დავალება 1. მოცემულია ABC სამკუთხედის წვეროების კოორდინატები: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). იპოვეთ: 1) AB გვერდის სიგრძე; 2) AB და BC გვერდების განტოლებები და მათი ფერდობები; 3) კუთხე B რადიანებში ორი ათობითი ადგილის სიზუსტით; 4) სიმაღლის CD და მისი სიგრძის განტოლება; 5) AE მედიანას განტოლება და ამ მედიანას გადაკვეთის K წერტილის სიმაღლის CD კოორდინატები; 6) სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის K წერტილში AB გვერდის პარალელურად; 7) M წერტილის კოორდინატები, რომლებიც განლაგებულია სიმეტრიულად A წერტილის მიმართ სწორი ხაზის CD-სთან მიმართებაში.

გადაწყვეტილება:

1. მანძილი d A(x 1,y 1) და B(x2,y 2) წერტილებს შორის განისაზღვრება ფორმულით.

(1) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ AB მხარის სიგრძეს:

2. A (x 1, y 1) და B (x 2, y 2) წერტილებში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას აქვს ფორმა.

(2)

A და B წერტილების კოორდინატების (2) ჩანაცვლებით, მივიღებთ AB მხარის განტოლებას:

y-ის ბოლო განტოლების ამოხსნის შემდეგ, ჩვენ ვპოულობთ AB გვერდის განტოლებას დახრილობით სწორი ხაზის განტოლების სახით:

სადაც

(2) B და C წერტილების კოორდინატების ჩანაცვლებით, მივიღებთ BC სწორი წრფის განტოლებას:

ან

3. ცნობილია, რომ კუთხის ტანგენსი ორ წრფეს შორის, რომლის დახრის კოეფიციენტები შესაბამისად ტოლია და გამოითვლება ფორმულით.

(3)

სასურველ კუთხეს B ქმნიან AB და BC სწორი ხაზებით, რომელთა კუთხური კოეფიციენტები გვხვდება: (3) გამოყენებით ვიღებთ.

ან მიხარია.

4. მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი წრფის განტოლებას აქვს ფორმა

(4)

სიმაღლე CD არის AB მხარის პერპენდიკულარული. CD სიმაღლის დახრილობის საპოვნელად ვიყენებთ ხაზების პერპენდიკულარობის პირობას. Მას შემდეგ (4) C წერტილის კოორდინატების და სიმაღლის ნაპოვნი კუთხური კოეფიციენტის ჩანაცვლებით, მივიღებთ

სიმაღლის CD სიგრძის საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ D წერტილის კოორდინატებს - AB და CD წრფეების გადაკვეთის წერტილი. სისტემის ერთად გადაჭრა:

იპოვე იმათ. D(8;0).

ფორმულის გამოყენებით (1), ჩვენ ვპოულობთ სიმაღლის CD სიგრძეს:

5. AE მედიანას განტოლების საპოვნელად ჯერ განვსაზღვრავთ E წერტილის კოორდინატებს, რომელიც არის BC გვერდის შუა წერტილი, სეგმენტის ორ ტოლ ნაწილად დაყოფის ფორმულების გამოყენებით:

(5)

აქედან გამომდინარე,

A და E წერტილების კოორდინატების (2) ჩანაცვლებით, ვპოულობთ მედიანას განტოლებას:

სიმაღლის CD და მედიანა AE-ს გადაკვეთის წერტილის კოორდინატების საპოვნელად ერთობლივად ვხსნით განტოლებათა სისტემას.

Ჩვენ ვიპოვეთ .

6. ვინაიდან სასურველი ხაზი AB გვერდის პარალელურია, მაშინ მისი დახრილობა AB წრფის დახრილობის ტოლი იქნება. (4)-ში ნაპოვნი K წერტილის კოორდინატების და დახრილობის ჩანაცვლებით ვიღებთ

3x + 4y - 49 = 0 (KF)

7. ვინაიდან AB წრფე პერპენდიკულარულია CD წრფეზე, სასურველი M წერტილი, რომელიც სიმეტრიულად მდებარეობს A წერტილის მიმართ CD წრფესთან მიმართებაში, დევს AB წრფეზე. გარდა ამისა, წერტილი D არის AM სეგმენტის შუა წერტილი. ფორმულების (5) გამოყენებით, ჩვენ ვპოულობთ სასურველი წერტილის M კოორდინატებს:

სამკუთხედი ABC, სიმაღლე CD, მედიანა AE, ხაზი KF და წერტილი M აგებულია xOy კოორდინატთა სისტემაში ნახ. ერთი.

დავალება 2. შეადგინეთ განტოლება წერტილების ლოკუსისთვის, რომლის მანძილების თანაფარდობა მოცემულ A წერტილთან (4; 0) და მოცემულ სწორ ხაზთან x \u003d 1 უდრის 2-ს.

გადაწყვეტილება:

xOy კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ A(4;0) წერტილს და სწორ ხაზს x = 1. მოდით M(x;y) იყოს წერტილების სასურველი ლოკუსის თვითნებური წერტილი. ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარული MB მოცემულ წრფეზე x = 1 და განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები. ვინაიდან B წერტილი დევს მოცემულ წრფეზე, მისი აბსციზა უდრის 1-ს. B წერტილის ორდინატი უდრის ორდინატს. წერტილის M. მაშასადამე, B(1; y) (ნახ. 2).

პრობლემის პირობით |MA|: |MV| = 2. დისტანციები |MA| და |მბ| 1-ის ამოცანის (1) ფორმულით ვპოულობთ:

მარცხენა და მარჯვენა გვერდების კვადრატში მიღებით ვიღებთ

ან

შედეგად მიღებული განტოლება არის ჰიპერბოლა, რომელშიც რეალური ნახევრადღერძი არის a = 2, ხოლო წარმოსახვითი არის

მოდით განვსაზღვროთ ჰიპერბოლის კერები. ჰიპერბოლისთვის თანასწორობა დაკმაყოფილებულია.მაშასადამე და არის ჰიპერბოლის კერები. როგორც ხედავთ, მოცემული წერტილი A(4;0) არის ჰიპერბოლის სწორი ფოკუსი.

მოდით განვსაზღვროთ მიღებული ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა:

ჰიპერბოლის ასიმპტოტულ განტოლებებს აქვთ ფორმა და . მაშასადამე, ან და არიან ჰიპერბოლის ასიმპტოტები. ჰიპერბოლის აგებამდე ჩვენ ვაშენებთ მის ასიმპტოტებს.

დავალება 3. შეადგინეთ განტოლება A (4; 3) წერტილიდან თანაბარი მანძილით დაშორებული წერტილების ლოკუსისთვის და სწორი ხაზით y \u003d 1. მიღებული განტოლება შეამცირეთ მის უმარტივეს ფორმამდე.

გადაწყვეტილება: M(x; y) იყოს სასურველი წერტილის ერთ-ერთი წერტილი. მოდით ჩამოვთვალოთ პერპენდიკულარული MB M წერტილიდან მოცემულ y = 1 წრფეზე (ნახ. 3). განვსაზღვროთ B წერტილის კოორდინატები, აშკარაა, რომ B წერტილის აბსციზა ტოლია M წერტილის აბსცისა, ხოლო B წერტილის ორდინატი არის 1, ანუ B (x; 1). პრობლემის პირობით |MA|=|MV|. მაშასადამე, ნებისმიერი წერტილისთვის M (x; y), რომელიც მიეკუთვნება წერტილების სასურველ ადგილს, ტოლობა მართალია:

შედეგად მიღებული განტოლება განსაზღვრავს პარაბოლას წვეროსთან ერთად იმ წერტილში, რომ პარაბოლის განტოლება მის უმარტივეს ფორმამდე მივიყვანოთ, ჩვენ ვაყენებთ და y + 2 = Y, შემდეგ პარაბოლის განტოლება იღებს ფორმას:

1. მოცემულია სამკუთხედის წვეროები ABC.მაგრამ(–9; –2), AT(3; 7), თან(1; –7).

1) მხარის სიგრძე AB;

2) გვერდითი განტოლებები ABდა ACდა მათი ფერდობები;

3) კუთხე მაგრამრადიანებში;

4) სიმაღლის განტოლება თანდდა მისი სიგრძე;

5) წრის განტოლება, რომლის სიმაღლე თანდარის დიამეტრი;

6) წრფივი უტოლობების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს სამკუთხედს ABC.

გადაწყვეტილება. მოდით დავხატოთ ნახატი.

1. იპოვეთ AB გვერდის სიგრძე.მანძილი ორ წერტილს შორის განისაზღვრება ფორმულით

2. ვიპოვოთ გვერდების განტოლებებიAB დაAC და მათი ფერდობები.

დავწეროთ ორ წერტილზე გამავალი სწორი წრფის განტოლება.

ეს არის სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება. მისი გადაჭრა y-ის მიმართ, მივიღებთ

, სწორი ხაზის დახრილობა უდრის

ანალოგიურად, AC მხარისთვის გვაქვს

სწორი ხაზის დახრილობა არის

3. მოდი ვიპოვოთინექციამაგრამ რადიანებში. ეს არის კუთხე ორ ვექტორს შორის
და
. დავწეროთ ვექტორების კოორდინატები. ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსი არის

4. მოდი ვიპოვოთსიმაღლის განტოლებათან დ და მისი სიგრძე.
მაშასადამე, მათი ფერდობები დაკავშირებულია მიმართებით
.

სიმაღლის განტოლებას ვწერთ დახრილობის მიხედვით

Წერტილი
მიეკუთვნება CD წრფეს, ამიტომ მისი კოორდინატები აკმაყოფილებს წრფის განტოლებას, შესაბამისად გვაქვს

ბოლოს და ბოლოს
ან

გამოთვალეთ სიმაღლის სიგრძე, როგორც მანძილი C წერტილიდან AB წრფემდე

5. ვიპოვოთ წრის განტოლება, რისთვისაც სიმაღლეთან დ აქვს დიამეტრი.

ჩვენ ვპოულობთ D წერტილის კოორდინატებს ორი AB და CD წრფის გადაკვეთის წერტილად, რომელთა განტოლებები ცნობილია.

იპოვეთ O წერტილის კოორდინატები - წრის ცენტრი. ეს არის CD-ის შუა წერტილი.

წრის რადიუსი არის

დავწეროთ წრის განტოლება.

6) განვსაზღვროთ სამკუთხედიABC წრფივი უტოლობების სისტემა.

ვიპოვოთ CB წრფის განტოლება.

წრფივი უტოლობათა სისტემა ასე გამოიყურება.

2. ამოხსენით განტოლებათა ეს სისტემა კრამერის ფორმულების გამოყენებით. შეამოწმეთ მიღებული ხსნარი.

გადაწყვეტილება.მოდით გამოვთვალოთ ამ სისტემის განმსაზღვრელი:

.

მოდი ვიპოვოთ დეტერმინანტები
და გადაჭრით სისტემა:

გამოცდა:

პასუხი:

3. დაწერეთ განტოლებათა სისტემა მატრიცის სახით და ამოხსენით მისი გამოყენებით

ინვერსიული მატრიცა. შეამოწმეთ მიღებული ხსნარი

გადაწყვეტილება.

იპოვეთ განმსაზღვრელი მატრიცა A

მატრიცა არადეგენერატია და აქვს ინვერსიული. ვიპოვოთ ყველა ალგებრული დამატება და შევადგინოთ კავშირის მატრიცა.

ინვერსიული მატრიცა ასე გამოიყურება:

გავამრავლოთ
და იპოვნეთ ამოხსნის ვექტორი.

ექსპერტიზა

.
პასუხი:

გადაწყვეტილება.

ნ = (2, 1). დახაზეთ დონის ხაზი ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარულად და გადაიტანეთ იგი ნორმალურის მიმართულებით,

ობიექტური ფუნქცია აღწევს თავის მინიმუმს A წერტილში, ხოლო მაქსიმუმს B წერტილში. ამ წერტილების კოორდინატებს ვპოულობთ იმ წრფეების განტოლებების ერთობლივად ამოხსნით, რომელთა გადაკვეთაზეც ისინი მდებარეობს.

5. ტურისტული კომპანია მოითხოვს არაუმეტეს ასამტონიანი ავტობუსები და მეტი არა in

ხუთი ტონიანი ავტობუსები. პირველი მარკის ავტობუსების გასაყიდი ფასი 20000 აშშ დოლარია, მეორე მარკის

40000 ც. ტურისტულ კომპანიას შეუძლია გამოყოს არაუმეტეს თანგ.უ.

თითოეული მარკის რამდენი ავტობუსი უნდა იყოს შეძენილი ცალ-ცალკე ისე, რომ მათი ჯამი

(საერთო) ტარების მოცულობა იყო მაქსიმალური. ამოიღეთ პრობლემა გრაფიკულად.

ა= 20 in= 18 თან= 1000000

გადაწყვეტილება. შეადგინეთ პრობლემის მათემატიკური მოდელი . აღნიშნეთ მიერ
- თითოეული შესასყიდი ტონაჟის ავტობუსების რაოდენობა. შეძენის მიზანია შეძენილი მანქანების მაქსიმალური დატვირთვის ტევადობა, რომელიც აღწერილია მიზნის ფუნქციით

პრობლემის შეზღუდვა გამოწვეულია შეძენილი ავტობუსების რაოდენობით და მათი ფასით.

მოდით გადავჭრათ პრობლემა გრაფიკულად. . ჩვენ ვაშენებთ პრობლემის შესაძლო გადაწყვეტის არეალს და ნორმალურ დონის ხაზებს ნ = (3, 5). დახაზეთ დონის ხაზი ნორმალური ვექტორის პერპენდიკულარულად და გადაიტანეთ იგი ნორმალურის მიმართულებით.

მიზნის ფუნქცია მაქსიმუმს აღწევს წერტილში
, მიზანი ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას .

გადაწყვეტილება. 1. ფუნქციის ფარგლები არის მთელი რიცხვითი ღერძი.

2, ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

3. როცა x=0, y=20

4. ვიკვლევთ ფუნქციას ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის.

იპოვეთ წარმოებულის ნულები

ფუნქციის სტაციონარული წერტილები.

x ღერძზე ვსვამთ სტაციონარულ წერტილებს და ვამოწმებთ წარმოებულის ნიშნებს ღერძის თითოეულ მონაკვეთზე.

- მაქსიმალური ქულა
;
- მინიმალური ქულა

5. განვიხილავთ ფუნქციის გრაფიკს ამოზნექილობასა და ჩაზნექილზე. აიღეთ მე-2 წარმოებული

ფუნქციის გრაფიკის დახრის წერტილი.

ზე
- ფუნქცია ამოზნექილია; ზე
- ფუნქცია ჩაზნექილია.

ფუნქციის გრაფიკს აქვს ფორმა

6. იპოვეთ ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა ინტერვალზე [-1; 4]

გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა სეგმენტის ბოლოებში
მინიმალურ წერტილში ფუნქცია იღებს მნიშვნელობებს, შესაბამისად, უმცირეს მნიშვნელობას სეგმენტზე [-1; 4] ფუნქცია იღებს მინიმალურ წერტილში და ყველაზე დიდს ინტერვალის მარცხენა საზღვარზე.

7. იპოვნეთ განუსაზღვრელი ინტეგრალები და შეამოწმეთ ინტეგრაციის შედეგები

დიფერენციაცია.

გადაწყვეტილება.

ექსპერტიზა.

აქ კოსინუსების ნამრავლი შეიცვალა ჯამით, ტრიგონომეტრიული ფორმულების მიხედვით.

1. AB და BC გვერდების განტოლება და მათი ფერდობები.
დავალება იძლევა იმ წერტილების კოორდინატებს, რომლებშიც ეს წრფეები გადის, ამიტომ ვიყენებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ შეცვალეთ და მიიღეთ განტოლებები
AB წრფის განტოლება $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ AB წრფის დახრილობა არის \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
BC წრფის განტოლება $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ BC წრფის დახრილობა არის \(k_ (ძვ. წ.) = -7\)

2. კუთხე B რადიანებში ორ ათწილადამდე
კუთხე B - კუთხე AB და BC წრფეებს შორის, რომელიც გამოითვლება ფორმულით $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$შეცვალეთ ამ წრფეების დახრილობის კოეფიციენტები და მიიღეთ. $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \დაახლოებით 0,79$$
3.AB მხარის სიგრძე
AB მხარის სიგრძე გამოითვლება, როგორც მანძილი წერტილებს შორის და უდრის \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB ) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD სიმაღლისა და მისი სიგრძის განტოლება.
სიმაღლის განტოლებას ვიპოვით მოცემულ წერტილში С(4;13) მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი წრფის ფორმულით - AB წრფეზე პერპენდიკულარული ფორმულით \(y-y_0=k(x-x_0). )\). იპოვეთ \(k_(CD)\) სიმაღლის დახრილობა პერპენდიკულარული წრფეების თვისების გამოყენებით \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) მივიღებთ $$k_(CD)= -\frac(1) (k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ (x-4) => y = \frac(4)( 3)x+\frac(23)(3)$$ = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ მრიცხველში არის AB წრფის განტოლება, ჩვენ მიიტანეთ იგი ამ ფორმამდე \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\), ჩაანაცვლეთ მიღებული განტოლება და წერტილის კოორდინატები ფორმულაში $$d = \frac(4*13+3*4-14)(\sqrt(4^2+3^2)) = \frac(50)(5) =10$$

5. AE მედიანას განტოლება და K წერტილის კოორდინატები, ამ მედიანას გადაკვეთა სიმაღლის CD-სთან.
ჩვენ ვეძებთ მედიანურ განტოლებას, როგორც სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილს A(-6;8) და E, სადაც E წერტილი არის შუა წერტილი B და C წერტილებს შორის და მისი კოორდინატები გვხვდება ფორმულით \( E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) ჩაანაცვლეთ წერტილების კოორდინატები \(E(\frac(6+4)(2);\frac( -1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), მაშინ მედიანური AE განტოლება არის $$\frac(x+6)(5+6)=\frac(y -8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$იპოვეთ სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილის კოორდინატები და მედიანა, ე.ი. იპოვეთ მათი საერთო წერტილი ამისათვის შეადგინეთ სისტემის განტოლება $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac(4)( 3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$$\begin( შემთხვევები)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(შემთხვევები)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$$$\ დასაწყისი (შემთხვევები) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end (შემთხვევები)$$ გადაკვეთის კოორდინატები \(K(-\frac(1)(2);7)\)

6. სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის K წერტილის AB გვერდის პარალელურად.
თუ ხაზები პარალელურია, მაშინ მათი ფერდობები ტოლია, ე.ი. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\) , ასევე ცნობილია \(K(-\frac(1)(2);7)\) წერტილის კოორდინატები. , ე.ი. სწორი ხაზის განტოლების საპოვნელად გამოვიყენებთ მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით გამავალი სწორი ხაზის განტოლების ფორმულას \(y - y_0=k(x-x_0)\), ვცვლით მონაცემებს და ვიღებთ $$y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8) $$

8. M წერტილის კოორდინატები, რომელიც სიმეტრიულია A წერტილის მიმართ CD წრფესთან მიმართებაში.
წერტილი M დევს AB წრფეზე, რადგან CD - სიმაღლე ამ მხარეს. იპოვეთ CD და AB-ის გადაკვეთის წერტილი. ამისათვის ამოხსენით განტოლებათა სისტემა $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = -\ frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(შემთხვევები) =>\ დასაწყისი (შემთხვევები)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\ბოლო(შემთხვევები) => $ $$$\ დასაწყისი (შემთხვევები) 12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\ბოლო (შემთხვევები) =>
\დაწყება(შემთხვევები)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\ბოლო(შემთხვევები) => $$$$\დაწყება(შემთხვევები)x=-2\\y=5 \ბოლო(შემთხვევები)$$ წერტილის კოორდინატები D(-2;5). პირობით AD=DK, ეს მანძილი წერტილებს შორის გვხვდება პითაგორას ფორმულით \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), სადაც AD და DK არის ჰიპოტენუსები. თანაბარი მართკუთხა სამკუთხედების, და \(Δx =x_2-x_1\) და \(Δy=y_2-y_1\) არის ამ სამკუთხედების ფეხები, ე.ი. იპოვეთ ფეხები და იპოვეთ M წერტილის კოორდინატები. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), და \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), შემდეგ კოორდინატები M წერტილის ტოლი იქნება \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), და \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \ ), მივიღეთ, რომ \(M(2;2)\) წერტილის კოორდინატები

ზოგიერთი ამოცანის ამოხსნის მაგალითი ტიპიური ნაშრომიდან "ანალიტიკური გეომეტრია სიბრტყეზე"

მოცემულია ვერტიკები,
,
სამკუთხედი ABC. Პოვნა:

სამკუთხედის ყველა გვერდის განტოლებები;

სამკუთხედის განმსაზღვრელი წრფივი უტოლობების სისტემა ABC;

წვეროდან გამოყვანილი სამკუთხედის სიმაღლის, მედიანისა და ბისექტრის განტოლებები მაგრამ;

სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილი;

სამკუთხედის შუალედების გადაკვეთის წერტილი;

სიმაღლის სიგრძე გვერდზე დაწია AB;

ინექცია მაგრამ;

გააკეთე ნახატი.

დაე, სამკუთხედის წვეროებს ჰქონდეს კოორდინატები: მაგრამ (1; 4), AT (5; 3), თან(3; 6). მოდით დავხატოთ ნახატი:

1. სამკუთხედის ყველა გვერდის განტოლების დასაწერად ვიყენებთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში კოორდინატებით ( x 0 , წ 0 ) და ( x 1 , წ 1 ):

=

ამრიგად, ჩანაცვლება ნაცვლად ( x 0 , წ 0 ) წერტილის კოორდინატები მაგრამდა ნაცვლად ( x 1 , წ 1 ) წერტილის კოორდინატები AT, მივიღებთ სწორი ხაზის განტოლებას AB:

შედეგად მიღებული განტოლება იქნება სწორი ხაზის განტოლება ABზოგადი ფორმით დაწერილი. ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ სწორი ხაზის განტოლებას AC:

და ასევე სწორი ხაზის განტოლება მზე:

2. გაითვალისწინეთ, რომ სამკუთხედის წერტილთა სიმრავლე ABCარის სამი ნახევარსიბრტყის კვეთა და თითოეული ნახევარსიბრტყე შეიძლება განისაზღვროს წრფივი უტოლობის გამოყენებით. თუ ავიღებთ ∆ რომელიმე მხარის განტოლებას ABC, Მაგალითად AB, შემდეგ უტოლობები

და

განსაზღვრეთ წერტილები სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს AB. უნდა ავირჩიოთ ნახევრად სიბრტყე, სადაც მდებარეობს C წერტილი. მოდით ჩავანაცვლოთ მისი კოორდინატები ორივე უტოლობით:

სწორი იქნება მეორე უტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ საჭირო ქულები განისაზღვრება უტოლობით

.

ანალოგიურად ვაგრძელებთ BC სწორ ხაზს, მის განტოლებას
. როგორც ტესტი, ჩვენ ვიყენებთ პუნქტს A (1, 1):

ასე რომ, სასურველი უტოლობა არის:

.

თუ შევამოწმებთ AC ხაზს (საცდელი წერტილი B), მივიღებთ:

ასე რომ, სასურველი უტოლობა იქნება ფორმის

ბოლოს მივიღებთ უტოლობათა სისტემას:

ნიშნები "≤", "≥" ნიშნავს, რომ სამკუთხედის გვერდებზე მდებარე წერტილები ასევე შედის სამკუთხედის შემადგენელი წერტილების სიმრავლეში. ABC.

3. ა) ზემოდან ჩამოშვებული სიმაღლის განტოლების საპოვნელად მაგრამგვერდზე მზე, განიხილეთ გვერდითი განტოლება მზე:
. ვექტორი კოორდინატებით
მხარის პერპენდიკულარული მზედა, შესაბამისად, სიმაღლის პარალელურად. ჩვენ ვწერთ წერტილში გამავალი სწორი ხაზის განტოლებას მაგრამვექტორის პარალელურად
:

ეს არის t-დან გამოტოვებული სიმაღლის განტოლება. მაგრამგვერდზე მზე.

ბ) იპოვეთ გვერდის შუა წერტილის კოორდინატები მზეფორმულების მიხედვით:

Აქ
არის კოორდინატები. AT, ა
- კოორდინატები ტ. თან. შეცვალეთ და მიიღეთ:

ამ წერტილზე გამავალი ხაზი და წერტილი მაგრამარის სასურველი მედიანა:

გ) ვეძებთ ბისექტრის განტოლებას, იმის საფუძველზე, რომ ტოლკუთხედის სამკუთხედში ერთი წვეროდან სამკუთხედის ფუძემდე დაშვებული სიმაღლე, მედიანა და ბისექტრი ტოლია. ვიპოვოთ ორი ვექტორი
და
და მათი სიგრძე:

შემდეგ ვექტორი
აქვს იგივე მიმართულება, რაც ვექტორს
და მისი სიგრძე
ანალოგიურად, ერთეული ვექტორი
მიმართულებით ემთხვევა ვექტორს
ვექტორთა ჯამი

არის ვექტორი, რომელიც ემთხვევა კუთხის ბისექტრის მიმართულებით მაგრამ. ამრიგად, სასურველი ბისექტრის განტოლება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

4) ჩვენ უკვე ავაშენეთ ერთ-ერთი სიმაღლის განტოლება. ავაშენოთ კიდევ ერთი სიმაღლის განტოლება, მაგალითად, ზემოდან AT. მხარე ACმოცემულია განტოლებით
ასე რომ ვექტორი
პერპენდიკულარული AC, და ამით სასურველი სიმაღლის პარალელურად. შემდეგ წვეროზე გამავალი სწორი ხაზის განტოლება ATვექტორის მიმართულებით
(ანუ პერპენდიკულარული AC), აქვს ფორმა:

ცნობილია, რომ სამკუთხედის სიმაღლეები ერთ წერტილში იკვეთება. კერძოდ, ეს წერტილი არის ნაპოვნი სიმაღლეების გადაკვეთა, ე.ი. განტოლებათა სისტემის ამოხსნა:

არის ამ წერტილის კოორდინატები.

5. შუა ABაქვს კოორდინატები
. დავწეროთ მედიანის განტოლება გვერდით AB.ეს ხაზი გადის წერტილებში კოორდინატებით (3, 2) და (3, 6), ამიტომ მისი განტოლება არის:

გაითვალისწინეთ, რომ წილადის მნიშვნელში ნული სწორი ხაზის განტოლებაში ნიშნავს, რომ ეს სწორი ხაზი გადის y ღერძის პარალელურად.

მედიანების გადაკვეთის წერტილის საპოვნელად საკმარისია განტოლებათა სისტემის ამოხსნა:

სამკუთხედის შუაგულების გადაკვეთის წერტილს აქვს კოორდინატები
.

6. გვერდზე ჩამოწეული სიმაღლის სიგრძე AB,წერტილიდან მანძილის ტოლი თანპირდაპირ ABგანტოლებით
და მოცემულია ფორმულით:

7. კუთხის კოსინუსი მაგრამშეიძლება ვიპოვოთ ვექტორებს შორის კუთხის კოსინუსის ფორმულით და , რომელიც უდრის ამ ვექტორების სკალარული ნამრავლის შეფარდებას მათი სიგრძის ნამრავლთან:

.