დავალება 1. 300 ფურცელი პრინტერის ქაღალდის სისქეა 3,3 სმ. რა სისქის იქნება ერთი და იგივე ქაღალდის 500 ფურცლის დასტა?

გადაწყვეტილება.მოდით x სმ იყოს 500 ფურცლიანი ქაღალდის სისქე. ორი გზით ვპოულობთ ერთი ფურცლის სისქეს:

3,3: 300 ან x : 500.

ვინაიდან ქაღალდის ფურცლები ერთნაირია, ეს ორი თანაფარდობა ერთმანეთის ტოლია. ჩვენ ვიღებთ პროპორციას შეხსენება: პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა):

x=(3.3 · 500): 300;

x=5.5. პასუხი:შეკვრა 500 ქაღალდის ფურცლებს აქვს სისქე 5,5 სმ.

ეს არის კლასიკური მსჯელობა და პრობლემის გადაჭრის ფორმულირება. ასეთი პრობლემები ხშირად შედის სამაგისტრო ტესტებში, რომლებიც ჩვეულებრივ წერენ გამოსავალს ამ ფორმით:

ან გადაწყვეტენ ზეპირად, კამათობენ შემდეგნაირად: თუ 300 ფურცელს აქვს 3,3 სმ სისქე, მაშინ 100 ფურცელს აქვს სისქე 3-ჯერ მცირე. 3,3-ს ვყოფთ 3-ზე, მივიღებთ 1,1 სმ. ეს არის 100 ფურცლის სისქე. მაშასადამე, 500 ფურცელს ექნება 5-ჯერ მეტი სისქე, ამიტომ 1,1 სმ-ს ვამრავლებთ 5-ზე და ვიღებთ პასუხს: 5,5 სმ.

რა თქმა უნდა, ეს გამართლებულია, რადგან კურსდამთავრებულთა და აპლიკანტთა ტესტირების დრო შეზღუდულია. თუმცა, ამ გაკვეთილზე ჩვენ ვიმსჯელებთ და დავწერთ გამოსავალს ისე, როგორც ეს უნდა გაკეთდეს 6 კლასი.

დავალება 2.რამდენ წყალს შეიცავს 5 კგ საზამთრო, თუ ცნობილია, რომ საზამთრო 98% წყლისგან შედგება?

გადაწყვეტილება.

საზამთროს მთლიანი მასა (5 კგ) არის 100%. წყალი იქნება x კგ ან 98%. ორი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ რამდენი კგ მოდის მასის 1%-ზე.

5: 100 ან x : 98. ვიღებთ პროპორციას:

5: 100 = x : 98.

x=(5 · 98): 100;

x=4.9 პასუხი: 5 კგ-შისაზამთრო შეიცავს 4,9 კგ წყალი.

21 ლიტრი ზეთის მასა 16,8 კგ. რამდენია 35 ლიტრი ზეთის მასა?

გადაწყვეტილება.

35 ლიტრი ზეთის მასა იყოს x კგ. შემდეგ ორი გზით შეგიძლიათ იპოვოთ 1 ლიტრი ზეთის მასა:

16,8: 21 ან x : 35. ვიღებთ პროპორციას:

16,8: 21=x : 35.

იპოვეთ პროპორციის შუა წევრი. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ პროპორციის უკიდურეს ნაწილებს ( 16,8 და 35 ) და გავყოთ ცნობილ შუა წევრზე ( 21 ). წილადის შემცირება 7 .

გაამრავლე წილადის მრიცხველი და მნიშვნელი 10 ისე რომ მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავდეს მხოლოდ ნატურალურ რიცხვებს. წილადს ვამცირებთ 5 (5 და 10) და შემდეგ 3 (168 და 3).

პასუხი: 35 ლიტრ ზეთს აქვს მასა 28 კგ.

მას შემდეგ, რაც მთელი ველის 82% გაიჭედა, 9 ჰექტარი დარჩა სახნავი. რა არის მთელი ველის ფართობი?

გადაწყვეტილება.

მთელი ველის ფართობი იყოს x ჰა, რაც არის 100%. რჩება 9 ჰექტრის ხვნა, რაც მთლიანი მინდვრის 100%-82%=18%-ია. ველის ფართობის 1% გამოვხატოთ ორი გზით. Ეს არის:

X : 100 თუ 9 : 18. ჩვენ ვაკეთებთ პროპორციას:

X : 100 = 9: 18.

ჩვენ ვპოულობთ პროპორციის უცნობ უკიდურეს ტერმინს. ამისათვის ჩვენ გავამრავლებთ პროპორციის საშუალო პირობებს ( 100 და 9 ) და გავყოთ ცნობილ უკიდურეს ტერმინზე ( 18 ). ჩვენ ვამცირებთ წილადს.

უპასუხე: მთელი ველის ფართობი 50 ჰა.

გვერდი 1 1-დან 1

პროპორცია არის მათემატიკური გამოხატულება, რომელშიც ორი ან მეტი რიცხვი შედარებულია ერთმანეთთან. პროპორციებში, აბსოლუტური მნიშვნელობები და რაოდენობები შეიძლება შევადაროთ ანუფრო დიდი მთლიანობის ნაწილები. პროპორციები შეიძლება დაიწეროს და გამოითვალოს რამდენიმე სხვადასხვა გზით, მაგრამ ძირითადი პრინციპი იგივეა.

ნაბიჯები

Ნაწილი 1

რა არის პროპორცია

გაარკვიეთ რა პროპორციებისთვისაა განკუთვნილი.პროპორციები გამოიყენება როგორც სამეცნიერო კვლევებში, ასევე ყოველდღიურ ცხოვრებაში სხვადასხვა მნიშვნელობებისა და რაოდენობების შესადარებლად. უმარტივეს შემთხვევაში, ორი რიცხვი შედარებულია, მაგრამ პროპორცია შეიძლება შეიცავდეს მნიშვნელობების ნებისმიერ რაოდენობას. ორი ან მეტი რაოდენობის შედარებისას, ყოველთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორცია. იმის ცოდნა, თუ როგორ უკავშირდება რაოდენობები ერთმანეთს, შესაძლებელს ხდის, მაგალითად, ჩაიწეროს ქიმიური ფორმულები ან რეცეპტები სხვადასხვა კერძებისთვის. პროპორციები გამოგადგებათ სხვადასხვა მიზნებისთვის.

1. გაიგე რას ნიშნავს პროპორცია.როგორც ზემოთ აღინიშნა, პროპორციები საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ ურთიერთობა ორ ან მეტ რაოდენობას შორის. მაგალითად, თუ ფუნთუშის დასამზადებლად საჭიროა 2 ჭიქა ფქვილი და 1 ჭიქა შაქარი, ჩვენ ვამბობთ, რომ ფქვილისა და შაქრის რაოდენობას შორის არის 2-დან 1-მდე თანაფარდობა.

   • პროპორციებით შეგიძლიათ აჩვენოთ, თუ როგორ უკავშირდება ერთმანეთს სხვადასხვა რაოდენობა, მაშინაც კი, თუ ისინი პირდაპირ არ არის დაკავშირებული ერთმანეთთან (რეცეპტისგან განსხვავებით). მაგალითად, თუ კლასში არის ხუთი გოგონა და ათი ბიჭი, გოგონების რაოდენობის შეფარდება ბიჭების რაოდენობასთან არის 5-დან 10-მდე. ამ შემთხვევაში, ერთი რიცხვი არ არის დამოკიდებული მეორეზე და პირდაპირ არ არის დაკავშირებული. ეს: პროპორცია შეიძლება შეიცვალოს, თუ ვინმე ტოვებს კლასს ან პირიქით, მასში მოვლენ ახალი სტუდენტები. პროპორცია უბრალოდ საშუალებას გაძლევთ შეადაროთ ორი რაოდენობა.

2. ყურადღება მიაქციეთ პროპორციების გამოხატვის სხვადასხვა გზებს.პროპორციები შეიძლება დაიწეროს სიტყვებით ან მათემატიკური სიმბოლოების გამოყენება.

   • ყოველდღიურ ცხოვრებაში პროპორციები უფრო ხშირად გამოხატულია სიტყვებით (როგორც ზემოთ). პროპორციები გამოიყენება მრავალფეროვან სფეროებში და თუ თქვენი პროფესია არ არის დაკავშირებული მათემატიკასთან ან სხვა მეცნიერებასთან, ყველაზე ხშირად შეხვდებით პროპორციების წერის ამ ხერხს.
   • პროპორციები ხშირად იწერება ორწერტილით. პროპორციის გამოყენებით ორი რიცხვის შედარებისას, ისინი შეიძლება ჩაიწეროს ორწერტილით, მაგალითად, 7:13. თუ შედარებულია ორზე მეტი რიცხვი, ორ რიცხვს შორის ზედიზედ ჩასმულია ორწერტილი, მაგალითად 10:2:23. ზემოთ მოყვანილი კლასის მაგალითში, ჩვენ ვადარებთ გოგოებისა და ბიჭების რაოდენობას 5 გოგოს: 10 ბიჭს. ამრიგად, ამ შემთხვევაში, პროპორცია შეიძლება დაიწეროს როგორც 5:10.
   • ზოგჯერ პროპორციების წერისას გამოიყენება წილადის ნიშანი. ჩვენი კლასის მაგალითში, 5 გოგოსა და 10 ბიჭის თანაფარდობა დაიწერება როგორც 5/10. ამ შემთხვევაში, "გაყოფის" ნიშანი არ უნდა წაიკითხოთ და უნდა გვახსოვდეს, რომ ეს არ არის წილადი, არამედ ორი განსხვავებული რიცხვის თანაფარდობა.

   Მე -2 ნაწილი

   ოპერაციები პროპორციებით

   1. მიიტანეთ პროპორცია მის უმარტივეს ფორმამდე.პროპორციები შეიძლება გამარტივდეს, ისევე როგორც წილადები, მათი წევრების საერთო გამყოფის შემცირებით. პროპორციის გასამარტივებლად, გაყავით მასში არსებული ყველა რიცხვი საერთო გამყოფებზე. თუმცა, არ უნდა დაივიწყოს საწყისი მნიშვნელობები, რამაც გამოიწვია ეს პროპორცია.

      • ზემოთ მოყვანილ მაგალითში 5 გოგოსა და 10 ბიჭისგან შემდგარი კლასში (5:10), პროპორციის ორივე მხარეს აქვს 5-ის საერთო გამყოფი. ორივეს 5-ზე (ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი) გავყოფთ, მივიღებთ თანაფარდობას 1 გოგო 2-მდე. ბიჭები (ე.ი. 1:2). თუმცა, გამარტივებული პროპორციის გამოყენებისას უნდა დაიმახსოვროთ საწყისი რიცხვები: კლასში არის არა 3 მოსწავლე, არამედ 15. შემცირებული პროპორცია მხოლოდ გვიჩვენებს თანაფარდობას გოგოებისა და ბიჭების რაოდენობას შორის. ყოველ გოგოზე ორი ბიჭია, მაგრამ ეს არ ნიშნავს რომ კლასში 1 გოგო და 2 ბიჭია.
      • ზოგიერთი პროპორცია არ ექვემდებარება გამარტივებას. მაგალითად, თანაფარდობა 3:56 არ შეიძლება შემცირდეს, რადგან პროპორციაში შემავალ რაოდენობებს არ აქვთ საერთო გამყოფი: 3 არის მარტივი რიცხვი, ხოლო 56 არ იყოფა 3-ზე.

   2. "სკალირების" პროპორციები შეიძლება გამრავლდეს ან გაიყოს.პროპორციები ხშირად გამოიყენება რიცხვების გაზრდის ან შესამცირებლად ერთმანეთის პროპორციულად. ყველა სიდიდის პროპორციულად გამრავლება ან გაყოფა იმავე რიცხვზე ინარჩუნებს მათ შორის თანაფარდობას უცვლელად. ამრიგად, პროპორციები შეიძლება გამრავლდეს ან გაიყოს "მასშტაბის" ფაქტორით.

      • დავუშვათ, მცხობელს უნდა გაასამმაგდეს ნამცხვრების რაოდენობა, რომელსაც ისინი აცხობენ. თუ ფქვილი და შაქარი მიიღება 2-დან 1-ის თანაფარდობით (2:1), ფუნთუშების რაოდენობა სამჯერ რომ გაიზარდოს, ეს პროპორცია უნდა გავამრავლოთ 3-ზე. შედეგი იქნება 6 ჭიქა ფქვილი 3 ჭიქა შაქარზე ( 6:3).
      • თქვენ ასევე შეგიძლიათ გააკეთოთ პირიქით. თუ მცხობელს სჭირდება ნამცხვრების რაოდენობის განახევრება, პროპორციის ორივე ნაწილი უნდა გაიყოს 2-ზე (ან გავამრავლოთ 1/2-ზე). შედეგი არის 1 ჭიქა ფქვილი ნახევარი ჭიქა (1/2, ან 0,5 ჭიქა) შაქარი.

   3. ისწავლეთ როგორ იპოვოთ უცნობი სიდიდე ორი ექვივალენტური პროპორციის გამოყენებით.კიდევ ერთი გავრცელებული პრობლემა, რომლისთვისაც ფართოდ გამოიყენება პროპორციები, არის უცნობი რაოდენობის პოვნა ერთ-ერთ პროპორციებში, თუ მოცემულია მის მსგავსი მეორე პროპორცია. წილადების გამრავლების წესი მნიშვნელოვნად ამარტივებს ამ ამოცანას. ჩაწერეთ თითოეული პროპორცია წილადად, შემდეგ გააიგივეთ ეს წილადები ერთმანეთთან და იპოვეთ სასურველი მნიშვნელობა.

      • დავუშვათ, რომ გვყავს მოსწავლეთა მცირე ჯგუფი 2 ბიჭი და 5 გოგონა. თუ გვინდა შევინარჩუნოთ თანაფარდობა ბიჭებსა და გოგოებს შორის, რამდენი ბიჭი უნდა იყოს კლასში, სადაც 20 გოგოა? პირველი, მოდით შევადგინოთ ორივე პროპორცია, რომელთაგან ერთი შეიცავს უცნობ მნიშვნელობას: 2 ბიჭი: 5 გოგო \u003d x ბიჭები: 20 გოგო. თუ პროპორციებს წილადებად დავწერთ, მივიღებთ 2/5 და x/20. განტოლების ორივე მხარის მნიშვნელებზე გამრავლების შემდეგ მივიღებთ განტოლებას 5x=40; 40-ს ვყოფთ 5-ზე და შედეგად ვპოულობთ x=8.

   ნაწილი 3

   შეცდომის გამოვლენა

   1. პროპორციებთან ურთიერთობისას მოერიდეთ შეკრებას და გამოკლებას.ბევრი პროპორციული პრობლემა ასე ჟღერს: „კერძის მოსამზადებლად საჭიროა 4 კარტოფილი და 5 სტაფილო. თუ გინდა 8 კარტოფილის გამოყენება, რამდენი სტაფილო გჭირდება?“ ბევრი უშვებს შეცდომას, უბრალოდ ცდილობს დაამატოს შესაბამისი მნიშვნელობები. თუმცა, იგივე პროპორციის შესანარჩუნებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ და არა დაამატოთ. აქ არის არასწორი და სწორი გამოსავალი ამ პრობლემისთვის:

      • არასწორი მეთოდი: ”8 - 4 = 4, ანუ რეცეპტს დაემატა 4 კარტოფილი. ასე რომ, თქვენ უნდა აიღოთ წინა 5 სტაფილო და დაუმატოთ 4, რომ ... რაღაც არ იყოს! პროპორციები განსხვავებულად მუშაობს. Მოდი კიდევ ვცადოთ".
      • სწორი მეთოდია: „8/4 = 2, ანუ კარტოფილის რაოდენობა გაორმაგდა. ეს ნიშნავს, რომ სტაფილოების რაოდენობაც უნდა გავამრავლოთ 2-ზე. 5 x 2 = 10, ანუ ახალ რეცეპტში 10 სტაფილო უნდა იყოს გამოყენებული.

   2. გადააკეთეთ ყველა მნიშვნელობა იმავე ერთეულებში.ზოგჯერ პრობლემა ჩნდება იმის გამო, რომ მნიშვნელობებს განსხვავებული ერთეული აქვთ. პროპორციის ჩაწერამდე, გადააქციეთ ყველა სიდიდე იმავე საზომ ერთეულებში. Მაგალითად:

      • დრაკონს აქვს 500 გრამი ოქრო და 10 კილოგრამი ვერცხლი. როგორია ოქროსა და ვერცხლის შეფარდება დრაკონის რეზერვებში?
      • გრამი და კილოგრამი სხვადასხვა საზომი ერთეულია, ამიტომ ისინი უნდა იყოს ერთიანი. 1 კილოგრამი = 1000 გრამი, ანუ 10 კილოგრამი = 10 კილოგრამი x 1000 გრამი/1 კილოგრამი = 10 x 1000 გრამი = 10000 გრამი.
      • ასე რომ, დრაკონს აქვს 500 გრამი ოქრო და 10000 გრამი ვერცხლი.
      • ოქროს მასის შეფარდება ვერცხლის მასასთან არის 500 გრამი ოქრო / 10000 გრამი ვერცხლი = 5/100 = 1/20.

   3. ჩაწერეთ საზომი ერთეულები ამოცანის ამოხსნაში.პროპორციებთან დაკავშირებული პრობლემების დროს შეცდომის პოვნა ბევრად უფრო ადვილია, თუ თითოეული მნიშვნელობის შემდეგ ჩაწერთ მის საზომ ერთეულს. გახსოვდეთ, რომ თუ მრიცხველსა და მნიშვნელს აქვთ ერთი და იგივე საზომი ერთეული, ისინი მცირდება. ყველა შესაძლო აბრევიატურის შემდეგ, პასუხში უნდა იყოს მიღებული სწორი საზომი ერთეულები.

      • მაგალითად: მოცემულია 6 ყუთი და ყოველ სამ ყუთში არის 9 ბურთი; რამდენი ბურთია?
      • არასწორი მეთოდი: 6 ყუთი x 3 ყუთი / 9 მარმარილო = ... ჰმ, არაფერი შემცირდა და პასუხი არის „ყუთები x ყუთები / მარმარილო“. ამას აზრი არ აქვს.
      • სწორი მეთოდი: 6 ყუთი x 9 ბურთი / 3 ყუთი = 6 ყუთი x 3 ბურთი / 1 ყუთი = 6 x 3 ბურთი / 1 = 18 ბურთი.

პროპორცია -ორი მიმართების თანასწორობა, ანუ ფორმის თანასწორობა a:b = c:d , ან სხვა აღნიშვნით, თანასწორობა

Თუ ა : ბ = გ : დ, მაშინ ადა დდაურეკა უკიდურესი, ა ბდა გ - საშუალოწევრები პროპორციები.

"პროპორციისგან" თავის დაღწევა არ არის, ის შეუცვლელია ბევრ ამოცანაში. გამოსავალი მხოლოდ ერთია - ამ თანაფარდობასთან გამკლავება და პროპორციის გამოყენება მაშველად.

პროპორციის პრობლემების განხილვის დაწყებამდე მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ პროპორციის ძირითადი წესი:

პროპორციულად

უკიდურესი წევრების ნამრავლი უდრის საშუალოს ნამრავლს

თუ პროპორციის გარკვეული მნიშვნელობა უცნობია, ამ წესის საფუძველზე მისი პოვნა ადვილი იქნება.

Მაგალითად,

ანუ პროპორციის უცნობი მნიშვნელობა - წილადის მნიშვნელობა, მნიშვნელში რომელიც არის უცნობი მნიშვნელობის საპირისპირო რიცხვი , მრიცხველში - პროპორციის დარჩენილი წევრების ნამრავლი (მიუხედავად იმისა, თუ სად დგას ეს უცნობი მნიშვნელობა ).

დავალება 1.

21 კგ ბამბის თესლიდან მიიღეს 5,1 კგ ზეთი. რამდენი ზეთი მიიღება 7 კგ ბამბის თესლიდან?

გადაწყვეტილება:

ჩვენ გვესმის, რომ თესლის წონის შემცირება რამდენჯერმე იწვევს მიღებული ზეთის წონის შემცირებას იმავე რაოდენობით. ანუ რაოდენობები პირდაპირ კავშირშია.

შევავსოთ ცხრილი:

უცნობი მნიშვნელობა - წილადის მნიშვნელობა, რომლის მნიშვნელში - 21 - ცხრილში უცნობის საპირისპირო მნიშვნელობა, მრიცხველში - ცხრილის დარჩენილი წევრების ნამრავლი - პროპორცია.

აქედან გამომდინარე ვიღებთ, რომ 7 კგ თესლიდან 1,7 კგ ზეთი გამოვა.

რომ უფლება შეავსეთ ცხრილი, მნიშვნელოვანია გახსოვდეთ წესი:

იდენტური სახელები უნდა ეწეროს ერთმანეთის ქვეშ. პროცენტებს ვწერთ პროცენტებში, კილოგრამებს კილოგრამებში და ა.შ.

დავალება 2.

გადაიყვანეთ რადიანებად.

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ეს ვიცით. შევავსოთ ცხრილი:

დავალება 3.

წრეზე გამოსახულია წრე. რა არის წრის ფართობი, თუ დაჩრდილული სექტორის ფართობი არის 27?

გადაწყვეტილება:

აშკარად ჩანს, რომ დაჩრდილული სექტორი შეესაბამება კუთხეს (მაგალითად, იმიტომ, რომ სექტორის გვერდები წარმოიქმნება ორი მიმდებარე სწორი კუთხის ბისექტრებით). და რადგან მთელი წრე არის , მაშინ დაჩრდილული სექტორი ითვლის .

მოდით გავაკეთოთ ცხრილი:

საიდან მოდის წრის ფართობი?

დავალება 4. მას შემდეგ, რაც მთელი ველის 82% გაიჭედა, 9 ჰექტარი დარჩა სახნავი. რა არის მთელი ველის ფართობი?

გადაწყვეტილება:

მთელი ველი 100%-ია და რაკი 82% არის გუთანი, მაშინ 100%-82%=18% მინდორი რჩება დასახვენად.

შეავსეთ ცხრილი:

საიდან მივიღებთ, რომ მთელი ველი არის (ჰა).

და შემდეგი ამოცანა არის ჩასაფრება.

დავალება 5.

ორ ქალაქს შორის მანძილს სამგზავრო მატარებელი 80 კმ/სთ სიჩქარით 3 საათში გადის. რამდენი საათი დასჭირდება სატვირთო მატარებელს იმავე მანძილის გავლას 60 სიჩქარით კმ/სთ?

თუ ამ პრობლემას ისევე მოაგვარებთ, როგორც წინა, მიიღებთ შემდეგს:

დრო, რომელიც სჭირდება სატვირთო მატარებელს იმავე მანძილის გასავლელად, რაც სამგზავრო მატარებელს შეადგენს, არის საათები. ანუ, გამოდის, რომ უფრო დაბალი სიჩქარით სვლისას ის უფრო სწრაფად გადალახავს (ამავდროულად) მანძილს, ვიდრე უფრო მაღალი სიჩქარის მქონე მატარებელი.

რა არის მსჯელობის შეცდომა?

აქამდე განვიხილავდით პრობლემებს, სადაც იყო რაოდენობები ერთმანეთის პირდაპირპროპორციული , ე.ი ზრდაიგივე სიდიდის გარკვეული რაოდენობით, იძლევა ზრდამეორე რაოდენობა, რომელიც დაკავშირებულია მასთან ამდენივეჯერ (ასევე შემცირებით, რა თქმა უნდა). აქ კი სხვა სიტუაცია გვაქვს: სამგზავრო მატარებლის სიჩქარე მეტისატვირთო მატარებლის სიჩქარე რამდენჯერმე, მაგრამ იგივე მანძილის გადალახვის დრო სჭირდება სამგზავრო მატარებელს ნაკლებირამდენადაც სატვირთო მატარებელი. ანუ ღირებულებები ერთმანეთის მიმართ უკუპროპორციულია .

სქემა, რომელსაც ჩვენ აქამდე ვიყენებდით, ამ შემთხვევაში ოდნავ უნდა შეიცვალოს.

გადაწყვეტილება:

ჩვენ ვმსჯელობთ ასე:

სამგზავრო მატარებელი 3 საათს 80 კმ/სთ სიჩქარით მოძრაობდა, ამიტომ მან გაიარა კმ. ეს ნიშნავს, რომ სატვირთო მატარებელი იმავე მანძილს ერთ საათში გაივლის.

ანუ პროპორცია რომ შეგვედგინა, ჯერ მარჯვენა სვეტის უჯრები უნდა გაგვეცვალა. მიიღებდა:

Ისე, გთხოვთ ფრთხილად იყოთ პროპორციის შედგენისას. ჯერ გაარკვიეთ, რა სახის დამოკიდებულებასთან გაქვთ საქმე - პირდაპირ თუ საპირისპირო.

მათემატიკის თვალსაზრისით, პროპორცია არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. ურთიერთდამოკიდებულება დამახასიათებელია პროპორციის ყველა ნაწილისთვის, ისევე როგორც მათი უცვლელი შედეგი. თქვენ შეგიძლიათ გაიგოთ, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ პროპორცია პროპორციის თვისებებისა და ფორმულის გაცნობით. პროპორციების ამოხსნის პრინციპის გასაგებად, საკმარისი იქნება ერთი მაგალითის განხილვა. მხოლოდ პროპორციების პირდაპირ ამოხსნით, შეგიძლიათ მარტივად და სწრაფად ისწავლოთ ეს უნარები. და ეს სტატია დაეხმარება მკითხველს ამაში.

პროპორციის თვისებები და ფორმულა

1. პროპორციის შებრუნება. იმ შემთხვევაში, როდესაც მოცემული ტოლობა გამოიყურება 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ 2b: 1a = 4d: 3c. (უფრო მეტიც, 1a, 2b, 3c და 4d არის მარტივი რიცხვები, გარდა 0).
2. პროპორციის მოცემული წევრების გამრავლება ჯვარედინად. პირდაპირი გაგებით, ეს ასე გამოიყურება: 1a: 2b \u003d 3c: 4d და 1a4d \u003d 2b3c ჩაწერა მისი ექვივალენტური იქნება. ამრიგად, ნებისმიერი პროპორციის უკიდურესი ნაწილების ნამრავლი (რიცხვები ტოლობის კიდეებზე) ყოველთვის ტოლია შუა ნაწილების ნამრავლის (ტოლობის შუაში მდებარე რიცხვები).
3. პროპორციის შედგენისას ასევე შეიძლება სასარგებლო იყოს მისი ისეთი თვისება, როგორიცაა უკიდურესი და საშუალო ტერმინების შეცვლა. თანასწორობის ფორმულა 1a: 2b = 3c: 4d შეიძლება გამოჩნდეს შემდეგი გზით:
   • 1a: 3c = 2b: 4d (როდესაც პროპორციის შუა წევრები გადანაწილებულია).
   • 4d: 2b = 3c: 1a (როდესაც პროპორციის უკიდურესი წევრები გადანაწილებულია).
4. შესანიშნავად ეხმარება გადაჭრას მისი ქონების ზრდისა და შემცირების პროპორცია. 1a: 2b = 3c: 4d, ჩაწერეთ:
   • (1a + 2b) : 2b = (3c + 4d) : 4d (თანაბრობა მზარდი პროპორციით).
   • (1a - 2b) : 2b = (3c - 4d) : 4d (თანაბრობა კლების პროპორციით).
5. პროპორციების შექმნა შეგიძლიათ მიმატებით და გამოკლებით. როდესაც პროპორცია იწერება როგორც 1a:2b = 3c:4d, მაშინ:
   • (1a + 3c) : (2b + 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია დამატებულია).
   • (1a - 3c) : (2b - 4d) = 1a: 2b = 3c: 4d (პროპორცია გამოკლებულია).
6. ასევე, წილადი ან დიდი რიცხვების შემცველი პროპორციის ამოხსნისას, შეგიძლიათ მისი ორივე წევრი გაყოთ ან გაამრავლოთ ერთ რიცხვზე. მაგალითად, 70:40=320:60 პროპორციის კომპონენტები შეიძლება ჩაიწეროს ასე: 10*(7:4=32:6).
7. პროცენტებით პროპორციის ამოხსნის ვარიანტი ასე გამოიყურება. მაგალითად, ჩაწერეთ, 30=100%, 12=x. ახლა თქვენ უნდა გაამრავლოთ შუა რიცხვები (12 * 100) და გაყოთ ცნობილ უკიდურესობაზე (30). ამრიგად, პასუხი არის: x=40%. ანალოგიურად, საჭიროების შემთხვევაში, შეგიძლიათ გაამრავლოთ ცნობილი უკიდურესი ტერმინები და გაყოთ ისინი მოცემულ საშუალო რიცხვზე და მიიღოთ სასურველი შედეგი.

თუ გაინტერესებთ კონკრეტული პროპორციის ფორმულა, მაშინ უმარტივეს და ყველაზე გავრცელებულ ვერსიაში პროპორცია არის ასეთი თანასწორობა (ფორმულა): a / b \u003d c / d, რომელშიც a, b, c და d არის ოთხი არა. - ნულოვანი რიცხვები.

პროპორციების გამოყენებით პრობლემის გადაჭრა უცნობი მნიშვნელობის მიღებამდე მოდის xამ პროპორციის წევრი. შემდეგ პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით მიიღეთ წრფივი განტოლება და ამოხსენით იგი.

წინასწარი უნარები გაკვეთილის შინაარსი

როგორ გადავჭრათ პრობლემა პროპორციის გამოყენებით

განვიხილოთ უმარტივესი მაგალითი. სამ ჯგუფს სჭირდება 1600 რუბლის სტიპენდიის გადახდა. პირველ ჯგუფში 20 მოსწავლეა. ეს ნიშნავს, რომ პირველ ჯგუფს გადაიხდიან 1600 × 20, ანუ 32 ათასი რუბლი.

მეორე ჯგუფში 17 ადამიანია. ეს ნიშნავს, რომ მეორე ჯგუფს გადაიხდიან 1600 × 17, ანუ 27,200 ათასი რუბლი.

აბა, მესამე ჯგუფს გადავიხდით სტიპენდიას. მასში 15 ადამიანია. მათ უნდა დახარჯონ 1600 × 15, ანუ 24 ათასი რუბლი.

შედეგად, ჩვენ გვაქვს შემდეგი გამოსავალი:

ასეთი პრობლემებისთვის გამოსავალი შეიძლება დაიწეროს პროპორციის გამოყენებით.

პროპორცია, განსაზღვრებით, არის ორი თანაფარდობის ტოლობა. მაგალითად, თანასწორობა არის პროპორცია. ეს პროპორცია შეიძლება წაიკითხოს შემდეგნაირად:

აასე ვრცელდება ბ, როგორც გვრცელდება დ

ანალოგიურად, შეგიძლიათ დააკავშიროთ სტიპენდია და სტუდენტები, ისე რომ ყველამ მიიღოს 1600 რუბლი.

მოდით, ჩამოვწეროთ პირველი თანაფარდობა, კერძოდ, ათას ექვსასი რუბლის თანაფარდობა ერთ ადამიანზე:

ჩვენ გავარკვიეთ, რომ იმისათვის, რომ 20 სტუდენტს გადავიხადოთ თითო 1600 მანეთი, გვჭირდება 32 ათასი მანეთი. ასე რომ, მეორე თანაფარდობა იქნება ოცდათორმეტი ათასი სტუდენტის თანაფარდობა:

ახლა ჩვენ ვუკავშირდებით მიღებულ ურთიერთობებს თანაბარი ნიშნით:

პროპორცია მივიღეთ. მისი წაკითხვა შეიძლება ასე:

ათას ექვსასი მანეთი ექცევა ერთ სტუდენტს ისე, როგორც ოცდათორმეტი ათასი რუბლი ეპყრობა ოც სტუდენტს.

გაიგეთ 1600 რუბლი თითოეული. თუ განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ , მაშინ აღმოვაჩენთ, რომ ერთი სტუდენტი, ისევე როგორც ოცი სტუდენტი, მიიღებს 1600 რუბლს.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ოცი სტუდენტისთვის სტიპენდიის გადასახდელად საჭირო თანხა უცნობი იყო. ვთქვათ, თუ კითხვა იყო: in 20 სტუდენტისგან შემდგარი ჯგუფი და თითოეულს სჭირდება 1600 რუბლის გადახდა. რამდენი რუბლია საჭირო სტიპენდიის გადასახდელად?

ამ შემთხვევაში პროპორცია ფორმას მიიღებდა. ანუ სტიპენდიის გადასახდელად საჭირო თანხა პროპორციის უცნობი წევრი გახდა. ეს პროპორცია შეიძლება ასე წაიკითხოთ:

ათას ექვსასი მანეთი ეპყრობა ერთ სტუდენტს რუბლის უცნობი რაოდენობაეხება ოც სტუდენტს

ახლა გამოვიყენოთ პროპორციის ძირითადი თვისება. მასში ნათქვამია, რომ პროპორციის უკიდურესი პირობების ნამრავლი უდრის საშუალოს ნამრავლს:

პროპორციის ტერმინების გამრავლებით "ჯვარედინი", მივიღებთ ტოლობას 1600 × 20 = 1 × x. განტოლების ორივე მხარის გამოთვლით, მივიღებთ 32000 = xან x= 32000 . სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ ვიპოვით იმ უცნობი რაოდენობის მნიშვნელობას, რომელსაც ვეძებდით.

ანალოგიურად, შესაძლებელი იყო ჯამური თანხის დადგენა დანარჩენი სტუდენტებისთვის - 17 და 15. ეს პროპორციები გამოიყურებოდა და . პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით, შეგიძლიათ იპოვოთ მნიშვნელობა x

დავალება 2. ავტობუსმა 100 კმ მანძილი 2 საათში გაიარა. რამდენი დრო დასჭირდება ავტობუსს 300 კმ-ის გასავლელად, თუ ის იმავე სიჩქარით მოძრაობს?

ჯერ შეგიძლიათ განსაზღვროთ მანძილი, რომელსაც ავტობუსი გადის ერთ საათში. შემდეგ დაადგინეთ რამდენჯერ არის ეს მანძილი 300 კილომეტრში:

100: 2 = 50 კმ მგზავრობის საათში

300 კმ: 50 = 6 საათი

ან შეგიძლიათ შეადგინოთ პროპორცია „ასი კილომეტრი დაკავშირებულია ერთ საათთან, როგორც სამასი კილომეტრი საათების უცნობ რაოდენობასთან“:

იგივე რაოდენობით თანაფარდობა

თუ პროპორციის უკიდურესი ან შუა წევრები ერთმანეთს ცვლიან, მაშინ პროპორცია არ დაირღვევა.

დიახ, პროპორციულად შეგიძლიათ შეცვალოთ ბოლო პირობები. შემდეგ მიიღებთ პროპორციას .

პროპორცია ასევე არ დაირღვევა, თუ ის შებრუნებულია, ანუ გამოიყენეთ შებრუნებული შეფარდება ორივე ნაწილში.

მოდით გადავაბრუნოთ პროპორცია . შემდეგ ვიღებთ პროპორციას . ურთიერთობა არ წყდება. თანაფარდობა სტუდენტებს შორის უდრის თანაფარდობას ამ სტუდენტებისთვის განკუთვნილ თანხებს შორის. ეს პროპორცია ხშირად დგება სკოლაში, როცა ცხრილები დგება პრობლემის გადასაჭრელად.

წერის ეს მეთოდი ძალიან მოსახერხებელია, რადგან ის საშუალებას გაძლევთ თარგმნოთ პრობლემის მდგომარეობა უფრო გასაგებ ფორმაში. ჩვენ მოვაგვარებთ პრობლემას, რომელშიც საჭირო იყო იმის დადგენა, თუ რამდენი რუბლია საჭირო ოცი სტუდენტისთვის სტიპენდიის გადასახდელად.

ჩვენ ვწერთ პრობლემის პირობას შემდეგნაირად:

მოდით შევქმნათ ცხრილი ამ პირობის საფუძველზე:

მოდით გავაკეთოთ პროპორცია ცხრილის მონაცემების გამოყენებით:

პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით ვიღებთ წრფივ განტოლებას და ვიპოვით მის ფესვს:

თავიდან პროპორციით ვიმუშავეთ , რომელიც შედგება სხვადასხვა ხასიათის რაოდენობების შეფარდებით. ურთიერთობების მრიცხველები იყო ფულის ოდენობა, ხოლო მნიშვნელი იყო სტუდენტების რაოდენობა:

უკიდურესი ტერმინების გამოცვლის შემდეგ, მივიღეთ პროპორცია . ეს პროპორცია შედგება იმავე ბუნების სიდიდეების შეფარდებით. პირველი მიმართება შეიცავს სტუდენტების რაოდენობას, ხოლო მეორე შეიცავს ფულის რაოდენობას:

თუ მიმართება შედგება ერთი და იმავე ბუნების სიდიდეებისგან, მაშინ ჩვენ მას ვუწოდებთ იგივე რაოდენობის თანაფარდობა. მაგალითად, ნაყოფს, ფულს, ფიზიკურ რაოდენობებს, ფენომენებს, მოქმედებებს შორის ურთიერთობა.

თანაფარდობა შეიძლება შედგებოდეს როგორც ერთი და იგივე მნიშვნელობებით, ასევე განსხვავებული ბუნების მნიშვნელობებით. ამ უკანასკნელის მაგალითებია მანძილის შეფარდება დროზე, პროდუქტის ღირებულების თანაფარდობა მის რაოდენობასთან, სტიპენდიის ჯამური თანხის თანაფარდობა სტუდენტების რაოდენობასთან.

მაგალითი 2. სკოლის ბაღში ფიჭვისა და არყის ხეებია დარგული, თითო ფიჭვზე კი 2 არყის ხეა. რამდენი ფიჭვი დაირგო ბაღში, თუ 240 არყი დაირგო?

დაადგინეთ რამდენი ფიჭვი დარგეს ბაღში. ამისათვის ჩვენ გავაკეთებთ პროპორციას. პირობა ამბობს, რომ თითოეულ ფიჭზე არის 2 არყი. მოდით დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს, რომ ფიჭვის ხეზე არის ორი არყი:

ახლა დავწეროთ მეორე მიმართება, რომელიც აჩვენებს ამას xფიჭვის ანგარიშზე 240 არყი

ჩვენ ვუკავშირდებით ამ ურთიერთობებს თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ შემდეგ პროპორციას:

”2 არყის ხე ასე დაკავშირებულია ერთ ფიჭასთან,
როგორ არის დაკავშირებული 240 არყის ხე x ფიჭვთან"

პროპორციის ძირითადი თვისების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით მნიშვნელობას x

ან პროპორცია შეიძლება შედგენილი იყოს პირობის პირველი ჩაწერით, როგორც წინა მაგალითში:

იგივე პროპორცია მიიღება, მაგრამ ამჯერად ის შედგენილი იქნება ამავე სახელწოდების რაოდენობების შეფარდებით:

ასე რომ, ბაღში 120 ფიჭვი დაირგო.

მაგალითი 3. 225 კგ მადნიდან მიიღეს 34,2 კგ სპილენძი. რამდენია სპილენძის პროცენტი მადნებში?

შეგიძლიათ 34.2 გაყოთ 225-ზე და შედეგი გამოხატოთ პროცენტულად:

ან გააკეთეთ 225 კილოგრამი მადნის პროპორცია ისე 100%, რადგან 34,2 კგ სპილენძი უცნობ პროცენტზე მოდის:

ან შეადგინეთ პროპორცია, რომელშიც თანაფარდობა შედგება იმავე სახელის რაოდენობებისგან:

ამოცანები პირდაპირი პროპორციულობისთვის

მსგავსი სიდიდეების ურთიერთკავშირის გაგება იწვევს ამოცანების ამოხსნის გააზრებას პირდაპირი და უკუპროპორციულობისთვის. დავიწყოთ პირდაპირი პროპორციულობის პრობლემებით.

ჯერ გავიხსენოთ რა არის პირდაპირი პროპორციულობა. ეს არის ურთიერთობა ორ რაოდენობას შორის, რომლის დროსაც ერთ-ერთი მათგანის ზრდა იწვევს მეორის ზრდას იმავე რაოდენობით.

თუ ავტობუსი 1 საათში გადის 50 კმ მანძილს, მაშინ ავტობუსს 2 საათი დასჭირდება 100 კმ მანძილის გასავლელად (იმავე სიჩქარით). რამდენჯერ გაიზარდა მანძილი, ამდენივე გაიზარდა მოძრაობის დრო. როგორ ვაჩვენოთ ეს პროპორციით?

თანაფარდობის ერთ-ერთი მიზანია აჩვენოს, რამდენჯერ მეტია პირველი მნიშვნელობა მეორეზე. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ პროპორცია იმის საჩვენებლად, რომ მანძილი და დრო გაორმაგდა. ამისათვის ჩვენ ვიყენებთ იგივე რაოდენობის თანაფარდობას.

ვაჩვენოთ, რომ მანძილი გაორმაგდა:

ანალოგიურად, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ დრო გაიზარდა იმავე ფაქტორით

"100 კილომეტრი დაკავშირებულია 50 კილომეტრთან, როგორც 2 საათი დაკავშირებულია 1 საათთან"

თუ განტოლების ორივე ნაწილს გავყოფთ, მაშინ აღმოვაჩენთ, რომ მანძილი და დრო გაზრდილია იმავე რაოდენობის ჯერ.

2 = 2

დავალება 2. წისქვილზე 3 საათის განმავლობაში 27 ტონა ხორბლის ფქვილი იყო დაფქული. რამდენი ტონა ხორბლის ფქვილის დაფქვა შეიძლება 9 საათში, თუ მუშაობის ტემპი არ იცვლება?

გადაწყვეტილება

წისქვილის მუშაობის დრო და დაფქული ფქვილის მასა პირდაპირპროპორციულია. ექსპლუატაციის დროის რამდენჯერმე გაზრდით, დაფქული ფქვილის რაოდენობა გაიზრდება იმავე რაოდენობით. მოდით ვაჩვენოთ ეს პროპორციით.

დავალება მოცემულია 3 საათი, ეს 3 საათი გაიზარდა 9 საათამდე, ჩამოვწეროთ 9 საათის თანაფარდობა 3 საათამდე, ეს თანაფარდობა აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა წისქვილის დრო:

ახლა დავწეროთ მეორე მიმართება. ეს იქნება დამოკიდებულება xტონა ხორბლის ფქვილი 27 ტონამდე. ეს თანაფარდობა აჩვენებს, რომ დაფქული ფქვილის რაოდენობა გაიზარდა ისევე, როგორც წისქვილის დრო

ამ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას.

ჩვენ ვიყენებთ პროპორციის ძირითად თვისებას და ვპოულობთ x

ეს ნიშნავს, რომ 81 ტონა ხორბლის ფქვილის დაფქვა შესაძლებელია 9 საათში.

ზოგადად, თუ ავიღებთ ორ პირდაპირპროპორციულ მნიშვნელობას და გავზრდით მათ იმავე რაოდენობის ჯერ, მაშინ ახალი მნიშვნელობის შეფარდება პირველი მნიშვნელობის ძველ მნიშვნელობასთან ტოლი იქნება ახალი მნიშვნელობის შეფარდებას ძველთან. მეორე მნიშვნელობის ღირებულება.

ასე რომ, წინა პრობლემაში, ძველი მნიშვნელობები იყო 3 სთ და 27 ტ. ეს მნიშვნელობები გაიზარდა იმავე რაოდენობით (სამჯერ). ახალი მნიშვნელობებია 9 საათი და 81 საათი. მაშინ წისქვილის მუშაობის დროის ახალი მნიშვნელობის შეფარდება ძველ მნიშვნელობასთან უდრის დაფქული ფქვილის მასის ახალი მნიშვნელობის შეფარდებას ძველ მნიშვნელობასთან.

თუ განტოლების ორივე ნაწილს გავყოფთ, აღმოვაჩენთ, რომ წისქვილის მუშაობის დრო და დაფქული ფქვილის რაოდენობა გაიზარდა იმავე რაოდენობის ჯერ:

3 = 3

პროპორცია, რომელიც შედგენილია ამოცანებთან პირდაპირი პროპორციულობისთვის, შეიძლება აღწერილი იყოს გამოხატვის გამოყენებით:

სადაც მოგვიანებით 81-ის ტოლი გახდა.

დავალება 2. ზამთარში რვა ძროხისთვის რძალი ყოველდღიურად ამზადებს 80 კგ თივას, 96 კგ ძირეულ კულტურას, 120 კგ სილოსს და 12 კგ კონცენტრატს. განსაზღვრეთ ამ საკვების ყოველდღიური მოხმარება 18 ძროხისთვის.

გადაწყვეტილება

ძროხების რაოდენობა და თითოეული საკვების წონა პირდაპირპროპორციულია. ძროხების რაოდენობის რამდენჯერმე გაზრდით, თითოეული საკვების მასა გაიზრდება იმავე რაოდენობით.

მოდით გავაკეთოთ რამდენიმე პროპორცია, რომლითაც გამოითვლება თითოეული საკვების მასა 18 ძროხისთვის.

დავიწყოთ თივით. ყოველდღიურად 8 ძროხზე იღებენ 80 კგ-ს. შემდეგ 18 ძროხისთვის მოიკრიფება xკგ თივა.

მოდით დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა ძროხების რაოდენობა:

ახლა ჩვენ ვწერთ თანაფარდობას, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა თივის მასა:

ჩვენ ვუკავშირდებით ამ ურთიერთობებს თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას:

აქედან ვპოულობთ x

ასე რომ, 18 ძროხისთვის საჭიროა 180 კგ თივის მომზადება. ანალოგიურად განვსაზღვრავთ ძირეული კულტურების, სილოსის და კონცენტრატების მასას.

8 ძროხზე ყოველდღიურად იღებენ 96 კგ ძირ კულტურას. შემდეგ 18 ძროხისთვის მოიკრიფება xკგ ძირეული კულტურები. შეადგინეთ პროპორცია პროპორციებიდან და შემდეგ გამოთვალეთ მნიშვნელობა x

მოდით განვსაზღვროთ, რამდენი სილოსი და კონცენტრატი უნდა მომზადდეს 18 ძროხისთვის:

ეს ნიშნავს, რომ 18 ძროხისთვის ყოველდღიურად საჭიროა 180 კგ თივა, 216 კგ ძირეული კულტურა, 270 კგ სილოსი და 27 კგ კონცენტრატი.

დავალება 3. დიასახლისი ალუბლის მურაბას ამზადებს, 3 ჭიქა ალუბალს კი 2 ჭიქა შაქარი ასხამს. რამდენი შაქარი უნდა ჩაყაროთ 12 ჭიქა ალუბალში? 10 ჭიქა ალუბლისთვის? ერთი ჭიქა ალუბლისთვის?

გადაწყვეტილება

ალუბლის ჭიქების რაოდენობა და გრანულირებული შაქრის ჭიქების რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია. ალუბლის ჭიქების რამდენჯერმე გაზრდის შემთხვევაში შაქრის ჭიქების რაოდენობაც იმავე რაოდენობით გაიზრდება.

მოდით დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა ალუბლის ჭიქების რაოდენობა:

ახლა დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა შაქრის ჭიქების რაოდენობა:

ამ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას და ვპოულობთ მნიშვნელობას x

ასე რომ, 12 ჭიქა ალუბლისთვის საჭიროა 8 ჭიქა შაქარი.

დაადგინეთ ჭიქების შაქრის რაოდენობა 10 ჭიქა ალუბლისა და ერთი ჭიქა ალუბლისათვის

შებრუნებული პროპორციული პრობლემები

შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანების გადასაჭრელად, კვლავ შეგიძლიათ გამოიყენოთ პროპორცია, რომელიც შედგება იმავე რაოდენობების შეფარდებით.

პირდაპირი პროპორციულობისგან განსხვავებით, სადაც რაოდენობები იზრდება ან მცირდება ერთი მიმართულებით, უკუპროპორციულობით, რაოდენობები უბრუნდება ერთმანეთს.

თუ ერთი მნიშვნელობა რამდენჯერმე იზრდება, მაშინ მეორე მცირდება იმავე რაოდენობით. პირიქით, თუ ერთი მნიშვნელობა მცირდება რამდენჯერმე, მაშინ მეორე იზრდება იმავე ოდენობით.

ვთქვათ, თქვენ უნდა დახატოთ ღობე, რომელიც შედგება 8 ფურცლისგან

ერთი მხატვარი 8-ვე ფურცელს თავად დახატავს

თუ 2 მხატვარია, მაშინ თითოეული დახატავს 4 ფურცელს.

ეს, რა თქმა უნდა, იმ პირობით, რომ მხატვრები გულწრფელები იყვნენ ერთმანეთთან და სამართლიანად იზიარებდნენ ამ ნამუშევარს ორს შორის.

თუ 4 მხატვარია, მაშინ თითოეული დახატავს 2 ფურცელს

ჩვენ ვამჩნევთ, რომ მხატვრების რაოდენობის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად, იმავე რაოდენობით მცირდება ფურცლების რაოდენობა, რომლებიც ერთ მხატვარს ეცემა.

ასე გავზარდეთ მხატვრების რაოდენობა 1-დან 4-მდე. ანუ გავაოთამემეთ მხატვრების რაოდენობა. მოდით დავწეროთ ეს მიმართებით:

შედეგად, ოთხჯერ შემცირდა ერთ მხატვარზე გალავნის ფურცლების რაოდენობა. მოდით დავწეროთ ეს მიმართებით:

ამ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას

"4 მხატვარი არის 1 მხატვრისთვის, როგორც 8 ფურცელი არის 2 ფურცელი"

დავალება 2. ახალ კორპუსში ბინების დასრულება 15-მა მუშამ 24 დღეში დაასრულა. რამდენი დღე დასჭირდება 18 მუშაკს ამ სამუშაოს შესასრულებლად?

გადაწყვეტილება

მუშათა რაოდენობა და სამუშაოზე დახარჯული დღეების რაოდენობა უკუპროპორციულია. თუ მუშათა რაოდენობა რამდენჯერმე გაიზრდება, ამ სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო დღეების რაოდენობა იმავე ოდენობით შემცირდება.

ჩამოვწეროთ 18 მუშა 15 მუშის თანაფარდობა. ეს თანაფარდობა აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა მუშაკთა რაოდენობა

ახლა დავწეროთ მეორე თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ შემცირდა დღეების რაოდენობა. ვინაიდან დღეების რაოდენობა შემცირდება 24 დღიდან xდღეები, მაშინ მეორე თანაფარდობა იქნება დღეების ძველი რაოდენობის შეფარდება (24 დღე) დღეების ახალ რაოდენობასთან ( xდღეები)

მიღებულ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას:

აქედან ვპოულობთ x

ეს ნიშნავს, რომ 18 მუშა საჭირო სამუშაოს 20 დღეში დაასრულებს.

ზოგადად, თუ აიღებთ ორ უკუპროპორციულ რაოდენობას და გაზრდით ერთს გარკვეული რაოდენობით, მაშინ მეორეც იგივე რაოდენობით შემცირდება. მაშინ ახალი მნიშვნელობის შეფარდება პირველი რაოდენობის ძველ მნიშვნელობასთან ტოლი იქნება ძველი მნიშვნელობის შეფარდება მეორე სიდიდის ახალ მნიშვნელობასთან.

ასე რომ, წინა ამოცანაში, ძველი მნიშვნელობები იყო 15 მუშა და 24 დღე. მუშათა რაოდენობა 15-დან 18-მდე გაიზარდა (ანუ 1-ჯერ გაიზარდა). შედეგად, სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო დღეების რაოდენობა იგივე ფაქტორით შემცირდა. ახალი მნიშვნელობებია 18 სამუშაო დღე და 20 დღე. მაშინ მუშათა ახალი რაოდენობის შეფარდება ძველ რიცხვთან უდრის ძველი დღეების შეფარდებას ახალ რიცხვთან.

შებრუნებული პროპორციულობის ამოცანების პროპორციის შესაქმნელად, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ფორმულა:

ჩვენს ამოცანასთან დაკავშირებით, ცვლადების მნიშვნელობები იქნება შემდეგი:

სადაც მოგვიანებით გახდა 20.

დავალება 2. ორთქლის გემის სიჩქარე დაკავშირებულია მდინარის სიჩქარესთან 36:5. ორთქლმავალი ქვევით მოძრაობდა 5 საათი და 10 წუთი. რამდენი დრო დასჭირდება მის დაბრუნებას?

გადაწყვეტილება

გემის საკუთარი სიჩქარეა 36 კმ/სთ. მდინარის დინების სიჩქარეა 5 კმ/სთ. ვინაიდან ორთქლმავალი მკლავის ნაკადით მოძრაობდა, მისი სიჩქარე იყო 36 + 5 = 41 კმ/სთ. მგზავრობის დრო იყო 5 საათი 10 წუთი. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ გამოვხატავთ დროს წუთებში:

5 საათი 10 წუთი = 300 წუთი + 10 წუთი = 310 წუთი

ვინაიდან უკანა გზაზე ორთქლმავალი მდინარის დინების საწინააღმდეგოდ მოძრაობდა, მისი სიჩქარე იყო 36 − 5 = 31 კმ/სთ.

გემის სიჩქარე და მისი მოძრაობის დრო უკუპროპორციულია. თუ სიჩქარე რამდენჯერმე შემცირდება, მისი გადაადგილების დრო იმავე ოდენობით გაიზრდება.

მოდით დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ შემცირდა მოძრაობის სიჩქარე:

ახლა ჩამოვწეროთ მეორე თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა მოძრაობის დრო. ახალი დროიდან xიქნება ძველ დროზე დიდი, თანაფარდობის მრიცხველში ვწერთ დროს x, ხოლო მნიშვნელი არის ძველი დრო, უდრის სამას ათ წუთს

მიღებულ თანაფარდობებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას. აქედან ჩვენ ვპოულობთ მნიშვნელობას x

410 წუთი არის 6 საათი და 50 წუთი. ასე რომ, გემს უკან დასაბრუნებლად 6 საათი და 50 წუთი დასჭირდება.

დავალება 3. გზის შეკეთებაზე 15 ადამიანი მუშაობდა, სამუშაოები კი 12 დღეში უნდა დაესრულებინა. დილით მეხუთე დღეს კიდევ რამდენიმე მუშა მოვიდა, დარჩენილი სამუშაოები 6 დღეში შესრულდა. რამდენი თანამშრომელი ჩამოვიდა დამატებით?

გადაწყვეტილება

12 დღეს გამოაკელით ნამუშევარი 4 დღე. ასე რომ, ჩვენ განვსაზღვრავთ კიდევ რამდენი დღე რჩება თხუთმეტი მუშის დასაქმებამდე

12 დღე - 4 დღე = 8 დღე

მეხუთე დღეს დამატებითი ჩამოვიდა xმუშები. მაშინ მუშათა საერთო რაოდენობა 15+ იყო x .

მუშათა რაოდენობა და სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო დღეების რაოდენობა უკუპროპორციულია. მუშათა რაოდენობის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად დღეების რაოდენობაც ამდენივე შემცირდება.

მოდით დავწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა მუშაკთა რაოდენობა:

ახლა დავწეროთ რამდენჯერ შემცირდა სამუშაოს დასასრულებლად საჭირო დღეების რაოდენობა:

ამ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას. აქედან შეგიძლიათ გამოთვალოთ ღირებულება x

ასე რომ, დამატებით 5 მუშა მოვიდა.

მასშტაბი

მასშტაბი არის გამოსახულების სეგმენტის სიგრძის თანაფარდობა ადგილზე შესაბამისი სეგმენტის სიგრძესთან.

დავუშვათ, რომ მანძილი სახლიდან სკოლამდე არის 8 კმ. შევეცადოთ დავხატოთ ტერიტორიის გეგმა, სადაც მითითებული იქნება სახლი, სკოლა და მათ შორის მანძილი. მაგრამ ქაღალდზე 8 კმ მანძილს ვერ დავხატავთ, რადგან საკმაოდ დიდია. მაგრამ მეორე მხრივ, ჩვენ შეგვიძლია რამდენჯერმე შევამციროთ ეს მანძილი ისე, რომ ქაღალდზე მოთავსდეს.

მოდით, ჩვენს გეგმაზე კილომეტრები ადგილზე იყოს გამოხატული სანტიმეტრებში. 8 კილომეტრის სანტიმეტრებად გადაქცევით მივიღებთ 800000 სანტიმეტრს.

შევამციროთ 800000 სმ ასი ათასჯერ:

800 000 სმ: 100 000 სმ = 8 სმ

8 სმ არის მანძილი სახლიდან სკოლამდე, ასი ათასჯერ შემცირებული. ახლა თქვენ შეგიძლიათ მარტივად დახატოთ სახლი და სკოლა ქაღალდზე, რომელთა შორის მანძილი 8 სმ იქნება.

ეს 8 სმ ეხება რეალურ 800 000 სმ-ს. მოდით ჩამოვწეროთ თანაფარდობის გამოყენებით:

8: 800 000

მიმართების ერთ-ერთი თვისებაა ის, რომ კავშირი არ იცვლება, თუ მისი წევრები მრავლდება ან იყოფა იმავე რიცხვზე.

8: 800 000 თანაფარდობის გასამარტივებლად მისი ორივე წევრი შეიძლება გავყოთ 8-ზე. შემდეგ მივიღებთ თანაფარდობას 1: 100 000. ამ თანაფარდობას მასშტაბი დაერქმევა. ეს თანაფარდობა გვიჩვენებს, რომ გეგმაზე ერთი სანტიმეტრი ეხება (ან შეესაბამება) ასი ათას სანტიმეტრს მიწაზე.

ამიტომ, ჩვენს ფიგურაში უნდა აღინიშნოს, რომ გეგმა შედგენილია 1: 100,000 მასშტაბით.

გეგმაზე 1 სმ აღნიშნავს 100000 სმ მიწაზე;
გეგმაზე 2 სმ ეხება 200000 სმ მიწაზე;
3 სმ გეგმაზე მიუთითებს 300000 ადგილზე და ა.შ.

ნებისმიერ რუკაზე ან გეგმაზე მითითებულია, თუ რა მასშტაბით არის დამზადებული. ეს მასშტაბი საშუალებას გაძლევთ განსაზღვროთ რეალური მანძილი ობიექტებს შორის.

ასე რომ, ჩვენი გეგმა შედგენილია 1: 100 000 სკალაზე, ამ გეგმაზე მანძილი სახლსა და სკოლას შორის არის 8 სმ, სახლსა და სკოლას შორის რეალური მანძილის გამოსათვლელად საჭიროა 8 სმ-ის გაზრდა 100 000-ჯერ. ანუ 8 სმ გავამრავლოთ 100000-ზე

8 სმ × 100 000 = 800 000 სმ

800 000 სმ-ს ან 8 კმ-ს მივიღებთ, თუ სანტიმეტრებს გადავიყვანთ კილომეტრებად.

დავუშვათ, სახლსა და სკოლას შორის არის ხე. გეგმაზე სკოლასა და ამ ხეს შორის მანძილი 4 სმ-ია.

მაშინ სახლსა და ხეს შორის რეალური მანძილი იქნება 4 სმ × 100 000 = 400 000 სმ ან 4 კმ.

ადგილზე მანძილი შეიძლება განისაზღვროს პროპორციით. ჩვენს მაგალითში, მანძილი სახლსა და სკოლას შორის გამოითვლება შემდეგი პროპორციით:

გეგმაზე 1 სმ ეხება 100000 სმ მიწაზე, როგორც 8 სმ გეგმაზე ეხება x სმ მიწაზე.

ამ პროპორციიდან ვიგებთ, რომ მნიშვნელობა xუდრის 800000 სმ.

მაგალითი 2. რუკაზე მანძილი ორ ქალაქს შორის არის 8,5 სმ, განსაზღვრეთ ქალაქებს შორის ფაქტობრივი მანძილი, თუ რუკა დახატულია 1: 1,000,000 მასშტაბით.

გადაწყვეტილება

მასშტაბი 1: 1,000,000 მიუთითებს, რომ რუკაზე 1 სმ შეესაბამება 1,000,000 სმ მიწაზე. მაშინ 8,5 სმ მოერგება xიხილეთ ადგილი. გამოვყოთ პროპორცია 1-დან 1000000-მდე 8,5-მდე x

1 კმ შეიცავს 100 000 სმ, მაშინ 8 500 000 სმ იქნება

ან შეგიძლია ასე კამათი. მანძილი რუკაზე და მანძილი ადგილზე პირდაპირპროპორციულია. თუ რუკაზე მანძილს რამდენჯერმე გაზრდით, ადგილზე მანძილი იმავე ოდენობით გაიზრდება. შემდეგ პროპორცია მიიღებს შემდეგ ფორმას. პირველი თანაფარდობა აჩვენებს, რამდენჯერ მეტია მანძილი ადგილზე, ვიდრე მანძილი რუკაზე:

მეორე თანაფარდობა აჩვენებს, რომ მანძილი მიწაზე 8,5 სმ-ზე მეტია რუკაზე:

აქედან xუდრის 8 500 000 სმ ან 85 კმ.

დავალება 3. მდინარე ნევის სიგრძე 74 კმ-ია. რა არის მისი სიგრძე რუკაზე, რომლის მასშტაბი არის 1: 2,000,000

გადაწყვეტილება

მასშტაბი 1:2000000 ნიშნავს, რომ რუკაზე 1 სმ შეესაბამება 2,000,000 სმ მიწაზე.

ხოლო 74 კმ არის 74 × 100 000 = 7 400 000 სმ მიწაზე. 7,400,000-მდე 2,000,000-მდე შემცირებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ მდინარე ნევის სიგრძეს რუკაზე.

7,400,000: 2,000,000 = 3,7 სმ

ასე რომ, რუკაზე, რომლის მასშტაბი არის 1: 2,000,000, მდინარე ნევის სიგრძე 3.7 სმ.

ჩვენ ვწერთ გამოსავალს პროპორციის გამოყენებით. პირველი თანაფარდობა აჩვენებს, რამდენჯერ ნაკლებია სიგრძე რუკაზე, ვიდრე მიწაზე:

მეორე თანაფარდობა აჩვენებს, რომ 74 კმ (7,400,000 სმ) იგივე ფაქტორით შემცირდა:

აქედან ვპოულობთ xუდრის 3,7 სმ

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

ამოცანა 1. 21 კგ ბამბის თესლიდან მიიღეს 5,1 კგ ზეთი. რამდენი ზეთი მიიღება 7 კგ ბამბის თესლიდან?

გადაწყვეტილება

დაე იყოს xკგ ზეთის მიღება შესაძლებელია 7 კგ ბამბის თესლიდან. ბამბის თესლის მასა და მიღებული ზეთის მასა პირდაპირპროპორციულია. შემდეგ ბამბის თესლის 21 კგ-დან 7 კგ-მდე შემცირება გამოიწვევს მიღებული ზეთის იმავე რაოდენობით შემცირებას.

პასუხი: 7 კგ ბამბის თესლიდან მიიღება 1,7 კგ ზეთი.

ამოცანა 2. რკინიგზის ლიანდაგის გარკვეულ მონაკვეთზე 8 მ სიგრძის ძველი რელსები შეიცვალა ახლით 12 მ. რამდენი ახალი თორმეტმეტრიანი რელსი იქნება საჭირო 360 ძველი რელსის მოხსნის შემთხვევაში?

გადაწყვეტილება

მონაკვეთის სიგრძე, სადაც ხდება რელსების შეცვლა, არის 8 × 360 = 2880 მ.

დაე იყოს xგამოსაცვლელად საჭიროა თორმეტმეტრიანი რელსები. ერთი რელსის სიგრძის ზრდა 8 მ-დან 12 მ-მდე გამოიწვევს რელსების რაოდენობის შემცირებას 360-დან. xრამ. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ლიანდაგის სიგრძე და მათი რაოდენობა საპირისპიროდ არის დაკავშირებული

პასუხი:ძველი რელსების ჩანაცვლებას 240 ახალი რელსი დასჭირდება.

დავალება 3. კლასის მოსწავლეების 60% წავიდა კინოში, დარჩენილი 12 ადამიანი კი გამოფენაზე. რამდენი მოსწავლეა კლასში?

გადაწყვეტილება

თუ სტუდენტების 60% წავიდა კინოში, ხოლო დარჩენილი 12 ადამიანი გამოფენაზე წავიდა, მაშინ სტუდენტების 40% იქნება გამოფენაზე წასული 12 ადამიანი. შემდეგ შესაძლებელია შეადგინოთ პროპორცია, რომელშიც 12 სტუდენტი შეესაბამება 40%-ს ისევე, როგორც ყველა. xსტუდენტები არიან 100%

ან შეგიძლიათ გააკეთოთ პროპორცია, რომელიც შედგება იგივე რაოდენობის თანაფარდებისგან. სტუდენტების რაოდენობა და პროცენტი პირდაპირ პროპორციულად იცვლება. მაშინ შეიძლება დაიწეროს, რომ რამდენჯერ გაიზარდა მონაწილეთა რაოდენობა, პროცენტული წილი იმავე ოდენობით გაიზარდა

ამოცანა 5. ფეხით მოსიარულემ გზაში გაატარა 2,5 საათი, მოძრაობდა 3,6 კმ/სთ სიჩქარით. რამდენ ხანს გაატარებს ფეხით მოსიარულე ერთსა და იმავე გზაზე, თუ მისი სიჩქარე 4,5 კმ/სთ-ია

გადაწყვეტილება

სიჩქარე და დრო უკუპროპორციულია. თუ სიჩქარეს რამდენჯერმე გაზრდით, მოძრაობის დრო იგივე რაოდენობით შემცირდება.

მოდით ჩამოვწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს რამდენჯერ გაიზარდა ფეხით მოსიარულეთა სიჩქარე:

მოდით ჩამოვწეროთ თანაფარდობა, რომელიც აჩვენებს, რომ მოძრაობის დრო შემცირდა იმავე ფაქტორით:

ამ მიმართებებს ვაკავშირებთ თანაბარი ნიშნით, ვიღებთ პროპორციას და ვპოულობთ მნიშვნელობას x

ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე რაოდენობის თანაფარდობა. წარმოებული მანქანების რაოდენობა და ამ მანქანების პროცენტული რაოდენობა პირდაპირპროპორციულია. მანქანების რაოდენობის რამდენჯერმე მატებასთან ერთად პროცენტი იმავე რაოდენობით იზრდება. მაშინ შეგვიძლია დავწეროთ, რომ 230 მანქანა ამდენჯერ მეტია ვიდრე xჩარხები, რამდენჯერ მეტი 115% ვიდრე 100%

პასუხი:გეგმის მიხედვით, ქარხანას 200 მანქანა უნდა ეწარმოებინა.

მოგეწონა გაკვეთილი?
შემოუერთდით ჩვენს ახალ Vkontakte ჯგუფს და დაიწყეთ ახალი გაკვეთილების შეტყობინებების მიღება