კალკულატორების მოსვლამდე მოსწავლეები და მასწავლებლები კვადრატულ ფესვებს ხელით ითვლიდნენ. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლის რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგიერთი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

ძირეული რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.ძირეული რიცხვიდან გამომდინარე, მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, საიდანაც შეიძლება აიღოთ მთელი კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, სცადეთ ძირეული რიცხვის ფაქტორიზირება კვადრატულ ფაქტორებად.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400 კვადრატულ ფაქტორებად გადაქცევა. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება გამრავლდეს კვადრატულ ფაქტორებად 25 და 16, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი წევრის ნამრავლის კვადრატული ფესვი უდრის თითოეული წევრის კვადრატული ფესვების ნამრავლს, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი და აიღეთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლეთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის კვადრატული ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ ძირის რიცხვი არ ასახავს ორ კვადრატულ ფაქტორს (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ შეძლებთ ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ პრობლემის გამარტივება შეგიძლიათ ძირეული რიცხვის კვადრატულ და ჩვეულებრივ კოეფიციენტად დაშლით (რიცხვი, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ ჩვეულებრივი ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გაერთიანდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ ის შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებში: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით იმ კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვთა ხაზის ორივე მხარეს) ძირის რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ფესვის მნიშვნელობას, როგორც ათობითი წილადი, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. ძირეული რიცხვია 3. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვებია რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა დევს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 \u003d 11.9. თუ გამოთვლებს აკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. ძირეული რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვებია რიცხვები 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა დევს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია განვაცხადოთ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია ვიდრე 6. კალკულატორით შემოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 – ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. კიდევ ერთი გზაა ძირეული რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად.მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ზედიზედ დაწერეთ მარტივი ფაქტორები და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ფესვის ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. ჩვენ ვშლით ფესვის რიცხვს მარტივ ფაქტორებად: 45 \u003d 9 x 5 და 9 \u003d 3 x 3. ამრიგად, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირეული ნიშნიდან: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ სამი მამრავლი 2s; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და ამოიღეთ ფესვის ნიშნიდან.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √2 და √11 და ვიპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   სვეტის გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ფურცლის ზედა კიდეზე ვერტიკალურ ხაზამდე. ახლა გაყავით ძირეული რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ რიცხვი ზედა მარცხენა მხარეს, როგორც "7 80, 14". ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. პასუხი (მოცემული რიცხვის ფესვი) დაიწერება ზედა მარჯვენა მხარეს.

   2. მარცხნიდან მოცემული რიცხვების პირველი წყვილი (ან ერთი რიცხვი), იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოს არის, მაგრამ ნაკლებია, მარცხნიდან პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ ამ კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. ჩაწერეთ ნაპოვნი n ზედა მარჯვნივ და ჩაწერეთ კვადრატი n ქვედა მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, პირველი ნომერი მარცხნივ იქნება ნომერი 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს) მარცხნიდან.ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვენა კუთხეში „_×_=" დართულით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ „80“ 3-ის შემდეგ. შემდეგ, ზემოდან მარჯვნივ რიცხვის გაორმაგება იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ „4_×_=" ქვემოდან მარჯვნივ.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 \u003d 384, რაც 380-ზე მეტია. ამიტომ, 8 არის ძალიან დიდი რიცხვი, მაგრამ 7 კარგია. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 \u003d 329. ჩაწერეთ 7 ზემოდან მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვემოთ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ გამოკლებულის ქვემოთ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ დანგრეული რიცხვების წყვილი არის საწყისი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი (მძიმით) ჩადეთ სასურველ კვადრატულ ფესვში ზემოდან მარჯვნივ. მარცხნივ ჩამოიტანეთ ნომრების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვენა კუთხეში „_×_=" დართულით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების შემდეგი წყვილი, რომელიც უნდა დაინგრეს, იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მთელი რიცხვის და წილადი ნაწილების გამყოფი ჩადეთ საჭირო კვადრატულ ფესვში ზემოდან მარჯვნივ. დაანგრიეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა მხარეს. ორმაგი ზედა მარჯვენა (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვნივ.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვეთ ყველაზე დიდი რიცხვი ტირეების ადგილას მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, დაწერეთ წყვილი ნულები მიმდინარე რიცხვის გვერდით მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ საჭირო პასუხის სიზუსტეს (რაოდენობა ათობითი ადგილები).

      პროცესის გააზრება

      1. ამ მეთოდის დასაუფლებლად წარმოიდგინეთ რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი უნდა იპოვოთ, როგორც S კვადრატის ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოძებნით ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. გამოთვალეთ L-ის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც L² = S.

         ჩაწერეთ ასო თითოეული ციფრისთვის თქვენს პასუხში.აღნიშნეთ A-ით L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

         მიუთითეთ ასო თითოეული წამყვანი ციფრისთვის. S-ით ანიშნეთ S მნიშვნელობის პირველი წყვილი, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

         ახსენით ამ მეთოდის კავშირი გრძელ დაყოფასთან.როგორც გაყოფის ოპერაციაში, სადაც ყოველ ჯერზე გამყოფი რიცხვის მხოლოდ ერთი შემდეგი ციფრი გვაინტერესებს, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას ვმუშაობთ წყვილი ციფრით თანმიმდევრობით (მომდეგი ერთი ციფრის კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის მისაღებად) .

      2. განვიხილოთ S რიცხვის პირველი წყვილი Sa (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, კვადრატული ფესვის მოძიებული მნიშვნელობის A პირველი ციფრი იქნება ისეთი ციფრი, რომლის კვადრატი არის S a-ზე ნაკლები ან ტოლი (ანუ ჩვენ ვეძებთ ისეთ A-ს, რომელიც აკმაყოფილებს A² უტოლობას. ≤ სა< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. გონებრივად წარმოიდგინეთ კვადრატი, რომლის ფართობის გამოთვლა გჭირდებათ.თქვენ ეძებთ L-ს, ანუ კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობია S. A, B, C არის რიცხვები L რიცხვში. შეგიძლიათ სხვანაირად დაწეროთ: 10A + B \u003d L (ორისთვის -ციფრიანი ნომერი) ან 100A + 10B + C \u003d L (სამნიშნა რიცხვისთვის) და ა.შ.

         • დაე იყოს (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². დაიმახსოვრეთ, რომ 10A+B არის რიცხვი, რომლის B ნიშნავს ერთს და A არის ათეულს. მაგალითად, თუ A=1 და B=2, მაშინ 10A+B უდრის რიცხვს 12-ს. (10A+B)²არის მთელი მოედნის ფართობი, 100A²არის დიდი შიდა კვადრატის ფართობი, B²არის პატარა შიდა კვადრატის ფართობი, 10A×Bარის ორი მართკუთხედიდან თითოეულის ფართობი. აღწერილი ფიგურების არეების დამატებით, თქვენ იპოვით ორიგინალური კვადრატის ფართობს.

ძირეული ფორმულები. კვადრატული ფესვების თვისებები.

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

წინა გაკვეთილზე გავარკვიეთ რა არის კვადრატული ფესვი. დროა გაერკვია რა არის ფორმულები ფესვებისთვის, რა არის ფესვის თვისებებიდა რა შეიძლება გაკეთდეს ამ ყველაფრის შესახებ.

ძირეული ფორმულები, ძირეული თვისებები და ფესვებით მოქმედებების წესები- არსებითად იგივეა. კვადრატული ფესვების გასაოცრად ცოტა ფორმულა არსებობს. რაც, რა თქმა უნდა, სასიამოვნოა! პირიქით, შეგიძლიათ დაწეროთ ბევრი ყველა სახის ფორმულა, მაგრამ მხოლოდ სამი საკმარისია ფესვებთან პრაქტიკული და თავდაჯერებული მუშაობისთვის. ყველაფერი დანარჩენი ამ სამიდან მოდის. მიუხედავად იმისა, რომ ბევრი ცდება ფესვების სამ ფორმულაში, დიახ ...

დავიწყოთ უმარტივესით. Ის აქ არის:

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

მრავალრიცხოვან ცოდნას შორის, რომელიც წიგნიერების ნიშანია, ანბანი პირველ ადგილზეა. შემდეგი, იგივე „ნიშნის“ ელემენტია შეკრება-გამრავლების უნარები და მათ მიმდებარედ, მაგრამ მნიშვნელობით შებრუნებული, გამოკლება-გაყოფის არითმეტიკული მოქმედებები. შორეულ სასკოლო ბავშვობაში ნასწავლი უნარები ერთგულად გვემსახურება დღე და ღამე: ტელევიზორი, გაზეთი, SMS, და ყველგან ვკითხულობთ, ვწერთ, ვითვლით, ვამატებთ, ვაკლებთ, ვამრავლებთ. და, მითხარი, ხშირად გიწევდათ ცხოვრებაში, გარდა ქვეყნის გარდა? მაგალითად, ისეთი გასართობი პრობლემა, როგორიცაა 12345 რიცხვის კვადრატული ფესვი... ფხვნილის კოლბაში ისევ დენთია? შეგვიძლია ამის გაკეთება? დიახ, არაფერია ადვილი! სად არის ჩემი კალკულატორი... და მის გარეშე ხელჩართული, სუსტი?

ჯერ განვმარტოთ რა არის ეს - რიცხვის კვადრატული ფესვი. ზოგადად რომ ვთქვათ, "ძირის ამოღება რიცხვიდან" ნიშნავს არითმეტიკული მოქმედების შესრულებას ხარისხზე ამაღლების საპირისპიროდ - აქ თქვენ გაქვთ დაპირისპირებების ერთიანობა ცხოვრებისეულ გამოყენებაში. ვთქვათ, კვადრატი არის რიცხვის ნამრავლი თავისთავად, ანუ, როგორც სკოლაში ასწავლიდნენ, X * X = A ან სხვა აღნიშვნით X2 = A, და სიტყვებით - "X კვადრატი უდრის A". მაშინ შებრუნებული ამოცანა ასე ჟღერს: A რიცხვის კვადრატული ფესვი არის X რიცხვი, რომელიც კვადრატში უდრის A-ს.

კვადრატული ფესვის ამოღება

არითმეტიკის სასკოლო კურსიდან ცნობილია "სვეტში" გამოთვლების მეთოდები, რომლებიც ხელს უწყობენ ნებისმიერი გამოთვლების შესრულებას პირველი ოთხი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით. ვაი... კვადრატისთვის და არა მარტო კვადრატისთვის, ასეთი ალგორითმების ფესვები არ არსებობს. და ამ შემთხვევაში, როგორ ამოიღოთ კვადრატული ფესვი კალკულატორის გარეშე? კვადრატული ფესვის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, არსებობს მხოლოდ ერთი დასკვნა - აუცილებელია შედეგის მნიშვნელობის შერჩევა რიცხვების თანმიმდევრული ჩამოთვლით, რომელთა კვადრატი უახლოვდება ძირეული გამოხატვის მნიშვნელობას. მხოლოდ და ყველაფერი! ერთი-ორი საათის გასვლის დრო არ იქნება, რადგან თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ "სვეტად" გამრავლების ცნობილი მეთოდით, ნებისმიერ კვადრატულ ფესვში. თუ თქვენ გაქვთ უნარები, ამისთვის რამდენიმე წუთი საკმარისია. არც ისე მოწინავე კალკულატორის ან კომპიუტერის მომხმარებელიც კი ამას აკეთებს ერთი დარტყმით - პროგრესი.

მაგრამ სერიოზულად, კვადრატული ფესვის გამოთვლა ხშირად ხორციელდება "არტილერიის ჩანგლის" ტექნიკის გამოყენებით: პირველ რიგში, ისინი იღებენ რიცხვს, რომლის კვადრატი დაახლოებით შეესაბამება ფესვის გამოხატვას. სჯობს „ჩვენი მოედანი“ ამ გამოთქმაზე ოდნავ ნაკლები იყოს. შემდეგ ასწორებენ რიცხვს საკუთარი უნარ-ჩვევების მიხედვით, მაგალითად, ამრავლებენ ორზე და ... ისევ კვადრატში. თუ შედეგი აღემატება ფესვის ქვეშ არსებულ რიცხვს, თანმიმდევრულად ასწორებს თავდაპირველ რიცხვს, თანდათან უახლოვდება მის "კოლეგას" ფესვის ქვეშ. როგორც ხედავთ - არ არის კალკულატორი, მხოლოდ "სვეტში" დათვლის შესაძლებლობა. რა თქმა უნდა, არსებობს მრავალი მეცნიერულად დასაბუთებული და ოპტიმიზებული ალგორითმი კვადრატული ფესვის გამოსათვლელად, მაგრამ „სახლში გამოყენებისთვის“ ზემოაღნიშნული ტექნიკა იძლევა 100% ნდობას შედეგში.

დიახ, კინაღამ დამავიწყდა, ჩვენი გაზრდილი წიგნიერების დასადასტურებლად, ჩვენ ვიანგარიშებთ ადრე მითითებული ნომრის კვადრატულ ფესვს 12345. ამას ვაკეთებთ ეტაპობრივად:

1. აიღეთ, წმინდა ინტუიციურად, X=100. გამოვთვალოთ: X * X = 10000. ინტუიცია თავზეა - შედეგი 12345-ზე ნაკლებია.

2. ვცადოთ, ასევე წმინდა ინტუიციურად, X = 120. შემდეგ: X * X = 14400. და ისევ, ინტუიციით, წესრიგი - შედეგი 12345-ზე მეტია.

3. ზევით მიიღება 100-ისა და 120-ის „ჩანგალი“, ავირჩიოთ ახალი რიცხვები - 110 და 115. ვიღებთ, შესაბამისად, 12100 და 13225 - ჩანგალი ვიწროვდება.

4. ვცდილობთ "იქნებ" X = 111-ზე. ჩვენ ვიღებთ X * X = 12321. ეს რიცხვი უკვე საკმაოდ ახლოსაა 12345-თან. საჭირო სიზუსტის შესაბამისად, „მორგება“ შეიძლება გაგრძელდეს ან შეჩერდეს მიღებულ შედეგზე. Სულ ეს არის. როგორც დაგპირდით - ყველაფერი ძალიან მარტივია და კალკულატორის გარეშე.

საკმაოდ ცოტა ისტორია...

პითაგორაელებსაც კი, სკოლის მოსწავლეები და პითაგორას მიმდევრები, ფიქრობდნენ კვადრატული ფესვების გამოყენებაზე 800 წ. და სწორედ იქ „შეეყარა“ ახალ აღმოჩენებს რიცხვების სფეროში. და საიდან გაჩნდა?

1. ამოცანის ამოხსნა ფესვის ამოღებით, იძლევა შედეგს ახალი კლასის რიცხვების სახით. მათ უწოდეს ირაციონალური, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, „არაგონივრული“, რადგან. ისინი არ იწერება როგორც სრული რიცხვი. ამ ტიპის ყველაზე კლასიკური მაგალითია 2-ის კვადრატული ფესვი. ეს შემთხვევა შეესაბამება კვადრატის დიაგონალის გამოთვლას 1-ის ტოლი გვერდით - აი, ეს არის პითაგორას სკოლის გავლენა. აღმოჩნდა, რომ სამკუთხედში, რომელსაც აქვს გვერდების ძალიან სპეციფიკური ერთეული ზომა, ჰიპოტენუზას აქვს ზომა, რომელიც გამოიხატება რიცხვით, რომელსაც „ბოლო არ აქვს“. ასე გამოჩნდა მათემატიკაში

2. ცნობილია, რომ აღმოჩნდა, რომ ეს მათემატიკური ოპერაცია შეიცავს კიდევ ერთ დაჭერას - ფესვის ამოღებას, არ ვიცით რომელი რიცხვის რომელი კვადრატი, დადებითი თუ უარყოფითი, არის ფესვის გამოხატულება. ეს გაურკვევლობა, ერთი ოპერაციის ორმაგი შედეგი, ჩაწერილია.

ამ ფენომენთან დაკავშირებული პრობლემების შესწავლა მათემატიკაში გახდა მიმართულება, რომელსაც ეწოდება რთული ცვლადის თეორია, რომელსაც დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს მათემატიკური ფიზიკაში.

საინტერესოა, რომ ფესვის აღნიშვნა - რადიკალური - გამოიყენა თავის "უნივერსალურ არითმეტიკაში" იგივე ყველგანმყოფმა ი. ნიუტონმა და ზუსტად ფესვის დაწერის თანამედროვე ფორმა ცნობილია 1690 წლიდან ფრანგი როლის წიგნიდან "ალგებრა სახელმძღვანელოდან". ".

ამ სტატიაში გაგაცნობთ რიცხვის ფესვის კონცეფცია. ვიმოქმედებთ თანმიმდევრულად: დავიწყებთ კვადრატული ფესვით, მისგან გადავალთ კუბური ფესვის აღწერაზე, ამის შემდეგ განვაზოგადებთ ფესვის ცნებას n-ე ხარისხის ფესვის განსაზღვრით. პარალელურად შემოვიყვანთ განმარტებებს, აღნიშვნას, მოვიყვანთ ფესვების მაგალითებს და ვაძლევთ საჭირო განმარტებებსა და კომენტარებს.

კვადრატული ფესვი, არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

რიცხვის ფესვის და კერძოდ კვადრატული ფესვის განმარტების გასაგებად, უნდა გქონდეთ . ამ დროს ხშირად შევხვდებით რიცხვის მეორე ხარისხს – რიცხვის კვადრატს.

დავიწყოთ იმით კვადრატული ფესვის განმარტებები.

განმარტება

კვადრატული ფესვი აარის რიცხვი, რომლის კვადრატი არის a.

მოტანის მიზნით კვადრატული ფესვების მაგალითები, აიღეთ რამდენიმე რიცხვი, მაგალითად, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 და კვადრატში მივიღებთ რიცხვებს 25 , 0.09 , 0.09 და 0 შესაბამისად (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 და 0 2 =0 0=0). შემდეგ ზემოთ მოცემული განმარტებით, 5 არის 25-ის კვადრატული ფესვი, −0,3 და 0,3 არის 0,09-ის კვადრატული ფესვები, ხოლო 0 არის ნულის კვადრატული ფესვი.

უნდა აღინიშნოს, რომ არცერთი რიცხვისთვის არ არსებობს a, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. კერძოდ, ნებისმიერი უარყოფითი რიცხვისთვის a, არ არსებობს რეალური რიცხვი b, რომლის კვადრატი უდრის a-ს. მართლაც, ტოლობა a=b 2 შეუძლებელია ნებისმიერი უარყოფითი a , რადგან b 2 არის არაუარყოფითი რიცხვი ნებისმიერი b . ამრიგად, ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეზე არ არის უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რეალური რიცხვების სიმრავლეზე უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული და არ აქვს მნიშვნელობა.

ეს იწვევს ლოგიკურ კითხვას: "არსებობს თუ არა a-ს კვადრატული ფესვი ნებისმიერი არაუარყოფით a"-სთვის? პასუხი არის დიახ. ამ ფაქტის დასაბუთება შეიძლება ჩაითვალოს კონსტრუქციულ მეთოდად, რომელიც გამოიყენება კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის დასადგენად.

მაშინ ჩნდება შემდეგი ლოგიკური კითხვა: „რა არის მოცემული არაუარყოფითი რიცხვის a-ს ყველა კვადრატული ფესვის რიცხვი - ერთი, ორი, სამი ან კიდევ მეტი“? აქ არის პასუხი მასზე: თუ a არის ნული, მაშინ ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი არის ნული; თუ a არის რაიმე დადებითი რიცხვი, მაშინ a რიცხვიდან კვადრატული ფესვების რაოდენობა უდრის ორს, ხოლო ფესვები არის . დავამტკიცოთ ეს.

დავიწყოთ a=0 საქმით. ჯერ ვაჩვენოთ, რომ ნული ნამდვილად არის ნულის კვადრატული ფესვი. ეს გამომდინარეობს აშკარა ტოლობიდან 0 2 =0·0=0 და კვადრატული ფესვის განსაზღვრებიდან.

ახლა დავამტკიცოთ, რომ 0 არის ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი. გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ არის რაღაც არანულოვანი რიცხვი b, რომელიც არის ნულის კვადრატული ფესვი. მაშინ პირობა b 2 =0 უნდა დაკმაყოფილდეს, რაც შეუძლებელია, რადგან ნებისმიერი არა-ნულოვანი b-სთვის b 2 გამოხატვის მნიშვნელობა დადებითია. ჩვენ წინააღმდეგობამდე მივედით. ეს ადასტურებს, რომ 0 არის ნულის ერთადერთი კვადრატული ფესვი.

მოდით გადავიდეთ შემთხვევებზე, როდესაც a დადებითი რიცხვია. ზემოთ ვთქვით, რომ ყოველთვის არის ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი, მოდით b იყოს a-ს კვადრატული ფესვი. ვთქვათ, არის რიცხვი c, რომელიც ასევე არის a-ს კვადრატული ფესვი. მაშინ კვადრატული ფესვის განმარტებით მართებულია ტოლობები b 2 =a და c 2 =a, საიდანაც გამოდის, რომ b 2 −c 2 =a−a=0, მაგრამ რადგან b 2 −c 2 =( b−c) (b+c) , შემდეგ (b−c) (b+c)=0 . შედეგად მიღებული თანასწორობა ძალაშია რეალური რიცხვებით მოქმედებების თვისებებიშესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 ან b+c=0 . ამრიგად, b და c რიცხვები ტოლია ან საპირისპირო.

თუ დავუშვებთ, რომ არის რიცხვი d, რომელიც არის a რიცხვის კიდევ ერთი კვადრატული ფესვი, მაშინ უკვე მოცემულის მსგავსი მსჯელობით დამტკიცდება, რომ d უდრის b რიცხვს ან c რიცხვს. ამრიგად, დადებითი რიცხვის კვადრატული ფესვების რაოდენობა არის ორი, ხოლო კვადრატული ფესვები საპირისპირო რიცხვებია.

კვადრატულ ფესვებთან მუშაობის მოხერხებულობისთვის უარყოფითი ფესვი „გამოიყოფა“ პოზიტიურისაგან. ამ მიზნით შემოაქვს არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტება.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი aარის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის a-ს.

a რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვისთვის, აღნიშვნა მიღებულია. ნიშანს კვადრატული ფესვის არითმეტიკული ნიშანი ეწოდება. მას ასევე რადიკალის ნიშანს უწოდებენ. აქედან გამომდინარე, შეგიძლიათ ნაწილობრივ მოისმინოთ როგორც "ძირი" და "რადიკალური", რაც ნიშნავს ერთსა და იმავე ობიექტს.

რიცხვი არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ნიშნის ქვეშ ეწოდება ფესვის ნომერიდა გამოთქმა ძირის ნიშნის ქვეშ - რადიკალური გამოხატულება, მაშინ როცა ტერმინი „რადიკალური რიცხვი“ ხშირად იცვლება „რადიკალური გამოხატულებით“. მაგალითად, აღნიშვნაში რიცხვი 151 არის რადიკალური რიცხვი, ხოლო აღნიშვნით გამოთქმა a არის რადიკალური გამოხატულება.

კითხვისას სიტყვა „არითმეტიკა“ ხშირად გამოტოვებულია, მაგალითად, ჩანაწერი იკითხება როგორც „შვიდი წერტილის ოცდაცხრა ასეულის კვადრატული ფესვი“. სიტყვა „არითმეტიკა“ გამოითქმის მხოლოდ მაშინ, როცა ხაზგასმით უნდათ, რომ საუბარია რიცხვის დადებით კვადრატულ ფესვზე.

შემოღებული აღნიშვნის ფონზე, არითმეტიკული კვადრატული ფესვის განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვისთვის a .

დადებითი რიცხვის a კვადრატული ფესვები იწერება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ნიშნით, როგორც და. მაგალითად, 13-ის კვადრატული ფესვები არის და . ნულის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი არის ნული, ანუ . უარყოფით a რიცხვებს ჩვენ არ მივანიჭებთ მნიშვნელობას, სანამ არ შევისწავლით რთული რიცხვები. მაგალითად, გამონათქვამები და უაზროა.

კვადრატული ფესვის განმარტების საფუძველზე დადასტურებულია კვადრატული ფესვების თვისებები, რომლებიც ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად აღვნიშნავთ, რომ რიცხვის კვადრატული ფესვები არის x 2 =a ფორმის ამონახსნები x ცვლადის მიმართ.

კუბის ფესვი

კუბის ფესვის განმარტებარიცხვი a მოცემულია კვადრატული ფესვის განმარტების ანალოგიურად. მხოლოდ ის ეფუძნება რიცხვის კუბის კონცეფციას და არა კვადრატს.

განმარტება

კუბური ფესვი არიცხვი, რომლის კუბიც უდრის a-ს, ეწოდება.

მოვიყვანოთ კუბური ფესვების მაგალითები. ამისთვის აიღეთ რამდენიმე რიცხვი, მაგალითად, 7 , 0 , −2/3 და კუბიკებად მოაქციათ ისინი: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . შემდეგ, კუბის ფესვის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ რიცხვი 7 არის 343-ის კუბური ფესვი, 0 არის ნულის კუბური ფესვი და −2/3 არის −8/27-ის კუბური ფესვი.

შეიძლება აჩვენოს, რომ a რიცხვის კუბური ფესვი, კვადრატული ფესვისგან განსხვავებით, ყოველთვის არსებობს და არა მხოლოდ არაუარყოფითი a, არამედ ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ იგივე მეთოდი, რომელიც კვადრატული ფესვის შესწავლისას აღვნიშნეთ.

უფრო მეტიც, მოცემული a რიცხვის მხოლოდ ერთი კუბური ფესვია. დავამტკიცოთ ბოლო მტკიცება. ამისათვის განიხილეთ სამი შემთხვევა ცალ-ცალკე: a არის დადებითი რიცხვი, a=0 და a არის უარყოფითი რიცხვი.

ადვილია იმის ჩვენება, რომ დადებითი a-სთვის, a-ს კუბური ფესვი არ შეიძლება იყოს უარყოფითი ან ნული. მართლაც, მოდით b იყოს a-ს კუბური ფესვი, მაშინ განსაზღვრებით შეგვიძლია დავწეროთ ტოლობა b 3 =a. ცხადია, რომ ეს ტოლობა არ შეიძლება იყოს ჭეშმარიტი უარყოფითი b და b=0, რადგან ამ შემთხვევებში b 3 =b·b·b იქნება უარყოფითი რიცხვი ან ნული, შესაბამისად. ასე რომ, დადებითი რიცხვის კუბური ფესვი a არის დადებითი რიცხვი.

ახლა დავუშვათ, რომ b რიცხვის გარდა არის კიდევ ერთი კუბური ფესვი a რიცხვიდან, ავღნიშნოთ ის c. შემდეგ c 3 =a. ამიტომ, b 3 −c 3 =a−a=0, მაგრამ b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა კუბების განსხვავება), საიდანაც (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . შედეგად მიღებული ტოლობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 ან b 2 +b c+c 2 =0 . პირველი ტოლობიდან გვაქვს b=c , ხოლო მეორე ტოლობას არ აქვს ამონახსნები, რადგან მისი მარცხენა მხარე არის დადებითი რიცხვი ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b და c, როგორც სამი დადებითი წევრის ჯამი b 2 , b c და c 2 . ეს ადასტურებს დადებითი რიცხვის a კუბური ფესვის უნიკალურობას.

a=0-სთვის, a-ს ერთადერთი კუბური ფესვი არის ნული. მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ არის რიცხვი b , რომელიც არის ნულის არანულის კუბური ფესვი, მაშინ უნდა იყოს ტოლობა b 3 =0, რაც შესაძლებელია მხოლოდ b=0 .

უარყოფითი a-სთვის შეიძლება მსჯელობა ისევე, როგორც დადებითი a-ს შემთხვევაში. პირველი, ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ უარყოფითი რიცხვის კუბური ფესვი არ შეიძლება იყოს დადებითი რიცხვის ან ნულის ტოლი. მეორეც, ვივარაუდოთ, რომ არსებობს უარყოფითი რიცხვის მეორე კუბური ფესვი და ვაჩვენებთ, რომ ის აუცილებლად დაემთხვევა პირველს.

ასე რომ, ყოველთვის არის კუბური ფესვი ნებისმიერი მოცემული რეალური რიცხვის a და მხოლოდ ერთი.

მივცეთ არითმეტიკული კუბის ფესვის განმარტება.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის არითმეტიკული კუბური ფესვი aარაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კუბიც უდრის a-ს, ეწოდება.

არაუარყოფითი რიცხვის a არითმეტიკული კუბური ფესვი აღინიშნება როგორც , ნიშანს ეწოდება არითმეტიკული კუბური ფესვის ნიშანი, ამ აღნიშვნით რიცხვი 3 ე.წ. ფესვის მაჩვენებელი. რიცხვი ძირის ნიშნის ქვეშ არის ფესვის ნომერი, გამოხატულება ძირის ნიშნის ქვეშ არის რადიკალური გამოხატულება.

მიუხედავად იმისა, რომ არითმეტიკული კუბის ფესვი განისაზღვრება მხოლოდ არაუარყოფითი a რიცხვებისთვის, ასევე მოსახერხებელია ისეთი ჩანაწერების გამოყენება, რომლებშიც უარყოფითი რიცხვები არის არითმეტიკული კუბის ფესვის ნიშნის ქვეშ. მათ შემდეგნაირად გავიგებთ: , სადაც a დადებითი რიცხვია. Მაგალითად, .

კუბური ფესვების თვისებებზე ვისაუბრებთ ზოგად სტატიაში ფესვების თვისებები.

კუბის ფესვის მნიშვნელობის გამოთვლას ეწოდება კუბის ფესვის ამოღება, ეს მოქმედება განხილულია სტატიაში ფესვების ამოღების შესახებ: მეთოდები, მაგალითები, გადაწყვეტილებები.

ამ ქვეგანყოფილების დასასრულებლად, ჩვენ ვამბობთ, რომ a-ს კუბური ფესვი არის x 3 =a ფორმის ამონახსნი.

N-ე ფესვი, n-ის არითმეტიკული ფესვი

ჩვენ განვაზოგადებთ ძირის ცნებას რიცხვიდან - შემოგვაქვს n-ე ფესვის განსაზღვრაამისთვის ნ.

განმარტება

ა-ის n-ე ფესვიარის რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.

ამ განსაზღვრებიდან ირკვევა, რომ a რიცხვიდან პირველი ხარისხის ფესვი არის თავად რიცხვი a, ვინაიდან ხარისხის ბუნებრივი მაჩვენებლით შესწავლისას ავიღეთ 1 = a.

ზემოთ განვიხილეთ n-ე ხარისხის ფესვის განსაკუთრებული შემთხვევები n=2 და n=3 - კვადრატული ფესვი და კუბური ფესვი. ანუ კვადრატული ფესვი არის მეორე ხარისხის ფესვი, ხოლო კუბური ფესვი არის მესამე ხარისხის ფესვი. n-ე ხარისხის ფესვების შესასწავლად n=4, 5, 6, ..., მოსახერხებელია მათი ორ ჯგუფად დაყოფა: პირველი ჯგუფი - ლუწი გრადუსების ფესვები (ანუ n=4, 6-ისთვის. , 8, ...), მეორე ჯგუფი - ფესვები კენტი გრადუსი (ანუ n=5, 7, 9, ... ). ეს გამოწვეულია იმით, რომ ლუწი გრადუსების ფესვები კვადრატული ფესვის მსგავსია, კენტი გრადუსის ფესვები კი კუბური ფესვის მსგავსია. მოდით გავუმკლავდეთ მათ თავის მხრივ.

დავიწყოთ ფესვებით, რომელთა ხარისხებია ლუწი რიცხვები 4, 6, 8,... როგორც უკვე ვთქვით, მსგავსია a რიცხვის კვადრატული ფესვი. ანუ a რიცხვიდან ნებისმიერი ლუწი ხარისხის ფესვი არსებობს მხოლოდ არაუარყოფით a-სთვის. უფრო მეტიც, თუ a=0, მაშინ a-ს ფესვი უნიკალურია და ნულის ტოლია, ხოლო თუ a>0, მაშინ a რიცხვიდან არის ორი ლუწი ხარისხის ფესვი და ისინი საპირისპირო რიცხვებია.

დავამტკიცოთ ბოლო მტკიცება. მოდით b იყოს ლუწი ხარისხის ფესვი (ჩვენ აღვნიშნავთ მას როგორც 2·m, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი) a-დან. დავუშვათ, არის რიცხვი c - a-ს კიდევ 2 მ ფესვი. მაშინ b 2 m −c 2 m =a−a=0 . მაგრამ ჩვენ ვიცით ფორმა b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), შემდეგ (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. ამ ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ b−c=0 , ან b+c=0 , ან b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. პირველი ორი ტოლობა ნიშნავს, რომ b და c რიცხვები ტოლია ან b და c საპირისპირო. და ბოლო ტოლობა მოქმედებს მხოლოდ b=c=0-ისთვის, რადგან მისი მარცხენა მხარე შეიცავს გამოხატვას, რომელიც არაუარყოფითია ნებისმიერი b და c-სთვის, როგორც არაუარყოფითი რიცხვების ჯამი.

რაც შეეხება n-ე ხარისხის ფესვებს კენტი n-სთვის, ისინი მსგავსია კუბის ფესვის. ანუ, a რიცხვიდან ნებისმიერი კენტი ხარისხის ფესვი არსებობს ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის, ხოლო მოცემული რიცხვისთვის ის უნიკალურია.

კენტი ხარისხის 2·m+1 ფესვის უნიკალურობა a რიცხვიდან დასტურდება a-დან კუბური ფესვის უნიკალურობის დადასტურების ანალოგიით. მხოლოდ აქ თანასწორობის ნაცვლად a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2)ფორმის ტოლობა b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). ბოლო ფრჩხილებში გამოსახული შეიძლება გადაიწეროს როგორც b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). მაგალითად, m=2-ისთვის გვაქვს b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). როდესაც a და b ორივე დადებითია ან ორივე უარყოფითი, მათი ნამრავლი არის დადებითი რიცხვი, მაშინ გამონათქვამი b 2 +c 2 +b·c, რომელიც არის ბუდობის უმაღლესი ხარისხის ფრჩხილებში, დადებითია როგორც დადებითი ჯამი. ნომრები. ახლა, თანმიმდევრულად გადავდივართ ფრჩხილებში წინა ბუდობის ხარისხების გამონათქვამებზე, დავრწმუნდებით, რომ ისინი ასევე დადებითია როგორც დადებითი რიცხვების ჯამები. შედეგად მივიღებთ, რომ ტოლობა b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც b−c=0 , ანუ როცა რიცხვი b უდრის c რიცხვს.

დროა გავუმკლავდეთ n-ე ხარისხის ფესვების აღნიშვნას. ამისთვის არის მოცემული n ხარისხის არითმეტიკული ფესვის განსაზღვრა.

განმარტება

არაუარყოფითი რიცხვის n ხარისხის არითმეტიკული ფესვი aიწოდება არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის n-ე ხარისხი უდრის a-ს.

კვადრატული მიწის ნაკვეთის ფართობია 81 დმ². იპოვე მისი მხარე. დავუშვათ კვადრატის გვერდის სიგრძე არის Xდეციმეტრები. შემდეგ ნაკვეთის ფართობია X² კვადრატული დეციმეტრი. ვინაიდან, მდგომარეობის მიხედვით, ეს ტერიტორია არის 81 დმ², მაშინ X² = 81. კვადრატის გვერდის სიგრძე დადებითი რიცხვია. დადებითი რიცხვი, რომლის კვადრატი არის 81, არის რიცხვი 9. ამოცანის ამოხსნისას მოითხოვდა x რიცხვის პოვნა, რომლის კვადრატი არის 81, ანუ ამოხსნა განტოლება. X² = 81. ამ განტოლებას ორი ფესვი აქვს: x 1 = 9 და x 2 \u003d - 9, ვინაიდან 9² \u003d 81 და (- 9)² \u003d 81. ორივე რიცხვს 9 და - 9 ეწოდება 81 რიცხვის კვადრატული ფესვები.

გაითვალისწინეთ, რომ ერთ-ერთი კვადრატული ფესვი X= 9 დადებითი რიცხვია. მას 81-ის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი ეწოდება და აღინიშნება √81, ანუ √81 = 9.

რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი აარის არაუარყოფითი რიცხვი, რომლის კვადრატი უდრის ა.

მაგალითად, რიცხვები 6 და -6 არის 36-ის კვადრატული ფესვები. რიცხვი 6 არის 36-ის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი, რადგან 6 არის არაუარყოფითი რიცხვი და 6² = 36. რიცხვი -6 არ არის არითმეტიკული ფესვი.

რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი ააღინიშნება შემდეგნაირად: √ ა.

ნიშანს ეწოდება არითმეტიკული კვადრატული ფესვის ნიშანი; აეწოდება ძირეული გამოხატულება. გამოხატვა √ აწაიკითხეთ ასე: რიცხვის არითმეტიკული კვადრატული ფესვი ა.მაგალითად, √36 = 6, √0 = 0, √0.49 = 0.7. იმ შემთხვევებში, როდესაც აშკარაა, რომ საუბარია არითმეტიკულ ფესვზე, ისინი მოკლედ ამბობენ: „კვადრატული ფესვი ა«.

რიცხვის კვადრატული ფესვის პოვნის აქტს კვადრატული ფესვის აღება ეწოდება. ეს მოქმედება არის კვადრატის საპირისპირო.

ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება იყოს კვადრატი, მაგრამ ყველა რიცხვი არ შეიძლება იყოს კვადრატული ფესვები. მაგალითად, შეუძლებელია რიცხვის კვადრატული ფესვის ამოღება - 4. თუ ასეთი ფესვი არსებობდა, მაშინ მისი ასოთი აღნიშვნა. X, მივიღებთ არასწორ ტოლობას x² \u003d - 4, რადგან მარცხნივ არის არაუარყოფითი რიცხვი, ხოლო მარჯვნივ უარყოფითი რიცხვი.

გამოხატვა √ ააზრი აქვს მხოლოდ მაშინ, როცა a ≥ 0. კვადრატული ფესვის განმარტება შეიძლება მოკლედ დაიწეროს: √ a ≥ 0, (√ა)² = ა. თანასწორობა (√ ა)² = ამოქმედებს a ≥ 0. ამრიგად, დარწმუნდით, რომ არაუარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი აუდრის ბ, ანუ რომ √ ა =ბ, თქვენ უნდა შეამოწმოთ, რომ დაცულია შემდეგი ორი პირობა: b ≥ 0, ბ² = ა.

წილადის კვადრატული ფესვი

მოდით გამოვთვალოთ. გაითვალისწინეთ, რომ √25 = 5, √36 = 6 და შეამოწმეთ არის თუ არა თანასწორობა.

როგორც და მაშინ თანასწორობა მართალია. Ისე, .

თეორემა:Თუ ა≥ 0 და ბ> 0, ანუ წილადის ფესვი უდრის მრიცხველის ფესვს გაყოფილი მნიშვნელის ფესვზე. საჭიროა იმის მტკიცება, რომ: და .

√ წლიდან ა≥0 და √ ბ> 0, მაშინ.

წილადის ხარისხამდე აწევისა და კვადრატული ფესვის განსაზღვრის თვისებით თეორემა დადასტურებულია. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

გამოთვალეთ დადასტურებული თეორემის მიხედვით .

მეორე მაგალითი: დაამტკიცეთ ეს , თუ ა ≤ 0, ბ < 0. .

კიდევ ერთი მაგალითი: გამოთვალეთ.

.

კვადრატული ფესვის ტრანსფორმაცია

მულტიპლიკატორის ამოღება ფესვის ნიშნის ქვეშ. მიეცით გამოხატულება. Თუ ა≥ 0 და ბ≥ 0, მაშინ პროდუქტის ფესვზე თეორემა შეგვიძლია დავწეროთ:

ასეთ ტრანსფორმაციას ეწოდება ძირეული ნიშნის ფაქტორირება. განვიხილოთ მაგალითი;

გამოთვალეთ ზე X= 2. პირდაპირი ჩანაცვლება Xრადიკალურ გამოხატულებაში = 2 იწვევს რთულ გამოთვლებს. ეს გამოთვლები შეიძლება გამარტივდეს, თუ ჯერ ამოვიღებთ ფაქტორებს ძირის ნიშნის ქვეშ: . ახლა x = 2-ის ჩანაცვლებით მივიღებთ:.

ამრიგად, ძირეული ნიშნის ქვეშ მყოფი ფაქტორის ამოღებისას, რადიკალური გამოხატულება წარმოდგენილია როგორც ნამრავლი, რომელშიც ერთი ან რამდენიმე ფაქტორი არის არაუარყოფითი რიცხვების კვადრატები. შემდეგ გამოიყენება ძირეული პროდუქტის თეორემა და აღებულია თითოეული ფაქტორის ფესვი. განვიხილოთ მაგალითი: გაამარტივეთ გამოთქმა A = √8 + √18 - 4√2 ფაქტორების ამოღებით ძირის ნიშნის ქვეშ პირველ ორ წევრში, მივიღებთ:. ჩვენ ხაზს ვუსვამთ, რომ თანასწორობა მოქმედებს მხოლოდ მაშინ, როცა ა≥ 0 და ბ≥ 0. თუ ა < 0, то .