გაკვეთილის შინაარსი

წრფივი განტოლებები ორი ცვლადით

მოსწავლეს აქვს 200 მანეთი სკოლაში სადილისთვის. ტორტი 25 მანეთი ღირს, ფინჯანი ყავა კი 10 მანეთი. რამდენი ნამცხვარი და ფინჯანი ყავა შეგიძლიათ შეიძინოთ 200 მანეთად?

აღნიშნეთ ნამცხვრების რაოდენობა xდა ყავის ფინჯნების რაოდენობა წ. შემდეგ ნამცხვრების ღირებულება აღინიშნა 25-ით xდა ფინჯანი ყავის ღირებულება 10-ში წ .

25x-ფასი xნამცხვრები
10y-ფასი წფინჯანი ყავა

მთლიანი თანხა უნდა იყოს 200 რუბლი. შემდეგ ვიღებთ განტოლებას ორი ცვლადით xდა წ

25x+ 10წ= 200

რამდენი ფესვი აქვს ამ განტოლებას?

ეს ყველაფერი დამოკიდებულია მოსწავლის მადაზე. თუ ის იყიდის 6 ნამცხვარს და 5 ფინჯან ყავას, მაშინ განტოლების ფესვები იქნება რიცხვები 6 და 5.

ნათქვამია, რომ 6 და 5 მნიშვნელობების წყვილი არის 25 განტოლების ფესვები x+ 10წ= 200 . იწერება როგორც (6; 5), პირველი რიცხვი არის ცვლადის მნიშვნელობა x, და მეორე - ცვლადის მნიშვნელობა წ .

6 და 5 არ არის ერთადერთი ფესვები, რომლებიც აბრუნებენ განტოლებას 25 x+ 10წ= 200 იდენტობისთვის. სურვილის შემთხვევაში, იგივე 200 რუბლში სტუდენტს შეუძლია იყიდოს 4 ნამცხვარი და 10 ფინჯანი ყავა:

ამ შემთხვევაში, 25-ე განტოლების ფესვები x+ 10წ= 200 არის მნიშვნელობების წყვილი (4; 10).

უფრო მეტიც, სტუდენტმა შეიძლება საერთოდ არ იყიდოს ყავა, მაგრამ იყიდოს ნამცხვრები 200 რუბლამდე. შემდეგ 25-ე განტოლების ფესვები x+ 10წ= 200 იქნება მნიშვნელობები 8 და 0

ან პირიქით, ნუ იყიდით ნამცხვრებს, არამედ იყიდეთ ყავა ყველა 200 მანეთად. შემდეგ 25-ე განტოლების ფესვები x+ 10წ= 200 იქნება მნიშვნელობები 0 და 20

შევეცადოთ ჩამოვთვალოთ 25-ე განტოლების ყველა შესაძლო ფესვი x+ 10წ= 200 . შევთანხმდეთ, რომ ღირებულებები xდა წმიეკუთვნება მთელი რიცხვების სიმრავლეს. და მოდით ეს მნიშვნელობები იყოს ნულზე მეტი ან ტოლი:

x∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

ასე რომ, ეს მოსახერხებელი იქნება თავად სტუდენტისთვის. ნამცხვრების ყიდვა უფრო მოსახერხებელია, ვიდრე, მაგალითად, რამდენიმე მთლიანი ნამცხვარი და ნახევარი ნამცხვარი. ყავა ასევე უფრო მოსახერხებელია მთელ ფინჯანებში, ვიდრე, მაგალითად, რამდენიმე მთლიანი ფინჯანი და ნახევარი ჭიქა.

გაითვალისწინეთ, რომ უცნაურად xშეუძლებელია თანასწორობის მიღწევა ნებისმიერ შემთხვევაში წ. შემდეგ ღირებულებები xიქნება შემდეგი რიცხვები 0, 2, 4, 6, 8. და იცის xადვილად შეიძლება განისაზღვროს წ

ამრიგად, მივიღეთ მნიშვნელობების შემდეგი წყვილი (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). ეს წყვილი არის 25-ე განტოლების ამონახსნები ან ფესვები x+ 10წ= 200. ისინი ამ განტოლებას იდენტურად აქცევენ.

ტიპის განტოლება ცული + by = cდაურეკა წრფივი განტოლება ორი ცვლადით. ამ განტოლების ამონახსნი ან ფესვები არის მნიშვნელობების წყვილი ( x; წ), რაც მას იდენტურად აქცევს.

გაითვალისწინეთ ისიც, რომ თუ წრფივი განტოლება ორი ცვლადით ჩაიწერება როგორც ax + b y = c,მერე ამბობენ, რომ წერია კანონიკური(ნორმალური) ფორმა.

ზოგიერთი წრფივი განტოლება ორ ცვლადში შეიძლება შემცირდეს კანონიკურ ფორმამდე.

მაგალითად, განტოლება 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − წ) შეიძლება გონების მოყვანა ცული + by = c. გავხსნათ ფრჩხილები ამ განტოლების ორივე ნაწილში, მივიღებთ 32x + 6წ − 8 = 24 + 16x − 2წ . უცნობის შემცველი ტერმინები დაჯგუფებულია განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო უცნობი ტერმინები დაჯგუფებულია მარჯვნივ. შემდეგ მივიღებთ 32x - 16x+ 6წ+ 2წ = 24 + 8 . ორივე ნაწილში მოვიყვანთ მსგავს ტერმინებს, ვიღებთ განტოლებას 16 x+ 8წ= 32. ეს განტოლება ჩამოყვანილია ფორმამდე ცული + by = cდა კანონიკურია.

ადრე განხილული განტოლება 25 x+ 10წ= 200 ასევე არის ორცვლადიანი წრფივი განტოლება კანონიკური ფორმით. ამ განტოლებაში, პარამეტრები ა , ბდა გუდრის 25, 10 და 200 მნიშვნელობებს, შესაბამისად.

რეალურად განტოლება ცული + by = cაქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. განტოლების ამოხსნა 25x+ 10წ= 200, ჩვენ ვეძებდით მის ფესვებს მხოლოდ მთელი რიცხვების სიმრავლეში. შედეგად, ჩვენ მივიღეთ რამდენიმე წყვილი მნიშვნელობა, რამაც ეს განტოლება იდენტურად აქცია. მაგრამ რაციონალური რიცხვების სიმრავლეზე განტოლება 25 x+ 10წ= 200-ს ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მნიშვნელობების ახალი წყვილის მისაღებად, თქვენ უნდა აიღოთ თვითნებური მნიშვნელობა x, შემდეგ გამოხატეთ წ. მაგალითად, ავიღოთ ცვლადი xმნიშვნელობა 7. შემდეგ ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით 25×7 + 10წ= 200 რომელშიც უნდა გამოხატოს წ

დაე იყოს x= 15 . შემდეგ განტოლება 25x+ 10წ= 200 ხდება 25 × 15 + 10წ= 200. აქედან ვხვდებით ამას წ = −17,5

დაე იყოს x= −3. შემდეგ განტოლება 25x+ 10წ= 200 ხდება 25 × (−3) + 10წ= 200. აქედან ვხვდებით ამას წ = −27,5

ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი ცვლადით

განტოლებისთვის ცული + by = cთქვენ შეგიძლიათ აიღოთ რამდენჯერმე თვითნებური მნიშვნელობები xდა იპოვნეთ მნიშვნელობები წ. ცალკე აღებული, ასეთ განტოლებას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

მაგრამ ასევე ხდება, რომ ცვლადები xდა წდაკავშირებულია არა ერთი, არამედ ორი განტოლებით. ამ შემთხვევაში ისინი ქმნიან ე.წ წრფივი განტოლებათა სისტემა ორი ცვლადით. განტოლებების ასეთ სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ერთი წყვილი მნიშვნელობა (ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ: "ერთი ამოხსნა").

შეიძლება ასევე მოხდეს, რომ სისტემას საერთოდ არ ჰქონდეს გადაწყვეტილებები. წრფივი განტოლებათა სისტემას შეიძლება ჰქონდეს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა იშვიათ და გამონაკლის შემთხვევებში.

ორი წრფივი განტოლება ქმნის სისტემას, როდესაც მნიშვნელობები xდა წშედის თითოეულ ამ განტოლებაში.

დავუბრუნდეთ პირველ განტოლებას 25 x+ 10წ= 200 . ამ განტოლების მნიშვნელობების ერთ-ერთი წყვილი იყო წყვილი (6; 5). ეს ის შემთხვევაა, როცა 200 მანეთით შეიძლებოდა 6 ნამცხვრის და 5 ფინჯანი ყავის ყიდვა.

ჩვენ ვადგენთ ამოცანას ისე, რომ წყვილი (6; 5) გახდეს 25 განტოლების ერთადერთი ამონახსნი. x+ 10წ= 200 . ამისათვის ჩვენ ვადგენთ სხვა განტოლებას, რომელიც დააკავშირებს იგივეს xნამცხვრები და წფინჯანი ყავა.

დავალების ტექსტი დავწეროთ შემდეგნაირად:

„სკოლელმა მოსწავლემ იყიდა რამდენიმე ნამცხვარი და რამდენიმე ფინჯანი ყავა 200 მანეთად. ტორტი 25 მანეთი ღირს, ფინჯანი ყავა კი 10 მანეთი. რამდენი ნამცხვარი და ფინჯანი ყავა იყიდა მოსწავლემ, თუ ცნობილია, რომ ნამცხვრების რაოდენობა ყავის ფინჯანზე ერთით მეტია?

ჩვენ უკვე გვაქვს პირველი განტოლება. ეს არის განტოლება 25 x+ 10წ= 200 . ახლა დავწეროთ განტოლება პირობისთვის "ნამცხვრების რაოდენობა ყავის ფინჯანზე ერთი ერთეულით მეტია" .

ნამცხვრების რაოდენობა არის x, და ყავის ფინჯნების რაოდენობა არის წ. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ეს ფრაზა განტოლების გამოყენებით x − y= 1. ეს განტოლება ნიშნავს, რომ სხვაობა ნამცხვრებსა და ყავას შორის არის 1.

x=y+ 1. ეს განტოლება ნიშნავს, რომ ნამცხვრების რაოდენობა ყავის ფინჯანზე ერთით მეტია. ამიტომ, თანასწორობის მისაღებად, ერთი ემატება ყავის ფინჯნების რაოდენობას. ეს ადვილად გასაგებია, თუ გამოვიყენებთ წონის მოდელს, რომელიც განვიხილეთ უმარტივესი პრობლემების შესწავლისას:

მივიღე ორი განტოლება: 25 x+ 10წ= 200 და x=y+ 1. ვინაიდან მნიშვნელობები xდა წ, კერძოდ 6 და 5 შედის თითოეულ ამ განტოლებაში, შემდეგ ისინი ერთად ქმნიან სისტემას. მოდით ჩამოვწეროთ ეს სისტემა. თუ განტოლებები ქმნიან სისტემას, მაშინ ისინი ჩამოყალიბებულია სისტემის ნიშნით. სისტემის ნიშანი არის ხვეული სამაგრი:

მოვაგვაროთ ეს სისტემა. ეს საშუალებას მოგვცემს დავინახოთ, თუ როგორ მივაღწევთ მნიშვნელობებს 6 და 5. ასეთი სისტემების გადაჭრის მრავალი მეთოდი არსებობს. განვიხილოთ მათგან ყველაზე პოპულარული.

ჩანაცვლების მეთოდი

ამ მეთოდის სახელი თავისთავად საუბრობს. მისი არსი არის ერთი განტოლების მეორეში ჩანაცვლება, მანამდე გამოხატული ერთ-ერთი ცვლადი.

ჩვენს სისტემაში არაფრის გამოხატვა არ არის საჭირო. მეორე განტოლებაში x = წ+ 1 ცვლადი xუკვე გამოხატული. ეს ცვლადი გამოხატვის ტოლია წ+ 1. შემდეგ თქვენ შეგიძლიათ ჩაანაცვლოთ ეს გამოხატულება პირველ განტოლებაში ცვლადის ნაცვლად x

გამოთქმის ჩანაცვლების შემდეგ წ+ 1 პირველ განტოლებაში ნაცვლად x, ვიღებთ განტოლებას 25(წ+ 1) + 10წ= 200 . ეს არის წრფივი განტოლება ერთი ცვლადით. ამ განტოლების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია:

ჩვენ ვიპოვეთ ცვლადის მნიშვნელობა წ. ახლა ჩვენ ვანაცვლებთ ამ მნიშვნელობას ერთ-ერთ განტოლებაში და ვიპოვით მნიშვნელობას x. ამისთვის მოსახერხებელია მეორე განტოლების გამოყენება x = წ+ 1. მოდით ჩავდოთ მასში მნიშვნელობა წ

ასე რომ, წყვილი (6; 5) არის განტოლებათა სისტემის ამონახსნი, როგორც ჩვენ გვინდოდა. ჩვენ ვამოწმებთ და დავრწმუნდებით, რომ წყვილი (6; 5) აკმაყოფილებს სისტემას:

მაგალითი 2

ჩაანაცვლეთ პირველი განტოლება x= 2 + წმეორე განტოლებაში 3 x - 2წ= 9. პირველ განტოლებაში ცვლადი xუდრის გამოსახულებას 2 + წ. ჩვენ ამ გამოთქმას ვცვლით მეორე განტოლებაში ნაცვლად x

ახლა ვიპოვოთ ღირებულება x. ამისათვის შეცვალეთ მნიშვნელობა წპირველ განტოლებაში x= 2 + წ

ასე რომ, სისტემის გამოსავალი არის წყვილის მნიშვნელობა (5; 3)

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით:

აქ, წინა მაგალითებისგან განსხვავებით, ერთ-ერთი ცვლადი აშკარად არ არის გამოხატული.

ერთი განტოლების მეორეში ჩანაცვლებისთვის, ჯერ გჭირდებათ.

სასურველია გამოვხატოთ ცვლადი, რომელსაც აქვს ერთი კოეფიციენტი. კოეფიციენტის ერთეულს აქვს ცვლადი x, რომელიც შეიცავს პირველ განტოლებას x+ 2წ= 11 . გამოვხატოთ ეს ცვლადი.

ცვლადი გამოხატვის შემდეგ xჩვენი სისტემა ასე გამოიყურება:

ახლა ჩვენ ვცვლით პირველ განტოლებას მეორეში და ვიპოვით მნიშვნელობას წ

შემცვლელი წ x

ასე რომ, სისტემის გამოსავალი არის მნიშვნელობების წყვილი (3; 4)

რა თქმა უნდა, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოხატოთ ცვლადი წ. ფესვები არ შეიცვლება. მაგრამ თუ გამოხატავ y,შედეგი არ არის ძალიან მარტივი განტოლება, რომლის ამოხსნასაც მეტი დრო დასჭირდება. ეს ასე გამოიყურება:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ამ მაგალითში უნდა გამოვხატოთ xბევრად უფრო მოსახერხებელია ვიდრე გამოხატვა წ .

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით:

გამოხატეთ პირველ განტოლებაში x. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

წ

შემცვლელი წპირველ განტოლებაში და იპოვეთ x. შეგიძლიათ გამოიყენოთ ორიგინალური განტოლება 7 x+ 9წ= 8, ან გამოიყენეთ განტოლება, რომელშიც ცვლადი არის გამოხატული x. ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განტოლებას, რადგან მოსახერხებელია:

ასე რომ, სისტემის ამონახსნი არის მნიშვნელობების წყვილი (5; −3)

დამატების მეთოდი

დამატების მეთოდი არის სისტემაში შემავალი განტოლებების ტერმინით დამატება. ეს დამატება იწვევს ახალ ერთცვლად განტოლებას. და ამ განტოლების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია.

მოდით ამოხსნათ განტოლებების შემდეგი სისტემა:

დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა მხარე მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს. და პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე მეორე განტოლების მარჯვენა მხარეს. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ თანასწორობას:

აქ არის მსგავსი ტერმინები:

შედეგად მივიღეთ უმარტივესი განტოლება 3 x= 27 რომლის ფესვი არის 9. მნიშვნელობის ცოდნა xშეგიძლიათ იპოვოთ ღირებულება წ. შეცვალეთ მნიშვნელობა xმეორე განტოლებაში x − y= 3. ვიღებთ 9 − წ= 3. აქედან წ= 6 .

ასე რომ, სისტემის გამოსავალი არის მნიშვნელობების წყვილი (9; 6)

მაგალითი 2

დაამატეთ პირველი განტოლების მარცხენა მხარე მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს. და პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე მეორე განტოლების მარჯვენა მხარეს. შედეგად თანასწორობაში, ჩვენ წარმოგიდგენთ მსგავს ტერმინებს:

შედეგად მივიღეთ უმარტივესი განტოლება 5 x= 20, რომლის ფესვი არის 4. მნიშვნელობის ცოდნა xშეგიძლიათ იპოვოთ ღირებულება წ. შეცვალეთ მნიშვნელობა xპირველ განტოლებაში 2 x+y= 11 . ავიღოთ 8+ წ= 11 . აქედან წ= 3 .

ასე რომ, სისტემის გამოსავალი არის მნიშვნელობების წყვილი (4;3)

დამატების პროცესი დეტალურად არ არის აღწერილი. ეს უნდა გაკეთდეს გონებაში. დამატებისას ორივე განტოლება უნდა დაიყვანოს კანონიკურ ფორმამდე. ანუ გონებისკენ ac+by=c .

განხილული მაგალითებიდან ჩანს, რომ განტოლებების დამატების მთავარი მიზანი ერთ-ერთი ცვლადის მოშორებაა. მაგრამ ყოველთვის არ არის შესაძლებელი განტოლებათა სისტემის დაუყოვნებლად ამოხსნა დამატების მეთოდით. ყველაზე ხშირად, სისტემა წინასწარ არის მიყვანილი იმ ფორმამდე, რომლითაც შესაძლებელია ამ სისტემაში შემავალი განტოლებების დამატება.

მაგალითად, სისტემა შეიძლება გადაწყდეს უშუალოდ დამატების მეთოდით. ორივე განტოლების დამატებისას, ტერმინები წდა -yგაქრება, რადგან მათი ჯამი არის ნული. შედეგად, უმარტივესი განტოლება იქმნება 11 x= 22 , რომლის ფესვი არის 2. მაშინ შესაძლებელი იქნება დადგენა წუდრის 5.

და განტოლებათა სისტემა დამატების მეთოდი დაუყოვნებლივ ვერ გადაიჭრება, რადგან ეს არ გამოიწვევს ერთ-ერთი ცვლადის გაქრობას. მიმატება გამოიწვევს განტოლებას 8 x+ წ= 28 , რომელსაც აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

თუ განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლებულია ან იყოფა იმავე რიცხვზე, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მიიღება მოცემულის ექვივალენტური განტოლება. ეს წესი ასევე მოქმედებს წრფივი განტოლებათა სისტემაზე ორი ცვლადით. ერთ-ერთი განტოლება (ან ორივე განტოლება) შეიძლება გამრავლდეს რომელიმე რიცხვზე. შედეგი არის ექვივალენტური სისტემა, რომლის ფესვები დაემთხვევა წინა.

დავუბრუნდეთ პირველ სისტემას, რომელშიც აღწერილი იყო, რამდენი ნამცხვარი და ყავის ფინჯანი იყიდა სტუდენტმა. ამ სისტემის გამოსავალი იყო მნიშვნელობების წყვილი (6; 5).

ჩვენ ვამრავლებთ ამ სისტემაში შემავალ ორივე განტოლებას ზოგიერთ რიცხვზე. ვთქვათ, გავამრავლოთ პირველი განტოლება 2-ზე, ხოლო მეორე 3-ზე

შედეგი არის სისტემა
ამ სისტემის გამოსავალი მაინც არის მნიშვნელობების წყვილი (6; 5)

ეს ნიშნავს, რომ სისტემაში შემავალი განტოლებები შეიძლება შემცირდეს დამატების მეთოდის გამოსაყენებლად შესაფერის ფორმამდე.

დაუბრუნდით სისტემას , რომელიც დამატების მეთოდით ვერ მოვაგვარეთ.

გავამრავლოთ პირველი განტოლება 6-ზე, ხოლო მეორე -2-ზე

შემდეგ ვიღებთ შემდეგ სისტემას:

ჩვენ ვამატებთ ამ სისტემაში შემავალ განტოლებებს. კომპონენტების დამატება 12 xდა -12 xმიიღება 0, დამატება 18 წდა 4 წმისცემს 22-ს წდა 108-ისა და −20-ის დამატება მივიღებთ 88-ს. მაშინ მიიღებთ განტოლებას 22 წ= 88, შესაბამისად წ = 4 .

თუ თავიდან ძნელია თქვენს გონებაში განტოლებების დამატება, მაშინ შეგიძლიათ დაწეროთ როგორ ემატება პირველი განტოლების მარცხენა მხარე მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს, ხოლო პირველი განტოლების მარჯვენა მხარე მარჯვენა მხარეს. მეორე განტოლება:

იმის ცოდნა, რომ ცვლადის მნიშვნელობა წარის 4, შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობა x. შემცვლელი წერთ-ერთ განტოლებაში, მაგალითად, პირველ განტოლებაში 2 x+ 3წ= 18 . შემდეგ ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით 2 x+ 12 = 18 . 12-ს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით ვიღებთ 2-ს x= 6, შესაბამისად x = 3 .

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა დამატების მეთოდით:

გავამრავლოთ მეორე განტოლება −1-ზე. შემდეგ სისტემა მიიღებს შემდეგ ფორმას:

დავამატოთ ორივე განტოლება. კომპონენტების დამატება xდა -xმიიღება 0, დამატება 5 წდა 3 წმისცემს 8-ს წდა 7-ისა და 1-ის მიმატებით მივიღებთ 8. შედეგი არის განტოლება 8 წ= 8, რომლის ფესვი არის 1. იმის ცოდნა, რომ მნიშვნელობა წარის 1, შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობა x .

შემცვლელი წპირველ განტოლებაში მივიღებთ x+ 5 = 7, აქედან გამომდინარე x= 2

მაგალითი 5. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა დამატების მეთოდით:

სასურველია, რომ იგივე ცვლადების შემცველი ტერმინები განლაგებული იყოს ერთმანეთის ქვეშ. ამიტომ, მეორე განტოლებაში, ტერმინები 5 წდა -2 xადგილების შეცვლა. შედეგად, სისტემა მიიღებს ფორმას:

გაამრავლეთ მეორე განტოლება 3-ზე. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

ახლა დავამატოთ ორივე განტოლება. შეკრების შედეგად ვიღებთ განტოლებას 8 წ= 16, რომლის ფესვი არის 2.

შემცვლელი წპირველ განტოლებაში მივიღებთ 6-ს x− 14 = 40 . ტერმინს −14 გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, ნიშნის შეცვლით მივიღებთ 6-ს x= 54. აქედან x= 9.

მაგალითი 6. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა დამატების მეთოდით:

მოვიშოროთ წილადები. გავამრავლოთ პირველი განტოლება 36-ზე და მეორე 12-ზე

მიღებულ სისტემაში პირველი განტოლება შეიძლება გავამრავლოთ −5-ზე, ხოლო მეორე 8-ზე

დავამატოთ განტოლებები მიღებულ სისტემაში. შემდეგ მივიღებთ უმარტივეს განტოლებას −13 წ= −156 . აქედან წ= 12 . შემცვლელი წპირველ განტოლებაში და იპოვეთ x

მაგალითი 7. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა დამატების მეთოდით:

ორივე განტოლებას ნორმალურ ფორმაში მივყავართ. აქ მოსახერხებელია პროპორციის წესის გამოყენება ორივე განტოლებაში. თუ პირველ განტოლებაში მარჯვენა მხარე წარმოდგენილია როგორც , ხოლო მეორე განტოლების მარჯვენა მხარე როგორც , მაშინ სისტემა მიიღებს ფორმას:

პროპორცია გვაქვს. ვამრავლებთ მის უკიდურეს და საშუალო ტერმინებს. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

პირველ განტოლებას ვამრავლებთ −3-ზე და ვხსნით ფრჩხილებს მეორეში:

ახლა დავამატოთ ორივე განტოლება. ამ განტოლებების დამატების შედეგად ვიღებთ ტოლობას, რომლის ორივე ნაწილში იქნება ნული:

გამოდის, რომ სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის ამონახსნები.

მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია უბრალოდ ავიღოთ თვითნებური მნიშვნელობები ციდან xდა წ. ჩვენ შეგვიძლია მივუთითოთ ერთი მნიშვნელობა, ხოლო მეორე განისაზღვროს ჩვენ მიერ მითითებული მნიშვნელობიდან გამომდინარე. მაგალითად, მოდით x= 2. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა სისტემაში:

ერთ-ერთი განტოლების ამოხსნის შედეგად, მნიშვნელობა for წ, რომელიც დააკმაყოფილებს ორივე განტოლებას:

შედეგად მიღებული მნიშვნელობების წყვილი (2; −2) დააკმაყოფილებს სისტემას:

მოდი ვიპოვოთ მნიშვნელობების კიდევ ერთი წყვილი. დაე იყოს x= 4. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა სისტემაში:

თვალით შეიძლება დადგინდეს, რომ წუდრის ნულს. შემდეგ ვიღებთ მნიშვნელობების წყვილს (4; 0), რომელიც აკმაყოფილებს ჩვენს სისტემას:

მაგალითი 8. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა დამატების მეთოდით:

გავამრავლოთ პირველი განტოლება 6-ზე და მეორე 12-ზე

გადავიწეროთ რაც დარჩა:

გავამრავლოთ პირველი განტოლება −1-ზე. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

ახლა დავამატოთ ორივე განტოლება. მიმატების შედეგად იქმნება განტოლება 6 ბ= 48, რომლის ფესვი არის 8. ჩანაცვლება ბპირველ განტოლებაში და იპოვეთ ა

წრფივი განტოლებათა სისტემა სამი ცვლადით

წრფივი განტოლება სამი ცვლადით მოიცავს სამ ცვლადს კოეფიციენტებით, ასევე კვეთს. კანონიკური ფორმით, ის შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:

ax + by + cz = d

ამ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ორი ცვლადის განსხვავებული მნიშვნელობების მიცემით შეიძლება მესამე მნიშვნელობის პოვნა. გამოსავალი ამ შემთხვევაში არის მნიშვნელობების სამმაგი ( x; y; ზ) რომელიც აქცევს განტოლებას იდენტურად.

თუ ცვლადები x, y, zერთმანეთთან დაკავშირებულია სამი განტოლებით, შემდეგ იქმნება სამი წრფივი განტოლების სისტემა სამი ცვლადით. ასეთი სისტემის გადასაჭრელად შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე მეთოდები, რომლებიც გამოიყენება წრფივ განტოლებებზე ორი ცვლადით: ჩანაცვლების მეთოდი და დამატების მეთოდი.

მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლებათა შემდეგი სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით:

გამოვხატავთ მესამე განტოლებაში x. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

ახლა მოდით გავაკეთოთ ჩანაცვლება. ცვლადი xგამოხატვის ტოლია 3 − 2წ − 2ზ . ჩაანაცვლეთ ეს გამონათქვამი პირველ და მეორე განტოლებაში:

გავხსნათ ფრჩხილები ორივე განტოლებაში და მივცეთ მსგავსი ტერმინები:

მივედით წრფივი განტოლებათა სისტემამდე ორი ცვლადით. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია დამატების მეთოდის გამოყენება. შედეგად, ცვლადი წგაქრება და ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ ცვლადის მნიშვნელობა ზ

ახლა ვიპოვოთ ღირებულება წ. ამისთვის მოსახერხებელია − განტოლების გამოყენება წ+ ზ= 4. შეცვალეთ მნიშვნელობა ზ

ახლა ვიპოვოთ ღირებულება x. ამისათვის მოსახერხებელია განტოლების გამოყენება x= 3 − 2წ − 2ზ . ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობები მასში წდა ზ

ამრიგად, მნიშვნელობების სამმაგი (3; −2; 2) არის ჩვენი სისტემის გამოსავალი. შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ეს მნიშვნელობები აკმაყოფილებს სისტემას:

მაგალითი 2. ამოხსენით სისტემა დამატების მეთოდით

პირველი განტოლება დავუმატოთ მეორეს გამრავლებული −2-ზე.

თუ მეორე განტოლება გამრავლებულია −2-ზე, მაშინ ის მიიღებს ფორმას −6x+ 6y- 4ზ = −4 . ახლა დაამატეთ იგი პირველ განტოლებას:

ჩვენ ვხედავთ, რომ ელემენტარული გარდაქმნების შედეგად განისაზღვრა ცვლადის მნიშვნელობა x. ერთის ტოლია.

დავუბრუნდეთ მთავარ სისტემას. დავუმატოთ მეორე განტოლება მესამეს გამრავლებული −1-ზე. თუ მესამე განტოლება გამრავლდება −1-ზე, მაშინ ის მიიღებს ფორმას −4x + 5წ − 2ზ = −1 . ახლა დაამატეთ იგი მეორე განტოლებას:

მივიღე განტოლება x - 2წ= −1. ჩაანაცვლეთ მნიშვნელობა მასში xრომელიც ადრე აღმოვაჩინეთ. შემდეგ ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ მნიშვნელობა წ

ჩვენ ახლა ვიცით ღირებულებები xდა წ. ეს საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ღირებულება ზ. ჩვენ ვიყენებთ სისტემაში შემავალ ერთ-ერთ განტოლებას:

ამრიგად, მნიშვნელობების სამმაგი (1; 1; 1) არის ჩვენი სისტემის გამოსავალი. შემოწმებით, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ეს მნიშვნელობები აკმაყოფილებს სისტემას:

წრფივი განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანები

განტოლებათა სისტემების შედგენის ამოცანა წყდება რამდენიმე ცვლადის შემოღებით. შემდეგი, განტოლებები შედგენილია პრობლემის პირობების საფუძველზე. შედგენილი განტოლებიდან ქმნიან სისტემას და ხსნიან მას. სისტემის გადაჭრის შემდეგ აუცილებელია შეამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა მისი გადაწყვეტა პრობლემის პირობებს.

დავალება 1. ვოლგას მანქანა ქალაქიდან კოლმეურნეობაში გაემგზავრა. იგი დაბრუნდა სხვა გზის გასწვრივ, რომელიც პირველზე 5 კმ-ით მოკლე იყო. ჯამში მანქანამ ორივე მიმართულებით 35 კმ გაიარა. რამდენი კილომეტრია თითოეული გზა?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს x-პირველი გზის სიგრძე, წ- მეორეს სიგრძე. თუ მანქანამ ორივე მიმართულებით გაიარა 35 კმ, მაშინ პირველი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც x+ წ= 35. ეს განტოლება აღწერს ორივე გზის სიგრძის ჯამს.

როგორც ამბობენ, მანქანა უკან ბრუნდებოდა გზის გასწვრივ, რომელიც პირველზე 5 კმ-ით მოკლე იყო. მაშინ მეორე განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც x− წ= 5. ეს განტოლება გვიჩვენებს, რომ სხვაობა გზების სიგრძეებს შორის არის 5 კმ.

ან მეორე განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც x= წ+ 5 . ჩვენ გამოვიყენებთ ამ განტოლებას.

ვინაიდან ცვლადები xდა წორივე განტოლებაში აღვნიშნავთ ერთსა და იმავე რიცხვს, შემდეგ შეგვიძლია შევქმნათ სისტემა მათგან:

მოდით გადავჭრათ ეს სისტემა ერთ-ერთი ადრე შესწავლილი მეთოდით. ამ შემთხვევაში მოსახერხებელია ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენება, რადგან მეორე განტოლებაში ცვლადი xუკვე გამოხატული.

ჩაანაცვლე მეორე განტოლება პირველში და იპოვე წ

შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობა წმეორე განტოლებაში x= წ+ 5 და იპოვე x

პირველი გზის სიგრძე აღინიშნა ცვლადით x. ახლა ჩვენ ვიპოვეთ მისი მნიშვნელობა. ცვლადი xარის 20. ანუ პირველი გზის სიგრძე 20 კმ.

ხოლო მეორე გზის სიგრძეზე მიუთითებდნენ წ. ამ ცვლადის მნიშვნელობა არის 15. ასე რომ, მეორე გზის სიგრძეა 15 კმ.

მოდით შევამოწმოთ. პირველ რიგში, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ სისტემა სწორად არის გადაჭრილი:

ახლა შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა გამოსავალი (20; 15) პრობლემის პირობებს.

ითქვა, რომ ჯამში მანქანამ ორივე მიმართულებით 35 კმ გაიარა. ჩვენ ვამატებთ ორივე გზის სიგრძეს და დავრწმუნდებით, რომ გამოსავალი (20; 15) აკმაყოფილებს ამ პირობას: 20 კმ + 15 კმ = 35 კმ

შემდეგი პირობა: მანქანა სხვა გზის გასწვრივ დაბრუნდა, რომელიც პირველზე 5 კმ-ით მოკლე იყო . ჩვენ ვხედავთ, რომ გამოსავალი (20; 15) ასევე აკმაყოფილებს ამ პირობას, რადგან 15 კმ 20 კმ-ზე მოკლეა 5 კმ-ით: 20 კმ − 15 კმ = 5 კმ

სისტემის შედგენისას მნიშვნელოვანია, რომ ცვლადები აღნიშნავენ ერთსა და იმავე რიცხვებს ამ სისტემაში შემავალ ყველა განტოლებაში.

ასე რომ, ჩვენი სისტემა შეიცავს ორ განტოლებას. ეს განტოლებები თავის მხრივ შეიცავს ცვლადებს xდა წ, რომლებიც ორივე განტოლებაში აღნიშნავენ ერთსა და იმავე რიცხვებს, კერძოდ გზების სიგრძეს ტოლია 20 კმ და 15 კმ.

დავალება 2. პლატფორმაზე მუხისა და ფიჭვის შპალები დატვირთეს, სულ 300 საძილე. ცნობილია, რომ ყველა მუხის მწველი იწონიდა 1 ტონით ნაკლებს, ვიდრე ყველა ფიჭვის შპალს. დაადგინეთ რამდენი მუხისა და ფიჭვის საძილე იყო ცალ-ცალკე, თუ თითოეული მუხის საძილე იწონიდა 46 კგ-ს, ხოლო თითო ფიჭვის საძილე 28 კგ.

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xმუხა და წფიჭვის შპალები დატვირთეს პლატფორმაზე. თუ სულ იყო 300 შპალერი, მაშინ პირველი განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც x+y = 300 .

ყველა მუხის საძილე იწონიდა 46-ს xკგ და ფიჭვი იწონიდა 28 წკგ. მას შემდეგ, რაც მუხის შპალები იწონიდნენ 1 ტონით ნაკლებს, ვიდრე ფიჭვის შპალები, მეორე განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც 28y- 46x= 1000 . ეს განტოლება გვიჩვენებს, რომ მუხისა და ფიჭვის შპალებს შორის მასის სხვაობა არის 1000 კგ.

ტონა გადაკეთდა კილოგრამებად, რადგან მუხისა და ფიჭვის შპალების მასა იზომება კილოგრამებში.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ ორ განტოლებას, რომლებიც ქმნიან სისტემას

მოდით გადავწყვიტოთ ეს სისტემა. გამოხატეთ პირველ განტოლებაში x. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

ჩაანაცვლე პირველი განტოლება მეორეში და იპოვე წ

შემცვლელი წგანტოლებაში x= 300 − წდა გაარკვიე რა x

ეს ნიშნავს, რომ პლატფორმაზე 100 მუხის და 200 ფიჭვის საძილე იყო დატვირთული.

შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა გამოსავალი (100; 200) პრობლემის პირობებს. პირველ რიგში, მოდით დავრწმუნდეთ, რომ სისტემა სწორად არის გადაჭრილი:

ამბობდნენ, რომ სულ 300 მძინარე იყო. ვამატებთ მუხისა და ფიჭვის შპალების რაოდენობას და დავრწმუნდებით, რომ ხსნარი (100; 200) აკმაყოფილებს ამ პირობას: 100 + 200 = 300.

შემდეგი პირობა: ყველა მუხნარი იწონიდა 1 ტონით ნაკლებს, ვიდრე ყველა ფიჭვი . ჩვენ ვხედავთ, რომ ხსნარი (100; 200) ასევე აკმაყოფილებს ამ მდგომარეობას, რადგან 46 × 100 კგ მუხის შპალები უფრო მსუბუქია, ვიდრე 28 × 200 კგ ფიჭვის შპალები: 5600 კგ − 4600 კგ = 1000 კგ.

დავალება 3. ჩვენ ავიღეთ სპილენძისა და ნიკელის შენადნობის სამი ცალი წონით 2: 1, 3: 1 და 5: 1 თანაფარდობით. აქედან, 12 კგ წონის ნაჭერი შერწყმული იყო სპილენძისა და ნიკელის შემცველობის თანაფარდობით 4: 1. იპოვეთ თითოეული ორიგინალური ნაწილის მასა, თუ პირველი მათგანის მასა ორჯერ აღემატება მეორეს.

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც განტოლებათა რაოდენობა უდრის ცვლადების რაოდენობას, ე.ი. m = n. მაშინ სისტემის მატრიცა არის კვადრატი და მის განმსაზღვრელს სისტემის დეტერმინანტი ეწოდება.

ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

ზოგადად განვიხილოთ განტოლებათა სისტემა AX = B არაერთგულარული კვადრატული მატრიცით A. ამ შემთხვევაში არსებობს შებრუნებული მატრიცა A -1. გავამრავლოთ ორივე მხარე A -1-ზე მარცხნივ. ჩვენ ვიღებთ A -1 AX \u003d A -1 B. აქედან EX \u003d A -1 B და

ბოლო ტოლობა არის მატრიცული ფორმულა განტოლებათა ასეთი სისტემების ამონახსნების საპოვნელად. ამ ფორმულის გამოყენებას ეწოდება ინვერსიული მატრიცის მეთოდი

მაგალითად, გამოვიყენოთ ეს მეთოდი შემდეგი სისტემის გადასაჭრელად:

;

სისტემის ამოხსნის ბოლოს, შემოწმება შეიძლება მოხდეს ნაპოვნი მნიშვნელობების სისტემის განტოლებებში ჩანაცვლებით. ამ შემთხვევაში ისინი ნამდვილ თანასწორებად უნდა იქცეს.

ამ მაგალითისთვის შევამოწმოთ:

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის მეთოდი კვადრატული მატრიცით კრამერის ფორმულების გამოყენებით

მოდით n=2:

თუ პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გამრავლდება 22-ზე, ხოლო მეორის ორივე ნაწილი (-a 12-ზე) და შემდეგ მიღებული განტოლებები დაემატება, მაშინ სისტემიდან გამოვრიცხავთ ცვლადს x 2. ანალოგიურად, თქვენ შეგიძლიათ აღმოფხვრათ ცვლადი x 1 (პირველი განტოლების ორივე მხარის (-a 21-ზე) და მეორის ორივე მხარის 11-ზე გამრავლებით). შედეგად, ჩვენ ვიღებთ სისტემას:

გამოხატულება ფრჩხილებში არის სისტემის განმსაზღვრელი

აღნიშნეთ

შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

შედეგად მიღებული სისტემიდან გამომდინარეობს, რომ თუ სისტემის განმსაზღვრელი არის 0, მაშინ სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განსაზღვრული. მისი უნიკალური გადაწყვეტა შეიძლება გამოითვალოს ფორმულებით:

თუ = 0, a 1 0 და/ან  2 0, მაშინ სისტემის განტოლებები მიიღებს 0*х 1 = 2 და/ან 0*х 1 = 2 ფორმას. ამ შემთხვევაში, სისტემა არათანმიმდევრული იქნება.

იმ შემთხვევაში, როდესაც = 1 = 2 = 0, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (მას ექნება ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა), რადგან მიიღებს ფორმას:

კრამერის თეორემა(ჩვენ გამოვტოვებთ მტკიცებულებას). თუ  განტოლებათა სისტემის მატრიცის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი, რომელიც განისაზღვრება ფორმულებით:

,

სადაც  j არის მატრიცის A მატრიციდან მიღებული მატრიცის განმსაზღვრელი j-ე სვეტის თავისუფალი წევრთა სვეტით ჩანაცვლებით.

ზემოთ მოყვანილი ფორმულები ე.წ კრამერის ფორმულები.

მაგალითად, მოდით გამოვიყენოთ ეს მეთოდი სისტემის ამოსახსნელად, რომელიც ადრე იყო ამოხსნილი ინვერსიული მატრიცის მეთოდით:

განხილული მეთოდების ნაკლოვანებები:

1) მნიშვნელოვანი სირთულე (დეტერმინანტების გამოთვლა და შებრუნებული მატრიცის პოვნა);

2) შეზღუდული ფარგლები (კვადრატული მატრიცის მქონე სისტემებისთვის).

რეალური ეკონომიკური სიტუაციები ხშირად მოდელირებულია სისტემებით, რომლებშიც განტოლებებისა და ცვლადების რაოდენობა საკმაოდ მნიშვნელოვანია და უფრო მეტი განტოლებაა ვიდრე ცვლადი, ამიტომ პრაქტიკაში უფრო გავრცელებულია შემდეგი მეთოდი.

გაუსის მეთოდი (ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის მეთოდი)

ეს მეთოდი გამოიყენება m წრფივი განტოლებების სისტემის გადასაჭრელად n ცვლადით ზოგადი გზით. მისი არსი მდგომარეობს გაფართოებულ მატრიცაზე ეკვივალენტური გარდაქმნების სისტემის გამოყენებაში, რომლის დახმარებით განტოლებათა სისტემა გარდაიქმნება იმ ფორმაში, როდესაც მისი ამონახსნები ადვილად მოსაძებნი ხდება (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

ეს არის ისეთი ხედი, რომელშიც სისტემის მატრიცის ზედა მარცხენა ნაწილი იქნება საფეხურიანი მატრიცა. ეს მიიღწევა იმავე ტექნიკის გამოყენებით, რომელიც გამოყენებული იყო საფეხურიანი მატრიცის მისაღებად რანგის დასადგენად. ამ შემთხვევაში, ელემენტარული გარდაქმნები გამოიყენება გაფართოებულ მატრიცაზე, რაც საშუალებას მისცემს მიიღონ განტოლებათა ექვივალენტური სისტემა. ამის შემდეგ, გაძლიერებული მატრიცა მიიღებს ფორმას:

ასეთი მატრიცის მიღებას ე.წ სწორ ხაზზეგაუსის მეთოდი.

ცვლადების მნიშვნელობების პოვნა განტოლებათა შესაბამისი სისტემიდან ეწოდება უკუღმაგაუსის მეთოდი. განვიხილოთ.

გაითვალისწინეთ, რომ ბოლო (m – r) განტოლებები მიიღებს ფორმას:

თუ ერთი რიცხვი მაინც
არ არის ნულის ტოლი, მაშინ შესაბამისი ტოლობა იქნება მცდარი და მთელი სისტემა არათანმიმდევრული.

ამიტომ, ნებისმიერი ერთობლივი სისტემისთვის
. ამ შემთხვევაში, ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობის ბოლო (m – r) განტოლებები იქნება იდენტობები 0 = 0 და მათი იგნორირება შესაძლებელია სისტემის ამოხსნისას (უბრალოდ გადააგდეთ შესაბამისი რიგები).

ამის შემდეგ სისტემა ასე გამოიყურება:

ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც r=n. შემდეგ სისტემა მიიღებს ფორმას:

სისტემის ბოლო განტოლებიდან შეიძლება ცალსახად იპოვოთ x r.

ვიცით x r, შეგიძლიათ ცალსახად გამოხატოთ x r -1 მისგან. შემდეგ წინა განტოლებიდან, ვიცით x r და x r -1 , შეგვიძლია გამოვხატოთ x r -2 და ა.შ. x 1-მდე.

ასე რომ, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანამშრომლობითი და გარკვეული.

ახლა განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც რ ძირითადი(ძირითადი) და დანარჩენი - არასაბაზისო(მცირე, უფასო). სისტემის ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

ამ განტოლებიდან შეგვიძლია გამოვხატოთ ძირითადი ცვლადი x r არაძირითადი ცვლადების მიხედვით:

ბოლო განტოლება ასე გამოიყურება:

მიღებული გამოსახულების ჩანაცვლებით x r-ის ნაცვლად, შესაძლებელი იქნება ძირითადი ცვლადის x r -1 გამოხატვა არასაბაზისო ცვლადის მეშვეობით. და ა.შ. ცვლადამდე x 1 . სისტემის ამოხსნის მისაღებად, შეგიძლიათ არასაბაზისო ცვლადები გაუტოლოთ თვითნებურ მნიშვნელობებს და შემდეგ გამოთვალოთ ძირითადი ცვლადები მიღებული ფორმულების გამოყენებით. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, სისტემა იქნება თანმიმდევრული და განუსაზღვრელი (აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა).

მაგალითად, გადავწყვიტოთ განტოლებათა სისტემა:

ძირითადი ცვლადების ნაკრები გამოიძახება საფუძველისისტემები. ასევე დაერქმევა მათთვის კოეფიციენტების სვეტების სიმრავლეს საფუძველი(ძირითადი სვეტები), ან ძირითადი მცირესისტემის მატრიცები. სისტემის ის ამონახსნი, რომელშიც ყველა არაძირითადი ცვლადი ნულის ტოლია, გამოიძახება ძირითადი გადაწყვეტა.

წინა მაგალითში ძირითადი ამოხსნა იქნება (4/5; -17/5; 0; 0) (ცვლადები x 3 და x 4 (c 1 და c 2) დაყენებულია ნულზე, ხოლო ძირითადი ცვლადები x 1 და x 2 გამოითვლება მათი მეშვეობით) . არაძირითადი ამოხსნის მაგალითის მისაცემად აუცილებელია x 3 და x 4 (c 1 და c 2) გაუტოლდეს თვითნებურ რიცხვებს, რომლებიც ერთდროულად არ არიან ნულის ტოლი და დანარჩენი ცვლადების გამოთვლა მათ. მაგალითად, c 1 = 1 და c 2 = 0, ვიღებთ არასაბაზისო ამოხსნას - (4/5; -12/5; 1; 0). ჩანაცვლებით, ადვილია იმის დადასტურება, რომ ორივე გამოსავალი სწორია.

ცხადია, არაძირითადი ამონახსნების განუსაზღვრელი სისტემაში შეიძლება იყოს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. რამდენი ძირითადი გამოსავალი შეიძლება იყოს? გარდაქმნილი მატრიცის თითოეული მწკრივი უნდა შეესაბამებოდეს ერთ ძირითად ცვლადს. საერთო ჯამში, პრობლემაში არის n ცვლადი და r ძირითადი რიგები. აქედან გამომდინარე, ძირითადი ცვლადების შესაძლო კომპლექტების რაოდენობა არ შეიძლება აღემატებოდეს კომბინაციების რაოდენობას n-დან 2-მდე. ეს შეიძლება იყოს ნაკლები , რადგან ყოველთვის არ არის შესაძლებელი სისტემის გადაქცევა ისეთ ფორმაში, რომ ცვლადების ეს კონკრეტული ნაკრები იყოს საფუძველი.

როგორია ეს? ეს ის ფორმაა, როდესაც ამ ცვლადების კოეფიციენტების სვეტებიდან წარმოქმნილი მატრიცა იქნება ეტაპობრივი და ამ შემთხვევაში შედგება რიგებისაგან. იმათ. ამ ცვლადების კოეფიციენტების მატრიცის რანგი უნდა იყოს r-ის ტოლი. ის არ შეიძლება იყოს უფრო დიდი, რადგან სვეტების რაოდენობა უდრის r. თუ აღმოჩნდება, რომ ის r-ზე ნაკლებია, მაშინ ეს მიუთითებს სვეტების ხაზოვან დამოკიდებულებაზე ცვლადებთან. ასეთი სვეტები ვერ შექმნიან საფუძველს.

მოდით განვიხილოთ, რა სხვა ძირითადი გადაწყვეტილებები შეიძლება მოიძებნოს ზემოთ მოცემულ მაგალითში. ამისათვის განიხილეთ ოთხი ცვლადის ყველა შესაძლო კომბინაცია ორ ძირითადთან. ასეთი კომბინაციები იქნება
, და ერთი მათგანი (x 1 და x 2) უკვე განიხილება.

ავიღოთ x 1 და x 3 ცვლადები. იპოვეთ მათთვის კოეფიციენტების მატრიცის რანგი:

ვინაიდან ის უდრის ორს, ისინი შეიძლება იყოს ძირითადი. არასაბაზისო ცვლადებს x 2 და x 4 ვატოლებთ ნულს: x 2 \u003d x 4 \u003d 0. შემდეგ x 1 \u003d 4/5 - (1/5) * x 4 ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ x 1 \u003d 4/5 და x 2 \u003d -17/5 + x 3 - - (7/5) * x 4 \u003d -17/5 + x 3 ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ x 3 \u003d x 2 + 17/5 \u003d 17/5. ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ ძირითად ამოხსნას (4/5; 0; 17/5; 0).

ანალოგიურად, შეგიძლიათ მიიღოთ ძირითადი ამონახსნები ძირითადი ცვლადებისთვის x 1 და x 4 - (9/7; 0; 0; -17/7); x 2 და x 4 - (0; -9; 0; 4); x 3 და x 4 - (0; 0; 9; 4).

ცვლადები x 2 და x 3 ამ მაგალითში არ შეიძლება იქნას მიღებული, როგორც ძირითადი, რადგან შესაბამისი მატრიცის წოდება უდრის ერთს, ე.ი. ორზე ნაკლები:

.

შესაძლებელია კიდევ ერთი მიდგომა იმის დასადგენად, შესაძლებელია თუ არა საფუძვლის შექმნა ზოგიერთი ცვლადიდან. მაგალითის ამოხსნისას, სისტემის მატრიცის საფეხურზე გადაყვანის შედეგად, მან მიიღო ფორმა:

ცვლადების წყვილის არჩევით შესაძლებელი გახდა ამ მატრიცის შესაბამისი მინორების გამოთვლა. ადვილი მისახვედრია, რომ ყველა წყვილისთვის, გარდა x 2-ისა და x 3-ისა, ისინი არ არიან ნულის ტოლი, ე.ი. სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია. და მხოლოდ სვეტებისთვის x 2 და x 3 ცვლადებით
, რაც მიუთითებს მათ წრფივ დამოკიდებულებაზე.

განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი. მოდით ამოხსნათ განტოლებათა სისტემა

ასე რომ, ბოლო მატრიცის მესამე მწკრივის შესაბამისი განტოლება არათანმიმდევრულია - ამან გამოიწვია არასწორი თანასწორობა 0 = -1, შესაბამისად, ეს სისტემა არათანმიმდევრულია.

ჟორდანი-გაუსის მეთოდი 3 არის გაუსის მეთოდის განვითარება. მისი არსი იმაში მდგომარეობს, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცა გარდაიქმნება ფორმაში, როდესაც ცვლადების კოეფიციენტები ქმნიან იდენტურობის მატრიცას 4 სტრიქონების ან სვეტების პერმუტაციამდე (სად არის სისტემის მატრიცის რანგი).

მოდით გადავჭრათ სისტემა ამ მეთოდის გამოყენებით:

განვიხილოთ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა:

ამ მატრიცაში ჩვენ ვირჩევთ პირადობის ელემენტს. მაგალითად, კოეფიციენტი x 2-ზე მესამე შეზღუდვაში არის 5. დავრწმუნდეთ, რომ ამ სვეტის დარჩენილ რიგებში არის ნულები, ე.ი. გააკეთეთ სვეტი ერთი. გარდაქმნების პროცესში ამას დავარქმევთ სვეტიდასაშვები(წამყვანი, გასაღები). მესამე შეზღუდვა (მესამე სიმებიანი) ასევე დაერქმევა დასაშვები. მე თვითონ ელემენტი, რომელიც დგას დასაშვები მწკრივისა და სვეტის კვეთაზე (აქ ეს არის ერთეული), ასევე ე.წ. დასაშვები.

პირველი ხაზი ახლა შეიცავს კოეფიციენტს (-1). მის ადგილას ნულის მისაღებად, მესამე მწკრივი გავამრავლოთ (-1) და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ სტრიქონს (ე.ი. უბრალოდ დაამატეთ პირველი მწკრივი მესამეს).

მეორე სტრიქონი შეიცავს კოეფიციენტს 2. მის ადგილას ნულის მისაღებად მესამე სტრიქონი გავამრავლოთ 2-ზე და გამოვაკლოთ შედეგი პირველ ხაზს.

გარდაქმნების შედეგი ასე გამოიყურება:

ეს მატრიცა ნათლად აჩვენებს, რომ პირველი ორი შეზღუდვიდან ერთი შეიძლება წაიშალოს (შესაბამისი სტრიქონები პროპორციულია, ანუ ეს განტოლებები ერთმანეთისგან მიჰყვება). გადავკვეთოთ მეორე:

ასე რომ, ახალ სისტემაში ორი განტოლებაა. მიიღება ერთი სვეტი (მეორე) და აქ ერთეული მეორე რიგშია. გავიხსენოთ, რომ ძირითადი ცვლადი x 2 შეესატყვისება ახალი სისტემის მეორე განტოლებას.

მოდით ავირჩიოთ ძირითადი ცვლადი პირველი რიგისთვის. ეს შეიძლება იყოს ნებისმიერი ცვლადი x 3-ის გარდა (რადგან x 3-ზე პირველ შეზღუდვას აქვს ნულოვანი კოეფიციენტი, ანუ x 2 და x 3 ცვლადების ნაკრები აქ არ შეიძლება იყოს ძირითადი). შეგიძლიათ აიღოთ პირველი ან მეოთხე ცვლადი.

ავირჩიოთ x ​​1. მაშინ გადამწყვეტი ელემენტი იქნება 5 და ამოხსნის განტოლების ორივე მხარე უნდა გაიყოს ხუთზე, რათა მივიღოთ ერთი პირველი რიგის პირველ სვეტში.

მოდით დავრწმუნდეთ, რომ დანარჩენ სტრიქონებს (ანუ მეორე სტრიქონს) პირველ სვეტში აქვს ნულები. ვინაიდან ახლა მეორე ხაზი არ არის ნული, არამედ 3, აუცილებელია მეორე სტრიქონიდან გამოვაკლოთ გარდაქმნილი პირველი ხაზის ელემენტები, გამრავლებული 3-ზე:

ერთი ძირითადი ამონახსნის პირდაპირი ამოღება შესაძლებელია მიღებული მატრიციდან არასაბაზისო ცვლადების ნულთან გათანაბრებით, ხოლო ძირითადი ცვლადების თავისუფალ წევრებთან შესაბამისი განტოლებების: (0.8; -3.4; 0; 0). თქვენ ასევე შეგიძლიათ მიიღოთ ზოგადი ფორმულები, რომლებიც გამოხატავს ძირითად ცვლადებს არასაბაზისო ცვლადების საშუალებით: x 1 \u003d 0.8 - 1.2x 4; x 2 \u003d -3.4 + x 3 + 1.6x 4. ეს ფორმულები აღწერს სისტემის ამონახსნების მთელ უსასრულო კომპლექტს (x 3 და x 4 თვითნებურ რიცხვებთან ტოლობით, შეგიძლიათ გამოთვალოთ x 1 და x 2).

გაითვალისწინეთ, რომ ჟორდანია-გაუსის მეთოდის თითოეულ ეტაპზე გარდაქმნების არსი შემდეგი იყო:

1) დასაშვები სტრიქონი იყოფა ნებადართული ელემენტით, რათა მის ადგილას ერთეული მიეღო,

2) ყველა სხვა მწკრივს, გარდაქმნილი გადაწყვეტის ძალა გამრავლებული იმ ელემენტზე, რომელიც იყო მოცემულ ხაზში, ამომრჩეველ სვეტში, გამოაკლოთ ამ ელემენტის ნაცვლად ნულის მისაღებად.

კიდევ ერთხელ განვიხილოთ სისტემის გარდაქმნილი გაძლიერებული მატრიცა:

ამ ჩანაწერიდან ჩანს, რომ A სისტემის მატრიცის რანგია r.

ზემოაღნიშნული მსჯელობის დროს ჩვენ დავადგინეთ, რომ სისტემა თავსებადია თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში
. ეს ნიშნავს, რომ სისტემის გაძლიერებული მატრიცა ასე გამოიყურება:

ნულოვანი რიგების უგულებელყოფით, მივიღებთ, რომ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი ასევე უდრის r-ს.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა. წრფივი განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის მატრიცის რანგი უდრის ამ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგს.

შეგახსენებთ, რომ მატრიცის წოდება უდრის მისი ხაზოვანი დამოუკიდებელი რიგების მაქსიმალურ რაოდენობას. აქედან გამომდინარეობს, რომ თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი ნაკლებია განტოლებათა რაოდენობაზე, მაშინ სისტემის განტოლებები წრფივია დამოკიდებული და ერთი ან რამდენიმე მათგანი შეიძლება გამოირიცხოს სისტემიდან (რადგან ისინი წრფივია. სხვების კომბინაცია). განტოლებათა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი იქნება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის განტოლებათა რაოდენობას.

უფრო მეტიც, ხაზოვანი განტოლებების თანმიმდევრული სისტემებისთვის შეიძლება ითქვას, რომ თუ მატრიცის რანგი უდრის ცვლადების რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი და თუ ის ნაკლებია ცვლადების რაოდენობაზე, მაშინ სისტემა განუსაზღვრელია და აქვს უსაზღვროდ ბევრი გამოსავალი.

1 მაგალითად, დავუშვათ, რომ მატრიცაში არის ხუთი მწკრივი (მწკრივის საწყისი რიგი არის 12345). ჩვენ უნდა შევცვალოთ მეორე და მეხუთე ხაზი. იმისათვის, რომ მეორე სტრიქონი მოხვდეს მეხუთე ადგილზე, "გადავიდეს" ქვემოთ, ჩვენ თანმიმდევრულად ვცვლით მიმდებარე ხაზებს სამჯერ: მეორე და მესამე (13245), მეორე და მეოთხე (13425) და მეორე და მეხუთე. (13452). შემდეგ, იმისთვის, რომ მეხუთე მწკრივმა დაიკავოს მეორის ადგილი თავდაპირველ მატრიცაში, საჭიროა მეხუთე მწკრივის „გადატანა“ მხოლოდ ორი თანმიმდევრული ცვლილებით: მეხუთე და მეოთხე რიგები (13542) და მეხუთე და მესამე. (15342).

2 კომბინაციების რაოდენობა n-დან r-მდე n-ელემენტების სიმრავლის ყველა განსხვავებული r-ელემენტის ქვესიმრავლეების რაოდენობას ეწოდება (განსხვავებული სიმრავლე არის ის, რომელსაც აქვს ელემენტების განსხვავებული შემადგენლობა, შერჩევის თანმიმდევრობა არ არის მნიშვნელოვანი). იგი გამოითვლება ფორმულით:
. გაიხსენეთ ნიშნის მნიშვნელობა "!" (ფაქტორული):
0!=1.)

3 ვინაიდან ეს მეთოდი უფრო გავრცელებულია, ვიდრე ადრე განხილული გაუსის მეთოდი, და არსებითად არის წინა და საპირისპირო გაუსის მეთოდის ერთობლიობა, მას ზოგჯერ უწოდებენ გაუსის მეთოდს, სახელწოდების პირველი ნაწილის გამოტოვებით.

4 მაგალითად,
.

5 სისტემის მატრიცაში ერთეულები რომ არ არსებობდეს, მაშინ შესაძლებელი იქნებოდა, მაგალითად, პირველი განტოლების ორივე ნაწილი გავყოთ ორზე და მაშინ პირველი კოეფიციენტი გახდეს ერთიანობა; ან მსგავსი.

გადაჭრით სისტემაორი უცნობით - ეს ნიშნავს ცვლადის მნიშვნელობების ყველა წყვილის პოვნას, რომელიც აკმაყოფილებს თითოეულ მოცემულ განტოლებას. თითოეულ ასეთ წყვილს ე.წ სისტემური გადაწყვეტა.

მაგალითი:
მნიშვნელობების წყვილი \(x=3\);\(y=-1\) არის პირველი სისტემის ამონახსნი, რადგან ამ სამებისა და მინუს ერთეულების ჩანაცვლებით სისტემაში \(x\) და \. (y\), ორივე განტოლება გადაიქცევა მოქმედ ტოლებად \(\ დასაწყისი(შემთხვევები)3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end(შემთხვევები) \)

მაგრამ \(x=1\); \(y=-2\) - არ არის პირველი სისტემის ამონახსნი, რადგან ჩანაცვლების შემდეგ მეორე განტოლება "არ ემთხვევა" \(\begin(cases)1-2\cdot(-2)=5 \\3 \cdot1+2 \cdot(-2)≠7 \end (შემთხვევები)\)

გაითვალისწინეთ, რომ ასეთი წყვილები ხშირად უფრო მოკლედ იწერება: "\(x=3\); \(y=-1\)"-ის ნაცვლად წერენ ასე: \((3;-1)\).

როგორ ამოხსნათ წრფივი განტოლებათა სისტემა?

წრფივი განტოლებების სისტემების ამოხსნის სამი ძირითადი გზა არსებობს:

1. ჩანაცვლების მეთოდი.

\(\დაწყება(შემთხვევები)x-2y=5\\3x+2y=7 \end(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\) \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)x=5+2y\\3x+2y= 7\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)

შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება ამ ცვლადის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებაში.

\(\მარცხენა მარჯვენა ისარი\) \(\დაწყება(შემთხვევები)x=5+2y\\3(5+2y)+2y=7\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)

1. \(\დაწყება(შემთხვევები)13x+9y=17\\12x-2y=26\ბოლო(შემთხვევები)\)

   მეორე განტოლებაში თითოეული წევრი ლუწია, ამიტომ განტოლებას ვამარტივებთ \(2\-ზე) გაყოფით.
   

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)13x+9y=17\\6x-y=13\დასრულება (შემთხვევები)\)

   ამ სისტემის გადაჭრა შესაძლებელია ნებისმიერი გზით, მაგრამ მეჩვენება, რომ ჩანაცვლების მეთოდი აქ ყველაზე მოსახერხებელია. გამოვსახოთ y მეორე განტოლებიდან.
   

   \(\დაწყება(შემთხვევები)13x+9y=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   ჩაანაცვლეთ \(6x-13\) \(y\) პირველ განტოლებაში.
   

   \(\ დასაწყისი(შემთხვევები)13x+9(6x-13)=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   პირველი განტოლება ნორმალური გახდა. ჩვენ მოვაგვარებთ.

   ჯერ ფრჩხილები გავხსნათ.
   

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)13x+54x-117=17\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   გადავიტანოთ \(117\) მარჯვნივ და მივცეთ მსგავსი პირობები.

   \(\ დასაწყისი (შემთხვევები)67x=134\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   გაყავით პირველი განტოლების ორივე მხარე \(67\-ზე).

   \(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=6x-13\ბოლო(შემთხვევები)\)

   ჰოოი, ვიპოვეთ \(x\)! ჩაანაცვლეთ მისი მნიშვნელობა მეორე განტოლებაში და იპოვეთ \(y\).

   \(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=12-13\ბოლო(შემთხვევები)\)\(\მარცხნივ მარჯვენა ისარი\)\(\დაწყება(შემთხვევები)x=2\\y=-1\end(შემთხვევები )\)

   დავწეროთ პასუხი.

ჩვენ გავაანალიზებთ განტოლებების ამოხსნის ორ ტიპს:

1. სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით.
2. სისტემის ამოხსნა სისტემის განტოლებათა თანმიმდევრობით შეკრებით (გამოკლებით).

განტოლებათა სისტემის ამოხსნის მიზნით ჩანაცვლების მეთოდითქვენ უნდა შეასრულოთ მარტივი ალგორითმი:
1. გამოვხატავთ. ნებისმიერი განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ ერთ ცვლადს.
2. შემცვლელი. გამოხატული ცვლადის ნაცვლად სხვა განტოლებაში ვცვლით მიღებულ მნიშვნელობას.
3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

Მოგვარება სისტემა ტერმინით შეკრებით (გამოკლებით)საჭიროა:
1. აირჩიეთ ცვლადი, რომლისთვისაც იგივე კოეფიციენტებს გავაკეთებთ.
2. ვამატებთ ან ვაკლებთ განტოლებებს, შედეგად ვიღებთ განტოლებას ერთი ცვლადით.
3. ვხსნით მიღებულ წრფივ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ სისტემის გამოსავალს.

სისტემის ამოხსნა არის ფუნქციის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.

მოდით დეტალურად განვიხილოთ სისტემების გადაწყვეტა მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი #1:

მოვაგვაროთ ჩანაცვლების მეთოდით

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ჩანაცვლების მეთოდით

2x+5y=1 (1 განტოლება)
x-10y=3 (მე-2 განტოლება)

1. ექსპრესი
ჩანს, რომ მეორე განტოლებაში არის x ცვლადი კოეფიციენტით 1, აქედან გამომდინარე გამოდის, რომ ყველაზე ადვილია x ცვლადის გამოხატვა მეორე განტოლებიდან.
x=3+10y

2. გამოსახვის შემდეგ პირველ განტოლებაში ვცვლით 3 + 10y-ს x ცვლადის ნაცვლად.
2(3+10y)+5y=1

3. მიღებულ განტოლებას ვხსნით ერთი ცვლადით.
2(3+10y)+5y=1 (ღია ფრჩხილები)
6+20წ+5წ=1
25წ=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

განტოლებათა სისტემის ამონახსნი არის გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები, ამიტომ უნდა ვიპოვოთ x და y, რადგან გადაკვეთის წერტილი შედგება x და y-სგან, ვიპოვოთ x, პირველ აბზაცში სადაც გამოვხატეთ, იქ ვცვლით y-ს.
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1

მიღებულია პირველ რიგში ქულების ჩაწერა, ვწერთ x ცვლადს, ხოლო მეორე ადგილზე y ცვლადს.
პასუხი: (1; -0.2)

მაგალითი #2:

ამოხსნათ ვადით-გამოკლებით.

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა შეკრების მეთოდით

3x-2y=1 (1 განტოლება)
2x-3y=-10 (მე-2 განტოლება)

1. აირჩიეთ ცვლადი, ვთქვათ ვირჩევთ x. პირველ განტოლებაში x ცვლადს აქვს კოეფიციენტი 3, მეორეში - 2. კოეფიციენტები უნდა გავხადოთ იგივე, ამისთვის გვაქვს უფლება გავამრავლოთ განტოლებები ან გავყოთ ნებისმიერ რიცხვზე. პირველ განტოლებას ვამრავლებთ 2-ზე, ხოლო მეორეს 3-ზე და მივიღებთ ჯამურ კოეფიციენტს 6-ზე.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. პირველ განტოლებას გამოაკელი მეორე, რათა მოშორდეს x ცვლადი. ამოხსენი წრფივი განტოლება.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6.4

3. იპოვე x. ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი y-ს რომელიმე განტოლებაში, ვთქვათ პირველ განტოლებაში.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

გადაკვეთის წერტილი იქნება x=4,6; y=6.4
პასუხი: (4.6; 6.4)

გსურთ უფასოდ მოემზადოთ გამოცდებისთვის? დამრიგებელი ონლაინ უფასოდ. Არ ვხუმრობ.

უფრო საიმედო ვიდრე წინა პარაგრაფში განხილული გრაფიკული მეთოდი.

ჩანაცვლების მეთოდი

ეს მეთოდი მე-7 კლასში გამოვიყენეთ წრფივი განტოლებების სისტემების ამოსახსნელად. მე-7 კლასში შემუშავებული ალგორითმი საკმაოდ შესაფერისია ნებისმიერი ორი განტოლების სისტემების გადასაჭრელად (არ არის აუცილებელი წრფივი) ორი ცვლადით x და y (რა თქმა უნდა, ცვლადები შეიძლება აღვნიშნოთ სხვა ასოებით, რაც არ აქვს მნიშვნელობა). ფაქტობრივად, ეს ალგორითმი გამოვიყენეთ წინა აბზაცში, როდესაც ორნიშნა რიცხვის პრობლემამ გამოიწვია მათემატიკური მოდელი, რომელიც არის განტოლებათა სისტემა. ჩვენ გადავწყვიტეთ ზემოთ განტოლებათა სისტემა ჩანაცვლების მეთოდით (იხ. მაგალითი 1 § 4-დან).

ჩანაცვლების მეთოდის გამოყენების ალგორითმი ორი განტოლების სისტემის ამოხსნისას ორი ცვლადით x, y.

1. სისტემის ერთი განტოლებიდან გამოხატეთ y x-ის მიხედვით.
2. შეცვალეთ მიღებული გამოხატულება y-ის ნაცვლად სისტემის სხვა განტოლებით.
3. ამოხსენით მიღებული განტოლება x-ისთვის.
4. რიგრიგობით ჩაანაცვლეთ მესამე საფეხურზე ნაპოვნი განტოლების თითოეული ფესვი x-ის ნაცვლად პირველ საფეხურზე მიღებულ y-დან x-მდე გამოსახულებით.
5. ჩაწერეთ პასუხი მნიშვნელობების წყვილის სახით (x; y), რომლებიც ნაპოვნი იქნა, შესაბამისად, მესამე და მეოთხე საფეხურზე.

4) თავის მხრივ შეცვალეთ y-ის ნაპოვნი თითოეული მნიშვნელობა ფორმულაში x \u003d 5 - Zy. თუ მაშინ
5) განტოლებათა მოცემული სისტემის წყვილები (2; 1) და ამონახსნები.

პასუხი: (2; 1);

ალგებრული მიმატების მეთოდი

ეს მეთოდი, ისევე როგორც ჩანაცვლების მეთოდი, თქვენთვის ცნობილია მე-7 კლასის ალგებრის კურსიდან, სადაც იგი გამოიყენებოდა წრფივი განტოლებათა სისტემების ამოსახსნელად. ჩვენ ვიხსენებთ მეთოდის არსს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 2განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

ჩვენ ვამრავლებთ სისტემის პირველი განტოლების ყველა წევრს 3-ზე და ვტოვებთ მეორე განტოლებას უცვლელად:
გამოვაკლოთ სისტემის მეორე განტოლება მის პირველ განტოლებას:

თავდაპირველი სისტემის ორი განტოლების ალგებრული შეკრების შედეგად მიღებული იქნა განტოლება, რომელიც უფრო მარტივია, ვიდრე მოცემული სისტემის პირველი და მეორე განტოლება. ამ მარტივი განტოლებით ჩვენ გვაქვს უფლება შევცვალოთ მოცემული სისტემის ნებისმიერი განტოლება, მაგალითად, მეორე. შემდეგ განტოლებათა მოცემული სისტემა შეიცვლება უფრო მარტივი სისტემით:

ეს სისტემა შეიძლება გადაწყდეს ჩანაცვლების მეთოდით. მეორე განტოლებიდან ჩვენ ვპოულობთ ამ გამოხატვის y-ის ნაცვლად სისტემის პირველ განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ

რჩება x-ის ნაპოვნი მნიშვნელობების ჩანაცვლება ფორმულაში

თუ x = 2 მაშინ

ამრიგად, ჩვენ ვიპოვეთ სისტემის ორი გამოსავალი:

ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი

მე-8 კლასის ალგებრის კურსში ერთი ცვლადით რაციონალური განტოლებების ამოხსნისას ახალი ცვლადის შემოტანის მეთოდს გაეცანით. განტოლებათა სისტემების ამოხსნის ამ მეთოდის არსი იგივეა, მაგრამ ტექნიკური თვალსაზრისით არის რამდენიმე მახასიათებელი, რომელსაც შემდეგ მაგალითებში განვიხილავთ.

მაგალითი 3განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ახალი ცვლადი, შემდეგ სისტემის პირველი განტოლება შეიძლება გადავიწეროთ უფრო მარტივი ფორმით: მოდით გადავჭრათ ეს განტოლება t ცვლადის მიმართ:

ორივე ეს მნიშვნელობა აკმაყოფილებს პირობას და, შესაბამისად, არის რაციონალური განტოლების ფესვები t ცვლადით. მაგრამ ეს ნიშნავს ან საიდან ვპოულობთ, რომ x = 2y, ან
ამრიგად, ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ მოვახერხეთ, თითქოსდა, სისტემის პირველი განტოლება, რომელიც საკმაოდ რთულია გარეგნულად, ორ მარტივ განტოლებად „სტრატიფიცირება“ გავხადეთ:

x = 2 y; y - 2x.

Რა არის შემდეგი? შემდეგ კი მიღებული ორი მარტივი განტოლებიდან თითოეული თავის მხრივ უნდა განიხილებოდეს სისტემაში განტოლებით x 2 - y 2 \u003d 3, რომელიც ჯერ არ გვახსოვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა მცირდება განტოლებების ორი სისტემის ამოხსნით:

აუცილებელია იპოვოთ გადაწყვეტილებები პირველი სისტემისთვის, მეორე სისტემისთვის და პასუხში შევიტანოთ მნიშვნელობების ყველა წყვილი. მოდით ამოხსნათ განტოლების პირველი სისტემა:

მოდით გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი, მით უმეტეს, რომ აქ ყველაფერი მზად არის: სისტემის მეორე განტოლებაში ვცვლით გამოხატულებას x-ის ნაცვლად 2y. მიიღეთ

x \u003d 2y-დან შესაბამისად ვპოულობთ x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2. ამრიგად, მიიღება მოცემული სისტემის ორი ამონახსნი: (2; 1) და (-2; -1). გადავწყვიტოთ განტოლების მეორე სისტემა:

ისევ გამოვიყენოთ ჩანაცვლების მეთოდი: სისტემის მეორე განტოლებაში y-ის ნაცვლად გამოსახულებას ვცვლით 2x. მიიღეთ

ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემას არ აქვს ამონახსნები. ამრიგად, პასუხში მხოლოდ პირველი სისტემის გადაწყვეტილებები უნდა იყოს შეტანილი.

პასუხი: (2; 1); (-2;-1).

ორი ცვლადით ორი განტოლების სისტემების ამოხსნისას ახალი ცვლადების დანერგვის მეთოდი გამოიყენება ორ ვერსიაში. პირველი ვარიანტი: შემოდის ერთი ახალი ცვლადი და გამოიყენება სისტემის მხოლოდ ერთ განტოლებაში. ეს არის ზუსტად ის, რაც მოხდა მე-3 მაგალითში. მეორე ვარიანტი: ორი ახალი ცვლადი შემოტანილია და ერთდროულად გამოიყენება სისტემის ორივე განტოლებაში. ასე იქნება მე-4 მაგალითში.

მაგალითი 4განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

მოდით შემოვიტანოთ ორი ახალი ცვლადი:

ამას მაშინ ვიგებთ

ეს საშუალებას მოგვცემს გადავიწეროთ მოცემული სისტემა ბევრად უფრო მარტივი ფორმით, მაგრამ ახალი a და b ცვლადების მიმართ:

ვინაიდან a \u003d 1, შემდეგ განტოლებიდან a + 6 \u003d 2 ვპოულობთ: 1 + 6 \u003d 2; 6=1. ამრიგად, a და b ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

x და y ცვლადებს დავუბრუნდეთ, ვიღებთ განტოლებათა სისტემას

ამ სისტემის ამოსახსნელად ვიყენებთ ალგებრული მიმატების მეთოდს:

მას შემდეგ 2x + y = 3 განტოლებიდან ვპოულობთ:
ამრიგად, x და y ცვლადებისთვის მივიღეთ ერთი გამოსავალი:

მოდით დავასრულოთ ეს ნაწილი მოკლე, მაგრამ საკმაოდ სერიოზული თეორიული განხილვით. თქვენ უკვე მიიღეთ გარკვეული გამოცდილება სხვადასხვა განტოლების ამოხსნისას: წრფივი, კვადრატული, რაციონალური, ირაციონალური. თქვენ იცით, რომ განტოლების ამოხსნის მთავარი იდეა არის ეტაპობრივი გადასვლა ერთი განტოლებიდან მეორეზე, უფრო მარტივი, მაგრამ მოცემულის ექვივალენტური. წინა განყოფილებაში ჩვენ შემოვიღეთ ეკვივალენტობის ცნება ორი ცვლადის მქონე განტოლებისთვის. ეს კონცეფცია ასევე გამოიყენება განტოლებათა სისტემებისთვის.

განმარტება.

განტოლების ორი სისტემა x და y ცვლადებით ითვლება ეკვივალენტურად, თუ მათ აქვთ იგივე ამონახსნები ან თუ ორივე სისტემას არ აქვს ამონახსნები.

სამივე მეთოდი (ჩანაცვლება, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების შემოღება), რომლებიც განვიხილეთ ამ ნაწილში, აბსოლუტურად სწორია ეკვივალენტობის თვალსაზრისით. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ მეთოდების გამოყენებით, ჩვენ ვცვლით განტოლებათა ერთ სისტემას სხვა, უფრო მარტივი, მაგრამ ორიგინალური სისტემის ექვივალენტური სისტემით.

განტოლებათა სისტემების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი

ჩვენ უკვე ვისწავლეთ განტოლებათა სისტემების ამოხსნა ისეთი საერთო და საიმედო გზებით, როგორიცაა ჩანაცვლების მეთოდი, ალგებრული შეკრება და ახალი ცვლადების დანერგვა. ახლა კი გავიხსენოთ მეთოდი, რომელიც უკვე შეისწავლეთ წინა გაკვეთილზე. ანუ გავიმეოროთ ის, რაც იცით გრაფიკული ამოხსნის მეთოდის შესახებ.

განტოლებათა სისტემების გრაფიკულად ამოხსნის მეთოდი არის გრაფიკის აგება თითოეული კონკრეტული განტოლებისთვის, რომლებიც შედის ამ სისტემაში და არის იმავე კოორდინატულ სიბრტყეში, ასევე სადაც საჭიროა ამ გრაფიკების წერტილების კვეთის პოვნა. . განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად არის ამ წერტილის კოორდინატები (x; y).

უნდა გვახსოვდეს, რომ განტოლებათა გრაფიკულ სისტემას ჩვეულებრივ აქვს ან ერთი სწორი ამონახსნი, ან ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, ან საერთოდ არ აქვს ამონახსნები.

ახლა მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ თითოეულ ამ გადაწყვეტას. ასე რომ, განტოლებათა სისტემას შეიძლება ჰქონდეს უნიკალური ამონახსნი, თუ ხაზები, რომლებიც სისტემის განტოლებების გრაფიკებია, იკვეთება. თუ ეს წრფეები პარალელურია, მაშინ განტოლებათა ასეთ სისტემას აბსოლუტურად არ აქვს ამონახსნები. სისტემის განტოლებების პირდაპირი გრაფიკების დამთხვევის შემთხვევაში, ასეთი სისტემა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მრავალი ამონახსნები.

ახლა მოდით შევხედოთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით ორი განტოლების სისტემის ამოხსნის ალგორითმს 2 უცნობით:

ჯერ პირველ რიგში ვაშენებთ 1-ლი განტოლების გრაფიკს;
მეორე ნაბიჯი იქნება გრაფიკის დახატვა, რომელიც ეხება მეორე განტოლებას;
მესამე, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები.
და შედეგად, ჩვენ ვიღებთ თითოეული გადაკვეთის წერტილის კოორდინატებს, რომლებიც იქნება განტოლებების სისტემის ამოხსნა.

მოდით განვიხილოთ ეს მეთოდი უფრო დეტალურად მაგალითით. ჩვენ გვეძლევა გადასაჭრელ განტოლებათა სისტემა:

განტოლებების ამოხსნა

1. ჯერ ავაშენებთ ამ განტოლების გრაფიკს: x2+y2=9.

მაგრამ უნდა აღინიშნოს, რომ განტოლებების ეს გრაფიკი იქნება საწყისზე ორიენტირებული წრე და მისი რადიუსი სამის ტოლი იქნება.

2. ჩვენი შემდეგი ნაბიჯი იქნება განტოლების გამოსახვა, როგორიცაა: y = x - 3.

ამ შემთხვევაში უნდა ავაგოთ წრფე და ვიპოვოთ წერტილები (0;−3) და (3;0).

3. ვნახოთ რა მივიღეთ. ჩვენ ვხედავთ, რომ წრფე კვეთს წრეს მის ორ წერტილში A და B.

ახლა ჩვენ ვეძებთ ამ წერტილების კოორდინატებს. ჩვენ ვხედავთ, რომ კოორდინატები (3;0) შეესაბამება A წერტილს, ხოლო კოორდინატები (0;−3) - B წერტილს.

და რას მივიღებთ შედეგად?

წრის სწორი წრფის გადაკვეთაზე მიღებული რიცხვები (3;0) და (0;−3) სწორედ სისტემის ორივე განტოლების ამონახსნებია. და აქედან გამომდინარეობს, რომ ეს რიცხვები ასევე არის ამ განტოლებათა სისტემის ამონახსნები.

ანუ ამ ამოხსნის პასუხი არის რიცხვები: (3;0) და (0;−3).