Ტოლფერდა სამკუთხედიარის სამკუთხედი, რომელშიც ორი გვერდი ტოლია სიგრძით. თანაბარ მხარეებს უწოდებენ გვერდითი, ხოლო ბოლო - ფუძე. განსაზღვრებით, რეგულარული სამკუთხედი ასევე ტოლფერდაა, მაგრამ საპირისპირო სიმართლე არ არის.

Თვისებები

• ტოლფერდა სამკუთხედის ტოლი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია. ამ კუთხიდან გამოყვანილი ბისექტრები, მედიანა და სიმაღლეები ასევე ტოლია.
• ბისექტორი, მედიანა, სიმაღლე და ფუძესთან პერპენდიკულური ბისექტორი ემთხვევა ერთმანეთს. ჩაწერილი და შემოხაზული წრეების ცენტრები დევს ამ ხაზზე.
• ტოლი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ყოველთვის მკვეთრია (გამოდის მათი თანასწორობიდან).

დაე იყოს აარის ტოლფერდა სამკუთხედის ორი ტოლი გვერდის სიგრძე, ბ- მესამე მხარის სიგრძე, α და β - შესაბამისი კუთხეები, რ- შემოხაზული წრის რადიუსი, რ- წარწერის რადიუსი.

მხარეები შეგიძლიათ ნახოთ შემდეგნაირად:

კუთხეები შეიძლება გამოიხატოს შემდეგნაირად:

ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი შეიძლება გამოითვალოს რომელიმე შემდეგი გზით:

სამკუთხედის ფართობი შეიძლება გამოითვალოს ერთ-ერთი შემდეგი გზით:

(ჰერონის ფორმულა).

ნიშნები

• სამკუთხედის ორი კუთხე ტოლია.
• სიმაღლე იგივეა, რაც მედიანა.
• სიმაღლე ემთხვევა ბისექტორს.
• ბისექტორი იგივეა, რაც მედიანა.
• ორი სიმაღლე თანაბარია.
• ორი მედიანა ტოლია.
• ორი ბისექტორი ტოლია (შტაინერ-ლემუსის თეორემა).

იხილეთ ასევე

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წ.

ნახეთ, რა არის "ტოლფერდა სამკუთხედი" სხვა ლექსიკონებში:

ISOSHELES TRIANGLE, სამკუთხედი, რომელსაც აქვს სიგრძეში ტოლი ორი გვერდი; ამ მხარეების კუთხეები ასევე ტოლია ... სამეცნიერო და ტექნიკური ენციკლოპედიური ლექსიკონი

და (მარტივი) სამკუთხედი, სამკუთხედი, ქმარი. 1. გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი ურთიერთგადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს (მათ.). ბლაგვი სამკუთხედი. მწვავე სამკუთხედი. მართკუთხა სამკუთხედი....... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

ISOSHELES, oy, oy: ტოლფერდა სამკუთხედი ორი თანაბარი გვერდით. | არსებითი სახელი ტოლფერდა და ცოლები. ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი. ს.ი. ოჟეგოვი, ნ.იუ. შვედოვა. 1949 1992... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

სამკუთხედი- ▲ სამკუთხედის მქონე მრავალკუთხედი უმარტივესი მრავალკუთხედია; მოცემულია 3 წერტილით, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. სამკუთხა. მწვავე კუთხე. მწვავე-კუთხოვანი. მართკუთხა სამკუთხედი: ფეხი. ჰიპოტენუზა. ტოლფერდა სამკუთხედი. ▼…… რუსული ენის იდეოგრაფიული ლექსიკონი

სამკუთხედი- სამკუთხედი1, რომლის a, m ან დეფ. ობიექტი, რომელსაც აქვს გეომეტრიული ფიგურის ფორმა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მან დაალაგა ქმრის წერილები, გაყვითლებული წინა ხაზის სამკუთხედები. სამკუთხედი2, a, m ... ... რუსული არსებითი სახელების განმარტებითი ლექსიკონი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სამკუთხედი (მნიშვნელობები). სამკუთხედი (ევკლიდეს სივრცეში) არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც ჩამოყალიბებულია სამი ხაზის სეგმენტით, რომლებიც აკავშირებს სამ არაწრფივ წერტილს. სამი წერტილი, ... ... ვიკიპედია

სამკუთხედი (მრავალკუთხედი)- სამკუთხედები: 1 მახვილი, მართკუთხა და ბლაგვი; 2 რეგულარული (ტოლგვერდა) და ტოლგვერდა; 3 ბისექტორი; 4 მედიანა და სიმძიმის ცენტრი; 5 სიმაღლე; 6 ორთოცენტრი; 7 შუა ხაზი. სამკუთხედი, მრავალკუთხედი 3 გვერდით. ხანდახან ქვეშ... ილუსტრირებული ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ენციკლოპედიური ლექსიკონი

სამკუთხედი- ა; მ 1) ა) გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მართკუთხა, ტოლფერდა სამკუთხედი/სელი. გამოთვალეთ სამკუთხედის ფართობი. ბ) რესპ. რა ან დეფით. ასეთი ფორმის ფიგურა ან ობიექტი ... ... მრავალი გამოთქმის ლექსიკონი

მაგრამ; მ 1. გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია სამი გადამკვეთი სწორი ხაზით, რომლებიც ქმნიან სამ შიდა კუთხეს. მართკუთხა, ტოლფერდა მ. გამოთვალეთ სამკუთხედის ფართობი. // რა ან დეფ. ასეთი ფორმის ფიგურა ან ობიექტი. თ სახურავი. T.…… ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გაკვეთილის თემა

Ტოლფერდა სამკუთხედი

გაკვეთილის მიზანი

გავაცნოთ მოსწავლეებს ტოლფერდა სამკუთხედს;
გააგრძელეთ მართკუთხა სამკუთხედების აგების უნარების ჩამოყალიბება;
გააფართოვოს სკოლის მოსწავლეების ცოდნა ტოლფერდა სამკუთხედების თვისებების შესახებ;
თეორიული ცოდნის კონსოლიდაცია პრობლემების გადაჭრაში.

გაკვეთილის მიზნები

შეძლოს ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებებზე თეორემის ფორმულირება, დამტკიცება და გამოყენება ამოცანების ამოხსნის პროცესში;
განაგრძეთ სასწავლო მასალის შეგნებული აღქმის, ლოგიკური აზროვნების, თვითკონტროლის და თვითშეფასების უნარების განვითარება;
მათემატიკის გაკვეთილების მიმართ შემეცნებითი ინტერესის გაღვივება;
განავითარეთ აქტივობა, ცნობისმოყვარეობა და ორგანიზებულობა.

Გაკვეთილის გეგმა

1. ზოგადი ცნებები და განმარტებები ტოლფერდა სამკუთხედის შესახებ.
2. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები.
3. ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნები.
4. კითხვები და ამოცანები.

Ტოლფერდა სამკუთხედი

ტოლფერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელსაც აქვს ორი ტოლი გვერდი, რომელსაც ეწოდება ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდები, ხოლო მის მესამე მხარეს - ფუძე.

ამ ფიგურის ზედა არის ის, რომელიც მდებარეობს მისი ბაზის საპირისპიროდ.

კუთხეს, რომელიც მდებარეობს ფუძის საპირისპიროდ, ეწოდება კუთხე ამ სამკუთხედის მწვერვალზე, ხოლო დანარჩენ ორ კუთხეს ეწოდება კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძესთან.

ტოლფერდა სამკუთხედების სახეები

ტოლფერდა სამკუთხედს, ისევე როგორც სხვა ფორმებს, შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული ტიპები. ტოლფერდა სამკუთხედებს მიეკუთვნება მახვილი, მართკუთხა, ბლაგვი და ტოლგვერდა სამკუთხედები.

მახვილ სამკუთხედს აქვს ყველა მახვილი კუთხე.
მართკუთხა სამკუთხედს აქვს მართი კუთხე თავის მწვერვალზე და მკვეთრი კუთხეები მის ფუძესთან.
ბლაგვს აქვს ბლაგვი კუთხე მწვერვალზე, ხოლო მკვეთრი კუთხეები მის ფუძესთან.
ტოლგვერდს აქვს ყველა კუთხე და გვერდი ტოლი.

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები

ტოლფერდა სამკუთხედის თანაბარი გვერდების მიმართ მოპირდაპირე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია;

სამკუთხედის თანაბარი გვერდების მოპირდაპირე კუთხებიდან გამოყვანილი ბისექტრები, მედიანა და სიმაღლეები ერთმანეთის ტოლია.

ბისექტორი, მედიანა და სიმაღლე, მიმართული და დახატული სამკუთხედის ფუძესთან, ემთხვევა ერთმანეთს.

ჩაწერილი და შემოხაზული წრეების ცენტრები დევს სიმაღლეზე, ბისექტორზე და მედიანაზე, (ისინი ემთხვევა) ფუძესთან მიყვანილი.

ტოლფერდა სამკუთხედის თანაბარი გვერდების მოპირდაპირე კუთხეები ყოველთვის მწვავეა.

ტოლფერდა სამკუთხედის ეს თვისებები გამოიყენება ამოცანების გადასაჭრელად.

Საშინაო დავალება

1. განსაზღვრეთ ტოლფერდა სამკუთხედი.
2. რა არის ამ სამკუთხედის თავისებურება?
3. რა განსხვავებაა ტოლფერდა სამკუთხედსა და მართკუთხა სამკუთხედს შორის?
4. დაასახელეთ თქვენთვის ცნობილი ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები.
5. როგორ ფიქრობთ, შესაძლებელია თუ არა პრაქტიკაში ძირში კუთხეების ტოლობის შემოწმება და როგორ გავაკეთოთ ეს?

ვარჯიში

ახლა კი ჩავატაროთ მოკლე ვიქტორინა და გავიგოთ, როგორ ისწავლეთ ახალი მასალა.

ყურადღებით მოუსმინეთ კითხვებს და უპასუხეთ არის თუ არა ჭეშმარიტი შემდეგი განცხადება:

1. შეიძლება თუ არა სამკუთხედი ჩაითვალოს ტოლკუთხედად, თუ მისი ორი გვერდი ტოლია?
2. ბისექტორი არის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს სამკუთხედის წვეროს მოპირდაპირე მხარის შუა წერტილთან?
3. არის თუ არა ბისექტორი სეგმენტი, რომელიც ყოფს კუთხეს, რომელიც ყოფს წვეროს მოპირდაპირე მხარეს მდებარე წერტილთან?

რჩევები ტოლფერდა სამკუთხედის ამოცანების გადაჭრისთვის:

1. ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრის დასადგენად საკმარისია გვერდის სიგრძე 2-ზე გავამრავლოთ და ეს ნამრავლი დავუმატოთ სამკუთხედის ფუძის სიგრძეს.
2. თუ ამოცანაში ცნობილია ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძის პერიმეტრი და სიგრძე, მაშინ გვერდითი გვერდის სიგრძის საპოვნელად საკმარისია ფუძის სიგრძე პერიმეტრს გამოვაკლოთ და ნაპოვნი სხვაობა გავყოთ 2-ზე. .
3. და ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძის სიგრძის საპოვნელად, გვერდის პერიმეტრიც და სიგრძეც რომ იცოდეთ, უბრალოდ უნდა გავამრავლოთ გვერდი ორზე და გამოვაკლოთ ეს ნამრავლი ჩვენი სამკუთხედის პერიმეტრს.

Დავალებები:

1. ნახატზე გამოსახულ სამკუთხედებს შორის დაადგინეთ ერთი დამატებითი და განმარტეთ თქვენი არჩევანი:

2. დაადგინეთ ნახატზე გამოსახული სამკუთხედებიდან რომელია ტოლფერდა, დაასახელეთ მათი ფუძეები და გვერდები და ასევე გამოთვალეთ მათი პერიმეტრი.

3. ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრია 21 სმ. იპოვეთ ამ სამკუთხედის გვერდები, თუ ერთ-ერთი მათგანი 3 სმ-ით დიდია.რამდენი ამონახსნი შეიძლება ჰქონდეს ამ ამოცანას?

4. ცნობილია, რომ თუ ერთი ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდითი გვერდი და ფუძის მოპირდაპირე კუთხე ტოლია გვერდითი გვერდის და მეორის კუთხის, მაშინ ეს სამკუთხედები ტოლი იქნება. დაამტკიცეთ ეს განცხადება.

5. დაფიქრდით და თქვით, არის თუ არა რომელიმე ტოლგვერდა სამკუთხედი ტოლგვერდა? და იქნება თუ არა რომელიმე ტოლგვერდა სამკუთხედი ტოლგვერდა?

6. თუ ტოლფერდა სამკუთხედის გვერდები 4 მ და 5 მ, მაშინ როგორი იქნება მისი პერიმეტრი? რამდენი გამოსავალი შეიძლება ჰქონდეს ამ პრობლემას?

7. თუ ტოლფერდა სამკუთხედის ერთ-ერთი კუთხე უდრის 91 გრადუსს, მაშინ რის ტოლია სხვა კუთხეები?

8. დაფიქრდი და უპასუხე, რა კუთხეები უნდა ჰქონდეს სამკუთხედს, რომ ერთდროულად იყოს მართკუთხა და ტოლფერდა?

იცით რა არის პასკალის სამკუთხედი? პასკალის სამკუთხედს ხშირად სთხოვენ პროგრამირების ძირითადი უნარების შესამოწმებლად. ზოგადად, პასკალის სამკუთხედი ეხება კომბინატორიკას და ალბათობის თეორიას. რა არის ეს სამკუთხედი?

პასკალის სამკუთხედი არის უსასრულო არითმეტიკული სამკუთხედი ან სამკუთხედის ფორმის ცხრილი, რომელიც იქმნება ბინომიალური კოეფიციენტების გამოყენებით. მარტივი სიტყვებით, ამ სამკუთხედის წვეროები და გვერდები ერთეულებია და ის ივსება ზემოთ მდებარე ორი რიცხვის ჯამებით. ასეთი სამკუთხედი შეგიძლიათ დაუმატოთ უსასრულობას, მაგრამ თუ მოხაზავთ, მაშინ მივიღებთ ტოლფერდა სამკუთხედს სიმეტრიული ხაზებით მისი ვერტიკალური ღერძის გარშემო.

დაფიქრდით, ყოველდღიურ ცხოვრებაში სად უნდა შეგხვდეთ ტოლფერდა სამკუთხედებს? არ არის მართალი, რომ სახლების სახურავები და უძველესი არქიტექტურული ნაგებობები მათ ძალიან მოგვაგონებს? და გახსოვდეთ, რა არის ეგვიპტის პირამიდების საფუძველი? კიდევ სად გინახავთ ტოლფერდა სამკუთხედები?

ტოლფერდა სამკუთხედები უძველესი დროიდან ეხმარებოდნენ ბერძნებს და ეგვიპტელებს მანძილების და სიმაღლის დადგენაში. ასე, მაგალითად, ძველი ბერძნები იყენებდნენ მას შორიდან ზღვაში გემამდე მანძილის დასადგენად. ძველი ეგვიპტელები კი თავიანთი პირამიდების სიმაღლეს ჩრდილის სიგრძის გამო ადგენდნენ, რადგან. ეს იყო ტოლფერდა სამკუთხედი.

უძველესი დროიდან ადამიანები უკვე აფასებდნენ ამ ფიგურის სილამაზესა და პრაქტიკულობას, რადგან სამკუთხედების ფორმები ყველგან გარს გვიკრავს. სხვადასხვა სოფლებში გადაადგილებისას ჩვენ ვხედავთ სახლების სახურავებს და სხვა ნაგებობებს, რომლებიც მოგვაგონებენ ტოლფერდა სამკუთხედს.მაღაზიაში რომ მივდივართ, ვხედავთ სამკუთხედის ფორმის საკვებისა და წვენების შეფუთვას და ზოგიერთი ადამიანის სახესაც კი აქვს ფორმის ფორმა. სამკუთხედი. ეს ფიგურა იმდენად პოპულარულია, რომ მისი ნახვა ყოველ ჯერზე შეიძლება.

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-7 კლასი

ორ თანაბარი გვერდის მქონე სამკუთხედს ტოლფერდა სამკუთხედი ეწოდება. ამ გვერდებს უწოდებენ გვერდებს, ხოლო მესამე მხარეს - ფუძეს. ამ სტატიაში მოგითხრობთ ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებებზე.

თეორემა 1

ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძესთან მდებარე კუთხეები ერთმანეთის ტოლია

თეორემის დადასტურება.

დავუშვათ, გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედი ABC, რომლის ფუძეა AB. მოდით შევხედოთ BAC სამკუთხედს. ეს სამკუთხედები, პირველი ნიშნით, ერთმანეთის ტოლია. ასეც არის, რადგან BC = AC, AC = BC, კუთხე ACB = კუთხე ACB. აქედან გამომდინარეობს, რომ კუთხე BAC = კუთხე ABC, რადგან ეს არის ჩვენი სამკუთხედების შესაბამისი კუთხეები, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია. აქ არის ტოლფერდა სამკუთხედის კუთხეების თვისება.

თეორემა 2

მის ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედში მედიანა ასევე არის სიმაღლე და ბისექტორი

თეორემის დადასტურება.

ვთქვათ, გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედი ABC, რომლის ფუძეა AB და CD არის მედიანა, რომელიც ჩვენ დავხატეთ მის ფუძესთან. სამკუთხედებში ACD და BCD, კუთხე CAD = კუთხე CBD, როგორც შესაბამისი კუთხეები ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე (თეორემა 1). ხოლო გვერდი AC = მხარე BC (ტოლფერდა სამკუთხედის განმარტებით). მხარე AD \u003d მხარე BD, ბოლოს და ბოლოს, წერტილი D ყოფს AB სეგმენტს თანაბარ ნაწილებად. აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედი ACD = სამკუთხედი BCD.

ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გვაქვს შესაბამისი კუთხეების ტოლობა. ანუ კუთხე ACD = კუთხე BCD და კუთხე ADC = კუთხე BDC. განტოლება 1 გულისხმობს, რომ CD არის ბისექტორი. და კუთხე ADC და კუთხე BDC მიმდებარე კუთხეებია და 2 ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ორივე სწორი კუთხეა. გამოდის, რომ CD არის სამკუთხედის სიმაღლე. ეს არის ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანას თვისება.

ახლა კი ცოტა ტოლფერდა სამკუთხედის ნიშნების შესახებ.

თეორემა 3

თუ სამკუთხედში ორი კუთხე თანაბარია, მაშინ სამკუთხედი ტოლფერდაა.

თეორემის დადასტურება.

ვთქვათ, გვაქვს სამკუთხედი ABC, რომელშიც კუთხე CAB = კუთხე CBA. სამკუთხედი ABC = სამკუთხედი BAC სამკუთხედებს შორის თანასწორობის მეორე კრიტერიუმით. ასეც არის, რადგან AB = BA; კუთხე CBA = კუთხე CAB, კუთხე CAB = კუთხე CBA. სამკუთხედების ასეთი ტოლობიდან გვაქვს სამკუთხედის შესაბამისი გვერდების ტოლობა - AC = BC. შემდეგ გამოდის, რომ სამკუთხედი ABC არის ტოლფერდა.

თეორემა 4

თუ რომელიმე სამკუთხედში მისი მედიანა ასევე არის მისი სიმაღლე, მაშინ ასეთი სამკუთხედი არის ტოლფერდა

თეორემის დადასტურება.

სამკუთხედში ABC ვხატავთ მედიანა CD-ს. სიმაღლეც იქნება. მართკუთხა სამკუთხედი ACD = მართკუთხა სამკუთხედი BCD, რადგან ფეხი CD მათთვის საერთოა, და ფეხი AD = ფეხი BD. აქედან გამომდინარეობს, რომ მათი ჰიპოტენუსები ერთმანეთის ტოლია, როგორც ტოლი სამკუთხედების შესაბამისი ნაწილები. ეს ნიშნავს, რომ AB = BC.

თეორემა 5

თუ სამკუთხედის სამი გვერდი უდრის სხვა სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ეს სამკუთხედები თანმიმდევრულია

თეორემის დადასტურება.

დავუშვათ, გვაქვს სამკუთხედი ABC და სამკუთხედი A1B1C1, რომ გვერდები იყოს AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1. განვიხილოთ ამ თეორემის დამტკიცება წინააღმდეგობით.

დავუშვათ, რომ ეს სამკუთხედები ერთმანეთის ტოლი არ არის. აქედან გამომდინარე გვაქვს, რომ BAC კუთხე არ არის B1A1C1 კუთხის ტოლი, ABC კუთხე არ არის A1B1C1 კუთხის ტოლი, კუთხე ACB არ არის ერთდროულად A1C1B1 კუთხის ტოლი. წინააღმდეგ შემთხვევაში ეს სამკუთხედები ზემოაღნიშნული კრიტერიუმის მიხედვით ტოლი იქნებოდა.

დავუშვათ, რომ სამკუთხედი A1B1C2 = სამკუთხედი ABC. სამკუთხედის C2 წვერო დევს C1 წვეროსთან A1B1 წრფესთან შედარებით იმავე ნახევარსიბრტყეში. ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ C2 და C1 წვეროები არ ემთხვევა ერთმანეთს. დავუშვათ, რომ D წერტილი არის C1C2 სეგმენტის შუა წერტილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს ტოლფერდა სამკუთხედები B1C1C2 და A1C1C2, რომლებსაც აქვთ საერთო ფუძე C1C2. გამოდის, რომ მათი შუამავლები B1D და A1D ასევე მათი სიმაღლეა. ეს ნიშნავს, რომ წრფე B1D და წრფე A1D პერპენდიკულარულია C1C2 წრფეზე.

B1D და A1D აქვთ სხვადასხვა წერტილები B1 და A1 და ამიტომ ვერ ემთხვევა ერთმანეთს. მაგრამ ბოლოს და ბოლოს, C1C2 სწორი ხაზის D წერტილის მეშვეობით ჩვენ შეგვიძლია დავხატოთ მხოლოდ ერთი სწორი ხაზი მის პერპენდიკულარულად. ჩვენ გვაქვს წინააღმდეგობა.

ახლა თქვენ იცით, რა თვისებები აქვს ტოლფერდა სამკუთხედს!

ტოლფერდა სამკუთხედის თვისებები გამოხატავს შემდეგ თეორემებს.

თეორემა 1. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

თეორემა 2. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიყვანილი ბისექტორი არის შუასა და სიმაღლეზე.

თეორემა 3. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიყვანილი მედიანა არის ბისექტორი და სიმაღლე.

თეორემა 4. ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძესთან მიზიდული სიმაღლე არის ბისექტორი და მედიანა.

მოდით დავამტკიცოთ ერთი მათგანი, მაგალითად, თეორემა 2.5.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ტოლფერდა სამკუთხედი ABC BC ფუძით და დაადასტურეთ, რომ ∠ B = ∠ C. მოდით იყოს AD სამკუთხედის ABC (ნახ. 1). სამკუთხედები ABD და ACD ტოლია სამკუთხედების ტოლობის პირველი ნიშნის მიხედვით (AB = AC პირობით, AD არის საერთო გვერდი, ∠ 1 = ∠ 2, რადგან AD არის ბისექტორი). ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ B = ∠ C. თეორემა დადასტურებულია.

თეორემა 1-ის გამოყენებით ვაყალიბებთ შემდეგ თეორემას.

თეორემა 5. სამკუთხედების ტოლობის მესამე კრიტერიუმი. თუ ერთი სამკუთხედის სამი გვერდი შესაბამისად უდრის მეორე სამკუთხედის სამ გვერდს, მაშინ ასეთი სამკუთხედები ტოლია (ნახ. 2).

კომენტარი. 1 და 2 მაგალითებში ჩამოყალიბებული წინადადებები გამოხატავს მონაკვეთის პერპენდიკულარული ბისექტრის თვისებებს. ამ წინადადებებიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედის გვერდების პერპენდიკულარული ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება.

მაგალითი 1დაამტკიცეთ, რომ სიბრტყის წერტილი, რომელიც თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან, დევს ამ მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

გადაწყვეტილება. წერტილი M იყოს თანაბრად დაშორებული AB სეგმენტის ბოლოებიდან (ნახ. 3), ანუ AM = VM.

მაშინ ΔAMV არის ტოლფერდა. გავავლოთ p წრფე M წერტილსა და AB სეგმენტის O შუა წერტილში. კონსტრუქციით სეგმენტი MO არის AMB ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და, შესაბამისად, (თეორემა 3), ხოლო სიმაღლე, ანუ სწორი ხაზი MO, არის AB სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი.

მაგალითი 2დაამტკიცეთ, რომ მონაკვეთის პერპენდიკულარული ბისექტრის თითოეული წერტილი თანაბრად არის დაშორებული მისი ბოლოებისგან.

გადაწყვეტილება. დავუშვათ, p იყოს AB სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი, ხოლო O წერტილი AB სეგმენტის შუა წერტილი (იხ. სურ. 3).

განვიხილოთ თვითნებური წერტილი M, რომელიც მდებარეობს p წრფეზე. დავხატოთ სეგმენტები AM და VM. სამკუთხედები AOM და VOM ტოლია, რადგან მათი კუთხეები O წვეროზე სწორია, ფეხი OM საერთოა, ხოლო ფეხი OA ტოლია OB ფეხის მდგომარეობის მიხედვით. სამკუთხედების AOM და BOM ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ AM = BM.

მაგალითი 3სამკუთხედში ABC (იხ. სურ. 4) AB \u003d 10 სმ, BC \u003d 9 სმ, AC \u003d 7 სმ; სამკუთხედში DEF DE = 7 სმ, EF = 10 სმ, FD = 9 სმ.

შეადარეთ სამკუთხედები ABC და DEF. იპოვეთ შესაბამისი ტოლი კუთხეები.

გადაწყვეტილება. მესამე კრიტერიუმში ეს სამკუთხედები ტოლია. შესაბამისად, თანაბარი კუთხეები: A და E (ისინი დგანან BC და FD ტოლი გვერდების საპირისპიროდ), B და F (ისინი დგანან AC და DE ტოლი გვერდების საპირისპიროდ), C და D (ისინი დევს ტოლი გვერდების AB და EF საპირისპიროდ).

მაგალითი 4ფიგურაში 5 AB = DC, BC = AD, ∠B = 100°.

იპოვეთ კუთხე D.

გადაწყვეტილება. განვიხილოთ სამკუთხედები ABC და ADC. ისინი ტოლია მესამე მახასიათებელში (AB = DC, BC = AD პირობით და გვერდითი AC საერთოა). ამ სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ ∠ B = ∠ D, მაგრამ B კუთხე არის 100°, შესაბამისად კუთხე D არის 100°.

მაგალითი 5ტოლკუთხედის ABC სამკუთხედში AC ფუძით, გარე კუთხე C წვეროზე არის 123°. იპოვეთ კუთხე ABC. მიეცით თქვენი პასუხი გრადუსით.

ვიდეო გადაწყვეტა.

ამ გაკვეთილზე განიხილება თემა „ტოლკუთხედის სამკუთხედი და მისი თვისებები“. თქვენ გაიგებთ, როგორ გამოიყურება ტოლგვერდა და ტოლგვერდა სამკუთხედები და როგორ ხასიათდება ისინი. დაამტკიცეთ თეორემა ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე კუთხეების ტოლობის შესახებ. განვიხილოთ აგრეთვე ბისექტრის თეორემა (მედიანა და სიმაღლე), რომელიც შედგენილია ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეზე. გაკვეთილის ბოლოს თქვენ გადახედავთ ორ პრობლემას ტოლფერდა სამკუთხედის განმარტებისა და თვისებების გამოყენებით.

განმარტება:ტოლფერდასამკუთხედს ეწოდება, რომელსაც ორი ტოლი გვერდი აქვს.

ბრინჯი. 1. ტოლფერდა სამკუთხედი

AB = AC - მხარეები. ძვ.წ - ფუძე.

ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობი არის მისი ფუძის ნამრავლის ნახევარი მის სიმაღლეზე.

განმარტება:ტოლგვერდასამკუთხედს ეწოდება, რომელშიც სამივე გვერდი ტოლია.

ბრინჯი. 2. ტოლგვერდა სამკუთხედი

AB = BC = SA.

თეორემა 1:ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია.

მოცემული: AB = AC.

დაამტკიცე:∠B = ∠C.

ბრინჯი. 3. თეორემაზე დახატვა

მტკიცებულება:სამკუთხედი ABC \u003d სამკუთხედი DIA პირველი ნიშნის მიხედვით (ორ თანაბარ მხარეს და მათ შორის კუთხე). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს ყველა შესაბამისი ელემენტის ტოლობა. აქედან გამომდინარე, ∠B = ∠C, რომელიც უნდა დადასტურდეს.

თეორემა 2:ტოლფერდა სამკუთხედში ბისექტორიბაზისკენ მიზიდული არის მედიანურიდა სიმაღლე.

მოცემული: AB = AC, ∠1 = ∠2.

დაამტკიცე: BD = DC, AD პერპენდიკულარული BC.

ბრინჯი. 4. ნახაზი თეორემისთვის 2

მტკიცებულება:სამკუთხედი ADB = სამკუთხედი ADC პირველი მახასიათებლით (AD - საერთო, AB = AC პირობით, ∠BAD = ∠DAC). სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს ყველა შესაბამისი ელემენტის ტოლობა. BD = DC, რადგან ისინი განლაგებულია თანაბარი კუთხით. ასე რომ, AD არის მედიანა. ასევე ∠3 = ∠4 რადგან ისინი დგანან თანაბარი გვერდების მოპირდაპირედ. მაგრამ, გარდა ამისა, ისინი მთლიანობაში თანაბარია. ამიტომ, ∠3 = ∠4 = . აქედან გამომდინარე, AD არის სამკუთხედის სიმაღლე, რომელიც უნდა დადასტურდეს.

ერთადერთ შემთხვევაში a = b = . ამ შემთხვევაში AC და BD ხაზებს პერპენდიკულური ეწოდება.

ვინაიდან ბისექტორი, სიმაღლე და მედიანა ერთი და იგივე სეგმენტია, შემდეგი განცხადებები ასევე მართალია:

ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეა შუამავალი და ბისექტორი.

ფუძესთან დახატული ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა არის სიმაღლე და ბისექტორი.

მაგალითი 1:ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძე გვერდის ზომის ნახევარია, პერიმეტრი კი 50 სმ. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდები.

მოცემული: AB = AC, BC = AC. P = 50 სმ.

Პოვნა: BC, AC, AB.

გადაწყვეტილება:

ბრინჯი. 5. ნახაზი მაგალითად 1

ჩვენ აღვნიშნავთ BC ფუძეს, როგორც a, შემდეგ AB \u003d AC \u003d 2a.

2a + 2a + a = 50.

5a = 50, a = 10.

პასუხი: BC = 10 სმ, AC = AB = 20 სმ.

მაგალითი 2:დაამტკიცეთ, რომ ტოლგვერდა სამკუთხედის ყველა კუთხე ტოლია.

მოცემული: AB = BC = SA.

დაამტკიცე:∠A = ∠B = ∠C.

მტკიცებულება:

ბრინჯი. 6. ნახატი მაგალითად

∠B = ∠C, ვინაიდან AB=AC, და ∠A = ∠B, ვინაიდან AC = BC.

მაშასადამე, ∠A = ∠B = ∠C, რაც დასამტკიცებელი იყო.

პასუხი:დადასტურებული.

დღევანდელ გაკვეთილზე შევისწავლეთ ტოლფერდა სამკუთხედი, შევისწავლეთ მისი ძირითადი თვისებები. შემდეგ გაკვეთილზე მოვაგვარებთ ამოცანებს ტოლფერდა სამკუთხედის თემაზე, ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის გამოთვლაზე.

1. ალექსანდროვი A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. და ა.შ გეომეტრია 7. - მ.: განმანათლებლობა.
2. ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ. და სხვები გეომეტრია 7. მე-5 გამოცემა. - მ.: განმანათლებლობა.
3. ბუტუზოვი V.F., Kadomtsev S.B., Prasolova V.V. გეომეტრია 7 / ვ.ფ. ბუტუზოვი, ს.ბ. კადომცევი, ვ.ვ. პრასოლოვა, რედ. სადოვნიჩი V.A. - მ.: განათლება, 2010 წ.

1. ლექსიკონები და ენციკლოპედიები "აკადემიკზე" ().
2. პედაგოგიური იდეების ფესტივალი "ღია გაკვეთილი" ().
3. Kaknauchit.ru ().

1. No29. ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ., პრასოლოვა ვ.ვ. გეომეტრია 7 / ვ.ფ. ბუტუზოვი, ს.ბ. კადომცევი, ვ.ვ. პრასოლოვა, რედ. სადოვნიჩი V.A. - მ.: განათლება, 2010 წ.

2. ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრი 35 სმ-ია, ფუძე კი გვერდზე სამჯერ მცირეა. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდები.

3. მოცემულია: AB = BC. დაამტკიცეთ, რომ ∠1 = ∠2.

4. ტოლფერდა სამკუთხედის პერიმეტრია 20 სმ, მისი ერთი გვერდი ორჯერ მეორის. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდები. რამდენი გამოსავალი აქვს პრობლემას?