მათემატიკა მეცნიერების ყველაზე ზუსტი და უნივერსალური ენაა, მაგრამ შესაძლებელია თუ არა ადამიანთა გრძნობების ახსნა რიცხვების დახმარებით? სიყვარულის ფორმულები, ქაოსის თესლი და რომანტიკული დიფერენციალური განტოლებები - T&P აქვეყნებს თავს მსოფლიოში ერთ-ერთი საუკეთესო მათემატიკის მასწავლებლის, სტივენ სტროგაცის წიგნიდან "The Pleasure of X", რომელიც გამოსულია მანის, ივანოვისა და ფერბერის მიერ.
გაზაფხულზე, წერდა ტენისონი, ახალგაზრდა მამაკაცის ფანტაზია ადვილად გადადის სიყვარულის აზრებზე. სამწუხაროდ, ახალგაზრდა მამაკაცის პოტენციურ პარტნიორს შეიძლება ჰქონდეს საკუთარი წარმოდგენები სიყვარულზე, შემდეგ კი მათი ურთიერთობა სავსე იქნება მღელვარე აღმავლობითა და ვარდნით, რაც სიყვარულს ასე ამაღელვებელს და მტკივნეულს ხდის. ამ სიყვარულის რყევების ახსნას ზოგიერთი უპასუხისმგებლოდან ეძებს ღვინოში, ზოგი - პოეზიაში. და ჩვენ გავითვალისწინებთ გამოთვლებს.
ქვემოთ მოყვანილი ანალიზი სასაცილოდ ირონიული იქნება, მაგრამ ის ეხება სერიოზულ თემებს. უფრო მეტიც, თუ სიყვარულის კანონების გაგებამ შეიძლება თავი დააღწიოს, მაშინ უსულო სამყაროს კანონები ახლა კარგად არის შესწავლილი. ისინი იღებენ დიფერენციალურ განტოლებებს, რომლებიც აღწერენ, თუ როგორ იცვლება ურთიერთდაკავშირებული ცვლადები მომენტიდან მომენტამდე მათი მიმდინარე მნიშვნელობების მიხედვით. ამგვარ განტოლებებს შეიძლება რომანტიკასთან დიდი კავშირი არ აქვს, მაგრამ მაინც ნათელს მოჰფენს, თუ რატომ, სხვა პოეტის სიტყვებით რომ ვთქვათ, „ჭეშმარიტი სიყვარულის გზა არასოდეს ყოფილა გლუვი“. დიფერენციალური განტოლებების მეთოდის საილუსტრაციოდ, დავუშვათ, რომ რომეოს უყვარს ჯულიეტა, მაგრამ მოთხრობის ჩვენს ვერსიაში ჯულიეტა ქარიანი საყვარელია. რაც უფრო მეტად უყვარს რომეოს, მით უფრო მეტად სურს მისგან დამალვა. მაგრამ როცა რომეო გაცივდება მის მიმართ, ის მისთვის უჩვეულოდ მიმზიდველად გამოიყურება. თუმცა, ახალგაზრდა შეყვარებული მიდრეკილია ასახოს თავისი გრძნობები: ანათებს, როცა უყვარს, და ცივდება, როცა სძულს.
რა ემართებათ ჩვენს უბედურ საყვარლებს? როგორ შთანთქავს მათ და ტოვებს მათ დროთა განმავლობაში სიყვარული? სწორედ აქ მოდის დიფერენციალური გაანგარიშება სამაშველოში. განტოლებების შედგენით, რომლებიც აჯამებს რომეოსა და ჯულიეტას გრძნობების აღზევებასა და დაცემას, შემდეგ კი მათი ამოხსნით, შეგვიძლია ვიწინასწარმეტყველოთ წყვილის ურთიერთობის მიმდინარეობა. მისთვის საბოლოო პროგნოზი სიყვარულისა და სიძულვილის ტრაგიკულად გაუთავებელი ციკლი იქნება. ამ დროის მეოთხედში მაინც ექნებათ ორმხრივი სიყვარული.
ამ დასკვნის მისაღწევად, მე ვივარაუდე, რომ რომეოს ქცევის მოდელირება შეიძლებოდა დიფერენციალური განტოლების გამოყენებით.
რომელიც აღწერს როგორ იცვლება მისი სიყვარული ® მომდევნო მომენტში (დტ). ამ განტოლების მიხედვით, ცვლილებების რაოდენობა (dR) პირდაპირპროპორციულია (პროპორციულობის ფაქტორით a) ჯულიეტას სიყვარულის (J). ეს ურთიერთობა ასახავს იმას, რაც ჩვენ უკვე ვიცით: რომეოს სიყვარული იზრდება, როდესაც ჯულიეტას უყვარს, მაგრამ ასევე ვარაუდობს, რომ რომეოს სიყვარული იზრდება იმის პირდაპირპროპორციულად, თუ რამდენად უყვარს ჯულიეტას იგი. წრფივი ურთიერთობის ეს დაშვება ემოციურად წარმოუდგენელია, მაგრამ ეს შესაძლებელს ხდის განტოლების ამოხსნის დიდად გამარტივებას.
ამის საპირისპიროდ, ჯულიეტას ქცევის მოდელირება შესაძლებელია განტოლების გამოყენებით
უარყოფითი ნიშანი b მუდმივამდე ასახავს, რომ მისი სიყვარული კლებულობს, როცა რომეოს სიყვარული ძლიერდება.
ერთადერთი, რაც დასადგენია, არის მათი თავდაპირველი გრძნობები (ანუ R და J-ის მნიშვნელობები t=0 დროს). ამის შემდეგ დაყენდება ყველა საჭირო პარამეტრი. ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ კომპიუტერი ნელა, ეტაპობრივად წინსვლისთვის, R და J მნიშვნელობების შეცვლა ზემოთ აღწერილი დიფერენციალური განტოლებების მიხედვით. ფაქტობრივად, ინტეგრალური გამოთვლის ფუნდამენტური თეორემის დახმარებით შეგვიძლია ამონახსნის ანალიტიკურად პოვნა. იმის გამო, რომ მოდელი მარტივია, ინტეგრალური გამოთვლები აწარმოებს რამდენიმე ამომწურავ ფორმულას, რომელიც გვეუბნება, თუ რამდენად უყვართ (ან ეზიზღებათ) ერთმანეთი რომეოს და ჯულიეტას ნებისმიერ დროს მომავალში.
ზემოთ წარმოდგენილი დიფერენციალური განტოლებები კარგად უნდა იყოს ცნობილი ფიზიკის სტუდენტებისთვის: რომეო და ჯულიეტა იქცევიან მარტივი ჰარმონიული ოსცილატორებივით. ამრიგად, მოდელი პროგნოზირებს, რომ R (t) და J (t) ფუნქციები, რომლებიც აღწერს დროთა განმავლობაში მათი ურთიერთობის ცვლილებას, იქნება სინუსოიდები, თითოეული მათგანი იზრდება და მცირდება, მაგრამ მათი მაქსიმალური მნიშვნელობები არ ემთხვევა.
”სულელური იდეა, რომ აღეწერა სასიყვარულო ურთიერთობა დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით, გამიჩნდა, როდესაც პირველად ვიყავი შეყვარებული და ვცდილობდი გამეგო ჩემი შეყვარებულის გაუგებარი საქციელი”
მოდელი შეიძლება გახდეს უფრო რეალისტური მრავალი გზით. მაგალითად, რომეომ შეიძლება უპასუხოს არა მხოლოდ ჯულიეტას გრძნობებს, არამედ საკუთარ გრძნობებსაც. რა მოხდება, თუ ის იმ ბიჭებს შორისაა, ვისაც ისე ეშინია მიტოვების, რომ გრძნობებს გაგრილებს. ან ეხება სხვა ტიპის ბიჭებს, რომლებსაც უყვართ ტანჯვა - ამიტომაც უყვარს იგი.
დაუმატეთ ამ სცენარებს რომეოს კიდევ ორი ქცევა - ის პასუხობს ჯულიეტას მოსიყვარულეობას საკუთარი სიყვარულის გაძლიერებით ან შესუსტებით - და ნახავთ, რომ სასიყვარულო ურთიერთობებში ოთხი განსხვავებული ქცევაა. ჩემმა სტუდენტებმა და ვორესტერის პოლიტექნიკურ ინსტიტუტში პიტერ კრისტოფერის ჯგუფის სტუდენტებმა შემოგვთავაზეს ამ ტიპების დარქმევა შემდეგნაირად: რომეოსთვის, რომელიც გრძნობებს აცივებს და შორდება ჯულიეტას, ჰერმიტი ან ბოროტი მიზანთროპი და ნარცისული სულელი და ფლირტი ფინკი, ვინც ათბობს. მისი გატაცება, მაგრამ უარყო ჯულიეტამ. (შეგიძლიათ მოიგონოთ თქვენი საკუთარი სახელები ყველა ამ ტიპისთვის.)
მიუხედავად იმისა, რომ მოცემული მაგალითები ფანტასტიკურია, განტოლებების ტიპები, რომლებიც მათ აღწერს, ძალიან ინფორმატიულია. ისინი კაცობრიობის მიერ ოდესმე შექმნილ ყველაზე მძლავრ ინსტრუმენტებს წარმოადგენენ მატერიალური სამყაროს გასაგებად. სერ ისააკ ნიუტონმა გამოიყენა დიფერენციალური განტოლებები პლანეტების მოძრაობის საიდუმლოებების აღმოსაჩენად. ამ განტოლებების დახმარებით მან გააერთიანა ხმელეთის და ციური სფეროები და აჩვენა, რომ მოძრაობის ერთი და იგივე კანონები მოქმედებს ორივეზე.
ნიუტონიდან თითქმის 350 წლის შემდეგ კაცობრიობამ გააცნობიერა, რომ ფიზიკის კანონები ყოველთვის გამოიხატება დიფერენციალური განტოლებების ენით. ეს მართალია სითბოს, ჰაერისა და წყლის ნაკადების აღწერის განტოლებისთვის, ელექტროენერგიის და მაგნიტიზმის კანონებისთვის, თუნდაც ატომისთვის, სადაც მეფობს კვანტური მექანიკა.
ყველა შემთხვევაში, თეორიულმა ფიზიკამ უნდა მოძებნოს სწორი დიფერენციალური განტოლებები და ამოხსნას ისინი. როდესაც ნიუტონმა აღმოაჩინა სამყაროს საიდუმლოებების ეს გასაღები და გააცნობიერა მისი დიდი მნიშვნელობა, მან გამოაქვეყნა იგი ლათინური ანაგრამის სახით. თავისუფალ თარგმანში ასე ჟღერს: „სასარგებლოა დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა“.
დიფერენციალური განტოლებების გამოყენებით სასიყვარულო ურთიერთობების აღწერის სულელური იდეა გამიჩნდა მაშინ, როცა პირველად ვიყავი შეყვარებული და ვცდილობდი გამეგო ჩემი შეყვარებულის გაუგებარი საქციელი. ეს იყო საზაფხულო რომანი კოლეჯში ჩემი მეორე კურსის ბოლოს. მაშინ ძალიან გამახსენდა პირველი რომეო და ის იყო პირველი ჯულიეტა. ჩვენი ურთიერთობის ციკლურმა ბუნებამ გამაგიჟა მანამ, სანამ არ მივხვდი, რომ ორივე ინერციით ვმოქმედებდით, ბიძგისა და ზიდვის მარტივი წესის შესაბამისად. მაგრამ ზაფხულის ბოლოს, ჩემი განტოლება დაიწყო დაშლა და მე კიდევ უფრო გაოგნებული ვიყავი. აღმოჩნდა, რომ იყო მნიშვნელოვანი მოვლენა, რომელიც არ გავითვალისწინე: მის ყოფილ შეყვარებულს მისი დაბრუნება სურდა.
მათემატიკაში ასეთ პრობლემას სამსხეულიან პრობლემას ვუწოდებთ. ის აშკარად გადაუჭრელია, განსაკუთრებით ასტრონომიის კონტექსტში, სადაც ის პირველად გაჩნდა. მას შემდეგ რაც ნიუტონმა ამოხსნა ორსხეულიანი პრობლემის დიფერენციალური განტოლებები (რაც განმარტავს, რატომ მოძრაობენ პლანეტები მზის გარშემო ელიფსურ ორბიტაზე), მან ყურადღება მიიპყრო მზის, დედამიწისა და მთვარის სამი სხეულის პრობლემაზე. ვერც მან და ვერც სხვა მეცნიერებმა ვერ გადაჭრეს. მოგვიანებით გაირკვა, რომ სამი სხეულის პრობლემა შეიცავს ქაოსის თესლს, ანუ გრძელვადიან პერსპექტივაში მათი ქცევა არაპროგნოზირებადია.
ნიუტონმა არაფერი იცოდა ქაოსის დინამიკის შესახებ, მაგრამ მისი მეგობრის, ედმუნდ ჰალეის თქმით, ის ჩიოდა, რომ სამი სხეულის პრობლემა თავის ტკივილს აძლევდა და ისე ხშირად აღვიძებდა, რომ აღარასოდეს იფიქრებდა ამაზე.
აქ ვარ თქვენთან, სერ ისააკ.
ამ წიგნს კარგად ავსებს:
კვანტა
სკოტ პატერსონი
ბრეინიკი
კენ ჯენინგსი
ფულის ბურთი
მაიკლ ლუისი
მოქნილი გონება
კეროლ დუეკი
საფონდო ბირჟის ფიზიკა
ჯეიმს ვეზეროლი
სიხარული X
მათემატიკის მართვადი ტური, ერთიდან უსასრულობამდე
სტივენ სტროგაცი
სიამოვნებისგან X
საინტერესო მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან
ინფორმაცია გამომცემლისგან
პირველად გამოიცა რუსულად
გამოქვეყნებულია Steven Strogatz-ის ნებართვით, c/o Brockman, Inc.
სტროგატსი, პ.
სიამოვნებისგან X. საინტერესო მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან / სტივენ სტროგაცი; თითო ინგლისურიდან. - მ.: მანი, ივანოვი და ფერბერი, 2014 წ.
ISBN 978-500057-008-1
ამ წიგნს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს თქვენი დამოკიდებულება მათემატიკის მიმართ. იგი შედგება მოკლე თავებისგან, რომელთაგან თითოეულში თქვენ აღმოაჩენთ რაღაც ახალს. თქვენ გაიგებთ, თუ რამდენად სასარგებლოა რიცხვები თქვენს გარშემო არსებული სამყაროს შესასწავლად, გეომეტრიის მშვენიერების გაგება, ინტეგრალური გამოთვლის ელეგანტურობა, სტატისტიკის მნიშვნელობა და დაუკავშირდით უსასრულობას. ავტორი მარტივად და ელეგანტურად ხსნის ფუნდამენტურ მათემატიკურ იდეებს, აძლევს ყველას გასაგებ მაგალითებს.
Ყველა უფლება დაცულია.
ამ წიგნის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება დაუშვებელია საავტორო უფლებების მფლობელების წერილობითი ნებართვის გარეშე.
გამომცემლობის იურიდიულ მხარდაჭერას უწევს იურიდიული ფირმა „ვეგას-ლექსი“
© Steven Strogatz, 2012 ყველა უფლება დაცულია
© თარგმანი რუსულად, გამოცემა რუსულ ენაზე, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2014 წ
წინასიტყვაობა
მე მყავს მეგობარი, რომელიც, მიუხედავად მისი ვაჭრობისა (ის ხელოვანია), გატაცებულია მეცნიერებით. როცა ერთად ვიკრიბებით, ის ენთუზიაზმით საუბრობს ფსიქოლოგიის ან კვანტური მექანიკის უახლეს მოვლენებზე. მაგრამ როგორც კი მათემატიკაზე ვსაუბრობთ, ის გრძნობს კანკალს მუხლებში, რაც მას დიდად აღელვებს. ის წუწუნებს, რომ ეს უცნაური მათემატიკური სიმბოლოები არა მხოლოდ ეწინააღმდეგება მას, არამედ ზოგჯერ არც კი იცის მათი წარმოთქმა.
სინამდვილეში, მათემატიკისადმი მისი ზიზღის მიზეზი გაცილებით ღრმაა. ის ვერასოდეს გაიგებს, რას აკეთებენ მათემატიკოსები ზოგადად და რას გულისხმობენ, როცა ამბობენ, რომ ეს მტკიცებულება ელეგანტურია. ხანდახან ვხუმრობთ, რომ უბრალოდ უნდა დავჯდე და დავიწყო მისი სწავლება საწყისებიდან, სიტყვასიტყვით 1 + 1 = 2-დან და შევიდე მათემატიკაში, რამდენადაც მას შეუძლია.
და მიუხედავად იმისა, რომ ეს იდეა გიჟურად გამოიყურება, ეს არის ის, რის განხორციელებასაც ვეცდები ამ წიგნში. მე გაგიძღვებით მეცნიერების ყველა ძირითად დარგში, არითმეტიკიდან დაწყებული მათემატიკამდე, რათა მათ, ვისაც მეორე შანსი სურდა, საბოლოოდ გამოიყენოს იგი. და ამჯერად თქვენ არ გჭირდებათ თქვენს მაგიდასთან დაჯდომა. ეს წიგნი მათემატიკის ექსპერტად არ გახდით. მაგრამ ეს ხელს შეუწყობს იმის გაგებას, თუ რას სწავლობს ეს დისციპლინა და რატომ არის ეს ასე საინტერესო მათთვის, ვისაც ეს ესმის.
ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ შეუძლია მაიკლ ჯორდანის სლემ დანკს დაგეხმაროთ გაანგარიშების საფუძვლების ახსნაში. მე გაჩვენებთ მარტივ და გასაოცარ ხერხს ევკლიდეს გეომეტრიის ფუნდამენტური თეორემის - პითაგორას თეორემის გასაგებად. ჩვენ შევეცდებით ჩავწვდეთ ცხოვრების ზოგიერთ საიდუმლოებას, დიდსა თუ პატარას: მოკლა ჯეი სიმპსონმა ცოლი; როგორ გადავიტანოთ ლეიბი ისე, რომ რაც შეიძლება დიდხანს გაგრძელდეს; რამდენი პარტნიორი უნდა შეიცვალოს ქორწილის დაწყებამდე - და ჩვენ დავინახავთ, რატომ არის ზოგიერთი უსასრულობა სხვებზე დიდი.
მათემატიკა ყველგანაა, უბრალოდ მისი ამოცნობა უნდა ისწავლო. თქვენ ხედავთ სინუსოიდს ზებრის უკანა მხარეს, შეგიძლიათ მოისმინოთ ევკლიდეს თეორემების გამოხმაურება დამოუკიდებლობის დეკლარაციაში; რა შემიძლია ვთქვა, პირველ მსოფლიო ომს წინ გასულ მშრალ ანგარიშებშიც კი არის უარყოფითი რიცხვები. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ მოქმედებს მათემატიკის ახალი სფეროები ჩვენს ცხოვრებაზე დღეს, მაგალითად, როდესაც ჩვენ ვეძებთ რესტორნებს კომპიუტერის გამოყენებით ან ვცდილობთ მაინც გავიგოთ, ან კიდევ უკეთესი, გადავრჩეთ საფონდო ბირჟის შემზარავ რყევებს.
15 სტატიისგან შემდგარი სერია ზოგადი სახელწოდებით "მათემატიკის საფუძვლები" გამოჩნდა ინტერნეტში 2010 წლის იანვრის ბოლოს. მათი გამოქვეყნების საპასუხოდ, წერილები და კომენტარები შემოვიდა ყველა ასაკის მკითხველისგან, რომელთა შორის ბევრი სტუდენტი და მასწავლებელი იყო. ასევე იყვნენ უბრალოდ ცნობისმოყვარე ადამიანები, რომლებმაც ამა თუ იმ მიზეზით „გზა დაკარგეს“ მათემატიკური მეცნიერების გაგებაში; ახლა გრძნობენ, რომ რაღაც გამოტოვეს. შესახებდა მინდა ისევ სცადო. განსაკუთრებით გამიხარდა მშობლების მადლიერება, რომ ჩემი დახმარებით მათ შეძლეს აეხსნათ მათემატიკა შვილებისთვის და თავადაც დაიწყეს ამის უკეთ გაგება. ჩანდა, რომ ჩემს კოლეგებს და ამხანაგებსაც კი, ამ მეცნიერების მგზნებარე თაყვანისმცემლებს, სიამოვნებით კითხულობდნენ სტატიებს, გარდა იმ მომენტებისა, როდესაც ისინი ერთმანეთს ეჯიბრებოდნენ, რომ ყველანაირი რეკომენდაცია შესთავაზონ ჩემი შთამომავლობის გასაუმჯობესებლად.
მიუხედავად პოპულარული რწმენისა, საზოგადოებაში მათემატიკის მიმართ აშკარა ინტერესია, თუმცა ამ ფენომენს მცირე ყურადღება ექცევა. ჩვენ მხოლოდ მათემატიკის შიშის შესახებ გვესმის და, მიუხედავად ამისა, ბევრი სიამოვნებით შეეცდება უკეთ გაიგოს. და როგორც კი ეს მოხდება, რთული იქნება მათი მოწყვეტა.
ეს წიგნი გაგაცნობთ მათემატიკის სამყაროს ყველაზე რთულ და მოწინავე იდეებს. თავები არის მოკლე, ადვილად წასაკითხი და ნამდვილად არ არის ერთმანეთზე დამოკიდებული. მათ შორის არის ის, ვინც შედის New York Times-ის სტატიების პირველ სერიაში. ასე რომ, როგორც კი მცირე მათემატიკურ შიმშილს იგრძნობთ, ნუ დააყოვნებთ მომდევნო თავის გადადებას. თუ გსურთ უფრო დეტალურად გაიგოთ თქვენთვის საინტერესო საკითხი, მაშინ წიგნის ბოლოს არის ჩანაწერები დამატებითი ინფორმაციით და რეკომენდაციებით, კიდევ რა შეგიძლიათ წაიკითხოთ ამის შესახებ.
მკითხველთა მოხერხებულობისთვის, რომლებიც უპირატესობას ანიჭებენ ნაბიჯ-ნაბიჯ მიდგომას, მე დავყავი მასალა ექვს ნაწილად, თემების ტრადიციული თანმიმდევრობის შესაბამისად.
ნაწილი I "რიცხვები" იწყება ჩვენი მოგზაურობა არითმეტიკით საბავშვო ბაღში და დაწყებით სკოლაში. ის გვიჩვენებს, თუ რამდენად სასარგებლოა რიცხვები და რამდენად ეფექტურია ისინი ჩვენს ირგვლივ სამყაროს აღწერისას.
II ნაწილი „რატეოები“ ყურადღებას აქცევს თავად რიცხვებიდან მათ შორის არსებულ ურთიერთობებზე. ეს იდეები ალგებრის გულშია და არის პირველი ინსტრუმენტები იმის აღსაწერად, თუ როგორ მოქმედებს ერთი მეორეზე, აჩვენებს მიზეზობრივ კავშირს სხვადასხვა ნივთზე: მიწოდება და მოთხოვნა, სტიმული და რეაქცია - მოკლედ, ყველა სახის ურთიერთობა, რომელიც ქმნის სამყაროს. ასეთი მრავალფეროვანი და მდიდარი..
III ნაწილი „ფიგურები“ არ არის რიცხვები და სიმბოლოები, არამედ ფიგურები და სივრცე - გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის სფერო. ეს თემები ფორმებით ყველა დაკვირვებადი ობიექტის აღწერასთან ერთად, ლოგიკური მსჯელობისა და მტკიცებულებების დახმარებით, მათემატიკას სიზუსტის ახალ საფეხურზე აყენებს.
IV ნაწილში "ცვლილების დრო" ჩვენ გადავხედავთ კალკულუსს - მათემატიკის ყველაზე შთამბეჭდავ და მრავალმხრივ სფეროს. კალკულუსი შესაძლებელს ხდის პლანეტების ტრაექტორიის, მოქცევის ციკლების პროგნოზირებას და საშუალებას გვაძლევს გავიგოთ და აღვწეროთ ყველა პერიოდულად ცვალებადი პროცესი და ფენომენი სამყაროში და ჩვენში. ამ ნაწილში მნიშვნელოვანი ადგილი ეთმობა უსასრულობის შესწავლას, რომლის დაწყნარება იყო გარღვევა, რამაც გამოთვლების მუშაობის საშუალება მისცა. გამოთვლები დაეხმარა მრავალი პრობლემის გადაჭრას, რომლებიც წარმოიშვა ძველ სამყაროში და ამან საბოლოოდ გამოიწვია რევოლუცია მეცნიერებაში და თანამედროვე სამყაროში.
ნაწილი V "მონაცემთა მრავალი სახე" ეხება ალბათობას, სტატისტიკას, ქსელებს და მონაცემთა დამუშავებას - ეს ჯერ კიდევ შედარებით ახალგაზრდა სფეროებია, რომლებიც წარმოიქმნება ჩვენი ცხოვრების ყოველთვის არა მოწესრიგებული ასპექტებით, როგორიცაა შესაძლებლობა და იღბალი, გაურკვევლობა, რისკი, არასტაბილურობა, შემთხვევითობა. , ურთიერთდამოკიდებულება. სწორი მათემატიკის ხელსაწყოებისა და მონაცემთა სწორი ტიპების გამოყენებით, ჩვენ ვისწავლით შაბლონების ამოცნობას შემთხვევითობის ნაკადში.
ჩვენი მოგზაურობის დასასრულს, მეექვსე ნაწილში „შესაძლებლის საზღვრები“ მივუდგებით მათემატიკური ცოდნის საზღვრებს, საზღვრებს შორის უკვე ცნობილსა და ჯერ კიდევ აუცილებელს და უცნობის. ჩვენ კვლავ განვიხილავთ თემებს უკვე ნაცნობი თანმიმდევრობით: რიცხვები, თანაფარდობები, ფორმები, ცვლილებები და უსასრულობა - მაგრამ ამავე დროს განვიხილავთ თითოეულ მათგანს უფრო ღრმად, მის თანამედროვე ინკარნაციაში.
სიხარული X
მათემატიკის მართვადი ტური, ერთიდან უსასრულობამდე
გამოქვეყნებულია Steven Strogatz-ის ნებართვით, c/o Brockman, Inc.
© Steven Strogatz, 2012 ყველა უფლება დაცულია
© თარგმანი რუსულად, გამოცემა რუსულ ენაზე, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2014 წ
Ყველა უფლება დაცულია. ამ წიგნის ელექტრონული ვერსიის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება არ შეიძლება რაიმე ფორმით ან რაიმე საშუალებით, მათ შორის ინტერნეტში და კორპორატიულ ქსელებში განთავსება, პირადი და საჯარო გამოყენებისთვის, საავტორო უფლებების მფლობელის წერილობითი ნებართვის გარეშე.
გამომცემლობის იურიდიულ მხარდაჭერას უწევს იურიდიული ფირმა „ვეგას-ლექსი“
* * *
ამ წიგნს კარგად ავსებს:
კვანტა
სკოტ პატერსონი
ბრეინიკი
კენ ჯენინგსი
ფულის ბურთი
მაიკლ ლუისი
მოქნილი გონება
კეროლ დუეკი
საფონდო ბირჟის ფიზიკა
ჯეიმს ვეზეროლი
წინასიტყვაობა
მე მყავს მეგობარი, რომელიც, მიუხედავად მისი ვაჭრობისა (ის ხელოვანია), გატაცებულია მეცნიერებით. როცა ერთად ვიკრიბებით, ის ენთუზიაზმით საუბრობს ფსიქოლოგიის ან კვანტური მექანიკის უახლეს მოვლენებზე. მაგრამ როგორც კი მათემატიკაზე ვსაუბრობთ, ის გრძნობს კანკალს მუხლებში, რაც მას დიდად აღელვებს. ის წუწუნებს, რომ ეს უცნაური მათემატიკური სიმბოლოები არა მხოლოდ ეწინააღმდეგება მას, არამედ ზოგჯერ არც კი იცის მათი წარმოთქმა.
სინამდვილეში, მათემატიკისადმი მისი ზიზღის მიზეზი გაცილებით ღრმაა. ის ვერასოდეს გაიგებს, რას აკეთებენ მათემატიკოსები ზოგადად და რას გულისხმობენ, როცა ამბობენ, რომ ეს მტკიცებულება ელეგანტურია. ხანდახან ვხუმრობთ, რომ უბრალოდ უნდა დავჯდე და დავიწყო მისი სწავლება საწყისებიდან, სიტყვასიტყვით 1 + 1 = 2-დან და შევიდე მათემატიკაში, რამდენადაც მას შეუძლია.
და მიუხედავად იმისა, რომ ეს იდეა გიჟურად გამოიყურება, ეს არის ის, რის განხორციელებასაც ვეცდები ამ წიგნში. მე გაგიძღვებით მეცნიერების ყველა ძირითად დარგში, არითმეტიკიდან დაწყებული მათემატიკამდე, რათა მათ, ვისაც მეორე შანსი სურდა, საბოლოოდ გამოიყენოს იგი. და ამჯერად თქვენ არ გჭირდებათ თქვენს მაგიდასთან დაჯდომა. ეს წიგნი მათემატიკის ექსპერტად არ გახდით. მაგრამ ეს ხელს შეუწყობს იმის გაგებას, თუ რას სწავლობს ეს დისციპლინა და რატომ არის ეს ასე საინტერესო მათთვის, ვისაც ეს ესმის.
იმის გასაგებად, თუ რას ვგულისხმობ რიცხვების ცხოვრებასა და მათ ქცევაში, რომელსაც ჩვენ ვერ ვაკონტროლებთ, დავუბრუნდეთ Furry Paws Hotel-ს. დავუშვათ, რომ ჰემფრი მხოლოდ შეკვეთის მიწოდებას აპირებდა, მაგრამ შემდეგ სხვა ოთახიდან პინგვინებმა მოულოდნელად დაურეკეს მას და ასევე სთხოვეს იგივე რაოდენობის თევზი. რამდენჯერ უწევს ჰემფრის ყვირილი სიტყვა "თევზი" ორი შეკვეთის მიღების შემდეგ? ციფრებზე რომ არაფერი სცოდნოდა, იმდენჯერ მოუწევდა ყვირილი, რამდენჯერაც სულ პინგვინები არიან ორივე ოთახში. ან, რიცხვების გამოყენებით, მას შეეძლო მზარეულს აეხსნა, რომ ერთი ნომრისთვის ექვსი თევზი სჭირდებოდა, მეორესთვის კი ექვსი. მაგრამ ის, რაც მას ნამდვილად სჭირდება, არის ახალი კონცეფცია: დამატება. მას შემდეგ რაც აითვისებს, ამაყად იტყვის, რომ მას სჭირდება ექვს პლუს ექვსი (ან თუ პოზერია, თორმეტი) თევზი.
ეს არის იგივე შემოქმედებითი პროცესი, როგორც მაშინ, როდესაც ჩვენ ახლახან გამოვიმუშავეთ ციფრები. ისევე, როგორც რიცხვები აადვილებს დათვლას, ვიდრე თითო-თითო ჩამოთვლას, დამატება აადვილებს ნებისმიერი თანხის გამოთვლას. ამავე დროს, ის, ვინც გამოთვლას აკეთებს, ვითარდება მათემატიკოსად. მეცნიერულად, ეს აზრი შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: სწორი აბსტრაქციების გამოყენება იწვევს საკითხის არსის უფრო ღრმა ჩახედვას და მის გადაჭრის უფრო დიდ ძალას.
მალე, ალბათ, ჰემფრიც კი მიხვდება, რომ ახლა მას ყოველთვის შეუძლია დათვლა.
თუმცა, მიუხედავად ასეთი გაუთავებელი პერსპექტივისა, ჩვენს შემოქმედებას ყოველთვის აქვს გარკვეული შეზღუდვები. ჩვენ შეგვიძლია გადავწყვიტოთ რას ვგულისხმობთ 6-ში და +-ში, მაგრამ როგორც კი ამას გავაკეთებთ, ისეთი გამონათქვამების შედეგები, როგორიცაა 6 + 6, ჩვენი კონტროლის გარეშეა. ლოგიკა აქ არჩევანს არ გვიტოვებს. ამ თვალსაზრისით, მათემატიკა ყოველთვის მოიცავს ორივე გამოგონებას, ისეაღმოჩენა: ჩვენ იგონებდაცნებები, მაგრამ გახსნამათი შედეგები. როგორც მომდევნო თავებში ირკვევა, მათემატიკაში ჩვენი თავისუფლება მდგომარეობს კითხვების დასმის და მათზე პასუხების გამუდმებით ძიების უნარში, მაგრამ თავად გამოგონების გარეშე.
2. ქვის არითმეტიკა
როგორც ცხოვრების ნებისმიერ მოვლენას, არითმეტიკას აქვს ორი მხარე: ფორმალური და გასართობი (ან სათამაშო).
ფორმალური ნაწილი სკოლაში ვისწავლეთ. იქ გვიხსნიდნენ, თუ როგორ უნდა ვიმუშაოთ რიცხვების სვეტებთან, შევკრიბოთ და გამოვაკლოთ ისინი, როგორ მოვახდინოთ ნიჩბები ცხრილებში გამოთვლების შესრულებისას საგადასახადო დეკლარაციის შევსების და წლიური ანგარიშების მომზადებისას. არითმეტიკის ეს მხარე, როგორც ჩანს, ბევრისთვის მნიშვნელოვანია პრაქტიკული თვალსაზრისით, მაგრამ სრულიად ბუნდოვანი.
არითმეტიკის გასართობ მხარეს მხოლოდ უმაღლესი მათემატიკის შესწავლის პროცესში შეგიძლიათ გაეცნოთ. {3}. თუმცა, ის ისეთივე ბუნებრივია, როგორც ბავშვის ცნობისმოყვარეობა. {4}.
თხზულებაში „მათემატიკოსის გოდება“ პოლ ლოკჰარტი გვთავაზობს რიცხვების შესწავლას ჩვეულებრივზე უფრო კონკრეტული მაგალითებით: ის გვთხოვს წარმოვაჩინოთ ისინი ქვების რაოდენობის სახით. მაგალითად, რიცხვი 6 შეესაბამება კენჭების შემდეგ კომპლექტს:
აქ ვერაფერს უჩვეულოს ვერ ნახავთ. როგორიც არის. სანამ რიცხვებით მანიპულირებას დავიწყებთ, ისინი თითქმის ერთნაირად გამოიყურებიან. თამაში იწყება მაშინ, როდესაც ჩვენ მივიღებთ დავალებას.
მაგალითად, მოდით შევხედოთ კომპლექტებს, რომლებსაც აქვთ 1-დან 10 ქვა და ვცადოთ მათგან კვადრატების გაკეთება. ეს შეიძლება გაკეთდეს მხოლოდ 4 და 9 ქვის ორი კომპლექტით, ვინაიდან 4 = 2 × 2 და 9 = 3 × 3. ამ რიცხვებს ვიღებთ სხვა რიცხვის კვადრატში (ანუ ქვების კვადრატში).
აქ არის პრობლემა, რომელსაც აქვს გადაწყვეტილებების უფრო დიდი რაოდენობა: თქვენ უნდა გაარკვიოთ, რომელი კომპლექტები გააკეთებენ მართკუთხედს, თუ ქვებს დაალაგებთ ორ რიგად ელემენტების თანაბარი რაოდენობით. აქ შესაფერისია 2, 4, 6, 8 ან 10 ქვის ნაკრები; რიცხვი უნდა იყოს ლუწი. თუ ვცდილობთ დარჩენილი კომპლექტები კენტი რაოდენობის ქვებით მოვაწყოთ ორ რიგში, მაშინ ყოველთვის გვექნება ზედმეტი ქვა.
მაგრამ ყველაფერი არ არის დაკარგული ამ არასასიამოვნო ნომრებისთვის! თუ ავიღებთ ორ ასეთ კომპლექტს, მაშინ დამატებითი ელემენტები იპოვიან თავისთვის წყვილს და ჯამი იქნება ლუწი: კენტი რიცხვი + კენტი = ლუწი რიცხვი.
თუ ამ წესებს გავავრცელებთ 10-ის შემდეგ რიცხვებზე და ჩავთვლით, რომ მართკუთხედში მწკრივების რაოდენობა შეიძლება იყოს ორზე მეტი, მაშინ ზოგიერთი კენტი რიცხვი საშუალებას მისცემს ასეთი მართკუთხედების დამატებას. მაგალითად, რიცხვი 15 გახდის 3×5 ოთხკუთხედს.
მაშასადამე, მიუხედავად იმისა, რომ 15 უდავოდ კენტი რიცხვია, ის არის შედგენილი რიცხვი და შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც სამი რიგი ხუთი ქვისგან. ანალოგიურად, ნებისმიერი ჩანაწერი გამრავლების ცხრილში წარმოქმნის კენჭების საკუთარ მართკუთხა ჯგუფს.
მაგრამ ზოგიერთი რიცხვი, როგორიცაა 2, 3, 5 და 7, სრულიად უიმედოა. მათგან ვერაფერი დალაგდება, გარდა მარტივი ხაზის (ერთი რიგის) სახით მოწყობისა. ეს უცნაური ჯიუტი ხალხი ცნობილი მარტივი რიცხვებია.
ამრიგად, ჩვენ ვხედავთ, რომ რიცხვებს შეიძლება ჰქონდეთ უცნაური სტრუქტურები, რომლებიც მათ გარკვეულ ხასიათს ანიჭებენ. მაგრამ იმისათვის, რომ წარმოიდგინოთ მათი ქცევის მთელი დიაპაზონი, უნდა დაიხიოთ ცალკეული რიცხვები და დააკვირდეთ რა ხდება მათი ურთიერთქმედების დროს.
მაგალითად, მხოლოდ ორი კენტი რიცხვის დამატების ნაცვლად, მოდით დავამატოთ კენტი რიცხვების ყველა შესაძლო თანმიმდევრობა, დაწყებული 1-დან:
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
გასაკვირია, რომ ეს ჯამები ყოველთვის სრულყოფილი კვადრატებია. (ჩვენ უკვე ვისაუბრეთ იმაზე, თუ როგორ შეიძლება 4 და 9 იყოს წარმოდგენილი კვადრატებად და ეს ასევე მართალია 16 = 4 × 4 და 25 = 5 × 5.) სწრაფი გამოთვლა აჩვენებს, რომ ეს წესი ასევე მოქმედებს უფრო დიდ კენტ რიცხვებზე და აშკარად მიდრეკილია. უსასრულობამდე. მაგრამ რა კავშირია კენტ რიცხვებს შორის მათ „ზედმეტ“ ქვებთან და კლასიკურ სიმეტრიულ რიცხვებს შორის, რომლებიც ქმნიან კვადრატებს? ქვების სწორად განლაგებით ჩვენ შეგვიძლია ეს ცხადი გავხადოთ, რაც ელეგანტური მტკიცებულების დამახასიათებელი ნიშანია. {5}
ამის გასაღები იქნება დაკვირვება, რომ კენტი რიცხვები შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ტოლგვერდა კუთხეებად, რომელთა თანმიმდევრული დაწესება ერთმანეთზე ქმნის კვადრატს!
მსჯელობის მსგავსი ხერხი წარმოდგენილია კიდევ ერთ ახლახან გამოქვეყნებულ წიგნში. იოკო ოგავას მომხიბვლელი რომანი "სახლის მეურნე და პროფესორი" მოგვითხრობს გონიერ, მაგრამ გაუნათლებელ ახალგაზრდა ქალსა და მის ათი წლის ვაჟს. ქალი დაიქირავეს ხანდაზმულ მათემატიკოსზე, რომლის მოკლევადიანი მეხსიერება მხოლოდ თავის ტვინის ტრავმული დაზიანების გამო ინახავს ინფორმაციას მისი სიცოცხლის ბოლო 80 წუთის შესახებ. აწმყოში დაკარგული, მარტო, თავის საცოდავ კოტეჯში, ნომრების გარდა, პროფესორი ცდილობს დაუკავშირდეს დიასახლისს ერთადერთი გზით, როგორიც მან იცის: ჰკითხოს მისი ფეხსაცმლის ზომაზე ან დაბადების თარიღზე და მცირე საუბრისას მის ხარჯებზე. . პროფესორს განსაკუთრებული მოწონება აქვს დიასახლისის შვილზეც, რომელსაც რუთს (ფესვი - ფესვი) უწოდებს, რადგან ბიჭს ზემოდან ბრტყელი თავი აქვს და ეს მას აგონებს მათემატიკაში კვადრატული ფესვის აღნიშვნას √.
ერთ დღეს პროფესორი ბიჭს მარტივ დავალებას აძლევს - იპოვოს ყველა რიცხვის ჯამი 1-დან 10-მდე. მას შემდეგ რაც რუთი გულდასმით დააგროვებს ყველა რიცხვს და დაბრუნდება პასუხით (55), პროფესორი სთხოვს მოძებნოს უფრო მარტივი გზა. შეუძლია მას პასუხის პოვნა გარეშერიცხვების მარტივი დამატება? რუთი სკამს ურტყამს და ყვირის: "ეს არ არის სამართლიანი!"
ნელ-ნელა დიასახლისიც იწევს რიცხვთა სამყაროში და მალულად ცდილობს თავად მოაგვაროს ეს პრობლემა. „არ მესმის, რატომ გავიტაცე ასე საბავშვო თავსატეხით, რომელსაც პრაქტიკული გამოყენება არ აქვს“, - ამბობს ის. „თავიდან მინდოდა პროფესორს მესიამოვნებინა, მაგრამ თანდათან ეს აქტივობა ჩემსა და ციფრებს შორის ბრძოლაში გადაიზარდა. დილით რომ გავიღვიძე, განტოლება უკვე მელოდა:
1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = 55,
X-ის სიამოვნება. ამაღელვებელი მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგანსტივენ სტროგაცი
(ჯერ არ არის რეიტინგები)
სათაური: X-ის სიამოვნება. მომხიბლავი მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან
X-ის სიამოვნების შესახებ. ამაღელვებელი მათემატიკური მოგზაურობა მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან, სტივენ სტროგაცი
ამ წიგნს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს თქვენი დამოკიდებულება მათემატიკის მიმართ. იგი შედგება მოკლე თავებისგან, რომელთაგან თითოეულში თქვენ აღმოაჩენთ რაღაც ახალს. თქვენ გაიგებთ, თუ რამდენად სასარგებლოა რიცხვები თქვენს გარშემო არსებული სამყაროს შესასწავლად, გეომეტრიის მშვენიერების გაგება, ინტეგრალური გამოთვლის ელეგანტურობა, სტატისტიკის მნიშვნელობა და დაუკავშირდით უსასრულობას. ავტორი მარტივად და ელეგანტურად ხსნის ფუნდამენტურ მათემატიკურ იდეებს, აძლევს ყველას გასაგებ მაგალითებს.
პირველად გამოიცა რუსულად.
ჩვენს საიტზე წიგნების შესახებ lifeinbooks.net შეგიძლიათ უფასოდ ჩამოტვირთოთ რეგისტრაციის გარეშე ან წაიკითხოთ ონლაინ წიგნი "The Pleasure of X. მომხიბლავი მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან" სტივენ სტროგაცის epub-ში. fb2, txt, rtf, pdf ფორმატები iPad, iPhone, Android და Kindle-სთვის. წიგნი მოგანიჭებთ უამრავ სასიამოვნო მომენტს და წაკითხვის ნამდვილ სიამოვნებას. სრული ვერსია შეგიძლიათ შეიძინოთ ჩვენი პარტნიორისგან. ასევე, აქ ნახავთ უახლეს ამბებს ლიტერატურული სამყაროდან, შეიტყობთ თქვენი საყვარელი ავტორების ბიოგრაფიას. დამწყები მწერლებისთვის არის ცალკე განყოფილება სასარგებლო რჩევებითა და ხრიკებით, საინტერესო სტატიებით, რომელთა წყალობითაც შეგიძლიათ ძალები სცადოთ წერაში.
ამ წიგნს კარგად ავსებს:
კვანტა
სკოტ პატერსონი
ბრეინიკი
კენ ჯენინგსი
ფულის ბურთი
მაიკლ ლუისი
მოქნილი გონება
კეროლ დუეკი
საფონდო ბირჟის ფიზიკა
ჯეიმს ვეზეროლი
X-ის სიხარული
მათემატიკის მართვადი ტური, ერთიდან უსასრულობამდე
სტივენ სტროგაცი
საინტერესო მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან
ინფორმაცია გამომცემლისგან
პირველად გამოიცა რუსულად
გამოქვეყნებულია Steven Strogatz-ის ნებართვით, c/o Brockman, Inc.
სტროგატსი, პ.
სიამოვნება X-დან. საინტერესო მოგზაურობა მათემატიკის სამყაროში მსოფლიოს ერთ-ერთი საუკეთესო მასწავლებლისგან / სტივენ სტროგაცი; თითო ინგლისურიდან. - მ.: მანი, ივანოვი და ფერბერი, 2014 წ.
ISBN 978-500057-008-1
ამ წიგნს შეუძლია რადიკალურად შეცვალოს თქვენი დამოკიდებულება მათემატიკის მიმართ. იგი შედგება მოკლე თავებისგან, რომელთაგან თითოეულში თქვენ აღმოაჩენთ რაღაც ახალს. თქვენ გაიგებთ, თუ რამდენად სასარგებლოა რიცხვები თქვენს გარშემო არსებული სამყაროს შესასწავლად, გეომეტრიის მშვენიერების გაგება, ინტეგრალური გამოთვლის ელეგანტურობა, სტატისტიკის მნიშვნელობა და დაუკავშირდით უსასრულობას. ავტორი მარტივად და ელეგანტურად ხსნის ფუნდამენტურ მათემატიკურ იდეებს, აძლევს ყველას გასაგებ მაგალითებს.
Ყველა უფლება დაცულია.
ამ წიგნის არც ერთი ნაწილის რეპროდუცირება დაუშვებელია საავტორო უფლებების მფლობელების წერილობითი ნებართვის გარეშე.
გამომცემლობის იურიდიულ მხარდაჭერას უწევს იურიდიული ფირმა „ვეგას-ლექსი“
© Steven Strogatz, 2012 ყველა უფლება დაცულია
© თარგმანი რუსულად, გამოცემა რუსულ ენაზე, დიზაინი. შპს "მანი, ივანოვი და ფერბერი", 2014 წ
წინასიტყვაობა
მე მყავს მეგობარი, რომელიც, მიუხედავად მისი ვაჭრობისა (ის ხელოვანია), გატაცებულია მეცნიერებით. როცა ერთად ვიკრიბებით, ის ენთუზიაზმით საუბრობს ფსიქოლოგიის ან კვანტური მექანიკის უახლეს მოვლენებზე. მაგრამ როგორც კი მათემატიკაზე ვსაუბრობთ, ის გრძნობს კანკალს მუხლებში, რაც მას დიდად აღელვებს. ის წუწუნებს, რომ ეს უცნაური მათემატიკური სიმბოლოები არა მხოლოდ ეწინააღმდეგება მას, არამედ ზოგჯერ არც კი იცის მათი წარმოთქმა.
სინამდვილეში, მათემატიკისადმი მისი ზიზღის მიზეზი გაცილებით ღრმაა. ის ვერასოდეს გაიგებს, რას აკეთებენ მათემატიკოსები ზოგადად და რას გულისხმობენ, როცა ამბობენ, რომ ეს მტკიცებულება ელეგანტურია. ხანდახან ვხუმრობთ, რომ უბრალოდ უნდა დავჯდე და დავიწყო მისი სწავლება საწყისებიდან, სიტყვასიტყვით 1 + 1 = 2-დან და შევიდე მათემატიკაში, რამდენადაც მას შეუძლია.
და მიუხედავად იმისა, რომ ეს იდეა გიჟურად გამოიყურება, ეს არის ის, რის განხორციელებასაც ვეცდები ამ წიგნში. მე გაგიძღვებით მეცნიერების ყველა ძირითად დარგში, არითმეტიკიდან დაწყებული მათემატიკამდე, რათა მათ, ვისაც მეორე შანსი სურდა, საბოლოოდ გამოიყენოს იგი. და ამჯერად თქვენ არ გჭირდებათ თქვენს მაგიდასთან დაჯდომა. ეს წიგნი მათემატიკის ექსპერტად არ გახდით. მაგრამ ეს ხელს შეუწყობს იმის გაგებას, თუ რას სწავლობს ეს დისციპლინა და რატომ არის ეს ასე საინტერესო მათთვის, ვისაც ეს ესმის.
ჩვენ გავიგებთ, თუ როგორ შეუძლია მაიკლ ჯორდანის სლემ დანკს დაგეხმაროთ გაანგარიშების საფუძვლების ახსნაში. მე გაჩვენებთ მარტივ და გასაოცარ ხერხს ევკლიდეს გეომეტრიის ფუნდამენტური თეორემის - პითაგორას თეორემის გასაგებად. ჩვენ შევეცდებით ჩავწვდეთ ცხოვრების ზოგიერთ საიდუმლოებას, დიდსა თუ პატარას: მოკლა ჯეი სიმპსონმა ცოლი; როგორ გადავიტანოთ ლეიბი ისე, რომ რაც შეიძლება დიდხანს გაგრძელდეს; რამდენი პარტნიორი უნდა შეიცვალოს ქორწილის დაწყებამდე - და ჩვენ დავინახავთ, რატომ არის ზოგიერთი უსასრულობა სხვებზე დიდი.
მათემატიკა ყველგანაა, უბრალოდ მისი ამოცნობა უნდა ისწავლო. თქვენ ხედავთ სინუსოიდს ზებრის უკანა მხარეს, შეგიძლიათ მოისმინოთ ევკლიდეს თეორემების გამოხმაურება დამოუკიდებლობის დეკლარაციაში; რა შემიძლია ვთქვა, პირველ მსოფლიო ომს წინ გასულ მშრალ ანგარიშებშიც კი არის უარყოფითი რიცხვები. თქვენ ასევე შეგიძლიათ ნახოთ, როგორ მოქმედებს მათემატიკის ახალი სფეროები ჩვენს ცხოვრებაზე დღეს, მაგალითად, როდესაც ჩვენ ვეძებთ რესტორნებს კომპიუტერის გამოყენებით ან ვცდილობთ მაინც გავიგოთ, ან კიდევ უკეთესი, გადავრჩეთ საფონდო ბირჟის შემზარავ რყევებს.
15 სტატიისგან შემდგარი სერია ზოგადი სახელწოდებით "მათემატიკის საფუძვლები" გამოჩნდა ინტერნეტში 2010 წლის იანვრის ბოლოს. მათი გამოქვეყნების საპასუხოდ, წერილები და კომენტარები შემოვიდა ყველა ასაკის მკითხველისგან, რომელთა შორის ბევრი სტუდენტი და მასწავლებელი იყო. ასევე იყვნენ უბრალოდ ცნობისმოყვარე ადამიანები, რომლებმაც ამა თუ იმ მიზეზით „გზა დაკარგეს“ მათემატიკური მეცნიერების გაგებაში; ახლა ისინი გრძნობენ, რომ რაღაც ღირებული გამოტოვეს და სურთ კიდევ ერთხელ სცადონ. განსაკუთრებით გამიხარდა მშობლების მადლიერება, რომ ჩემი დახმარებით მათ შეძლეს აეხსნათ მათემატიკა შვილებისთვის და თავადაც დაიწყეს ამის უკეთ გაგება. ჩანდა, რომ ჩემს კოლეგებს და ამხანაგებსაც კი, ამ მეცნიერების მგზნებარე თაყვანისმცემლებს, სიამოვნებით კითხულობდნენ სტატიებს, გარდა იმ მომენტებისა, როდესაც ისინი ერთმანეთს ეჯიბრებოდნენ, რომ ყველანაირი რეკომენდაცია შესთავაზონ ჩემი შთამომავლობის გასაუმჯობესებლად.
მიუხედავად პოპულარული რწმენისა, საზოგადოებაში მათემატიკის მიმართ აშკარა ინტერესია, თუმცა ამ ფენომენს მცირე ყურადღება ექცევა. ჩვენ მხოლოდ მათემატიკის შიშის შესახებ გვესმის და, მიუხედავად ამისა, ბევრი სიამოვნებით შეეცდება უკეთ გაიგოს. და როგორც კი ეს მოხდება, რთული იქნება მათი მოწყვეტა.
ეს წიგნი გაგაცნობთ მათემატიკის სამყაროს ყველაზე რთულ და მოწინავე იდეებს. თავები არის მოკლე, ადვილად წასაკითხი და ნამდვილად არ არის ერთმანეთზე დამოკიდებული. მათ შორის არის ის, ვინც შედის New York Times-ის სტატიების პირველ სერიაში. ასე რომ, როგორც კი მცირე მათემატიკურ შიმშილს იგრძნობთ, ნუ დააყოვნებთ მომდევნო თავის გადადებას. თუ გსურთ უფრო დეტალურად გაიგოთ თქვენთვის საინტერესო საკითხი, მაშინ წიგნის ბოლოს არის ჩანაწერები დამატებითი ინფორმაციით და რეკომენდაციებით, კიდევ რა შეგიძლიათ წაიკითხოთ ამის შესახებ.
მკითხველთა მოხერხებულობისთვის, რომლებიც უპირატესობას ანიჭებენ ნაბიჯ-ნაბიჯ მიდგომას, მე დავყავი მასალა ექვს ნაწილად, თემების ტრადიციული თანმიმდევრობის შესაბამისად.
ნაწილი I "რიცხვები" იწყება ჩვენი მოგზაურობა არითმეტიკით საბავშვო ბაღში და დაწყებით სკოლაში. ის გვიჩვენებს, თუ რამდენად სასარგებლოა რიცხვები და რამდენად ეფექტურია ისინი ჩვენს ირგვლივ სამყაროს აღწერისას.
II ნაწილი „რატეოები“ ყურადღებას აქცევს თავად რიცხვებიდან მათ შორის არსებულ ურთიერთობებზე. ეს იდეები ალგებრის გულშია და არის პირველი ინსტრუმენტები იმის აღსაწერად, თუ როგორ მოქმედებს ერთი მეორეზე, აჩვენებს მიზეზობრივ კავშირს სხვადასხვა ნივთზე: მიწოდება და მოთხოვნა, სტიმული და რეაქცია - მოკლედ, ყველა სახის ურთიერთობა, რომელიც ქმნის სამყაროს. ასეთი მრავალფეროვანი და მდიდარი..
III ნაწილი „ფიგურები“ არ არის რიცხვები და სიმბოლოები, არამედ ფიგურები და სივრცე - გეომეტრიისა და ტრიგონომეტრიის სფერო. ეს თემები ფორმებით ყველა დაკვირვებადი ობიექტის აღწერასთან ერთად, ლოგიკური მსჯელობისა და მტკიცებულებების დახმარებით, მათემატიკას სიზუსტის ახალ საფეხურზე აყენებს.
IV ნაწილში "ცვლილების დრო" ჩვენ გადავხედავთ კალკულუსს - მათემატიკის ყველაზე შთამბეჭდავ და მრავალმხრივ სფეროს. კალკულუსი შესაძლებელს ხდის პლანეტების ტრაექტორიის, მოქცევის ციკლების პროგნოზირებას და საშუალებას გვაძლევს გავიგოთ და აღვწეროთ ყველა პერიოდულად ცვალებადი პროცესი და ფენომენი სამყაროში და ჩვენში. ამ ნაწილში მნიშვნელოვანი ადგილი ეთმობა უსასრულობის შესწავლას, რომლის დაწყნარება იყო გარღვევა, რამაც გამოთვლების მუშაობის საშუალება მისცა. გამოთვლები დაეხმარა მრავალი პრობლემის გადაჭრას, რომლებიც წარმოიშვა ძველ სამყაროში და ამან საბოლოოდ გამოიწვია რევოლუცია მეცნიერებაში და თანამედროვე სამყაროში.
ნაწილი V "მონაცემთა მრავალი სახე" ეხება ალბათობას, სტატისტიკას, ქსელებს და მონაცემთა დამუშავებას - ეს ჯერ კიდევ შედარებით ახალგაზრდა სფეროებია, რომლებიც წარმოიქმნება ჩვენი ცხოვრების ყოველთვის არა მოწესრიგებული ასპექტებით, როგორიცაა შესაძლებლობა და იღბალი, გაურკვევლობა, რისკი, არასტაბილურობა, შემთხვევითობა. , ურთიერთდამოკიდებულება. სწორი მათემატიკის ხელსაწყოებისა და მონაცემთა სწორი ტიპების გამოყენებით, ჩვენ ვისწავლით შაბლონების ამოცნობას შემთხვევითობის ნაკადში.
ჩვენი მოგზაურობის დასასრულს, მეექვსე ნაწილში „შესაძლებლის საზღვრები“ მივუდგებით მათემატიკური ცოდნის საზღვრებს, საზღვრებს შორის უკვე ცნობილსა და ჯერ კიდევ აუცილებელს და უცნობის. ჩვენ კვლავ განვიხილავთ თემებს უკვე ნაცნობი თანმიმდევრობით: რიცხვები, თანაფარდობები, ფორმები, ცვლილებები და უსასრულობა - მაგრამ ამავე დროს განვიხილავთ თითოეულ მათგანს უფრო ღრმად, მის თანამედროვე ინკარნაციაში.
ვიმედოვნებ, რომ ამ წიგნში მოცემული ყველა იდეა საინტერესო იქნება და გაიძულებთ, არაერთხელ თქვათ: „კარგი, კარგი!“. მაგრამ ყოველთვის საიდანღაც უნდა დაიწყოთ, ასე რომ, დავიწყოთ მარტივი, მაგრამ მომხიბლავი მოქმედებით, როგორიცაა დათვლა.
1. ნომრის საფუძვლები: თევზის დამატება
რიცხვების კონცეფციის საუკეთესო დემონსტრირება, რაც კი ოდესმე მინახავს (ყველაზე მკაფიო და სახალისო ახსნა იმის შესახებ, თუ რა არის რიცხვები და რატომ გვჭირდება ისინი) ვნახე პოპულარული საბავშვო შოუს ერთ ეპიზოდში, სახელწოდებით 123: დათვლა ერთად » (123 დაუპირისპირდი ჩემთან ერთად). X...
