ლოგარითმული განტოლებაეწოდება განტოლება, რომელშიც უცნობი (x) და მასთან ერთად გამოსახულებები ლოგარითმული ფუნქციის ნიშნის ქვეშ არიან. ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა ვარაუდობს, რომ თქვენ უკვე იცნობთ და.
როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები?

უმარტივესი განტოლებაა შესვლა a x = b, სადაც a და b ზოგიერთი რიცხვია, x უცნობია.
ლოგარითმული განტოლების ამოხსნაარის x = a b მოწოდებული: a > 0, a 1.

უნდა აღინიშნოს, რომ თუ x არის სადმე ლოგარითმის მიღმა, მაგალითად log 2 x \u003d x-2, მაშინ ასეთ განტოლებას უკვე უწოდებენ შერეულს და მის გადასაჭრელად საჭიროა სპეციალური მიდგომა.

იდეალური შემთხვევაა, როცა წააწყდებით განტოლებას, რომელშიც მხოლოდ რიცხვებია ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, მაგალითად x + 2 \u003d log 2 2. აქ საკმარისია იცოდეთ ლოგარითმების თვისებები მის ამოსახსნელად. მაგრამ ასეთი იღბალი ხშირად არ ხდება, ამიტომ მოემზადეთ უფრო რთული საქმეებისთვის.

მაგრამ ჯერ, ბოლოს და ბოლოს, დავიწყოთ მარტივი განტოლებებით. მათი გადასაჭრელად, სასურველია გქონდეთ ყველაზე ზოგადი წარმოდგენა ლოგარითმის შესახებ.

მარტივი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა

ეს მოიცავს განტოლებებს, როგორიცაა log 2 x \u003d log 2 16. შეუიარაღებელი თვალით ჩანს, რომ ლოგარითმის ნიშნის გამოტოვებით ვიღებთ x \u003d 16.

უფრო რთული ლოგარითმული განტოლების ამოხსნის მიზნით, ჩვეულებრივ მიჰყავთ ჩვეულებრივი ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე ან უმარტივესი ლოგარითმული განტოლების ამონახვამდე log a x = b. უმარტივეს განტოლებებში ეს ხდება ერთ მოძრაობაში, რის გამოც მათ უმარტივესებს უწოდებენ.

ლოგარითმების ჩამოშვების ზემოხსენებული მეთოდი ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი გზაა. მათემატიკაში ამ ოპერაციას პოტენციაცია ეწოდება. არსებობს გარკვეული წესები ან შეზღუდვები ამ ტიპის ოპერაციებისთვის:

• ლოგარითმებს აქვთ იგივე რიცხვითი საფუძვლები
• განტოლების ორივე ნაწილში ლოგარითმები თავისუფალია, ე.ი. ყოველგვარი კოეფიციენტებისა და სხვა სხვადასხვა სახის გამონათქვამების გარეშე.

ვთქვათ განტოლებაში ჟურნალი 2 x \u003d 2log 2 (1- x), გაძლიერება არ გამოიყენება - კოეფიციენტი 2 მარჯვნივ არ იძლევა. შემდეგ მაგალითში, log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) ერთ-ერთი შეზღუდვა ასევე არ არის დაკმაყოფილებული - მარცხნივ არის ორი ლოგარითმი. ეს იქნება ერთი - სრულიად განსხვავებული საკითხი!

ზოგადად, თქვენ შეგიძლიათ წაშალოთ ლოგარითმები მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ განტოლებას აქვს ფორმა:

ჟურნალი ა (...) = ჟურნალი ა (...)

აბსოლუტურად ნებისმიერი გამონათქვამი შეიძლება იყოს ფრჩხილებში, ეს აბსოლუტურად არ იმოქმედებს გაძლიერების ოპერაციაზე. ლოგარითმების აღმოფხვრის შემდეგ კი დარჩება უფრო მარტივი განტოლება - წრფივი, კვადრატული, ექსპონენციალური და ა.შ., რომლის ამოხსნაც თქვენ უკვე იცით.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (2x-5) = ჟურნალი 3 x

გაძლიერების გამოყენებისას ვიღებთ:

ჟურნალი 3 (2x-1) = 2

ლოგარითმის განმარტებიდან გამომდინარე, კერძოდ, რომ ლოგარითმი არის რიცხვი, რომელზედაც ფუძე უნდა გაიზარდოს, რათა მივიღოთ გამონათქვამი, რომელიც იმყოფება ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ, ე.ი. (4x-1), ვიღებთ:

ისევ კარგი პასუხი მივიღეთ. აქ ჩვენ გავაკეთეთ ლოგარითმების აღმოფხვრის გარეშე, მაგრამ პოტენციაცია აქაც გამოიყენება, რადგან ლოგარითმი შეიძლება გაკეთდეს ნებისმიერი რიცხვიდან და ზუსტად ის, რაც ჩვენ გვჭირდება. ეს მეთოდი ძალიან სასარგებლოა ლოგარითმული განტოლებების და განსაკუთრებით უტოლობების ამოხსნაში.

მოდით გადავჭრათ ჩვენი ლოგარითმული განტოლება log 3 (2x-1) = 2 პოტენციაციის გამოყენებით:

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 2 ლოგარითმის სახით, მაგალითად, ასეთი ჟურნალი 3 9, რადგან 3 2 =9.

შემდეგ log 3 (2x-1) = log 3 9 და ისევ მივიღებთ იგივე განტოლებას 2x-1 = 9. იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია.

ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებები, რომლებიც რეალურად ძალიან მნიშვნელოვანია, რადგან ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე საშინელი და უკუღმართები, ბოლოს ყოველთვის უმარტივესი განტოლებების ამოხსნაზე მოდის.

ყველაფერში, რაც ზემოთ გავაკეთეთ, გამოგვრჩა ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი პუნქტი, რომელიც გადამწყვეტ როლს ითამაშებს მომავალში. ფაქტია, რომ ნებისმიერი ლოგარითმული განტოლების ამოხსნა, თუნდაც ყველაზე ელემენტარული, შედგება ორი ექვივალენტური ნაწილისგან. პირველი არის თავად განტოლების ამოხსნა, მეორე არის მუშაობა დასაშვები მნიშვნელობების ფართობთან (ODV). ეს მხოლოდ პირველი ნაწილია, რომელიც ჩვენ ავითვისეთ. ზემოთ მოყვანილ მაგალითებში ODD არანაირად არ მოქმედებს პასუხზე, ამიტომ ჩვენ არ განვიხილავთ მას.

ავიღოთ კიდევ ერთი მაგალითი:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

გარეგნულად, ეს განტოლება არაფრით განსხვავდება ელემენტარულისგან, რომელიც ძალიან წარმატებით წყდება. მაგრამ ეს ასე არ არის. არა, რა თქმა უნდა მოვაგვარებთ, მაგრამ დიდი ალბათობით არასწორი იქნება, რადგან მასში არის პატარა ჩასაფრება, რომელშიც მაშინვე ვარდებიან C სტუდენტებიც და წარჩინებული სტუდენტებიც. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ მას.

დავუშვათ, თქვენ უნდა იპოვოთ განტოლების ფესვი ან ფესვების ჯამი, თუ რამდენიმეა:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჩვენ ვიყენებთ გაძლიერებას, აქ ეს დასაშვებია. შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ჩვეულებრივ კვადრატულ განტოლებას.

ჩვენ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს:

ორი ფესვია.

პასუხი: 3 და -1

ერთი შეხედვით ყველაფერი სწორია. მაგრამ მოდით შევამოწმოთ შედეგი და ჩავანაცვლოთ იგი თავდაპირველ განტოლებაში.

დავიწყოთ x 1 = 3-ით:

ჟურნალი 3 6 = ჟურნალი 3 6

შემოწმება წარმატებით დასრულდა, ახლა რიგი x 2 = -1:

ჟურნალი 3 (-2) = ჟურნალი 3 (-2)

დიახ, გაჩერდი! გარეგნულად ყველაფერი იდეალურადაა. ერთი მომენტი - არ არსებობს ლოგარითმები უარყოფითი რიცხვებიდან! და ეს ნიშნავს, რომ ფესვი x \u003d -1 არ არის შესაფერისი ჩვენი განტოლების ამოსახსნელად. და ამიტომ სწორი პასუხი იქნება 3 და არა 2, როგორც დავწერეთ.

სწორედ აქ ითამაშა ODZ-მა თავისი საბედისწერო როლი, რაც დაგვავიწყდა.

შეგახსენებთ, რომ დასაშვები მნიშვნელობების არეალში მიღებულია x-ის ისეთი მნიშვნელობები, რომლებიც დაშვებულია ან აზრი აქვს ორიგინალურ მაგალითს.

ODZ-ის გარეშე, ნებისმიერი განტოლების ნებისმიერი გამოსავალი, თუნდაც აბსოლუტურად სწორი, გადაიქცევა ლატარიაში - 50/50.

როგორ დავიჭირეთ ერთი შეხედვით ელემენტარული მაგალითის ამოხსნისას? და აი ეს არის გაძლიერების მომენტში. ლოგარითმები გაქრა და მათთან ერთად ყველა შეზღუდვა.

რა უნდა გააკეთოს ასეთ შემთხვევაში? უარს ამბობ ლოგარითმების აღმოფხვრაზე? და მთლიანად უარი თქვას ამ განტოლების ამოხსნაზე?

არა, ჩვენ უბრალოდ, როგორც ნამდვილი გმირები ერთი ცნობილი სიმღერიდან, ვივლით!

სანამ რომელიმე ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას გავაგრძელებთ, ჩავწერთ ODZ-ს. მაგრამ ამის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ის, რაც თქვენს გულს სურს ჩვენი განტოლებით. პასუხის მიღების შემდეგ, ჩვენ უბრალოდ ვყრით იმ ფესვებს, რომლებიც არ შედის ჩვენს ODZ-ში და ჩავწერთ საბოლოო ვერსიას.

ახლა მოდით გადავწყვიტოთ როგორ დავწეროთ ODZ. ამისათვის ჩვენ ყურადღებით განვიხილავთ თავდაპირველ განტოლებას და ვეძებთ მასში საეჭვო ადგილებს, როგორიცაა x-ზე გაყოფა, ლუწი ხარისხის ფესვი და ა.შ. სანამ განტოლებას არ ამოხსნით, არ ვიცით რისი ტოლია x, მაგრამ დანამდვილებით ვიცით, რომ ასეთი x, რომელიც ჩანაცვლებისას მისცემს გაყოფას 0-ზე ან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვის გამოყვანაზე, არის აშკარად არ არის შესაფერისი პასუხისთვის. ამიტომ, ასეთი x-ები მიუღებელია, დანარჩენი კი წარმოადგენს ODZ-ს.

ისევ გამოვიყენოთ იგივე განტოლება:

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

ჟურნალი 3 (x 2 -3) = ჟურნალი 3 (2x)

როგორც ხედავთ, არ არის გაყოფა 0-ზე, არ არის არც კვადრატული ფესვები, მაგრამ არის გამონათქვამები x-ით ლოგარითმის სხეულში. ჩვენ დაუყოვნებლივ გავიხსენებთ, რომ ლოგარითმის შიგნით გამოხატული ყოველთვის უნდა იყოს > 0. ეს პირობა იწერება ODZ-ის სახით:

იმათ. ჩვენ ჯერ ვერაფერი მოვაგვარეთ, მაგრამ უკვე ჩავწერეთ სავალდებულო პირობა მთელი სუბლოგირითმული გამოსახულებისთვის. ხვეული სამაგრი ნიშნავს, რომ ეს პირობები ერთდროულად უნდა დაკმაყოფილდეს.

ODZ ჩაწერილია, მაგრამ ასევე აუცილებელია მიღებული უტოლობების სისტემის ამოხსნა, რასაც ჩვენ გავაკეთებთ. ვიღებთ პასუხს x > v3. ახლა ჩვენ ზუსტად ვიცით, რომელი x არ მოგვწონს. და შემდეგ ვიწყებთ თავად ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას, რაც ზემოთ გავაკეთეთ.

როდესაც მივიღეთ პასუხები x 1 \u003d 3 და x 2 \u003d -1, ადვილი მისახვედრია, რომ მხოლოდ x1 \u003d 3 არის შესაფერისი ჩვენთვის და ჩვენ მას ვწერთ როგორც საბოლოო პასუხს.

სამომავლოდ ძალიან მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს შემდეგი: ნებისმიერ ლოგარითმულ განტოლებას ვხსნით 2 ეტაპად. პირველი - ჩვენ ვხსნით განტოლებას, მეორე - ვხსნით ODZ-ის მდგომარეობას. ორივე საფეხური შესრულებულია ერთმანეთისგან დამოუკიდებლად და შედარება ხდება მხოლოდ პასუხის წერისას, ე.ი. ჩვენ ვხსნით ყველა არასაჭირს და ვწერთ სწორ პასუხს.

მასალის კონსოლიდაციისთვის, ჩვენ გირჩევთ უყუროთ ვიდეოს:

ვიდეოში ლოგის ამოხსნის სხვა მაგალითები. განტოლებები და პრაქტიკაში ინტერვალების მეთოდის შემუშავება.

ამ თემაზე, როგორ ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებებისანამ ყველაფერი. თუ რამე ლოგის გადაწყვეტილების მიხედვით. განტოლებები დარჩა გაუგებარი ან გაუგებარი, დაწერეთ თქვენი შეკითხვები კომენტარებში.

შენიშვნა: სოციალური განათლების აკადემია (KSUE) მზად არის მიიღოს ახალი სტუდენტები.

მათემატიკაში დასკვნითი ტესტისთვის მზადება მოიცავს მნიშვნელოვან ნაწილს – „ლოგარითმები“. ამ თემიდან ამოცანები აუცილებლად შეიცავს გამოცდას. გასული წლების გამოცდილება გვიჩვენებს, რომ ლოგარითმული განტოლებები ბევრ სკოლის მოსწავლეს უქმნიდა სირთულეებს. ამიტომ, სხვადასხვა დონის ტრენინგის მქონე სტუდენტებმა უნდა გაიგონ, როგორ იპოვონ სწორი პასუხი და სწრაფად გაუმკლავდნენ მათ.

წარმატებით გაიარეთ სასერტიფიკაციო ტესტი საგანმანათლებლო პორტალ „შკოლკოვოს“ დახმარებით!

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის მომზადებისას საშუალო სკოლის კურსდამთავრებულებს სჭირდებათ სანდო წყარო, რომელიც უზრუნველყოფს ყველაზე სრულ და ზუსტ ინფორმაციას ტესტის პრობლემების წარმატებით გადაჭრისთვის. თუმცა, სახელმძღვანელო ყოველთვის ხელთ არ არის და ინტერნეტში საჭირო წესებისა და ფორმულების ძიებას ხშირად დრო სჭირდება.

საგანმანათლებლო პორტალი "შკოლკოვო" საშუალებას გაძლევთ მოემზადოთ გამოცდისთვის ნებისმიერ ადგილას, ნებისმიერ დროს. ჩვენი საიტი გთავაზობთ ყველაზე მოსახერხებელ მიდგომას ლოგარითმებზე, ასევე ერთ და რამდენიმე უცნობზე დიდი რაოდენობით ინფორმაციის გამეორებისა და დაუფლებისთვის. დაიწყეთ მარტივი განტოლებებით. თუ თქვენ გაუმკლავდით მათ უპრობლემოდ, გადადით უფრო რთულზე. თუ რაიმე კონკრეტული უთანასწორობის ამოხსნა გიჭირთ, შეგიძლიათ დაამატოთ ის თქვენს რჩეულებში, რათა მოგვიანებით დაუბრუნდეთ მას.

თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ამოცანის შესასრულებლად საჭირო ფორმულები, გაიმეოროთ სპეციალური შემთხვევები და მეთოდები სტანდარტული ლოგარითმული განტოლების ფესვის გამოსათვლელად განყოფილების "თეორიული მითითების" ნახვით. "შკოლკოვოს" მასწავლებლებმა შეაგროვეს, სისტემატიზაცია და წარადგინეს ყველა მასალა, რომელიც აუცილებელია წარმატებული მიწოდებისთვის ყველაზე მარტივი და გასაგები ფორმით.

იმისათვის, რომ მარტივად გაუმკლავდეთ ნებისმიერი სირთულის ამოცანებს, ჩვენს პორტალზე შეგიძლიათ გაეცნოთ რამდენიმე ტიპიური ლოგარითმული განტოლების ამოხსნას. ამისათვის გადადით "კატალოგების" განყოფილებაში. ჩვენ წარმოვადგინეთ უამრავი მაგალითი, მათ შორის მათემატიკაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის პროფილის დონის განტოლებებით.

ჩვენი პორტალით სარგებლობა შეუძლიათ მთელი რუსეთის სკოლების მოსწავლეებს. დასაწყებად, უბრალოდ დარეგისტრირდით სისტემაში და დაიწყეთ განტოლებების ამოხსნა. შედეგების გასამყარებლად, ჩვენ გირჩევთ ყოველდღიურად დაბრუნდეთ შკოლკოვოს ვებსაიტზე.

ინსტრუქცია

ჩაწერეთ მოცემული ლოგარითმული გამოხატულება. თუ გამოთქმა იყენებს 10-ის ლოგარითმს, მაშინ მისი აღნიშვნა მცირდება და ასე გამოიყურება: lg b არის ათობითი ლოგარითმი. თუ ლოგარითმს საფუძვლად აქვს რიცხვი e, მაშინ გამოთქმა იწერება: ln b არის ბუნებრივი ლოგარითმი. გასაგებია, რომ ნებისმიერის შედეგი არის ძალა, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს საბაზისო რიცხვი, რომ მიიღოთ რიცხვი b.

ჯამიდან ორი ფუნქციის პოვნისას თქვენ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ ისინი სათითაოდ და დაამატოთ შედეგები: (u+v)" = u"+v";

ორი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებულის პოვნისას აუცილებელია პირველი ფუნქციის წარმოებული გავამრავლოთ მეორეზე და დავუმატოთ მეორე ფუნქციის წარმოებული, გამრავლებული პირველ ფუნქციაზე: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, საჭიროა დივიდენდის წარმოებულის ნამრავლს გამყოფი ფუნქციით გამოვაკლოთ გამყოფის წარმოებულის ნამრავლი გამრავლებულ ფუნქციაზე და გავყოთ. ეს ყველაფერი გამყოფი ფუნქციის კვადრატში. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

თუ რთული ფუნქციაა მოცემული, მაშინ აუცილებელია შიდა ფუნქციის წარმოებულის და გარედან წარმოებულის გამრავლება. მოდით y=u(v(x)), შემდეგ y"(x)=y"(u)*v"(x).

ზემოაღნიშნულის გამოყენებით შეგიძლიათ განასხვავოთ თითქმის ნებისმიერი ფუნქცია. ასე რომ, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
ასევე არსებობს დავალებები წარმოებულის გამოთვლის წერტილში. მოცემული იყოს ფუნქცია y=e^(x^2+6x+5), თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობა x=1 წერტილში.
1) იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა მოცემულ წერტილში y"(1)=8*e^0=8

Მსგავსი ვიდეოები

სასარგებლო რჩევა

ისწავლეთ ელემენტარული წარმოებულების ცხრილი. ეს დაზოგავს დიდ დროს.

წყაროები:

• მუდმივი წარმოებული

მაშ, რა განსხვავებაა ირაციონალურ განტოლებასა და რაციონალურ განტოლებას შორის? თუ უცნობი ცვლადი არის კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ, მაშინ განტოლება ითვლება ირაციონალურად.

ინსტრუქცია

ასეთი განტოლებების ამოხსნის მთავარი მეთოდია ორივე მხარის ამაღლების მეთოდი განტოლებებიმოედანზე. თუმცა. ეს ბუნებრივია, პირველი ნაბიჯი არის ნიშნის მოშორება. ტექნიკურად, ეს მეთოდი არ არის რთული, მაგრამ ზოგჯერ შეიძლება გამოიწვიოს პრობლემები. მაგალითად, განტოლება v(2x-5)=v(4x-7). ორივე მხარის კვადრატში მიიღებთ 2x-5=4x-7. ასეთი განტოლება არ არის რთული ამოსახსნელი; x=1. მაგრამ ნომერი 1 არ იქნება მოცემული განტოლებები. რატომ? შეცვალეთ ერთეული განტოლებაში x მნიშვნელობის ნაცვლად და მარჯვენა და მარცხენა მხარეები შეიცავს გამონათქვამებს, რომლებსაც აზრი არ აქვს, ანუ. ასეთი მნიშვნელობა არ მოქმედებს კვადრატული ფესვისთვის. მაშასადამე, 1 არის უცხო ფესვი და, შესაბამისად, ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს.

ასე რომ, ირაციონალური განტოლება ამოხსნილია მისი ორივე ნაწილის კვადრატის მეთოდით. და განტოლების ამოხსნის შემდეგ, აუცილებელია ზედმეტი ფესვების ამოჭრა. ამისათვის შეცვალეთ ნაპოვნი ფესვები თავდაპირველ განტოლებაში.

განიხილეთ კიდევ ერთი.
2x+vx-3=0
რა თქმა უნდა, ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია იმავე განტოლების გამოყენებით, როგორც წინა. გადაცემის ნაერთები განტოლებები, რომლებსაც არ აქვთ კვადრატული ფესვი, მარჯვნივ და შემდეგ გამოიყენეთ კვადრატის მეთოდი. ამოხსნათ მიღებული რაციონალური განტოლება და ფესვები. მაგრამ კიდევ ერთი, უფრო ელეგანტური. შეიყვანეთ ახალი ცვლადი; vx=y. შესაბამისად, თქვენ მიიღებთ განტოლებას, როგორიცაა 2y2+y-3=0. ეს არის ჩვეულებრივი კვადრატული განტოლება. იპოვეთ მისი ფესვები; y1=1 და y2=-3/2. შემდეგი, გადაწყვიტეთ ორი განტოლებები vx=1; vx \u003d -3/2. მეორე განტოლებას ფესვები არ აქვს, პირველიდან ვხვდებით, რომ x=1. არ დაივიწყოთ ფესვების შემოწმების აუცილებლობა.

პირადობის ამოხსნა საკმაოდ მარტივია. ეს მოითხოვს იდენტური გარდაქმნების განხორციელებას მიზნის მიღწევამდე. ამრიგად, უმარტივესი არითმეტიკული ოპერაციების დახმარებით, ამოცანა გადაიჭრება.

დაგჭირდებათ

• - ქაღალდი;
• -კალამი.

ინსტრუქცია

უმარტივესი ასეთი გარდაქმნებია ალგებრული შემოკლებული ნამრავლები (როგორიცაა ჯამის კვადრატი (განსხვავება), კვადრატების სხვაობა, ჯამი (განსხვავება), ჯამის კუბი (განსხვავება)). გარდა ამისა, არსებობს მრავალი ტრიგონომეტრიული ფორმულა, რომლებიც არსებითად იგივე იდენტობებია.

მართლაც, ორი წევრის ჯამის კვადრატი უდრის პირველის კვადრატს დამატებული პირველის ნამრავლის ორჯერ და მეორეს პლუს მეორის კვადრატს, ანუ (a+b)^2= (a+b). )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

გაამარტივეთ ორივე

გადაწყვეტის ზოგადი პრინციპები

გაიმეორეთ მათემატიკური ანალიზის ან უმაღლესი მათემატიკის სახელმძღვანელოდან, რომელიც განსაზღვრული ინტეგრალია. მოგეხსენებათ, განსაზღვრული ინტეგრალის ამოხსნა არის ფუნქცია, რომლის წარმოებული მისცემს ინტეგრანდს. ამ ფუნქციას ანტიდერივატი ეწოდება. ამ პრინციპის მიხედვით აგებულია ძირითადი ინტეგრალები.
განსაზღვრეთ ინტეგრადის ფორმით, ცხრილის რომელი ინტეგრალია შესაფერისი ამ შემთხვევაში. ამის დაუყოვნებლივ დადგენა ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ხშირად, ტაბულური ფორმა შესამჩნევი ხდება მხოლოდ რამდენიმე გარდაქმნის შემდეგ, ინტეგრადის გასამარტივებლად.

ცვლადი ჩანაცვლების მეთოდი

თუ ინტეგრადი არის ტრიგონომეტრიული ფუნქცია, რომლის არგუმენტი არის რამდენიმე პოლინომი, მაშინ სცადეთ გამოიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი. ამისათვის შეცვალეთ პოლინომი ინტეგრადის არგუმენტში ახალი ცვლადით. ახალ და ძველ ცვლადს შორის თანაფარდობიდან გამომდინარე, განსაზღვრეთ ინტეგრაციის ახალი საზღვრები. ამ გამონათქვამის დიფერენცირებით, იპოვნეთ ახალი დიფერენციალი . ამრიგად, თქვენ მიიღებთ ძველი ინტეგრალის ახალ ფორმას, ახლოს ან თუნდაც რომელიმე ცხრილის შესაბამისს.

მეორე სახის ინტეგრალების ამოხსნა

თუ ინტეგრალი არის მეორე ტიპის ინტეგრალი, ინტეგრანტის ვექტორული ფორმა, მაშინ დაგჭირდებათ ამ ინტეგრალებიდან სკალარზე გადასვლის წესების გამოყენება. ერთ-ერთი ასეთი წესია ოსტროგრადსკი-გაუსის თანაფარდობა. ეს კანონი შესაძლებელს ხდის რომელიმე ვექტორული ფუნქციის როტორული ნაკადიდან გადავიდეს სამმაგ ინტეგრალზე მოცემული ვექტორული ველის დივერგენციაზე.

ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება

ანტიდერივატივის პოვნის შემდეგ აუცილებელია ინტეგრაციის საზღვრების ჩანაცვლება. პირველ რიგში, შეცვალეთ ზედა ზღვრის მნიშვნელობა ანტიწარმოებულის გამოხატულებაში. მიიღებთ რაღაც ნომერს. შემდეგ, გამოკლეთ მიღებულ რიცხვს სხვა რიცხვი, შედეგად ქვედა ზღვარი ანტიწარმოებულს. თუ ინტეგრაციის ერთ-ერთი ლიმიტი არის უსასრულობა, მაშინ მისი ანტიდერივატიულ ფუნქციაში ჩანაცვლებისას აუცილებელია ზღვარზე გადასვლა და იმის პოვნა, რისკენ მიდრეკილია გამოხატულება.
თუ ინტეგრალი არის ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი, მაშინ თქვენ მოგიწევთ წარმოადგინოთ ინტეგრაციის გეომეტრიული საზღვრები, რათა გაიგოთ როგორ გამოვთვალოთ ინტეგრალი. ბოლოს და ბოლოს, ვთქვათ, სამგანზომილებიანი ინტეგრალის შემთხვევაში, ინტეგრაციის საზღვრები შეიძლება იყოს მთლიანი სიბრტყეები, რომლებიც ზღუდავს ინტეგრირებულ მოცულობას.

ალგებრა მე-11 კლასი

თემა: "ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები"

გაკვეთილის მიზნები:

საგანმანათლებლო: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის სხვადასხვა გზების შესახებ ცოდნის ფორმირება, თითოეულ კონკრეტულ სიტუაციაში მათი გამოყენების და ამოხსნის ნებისმიერი მეთოდის არჩევის უნარი;

განვითარება: დაკვირვების, შედარების, ახალ სიტუაციაში ცოდნის გამოყენების, ნიმუშების ამოცნობის, განზოგადების უნარების განვითარება; ურთიერთკონტროლისა და თვითკონტროლის უნარების ჩამოყალიბება;

საგანმანათლებლო: აღმზრდელობითი სამუშაოსადმი პასუხისმგებელი დამოკიდებულების აღზრდა, გაკვეთილზე მასალის ფრთხილად აღქმა, აღრიცხვის სიზუსტე.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი მასალის გაცნობის გაკვეთილი.

"ლოგარითმების გამოგონებამ, ასტრონომის მუშაობის შემცირებით, გაახანგრძლივა მისი სიცოცხლე."
ფრანგი მათემატიკოსი და ასტრონომი P.S. ლაპლასი

გაკვეთილების დროს

I. გაკვეთილის მიზნის დასახვა

ლოგარითმის შესწავლილი განმარტება, ლოგარითმების თვისებები და ლოგარითმული ფუნქცია მოგვცემს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის საშუალებას. ყველა ლოგარითმული განტოლება, რაც არ უნდა რთული იყოს, წყდება ერთი და იგივე ალგორითმების გამოყენებით. ამ ალგორითმებს დღეს გაკვეთილზე განვიხილავთ. რამდენიმე მათგანია. თუ მათ დაეუფლებით, მაშინ ლოგარითმებთან ნებისმიერი განტოლება შესაძლებელი იქნება თითოეული თქვენგანისთვის.

რვეულში ჩაწერეთ გაკვეთილის თემა: „ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის ხერხები“. ყველას ვიწვევ თანამშრომლობისთვის.

II. საბაზისო ცოდნის განახლება

მოვემზადოთ გაკვეთილის თემის შესასწავლად. თითოეულ დავალებას ხსნი და პასუხს წერ, პირობას ვერ დაწერ. მუშაობა წყვილებში.

1) x-ის რა მნიშვნელობებისთვის აქვს ფუნქციას აზრი:

(პასუხები მოწმდება თითოეულ სლაიდზე და დალაგებულია შეცდომები)

2) ემთხვევა თუ არა ფუნქციის გრაფიკები?

3) გადაწერეთ ტოლობები, როგორც ლოგარითმული ტოლობები:

4) დაწერეთ რიცხვები ლოგარითმების სახით 2 ფუძით:

5) გამოთვალეთ:

6) შეეცადეთ აღადგინოთ ან დაასრულოთ დაკარგული ელემენტები ამ თანასწორობებში.

III. გაცნობა ახალ მასალაში

განცხადება ნაჩვენებია ეკრანზე:

"განტოლება არის ოქროს გასაღები, რომელიც ხსნის ყველა მათემატიკურ სეზამს."
თანამედროვე პოლონელი მათემატიკოსი ს.კოვალი

შეეცადეთ ჩამოაყალიბოთ ლოგარითმული განტოლების განმარტება. (განტოლება, რომელიც შეიცავს უცნობს ლოგარითმის ნიშნით).

განიხილეთ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება:ჟურნალიაx = b(სადაც a>0, a ≠ 1). ვინაიდან ლოგარითმული ფუნქცია იზრდება (ან მცირდება) დადებითი რიცხვების სიმრავლეზე და იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას, ფესვის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი b-სთვის ამ განტოლებას აქვს და მეტიც, მხოლოდ ერთი ამონახსნი და დადებითი.

დაიმახსოვრე ლოგარითმის განმარტება. ( x რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის ის მაჩვენებელი, რომელზედაც უნდა გაიზარდოს a ფუძე, რომ მივიღოთ x რიცხვი). ლოგარითმის განმარტებიდან დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს, რომ აinარის ასეთი გამოსავალი.

დაწერე სათაური: ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის მეთოდები

1. ლოგარითმის განმარტებით.

ასე იხსნება ფორმის მარტივი განტოლებები.

განიხილეთ No514 (ა): ამოხსენი განტოლება

როგორ სთავაზობთ მის მოგვარებას? (ლოგარითმის განმარტებით)

გადაწყვეტილება. , აქედან გამომდინარე 2x - 4 = 4; x = 4.

ამ ამოცანაში 2x - 4 > 0, ვინაიდან > 0, შესაბამისად, ზედმეტი ფესვები ვერ გამოჩნდება და არ არის საჭირო შემოწმება. პირობა 2x - 4 > 0 არ არის საჭირო ამ ამოცანის ამოსაწერად.

2. გაძლიერება(მოცემული გამოთქმის ლოგარითმიდან გადასვლა თავად ამ გამოთქმაზე).

განიხილეთ No. 519 (გ): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

რა თვისება შენიშნე? (ფუძეები ერთნაირია და ორი გამონათქვამის ლოგარითმები ტოლია). Რა შეიძლება გაკეთდეს? (გაძლიერება).

ამ შემთხვევაში, გასათვალისწინებელია, რომ ნებისმიერი ამონახსნი შეიცავს ყველა x-ს, რომლის ლოგარითმის გამონათქვამები დადებითია.

გამოსავალი: ODZ:

X2+8>0 დამატებითი უტოლობა

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

ორიგინალური განტოლების გაძლიერება

ვიღებთ განტოლებას x2+8= 8x+8

ვხსნით: x2-8x=0

პასუხი: 0; რვა

Ზოგადად ეკვივალენტურ სისტემაზე გადასვლა:

განტოლება

(სისტემა შეიცავს ზედმეტ პირობას - ერთ-ერთი უტოლობა შეიძლება იგნორირებული იყოს).

კითხვა კლასს: ამ სამი გამოსავალიდან რომელი მოგეწონათ ყველაზე მეტად? (მეთოდების განხილვა).

თქვენ გაქვთ უფლება გადაწყვიტოთ ნებისმიერი გზით.

3. ახალი ცვლადის დანერგვა.

განიხილეთ No. 520 (გ). .

რა შეამჩნიე? (ეს არის კვადრატული განტოლება log3x-ისთვის) რაიმე შემოთავაზება გაქვთ? (დანერგვა ახალი ცვლადი)

გადაწყვეტილება. ODZ: x > 0.

მოდით, მაშინ განტოლება მიიღებს ფორმას:. დისკრიმინანტი D > 0. ფესვები ვიეტას თეორემით:.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას: ან .

უმარტივესი ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნით, მივიღებთ:

პასუხი: 27;

4. განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი.

ამოხსენით განტოლება:.

ამოხსნა: ODZ: x>0, აიღეთ განტოლების ორივე მხარის ლოგარითმი 10 საფუძველში:

გამოიყენეთ ხარისხის ლოგარითმის თვისება:

(lgx + 3) lgx = 4

მოდით lgx = y, შემდეგ (y + 3)y = 4

, (D > 0) ფესვები ვიეტას თეორემის მიხედვით: y1 = -4 და y2 = 1.

დავუბრუნდეთ ჩანაცვლებას, მივიღებთ: lgx = -4,; logx = 1, .

პასუხი: 0.0001; ათი.

5. შემცირება ერთ ბაზაზე.

No523(c). ამოხსენით განტოლება:

ამოხსნა: ODZ: x>0. გადავიდეთ მე-3 ბაზაზე.

6. ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი.

№ 509 (დ).გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება: = 3 - x.

როგორ გვთავაზობ გადაჭრას? (ააგეთ ორი ფუნქციის გრაფიკები y \u003d log2x და y \u003d 3 - x წერტილებით და მოძებნეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციზა).

იხილეთ თქვენი გამოსავალი სლაიდზე.

არის თუ არა შეთქმულების თავიდან აცილების საშუალება . ეს არის შემდეგი : თუ ერთ-ერთი ფუნქცია y = f(x) იზრდება და სხვა y = g(x) მცირდება X ინტერვალზე, შემდეგ განტოლებაზე f(x)=g(x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი X ინტერვალზე.

თუ ფესვი არსებობს, მაშინ მისი გამოცნობა შეიძლება.

ჩვენს შემთხვევაში, ფუნქცია იზრდება x>0-სთვის, ხოლო ფუნქცია y \u003d 3 - x მცირდება x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის, მათ შორის x>0, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას არ აქვს ერთზე მეტი ფესვი. გაითვალისწინეთ, რომ x = 2-ისთვის, განტოლება გადაიქცევა ნამდვილ ტოლობაში, ვინაიდან .

”მეთოდების სწორი გამოყენება შეიძლება ვისწავლოთ,
მხოლოდ მათი გამოყენებით სხვადასხვა მაგალითებზე.
დანიელი მათემატიკის ისტორიკოსი G.G. Zeiten

მეV. საშინაო დავალება

გვ. 39 განიხილეთ მაგალითი 3, ამოხსენით No. 514 (b), No. 529 (b), No. 520 (b), No. 523 (b)

V. გაკვეთილის შეჯამება

ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნის რა მეთოდები გავითვალისწინეთ გაკვეთილზე?

შემდეგ გაკვეთილებში ჩვენ განვიხილავთ უფრო რთულ განტოლებებს. მათ გადასაჭრელად გამოსადეგია შესწავლილი მეთოდები.

ბოლო სლაიდის ჩვენება:

„რა არის მსოფლიოში ყველაფერზე მეტი?
ფართი.
რა არის ყველაზე ბრძენი?
დრო.
რა არის ყველაზე სასიამოვნო?
მიაღწიე იმას, რაც გინდა."
თალესი

მინდა, ყველამ მიაღწიოს იმას, რაც სურს. გმადლობთ თანამშრომლობისა და გაგებისთვის.

ამ ვიდეოთი ვიწყებ გაკვეთილების გრძელ სერიას ლოგარითმული განტოლებების შესახებ. ახლა თქვენ გაქვთ სამი მაგალითი ერთდროულად, რომლის საფუძველზეც ჩვენ ვისწავლით უმარტივესი ამოცანების ამოხსნას, რომელსაც ე.წ. პროტოზოა.

ჟურნალი 0.5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

შეგახსენებთ, რომ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება შემდეგია:

log a f(x) = b

მნიშვნელოვანია, რომ x ცვლადი იყოს მხოლოდ არგუმენტის შიგნით, ანუ მხოლოდ f(x) ფუნქციაში. ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში არ არის x ცვლადის შემცველი ფუნქციები.

გადაწყვეტის ძირითადი მეთოდები

ასეთი სტრუქტურების გადაჭრის მრავალი გზა არსებობს. მაგალითად, მასწავლებლების უმეტესობა სკოლაში გვთავაზობს შემდეგს: დაუყოვნებლივ გამოხატეთ ფუნქცია f ( x ) ფორმულის გამოყენებით ვ( x) = ბ . ანუ, როდესაც შეხვდებით უმარტივეს კონსტრუქციას, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ გადახვიდეთ გამოსავალზე დამატებითი ქმედებებისა და კონსტრუქციების გარეშე.

დიახ, რა თქმა უნდა, გადაწყვეტილება სწორი აღმოჩნდება. თუმცა, ამ ფორმულის პრობლემა ის არის, რომ სტუდენტების უმეტესობა ვერ გავიგე, საიდან მოდის და ზუსტად რატომ ვზრდით a ასოს b ასოზე.

შედეგად, მე ხშირად ვაკვირდები ძალიან შეურაცხმყოფელ შეცდომებს, როდესაც, მაგალითად, ეს ასოები ერთმანეთს ცვლის. ეს ფორმულა ან უნდა იყოს გაგებული ან დამახსოვრება, ხოლო მეორე მეთოდი იწვევს შეცდომებს ყველაზე შეუფერებელ და ყველაზე გადამწყვეტ მომენტებში: გამოცდებში, ტესტებში და ა.შ.

ამიტომ ყველა ჩემს მოსწავლეს ვთავაზობ, მიატოვონ სტანდარტული სასკოლო ფორმულა და გამოიყენონ მეორე მიდგომა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად, რომელსაც, როგორც სახელიდან ალბათ მიხვდით, ე.წ. კანონიკური ფორმა.

კანონიკური ფორმის იდეა მარტივია. მოდით კიდევ ერთხელ გადავხედოთ ჩვენს ამოცანას: მარცხნივ გვაქვს log a , ხოლო ასო a ნიშნავს ზუსტად რიცხვს და არავითარ შემთხვევაში x ცვლადის შემცველ ფუნქციას. ამიტომ, ეს წერილი ექვემდებარება ყველა შეზღუდვას, რომელიც დაწესებულია ლოგარითმის საფუძველზე. კერძოდ:

1 ≠ a > 0

მეორე მხრივ, იგივე განტოლებიდან ვხედავთ, რომ ლოგარითმი უნდა იყოს b რიცხვის ტოლი და ამ ასოზე არანაირი შეზღუდვა არ არის დაწესებული, რადგან მას შეუძლია მიიღოს ნებისმიერი მნიშვნელობა - დადებითიც და უარყოფითიც. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მნიშვნელობებს იღებს ფუნქცია f(x).

და აქ ჩვენ გვახსოვს ჩვენი შესანიშნავი წესი, რომ ნებისმიერი b რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმის სახით a ბაზაში a-დან b-ის ხარისხამდე:

b = log a a b

როგორ გავიხსენოთ ეს ფორმულა? დიახ, ძალიან მარტივი. დავწეროთ შემდეგი კონსტრუქცია:

b = b 1 = b log a a

რა თქმა უნდა, ამ შემთხვევაში, ჩნდება ყველა ის შეზღუდვა, რაც თავიდანვე დავწერეთ. ახლა კი გამოვიყენოთ ლოგარითმის ძირითადი თვისება და შევიტანოთ b ფაქტორი a-ს ხარისხად. ჩვენ ვიღებთ:

b = b 1 = b log a a = log a a b

შედეგად, ორიგინალური განტოლება გადაიწერება შემდეგი ფორმით:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Სულ ეს არის. ახალი ფუნქცია აღარ შეიცავს ლოგარითმს და წყდება სტანდარტული ალგებრული ტექნიკით.

რა თქმა უნდა, ახლა ვინმე გააპროტესტებს: რატომ იყო საჭირო საერთოდ რაიმე კანონიკური ფორმულის გამომუშავება, რატომ უნდა შესრულდეს ორი დამატებითი არასაჭირო ნაბიჯი, თუ შესაძლებელი იყო დაუყოვნებლივ გადასვლა ორიგინალური კონსტრუქციიდან საბოლოო ფორმულამდე? დიახ, მხოლოდ იმიტომ, რომ სტუდენტების უმეტესობას არ ესმის, საიდან მოდის ეს ფორმულა და, შედეგად, რეგულარულად უშვებენ შეცდომებს მისი გამოყენებისას.

მაგრამ მოქმედებების ასეთი თანმიმდევრობა, რომელიც შედგება სამი საფეხურისგან, საშუალებას გაძლევთ ამოხსნათ ორიგინალური ლოგარითმული განტოლება, მაშინაც კი, თუ არ გესმით, საიდან მოდის ეს საბოლოო ფორმულა. სხვათა შორის, ამ ჩანაწერს ეწოდება კანონიკური ფორმულა:

log a f(x) = log a a b

კანონიკური ფორმის მოხერხებულობა ასევე მდგომარეობს იმაში, რომ მისი გამოყენება შესაძლებელია ლოგარითმული განტოლებების ძალიან ფართო კლასის გადასაჭრელად და არა მხოლოდ უმარტივესთათვის, რომლებსაც დღეს განვიხილავთ.

გადაწყვეტის მაგალითები

ახლა მოდით შევხედოთ რეალურ მაგალითებს. ასე რომ გადავწყვიტოთ:

ჟურნალი 0.5 (3x - 1) = -3

გადავიწეროთ ასე:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

ბევრი სტუდენტი ჩქარობს და ცდილობს დაუყოვნებლივ აიყვანოს რიცხვი 0.5 იმ სიმძლავრემდე, რომელიც ჩვენამდე მოვიდა საწყისი პრობლემისგან. და მართლაც, როდესაც უკვე კარგად ხართ გაწვრთნილი ასეთი პრობლემების გადაჭრაში, შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ შეასრულოთ ეს ნაბიჯი.

თუმცა, თუ ახლავე იწყებთ ამ თემის შესწავლას, უმჯობესია არსად იჩქაროთ, რათა შეურაცხმყოფელი შეცდომები არ დაუშვათ. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს კანონიკური ფორმა. Ჩვენ გვაქვს:

3x - 1 = 0.5 -3

ეს აღარ არის ლოგარითმული განტოლება, არამედ წრფივი განტოლება x ცვლადის მიმართ. მის ამოსახსნელად ჯერ მივმართოთ რიცხვს 0,5 −3-ის ხარისხზე. გაითვალისწინეთ, რომ 0.5 არის 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას ყველა ათწილადი გადააქციეთ წილადებად.

ჩვენ ხელახლა ვწერთ და ვიღებთ:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

ყველა მივიღეთ პასუხი. პირველი ამოცანა მოგვარებულია.

მეორე დავალება

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

როგორც ხედავთ, ეს განტოლება აღარ არის უმარტივესი. მხოლოდ იმიტომ, რომ განსხვავება მარცხნივ არის და არც ერთი ლოგარითმი ერთ ბაზაში.

ამიტომ, თქვენ უნდა როგორმე მოიცილოთ ეს განსხვავება. ამ შემთხვევაში ყველაფერი ძალიან მარტივია. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ფუძეებს: მარცხნივ არის რიცხვი ფესვის ქვეშ:

ზოგადი რეკომენდაცია: ყველა ლოგარითმულ განტოლებაში შეეცადეთ თავი დააღწიოთ რადიკალებს, ე.ი. ნოტაცია მნიშვნელოვნად ამარტივებს და აჩქარებს გამოთვლებს. მოდით დავწეროთ ასე:

ახლა გავიხსენებთ ლოგარითმის გასაოცარ თვისებას: არგუმენტიდან, ისევე როგორც ფუძიდან, შეგიძლიათ აიღოთ გრადუსები. ბაზების შემთხვევაში ხდება შემდეგი:

log a k b = 1/k ლოგა ბ

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი, რომელიც იდგა ფუძის ხარისხში, წინ მიიწევს და ამავდროულად გადატრიალდება, ანუ ხდება რიცხვის ორმხრივი. ჩვენს შემთხვევაში, იყო ბაზის ხარისხი 1/2 ინდიკატორით. მაშასადამე, შეგვიძლია გამოვიტანოთ 2/1-ად. ჩვენ ვიღებთ:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: არავითარ შემთხვევაში არ უნდა მოიცილოთ ლოგარითმები ამ ეტაპზე. დაფიქრდით 4-5 კლასის მათემატიკაზე და მოქმედებების თანმიმდევრობაზე: ჯერ კეთდება გამრავლება და მხოლოდ ამის შემდეგ შეკრება და გამოკლება. ამ შემთხვევაში, ჩვენ გამოვაკლებთ ერთსა და იმავე ელემენტს 10 ელემენტს:

9 ჟურნალი 5 x = 18
ჟურნალი 5 x = 2

ახლა ჩვენი განტოლება გამოიყურება ისე, როგორც უნდა. ეს არის უმარტივესი კონსტრუქცია და ჩვენ მას ვხსნით კანონიკური ფორმის გამოყენებით:

ჟურნალი 5 x = ჟურნალი 5 5 2
x = 5 2
x=25

Სულ ეს არის. მეორე პრობლემა მოგვარებულია.

მესამე მაგალითი

გადავიდეთ მესამე დავალებაზე:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

გაიხსენეთ შემდეგი ფორმულა:

ჟურნალი b = ჟურნალი 10 ბ

თუ რაიმე მიზეზით დაბნეული ხართ lg b წერით, მაშინ ყველა გამოთვლების შესრულებისას შეგიძლიათ უბრალოდ ჩაწეროთ log 10 b. თქვენ შეგიძლიათ იმუშაოთ ათობითი ლოგარითმებთან ისევე, როგორც სხვებთან: ამოიღეთ სიმძლავრეები, დაამატეთ და წარმოადგინეთ ნებისმიერი რიცხვი, როგორც lg 10.

სწორედ ამ თვისებებს გამოვიყენებთ პრობლემის გადასაჭრელად, რადგან ეს არ არის უმარტივესი ის, რაც ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში დავწერეთ.

დასაწყისისთვის, გაითვალისწინეთ, რომ კოეფიციენტი 2 lg 5-მდე შეიძლება იყოს ჩასმული და ხდება 5-ის ბაზის სიმძლავრე. გარდა ამისა, თავისუფალი ტერმინი 3 ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლოგარითმად - ამის დაკვირვება ძალიან ადვილია ჩვენი აღნიშვნით.

თავად განსაჯეთ: ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ჟურნალი 10-ის ბაზაზე:

3 = ჟურნალი 10 10 3 = ჟურნალი 10 3

მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური პრობლემა მიღებული ცვლილებების გათვალისწინებით:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

ჩვენს წინაშე ისევ არის კანონიკური ფორმა და ჩვენ მივიღეთ იგი გარდაქმნების სტადიის გვერდის ავლით, ანუ უმარტივესი ლოგარითმული განტოლება ჩვენთან არსად გამოსულა.

სწორედ ამაზე ვსაუბრობდი გაკვეთილის დასაწყისში. კანონიკური ფორმა იძლევა უფრო ფართო კლასის პრობლემების გადაჭრის საშუალებას, ვიდრე სტანდარტული სკოლის ფორმულა, რომელიც მოცემულია სკოლის მასწავლებლების უმეტესობის მიერ.

სულ ეს არის, ჩვენ ვაშორებთ ათობითი ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ მარტივ წრფივ კონსტრუქციას:

x + 3 = 25000
x = 24997

ყველა! პრობლემა მოგვარებულია.

შენიშვნა მოცულობის შესახებ

აქვე მინდა გავაკეთო მნიშვნელოვანი შენიშვნა განმარტების სფეროსთან დაკავშირებით. რა თქმა უნდა, ახლა არიან სტუდენტები და მასწავლებლები, რომლებიც იტყვიან: "როდესაც ჩვენ ვხსნით გამონათქვამებს ლოგარითმებით, აუცილებელია გვახსოვდეს, რომ არგუმენტი f (x) უნდა იყოს ნულზე მეტი!" ამასთან დაკავშირებით ჩნდება ლოგიკური კითხვა: რატომ არც ერთ განხილულ პრობლემაში არ მოვითხოვეთ ამ უთანასწორობის დაკმაყოფილება?

Არ ინერვიულო. ამ შემთხვევებში ზედმეტი ფესვები არ გამოჩნდება. და ეს არის კიდევ ერთი შესანიშნავი ხრიკი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ დააჩქაროთ გადაწყვეტა. უბრალოდ იცოდეთ, რომ თუ პრობლემაში ცვლადი x გვხვდება მხოლოდ ერთ ადგილას (უფრო სწორად, ერთი და ერთადერთი ლოგარითმის ერთადერთ არგუმენტში), და ჩვენს შემთხვევაში სხვაგან არსად არის ცვლადი x, მაშინ ჩაწერეთ დომენი. არ არის საჭირორადგან ის ავტომატურად იმუშავებს.

თავად განსაჯეთ: პირველ განტოლებაში მივიღეთ, რომ 3x - 1, ანუ არგუმენტი უნდა იყოს 8-ის ტოლი. ეს ავტომატურად ნიშნავს, რომ 3x - 1 იქნება ნულზე მეტი.

იგივე წარმატებით შეგვიძლია დავწეროთ, რომ მეორე შემთხვევაში x უნდა იყოს 5 2-ის ტოლი, ანუ, რა თქმა უნდა, ნულზე მეტია. და მესამე შემთხვევაში, სადაც x + 3 = 25,000, ანუ ისევ, აშკარად მეტია ნულზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მასშტაბი ავტომატურია, მაგრამ მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ x ხდება მხოლოდ ერთი ლოგარითმის არგუმენტში.

ეს არის ყველაფერი რაც თქვენ უნდა იცოდეთ მარტივი პრობლემების გადასაჭრელად. მარტო ეს წესი, ტრანსფორმაციის წესებთან ერთად, საშუალებას მოგცემთ გადაჭრათ საკმაოდ ფართო კლასის პრობლემები.

მაგრამ მოდით ვიყოთ გულახდილები: ამ ტექნიკის საბოლოოდ გასაგებად, იმისთვის, რომ ვისწავლოთ ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმის გამოყენება, საკმარისი არ არის მხოლოდ ერთი ვიდეო გაკვეთილის ყურება. ამიტომ, ახლავე, ჩამოტვირთეთ დამოუკიდებელი გადაწყვეტის ვარიანტები, რომლებიც თან ერთვის ამ ვიდეო გაკვეთილს და დაიწყეთ ამ ორი დამოუკიდებელი სამუშაოდან მინიმუმ ერთის ამოხსნა.

სულ რამდენიმე წუთი დაგჭირდებათ. მაგრამ ასეთი ტრენინგის ეფექტი გაცილებით მაღალი იქნება, ვიდრე უბრალოდ უყურეთ ამ ვიდეო გაკვეთილს.

იმედი მაქვს, ეს გაკვეთილი დაგეხმარებათ ლოგარითმული განტოლებების გაგებაში. გამოიყენეთ კანონიკური ფორმა, გაამარტივეთ გამონათქვამები ლოგარითმებთან მუშაობის წესების გამოყენებით - და არ შეგეშინდებათ რაიმე დავალების. და სულ ეს მაქვს დღეისთვის.

ფარგლების განხილვა

ახლა მოდით ვისაუბროთ ლოგარითმული ფუნქციის დომენზე, ასევე იმაზე, თუ როგორ მოქმედებს ეს ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნაზე. განვიხილოთ ფორმის კონსტრუქცია

log a f(x) = b

ასეთ გამონათქვამს უმარტივესს უწოდებენ - მას აქვს მხოლოდ ერთი ფუნქცია, ხოლო a და b რიცხვები მხოლოდ რიცხვებია და არავითარ შემთხვევაში არ არის ფუნქცია, რომელიც დამოკიდებულია x ცვლადზე. მოგვარებულია ძალიან მარტივად. თქვენ უბრალოდ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა:

b = log a a b

ეს ფორმულა ლოგარითმის ერთ-ერთი მთავარი თვისებაა და ჩვენს თავდაპირველ გამოხატულებაში ჩანაცვლებისას ვიღებთ შემდეგს:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

ეს უკვე ნაცნობი ფორმულაა სასკოლო სახელმძღვანელოებიდან. ბევრ სტუდენტს ალბათ გაუჩნდება შეკითხვა: რადგან ფუნქცია f ( x) თავდაპირველ გამოსახულებაში არის ჟურნალის ნიშნის ქვეშ, მასზე დაწესებულია შემდეგი შეზღუდვები:

f(x) > 0

ეს შეზღუდვა მოქმედებს, რადგან უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმი არ არსებობს. მაშ, იქნებ ამ შეზღუდვის გამო უნდა შემოიღოთ პასუხების შემოწმება? იქნებ ისინი უნდა შეიცვალოს წყაროში?

არა, უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებებში დამატებითი შემოწმება არასაჭიროა. და ამიტომ. შეხედეთ ჩვენს საბოლოო ფორმულას:

f(x) = a b

ფაქტია, რომ რიცხვი a ნებისმიერ შემთხვევაში 0-ზე მეტია - ამ მოთხოვნასაც ლოგარითმი აწესებს. რიცხვი a არის საფუძველი. ამ შემთხვევაში ბ ნომრის შეზღუდვა არ არის დაწესებული. მაგრამ ამას არ აქვს მნიშვნელობა, რადგან რა ხარისხითაც არ უნდა ავწიოთ დადებითი რიცხვი, გამომავალზე მაინც მივიღებთ დადებით რიცხვს. ამრიგად, მოთხოვნა f (x) > 0 სრულდება ავტომატურად.

რაც ნამდვილად ღირს შემოწმება არის ფუნქციის ფარგლები ჟურნალის ნიშნის ქვეშ. შეიძლება იყოს საკმაოდ რთული დიზაინები და მათი გადაჭრის პროცესში აუცილებლად უნდა მიჰყვეთ მათ. მოდით შევხედოთ.

პირველი დავალება:

პირველი ნაბიჯი: გადაიყვანეთ წილადი მარჯვნივ. ჩვენ ვიღებთ:

ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშანს და ვიღებთ ჩვეულებრივ ირაციონალურ განტოლებას:

მიღებული ფესვებიდან მხოლოდ პირველი გვერგება, ვინაიდან მეორე ფესვი ნულზე ნაკლებია. ერთადერთი პასუხი იქნება ნომერი 9. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია. არ არის საჭირო დამატებითი შემოწმება, რომ გამონათქვამი ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ არის 0-ზე მეტი, რადგან ის არ არის მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განტოლების პირობით ის უდრის 2-ს. ამიტომ მოთხოვნა „ნულზე მეტი“ ავტომატურად დგება. კმაყოფილი.

გადავიდეთ მეორე დავალებაზე:

აქ ყველაფერი იგივეა. ჩვენ ხელახლა ვწერთ კონსტრუქციას, ვცვლით სამეულს:

ჩვენ ვაშორებთ ლოგარითმის ნიშნებს და ვიღებთ ირაციონალურ განტოლებას:

შეზღუდვების გათვალისწინებით ორივე ნაწილს ვაკვერცხებთ და ვიღებთ:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

ჩვენ ვხსნით მიღებულ განტოლებას დისკრიმინანტის საშუალებით:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = −1

x 2 \u003d -6

მაგრამ x = −6 არ გვერგება, რადგან თუ ამ რიცხვს ჩვენს უტოლობაში ჩავანაცვლებთ, მივიღებთ:

−6 + 4 = −2 < 0

ჩვენს შემთხვევაში, საჭიროა, რომ ის იყოს 0-ზე მეტი ან, უკიდურეს შემთხვევაში, ტოლი. მაგრამ x = −1 გვერგება:

−1 + 4 = 3 > 0

ერთადერთი პასუხი ჩვენს შემთხვევაში არის x = −1. ეს არის ყველაფერი გამოსავალი. მოდით დავუბრუნდეთ ჩვენი გამოთვლების საწყისს.

მთავარი დასკვნა ამ გაკვეთილიდან არის ის, რომ არ არის საჭირო ფუნქციის ლიმიტების შემოწმება უმარტივეს ლოგარითმულ განტოლებებში. რადგან გადაჭრის პროცესში ყველა შეზღუდვა სრულდება ავტომატურად.

თუმცა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თქვენ შეგიძლიათ საერთოდ დაივიწყოთ გადამოწმება. ლოგარითმულ განტოლებაზე მუშაობის პროცესში ის შესაძლოა გადაიქცეს ირაციონალურ განტოლებაში, რომელსაც ექნება თავისი შეზღუდვები და მოთხოვნები მარჯვენა მხარის მიმართ, რაც დღეს ვნახეთ ორ სხვადასხვა მაგალითში.

თავისუფლად მოაგვარეთ ასეთი პრობლემები და განსაკუთრებით ფრთხილად იყავით, თუ კამათს აქვს საფუძველი.

ლოგარითმული განტოლებები სხვადასხვა ფუძეებით

ჩვენ ვაგრძელებთ ლოგარითმული განტოლებების შესწავლას და კიდევ ორი ​​საკმაოდ საინტერესო ხრიკის ანალიზს, რომლითაც მოდურია უფრო რთული სტრუქტურების ამოხსნა. მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი ამოცანები:

log a f(x) = b

ამ აღნიშვნით a და b მხოლოდ რიცხვებია, ხოლო f (x) ფუნქციაში ცვლადი x უნდა იყოს წარმოდგენილი და მხოლოდ იქ, ანუ x უნდა იყოს მხოლოდ არგუმენტში. ჩვენ გარდაქმნის ასეთ ლოგარითმულ განტოლებებს კანონიკური ფორმის გამოყენებით. ამისათვის ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ

b = log a a b

და b მხოლოდ არგუმენტია. გადავიწეროთ ეს გამოთქმა შემდეგნაირად:

log a f(x) = log a a b

სწორედ ამის მიღწევას ვცდილობთ, რომ მარცხნივ და მარჯვნივ იყოს a ფუძის ლოგარითმი. ამ შემთხვევაში, ჩვენ შეგვიძლია, ფიგურალურად რომ ვთქვათ, გადავკვეთოთ ლოგის ნიშნები და მათემატიკის თვალსაზრისით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უბრალოდ გავაიგივებთ არგუმენტებს:

f(x) = a b

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ახალ გამონათქვამს, რომელიც გადაიჭრება ბევრად უფრო მარტივად. მოდით გამოვიყენოთ ეს წესი ჩვენს ამოცანებზე დღეს.

ასე რომ, პირველი დიზაინი:

პირველ რიგში აღვნიშნავ, რომ მარჯვნივ არის წილადი, რომლის მნიშვნელი არის log. როდესაც ხედავთ მსგავს გამონათქვამს, ღირს გაიხსენოთ ლოგარითმების შესანიშნავი თვისება:

რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს, რომ ნებისმიერი ლოგარითმი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი ლოგარითმის კოეფიციენტი ნებისმიერი ფუძით c. რა თქმა უნდა, 0< с ≠ 1.

ასე რომ: ამ ფორმულას აქვს ერთი შესანიშნავი განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ცვლადი c უდრის ცვლადს ბ. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიღებთ ფორმის კონსტრუქციას:

სწორედ ამ კონსტრუქციას ვაკვირდებით ჩვენი განტოლების მარჯვენა ნიშნიდან. შევცვალოთ ეს კონსტრუქცია log a b-ით, მივიღებთ:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თავდაპირველ ამოცანასთან შედარებით, ჩვენ შევცვალეთ არგუმენტი და ლოგარითმის საფუძველი. სამაგიეროდ, წილადის გადაბრუნება მოგვიწია.

შეგახსენებთ, რომ ნებისმიერი ხარისხის ბაზიდან გატანა შესაძლებელია შემდეგი წესით:

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, კოეფიციენტი k, რომელიც არის ფუძის ხარისხი, ამოღებულია შებრუნებული წილადის სახით. ამოვიღოთ შებრუნებული წილადის სახით:

წილადი ფაქტორის წინ დატოვება შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში ამ ჩანაწერს კანონიკურ ფორმად ვერ წარმოვადგენთ (ბოლოს და ბოლოს, კანონიკურ ფორმაში მეორე ლოგარითმის წინ დამატებითი ფაქტორი არ არის). მაშასადამე, წილადი 1/4 ჩავდოთ არგუმენტში ხარისხად:

ახლა ჩვენ ვაიგივებთ არგუმენტებს, რომელთა საფუძვლები იგივეა (და ჩვენ ნამდვილად გვაქვს იგივე საფუძვლები) და ვწერთ:

x + 5 = 1

x = −4

Სულ ეს არის. ჩვენ მივიღეთ პასუხი პირველ ლოგარითმულ განტოლებაზე. ყურადღება მიაქციეთ: თავდაპირველ პრობლემაში ცვლადი x გვხვდება მხოლოდ ერთ ჟურნალში და ის არის მის არგუმენტში. აქედან გამომდინარე, არ არის საჭირო დომენის შემოწმება და ჩვენი რიცხვი x = -4 ნამდვილად არის პასუხი.

ახლა გადავიდეთ მეორე გამოთქმაზე:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

აქ, ჩვეულებრივი ლოგარითმების გარდა, მოგვიწევს მუშაობა lg f (x)-თან. როგორ ამოხსნათ ასეთი განტოლება? შეიძლება მოუმზადებელ სტუდენტს მოეჩვენოს, რომ ეს რაღაც კალისაა, მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ელემენტარულად მოგვარებულია.

დააკვირდით ტერმინს lg 2 log 2 7. რა შეგვიძლია ვთქვათ მასზე? log-ისა და lg-ის საფუძვლები და არგუმენტები ერთი და იგივეა და ამან უნდა მოგვცეს გარკვეული მინიშნებები. კიდევ ერთხელ გავიხსენოთ, როგორ იღებენ გრადუსებს ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ:

log a b n = nlog a b

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რა იყო არგუმენტში b რიცხვის ძალა, ხდება ფაქტორი თავად ლოგის წინ. გამოვიყენოთ ეს ფორმულა გამონათქვამზე lg 2 log 2 7. ნუ შეგეშინდებათ lg 2 - ეს ყველაზე გავრცელებული გამოთქმაა. შეგიძლიათ გადაწეროთ ასე:

მისთვის მოქმედებს ყველა ის წესი, რომელიც ეხება ნებისმიერ სხვა ლოგარითმს. კერძოდ, წინა ფაქტორი შეიძლება შევიდეს არგუმენტის ძალაში. Მოდი დავწეროთ:

ძალიან ხშირად, სტუდენტები ცარიელი წერტილით ვერ ხედავენ ამ მოქმედებას, რადგან არ არის კარგი ერთი ჟურნალის შეყვანა მეორის ნიშნით. სინამდვილეში, ამაში კრიმინალური არაფერია. გარდა ამისა, ჩვენ ვიღებთ ფორმულას, რომლის გამოთვლა მარტივია, თუ გახსოვთ მნიშვნელოვანი წესი:

ეს ფორმულა შეიძლება ჩაითვალოს როგორც განმარტებად, ასევე მის ერთ-ერთ თვისებად. ნებისმიერ შემთხვევაში, თუ თქვენ გარდაქმნით ლოგარითმულ განტოლებას, თქვენ უნდა იცოდეთ ეს ფორმულა ისევე, როგორც ნებისმიერი რიცხვის წარმოდგენა ჟურნალის სახით.

ჩვენ ვუბრუნდებით ჩვენს დავალებას. ჩვენ ვწერთ მას იმის გათვალისწინებით, რომ ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ პირველი წევრი უბრალოდ ტოლი იქნება lg 7-ის. გვაქვს:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

გადავიტანოთ lg 7 მარცხნივ, მივიღებთ:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

ჩვენ გამოვაკლებთ მარცხნივ გამოსახულებებს, რადგან მათ აქვთ იგივე საფუძველი:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს მიერ მიღებულ განტოლებას. ის პრაქტიკულად კანონიკური ფორმაა, მაგრამ მარჯვნივ არის −3 ფაქტორი. მოდით ჩავწეროთ lg-ის სწორ არგუმენტში:

lg 8 = lg (x + 4) −3

ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ამიტომ გადავკვეთთ lg-ის ნიშნებს და ვაიგივებთ არგუმენტებს:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0.5

Სულ ეს არის! ჩვენ ამოვხსენით მეორე ლოგარითმული განტოლება. ამ შემთხვევაში დამატებითი შემოწმება არ არის საჭირო, რადგან თავდაპირველ პრობლემაში x მხოლოდ ერთ არგუმენტში იყო წარმოდგენილი.

ნება მომეცით გავიმეორო ამ გაკვეთილის ძირითადი პუნქტები.

მთავარი ფორმულა, რომელიც შესწავლილია ამ გვერდის ყველა გაკვეთილზე, რომელიც ეძღვნება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნას, არის კანონიკური ფორმა. და არ შეგაწუხოთ ის ფაქტი, რომ სასკოლო სახელმძღვანელოების უმეტესობა გასწავლით თუ როგორ უნდა მოაგვაროთ მსგავსი პრობლემები სხვაგვარად. ეს ინსტრუმენტი მუშაობს ძალიან ეფექტურად და საშუალებას გაძლევთ გადაჭრას პრობლემების ბევრად უფრო ფართო კლასი, ვიდრე უმარტივესი, რომელიც ჩვენ შევისწავლეთ ჩვენი გაკვეთილის დასაწყისში.

გარდა ამისა, ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად, სასარგებლო იქნება ძირითადი თვისებების ცოდნა. კერძოდ:

1. ერთ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა და სპეციალური შემთხვევა, როცა ლოგის გადახვევა (ეს ძალიან გამოგვადგება პირველ ამოცანაში);
2. ლოგარითმის ნიშნის ქვეშ ძალაუფლების შემოტანისა და ამოღების ფორმულა. აქ ბევრი სტუდენტი იჭედება და ვერ ხედავს ცარიელ წერტილს, რომ ამოღებული და შემოტანილი დენი შეიძლება შეიცავდეს ჟურნალს f (x). ამაში ცუდი არაფერია. ჩვენ შეგვიძლია შემოვიტანოთ ერთი ჟურნალი მეორის ნიშნის მიხედვით და ამავდროულად მნიშვნელოვნად გავამარტივოთ პრობლემის გადაწყვეტა, რასაც ვაკვირდებით მეორე შემთხვევაში.

დასასრულს, მინდა დავამატო, რომ არ არის საჭირო სპექტის შემოწმება თითოეულ ამ შემთხვევაში, რადგან ყველგან ცვლადი x იმყოფება ლოგის მხოლოდ ერთ ნიშანში და ამავე დროს არის მის არგუმენტში. შედეგად, დომენის ყველა მოთხოვნა ავტომატურად სრულდება.

ცვლადი ბაზის პრობლემები

დღეს განვიხილავთ ლოგარითმულ განტოლებებს, რომლებიც ბევრი სტუდენტისთვის არასტანდარტულად გამოიყურება, თუ მთლად ამოუხსნელი. ჩვენ ვსაუბრობთ გამონათქვამებზე, რომლებიც ეფუძნება არა რიცხვებს, არამედ ცვლადებს და ლუწი ფუნქციებს. ჩვენ მოვაგვარებთ ასეთ კონსტრუქციებს ჩვენი სტანდარტული ტექნიკით, კერძოდ, კანონიკური ფორმის საშუალებით.

დასაწყისისთვის, გავიხსენოთ, როგორ წყდება უმარტივესი ამოცანები, რომლებიც დაფუძნებულია ჩვეულებრივ რიცხვებზე. ასე რომ, უმარტივესი კონსტრუქცია ე.წ

log a f(x) = b

ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად შეგვიძლია გამოვიყენოთ შემდეგი ფორმულა:

b = log a a b

ჩვენ გადავწერთ ჩვენს თავდაპირველ გამონათქვამს და ვიღებთ:

log a f(x) = log a a b

შემდეგ ვაიგივებთ არგუმენტებს, ანუ ვწერთ:

f(x) = a b

ამრიგად, ჩვენ ვიშორებთ ლოგის ნიშანს და მოვაგვარებთ ჩვეულებრივ პრობლემას. ამ შემთხვევაში ხსნარში მიღებული ფესვები იქნება თავდაპირველი ლოგარითმული განტოლების ფესვები. გარდა ამისა, ჩანაწერს, როდესაც მარცხენა და მარჯვენა ერთი და იგივე ფუძით ერთსა და იმავე ლოგარითმზეა, კანონიკური ფორმა ეწოდება. სწორედ ამ რეკორდზე შევეცდებით დღევანდელი მშენებლობების შემცირებას. ასე რომ წავიდეთ.

პირველი დავალება:

ჟურნალი x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

ჩაანაცვლეთ 1 ჟურნალით x − 2 (x − 2) 1 . ხარისხი, რომელსაც ჩვენ ვაკვირდებით არგუმენტში არის, ფაქტობრივად, რიცხვი b, რომელიც იყო ტოლობის ნიშნის მარჯვნივ. მოდით გადავიწეროთ ჩვენი გამოთქმა. ჩვენ ვიღებთ:

ჟურნალი x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = ჟურნალი x - 2 (x - 2)

რას ვხედავთ? ჩვენს წინაშეა ლოგარითმული განტოლების კანონიკური ფორმა, ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გავაიგივოთ არგუმენტები. ჩვენ ვიღებთ:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

მაგრამ გამოსავალი ამით არ მთავრდება, რადგან ეს განტოლება არ არის ორიგინალის ექვივალენტური. ყოველივე ამის შემდეგ, შედეგად მიღებული კონსტრუქცია შედგება ფუნქციებისგან, რომლებიც განსაზღვრულია მთელ რიცხვთა წრფეზე და ჩვენი თავდაპირველი ლოგარითმები არ არის განსაზღვრული ყველგან და არა ყოველთვის.

ამიტომ, ჩვენ ცალკე უნდა ჩავწეროთ განმარტების დომენი. ნუ ვიქნებით უფრო ბრძენი და ჯერ ჩამოვწერეთ ყველა მოთხოვნა:

პირველი, თითოეული ლოგარითმის არგუმენტი უნდა იყოს 0-ზე მეტი:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

მეორეც, ბაზა უნდა იყოს არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ განსხვავებული 1-ისგან:

x − 2 ≠ 1

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

მაგრამ არ ინერვიულოთ: ლოგარითმული განტოლებების დამუშავებისას, ასეთი სისტემა შეიძლება მნიშვნელოვნად გამარტივდეს.

თავად განსაჯეთ: ერთი მხრივ, ჩვენგან მოეთხოვებათ, რომ კვადრატული ფუნქცია იყოს ნულზე მეტი, ხოლო მეორე მხრივ, ეს კვადრატული ფუნქცია უტოლდება გარკვეულ წრფივ გამოსახულებას, რომელიც ასევე საჭიროა, რომ ის იყოს ნულზე მეტი.

ამ შემთხვევაში, თუ მოვითხოვთ, რომ x − 2 > 0, მაშინ მოთხოვნა 2x 2 − 13x + 18 > 0 ასევე ავტომატურად დაკმაყოფილდება, ამიტომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ გადავკვეთოთ კვადრატული ფუნქციის შემცველი უტოლობა. ამრიგად, ჩვენს სისტემაში შემავალი გამონათქვამების რაოდენობა სამამდე შემცირდება.

რა თქმა უნდა, ჩვენ ასევე შეგვიძლია გადავკვეთოთ წრფივი უტოლობა, ანუ გადავკვეთოთ x - 2 > 0 და მოვითხოვოთ 2x 2 - 13x + 18 > 0. მაგრამ უნდა აღიაროთ, რომ უმარტივესი წრფივი უტოლობის ამოხსნა ბევრად უფრო სწრაფი და მარტივია. ვიდრე კვადრატული, თუნდაც მთელი ამ სისტემის ამოხსნის შედეგად მივიღოთ იგივე ფესვები.

ზოგადად, შეეცადეთ გათვლების ოპტიმიზაცია შეძლებისდაგვარად. ხოლო ლოგარითმული განტოლებების შემთხვევაში გადაკვეთეთ ურთულესი უტოლობა.

მოდით გადავწეროთ ჩვენი სისტემა:

აქ არის სამი გამონათქვამის ასეთი სისტემა, რომელთაგან ორი ჩვენ, ფაქტობრივად, უკვე გავარკვიეთ. ცალკე დავწეროთ კვადრატული განტოლება და მოვაგვაროთ:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

ჩვენს წინაშე არის შემცირებული კვადრატული ტრინომი და, შესაბამისად, შეგვიძლია გამოვიყენოთ Vieta ფორმულები. ჩვენ ვიღებთ:

(x − 5) (x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

ახლა, ჩვენს სისტემას დავუბრუნდებით, აღმოვაჩენთ, რომ x = 2 არ გვერგება, რადგან ჩვენ გვჭირდება x მკაცრად მეტი 2-ზე.

მაგრამ x \u003d 5 საკმაოდ კარგად გვერგება: რიცხვი 5 მეტია 2-ზე და ამავე დროს 5 არ არის 3-ის ტოლი. ამიტომ, ამ სისტემის ერთადერთი გამოსავალი იქნება x \u003d 5.

ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია, მათ შორის ODZ-ის გათვალისწინებით. გადავიდეთ მეორე განტოლებაზე. აქ ჩვენ ველოდებით უფრო საინტერესო და მნიშვნელოვანი გამოთვლებს:

პირველი ნაბიჯი: ისევე როგორც ბოლო დროს, ჩვენ ყველა ამ საქმეს მივყავართ კანონიკურ ფორმაში. ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია დავწეროთ რიცხვი 9 შემდეგნაირად:

ფესვთან ფუძეს შეხება არ შეიძლება, მაგრამ უმჯობესია არგუმენტის გარდაქმნა. მოდით გადავიდეთ ძირიდან ძალაზე რაციონალური მაჩვენებლით. Მოდი დავწეროთ:

ნება მომეცით არ გადავწერო მთელი ჩვენი დიდი ლოგარითმული განტოლება, მაგრამ დაუყოვნებლივ გავაიგივოთ არგუმენტები:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

ჩვენს წინაშე არის ისევ შემცირებული კვადრატული ტრინომი, ჩვენ გამოვიყენებთ Vieta ფორმულებს და დავწერთ:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

ასე რომ, ჩვენ მივიღეთ ფესვები, მაგრამ არავინ გვაძლევს გარანტიას, რომ ისინი მოერგება თავდაპირველ ლოგარითმულ განტოლებას. ბოლოს და ბოლოს, ჟურნალის ნიშნები აწესებს დამატებით შეზღუდვებს (აქ ჩვენ მოგვიწევს სისტემის ჩაწერა, მაგრამ მთელი კონსტრუქციის უხერხულობის გამო, გადავწყვიტე ცალკე გამოვთვალო განმარტების დომენი).

პირველ რიგში, გახსოვდეთ, რომ არგუმენტები უნდა იყოს 0-ზე მეტი, კერძოდ:

ეს არის მოთხოვნები, რომლებიც დაწესებულია განმარტების დომენით.

ჩვენ მაშინვე აღვნიშნავთ, რომ ვინაიდან სისტემის პირველ ორ გამონათქვამს ერთმანეთს ვაიგივებთ, შეგვიძლია რომელიმე მათგანის გადაკვეთა. მოდით გადავკვეთოთ პირველი, რადგან ის უფრო საშიში ჩანს, ვიდრე მეორე.

გარდა ამისა, გაითვალისწინეთ, რომ მეორე და მესამე უტოლობების ამონახსნები იქნება იგივე სიმრავლეები (ზოგიერთი რიცხვის კუბი მეტია ნულზე, თუ ეს რიცხვი თავად არის ნულზე მეტი; ანალოგიურად მესამე ხარისხის ფესვთან ერთად - ეს უტოლობა არის სრულიად მსგავსი, ასე რომ, ერთ-ერთი მათგანი შეგვიძლია გადავკვეთოთ).

მაგრამ მესამე უთანასწორობით, ეს არ იმუშავებს. მოვიშოროთ რადიკალი მარცხნივ ნიშანს, რისთვისაც ორივე ნაწილს ავწევთ კუბამდე. ჩვენ ვიღებთ:

ასე რომ, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ მოთხოვნებს:

−2 ≠ x > −3

რომელი ჩვენი ფესვები: x 1 = -3 თუ x 2 = -1 აკმაყოფილებს ამ მოთხოვნებს? ცხადია, მხოლოდ x = −1, რადგან x = −3 არ აკმაყოფილებს პირველ უტოლობას (რადგან ჩვენი უტოლობა მკაცრია). საერთო ჯამში, ჩვენს პრობლემას რომ დავუბრუნდეთ, ვიღებთ ერთ ფესვს: x = −1. ესე იგი, პრობლემა მოგვარებულია.

კიდევ ერთხელ, ამ ამოცანის ძირითადი პუნქტები:

1. მოგერიდებათ გამოიყენოთ და ამოხსნათ ლოგარითმული განტოლებები კანონიკური ფორმის გამოყენებით. მოსწავლეები, რომლებიც აკეთებენ ასეთ ჩანაწერს და არ მიდიან პირდაპირ თავდაპირველი ამოცანიდან ისეთ კონსტრუქციაზე, როგორიცაა log a f ( x ) = b , გაცილებით ნაკლებ შეცდომებს უშვებენ, ვიდრე ისინი, ვინც სადღაც ჩქარობენ, გამოტოვებენ გამოთვლების შუალედურ საფეხურებს;
2. როგორც კი ცვლადი ბაზა გამოჩნდება ლოგარითმში, პრობლემა წყვეტს უმარტივესს. ამიტომ მისი ამოხსნისას აუცილებელია გავითვალისწინოთ განსაზღვრების დომენი: არგუმენტები უნდა იყოს ნულზე მეტი, ხოლო ფუძეები არა მხოლოდ 0-ზე მეტი, არამედ 1-ის ტოლიც არ უნდა იყოს.

თქვენ შეგიძლიათ დააწესოთ ბოლო მოთხოვნები საბოლოო პასუხებზე სხვადასხვა გზით. მაგალითად, შესაძლებელია მთელი სისტემის გადაჭრა, რომელიც შეიცავს დომენის ყველა მოთხოვნას. მეორეს მხრივ, თქვენ შეგიძლიათ ჯერ თავად მოაგვაროთ პრობლემა, შემდეგ კი დაიმახსოვროთ განსაზღვრების სფერო, ცალკე დამუშავოთ იგი სისტემის სახით და გამოიყენოთ იგი მიღებულ ფესვებზე.

რომელი გზა აირჩიოს კონკრეტული ლოგარითმული განტოლების ამოხსნისას თქვენზეა დამოკიდებული. ნებისმიერ შემთხვევაში, პასუხი იგივე იქნება.