შემოკლებული გამრავლების ფორმულები (FSU) გამოიყენება რიცხვებისა და გამონათქვამების გამოსათვლელად და გასამრავლებლად. ხშირად ეს ფორმულები საშუალებას გაძლევთ გააკეთოთ გამოთვლები უფრო კომპაქტურად და სწრაფად.

ამ სტატიაში ჩამოვთვლით შემოკლებული გამრავლების ძირითად ფორმულებს, დავაჯგუფებთ მათ ცხრილში, განვიხილავთ ამ ფორმულების გამოყენების მაგალითებს და ასევე ვისაუბრებთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულების დადასტურების პრინციპებზე.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მე-7 კლასის კურსის „ალგებრა“ ფარგლებში პირველად განიხილება ფსუ-ს თემა. ქვემოთ მოცემულია 7 ძირითადი ფორმულა.

შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

1. ჯამის კვადრატის ფორმულა: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. განსხვავების კვადრატული ფორმულა: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. ჯამის კუბის ფორმულა: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. განსხვავება კუბის ფორმულა: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. კვადრატების განსხვავება ფორმულა: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. კუბურების ჯამის ფორმულა: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. კუბის სხვაობის ფორმულა: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

ასოები a, b, c ამ გამონათქვამებში შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი, ცვლადი ან გამონათქვამი. მოხმარების სიმარტივისთვის უმჯობესია შვიდი ძირითადი ფორმულა ზეპირად ისწავლოთ. ჩვენ ვაჯამებთ მათ ცხრილში და ვაძლევთ მათ ქვემოთ, შემოხაზეთ ყუთით.

პირველი ოთხი ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ, შესაბამისად, ორი გამონათქვამის ჯამის ან სხვაობის კვადრატი ან კუბი.

მეხუთე ფორმულა ითვლის გამონათქვამების კვადრატების სხვაობას მათი ჯამისა და სხვაობის გამრავლებით.

მეექვსე და მეშვიდე ფორმულები, შესაბამისად, არის გამონათქვამების ჯამისა და სხვაობის გამრავლება სხვაობის არასრულ კვადრატზე და ჯამის არასრულ კვადრატზე.

გამრავლების შემოკლებულ ფორმულას ზოგჯერ ასევე უწოდებენ შემოკლებულ გამრავლების იდენტობებს. ეს გასაკვირი არ არის, რადგან ყველა თანასწორობა არის იდენტობა.

პრაქტიკული მაგალითების ამოხსნისას ხშირად გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები გადაწყობილი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებით. ეს განსაკუთრებით მოსახერხებელია მრავალწევრის ფაქტორინგის დროს.

დამატებითი შემოკლებული გამრავლების ფორმულები

ჩვენ არ შემოვიფარგლებით ალგებრის მე-7 კლასის კურსით და კიდევ რამდენიმე ფორმულას დავამატებთ ჩვენს FSU ცხრილს.

პირველ რიგში, განიხილეთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

აქ C n k არის ბინომიალური კოეფიციენტები, რომლებიც პასკალის სამკუთხედში n რიცხვშია. ბინომალური კოეფიციენტები გამოითვლება ფორმულით:

C nk = n! კ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

როგორც ხედავთ, FSU სხვაობის კვადრატისა და კუბისთვის და ჯამი არის ნიუტონის ბინომიური ფორმულის სპეციალური შემთხვევა n=2 და n=3, შესაბამისად.

მაგრამ რა მოხდება, თუ ძალაუფლებამდე გასასვლელ თანხაში ორ ტერმინზე მეტია? სასარგებლო იქნება სამი, ოთხი ან მეტი წევრის ჯამის კვადრატის ფორმულა.

a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

კიდევ ერთი ფორმულა, რომელიც შეიძლება გამოგადგებათ, არის ფორმულა ორი წევრის n-ე ხარისხების სხვაობისთვის.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

ეს ფორმულა ჩვეულებრივ იყოფა ორ ფორმულად - შესაბამისად ლუწი და კენტი გრადუსებისთვის.

ლუწი ექსპონენტებისთვის 2 მ:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 მ - 2

კენტი მაჩვენებლებისთვის 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 მ

კვადრატებისა და კუბების სხვაობის ფორმულები, თქვენ წარმოიდგინეთ, არის ამ ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევები n = 2 და n = 3, შესაბამისად. კუბების სხვაობისთვის b ასევე იცვლება - b-ით.

როგორ წავიკითხოთ გამრავლების შემოკლებული ფორმულები?

თითოეულ ფორმულას მივცემთ შესაბამის ფორმულირებებს, მაგრამ ჯერ ფორმულების წაკითხვის პრინციპს შევეხებით. ამის გაკეთების ყველაზე მარტივი გზა მაგალითია. ავიღოთ პირველივე ფორმულა ორი რიცხვის ჯამის კვადრატისთვის.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

ისინი ამბობენ: a და b გამოსახულებების ჯამის კვადრატი უდრის პირველი გამონათქვამის კვადრატის ჯამს, გამონათქვამების ნამრავლისა და მეორე გამონათქვამის კვადრატის ორჯერ.

ყველა სხვა ფორმულა იკითხება ანალოგიურად. კვადრატული სხვაობისთვის a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 ჩვენ ვწერთ:

ორი გამონათქვამის განსხვავების კვადრატი a და b ტოლია ამ გამონათქვამების კვადრატების ჯამის გამოკლებით პირველი და მეორე გამონათქვამის ნამრავლის ორჯერ.

მოდით წავიკითხოთ ფორმულა a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. ორი გამონათქვამის a და b ჯამის კუბი უდრის ამ გამონათქვამების კუბების ჯამს, სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლს და მეორეს და სამჯერ ნამრავლს მეორე გამოსახულების კვადრატზე. და პირველი გამოხატულება.

ჩვენ ვაგრძელებთ კუბების განსხვავების ფორმულის კითხვას a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. ორი გამონათქვამის განსხვავების კუბი a და b უდრის პირველი გამოსახულების კუბს მინუს სამჯერ პირველი გამოსახულების კვადრატი და მეორე, პლუს სამჯერ მეორე გამოსახულებისა და პირველი გამოსახულების კვადრატი, გამოკლებული კუბი. მეორე გამოხატვის.

მეხუთე ფორმულა a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (კვადრატების სხვაობა) შემდეგნაირად იკითხება: ორი გამონათქვამის კვადრატების სხვაობა უდრის სხვაობის ნამრავლს და ორი გამოსახულების ჯამს.

ისეთი გამონათქვამები, როგორიცაა a 2 + a b + b 2 და a 2 - a b + b 2 მოხერხებულობისთვის ეწოდება, შესაბამისად, ჯამის არასრული კვადრატი და სხვაობის არასრული კვადრატი.

ამის გათვალისწინებით, კუბურების ჯამისა და სხვაობის ფორმულები იკითხება შემდეგნაირად:

ორი გამონათქვამის კუბების ჯამი ტოლია ამ გამონათქვამების ჯამის ნამრავლისა და მათი სხვაობის არასრული კვადრატისა.

ორი გამონათქვამის კუბების სხვაობა ტოლია ამ გამონათქვამების სხვაობის ნამრავლის მათი ჯამის არასრული კვადრატით.

FSU მტკიცებულება

FSU-ს დადასტურება საკმაოდ მარტივია. გამრავლების თვისებებიდან გამომდინარე განვახორციელებთ ფორმულების ნაწილების გამრავლებას ფრჩხილებში.

მაგალითად, განიხილეთ სხვაობის კვადრატის ფორმულა.

a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

გამოხატვის მეორე ხარისხზე ასაყვანად, გამოხატულება თავისთავად უნდა გამრავლდეს.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

მოდით გავაფართოვოთ ფრჩხილები:

a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.

ფორმულა დადასტურებულია. სხვა FSOs დადასტურებულია ანალოგიურად.

FSO-ს გამოყენების მაგალითები

შემცირებული გამრავლების ფორმულების გამოყენების მიზანია გამონათქვამების სწრაფად და ლაკონურად გამრავლება და გამოხატვა. თუმცა, ეს არ არის FSO-ს მთელი სფერო. ისინი ფართოდ გამოიყენება გამონათქვამების შემცირების, წილადების შემცირების, მრავალწევრების ფაქტორინგში. მოვიყვანოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. FSO

გავამარტივოთ გამოთქმა 9 y - (1 + 3 y) 2 .

გამოიყენეთ კვადრატების ჯამის ფორმულა და მიიღეთ:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

მაგალითი 2. FSO

შეამცირეთ წილადი 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მრიცხველში გამოსახვა არის კუბების სხვაობა, ხოლო მნიშვნელში - კვადრატების სხვაობა.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

ვამცირებთ და ვიღებთ:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU ასევე დაგეხმარებათ გამოთვალოთ გამონათქვამების მნიშვნელობები. მთავარია შევძლოთ შეამჩნიოთ სად გამოვიყენოთ ფორმულა. მოდით ვაჩვენოთ ეს მაგალითით.

რიცხვი 79-ის კვადრატში ავიყვანოთ. რთული გამოთვლების ნაცვლად, ჩვენ ვწერთ:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

როგორც ჩანს, რთული გაანგარიშება განხორციელდა სწრაფად, მხოლოდ შემოკლებული გამრავლების ფორმულებისა და გამრავლების ცხრილის გამოყენებით.

კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი არის ბინომის კვადრატის შერჩევა. გამოთქმა 4 x 2 + 4 x - 3 შეიძლება გარდაიქმნას 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4. ასეთი ტრანსფორმაციები ფართოდ გამოიყენება ინტეგრაციისას.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ალგებრის კურსში შესწავლილი ერთ-ერთი პირველი თემა არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. მე-7 კლასში, ისინი გამოიყენება უმარტივეს სიტუაციებში, როდესაც საჭიროა გამოსახულებაში ერთ-ერთი ფორმულის ამოცნობა და მრავალწევრის ფაქტორიზაცია, ან, პირიქით, ჯამის ან სხვაობის სწრაფად კვადრატში ან კუბურ ფორმირებაში. მომავალში, FSU გამოიყენება უტოლობებისა და განტოლებების სწრაფად გადასაჭრელად და ზოგიერთი რიცხვითი გამონათქვამის გამოსათვლელადაც კი კალკულატორის გარეშე.

როგორ გამოიყურება ფორმულების სია?

არსებობს 7 ძირითადი ფორმულა, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად გაამრავლოთ პოლინომები ფრჩხილებში.

ზოგჯერ ეს სია ასევე მოიცავს მეოთხე ხარისხის გაფართოებას, რომელიც გამომდინარეობს წარმოდგენილი იდენტობებიდან და აქვს ფორმა:

a⁴ - b4 = (a - b) (a + b) (a² + b²).

ყველა ტოლობას აქვს წყვილი (ჯუმი - სხვაობა), გარდა კვადრატების სხვაობისა. არ არსებობს კვადრატების ჯამის ფორმულა.

დანარჩენი თანასწორობები ადვილად დასამახსოვრებელია.:

უნდა გვახსოვდეს, რომ FSO მუშაობს ნებისმიერ შემთხვევაში და ნებისმიერი ღირებულებისთვის. ადა ბ: ეს შეიძლება იყოს როგორც თვითნებური რიცხვები, ასევე მთელი რიცხვები.

იმ სიტუაციაში, როდესაც უცებ ვერ გახსოვთ, რომელი ნიშანია ფორმულაში ამა თუ იმ ტერმინის წინ, შეგიძლიათ გახსნათ ფრჩხილები და მიიღოთ იგივე შედეგი, რაც ფორმულის გამოყენების შემდეგ. მაგალითად, თუ პრობლემა წარმოიშვა სხვაობის კუბის FSU-ს გამოყენებისას, თქვენ უნდა დაწეროთ ორიგინალური გამოხატულება და გააკეთეთ გამრავლება სათითაოდ:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

შედეგად, ყველა ასეთი ტერმინის შემცირების შემდეგ, იგივე მრავალწევრი იქნა მიღებული, როგორც ცხრილში. იგივე მანიპულაციები შეიძლება განხორციელდეს ყველა სხვა FSO-სთან.

FSO-ს გამოყენება განტოლებების ამოსახსნელად

მაგალითად, თქვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება, რომელიც შეიცავს მე-3 ხარისხის მრავალწევრი:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

სკოლის სასწავლო გეგმა არ ითვალისწინებს კუბური განტოლებების ამოხსნის უნივერსალურ ხერხებს და ასეთი ამოცანები ყველაზე ხშირად წყდება უფრო მარტივი მეთოდებით (მაგალითად, ფაქტორიზაციით). თუ შეამჩნევთ, რომ იდენტურობის მარცხენა მხარე წააგავს ჯამის კუბს, მაშინ განტოლება შეიძლება დაიწეროს უფრო მარტივი ფორმით:

(x + 1)³ = 0.

ასეთი განტოლების ფესვი გამოითვლება ზეპირად: x=-1.

უტოლობა წყდება ანალოგიურად. მაგალითად, ჩვენ შეგვიძლია გადავჭრათ უტოლობა x³ - 6x² + 9x > 0.

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია გამოხატვის ფაქტორებად დაშლა. ჯერ ფრჩხილები უნდა ამოიღოთ x. ამის შემდეგ, ყურადღება უნდა მიაქციოთ, რომ ფრჩხილებში გამოსახული შეიძლება გარდაიქმნას სხვაობის კვადრატში.

შემდეგ თქვენ უნდა იპოვოთ ის წერტილები, რომლებზეც გამოთქმა იღებს ნულოვან მნიშვნელობებს და მონიშნეთ ისინი რიცხვით ხაზზე. კონკრეტულ შემთხვევაში ეს იქნება 0 და 3. შემდეგ ინტერვალის მეთოდის გამოყენებით დაადგინეთ რა ინტერვალებში x დააკმაყოფილებს უტოლობის პირობას.

FSOs შეიძლება სასარგებლო იყოს განხორციელებაში ზოგიერთი გამოთვლა კალკულატორის დახმარების გარეშე:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

გარდა ამისა, გამონათქვამების ფაქტორინგით, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად შეამციროთ წილადები და გაამარტივოთ სხვადასხვა ალგებრული გამონათქვამები.

დავალების მაგალითები 7-8 კლასებისთვის

დასასრულს გავაანალიზებთ და მოვაგვარებთ ორ ამოცანას ალგებრაში შემოკლებული გამრავლების ფორმულების გამოსაყენებლად.

დავალება 1. გამოთქმის გამარტივება:

(მ + 3) ² + (3 მ + 1) (3 მ - 1) - 2 მ (5 მ + 3).

გადაწყვეტილება. ამოცანის პირობაში საჭიროა გამოხატვის გამარტივება, ანუ ფრჩხილების გახსნა, გამრავლებისა და გაძლიერების ოპერაციების შესრულება და ასევე ყველა ასეთი ტერმინის მოტანა. ჩვენ პირობითად ვყოფთ გამონათქვამს სამ ნაწილად (ტერმინების რაოდენობის მიხედვით) და ვხსნით ფრჩხილებს სათითაოდ, სადაც ეს შესაძლებელია, FSU-ს გამოყენებით.

• (მ + 3) ² = მ² + 6 მ + 9(კვადრატული ჯამი);
• (3მ + 1)(3მ - 1) = 9მ² - 1(კვადრატების განსხვავება);
• ბოლო ტერმინში, თქვენ უნდა შეასრულოთ გამრავლება: 2 მ (5 მ + 3) = 10 მ² + 6 მ.

ჩაანაცვლეთ შედეგები ორიგინალურ გამოსახულებაში:

(მ² + 6 მ + 9) + (9 მ² - 1) - (10 მ² + 6 მ).

ნიშნების გათვალისწინებით ვხსნით ფრჩხილებს და ვაძლევთ მსგავს ტერმინებს:

მ² + 6 მ + 9 + 9 მ² 1 - 10 მ² - 6 მ = 8.

ამოცანა 2. ამოხსენით უცნობი k-ის შემცველი განტოლება 5-ის ხარისხში:

k5 + 4k4 + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

გადაწყვეტილება. ამ შემთხვევაში აუცილებელია FSO და დაჯგუფების მეთოდის გამოყენება. ბოლო და ბოლო ტერმინები უნდა გადავიტანოთ იდენტობის მარჯვენა მხარეს.

k5 + 4k4 + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

საერთო მულტიპლიკატორი აღებულია მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებიდან (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

ყველაფერი გადადის განტოლების მარცხენა მხარეს ისე, რომ 0 დარჩეს მარჯვენა მხარეს:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

კიდევ ერთხელ, თქვენ უნდა ამოიღოთ საერთო ფაქტორი:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

მიღებული პირველი ფაქტორიდან შეგვიძლია გამოვიტანოთ კ. მოკლე გამრავლების ფორმულის მიხედვით მეორე ფაქტორი იდენტურად ტოლი იქნება (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

კვადრატების განსხვავების ფორმულის გამოყენებით:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

ვინაიდან ნამრავლი არის 0, თუ მისი ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც არის ნული, არ იქნება რთული განტოლების ყველა ფესვის პოვნა:

1. k = 0;
2. k - 1 = 0; k = 1;
3. k + 1 = 0; k = -1;
4. (k + 2)² = 0; k = -2.

საილუსტრაციო მაგალითებზე დაყრდნობით, შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა დაიმახსოვროთ ფორმულები, მათი განსხვავებები და ასევე გადაჭრათ რამდენიმე პრაქტიკული პრობლემა FSU-ს გამოყენებით. ამოცანები მარტივია და არ უნდა იყოს რთული შესასრულებელი.

ალგებრული მრავალწევრების გასამარტივებლად არსებობს შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. არც ისე ბევრია და ადვილად დასამახსოვრებელია, მაგრამ თქვენ უნდა გახსოვდეთ ისინი. ფორმულებში გამოყენებულ აღნიშვნას შეიძლება ჰქონდეს ნებისმიერი ფორმა (რიცხვი ან პოლინომი).

პირველი შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ეწოდება კვადრატების განსხვავება. ის მდგომარეობს იმაში, რომ ერთი რიცხვის კვადრატს აკლდება მეორე რიცხვის კვადრატი ამ რიცხვებს შორის სხვაობის ტოლი, ისევე როგორც მათი ნამრავლი.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

მოდით გავაანალიზოთ სიცხადისთვის:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

მეორე ფორმულა შესახებ კვადრატების ჯამი. როგორც ჩანს, ორი მნიშვნელობის ჯამი კვადრატში უდრის პირველი მნიშვნელობის კვადრატს, მას ემატება პირველი მნიშვნელობის ორმაგი ნამრავლი გამრავლებული მეორეზე, მათ ემატება მეორე მნიშვნელობის კვადრატი.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

ამ ფორმულის წყალობით, ბევრად უფრო ადვილი ხდება დიდი რიცხვის კვადრატის გამოთვლა, კომპიუტერული ტექნოლოგიების გამოყენების გარეშე.

ასე მაგალითად:კვადრატი 112 იქნება
1) დასაწყისში ჩვენ გავაანალიზებთ 112 რიცხვებს, რომელთა კვადრატები ჩვენთვის ნაცნობია
112 = 100 + 12
2) მიღებულს ვწერთ ფრჩხილებში კვადრატში
112 2 = (100+12) 2
3) ფორმულის გამოყენებით მივიღებთ:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

მესამე ფორმულა არის სხვაობა კვადრატში. რაც ამბობს, რომ ორი მნიშვნელობის გამოკლება კვადრატში უდრის იმ ფაქტს, რომ პირველი მნიშვნელობის კვადრატს გამოვაკლებთ პირველი მნიშვნელობის ორმაგ ნამრავლს გამრავლებული მეორეზე და ვუმატებთ მათ მეორე მნიშვნელობის კვადრატს. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

სადაც (a - b) 2 უდრის (b - a) 2-ს. ამის დასამტკიცებლად (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

მეოთხე შემოკლებული გამრავლების ფორმულა ეწოდება ჯამის კუბი. რაც ასე ჟღერს: კუბში მნიშვნელობის ორი წევრი უდრის 1 მნიშვნელობის კუბს, ემატება 1 მნიშვნელობის სამმაგი ნამრავლი კვადრატში გამრავლებული მე-2 მნიშვნელობაზე, მათ ემატება 1 მნიშვნელობის სამმაგი ნამრავლი გამრავლებული კვადრატზე 2 მნიშვნელობის, პლუს მეორე მნიშვნელობის კუბური.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

მეხუთე, როგორც უკვე მიხვდით, ჰქვია განსხვავება კუბი. რომელიც პოულობს განსხვავებას მნიშვნელობებს შორის, რადგან კუბში პირველი აღნიშვნისგან გამოვაკლებთ პირველი აღნიშვნის სამმაგ ნამრავლს კვადრატზე გამრავლებული მეორეზე, მათ ემატება პირველი აღნიშვნის სამმაგი ნამრავლი გამრავლებული მეორე აღნიშვნის კვადრატზე. , გამოკლებული მეორე აღნიშვნა კუბში.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

მეექვსე ჰქვია კუბურების ჯამი. კუბების ჯამი უდრის ორი წევრის ნამრავლს, გამრავლებული სხვაობის არასრულ კვადრატზე, რადგან შუაში არ არის გაორმაგებული მნიშვნელობა.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

სხვა გზით, შეიძლება ითქვას, რომ კუბების ჯამს შეიძლება ეწოდოს პროდუქტი ორ ფრჩხილში.

მეშვიდე და ბოლო ჰქვია კუბების განსხვავება(ადვილია მისი აღრევა განსხვავებულ კუბის ფორმულაში, მაგრამ ეს სხვადასხვა რამეა). კუბების სხვაობა უდრის ორი სიდიდის სხვაობის ნამრავლს, გამრავლებული ჯამის არასრულ კვადრატზე, რადგან შუაში არ არის გაორმაგებული მნიშვნელობა.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

ასე რომ, მოკლედ გამრავლების მხოლოდ 7 ფორმულაა, ისინი ერთმანეთის მსგავსია და ადვილად დასამახსოვრებელია, ერთადერთი ის არის, რომ ნიშნებში არ დაიბნეთ. ისინი ასევე შექმნილია საპირისპირო მიზნით გამოსაყენებლად და საკმაოდ ბევრი ასეთი დავალებაა თავმოყრილი სახელმძღვანელოებში. ფრთხილად იყავით და წარმატებას მიაღწევთ.

თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები ფორმულებთან დაკავშირებით, აუცილებლად დაწერეთ ისინი კომენტარებში. სიამოვნებით გიპასუხებთ!

თუ დეკრეტულ შვებულებაში ხართ, მაგრამ გსურთ ფულის შოვნა. უბრალოდ მიჰყევით ინტერნეტ ბიზნესის ბმულს Oriflame-თან. ყველაფერი დეტალურად არის დაწერილი და ნაჩვენები. საინტერესო იქნება!

მათემატიკური გამონათქვამები (ფორმულები) შემოკლებული გამრავლება(ჯამისა და სხვაობის კვადრატი, ჯამისა და სხვაობის კუბი, კვადრატების სხვაობა, კუბების ჯამი და სხვაობა) უკიდურესად შეუცვლელია ზუსტი მეცნიერებების ბევრ სფეროში. ეს 7 სიმბოლოს ჩანაწერი შეუცვლელია გამონათქვამების გამარტივების, განტოლებების ამოხსნის, მრავალწევრების გამრავლების, წილადების შემცირების, ინტეგრალის ამოხსნის და მრავალი სხვა. ასე რომ, ძალიან სასარგებლო იქნება იმის გარკვევა, თუ როგორ მიიღება ისინი, რისთვის არიან ისინი და რაც მთავარია, როგორ დაიმახსოვროთ და შემდეგ გამოიყენოთ ისინი. შემდეგ მიმართვა შემოკლებული გამრავლების ფორმულებიპრაქტიკაში, ყველაზე რთული იქნება იმის დანახვა, რაც არის Xდა რა აქვთ. ცხადია, არანაირი შეზღუდვა არ არსებობს ადა ბარა, რაც ნიშნავს, რომ ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვითი ან პირდაპირი გამოხატულება.

ასე რომ, აი ისინი:

Პირველი x 2 -2 საათზე = (x - y) (x + y).Გამოთვლა კვადრატების განსხვავებაორი გამოსახულებით, აუცილებელია ამ გამონათქვამების განსხვავებები მათი ჯამებით გავამრავლოთ.

მეორე (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Პოვნა ჯამი კვადრატშიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატს ორჯერ პირველი გამონათქვამის პროდუქტი მეორეზე პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

მესამე (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Გამოთვლა სხვაობა კვადრატშიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა გამოაკლოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატს ორჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი მეორეზე პლუს მეორე გამოსახულების კვადრატი.

მეოთხე (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3x 2 + 3-ზე.Გამოთვლა ჯამის კუბიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა დაამატოთ პირველი გამოსახულების კუბს სამჯერ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლი და მეორე, პლუს სამჯერ პირველი გამონათქვამის ნამრავლი და მეორის კვადრატი, პლუს კუბი. მეორე გამოხატულება.

მეხუთე (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3x 2 -3 საათზე. Გამოთვლა განსხვავება კუბიორი გამონათქვამი, აუცილებელია პირველი გამონათქვამის კუბიდან სამჯერ გამოვაკლოთ პირველი გამონათქვამის კვადრატის ნამრავლი მეორეზე პლუს სამჯერ პირველი გამოსახულების ნამრავლი და მეორის კვადრატს გამოკლებული მეორეს კუბი. გამოხატულება.

მეექვსე x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2)Გამოთვლა კუბურების ჯამიორი გამონათქვამი, თქვენ უნდა გაამრავლოთ პირველი და მეორე გამონათქვამების ჯამები ამ გამონათქვამების სხვაობის არასრულ კვადრატზე.

მეშვიდე x 3 -3 საათზე \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2)გაანგარიშების გასაკეთებლად კუბური განსხვავებებიორი გამოსახულებით, აუცილებელია პირველი და მეორე გამოსახულებების სხვაობის გამრავლება ამ გამონათქვამების ჯამის არასრულ კვადრატზე.

ძნელი არ არის გახსოვდეთ, რომ ყველა ფორმულა გამოიყენება საპირისპირო მიმართულებით (მარჯვნიდან მარცხნივ) გამოთვლების გასაკეთებლად.

ამ კანონზომიერებების არსებობა ცნობილი იყო დაახლოებით 4 ათასი წლის წინ. მათ ფართოდ იყენებდნენ ძველი ბაბილონისა და ეგვიპტის მკვიდრნი. მაგრამ იმ ეპოქაში ისინი გამოხატული იყო სიტყვიერად ან გეომეტრიულად და არ იყენებდნენ ასოებს გამოთვლებში.

გავაანალიზოთ ჯამის კვადრატული მტკიცებულება(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 .

ეს მათემატიკური კანონზომიერებადაამტკიცა ძველი ბერძენი მეცნიერი ევკლიდე, რომელიც მუშაობდა ალექსანდრიაში ძვ. ისინი ყველგან იყენებდნენ არა "a 2", არამედ "კვადრატს a სეგმენტზე", არა "ab", არამედ "ოთკუთხედს, რომელიც ჩაკეტილია სეგმენტებს შორის a და b".

თქვენი კონფიდენციალურობა ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, წაიკითხოთ ჩვენი კონფიდენციალურობის პოლიტიკა და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• როდესაც განაცხადებს წარადგენთ საიტზე, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ და გაცნობოთ უნიკალური შეთავაზებების, აქციების და სხვა ღონისძიებებისა და მომავალი ღონისძიებების შესახებ.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გამოსაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს წახალისებაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვუმხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• იმ შემთხვევაში, თუ ეს აუცილებელია - კანონის, სასამართლო ბრძანების შესაბამისად, სასამართლო განხილვისას და/ან რუსეთის ფედერაციის ტერიტორიაზე სახელმწიფო ორგანოების საჯარო მოთხოვნის ან მოთხოვნის საფუძველზე - გაამჟღავნეთ თქვენი პირადი ინფორმაცია. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ დავადგენთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი ინტერესების მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია გადავცეთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მესამე მხარის მემკვიდრეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პირადი ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება კომპანიის დონეზე

იმის უზრუნველსაყოფად, რომ თქვენი პერსონალური ინფორმაცია დაცულია, ჩვენ ვუზიარებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების პრაქტიკას ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.