დასრულებული სამუშაოები

ეს ნამუშევრები

უკვე ბევრი რამ ჩამორჩება და ახლა უკვე კურსდამთავრებული ხარ, თუ, რა თქმა უნდა, დისერტაციას დროულად დაწერ. მაგრამ ცხოვრება ისეთი რამ არის, რომ მხოლოდ ახლა გაირკვევა, რომ სტუდენტობის შეწყვეტის შემდეგ დაკარგავ სტუდენტურ სიხარულს, რომელთაგან ბევრი არ გიცდია, ყველაფერი გადადო და მოგვიანებით გადადო. ახლა კი, იმის ნაცვლად, რომ დაეწიო, შენს დისერტაციას ერევი? არსებობს შესანიშნავი გამოსავალი: ჩამოტვირთეთ თქვენთვის საჭირო ნაშრომი ჩვენი ვებ-გვერდიდან - და მაშინვე გექნებათ ბევრი თავისუფალი დრო!
სადიპლომო ნაშრომები წარმატებით დაიცვა ყაზახეთის რესპუბლიკის წამყვან უნივერსიტეტებში.
სამუშაოს ღირებულება 20 000 ტენგედან

კურსის სამუშაოები

კურსის პროექტი პირველი სერიოზული პრაქტიკული სამუშაოა. სწორედ საკურსო ნაშრომის დაწერით იწყება სადიპლომო პროექტების შემუშავებისთვის მზადება. თუ სტუდენტი ისწავლის საკურსო პროექტში თემის შინაარსის სწორად გადმოცემას და მის სწორად შედგენას, მომავალში მას არ ექნება პრობლემა არც მოხსენებების წერაში, არც თეზისების შედგენაში და არც სხვა პრაქტიკული დავალებების შესრულებაში. ამ ტიპის სტუდენტური ნამუშევრის დაწერაში სტუდენტების დასახმარებლად და მისი მომზადების დროს წამოჭრილი კითხვების გარკვევის მიზნით, ფაქტობრივად, შეიქმნა ეს საინფორმაციო განყოფილება.
სამუშაოს ღირებულება 2500 ტენგედან

სამაგისტრო ნაშრომები

დღეისათვის ყაზახეთისა და დსთ-ს ქვეყნების უმაღლეს საგანმანათლებლო დაწესებულებებში ძალზე გავრცელებულია უმაღლესი პროფესიული განათლების ეტაპი, რომელიც მოჰყვება ბაკალავრის ხარისხს - მაგისტრატურას. მაგისტრატურაში სტუდენტები სწავლობენ მაგისტრატურის მოპოვების მიზნით, რაც მსოფლიოს უმეტეს ქვეყნებში ბაკალავრიატის ხარისხზე მეტად არის აღიარებული და ასევე აღიარებულია უცხოელი დამსაქმებლების მიერ. მაგისტრატურაში მომზადების შედეგია სამაგისტრო ნაშრომის დაცვა.
ჩვენ მოგაწვდით განახლებულ ანალიტიკურ და ტექსტურ მასალას, ფასში შედის 2 სამეცნიერო სტატია და რეფერატი.
სამუშაოს ღირებულება 35 000 ტენგედან

პრაქტიკის ანგარიშები

ნებისმიერი ტიპის სტუდენტური პრაქტიკის (საგანმანათლებლო, სამრეწველო, ბაკალავრიატის) დასრულების შემდეგ საჭიროა ანგარიში. ეს დოკუმენტი იქნება სტუდენტის პრაქტიკული მუშაობის დადასტურება და პრაქტიკისთვის შეფასების ფორმირების საფუძველი. ჩვეულებრივ, სტაჟირების ანგარიშის შედგენისთვის საჭიროა შეაგროვოთ და გაანალიზოთ ინფორმაცია საწარმოს შესახებ, გაითვალისწინოთ ორგანიზაციის სტრუქტურა და სამუშაო გრაფიკი, რომელშიც სტაჟირება მიმდინარეობს, შეადგინოთ კალენდარული გეგმა და აღწეროთ თქვენი პრაქტიკული საქმიანობა.
ჩვენ დაგეხმარებით სტაჟირების შესახებ ანგარიშის დაწერაში, კონკრეტული საწარმოს საქმიანობის სპეციფიკის გათვალისწინებით.

მე-8 კლასი

თარიღი:

გაკვეთილი ნომერი 9.

თემა: კვადრატული ფესვის სავარაუდო გამოთვლები.

მიზნები: 1. ვასწავლოთ მოსწავლეებს მიახლოებითი კვადრატული ფესვების პოვნა.

2. განუვითარდებათ დაკვირვება, ანალიზის, შედარების, დასკვნების გამოტანის უნარი.

სწავლისადმი პოზიტიური დამოკიდებულების გამომუშავება

გაკვეთილის ტიპი: კომბინირებული.

გაკვეთილის ორგანიზების ფორმები: ინდივიდუალური, კოლექტიური

აღჭურვილობა: პროექტის დაფა, განწყობის ამსახველი ბარათები, მიკროკალკულატორი

სამ გზას მივყავართ ცოდნამდე: რეფლექსიის გზა

ეს არის ყველაზე კეთილშობილური გზა

მიბაძვის გზა ყველაზე მარტივი გზაა

და გამოცდილების გზა ყველაზე მწარე გზაა.

კონფუცი

გაკვეთილების დროს.

ორგანიზების დრო

საშინაო დავალების შემოწმების ნაბიჯი

No60 - 1 მოსწავლე ასრულებს დაფასთან, მეორე მოსწავლე ადგილზე ამოწმებს დავალების სისწორეს.

ზეპირი სამუშაო: დაფაზე დაპროექტებული

ა) იპოვეთ ფესვის მნიშვნელობა:

ბ) აქვს თუ არა აზრი გამოთქმას:

გ) იპოვეთ რიცხვი, რომლის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის 0; ერთი; 3; ათი; 0.6

ახალი მასალის ახსნის ეტაპი

კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ მიკროკალკულატორი. ამისათვის შეიყვანეთ რადიკალური გამოხატულება კალკულატორში და დააჭირეთ ღილაკს რადიკალური ნიშნით. მაგრამ ყოველთვის არ არის ხელთ კალკულატორი, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობა შემდეგნაირად:

მოდი ვიპოვოთ ღირებულება.

Მას შემდეგ . ახლა, 1-დან 2-მდე ინტერვალზე განლაგებულ რიცხვებს შორის ვიღებთ მეზობელ რიცხვებს 1.4 და 1.5, ვიღებთ: , შემდეგ ვიღებთ რიცხვებს 1.41 და 1.42, ეს რიცხვები აკმაყოფილებს უტოლობას. თუ გავაგრძელებთ მეზობელი რიცხვების კვადრატის ამ პროცესს, მივიღებთ უტოლობების შემდეგ სისტემას:

დაფაზე დაპროექტებული.

ამ სისტემიდან, ათწილადის შემდეგ რიცხვების შედარებისას მივიღებთ:

კვადრატული ფესვების მიახლოებითი მნიშვნელობები შეიძლება იქნას მიღებული ჭარბი და დეფიციტის თვალსაზრისით, ე.ი. დეფიციტით 0,0001 სიზუსტით და სიჭარბით.

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

დონე "A"

0,2664 0,2 - დეფიციტით

№93 (გამოიყენება კალკულატორი)

5. ვალეოლოგიური პაუზა: ვარჯიშები თვალებისთვის.

დონე "B"

6. ისტორიული ფონი კვადრატული ფესვების მნიშვნელობის პოვნის აუცილებლობის შესახებ

(მსურველი სტუდენტი მოწვეულია წინასწარ მოამზადოს შეტყობინება ამ თემაზე ინტერნეტის გამოყენებით)

შემოთავაზებულია ფორმულა ირაციონალური რიცხვის კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის საპოვნელად:

დონე "C" No105

7. რეფლექსია.

გაკვეთილის შეჯამება.

საშინაო დავალება: No102,

თემა: „მოძიება
კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობები "

გაკვეთილის ტიპი: ONZ, R

ძირითადი მიზნები:

• ისწავლეთ კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობების პოვნა,
• ისწავლეთ ფესვების გამოთვლის მეთოდები.

გაკვეთილების დროს

1. სასწავლო აქტივობებისადმი თვითგამორკვევა

სცენის მიზანი: 1) მოსწავლეთა ჩართვა სასწავლო აქტივობებში;

2) გაკვეთილის შინაარსის განსაზღვრა: ვაგრძელებთ კვადრატულ ფესვებზე მუშაობას

სასწავლო პროცესის ორგანიზება პირველ ეტაპზე:

რას ვსწავლობთ ახლა ალგებრის გაკვეთილებზე? (კვადრატული ფესვები)

რა არის კვადრატული ფესვები?

- კარგი რა! წარმატებული მუშაობისთვის ჩვენ შევასრულებთ შემდეგ დავალებებს.

2. ცოდნის აქტუალიზაცია და აქტივობებში სირთულეების დაფიქსირება

სცენის მიზანი: 1) ახალი მასალის აღქმისთვის საჭირო და საკმარისი საგანმანათლებლო შინაარსის განახლება: კვადრატული ფესვის მნიშვნელობების პოვნა;

2) განაახლოს ახალი მასალის აღქმისთვის აუცილებელი და საკმარისი გონებრივი ოპერაციები: შედარება, ანალიზი, განზოგადება;

3) დააფიქსიროს ყველა განმეორებითი კონცეფცია და ალგორითმი სქემების და სიმბოლოების სახით;

4) დააფიქსირეთ ინდივიდუალური სირთულე საქმიანობაში, აჩვენეთ არსებული ცოდნის ნაკლებობა პირადად მნიშვნელოვან დონეზე: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-2 ეტაპზე:

1. გამოთვალეთ: , , , ,

4. ინდივიდუალური დავალება.

იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა..

3. სირთულის გამომწვევი მიზეზის დადგენა და აქტივობის მიზნის დასახვა

სცენის მიზანი: 1) კომუნიკაციური ურთიერთქმედების ორგანიზება, რომლის დროსაც ვლინდება და ფიქსირდება ამოცანის გამორჩეული თვისება, რამაც გამოიწვია სირთულეები საგანმანათლებლო საქმიანობაში: კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პოვნის უნარი;

2) შეთანხმდნენ გაკვეთილის მიზანსა და თემაზე.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-3 ეტაპზე:

– რა გჭირდებოდათ?

- Რა მიიღე? (სტუდენტები აჩვენებენ თავიანთ ვარიანტებს)

- Რა იყო პრობლემა?

√2 მთლიანად ამოღებულია?

არა.

როგორ ვიპოვოთ?

რა გზები არსებობს ფესვების მოსაძებნად?

ბიჭებო, ხედავთ, ჩვენ ყოველთვის არ გვაქვს საქმე რიცხვებთან, რომლებიც ადვილად არის წარმოდგენილი რიცხვის კვადრატის სახით, რომლებიც ამოღებულია მთლიანად ფესვის ქვეშ.

- რა არის ჩვენი მიზანი?

- ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის თემა.

- ჩაწერეთ თემა ბლოკნოტში.

4. სირთულიდან გამოსვლის პროექტის აგება

სცენის მიზანი: 1) კომუნიკაციური ურთიერთქმედების ორგანიზება მოქმედების ახალი რეჟიმის შესაქმნელად, რომელიც აღმოფხვრის გამოვლენილი სირთულის მიზეზს;

2) დააფიქსირეთ მოქმედების ახალი რეჟიმი ნიშნით, სიტყვიერი ფორმით.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-4 ეტაპზე:

გამოთვლის 1 მეთოდი √2 ზუსტი ორ ათწილადამდეჩვენ შემდეგნაირად ვიკამათებთ.

რიცხვი √2 1-ზე მეტია, რადგან 1 2 2 2-ზე მეტი. მაშასადამე, რიცხვის ათობითი აღნიშვნა დაიწყება შემდეგნაირად: 1, ... ანუ ფესვი ორი, ეს არის ერთეული რაღაცით.

ახლა ვცადოთ ვიპოვოთ მეათედების რიცხვი.

ამისთვის წილადებს ერთიდან ორამდე გავა კვადრატში, სანამ არ მივიღებთ ორზე მეტ რიცხვს.

ავიღოთ გაყოფის ნაბიჯი 0.1-ზე, რადგან ვეძებთ მეათედების რიცხვს.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ კვადრატში გავაფორმებთ რიცხვებს: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9.

1,1 2 =1,21; 1,2 2 =1,44; 1,3 2 =1,69; 1,4 2 =1,96; 1,5 2 =2,25.

მივიღეთ ორზე მეტი რიცხვი, დარჩენილი რიცხვების კვადრატი აღარ არის საჭირო. ნომერი 1.4 2 არის 2-ზე ნაკლები და 1.5 არის 2 უკვე ორზე მეტია, მაშინ რიცხვი √2 უნდა ეკუთვნოდეს 1.4-დან 1.5-მდე ინტერვალს. ამიტომ მეათე ადგილზე √2 რიცხვის ათობითი აღნიშვნა უნდა შეიცავდეს 4-ს. √2=1.4….

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, 1.4

1,41 2 =1,9881, 1,42 2 =2,0164.

უკვე 1,42-ზე ვიღებთ, რომ მისი კვადრატი ორზე მეტია, რიცხვების შემდგომი კვადრატი აზრი არ აქვს.

აქედან მივიღებთ, რომ რიცხვი √2 მიეკუთვნება 1.41-დან 1.42-მდე (1.41) ინტერვალს

ვინაიდან √2 უნდა დავწეროთ ორი ათწილადის სიზუსტით, უკვე შეგვიძლია შევჩერდეთ და არ გავაგრძელოთ გამოთვლა.

√2 ≈ 1.41. ეს იქნება პასუხი. თუ საჭირო იქნებოდა კიდევ უფრო ზუსტი მნიშვნელობის გამოთვლა, უნდა გაეგრძელებინა გამოთვლები, მსჯელობის ჯაჭვის განმეორებით გამეორება.

ვარჯიში

გამოთვალეთ ორ ათწილადამდე

√3 = , √5 = , √6 = , √7 =, √8 =

დასკვნა ეს ტექნიკა საშუალებას გაძლევთ ამოიღოთ ფესვი ნებისმიერი წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით.

2 მეთოდი რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელი ნაწილის გასარკვევად, შეგიძლიათ, მისგან ყველა კენტი რიცხვის თანმიმდევრობით გამოკლებით, სანამ დარჩენილი არ იქნება ნაკლები მომდევნო გამოკლებულ რიცხვზე ან ნულის ტოლი, დაითვალოთ შესრულებული მოქმედებების რაოდენობა.

მაგალითად, ვიპოვოთ √16 ასე:

1. 16 - 1 = 15
2. 15 - 3 = 12
3. 12 - 5 = 7
4. 7 - 7 =0

• დასრულდა 4 ნაბიჯი, ასე რომ √16 = 4

დავალების გამოთვლა

√1 = √6 =

√2 = √7 =

√3 = √8 =

√4 = √9 =

√5 = √10 =

დასკვნა ეს ტექნიკა მოსახერხებელია, როდესაც ფესვი მთლიანად ამოღებულია.

3 მეთოდი ძველი ბაბილონელები იყენებდნენ შემდეგ მეთოდს მათი x რიცხვის კვადრატული ფესვის სავარაუდო მნიშვნელობის საპოვნელად. ისინი x რიცხვს წარმოადგენდნენ a-ს ჯამის სახით 2 + ბ,

სადაც 2 - ნატურალური რიცხვის ზუსტი კვადრატი x რიცხვთან ყველაზე ახლოს და გამოიყენა ფორმულა.

ჩვენ ამოვიღებთ კვადრატულ ფესვს ფორმულის გამოყენებით,

მაგალითად 28 ნომრიდან:

დასკვნა ბაბილონური მეთოდი კარგ მიახლოებას აძლევს ფესვის ზუსტ მნიშვნელობას.

5. პირველადი კონსოლიდაცია გარეგნულ მეტყველებაში

სცენის მიზანი: შესწავლილი საგანმანათლებლო შინაარსის დაფიქსირება გარე მეტყველებაში.

საგანმანათლებლო პროცესის ორგანიზება მე-5 ეტაპზე:

სახელმძღვანელოდან: No 336, 337, 338,339, 343,345

6. სტანდარტის მიხედვით დამოუკიდებელი მუშაობა თვითტესტით.

სცენის მიზანი: შეამოწმეთ თქვენი უნარი გამოიყენოს შეკრება და გამოკლება ალგორითმი ტიპიურ პირობებში თქვენი ამოხსნის შედარებით თვითშემოწმების სტანდარტთან.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-6 ეტაპზე:

Nos. 338 (a), 339 (c, d)

სტანდარტის შემოწმების შემდეგ ხდება შეცდომების ანალიზი და გამოსწორება.

7. ცოდნის სისტემაში ჩართვა და გამეორება

სცენის მიზანი: 1) ავარჯიშებს ახალი შინაარსის გამოყენების უნარ-ჩვევებს ადრე ნასწავლთან ერთად;

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-7 ეტაპზე:

1 ჯგუფი (საშუალო) "No. ______________

ჯგუფი 2 (მაღალი) №№ _________________

8. აქტივობების ასახვა გაკვეთილზე

1) გაკვეთილზე ნასწავლი ახალი შინაარსის დაფიქსირება;

2) გაკვეთილზე საკუთარი აქტივობების შეფასება;

3) მადლობა კლასელებს, რომლებიც დაეხმარნენ გაკვეთილის შედეგის მიღებაში;

4) გადაუჭრელი სირთულეების დაფიქსირება სამომავლო სასწავლო საქმიანობის მიმართულებად;

5) განიხილეთ და ჩაწერეთ საშინაო დავალება.

სასწავლო პროცესის ორგანიზება მე-8 ეტაპზე:

– რა ვისწავლეთ დღეს კლასში?

– რა ვისწავლეთ დღეს?

– გაანალიზეთ თქვენი აქტივობები გაკვეთილზე და შეაფასეთ თქვენი ნამუშევარი.

Საშინაო დავალება №№ 344 , 346, 351

ახლა ისმის კითხვა: როგორ გავზარდოთ რიცხვი ირაციონალურ ხარისხზე? მაგალითად, გვინდა ვიცოდეთ რა არის 10 √2 პასუხი პრინციპში ძალიან მარტივია. √2-ის ნაცვლად ავიღოთ მისი მიახლოება სასრული ათობითი drdbi-ის სახით - ეს რაციონალური რიცხვია. ჩვენ შეგვიძლია რაციონალურ ხარისხზე აყვანა; ეს მოდის მთელ რიცხვზე აწევაზე და ფესვის ამოღებაზე. ჩვენ მივიღებთ ნომრის სავარაუდო მნიშვნელობას. შეგიძლიათ აიღოთ უფრო გრძელი ათობითი წილადი (ეს ისევ რაციონალური რიცხვია). შემდეგ თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი უფრო დიდი ხარისხის; ყოველივე ამის შემდეგ, რაციონალური წილადის მნიშვნელი გაიზრდება, მაგრამ უფრო ზუსტ მიახლოებას მივიღებთ. რა თქმა უნდა, თუ √2-ის მიახლოებით მნიშვნელობას ავიღებთ ძალიან გრძელ წილადად, მაშინ სიმძლავრე ძალიან რთული იქნება. როგორ გავუმკლავდეთ ამ ამოცანას?

კვადრატული ფესვების, კუბური ფესვების და სხვა დაბალი ხარისხის ფესვების გამოთვლა ჩვენთვის საკმაოდ ხელმისაწვდომი არითმეტიკული პროცესია; გამოთვლით, თანმიმდევრობით, ერთმანეთის მიყოლებით, ვწერთ ათწილადებს. მაგრამ იმისთვის, რომ ირაციონალურ ძალამდე აიყვანოთ ან ავიღოთ ლოგარითმი (შებრუნებული ამოცანის გადასაჭრელად), საჭიროა ისეთი სამუშაო, რომ წინა პროცედურის გამოყენება ადვილი აღარ იყოს. მაგიდები მოდიან სამაშველოში. მათ უწოდებენ ლოგარითმების ცხრილებს ან სიმძლავრის ცხრილებს, იმისდა მიხედვით, თუ რისთვის არის განკუთვნილი. ისინი ზოგავენ დროს: რიცხვის ირაციონალურ სიმძლავრემდე ასაყვანად, ჩვენ არ ვიანგარიშებთ, არამედ მხოლოდ გვერდს ვცვლით.

მიუხედავად იმისა, რომ ცხრილებში შეგროვებული მნიშვნელობების გამოთვლა წმინდა ტექნიკური პროცედურაა, ის მაინც საინტერესო საკითხია და ხანგრძლივი ისტორია აქვს. ვნახოთ, როგორ კეთდება. ჩვენ გამოვთვლით არა მხოლოდ x \u003d 10 √2, არამედ მოვაგვარებთ სხვა პრობლემას: 10 x \u003d 2, ან x \u003d log 10 2. ამ ამოცანების ამოხსნისას ჩვენ არ აღმოვაჩენთ ახალ რიცხვებს; ეს მხოლოდ გამოთვლითი პრობლემებია. გამოსავალი იქნება ირაციონალური რიცხვები, უსასრულო ათობითი წილადები და რატომღაც მოუხერხებელია მათი ახალი ტიპის რიცხვების გამოცხადება.

მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ჩვენი განტოლებები. ზოგადი იდეა ძალიან მარტივია. თუ გამოვთვლით 10 1 და 10 1/10 და 10 1/100 და 10 1/1000 და ა.შ. და შემდეგ გავამრავლებთ შედეგებს, მივიღებთ 10 1.414 ... ან l0 √ 2 ამით მოვაგვარებთ ნებისმიერი მსგავსი პრობლემა. თუმცა, ნაცვლად 10 1/10 და ა.შ., ჩვენ გამოვთვლით 10 1/2 და 10 1/4 და ა.შ. სანამ დავიწყებთ, ავხსნათ, რატომ მოვიხსენიებთ რიცხვს 10 უფრო ხშირად, ვიდრე სხვა რიცხვები. ჩვენ ვიცით, რომ ლოგარითმების ცხრილების მნიშვნელობა ბევრად სცილდება ფესვების გამოთვლის მათემატიკურ პრობლემას, რადგან

ეს კარგად იცის ყველამ, ვინც გამოიყენა ლოგარითმის ცხრილი რიცხვების გასამრავლებლად. რის საფუძველზე ავიღოთ b ლოგარითმები? არ აქვს მნიშვნელობა; ასეთი გამოთვლები ეფუძნება მხოლოდ პრინციპს, ლოგარითმული ფუნქციის ზოგად თვისებას. რაიმე თვითნებური ფუძისთვის ლოგარითმების ერთხელ გაანგარიშების შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ გადახვიდეთ ლოგარითმებზე სხვა ფუძისთვის გამრავლების გამოყენებით. თუ განტოლებას (22.3) გაამრავლებთ 61-ზე, მაშინ ის ჭეშმარიტი დარჩება, ასე რომ, თუ ლოგარითმების ცხრილის ყველა რიცხვს b ფუძეზე გაამრავლებთ 61-ზე, მაშინ ასეთი ცხრილის გამოყენებაც შეიძლება. დავუშვათ, რომ ვიცით b ფუძის ყველა რიცხვის ლოგარითმები. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ შეგვიძლია ამოხსნათ განტოლება b a = c ნებისმიერი c-სთვის; ამისათვის არის მაგიდა. პრობლემა ისაა, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ იგივე c რიცხვის ლოგარითმი სხვადასხვა ფუძეში, როგორიცაა x. ჩვენ უნდა ამოხსნათ განტოლება x a' = c. ამის გაკეთება ადვილია, რადგან x ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი x = b t. t მოცემული x და b მარტივია: t = log b x. ახლა ჩავანაცვლოთ x = b t განტოლებაში x a’ = c; ის გადავა ამ განტოლებაში: (b t) a’ = b ta’ = c. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნამრავლი ta' არის c-ის ლოგარითმი b ფუძემდე. ასე რომ a' = a/t. ამრიგად, x ფუძის ლოგარითმები უდრის b ფუძის ლოგარითმების ნამრავლებს და მუდმივ რიცხვს l/t. მაშასადამე, ლოგარითმების ყველა ცხრილი ექვივალენტურია l/log b x რიცხვით გამრავლებამდე. ეს გვაძლევს საშუალებას ავირჩიოთ ნებისმიერი ბაზა ტაბულისთვის, მაგრამ ჩვენ გადავწყვიტეთ, რომ ყველაზე მოსახერხებელია 10 რიცხვის გამოყენება. ამ კითხვაზე მოგვიანებით პასუხის გასაცემად, ხოლო ყველა ლოგარითმი გამოითვლება 10-ე ბაზაში.)

ახლა ვნახოთ, როგორ არის შედგენილი ლოგარითმების ცხრილი. მუშაობა იწყება 10-ის კვადრატული ფესვის თანმიმდევრული ამოღებით. შედეგი ჩანს ცხრილში. 22.1. მაჩვენებლები იწერება მის პირველ სვეტში, ხოლო რიცხვები 10 s არის მესამეში. გასაგებია, რომ 10 1 \u003d 10. ადვილია 10-დან ნახევარ სიმძლავრის აწევა - ეს არის 10-ის კვადრატული ფესვი და ყველამ იცის, როგორ აიღოს ნებისმიერი რიცხვის კვადრატული ფესვი. (უკეთესია კვადრატული ფესვის აღება არა ისე, როგორც ჩვეულებრივ სკოლაში ასწავლიან, არამედ ოდნავ განსხვავებულად. N რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოსაღებად ვირჩევთ რიცხვს პასუხთან საკმარისად ახლოს, გამოვთვალოთ N/a და საშუალო a' = 1/2; ეს საშუალო იქნება ახალი რიცხვი a, N-ის ფესვის ახალი მიახლოება. ეს პროცესი ძალიან სწრაფად მიდის მიზნამდე: მნიშვნელოვანი ციფრების რაოდენობა გაორმაგდება ყოველი ნაბიჯის შემდეგ.) ასე რომ, ჩვენ გვაქვს. იპოვა პირველი კვადრატული ფესვი; ის უდრის 3,16228-ს. რას იძლევა? რაღაცას აძლევს. ჩვენ უკვე შეგვიძლია ვთქვათ, რა არის 10 0.5 და ვიცით მინიმუმ ერთი ლოგარითმი.

3.16228-ის ლოგარითმი ძალიან ახლოს არის 0.50000-თან. თუმცა, ჩვენ მაინც გვჭირდება ცოტა ძალისხმევა: ჩვენ გვჭირდება უფრო დეტალური ცხრილი. ავიღოთ კიდევ ერთი კვადრატული ფესვი და ვიპოვოთ 10 1/4, რაც უდრის 1,77828-ს. ახლა ჩვენ ვიცით სხვა ლოგარითმი: 1.250 არის 17.78-ის ლოგარითმი; გარდა ამისა, შეგვიძლია ვთქვათ, თუ რას უდრის 10 0,75: ბოლოს და ბოლოს, ეს არის 10 (0,5 + 0,25), ანუ ცხრილის მესამე სვეტიდან მეორე და მესამე რიცხვების ნამრავლი. 22.1. თუ ცხრილის პირველ სვეტს საკმარისად დიდხანს გააკეთებთ, მაშინ ცხრილი შეიცავს თითქმის ყველა რიცხვს; გავამრავლოთ რიცხვები მესამე სვეტიდან, მივიღებთ 10-ს თითქმის ნებისმიერ ხარისხზე. ეს არის ცხრილების ძირითადი იდეა. ჩვენი ცხრილი შეიცავს ათ ზედიზედ ფესვს 10-დან; ცხრილის შედგენაზე ძირითადი სამუშაო ჩადებულია ამ ფესვების გამოთვლაში.

რატომ არ ვაგრძელებთ ცხრილების სიზუსტის შემდგომ გაუმჯობესებას? რადგან ჩვენ უკვე შევნიშნეთ რაღაც. 10-ის ძალიან მცირე სიმძლავრის აწევით, ჩვენ ვიღებთ ერთეულს მცირე დანამატით. ეს, რა თქმა უნდა, იმიტომ ხდება, რომ თუ ჩვენ, მაგალითად, 10 1/1000 1000-ე ხარისხზე გავზრდით, მაშინ ისევ მივიღებთ 10-ს; ნათელია, რომ 10 1/1000 არ შეიძლება იყოს დიდი რიცხვი: ის ძალიან ახლოს არის ერთთან. უფრო მეტიც, ერთიანობის მცირე დამატებები ისე იქცევა, თითქოს ყოველ ჯერზე იყოფა 2-ზე; კარგად დააკვირდით ცხრილს: 1815 მიდის 903-ზე, შემდეგ 450-ზე, 225-ზე და ა.შ. ამგვარად, თუ კიდევ ერთ მეთერთმეტე კვადრატულ ფესვს გამოვთვლით, დიდი სიზუსტით უდრის 1,00112-ს და ეს შედეგი გამოვიცანით კიდეც. გაანგარიშებამდე. შეგიძლიათ მითხრათ, რა იქნება ერთის დამატება, თუ აწევთ 10-ს ∆/1024-ის ხარისხზე, რადგან ∆ მიდრეკილია ნულისკენ? შეუძლია. დამატება იქნება დაახლოებით 0.0022511∆ ტოლი. რა თქმა უნდა, არა ზუსტად 0,0022511∆; ამ შეკრების უფრო ზუსტად გამოსათვლელად ისინი აკეთებენ შემდეგ ხრიკს: აკლებენ ერთს 10 წმ-ს და სხვაობას ყოფენ s-ზე. ამ გზით მიღებული კოეფიციენტის გადახრები მისი ზუსტი მნიშვნელობიდან ერთნაირია s-ის ნებისმიერი ხარისხისათვის. ჩანს, რომ ეს კოეფიციენტები (ცხრილი 22.1) დაახლოებით ტოლია. თავიდან ისინი ძალიან განსხვავდებიან, მაგრამ შემდეგ ისინი უახლოვდებიან ერთმანეთს, აშკარად მიისწრაფვიან გარკვეული რაოდენობისკენ. რა არის ეს ნომერი? ვნახოთ, როგორ იცვლება მეოთხე სვეტის რიცხვები, თუ სვეტში ჩავალთ. პირველი, განსხვავება ორ მიმდებარე რიცხვს შორის არის 0.0211, შემდეგ 0.0104, შემდეგ 0.0053 და ბოლოს 0.0026. განსხვავება ყოველ ჯერზე ნახევარით მცირდება. კიდევ ერთი ნაბიჯის გადადგმით, მივიყვანთ მას 0.0013-მდე, შემდეგ 0.0007-მდე, 0.0003-მდე, 0.0002-მდე და ბოლოს დაახლოებით 0.0001-მდე; თანმიმდევრულად უნდა გავყოთ 26 2-ზე. ამგვარად, ჩამოვალთ კიდევ 26 ერთეულით და ვიპოვით ლიმიტს 2.3025. (მოგვიანებით დავინახავთ, რომ 2.3026 უფრო სწორი იქნება, მაგრამ ავიღოთ რა გვაქვს.) ამ ცხრილის გამოყენებით შეგიძლიათ აწიოთ 10 ნებისმიერ სიმძლავრეზე, თუ მისი მაჩვენებელი რაიმე სახით არის გამოხატული I/I024-ით.

ახლა ადვილია ლოგარითმების ცხრილის გაკეთება, რადგან ჩვენ უკვე შენახული გვაქვს ყველაფერი, რაც საჭიროა ამისათვის. ამის პროცედურა ნაჩვენებია ცხრილში. 22.2, ხოლო საჭირო რიცხვები აღებულია ცხრილის მეორე და მესამე სვეტებიდან. 22.1.

დავუშვათ, რომ გვინდა ვიცოდეთ 2-ის ლოგარითმი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვინდა ვიცოდეთ რა სიმძლავრემდე უნდა გაიზარდოს 10, რომ მივიღოთ 2. იქნებ ავწიოთ 10 1/2-ის ხარისხამდე? არა, ძალიან დიდია. ცხრილი 22.1-ს რომ გადავხედოთ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ჩვენ გვჭირდება რიცხვი 1/4-დან 1/2-მდეა. დავიწყოთ მისი ძებნა 1/4-ით; გავყოთ 2 1,778-ზე…, მივიღებთ 1,124…; გაყოფისას ორის ლოგარითმს გამოვაკლეთ 0,250000, ახლა კი გვაინტერესებს 1,124 ლოგარითმი .... მას შემდეგ რაც ვიპოვეთ, შედეგს დავამატებთ 1/4 = 256/1024. მოდი ვიპოვოთ ცხრილში 22.1 რიცხვი, რომელიც მესამე სვეტის გასწვრივ ზემოდან ქვემოდან გადაადგილებისას მაშინვე დადგება 1.124-ის უკან. ეს არის 1.074607. თანაფარდობა 1.124… 1.074607 არის 1.046598. საბოლოო ჯამში, ჩვენ წარმოვადგენთ 2-ს, როგორც ცხრილის რიცხვების ნამრავლს. 22.1:
2 = (1,77828) (1,074607) (1,036633). (1,0090350) (1,000573).
ბოლო ფაქტორისთვის (1.000573) ჩვენს ცხრილში ადგილი არ იყო; მისი ლოგარითმის საპოვნელად აუცილებელია ამ რიცხვის წარმოდგენა 10∆/1024 ≈ 1 + 2,3025∆/1024. აქედან ადვილია იმის პოვნა, რომ ∆ = 0,254. ამრიგად, ჩვენი პროდუქტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ათეული, რომელიც გაიზარდა 1/1024 ხარისხზე (266 + 32 + 16 + 4 + 0,254). შეკრებით და გაყოფით მივიღებთ სასურველ ლოგარითმს: log 10 2 = 0.30103; ეს შედეგი სწორია მეხუთე ათწილადამდე!

ჩვენ გამოვთვალეთ ლოგარითმები ზუსტად ისევე, როგორც ბატონმა ბრიგსმა ჰალიფაქსიდან 1620 წელს. როცა დაასრულა, თქვა: „მე გამოვთვალე თანმიმდევრულად 54 კვადრატული ფესვი 10-დან“. ფაქტობრივად, მან გამოთვალა მხოლოდ პირველი 27 ძირი, შემდეგ კი ილეთი შეასრულა ∆-ით. 10-ის კვადრატულ ფესვზე 27-ჯერ გამოთვლა რეალურად ცოტა უფრო რთულია ვიდრე
10-ჯერ, როგორც ჩვენ გავაკეთეთ. თუმცა, მისტერ ბრიგსმა გაცილებით მეტი გააკეთა: მან გამოთვალა ფესვები მეთექვსმეტე ათწილადამდე და როდესაც გამოაქვეყნა თავისი ცხრილები, შეცდომების დამრგვალებისთვის მათ მხოლოდ 14 ათწილადი დატოვა. ამ მეთოდით ლოგარითმების ცხრილების შედგენა მეთოთხმეტე ათწილადამდე ძალიან რთულია. მაგრამ დაახლოებით 300 წლის შემდეგ, ლოგარითმების ცხრილების შემდგენელები ჩაერთნენ იმით, რომ მათ შეამცირეს მისტერ ბრიგსის ცხრილები და ყოველ ჯერზე მათგან ათწილადის სხვადასხვა რაოდენობა ამოაგდეს. მხოლოდ ბოლო დროს გახდა შესაძლებელი ელექტრონული კომპიუტერების დახმარებით ლოგარითმების ცხრილების შედგენა ბატონი ბრიგსისგან დამოუკიდებლად. ამ შემთხვევაში გამოყენებული იყო უფრო ეფექტური გაანგარიშების მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია ლოგარითმის სერიაში გაფართოებაზე.

ცხრილების შედგენისას საინტერესო ფაქტს წავაწყდით; თუ ε მაჩვენებელი ძალიან მცირეა, მაშინ ძალიან ადვილია 10 ε-ის გამოთვლა; ეს არის მხოლოდ 1+2.3025ε. ეს ნიშნავს, რომ 10 n/2.3025 = 1 + n ძალიან მცირე n-სთვის. გარდა ამისა, თავიდანვე ვთქვით, რომ ფუძე 10 ლოგარითმს ვითვლით მხოლოდ იმიტომ, რომ ხელებზე გვაქვს 10 თითი და ათეულებში დათვლა უფრო მოსახერხებელია. ნებისმიერი სხვა ფუძის ლოგარითმები მიიღება ლოგარითმებიდან 10 ფუძემდე მარტივი გამრავლებით. ახლა დროა გავარკვიოთ, არის თუ არა ლოგარითმების მათემატიკურად გამორჩეული საფუძველი, გამორჩეული მიზეზების გამო, რომლებსაც საერთო არაფერი აქვთ ხელის თითების რაოდენობასთან. ამ ბუნებრივ მასშტაბში, ფორმულები ლოგარითმებით უფრო მარტივი უნდა გამოიყურებოდეს. მოდით შევქმნათ ლოგარითმების ახალი ცხრილი 10 ფუძის ლოგარითმის გამრავლებით 2.3025-ზე…. ეს შეესაბამება ახალ ფუძეზე გადასვლას - ბუნებრივ, ან ფუძე e. გაითვალისწინეთ, რომ log e (l + n) ≈ n ან e n ≈ 1 + n, როდესაც n → 0.

თავად რიცხვი e-ს პოვნა მარტივია; ის უდრის 101/ 2.3025 ან 10 0.4342294... ეს არის 10 ირაციონალურ ძალაზე. e-ს გამოსათვლელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ 10-ის ფესვების ცხრილი. მოდით წარმოვადგინოთ 0,434294 ... ჯერ 444,73 / 1024, ხოლო ამ წილადის მრიცხველი, როგორც ჯამი 444,73 \u003d 256 + 128 + 32 + 16 + 8 + 4 0.73 . ამიტომ რიცხვი e უდრის რიცხვების ნამრავლს
(1,77828) (1,33352) (1,074607) (1,036633) (1,018152) (1,009035) (1,001643) = 2,7184.
(რიცხვი 0.73 არ არის ჩვენს ცხრილში, მაგრამ შესაბამისი შედეგი შეიძლება წარმოვიდგინოთ როგორც 1 + 2.3025∆/1024 და გამოვთვალოთ ∆ = 0.73.) 7-ვე ფაქტორის გამრავლებით მივიღებთ 2.7184-ს (ფაქტობრივად უნდა იყოს 2.7183, მაგრამ ეს შედეგი კარგია). ასეთი ცხრილების გამოყენებით შეგიძლიათ აწიოთ რიცხვი ირაციონალურ ხარისხამდე და გამოთვალოთ ირაციონალური რიცხვების ლოგარითმები. ასე უნდა გაუმკლავდე ირაციონალურობას!

კალკულატორების მოსვლამდე მოსწავლეები და მასწავლებლები კვადრატულ ფესვებს ხელით ითვლიდნენ. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლის რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგიერთი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

ძირეული რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.ძირეული რიცხვიდან გამომდინარე, მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, საიდანაც შეიძლება აიღოთ მთელი კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, სცადეთ ძირეული რიცხვის ფაქტორიზირება კვადრატულ ფაქტორებად.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400 კვადრატულ ფაქტორებად გადაქცევა. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება გამრავლდეს კვადრატულ ფაქტორებად 25 და 16, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი წევრის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის თითოეული წევრის კვადრატული ფესვების ნამრავლს, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი და აიღეთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლეთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის კვადრატული ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ ძირეული რიცხვი არ ასახავს ორ კვადრატულ ფაქტორს (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ იპოვით ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ პრობლემის გამარტივება შეგიძლიათ ძირეული რიცხვის კვადრატულ და ჩვეულებრივ ფაქტორად დაშლით (რაოდენობა, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ ჩვეულებრივი ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გაერთიანდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ ის შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებში: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით იმ კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვთა ხაზის ორივე მხარეს) ძირის რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ფესვის მნიშვნელობას ათწილადის სახით, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. ძირეული რიცხვია 3. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვებია რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა დევს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 \u003d 11.9. თუ გამოთვლებს აკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. ძირეული რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვებია 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა დევს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია ვიდრე 6. კალკულატორით გადამოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 - ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. კიდევ ერთი გზაა ძირეული რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად.მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ზედიზედ დაწერეთ მარტივი ფაქტორები და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ფესვის ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. ჩვენ ვშლით ფესვის რიცხვს მარტივ ფაქტორებად: 45 \u003d 9 x 5 და 9 \u003d 3 x 3. ამრიგად, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირეული ნიშნიდან: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ სამი მამრავლი 2s; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და ამოიღეთ ფესვის ნიშნიდან.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √2 და √11 და ვიპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   სვეტის გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ფურცლის ზედა კიდეზე ვერტიკალურ ხაზამდე. ახლა დაყავით ძირეული რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ რიცხვი ზედა მარცხენა მხარეს, როგორც "7 80, 14". ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. პასუხი (მოცემული რიცხვის ფესვი) დაიწერება ზედა მარჯვენა მხარეს.

   2. მარცხნიდან მოცემული რიცხვების პირველი წყვილი (ან ერთი რიცხვი), იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოს არის, მაგრამ ნაკლებია, მარცხნიდან პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ ამ კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. ჩაწერეთ ნაპოვნი n ზედა მარჯვნივ და ჩაწერეთ კვადრატი n ქვედა მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, პირველი ნომერი მარცხნივ იქნება ნომერი 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს) მარცხნიდან.ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვენა კუთხეში „_×_=" დართულით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ „80“ 3-ის შემდეგ. შემდეგ, ზემოდან მარჯვნივ რიცხვის გაორმაგება იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ „4_×_=" ქვემოდან მარჯვნივ.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 \u003d 384, რაც 380-ზე მეტია. ამიტომ, 8 ძალიან დიდი რიცხვია, მაგრამ 7 კარგია. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 \u003d 329. ჩაწერეთ 7 ზემოდან მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვემოთ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ გამოკლებულის ქვემოთ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ დანგრეული რიცხვების წყვილი არის საწყისი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი (მძიმით) ჩადეთ სასურველ კვადრატულ ფესვში ზემოდან მარჯვნივ. მარცხნივ ჩამოიტანეთ ნომრების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვენა კუთხეში „_×_=" დართულით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების შემდეგი წყვილი დასანგრევად იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი ჩადეთ სასურველ კვადრატულ ფესვში ზემოდან მარჯვნივ. დაანგრიეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა მხარეს. ორმაგი ზედა მარჯვენა (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვნივ.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვეთ ყველაზე დიდი რიცხვი ტირეების ადგილას მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, ჩაწერეთ წყვილი ნულები მიმდინარე რიცხვის გვერდით მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ საჭირო პასუხის სიზუსტეს (რაოდენობა ათობითი ადგილები).

      პროცესის გააზრება

      1. ამ მეთოდის დასაუფლებლად წარმოიდგინეთ რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვის პოვნა გსურთ, როგორც S კვადრატის ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოძებნით ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. გამოთვალეთ L-ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც L² = S.

         ჩაწერეთ ასო თითოეული ციფრისთვის თქვენს პასუხში.აღნიშნეთ A-ით L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

         მიუთითეთ ასო თითოეული წამყვანი ციფრისთვის. S-ით ანიშნეთ S მნიშვნელობის პირველი წყვილი, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

         ახსენით ამ მეთოდის კავშირი გრძელ დაყოფასთან.როგორც გაყოფის ოპერაციაში, სადაც ყოველ ჯერზე გამყოფი რიცხვის მხოლოდ ერთი შემდეგი ციფრი გვაინტერესებს, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას ვმუშაობთ წყვილი ციფრით თანმიმდევრობით (მომდეგი ერთი ციფრის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის მისაღებად) .

      2. განვიხილოთ S რიცხვის პირველი წყვილი Sa (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, კვადრატული ფესვის მოძიებული მნიშვნელობის A პირველი ციფრი იქნება ისეთი ციფრი, რომლის კვადრატი არის S a-ზე ნაკლები ან ტოლი (ანუ ჩვენ ვეძებთ ისეთ A-ს, რომელიც აკმაყოფილებს A² უტოლობას. ≤ სა< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. გონებრივად წარმოიდგინეთ კვადრატი, რომლის ფართობის გამოთვლა გჭირდებათ.თქვენ ეძებთ L-ს, ანუ კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობია S. A, B, C არის რიცხვები L რიცხვში. შეგიძლიათ სხვანაირად დაწეროთ: 10A + B \u003d L (ორისთვის -ციფრიანი ნომერი) ან 100A + 10B + C \u003d L (სამნიშნა რიცხვისთვის) და ა.შ.

         • დაე იყოს (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². დაიმახსოვრეთ, რომ 10A+B არის რიცხვი, რომლის B ნიშნავს ერთს და A არის ათეულს. მაგალითად, თუ A=1 და B=2, მაშინ 10A+B უდრის რიცხვს 12-ს. (10A+B)²არის მთელი მოედნის ფართობი, 100A²არის დიდი შიდა კვადრატის ფართობი, B²არის პატარა შიდა კვადრატის ფართობი, 10A×Bარის ორი მართკუთხედიდან თითოეულის ფართობი. აღწერილი ფიგურების არეების დამატებით, თქვენ იპოვით ორიგინალური კვადრატის ფართობს.