1. მიმდებარე კუთხეები.

თუ რომელიმე კუთხის გვერდს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ორ კუთხეს (ნახ. 72): ∠ABC და ∠CBD, რომლებშიც BC გვერდი საერთოა, ხოლო დანარჩენი ორი, AB და BD, ქმნიან სწორ ხაზს. .

ორ კუთხეს, რომელსაც ერთი გვერდი აქვს საერთო და დანარჩენი ორი სწორ ხაზს ქმნის, მიმდებარე კუთხეები ეწოდება.

მომიჯნავე კუთხეების მიღება შეიძლება ასეც: თუ სხივს რაიმე წერტილიდან დავხატავთ სწორ ხაზზე (მოცემულ სწორ ხაზზე არ დევს), მაშინ მივიღებთ მიმდებარე კუთხეებს.

მაგალითად, ∠ADF და ∠FDВ მიმდებარე კუთხეებია (ნახ. 73).

მიმდებარე კუთხეებს შეიძლება ჰქონდეთ მრავალფეროვანი პოზიციები (ნახ. 74).

მიმდებარე კუთხეები ემატება სწორ კუთხეს, ასე რომ ორი მიმდებარე კუთხის ჯამი არის 180°

აქედან გამომდინარე, მართი კუთხე შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მისი მიმდებარე კუთხის ტოლი კუთხე.

ერთი მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობის გაცნობით, ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ მეორე მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობა.

მაგალითად, თუ ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 54°, მაშინ მეორე კუთხე იქნება:

180° - 54° = l26°.

2. ვერტიკალური კუთხეები.

თუ კუთხის გვერდებს გავაგრძელებთ მის წვეროს მიღმა, მივიღებთ ვერტიკალურ კუთხეებს. 75-ე სურათზე EOF და AOC კუთხეები ვერტიკალურია; კუთხეები AOE და COF ასევე ვერტიკალურია.

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორე კუთხის გვერდების გაგრძელებაა.

მოდით ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° (ნახ. 76). მის გვერდით ∠2 ტოლი იქნება 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, ანუ 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

ანალოგიურად, შეგიძლიათ გამოთვალოთ რა არის ∠3 და ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (ნახ. 77).

ჩვენ ვხედავთ, რომ ∠1 = ∠3 და ∠2 = ∠4.

თქვენ შეგიძლიათ გადაჭრათ კიდევ რამდენიმე იგივე პრობლემა და ყოველ ჯერზე მიიღებთ ერთსა და იმავე შედეგს: ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

თუმცა, იმისთვის, რომ დარწმუნდეთ, რომ ვერტიკალური კუთხეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია, საკმარისი არ არის ცალკეული რიცხვითი მაგალითების გათვალისწინება, რადგან კონკრეტული მაგალითებიდან გამოტანილი დასკვნები ზოგჯერ შეიძლება იყოს მცდარი.

საჭიროა ვერტიკალური კუთხეების თვისების მართებულობის შემოწმება მტკიცებით.

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს შემდეგნაირად (ნახ. 78):

∠a +∠გ= 180°;

∠ბ +∠გ= 180°;

(რადგან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°).

∠a +∠გ = ∠ბ +∠გ

(რადგან ამ ტოლობის მარცხენა მხარე არის 180°, ხოლო მარჯვენა მხარე ასევე არის 180°).

ეს თანასწორობა მოიცავს იმავე კუთხეს თან.

თუ თანაბარ სიდიდეებს გამოვაკლებთ თანაბრად, მაშინ ის თანაბრად დარჩება. შედეგი იქნება: ∠ა = ∠ბ, ანუ ვერტიკალური კუთხეები ერთმანეთის ტოლია.

3. კუთხეების ჯამი, რომლებსაც აქვთ საერთო წვერო.

79 ნახაზში ∠1, ∠2, ∠3 და ∠4 განლაგებულია წრფის ერთ მხარეს და აქვთ საერთო წვერო ამ წრფეზე. ჯამში ეს კუთხეები ქმნიან სწორ კუთხეს, ე.ი.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°.

ნახატში 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 და ∠5 აქვთ საერთო წვერო. ეს კუთხეები ემატება სრულ კუთხეს, ანუ ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

სხვა მასალები

გეომეტრია ძალიან მრავალმხრივი მეცნიერებაა. ავითარებს ლოგიკას, წარმოსახვას და ინტელექტს. რა თქმა უნდა, მისი სირთულისა და თეორემებისა და აქსიომების დიდი რაოდენობის გამო, სკოლის მოსწავლეებს ყოველთვის არ მოსწონთ. გარდა ამისა, საჭიროა მუდმივად დაამტკიცონ თავიანთი დასკვნები ზოგადად მიღებული სტანდარტებისა და წესების გამოყენებით.

მიმდებარე და ვერტიკალური კუთხეები გეომეტრიის განუყოფელი ნაწილია. რა თქმა უნდა, ბევრი სკოლის მოსწავლე უბრალოდ აღმერთებს მათ იმ მიზეზით, რომ მათი თვისებები ნათელი და ადვილად დასამტკიცებელია.

კუთხეების ფორმირება

ნებისმიერი კუთხე წარმოიქმნება ორი წრფის გადაკვეთით ან ერთი წერტილიდან ორი სხივის დახატვით. მათ შეიძლება ეწოდოს ერთი ან სამი ასო, რომლებიც თანმიმდევრულად აღნიშნავენ კუთხის აგების წერტილებს.

კუთხეები იზომება გრადუსით და შეიძლება (დამოკიდებულია მათი მნიშვნელობიდან) სხვაგვარად ეწოდოს. ასე რომ, არის სწორი კუთხე, მწვავე, ბუნდოვანი და განლაგებული. თითოეული სახელი შეესაბამება გარკვეულ ხარისხს ან მის ინტერვალს.

მწვავე კუთხე არის კუთხე, რომლის ზომა არ აღემატება 90 გრადუსს.

ბლაგვი კუთხე არის 90 გრადუსზე მეტი კუთხე.

კუთხეს მართალი ეწოდება, როცა მისი ზომა არის 90.

იმ შემთხვევაში, როდესაც იგი წარმოიქმნება ერთი უწყვეტი სწორი ხაზით და მისი ხარისხის ზომაა 180, მას უწოდებენ განლაგებულს.

კუთხეებს, რომლებსაც აქვთ საერთო გვერდი, რომლის მეორე მხარე ერთმანეთს აგრძელებს, მიმდებარე ეწოდება. ისინი შეიძლება იყოს მკვეთრი ან ბლაგვი. ხაზის გადაკვეთა ქმნის მიმდებარე კუთხეებს. მათი თვისებები შემდეგია:

1. ასეთი კუთხეების ჯამი იქნება 180 გრადუსის ტოლი (ამის დამადასტურებელი თეორემაა). აქედან გამომდინარე, ერთი მათგანი შეიძლება ადვილად გამოითვალოს, თუ მეორე ცნობილია.
2. პირველი პუნქტიდან გამომდინარეობს, რომ მიმდებარე კუთხეები არ შეიძლება ჩამოყალიბდეს ორი ბლაგვი ან ორი მახვილი კუთხით.

ამ თვისებების წყალობით, ყოველთვის შეიძლება გამოვთვალოთ კუთხის ხარისხის ზომა სხვა კუთხის მნიშვნელობის გათვალისწინებით, ან თუნდაც მათ შორის თანაფარდობით.

ვერტიკალური კუთხეები

კუთხეებს, რომელთა გვერდები ერთმანეთის გაგრძელებაა, ვერტიკალური ეწოდება. მათგან ნებისმიერ ჯიშს შეუძლია იმოქმედოს როგორც ასეთი წყვილი. ვერტიკალური კუთხეები ყოველთვის ერთმანეთის ტოლია.

ისინი წარმოიქმნება ხაზების გადაკვეთისას. მათთან ერთად ყოველთვის არის მიმდებარე კუთხეები. კუთხე შეიძლება იყოს როგორც მიმდებარე ერთისთვის, ასევე ვერტიკალური მეორისთვის.

თვითნებური ხაზის გადაკვეთისას ასევე განიხილება კიდევ რამდენიმე ტიპის კუთხე. ასეთ ხაზს სეკანტი ეწოდება და ის ქმნის შესაბამის, ცალმხრივ და ჯვარედინ დაწოლილ კუთხეებს. ისინი ერთმანეთის ტოლები არიან. მათი ნახვა შესაძლებელია ვერტიკალური და მიმდებარე კუთხეების თვისებების გათვალისწინებით.

ამრიგად, კუთხეების თემა საკმაოდ მარტივი და გასაგები ჩანს. მათი ყველა თვისება ადვილად დასამახსოვრებელი და დასამტკიცებელია. ამოცანების ამოხსნა არ არის რთული, სანამ კუთხეები შეესაბამება რიცხვით მნიშვნელობას. უკვე შემდგომში, როცა ცოდვისა და კოსის შესწავლა დაიწყება, მოგიწევთ ბევრი რთული ფორმულის დამახსოვრება, მათი დასკვნები და შედეგები. მანამდე კი შეგიძლიათ უბრალოდ ისიამოვნოთ მარტივი თავსატეხებით, რომლებშიც უნდა იპოვოთ მიმდებარე კუთხეები.

2) რამდენი საერთო წერტილი შეიძლება ჰქონდეს 2 წრფეს?
3) ახსენით რა არის სეგმენტი?
4) ახსენი რა არის სხივი როგორ არის გამოყოფილი სხივები?
5)რომელ ფიგურას ჰქვია კუთხე ახსენი რა არის კუთხის წვერო და გვერდები?
6) რა კუთხეს უწოდებენ განლაგებულს?
7) რომელ ფიგურებს უწოდებენ ტოლებს?
8) ახსენით როგორ შევადაროთ 2 სეგმენტი
9) რომელ წერტილს ეწოდება სეგმენტის შუა წერტილი?
10) ახსენით როგორ შევადაროთ 2 კუთხე.
11) რომელ სხივს ეწოდება კუთხის ბისექტორი?
12) წერტილი C ყოფს AB სეგმენტს 2 სეგმენტად როგორ ვიპოვოთ AB სეგმენტის სიგრძე, თუ ცნობილია AC და CB სეგმენტების სიგრძე?
13) რა ინსტრუმენტები გამოიყენება მანძილების გასაზომად?
14) რა არის კუთხის ხარისხი?
15) Ray OS ყოფს AOB კუთხეს 2 კუთხედ. როგორ ვიპოვოთ AOB კუთხის გრადუსული ზომა, თუ ცნობილია AOC და COB კუთხეების გრადუსული ზომები?
16)რომელ კუთხეს უწოდებენ მახვილს?მართალი?ბლაგვი?
17)რომელ კუთხეებს უწოდებენ მომიჯნავე რა არის მიმდებარე კუთხეების ჯამი?
18)რომელ კუთხეებს ჰქვია ვერტიკალური რა თვისება აქვთ ვერტიკალურ კუთხეებს?
19)რომელ წრფეებს უწოდებენ პერპენდიკულურს?
20) ახსენი რატომ არ იკვეთება მე-3-ის პერპენდიკულარული 2 წრფე?
21) რა ინსტრუმენტები გამოიყენება მიწაზე მართი კუთხის ასაგებად?

რამდენი ხაზის გაყვანა შეიძლება ორ წერტილში?

რამდენი საერთო წერტილი შეიძლება ჰქონდეს ორ წრფეს?
3 ახსენით რა არის სეგმენტი
4 ახსენი რა არის სხივი როგორ არის გამოყოფილი სხივები?
რომელ ფიგურას ეწოდება კუთხე? ახსენით რა არის კუთხის წვერო და გვერდები
6 რა კუთხეს უწოდებენ გაშლილს
7 რა ფიგურებს უწოდებენ ტოლებს
8 ახსენი როგორ შევადაროთ ორი სეგმენტი
რომელ წერტილს ეწოდება სეგმენტის შუა წერტილი
10 ახსენი როგორ შევადაროთ ორი კუთხე
11 რომელ სხივს ეწოდება კუთხის ბისექტორი
12 წერტილი c ყოფს ab სეგმენტს ორ სეგმენტად როგორ ვიპოვოთ ab მონაკვეთის სიგრძე, თუ ცნობილია ac და sb სეგმენტების სიგრძეები.
13 რა ინსტრუმენტები გამოიყენება მანძილების გასაზომად
14 რა არის კუთხის ხარისხი
სხივი os ყოფს aob კუთხეს ორ კუთხედ.როგორ ვიპოვოთ aob კუთხის გრადუსის ზომა, თუ კუთხეების ზომებია aos.
რომელ კუთხეს უწოდებენ მწვავე?, არა?, ბლაგვი?.
17რომელ კუთხეებს ჰქვია მომიჯნავე რა არის მიმდებარე კუთხეების ჯამი?
18 რა სახის კუთხეებს უწოდებენ ვერტიკალურს, რა თვისება აქვთ ვერტიკალურ კუთხეებს
19 რომელ წრფეებს უწოდებენ პერპენდიკულურს
20 ახსენი რატომ არ იკვეთება მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე
21 რა ინსტრუმენტები გამოიყენება მიწაზე მართი კუთხის ასაგებად?

1) რა არის კუთხის ხარისხი? 2) რომელ ფიგურებს ჰქვია ტოლი 3) რომელ კუთხეებს უწოდებენ მომიჯნავე, რა არის მიმდებარე კუთხეების ჯამი 4) რა კუთხეებს უწოდებენ

ვერტიკალური რა თვისება აქვთ ვერტიკალურ კუთხეებს 5)

დაგვეხმარეთ plz!! plzz=**

7. დაამტკიცეთ, რომ თუ ორი პარალელური წრფე იკვეთება მესამე წრფით, მაშინ შიდა ჯვარედინი კუთხეები ტოლია, ხოლო შიდა ცალმხრივი კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

8. დაამტკიცე, რომ მესამეზე პერპენდიკულარული ორი წრფე პარალელურია. თუ წრფე პერპენდიკულარულია ორი პარალელური ხაზიდან ერთ-ერთზე, მაშინ ის ასევე პერპენდიკულარულია მეორის მიმართ.

9. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.

10. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერ სამკუთხედს აქვს მინიმუმ ორი მახვილი კუთხე.

11. როგორია სამკუთხედის გარე კუთხე?

12. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე უდრის მის მიმდებარე ორი შიდა კუთხის ჯამს.

13. დაამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის გარე კუთხე მეტია მის მიმდებარე ნებისმიერ შიდა კუთხეზე.

14. რომელ სამკუთხედს ეწოდება მართკუთხა სამკუთხედი?

15. რა არის მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეების ჯამი?

16. მართკუთხა სამკუთხედის რომელ გვერდს ეწოდება ჰიპოტენუზა? რომელ გვერდებს უწოდებენ ფეხებს?

17. ჩამოაყალიბეთ ჰიპოტენუზისა და ფეხის გასწვრივ მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშანი.

18. დაამტკიცეთ, რომ ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ არის მოცემულ წრფეზე, შეიძლება ჩამოაგდეს პერპენდიკულარი ამ წრფეზე და მხოლოდ ერთი.

19. რა ჰქვია მანძილს წერტილიდან წრფემდე?

20. ახსენით რა არის მანძილი პარალელურ წრფეებს შორის.

რა არის მიმდებარე კუთხე

ინექცია- ეს არის გეომეტრიული ფიგურა (ნახ. 1), რომელიც წარმოიქმნება ორი სხივით OA და OB (კუთხის მხარეები), რომელიც გამოდის ერთი წერტილიდან O (კუთხის მწვერვალი).

მიმდებარე კუთხეებიარის ორი კუთხე, რომელთა ჯამია 180°. თითოეული ეს კუთხე ავსებს მეორეს სრული კუთხით.

მიმდებარე კუთხეები- (Agles adjacets) ვისაც აქვს საერთო ზედა და საერთო მხარე. უპირატესად, ეს სახელი ეხება ისეთ კუთხეებს, რომელთა დანარჩენი ორი მხარე მდებარეობს ერთი სწორი ხაზის საპირისპირო მიმართულებით.

ორ კუთხეს მეზობლად უწოდებენ, თუ მათ ერთი გვერდი აქვთ საერთო და ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი ნახევარხაზები.

ბრინჯი. 2

სურათზე 2, კუთხეები a1b და a2b მიმდებარეა. მათ აქვთ საერთო მხარე b, ხოლო გვერდები a1, a2 დამატებითი ნახევარხაზებია.

ბრინჯი. 3

სურათი 3 გვიჩვენებს AB ხაზს, წერტილი C მდებარეობს A და B წერტილებს შორის. წერტილი D არის წერტილი, რომელიც არ დევს AB წრფეზე. გამოდის, რომ კუთხეები BCD და ACD მიმდებარეა. მათ აქვთ საერთო გვერდითი CD, ხოლო გვერდები CA და CB არის AB ხაზის დამატებითი ნახევარხაზები, რადგან A, B წერტილები გამოყოფილია საწყისი C წერტილით.

მიმდებარე კუთხის თეორემა

თეორემა:მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°

მტკიცებულება:
a1b და a2b კუთხეები მიმდებარეა (იხ. ნახ. 2) სხივი b გადის გასწორებული კუთხის a1 და a2 გვერდებს შორის. მაშასადამე, a1b და a2b კუთხეების ჯამი სწორი კუთხის ტოლია, ანუ 180°. თეორემა დადასტურდა.

90°-ის ტოლ კუთხეს მართი კუთხე ეწოდება. მიმდებარე კუთხეების ჯამის თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე ასევე მართია. 90°-ზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი ეწოდება, ხოლო 90°-ზე მეტ კუთხეს ბლაგვი. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°, მაშინ მახვილი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის ბლაგვი კუთხე. ბლაგვი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მახვილი კუთხე.

მიმდებარე კუთხეები- ორი კუთხე საერთო წვერით, რომელთა ერთი მხარე საერთოა, ხოლო დანარჩენი მხარეები დევს იმავე სწორ ხაზზე (არ ემთხვევა). მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

განმარტება 1.კუთხე არის სიბრტყის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია საერთო საწყისის ორი სხივით.

განმარტება 1.1.კუთხე არის ფიგურა, რომელიც შედგება წერტილისგან - კუთხის წვეროსაგან - და ამ წერტილიდან გამომავალი ორი განსხვავებული ნახევარწრისაგან - კუთხის გვერდებისგან.
მაგალითად, BOS კუთხე ნახ. 1-ში განიხილეთ პირველი ორი გადამკვეთი ხაზი. როდესაც ისინი იკვეთება, ხაზები ქმნიან კუთხეებს. არის განსაკუთრებული შემთხვევები:

განმარტება 2.თუ კუთხის გვერდები ავსებენ ერთი სწორი ხაზის ნახევარხაზებს, მაშინ კუთხეს სწორი კუთხე ეწოდება.

განმარტება 3.მართი კუთხე არის 90 გრადუსიანი კუთხე.

განმარტება 4. 90 გრადუსზე ნაკლებ კუთხეს მახვილი კუთხე ეწოდება.

განმარტება 5.კუთხეს 90 გრადუსზე მეტი და 180 გრადუსზე ნაკლები ეწოდება ბლაგვი კუთხე.
გადაკვეთის ხაზები.

განმარტება 6.ორ კუთხეს, რომელთა ერთი მხარე საერთოა, ხოლო მეორე მხარე ერთსა და იმავე სწორ ხაზზე დევს, მიმდებარე ეწოდება.

განმარტება 7.კუთხეებს, რომელთა გვერდები ერთმანეთს აგრძელებს, ვერტიკალური კუთხეები ეწოდება.
Ფიგურა 1:
მიმდებარე: 1 და 2; 2 და 3; 3 და 4; 4 და 1
ვერტიკალური: 1 და 3; 2 და 4
თეორემა 1.მიმდებარე კუთხეების ჯამი 180 გრადუსია.
დასამტკიცებლად, განიხილეთ ნახ. 4 მიმდებარე კუთხე AOB და BOS. მათი ჯამი არის განვითარებული კუთხე AOC. ამრიგად, ამ მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180 გრადუსი.

ბრინჯი. 4

მათემატიკისა და მუსიკის ურთიერთობა

„ხელოვნებასა და მეცნიერებაზე ფიქრით, მათ ურთიერთკავშირებსა და წინააღმდეგობებზე, მივედი დასკვნამდე, რომ მათემატიკა და მუსიკა ადამიანის სულის უკიდურეს პოლუსებზეა, რომ ეს ორი ანტიპოდი ზღუდავს და განსაზღვრავს ადამიანის შემოქმედებით სულიერ საქმიანობას. რომ მათ შორის მოთავსებულია ყველაფერი, რაც კაცობრიობამ შექმნა მეცნიერებისა და ხელოვნების სფეროში“.
გ.ნეუჰაუსი
როგორც ჩანს, ხელოვნება ძალიან აბსტრაქტული სფეროა მათემატიკისგან. თუმცა მათემატიკასა და მუსიკას შორის კავშირი განპირობებულია როგორც ისტორიულად, ასევე შინაგანად, მიუხედავად იმისა, რომ მათემატიკა ყველაზე აბსტრაქტული მეცნიერებაა, ხოლო მუსიკა ყველაზე აბსტრაქტული ხელოვნების ფორმაა.
კონსონანსი განსაზღვრავს ყურისთვის სასიამოვნო სიმის ხმას.
ეს მუსიკალური სისტემა ეფუძნებოდა ორ კანონს, რომლებიც ატარებენ ორი დიდი მეცნიერის - პითაგორასა და არქიტას სახელს. ეს არის კანონები:
1. ორი ჟღერადობის სტრიქონი განსაზღვრავს თანხმობას, თუ მათი სიგრძე დაკავშირებულია მთელ რიცხვებად, რომლებიც ქმნიან სამკუთხა რიცხვს 10=1+2+3+4, ე.ი. როგორიცაა 1:2, 2:3, 3:4. უფრო მეტიც, რაც უფრო მცირეა რიცხვი n n-თან მიმართებაში:(n+1) (n=1,2,3), მით უფრო თანხმოვანია მიღებული ინტერვალი.
2. ხმოვანი სიმის რხევის სიხშირე w უკუპროპორციულია მისი l სიგრძისა.
w = a:l,
სადაც a არის სტრიქონის ფიზიკური თვისებების დამახასიათებელი კოეფიციენტი.

ასევე თქვენს ყურადღებას შემოგთავაზებთ სასაცილო პაროდიას ორ მათემატიკოსს შორის კამათის შესახებ =)

გეომეტრია ჩვენს ირგვლივ

გეომეტრია მნიშვნელოვან როლს თამაშობს ჩვენს ცხოვრებაში. იმის გამო, რომ როცა ირგვლივ მიმოიხედავთ, არ გაგიჭირდებათ შეამჩნიოთ, რომ გარშემორტყმული ვართ სხვადასხვა გეომეტრიული ფორმებით. მათ ყველგან ვხვდებით: ქუჩაში, კლასში, სახლში, პარკში, სპორტდარბაზში, სკოლის კაფეტერიაში, პრინციპში, სადაც არ უნდა ვიყოთ. მაგრამ დღევანდელი გაკვეთილის თემაა მიმდებარე ნახშირი. მოდით, მიმოვიხედოთ გარშემო და ვეცადოთ ამ გარემოში კუთხეების პოვნა. თუ ფანჯრიდან ყურადღებით დააკვირდებით, ხედავთ, რომ ხის ზოგიერთი ტოტი ქმნის მიმდებარე კუთხეებს და შეგიძლიათ იხილოთ მრავალი ვერტიკალური კუთხე კარიბჭის ტიხრებში. მიეცით მიმდებარე კუთხეების მაგალითები, რომლებსაც ხედავთ გარემოში.

სავარჯიშო 1.

1. წიგნის სტენდზე მაგიდაზე არის წიგნი. რა კუთხეს ქმნის?
2. მაგრამ მოსწავლე მუშაობს ლეპტოპზე. რა კუთხეს ხედავ აქ?
3. რა კუთხე აქვს ფოტოჩარჩოებს სტენდზე?
4. როგორ ფიქრობთ, შესაძლებელია თუ არა ორი მიმდებარე კუთხის ტოლი?

დავალება 2.

თქვენს წინაშე არის გეომეტრიული ფიგურა. რა არის ეს ფიგურა, დაასახელეთ? ახლა დაასახელეთ ყველა მიმდებარე კუთხე, რომელიც შეგიძლიათ ნახოთ ამ გეომეტრიულ ფიგურაზე.

დავალება 3.

აქ არის ნახატისა და ნახატის სურათი. დააკვირდით მათ და თქვით რა ტიპის დაჭერას ხედავთ სურათზე და რა კუთხეებს ხედავთ სურათზე.

Პრობლემის გადაჭრა

1) მოცემულია ორი კუთხე, რომლებიც დაკავშირებულია ერთმანეთთან, როგორც 1: 2, და მათ მიმდებარედ - როგორც 7: 5. თქვენ უნდა იპოვოთ ეს კუთხეები.
2) ცნობილია, რომ მიმდებარე კუთხეებიდან ერთი 4-ჯერ დიდია მეორეზე. რა არის მიმდებარე კუთხეები?
3) აუცილებელია მომიჯნავე კუთხეების პოვნა, იმ პირობით, რომ ერთი მათგანი 10 გრადუსით მეტი იყოს მეორეზე.

მათემატიკური კარნახი ადრე ნასწავლი მასალის გამეორებისთვის

1) დახატე ნახატი: ხაზები a I b იკვეთება A წერტილში. ჩამოყალიბებული კუთხეებიდან ყველაზე პატარა მონიშნე 1 რიცხვით, ხოლო დარჩენილი კუთხეები - თანმიმდევრობით 2,3,4 რიცხვებით; a წრფის დამატებითი სხივები - a1 და a2-ის გავლით და b წრფე - b1 და b2-ის გავლით.
2) დასრულებული ნახაზის გამოყენებით, ტექსტის ხარვეზებში შეიყვანეთ საჭირო მნიშვნელობები და განმარტებები:
ა) კუთხე 1 და კუთხე .... დაკავშირებული, რადგან...
ბ) კუთხე 1 და კუთხე .... ვერტიკალური, რადგან...
გ) თუ კუთხე 1 = 60°, მაშინ კუთხე 2 = ..., რადგან ...
დ) თუ კუთხე 1 = 60°, მაშინ კუთხე 3 = ..., რადგან ...

Პობლემების მოგვარება:

1. შეიძლება თუ არა 2 წრფის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი 3 კუთხის ჯამი იყოს 100°? 370°?
2. ფიგურაში იპოვეთ ყველა წყვილი მიმდებარე კუთხე. ახლა კი ვერტიკალური კუთხეები. დაასახელეთ ეს კუთხეები.

3. თქვენ უნდა იპოვოთ კუთხე, როდესაც ის სამჯერ აღემატება მის მიმდებარე კუთხეს.
4. ორი ხაზი კვეთს ერთმანეთს. ამ გადაკვეთის შედეგად ჩამოყალიბდა ოთხი კუთხე. განსაზღვრეთ რომელიმე მათგანის ღირებულება, იმ პირობით, რომ:

ა) 2 კუთხის ჯამი ოთხიდან 84 °;
ბ) მათგან 2 კუთხის სხვაობაა 45°;
გ) ერთი კუთხე 4-ჯერ ნაკლებია მეორეზე;
დ) ამ კუთხიდან სამის ჯამი არის 290°.

გაკვეთილის შეჯამება

1. დაასახელეთ კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება 2 წრფის გადაკვეთაზე?
2. დაასახელეთ ფიგურის ყველა შესაძლო წყვილი კუთხე და დაადგინეთ მათი ტიპი.

Საშინაო დავალება:

1. იპოვეთ მიმდებარე კუთხეების ხარისხიანი ზომების თანაფარდობა, როდესაც ერთი მათგანი 54 °-ით მეტია მეორეზე.
2. იპოვეთ კუთხეები, რომლებიც წარმოიქმნება 2 წრფის გადაკვეთისას, იმ პირობით, რომ ერთ-ერთი კუთხე უდრის მის მიმდებარე 2 სხვა კუთხის ჯამს.
3. საჭიროა მომიჯნავე კუთხეების პოვნა, როდესაც ერთ-ერთი მათგანის ბისექტორი ქმნის კუთხეს მეორის გვერდით, რომელიც 60 °-ით მეტია მეორე კუთხეზე.
4. 2 მიმდებარე კუთხის სხვაობა უდრის ამ ორი კუთხის ჯამის მესამედს. განსაზღვრეთ 2 მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობები.
5. 2 მიმდებარე კუთხის სხვაობა და ჯამი დაკავშირებულია შესაბამისად 1:5. იპოვნეთ მიმდებარე კუთხეები.
6. სხვაობა ორ მეზობელს შორის არის მათი ჯამის 25%. როგორ არის დაკავშირებული 2 მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობები? განსაზღვრეთ 2 მიმდებარე კუთხის მნიშვნელობები.

კითხვები:

1. რა არის კუთხე?
2. რა არის კუთხეების ტიპები?
3. რა არის მიმდებარე კუთხეების თავისებურება?

საგნები > მათემატიკა > მათემატიკა მე-7 კლასი

ორ კუთხეს მიმდებარე ეწოდება, თუ მათ აქვთ ერთი გვერდი საერთო და ამ კუთხის მეორე მხარე არის დამატებითი სხივები. მე-20 სურათზე AOB და BOC კუთხეები მიმდებარეა.

მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°

თეორემა 1. მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180°.

მტკიცებულება. OB სხივი (იხ. ნახ. 1) გადის განვითარებული კუთხის გვერდებს შორის. Ისე ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

თეორემა 1-დან გამომდინარეობს, რომ თუ ორი კუთხე ტოლია, მაშინ მათ მიმდებარე კუთხეები ტოლია.

ვერტიკალური კუთხეები ტოლია

ორ კუთხეს ვერტიკალური ეწოდება, თუ ერთი კუთხის გვერდები მეორის გვერდების დამატებითი სხივებია. ორი სწორი ხაზის გადაკვეთაზე წარმოქმნილი კუთხეები AOB და COD, BOD და AOC, ვერტიკალურია (ნახ. 2).

თეორემა 2. ვერტიკალური კუთხეები ტოლია.

მტკიცებულება. განვიხილოთ ვერტიკალური კუთხეები AOB და COD (იხ. სურ. 2). კუთხე BOD არის AOB და COD თითოეული კუთხის მიმდებარედ. 1 თეორემით, ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

აქედან დავასკვნათ, რომ ∠ AOB = ∠ COD.

დასკვნა 1. მართი კუთხის მიმდებარე კუთხე არის მართი კუთხე.

განვიხილოთ ორი გადამკვეთი სწორი ხაზი AC და BD (ნახ. 3). ისინი ქმნიან ოთხ კუთხეს. თუ ერთი მათგანი სწორია (კუთხე 1 ნახ. 3-ზე), მაშინ სხვა კუთხეებიც მართია (კუთხეები 1 და 2, 1 და 4 მიმდებარეა, კუთხეები 1 და 3 ვერტიკალურია). ამ შემთხვევაში, ნათქვამია, რომ ეს ხაზები იკვეთება სწორი კუთხით და უწოდებენ პერპენდიკულურს (ან ორმხრივ პერპენდიკულურს). AC და BD წრფეების პერპენდიკულარულობა შემდეგნაირად აღინიშნება: AC ⊥ BD.

სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის წრფე ამ სეგმენტზე პერპენდიკულარული და გადის მის შუა წერტილში.

AN - ხაზის პერპენდიკულარული

განვიხილოთ წრფე a და წერტილი, რომელიც არ არის მასზე (ნახ. 4). შეაერთეთ A წერტილი სეგმენტით H წერტილთან სწორი ხაზით a. AH სეგმენტს ეწოდება A წერტილიდან a წრფემდე დახატული პერპენდიკულური, თუ ხაზები AN და a პერპენდიკულარულია. H წერტილს პერპენდიკულარულის ფუძე ეწოდება.

სახატავი კვადრატი

შემდეგი თეორემა მართალია.

თეორემა 3. ნებისმიერი წერტილიდან, რომელიც არ დევს წრფეზე, შეიძლება ამ წრფის პერპენდიკულარის დახატვა და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთი.

ნახაზზე წერტილიდან სწორ ხაზამდე პერპენდიკულარის დასახაზად გამოიყენება სახატავი კვადრატი (სურ. 5).

კომენტარი. თეორემის განცხადება ჩვეულებრივ შედგება ორი ნაწილისგან. ერთი ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც მოცემულია. ამ ნაწილს თეორემის პირობა ეწოდება. მეორე ნაწილი საუბრობს იმაზე, რაც დასამტკიცებელია. ამ ნაწილს თეორემის დასკვნა ეწოდება. მაგალითად, თეორემა 2-ის პირობაა ვერტიკალური კუთხეები; დასკვნა - ეს კუთხეები ტოლია.

ნებისმიერი თეორემა შეიძლება დეტალურად გამოითქვას სიტყვებით ისე, რომ მისი მდგომარეობა დაიწყოს სიტყვით "თუ" და დასკვნა სიტყვით "მაშინ". მაგალითად, თეორემა 2 შეიძლება დაწვრილებით ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: „თუ ორი კუთხე ვერტიკალურია, მაშინ ისინი ტოლია“.

მაგალითი 1ერთ-ერთი მიმდებარე კუთხე არის 44°. რის ტოლია მეორე?

გადაწყვეტილება. აღნიშნეთ სხვა კუთხის ხარისხიანი ზომა x-ით, შემდეგ თეორემა 1-ით.
44° + x = 180°.
შედეგად მიღებული განტოლების ამოხსნით, ჩვენ აღმოვაჩენთ, რომ x \u003d 136 °. ამიტომ, მეორე კუთხე არის 136°.

მაგალითი 2მოდით, COD კუთხე 21-ზე იყოს 45°. რა არის კუთხეები AOB და AOC?

გადაწყვეტილება. კუთხეები COD და AOB ვერტიკალურია, შესაბამისად, თეორემა 1.2-ით ისინი ტოლია, ანუ ∠ AOB = 45°. კუთხე AOC არის COD კუთხის მიმდებარედ, შესაბამისად, თეორემა 1-ით.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

მაგალითი 3იპოვეთ მიმდებარე კუთხეები, თუ ერთი მათგანი 3-ჯერ მეტია მეორეზე.

გადაწყვეტილება. მონიშნეთ უფრო მცირე კუთხის ხარისხიანი ზომა x-ით. მაშინ უფრო დიდი კუთხის გრადუსული ზომა იქნება Zx. ვინაიდან მიმდებარე კუთხეების ჯამი არის 180° (თეორემა 1), მაშინ x + 3x = 180°, საიდანაც x = 45°.
ასე რომ, მიმდებარე კუთხეებია 45° და 135°.

მაგალითი 4ორი ვერტიკალური კუთხის ჯამი არის 100°. იპოვნეთ ოთხივე კუთხის მნიშვნელობა.

გადაწყვეტილება. მოდით, ფიგურა 2 შეესაბამებოდეს ამოცანის პირობას. ვერტიკალური კუთხეები COD-დან AOB-მდე ტოლია (თეორემა 2), რაც ნიშნავს, რომ მათი ხარისხის ზომებიც ტოლია. მაშასადამე, ∠ COD = ∠ AOB = 50° (მათი ჯამი მდგომარეობით 100°-ია). კუთხე BOD (ასევე კუთხე AOC) არის COD კუთხის მიმდებარედ და, შესაბამისად, თეორემა 1-ით
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.