16.1. ელემენტარული ფუნქციების გაფართოება ტეილორის სერიებში და

მაკლორინი

მოდით ვაჩვენოთ, რომ თუ თვითნებური ფუნქცია განისაზღვრება სიმრავლეზე
, წერტილის მიმდებარედ
აქვს მრავალი წარმოებული და არის სიმძლავრის სერიის ჯამი:

შემდეგ შეგიძლიათ იპოვოთ ამ სერიის კოეფიციენტები.

მოდით ჩავანაცვლოთ სიმძლავრის სერიაში
. მაშინ
.

ვიპოვოთ ფუნქციის პირველი წარმოებული
:

ზე
:
.

მეორე წარმოებულისთვის ვიღებთ:

ზე
:
.

ამ პროცედურის გაგრძელება ნერთხელ მივიღებთ:
.

ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმის სიმძლავრის სერია:

,

რომელსაც ქვია ტეილორის გვერდითფუნქციისთვის
წერტილის სიახლოვეს
.

ტეილორის სერიის განსაკუთრებული შემთხვევაა მაკლარინის სერიაზე
:

ტეილორის (მაკლაურინის) სერიის დარჩენილი ნაწილი მიიღება ძირითადი სერიის გადაგდებით ნპირველი წევრები და აღინიშნება როგორც
. შემდეგ ფუნქცია
შეიძლება დაიწეროს ჯამის სახით ნსერიის პირველი წევრები
და დანარჩენი
:,

.

დანარჩენი ჩვეულებრივ
გამოიხატება სხვადასხვა ფორმულებში.

ერთ-ერთი მათგანი ლაგრანჟის ფორმაშია:

, სად
.
.

გაითვალისწინეთ, რომ პრაქტიკაში Maclaurin სერია უფრო ხშირად გამოიყენება. ამრიგად, ფუნქციის ჩასაწერად
სიმძლავრის სერიის ჯამის სახით აუცილებელია:

1) იპოვეთ მაკლარინის (ტეილორის) სერიის კოეფიციენტები;

2) იპოვეთ მიღებული სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რეგიონი;

3) დაამტკიცეთ, რომ ეს სერია თანხვედრაშია ფუნქციასთან
.

თეორემა1 (მაკლაურინის სერიის კონვერგენციის აუცილებელი და საკმარისი პირობა). მოდით სერიის კონვერგენციის რადიუსი
. იმისათვის, რომ ეს სერიები გადაიზარდოს ინტერვალში
ფუნქციონირებს
, აუცილებელია და საკმარისია პირობის დაკმაყოფილებისთვის:
მითითებულ ინტერვალში.

თეორემა 2.თუ ფუნქციის რომელიმე რიგის წარმოებულები
რაღაც ინტერვალში
აბსოლუტური მნიშვნელობით შემოიფარგლება იმავე რიცხვით მ, ანუ
, შემდეგ ამ ინტერვალში ფუნქცია
შეიძლება გაფართოვდეს Maclaurin სერიაში.

მაგალითი1 . გააფართოვეთ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს
ფუნქცია

გამოსავალი.

.

, ;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

კონვერგენციის რეგიონი
.

მაგალითი2 . გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს
.

გამოსავალი:

იპოვეთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

მოდით დავდოთ ეს მნიშვნელობები ზედიზედ. ჩვენ ვიღებთ:

ან
.

მოდით ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის რეგიონი. დ'ალმბერის ტესტის მიხედვით, სერია იყრის თავს თუ

.

ამიტომ, ნებისმიერი ეს ზღვარი 1-ზე ნაკლებია და, შესაბამისად, სერიის კონვერგენციის დიაპაზონი იქნება:
.

მოდით განვიხილოთ მაკლარინის სერიის ძირითადი ელემენტარული ფუნქციების გაფართოების რამდენიმე მაგალითი. შეგახსენებთ, რომ მაკლარინის სერია:

.

ემთხვევა ინტერვალს
ფუნქციონირებს
.

გაითვალისწინეთ, რომ ფუნქციის სერიებად გაფართოებისთვის აუცილებელია:

ა) იპოვეთ მაკლარინის სერიის კოეფიციენტები ამ ფუნქციისთვის;

ბ) გამოვთვალოთ კონვერგენციის რადიუსი მიღებული სერიებისთვის;

გ) დავამტკიცოთ, რომ მიღებული სერიები თავსდება ფუნქციასთან
.

მაგალითი 3.განიხილეთ ფუნქცია
.

გამოსავალი.

მოდით გამოვთვალოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
.

შემდეგ სერიის რიცხვითი კოეფიციენტებს აქვთ ფორმა:

ვინმესთვის ნ.მოდი ჩავანაცვლოთ ნაპოვნი კოეფიციენტები მაკლარინის სერიაში და მივიღოთ:

მოდით ვიპოვოთ მიღებული სერიის კონვერგენციის რადიუსი, კერძოდ:

.

ამიტომ, სერიები თანხვედრაშია ინტერვალზე
.

ეს სერია აერთიანებს ფუნქციას ნებისმიერი ღირებულებისთვის , რადგან ნებისმიერ ინტერვალზე
ფუნქცია ხოლო მისი წარმოებულები აბსოლუტური მნიშვნელობით შეზღუდულია რიცხვით .

მაგალითი4 . განიხილეთ ფუნქცია
.

გამოსავალი.

:

ადვილი მისახვედრია, რომ ლუწი რიგის წარმოებულები
და წარმოებულები უცნაური რიგისაა. მოდით შევცვალოთ ნაპოვნი კოეფიციენტები მაკლარინის სერიაში და მივიღოთ გაფართოება:

მოდი ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის ინტერვალი. დ'ალმბერის ნიშნის მიხედვით:

ვინმესთვის . ამიტომ, სერიები თანხვედრაშია ინტერვალზე
.

ეს სერია აერთიანებს ფუნქციას
, რადგან მისი ყველა წარმოებული შემოიფარგლება ერთიანობით.

მაგალითი5 .
.

გამოსავალი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
:

ამრიგად, ამ სერიის კოეფიციენტები:
და
, აქედან გამომდინარე:

წინა რიგის მსგავსად, კონვერგენციის არე
. სერია აერთიანებს ფუნქციას
, რადგან მისი ყველა წარმოებული შემოიფარგლება ერთიანობით.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ფუნქცია
კენტი და სერიების გაფართოება კენტ სიმძლავრეებში, ფუნქცია
- თანაბარი და გაფართოება სერიებად თანაბარ ძალებში.

მაგალითი6 . ბინომალური სერია:
.

გამოსავალი.

მოდით ვიპოვოთ ფუნქციისა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობა
:

აქედან ჩანს, რომ:

მოდით ჩავანაცვლოთ ეს კოეფიციენტების მნიშვნელობები მაკლარინის სერიაში და მივიღოთ ამ ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში:

მოდით ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი:

ამიტომ, სერიები თანხვედრაშია ინტერვალზე
. შემზღუდავ წერტილებზე ზე
და
სერიები შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ გადაიზარდოს მაჩვენებლის მიხედვით
.

შესწავლილი სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალზე
ფუნქციონირებს
, ანუ სერიის ჯამი
ზე
.

მაგალითი7 . მოდით გავაფართოვოთ ფუნქცია მაკლარინის სერიებში
.

გამოსავალი.

ამ ფუნქციის სერიებად გასავრცელებლად, ჩვენ ვიყენებთ ბინომიალურ სერიას at
. ჩვენ ვიღებთ:

სიმძლავრის სერიების თვისებიდან გამომდინარე (ძალების სერია შეიძლება იყოს ინტეგრირებული მისი კონვერგენციის რეგიონში), ჩვენ ვპოულობთ ამ სერიის მარცხენა და მარჯვენა მხარის ინტეგრალს:

მოდით ვიპოვოთ ამ სერიის კონვერგენციის არე:
,

ანუ ამ სერიის კონვერგენციის არე არის ინტერვალი
. მოდით განვსაზღვროთ სერიების კონვერგენცია ინტერვალის ბოლოებში. ზე

. ეს სერია არის ჰარმონიული სერია, ანუ ის განსხვავდება. ზე
ვიღებთ რიცხვთა სერიას საერთო ტერმინით
.

სერია იყრის თავს ლაიბნიცის ტესტის მიხედვით. ამრიგად, ამ სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ინტერვალი
.

16.2. სიმძლავრის სერიის გამოყენება სავარაუდო გამოთვლებში

მიახლოებითი გამოთვლებით, ენერგიის სერიები უაღრესად მნიშვნელოვან როლს თამაშობს. მათი დახმარებით შედგენილია ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ცხრილები, ლოგარითმების ცხრილები, სხვა ფუნქციების მნიშვნელობების ცხრილები, რომლებიც გამოიყენება ცოდნის სხვადასხვა სფეროში, მაგალითად, ალბათობის თეორიაში და მათემატიკურ სტატისტიკაში. გარდა ამისა, ფუნქციების გაფართოება ძალაუფლების სერიებში სასარგებლოა მათი თეორიული შესწავლისთვის. მიახლოებით გამოთვლებში სიმძლავრის სერიის გამოყენებისას მთავარი საკითხია შეცდომის შეფასების საკითხი სერიის ჯამის პირველი ჯამით ჩანაცვლებისას. ნწევრები.

განვიხილოთ ორი შემთხვევა:

ფუნქცია გაფართოვდა ნიშნის ალტერნატიულ სერიაში;

ფუნქცია გაფართოვდა მუდმივი ნიშნის სერიაში.

გაანგარიშება ალტერნატიული სერიების გამოყენებით

დაუშვით ფუნქცია
გაფართოვდა ალტერნატიული სიმძლავრის სერიაში. შემდეგ ამ ფუნქციის გაანგარიშებისას კონკრეტული მნიშვნელობისთვის ვიღებთ რიცხვთა სერიას, რომელზეც შეგვიძლია გამოვიყენოთ ლაიბნიცის კრიტერიუმი. ამ კრიტერიუმის შესაბამისად, თუ სერიის ჯამი შეიცვლება მისი პირველის ჯამით ნპირობები, მაშინ აბსოლუტური შეცდომა არ აღემატება ამ სერიის დარჩენილი ნაწილის პირველ წევრს, ანუ:
.

მაგალითი8 . გამოთვალეთ
0.0001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ მაკლარინის სერიებს
კუთხის მნიშვნელობის ჩანაცვლება რადიანებში:

თუ სერიის პირველ და მეორე წევრებს შევადარებთ მოცემული სიზუსტით, მაშინ: .

გაფართოების მესამე ვადა:

მითითებულ გაანგარიშების სიზუსტეზე ნაკლები. ამიტომ, გამოთვლა
საკმარისია სერიალის ორი ტერმინის დატოვება, ანუ

.

ამგვარად
.

მაგალითი9 . გამოთვალეთ
0,001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ჩვენ გამოვიყენებთ ბინომიალური სერიის ფორმულას. ამისათვის მოდით დავწეროთ
როგორც:
.

ამ გამოთქმაში
,

მოდით შევადაროთ სერიის თითოეული პირობა მითითებული სიზუსტით. გასაგებია რომ
. ამიტომ, გამოთვლა
საკმარისია სერიალის სამი ტერმინის დატოვება.

ან
.

გაანგარიშება დადებითი სერიების გამოყენებით

მაგალითი10 . გამოთვალეთ ნომერი 0,001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

ზედიზედ ფუნქციისთვის
შევცვალოთ
. ჩვენ ვიღებთ:

მოდით შევაფასოთ შეცდომა, რომელიც წარმოიქმნება სერიის ჯამის პირველის ჯამით ჩანაცვლებისას წევრები. მოდით დავწეროთ აშკარა უტოლობა:

ეს არის 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

პრობლემის მიხედვით, თქვენ უნდა იპოვოთ ნისეთი, რომ მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
ან
.

ამის შემოწმება ადვილია როდის ნ= 6:
.

აქედან გამომდინარე,
.

მაგალითი11 . გამოთვალეთ
0.0001 სიზუსტით.

გამოსავალი.

გაითვალისწინეთ, რომ ლოგარითმების გამოსათვლელად შეიძლება გამოვიყენოთ სერიები ფუნქციისთვის
, მაგრამ ეს სერია ძალიან ნელა იყრის თავს და მოცემული სიზუსტის მისაღწევად საჭირო იქნებოდა 9999 ტერმინის აღება! ამიტომ, ლოგარითმების გამოსათვლელად, როგორც წესი, გამოიყენება ფუნქციის სერია
, რომელიც გადადის ინტერვალზე
.

გამოვთვალოთ
ამ სერიის გამოყენებით. დაე
, მაშინ .

აქედან გამომდინარე,
,

იმისათვის რომ გამოვთვალოთ
მოცემული სიზუსტით აიღეთ პირველი ოთხი წევრის ჯამი:
.

სერიის დანარჩენი ნაწილი
გადავაგდოთ იგი. მოდით შევაფასოთ შეცდომა. აშკარაა რომ

ან
.

ამგვარად, სერიაში, რომელიც გამოიყენებოდა გამოთვლებისთვის, საკმარისი იყო ფუნქციისთვის სერიის 9999-ის ნაცვლად მხოლოდ პირველი ოთხი წევრის აღება.
.

თვითდიაგნოსტიკის კითხვები

1. რა არის ტეილორის სერია?

2. რა ფორმა ჰქონდა მაკლარინის სერიას?

3. ჩამოაყალიბეთ თეორემა ტეილორის სერიაში ფუნქციის გაფართოების შესახებ.

4. ჩაწერეთ მაკლარინის სერიის ძირითადი ფუნქციების გაფართოება.

5. მიუთითეთ განხილული რიგის დაახლოების არეები.

6. როგორ შევაფასოთ შეცდომა სავარაუდო გამოთვლებში სიმძლავრის სერიების გამოყენებით?

უმაღლესი მათემატიკის მოსწავლეებმა უნდა იცოდნენ, რომ გარკვეული სიმძლავრის რიგის ჯამი, რომელიც მიეკუთვნება ჩვენთვის მოცემული სერიების კონვერგენციის ინტერვალს, გამოდის უწყვეტი და შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ დიფერენცირებული ფუნქცია. ჩნდება კითხვა: შესაძლებელია თუ არა იმის თქმა, რომ მოცემული თვითნებური ფუნქცია f(x) არის გარკვეული სიმძლავრის რიგის ჯამი? ანუ რა პირობებში შეიძლება f(x) ფუნქცია წარმოდგენილი იყოს სიმძლავრის სერიით? ამ კითხვის მნიშვნელობა მდგომარეობს იმაში, რომ შესაძლებელია f(x) ფუნქციის დაახლოებით ჩანაცვლება სიმძლავრის სერიის პირველი რამდენიმე წევრის ჯამით, ანუ მრავალწევრით. ფუნქციის ეს ჩანაცვლება საკმაოდ მარტივი გამოსახულებით - მრავალწევრით - ასევე მოსახერხებელია გარკვეული ამოცანების ამოხსნისას, კერძოდ: ინტეგრალების ამოხსნისას, გაანგარიშებისას და ა.შ.

დადასტურდა, რომ გარკვეული ფუნქციისთვის f(x), რომელშიც შესაძლებელია წარმოებულების გამოთვლა (n+1)-ე რიგის ჩათვლით, უკანასკნელის ჩათვლით, (α - R; x 0 + R) მეზობლად. ) რაღაც წერტილი x = α, მართალია ფორმულა:

ამ ფორმულას ეწოდა ცნობილი მეცნიერის ბრუკ ტეილორის სახელი. სერიას, რომელიც მიღებულია წინადან, ეწოდება მაკლარინის სერია:

წესი, რომელიც შესაძლებელს ხდის გაფართოების შესრულებას Maclaurin სერიაში:

1. განსაზღვრეთ პირველი, მეორე, მესამე... ბრძანებების წარმოებულები.
2. გამოთვალეთ რის ტოლია წარმოებულები x=0-ზე.
3. ჩაწერეთ მაკლარინის სერია ამ ფუნქციისთვის და შემდეგ დაადგინეთ მისი კონვერგენციის ინტერვალი.
4. განსაზღვრეთ ინტერვალი (-R;R), სადაც რჩება მაკლარინის ფორმულის დარჩენილი ნაწილი

R n (x) -> 0 n -> უსასრულობა. თუ ასეთი არსებობს, მასში ფუნქცია f(x) უნდა ემთხვეოდეს მაკლარინის სერიის ჯამს.

ახლა განვიხილოთ Maclaurin-ის სერია ინდივიდუალური ფუნქციებისთვის.

1. ასე რომ, პირველი იქნება f(x) = e x. რა თქმა უნდა, თავისი მახასიათებლებით, ასეთ ფუნქციას აქვს ძალიან განსხვავებული რიგის წარმოებულები და f (k) (x) = e x, სადაც k უდრის ყველა. ჩაანაცვლეთ x = 0. ვიღებთ f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე, e x სერია ასე გამოიყურება:

2. მაკლორინის სერია f(x) = sin x ფუნქციისთვის. მოდით დაუყოვნებლივ განვმარტოთ, რომ ფუნქციას ყველა უცნობისთვის ექნება წარმოებულები, გარდა ამისა, f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), სადაც k უდრის ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს.ანუ მარტივი გამოთვლების გაკეთების შემდეგ შეგვიძლია მივიდეთ დასკვნა, რომ სერია f(x) = sin x ასე გამოიყურება:

3. ახლა ვცადოთ, განვიხილოთ ფუნქცია f(x) = cos x. ყველა უცნობისთვის მას აქვს თვითნებური რიგის წარმოებულები და |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

ასე რომ, ჩვენ ჩამოვთვალეთ ყველაზე მნიშვნელოვანი ფუნქციები, რომლებიც შეიძლება გაფართოვდეს Maclaurin სერიაში, მაგრამ მათ ავსებს ტეილორის სერია ზოგიერთი ფუნქციისთვის. ახლა ჩვენ ჩამოვთვლით მათ. აღსანიშნავია ისიც, რომ ტეილორისა და მაკლორინის სერიები უმაღლეს მათემატიკაში სერიების ამოხსნის პრაქტიკული მუშაობის მნიშვნელოვანი ნაწილია. ასე რომ, ტეილორის სერია.

1. პირველი იქნება f(x) = ln(1+x) ფუნქციის სერია. როგორც წინა მაგალითებში, მოცემული f(x) = ln(1+x) ჩვენ შეგვიძლია დავამატოთ სერიები მაკლარინის სერიის ზოგადი ფორმის გამოყენებით. თუმცა, ამ ფუნქციისთვის მაკლარინის სერიის მიღება ბევრად უფრო მარტივად შეიძლება. გარკვეული გეომეტრიული სერიების ინტეგრირების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ სერიას f(x) = ln(1+x) ასეთი ნიმუშისთვის:

2. ხოლო მეორე, რომელიც საბოლოო იქნება ჩვენს სტატიაში, იქნება სერია f(x) = arctan x-ისთვის. x-სთვის, რომელიც ეკუთვნის [-1;1] ინტერვალს, გაფართოება მოქმედებს:

Სულ ეს არის. ეს სტატია განიხილავს ტეილორისა და მაკლორინის ყველაზე ხშირად გამოყენებულ სერიებს უმაღლეს მათემატიკაში, განსაკუთრებით ეკონომიკასა და ტექნიკურ უნივერსიტეტებში.

თუ ფუნქცია f(x) აქვს ყველა რიგის წარმოებულები გარკვეულ ინტერვალზე, რომელიც შეიცავს a წერტილს, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:
,
სად r n- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ტერმინი ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:
, სადაც რიცხვი x არის x-სა და a-ს შორის.

ფუნქციების შეყვანის წესები:

თუ რაიმე ღირებულებისთვის X r n→0 საათზე ნ→∞, მაშინ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა ხდება კონვერგენტული ამ მნიშვნელობისთვის ტეილორის სერია:
,
ამგვარად, ფუნქცია f(x) შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიაში განსახილველ x წერტილში, თუ:
1) მას აქვს ყველა შეკვეთის წარმოებულები;
2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

როდესაც a = 0 ვიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლორინის მახლობლად:
,
მაკლარინის სერიის უმარტივესი (ელემენტარული) ფუნქციების გაფართოება:
ექსპონენციალური ფუნქციები
, R=∞
ტრიგონომეტრიული ფუნქციები
, R=∞
, R=∞
, (-π/2< x < π/2), R=π/2
ფუნქცია actgx არ ფართოვდება x-ის ხარისხებში, რადგან ctg0=∞
ჰიპერბოლური ფუნქციები


ლოგარითმული ფუნქციები
, -1
ბინომალური სერია
.

მაგალითი No1. გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში f(x)= 2x.
გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები X=0
f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2x ln2, ვ"( 0) = 2 0 ln2= ln2;
ვ""(x) = 2x 2 2-ში, ვ""( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f(n)(x) = 2xლნ ნ 2, f(n)( 0) = 2 0 ლნ ნ 2=ln ნ 2.
წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ტეილორის სერიის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი უდრის უსასრულობას, ამიტომ ეს გაფართოება მოქმედებს -∞<x<+∞.

მაგალითი No2. დაწერეთ ტეილორის სერია ძალაში ( X+4) ფუნქციისთვის f(x)=ე x.
გამოსავალი. ე ფუნქციის წარმოებულების მოძიება xდა მათი ღირებულებები წერტილში X=-4.
f(x)= ე x, f(-4) = ე -4 ;
f"(x)= ე x, ვ"(-4) = ე -4 ;
ვ""(x)= ე x, ვ""(-4) = ე -4 ;
…
f(n)(x)= ე x, f(n)( -4) = ე -4 .
ამრიგად, ფუნქციის საჭირო ტეილორის სერიას აქვს ფორმა:

ეს გაფართოება ასევე მოქმედებს -∞-ისთვის<x<+∞.

მაგალითი No3. გააფართოვეთ ფუნქცია f(x)= ლნ xძალაუფლების სერიაში ( X- 1),
(ანუ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს X=1).
გამოსავალი. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებულები.
f(x)=lnx, , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(- 1) n-1 (n-1)!
ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სასურველ ტეილორის სერიას:

დ'ალმბერტის ტესტის გამოყენებით შეგიძლიათ დაადასტუროთ, რომ სერია თანხვედრაშია ½x-1½<1 . Действительно,

სერია იყრის თავს, თუ ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 ვიღებთ ალტერნატიულ სერიას, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის კრიტერიუმის პირობებს. როდესაც x=0 ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, ტეილორის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ნახევრად ღია ინტერვალი (0;2].

მაგალითი No4. გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში.
გამოსავალი. გაფართოებაში (1) ჩვენ ვცვლით x -x 2-ით, მივიღებთ:
, -∞

მაგალითი No5. გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიაში .
გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს
ფორმულის (4) გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ:

ფორმულაში x-ის ნაცვლად –x ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

აქედან ვპოულობთ: ln(1+x)-ln(1-x) = -
ფრჩხილების გახსნა, სერიის პირობების გადალაგება და მსგავსი ტერმინების მოტანა ვიღებთ
. ეს სერია იყრის თავს (-1;1) ინტერვალში, ვინაიდან იგი მიიღება ორი სერიიდან, რომელთაგან თითოეული ამ ინტერვალში იყრის თავს.

კომენტარი .
ფორმულები (1)-(5) ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ შესაბამისი ფუნქციების ტეილორის სერიაში გაფართოებისთვის, ე.ი. ფუნქციების გაფართოებისთვის დადებით მთელ რიცხვებში ( ჰა). ამისათვის აუცილებელია მოცემულ ფუნქციაზე ასეთი იდენტური გარდაქმნების შესრულება, რათა მივიღოთ ერთ-ერთი ფუნქცია (1)-(5), რომელშიც ამის ნაცვლად Xხარჯები k( ჰა) m, სადაც k არის მუდმივი რიცხვი, m არის დადებითი მთელი რიცხვი. ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ტ=ჰადა გააფართოვეთ მიღებული ფუნქცია t-ის მიმართ მაკლარინის სერიაში.

ეს მეთოდი ეფუძნება თეორემას სიმძლავრის სერიაში ფუნქციის გაფართოების უნიკალურობის შესახებ. ამ თეორემის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ერთი და იგივე წერტილის მიმდებარედ არ შეიძლება მიღებულ იქნას ორი განსხვავებული სიმძლავრის სერია, რომელიც გადაიყრება ერთსა და იმავე ფუნქციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ განხორციელდება მისი გაფართოება.

მაგალითი No5a. გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიაში და მიუთითეთ კონვერგენციის რეგიონი.
გამოსავალი. ჯერ ვპოულობთ 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
ელემენტარამდე:

წილადი 3/(1-3x) შეიძლება ჩაითვალოს უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამად მნიშვნელით 3x, თუ |3x|< 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

კონვერგენციის რეგიონით |x|< 1/3.

მაგალითი No6. გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში x = 3 წერტილის სიახლოვეს.
გამოსავალი. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ადრე, ტეილორის სერიის განმარტების გამოყენებით, რისთვისაც უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები X=3. თუმცა, უფრო ადვილი იქნება არსებული გაფართოების გამოყენება (5):
=
შედეგად მიღებული სერიები ემთხვევა ან –3-ს

მაგალითი No7. ჩაწერეთ ტეილორის სერია ln(x+2) ფუნქციის ხარისხებში (x -1).
გამოსავალი.


სერია იყრის ზე, ან -2< x < 5.

მაგალითი No8. გააფართოვეთ ფუნქცია f(x)=sin(πx/4) ტეილორის სერიაში x =2 წერტილის სიახლოვეს.
გამოსავალი. მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება t=x-2:

გაფართოების (3) გამოყენებით, რომელშიც ჩვენ ვცვლით π / 4 ტ x-ის ნაცვლად, მივიღებთ:

შედეგად მიღებული სერია კონვერგირდება მოცემულ ფუნქციასთან -∞-ზე< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞ამრიგად,
, (-∞

სავარაუდო გამოთვლები დენის სერიის გამოყენებით

სიმძლავრის სერიები ფართოდ გამოიყენება სავარაუდო გამოთვლებში. მათი დახმარებით თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ფესვების მნიშვნელობები, ტრიგონომეტრიული ფუნქციები, რიცხვების ლოგარითმები და განსაზღვრული ინტეგრალები მოცემული სიზუსტით. სერიები ასევე გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრირებისას.
განვიხილოთ ფუნქციის გაფართოება სიმძლავრის სერიაში:

მოცემულ წერტილში ფუნქციის სავარაუდო მნიშვნელობის გამოსათვლელად X, რომელიც მიეკუთვნება მითითებული სერიის კონვერგენციის რეგიონს, პირველები დარჩა მის გაფართოებაში. ნწევრები ( ნ- სასრული რიცხვი), ხოლო დარჩენილი ტერმინები უგულებელყოფილია:

მიღებული მიახლოებითი მნიშვნელობის ცდომილების შესაფასებლად აუცილებელია გამორიცხული ნაშთი rn (x) . ამისათვის გამოიყენეთ შემდეგი ტექნიკა:

• თუ მიღებული სერია მონაცვლეობითია, მაშინ გამოიყენება შემდეგი თვისება: ალტერნატიული სერიისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის პირობებს, სერიის დარჩენილი აბსოლუტური მნიშვნელობა არ აღემატება პირველ გაუქმებულ ტერმინს..
• თუ მოცემული სერია არის მუდმივი ნიშნის, მაშინ გადაგდებული ტერმინებისგან შემდგარი სერია შედარებულია უსასრულოდ კლებულ გეომეტრიულ პროგრესირებასთან.
• ზოგადად, ტეილორის სერიის დარჩენილი ნაწილის შესაფასებლად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ლაგრანგის ფორმულა: ა x ).

მაგალითი No1. გამოთვალეთ ln(3) 0,01-მდე.
გამოსავალი. მოდით გამოვიყენოთ გაფართოება, სადაც x=1/2 (იხ. მაგალითი 5 წინა თემაში):

მოდით შევამოწმოთ, შეგვიძლია თუ არა დარჩენილი ნაწილის გაუქმება გაფართოების პირველი სამი წევრის შემდეგ; ამისათვის ჩვენ შევაფასებთ მას უსასრულოდ კლებადი გეომეტრიული პროგრესიის ჯამის გამოყენებით:

ასე რომ, ჩვენ შეგვიძლია გადავაგდოთ ეს ნარჩენი და მივიღოთ

მაგალითი No2. გამოთვალეთ 0.0001-მდე.
გამოსავალი. გამოვიყენოთ ბინომიალური სერია. ვინაიდან 5 3 არის 130-თან ყველაზე ახლოს მყოფი მთელი რიცხვის კუბი, მიზანშეწონილია რიცხვი 130 წარმოვიდგინოთ როგორც 130 = 5 3 +5.



ვინაიდან უკვე მიღებული ალტერნატიული სერიის მეოთხე წევრი, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის კრიტერიუმს, ნაკლებია საჭირო სიზუსტეზე:
, ასე რომ, ის და მისი შემდგომი პირობები შეიძლება გაუქმდეს.
ბევრი პრაქტიკულად აუცილებელი განსაზღვრული ან არასწორი ინტეგრალი არ შეიძლება გამოითვალოს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულით, რადგან მისი გამოყენება დაკავშირებულია ანტიწარმოებულის პოვნასთან, რომელსაც ხშირად არ აქვს გამოხატულება ელემენტარულ ფუნქციებში. ასევე ხდება, რომ ანტიდერივატის პოვნა შესაძლებელია, მაგრამ ეს ზედმეტად შრომატევადია. თუმცა, თუ ინტეგრანდული ფუნქცია გაფართოვდა სიმძლავრის სერიაში და ინტეგრაციის საზღვრები ეკუთვნის ამ სერიის კონვერგენციის ინტერვალს, მაშინ შესაძლებელია ინტეგრალის სავარაუდო გამოთვლა წინასწარ განსაზღვრული სიზუსტით.

ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ
.

მაგალითი No4. გამოთვალეთ ∫ 0 1 4 e x 2 ინტეგრალი 0,001 სიზუსტით.
გამოსავალი.
. მოდით შევამოწმოთ, შეგვიძლია თუ არა დარჩენილი ნაწილის გაუქმება მიღებული სერიის მეორე წევრის შემდეგ.
0.0001<0.001. Следовательно, .

ფუნქციონალური სერიების თეორიაში ცენტრალური ადგილი უკავია განყოფილებას, რომელიც ეძღვნება ფუნქციის სერიად გაფართოებას.

ამრიგად, დასახულია ამოცანა: მოცემული ფუნქციისთვის ჩვენ უნდა ვიპოვოთ ასეთი სიმძლავრის სერია

რომელიც გარკვეულ ინტერვალზე იკრიბებოდა და მისი ჯამი ტოლი იყო
, იმათ.

= ..

ამ ამოცანას ე.წ ფუნქციის გაფართოების პრობლემა დენის სერიაში.

სიმძლავრის სერიაში ფუნქციის დაშლის აუცილებელი პირობაარის მისი დიფერენციალურობა უსასრულო რაოდენობის ჯერ - ეს გამომდინარეობს კონვერგენტული სიმძლავრის სერიის თვისებებიდან. ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, როგორც წესი, ელემენტარული ფუნქციებისთვის მათი განმარტების სფეროში.

ასე რომ, დავუშვათ, რომ ფუნქცია
აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებულები. შესაძლებელია თუ არა მისი გაფართოება სიმძლავრის სერიაში?თუ ასეა როგორ ვიპოვოთ ეს სერია? პრობლემის მეორე ნაწილი უფრო ადვილი მოსაგვარებელია, ამიტომ დავიწყოთ ამით.

დავუშვათ, რომ ფუნქცია
შეიძლება წარმოდგენილი იყოს, როგორც წერტილის შემცველ ინტერვალში შეკრებილი სიმძლავრის სერიის ჯამი X 0 :

= .. (*)

სად ა 0 , ა 1 , ა 2 ,..., ა პ ,... – უცნობი (ჯერ) კოეფიციენტები.

მოდით ჩავდოთ ტოლობის (*) მნიშვნელობა x = x 0 , შემდეგ მივიღებთ

.

მოდით განვასხვავოთ სიმძლავრის სერია (*) ტერმინების მიხედვით

= ..

და რწმენა აქ x = x 0 , ვიღებთ

.

შემდეგი დიფერენცირებით ვიღებთ სერიას

= ..

სჯეროდა x = x 0 , ვიღებთ
, სად
.

შემდეგ პ- ჩვენ ვიღებთ მრავალ დიფერენციაციას

ბოლო თანასწორობაში ვარაუდით x = x 0 , ვიღებთ
, სადაც

ასე რომ, კოეფიციენტები ნაპოვნია

,
,
, …,
,….,

რომლის ჩანაცვლება სერიაში (*), ვიღებთ

მიღებულ სერიას ე.წ ტეილორის გვერდით ფუნქციისთვის
.

ამრიგად, ჩვენ დავადგინეთ თუ ფუნქცია შეიძლება გაფართოვდეს სიმძლავრის სერიებად (x - x 0 ), მაშინ ეს გაფართოება უნიკალურია და შედეგად მიღებული სერია აუცილებლად ტეილორის სერიაა.

გაითვალისწინეთ, რომ ტეილორის სერიების მიღება შესაძლებელია ნებისმიერი ფუნქციისთვის, რომელსაც აქვს ნებისმიერი რიგის წარმოებულები წერტილში x = x 0 . მაგრამ ეს არ ნიშნავს, რომ ფუნქციასა და მიღებულ სერიებს შორის შეიძლება განთავსდეს თანაბარი ნიშანი, ე.ი. რომ სერიების ჯამი ორიგინალური ფუნქციის ტოლია. ჯერ ერთი, ასეთი თანასწორობა შეიძლება ჰქონდეს აზრი მხოლოდ კონვერგენციის რეგიონში და ფუნქციისთვის მიღებული ტეილორის სერია შეიძლება განსხვავდებოდეს, და მეორეც, თუ ტეილორის სერია ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მისი ჯამი შეიძლება არ ემთხვეოდეს თავდაპირველ ფუნქციას.

3.2. ტეილორის სერიებში ფუნქციის დაშლის საკმარისი პირობები

მოდით ჩამოვაყალიბოთ განცხადება, რომლის დახმარებითაც გადაიჭრება ამოცანა.

თუ ფუნქცია
x წერტილის რომელიღაც სამეზობლოში 0 აქვს წარმოებულები (ნ+ 1) რიგის ჩათვლით, მაშინ ამ სამეზობლოში გვაქვსფორმულა ტეილორი

სადრ ნ (X)-ტეილორის ფორმულის დანარჩენ წევრს აქვს ფორმა (ლაგრანჟის ფორმა)

სად წერტილიξ მდებარეობს x-სა და x-ს შორის 0 .

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს განსხვავება ტეილორის სერიასა და ტეილორის ფორმულას შორის: ტეილორის ფორმულა არის სასრული ჯამი, ე.ი. P -ფიქსირებული ნომერი.

შეგახსენებთ, რომ სერიის ჯამი ს(x) შეიძლება განისაზღვროს, როგორც ნაწილობრივი ჯამების ფუნქციური თანმიმდევრობის ზღვარი ს პ (x) რაღაც ინტერვალით X:

.

ამის მიხედვით, ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიაში ნიშნავს ისეთი სერიების პოვნას, რომ ნებისმიერისთვის XX

მოდით დავწეროთ ტეილორის ფორმულა იმ ფორმით, სადაც

შეამჩნია, რომ
განსაზღვრავს შეცდომას, რომელსაც მივიღებთ, შეცვალეთ ფუნქცია ვ(x) მრავალწევრი ს ნ (x).

თუ
, ეს
, იმათ. ფუნქცია გაფართოვდა ტეილორის სერიაში. პირიქით, თუ
, ეს
.

ასე დავამტკიცეთ ტეილორის სერიაში ფუნქციის დაშლის კრიტერიუმი.

ფუნქციის მიზნითვ(x) ფართოვდება ტეილორის სერიაში, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ ინტერვალზე
, სადრ ნ (x) არის ტეილორის სერიის დარჩენილი ტერმინი.

ჩამოყალიბებული კრიტერიუმის გამოყენებით, შეგიძლიათ მიიღოთ საკმარისიტეილორის სერიაში ფუნქციის დაშლის პირობები.

თუ შიგნითx წერტილის რომელიღაც მიმდებარე ტერიტორია 0 ფუნქციის ყველა წარმოებულის აბსოლუტური მნიშვნელობები შემოიფარგლება იმავე რიცხვით M≥ 0, ე.ი.

, თo ამ სამეზობლოში ფუნქცია ფართოვდება ტეილორის სერიაში.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს ალგორითმიფუნქციის გაფართოება ვ(x) ტეილორის სერიაშიწერტილის სიახლოვეს X 0 :

1. ფუნქციების წარმოებულების მოძიება ვ(x):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (n) (x),…

2. გამოთვალეთ ფუნქციის მნიშვნელობა და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები წერტილში X 0

f(x 0 ), f' (x 0 ), ვ“ (x 0 ), ვ“ (x 0 ), ვ (n) (x 0 ),…

3. ჩვენ ფორმალურად ვწერთ ტეილორის სერიებს და ვპოულობთ მიღებული სიმძლავრის სერიის კონვერგენციის რეგიონს.

4. ვამოწმებთ საკმარისი პირობების შესრულებას, ე.ი. ვადგენთ რისთვისაც Xკონვერგენციის რეგიონიდან, დარჩენილი ვადა რ ნ (x) მიდრეკილია ნულისკენ როგორც
ან
.

ფუნქციების გაფართოება ტეილორის სერიაში ამ ალგორითმის გამოყენებით ეწოდება ფუნქციის გაფართოება ტეილორის სერიაში განსაზღვრებითან პირდაპირი დაშლა.

თუ ფუნქცია f(x)აქვს რაღაც ინტერვალში, რომელიც შეიცავს წერტილს ა, ყველა შეკვეთის წარმოებულები, მაშინ მასზე შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტეილორის ფორმულა:

სად r n- ეგრეთ წოდებული ნარჩენი ტერმინი ან სერიის დარჩენილი ნაწილი, ის შეიძლება შეფასდეს ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით:

, სადაც რიცხვი x არის მათ შორის Xდა ა.

თუ რაიმე ღირებულებისთვის x r n®0 at ნ®¥, შემდეგ ლიმიტში ტეილორის ფორმულა გადაიქცევა ამ მნიშვნელობის კონვერგენტურ ფორმულად ტეილორის სერია:

ასე რომ ფუნქცია f(x)შეიძლება გაფართოვდეს ტეილორის სერიად განსახილველ წერტილში X, თუ:

1) მას აქვს ყველა შეკვეთის წარმოებულები;

2) აწყობილი სერია იყრის თავს ამ მომენტში.

ზე ა=0 მივიღებთ სერიას, რომელსაც ეწოდება მაკლორინის მახლობლად:

მაგალითი 1 f(x)= 2x.

გამოსავალი. მოდით ვიპოვოთ ფუნქციის და მისი წარმოებულების მნიშვნელობები X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢ (x) = 2x ln2, ვ¢( 0) = 2 0 ln2= ln2;

f¢¢ (x) = 2x 2 2-ში, f¢¢ ( 0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;

f(n)(x) = 2xლნ ნ 2, f(n)( 0) = 2 0 ლნ ნ 2=ln ნ 2.

წარმოებულების მიღებული მნიშვნელობების ტეილორის სერიის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ სერიის კონვერგენციის რადიუსი უდრის უსასრულობას, ამიტომ ეს გაფართოება მოქმედებს -¥<x<+¥.

მაგალითი 2 X+4) ფუნქციისთვის f(x)=ე x.

გამოსავალი. ე ფუნქციის წარმოებულების მოძიება xდა მათი ღირებულებები წერტილში X=-4.

f(x)= ე x, f(-4) = ე -4 ;

f¢ (x)= ე x, ვ¢(-4) = ე -4 ;

f¢¢ (x)= ე x, f¢¢ (-4) = ე -4 ;

f(n)(x)= ე x, f(n)( -4) = ე -4 .

ამრიგად, ფუნქციის საჭირო ტეილორის სერიას აქვს ფორმა:

ეს გაფართოება ასევე მოქმედებს -¥-ისთვის<x<+¥.

მაგალითი 3 . გააფართოვეთ ფუნქცია f(x)= ლნ xძალაუფლების სერიაში ( X- 1),

(ანუ ტეილორის სერიაში წერტილის სიახლოვეს X=1).

გამოსავალი. იპოვეთ ამ ფუნქციის წარმოებულები.

ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ სასურველ ტეილორის სერიას:

დ'ალმბერის ტესტის გამოყენებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ სერია ერთმანეთს ემთხვევა

½ X- 1½<1. Действительно,

სერია იყრის თავს, თუ ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 ვიღებთ ალტერნატიულ სერიას, რომელიც აკმაყოფილებს ლაიბნიცის კრიტერიუმის პირობებს. ზე X=0 ფუნქცია არ არის განსაზღვრული. ამრიგად, ტეილორის სერიის კონვერგენციის რეგიონი არის ნახევრად ღია ინტერვალი (0;2].

ამ გზით მიღებული გაფართოებები წარმოვადგინოთ მაკლარინის სერიაში (ანუ წერტილის სიახლოვეს X=0) ზოგიერთი ელემენტარული ფუნქციისთვის:

(2) ,

(3) ,

(ბოლო დაშლა ეწოდება ბინომიური სერია)

მაგალითი 4 . გააფართოვეთ ფუნქცია ძალაუფლების სერიაში

გამოსავალი. გაფართოებაში (1) ჩვენ ვცვლით Xზე - X 2, ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი 5 . გააფართოვეთ ფუნქცია მაკლარინის სერიაში

გამოსავალი. Ჩვენ გვაქვს

ფორმულის (4) გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ:

ჩანაცვლება ნაცვლად Xფორმულაში -X, ვიღებთ:

აქედან ვხვდებით:

ფრჩხილების გახსნა, სერიის პირობების გადალაგება და მსგავსი ტერმინების მოტანა ვიღებთ

ეს სერია ერთმანეთს ემთხვევა ინტერვალში

(-1;1), ვინაიდან იგი მიიღება ორი სერიიდან, რომელთაგან თითოეული ხვდება ამ ინტერვალში.

კომენტარი .

ფორმულები (1)-(5) ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ შესაბამისი ფუნქციების ტეილორის სერიაში გაფართოებისთვის, ე.ი. ფუნქციების გაფართოებისთვის დადებით მთელ რიცხვებში ( ჰა). ამისათვის აუცილებელია მოცემულ ფუნქციაზე ასეთი იდენტური გარდაქმნების შესრულება, რათა მივიღოთ ერთ-ერთი ფუნქცია (1)-(5), რომელშიც ამის ნაცვლად Xხარჯები k( ჰა) m, სადაც k არის მუდმივი რიცხვი, m არის დადებითი მთელი რიცხვი. ხშირად მოსახერხებელია ცვლადის შეცვლა ტ=ჰადა გააფართოვეთ მიღებული ფუნქცია t-ის მიმართ მაკლარინის სერიაში.

ეს მეთოდი ასახავს თეორემას ფუნქციის სიმძლავრის სერიის გაფართოების უნიკალურობის შესახებ. ამ თეორემის არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ერთი და იგივე წერტილის მიმდებარედ არ შეიძლება მიღებულ იქნას ორი განსხვავებული სიმძლავრის სერია, რომელიც გადაიყრება ერთსა და იმავე ფუნქციას, მიუხედავად იმისა, თუ როგორ განხორციელდება მისი გაფართოება.

მაგალითი 6 . გააფართოვეთ ფუნქცია ტეილორის სერიაში წერტილის სამეზობლოში X=3.

გამოსავალი. ეს პრობლემა შეიძლება მოგვარდეს, როგორც ადრე, ტეილორის სერიის განმარტების გამოყენებით, რისთვისაც უნდა ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებულები და მათი მნიშვნელობები X=3. თუმცა, უფრო ადვილი იქნება არსებული გაფართოების გამოყენება (5):

შედეგად მიღებული სერია იყრის თავს ან -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

მაგალითი 7 . დაწერეთ ტეილორის სერია ძალაში ( X-1) ფუნქციები .

გამოსავალი.

სერია იყრის თავს , ან 2< x 5 ფუნტი.