დედამ ჩარჩო გარეცხა

ზაფხულის ხანგრძლივი არდადეგების დასასრულს დროა ნელ-ნელა დავუბრუნდეთ უმაღლეს მათემატიკას და საზეიმოდ გახსნათ ვერდის ცარიელი ფაილი, რათა დაიწყოთ ახალი განყოფილების შექმნა - . ვაღიარებ, რომ პირველი სტრიქონები ადვილი არ არის, მაგრამ პირველი ნაბიჯი ნახევარი გზაა, ამიტომ ყველას ვთავაზობ, ყურადღებით შეისწავლოს შესავალი სტატია, რის შემდეგაც 2-ჯერ უფრო ადვილი იქნება თემის ათვისება! საერთოდ არ ვაჭარბებ. ...მომავალი 1 სექტემბრის წინა დღეს პირველი კლასი და პრაიმერი მახსენდება .... ასოები ქმნიან შრიფტებს, შრიფტები სიტყვებად, სიტყვები მოკლე წინადადებებად - დედამ ჩარჩო გარეცხა. ტერვერისა და მათემატიკური სტატისტიკის დაუფლება ისეთივე მარტივია, როგორც წაკითხვის სწავლა! თუმცა, ამისათვის აუცილებელია ვიცოდეთ ძირითადი ტერმინები, ცნებები და აღნიშვნები, ასევე გარკვეული კონკრეტული წესები, რომლებსაც ეს გაკვეთილი ეძღვნება.

ოღონდ ჯერ გთხოვთ მიიღოთ ჩემი მილოცვა სასწავლო წლის დაწყებასთან დაკავშირებით (გაგრძელება, დასრულება, შესაბამისი შენიშვნა) და მიიღეთ საჩუქარი. საუკეთესო საჩუქარი წიგნია და თვითშესწავლისთვის გირჩევთ შემდეგ ლიტერატურას:

1) გმურმან ვ.ე. ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა

ლეგენდარული სახელმძღვანელო, რომელმაც გაიარა ათზე მეტი გადაბეჭდვა. იგი განსხვავდება გასაგებად და მასალის საბოლოო მარტივი წარმოდგენით და პირველი თავები სრულიად ხელმისაწვდომია, ვფიქრობ, უკვე 6-7 კლასების მოსწავლეებისთვის.

2) გმურმან ვ.ე. ალბათობისა და მათემატიკური სტატისტიკის პრობლემის გადაჭრის გზამკვლევი

იგივე ვლადიმერ ეფიმოვიჩის რეშებნიკი დეტალური მაგალითებითა და ამოცანებით.

აუცილებლადჩამოტვირთეთ ორივე წიგნი ინტერნეტიდან ან მიიღეთ მათი ქაღალდის ორიგინალები! გამოდგება 60-70-იანი წლების ვერსია, რაც კიდევ უკეთესია დუიმებისთვის. მიუხედავად იმისა, რომ ფრაზა "ალბათობის თეორია დუმებისთვის" საკმაოდ სასაცილოდ ჟღერს, რადგან თითქმის ყველაფერი შემოიფარგლება ელემენტარული არითმეტიკული ოპერაციებით. თუმცა, ისინი სრიალებენ ადგილებზე წარმოებულებიდა ინტეგრალები, მაგრამ ეს მხოლოდ ადგილებზეა.

ვეცდები მივაღწიო პრეზენტაციის იგივე სიცხადეს, მაგრამ უნდა გაგაფრთხილოთ, რომ ჩემი კურსი ორიენტირებულია პრობლემის გადაჭრახოლო თეორიული გამოთვლები მინიმუმამდეა დაყვანილი. ამრიგად, თუ გჭირდებათ დეტალური თეორია, თეორემების მტკიცებულებები (დიახ, თეორემები!), გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს.

მსურველთათვის ისწავლეთ პრობლემების გადაჭრა რამდენიმე დღეში შეიქმნაავარიის კურსი pdf ფორმატში (საიტის მიხედვით). ჰოდა, ახლავე, გრძელ ფაილში საკითხის გადადების გარეშე, ვიწყებთ ტერვერისა და მატსტატის შესწავლას - გამომყევი!

საკმარისია დასაწყებად =)

სტატიების წაკითხვისას სასარგებლოა გაეცნოთ (მოკლედ მაინც) განხილული ტიპების დამატებით პრობლემებს. გვერდზე მზა გადაწყვეტილებები უმაღლესი მათემატიკისთვისგანთავსებულია შესაბამისი pdf-ki გადაწყვეტილებების მაგალითებით. ასევე, იქნება მნიშვნელოვანი დახმარება IDZ 18.1-18.2 Ryabushko(უფრო მარტივი) და ჩუდესენკოს კოლექციის მიხედვით ამოხსნილი IDZ(უფრო რთული).

1) ჯამიორი მოვლენა და ეწოდება მოვლენა, რომელიც შედგება იმაში, რომ ანღონისძიება ანღონისძიება ანორივე მოვლენა ერთდროულად. მოვლენების შემთხვევაში შეუთავსებელი, ბოლო ვარიანტი ქრება, ანუ შეიძლება მოხდეს ანღონისძიება ანღონისძიება .

წესი ასევე ვრცელდება სხვა ტერმინებზე, მაგალითად, მოვლენაზე არის ის, რაც მოხდება ერთი მაინცმოვლენებიდან , ა თუ მოვლენები შეუთავსებელია – რომ ერთი და ერთადერთიმოვლენა ამ თანხიდან: ანღონისძიება, ანღონისძიება, ანღონისძიება, ანღონისძიება, ანღონისძიება .

უამრავი მაგალითი:

მოვლენა (როდესაც ჯარიმის სროლა არ იკლებს 5 ქულას) არის ის ან 1, ან 2, ან 3, ან 4, ან 6 ქულა.

მოვლენა (ჩამოვარდება მეტი აღარორი ქულა) არის ეს 1 ან 2ქულები.

ღონისძიება (ქულების ლუწი რაოდენობა იქნება) არის ის ან 2 ან 4 ან 6 ქულა.

მოვლენა არის ის, რომ გემბანიდან წითელი კოსტუმის (გულის) ბარათი გათამაშდება ანტამბური) და ღონისძიება - რომ "სურათი" იქნება ამოღებული (ჯეკ ანქალბატონო ანმეფე ანტუზი).

ცოტა უფრო საინტერესოა ერთობლივი ღონისძიებების შემთხვევა:

ღონისძიება არის ის, რომ კლუბი გათამაშდება გემბანიდან ანშვიდი ანშვიდი კლუბი ზემოაღნიშნული განმარტების მიხედვით, რაღაც მაინც- ან რომელიმე კლუბი ან რომელიმე შვიდი ან მათი "გადაკვეთა" - შვიდი კლუბი. ადვილი გამოსათვლელია, რომ ეს მოვლენა შეესაბამება 12 ელემენტარულ შედეგს (9 კლუბის ბარათი + 3 დარჩენილი შვიდეული).

ღონისძიება ხვალ 12:00 საათზეა მინიმუმ ერთი შემაჯამებელი ერთობლივი ღონისძიება, კერძოდ:

- ან იქნება მხოლოდ წვიმა / მხოლოდ ჭექა-ქუხილი / მხოლოდ მზე;
- ან მოხდება მხოლოდ რამდენიმე წყვილი მოვლენა (წვიმა + ჭექა-ქუხილი / წვიმა + მზე / ჭექა-ქუხილი + მზე);
– ან სამივე მოვლენა ერთდროულად გამოჩნდება.

ანუ ღონისძიება მოიცავს 7 შესაძლო შედეგს.

მოვლენათა ალგებრის მეორე საყრდენი:

2) მუშაობაორი მოვლენა და ვუწოდოთ მოვლენას, რომელიც შედგება ამ მოვლენების ერთობლივი გარეგნობისგან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, გამრავლება ნიშნავს, რომ გარკვეულ ვითარებაში მოვა დაღონისძიება, დაღონისძიება . მსგავსი განცხადება მართალია უფრო დიდი რაოდენობის ღონისძიებებისთვის, მაგალითად, ნამუშევარი გულისხმობს, რომ გარკვეულ პირობებში, იქნება დაღონისძიება, დაღონისძიება, დაღონისძიება,…, დაღონისძიება .

განვიხილოთ სასამართლო პროცესი, რომელშიც ორი მონეტა არის აგდებული და შემდეგი მოვლენები:

- თავები დაეცემა პირველ მონეტაზე;
- 1-ლი მონეტა დაეცემა კუდებს;
- მე-2 მონეტა დაეშვება თავებს;
- მე-2 მონეტა ამოვა კუდები.

შემდეგ:
დამე-2) არწივი ამოვარდება;
- ღონისძიება მდგომარეობს იმაში, რომ ორივე მონეტაზე (1-ელ დამე-2) კუდები ამოვარდება;
- მოვლენა არის ის, რომ 1-ლი მონეტა დაეცემა თავებს დამე-2 მონეტის კუდებზე;
- მოვლენა არის ის, რომ 1-ლი მონეტა ამოვა კუდები დამე-2 მონეტაზე არწივი.

მოვლენების დანახვა ადვილია შეუთავსებელი (რადგან მას არ შეუძლია, მაგალითად, ამოვარდეს 2 თავი და 2 კუდი ერთდროულად)და ფორმა სრული ჯგუფი (რადგან გათვალისწინებულია ყველაორი მონეტის სროლის შესაძლო შედეგები). შევაჯამოთ ეს მოვლენები: . როგორ განიმარტოს ეს ჩანაწერი? ძალიან მარტივია - გამრავლება ნიშნავს ლოგიკურ კავშირს და, და დამატება არის ან. ამრიგად, ჯამი ადვილად იკითხება ადამიანის გასაგებ ენაზე: „ორი არწივი დაეცემა ანორი კუდი ანთავები პირველ მონეტაზე დამე-2 კუდზე ანთავები პირველ მონეტაზე დაარწივი მე-2 მონეტაზე »

ეს იყო მაგალითი, როდესაც ერთ ტესტშიჩართულია რამდენიმე ობიექტი, ამ შემთხვევაში ორი მონეტა. კიდევ ერთი სქემა, რომელიც ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში არის განმეორებითი ტესტები როდესაც, მაგალითად, ერთი და იგივე კამათელი ზედიზედ 3-ჯერ იყრება. როგორც დემონსტრირება, განიხილეთ შემდეგი მოვლენები:

- პირველ სროლაში 4 ქულა ამოვარდება;
- მე-2 როლში 5 ქულა ამოვარდება;
- მე-3 სროლაში 6 ქულა ამოვარდება.

შემდეგ ღონისძიება მდგომარეობს იმაში, რომ პირველ როლში 4 ქულა ამოვარდება დამეორე თამაშში 5 ქულას დაკარგავს დამე-3 თამაშში 6 ქულა დაეცემა. ცხადია, კვარცხლბეკის შემთხვევაში საგრძნობლად მეტი კომბინაციები (შედეგები) იქნება, ვიდრე მონეტის სროლისას.

...მესმის, რომ, ალბათ, არც ისე საინტერესო მაგალითებია გაანალიზებული, მაგრამ ეს ის საკითხებია, რაც ხშირად გვხვდება პრობლემებში და მათგან თავის დაღწევა არ შეიძლება. მონეტის, კალათისა და ბანქოს გარდა, არის ურნები ფერადი ბურთებით, რამდენიმე ანონიმური ადამიანი, რომლებიც ისვრიან სამიზნეებს და დაუღალავი მუშა, რომელიც გამუდმებით ამუშავებს ზოგიერთ დეტალს =)

მოვლენის ალბათობა

მოვლენის ალბათობა ალბათობის თეორიის ცენტრალური ცნებაა. ...მომაკვდინებელი ლოგიკური რამ, მაგრამ საიდანღაც უნდა დაიწყოთ =) მისი განმარტების რამდენიმე მიდგომა არსებობს:

;
ალბათობის გეომეტრიული განსაზღვრება ;
ალბათობის სტატისტიკური განსაზღვრება .

ამ სტატიაში ყურადღებას გავამახვილებ ალბათობების კლასიკურ განმარტებაზე, რომელიც ყველაზე ფართოდ გამოიყენება საგანმანათლებლო ამოცანებში.

აღნიშვნა. ზოგიერთი მოვლენის ალბათობა აღინიშნება დიდი ლათინური ასოთი, ხოლო თავად მოვლენა აღებულია ფრჩხილებში და მოქმედებს როგორც არგუმენტი. Მაგალითად:

ასევე, პატარა ასო ფართოდ გამოიყენება ალბათობის წარმოსაჩენად. კერძოდ, შეიძლება უარი თქვას მოვლენების რთულ აღნიშვნებზე და მათ ალბათობებზე შემდეგი სტილის სასარგებლოდ:

არის ალბათობა იმისა, რომ მონეტის გადაგდება გამოიწვევს თავებს;
- ალბათობა იმისა, რომ კამათლის სროლის შედეგად 5 ქულა ამოვარდეს;
არის ალბათობა იმისა, რომ საკლუბო კოსტუმის კარტი გათამაშდება გემბანიდან.

ეს ვარიანტი პოპულარულია პრაქტიკული პრობლემების გადაჭრაში, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ მნიშვნელოვნად შეამციროთ გადაწყვეტის შეყვანა. როგორც პირველ შემთხვევაში, აქაც მოსახერხებელია „მოლაპარაკე“ ხელმოწერების/ზედაწერების გამოყენება.

ყველამ დიდი ხანია გამოიცნო იმ ნომრების შესახებ, რომლებიც მე ზემოთ დავწერე და ახლა ჩვენ გავარკვევთ, თუ როგორ აღმოჩნდა ისინი:

ალბათობის კლასიკური განმარტება:

ზოგიერთ ტესტში მოვლენის მოვლენის ალბათობა არის თანაფარდობა, სადაც:

არის ყველას საერთო რაოდენობა თანაბრად შესაძლებელია, ელემენტარულიამ ტესტის შედეგები, რომლებიც ყალიბდება მოვლენების სრული ჯგუფი;

- თანხა ელემენტარულიშედეგები ხელსაყრელი ღონისძიება .

როდესაც მონეტას აგდებენ, თავები ან კუდები შეიძლება ამოვარდეს - ეს მოვლენები ყალიბდება სრული ჯგუფიამდენად, შედეგების საერთო რაოდენობა; ხოლო თითოეული მათგანი ელემენტარულიდა თანაბრად შესაძლებელია. ღონისძიებას ხელს უწყობს შედეგი (ხელმძღვანელები). ალბათობების კლასიკური განმარტების მიხედვით: .

ანალოგიურად, კვარცხლბეკის გადახვევის შედეგად, შეიძლება გამოჩნდეს ელემენტარული თანაბრად შესაძლო შედეგები, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს და მოვლენას ხელს უწყობს ერთი შედეგი (გორვა ხუთეული). Ისე: .ეს არ არის მიღებული (თუმცა არ არის აკრძალული თქვენს გონებაში პროცენტების გარკვევა).

ჩვეულებრივად გამოიყენება ერთეულის წილადები, და, ცხადია, ალბათობა შეიძლება განსხვავდებოდეს ფარგლებში. უფრო მეტიც, თუ , მაშინ მოვლენა არის შეუძლებელია, თუ - საიმედოდა თუ , მაშინ ჩვენ ვსაუბრობთ შემთხვევითიღონისძიება.

! თუ რაიმე პრობლემის გადაჭრის პროცესში მიიღებთ სხვა ალბათობის მნიშვნელობას - მოძებნეთ შეცდომა!

ალბათობის განსაზღვრის კლასიკურ მიდგომაში, უკიდურესი მნიშვნელობები (ნული და ერთი) მიიღება ზუსტად იგივე მსჯელობით. 1 ბურთი შემთხვევით აიღეთ ურნიდან, რომელიც შეიცავს 10 წითელ ბურთულას. განვიხილოთ შემდეგი მოვლენები:

ერთ საცდელში, ნაკლებად სავარაუდო მოვლენა არ მოხდება.

ამიტომ ლატარიაში არ მოხვდებით ჯეკპოტში, თუ ამ მოვლენის ალბათობა არის, ვთქვათ, 0.00000001. დიახ, დიახ, ეს თქვენ ხართ - ერთადერთი ბილეთი კონკრეტულ ტირაჟში. თუმცა მეტი ბილეთი და მეტი გათამაშება დიდად არ გამოგადგებათ. ... როცა ამის შესახებ სხვებს ვეუბნები, პასუხად თითქმის ყოველთვის მესმის: „მაგრამ ვიღაც იმარჯვებს“. კარგი, მაშინ მოდით გავაკეთოთ შემდეგი ექსპერიმენტი: გთხოვთ, იყიდოთ ლატარიის ნებისმიერი ბილეთი დღეს ან ხვალ (არ გადადოთ!). და თუ მოიგებთ ... კარგი, მინიმუმ 10 კილო რუბლზე მეტი, აუცილებლად გააუქმეთ გამოწერა - აგიხსნით რატომ მოხდა ეს. პროცენტულად, რა თქმა უნდა =) =)

მაგრამ არ არის საჭირო სევდიანი, რადგან არსებობს საპირისპირო პრინციპი: თუ რაიმე მოვლენის ალბათობა ძალიან ახლოს არის ერთიანობასთან, მაშინ ის ერთ ტესტში. თითქმის გარკვეულიმოხდება. ამიტომ პარაშუტით ნახტომამდე ნუ შეგეშინდებათ, პირიქით - გაიღიმეთ! ბოლოს და ბოლოს, აბსოლუტურად წარმოუდგენელი და ფანტასტიკური გარემოებები უნდა წარმოიქმნას, რომ ორივე პარაშუტი ჩავარდეს.

თუმცა ეს ყველაფერი პოეზიაა, ვინაიდან მოვლენის შინაარსიდან გამომდინარე, პირველი პრინციპი შეიძლება ხალისიანი აღმოჩნდეს, მეორე კი - სევდიანი; ან თუნდაც ორივე პარალელურია.

ალბათ საკმარისია ახლა, კლასში ამოცანები ალბათობის კლასიკური განმარტებისთვისფორმულიდან მაქსიმუმს გამოვწურავთ. ამ სტატიის ბოლო ნაწილში განვიხილავთ ერთ მნიშვნელოვან თეორემას:

მოვლენათა ალბათობების ჯამი, რომლებიც ქმნიან სრულ ჯგუფს, უდრის ერთს. უხეშად რომ ვთქვათ, თუ მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაშინ 100% ალბათობით მოხდება ერთ-ერთი მათგანი. უმარტივეს შემთხვევაში, საპირისპირო მოვლენები ქმნიან სრულ ჯგუფს, მაგალითად:

- მონეტის გადაყრის შედეგად არწივი ამოვარდება;
- მონეტის სროლის შედეგად კუდები ამოვარდება.

თეორემის მიხედვით:

ნათელია, რომ ეს მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა და მათი ალბათობაც იგივეა. .

ალბათობათა თანასწორობის გამო ხშირად უწოდებენ თანაბრად სავარაუდო მოვლენებს თანაბარი სავარაუდო . და აი, ენის ტრიალი აღმოჩნდა ინტოქსიკაციის ხარისხის დასადგენად =)

კამათლის მაგალითი: მოვლენები საპირისპიროა, ასე რომ .

განხილული თეორემა მოსახერხებელია იმით, რომ ის საშუალებას გაძლევთ სწრაფად იპოვოთ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა. ასე რომ, თუ იცით ალბათობა იმისა, რომ ხუთეული ამოვარდება, ადვილია გამოთვალოთ ალბათობა, რომ ის არ ამოვარდეს:

ეს ბევრად უფრო ადვილია, ვიდრე ხუთი ელემენტარული შედეგის ალბათობის შეჯამება. ელემენტარული შედეგებისთვის, სხვათა შორის, ეს თეორემაც მოქმედებს:
. მაგალითად, თუ არის იმის ალბათობა, რომ მსროლელმა მიზანს დაარტყა, მაშინ არის ალბათობა იმისა, რომ ის გამოტოვებს.

! ალბათობის თეორიაში არასასურველია ასოების გამოყენება და რაიმე სხვა მიზნით.

ცოდნის დღის საპატივცემულოდ, მე არ მივცემ საშინაო დავალებას =), მაგრამ ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ თქვენ შეგიძლიათ უპასუხოთ შემდეგ კითხვებს:

რა სახის ღონისძიებები არსებობს?
– რა არის მოვლენის შანსი და თანაბარი შესაძლებლობა?
– როგორ გესმით ტერმინები მოვლენების თავსებადობა / შეუთავსებლობა?
– რა არის მოვლენათა სრული ჯგუფი, საპირისპირო მოვლენები?
რას ნიშნავს მოვლენათა შეკრება და გამრავლება?
– რა არის ალბათობის კლასიკური განმარტების არსი?
– რატომ არის სასარგებლო შეკრების თეორემა სრული ჯგუფის შემქმნელი მოვლენების ალბათობისთვის?

არა, თქვენ არ გჭირდებათ არაფრის ჩაყრა, ეს მხოლოდ ალბათობის თეორიის საფუძვლებია - ერთგვარი პრაიმერი, რომელიც საკმაოდ სწრაფად მოერგება თქვენს თავში. და ისე, რომ ეს მოხდეს რაც შეიძლება მალე, გირჩევთ წაიკითხოთ გაკვეთილები

ბევრს, ვინც "ალბათობის თეორიის" კონცეფციის წინაშე დგას, შეშინებულია და ფიქრობს, რომ ეს რაღაც აბსოლუტური, ძალიან რთულია. მაგრამ ეს ყველაფერი ნამდვილად არ არის ტრაგიკული. დღეს ჩვენ განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ძირითად კონცეფციას, ვისწავლით როგორ მოვაგვაროთ პრობლემები კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

Მეცნიერება

რას სწავლობს მათემატიკის ისეთ ფილიალი, როგორიცაა "ალბათობის თეორია"? ის აღნიშნავს ნიმუშებს და სიდიდეებს. პირველად მეცნიერები ამ საკითხით მეთვრამეტე საუკუნეში დაინტერესდნენ, როცა აზარტულ თამაშებს სწავლობდნენ. ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა. ეს არის ნებისმიერი ფაქტი, რომელიც დგინდება გამოცდილებით ან დაკვირვებით. მაგრამ რა არის გამოცდილება? ალბათობის თეორიის კიდევ ერთი ძირითადი კონცეფცია. ეს ნიშნავს, რომ გარემოებათა ეს შემადგენლობა არ შეიქმნა შემთხვევით, არამედ კონკრეტული მიზნით. რაც შეეხება დაკვირვებას, აქ მკვლევარი თავად არ მონაწილეობს ექსპერიმენტში, უბრალოდ არის ამ მოვლენების მოწმე, ის არანაირად არ ახდენს გავლენას იმაზე, რაც ხდება.

Ივენთი

ჩვენ გავიგეთ, რომ ალბათობის თეორიის ძირითადი კონცეფცია არის მოვლენა, მაგრამ არ გავითვალისწინეთ კლასიფიკაცია. ყველა მათგანი იყოფა შემდეგ კატეგორიებად:

• სანდო.
• შეუძლებელია.
• შემთხვევითი.

არ აქვს მნიშვნელობა რა სახის მოვლენები შეინიშნება ან იქმნება გამოცდილების მსვლელობისას, ისინი ყველა ექვემდებარება ამ კლასიფიკაციას. გთავაზობთ ცალ-ცალკე გაეცნოთ თითოეულ სახეობას.

სანდო ღონისძიება

ეს ის გარემოებაა, რომლის წინაშეც გატარდა ზომების აუცილებელი ნაკრები. არსის უკეთ გასაგებად სჯობს რამდენიმე მაგალითი მოვიყვანოთ. ამ კანონს ექვემდებარება ფიზიკა, ქიმია, ეკონომიკა და უმაღლესი მათემატიკა. ალბათობის თეორია მოიცავს ისეთ მნიშვნელოვან კონცეფციას, როგორიცაა გარკვეული მოვლენა. Აი ზოგიერთი მაგალითი:

• ჩვენ ვმუშაობთ და ვიღებთ ანაზღაურებას ხელფასის სახით.
• კარგად ჩავაბარეთ გამოცდები, ჩავაბარე კონკურსი, ამისთვის ვიღებთ ჯილდოს საგანმანათლებლო დაწესებულებაში მიღების სახით.
• თანხა ბანკში ჩავდეთ, თუ საჭირო იქნება, უკან დავიბრუნებთ.

ასეთი მოვლენები სანდოა. თუ ყველა საჭირო პირობა შევასრულეთ, მაშინ აუცილებლად მივიღებთ მოსალოდნელ შედეგს.

შეუძლებელი მოვლენები

ჩვენ ახლა განვიხილავთ ალბათობის თეორიის ელემენტებს. ჩვენ ვთავაზობთ გადავიდეთ შემდეგი ტიპის მოვლენის ახსნაზე, კერძოდ, შეუძლებელი. დასაწყისისთვის, ჩვენ განვსაზღვრავთ ყველაზე მნიშვნელოვან წესს - შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია.

პრობლემის გადაჭრისას ამ ფორმულირებიდან გადახვევა შეუძლებელია. გასაგებად, აქ მოცემულია ასეთი მოვლენების მაგალითები:

• წყალი გაიყინა პლუს ათი ტემპერატურაზე (ეს შეუძლებელია).
• ელექტროენერგიის ნაკლებობა არანაირად არ მოქმედებს წარმოებაზე (ისევე შეუძლებელი, როგორც წინა მაგალითში).

მეტი მაგალითები არ უნდა იყოს მოყვანილი, რადგან ზემოთ აღწერილი მაგალითები ძალიან ნათლად ასახავს ამ კატეგორიის არსს. შეუძლებელი მოვლენა არასოდეს მოხდება გამოცდილების დროს არავითარ შემთხვევაში.

შემთხვევითი მოვლენები

ელემენტების შესწავლისას განსაკუთრებული ყურადღება უნდა მიექცეს ამ კონკრეტული ტიპის მოვლენას. სწორედ ამას სწავლობს მეცნიერება. გამოცდილების შედეგად შეიძლება რაღაც მოხდეს ან არ მოხდეს. გარდა ამისა, ტესტი შეიძლება განმეორდეს შეუზღუდავი რაოდენობის ჯერ. თვალსაჩინო მაგალითებია:

• მონეტის გადაყრა არის გამოცდილება, ან გამოცდა, სათაური არის მოვლენა.
• ჩანთიდან ბურთის ბრმად ამოღება გამოცდაა, წითელი ბურთის დაჭერა მოვლენაა და ა.შ.

ასეთი მაგალითების შეუზღუდავი რაოდენობა შეიძლება იყოს, მაგრამ, ზოგადად, არსი გასაგები უნდა იყოს. მოვლენების შესახებ მიღებული ცოდნის შეჯამებისა და სისტემატიზაციის მიზნით მოცემულია ცხრილი. ალბათობის თეორია სწავლობს ყველა წარმოდგენილიდან მხოლოდ ბოლო ტიპს.

სათაური	განმარტება
სანდო	ღონისძიებები, რომლებიც ხდება 100% გარანტიით, გარკვეული პირობების გათვალისწინებით.	საგანმანათლებლო დაწესებულებაში მიღება მისაღები გამოცდის კარგად ჩაბარებით.
შეუძლებელია	მოვლენები, რომლებიც არასოდეს მოხდება არავითარ შემთხვევაში.	თოვს ჰაერის პლიუს ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსის ტემპერატურაზე.
შემთხვევითი	მოვლენა, რომელიც შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს ექსპერიმენტის/ტესტის დროს.	დაარტყით ან გამოტოვეთ კალათბურთის რგოლში ჩაგდებისას.

Კანონები

ალბათობის თეორია არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მოვლენის მოხდენის შესაძლებლობას. სხვების მსგავსად, მას აქვს გარკვეული წესები. არსებობს ალბათობის თეორიის შემდეგი კანონები:

• შემთხვევითი ცვლადების მიმდევრობების კონვერგენცია.
• დიდი რიცხვების კანონი.

კომპლექსის შესაძლებლობის გაანგარიშებისას, მარტივი მოვლენების კომპლექსის გამოყენება შესაძლებელია შედეგის უფრო მარტივი და სწრაფი მიღწევისთვის. გაითვალისწინეთ, რომ ალბათობის თეორიის კანონები ადვილად მტკიცდება ზოგიერთი თეორემის დახმარებით. დავიწყოთ პირველი კანონით.

შემთხვევითი ცვლადების მიმდევრობების კონვერგენცია

გაითვალისწინეთ, რომ არსებობს რამდენიმე სახის კონვერგენცია:

• შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობა კონვერგენტულია ალბათობით.
• თითქმის შეუძლებელია.
• RMS კონვერგენცია.
• განაწილების კონვერგენცია.

ასე რომ, ფრენისას ძალიან ძნელია მის ბოლოში ჩასვლა. აქ მოცემულია რამდენიმე განმარტება, რომელიც დაგეხმარებათ ამ თემის გაგებაში. დავიწყოთ პირველი ნახვით. თანმიმდევრობა ე.წ კონვერგენტული ალბათობით, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობა: n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, რიცხვი, რომლისკენაც მიდრეკილია მიმდევრობა, არის ნულზე მეტი და ერთთან ახლოს.

გადავიდეთ შემდეგზე, თითქმის აუცილებლად. ნათქვამია, რომ თანმიმდევრობა ემთხვევა თითქმის აუცილებლადშემთხვევითი ცვლადისკენ, სადაც n მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ხოლო P მიდრეკილია ერთიანობასთან მიახლოებული მნიშვნელობისკენ.

შემდეგი ტიპი არის RMS კონვერგენცია. SC კონვერგენციის გამოყენებისას ვექტორული შემთხვევითი პროცესების შესწავლა მცირდება მათი კოორდინატული შემთხვევითი პროცესების შესწავლაზე.

ბოლო ტიპი რჩება, მოკლედ გავაანალიზოთ, რათა უშუალოდ გადავიდეთ პრობლემების გადაჭრაზე. განაწილების კონვერგენციას სხვა სახელი აქვს - "სუსტი", ჩვენ ავხსნით რატომ ქვემოთ. სუსტი კონვერგენციაარის განაწილების ფუნქციების კონვერგენცია შეზღუდვის განაწილების ფუნქციის უწყვეტობის ყველა წერტილში.

ჩვენ აუცილებლად შევასრულებთ დაპირებას: სუსტი კონვერგენცია განსხვავდება ყოველივე ზემოთქმულისგან იმით, რომ შემთხვევითი ცვლადი არ არის განსაზღვრული ალბათობის სივრცეში. ეს შესაძლებელია, რადგან მდგომარეობა იქმნება ექსკლუზიურად განაწილების ფუნქციების გამოყენებით.

დიდი რიცხვების კანონი

ამ კანონის დასამტკიცებლად შესანიშნავი თანაშემწეები იქნებიან ალბათობის თეორიის თეორემები, როგორიცაა:

• ჩებიშევის უთანასწორობა.
• ჩებიშევის თეორემა.
• განზოგადებული ჩებიშევის თეორემა.
• მარკოვის თეორემა.

თუ გავითვალისწინებთ ყველა ამ თეორემას, მაშინ ეს კითხვა შეიძლება გაგრძელდეს რამდენიმე ათეული ფურცლის განმავლობაში. ჩვენი მთავარი ამოცანაა ალბათობის თეორიის პრაქტიკაში გამოყენება. გეპატიჟებით ამის გაკეთებას ახლავე. მანამდე კი ალბათობის თეორიის აქსიომებს განვიხილავთ, ისინი იქნებიან მთავარი ასისტენტები პრობლემების გადაჭრაში.

აქსიომები

პირველს უკვე შევხვდით, როცა შეუძლებელ მოვლენაზე ვისაუბრეთ. გავიხსენოთ: შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია. ჩვენ მოვიყვანეთ ძალიან ნათელი და დასამახსოვრებელი მაგალითი: თოვლი მოვიდა ჰაერის ტემპერატურაზე ოცდაათი გრადუსი ცელსიუსით.

მეორე ასეთია: გარკვეული მოვლენა ხდება ერთის ტოლი ალბათობით. ახლა ვაჩვენოთ, როგორ ჩავწეროთ ის მათემატიკური ენის გამოყენებით: P(B)=1.

მესამე: შემთხვევითი მოვლენა შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაგრამ შესაძლებლობა ყოველთვის მერყეობს ნულიდან ერთამდე. რაც უფრო ახლოს არის მნიშვნელობა ერთთან, მით მეტია შანსი; თუ მნიშვნელობა უახლოვდება ნულს, ალბათობა ძალიან დაბალია. ჩავწეროთ მათემატიკური ენაზე: 0<Р(С)<1.

განვიხილოთ ბოლო, მეოთხე აქსიომა, რომელიც ასე ჟღერს: ორი მოვლენის ჯამის ალბათობა მათი ალბათობების ჯამის ტოლია. ჩვენ ვწერთ მათემატიკური ენაზე: P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

ალბათობის თეორიის აქსიომები უმარტივესი წესებია, რომლებიც ადვილად დასამახსოვრებელია. შევეცადოთ გადავჭრათ რამდენიმე პრობლემა, უკვე მიღებული ცოდნის საფუძველზე.

Ლატარიის ბილეთი

დასაწყისისთვის, განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითი - ლატარია. წარმოიდგინეთ, რომ იყიდეთ ერთი ლატარიის ბილეთი წარმატებისთვის. რა არის იმის ალბათობა, რომ მინიმუმ ოცი მანეთი მოიგო? საერთო ჯამში, ტირაჟში მონაწილეობს ათასი ბილეთი, რომელთაგან ერთს აქვს პრიზი ხუთასი რუბლიდან, ათი ასი რუბლიდან, ორმოცდაათი ოცი რუბლიდან და ასი ხუთიდან. ალბათობის თეორიის პრობლემები ემყარება იღბლის შესაძლებლობის პოვნას. მოდით ერთად გადავხედოთ ზემოაღნიშნული პრობლემის გადაწყვეტას.

თუ ასო A-ით აღვნიშნავთ ხუთასი რუბლის მოგებას, მაშინ A-ს მიღების ალბათობა იქნება 0,001. როგორ მივიღეთ? თქვენ უბრალოდ უნდა გაყოთ "ბედნიერი" ბილეთების რაოდენობა მათ საერთო რაოდენობაზე (ამ შემთხვევაში: 1/1000).

B არის ასი რუბლის მოგება, ალბათობა იქნება 0.01. ახლა ჩვენ ვიმოქმედეთ იმავე პრინციპით, როგორც წინა მოქმედებაში (10/1000)

გ - მოგება უდრის ოცი რუბლს. ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, ის უდრის 0,05-ს.

დარჩენილი ბილეთები ჩვენთვის არანაირ ინტერესს არ იწვევს, რადგან მათი საპრიზო ფონდი მდგომარეობით მითითებულზე ნაკლებია. გამოვიყენოთ მეოთხე აქსიომა: მინიმუმ ოცი რუბლის მოგების ალბათობა არის P(A)+P(B)+P(C). ასო P აღნიშნავს ამ მოვლენის დადგომის ალბათობას, ისინი უკვე ვიპოვეთ წინა ნაბიჯებში. რჩება მხოლოდ საჭირო მონაცემების დამატება, პასუხში ვიღებთ 0.061. ეს რიცხვი იქნება პასუხი დავალების კითხვაზე.

ბარათის დაფა

ალბათობის თეორიის პრობლემები ასევე უფრო რთულია, მაგალითად, მიიღეთ შემდეგი დავალება. თქვენს წინაშე არის ოცდათექვსმეტი კარტის გემბანი. თქვენი ამოცანაა ზედიზედ ორი კარტის დახატვა წყობის შერევის გარეშე, პირველი და მეორე კარტი უნდა იყოს ტუზი, კოსტიუმს მნიშვნელობა არ აქვს.

დასაწყისისთვის, ჩვენ ვპოულობთ ალბათობას, რომ პირველი კარტი იყოს ტუზი, ამისათვის ოთხს ვყოფთ ოცდათექვსმეტზე. განზე გადადეს. ჩვენ ამოვიღებთ მეორე კარტს, ეს იქნება ტუზი სამი ოცდამეხუთედის ალბათობით. მეორე მოვლენის ალბათობა დამოკიდებულია იმაზე, თუ რომელი კარტი გავუშვით პირველი, გვაინტერესებს ტუზი იყო თუ არა. აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენა B დამოკიდებულია A მოვლენაზე.

შემდეგი ნაბიჯი არის ერთდროული განხორციელების ალბათობის პოვნა, ანუ ვამრავლებთ A და B. მათი ნამრავლი გამოდის შემდეგნაირად: ვამრავლებთ ერთი მოვლენის ალბათობას მეორის პირობით ალბათობაზე, რომელსაც ვიანგარიშებთ, იმ ვარაუდით, რომ პირველი მოხდა მოვლენა, ანუ პირველი კარტით ტუზი გავუშვით.

იმისათვის, რომ ყველაფერი ნათელი გახდეს, მოდით მივცეთ აღნიშვნა ისეთ ელემენტს, როგორიცაა მოვლენები. იგი გამოითვლება იმ ვარაუდით, რომ მოხდა A მოვლენა. გამოითვლება შემდეგნაირად: P(B/A).

მოდით გავაგრძელოთ ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა: P (A * B) \u003d P (A) * P (B / A) ან P (A * B) \u003d P (B) * P (A / B). ალბათობა არის (4/36) * ((3/35)/(4/36). გამოთვალეთ მეასედების დამრგვალებით. გვაქვს: 0,11 * (0,09/0,11)=0,11 * 0, 82 = 0,09 ალბათობა იმისა, რომ ჩვენ ზედიზედ ორი ტუზის დახატვა არის ცხრა ასეული. მნიშვნელობა ძალიან მცირეა, აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენის დადგომის ალბათობა უკიდურესად მცირეა.

დავიწყებული ნომერი

ჩვენ ვთავაზობთ გავაანალიზოთ კიდევ რამდენიმე ვარიანტი ამოცანებისთვის, რომლებიც შესწავლილია ალბათობის თეორიით. თქვენ უკვე ნახეთ ამ სტატიაში ზოგიერთი მათგანის გადაჭრის მაგალითები, შევეცადოთ გადავჭრათ შემდეგი პრობლემა: ბიჭს დაავიწყდა მეგობრის ტელეფონის ნომრის ბოლო ციფრი, მაგრამ რადგან ზარი ძალიან მნიშვნელოვანი იყო, მან დაიწყო ყველაფრის რიგრიგობით აკრეფა. ჩვენ უნდა გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ ის დარეკავს არაუმეტეს სამჯერ. პრობლემის გადაწყვეტა ყველაზე მარტივია, თუ ცნობილია ალბათობის თეორიის წესები, კანონები და აქსიომები.

სანამ გამოსავალს შეხედავთ, შეეცადეთ თავად მოაგვაროთ იგი. ჩვენ ვიცით, რომ ბოლო ციფრი შეიძლება იყოს ნულიდან ცხრამდე, ანუ სულ არის ათი მნიშვნელობა. სწორის მიღების ალბათობა არის 1/10.

შემდეგი, ჩვენ უნდა განვიხილოთ მოვლენის წარმოშობის ვარიანტები, დავუშვათ, რომ ბიჭმა სწორად გამოიცნო და მაშინვე გაიტანა სწორი, ასეთი მოვლენის ალბათობა არის 1/10. მეორე ვარიანტი: პირველი ზარი არის გამოტოვება, ხოლო მეორე არის მიზანში. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: გავამრავლოთ 9/10 1/9-ზე, შედეგად მივიღებთ ასევე 1/10-ს. მესამე ვარიანტი: პირველი და მეორე ზარი არასწორ მისამართზე აღმოჩნდა, მხოლოდ მესამედან მივიდა ბიჭი სადაც სურდა. ჩვენ ვიანგარიშებთ ასეთი მოვლენის ალბათობას: ვამრავლებთ 9/10-ს 8/9-ზე და 1/8-ზე, შედეგად მივიღებთ 1/10-ს. პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ არ გვაინტერესებს სხვა ვარიანტები, ამიტომ ჩვენთვის რჩება შედეგების შეკრება, შედეგად გვაქვს 3/10. პასუხი: ალბათობა იმისა, რომ ბიჭი დაურეკავს არაუმეტეს სამჯერ არის 0,3.

ბარათები ნომრებით

თქვენს წინ არის ცხრა ბარათი, რომელთაგან თითოეული შეიცავს რიცხვს ერთიდან ცხრამდე, ნომრები არ მეორდება. ისინი მოათავსეს ყუთში და საფუძვლიანად აურიეს. თქვენ უნდა გამოთვალოთ ამის ალბათობა

• გამოვა ლუწი რიცხვი;
• ორნიშნა.

სანამ გადაწყვეტაზე გადავალთ, განვსაზღვროთ, რომ m არის წარმატებული შემთხვევების რაოდენობა, ხოლო n არის ვარიანტების საერთო რაოდენობა. იპოვეთ ალბათობა, რომ რიცხვი ლუწია. არ იქნება რთული გამოთვლა, რომ არის ოთხი ლუწი რიცხვი, ეს იქნება ჩვენი m, სულ ცხრა ვარიანტია, ანუ m = 9. მაშინ ალბათობა არის 0,44 ან 4/9.

ჩვენ განვიხილავთ მეორე შემთხვევას: ვარიანტების რაოდენობა არის ცხრა, და საერთოდ არ შეიძლება იყოს წარმატებული შედეგი, ანუ m უდრის ნულს. ალბათობა იმისა, რომ გათამაშებული ბარათი შეიცავდეს ორნიშნა რიცხვს, ასევე ნულის ტოლია.

რა არის ალბათობა?

ამ ტერმინის წინაშე პირველად ვერ გავიგე რა არის. ამიტომ ვეცდები გასაგებად ავხსნა.

ალბათობა არის იმის შანსი, რომ მოხდეს სასურველი მოვლენა.

მაგალითად, თქვენ გადაწყვიტეთ ეწვიოთ მეგობარს, გაიხსენოთ შესასვლელი და თუნდაც იატაკი, რომელზეც ის ცხოვრობს. მაგრამ დამავიწყდა ბინის ნომერი და მდებარეობა. ახლა კი კიბეზე დგახართ და თქვენს წინ არის კარები, რომელთაგან უნდა აირჩიოთ.

რა არის შანსი (ალბათობა), რომ კარზე პირველ ზარს რომ დარეკავთ, მეგობარი გაგიღებს? მთელი ბინა და მეგობარი ცხოვრობს მხოლოდ ერთი მათგანის უკან. თანაბარი შანსებით შეგვიძლია ნებისმიერი კარი ავირჩიოთ.

მაგრამ რა არის ეს შანსი?

კარები, მარჯვენა კარი. პირველი კარის დარეკვით გამოცნობის ალბათობა: . ანუ სამიდან ერთჯერ გამოიცნობ აუცილებლად.

ერთხელ დარეკვით გვინდა ვიცოდეთ, რამდენად ხშირად გამოვიცნობთ კარს? მოდით შევხედოთ ყველა ვარიანტს:

1. შენ დაურეკე 1-ლიკარი
2. შენ დაურეკე მე-2კარი
3. შენ დაურეკე მე-3კარი

ახლა კი განიხილეთ ყველა ვარიანტი, სადაც მეგობარი შეიძლება იყოს:

ა. უკან 1-ლიკარი
ბ. უკან მე-2კარი
in. უკან მე-3კარი

შევადაროთ ყველა ვარიანტი ცხრილის სახით. ტიკი მიუთითებს ვარიანტებზე, როდესაც თქვენი არჩევანი ემთხვევა მეგობრის მდებარეობას, ჯვარი - როდესაც ის არ ემთხვევა.

როგორ ხედავ ყველაფერს შესაძლოა პარამეტრებიმეგობრის მდებარეობა და თქვენი არჩევანი, რომელ კარზე დარეკოთ.

მაგრამ ყველა ხელსაყრელი შედეგი . ანუ დროებს გამოიცნობთ კარზე ერთხელ დარეკვით, ე.ი. .

ეს არის ალბათობა - ხელსაყრელი შედეგის თანაფარდობა (როდესაც თქვენი არჩევანი დაემთხვა მეგობრის მდებარეობას) შესაძლო მოვლენების რაოდენობასთან.

განმარტება არის ფორმულა. ალბათობა ჩვეულებრივ აღინიშნება p, ასე რომ:

ასეთი ფორმულის დაწერა არც ისე მოსახერხებელია, ამიტომ ავიღოთ - ხელსაყრელი შედეგების რაოდენობა, ხოლო - შედეგების საერთო რაოდენობა.

ალბათობა შეიძლება დაიწეროს პროცენტულად, ამისათვის თქვენ უნდა გაამრავლოთ მიღებული შედეგი:

ალბათ, სიტყვა „შედეგებმა“ მიიპყრო შენი თვალი. ვინაიდან მათემატიკოსები სხვადასხვა ქმედებებს (ჩვენთვის ასეთი ქმედება კარზე ზარია) ექსპერიმენტებს უწოდებენ, ჩვეულებისამებრ, ასეთი ექსპერიმენტების შედეგს შედეგს ვუწოდებთ.

ისე, შედეგები არის ხელსაყრელი და არასახარბიელო.

დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. დავუშვათ, ერთ-ერთ კარზე დავრეკეთ, მაგრამ უცნობმა გაგვიღო. ჩვენ არ ვხვდებოდით. რა არის იმის ალბათობა, რომ თუ ერთ-ერთ დარჩენილ კარს დავურეკავთ, მას ჩვენი მეგობარი გაგვაღებს?

თუ ასე ფიქრობდი, მაშინ ეს შეცდომაა. მოდი გავარკვიოთ.

ორი კარი გვაქვს დარჩენილი. ასე რომ, ჩვენ გვაქვს შესაძლო ნაბიჯები:

1) დარეკეთ 1-ლიკარი
2) დარეკეთ მე-2კარი

მეგობარი, ამ ყველაფერთან ერთად, ნამდვილად დგას ერთ-ერთი მათგანის უკან (ბოლოს და ბოლოს, ის არ ჩამორჩა იმას, ვინც ჩვენ დავურეკეთ):

ა) მეგობარი 1-ლიკარი
ბ) მეგობარი ამისთვის მე-2კარი

ისევ დავხატოთ ცხრილი:

როგორც ხედავთ, არის ყველა ვარიანტი, რომელთაგან - ხელსაყრელი. ანუ ალბათობა ტოლია.

Რატომაც არა?

ჩვენ განვიხილეთ სიტუაცია დამოკიდებული მოვლენების მაგალითი.პირველი ღონისძიება არის კარზე პირველი ზარი, მეორე ღონისძიება არის მეორე კარზე.

და მათ უწოდებენ დამოკიდებულებს, რადგან ისინი გავლენას ახდენენ შემდეგ მოქმედებებზე. ბოლოს და ბოლოს, თუ მეგობარმა კარი პირველი ზარის შემდეგ გააღო, რა იქნება იმის ალბათობა, რომ ის ამ ორიდან ერთ-ერთის უკან იმყოფებოდა? სწორად,.

მაგრამ თუ არის დამოკიდებული მოვლენები, მაშინ უნდა იყოს დამოუკიდებელი? მართალია, არსებობენ.

სახელმძღვანელოს მაგალითია მონეტის სროლა.

1. ჩვენ ვყრით მონეტას. რა არის იმის ალბათობა, რომ მაგალითად თავები ამოვიდეს? ეს ასეა - რადგან ყველაფრის ვარიანტები (თავი თუ კუდი, ჩვენ უგულებელყოფთ მონეტის ზღვარზე დგომის ალბათობას), მაგრამ მხოლოდ ჩვენ ჯდება.
2. მაგრამ კუდები ამოვარდა. კარგი, მოდი ისევ გავაკეთოთ. რა არის ახლა თავების აწევის ალბათობა? არაფერი შეცვლილა, ყველაფერი იგივეა. რამდენი ვარიანტია? ორი. რამდენად ვართ კმაყოფილი? ერთი.

და კუდები ზედიზედ ათასჯერ მაინც ამოვარდეს. თავების ერთდროულად დაცემის ალბათობა იგივე იქნება. ყოველთვის არის ვარიანტები, მაგრამ ხელსაყრელი.

დამოკიდებული მოვლენების დამოუკიდებელი მოვლენებისგან გარჩევა მარტივია:

1. თუ ექსპერიმენტი ჩატარდება ერთხელ (მონეტის გადაყრის შემდეგ, კარზე ზარი ერთხელ და ა.შ.), მაშინ მოვლენები ყოველთვის დამოუკიდებელია.
2. თუ ექსპერიმენტი რამდენჯერმე ჩატარდება (მონეტა ერთხელ ისროლება, კარზე ზარი რამდენჯერმე რეკავს), მაშინ პირველი მოვლენა ყოველთვის დამოუკიდებელია. და შემდეგ, თუ იცვლება ხელსაყრელების რაოდენობა ან ყველა შედეგის რაოდენობა, მაშინ მოვლენები დამოკიდებულია და თუ არა, ისინი დამოუკიდებელია.

ცოტა ვივარჯიშოთ ალბათობის დასადგენად.

მაგალითი 1

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის ზედიზედ ორჯერ თავების აწევის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

განიხილეთ ყველა შესაძლო ვარიანტი:

1. არწივი არწივი
2. კუდები არწივი
3. კუდები-არწივი
4. კუდები-კუდები

როგორც ხედავთ, ყველა ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ჩვენ ვართ კმაყოფილი. ეს არის ალბათობა:

თუ პირობა ითხოვს უბრალოდ ალბათობის პოვნას, მაშინ პასუხი უნდა იყოს მოცემული ათწილადის სახით. თუ მიეთითებოდა, რომ პასუხი პროცენტულად უნდა მიცემულიყო, მაშინ გავამრავლებდით.

პასუხი:

მაგალითი 2

შოკოლადის კოლოფში ყველა კანფეტი შეფუთულია ერთსადაიმავე შეფუთვაში. თუმცა, ტკბილეულიდან - თხილით, კონიაკით, ალუბლით, კარამელით და ნუგათი.

რა არის ალბათობა იმისა, რომ აიღოთ ერთი კანფეტი და მიიღოთ კანფეტი თხილით. მიეცით თქვენი პასუხი პროცენტულად.

გადაწყვეტილება:

რამდენი შესაძლო შედეგი არსებობს? .

ანუ ერთი კანფეტის აღება, ყუთში ერთ-ერთი იქნება.

და რამდენი ხელსაყრელი შედეგი?

რადგან ყუთში მხოლოდ შოკოლადებია თხილით.

პასუხი:

მაგალითი 3

ბურთების ყუთში. რომელთაგან თეთრი და შავია.

1. რა არის თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?
2. ჩვენ დავამატეთ მეტი შავი ბურთულები ყუთში. რა არის ახლა თეთრი ბურთის დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

ა) ყუთში მხოლოდ ბურთებია. რომელთაგან თეთრია.

ალბათობა არის:

ბ) ახლა ყუთში არის ბურთები. და ამდენივე თეთრი დარჩა.

პასუხი:

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

მაგალითად, წითელი და მწვანე ბურთების ყუთში. რამდენია წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა? მწვანე ბურთი? წითელი თუ მწვანე ბურთი?

წითელი ბურთის დახატვის ალბათობა

მწვანე ბურთი:

წითელი ან მწვანე ბურთი:

როგორც ხედავთ, ყველა შესაძლო მოვლენის ჯამი უდრის (). ამ პუნქტის გაგება დაგეხმარებათ მრავალი პრობლემის გადაჭრაში.

მაგალითი 4

ყუთში არის ფლომასტერები: მწვანე, წითელი, ლურჯი, ყვითელი, შავი.

რა არის იმის ალბათობა, რომ დახატოს არა წითელი მარკერი?

გადაწყვეტილება:

დავთვალოთ რიცხვი ხელსაყრელი შედეგები.

არ არის წითელი მარკერი, ეს ნიშნავს მწვანე, ლურჯი, ყვითელი ან შავი.

ყველა მოვლენის ალბათობა. და მოვლენების ალბათობა, რომლებიც ჩვენ არახელსაყრელად მივიჩნევთ (როდესაც წითელ ფლომასტერს ამოვიღებთ) არის .

ამრიგად, წითელი ფლომასტერის დახატვის ალბათობა არის -.

პასუხი:

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

თქვენ უკვე იცით, რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები.

და თუ გჭირდებათ იმის პოვნა, რომ ორი (ან მეტი) დამოუკიდებელი მოვლენა ზედიზედ მოხდება?

ვთქვათ, გვინდა ვიცოდეთ, რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ერთხელ გადაგდებით ორჯერ დავინახოთ არწივი?

ჩვენ უკვე განვიხილეთ - .

რა მოხდება, თუ მონეტას გადავაგდებთ? რამდენია არწივის ზედიზედ ორჯერ ნახვის ალბათობა?

სულ შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები

მე არ ვიცი თქვენი, მაგრამ ერთხელ ეს სია არასწორად შევადგინე. Ვაუ! და ერთადერთი ვარიანტი (პირველი) გვიწყობს.

5 რულონისთვის შეგიძლიათ თავად გააკეთოთ შესაძლო შედეგების სია. მაგრამ მათემატიკოსები შენსავით შრომისმოყვარეები არ არიან.

ამიტომ, მათ ჯერ შენიშნეს, შემდეგ კი დაადასტურეს, რომ დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა ყოველ ჯერზე მცირდება ერთი მოვლენის ალბათობით.

Სხვა სიტყვებით,

განვიხილოთ იგივე, უბედური მონეტის მაგალითი.

ტრიალში თავების გამოჩენის ალბათობა? . ახლა ჩვენ ვყრით მონეტას.

რა არის ზედიზედ კუდების მიღების ალბათობა?

ეს წესი არ მუშაობს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გვთხოვენ ვიპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ ერთი და იგივე მოვლენა ზედიზედ რამდენჯერმე მოხდეს.

თუ გვინდოდა კუდები-EAGLE-TAILS თანმიმდევრობის პოვნა ზედიზედ გადაბრუნებებზე, ჩვენც ასე მოვიქცევით.

კუდების მიღების ალბათობა - , თავები - .

თანმიმდევრობის მიღების ალბათობა Tails-EAGLE-TAILS-TAILS:

შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ ცხრილის გაკეთებით.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობების დამატების წესი.

ასე რომ გაჩერდი! ახალი განმარტება.

მოდი გავარკვიოთ. ავიღოთ ჩვენი გაცვეთილი მონეტა და ერთხელ გადავატრიალოთ.
შესაძლო ვარიანტები:

1. არწივი-არწივი
2. არწივის თავი-კუდები
3. თავი-კუდები-არწივი
4. თავ-კუდები-კუდები
5. კუდები-არწივი
6. კუდები-თავ-კუდები
7. კუდები-კუდები-თავები
8. კუდები-კუდები

ასე რომ, აქ არის შეუთავსებელი მოვლენები, ეს არის მოვლენების გარკვეული, მოცემული თანმიმდევრობა. შეუთავსებელი მოვლენებია.

თუ ჩვენ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ორი (ან მეტი) შეუთავსებელი მოვლენის ალბათობა, მაშინ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას.

თქვენ უნდა გესმოდეთ, რომ არწივის ან კუდების დაკარგვა ორი დამოუკიდებელი მოვლენაა.

თუ გვინდა განვსაზღვროთ რა არის ალბათობა, რომ მიმდევრობა ამოვარდეს) (ან სხვა), მაშინ ვიყენებთ ალბათობების გამრავლების წესს.
რა არის ალბათობა, რომ თავები მოხვდეს პირველ დარტყმაზე და კუდები მეორეზე და მესამეზე?

მაგრამ თუ გვინდა ვიცოდეთ, რა არის ალბათობა იმისა, რომ მივიღოთ რამდენიმე მიმდევრობიდან ერთ-ერთი, მაგალითად, როდესაც ის ზუსტად ერთხელ ამოდის თავებში, ე.ი. ოფციები და შემდეგ ჩვენ უნდა დავამატოთ ამ თანმიმდევრობის ალბათობა.

სულ ვარიანტები გვერგება.

ჩვენ შეგვიძლია იგივე მივიღოთ თითოეული მიმდევრობის გაჩენის ალბათობების შეკრებით:

ამრიგად, ჩვენ ვამატებთ ალბათობას, როდესაც გვინდა განვსაზღვროთ მოვლენათა ზოგიერთი, შეუთავსებელი, თანმიმდევრობის ალბათობა.

არსებობს შესანიშნავი წესი, რომელიც დაგეხმარებათ არ დაიბნეთ როდის გაამრავლოთ და როდის დაამატოთ:

მოდით დავუბრუნდეთ მაგალითს, როდესაც მონეტა ჯერ გადავაგდეთ და გვინდა გავიგოთ თავების ერთხელ ნახვის ალბათობა.
Რა მოხდება?

უნდა ჩამოაგდეს:
(heads AND tails AND tails) OR (კუდები AND heads AND tails) OR (კუდები AND კუდები და თავები).
და ასე გამოდის:

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითი 5

ყუთში არის ფანქრები. წითელი, მწვანე, ნარინჯისფერი და ყვითელი და შავი. რამდენია წითელი ან მწვანე ფანქრების დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება:

Რა მოხდება? ჩვენ უნდა გავიყვანოთ (წითელი ან მწვანე).

ახლა გასაგებია, ჩვენ ვამატებთ ამ მოვლენების ალბათობას:

პასუხი:

მაგალითი 6

კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის, რა არის ალბათობა რომ სულ 8 გამოვიდეს?

გადაწყვეტილება.

როგორ მივიღოთ ქულები?

(და) ან (და) ან (და) ან (და) ან (და).

ერთი (ნებისმიერი) სახიდან ამოვარდნის ალბათობა არის .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ალბათობას:

პასუხი:

Ვარჯიში.

ვფიქრობ, ახლა თქვენთვის გასაგები გახდა, როდის გჭირდებათ ალბათობების დათვლა, როდის შეკრება და როდის გამრავლება. Ეს არ არის? მოდით ვივარჯიშოთ.

Დავალებები:

ავიღოთ კარტების დასტა, რომელშიც კარტები არის ყვავი, გული, 13 ჯოხი და 13 ტამბური. თითოეული კოსტუმის ტუზიდან.

1. რა არის ზედიზედ კლუბების დახატვის ალბათობა (პირველი ამოღებული კარტი ისევ გემბანში ჩავსვით და ავურიოთ)?
2. რა არის შავი ბარათის (ყვავი ან ჯოხების) დახატვის ალბათობა?
3. რა არის სურათის დახატვის ალბათობა (ჯეკი, დედოფალი, მეფე ან ტუზი)?
4. რა არის ზედიზედ ორი სურათის დახატვის ალბათობა (გემბანიდან ამოღებულ პირველ ბარათს ვაშორებთ)?
5. რა არის იმის ალბათობა, რომ აიღოთ ორი კარტი, შეაგროვოთ კომბინაცია - (ჯეკი, დედოფალი ან მეფე) და ტუზი. თანმიმდევრობას, რომლითაც კარტები გათამაშდება, მნიშვნელობა არ აქვს.

პასუხები:

1. თითოეული ღირებულების ბარათების დასტაში ეს ნიშნავს:
2. მოვლენები დამოკიდებულია იმაზე, რომ პირველი გათამაშების შემდეგ კარტების რაოდენობა შემცირდა გემბანზე (ისევე როგორც „სურათების“ რაოდენობა). ჯეკების, დედოფლების, მეფეების და ტუზების სულ თავდაპირველად გემბანზე, რაც ნიშნავს "სურათის" დახატვის ალბათობას პირველი კარტით:

   მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვაშორებთ პირველ ბარათს გემბანიდან, ეს ნიშნავს, რომ დასტაზე უკვე დარჩა კარტი, რომლის სურათებიც არის. მეორე ბარათით სურათის დახატვის ალბათობა:

   ვინაიდან ჩვენ გვაინტერესებს სიტუაცია, როდესაც გემბანიდან ვიღებთ: "სურათს" და "სურათს", მაშინ ჩვენ უნდა გავამრავლოთ ალბათობები:

   პასუხი:

3. პირველი კარტის გათამაშების შემდეგ კარტების რაოდენობა გემბანზე მცირდება, ამდენად, გვაქვს ორი ვარიანტი:
   1) პირველი კარტით ამოგვაქვს ტუზი, მეორე - ჯეკი, დედოფალი ან მეფე
   2) პირველი კარტით ვიღებთ ჯეკს, დედოფალს ან მეფეს, მეორე - ტუზს. (ტუზი და (ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე)) ან ((ჯეკი ან დედოფალი ან მეფე) და ტუზი). არ დაგავიწყდეთ გემბანზე ბარათების რაოდენობის შემცირება!

თუ თქვენ შეძლეთ ყველა პრობლემის გადაჭრა თავად, მაშინ შესანიშნავი მეგობარი ხართ! ახლა გამოცდაზე ალბათობის თეორიის დავალებებს თხილის მსგავსად დააწკაპუნებთ!

ალბათობის თეორია. შუა დონე

განვიხილოთ მაგალითი. ვთქვათ, ჩვენ ვისროლეთ სასიკვდილო. ეს როგორი ძვალია, იცი? ეს არის კუბის სახელი, რომელზეც ნომრებია სახეებზე. რამდენი სახე, ამდენი რიცხვი: რამდენამდე? ადრე.

ასე რომ, ჩვენ ვაგორებთ კვერს და გვინდა, რომ გამოვიდეს ან. და გამოვვარდებით.

ალბათობის თეორიაში ამბობენ რაც მოხდა ხელსაყრელი მოვლენა(კარგში არ უნდა აგვერიოს).

თუ ის დაეცა, ღონისძიებაც სასიხარულო იქნებოდა. საერთო ჯამში, მხოლოდ ორი ხელსაყრელი მოვლენა შეიძლება მოხდეს.

რამდენი ცუდია? ვინაიდან ყველა შესაძლო მოვლენა, მათგან არახელსაყრელი მოვლენაა (ეს თუ ამოვარდება ან).

განმარტება:

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.. ანუ, ალბათობა გვიჩვენებს, თუ რა პროპორციაა ყველა შესაძლო მოვლენის ხელსაყრელი.

ისინი აღნიშნავენ ალბათობას ლათინური ასოებით (როგორც ჩანს, ინგლისური სიტყვიდან ალბათობა - ალბათობა).

მიღებულია ალბათობის გაზომვა პროცენტულად (იხ. თემები და). ამისათვის ალბათობის მნიშვნელობა უნდა გამრავლდეს. კამათლის მაგალითში, ალბათობა.

და პროცენტულად: .

მაგალითები (გადაწყვიტეთ თავად):

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის გადაგდება თავებზე დაჯდეს? და რა არის კუდების ალბათობა?
2. რა არის იმის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი გამოვა კამათლის სროლისას? და რა - უცნაური?
3. უბრალო, ლურჯი და წითელი ფანქრების უჯრაში. შემთხვევით ვხატავთ ერთ ფანქარს. რა არის უბრალოების ამოღების ალბათობა?

გადაწყვეტილებები:

1. რამდენი ვარიანტია? თავები და კუდები - მხოლოდ ორი. და რამდენი მათგანია ხელსაყრელი? მხოლოდ ერთია არწივი. ასე რომ, ალბათობა

   იგივე კუდები: .

2. სულ ვარიანტები: (რამდენი გვერდი აქვს კუბს, ამდენი განსხვავებული ვარიანტი). ხელსაყრელი: (ეს ყველაფერი ლუწი რიცხვებია :).
   ალბათობა. უცნაურად, რა თქმა უნდა, იგივე.
3. სულ: . ხელსაყრელი:. ალბათობა:.

სრული ალბათობა

უჯრაში ყველა ფანქარი მწვანეა. რამდენია წითელი ფანქრის დახატვის ალბათობა? შანსები არ არის: ალბათობა (ბოლოს და ბოლოს, ხელსაყრელი მოვლენები -).

ასეთ მოვლენას შეუძლებელს უწოდებენ.

რა არის მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა? არის ზუსტად იმდენი ხელსაყრელი მოვლენა, რამდენიც არის მთლიანი მოვლენა (ყველა მოვლენა ხელსაყრელია). ასე რომ, ალბათობა არის ან.

ასეთ მოვლენას გარკვეული ეწოდება.

თუ ყუთში არის მწვანე და წითელი ფანქრები, რა არის ალბათობა, რომ დავხატოთ მწვანე ან წითელი? Კიდევ ერთხელ. ყურადღება მიაქციეთ შემდეგს: მწვანე ფერის დახატვის ალბათობა ტოლია, წითელი კი არის .

საერთო ჯამში, ეს ალბათობები ზუსტად ტოლია. ე.ი. ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობის ჯამი უდრის ან.

მაგალითი:

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის იმის ალბათობა, რომ მწვანე არ დახატო?

გადაწყვეტილება:

გახსოვდეთ, რომ ყველა ალბათობა გროვდება. და მწვანე დახატვის ალბათობა ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მწვანე არ დახატვის ალბათობა ტოლია.

დაიმახსოვრეთ ეს ხრიკი:ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენები და გამრავლების წესი

თქვენ ატრიალებთ მონეტას ორჯერ და გინდათ, რომ ის ორივეჯერ ამოვიდეს თავში. რა არის ამის ალბათობა?

მოდით გავიაროთ ყველა შესაძლო ვარიანტი და განვსაზღვროთ რამდენია:

არწივი-არწივი, კუდები-არწივი, არწივი-კუდები, კუდები-კუდები. Სხვა რა?

მთელი ვარიანტი. ამათგან მხოლოდ ერთი გვიწყობს: არწივი-არწივი. ასე რომ, ალბათობა ტოლია.

კარგი. ახლა მოდით გადავაბრუნოთ მონეტა. დათვალეთ თავი. მოხდა? (პასუხი).

თქვენ შეიძლება შეამჩნიეთ, რომ ყოველი შემდეგი სროლის დამატებით, ალბათობა მცირდება ფაქტორით. ზოგადი წესი ე.წ გამრავლების წესი:

იცვლება დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობა.

რა არის დამოუკიდებელი მოვლენები? ყველაფერი ლოგიკურია: ეს ისეთებია, რომლებიც ერთმანეთზე არ არიან დამოკიდებული. მაგალითად, როცა მონეტას რამდენჯერმე ვაგდებთ, ყოველ ჯერზე ხდება ახალი ჩაგდება, რომლის შედეგი არ არის დამოკიდებული ყველა წინა სროლაზე. ერთი და იგივე წარმატებით, ჩვენ შეგვიძლია ერთდროულად გადავაგდოთ ორი განსხვავებული მონეტა.

მეტი მაგალითები:

1. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივეჯერ გამოვა?
2. მონეტა იყრება ჯერ. რა არის ალბათობა იმისა, რომ ჯერ თავები და მერე კუდები ორჯერ მოხვდეთ?
3. მოთამაშე აგორებს ორ კამათელს. რა არის ალბათობა იმისა, რომ მათზე მოცემული რიცხვების ჯამი ტოლი იქნება?

პასუხები:

1. მოვლენები დამოუკიდებელია, რაც ნიშნავს, რომ გამრავლების წესი მუშაობს: .
2. არწივის ალბათობა ტოლია. კუდების ალბათობაც. ვამრავლებთ:
3. 12-ის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ორი -კი ამოვარდება: .

შეუთავსებელი მოვლენები და დამატების წესი

შეუთავსებელი მოვლენები არის მოვლენები, რომლებიც ავსებენ ერთმანეთს სრული ალბათობით. როგორც სახელი გულისხმობს, ისინი არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად. მაგალითად, თუ ჩვენ ვესროლეთ მონეტას, შეიძლება ამოვარდეს ან თავები ან კუდები.

მაგალითი.

ფანქრების ყუთში მათ შორის არის ლურჯი, წითელი, მწვანე, მარტივი, ყვითელი, დანარჩენი კი ნარინჯისფერი. რა არის მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა?

გადაწყვეტილება .

მწვანე ფანქრის დახატვის ალბათობა ტოლია. წითელი -.

ყველასთვის ხელსაყრელი მოვლენები: მწვანე + წითელი. ასე რომ, მწვანე ან წითელი დახატვის ალბათობა ტოლია.

იგივე ალბათობა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით: .

ეს არის დამატების წესი:შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

შერეული დავალებები

მაგალითი.

მონეტა ორჯერ არის გადაყრილი. რა არის იმის ალბათობა, რომ რულონების შედეგი განსხვავებული იყოს?

გადაწყვეტილება .

ეს ნიშნავს, რომ თუ თავები პირველი ამოდის, კუდები მეორე უნდა იყოს და პირიქით. გამოდის, რომ აქ არის ორი წყვილი დამოუკიდებელი მოვლენა და ეს წყვილი ერთმანეთთან შეუთავსებელია. როგორ არ დავბნედეთ სად გავამრავლოთ და სად დავამატოთ.

ასეთი სიტუაციებისთვის მარტივი წესი არსებობს. შეეცადეთ აღწეროთ რა უნდა მოხდეს მოვლენების გაერთიანებებთან „AND“ ან „OR“-თან დაკავშირებით. მაგალითად, ამ შემთხვევაში:

უნდა გააფართოვოს (თავები და კუდები) ან (კუდები და თავები).

სადაც არის კავშირი "და", იქნება გამრავლება და სადაც "ან" არის შეკრება:

თავად სცადე:

1. რა არის იმის ალბათობა, რომ მონეტის ორი გადაგდება ორივე ჯერ ერთი და იგივე მხარეა?
2. კვარცხლბეკი ორჯერ ისვრის. რა არის იმის ალბათობა, რომ ჯამმა ქულები ჩამოაგდოს?

გადაწყვეტილებები:

1. (თავები მაღლა და თავი მაღლა) ან (კუდები მაღლა და კუდები მაღლა): .
2. რა ვარიანტებია? და. შემდეგ:
   შემოვიდა (და) ან (და) ან (და): .

Სხვა მაგალითი:

ჩვენ ერთხელ ვყრით მონეტას. რა არის ალბათობა იმისა, რომ თავები ერთხელ მაინც ამოვიდეს?

გადაწყვეტილება:

ოჰ, როგორ არ მინდა პარამეტრების დალაგება ... Head-tails-tails, Eagle-heads-tails, ... მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ! მოდით ვისაუბროთ სრულ ალბათობაზე. Გაიხსენა? რა არის იმის ალბათობა, რომ არწივი არასოდეს ჩამოვარდება? ეს მარტივია: კუდები მუდმივად დაფრინავენ, ეს ნიშნავს.

ალბათობის თეორია. მოკლედ მთავარის შესახებ

ალბათობა არის ხელსაყრელი მოვლენების რაოდენობის თანაფარდობა ყველა შესაძლო მოვლენის რაოდენობასთან.

დამოუკიდებელი მოვლენები

ორი მოვლენა დამოუკიდებელია, თუ ერთის დადგომა არ ცვლის მეორის დადგომის ალბათობას.

სრული ალბათობა

ყველა შესაძლო მოვლენის ალბათობა არის ().

ალბათობა იმისა, რომ მოვლენა არ მოხდება, არის მინუს ალბათობა იმისა, რომ ეს მოხდება.

დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობის გამრავლების წესი

დამოუკიდებელი მოვლენების გარკვეული თანმიმდევრობის ალბათობა უდრის თითოეული მოვლენის ალბათობის ნამრავლს

შეუთავსებელი მოვლენები

შეუთავსებელი მოვლენები არის ის მოვლენები, რომლებიც არ შეიძლება მოხდეს ერთდროულად ექსპერიმენტის შედეგად. რიგი შეუთავსებელი მოვლენები ქმნიან მოვლენების სრულ ჯგუფს.

შეუთავსებელი მოვლენების ალბათობა ემატება.

მას შემდეგ რაც აღვწერეთ რა უნდა მოხდეს, გაერთიანებების "AND" ან "OR" გამოყენებით, "AND"-ის ნაცვლად ჩვენ ვაყენებთ გამრავლების ნიშანს, ხოლო "OR" -ის ნაცვლად - დამატება.

დარჩენილი 2/3 სტატია ხელმისაწვდომია მხოლოდ YOUCLEVER სტუდენტებისთვის!

გახდი YouClever-ის სტუდენტი,

მოემზადეთ OGE-სთვის ან მათემატიკაში გამოყენებისთვის "თვეში ერთი ფინჯანი ყავის" ფასად.

ასევე მიიღეთ შეუზღუდავი წვდომა "YouClever" სახელმძღვანელოზე, "100gia" სასწავლო პროგრამაზე (გადაწყვეტილების წიგნი), შეუზღუდავი საცდელი USE და OGE, 6000 დავალება გადაწყვეტილებების ანალიზით და სხვა YouClever და 100gia სერვისებით.

როდესაც მონეტა გადააგდებს, შეიძლება ითქვას, რომ ის მაღლა დაჯდება, ან ალბათობა აქედან არის 1/2. რა თქმა უნდა, ეს არ ნიშნავს იმას, რომ თუ მონეტა 10-ჯერ იქნა გადაყრილი, ის აუცილებლად 5-ჯერ დაჯდება თავზე. თუ მონეტა არის "სამართლიანი" და თუ ის ბევრჯერ იქნა გადაყრილი, მაშინ თავები ძალიან ახლოს იქნება ნახევარ დროს. ამრიგად, არსებობს ორი სახის ალბათობა: ექსპერიმენტული და თეორიული .

ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობა

თუ ჩვენ გადავაგდებთ მონეტას ბევრჯერ - ვთქვათ 1000-ს - და დავთვლით რამდენჯერ ამოვა თავებზე, შეგვიძლია განვსაზღვროთ ალბათობა, რომ ის ამოვა თავებში. თუ თავები 503-ჯერ ამოვა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი დადგომის ალბათობა:
503/1000, ანუ 0.503.

Ეს არის ექსპერიმენტული ალბათობის განსაზღვრა. ალბათობის ეს განმარტება გამომდინარეობს მონაცემების დაკვირვებისა და შესწავლიდან და საკმაოდ გავრცელებული და ძალიან სასარგებლოა. მაგალითად, აქ არის რამდენიმე ალბათობა, რომელიც განისაზღვრა ექსპერიმენტულად:

1. ქალს მკერდის კიბოს განვითარების შანსი 1/11-ია.

2. თუ გაციებულს აკოცებ, მაშინ ალბათობა იმისა, რომ შენც გაცივდე არის 0,07.

3. ციხიდან ახლად გათავისუფლებულს ციხეში დაბრუნების 80%-იანი შანსი აქვს.

თუ გავითვალისწინებთ მონეტის ჩაგდებას და გავითვალისწინებთ, რომ ის თანაბარი ალბათობით აწევს თავებს ან კუდებს, შეგვიძლია გამოვთვალოთ თავების აწევის ალბათობა: 1/2. ეს არის ალბათობის თეორიული განმარტება. აქ არის რამდენიმე სხვა ალბათობა, რომლებიც თეორიულად განისაზღვრა მათემატიკის გამოყენებით:

1. თუ ოთახში 30 ადამიანია, ალბათობა იმისა, რომ მათგან ორს ერთნაირი დაბადების დღე აქვს (წლის გამოკლებით) არის 0,706.

2. მოგზაურობის დროს ვინმეს ხვდები და საუბრის დროს აღმოაჩენ, რომ საერთო ნაცნობი გყავს. ტიპიური რეაქცია: "ეს არ შეიძლება!" სინამდვილეში, ეს ფრაზა არ ჯდება, რადგან ასეთი მოვლენის ალბათობა საკმაოდ მაღალია - სულ რაღაც 22%-ზე მეტი.

აქედან გამომდინარე, ექსპერიმენტული ალბათობა განისაზღვრება დაკვირვებით და მონაცემთა შეგროვებით. თეორიული ალბათობები განისაზღვრება მათემატიკური მსჯელობით. ექსპერიმენტული და თეორიული ალბათობების მაგალითები, როგორიცაა ზემოთ განხილული და განსაკუთრებით ის, რასაც ჩვენ არ ველით, მიგვიყვანს ალბათობის შესწავლის მნიშვნელობამდე. თქვენ შეიძლება იკითხოთ: "რა არის ჭეშმარიტი ალბათობა?" სინამდვილეში, არცერთი არ არსებობს. ექსპერიმენტულად შესაძლებელია გარკვეული საზღვრებში ალბათობების დადგენა. ისინი შეიძლება ემთხვეოდეს ან არ ემთხვეოდეს იმ ალბათობას, რომელსაც ჩვენ თეორიულად ვიღებთ. არის სიტუაციები, როდესაც ბევრად უფრო ადვილია ერთი ტიპის ალბათობის განსაზღვრა, ვიდრე სხვა. მაგალითად, საკმარისი იქნებოდა თეორიული ალბათობის გამოყენებით გაციების ალბათობის პოვნა.

ექსპერიმენტული ალბათობების გამოთვლა

ჯერ განვიხილოთ ალბათობის ექსპერიმენტული განმარტება. ძირითადი პრინციპი, რომელსაც ჩვენ ვიყენებთ ასეთი ალბათობების გამოსათვლელად, შემდეგია.

პრინციპი P (ექსპერიმენტული)

თუ ექსპერიმენტში, რომელშიც n დაკვირვება კეთდება, სიტუაცია ან მოვლენა E ხდება m-ჯერ n დაკვირვებაში, მაშინ მოვლენის ექსპერიმენტული ალბათობა არის P (E) = m/n.

მაგალითი 1 სოციოლოგიური გამოკითხვა. ჩატარდა ექსპერიმენტული კვლევა მემარცხენეების, მემარჯვენეების და იმ ადამიანების რაოდენობის დასადგენად, რომლებშიც ორივე ხელი თანაბრად არის განვითარებული, შედეგები ნაჩვენებია გრაფიკზე.

ა) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარჯვენეა.

ბ) დაადგინეთ იმის ალბათობა, რომ ადამიანი მემარცხენეა.

გ) დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი თანაბრად ფლობს ორივე ხელში.

დ) PBA ტურნირების უმეტესობას 120 მოთამაშე ჰყავს. ამ ექსპერიმენტიდან გამომდინარე, რამდენი მოთამაშე შეიძლება იყოს მემარცხენე?

გადაწყვეტილება

ა) მემარჯვენეების რიცხვი არის 82, მემარცხენეების რაოდენობა 17, ხოლო მათ, ვინც თანაბრად ფლობს ორივე ხელში 1. დაკვირვების საერთო რაოდენობა არის 100. ამრიგად, ალბათობა. რომ ადამიანი მემარჯვენეა არის პ
P = 82/100, ან 0.82, ან 82%.

ბ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანი მემარცხენეა არის P, სადაც
P = 17/100 ან 0.17 ან 17%.

გ) ალბათობა იმისა, რომ ადამიანმა ორივე ხელი თანაბრად კარგად ფლობს არის P, სადაც
P = 1/100 ან 0.01 ან 1%.

დ) 120 ბოულერი და (ბ)-დან შეიძლება ველოდოთ 17% მემარცხენეებს. აქედან
17% 120 = 0.17.120 = 20.4,
ანუ შეიძლება ველოდოთ 20-მდე მემარცხენე მოთამაშეს.

მაგალითი 2 Ხარისხის კონტროლი . მწარმოებლისთვის ძალიან მნიშვნელოვანია, რომ მათი პროდუქციის ხარისხი მაღალ დონეზე იყოს. ფაქტობრივად, კომპანიები ქირაობენ ხარისხის კონტროლის ინსპექტორებს ამ პროცესის უზრუნველსაყოფად. მიზანია დეფექტური პროდუქტების მინიმალური შესაძლო რაოდენობის გამოშვება. მაგრამ ვინაიდან კომპანია ყოველდღიურად აწარმოებს ათასობით ნივთს, მას არ შეუძლია თითოეული ნივთის შემოწმება, რათა დადგინდეს, არის თუ არა ის დეფექტური. იმის გასარკვევად, თუ რა პროცენტული პროდუქტია დეფექტური, კომპანია ამოწმებს გაცილებით ნაკლებ პროდუქტს.
USDA მოითხოვს, რომ თესლის 80%, რომელსაც მწარმოებლები ყიდიან, გაღივდეს. სასოფლო-სამეურნეო კომპანიის მიერ წარმოებული თესლის ხარისხის დასადგენად, წარმოებულიდან ირგვება 500 თესლი. ამის შემდეგ დაითვალეს, რომ 417 თესლმა ამოიღო.

ა) რა არის იმის ალბათობა, რომ თესლი აღმოცენდეს?

ბ) შეესაბამება თუ არა თესლი სამთავრობო სტანდარტებს?

გადაწყვეტილებაა) ვიცით, რომ დარგული 500 თესლიდან 417 ამოიზარდა. თესლის გაღივების ალბათობა P, და
P = 417/500 = 0.834, ანუ 83.4%.

ბ) ვინაიდან გაღივებული თესლის პროცენტულმა რაოდენობამ მოთხოვნაზე 80%-ს გადააჭარბა, თესლი აკმაყოფილებს სახელმწიფო სტანდარტებს.

მაგალითი 3 სატელევიზიო რეიტინგები. სტატისტიკის მიხედვით, აშშ-ში 105 500 000 ტელეკომპანიაა. ყოველ კვირას ხდება ინფორმაციის შეგროვება და დამუშავება პროგრამების ნახვის შესახებ. ერთი კვირის განმავლობაში 7,815,000 ოჯახი ჩაერთო CBS-ის ჰიტ კომედიურ სერიალში Everybody Loves Raymond და 8,302,000 ოჯახი ჩაერთო NBC-ის ჰიტ Law & Order-ზე (წყარო: Nielsen Media Research). რა არის იმის ალბათობა, რომ ერთი სახლის ტელევიზორი იყოს დაყენებული „ყველას უყვარს რაიმონდი“ მოცემულ კვირაში? „კანონი და წესრიგი“?

გამოსავალიალბათობა იმისა, რომ ტელევიზორი ერთ ოჯახში დაყენებულია „ყველას უყვარს რაიმონდი“ არის P და
P = 7.815.000/105.500.000 ≈ 0.074 ≈ 7.4%.
შესაძლებლობა, რომ საყოფაცხოვრებო ტელევიზორი დაყენებული იყო „Law & Order“ არის P და
P = 8.302.000/105.500.000 ≈ 0.079 ≈ 7.9%.
ამ პროცენტებს რეიტინგი ეწოდება.

თეორიული ალბათობა

დავუშვათ, რომ ჩვენ ვაკეთებთ ექსპერიმენტს, როგორიცაა მონეტის ან ისრის სროლა, კარტის დახატვა გემბანიდან ან პროდუქტების ხარისხის შესამოწმებლად შეკრების ხაზზე. ასეთი ექსპერიმენტის ყოველ შესაძლო შედეგს ე.წ გამოსვლა . ყველა შესაძლო შედეგის ნაკრები ეწოდება შედეგის სივრცე . ღონისძიება ეს არის შედეგების ერთობლიობა, ანუ შედეგების სივრცის ქვეჯგუფი.

მაგალითი 4 ისრების სროლა. დავუშვათ, რომ „ისრების სროლის“ ექსპერიმენტში ისარი ხვდება მიზანს. იპოვეთ თითოეული შემდეგი:

ბ) შედეგების სივრცე

გადაწყვეტილება
ა) შედეგებია: დარტყმა შავზე (H), წითელზე (K) და თეთრზე (B) დარტყმა.

ბ) არის შედეგის სივრცე (დაარტყა შავი, დაარტყა წითელი, დაარტყა თეთრი), რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს უბრალოდ, როგორც (B, R, B).

მაგალითი 5 კამათლის სროლა. კვერი არის კუბი ექვსი გვერდით, რომელთაგან თითოეულს აქვს ერთიდან ექვს წერტილამდე.


დავუშვათ, რომ ჩვენ ვაგდებთ კვერს. იპოვე
ა) შედეგები
ბ) შედეგების სივრცე

გადაწყვეტილება
ა) შედეგები: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
ბ) შედეგების სივრცე (1, 2, 3, 4, 5, 6).

ჩვენ აღვნიშნავთ ალბათობას, რომ E მოვლენა მოხდეს, როგორც P(E). მაგალითად, "მონეტა დაეშვება კუდებზე" შეიძლება აღვნიშნოთ H-ით. მაშინ P(H) არის ალბათობა იმისა, რომ მონეტა დაეშვა კუდებზე. როდესაც ექსპერიმენტის ყველა შედეგს აქვს ერთი და იგივე ალბათობა, რომ ისინი თანაბრად სავარაუდოა. თანაბრად სავარაუდო მოვლენებსა და არათანაბრად სავარაუდო მოვლენებს შორის განსხვავების სანახავად, განიხილეთ ქვემოთ ნაჩვენები სამიზნე.

A სამიზნისთვის შავი, წითელი და თეთრი დარტყმის მოვლენები თანაბრად სავარაუდოა, რადგან შავი, წითელი და თეთრი სექტორები ერთნაირია. თუმცა, სამიზნე B-სთვის, ამ ფერების მქონე ზონები არ არის იგივე, ანუ მათზე დარტყმა თანაბრად სავარაუდო არ არის.

პრინციპი P (თეორიული)

თუ მოვლენა E შეიძლება მოხდეს m გზებიდან n შესაძლო თანაბარი შედეგიდან S გამოსავლის სივრციდან, მაშინ თეორიული ალბათობა მოვლენა, P(E) არის
P(E) = m/n.

მაგალითი 6რა არის ალბათობა 3-ის გორგალით გორგალით?

გადაწყვეტილებაარსებობს 6 თანაბრად სავარაუდო შედეგი სასიძოზე და არსებობს მხოლოდ ერთი შესაძლებლობა, რომ გადააგდოთ რიცხვი 3. მაშინ ალბათობა P იქნება P(3) = 1/6.

მაგალითი 7რა არის ალბათობა, რომ ლუწი რიცხვი შემობრუნდეს სასწორზე?

გადაწყვეტილებამოვლენა არის ლუწი რიცხვის სროლა. ეს შეიძლება მოხდეს 3 გზით (თუ გააფართოვებთ 2, 4 ან 6). თანაბარი შედეგების რიცხვი არის 6. მაშინ ალბათობა P(ლუწ) = 3/6, ან 1/2.

ჩვენ გამოვიყენებთ უამრავ მაგალითს, რომელიც დაკავშირებულია სტანდარტულ 52-კარტიან გემბანთან. ასეთი გემბანი შედგება ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში ნაჩვენები ბარათებისგან.

მაგალითი 8რა არის ტუზის გამოყვანის ალბათობა კარგად შერეული ბანქოდან?

გადაწყვეტილებაარის 52 შედეგი (ბარათების რაოდენობა გემბანზე), ისინი თანაბრად სავარაუდოა (თუ გემბანი კარგად არის შერეული) და არსებობს ტუზის დახატვის 4 გზა, ასე რომ, P პრინციპის მიხედვით, ალბათობა
P (ტუზის დახატვა) = 4/52, ან 1/13.

მაგალითი 9დავუშვათ, რომ ჩვენ ვირჩევთ ერთი მარმარილოს გარეშე, 3 წითელი მარმარილოსა და 4 მწვანე მარმარილოს ჩანთიდან. რამდენია წითელი ბურთის არჩევის ალბათობა?

გადაწყვეტილებაარსებობს 7 თანაბრად სავარაუდო შედეგი ნებისმიერი ბურთის მისაღებად და რადგან წითელი ბურთის დახატვის გზების რაოდენობა არის 3, მივიღებთ
P (წითელი ბურთის არჩევა) = 3/7.

შემდეგი განცხადებები არის P პრინციპის შედეგი.

ალბათობის თვისებები

ა) თუ მოვლენა E არ შეიძლება მოხდეს, მაშინ P(E) = 0.
ბ) თუ მოვლენა E აუცილებლად უნდა მოხდეს, მაშინ P(E) = 1.
გ) E მოვლენის დადგომის ალბათობა არის რიცხვი 0-დან 1-მდე: 0 ≤ P(E) ≤ 1.

მაგალითად, მონეტის გადაყრისას, იმ მოვლენას, რომ მონეტა მის კიდეზე მოხვდეს, ალბათობა ნულოვანია. ალბათობა იმისა, რომ მონეტა არის თავები ან კუდები, აქვს ალბათობა 1.

მაგალითი 10დავუშვათ, რომ 52 კარტიანი გემბანიდან 2 კარტი დგება. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ყვავი იყოს?

გადაწყვეტილება n ხერხების რაოდენობა 2 კარტის გათამაშების კარგად აურიეთ 52-კარტიანი დაფიდან არის 52 C 2 . ვინაიდან 52 კარტიდან 13 არის ყვავი, 2 ყველის დახატვის გზების რაოდენობა m არის 13 C 2 . შემდეგ,
P (გაჭიმვა 2 მწვერვალზე) \u003d m / n \u003d 13 C 2 / 52 C 2 \u003d 78/1326 \u003d 1/17.

მაგალითი 11დავუშვათ, 3 ადამიანი შემთხვევით შერჩეულია 6 კაცისა და 4 ქალის ჯგუფიდან. რა არის იმის ალბათობა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი აირჩევა?

გადაწყვეტილება 10 კაციანი ჯგუფიდან სამი ადამიანის არჩევის გზების რაოდენობა 10 C 3 . ერთი მამაკაცის არჩევა შესაძლებელია 6 C 1 გზით და 2 ქალის არჩევა 4 C 2 გზით. დათვლის ფუნდამენტური პრინციპის მიხედვით, პირველი მამაკაცისა და 2 ქალის არჩევის გზების რაოდენობაა 6 C 1 . 4C2. მაშინ, ალბათობა იმისა, რომ 1 კაცი და 2 ქალი აირჩევა არის
P = 6 C 1 . 4 C 2 / 10 C 3 \u003d 3/10.

მაგალითი 12 კამათლის სროლა. რამდენია სულ 8-ის ორ კამათელზე სროლის ალბათობა?

გადაწყვეტილებათითოეულ კამათელზე არის 6 შესაძლო შედეგი. შედეგები გაორმაგებულია, ანუ არის 6.6 ან 36 შესაძლო გზა, რომლითაც შეიძლება ორ კამათელზე რიცხვები დაეცეს. (უმჯობესია, თუ კუბურები განსხვავებულია, ვთქვათ ერთი წითელი და მეორე ლურჯი - ეს დაგეხმარებათ შედეგის ვიზუალიზაციაში.)

რიცხვების წყვილი, რომლებიც ჯამდება 8-მდე, ნაჩვენებია ქვემოთ მოცემულ ფიგურაში. არსებობს 5 შესაძლო გზა, რომ მიიღოთ ჯამი 8-ის ტოლი, შესაბამისად, ალბათობა არის 5/36.

შესავალი

ბევრი რამ ჩვენთვის გაუგებარია და არა იმიტომ, რომ ჩვენი ცნებები სუსტია;
არამედ იმიტომ, რომ ეს საგნები არ შედის ჩვენი ცნებების წრეში.
კოზმა პრუტკოვი

საშუალო სპეციალიზებულ საგანმანათლებლო დაწესებულებებში მათემატიკის შესწავლის მთავარი მიზანია მიეცეს სტუდენტებს მათემატიკური ცოდნისა და უნარების კომპლექტი, რომელიც აუცილებელია სხვა პროგრამული დისციპლინების შესასწავლად, რომლებიც იყენებენ მათემატიკას ამა თუ იმ ხარისხით, პრაქტიკული გამოთვლების შესრულების, ფორმირებისა და განვითარებისთვის. ლოგიკური აზროვნების.

ამ ნაშრომში მოცემულია მათემატიკის განყოფილების ყველა ძირითადი ცნება "ალბათობის თეორიისა და მათემატიკური სტატისტიკის საფუძვლები", გათვალისწინებულია პროგრამით და საშუალო პროფესიული განათლების სახელმწიფო საგანმანათლებლო სტანდარტებით (რუსეთის ფედერაციის განათლების სამინისტრო. მ., 2002 წ. ), თანმიმდევრულად არის შემოტანილი, ჩამოყალიბებულია ძირითადი თეორემები, რომელთა უმეტესობა არ არის დადასტურებული. განხილულია მათი გადაჭრის ძირითადი ამოცანები და მეთოდები და ამ მეთოდების გამოყენების ტექნოლოგიები პრაქტიკული პრობლემების გადასაჭრელად. პრეზენტაციას ახლავს დეტალური კომენტარები და უამრავი მაგალითი.

მეთოდური ინსტრუქციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას შესწავლილი მასალის თავდაპირველი გაცნობისთვის, ლექციების ჩანაწერების აღებისას, პრაქტიკული სავარჯიშოებისთვის მოსამზადებლად, შეძენილი ცოდნის, უნარებისა და შესაძლებლობების კონსოლიდაციისთვის. გარდა ამისა, სახელმძღვანელო სასარგებლო იქნება ბაკალავრიატის სტუდენტებისთვის, როგორც საცნობარო ინსტრუმენტი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ სწრაფად აღადგინოთ მეხსიერებაში, რაც ადრე იყო შესწავლილი.

სამუშაოს დასასრულს მოცემულია მაგალითები და დავალებები, რომელთა შესრულებაც მოსწავლეებს შეუძლიათ თვითკონტროლის რეჟიმში.

მეთოდური ინსტრუქციები განკუთვნილია კორესპონდენციისა და სრულ განაკვეთზე განათლების ფორმების სტუდენტებისთვის.

ᲫᲘᲠᲘᲗᲐᲓᲘ ᲪᲜᲔᲑᲔᲑᲘ

ალბათობის თეორია სწავლობს მასობრივი შემთხვევითი მოვლენების ობიექტურ კანონზომიერებებს. ეს არის თეორიული საფუძველი მათემატიკური სტატისტიკისთვის, რომელიც ეხება დაკვირვების შედეგების შეგროვების, აღწერისა და დამუშავების მეთოდების შემუშავებას. დაკვირვებით (ტესტი, ექსპერიმენტი), ე.ი. გამოცდილება სიტყვის ფართო გაგებით, არსებობს რეალური სამყაროს ფენომენების ცოდნა.

ჩვენს პრაქტიკულ საქმიანობაში ხშირად ვაწყდებით ფენომენებს, რომელთა შედეგის წინასწარმეტყველება შეუძლებელია, რომლის შედეგიც შემთხვევითობაზეა დამოკიდებული.

შემთხვევითი ფენომენი შეიძლება ხასიათდებოდეს მისი შემთხვევების რაოდენობის თანაფარდობით ცდების რაოდენობასთან, რომელთაგან თითოეულში, ყველა ცდის ერთსა და იმავე პირობებში, შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს.

ალბათობის თეორია მათემატიკის დარგია, რომელშიც შემთხვევითი ფენომენების (მოვლენების) შესწავლა და მათი მასობრივი განმეორების დროს კანონზომიერებების გამოვლენა ხდება.

მათემატიკური სტატისტიკა არის მათემატიკის ფილიალი, რომელსაც აქვს საგანი სტატისტიკური მონაცემების შეგროვების, სისტემატიზაციის, დამუშავებისა და გამოყენების მეთოდების შესწავლა მეცნიერულად დასაბუთებული დასკვნების მისაღებად და გადაწყვეტილებების მისაღებად.

ამავდროულად, სტატისტიკური მონაცემები გაგებულია, როგორც რიცხვების ერთობლიობა, რომელიც წარმოადგენს ჩვენთვის საინტერესო შესწავლილი ობიექტების მახასიათებლების რაოდენობრივ მახასიათებლებს. სტატისტიკური მონაცემები მიიღება სპეციალურად შემუშავებული ექსპერიმენტებისა და დაკვირვებების შედეგად.

სტატისტიკური მონაცემები თავისი არსით მრავალ შემთხვევით ფაქტორზეა დამოკიდებული, ამიტომ მათემატიკური სტატისტიკა მჭიდრო კავშირშია ალბათობის თეორიასთან, რაც მის თეორიულ საფუძველს წარმოადგენს.

I. ალბათობა. შეკრების და ალბათობის გამრავლების თეორემები

1.1. კომბინატორიკის ძირითადი ცნებები

მათემატიკის განყოფილებაში, რომელსაც კომბინატორიკა ჰქვია, მოგვარებულია გარკვეული პრობლემები, რომლებიც დაკავშირებულია სიმრავლეთა განხილვასთან და ამ სიმრავლეთა ელემენტების სხვადასხვა კომბინაციების შედგენასთან. მაგალითად, თუ ავიღებთ 10 სხვადასხვა რიცხვს 0, 1, 2, 3,:, 9 და გავაკეთებთ მათ კომბინაციას, მივიღებთ სხვადასხვა რიცხვებს, მაგალითად 143, 431, 5671, 1207, 43 და ა.შ.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ კომბინაციებიდან ზოგიერთი განსხვავდება მხოლოდ ციფრების თანმიმდევრობით (მაგალითად, 143 და 431), სხვები მათში შეტანილი რიცხვებით (მაგალითად, 5671 და 1207), ზოგი კი ასევე განსხვავდება ციფრების რაოდენობით ( მაგალითად, 143 და 43).

ამრიგად, მიღებული კომბინაციები აკმაყოფილებს სხვადასხვა პირობებს.

შედგენის წესებიდან გამომდინარე, შეიძლება გამოიყოს სამი ტიპის კომბინაცია: პერმუტაციები, განლაგება, კომბინაციები.

ჯერ გავეცნოთ კონცეფციას ფაქტორული.

1-დან n-მდე ყველა ნატურალური რიცხვის ნამრავლი ეწოდება n-ფაქტორული და დაწერე.

გამოთვალეთ: ა) ; ბ) ; in).

გადაწყვეტილება. ა) .

ბ) ასევე , მაშინ შეგიძლიათ ამოიღოთ იგი ფრჩხილებიდან

შემდეგ მივიღებთ

in) .

პერმუტაციები.

n ელემენტის კომბინაციას, რომელიც განსხვავდება ერთმანეთისგან მხოლოდ ელემენტების თანმიმდევრობით, ეწოდება პერმუტაცია.

პერმუტაციები აღინიშნება სიმბოლოთი P n , სადაც n არის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ პერმუტაციაში. ( რ- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო პერმუტაცია- პერმუტაცია).

პერმუტაციების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

ან ფაქტორებით:

გავიხსენოთ ეს 0!=1 და 1!=1.

მაგალითი 2. რამდენი გზით შეიძლება ექვსი სხვადასხვა წიგნის განლაგება ერთ თაროზე?

გადაწყვეტილება. გზების სასურველი რაოდენობა უდრის 6 ელემენტის პერმუტაციების რაოდენობას, ე.ი.

საცხოვრებლები.

განლაგება საწყისი მელემენტები ნთითოეულში ისეთ ნაერთებს უწოდებენ, რომლებიც ერთმანეთისგან განსხვავდებიან ან თავად ელემენტებით (მინიმუმ ერთი), ან მდებარეობის თანმიმდევრობით.

მდებარეობები აღინიშნება სიმბოლოთი, სადაც მარის ყველა ხელმისაწვდომი ელემენტის რაოდენობა, ნარის ელემენტების რაოდენობა თითოეულ კომბინაციაში. ( მაგრამ -ფრანგული სიტყვის პირველი ასო მოწყობა, რაც ნიშნავს „განთავსებას, მოწესრიგებას“).

ამავე დროს, ვარაუდობენ, რომ ნმ.

განლაგების რაოდენობა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით

,

იმათ. დან ყველა შესაძლო განთავსების რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის პროდუქტს ნთანმიმდევრული მთელი რიცხვები, რომელთაგან უფრო დიდია მ.

ჩვენ ვწერთ ამ ფორმულას ფაქტორული ფორმით:

მაგალითი 3. სამი ვაუჩერის სხვადასხვა პროფილის სანატორიუმში განაწილების რამდენი ვარიანტი შეიძლება გაკეთდეს ხუთი განმცხადებლისთვის?

გადაწყვეტილება. ვარიანტების სასურველი რაოდენობა უდრის 5 ელემენტის განლაგების რაოდენობას 3 ელემენტით, ე.ი.

.

კომბინაციები.

კომბინაციები არის ყველა შესაძლო კომბინაცია მელემენტების მიერ ნ, რომლებიც განსხვავდებიან ერთმანეთისგან სულ მცირე ერთი ელემენტით (აქ მდა n-ნატურალური რიცხვები და ნ მ).

კომბინაციების რაოდენობა დან მელემენტების მიერ ნაღინიშნება ( თან- ფრანგული სიტყვის პირველი ასო კომბინაცია- კომბინაცია).

ზოგადად, რაოდენობა მელემენტების მიერ ნუდრის განლაგების რაოდენობას მელემენტების მიერ ნიყოფა პერმუტაციების რაოდენობაზე ნელემენტები:

განლაგებისა და პერმუტაციის რიცხვების ფაქტორული ფორმულების გამოყენებით, მივიღებთ:

მაგალითი 4. 25 კაციან გუნდში, თქვენ უნდა გამოყოთ ოთხი სამუშაო კონკრეტულ ტერიტორიაზე. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გადაწყვეტილება. ვინაიდან არჩეული ოთხი ადამიანის ბრძანებას მნიშვნელობა არ აქვს, ეს შეიძლება გაკეთდეს სხვადასხვა გზით.

ჩვენ ვპოულობთ პირველი ფორმულით

.

გარდა ამისა, პრობლემების გადაჭრისას გამოიყენება შემდეგი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს კომბინაციების ძირითად თვისებებს:

(განმარტებით და ვარაუდობენ);

.

1.2. კომბინაციური ამოცანების ამოხსნა

ამოცანა 1. ფაკულტეტზე ისწავლება 16 საგანი. ორშაბათს განრიგში უნდა ჩაწეროთ 3 საგანი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

გადაწყვეტილება. 16-დან სამი ელემენტის დაგეგმვის იმდენი გზა არსებობს, რამდენიც 3 ელემენტის 16 განთავსებაა.

დავალება 2. 15 ობიექტიდან უნდა შეირჩეს 10 ობიექტი. რამდენი გზით შეიძლება ამის გაკეთება?

დავალება 3. შეჯიბრში ოთხი გუნდი მონაწილეობდა. რამდენი ვარიანტია მათ შორის ადგილების განაწილებისთვის?

.

ამოცანა 4. რამდენი გზით შეიძლება ჩამოყალიბდეს სამი ჯარისკაცი და ერთი ოფიცერი პატრული, თუ არის 80 ჯარისკაცი და 3 ოფიცერი?

გადაწყვეტილება. პატრულში მყოფი ჯარისკაცის არჩევა შესაძლებელია

გზები და ოფიცრების გზები. ვინაიდან ნებისმიერ ოფიცერს შეუძლია ჯარისკაცების თითოეულ გუნდთან ერთად წასვლა, არსებობს მხოლოდ გზები.

ამოცანა 5. იპოვეთ თუ ცნობილია, რომ .

მას შემდეგ, რაც ჩვენ ვიღებთ

,

,

კომბინაციის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ , . რომ. .

1.3. შემთხვევითი მოვლენის კონცეფცია. ღონისძიების ტიპები. მოვლენის ალბათობა

ნებისმიერ მოქმედებას, ფენომენს, დაკვირვებას რამდენიმე განსხვავებული შედეგით, რომელიც განხორციელებულია მოცემულ პირობებში, ე.წ. ტესტი.

ამ მოქმედების ან დაკვირვების შედეგს ე.წ ღონისძიება .

თუ მოვლენა მოცემულ პირობებში შეიძლება მოხდეს ან არ მოხდეს, მაშინ მას უწოდებენ შემთხვევითი . იმ შემთხვევაში, თუ მოვლენა აუცილებლად უნდა მოხდეს, მას უწოდებენ საიმედო და იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ნამდვილად არ შეიძლება მოხდეს, - შეუძლებელია.

მოვლენებს ე.წ შეუთავსებელი თუ მხოლოდ ერთი მათგანი შეიძლება გამოჩნდეს ყოველ ჯერზე.

მოვლენებს ე.წ ერთობლივი თუ მოცემულ პირობებში, ამ მოვლენებიდან ერთის დადგომა არ გამორიცხავს მეორის დადგომას იმავე ტესტში.

მოვლენებს ე.წ საწინააღმდეგო თუ ტესტის პირობებში ისინი, როგორც მისი ერთადერთი შედეგი, შეუთავსებელია.

მოვლენები ჩვეულებრივ აღინიშნება ლათინური ანბანის დიდი ასოებით: Ა Ბ Გ Დ, : .

მოვლენათა სრული სისტემა A 1 , A 2 , A 3 , : , A n არის შეუთავსებელი მოვლენების ერთობლიობა, რომელთაგან მინიმუმ ერთის დადგომა სავალდებულოა მოცემული ტესტისთვის.

თუ სრული სისტემა შედგება ორი შეუთავსებელი მოვლენისგან, მაშინ ასეთ მოვლენებს საპირისპირო ეწოდება და აღინიშნება A და .

მაგალითი. ყუთში არის 30 დანომრილი ბურთი. დაადგინეთ შემდეგი მოვლენებიდან რომელია შეუძლებელი, გარკვეული, საპირისპირო:

მიიღო დანომრილი ბურთი (მაგრამ);

დახაზეთ ლუწი დანომრილი ბურთი (AT);

დახატეს ბურთი კენტი რიცხვით (WITH);

მიიღო ბურთი ნომრის გარეშე (დ).

რომელი მათგანი ქმნის სრულ ჯგუფს?

გადაწყვეტილება . მაგრამ- გარკვეული მოვლენა; დ- შეუძლებელი მოვლენა;

In და თან- საპირისპირო მოვლენები.

მოვლენების სრული ჯგუფი არის მაგრამდა დ, ვდა თან.

მოვლენის ალბათობა განიხილება, როგორც შემთხვევითი მოვლენის დადგომის ობიექტური შესაძლებლობის საზომი.

1.4. ალბათობის კლასიკური განმარტება

რიცხვი, რომელიც არის მოვლენის მოვლენის ობიექტური შესაძლებლობის საზომის გამოხატულება, ე.წ ალბათობა ეს მოვლენა და აღინიშნება სიმბოლოთი P(A).

განმარტება. მოვლენის ალბათობა მაგრამარის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობა, რომელიც ხელს უწყობს მოცემული მოვლენის დადგომას მაგრამ, ნომერზე ნყველა შედეგი (შეუთავსებელი, უნიკალური და თანაბრად შესაძლებელი), ე.ი. .

მაშასადამე, მოვლენის ალბათობის დასადგენად, აუცილებელია, ტესტის სხვადასხვა შედეგების გათვალისწინების შემდეგ, გამოვთვალოთ ყველა შესაძლო შეუთავსებელი შედეგი. n,შეარჩიეთ შედეგების რაოდენობა, რომელიც გვაინტერესებს m და გამოთვალეთ თანაფარდობა მრომ ნ.

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს შემდეგი თვისებები:

ნებისმიერი ცდის ალბათობა არის არაუარყოფითი რიცხვი, რომელიც არ აღემატება ერთს.

მართლაც, სასურველი მოვლენების m რიცხვი დევს . ორივე ნაწილად დაყოფა ნ, ვიღებთ

2. გარკვეული მოვლენის ალბათობა ერთის ტოლია, რადგან .

3. შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, რადგან .

პრობლემა 1. ლატარიაში 1000 ბილეთიდან 200 გამარჯვებულია. ერთი ბილეთი გათამაშებულია შემთხვევით. რა არის ამ ბილეთის მოგების ალბათობა?

გადაწყვეტილება. სხვადასხვა შედეგების საერთო რაოდენობა არის ნ=1000. გამარჯვების სასარგებლო შედეგების რაოდენობაა m=200. ფორმულის მიხედვით ვიღებთ

.

დავალება 2. პარტიაში 18 ნაწილისგან შედგება 4 დეფექტური. 5 ცალი არჩეულია შემთხვევით. იპოვეთ ალბათობა, რომ ამ 5 ნაწილიდან ორი დეფექტურია.

გადაწყვეტილება. ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის რაოდენობა ნუდრის კომბინაციების რაოდენობას 18-დან 5-მდე ე.ი.

გამოვთვალოთ ა მოვლენისთვის ხელსაყრელი m რიცხვი. შემთხვევით აღებულ 5 ნაწილს შორის უნდა იყოს 3 ხარისხიანი და 2 დეფექტური. ორი დეფექტური ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა 4 ხელმისაწვდომი დეფექტური ნაწილიდან უდრის კომბინაციების რაოდენობას 4-დან 2-მდე:

14 ხელმისაწვდომი ხარისხის ნაწილიდან სამი ხარისხის ნაწილის არჩევის გზების რაოდენობა უდრის

.

ხარისხის ნაწილების ნებისმიერი ჯგუფი შეიძლება გაერთიანდეს დეფექტური ნაწილების ნებისმიერ ჯგუფთან, ამიტომ კომბინაციების საერთო რაოდენობა მარის

A მოვლენის სასურველი ალბათობა უდრის m შედეგების რაოდენობის თანაფარდობას, რომელიც ხელს უწყობს ამ მოვლენას ყველა თანაბრად შესაძლო დამოუკიდებელი შედეგის n რიცხვთან:

.

სასრული რაოდენობის მოვლენათა ჯამი არის მოვლენა, რომელიც შედგება მინიმუმ ერთი მათგანის დადგომაში.

ორი მოვლენის ჯამი აღინიშნება A + B სიმბოლოთი და ჯამით ნმოვლენების სიმბოლო A 1 +A 2 + : +A n.

ალბათობათა შეკრების თეორემა.

ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამის ალბათობა უდრის ამ მოვლენების ალბათობების ჯამს.

დასკვნა 1. თუ მოვლენა А 1 , А 2 , : , А n ქმნიან სრულ სისტემას, მაშინ ამ მოვლენების ალბათობათა ჯამი უდრის ერთს.

დასკვნა 2. საპირისპირო მოვლენების ალბათობათა ჯამი და უდრის ერთი.

.

პრობლემა 1. არის 100 ლატარიის ბილეთი. ცნობილია, რომ 5 ბილეთი მოგებას იღებს 20,000 რუბლი, 10 - 15,000 რუბლი, 15 - 10,000 რუბლი, 25 - 2,000 რუბლი. და დანარჩენისთვის არაფერი. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შეძენილი ბილეთი მოიგებს მინიმუმ 10000 რუბლს.

გადაწყვეტილება. მოდით A, B და C იყოს მოვლენები, რომლებიც შედგება იმაში, რომ 20,000, 15,000 და 10,000 რუბლის ტოლი პრიზი მოდის შეძენილ ბილეთზე. ვინაიდან მოვლენები A, B და C შეუთავსებელია, მაშინ

დავალება 2. ტექნიკუმის კორესპონდენციის განყოფილება ქალაქებიდან იღებს ტესტებს მათემატიკაში A, Bდა თან. ქალაქიდან საკონტროლო სამუშაოების მიღების ალბათობა მაგრამ 0,6-ის ტოლი, ქალაქიდან AT- 0.1. იპოვეთ ალბათობა, რომ შემდეგი საკონტროლო სამუშაო ქალაქიდან მოვა თან.

ორ მოვლენას შორის კავშირის უმარტივესი მაგალითია მიზეზობრივი კავშირი, როდესაც ერთ-ერთი მოვლენის დადგომა აუცილებლად იწვევს მეორის დადგომას, ან პირიქით, როდესაც ერთის დადგომა გამორიცხავს მეორის დადგომის შესაძლებლობას.

ზოგიერთი მოვლენის სხვებზე დამოკიდებულების დასახასიათებლად შემოღებულია კონცეფცია პირობითი ალბათობა.

განმარტება. დაე იყოს მაგრამდა AT- ერთი და იგივე ტესტის ორი შემთხვევითი მოვლენა. მაშინ მოვლენის პირობითი ალბათობა მაგრამან A მოვლენის ალბათობას, იმ პირობით, რომ მოვლენა B მოხდა, ეწოდება რიცხვი.

პირობითი ალბათობის აღნიშვნისას ვიღებთ ფორმულას

, .

ამოცანა 1. გამოთვალეთ ალბათობა იმისა, რომ ერთი ბიჭი შვილის ოჯახში მეორე ბიჭი დაიბადება.

გადაწყვეტილება. დაე, ღონისძიება მაგრამშედგება იმაში, რომ ოჯახში ორი ბიჭია და მოვლენა AT- ის ბიჭი.

განიხილეთ ყველა შესაძლო შედეგი: ბიჭი და ბიჭი; ბიჭი და გოგო; გოგო და ბიჭი; გოგო და გოგო.

შემდეგ და ფორმულით ვპოულობთ

.

ღონისძიება მაგრამდაურეკა დამოუკიდებელი ღონისძიებიდან ATთუ მოვლენის დადგომა ATარ ახდენს გავლენას მოვლენის დადგომის ალბათობაზე მაგრამ.

ალბათობის გამრავლების თეორემა

ორი დამოუკიდებელი მოვლენის ერთდროული წარმოშობის ალბათობა ტოლია ამ მოვლენების ალბათობების ნამრავლის:

ფორმულით გამოითვლება რამდენიმე მოვლენის დადგომის ალბათობა, რომლებიც მთლიანობაში დამოუკიდებელია

ამოცანა 2. პირველი ურნა შეიცავს 6 შავ და 4 თეთრ ბურთულებს, მეორე ურნა შეიცავს 5 შავ და 7 თეთრ ბურთულებს. თითო ურნადან ამოღებულია ერთი ბურთი. რა არის იმის ალბათობა, რომ ორივე ბურთი თეთრი იყოს.

ა და ATარის ღონისძიება AB. აქედან გამომდინარე,

ბ) თუ პირველი ელემენტი მუშაობს, მაშინ ხდება მოვლენა (მოვლენის საპირისპირო მაგრამ- ამ ელემენტის უკმარისობა); თუ მეორე ელემენტი მუშაობს - მოვლენა AT.იპოვნეთ მოვლენების ალბათობა და:

მაშინ მოვლენა, რომელიც შედგება იმაში, რომ ორივე ელემენტი იმუშავებს არის და, შესაბამისად,