სოროკინა ვიკა

მოცემულია სამკუთხედის ბისექტრის თვისებების მტკიცებულებები და განიხილება თეორიის გამოყენება ამოცანების ამოხსნაში.

ჩამოტვირთვა:

გადახედვა:

სარატოვის ადმინისტრაციის განათლების კომიტეტი, ოქტიაბრსკის რაიონის მუნიციპალური ავტონომიური საგანმანათლებლო დაწესებულების მე-3 ლიცეუმის სახელობის. A.S. პუშკინი.

მუნიციპალური სამეცნიერო და პრაქტიკული

კონფერენცია

"Პირველი ნაბიჯები"

თემა: ბისექტორი და მისი თვისებები.

სამუშაო დაასრულა: მე-8 კლასის მოსწავლემ

სოროკინა ვიქტორიახელმძღვანელი: უმაღლესი კატეგორიის მათემატიკის მასწავლებელიპოპოვა ნინა ფიოდოროვნა

სარატოვი 2011 წ

1. სათაურის გვერდი……………………………………………………………………………………………………………………………
2. შინაარსი …………………………………………………………………………………………………………………
3. შესავალი და მიზნები ……………………………………………………………………………………………..
4. ბისექტრის თვისებების გათვალისწინება

• ქულების მესამე ადგილი……………………………………….3
• თეორემა 1……………………………………………………………………….4
• თეორემა 2……………………………………………………………………… 4
• სამკუთხედის ბისექტრის ძირითადი თვისება:

1. თეორემა 3…………………………………………………………………...4
2. დავალება 1…………………………………………………………………….7
3. დავალება 2…………………………………………………………………….8
4. დავალება 3 ………………………………………………………………………………………………………
5. დავალება 4……………………………………………………….9-10

• თეორემა 4……………………………………………………… 10-11
• ბისექტრის პოვნის ფორმულები:

1. თეორემა 5…………………………………………………………….11
2. თეორემა 6…………………………………………………………….11
3. თეორემა 7…………………………………………………………….12
4. დავალება 5 ……………………………………………………………………………………………………………………………………

• თეორემა 8…………………………………………………………….13
• დავალება 6……………………………………………………………….14
• დავალება 7………………………………………………………………………………………………………………………………………
• განსაზღვრა კარდინალური წერტილების ბისექტრის გამოყენებით………………15

1. დასკვნა და დასკვნა …………………………………………………………..15
2. გამოყენებული ლიტერატურის სია ………………………………………..16

ბისექტორი

გეომეტრიის გაკვეთილზე, მსგავსი სამკუთხედების თემის შესწავლისას, დამხვდა პრობლემა ბისექტრისა და მოპირდაპირე გვერდების შეფარდების თეორემაზე. როგორც ჩანს, ბისექტრის თემაში შეიძლება იყოს რაიმე საინტერესო, მაგრამ ამ თემამ დამაინტერესა და მინდოდა უფრო ღრმად შემესწავლა. ყოველივე ამის შემდეგ, ბისექტორი ძალიან მდიდარია თავისი საოცარი თვისებებით, რაც ხელს უწყობს სხვადასხვა პრობლემის გადაჭრას.

ამ თემის განხილვისას ხედავთ, რომ გეომეტრიის სახელმძღვანელოები ძალიან ცოტას ამბობენ ბისექტრის თვისებებზე, ხოლო გამოცდებზე, მათი ცოდნით, პრობლემების გადაჭრა ბევრად უფრო მარტივად და სწრაფად შეგიძლიათ. გარდა ამისა, GIA-ს და ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ჩასაბარებლად თანამედროვე სტუდენტებს თავად სჭირდებათ სასკოლო სასწავლო გეგმისთვის დამატებითი მასალების შესწავლა. ამიტომ გადავწყვიტე უფრო დეტალურად შემესწავლა ბისექტრის თემა.

ბისექტორი (ლათინურიდან bi- „ორმაგი“ და sectio კუთხის "გაჭრა") - სხივი, რომლის დასაწყისია კუთხის მწვერვალზე, რომელიც ყოფს კუთხეს ორ თანაბარ ნაწილად. კუთხის ბისექტრი (მის გაფართოებასთან ერთად) არის კუთხის გვერდებიდან (ან მათი გაფართოების) თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.)

ქულების მესამე ადგილი

სურათი F არის წერტილების ლოკუსი (წერტილების სიმრავლე), რომლებსაც აქვთ გარკვეული თვისებამაგრამ, თუ დაკმაყოფილებულია ორი პირობა:

1. იქიდან, რომ წერტილი ფიგურას ეკუთვნის F, აქედან გამომდინარეობს, რომ მას აქვს ქონებამაგრამ;
2. იქიდან, რომ პუნქტი აკმაყოფილებს ქონებასმაგრამ, აქედან გამომდინარეობს, რომ იგი ეკუთვნის ფიგურასფ.

გეომეტრიაში განხილული წერტილების პირველი ლოკუსი არის წრე, ე.ი. ერთი ფიქსირებული წერტილიდან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ლოკუსი. მეორე არის სეგმენტის პერპენდიკულარული ბისექტორი, ე.ი. წერტილების ლოკუსი, რომლებიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოდან. და ბოლოს, მესამე - ბისექტორი - კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი

თეორემა 1:

ბისექტრის წერტილები თანაბრად დაშორებულია გვერდებიდანის არის კუთხე.

მტკიცებულება:

დაე პ - ბისექტრული წერტილიმაგრამ. ჩამოაგდეს წერტილიდანR პერპენდიკულარებირვ და კომპიუტერი გვერდითი კუთხით. შემდეგ VAR = SAR ჰიპოტენუზა და მწვავე კუთხე. აქედან გამომდინარე, RV = PC

თეორემა 2:

თუ წერტილი P თანაბრად არის დაშორებული A კუთხის გვერდებიდან, მაშინ ის დევს ბისექტორზე.

დადასტურება: РВ = PC => ВАР = SAP => BAP= CAP => АР არის ბისექტორი.

ძირითად გეომეტრიულ ფაქტებს შორის უნდა მივაკუთვნოთ თეორემა, რომ ბისექტრი ყოფს მოპირდაპირე მხარეს მოპირდაპირე მხარეებთან მიმართებაში. ეს ფაქტი დიდი ხანია ჩრდილში დარჩა, მაგრამ ყველგან არის პრობლემები, რომელთა გადაჭრაც ბევრად უფრო ადვილია, თუ ეს და სხვა ფაქტები ბისექტრის შესახებ იცით. დავინტერესდი და გადავწყვიტე ბისექტრის ეს თვისება უფრო ღრმად შემესწავლა.

სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის ძირითადი თვისება

თეორემა 3. ბისექტორი ყოფს სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს მიმდებარე გვერდებთან მიმართებაში.

მტკიცებულება 1:

მოცემული: AL- ABC სამკუთხედის ბისექტორი

დაამტკიცე:

დადასტურება: მოდით F - ხაზის გადაკვეთის წერტილიალ და წერტილის გავლის ხაზი AT AC მხარის პარალელურად.

შემდეგ BFA = FAC = BAF. ამიტომ BAF ტოლფერდა და AB = BF. სამკუთხედების მსგავსებიდან ALC და FLB გვაქვს

თანაფარდობა

სადაც

მტკიცებულება 2

F იყოს წერტილი, რომელიც კვეთს AL წრფეს და C წერტილში AB ფუძის პარალელურად გამავალი წრფე. შემდეგ შეგიძლიათ გაიმეოროთ მსჯელობა.

მტკიცებულება 3

მოდით K და M იყოს წრფეზე ჩამოშვებული პერპენდიკულარების ფუძეები AL B და C წერტილებიდან შესაბამისად. სამკუთხედები ABL და ACL მსგავსია ორი კუთხით. Ისე
. და BKL-ისა და CML-ის მსგავსებიდან გვაქვს

აქედან

მტკიცებულება 4

გამოვიყენოთ ფართობის მეთოდი. გამოთვალეთ სამკუთხედების ფართობი ABL და ACL ორი გზა.

აქედან.

მტკიცებულება 5

ვთქვათ α= BAC,φ= BLA. სინუსების თეორემით ABL სამკუთხედში

და სამკუთხედში ACL.

როგორც ,

შემდეგ ტოლობის ორივე ნაწილის მეორის შესაბამის ნაწილებზე გაყოფით მივიღებთ.

დავალება 1

მოცემული: ABC სამკუთხედში VC არის ბისექტორი, BC=2, KS=1,

გადაწყვეტილება:

დავალება 2

მოცემული:

იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ბისექტრები 24 და 18 კუთხით

გადაწყვეტილება:

მოდით ფეხი AC = 18, ფეხი BC = 24,

ᲕᲐᲠ არის სამკუთხედის ბისექტორი.

პითაგორას თეორემით ვხვდებით

რომ AB = 30.

Მას შემდეგ

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მეორე ბისექტორს.

პასუხი:

დავალება 3

მართკუთხა სამკუთხედში ABC მართი კუთხით B კუთხის ბისექტორია კვეთს მხარესძვ.წ

დ წერტილში. ცნობილია, რომ BD = 4, DC = 6.

იპოვეთ სამკუთხედის ფართობი ADC

გადაწყვეტილება:

სამკუთხედის ბისექტრის თვისებით

აღნიშნეთ AB = 2 x, AC = 3 x. თეორემით

პითაგორა BC 2 + AB 2 = AC 2, ან 100 + 4 x 2 = 9 x 2

აქედან ვხვდებით ამას x = შემდეგ AB = , S ABC=

აქედან გამომდინარე,

დავალება 4

მოცემული:

ტოლფერდა სამკუთხედში ABC მხარეს AB უდრის 10, ბაზა AC არის 12.

კუთხის ბისექტრები A და C იკვეთება ერთ წერტილშიდ. იპოვეთ BD.

გადაწყვეტილება:

ვინაიდან სამკუთხედის ბისექტრები იკვეთება at

ერთი წერტილი, მაშინ BD არის B-ის ბისექტორი. გავაგრძელოთ BD კვეთამდე AC წერტილში M. მაშინ M არის AC-ის შუა წერტილი, BM AC. Ისე

რადგან CD - სამკუთხედის ბისექტორი BMC მაშინ

აქედან გამომდინარე,.

პასუხი:

თეორემა 4. სამკუთხედის სამი ბისექტორი იკვეთება ერთ წერტილში.

მართლაც, ჯერ განვიხილოთ ორი ბისექტრის გადაკვეთის Р წერტილი, მაგალითად, AK 1 და VC 2 . ეს წერტილი თანაბრად დაშორებულია AB და AC გვერდებისგან, რადგან ის დევს ბისექტორზეA და თანაბრად ამოღებულია AB და BC გვერდებიდან, როგორც ბისექტრის კუთვნილიB. მაშასადამე, იგი თანაბრად არის ამოღებული AC და BC გვერდებიდან და, შესაბამისად, ეკუთვნის SC-ის მესამე ბისექტორს. 3 , ანუ P წერტილში სამივე ბისექტორი იკვეთება.

ბისექტრის პოვნის ფორმულები
თეორემა 5: (პირველი ფორმულა ბისექტორისთვის): თუ სამკუთხედში ABC სეგმენტი AL არის ბისექტორი A, შემდეგ AL² = AB AC - LB LC.

მტკიცებულება: მოდით M იყოს AL წრფის გადაკვეთის წერტილი ABC სამკუთხედის გარშემო შემოხაზულ წრესთან (სურ. 41). BAM კუთხე უდრის MAC კუთხეს კონვენციით. კუთხეები BMA და BCA ტოლია, როგორც ჩაწერილი კუთხეები, რომლებიც დაფუძნებულია იმავე აკორდზე. აქედან გამომდინარე, BAM და LAC სამკუთხედები მსგავსია ორ კუთხით. ამიტომ, AL: AC = AB: AM. ასე რომ, AL AM = AB AC AL (AL + LM) = AB AC AL² = AB AC - AL LM = AB AC - BL LC. ქ.ე.დ.

თეორემა6: . (მეორე ფორმულა ბისექტრისთვის): სამკუთხედში ABC გვერდებით AB=a, AC=b დაA, ტოლია 2α-ისა და l-ის ბისექტრის, ტოლობა ხდება:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

მტკიცებულება : ABC იყოს მოცემული სამკუთხედი, AL მისი ბისექტორი, a=AB, b=AC, l=AL. შემდეგ ს ABC = S ALB + S ALC . ამიტომ, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. თეორემა დადასტურდა.

თეორემა 7: თუ a, b არის სამკუთხედის გვერდები, Y არის კუთხე მათ შორის,არის ამ კუთხის ბისექტორი. მერე.

თეორემა. სამკუთხედის შიდა კუთხის ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად.

მტკიცებულება. განვიხილოთ სამკუთხედი ABC (სურ. 259) და მისი B კუთხის ბისექტრი. მოდით გავავლოთ C წვეროს წრფე VC ბისექტრის პარალელურად, სანამ ის M წერტილში არ გადაიკვეთება AB გვერდის გაგრძელებასთან. ვინაიდან VC არის ABC კუთხის ბისექტორი, მაშინ . გარდა ამისა, როგორც შესაბამისი კუთხეები პარალელურ ხაზებზე, და როგორც ჯვარედინი დაწოლილი კუთხეები პარალელურ ხაზებზე. აქედან და ამიტომ - ტოლფერდა, საიდან. კუთხის გვერდების გადაკვეთის პარალელურ წრფეებზე თეორემის მიხედვით გვაქვს და ამის გათვალისწინებით ვიღებთ, რისი დამტკიცებაც იყო საჭირო.

მსგავსი თვისება აქვს ABC სამკუთხედის B გარე კუთხის B კუთხის ბისექტორს (სურ. 260): AL და CL სეგმენტები A და C წვეროებიდან AC გვერდის გაგრძელებასთან ბისექტრის გადაკვეთის L წერტილამდე არის. სამკუთხედის გვერდების პროპორციული:

ეს თვისება დასტურდება ისევე, როგორც წინა: ნახ. 260 დახაზულია დამხმარე სწორი ხაზი SM, ბისექტრის BL პარალელურად. თავად მკითხველი დარწმუნდება BMC და BCM კუთხეების ტოლობაში და აქედან გამომდინარე BM სამკუთხედის BM და BC გვერდებზე, რის შემდეგაც დაუყოვნებლივ მიიღება საჭირო პროპორცია.

შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გარე კუთხის ბისექტორი მოპირდაპირე მხარესაც ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ ნაწილებად; საჭიროა მხოლოდ დათანხმება სეგმენტის „გარე დაყოფის“ დაშვებაზე.

წერტილი L, რომელიც მდებარეობს AC სეგმენტის გარეთ (მის გაგრძელებაზე), ყოფს მას გარედან თუ ასეა, სამკუთხედის კუთხის ბისექტრები (შიდა და გარე) ყოფენ მოპირდაპირე მხარეს (შიდა და გარე) ნაწილებად პროპორციულად. მიმდებარე მხარეები.

ამოცანა 1. ტრაპეციის გვერდებია 12 და 15, ფუძეები 24 და 16. იპოვეთ ტრაპეციის დიდი ფუძით წარმოქმნილი სამკუთხედის გვერდები და მისი გაშლილი გვერდები.

გადაწყვეტილება. ნახ. 261 გვაქვს გვერდითი გვერდის გაგრძელებად მოქმედი სეგმენტისთვის პროპორცია, საიდანაც ადვილად ვპოულობთ ანალოგიურად განვსაზღვრავთ სამკუთხედის მეორე გვერდს მესამე გვერდი ემთხვევა დიდ ფუძეს: .

ამოცანა 2. ტრაპეციის ფუძეები არის 6 და 15. რა არის ფუძეების პარალელურად და გვერდების გამყოფი მონაკვეთის სიგრძე 1:2 თანაფარდობით მცირე ფუძის წვეროებიდან დათვლა?

გადაწყვეტილება. მოდით მივმართოთ ნახ. 262 გამოსახულია ტრაპეცია. პატარა ფუძის C წვეროს მეშვეობით ვხატავთ AB გვერდის პარალელურ ხაზს, ვჭრით პარალელოგრამს ტრაპეციას. მას შემდეგ, აქედან ჩვენ ვპოულობთ. ამრიგად, მთელი უცნობი სეგმენტი KL უდრის გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემის გადასაჭრელად, ჩვენ არ გვჭირდება ტრაპეციის გვერდების ცოდნა.

ამოცანა 3. ABC სამკუთხედის B შიდა კუთხის ბისექტრი ჭრის AC გვერდს სეგმენტებად A და C წვეროებიდან რა მანძილზე გადაკვეთს გარე კუთხის B კუთხის ბისექტრი AC გაფართოებას?

გადაწყვეტილება. B კუთხის თითოეული ბისექტორი AC-ს ერთნაირი თანაფარდობით ყოფს, მაგრამ ერთს შიგნიდან და მეორეს გარედან. L-ით აღვნიშნავთ AC-ის გაგრძელებისა და B გარე კუთხის ბისექტრის გადაკვეთის წერტილს. ვინაიდან AK იმ დროისთვის ავნიშნავთ უცნობ მანძილს AL და გვექნება პროპორცია, რომლის ამონახსნი გვაძლევს საჭირო მანძილს.

ნახატი თავად გააკეთე.

Სავარჯიშოები

1. ტრაპეცია მე-8 და მე-18 ფუძით დაყოფილია სწორი ხაზებით, ფუძეების პარალელურად, თანაბარი სიგანის ექვს ზოლად. იპოვეთ ტრაპეციის ზოლებად გამყოფი ხაზის სეგმენტების სიგრძე.

2. სამკუთხედის პერიმეტრია 32. A კუთხის ბისექტორი BC გვერდს ყოფს 5-ისა და 3-ის ტოლ ნაწილებად. იპოვეთ სამკუთხედის გვერდების სიგრძეები.

3. ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძეა a, გვერდი b. იპოვეთ მონაკვეთის სიგრძე, რომელიც აკავშირებს ფუძის კუთხეების ბისექტორების გვერდებთან გადაკვეთის წერტილებს.

ბისექტორის თვისებები

ბისექტრის თვისება: სამკუთხედში ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს მიმდებარე გვერდების პროპორციულ მონაკვეთებად.

გარე კუთხის ბისექტორი სამკუთხედის გარე კუთხის ბისექტორი კვეთს მისი გვერდის გაფართოებას წერტილში, საიდანაც ამ გვერდის ბოლოებამდე პროპორციულია, შესაბამისად, სამკუთხედის მიმდებარე გვერდების მიმართ. C B A D

ბისექტრის სიგრძის ფორმულები:

სეგმენტების სიგრძის პოვნის ფორმულა, რომლებშიც ბისექტორი ყოფს სამკუთხედის მოპირდაპირე მხარეს

სეგმენტების სიგრძის შეფარდების პოვნის ფორმულა, რომლებშიც ბისექტრი იყოფა ბისექტრების გადაკვეთის წერტილზე

ამოცანა 1. სამკუთხედის ერთ-ერთი ბისექტორი იყოფა ბისექტრების გადაკვეთის წერტილზე 3:2 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა. იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი, თუ სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომელზედაც ეს ბისექტორია დახატული, არის 12 სმ.

ამოხსნა ვიყენებთ ფორმულას იმ მონაკვეთების სიგრძის შეფარდების საპოვნელად, რომლებშიც ბისექტრი იყოფა სამკუთხედის ბისექტორების გადაკვეთის წერტილით: 30. პასუხი: P = 30 სმ.

დავალება 2. ბისექტრები BD და CE ∆ ABC იკვეთება O წერტილში. AB=14, BC=6, AC=10. იპოვეთ O D.

გადაწყვეტილება. ბისექტრის სიგრძის საპოვნელად გამოვიყენოთ ფორმულა: გვაქვს: BD = BD = = იმ სეგმენტების შეფარდების ფორმულის მიხედვით, რომლებშიც ბისექტრი იყოფა ბისექტრის გადაკვეთის წერტილით: l = . ყველაფრის 2 + 1 = 3 ნაწილი.

ეს არის ნაწილი 1  OD = პასუხი: OD =

ამოცანები ∆ ABC-ში შედგენილია AL და BK ბისექტრები. იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე KLif AB \u003d 15, AK \u003d 7.5, BL \u003d 5. ∆ ABC-ში შედგენილია ბისექტორი AD, ხოლო D წერტილის გავლით არის სწორი ხაზი AC-ის პარალელურად და კვეთს AB-ს E წერტილში. იპოვეთ ∆ ABC და ∆ BDE ფართობების თანაფარდობა, თუ AB = 5, AC = 7. იპოვეთ მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ბისექტრები 24 სმ და 18 სმ კუთხით. მართკუთხა სამკუთხედში მახვილი კუთხის ბისექტრი მოპირდაპირე ფეხს ყოფს 4 და 5 სმ სიგრძის სეგმენტებად.განსაზღვრეთ სამკუთხედის ფართობი.

5. ტოლკუთხედის სამკუთხედში ფუძე და გვერდი არის შესაბამისად 5 და 20 სმ. იპოვეთ კუთხის ბისექტრი სამკუთხედის ფუძესთან. 6. იპოვეთ სამკუთხედის მართკუთხა კუთხის ბისექტრი, რომლის კუთხები ტოლია a და b. 7. გამოთვალეთ ABC სამკუთხედის A კუთხის ბისექტრის სიგრძე a = 18 სმ, b = 15 სმ, c = 12 სმ. იპოვეთ თანაფარდობა, რომელშიც იყოფა შიდა კუთხეების ბისექტრები მათი გადაკვეთის წერტილში.

პასუხები: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: პასუხი: AP = 6 AP = 10 იხილეთ KL = CP =

დღეს ძალიან მარტივი გაკვეთილი იქნება. განვიხილავთ მხოლოდ ერთ ობიექტს - კუთხის ბისექტრის - და დავამტკიცებთ მის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებას, რომელიც მომავალში ძალიან გამოგვადგება.

უბრალოდ არ მოდუნდეთ: ხანდახან მოსწავლეებს, რომლებსაც სურთ მიიღონ მაღალი ქულა იმავე OGE-ზე ან USE-ზე, პირველ გაკვეთილზე, ვერც კი ჩამოაყალიბებენ ბისექტრის ზუსტ განმარტებას.

და იმის მაგივრად, რომ შევასრულოთ მართლაც საინტერესო ამოცანები, ჩვენ დროს ვხარჯავთ ასეთ მარტივ რაღაცეებზე. ასე რომ წაიკითხეთ, უყურეთ - და მიიღეთ. :)

დასაწყისისთვის, ოდნავ უცნაური კითხვა: რა არის კუთხე? ეს ასეა: კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი, რომელიც გამოდის ერთი და იმავე წერტილიდან. Მაგალითად:

კუთხეების მაგალითები: მახვილი, ბლაგვი და მართალი

როგორც სურათზე ხედავთ, კუთხეები შეიძლება იყოს მკვეთრი, ბლაგვი, სწორი - ახლა ამას არ აქვს მნიშვნელობა. ხშირად, მოხერხებულობისთვის, თითოეულ სხივზე ინიშნება დამატებითი წერტილი და ამბობენ, რომ გვაქვს კუთხე $AOB$ (იწერება როგორც $\კუთხე AOB$).

კაპიტანი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ $OA$ და $OB$ სხივების გარდა, ყოველთვის შეიძლება $O$ წერტილიდან სხივების დახატვა. მაგრამ მათ შორის იქნება ერთი განსაკუთრებული - მას ბისექტორი ჰქვია.

განმარტება. კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც გამოდის ამ კუთხის წვეროდან და ყოფს კუთხეს.

ზემოთ მოყვანილი კუთხისთვის ბისექტრები ასე გამოიყურება:

ბისექტორების მაგალითები მახვილი, ბლაგვი და მართი კუთხისთვის

ვინაიდან რეალურ ნახატებში ყოველთვის არ არის აშკარა, რომ გარკვეული სხივი (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის $OM$ სხივი) ყოფს საწყის კუთხეს ორ თანაბარ ნაწილად, გეომეტრიაში ჩვეულებრივია ტოლი კუთხის აღნიშვნა იმავე რაოდენობით. რკალი (ჩვენს ნახატში ეს არის 1 რკალი მწვავე კუთხისთვის, ორი ბლაგვისთვის, სამი სწორი).

კარგი, ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება. ახლა თქვენ უნდა გესმოდეთ, რა თვისებები აქვს ბისექტორს.

კუთხის ბისექტრის ძირითადი თვისება

სინამდვილეში, ბისექტორს ბევრი თვისება აქვს. და ჩვენ აუცილებლად განვიხილავთ მათ შემდეგ გაკვეთილზე. მაგრამ არის ერთი ხრიკი, რომელიც ახლავე უნდა გესმოდეთ:

თეორემა. კუთხის ბისექტორი არის მოცემული კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.

მათემატიკურიდან რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს ერთდროულად ორ ფაქტს:

1. კუთხის ბისექტორზე დევს ყველა წერტილი იმავე მანძილზეა ამ კუთხის გვერდებიდან.
2. და პირიქით: თუ წერტილი დევს მოცემული კუთხის გვერდებიდან ერთსა და იმავე მანძილზე, მაშინ გარანტირებულია დაწოლა ამ კუთხის ბისექტორზე.

სანამ ამ დებულებებს დავამტკიცებთ, განვმარტოთ ერთი პუნქტი: რას ჰქვია, ფაქტობრივად, მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდამდე? აქ დაგვეხმარება წერტილიდან ხაზამდე მანძილის კარგი ძველი განმარტება:

განმარტება. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ამ წერტილიდან ამ წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარულის სიგრძე.

მაგალითად, განიხილეთ ხაზი $l$ და წერტილი $A$, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე. დახაზეთ $AH$ პერპენდიკულარული, სადაც $H\in l$. მაშინ ამ პერპენდიკულარის სიგრძე იქნება მანძილი $A$ წერტილიდან $l$ წრფემდე.

წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გრაფიკული წარმოდგენა

ვინაიდან კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი და თითოეული სხივი არის ხაზის ნაჭერი, ადვილია დადგინდეს მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. ეს მხოლოდ ორი პერპენდიკულარულია:

განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე

Სულ ეს არის! ახლა ჩვენ ვიცით რა არის მანძილი და რა არის ბისექტორი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ მთავარი ქონება.

როგორც დაგპირდით, ჩვენ დავყავით მტკიცებულება ორ ნაწილად:

1. მანძილი ბისექტრის წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე ერთნაირია

განვიხილოთ თვითნებური კუთხე $O$ წვერით და $OM$ ბისექტრით:

მოდით დავამტკიცოთ, რომ იგივე წერტილი $M$ არის იმავე მანძილზე კუთხის გვერდებიდან.

მტკიცებულება. მოდით დავხატოთ პერპენდიკულარები $M$ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. მოდით ვუწოდოთ მათ $M((H)_(1))$ და $M((H)_(2))$:

დახაზეთ პერპენდიკულარები კუთხის გვერდებზე

მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$. მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა $OM$ და თანაბარი კუთხეები:

1. $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$ ვარაუდით (რადგან $OM$ არის ბისექტორი);
2. $\კუთხე M((H)_(1))O=\კუთხე M((H)_(2))O=90()^\circ $ კონსტრუქციით;
3. $\კუთხე OM((H)_(1))=\კუთხე OM((H)_(2))=90()^\circ -\კუთხე MO((H)_(1))$ რადგან ჯამი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეები ყოველთვის უდრის 90 გრადუსს.

მაშასადამე, სამკუთხედები ტოლია გვერდით და ორი მიმდებარე კუთხით (იხ. სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები). ამიტომ, კერძოდ, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ე.ი. მანძილი $O$ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე მართლაც ტოლია. Q.E.D. :)

2. თუ მანძილი ტოლია, მაშინ წერტილი დებს ბისექტორზე

ახლა სიტუაცია საპირისპიროა. მიეცით კუთხე $O$ და $M$ წერტილი, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული ამ კუთხის გვერდებიდან:

დავამტკიცოთ, რომ $OM$ სხივი ბისექტრია, ე.ი. $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$.

მტკიცებულება. დასაწყისისთვის, მოდით დავხატოთ ეს სხივი $OM$, წინააღმდეგ შემთხვევაში დასამტკიცებელი არაფერი იქნება:

გაატარა სხივი $OM$ კუთხეში

ისევ მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$. ცხადია, რომ ისინი თანაბარია, რადგან:

1. ჰიპოტენუზა $OM$ არის გავრცელებული;
2. ფეხები $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ პირობით (რადგან $M$ წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული კუთხის გვერდებიდან);
3. დარჩენილი ფეხებიც თანაბარია, რადგან პითაგორას თეორემით $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

ამიტომ სამკუთხედები $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$ სამ მხარეს. კერძოდ, მათი კუთხეები ტოლია: $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$. და ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ $OM$ არის ბისექტორი.

მტკიცებულების დასასრულს, ჩვენ ვნიშნავთ ჩამოყალიბებულ თანაბარ კუთხეებს წითელი რკალებით:

ბისექტრი გაყოფს $\კუთხეს ((H)_(1))O((H)_(2))$ ორ ტოლად

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ კუთხის ბისექტრი არის ამ კუთხის გვერდებისგან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ადგილი. :)

ახლა, როცა მეტ-ნაკლებად გადავწყვიტეთ ტერმინოლოგია, დროა გადავიდეთ ახალ დონეზე. შემდეგ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ბისექტრის უფრო რთულ თვისებებს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ ისინი რეალური ამოცანების გადასაჭრელად.