გეპატიჟებით გაკვეთილზე, თუ როგორ ამოხსნათ განტოლებები წილადებით, დიდი ალბათობით, წარსულში უკვე შეგხვედრიათ ასეთი განტოლებები, ამიტომ ამ გაკვეთილზე უნდა გავიმეოროთ და შევაჯამოთ თქვენთვის ცნობილი ინფორმაცია.
მეტი გაკვეთილი საიტზე
წილად-რაციონალური განტოლება არის განტოლება, რომელშიც არის რაციონალური წილადები, ანუ ცვლადი მნიშვნელში. დიდი ალბათობით, წარსულში თქვენ უკვე გქონიათ შეხება ასეთ განტოლებებთან, ამიტომ ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავიმეორებთ და შევაჯამებთ ინფორმაციას, რომელიც იცით.
პირველ რიგში, მე ვთავაზობ ამ თემის წინა გაკვეთილს მივმართო - გაკვეთილზე "კვადრატული განტოლებების ამოხსნა". იმ გაკვეთილზე განხილული იყო წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის მაგალითი. განიხილეთ
ამ განტოლების ამოხსნა რამდენიმე ეტაპად ხორციელდება:
- რაციონალური წილადების შემცველი განტოლების ტრანსფორმაცია.
- მთლიან განტოლებაზე გადასვლა და მისი გამარტივება;
- კვადრატული განტოლების ამოხსნა.
ნებისმიერი წილად-რაციონალური განტოლების ამოხსნისას აუცილებელია პირველი 2 ეტაპის გავლა. მესამე ეტაპი არჩევითია, ვინაიდან გამარტივების შედეგად მიღებული განტოლება შეიძლება იყოს არა კვადრატული, არამედ წრფივი; წრფივი განტოლების ამოხსნა ბევრად უფრო ადვილია. არის კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ნაბიჯი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას. ის გამოჩნდება შემდეგი განტოლების ამოხსნისას.
რა უნდა გაკეთდეს პირველ რიგში? - რა თქმა უნდა, წილადები მიიტანეთ საერთო მნიშვნელთან. და ძალიან მნიშვნელოვანია ზუსტად იპოვოთ სულ მცირესაერთო მნიშვნელი, წინააღმდეგ შემთხვევაში, შემდგომში, ამოხსნის პროცესში, განტოლება გართულდება. აქვე აღვნიშნავთ, რომ ბოლო წილადის მნიშვნელის ფაქტორიზაცია შესაძლებელია ზედა y+2. სწორედ ეს ნამრავლი იქნება საერთო მნიშვნელი ამ განტოლებაში. ახლა თქვენ უნდა დაადგინოთ დამატებითი ფაქტორები თითოეული წილადისთვის. პირიქით, ბოლო წილადისთვის ასეთი ფაქტორი არ არის საჭირო, რადგან მისი მნიშვნელი საერთოს ტოლია. ახლა, როდესაც ყველა წილადს აქვს ერთი და იგივე მნიშვნელი, შეგიძლიათ გადახვიდეთ მთელ განტოლებაზე, რომელიც შედგება რამდენიმე მრიცხველისგან. მაგრამ ერთი შენიშვნა უნდა გაკეთდეს, ეს უცნობის ნაპოვნი მნიშვნელობა ვერ გაქრება რომელიმე მნიშვნელის. ეს არის ODZ: y≠0, y≠2. ეს ასრულებს ამოხსნის ადრე აღწერილი ეტაპებიდან პირველს და გადადით მეორეზე - ჩვენ ვამარტივებთ მიღებულ მთლიან განტოლებას. ამისათვის ვხსნით ფრჩხილებს, გადავიტანთ ყველა ტერმინს განტოლების ერთ ნაწილზე და ვაძლევთ მსგავსებს. გააკეთეთ ეს თავად და შეამოწმეთ სწორია თუ არა ჩემი გამოთვლები, რომელშიც მიღებულია განტოლება 3y 2 - 12y = 0.ეს განტოლება არის კვადრატული, იწერება სტანდარტული ფორმით და მისი ერთ-ერთი კოეფიციენტი ნულის ტოლია.
ტ.კოსიაკოვა,
№ 80 სკოლა, კრასნოდარი
პარამეტრების შემცველი კვადრატული და წილად-რაციონალური განტოლებების ამოხსნა
გაკვეთილი 4
გაკვეთილის თემა:
გაკვეთილის მიზანი:პარამეტრების შემცველი წილად-რაციონალური განტოლებების ამოხსნის უნარის ჩამოყალიბება.
გაკვეთილის ტიპი:ახალი მასალის დანერგვა.
1. (ზეპირ.) ამოხსენით განტოლებები:
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 
გადაწყვეტილება. 
იპოვეთ არასწორი მნიშვნელობები ა: 
უპასუხე. Თუ 
თუ ა = – 19
, მაშინ ფესვები არ არის.
მაგალითი 2. ამოხსენით განტოლება 
გადაწყვეტილება.
იპოვნეთ პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობები ა :
10 – ა = 5, ა = 5;
10 – ა = ა, ა = 5.
უპასუხე. Თუ ა = 5 ა № 5 , მაშინ x=10– ა .
მაგალითი 3. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ბ
განტოლება 
Მას აქვს:
ა) ორი ფესვი ბ) ერთადერთი ფესვი?
გადაწყვეტილება.
1) იპოვნეთ არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობები ბ :
x= ბ, ბ 2 (ბ 2
– 1) – 2ბ 3 + ბ 2 = 0, ბ 4
– 2ბ 3 = 0,
ბ= 0 ან ბ = 2;
x = 2, 4( ბ 2 – 1) – 4ბ 2 + ბ 2
= 0, ბ 2 – 4 = 0, (ბ – 2)(ბ + 2) = 0,
ბ= 2 ან ბ = – 2.
2) ამოხსენით განტოლება x 2 ( ბ 2 – 1) – 2ბ 2x+ ბ 2 = 0:
D=4 ბ 4 – 4ბ 2 (ბ 2 – 1), D = 4 ბ 2 .
ა) 
პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობების გამორიცხვა ბ , მივიღებთ, რომ განტოლებას ორი ფესვი აქვს, თუ ბ № – 2, ბ № – 1, ბ № 0, ბ № 1, ბ № 2 .
ბ) 4ბ 2 = 0, ბ = 0, მაგრამ ეს არის არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობა ბ ; თუ ბ 2 –1=0 , ე.ი. ბ=1 ან.
პასუხი: ა) თუ ბ № –2 , ბ № –1, ბ № 0, ბ № 1, ბ № 2 , შემდეგ ორი ფესვი; ბ) თუ ბ=1 ან b=-1 , მაშინ ერთადერთი ფესვი.
დამოუკიდებელი მუშაობა
ვარიანტი 1
ამოხსენით განტოლებები:
ვარიანტი 2
ამოხსენით განტოლებები:
პასუხები
1-ში. და თუ ა=3
, მაშინ ფესვები არ არის; თუ 
ბ) თუ ა
№
2
, მაშინ ფესვები არ არის.
2-ში.Თუ ა=2
, მაშინ ფესვები არ არის; თუ ა=0
, მაშინ ფესვები არ არის; თუ 
ბ) თუ ა=– 1
, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ მაშინ ფესვები არ არის;
თუ
საშინაო დავალება.
ამოხსენით განტოლებები:
პასუხები: ა) თუ ა № –2 , მაშინ x= ა ; თუ ა=–2 , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის; ბ) თუ ა № –2 , მაშინ x=2; თუ ა=–2 , მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის; გ) თუ ა=–2 , მაშინ x- ნებისმიერი ნომრის გარდა 3 ; თუ ა № –2 , მაშინ x=2; დ) თუ ა=–8 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ ა=2 , მაშინ ფესვები არ არის; თუ
გაკვეთილი 5
გაკვეთილის თემა:„პარამეტრების შემცველი წილად-რაციონალური განტოლების ამოხსნა“.
გაკვეთილის მიზნები:
არასტანდარტული პირობით განტოლებების ამოხსნის სწავლა;
მოსწავლეთა მიერ ალგებრული ცნებებისა და მათ შორის ურთიერთობის შეგნებული ათვისება.
გაკვეთილის ტიპი:სისტემატიზაცია და განზოგადება.
საშინაო დავალების შემოწმება.
მაგალითი 1. ამოხსენით განტოლება 
ა) x-თან შედარებით; ბ) y-სთან შედარებით.
გადაწყვეტილება.
ა) იპოვეთ არასწორი მნიშვნელობები წ: y=0, x=y, y2=y2 –2y,
y=0- პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობა წ.
Თუ წ№ 0 , მაშინ x=y-2; თუ y=0, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას.
ბ) იპოვნეთ არასწორი პარამეტრის მნიშვნელობები x: y=x, 2x–x 2 +x 2 =0, x=0- პარამეტრის არასწორი მნიშვნელობა x; y(2+x-y)=0, y=0ან y=2+x;
y=0არ აკმაყოფილებს პირობას y(y–x)№ 0 .
პასუხი: ა) თუ y=0, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ წ№ 0 , მაშინ x=y-2; ბ) თუ x=0 x№ 0 , მაშინ y=2+x .
მაგალითი 2. a პარამეტრის რომელ მნიშვნელობებისთვის არის განტოლების ფესვები 
მიეკუთვნება ინტერვალს 
D = (3 ა + 2) 2 – 4ა(ა+ 1) 2 = 9 ა 2 + 12ა + 4 – 8ა 2 – 8ა,
D = ( ა + 2) 2 .
Თუ ა № 0 ან ა № – 1 , მაშინ
პასუხი: 5 .
მაგალითი 3. იპოვეთ შედარებით xგანტოლების მთელი ამონახსნები 
უპასუხე. Თუ y=0, მაშინ განტოლებას აზრი არ აქვს; თუ y=–1, მაშინ x- ნებისმიერი მთელი რიცხვი ნულის გარდა; თუ y# 0, y# – 1, მაშინ გადაწყვეტილებები არ არის.
მაგალითი 4ამოხსენით განტოლება 
პარამეტრებით ა
და ბ
.
Თუ ა№
– ბ
, მაშინ 
უპასუხე. Თუ a= 0 ან b= 0 , მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ ა№ 0,ბ№ 0, a=-b , მაშინ x- ნებისმიერი რიცხვი ნულის გარდა; თუ ა№ 0,ბ№ 0, ა№ -ბ მაშინ x=-a, x=-b .
მაგალითი 5. დაამტკიცეთ, რომ n პარამეტრის ნებისმიერი არანულოვანი მნიშვნელობისთვის განტოლება 
აქვს ერთი ფესვი ტოლი – n
.
გადაწყვეტილება. 
ე.ი. x=-n, რაც დასამტკიცებელი იყო.
საშინაო დავალება.
1. იპოვეთ განტოლების მთელი ამონახსნები 
2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე გგანტოლება 
Მას აქვს:
ა) ორი ფესვი ბ) ერთადერთი ფესვი?
3. იპოვეთ განტოლების ყველა მთელი ძირი 
თუ აო ნ
.
4. ამოხსენით განტოლება 3xy - 5x + 5y = 7:ა) შედარებით წ; ბ) შედარებით x .
1. განტოლება დაკმაყოფილებულია x-ისა და y-ის ნებისმიერი მთელი ტოლი მნიშვნელობებით, ნულის გარდა.
2. ა) როცა
ბ) ან 
3. – 12; – 9; 0
.
4. ა) თუ მაშინ ფესვები არ არის; თუ 
ბ) თუ მაშინ ფესვები არ არის; თუ 
ტესტი
ვარიანტი 1
1. დაადგინეთ განტოლების ტიპი 7c(c + 3)x 2 +(c–2)x–8=0 მისამართზე: ა) c=-3; ბ) c=2 ; in) c=4 .
2. ამოხსენით განტოლებები: ა) x 2 –bx=0;ბ) cx 2 –6x+1=0; in) 
3. ამოხსენით განტოლება 3x-xy-2y=1:
ა) შედარებით x ;
ბ) შედარებით წ .
nx 2 - 26x + n \u003d 0,იმის ცოდნა, რომ პარამეტრი n იღებს მხოლოდ მთელ მნიშვნელობებს.
5. b-ის რომელ მნიშვნელობებზეა განტოლება 
Მას აქვს:
ა) ორი ფესვი
ბ) ერთადერთი ფესვი?
ვარიანტი 2
1. დაადგინეთ განტოლების ტიპი 5c(c + 4)x 2 +(c–7)x+7=0მისამართზე: ა) c=-4 ;ბ) c=7 ; in) c=1 .
2. ამოხსენით განტოლებები: ა) y 2 +cy=0 ;ბ) ny2 –8y+2=0; in) 
3. ამოხსენით განტოლება 6x-xy+2y=5:
ა) შედარებით x ;
ბ) შედარებით წ .
4. იპოვეთ განტოლების მთელი რიცხვი ფესვები nx 2 -22x+2n=0,იმის ცოდნა, რომ პარამეტრი n იღებს მხოლოდ მთელ მნიშვნელობებს.
5. პარამეტრის რა მნიშვნელობებისთვის არის განტოლება 
Მას აქვს:
ა) ორი ფესვი
ბ) ერთადერთი ფესვი?
პასუხები
1-ში. 1. ა) წრფივი განტოლება;
ბ) არასრული კვადრატული განტოლება; გ) კვადრატული განტოლება.
2. ა) თუ b=0, მაშინ x=0; თუ b#0, მაშინ x=0, x=b;
ბ) 
თუ cО (9;+Ґ), მაშინ ფესვები არ არის;
გ) თუ ა=–4
, მაშინ განტოლება კარგავს თავის მნიშვნელობას; თუ ა№
–4
, მაშინ x=- ა
.
3. ა) თუ y=3, მაშინ ფესვები არ არის; თუ);
ბ) ა=–3, ა=1.
დამატებითი დავალებები
ამოხსენით განტოლებები:
ლიტერატურა
1. გოლუბევი V.I., Goldman A.M., Dorofeev G.V. პარამეტრების შესახებ თავიდანვე. - დამრიგებელი, No2/1991, გვ. 3–13.
2. გრონშტეინი P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. აუცილებელი პირობები ამოცანები პარამეტრებით. – კვანტი, No11/1991, გვ. 44–49.
3. დოროფეევი გ.ვ., ზათაკავაი ვ.ვ. პარამეტრების შემცველი ამოცანების გადაჭრა. ნაწილი 2. - მ., პერსპექტივა, 1990, გვ. 2–38.
4. ტინიაკინი ს.ა. ხუთას თოთხმეტი დავალება პარამეტრებით. - ვოლგოგრადი, 1991 წ.
5. იასტრებინეცკი გ.ა. ამოცანები პარამეტრებით. - მ., განათლება, 1986 წ.
წილადი განტოლებები. ოძ.
ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")
ჩვენ ვაგრძელებთ განტოლებების დაუფლებას. ჩვენ უკვე ვიცით როგორ ვიმუშაოთ წრფივ და კვადრატულ განტოლებებთან. ბოლო ხედი რჩება წილადი განტოლებები. ან მათ ასევე უწოდებენ ბევრად უფრო მყარებს - წილადი რაციონალური განტოლებები. ეს იგივეა.
წილადი განტოლებები.
როგორც სახელი გულისხმობს, ეს განტოლებები აუცილებლად შეიცავს წილადებს. მაგრამ არა მხოლოდ წილადები, არამედ წილადები, რომლებსაც აქვთ უცნობია მნიშვნელში. ერთში მაინც. Მაგალითად:
შეგახსენებთ, თუ მხოლოდ მნიშვნელებში ნომრები, ეს არის წრფივი განტოლებები.
როგორ გადაწყვიტოს წილადი განტოლებები? უპირველეს ყოვლისა, მოიშორეთ წილადები! ამის შემდეგ, განტოლება, ყველაზე ხშირად, იქცევა წრფივ ან კვადრატად. შემდეგ კი ჩვენ ვიცით, რა უნდა გავაკეთოთ... ზოგიერთ შემთხვევაში, ის შეიძლება გადაიქცეს იდენტობად, მაგალითად 5=5 ან არასწორ გამონათქვამად, მაგალითად 7=2. მაგრამ ეს იშვიათად ხდება. ქვემოთ აღვნიშნავ.
მაგრამ როგორ მოვიშოროთ წილადები!? Ძალიან მარტივი. ყველა იგივე იდენტური ტრანსფორმაციის გამოყენება.
ჩვენ უნდა გავამრავლოთ მთელი განტოლება იმავე გამოსახულებით. ისე რომ ყველა მნიშვნელი შემცირდეს! ყველაფერი მაშინვე უფრო ადვილი გახდება. მაგალითით ავხსნი. ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ განტოლება:
როგორ ასწავლიდნენ დაწყებით სკოლაში? ყველაფერს ერთი მიმართულებით გადავცემთ, ვამცირებთ საერთო მნიშვნელზე და ა.შ. დაივიწყე რა ცუდი სიზმარი! ეს არის ის, რაც უნდა გააკეთოთ წილადური გამონათქვამების დამატების ან გამოკლებისას. ან იმუშავეთ უთანასწორობებთან. განტოლებებში კი ორივე ნაწილს მაშინვე ვამრავლებთ გამოსახულებით, რომელიც მოგვცემს შესაძლებლობას შევამციროთ ყველა მნიშვნელი (ანუ, არსებითად, საერთო მნიშვნელით). და რა არის ეს გამოთქმა?
მარცხენა მხარეს, მნიშვნელის შესამცირებლად, თქვენ უნდა გაამრავლოთ x+2. მარჯვნიდან კი საჭიროა 2-ზე გამრავლება. ასე რომ, განტოლება უნდა გამრავლდეს 2 (x+2). ვამრავლებთ:
ეს არის წილადების ჩვეულებრივი გამრავლება, მაგრამ დეტალურად დავწერ:
გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ ჯერ არ ვხსნი ფრჩხილებს. (x + 2)! ასე რომ, მთლიანობაში ვწერ:
მარცხენა მხარეს, ის მთლიანად შემცირებულია (x+2), და მარჯვნივ 2. როგორც საჭიროა! შემცირების შემდეგ ვიღებთ ხაზოვანიგანტოლება:
ნებისმიერს შეუძლია ამ განტოლების ამოხსნა! x = 2.
მოდით მოვაგვაროთ კიდევ ერთი მაგალითი, ცოტა უფრო რთული:
თუ გავიხსენებთ, რომ 3 = 3/1 და 2x = 2x/ 1 შეიძლება დაიწეროს:
და ისევ ვაშორებთ იმას, რაც ნამდვილად არ მოგვწონს - წილადებისგან.
ჩვენ ვხედავთ, რომ x-ით მნიშვნელის შესამცირებლად საჭიროა წილადის გამრავლება (x - 2). და ერთეულები არ არის ჩვენთვის დაბრკოლება. აბა, გავამრავლოთ. ყველამარცხენა მხარეს და ყველამარჯვენა მხარე:
ისევ ფრჩხილები (x - 2)არ ვამხელ. ვმუშაობ ფრჩხილთან მთლიანობაში, თითქოს ეს იყოს ერთი ნომერი! ეს ყოველთვის უნდა გაკეთდეს, წინააღმდეგ შემთხვევაში არაფერი შემცირდება.
ღრმა კმაყოფილების განცდით ვჭრით (x - 2)და ვიღებთ განტოლებას ყოველგვარი წილადების გარეშე, სახაზავში!
ახლა კი ვხსნით ფრჩხილებს:
ჩვენ ვაძლევთ მსგავსებს, გადავიტანთ ყველაფერს მარცხენა მხარეს და ვიღებთ:
მანამდე კი სხვა პრობლემების გადაჭრას ვისწავლით. ინტერესისთვის. სხვათა შორის, ეს რაკი!
თუ მოგწონთ ეს საიტი...
სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)
შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)
შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.
ჩვენ ვაგრძელებთ საუბარს განტოლებების ამოხსნა. ამ სტატიაში ჩვენ ყურადღებას გავამახვილებთ რაციონალური განტოლებებიდა რაციონალური განტოლებების ერთი ცვლადით ამოხსნის პრინციპები. ჯერ გავარკვიოთ, რა სახის განტოლებებს ეწოდება რაციონალური, მივცეთ მთელი რაციონალური და წილადი რაციონალური განტოლებების განმარტება და მოვიყვანოთ მაგალითები. გარდა ამისა, ჩვენ მივიღებთ რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმებს და, რა თქმა უნდა, განვიხილავთ ტიპიური მაგალითების ამონახსნებს ყველა საჭირო განმარტებით.
გვერდის ნავიგაცია.
გაჟღერებულ განმარტებებზე დაყრდნობით, რაციონალური განტოლებების რამდენიმე მაგალითს ვაძლევთ. მაგალითად, x=1, 2 x−12 x 2 y z 3 =0, , ყველა რაციონალური განტოლებაა.
ნაჩვენები მაგალითებიდან ჩანს, რომ რაციონალური განტოლებები, ისევე როგორც სხვა ტიპის განტოლებები, შეიძლება იყოს ან ერთი ცვლადით, ან ორი, სამი და ა.შ. ცვლადები. შემდეგ აბზაცებში ვისაუბრებთ რაციონალური განტოლებების ერთ ცვლადში ამოხსნაზე. განტოლებების ამოხსნა ორი ცვლადითდა მათი დიდი რაოდენობა განსაკუთრებულ ყურადღებას იმსახურებს.
გარდა იმისა, რომ რაციონალური განტოლებები იყოფა უცნობი ცვლადების რაოდენობაზე, ისინი ასევე იყოფა მთელ რიცხვებად და წილადებად. მოდით მივცეთ შესაბამისი განმარტებები.
განმარტება.
რაციონალური განტოლება ე.წ მთლიანითუ მისი მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები მთელი რაციონალური გამონათქვამებია.
განმარტება.
თუ რაციონალური განტოლების ერთი ნაწილი მაინც არის წილადი, მაშინ ასეთი განტოლება ე.წ. ფრაქციულად რაციონალური(ან წილადი რაციონალური).
ნათელია, რომ მთელი რიცხვები არ შეიცავს გაყოფას ცვლადზე, პირიქით, წილადი რაციონალური განტოლებები აუცილებლად შეიცავს გაყოფას ცვლადზე (ან ცვლადზე მნიშვნელში). ანუ 3 x+2=0 და (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0.5არის მთელი რაციონალური განტოლებები, მათი ორივე ნაწილი არის მთელი რიცხვი. A და x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 არის წილადი რაციონალური განტოლებების მაგალითები.
ამ აბზაცის დასასრულს, ყურადღება მივაქციოთ იმ ფაქტს, რომ ამ მომენტისთვის ცნობილი წრფივი განტოლებები და კვადრატული განტოლებები მთლიანი რაციონალური განტოლებებია.
მთელი განტოლებების ამოხსნა
მთლიანი განტოლებების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მიდგომაა მათი შემცირება ეკვივალენტამდე ალგებრული განტოლებები. ეს ყოველთვის შეიძლება გაკეთდეს განტოლების შემდეგი ეკვივალენტური გარდაქმნების შესრულებით:
- პირველი, გამონათქვამი საწყისი მთელი რიცხვის განტოლების მარჯვენა მხრიდან გადაეცემა მარცხენა მხარეს საპირისპირო ნიშნით, რათა მიიღოთ ნული მარჯვენა მხარეს;
- ამის შემდეგ, განტოლების მარცხენა მხარეს, მიღებული სტანდარტული ფორმა.
შედეგი არის ალგებრული განტოლება, რომელიც უდრის თავდაპირველ მთლიან განტოლებას. ასე რომ, უმარტივეს შემთხვევებში, მთელი განტოლებების ამონახვა მცირდება წრფივი ან კვადრატული განტოლებების ამოხსნამდე, ხოლო ზოგად შემთხვევაში - n ხარისხის ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. სიცხადისთვის, მოდით გავაანალიზოთ მაგალითის ამოხსნა.
მაგალითი.
იპოვეთ მთელი განტოლების ფესვები 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.
გადაწყვეტილება.
მთელი ამ განტოლების ამონახვა შევამციროთ ეკვივალენტური ალგებრული განტოლების ამოხსნამდე. ამისათვის, პირველ რიგში, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, რის შედეგადაც მივდივართ განტოლებამდე 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. და მეორეც, მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამოსახულებას ვაქცევთ სტანდარტული ფორმის პოლინომად საჭიროების გაკეთებით: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. ამრიგად, თავდაპირველი მთელი განტოლების ამონახსნი მცირდება x 2 −5·x−6=0 კვადრატული განტოლების ამოხსნამდე.
გამოთვალეთ მისი დისკრიმინანტი D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, ის დადებითია, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ორი რეალური ფესვი, რომელსაც ვპოულობთ კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულით:
სრულიად დარწმუნებული რომ ვიყოთ, მოდით გავაკეთოთ განტოლების ნაპოვნი ფესვების შემოწმება. პირველ რიგში, ჩვენ ვამოწმებთ ფესვს 6, ვცვლით მას ცვლადის x-ის ნაცვლად თავდაპირველ მთელ რიცხვში განტოლებაში: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, რაც იგივეა, 63=63 . ეს არის სწორი რიცხვითი განტოლება, ამიტომ x=6 ნამდვილად არის განტოლების ფესვი. ახლა ვამოწმებთ ფესვს −1 , გვაქვს 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, საიდანაც, 0=0 . x=−1-ისთვის თავდაპირველი განტოლება ასევე გადაიქცა ნამდვილ რიცხვობრივ ტოლობაში, შესაბამისად, x=−1 ასევე განტოლების ფესვია.
პასუხი:
6 , −1 .
აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ ტერმინი „მთელი განტოლების ძალა“ ასოცირდება მთელი განტოლების წარმოდგენასთან ალგებრული განტოლების სახით. ჩვენ ვაძლევთ შესაბამის განმარტებას:
განმარტება.
მთელი განტოლების ხარისხივუწოდოთ მისი ექვივალენტური ალგებრული განტოლების ხარისხი.
ამ განმარტების მიხედვით, წინა მაგალითის მთელ განტოლებას მეორე ხარისხი აქვს.
ამაზე შეიძლება დასრულდეს მთელი რაციონალური განტოლების ამოხსნით, რომ არა ერთი, არამედ .... როგორც ცნობილია, მეორეზე მაღალი ხარისხის ალგებრული განტოლებების ამოხსნა დაკავშირებულია მნიშვნელოვან სირთულეებთან, ხოლო მეოთხეზე მაღალი ხარისხის განტოლებისთვის, ფესვების ზოგადი ფორმულები საერთოდ არ არსებობს. ამიტომ, მესამე, მეოთხე და უფრო მაღალი ხარისხის განტოლებების ამოსახსნელად, ხშირად უნდა მიმართოთ ამოხსნის სხვა მეთოდებს.
ასეთ შემთხვევებში, ზოგჯერ მიდგომა გადაჭრის მთელი რაციონალური განტოლებების საფუძველზე ფაქტორიზაციის მეთოდი. ამავე დროს, გამოიყენება შემდეგი ალგორითმი:
- პირველ რიგში ისინი ეძებენ ნულის ქონას განტოლების მარჯვენა მხარეს, ამისთვის ისინი გამოხატავენ მთელი განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ;
- შემდეგ, მარცხენა მხარეს მიღებული გამოხატულება წარმოდგენილია, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი, რაც საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ რამდენიმე მარტივი განტოლების სიმრავლეზე.
ზემოაღნიშნული ალგორითმი მთელი განტოლების ფაქტორიზაციით ამოხსნისთვის მოითხოვს დეტალურ ახსნას მაგალითის გამოყენებით.
მაგალითი.
ამოხსენით მთელი განტოლება (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .
გადაწყვეტილება.
პირველ რიგში, ჩვეულებისამებრ, ჩვენ გადავიტანთ გამონათქვამს მარჯვენა მხრიდან განტოლების მარცხენა მხარეს, არ დაგვავიწყდეს ნიშნის შეცვლა, მივიღებთ (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0. აქ აშკარაა, რომ არ არის მიზანშეწონილი მიღებული განტოლების მარცხენა მხარის გადაქცევა სტანდარტული ფორმის მრავალწევრად, რადგან ეს მისცემს ფორმის მეოთხე ხარისხის ალგებრულ განტოლებას. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, რომლის გადაწყვეტა რთულია.
მეორეს მხრივ, აშკარაა, რომ x 2 −10·x+13 შეიძლება მოიძებნოს მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც წარმოადგენს მას ნამრავლად. Ჩვენ გვაქვს (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. მიღებული განტოლება თავდაპირველი მთლიანი განტოლების ტოლია და ის, თავის მხრივ, შეიძლება შეიცვალოს ორი კვადრატული განტოლების სიმრავლით x 2 −10·x+13=0 და x 2 −2·x−1=0 . მათი ფესვების პოვნა ცნობილი ფესვების ფორმულების გამოყენებით დისკრიმინანტის საშუალებით არ არის რთული, ფესვები თანაბარია. ისინი ორიგინალური განტოლების სასურველი ფესვებია.
პასუხი:
ის ასევე სასარგებლოა მთელი რაციონალური განტოლებების ამოსახსნელად. ახალი ცვლადის დანერგვის მეთოდი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ის საშუალებას აძლევს ადამიანს გადავიდეს განტოლებებზე, რომელთა ხარისხი უფრო დაბალია, ვიდრე ორიგინალური მთელი განტოლების ხარისხი.
მაგალითი.
იპოვეთ რაციონალური განტოლების ნამდვილი ფესვები (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).
გადაწყვეტილება.
მთელი ამ რაციონალური განტოლების ალგებრულ განტოლებამდე დაყვანა, რბილად რომ ვთქვათ, არც თუ ისე კარგი იდეაა, რადგან ამ შემთხვევაში მივალთ მეოთხე ხარისხის განტოლების ამოხსნის საჭიროებამდე, რომელსაც რაციონალური ფესვები არ აქვს. ამიტომ, თქვენ მოგიწევთ სხვა გამოსავლის ძებნა.
აქ ადვილი მისახვედრია, რომ შეგიძლიათ შემოიტანოთ ახალი ცვლადი y და შეცვალოთ გამოხატვა x 2 +3 x მასთან. ასეთი ჩანაცვლება მიგვიყვანს მთელ განტოლებამდე (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , რომელიც −2 (y−4) გამოხატვის მარცხენა მხარეს გადატანისა და გამოსახულების შემდგომი ტრანსფორმაციის შემდეგ წარმოიქმნება. იქ, მცირდება განტოლებამდე y 2 +4 y+3=0 . ამ განტოლების y=−1 და y=−3 ფესვების პოვნა ადვილია, მაგალითად, მათი პოვნა შესაძლებელია ვიეტას თეორემის შებრუნებული თეორემის საფუძველზე.
ახლა გადავიდეთ ახალი ცვლადის შემოღების მეთოდის მეორე ნაწილზე, ანუ საპირისპირო ჩანაცვლებაზე. საპირისპირო ჩანაცვლების შესრულების შემდეგ ვიღებთ ორ განტოლებას x 2 +3 x=−1 და x 2 +3 x=−3 , რომელიც შეიძლება გადაიწეროს x 2 +3 x+1=0 და x 2 +3 x+3. =0. კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ პირველი განტოლების ფესვებს. ხოლო მეორე კვადრატულ განტოლებას არ აქვს რეალური ფესვები, ვინაიდან მისი დისკრიმინანტი უარყოფითია (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).
პასუხი:
ზოგადად, როდესაც საქმე გვაქვს მაღალი ხარისხის მთელ რიცხვებთან, ყოველთვის მზად უნდა ვიყოთ მათი ამოხსნის არასტანდარტული მეთოდის ან ხელოვნური ტექნიკის მოსაძებნად.
წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა
პირველ რიგში, სასარგებლო იქნება იმის გაგება, თუ როგორ უნდა ამოხსნათ ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებები, სადაც p(x) და q(x) რაციონალური მთელი რიცხვი გამოსახულებებია. შემდეგ კი ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა შევიყვანოთ დარჩენილი წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნა მითითებული ფორმის განტოლებამდე.
განტოლების ამოხსნის ერთ-ერთი მიდგომა ემყარება შემდეგ დებულებას: რიცხვითი წილადი u/v, სადაც v არის არანულოვანი რიცხვი (წინააღმდეგ შემთხვევაში შევხვდებით , რომელიც არ არის განსაზღვრული), არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული, მაშინ არის, თუ და მხოლოდ თუ u=0 . ამ დებულების მიხედვით, განტოლების ამონახსნები მცირდება ორი პირობის შესრულებამდე p(x)=0 და q(x)≠0 .
ეს დასკვნა შეესაბამება შემდეგს წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი. ფორმის წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნა
- ამოხსენით მთელი რაციონალური განტოლება p(x)=0 ;
- და შეამოწმეთ დაკმაყოფილებულია თუ არა პირობა q(x)≠0 თითოეული ნაპოვნი ფესვისთვის, ხოლო
- თუ მართალია, მაშინ ეს ფესვი არის საწყისი განტოლების ფესვი;
- თუ არა, მაშინ ეს ფესვი ზედმეტია, ანუ ის არ არის საწყისი განტოლების ფესვი.
გავაანალიზოთ გახმოვანებული ალგორითმის გამოყენების მაგალითი წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნისას.
მაგალითი.
იპოვეთ განტოლების ფესვები.
გადაწყვეტილება.
ეს არის ფორმის წილადი რაციონალური განტოლება, სადაც p(x)=3 x−2, q(x)=5 x 2 −2=0.
ამ ტიპის წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმის მიხედვით, ჯერ უნდა ამოხსნათ განტოლება 3·x−2=0. ეს არის წრფივი განტოლება, რომლის ფესვი არის x=2/3.
რჩება ამ ფესვის შემოწმება, ანუ შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ის პირობას 5·x 2 −2≠0 . ჩვენ ვცვლით რიცხვს 2/3 x-ის ნაცვლად გამოსახულებაში 5 x 2 −2, მივიღებთ . პირობა დაკმაყოფილებულია, ამიტომ x=2/3 არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი:
2/3 .
წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნას შეიძლება მივუდგეთ ოდნავ განსხვავებული პოზიციიდან. ეს განტოლება უდრის მთლიანი განტოლების p(x)=0 საწყისი განტოლების x ცვლადზე. ანუ შეგიძლია მიჰყვე ამას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი :
- ამოხსენით განტოლება p(x)=0 ;
- იპოვეთ ODZ ცვლადი x ;
- აიღეთ დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონის კუთვნილი ფესვები - ისინი ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვებია.
მაგალითად, ამ ალგორითმის გამოყენებით ამოვხსნათ წილადი რაციონალური განტოლება.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება.
გადაწყვეტილება.
ჯერ ვხსნით კვადრატულ განტოლებას x 2 −2·x−11=0 . მისი ფესვები შეიძლება გამოითვალოს ფესვის ფორმულის გამოყენებით თუნდაც მეორე კოეფიციენტისთვის, ჩვენ გვაქვს D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, და .
მეორეც, ჩვენ ვპოულობთ x ცვლადის ODZ-ს საწყისი განტოლებისთვის. იგი შედგება ყველა რიცხვისაგან, რომლებისთვისაც x 2 +3 x≠0 , რაც იგივეა x (x+3)≠0 , საიდანაც x≠0 , x≠−3 .
რჩება იმის შემოწმება, შედის თუ არა პირველ ეტაპზე ნაპოვნი ფესვები ODZ-ში. ცხადია, დიახ. მაშასადამე, თავდაპირველ წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას ორი ფესვი აქვს.
პასუხი:
გაითვალისწინეთ, რომ ეს მიდგომა უფრო მომგებიანია, ვიდრე პირველი, თუ ODZ ადვილად მოიძებნება, და განსაკუთრებით სასარგებლოა, თუ განტოლების ფესვები p(x)=0 არის ირაციონალური, მაგალითად, ან რაციონალური, მაგრამ საკმაოდ დიდი. მრიცხველი და/ან მნიშვნელი, მაგალითად, 127/1101 და -31/59. ეს იმის გამო ხდება, რომ ასეთ შემთხვევებში q(x)≠0 პირობის შემოწმება დასჭირდება მნიშვნელოვან გამოთვლით ძალისხმევას და უფრო ადვილია ODZ-დან გარე ფესვების გამორიცხვა.
სხვა შემთხვევებში, განტოლების ამოხსნისას, განსაკუთრებით მაშინ, როდესაც განტოლების ძირები p(x)=0 არის მთელი რიცხვები, უფრო ხელსაყრელია ზემოთ ჩამოთვლილი ალგორითმებიდან პირველის გამოყენება. ანუ მიზანშეწონილია დაუყოვნებლივ იპოვოთ მთელი განტოლების ფესვები p(x)=0 , და შემდეგ შეამოწმოთ არის თუ არა პირობა q(x)≠0 მათთვის და არ იპოვოთ ODZ და შემდეგ ამოხსნათ განტოლება. p(x)=0 ამ ODZ-ზე. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ასეთ შემთხვევებში ჩვეულებრივ უფრო ადვილია შემოწმების გაკეთება, ვიდრე ODZ-ის პოვნა.
განვიხილოთ ორი მაგალითის ამოხსნა გათვალისწინებული ნიუანსების საილუსტრაციოდ.
მაგალითი.
იპოვეთ განტოლების ფესვები.
გადაწყვეტილება.
ჯერ ვპოულობთ მთელი განტოლების ფესვებს (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, შედგენილი წილადის მრიცხველის გამოყენებით. ამ განტოლების მარცხენა მხარე არის ნამრავლი, ხოლო მარჯვენა მხარე არის ნული, შესაბამისად, განტოლებების ფაქტორიზაციის გზით ამოხსნის მეთოდის მიხედვით, ეს განტოლება უდრის ოთხი განტოლების სიმრავლეს 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . ამ განტოლებიდან სამი წრფივია და ერთი კვადრატული, ჩვენ შეგვიძლია მათი ამოხსნა. პირველი განტოლებიდან ვხვდებით x=1/2, მეორიდან - x=6, მესამედან - x=7, x=−2, მეოთხედან - x=−1.
აღმოჩენილი ფესვებით, მათი შემოწმება საკმაოდ მარტივია იმის დასანახად, არ ქრება თუ არა თავდაპირველი განტოლების მარცხენა მხარეს მყოფი წილადის მნიშვნელი, და არც ისე ადვილია ODZ-ის დადგენა, რადგან მას მოუწევს ამოხსნას მეხუთე ხარისხის ალგებრული განტოლება. ამიტომ, ჩვენ უარს ვიტყვით ODZ-ის პოვნაზე ფესვების შემოწმების სასარგებლოდ. ამისათვის ჩვენ მათ რიგრიგობით ვცვლით გამოხატულებაში x ცვლადის ნაცვლად x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, მიღებული ჩანაცვლების შემდეგ და შეადარეთ ისინი ნულთან: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112=
122+1/32≠0
;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0
;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .
ამრიგად, 1/2, 6 და −2 არის თავდაპირველი წილადობრივად რაციონალური განტოლების სასურველი ფესვები, ხოლო 7 და −1 არის უცხო ფესვები.
პასუხი:
1/2 , 6 , −2 .
მაგალითი.
იპოვეთ წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.
გადაწყვეტილება.
ჯერ ვპოულობთ განტოლების ფესვებს (5x2 −7x−1)(x−2)=0. ეს განტოლება უდრის ორი განტოლების კომბინაციას: კვადრატი 5·x 2 −7·x−1=0 და წრფივი x−2=0 . კვადრატული განტოლების ფესვების ფორმულის მიხედვით ვპოულობთ ორ ფესვს, ხოლო მეორე განტოლებიდან გვაქვს x=2.
იმის შემოწმება, რომ მნიშვნელი არ ქრება x-ის აღმოჩენილ მნიშვნელობებზე, საკმაოდ უსიამოვნოა. და ცვლადის x მისაღები მნიშვნელობების დიაპაზონის დადგენა თავდაპირველ განტოლებაში საკმაოდ მარტივია. ამიტომ, ჩვენ ვიმოქმედებთ ODZ-ის მეშვეობით.
ჩვენს შემთხვევაში, თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების x ცვლადის ODZ შედგება ყველა რიცხვისგან, გარდა იმ რიცხვებისა, რომელთათვისაც დაკმაყოფილებულია პირობა x 2 +5·x−14=0. ამ კვადრატული განტოლების ფესვებია x=−7 და x=2, საიდანაც დავასკვნით ODZ-ის შესახებ: იგი შედგება ყველა x-ისგან ისეთი, რომ .
რჩება იმის შემოწმება, ეკუთვნის თუ არა ნაპოვნი ფესვები და x=2 დასაშვები მნიშვნელობების რეგიონს. ფესვები - ეკუთვნის, მაშასადამე, ისინი თავდაპირველი განტოლების ფესვებია, ხოლო x=2 არ ეკუთვნის, მაშასადამე, ის უცხო ფესვია.
პასუხი:
ასევე სასარგებლო იქნება ცალკე ვისაუბროთ შემთხვევებზე, როდესაც რიცხვი არის მრიცხველში ფორმის წილადი რაციონალური განტოლებით, ანუ, როდესაც p (x) წარმოდგენილია გარკვეული რიცხვით. სადაც
- თუ ეს რიცხვი განსხვავდება ნულისაგან, მაშინ განტოლებას არ აქვს ფესვები, რადგან წილადი არის ნული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი მრიცხველი არის ნული;
- თუ ეს რიცხვი არის ნული, მაშინ განტოლების ფესვი არის ნებისმიერი რიცხვი ODZ-დან.
მაგალითი.
გადაწყვეტილება.
ვინაიდან განტოლების მარცხენა მხარეს წილადის მრიცხველში არის არანულოვანი რიცხვი, არც ერთი x-ისთვის არ შეიძლება ამ წილადის მნიშვნელობა ნულის ტოლი იყოს. ამრიგად, ამ განტოლებას არ აქვს ფესვები.
პასუხი:
ფესვების გარეშე.
მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება.
გადაწყვეტილება.
ამ წილადი რაციონალური განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე წილადის მრიცხველი არის ნული, ამიტომ ამ წილადის მნიშვნელობა არის ნული ნებისმიერი x-ისთვის, რომლისთვისაც აზრი აქვს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამ განტოლების ამონახსნი არის x-ის ნებისმიერი მნიშვნელობა ამ ცვლადის DPV-დან.
რჩება მისაღები მნიშვნელობების ამ დიაპაზონის განსაზღვრა. იგი მოიცავს ყველა ასეთ მნიშვნელობას x, რომლისთვისაც x 4 +5 x 3 ≠0. x 4 +5 x 3 \u003d 0 განტოლების ამონახსნები არის 0 და −5, რადგან ეს განტოლება უდრის x 3 (x + 5) \u003d 0 განტოლებას და ის, თავის მხრივ, უდრის კომბინაციას ორი განტოლების x 3 \u003d 0 და x +5=0 , საიდანაც ჩანს ეს ფესვები. ამიტომ, მისაღები მნიშვნელობების სასურველი დიაპაზონი არის ნებისმიერი x, გარდა x=0 და x=−5.
ამრიგად, წილადობრივად რაციონალურ განტოლებას აქვს უსასრულოდ ბევრი ამონახსნი, რომელიც არის ნებისმიერი რიცხვი, გარდა ნულისა და მინუს ხუთისა.
პასუხი:
დაბოლოს, დროა ვისაუბროთ თვითნებური წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნაზე. ისინი შეიძლება დაიწეროს როგორც r(x)=s(x) , სადაც r(x) და s(x) რაციონალური გამონათქვამებია და ერთი მათგანი მაინც არის წილადი. წინ რომ ვუყურებთ, ჩვენ ვამბობთ, რომ მათი ამოხსნა მცირდება ჩვენთვის უკვე ნაცნობი ფორმის განტოლებების ამოხსნით.
ცნობილია, რომ ტერმინის გადატანა განტოლების ერთი ნაწილიდან მეორეში საპირისპირო ნიშნით იწვევს ეკვივალენტურ განტოლებას, ამიტომ განტოლება r(x)=s(x) უდრის განტოლებას r(x)−s. (x)=0 .
ჩვენ ასევე ვიცით, რომ ნებისმიერი შეიძლება იდენტურად იყოს ამ გამოთქმის ტოლი. ამრიგად, ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია გადავიტანოთ რაციონალური გამოხატულება განტოლების მარცხენა მხარეს r(x)−s(x)=0 ფორმის იდენტურად თანაბარ რაციონალურ წილადად.
ასე რომ, ჩვენ გადავდივართ საწყისი წილადი რაციონალური განტოლებიდან r(x)=s(x) განტოლებამდე და მისი ამოხსნა, როგორც ზემოთ გავარკვიეთ, მცირდება განტოლების p(x)=0 ამოხსნამდე.
მაგრამ აქ გასათვალისწინებელია ის ფაქტი, რომ r(x)−s(x)=0-ით ჩანაცვლებისას და შემდეგ p(x)=0-ით, x ცვლადის დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი შეიძლება გაფართოვდეს. .
მაშასადამე, თავდაპირველი განტოლება r(x)=s(x) და განტოლება p(x)=0, რომელზეც მივედით, შეიძლება არ იყოს ეკვივალენტური და განტოლების p(x)=0 ამოხსნით მივიღოთ ფესვები. ეს იქნება საწყისი განტოლების უცხო ფესვები r(x)=s(x) . შესაძლებელია ამოიცნოთ და არ შევიტანოთ პასუხში ზედმეტი ფესვები, ან შემოწმებით, ან მათი კუთვნილების შემოწმებით თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან.
ჩვენ ვაჯამებთ ამ ინფორმაციას წილადი რაციონალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი r(x)=s(x). წილადი რაციონალური განტოლების ამოსახსნელად r(x)=s(x) უნდა
- მიიღეთ ნული მარჯვნივ გამოხატვის მარჯვენა მხრიდან საპირისპირო ნიშნით გადაადგილებით.
- შეასრულეთ მოქმედებები წილადებთან და მრავალწევრებთან განტოლების მარცხენა მხარეს, რითაც გადააქციეთ იგი ფორმის რაციონალურ წილადად.
- ამოხსენით განტოლება p(x)=0 .
- უცხო ფესვების იდენტიფიცირება და გამორიცხვა, რაც ხდება მათი საწყის განტოლებაში ჩანაცვლებით ან თავდაპირველი განტოლების ODZ-თან მათი კუთვნილების შემოწმებით.
მეტი სიცხადისთვის, ჩვენ ვაჩვენებთ წილადი რაციონალური განტოლებების ამოხსნის მთელ ჯაჭვს:
.
გადავიდეთ რამდენიმე მაგალითის ამონახსნები ამოხსნის დეტალური ახსნით, რათა დავაზუსტოთ ინფორმაციის მოცემული ბლოკი.
მაგალითი.
ამოხსენით წილადი რაციონალური განტოლება.
გადაწყვეტილება.
ჩვენ ვიმოქმედებთ ახლახან მიღებული ამოხსნის ალგორითმის შესაბამისად. და ჯერ ტერმინებს გადავიტანთ განტოლების მარჯვენა მხრიდან მარცხენა მხარეს, შედეგად გადავდივართ განტოლებაზე.
მეორე საფეხურზე, მიღებული განტოლების მარცხენა მხარეს წილადი რაციონალური გამოხატულება უნდა გადავიყვანოთ წილადის სახით. ამისთვის ვასრულებთ რაციონალური წილადების შემცირებას საერთო მნიშვნელამდე და ვამარტივებთ მიღებულ გამოსახულებას: . ასე რომ მივედით განტოლებამდე.
შემდეგ ეტაპზე უნდა ამოხსნათ განტოლება −2·x−1=0 . იპოვეთ x=−1/2 .
რჩება იმის შემოწმება, არის თუ არა ნაპოვნი რიცხვი −1/2 საწყისი განტოლების უცხო ფესვი. ამისათვის შეგიძლიათ შეამოწმოთ ან იპოვოთ ორიგინალური განტოლების ODZ ცვლადი x. მოდით ვაჩვენოთ ორივე მიდგომა.
დავიწყოთ შემოწმებით. x ცვლადის ნაცვლად რიცხვს −1/2 ვცვლით თავდაპირველ განტოლებაში, ვიღებთ −1=−1, რომელიც იგივეა. ჩანაცვლება იძლევა სწორ რიცხვობრივ ტოლობას, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.
ახლა ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ ხორციელდება ალგორითმის ბოლო ნაბიჯი ODZ-ის მეშვეობით. საწყისი განტოლების დასაშვები მნიშვნელობების დიაპაზონი არის ყველა რიცხვის სიმრავლე, გარდა −1 და 0 (როდესაც x=−1 და x=0, წილადების მნიშვნელები ქრება). წინა საფეხურზე ნაპოვნი ფესვი x=−1/2 ეკუთვნის ODZ-ს, შესაბამისად, x=−1/2 არის საწყისი განტოლების ფესვი.
პასუხი:
−1/2 .
განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი.
მაგალითი.
იპოვეთ განტოლების ფესვები.
გადაწყვეტილება.
ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ წილადი რაციონალური განტოლება, მოდით გავიაროთ ალგორითმის ყველა საფეხური.
ჯერ ტერმინს გადავიტანთ მარჯვენა მხრიდან მარცხნივ, მივიღებთ .
მეორეც, ჩვენ გარდაქმნით მარცხენა მხარეს წარმოქმნილ გამონათქვამს: . შედეგად მივდივართ განტოლებამდე x=0.
მისი ფესვი აშკარაა - ის ნულია.
მეოთხე საფეხურზე რჩება იმის გარკვევა, არის თუ არა ნაპოვნი ფესვი გარედან ორიგინალური წილადი რაციონალური განტოლებისთვის. როდესაც იგი ჩანაცვლებულია თავდაპირველ განტოლებაში, მიიღება გამოხატულება. ცხადია, აზრი არ აქვს, რადგან შეიცავს ნულზე გაყოფას. საიდანაც დავასკვნათ, რომ 0 არის უცხო ფესვი. ამრიგად, თავდაპირველ განტოლებას არ აქვს ფესვები.
7 , რომელიც მივყავართ განტოლებამდე . აქედან შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ მარცხენა მხარის მნიშვნელში გამოხატული უნდა იყოს ტოლი მარჯვენა მხრიდან, ანუ . ახლა გამოვაკლებთ სამეულის ორივე ნაწილს: . ანალოგიით, საიდან და შემდგომ.
შემოწმება აჩვენებს, რომ ორივე ნაპოვნი ფესვი არის თავდაპირველი წილადი რაციონალური განტოლების ფესვები.
პასუხი:
ბიბლიოგრაფია.
- Ალგებრა:სახელმძღვანელო 8 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 14 საათზე, ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A. G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოზინა, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Ალგებრა:მე-9 კლასი: სახელმძღვანელო. ზოგადი განათლებისთვის დაწესებულებები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედ. S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
უპირველეს ყოვლისა, იმისათვის, რომ ისწავლოთ რაციონალურ წილადებთან მუშაობა შეცდომების გარეშე, თქვენ უნდა ისწავლოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები. და არა მხოლოდ სწავლისთვის - ისინი უნდა იქნას აღიარებული მაშინაც კი, როდესაც სინუსები, ლოგარითმები და ფესვები მოქმედებს როგორც ტერმინები.
თუმცა, მთავარი ინსტრუმენტი არის რაციონალური წილადის მრიცხველისა და მნიშვნელის ფაქტორიზაცია. ამის მიღწევა შესაძლებელია სამი განსხვავებული გზით:
- სინამდვილეში, შემოკლებული გამრავლების ფორმულის მიხედვით: ისინი საშუალებას გაძლევთ დაშალოთ პოლინომი ერთ ან რამდენიმე ფაქტორად;
- კვადრატული ტრინომის ფაქტორებად ფაქტორებად დისკრიმინანტის საშუალებით. იგივე მეთოდი იძლევა იმის დამოწმებას, რომ რაიმე ტრინომილის ფაქტორიზაცია საერთოდ შეუძლებელია;
- დაჯგუფების მეთოდი ყველაზე რთული ინსტრუმენტია, მაგრამ ის ერთადერთია, რომელიც მუშაობს, თუ წინა ორი არ მუშაობდა.
როგორც ამ ვიდეოს სათაურიდან მიხვდით, ისევ რაციონალურ წილადებზე ვისაუბრებთ. ფაქტიურად რამდენიმე წუთის წინ დავამთავრე გაკვეთილი მეათე კლასელთან და იქ სწორედ ეს გამონათქვამები გავაანალიზეთ. ამიტომ ეს გაკვეთილი სპეციალურად საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის იქნება გათვლილი.
რა თქმა უნდა, ახლა ბევრს გაუჩნდება კითხვა: ”რატომ სწავლობენ 10-11 კლასების მოსწავლეები ისეთ მარტივ რაღაცებს, როგორიცაა რაციონალური წილადები, რადგან ეს კეთდება მე-8 კლასში?”. მაგრამ ეს არის უბედურება, რომ ადამიანების უმეტესობა უბრალოდ "გადის" ამ თემას. მე-10-11 კლასში მათ აღარ ახსოვთ, როგორ ხდება მე-8 კლასიდან რაციონალური წილადების გამრავლება, გაყოფა, გამოკლება და შეკრება და სწორედ ამ მარტივ ცოდნაზე აგებულია შემდგომი, უფრო რთული სტრუქტურები, როგორიცაა ლოგარითმული ამოხსნა. , ტრიგონომეტრიული განტოლებები და მრავალი სხვა რთული გამონათქვამები, ამიტომ საშუალო სკოლაში რაციონალური წილადების გარეშე პრაქტიკულად არაფერია გასაკეთებელი.
პრობლემების გადაჭრის ფორმულები
მოდი საქმეს მივუდგეთ. პირველ რიგში, ჩვენ გვჭირდება ორი ფაქტი - ფორმულების ორი ნაკრები. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა იცოდეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები:
- $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ არის კვადრატების სხვაობა;
- $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \მარჯვნივ))^(2))$ არის ჯამის ან სხვაობის კვადრატი ;
- $((a)^(3))+((ბ)^(3))=\left(a+b \მარჯვნივ)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ არის კუბების ჯამი;
- $((a)^(3))-((ბ)^(3))=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ არის კუბების სხვაობა.
მათი სუფთა სახით, ისინი არ გვხვდება არცერთ მაგალითში და რეალურ სერიოზულ გამონათქვამებში. ამიტომ, ჩვენი ამოცანაა ვისწავლოთ $a$ და $b$ ასოების ქვეშ ბევრად უფრო რთული კონსტრუქციების დანახვა, მაგალითად, ლოგარითმები, ფესვები, სინუსები და ა.შ. ამის სწავლა შესაძლებელია მხოლოდ მუდმივი პრაქტიკით. ამიტომ რაციონალური წილადების ამოხსნა აბსოლუტურად აუცილებელია.
მეორე, საკმაოდ აშკარა ფორმულა არის კვადრატული ტრინომის ფაქტორიზაცია:
$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ არის ფესვები.
ჩვენ შევეხეთ თეორიულ ნაწილს. მაგრამ როგორ ამოხსნათ რეალური რაციონალური წილადები, რომლებიც განიხილება მე-8 კლასში? ახლა ჩვენ ვაპირებთ ვარჯიშს.
დავალება #1
\[\frac(27((ა)^(3))-64((ბ)^(3)))((ბ)^(3))-4):\frac(9((ა)^ (2))+12აბ+16((ბ)^(2)))((ბ)^(2))+4ბ+4)\]
შევეცადოთ გამოვიყენოთ ზემოაღნიშნული ფორმულები რაციონალური წილადების ამოხსნისთვის. უპირველეს ყოვლისა, მინდა ავხსნა, თუ რატომ არის საჭირო საერთოდ ფაქტორიზაცია. ფაქტია, რომ დავალების პირველი ნაწილის ერთი შეხედვით, მსურს კუბის შემცირება კვადრატით, მაგრამ ეს აბსოლუტურად შეუძლებელია, რადგან ისინი არიან ტერმინები მრიცხველში და მნიშვნელში, მაგრამ არავითარ შემთხვევაში არ არის ფაქტორები. .
კონკრეტულად რა არის აბრევიატურა? შემცირება არის ამგვარ გამონათქვამებთან მუშაობის ძირითადი წესის გამოყენება. წილადის მთავარი თვისება ის არის, რომ ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ მრიცხველი და მნიშვნელი იმავე რიცხვზე, გარდა "ნულისა". ამ შემთხვევაში, როცა ვამცირებთ, მაშინ, პირიქით, ვყოფთ იმავე რიცხვზე, გარდა „ნულისა“. თუმცა, მნიშვნელში ყველა ტერმინი უნდა გავყოთ იმავე რიცხვზე. თქვენ არ შეგიძლიათ ამის გაკეთება. და ჩვენ გვაქვს მრიცხველის მნიშვნელობით შემცირების უფლება მხოლოდ მაშინ, როდესაც ორივე მათგანი ფაქტორიზებულია. Მოდი გავაკეთოთ ეს.
ახლა თქვენ უნდა ნახოთ რამდენი ტერმინია კონკრეტულ ელემენტში, ამის შესაბამისად გაარკვიეთ რომელი ფორმულა უნდა გამოიყენოთ.
მოდით გადავიტანოთ თითოეული გამონათქვამი ზუსტ კუბში:
გადავიწეროთ მრიცხველი:
\[((\ მარცხნივ(3a \მარჯვნივ))^(3))-((\მარცხნივ(4b \მარჯვნივ))^(3))=\მარცხნივ(3a-4b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((\მარცხნივ (3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\ მარცხნივ(4b \მარჯვნივ))^(2)) \მარჯვნივ)\]
მოდით შევხედოთ მნიშვნელს. ჩვენ ვაფართოებთ მას კვადრატების სხვაობის ფორმულის მიხედვით:
\[((ბ)^(2))-4=((ბ)^(2))-((2)^(2))=\მარცხნივ(b-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \ მარჯვენა)\]
ახლა გადავხედოთ გამოთქმის მეორე ნაწილს:
მრიცხველი:
რჩება საქმე მნიშვნელთან:
\[((ბ)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))^(2))\]
მოდით გადავიწეროთ მთლიანი კონსტრუქცია, ზემოაღნიშნული ფაქტების გათვალისწინებით:
\[\frac(\left(3a-4b \მარჯვნივ)\left(((\left(3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \მარჯვნივ))^(2 )) \მარჯვნივ))(\ მარცხნივ(b-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))\cdot \frac(((\ მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))^(2)))( ((\ მარცხნივ(3a \მარჯვნივ))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \მარჯვნივ))^(2)))=\]
\[=\frac(\ მარცხნივ(3a-4b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(b+2 \მარჯვნივ))(\ მარცხენა (b-2 \მარჯვნივ))\]
რაციონალური წილადების გამრავლების ნიუანსები
ამ კონსტრუქციებიდან მთავარი დასკვნა შემდეგია:
- ყველა მრავალწევრის ფაქტორიზაცია არ შეიძლება.
- მაშინაც კი, თუ ის დაიშალა, საჭიროა ყურადღებით დავაკვირდეთ, თუ რომელი კონკრეტული ფორმულა შემოკლებული გამრავლებისთვის.
ამისათვის ჯერ უნდა გამოვთვალოთ რამდენი ტერმინია (თუ ორია, მაშინ ყველაფერი რაც შეგვიძლია გავაკეთოთ არის მათი გაფართოება ან კვადრატების სხვაობის ჯამით, ან კუბების ჯამით ან სხვაობით; და თუ არის სამი მათგანი, მაშინ ეს, ცალსახად, ან ჯამის კვადრატი ან სხვაობის კვადრატი). ხშირად ხდება, რომ ან მრიცხველი ან მნიშვნელი საერთოდ არ საჭიროებს ფაქტორიზაციას, შეიძლება იყოს წრფივი, ან მისი დისკრიმინანტი იყოს უარყოფითი.
დავალება #2
\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]
ზოგადად, ამ პრობლემის გადაჭრის სქემა არაფრით განსხვავდება წინაგან - უბრალოდ მეტი ქმედება იქნება და ისინი უფრო მრავალფეროვანი გახდება.
დავიწყოთ პირველი წილადით: შეხედეთ მის მრიცხველს და გააკეთეთ შესაძლო გარდაქმნები:
ახლა მოდით შევხედოთ მნიშვნელს:
მეორე წილადით: მრიცხველში საერთოდ არაფერი შეიძლება გაკეთდეს, რადგან ის წრფივი გამოხატულებაა და მისგან რაიმე ფაქტორის ამოღება შეუძლებელია. მოდით შევხედოთ მნიშვნელს:
\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ ))^(2))\]
მივდივართ მესამე წილადზე. მრიცხველი:
მოდით გაუმკლავდეთ ბოლო წილადის მნიშვნელს:
გადმოვწეროთ გამოთქმა ზემოაღნიშნული ფაქტების გათვალისწინებით:
\[\frac(3\მარცხნივ(1-2x \მარჯვნივ))(2\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \მარჯვნივ))^(2))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \მარჯვნივ))(\მარცხნივ(2x-1 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(2x+1 \მარჯვნივ))=\]
\[=\frac(-3)(2\მარცხნივ(2-x \მარჯვნივ))=-\frac(3)(2\მარცხნივ(2-x \მარჯვნივ))=\frac(3)(2\მარცხნივ (x-2 \მარჯვნივ))\]
ხსნარის ნიუანსი
როგორც ხედავთ, ყველაფერი და არა ყოველთვის ემყარება გამრავლების შემოკლებულ ფორმულებს - ზოგჯერ საკმარისია მხოლოდ მუდმივის ან ცვლადის ფრჩხილებში ჩასმა. თუმცა არის საპირისპირო სიტუაციაც, როცა იმდენი ტერმინია ან ისინი ისეა აგებული, რომ მათზე შემოკლებული გამრავლების ფორმულა საერთოდ შეუძლებელია. ამ შემთხვევაში გვეხმარება უნივერსალური ინსტრუმენტი, კერძოდ, დაჯგუფების მეთოდი. ეს არის ის, რასაც ახლა გამოვიყენებთ შემდეგ პრობლემაში.
დავალება #3
\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((ბ)^(2))+25-10a)(((ა)^(2))-((ბ)^(2)))\]
მოდით შევხედოთ პირველ ნაწილს:
\[((a)^(2))+ab=a\მარცხნივ(a+b \მარჯვნივ)\]
\[=5\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)-\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხენა(a+b \მარჯვნივ)=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(5-1\მარცხნივ(a+b \მარჯვნივ ) )\მარჯვნივ)=\]
\[=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(5-a-b \მარჯვნივ)\]
მოდით გადავიწეროთ ორიგინალური გამოთქმა:
\[\frac(a\left(a+b \მარჯვნივ))(\left(a-b \მარჯვნივ)\left(5-a-b \მარჯვნივ))\cdot \frac(((a)^(2))-( (ბ)^(2))+25-10a)(((ა)^(2))-((ბ)^(2)))\]
ახლა მოდით გავუმკლავდეთ მეორე ფრჩხილს:
\[((ა)^(2))-((ბ)^(2))+25-10a=((ა)^(2))-10a+25-((ბ)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \მარჯვნივ)-((ბ)^(2))=\]
\[=((\ მარცხნივ(a-5 \მარჯვნივ))^(2))-((ბ)^(2))=\მარცხნივ(a-5-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(a-5+b \მარჯვნივ)\]
ვინაიდან ორი ელემენტის დაჯგუფება ვერ მოხერხდა, ჩვენ დავაჯგუფეთ სამი. რჩება საქმე მხოლოდ ბოლო წილადის მნიშვნელთან:
\[((a)^(2))-((ბ)^(2))=\მარცხნივ(a-b \მარჯვნივ)\მარცხნივ(a+b \მარჯვნივ)\]
ახლა მოდით გადავწეროთ მთელი ჩვენი სტრუქტურა:
\[\frac(a\left(a+b \მარჯვნივ))(\left(a-b \მარჯვნივ)\მარცხენა(5-a-b \მარჯვნივ))\cdot \frac(\ left(a-5-b \მარჯვნივ) \left(a-5+b \მარჯვნივ))(\left(a-b \მარჯვნივ)\მარცხენა(a+b \მარჯვნივ))=\frac(a\left(b-a+5 \მარჯვნივ))((( \ მარცხნივ(ა-ბ \მარჯვნივ))^(2)))\]
პრობლემა მოგვარებულია და აქ მეტი ვერაფერი გამარტივდება.
ხსნარის ნიუანსი
ჩვენ გავარკვიეთ დაჯგუფება და მივიღეთ კიდევ ერთი ძალიან ძლიერი ინსტრუმენტი, რომელიც აფართოებს ფაქტორიზაციის შესაძლებლობებს. მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ რეალურ ცხოვრებაში არავინ მოგვცემს ასეთ დახვეწილ მაგალითებს, სადაც არის რამდენიმე წილადი, რომლებიც მხოლოდ მრიცხველში და მნიშვნელში უნდა იქნას შეყვანილი და შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შემცირდეს. რეალური გამონათქვამები ბევრად უფრო რთული იქნება.
სავარაუდოდ, გამრავლებისა და გაყოფის გარდა, იქნება გამოკლებები და მიმატებები, ყველა სახის ფრჩხილები - ზოგადად, თქვენ მოგიწევთ მოქმედებების თანმიმდევრობის გათვალისწინება. მაგრამ ყველაზე ცუდი ის არის, რომ სხვადასხვა მნიშვნელის მქონე წილადების გამოკლების და შეკრებისას, ისინი უნდა დაიყვანონ ერთ საერთოზე. ამისათვის საჭიროა თითოეული მათგანის დაშლა ფაქტორებად, შემდეგ კი ეს წილადები გარდაიქმნება: მიეცით მსგავსი და მრავალი სხვა. როგორ გავაკეთოთ ეს სწორად, სწრაფად და ამავდროულად მივიღოთ ცალსახად სწორი პასუხი? ეს არის ის, რაზეც ახლა ვისაუბრებთ შემდეგი კონსტრუქციის მაგალითის გამოყენებით.
დავალება #4
\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \მარჯვნივ)\]
მოდით, ჩამოვწეროთ პირველი წილადი და შევეცადოთ ცალკე გავუმკლავდეთ მას:
\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]
\[=\frac(\left(x+3 \მარჯვნივ)\left(((x)^(2))-3x+9 \მარჯვნივ))(x)\]
გადავიდეთ მეორეზე. გამოვთვალოთ მნიშვნელის დისკრიმინანტი:
ის არ ფაქტორიზდება, ამიტომ ვწერთ შემდეგს:
\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\მარცხნივ(x+3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))-3x+9 \მარჯვნივ))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\მარცხნივ(x+3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))-3x+9 \მარჯვნივ)) \]
მრიცხველს ცალკე ვწერთ:
\[((x)^(2))-2x+12=0\]
ამიტომ, ამ მრავალწევრის ფაქტორიზაცია შეუძლებელია.
მაქსიმუმი, რისი გაკეთებაც შეგვეძლო და დავშალოთ, უკვე გავაკეთეთ.
საერთო ჯამში, ჩვენ გადავწერთ ჩვენს თავდაპირველ კონსტრუქციას და ვიღებთ:
\[\frac(\left(x+3 \მარჯვნივ)\left(((x)^(2))-3x+9 \მარჯვნივ))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\მარცხნივ(x+3 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))-3x+9 \მარჯვნივ))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]
ყველაფერი, ამოცანა მოგვარებულია.
მართალი გითხრათ, არც ისე რთული საქმე იყო: იქ ყველაფერი იოლად იყო ფაქტორირებული, მსგავსი ტერმინები სწრაფად იყო მოცემული და ყველაფერი ლამაზად შემცირდა. ასე რომ, ახლა ვცადოთ პრობლემის გადაჭრა უფრო სერიოზულად.
დავალება ნომერი 5
\[\left(\frac(x)((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \მარჯვნივ)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \მარჯვნივ)\]
ჯერ პირველ ფრჩხილს შევეხოთ. თავიდანვე გამოვყოფთ მეორე წილადის მნიშვნელს ცალკე:
\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x) ^(2))+2x+4 \მარჯვნივ)\]
\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]
\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\ მარცხენა (((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))-\frac(1)(x-2)=\]
\[=\frac(x\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)+((x)^(2))+8-\მარცხენა(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))( \მარცხენა(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\ მარცხენა(x-2) \მარჯვნივ)\მარცხენა(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ))=\]
\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ)) =\frac(((\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ))^(2)))(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(((x)^(2))+2x+4 \მარჯვნივ ))=\ფრაქ(x-2)((x)^(2))+2x+4)\]
ახლა მოდით ვიმუშაოთ მეორე წილადთან:
\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ მარცხენა (x-2 \მარჯვნივ))(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))=\]
\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))\]
ჩვენ ვუბრუნდებით ორიგინალურ დიზაინს და ვწერთ:
\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\ მარცხნივ(x-2 \მარჯვნივ)\მარცხნივ(x+2 \მარჯვნივ))=\frac(1)(x+2)\]
საკვანძო პუნქტები
კიდევ ერთხელ, დღევანდელი ვიდეო გაკვეთილის ძირითადი ფაქტები:
- თქვენ ზეპირად უნდა იცოდეთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები - და არა მხოლოდ იცოდეთ, არამედ შეძლოთ იმ გამონათქვამებში დანახვა, რომელსაც შეხვდებით რეალურ პრობლემებში. ამაში დაგვეხმარება მშვენიერი წესი: თუ ორი ტერმინია, მაშინ ეს არის ან კვადრატების განსხვავება, ან სხვაობა ან კუბების ჯამი; თუ სამი, ეს შეიძლება იყოს მხოლოდ ჯამის ან სხვაობის კვადრატი.
- თუ რაიმე კონსტრუქციის დაშლა შეუძლებელია გამრავლების შემოკლებული ფორმულების გამოყენებით, მაშინ გვეხმარება ან ტრინომების ფაქტორებად გადაყვანის სტანდარტული ფორმულა ან დაჯგუფების მეთოდი.
- თუ რამე არ გამოდგება, ყურადღებით დააკვირდით თავდაპირველ გამონათქვამს - და საჭიროა თუ არა მასთან რაიმე ტრანსფორმაცია. შესაძლოა, საკმარისი იქნება მხოლოდ მულტიპლიკატორის ფრჩხილიდან ამოღება და ეს ძალიან ხშირად მხოლოდ მუდმივია.
- რთულ გამონათქვამებში, სადაც ზედიზედ რამდენიმე მოქმედების შესრულება გჭირდებათ, არ დაგავიწყდეთ მიიყვანოთ საერთო მნიშვნელთან და მხოლოდ ამის შემდეგ, როდესაც მასზე ყველა წილადი დაიყვანება, აუცილებლად შეიტანეთ იგივე ახალ მრიცხველში და შემდეგ კვლავ დააყენეთ ახალი მრიცხველი - შესაძლებელია - შემცირდეს.
ეს არის ყველაფერი, რისი თქმაც მინდოდა დღეს რაციონალურ წილადებზე. თუ რამე გაუგებარია, საიტზე ჯერ კიდევ არის უამრავი ვიდეო გაკვეთილი, ასევე ბევრი დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის. ასე რომ დარჩი ჩვენთან!
