტოლობების ტერმინით გამრავლება
სტატიის დასასრულს, როგორც დაპირდით, ჩვენ შევაგროვებთ ყველა შესწავლილ თვისებას რიცხვითი უტოლობების თვისებების ცხრილი: ბიბლიოგრაფია.
გამოთქმის დაწერა $a
თუ $a>b$ და $b>c$, მაშინ $a>c$.
აშკარაა, რომ $10>5$ და $5>2$ და რა თქმა უნდა $10>2$. მაგრამ მათემატიკას უყვარს მკაცრი მტკიცებულებები ყველაზე ზოგადი შემთხვევისთვის.
თუ $a>b$, მაშინ $a-b$ დადებითი რიცხვია. თუ $b>c$, მაშინ $b-c$ დადებითი რიცხვია. დავუმატოთ ორი დადებითი რიცხვი.
$a-b+b-c=a-c$.
ორი დადებითი რიცხვის ჯამი დადებითი რიცხვია, მაგრამ $a-c$ ასევე დადებითი რიცხვია. საიდანაც გამომდინარეობს, რომ $a>c$. ქონება დადასტურებულია.
როგორც ნახატიდან ჩანს, წერტილი $a$ ჩვენს შემთხვევაში მდებარეობს $c$ წერტილის მარჯვნივ, რაც ნიშნავს $a>c$.
თუ $a>b$, მაშინ $a+c>b+c$.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ რიცხვი $a$ მეტია რიცხვზე $b$, მაშინ რა რიცხვიც არ უნდა დავამატოთ (დადებითი თუ უარყოფითი) ამ რიცხვებს, უტოლობის ნიშანიც შენარჩუნდება. ეს ქონება ძალიან მარტივად დასტურდება. თქვენ უნდა გააკეთოთ გამოკლება. დამატებული ცვლადი გაქრება და თავდაპირველი უტოლობა სწორი იქნება.
ა) თუ უტოლობის ორივე მხარე გამრავლებულია დადებით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი შენარჩუნებულია.
თუ $a>b$ და $c>0$, მაშინ $ac>bc$.
ბ) თუ უტოლობის ორივე ნაწილი გამრავლებულია უარყოფით რიცხვზე, მაშინ უტოლობის ნიშანი უნდა შეიცვალოს.
თუ $a>b$ და $c თუ $a
გაყოფისას ასევე უნდა მოიქცეთ (გაყოფა დადებით რიცხვზე - ნიშანი შენარჩუნებულია, გაყოფა უარყოფით რიცხვზე - ნიშანი იცვლება).
თუ $a>b$ და $c>d$, მაშინ $a+c>b+d$.
პირობიდან: $a-b$ არის დადებითი რიცხვი და $c-d$ არის დადებითი რიცხვი.
მაშინ ჯამი $(a-b)+(c-d)$ ასევე დადებითი რიცხვია.
მოდით გავცვალოთ რამდენიმე ტერმინი $(a+с)-(b+d)$.
ვადების ადგილების ცვლილებიდან თანხა არ იცვლება.
ასე რომ, $(a+c)-(b+d)$ არის დადებითი რიცხვი და $a+c>b+d$.
ქონება დადასტურებულია.
თუ $a, b,c, d$ დადებითი რიცხვებია და $a>b$, $c>d$, მაშინ $ac>bd$.
ვინაიდან $a>b$ და $c>0$, შემდეგ თვისება 3-ის გამოყენებით, გვაქვს $ac>bc$.
ვინაიდან $c>d$ და $b>0$, შემდეგ თვისება 3-ის გამოყენებით, გვაქვს $cb>bd$.
ასე რომ, $ac>bc$ და $bc >bd$.
შემდეგ თვისება 1-ის გამოყენებით მივიღებთ $ac>bd$. ქ.ე.დ.
$a>b$ და $c>d$ ფორმის უტოლობები ($a
თუ $a>b$ ($a>0$, $b>0$), მაშინ $a^n>b^n$, სადაც $n$ არის ნებისმიერი ბუნებრივი რიცხვი.
თუ უტოლობის ორივე ნაწილი დადებითი რიცხვია და ამაღლებულია იმავე ბუნებრივ ხარისხზე, მაშინ მიიღება ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობა.
გაითვალისწინეთ, რომ თუ $n$ არის კენტი რიცხვი, მაშინ თვისება 6 მოქმედებს ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის $a$ და $b$ ნებისმიერი ნიშნით.
თუ $a>b$ ($a>0$, $b>0$), მაშინ $\frac(1)(a)
ამ თვისების დასამტკიცებლად საჭიროა გამოვაკლოთ $\frac(1)(a)-\frac(1)(b)$ უარყოფითი რიცხვის მისაღებად.
$\frac(1)(a)-\frac(1)(b)=\frac(b-a)(ab)=\frac(-(a-b))(ab)$.
მაშინ $\frac(-(a-b))(ab)$ არის უარყოფითი რიცხვი. ქონება დადასტურებულია.
თუ $a>0$, მაშინ მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: $a+\frac(1)(a)≥2$.
განვიხილოთ განსხვავება.
$a+\frac(1)(a)-2=\frac(a^2-2a+1)(a)=\frac((a-1)^2)(a)$ არის არაუარყოფითი რიცხვი.
ქონება დადასტურებულია.
თუ $a$ და $b$ არაუარყოფითი რიცხვებია, მაშინ მოქმედებს შემდეგი უტოლობა: $\frac(a+b)(2)≥\sqrt(ab)$.
განიხილეთ განსხვავება:
$\frac(a+b)(2)-\sqrt(ab)=\frac(a-2\sqrt(ab)+b)(2)=\frac((\sqrt(a)-\sqrt(b ))^2)(2)$ არის არაუარყოფითი რიცხვი.
ქონება დადასტურებულია.უტოლობების ამოხსნის მაგალითები
მაგალითი 1
ცნობილია, რომ $1,5
ბ) $-2b$.
გ) $a+b$.
დ) $a-b$.
ე) $b^2$.
ვ) $a^3$.
ზ) $\frac(1)(b)$.
ა) ვიყენებთ თვისებას 3. ვამრავლებთ დადებით რიცხვზე, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობის ნიშანი არ იცვლება.
$-1.5*3
$-2*3.1>-2*b>-2*5.3$.
$-10.3
გ) ერთი და იგივე მნიშვნელობის უტოლობების მიმატებით ვიღებთ იმავე მნიშვნელობის უტოლობას.
$-1.5+3.1
ახლა შევასრულოთ დამატების ოპერაცია.
$-1.5-5.3
${3.1}^2
${(-1.5)}^3
$\frac(1)(5.3)<\frac{1}{b}<\frac{1}{3.1}$.
$\frac(10)(53)<\frac{1}{b}<\frac{10}{31}$.
შეადარეთ რიცხვები:
ა) $\sqrt(5)+\sqrt(7)$ და $2+\sqrt(8)$.
ბ) $π+\sqrt(8)$ და $4+\sqrt(10)$.
ა) კვადრატში გავამრავლოთ თითოეული რიცხვი.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2=5+2\sqrt(35)+7=12+\sqrt(140)$.
$(2+\sqrt(8))^2=4+4\sqrt(8)+8=12+\sqrt(128)$.
მოდით გამოვთვალოთ ამ კვადრატების კვადრატების სხვაობა.
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2-(2+\sqrt(8))^2=12+\sqrt(140)-12-\sqrt(128)=\sqrt(140) -\sqrt(128)$.
აშკარად მივიღე დადებითი რიცხვი, რაც ნიშნავს:
$(\sqrt(5)+\sqrt(7))^2>(2+\sqrt(8))^2$.
ვინაიდან ორივე რიცხვი დადებითია, მაშინ:
$\sqrt(5)+\sqrt(7)>2+\sqrt(8)$.ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის
1. ცნობილია, რომ -2,2$
ა) $4a$.
ბ) $-3b$.
გ) $a+b$.
დ) $a-b$.
ე) $b^4$.
ვ) $a^3$.
ზ) $\frac(1)(b)$.
2. შეადარეთ რიცხვები:
ა) $\sqrt(6)+\sqrt(10)$ და $3+\sqrt(7)$.
ბ) $π+\sqrt(5)$ და $2+\sqrt(3)$. 
რიცხვითი უტოლობები: განმარტება, მაგალითები
რიცხვითი უტოლობების თვისებები
ძირითადი თვისებები
რიცხვითი უტოლობების სხვა მნიშვნელოვანი თვისებები
