ლექცია 3 FNP, ნაწილობრივი წარმოებულები, დიფერენციალური

რა არის მთავარი, რაც ბოლო ლექციაზე ვისწავლეთ

ევკლიდური სივრცის არგუმენტით გავიგეთ, რა არის რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია. შეისწავლა რა არის ასეთი ფუნქციის ზღვარი და უწყვეტობა

რას ვისწავლით ამ ლექციაში?

FNP-ის შესწავლის გაგრძელებით, ჩვენ შევისწავლით ამ ფუნქციების ნაწილობრივ წარმოებულებს და დიფერენციალებს. ისწავლეთ როგორ დავწეროთ ტანგენტის სიბრტყისა და ზედაპირის ნორმალურის განტოლება.

ნაწილობრივი წარმოებული, სრული დიფერენციალური FNP. კავშირი ფუნქციის დიფერენციალურობასა და ნაწილობრივ წარმოებულთა არსებობას შორის

ერთი რეალური ცვლადის ფუნქციისთვის, თემების „ლიმიტები“ და „განგრძობადობა“ (მათემატიკური ანალიზის შესავალი) შესწავლის შემდეგ შეისწავლეს ფუნქციის წარმოებულები და დიფერენციაციები. მოდით მივმართოთ მსგავსი კითხვების განხილვას რამდენიმე ცვლადის ფუნქციისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ თუ ერთის გარდა ყველა არგუმენტი ფიქსირდება FRR-ში, მაშინ FRR წარმოქმნის ერთი არგუმენტის ფუნქციას, რომლისთვისაც შეიძლება განიხილოს ნამატი, დიფერენციალი და წარმოებული. ჩვენ მათ დავარქვათ, შესაბამისად, ნაწილობრივი ზრდა, ნაწილობრივი დიფერენციალური და ნაწილობრივი წარმოებული. მოდით გადავიდეთ ზუსტ განმარტებებზე.

განმარტება 10. ცვლადების ფუნქცია იყოს მოცემული სად - ევკლიდური სივრცის ელემენტი და არგუმენტების შესაბამისი ნამატები , ,…, . როდესაც მნიშვნელობებს ეწოდება ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა. ფუნქციის მთლიანი ზრდა არის მნიშვნელობა .

მაგალითად, ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, სადაც არის წერტილი სიბრტყეზე და არგუმენტების შესაბამისი ნამატები, ნამატები, იქნება კერძო. ამ შემთხვევაში, მნიშვნელობა არის ორი ცვლადის ფუნქციის სრული ზრდა.

განმარტება 11. ცვლადების ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული ცვლადის მიერ არის ამ ცვლადის მიერ ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდის შეფარდების ზღვარი შესაბამისი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ის 0-ისკენ მიისწრაფვის.

ჩვენ ვწერთ განმარტებას 11, როგორც ფორმულა ან გაფართოვდა. (2) ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, განმარტება 11 შეიძლება დაიწეროს ფორმულების სახით , . პრაქტიკული თვალსაზრისით, ეს განსაზღვრება ნიშნავს, რომ ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლისას ერთ ცვლადთან მიმართებაში, ყველა სხვა ცვლადი ფიქსირდება და ამ ფუნქციას განვიხილავთ, როგორც ერთი არჩეული ცვლადის ფუნქციას. ამ ცვლადთან დაკავშირებით აღებულია ჩვეულებრივი წარმოებული.

მაგალითი 4. ფუნქციისთვის იპოვეთ ნაწილობრივი წარმოებულები და წერტილი, სადაც ორივე ნაწილობრივი წარმოებული არის 0.

გადაწყვეტილება . ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს, და ჩაწერეთ სისტემა სახით ამ სისტემის ამოხსნა არის ორი წერტილი და .

ახლა განვიხილოთ, თუ როგორ შეიძლება განზოგადდეს დიფერენციალური კონცეფცია FNP-ზე. შეგახსენებთ, რომ ერთი ცვლადის ფუნქციას დიფერენცირებადი ეწოდება, თუ მისი ზრდა წარმოდგენილია როგორც , ხოლო მნიშვნელობა არის ფუნქციის ზრდის ძირითადი ნაწილი და ეწოდება მის დიფერენციალს. მნიშვნელობა არის ფუნქცია , აქვს თვისება, რომელიც, ანუ არის ფუნქცია, რომელიც უსასრულოდ მცირეა . ერთი ცვლადის ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მას აქვს წარმოებული ამ წერტილში. უფრო მეტიც, მუდმივი და უდრის ამ წარმოებულს, ანუ ფორმულა მოქმედებს დიფერენციალისთვის .

თუ გავითვალისწინებთ FNP-ის ნაწილობრივ ზრდას, მაშინ იცვლება მხოლოდ ერთი არგუმენტი და ეს ნაწილობრივი ზრდა შეიძლება ჩაითვალოს ერთი ცვლადის ფუნქციის ნამატად, ანუ მუშაობს იგივე თეორია. აქედან გამომდინარე, დიფერენციალურობის პირობა მოქმედებს თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ არსებობს ნაწილობრივი წარმოებული, ამ შემთხვევაში ნაწილობრივი დიფერენციალი მოცემულია მიერ .

რა არის რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი?

განმარტება 12. ცვლადების ფუნქცია ეწოდება დიფერენცირებადი წერტილში , თუ მისი ნამატი წარმოდგენილია როგორც . ამ შემთხვევაში ნამატის ძირითად ნაწილს FNP დიფერენციალი ეწოდება.

ასე რომ, FNP დიფერენციალი არის მნიშვნელობა . მოდით განვმარტოთ რას ვგულისხმობთ მნიშვნელობაში , რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ უსასრულოდ მცირეს არგუმენტების ნამატებთან შედარებით . ეს არის ფუნქცია, რომელსაც აქვს თვისება, რომ თუ ყველა ნამატი ერთის გარდა არის 0, მაშინ ტოლია . არსებითად, ეს იმას ნიშნავს = = + +…+ .

და როგორ არის დაკავშირებული FNP-ის დიფერენციალურობის პირობები და ამ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების არსებობის პირობები?

თეორემა 1. თუ ცვლადის ფუნქცია დიფერენცირებადია წერტილში , მაშინ მას აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ ამ ეტაპზე და ამავე დროს .

მტკიცებულება. ჩვენ ვწერთ ტოლობას და ფორმაში და გაყავით მიღებული ტოლობის ორივე მხარე. შედეგად მიღებული თანასწორობით, ჩვენ გადავდივართ ზღვრამდე . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ საჭირო თანასწორობას. თეორემა დადასტურდა.

შედეგი. ცვლადების ფუნქციის დიფერენციალი გამოითვლება ფორმულით . (3)

მე-4 მაგალითში ფუნქციის დიფერენციალი ტოლი იყო. გაითვალისწინეთ, რომ ერთი და იგივე დიფერენციალი ერთ წერტილში უდრის . მაგრამ თუ გამოვთვლით მას წერტილში ნამატებით, მაშინ დიფერენციალი ტოლი იქნება. გაითვალისწინეთ, რომ მოცემული ფუნქციის ზუსტი მნიშვნელობა წერტილში უდრის , მაგრამ იგივე მნიშვნელობა, დაახლოებით გამოითვლება 1 დიფერენციალის გამოყენებით, უდრის . ჩვენ ვხედავთ, რომ ფუნქციის ნაზრდის მისი დიფერენციალით ჩანაცვლებით, ჩვენ შეგვიძლია დავაახლოოთ ფუნქციის მნიშვნელობები.

მაგრამ იქნება თუ არა რამდენიმე ცვლადის ფუნქცია დიფერენცირებადი წერტილში, თუ მას აქვს ნაწილობრივი წარმოებულები ამ წერტილში. ერთი ცვლადის ფუნქციისგან განსხვავებით, ამ კითხვაზე პასუხი არის არა. ურთიერთობის ზუსტი ფორმულირება მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 2. თუ ცვლადების ფუნქცია წერტილში არსებობს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ, მაშინ ფუნქცია დიფერენცირებადია ამ ეტაპზე.

როგორც . მხოლოდ ერთი ცვლადი იცვლება თითოეულ ფრჩხილში, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლაგრანჟის სასრული ზრდის ფორმულა აქ და იქ. ამ ფორმულის არსი ის არის, რომ ერთი ცვლადის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქციისთვის, ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის განსხვავება ორ წერტილში უდრის წარმოებულის მნიშვნელობას რომელიმე შუალედურ წერტილში, გამრავლებული წერტილებს შორის მანძილით. ამ ფორმულის გამოყენებისას თითოეულ ფრჩხილზე მივიღებთ. ნაწილობრივი წარმოებულების უწყვეტობის გამო, წარმოებული წერტილი და წარმოებული წერტილი განსხვავდება წარმოებულებისგან და წერტილში მნიშვნელობებით და მიდრეკილია 0-ზე, როგორც 0-ისკენ მიდრეკილი. მაგრამ შემდეგ და, ცხადია, . თეორემა დადასტურდა. და კოორდინატი შეამოწმეთ, რომ ეს წერტილი ზედაპირს ეკუთვნის. ჩაწერეთ ტანგენტის სიბრტყის განტოლება და ზედაპირის ნორმალურის განტოლება მითითებულ წერტილში.

გადაწყვეტილება. ნამდვილად,. ჩვენ უკვე გამოვთვალეთ ბოლო ლექციაზე ამ ფუნქციის დიფერენციალი თვითნებურ წერტილში, მოცემულ წერტილში ის უდრის . მაშასადამე, ტანგენტის სიბრტყის განტოლება დაიწერება სახით ან, ხოლო ნორმალურის განტოლება - სახით. .

თითოეული ნაწილობრივი წარმოებული (ზედ xდა მიერ წ) ორი ცვლადის ფუნქციის არის ერთი ცვლადის ფუნქციის ჩვეულებრივი წარმოებული მეორე ცვლადის ფიქსირებული მნიშვნელობით:

(სად წ= კონსტი),

(სად x= კონსტი).

აქედან გამომდინარე, ნაწილობრივი წარმოებულები გამოითვლება ერთი ცვლადის ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლის ფორმულები და წესები, ხოლო სხვა ცვლადის მუდმივად (მუდმივად) განხილვისას.

თუ თქვენ არ გჭირდებათ მაგალითების ანალიზი და ამისათვის აუცილებელი მინიმალური თეორია, მაგრამ გჭირდებათ მხოლოდ თქვენი პრობლემის გადაწყვეტა, მაშინ გააგრძელეთ ონლაინ ნაწილობრივი წარმოებული კალკულატორი .

თუ ძნელია ფოკუსირება იმაზე, თუ სად არის ფუნქციაში მუდმივი, მაშინ შეგიძლიათ შეცვალოთ ნებისმიერი რიცხვი მაგალითის პროექტში ცვლადის ნაცვლად ფიქსირებული მნიშვნელობით - მაშინ შეგიძლიათ სწრაფად გამოთვალოთ ნაწილობრივი წარმოებული, როგორც ჩვეულებრივი. ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული. საჭიროა მხოლოდ არ დაგავიწყდეს დასრულებისას მუდმივის (ცვლადი ფიქსირებული მნიშვნელობით) თავის ადგილზე დაბრუნება.

ზემოთ აღწერილი ნაწილობრივი წარმოებულების თვისება გამომდინარეობს ნაწილობრივი წარმოებულის განმარტებიდან, რომელიც შეიძლება ნახოთ საგამოცდო კითხვებში. ამიტომ, ქვემოთ მოცემულ განმარტებასთან გასაცნობად, შეგიძლიათ გახსნათ თეორიული მითითება.

ფუნქციის უწყვეტობის კონცეფცია ზ= ვ(x, წ) წერტილი განისაზღვრება ამ კონცეფციის მსგავსად ერთი ცვლადის ფუნქციისთვის.

ფუნქცია ზ = ვ(x, წ) ეწოდება უწყვეტი წერტილში თუ

სხვაობას (2) ეწოდება ფუნქციის მთლიანი ზრდა ზ(იგი მიიღება ორივე არგუმენტის გაზრდით).

დაუშვით ფუნქცია ზ= ვ(x, წ) და წერტილი

თუ ფუნქცია შეიცვლება ზხდება მაშინ, როდესაც იცვლება მხოლოდ ერთი არგუმენტი, მაგალითად, x, სხვა არგუმენტის ფიქსირებული მნიშვნელობით წ, მაშინ ფუნქცია გაიზრდება

ეწოდება ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა ვ(x, წ) ზე x.

ფუნქციის ცვლილების გათვალისწინებით ზმხოლოდ ერთი არგუმენტის ცვლილებიდან გამომდინარე, ჩვენ რეალურად გადავდივართ ერთი ცვლადის ფუნქციაზე.

თუ არსებობს სასრული ზღვარი

მაშინ მას უწოდებენ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულს ვ(x, წ) არგუმენტით xდა აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი

(4)

ნაწილობრივი ზრდა ასევე განისაზღვრება ზ on წ:

და ნაწილობრივი წარმოებული ვ(x, წ) ზე წ:

(6)

მაგალითი 1

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს ცვლადის "x" მიმართ:

(წფიქსირებული);

ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს ცვლადის "y" მიმართ:

(xდაფიქსირდა).

როგორც ხედავთ, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად ფიქსირდება ცვლადი: ამ შემთხვევაში, ეს არის მხოლოდ რაღაც რიცხვი, რომელიც არის ფაქტორი (როგორც ჩვეულებრივი წარმოებულის შემთხვევაში) იმ ცვლადთან, რომლითაც ვპოულობთ ნაწილობრივს. წარმოებული. თუ ფიქსირებული ცვლადი არ გამრავლდება იმ ცვლადზე, რომლის მიმართაც ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულს, მაშინ ეს მარტოხელა მუდმივი, არ აქვს მნიშვნელობა რამდენად, როგორც ჩვეულებრივი წარმოებულის შემთხვევაში, ქრება.

მაგალითი 2მოცემული ფუნქცია

იპოვნეთ ნაწილობრივი წარმოებულები

(x) და (y-ით) და გამოთვალეთ მათი მნიშვნელობები წერტილში მაგრამ (1; 2).

გადაწყვეტილება. ფიქსირებულზე წპირველი წევრის წარმოებული გვხვდება, როგორც სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული ( ერთი ცვლადის წარმოებული ფუნქციების ცხრილი):

.

ფიქსირებულზე xპირველი წევრის წარმოებული გვხვდება, როგორც ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული, ხოლო მეორე - როგორც მუდმივის წარმოებული:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობებს წერტილში მაგრამ (1; 2):

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ პრობლემების გადაწყვეტა ნაწილობრივი წარმოებულებით ონლაინ ნაწილობრივი წარმოებული კალკულატორი .

მაგალითი 3იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები

გადაწყვეტილება. ერთ ნაბიჯში ვპოულობთ

(წ x, თითქოს სინუს არგუმენტი იყოს 5 x: ანალოგიურად 5 ჩნდება ფუნქციის ნიშანამდე);

(xფიქსირდება და ამ შემთხვევაში არის ფაქტორი წ).

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ პრობლემების გადაწყვეტა ნაწილობრივი წარმოებულებით ონლაინ ნაწილობრივი წარმოებული კალკულატორი .

სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები განისაზღვრება ანალოგიურად.

თუ მნიშვნელობების თითოეული ნაკრები ( x; წ; ...; ტ) დამოუკიდებელი ცვლადები ნაკრებიდან დშეესაბამება ერთ კონკრეტულ მნიშვნელობას uბევრისგან ე, მაშინ uეწოდება ცვლადების ფუნქცია x, წ, ..., ტდა აღვნიშნავთ u= ვ(x, წ, ..., ტ).

სამი ან მეტი ცვლადის ფუნქციისთვის არ არსებობს გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები ასევე განისაზღვრება და გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მხოლოდ ერთი დამოუკიდებელი ცვლადი იცვლება, ხოლო დანარჩენები ფიქსირდება.

მაგალითი 4იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები

.

გადაწყვეტილება. წდა ზდაფიქსირდა:

xდა ზდაფიქსირდა:

xდა წდაფიქსირდა:

იპოვნეთ ნაწილობრივი წარმოებულები საკუთარ თავზე და შემდეგ ნახეთ გადაწყვეტილებები

მაგალითი 5

მაგალითი 6იპოვნეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულს აქვს იგივე მექანიკური მნიშვნელობა, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებული, არის სიჩქარე, რომლითაც ფუნქცია იცვლება ერთ-ერთი არგუმენტის ცვლილებასთან შედარებით.

მაგალითი 8ნაკადის რაოდენობა პრკინიგზის მგზავრები შეიძლება გამოიხატოს როგორც ფუნქცია

სადაც პ- მგზავრების რაოდენობა, ნ- შესაბამისი პუნქტების მცხოვრებთა რაოდენობა, რ- მანძილი წერტილებს შორის.

ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული პ on რტოლია

გვიჩვენებს, რომ მგზავრთა ნაკადის კლება უკუპროპორციულია შესაბამის წერტილებს შორის მანძილის კვადრატთან, პუნქტებში მცხოვრებთა ერთი და იგივე რაოდენობისთვის.

ნაწილობრივი წარმოებული პ on ნტოლია

გვიჩვენებს, რომ მგზავრთა ნაკადის ზრდა პროპორციულია პუნქტებს შორის ერთნაირი მანძილის მქონე დასახლებული პუნქტების მცხოვრებთა ორმაგ რაოდენობაზე.

თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ პრობლემების გადაწყვეტა ნაწილობრივი წარმოებულებით ონლაინ ნაწილობრივი წარმოებული კალკულატორი .

სრული დიფერენციალი

ნაწილობრივი წარმოებულისა და შესაბამისი დამოუკიდებელი ცვლადის ნამატის ნამრავლს ნაწილობრივი დიფერენციალი ეწოდება. ნაწილობრივი დიფერენციაციები აღინიშნება შემდეგნაირად:

ნაწილობრივი დიფერენციაციების ჯამი ყველა დამოუკიდებელ ცვლადზე იძლევა მთლიან დიფერენციალს. ორი დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქციისთვის ჯამური დიფერენციალი გამოიხატება ტოლობით

(7)

მაგალითი 9იპოვეთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი

გადაწყვეტილება. ფორმულის გამოყენების შედეგი (7):

ფუნქციას, რომელსაც აქვს სრული დიფერენციალი რომელიმე დომენის ყველა წერტილში, ამ დომენში დიფერენცირებადი ეწოდება.

იპოვეთ მთლიანი დიფერენციალი საკუთარ თავზე და შემდეგ ნახეთ გამოსავალი

ისევე, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, ფუნქციის დიფერენციალურობა გარკვეულ რეგიონში გულისხმობს მის უწყვეტობას ამ რეგიონში, მაგრამ არა პირიქით.

მოდით ჩამოვაყალიბოთ მტკიცებულების გარეშე ფუნქციის დიფერენციალურობის საკმარისი პირობა.

თეორემა.თუ ფუნქცია ზ= ვ(x, წ) აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები

მოცემულ რეგიონში, მაშინ ის დიფერენცირებადია ამ რეგიონში და მისი დიფერენციალი გამოიხატება ფორმულით (7).

შეიძლება აჩვენოს, რომ, როგორც ერთი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, ფუნქციის დიფერენციალი არის ფუნქციის ზრდის მთავარი წრფივი ნაწილი, ასევე რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის შემთხვევაში, ჯამური დიფერენციალი არის ძირითადი, წრფივი დამოუკიდებელი ცვლადების ნამატების მიმართ, ფუნქციის მთლიანი ზრდის ნაწილი.

ორი ცვლადის ფუნქციისთვის, ფუნქციის ჯამურ ზრდას აქვს ფორმა

(8)

სადაც α და β უსასრულოდ მცირეა და .

უმაღლესი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები

ნაწილობრივი წარმოებულები და ფუნქციები ვ(x, წ) არის ერთი და იგივე ცვლადის ზოგიერთი ფუნქცია და, თავის მხრივ, შეიძლება ჰქონდეს წარმოებულები სხვადასხვა ცვლადებთან მიმართებაში, რომლებსაც უმაღლესი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები ეწოდება.

დაე, ფუნქცია განისაზღვროს ზოგიერთ (ღია) დომენში დ ქულები
განზომილებიანი სივრცე და
არის წერტილი ამ სფეროში, ე.ი.
დ.

ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდაბევრი ცვლადი ნებისმიერი ცვლადისთვის ეწოდება ნამატს, რომელსაც ფუნქცია მიიღებს, თუ ამ ცვლადს მივცემთ ნამატს, თუ დავუშვებთ, რომ ყველა სხვა ცვლადს აქვს მუდმივი მნიშვნელობები.

მაგალითად, ფუნქციის ნაწილობრივი ზრდა ცვლადზე ნება

ნაწილობრივი წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ წერტილში
ფუნქციიდან ეწოდება ნაწილობრივი ნაზრდის მიმართების ზღვარი (თუ ის არსებობს).
ფუნქციები იზრდება
ცვლადი სწრაფვისას
ნულამდე:

ნაწილობრივი წარმოებული აღინიშნება ერთ-ერთი სიმბოლოთი:

;
.

კომენტარი.ინდექსი ქვემოთ მოცემულ აღნიშვნაში მხოლოდ მიუთითებს, რომელი ცვლადისგან არის აღებული წარმოებული და არ არის დაკავშირებული რომელ წერტილთან
ეს წარმოებული გამოითვლება.

ნაწილობრივი წარმოებულების გამოთვლა ახალი არ არის ჩვეულებრივი წარმოებულის გამოთვლასთან შედარებით, მხოლოდ უნდა გვახსოვდეს, რომ რომელიმე ცვლადის მიმართ ფუნქციის დიფერენცირებისას ყველა სხვა ცვლადი აღებულია მუდმივად. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითებით.

მაგალითი 1იპოვნეთ ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულები
.

გადაწყვეტილება. ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულის გამოთვლისას
არგუმენტით განიხილეთ ფუნქცია მხოლოდ ერთი ცვლადის ფუნქციად , ე.ი. დაიჯერეთ რომ აქვს ფიქსირებული ღირებულება. ფიქსირებულზე ფუნქცია
არის არგუმენტის ძალაუფლების ფუნქცია . სიმძლავრის ფუნქციის დიფერენცირების ფორმულის მიხედვით ვიღებთ:

ანალოგიურად, ნაწილობრივი წარმოებულის გაანგარიშებისას ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ მნიშვნელობა ფიქსირებულია და განიხილეთ ფუნქცია
როგორც არგუმენტის ექსპონენციალური ფუნქცია . შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი 2. ჰიპოვნეთ ნაწილობრივი წარმოებულები და ფუნქციები
.

გადაწყვეტილება.ნაწილობრივი წარმოებულის გაანგარიშებისას მიმართ მოცემული ფუნქცია განვიხილავთ ერთი ცვლადის ფუნქციად და გამონათქვამები, რომლებიც შეიცავს , იქნება მუდმივი ფაქტორები, ე.ი.
მოქმედებს როგორც მუდმივი ფაქტორი დენის ფუნქციით (
). ამ გამოთქმის დიფერენცირება მიმართ , ვიღებთ:

.

ახლა, პირიქით, ფუნქცია განიხილება როგორც ერთი ცვლადის ფუნქცია , ხოლო გამონათქვამები შეიცავს , მოქმედებს როგორც კოეფიციენტი
(
).დიფერენცირებადი ტრიგონომეტრიული ფუნქციების დიფერენცირების წესების მიხედვით ვიღებთ:

მაგალითი 3 გამოთვალეთ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულები
წერტილში
.

გადაწყვეტილება.ჩვენ პირველად ვპოულობთ ამ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს თვითნებურ წერტილში
მისი განმარტების სფერო. ნაწილობრივი წარმოებულის გაანგარიშებისას მიმართ დაიჯერეთ რომ
არიან მუდმივი.

დიფერენცირებისას მიერ მუდმივი იქნება
:

ხოლო ნაწილობრივი წარმოებულების გაანგარიშებისას მიმართ და მიერ , ანალოგიურად, იქნება მუდმივი, შესაბამისად,
და
, ანუ:

ახლა ჩვენ ვიანგარიშებთ ამ წარმოებულების მნიშვნელობებს წერტილში
ცვლადების კონკრეტული მნიშვნელობების ჩანაცვლება მათ გამოსახულებებში. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ:

11. ფუნქციის ნაწილობრივი და სრული დიფერენციაციები

თუ ახლა კერძო მატებამდე
გამოიყენეთ ლაგრანჟის თეორემა სასრულ ნამატებზე ცვლადის მიმართ , შემდეგ, დათვლა უწყვეტი, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ ურთიერთობებს:

სადაც
,
არის უსასრულოდ მცირე რაოდენობა.

ფუნქციის ნაწილობრივი დიფერენციალიცვლადის მიხედვით ეწოდება ნაწილობრივი ნამატის ძირითად წრფივ ნაწილს
, ტოლია ნაწილობრივი წარმოებულის ნამრავლის ამ ცვლადის და ამ ცვლადის ნამატის მიმართ და აღინიშნება

ცხადია, ნაწილობრივი დიფერენციალი განსხვავდება ნაწილობრივი ნამატისგან უსასრულოდ მცირე უმაღლესი რიგით.

სრული ფუნქციის ზრდაბევრ ცვლადს ჰქვია მისი ზრდა, რომელსაც ის მიიღებს, როცა ყველა დამოუკიდებელ ცვლადს მივცემთ ნამატს, ე.ი.

სად არის ყველა
, დამოკიდებულია და მათთან ერთად მიდრეკილია ნულისკენ.

ქვეშ დამოუკიდებელი ცვლადების დიფერენციალი დათანხმდა ნიშნავს თვითნებურინამატები
და დაასახელეთ ისინი
. ამრიგად, ნაწილობრივი დიფერენციალური გამოხატულება მიიღებს ფორმას:

მაგალითად, ნაწილობრივი დიფერენციალი on განისაზღვრება ასე:

.

სრული დიფერენციალი
მრავალი ცვლადის ფუნქციას ეწოდება მთლიანი ნამატის ძირითადი წრფივი ნაწილი
ტოლია, ე.ი. ყველა მისი ნაწილობრივი დიფერენციალური ჯამი:

თუ ფუნქცია
აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები

წერტილში
, შემდეგ ის დიფერენცირებადი მოცემულ წერტილში.

საკმარისად მცირე დიფერენცირებადი ფუნქციისთვის
არის სავარაუდო თანასწორობა

,

რომელიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას სავარაუდო გამოთვლებისთვის.

მაგალითი 4იპოვეთ ფუნქციის სრული დიფერენციალი
სამი ცვლადი
.

გადაწყვეტილება.უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვპოულობთ ნაწილობრივ წარმოებულებს:

აღნიშნავენ, რომ ისინი უწყვეტია ყველა მნიშვნელობისთვის
, ჩვენ ვიპოვეთ:

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალებისთვის ჭეშმარიტია ყველა თეორემა დიფერენციალური თვისებების შესახებ, რაც დადასტურებულია ერთი ცვლადის ფუნქციების შემთხვევაში, მაგალითად: თუ და არის ცვლადების უწყვეტი ფუნქციები
, რომლებსაც აქვთ უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები ყველა ცვლადის მიმართ და და არის თვითნებური მუდმივები, მაშინ:

(6)

კერძო წარმოებულიფუნქციები z = f(x, y x ცვლადითამ ფუნქციის წარმოებულს უწოდებენ y ცვლადის მუდმივ მნიშვნელობას, იგი აღინიშნება ან z "x.

კერძო წარმოებულიფუნქციები z = f(x, y) ცვლადით yეწოდება წარმოებული y-ის მიმართ y ცვლადის მუდმივ მნიშვნელობაზე; იგი აღინიშნება ან z "y.

რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებული ერთ ცვლადთან მიმართებაში განისაზღვრება, როგორც ამ ფუნქციის წარმოებული შესაბამისი ცვლადის მიმართ, იმ პირობით, რომ სხვა ცვლადები განიხილება მუდმივი.

სრული დიფერენციალიფუნქცია z = f(x, y) რაღაც მომენტში M(X, y) ეწოდება გამოსახულებას

,

სადაც და გამოითვლება M(x, y) წერტილში და dx = , dy = y.

მაგალითი 1

გამოთვალეთ ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 M წერტილში (1; 2)

გადაწყვეტილება:

1) იპოვნეთ ნაწილობრივი წარმოებულები:

2) გამოთვალეთ ნაწილობრივი წარმოებულების მნიშვნელობა M(1; 2) წერტილში.

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

კითხვები თვითკონტროლისთვის:

1. რას ჰქვია ანტიდერივატი? ჩამოთვალეთ ანტიდერივატის თვისებები.

2. რას ჰქვია განუსაზღვრელი ინტეგრალი?

3. ჩამოთვალეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები.

4. ჩამოთვალეთ ინტეგრაციის ძირითადი ფორმულები.

5. ინტეგრაციის რა მეთოდები იცით?

6. რა არის ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის არსი?

7. მიეცით განსაზღვრული ინტეგრალის განმარტება.

8. რაში მდგომარეობს ჩანაცვლების მეთოდით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის არსი?

9. რაში მდგომარეობს ნაწილების მიხედვით განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდის არსი?

10. რა ფუნქციას ეწოდება ორი ცვლადის ფუნქცია? როგორ არის დანიშნული?

11. რა ფუნქციას ეწოდება სამი ცვლადის ფუნქცია?

12. რა სიმრავლეს ეწოდება ფუნქციის დომენი?

13. რა უტოლობათა დახმარებით შეიძლება განვსაზღვროთ დახურული რეგიონი D სიბრტყეზე?

14. რა ჰქვია z \u003d f (x, y) ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულს x ცვლადთან მიმართებაში? როგორ არის დანიშნული?

15. რა ეწოდება z \u003d f (x, y) ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულს y ცვლადთან მიმართებაში? როგორ არის დანიშნული?

16. რა გამოხატულებას ეწოდება ფუნქციის ჯამური დიფერენციალი

თემა 1.2 ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლებამდე მიმავალი ამოცანები. დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით. ზოგადი და კერძო გადაწყვეტილებები. პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები. მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.

პრაქტიკული გაკვეთილი No7 „დიფერენციალური განტოლებების ზოგადი და ცალკეული ამონახსნების პოვნა განცალკევებული ცვლადებით“ *

პრაქტიკული გაკვეთილი No8 „წრფივი და ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები“

პრაქტიკული გაკვეთილი No9 „მე-2 რიგის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა მუდმივი კოეფიციენტებით“ *

L4, თავი 15, გვ 243 - 256

გაიდლაინები