2-სპინორული მეთოდების ყველაზე ეფექტური გამოყენების ერთ-ერთი სფერო ფარდობითობის თეორიაში ასიმპტომური ამოცანების შესწავლა აღმოჩნდა. ასეთი პრობლემების მნიშვნელოვანი მაგალითია ჯამური ენერგეტიკული იმპულსის განსაზღვრა, რომელიც შეიცავს ასიმპტომურად ბრტყელ სივრცე-დროში და გრავიტაციულ გამოსხივებას. ამ შემთხვევაში, სპინორის მეთოდები განსაკუთრებით ეფექტურია იმ მეთოდთან კომბინაციაში, რომელშიც "უსასრულობა ხდება სასრული" მეტრიკის კონფორმალური ტრანსფორმაციის შედეგად. ამ მეთოდით, ჩვენ გარდაქმნით სივრცე-დროის მეტრიკას ორიგინალური ფიზიკური მეტრიკის ჩანაცვლებით ახალი, „არაფიზიკური“ მეტრიკით, რომელიც კონფორმალურად არის დაკავშირებული

სადაც არის საკმარისად გლუვი და ყველგან დადებითი ფუნქცია განსაზღვრული მეტრულ ტენზორზე და მისი შებრუნებული ტენსორი გარდაიქმნება ფორმულებით

თუ მას აქვს შესაბამისი ასიმპტომური სტრუქტურა და არჩეულია შესაფერისი კონფორმული ფაქტორი, მაშინ ზოგიერთი სასაზღვრო ზედაპირი 3 შეიძლება "მიმაგრდეს" [ამ აღნიშვნაში ნათქვამია "ზღვარი" - შემოკლება "სკრიპტი I"]. ეს ზედაპირი ისეა შემოტანილი, რომ „არაფიზიკური“ მეტრიკა შეიძლება გაფართოვდეს საზღვარზე მდებარე ახალ წერტილებზე გადაგვარების გარეშე და გარკვეული სიგლუვის ხარისხით. ფუნქცია J ასევე შეიძლება გაფართოვდეს სიგლუვის შესაბამისი ხარისხით, მაგრამ ის ქრება ზედაპირზე. ეს ნიშნავს, რომ ფიზიკური მეტრიკა უნდა იყოს უსასრულობის Y საზღვარზე და, შესაბამისად, მასზე გავრცელება შეუძლებელია. ამრიგად, ფიზიკური მეტრიკის თვალსაზრისით, ახალი წერტილები (კერძოდ, წერტილები ზედაპირზე არის უსასრულოდ დაშორებული

წერტილები მათ მიმდებარედ. ფიზიკაში ეს შეესაბამება „უსასრულობის წერტილებს“.

ამ სახის სივრცე-დროზე ზედაპირის მიმაგრება გვაძლევს გლუვ მრავალფეროვნებას საზღვრებით, რომელსაც აღვნიშნავთ სიმბოლოთი და

საზღვრის სიმბოლო, არის მრავალფეროვნების შიდა რეგიონის სიმბოლო). შემოთავაზებული მიდგომის უპირატესობა ის არის, რომ ახლა შესაძლებელია დიფერენციალური გეომეტრიისა და სპინორული ალგებრის მძლავრი ლოკალური მეთოდების გამოყენება, რომლებიც მოგაწვდიან ინფორმაციას სივრცე-დროის ასიმპტოტიკის შესახებ. ასიმპტომურად ბრტყელ სივრცე-დროში არ არის საჭირო რთული გადასასვლელები. ზღვრამდე. და ფარდობითობის ზოგად თეორიაში ასიმპტოტური ევკლიდესის განმარტება ახლა შეიძლება მოყვანილი იყოს მოსახერხებელი „კოორდინატებისგან თავისუფალი“ ფორმით. კონფორმული მეთოდები ძალიან შესაფერისია ფარდობითობის თეორიისთვის იმ მარტივი მიზეზის გამო, რომ მისი დიდი ნაწილი კონფორმალურად უცვლელია: განტოლებები უმასური თავისუფალი ველისთვის, კონფორმული ვეილის ტენსორი, იზოტროპული გეოდეზიკა, იზოტროპული ჰიპერზედაპირები, რელატივისტური მიზეზობრიობა და (განსაკუთრებით იმ შემთხვევაში, მინკოვსკის სივრცე) ტვისტორის თეორია. შემოთავაზებული მეთოდი ჰგავს კომპლექსურ ანალიზში გამოყენებულ მეთოდს, სადაც "წერტილი უსასრულობაში" ემატება არგანდის სიბრტყეს (თავი 1, § 2) რიმანის სფეროს მისაღებად, ასევე პროექციულ გეომეტრიაში გამოყენებულ მეთოდს.

აღწერა მკაფიო კოორდინატთა ფორმით

პირველ რიგში, განიხილეთ მინკოვსკის სივრცის M-სთვის კონფორმალური უსასრულობის აგების პროცედურა. ამ შემთხვევაში, ფიზიკურ მეტრიკას სფერულ კოორდინატებში აქვს ფორმა.

მოხერხებულობისთვის წარმოგიდგენთ დროის ორ პარამეტრს: ჩამორჩენილი და მოწინავე. ვიღებთ

კონფორმული ფაქტორის არჩევისას თავისუფლება საკმაოდ დიდია. თუმცა, ჩვენთვის აქ საინტერესო სივრცე-დროის შემთხვევაში (კერძოდ, ასიმპტომურად მარტივი) ზოგადი მოსაზრებებიდან [იხ. ტექსტი ფორმულის შემდეგ (9.7.22)], ფუნქცია უნდა შეირჩეს ისე, რომ იგი მიდრეკილი იყოს ნულისკენ ნებისმიერი სხივის გასწვრივ (როგორც წარსულში, ასევე მომავალში), როგორც A სხივის აფინური პარამეტრის საპასუხო, (ე.ი. როდესაც სხივის გასწვრივ) . ნებისმიერი ჰიპერზედაპირი არის მომავლის მსუბუქი კონუსი, რომელიც აგებულია სხივებისგან (იზოტროპული სწორი ხაზები), რომლის მნიშვნელობები 0 და ასევე რჩება მუდმივი. კოორდინატი ასრულებს თითოეული ამ რადიალური სხივების მომავლის აფინური პარამეტრის როლს. ანალოგიურად, კოორდინატი ემსახურება ამ სხივების წარსულის აფინურ პარამეტრს. მაშასადამე, აუცილებელია მოვითხოვოთ, რომ დაკმაყოფილდეს პირობები სხივისთვის და სხივისთვის, თუ ჩვენ ასევე გვინდა, რომ ფუნქცია იყოს გლუვი სივრცე-დროის სასრულ ნაწილებზე, მაშინ არჩევანი თავისთავად გვთავაზობს.

(ფაქტორი 2 შემოღებულია მოხერხებულობისთვის შემდეგში) და შემდეგ

ფუნქციის მრავალი სხვა ფორმა შესაძლებელია, მაგრამ ეს, როგორც მალე დავინახავთ, განსაკუთრებით მოსახერხებელია.

იმისათვის, რომ ჩვენი "წერტილები უსასრულობაში" შეესაბამებოდეს კოორდინატების საბოლოო მნიშვნელობებს, ორივე და o უნდა შეიცვალოს ისეთი პარამეტრებით, რომ

ცვლადების ვარიაციის საზღვრები და ნაჩვენებია ნახ. 9.1, სადაც თითოეული წერტილი წარმოადგენს რადიუსის 2 სფეროს. ვერტიკალური ხაზი შეესაბამება სივრცულ საწყისს და წარმოადგენს მხოლოდ კოორდინატულ სინგულარობას. იგივე სივრცე-დრო ამ ხაზში (და ყველგან), რა თქმა უნდა, არაინგულარულია. ირიბი ხაზები წარმოადგენს მინკოვსკის სივრცის (იზოტროპულ) უსასრულობას (აღნიშნავს სიმბოლოებით შესაბამისად) (რადგან ეს ხაზები შეესაბამება მნიშვნელობებს, მაგრამ მეტრიკა (9.1.5) აშკარად იდეალურად რეგულარულია ამ ხაზებზე. შეიძლება ველოდოთ, რომ სივრცე-დრო

ბრინჯი. 9.1. სივრცის რეგიონი, რომელიც შეესაბამება M სივრცეს. სწორი ხაზი ნიშნავს და არის სფერული სიმეტრიის ღერძი.

და მისი მეტრიკა იქნება არასიგნორული ამ რეგიონების გარეთაც. ვერტიკალური ხაზი ასევე არის ზუსტად იგივე ტიპის კოორდინატთა სინგულარობა, როგორც სწორი ხაზი. მთელი ვერტიკალური ზოლი შეიძლება გამოყენებულ იქნას სივრცე-დროის დასადგენად, რომლის გლობალური სტრუქტურა შეესაბამება სივრცის მსგავსი 3 სფეროს და უსასრულო დროის მსგავსი ხაზის ნამრავლს (" აინშტაინის სტატიკური სამყარო"). ამის შესამოწმებლად ჩვენ ვირჩევთ ახალ კოორდინატებს

ამ მეტრიკის ნაწილი, რომელიც ჩასმულია ხვეული ფრჩხილებში, არის 3-სფერული ერთეულის მეტრიკა.

სივრცე-დროის ნაწილი, რომელიც შეესაბამება თავდაპირველ მინკოვსკის სივრცეს, შეიძლება ჩაითვალოს, როგორც სივრცე, რომელიც ჩაკეტილია წერტილების სინათლის კონუსებს შორის. წერტილს აქვს კოორდინატები და წერტილს აქვს კოორდინატები.

ბრინჯი. 9.2. ფართობი აინშტაინის ცილინდრზე, რომელიც შეესაბამება M სივრცეს.

და იხურება "უკანა" მხარეს ერთ წერტილში კოორდინატებით.გაითვალისწინეთ, რომ a წერტილში ეს ნიშნავს, რომ წერტილი უნდა განიხილებოდეს როგორც ერთი წერტილი და არა 2 სფერო. განხილული სიტუაცია ნაჩვენებია ნახ. 9.2, სადაც ორი განზომილება ჩამოიშლება. ორი მინკოვსკის სივრცე შეესაბამება კვადრატის ინტერიერს (გამოსახულია დახრილი 45°-ზე). ეს კვადრატი ეხვევა ცილინდრს, რომელიც არის აინშტაინის სტატიკური სამყაროს ორგანზომილებიანი ვერსია. გამოტოვებული გაზომვების აღრიცხვა არსებითად არაფერს ცვლის. წერტილის მახლობლად, ინტერესის რეგიონი მდებარეობს მომავლის სინათლის კონუსში, რომელიც დაკავშირებულია წერტილთან. ეს სინათლის კონუსი (ე.ი. წერტილიდან მომავლისკენ მიმავალი სხივების მიერ "გაფანტული" წერტილი) ფოკუსირებულია უკანა მხარეს. აინშტაინის სამყაროს ერთ წერტილში (რომელიც სივრცეში მიმართებაში დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილის მახლობლად ინტერესის წერტილთან; ჩვენ ფართობი (მინკოვსკის სივრცე) ვრცელდება სივრცის მსგავსი მიმართულებებით მომავლის სინათლის კონუსიდან, რადგან წერტილი კვლავ ფოკუსირებულია ერთ წერტილზე. სივრცითი პოზიცია

უპირველეს ყოვლისა, აღვნიშნავთ, რომ პროექციულ სიბრტყეს, ევკლიდეს სიბრტყისგან განსხვავებით, არ აქვს უსასრულო გაფართოება. მოდით გავარკვიოთ, რა განსხვავებაა მათ შორის და, მეორე მხრივ, როგორ უკავშირდება ისინი? ამისათვის მოდით განვმარტოთ ევკლიდეს სიბრტყის რომელი პოზიციებია გამოყენებული პროექციულ გეომეტრიაში. პროექციული გეომეტრია ემყარება აქსიომების საკუთარ სისტემას. და მიუხედავად იმისა, რომ აქსიომატიურ საფუძველზე ლოგიკური კონსტრუქციები მათემატიკური მეთოდის მშვენიერი ილუსტრაციაა, თუმცა, ევკლიდეს გეომეტრიისგან განცალკევებით, პროექციული გეომეტრიის ასეთი პრეზენტაცია ძალიან აბსტრაქტულია. ამიტომ, უფრო მეტი სიზუსტისთვის და სიცხადისთვის, მიზანშეწონილია ევკლიდეს სიბრტყის მოდელიდან გამომდინარე.

ცნობილია, რომ ევკლიდეს სიბრტყეზე სწორი ხაზი გაგრძელდება ორივე მიმართულებით განუსაზღვრელი ვადით და რომ სწორი ხაზის წერტილებსა და ყველა რეალურ რიცხვს შორის შეიძლება დადგინდეს ერთი-ერთზე შესაბამისობა, რომელშიც წერტილების ბუნებრივი დალაგება ხდება. სწორი ხაზი შეესაბამება რიცხვების წესრიგს მათ სიდიდეში.

ახლავე შევავსოთ სწორი ხაზი „მარცხნივ და მარჯვნივ“ იგივე პირობითი წერტილით, რომელსაც დავარქმევთ წერტილს უსასრულობაში.

გასაგებია, რომ ჩნდება ეჭვი - შესაძლებელია თუ არა საუბარი არარსებულ პუნქტების რეალობაზე? თუმცა, თანამედროვე თეორიებში ეს ხშირად ხდება. ასე რომ, მაგალითად, მიუხედავად იმისა, რომ ნამდვილ რიცხვებს შორის არ არის უსასრულოდ დიდი რიცხვები, მათემატიკური ანალიზის დროს სიმბოლო სიმართლე გამოიყენება არა როგორც რიცხვი, არამედ შეუზღუდავი ზრდის აღსანიშნავად. (იმავე გაგებით, სიმბოლო გამოიყენება ტრიგონომეტრიულ ფუნქციებთან მიმართებაში.) ჩვეულებრივი სწორი ხაზისთვის უსასრულოდ შორეული წერტილის დამატების შემდეგ, „დასრულებული“ სწორი ხაზი იკეტება. ახლა დავამატოთ: ყოველ ჩვეულებრივ წრფეს უსასრულობის წერტილის გასწვრივ და ვთანხმდებით, რომ როდესაც წრფეები პარალელურია, მაშინ მათზე დამატებული წერტილები ემთხვევა, როცა წრფეები არ არის პარალელური, მაშინ მათი წერტილები უსასრულობაში განსხვავებულია.

ევკლიდეს სიბრტყეში გადამკვეთი ორი წრფე იკვეთება ჩვეულებრივ წერტილში და ამ წრფეების უსასრულობის წერტილები ერთმანეთს არ ემთხვევა. მაშასადამე, ამ ახალ გეომეტრიაში არ არის პარალელური წრფეები, ყოველი ორი ხაზი უნდა იყოს

იკვეთება ერთ წერტილში. ჩვეულებრივ გეომეტრიაში ერთმანეთის პარალელურ წრფეთა ოჯახს აქვს ერთი საერთო წერტილი უსასრულობაში, ხოლო საპირისპირო მიმართულების ხაზებს აქვთ სხვადასხვა წერტილები უსასრულობაში. ამ მხრივ, უსასრულობაში უსაზღვროდ ბევრი წერტილია.

ამ წერტილების სიმრავლე უსასრულობაში, ისევ განსაზღვრებით, წარმოადგენს უსასრულობაში ერთ ე.წ.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ გეომეტრიას, რომელშიც ერთი ხაზი უსასრულობაში ემატება ევკლიდეს სიბრტყეს.

არსებითად, ეს გეომეტრია ჯერ კიდევ არ განსხვავდება ევკლიდეს გეომეტრიისგან. ორი წრფის პარალელურობის შესახებ განცხადების ნაცვლად შემოტანილია განცხადება მათი გადაკვეთის შესახებ უსასრულოდ შორეულ წერტილში.

პროექციულ გეომეტრიაში მიღებული ძირითადი აქსიომები წერენ, რომ ორი წერტილი განსაზღვრავს ერთ წრფეს (თუ ორივე წერტილი უსასრულობაშია, მაშინ ისინი განსაზღვრავენ წრფეს უსასრულობაში და რომ ორი წრფე ყოველთვის იკვეთება ერთ წერტილში. თუმცა ამ ორი აქსიომის დებულებები ძალიან მნიშვნელოვანია. , მაგრამ სანამ გამოვყოფთ

ზოგიერთი წერტილი ერთ ხაზში უსასრულობაში, ჩვენ პრაქტიკულად არ ვცვლით ევკლიდეს გეომეტრიის არსს და გეომეტრიაში ახალს არ ვნერგავთ.

- (ინგლისური ასამბლეის წერტილი) ერთ-ერთი ფუნდამენტური კონცეფცია, რომელსაც იყენებს ეზოთერიკოსი მოაზროვნე და მისტიკოსი კარლოს კასტანედა თავის წიგნებში. ადამიანის ბუნების ერთ-ერთი ყველაზე დრამატული თვისება არის საშინელი კავშირი ... ვიკიპედიას შორის

ფუნქციის გრაფიკი, რომლის ზღვარი, როდესაც არგუმენტი უსასრულობისკენ მიისწრაფვის, უდრის L. ფუნქციის ზღვარი მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ძირითადი ცნებაა. f (x) ფუნქციას აქვს ზღვარი A x0 წერტილში, თუ x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის საკმარისად ახლოს არის x0, ... ... ვიკიპედია

ქულები აქ. აგრეთვე სინგულარული წერტილი (დიფერენციალური განტოლებები). თვისება ან სინგულარობა მათემატიკაში არის წერტილი, სადაც მათემატიკური ობიექტი (ჩვეულებრივ ფუნქცია) არ არის განსაზღვრული ან აქვს არარეგულარული ქცევა (მაგალითად, წერტილი, სადაც ... ... ვიკიპედია

აქ არის განსაკუთრებული წერტილი. აგრეთვე სინგულარული წერტილი (დიფერენციალური განტოლებები). თვისება ან სინგულარობა მათემატიკაში არის წერტილი, როდესაც მათემატიკური ობიექტი (ჩვეულებრივ ფუნქცია) არ არის განსაზღვრული ან აქვს არარეგულარული ქცევა (მაგალითად, ... ... ვიკიპედია

- ∞ ტერმინი უსასრულობა შეესაბამება რამდენიმე განსხვავებულ ცნებას, გამოყენების სფეროდან გამომდინარე, იქნება ეს მათემატიკა, ფიზიკა, ფილოსოფია, თეოლოგია თუ ყოველდღიური ცხოვრება. ფინიტიზმი უარყოფს უსასრულობის ცნებას. უსასრულობა უმრავლესობაში ... ... ვიკიპედია

ტემპერატურა (დაახლოებით 2,17 K), რომლის ქვემოთ თხევადი ჰელიუმი (ჰელიუმი I) გადადის ზესთხევადობის მდგომარეობაში (ჰელიუმი II). უფრო ზუსტად რომ ვთქვათ, არის ქვედა ლამბდა წერტილი (2.172 K და 0.0497 ატმ) და ზედა ლამბდა წერტილი (1.76 K და 29.8 ატმ). ... ... ვიკიპედია

1) რიგის კვანტური წერტილი არის რთული სიბრტყის ისეთი წერტილი, რომელშიც ფუნქცია f(z) რეგულარულია, ხოლო მის წარმოებულს f(z) აქვს m რიგის ნული, სადაც m არის ნატურალური რიცხვი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, K.t. განისაზღვრება პირობებით: უსასრულოდ დისტანციური K. t. ... ... მათემატიკური ენციკლოპედია

ანალიტიკური ფუნქცია არის წერტილი, რომელშიც ირღვევა ანალიტიკურობის პირობები. თუ ანალიტიკური ფუნქცია f(z) განისაზღვრება z0 წერტილის რომელიმე მიმდებარე ტერიტორიაზე ყველგან… ფიზიკური ენციკლოპედია

კომპლექსური დროის მქონე დიფერენციალური განტოლებების თეორიაში წერტილს ეწოდება წრფივი დიფერენციალური განტოლების ფუქსისეული სინგულარული წერტილი, თუ A(t) სისტემის მატრიცას აქვს პირველი რიგის პოლუსი. ეს არის უმარტივესი შესაძლო ფუნქცია ... ... ვიკიპედია

არასათანადო უნაგირის წერტილი, ტრაექტორიის მდებარეობის ტიპი დინამიური. სისტემები. ამბობენ, რომ დინამიურია. სისტემას ft (ან, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, f (, p), იხ.) მოცემულია, აქვს S. b-ში, თუ არის ისეთი წერტილები და რიცხვები, რომ თანმიმდევრობები ერთმანეთს ემთხვევა და ... მათემატიკური ენციკლოპედია

აპოლონიუსის ამოცანაა ააგოს წრის ტანგენსი სამ მოცემულ წრეზე კომპასისა და წრფის გამოყენებით. ლეგენდის თანახმად, პრობლემა ჩამოაყალიბა აპოლონიუს პერგაელმა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 220 წელს. ე. წიგნში „შეხება“, რომელიც დაიკარგა... ვიკიპედია

წიგნები

• დევიდ დოიჩი. ციტატა "... პროგრესი სულაც არ უნდა დასრულდეს, მაგრამ მას ყოველთვის აქვს საწყისი წერტილი - მიზეზი, რის გამოც დაიწყო, მოვლენა, რამაც ხელი შეუწყო მას, ან აუცილებელმა...
• უსასრულობის დასაწყისი. ახსნა-განმარტებები, რომლებიც ცვლის სამყაროს, დევიდ დოიჩი. ციტატა `... პროგრესი სულაც არ უნდა დასრულდეს, მაგრამ მას ყოველთვის აქვს ამოსავალი წერტილი - მიზეზი, რის გამოც დაიწყო, მოვლენა, რომელმაც ხელი შეუწყო მას, თუ აუცილებელ...

თუ რომელიმე მიმდევრობა ემთხვევა სასრულ რიცხვს a-ს, მაშინ ვწერთ
.
მანამდე ჩვენ გავითვალისწინეთ უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობები. ჩვენ მივიღეთ, რომ ისინი კონვერგენტულია და აღვნიშნეთ მათი საზღვრები სიმბოლოებით და . ეს სიმბოლოები წარმოადგენს მიუთითებს უსასრულობაზე. ისინი არ მიეკუთვნებიან ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეს. მაგრამ ლიმიტის კონცეფცია საშუალებას აძლევს ადამიანს შემოიტანოს ასეთი წერტილები და იძლევა ინსტრუმენტს მათი თვისებების შესასწავლად რეალური რიცხვების დახმარებით.

განმარტება
უსასრულობის წერტილი, ან ხელმოუწერელი უსასრულობა, არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა.
წერტილი უსასრულობაზე პლუს უსასრულობა, არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა დადებითი ტერმინებით.
წერტილი უსასრულობაზე მინუს უსასრულობა, არის ზღვარი, რომლისკენაც მიისწრაფვის უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობა უარყოფითი ტერმინებით.

ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის a, შემდეგი უტოლობა მოქმედებს:
;
.

რეალური რიცხვების გამოყენებით წარმოვადგინეთ კონცეფცია წერტილის მეზობლობა უსასრულობაში.
წერტილის მეზობლობა არის კომპლექტი.
და ბოლოს, წერტილის სამეზობლო არის კომპლექტი.
აქ M არის თვითნებური, თვითნებურად დიდი რეალური რიცხვი.

ამრიგად, ჩვენ გავაფართოვეთ რეალური რიცხვების ნაკრები მასში ახალი ელემენტების შეყვანით. ამასთან დაკავშირებით, შემდეგი განმარტება ხდება:

გაფართოებული რიცხვითი ხაზიან რეალური რიცხვების გაფართოებული ნაკრებიეწოდება რეალური რიცხვების სიმრავლე, რომელიც ავსებს ელემენტებს და:
.

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ თვისებებს, რომლებიც ქულებს და გააჩნიათ. შემდეგი, განვიხილავთ ამ წერტილების მოქმედებების მკაცრი მათემატიკური განმარტების საკითხს და ამ თვისებების დადასტურებას.

წერტილების თვისებები უსასრულობაში

ჯამი და განსხვავება.
; ;
; ;

სამუშაო და კერძო.
; ; ;
;
;
; ; .

კავშირი რეალურ რიცხვებთან.
დაე, იყოს თვითნებური რეალური რიცხვი. მერე
; ;
; ; ; .
დაე ა > 0 . მერე
; ; .
დაე ა < 0 . მერე
; .

განუსაზღვრელი ოპერაციები.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

უსასრულობის წერტილების თვისებების მტკიცებულებები

მათემატიკური მოქმედებების განმარტება

ჩვენ უკვე მივეცით უსასრულობის წერტილების განმარტებები. ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ მათემატიკური მოქმედებები. ვინაიდან ჩვენ განვსაზღვრეთ ეს წერტილები მიმდევრობით, ამ წერტილებზე მოქმედებები ასევე უნდა განისაზღვროს მიმდევრობით.

Ისე, ორი ქულის ჯამი
c = a + b
ეკუთვნის რეალური რიცხვების გაფართოებულ სიმრავლეს,
,
ლიმიტს ვუწოდებთ
,
სადაც და არის თვითნებური მიმდევრობები, რომლებსაც აქვთ საზღვრები
და .

გამოკლების, გამრავლებისა და გაყოფის ოპერაციები განისაზღვრება ანალოგიურად. მხოლოდ გაყოფის შემთხვევაში, წილადის მნიშვნელში ელემენტები არ უნდა იყოს ნულის ტოლი.
მაშინ ორი ქულის სხვაობა:
არის ზღვარი: .
წერტილოვანი პროდუქტი:
არის ზღვარი: .
პირადი:
არის ზღვარი: .
აქ არის და არის თვითნებური მიმდევრობები, რომელთა საზღვრები არის a და b, შესაბამისად. ამ უკანასკნელ შემთხვევაში,.

საკუთრების მტკიცებულებები

უსასრულობაში წერტილების თვისებების დასამტკიცებლად, ჩვენ უნდა გამოვიყენოთ უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის თვისებები.

განიხილეთ ქონება:
.
ამის დასამტკიცებლად ეს უნდა ვაჩვენოთ
,

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ორი მიმდევრობის ჯამი, რომლებიც ემთხვევა პლუს უსასრულობას, ემთხვევა პლუს უსასრულობას.

1 მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
;
.
მაშინ ამისთვის და გვაქვს:
.
დაე . მერე
ზე,
სად .
Ეს ნიშნავს რომ .

სხვა თვისებები დადასტურებულია ანალოგიურად. მაგალითად, წარმოგიდგენთ კიდევ ერთ მტკიცებულებას.

დავამტკიცოთ, რომ:
.
ამისათვის ჩვენ ეს უნდა ვაჩვენოთ
,
სადაც და არის თვითნებური მიმდევრობები, ლიმიტებით და .

ანუ, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ, რომ ორი უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის ნამრავლი არის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობა.

დავამტკიცოთ. ვინაიდან და , მაშინ არის რამდენიმე ფუნქცია და , ასე რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის M 1 მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:
;
.
მაშინ ამისთვის და გვაქვს:
.
დაე . მერე
ზე,
სად .
Ეს ნიშნავს რომ .

განუსაზღვრელი ოპერაციები

ზოგიერთი მათემატიკური მოქმედებები წერტილებით უსასრულობაში არ არის განსაზღვრული. მათი განუსაზღვრელობის საჩვენებლად, ჩვენ უნდა მივცეთ რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც ოპერაციის შედეგი დამოკიდებულია მათში შემავალი თანმიმდევრობის არჩევანზე.

განვიხილოთ ეს ოპერაცია:
.
ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ და , მაშინ მიმდევრობათა ჯამის ზღვარი დამოკიდებულია მიმდევრობის არჩევანზე და .

მართლაც, ავიღოთ. ამ თანმიმდევრობის საზღვრები ტოლია. თანხის ლიმიტი

უდრის უსასრულობას.

ახლა ავიღოთ. ამ მიმდევრობების საზღვრებიც თანაბარია. მაგრამ მათი ჯამის ზღვარი

უდრის ნულს.

ანუ იმ პირობით, რომ და , ჯამის ლიმიტის მნიშვნელობამ შეიძლება მიიღოს სხვადასხვა მნიშვნელობები. ამიტომ, ოპერაცია არ არის განსაზღვრული.

ანალოგიურად, ზემოთ წარმოდგენილი ოპერაციების გაურკვევლობა შეიძლება იყოს ნაჩვენები.

განმარტება
ქვემიმდევრობა (βn) უსასრულო მიმდევრობას უწოდებენ, თუ რაიმე თვითნებურად დიდი რიცხვისთვის M , არსებობს ნატურალური რიცხვი N M , M - ზე დამოკიდებული , ისეთი რომ ყველა ნატურალური რიცხვისთვის n > N M , უტოლობა
|β n | >მ.
ამ შემთხვევაში დაწერეთ
.
ან ზე.
ისინი ამბობენ, რომ ის მიდრეკილია უსასრულობისკენ, ან უსასრულობამდე იყრის თავს.

თუ, დაწყებული N რიცხვიდან 0 , მაშინ
( ემთხვევა პლუს უსასრულობას).
თუ, მაშინ
( იყრის მინუს უსასრულობას).

ჩვენ ვწერთ ამ განმარტებებს არსებობისა და უნივერსალურობის ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით:
(1) .
(2) .
(3) .

(2) და (3) საზღვრებით მიმდევრები არის უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განსაკუთრებული შემთხვევები (1). ამ განმარტებებიდან გამომდინარეობს, რომ თუ მიმდევრობის ზღვარი არის პლუს ან მინუს უსასრულობა, მაშინ ის ასევე უსასრულობის ტოლია:
.
საპირისპირო, რა თქმა უნდა, არ შეესაბამება სიმართლეს. მიმდევრობის წევრებს შეიძლება ჰქონდეთ მონაცვლეობითი სიმბოლოები. ამ შემთხვევაში, ლიმიტი შეიძლება იყოს უსასრულობის ტოლი, მაგრამ გარკვეული ნიშნის გარეშე.

ასევე გაითვალისწინეთ, რომ თუ გარკვეული თვისება მოქმედებს თვითნებურ მიმდევრობაზე, რომლის ზღვარი უდრის უსასრულობას, მაშინ იგივე თვისება მოქმედებს მიმდევრობისთვის, რომლის ზღვარი არის პლუს ან მინუს უსასრულობა.

გაანგარიშების ბევრ სახელმძღვანელოში, უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტება ამბობს, რომ რიცხვი M დადებითია: M. > 0 . თუმცა, ეს მოთხოვნა ზედმეტია. თუ ის გაუქმებულია, მაშინ არანაირი წინააღმდეგობა არ წარმოიქმნება. უბრალოდ მცირე ან უარყოფითი ღირებულებები ჩვენთვის არ არის საინტერესო. ჩვენ გვაინტერესებს მიმდევრობის ქცევა M-ის თვითნებურად დიდი დადებითი მნიშვნელობებისთვის. ამიტომ, თუ გაჩნდება საჭიროება, მაშინ M შეიძლება შემოიფარგლოს ქვემოდან ნებისმიერი მოცემული რიცხვით a, ანუ ვივარაუდოთ, რომ M > a.

როდესაც ჩვენ განვსაზღვრეთ ε - ბოლო წერტილის მეზობლობა, მაშინ მოთხოვნა ε > 0 არის მნიშვნელოვანი. ნეგატიური მნიშვნელობებისთვის, უთანასწორობა საერთოდ არ შეიძლება იყოს.

წერტილების სამეზობლოები უსასრულობაში

როდესაც განვიხილეთ სასრული საზღვრები, ჩვენ შემოვიღეთ წერტილის მეზობლობის კონცეფცია. შეგახსენებთ, რომ ბოლო წერტილის მეზობლობა არის ღია ინტერვალი, რომელიც შეიცავს ამ წერტილს. ჩვენ ასევე შეგვიძლია შემოვიტანოთ უსასრულობის წერტილების სამეზობლოების კონცეფცია.

მოდით M იყოს თვითნებური რიცხვი.
წერტილის "უსასრულობის" მეზობლობა, , კომპლექტი ეწოდება .
წერტილის მეზობლობა "პლუს უსასრულობა", , კომპლექტი ეწოდება .
წერტილის მეზობლობა "მინუს უსასრულობა", , კომპლექტი ეწოდება .

მკაცრად რომ ვთქვათ, "უსასრულობის" წერტილის მეზობლობა არის კომპლექტი
(4) ,
სადაც მ 1 და მ 2 არის თვითნებური დადებითი რიცხვები. ჩვენ გამოვიყენებთ პირველ განმარტებას, რადგან ის უფრო მარტივია. თუმცა, ყველაფერი, რაც ქვემოთ არის ნათქვამი, ასევე მართალია განმარტების გამოყენებისას (4).

ახლა შეგვიძლია მივცეთ მიმდევრობის ზღვრის ერთიანი განმარტება, რომელიც ეხება როგორც სასრულ, ასევე უსასრულო ზღვრებს.

მიმდევრობის ლიმიტის უნივერსალური განმარტება.
წერტილი a (სასრულო ან უსასრულობაში) არის მიმდევრობის ზღვარი, თუ ამ წერტილის რომელიმე სამეზობლოსთვის არსებობს ბუნებრივი რიცხვი N ისეთი, რომ რიცხვებით მიმდევრობის ყველა ელემენტი ეკუთვნის ამ მეზობელს.

ამრიგად, თუ ლიმიტი არსებობს, მაშინ a წერტილის მიმდებარედ შეიძლება იყოს მხოლოდ მიმდევრობის წევრების სასრული რაოდენობა, ან ცარიელი სიმრავლე. ეს პირობა აუცილებელი და საკმარისია. ამ თვისების მტკიცებულება ზუსტად იგივეა, რაც სასრული ზღვრებისთვის.

კონვერგენტული მიმდევრობის სამეზობლო თვისება
იმისთვის, რომ a წერტილი (სასრული ან უსასრულობა) იყოს მიმდევრობის ზღვარი, აუცილებელია და საკმარისია, რომ ამ წერტილის რომელიმე მახლობლად არსებობდეს მიმდევრობის წევრების სასრული რაოდენობა ან ცარიელი სიმრავლე.
მტკიცებულება .

ასევე, ზოგჯერ შემოტანილია ε - უსასრულოდ შორეული წერტილების სამეზობლოების ცნებები.
შეგახსენებთ, რომ a ბოლო წერტილის ε - მეზობლობა არის სიმრავლე.
მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა. აღვნიშნოთ ε - a წერტილის მეზობლობა. შემდეგ ბოლო წერტილისთვის,
.
უსასრულობის წერტილებისთვის:
;
;
.
ε - სამეზობლოების ცნებების გამოყენებით, შეიძლება მივცეთ მიმდევრობის ზღვრის კიდევ ერთი უნივერსალური განმარტება:

წერტილი a (სასრულო ან უსასრულობაში) არის მიმდევრობის ზღვარი, თუ რომელიმე დადებითი რიცხვისთვის > 0 არსებობს ნატურალური რიცხვი N ε, რომელიც დამოკიდებულია ε-ზე ისეთი, რომ ყველა რიცხვისთვის n > N ε ტერმინები x n მიეკუთვნება a წერტილის ε მეზობელს:
.

არსებობისა და უნივერსალურობის ლოგიკური სიმბოლოების გამოყენებით, ეს განმარტება შეიძლება დაიწეროს შემდეგნაირად:
.

უსასრულოდ დიდი თანმიმდევრობის მაგალითები

ჯერ განვიხილავთ სამ მარტივ მსგავს მაგალითს, შემდეგ კი გადავჭრით უფრო რთულს.

მაგალითი 1

.

.
ჩვენ ვწერთ უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტებას:
(1) .
ჩვენს შემთხვევაში
.

ჩვენ წარმოგიდგენთ რიცხვებს და , ვუკავშირებთ მათ უტოლობასთან:
.
უტოლობების თვისებების მიხედვით, თუ და, მაშინ
.
გაითვალისწინეთ, რომ როდესაც ეს უტოლობა მოქმედებს ნებისმიერი n-ისთვის. ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ ასე:
ზე ;
ზე.

ასე რომ, ნებისმიერს შეუძლია იპოვოთ ნატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას. მაშინ ყველასთვის
.
Ეს ნიშნავს, რომ . ანუ თანმიმდევრობა უსასრულოდ დიდია.

მაგალითი 2

უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტების გამოყენებით, აჩვენე ეს
.

(2) .
მოცემული მიმდევრობის საერთო ტერმინს აქვს ფორმა:
.

შეიყვანეთ ნომრები და:
.
.

მაშინ ნებისმიერს შეუძლია იპოვოთ ნატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, ისე რომ ყველასთვის,
.
Ეს ნიშნავს, რომ .

.

მაგალითი 3

უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტების გამოყენებით, აჩვენე ეს
.

მოდით ჩამოვწეროთ მინუს უსასრულობის ტოლი მიმდევრობის ზღვრის განმარტება:
(3) .
მოცემული მიმდევრობის საერთო ტერმინს აქვს ფორმა:
.

შეიყვანეთ ნომრები და:
.
ეს აჩვენებს, რომ თუ და, მაშინ
.

ვინაიდან ნებისმიერს შეუძლია იპოვოთ ნატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას, მაშინ
.

მოცემული, როგორც N, შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ უტოლობას:
.

მაგალითი 4

უსასრულოდ დიდი მიმდევრობის განმარტების გამოყენებით, აჩვენე ეს
.

მოდით დავწეროთ მიმდევრობის საერთო ტერმინი:
.
მოდით ჩამოვწეროთ მიმდევრობის ზღვრის განმარტება პლუს უსასრულობის ტოლი:
(2) .

ვინაიდან n ნატურალური რიცხვია, n = 1, 2, 3, ... , მაშინ
;
;
.

ჩვენ ვაცნობთ რიცხვებს და M-ს, ვაკავშირებთ მათ უტოლობებით:
.
ეს აჩვენებს, რომ თუ და, მაშინ
.

ამრიგად, ნებისმიერი M რიცხვისთვის შეგიძლიათ იპოვოთ ნატურალური რიცხვი, რომელიც აკმაყოფილებს უტოლობას. მაშინ ყველასთვის
.
Ეს ნიშნავს, რომ .

ცნობები:
ლ.დ. კუდრიავცევი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 2003 წ.
ᲡᲛ. ნიკოლსკი. მათემატიკური ანალიზის კურსი. ტომი 1. მოსკოვი, 1983 წ.