ბოლო ვიდეო გაკვეთილზე გავიგეთ, რომ ფუძის ხარისხი არის გამოხატულება, რომელიც არის ფუძისა და საკუთარი თავის ნამრავლი, აღებული მაჩვენებლის ტოლი რაოდენობით. მოდით ახლა შევისწავლოთ ძალების ზოგიერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება და მოქმედებები.
მაგალითად, გავამრავლოთ ორი განსხვავებული ძალა ერთიდაიგივე ფუძით:
მოდით შევხედოთ ამ ნაწილს მთლიანად:
(2) 3 * (2) 2 = (2)*(2)*(2)*(2)*(2) = 32
ამ გამოხატვის მნიშვნელობის გამოთვლის შემდეგ მივიღებთ რიცხვს 32. მეორეს მხრივ, როგორც ჩანს იგივე მაგალითიდან, 32 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ერთი და იგივე ფუძის (ორი) ნამრავლი, აღებული 5-ჯერ. და მართლაც, თუ ითვლით, მაშინ:
ამრიგად, უსაფრთხოდ შეიძლება დავასკვნათ, რომ:
(2) 3 * (2) 2 = (2) 5
ეს წესი წარმატებით მუშაობს ნებისმიერი ინდიკატორისა და ნებისმიერი საფუძველისთვის. ხარისხის გამრავლების ეს თვისება გამომდინარეობს პროდუქტში გარდაქმნების დროს გამონათქვამების მნიშვნელობის შენარჩუნების წესიდან. ნებისმიერი a ფუძისთვის, ორი გამონათქვამის ნამრავლი (a) x და (a) y უდრის a (x + y). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთი და იგივე ფუძის მქონე ნებისმიერი გამონათქვამის წარმოებისას, საბოლოო მონომს აქვს საერთო ხარისხი, რომელიც წარმოიქმნება პირველი და მეორე გამოსახულებების ხარისხის მიმატებით.
წარმოდგენილი წესი ასევე მშვენივრად მუშაობს რამდენიმე გამონათქვამის გამრავლებისას. მთავარი პირობაა, რომ საფუძვლები ყველასთვის ერთნაირი იყოს. Მაგალითად:
(2) 1 * (2) 3 * (2) 4 = (2) 8
შეუძლებელია გრადუსების დამატება და, ზოგადად, რაიმე ძალის ერთობლივი მოქმედებების განხორციელება გამოხატვის ორი ელემენტით, თუ მათი საფუძვლები განსხვავებულია.
როგორც ჩვენს ვიდეოში ჩანს, გამრავლებისა და გაყოფის პროცესების მსგავსების გამო, პროდუქტის დროს ძალების დამატების წესები შესანიშნავად გადადის გაყოფის პროცედურაზე. განვიხილოთ ეს მაგალითი:
მოდით, გამონათქვამის ტერმინი-ტერმინის გარდაქმნა სრულ ფორმაში და შევამციროთ იგივე ელემენტები დივიდენდსა და გამყოფში:
(2)*(2)*(2)*(2)*(2)*(2) / (2)*(2)*(2)*(2) = (2)(2) = (2) 2 = 4
ამ მაგალითის საბოლოო შედეგი არც ისე საინტერესოა, რადგან უკვე მისი ამოხსნის პროცესში ცხადია, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა უდრის კვადრატს ორი. და ეს არის დეუზა, რომელიც მიიღება მეორე გამოხატვის ხარისხის პირველის ხარისხს გამოკლებით.
კოეფიციენტის ხარისხის დასადგენად აუცილებელია გამყოფის ხარისხი გამოვაკლოთ დივიდენდის ხარისხს. წესი მუშაობს იგივე საფუძვლით ყველა მისი ღირებულებისთვის და ყველა ბუნებრივი ძალისთვის. აბსტრაქტული ფორმით გვაქვს:
(ა) x / (ა) y = (ა) x - y
ნულოვანი ხარისხის განმარტება გამომდინარეობს იდენტური ფუძეების ძალებთან გაყოფის წესიდან. ცხადია, შემდეგი გამოთქმაა:
(a) x / (a) x \u003d (a) (x - x) \u003d (a) 0
მეორეს მხრივ, თუ უფრო ვიზუალურად გავყოფთ, მივიღებთ:
(ა) 2 / (ა) 2 = (ა) (ა) / (ა) (ა) = 1
წილადის ყველა ხილული ელემენტის შემცირებისას ყოველთვის მიიღება გამოხატულება 1/1, ანუ ერთი. მაშასადამე, საყოველთაოდ მიღებულია, რომ ნულოვან სიმძლავრემდე ამაღლებული ნებისმიერი ბაზა უდრის ერთს:
ა-ის ღირებულების მიუხედავად.
თუმცა, აბსურდული იქნება, თუ 0 (რომელიც მაინც იძლევა 0-ს ნებისმიერი გამრავლებისთვის) ერთგვარად უდრის ერთს, ასე რომ, ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა (0) 0 (ნული ნულოვან ხარისხამდე) უბრალოდ აზრი არ აქვს და ფორმულას (a) 0 = 1 დაამატეთ პირობა: "თუ a არ არის 0-ის ტოლი".
მოდით გავაკეთოთ ვარჯიში. მოდით ვიპოვოთ გამოხატვის მნიშვნელობა:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11
ვინაიდან ბაზა ყველგან ერთნაირია და უდრის 34-ს, საბოლოო მნიშვნელობას ექნება იგივე საფუძველი ხარისხით (ზემოხსენებული წესების მიხედვით):
Სხვა სიტყვებით:
(34) 7 * (34) 4 / (34) 11 = (34) 0 = 1
პასუხი: გამოთქმა უდრის ერთს.
ყოველი არითმეტიკული ოპერაცია ხანდახან ზედმეტად შრომატევადი ხდება ჩასაწერად და ცდილობენ მის გამარტივებას. ადრე იგივე იყო დამატების ოპერაციაზე. საჭირო იყო ადამიანებმა განახორციელონ ერთი და იგივე ტიპის განმეორებითი მიმატებები, მაგალითად, გამოეთვალათ ასი სპარსული ხალიჩის ღირებულება, რომლის ღირებულებაა თითო 3 ოქროს მონეტა. 3 + 3 + 3 + ... + 3 = 300. მოცულობის გამო, ითვლებოდა, რომ შემცირდა აღნიშვნა 3 * 100 = 300-მდე. სინამდვილეში, აღნიშვნა "სამჯერ ასი" ნიშნავს, რომ თქვენ უნდა აიღოთ ასი სამმაგი და დაამატეთ ისინი ერთად. გამრავლებამ გაიდგა ფესვი, მოიპოვა საერთო პოპულარობა. მაგრამ სამყარო არ დგას და შუა საუკუნეებში საჭირო გახდა იმავე ტიპის განმეორებითი გამრავლება. მახსენდება ძველი ინდური გამოცანა ბრძენი კაცის შესახებ, რომელიც გაწეული შრომის სანაცვლოდ ხორბლის მარცვლებს სთხოვდა შემდეგი რაოდენობით: ჭადრაკის დაფის პირველი უჯრედისთვის სთხოვა ერთი მარცვალი, მეორესთვის - ორი, მესამეს - ოთხი. , მეხუთე - რვა და ა.შ. ასე გაჩნდა ძალების პირველი გამრავლება, რადგან მარცვლების რაოდენობა უჯრედის რიცხვის სიძლიერის ორს უდრიდა. მაგალითად, ბოლო უჯრედზე იქნება 2*2*2*…*2 = 2^63 მარცვალი, რაც უდრის 18 სიმბოლოს სიგრძის რიცხვს, რაც, ფაქტობრივად, არის გამოცანის მნიშვნელობა.
სიმძლავრის ამაღლების ოპერაციამ საკმაოდ სწრაფად მიიღო ფესვი და ასევე სწრაფად გახდა საჭირო ხარისხების შეკრება, გამოკლება, გაყოფა და გამრავლება. ამ უკანასკნელის უფრო დეტალურად განხილვა ღირს. ძალების დამატების ფორმულები მარტივია და ადვილად დასამახსოვრებელი. გარდა ამისა, ძალიან ადვილია იმის გაგება, თუ საიდან მოდის ისინი, თუ დენის ოპერაცია ჩანაცვლებულია გამრავლებით. მაგრამ ჯერ უნდა გესმოდეთ ელემენტარული ტერმინოლოგია. გამოთქმა a ^ b (წაიკითხეთ "a ხარისხზე b") ნიშნავს, რომ რიცხვი a უნდა გამრავლდეს თავის თავზე b-ჯერ, ხოლო "a" ეწოდება ხარისხის ფუძეს, ხოლო "b" არის მაჩვენებელი. თუ ძალაუფლების საფუძვლები იგივეა, მაშინ ფორმულები საკმაოდ მარტივად არის მიღებული. კონკრეტული მაგალითი: იპოვნეთ გამოხატვის მნიშვნელობა 2^3 * 2^4. იმის გასაგებად, თუ რა უნდა მოხდეს, გამოსავლის დაწყებამდე უნდა გაიგოთ პასუხი კომპიუტერზე. ამ გამოთქმის შეყვანა ნებისმიერ ონლაინ კალკულატორში, საძიებო სისტემაში, აკრიფეთ "ძალების გამრავლება სხვადასხვა ბაზებით და იგივე" ან მათემატიკური პაკეტით, გამომავალი იქნება 128. ახლა დავწეროთ ეს გამოთქმა: 2^3 = 2*2*2. და 2^4 = 2 *2*2*2. გამოდის, რომ 2^3 * 2^4 = 2*2*2*2*2*2*2 = 2^7 = 2^(3+4) . გამოდის, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე სიმძლავრეების ნამრავლი უდრის წინა ორი სიმძლავრის ჯამის ტოლი სიმძლავრის ტოლს.
შეიძლება იფიქროთ, რომ ეს უბედური შემთხვევაა, მაგრამ არა: ნებისმიერ სხვა მაგალითს შეუძლია მხოლოდ ამ წესის დადასტურება. ამრიგად, ზოგადად, ფორმულა ასე გამოიყურება: a^n * a^m = a^(n+m) . ასევე არსებობს წესი, რომ ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის. აქ უნდა გვახსოვდეს უარყოფითი ძალების წესი: a^(-n) = 1 / a^n. ანუ, თუ 2^3 = 8, მაშინ 2^(-3) = 1/8. ამ წესის გამოყენებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ ტოლობა a^0 = 1: a^0 = a^(n-n) = a^n * a^(-n) = a^(n) * 1/a^(n) , a^ (n) შეიძლება შემცირდეს და რჩება ერთი. აქედან გამომდინარეობს წესი, რომ ერთნაირი ფუძის მქონე ძალების კოეფიციენტი უდრის ამ ფუძეს დივიდენდისა და გამყოფის კოეფიციენტის ტოლი ხარისხით: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m) . მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0: 2^(-2) . გამრავლება არის კომუტაციური ოპერაცია, ამიტომ ჯერ უნდა დაემატოს გამრავლების მაჩვენებლები: 2^3 * 2^5 * 2^(-7) *2^0 = 2^(3+5-7+0) = 2^1 = 2. შემდეგი, თქვენ უნდა გაუმკლავდეთ გაყოფას უარყოფითი ხარისხით. აუცილებელია გამყოფის მაჩვენებლის გამოკლება დივიდენდის მაჩვენებელს: 2^1: 2^(-2) = 2^(1-(-2)) = 2^(1+2) = 2^3 = 8. გამოდის, რომ უარყოფით ხარისხზე გაყოფის ოპერაცია მსგავსი დადებითი მაჩვენებლით გამრავლების ოპერაციის იდენტურია. ასე რომ, საბოლოო პასუხი არის 8.
არის მაგალითები, სადაც ხდება ძალაუფლების არაკანონიკური გამრავლება. ძალების გამრავლება სხვადასხვა ფუძით ძალიან ხშირად ბევრად უფრო რთულია და ზოგჯერ შეუძლებელიც კი. მოყვანილი უნდა იყოს სხვადასხვა შესაძლო მიდგომის რამდენიმე მაგალითი. მაგალითი: გაამარტივე გამოთქმა 3^7 * 9^(-2) * 81^3 * 243^(-2) * 729. ცხადია, ადგილი აქვს ძალაუფლების გამრავლებას სხვადასხვა ფუძით. მაგრამ, უნდა აღინიშნოს, რომ ყველა საფუძველი არის სამეულის სხვადასხვა ძალა. 9 = 3^2.1 = 3^4.3 = 3^5.9 = 3^6. წესის (a^n) ^m = a^(n*m) გამოყენებით, თქვენ უნდა გადაწეროთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: 3^7 * (3^2) ^(-2) * (3^4) ^3 * (3^5) ^(-2) * 3^6 = 3^7 * 3^(-4) * 3^(12) * 3^(-10) * 3^6 = 3^(7 -4+12 -10+6) = 3^(11) . პასუხი: 3^11. იმ შემთხვევებში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე, წესი a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n მუშაობს თანაბარ მაჩვენებლებზე. მაგალითად, 3^3 * 7^3 = 21^3. წინააღმდეგ შემთხვევაში, როდესაც არსებობს სხვადასხვა ფუძე და ინდიკატორი, შეუძლებელია სრული გამრავლება. ზოგჯერ შეგიძლიათ ნაწილობრივ გაამარტივოთ ან მიმართოთ კომპიუტერული ტექნოლოგიების დახმარებას.
დენის ფორმულებიგამოიყენება რთული გამონათქვამების შემცირებისა და გამარტივების პროცესში, განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.
ნომერი გარის ნ- რიცხვის ხარისხში აროდესაც:
ოპერაციები ხარისხით.
1. გრადუსების გამრავლება ერთიდაიგივე ფუძით, მათი მაჩვენებლები ჯამდება:
ვარa n = a m + n.
2. იმავე ფუძის მქონე გრადუსების დაყოფისას მათ მაჩვენებლებს აკლებენ:
3. 2 ან მეტი ფაქტორის ნამრავლის ხარისხი უდრის ამ ფაქტორების ხარისხების ნამრავლს:
(abc…) n = a n b n c n…
4. წილადის ხარისხი დივიდენდისა და გამყოფის ხარისხების თანაფარდობის ტოლია:
(a/b) n = a n / b n .
5. სიმძლავრის ხარისხზე აწევით, მაჩვენებლები მრავლდება:
(am) n = a m n .
თითოეული ზემოთ მოყვანილი ფორმულა სწორია მარცხნიდან მარჯვნივ და პირიქით.
მაგალითად. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
ოპერაციები ფესვებით.
1. რამდენიმე ფაქტორის ნამრავლის ფესვი უდრის ამ ფაქტორების ფესვების ნამრავლს:
2. თანაფარდობის ფესვი უდრის დივიდენდის და ფესვების გამყოფის შეფარდებას:
3. ფესვის ხარისხზე აყვანისას საკმარისია ძირის რიცხვის ამ ხარისხზე აყვანა:
4. თუ ფესვის ხარისხს გავზრდით ში ნერთხელ და ამავე დროს ამაღლება ნ th ძალა არის ძირეული რიცხვი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:
5. თუ დავაკლებთ ფესვის ხარისხს ში ნ root ამავე დროს ნრადიკალური რიცხვიდან th ხარისხი, მაშინ ფესვის მნიშვნელობა არ შეიცვლება:
ხარისხი უარყოფითი მაჩვენებლით.არაპოზიტიური (მთლიანი) მაჩვენებლის მქონე რიცხვის ხარისხი განისაზღვრება, როგორც ერთი გაყოფილი იმავე რიცხვის ხარისხზე, რომლის მაჩვენებლით ტოლია არაპოზიტიური მაჩვენებლის აბსოლუტური მნიშვნელობა:
ფორმულა ვარ:a n = a m - nშეიძლება გამოყენებულ იქნას არა მხოლოდ მ> ნ, არამედ ზე მ< ნ.
მაგალითად. ა4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
ფორმულამდე ვარ:a n = a m - nსამართლიანი გახდა m=n, თქვენ გჭირდებათ ნულოვანი ხარისხის არსებობა.
ხარისხი ნულოვანი მაჩვენებლით.ნებისმიერი არანულოვანი რიცხვის სიმძლავრე ნულოვანი მაჩვენებლით უდრის ერთს.
მაგალითად. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
ხარისხი წილადის მაჩვენებლით.რეალური რიცხვის ასამაღლებლად ახარისხით მ/ნ, თქვენ უნდა ამოიღოთ ფესვი ნე ხარისხი მამ რიცხვის ე ძალა ა.
მათემატიკაში ხარისხის ცნება შემოღებულია უკვე მე-7 კლასში ალგებრის გაკვეთილზე. და მომავალში, მათემატიკის შესწავლის განმავლობაში, ეს კონცეფცია აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა ფორმით. ხარისხი საკმაოდ რთული თემაა, რომელიც მოითხოვს ღირებულებების დამახსოვრებას და სწორად და სწრაფად დათვლის უნარს. მათემატიკის ხარისხებთან უფრო სწრაფი და უკეთესი მუშაობისთვის, მათ მიიღეს ხარისხის თვისებები. ისინი ხელს უწყობენ დიდი გამოთვლების შემცირებას, უზარმაზარი მაგალითის გარკვეულ რიცხვად გადაქცევას. ამდენი თვისება არ არის და ყველა მათგანი ადვილად დასამახსოვრებელი და პრაქტიკაში გამოყენებაა. აქედან გამომდინარე, სტატიაში განხილულია ხარისხის ძირითადი თვისებები, ასევე სად გამოიყენება ისინი.
ხარისხის თვისებები
ჩვენ განვიხილავთ ხარისხის 12 თვისებას, მათ შორის ერთიდაიგივე ფუძის მქონე ძალაუფლების თვისებებს და მოვიყვანთ მაგალითს თითოეული თვისებისთვის. თითოეული ეს თვისება დაგეხმარებათ გადაჭრათ პრობლემები ხარისხით უფრო სწრაფად, ასევე დაზოგოთ მრავალი გამოთვლითი შეცდომისგან.
1-ლი ქონება.
ბევრი ადამიანი ხშირად ივიწყებს ამ თვისებას, უშვებს შეცდომებს, ნულოვან ხარისხში რიცხვს ნულის სახით წარმოადგენს.
მე-2 ქონება.
მე-3 ქონება.
უნდა გვახსოვდეს, რომ ამ თვისების გამოყენება შესაძლებელია მხოლოდ რიცხვების გამრავლებისას, ის არ მუშაობს ჯამით! და არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ ეს და შემდეგი თვისებები ვრცელდება მხოლოდ იმავე ბაზის მქონე ძალებზე.
მე-4 ქონება.
თუ მნიშვნელში რიცხვი გაზრდილია უარყოფით ხარისხზე, მაშინ გამოკლებისას მნიშვნელის ხარისხი აღებულია ფრჩხილებში, რათა სწორად ჩაანაცვლოს ნიშანი შემდგომ გამოთვლებში.
ქონება მუშაობს მხოლოდ გაყოფისას და არა გამოკლებისას!
მე-5 ქონება.
მე-6 ქონება.
ეს თვისება ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას საპირისპიროდ. ერთეული, რომელიც გარკვეულწილად იყოფა რიცხვზე, არის ეს რიცხვი უარყოფით ხარისხზე.
მე-7 ქონება.
ეს თვისება არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას ჯამზე და განსხვავებაზე! ჯამის ან სხვაობის ხარისხზე გაზრდისას გამოიყენება შემოკლებული გამრავლების ფორმულები და არა სიმძლავრის თვისებები.
მე-8 ქონება.
მე-9 ქონება.
ეს თვისება მუშაობს ნებისმიერ წილად ხარისხზე ერთის ტოლი მრიცხველით, ფორმულა იგივე იქნება, მხოლოდ ფესვის ხარისხი შეიცვლება ხარისხის მნიშვნელის მიხედვით.
ასევე, ეს ქონება ხშირად გამოიყენება საპირისპირო თანმიმდევრობით. რიცხვის ნებისმიერი სიმძლავრის ფესვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც ეს რიცხვი ერთის ხარისხში გაყოფილი ფესვის ხარისხზე. ეს თვისება ძალიან სასარგებლოა იმ შემთხვევებში, როდესაც რიცხვის ფესვი არ არის ამოღებული.
მე-10 ქონება.
ეს ქონება მუშაობს არა მხოლოდ კვადრატული ფესვით და მეორე ხარისხით. თუ ფესვის ხარისხი და ამ ფესვის ამაღლების ხარისხი ერთნაირია, მაშინ პასუხი იქნება რადიკალური გამოხატულება.
მე-11 ქონება.
თქვენ უნდა შეძლოთ ამ თვისების დროულად დანახვა მისი ამოხსნისას, რათა თავი დააღწიოთ თავს უზარმაზარი გათვლებისგან.
მე-12 ქონება.
თითოეული ეს თვისება შეგხვდებათ არაერთხელ დავალებების შესრულებისას, ის შეიძლება მიენიჭოთ სუფთა სახით, ან შეიძლება მოითხოვოს გარკვეული ტრანსფორმაციები და სხვა ფორმულების გამოყენება. ამიტომ სწორი ამოხსნისთვის საკმარისი არ არის მხოლოდ თვისებების ცოდნა, საჭიროა ივარჯიშოთ და დააკავშიროთ დანარჩენი მათემატიკური ცოდნა.
ხარისხების გამოყენება და მათი თვისებები
ისინი აქტიურად გამოიყენება ალგებრასა და გეომეტრიაში. ცალკე, მნიშვნელოვანი ადგილი უკავია მათემატიკის ხარისხს. მათი დახმარებით იხსნება ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები, ასევე ძლევამოსილებები ხშირად ართულებს მათემატიკის სხვა მონაკვეთებთან დაკავშირებულ განტოლებებსა და მაგალითებს. ექსპონენტები ხელს უწყობენ დიდი და გრძელი გამოთვლების თავიდან აცილებას, უფრო ადვილია ექსპონენტების შემცირება და გამოთვლა. მაგრამ დიდი სიმძლავრეებით, ან დიდი რიცხვების სიმძლავრეებით მუშაობისთვის, თქვენ უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ხარისხის თვისებები, არამედ კომპეტენტურად იმუშაოთ საფუძვლებთან, შეძლოთ მათი დაშლა, რათა თქვენი დავალება გაგიადვილოთ. მოხერხებულობისთვის, თქვენ ასევე უნდა იცოდეთ სიძლიერეზე აყვანილი რიცხვების მნიშვნელობა. ეს შეამცირებს თქვენს დროს გადაჭრის დროს ხანგრძლივი გამოთვლების საჭიროების აღმოფხვრის გზით.
ხარისხის ცნება განსაკუთრებულ როლს ასრულებს ლოგარითმებში. ვინაიდან ლოგარითმი, არსებითად, არის რიცხვის ძალა.
გამრავლების შემოკლებული ფორმულები ძალაუფლების გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია. მათ არ შეუძლიათ ხარისხების თვისებების გამოყენება, ისინი იშლება სპეციალური წესების მიხედვით, მაგრამ ყოველ შემოკლებულ გამრავლების ფორმულაში უცვლელად არის გრადუსები.
დიპლომები ასევე აქტიურად გამოიყენება ფიზიკასა და კომპიუტერულ მეცნიერებაში. ყველა თარგმანი SI სისტემაში ხდება გრადუსების გამოყენებით, ხოლო მომავალში, პრობლემების გადაჭრისას, გამოიყენება ხარისხის თვისებები. კომპიუტერულ მეცნიერებაში აქტიურად გამოიყენება ორი ძალა, რიცხვების დათვლისა და აღქმის გასამარტივებლად. შემდგომი გამოთვლები საზომი ერთეულების კონვერტაციისთვის ან ამოცანების გამოთვლებისთვის, ისევე როგორც ფიზიკაში, ხდება ხარისხის თვისებების გამოყენებით.
ხარისხები ასევე ძალიან სასარგებლოა ასტრონომიაში, სადაც იშვიათად შეგიძლიათ იპოვოთ ხარისხის თვისებების გამოყენება, მაგრამ თავად გრადუსები აქტიურად გამოიყენება სხვადასხვა რაოდენობისა და მანძილების ჩაწერის შესამცირებლად.
ხარისხები გამოიყენება ყოველდღიურ ცხოვრებაშიც, ფართობების, მოცულობების, მანძილების გაანგარიშებისას.
ხარისხების დახმარებით, ძალიან დიდი და ძალიან მცირე მნიშვნელობები იწერება მეცნიერების ნებისმიერ დარგში.
ექსპონენციალური განტოლებები და უტოლობები
ხარისხის თვისებებს განსაკუთრებული ადგილი უჭირავს ზუსტად ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობაში. ეს ამოცანები ძალიან ხშირია, როგორც სკოლის კურსზე, ასევე გამოცდებზე. ყველა მათგანი მოგვარებულია ხარისხის თვისებების გამოყენებით. უცნობი ყოველთვის თავად ხარისხშია, ამიტომ, ყველა თვისების ცოდნით, ასეთი განტოლების ან უტოლობის ამოხსნა არ იქნება რთული.
პირველი დონე
ხარისხი და მისი თვისებები. ყოვლისმომცველი გზამკვლევი (2019)
რატომ არის საჭირო ხარისხები? სად გჭირდებათ ისინი? რატომ გჭირდებათ დროის დახარჯვა მათ შესწავლაზე?
იმისათვის, რომ გაიგოთ ყველაფერი ხარისხების შესახებ, რისთვის არიან ისინი, როგორ გამოიყენოთ თქვენი ცოდნა ყოველდღიურ ცხოვრებაში, წაიკითხეთ ეს სტატია.
და, რა თქმა უნდა, ხარისხების ცოდნა მოგაახლოებთ OGE ან ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის წარმატებით ჩაბარებასა და თქვენი ოცნების უნივერსიტეტში შესვლას.
მოდი წავიდეთ... (წავიდეთ!)
Მნიშვნელოვანი ჩანაწერი! თუ ფორმულების ნაცვლად ხედავთ სისულელეს, გაასუფთავეთ თქვენი ქეში. ამისათვის დააჭირეთ CTRL+F5 (Windows-ზე) ან Cmd+R (Mac-ზე).
პირველი დონე
გაძლიერება არის იგივე მათემატიკური ოპერაცია, როგორც შეკრება, გამოკლება, გამრავლება ან გაყოფა.
ახლა ყველაფერს ადამიანურ ენაზე ავხსნი ძალიან მარტივი მაგალითებით. Ყურადღებით. მაგალითები ელემენტარულია, მაგრამ ახსნით მნიშვნელოვან საკითხებს.
დავიწყოთ დამატებით.
აქ ასახსნელი არაფერია. თქვენ უკვე ყველაფერი იცით: ჩვენ რვა ვართ. თითოეულს აქვს ორი ბოთლი კოლა. რამდენი კოლა? მართალია - 16 ბოთლი.
ახლა გამრავლება.
იგივე მაგალითი კოლასთან შეიძლება სხვანაირად დაიწეროს: . მათემატიკოსები ცბიერი და ზარმაცი ხალხია. ისინი ჯერ ამჩნევენ ზოგიერთ შაბლონს, შემდეგ კი იგონებენ მათ უფრო სწრაფად „დათვლას“. ჩვენს შემთხვევაში, მათ შენიშნეს, რომ რვა ადამიანიდან თითოეულს ჰქონდა იგივე რაოდენობის ბოთლი კოლას და გამოიგონეს ტექნიკა, რომელსაც გამრავლება ჰქვია. ვეთანხმები, ითვლება უფრო ადვილი და სწრაფი ვიდრე.
ასე რომ, უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე დათვლა, უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ გამრავლების ცხრილი. რა თქმა უნდა, თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ყველაფერი ნელა, რთულად და შეცდომებით! მაგრამ…
აქ არის გამრავლების ცხრილი. გაიმეორეთ.
და კიდევ ერთი, უფრო ლამაზი:
და რა სხვა სახიფათო ხრიკები მოიგონეს ზარმაცი მათემატიკოსებმა? სწორად - რიცხვის ძალამდე აყვანა.
რიცხვის ძლიერებამდე აწევა
თუ თქვენ გჭირდებათ რიცხვის ხუთჯერ გამრავლება, მაშინ მათემატიკოსები ამბობენ, რომ ეს რიცხვი მეხუთე ხარისხამდე უნდა აწიოთ. Მაგალითად, . მათემატიკოსებს ახსოვთ, რომ ორი მეხუთე ხარისხამდე არის. და ისინი გონებაში წყვეტენ ასეთ პრობლემებს - უფრო სწრაფად, მარტივად და შეცდომების გარეშე.
ამისათვის საჭიროა მხოლოდ დაიმახსოვრე რა არის ხაზგასმული ფერით რიცხვების ხარისხების ცხრილში. დამიჯერე, ეს ბევრად გაგიადვილებს ცხოვრებას.
სხვათა შორის, რატომ ჰქვია მეორე ხარისხს კვადრატინომრები და მესამე კუბი? Რას ნიშნავს? ძალიან კარგი კითხვა. ახლა გექნებათ კვადრატებიც და კუბებიც.
რეალური ცხოვრების მაგალითი #1
დავიწყოთ რიცხვის კვადრატით ან მეორე ხარისხით.
წარმოიდგინეთ კვადრატული აუზი, რომელიც ზომავს მეტრებს. აუზი თქვენს ეზოშია. ცხელა და ძალიან მინდა ბანაობა. მაგრამ ... აუზი ფსკერის გარეშე! აუზის ფსკერის დაფარვა აუცილებელია ფილებით. რამდენი ფილა გჭირდებათ? ამის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ აუზის ფსკერის ფართობი.
თქვენ შეგიძლიათ უბრალოდ თითის დაჭერით დათვალოთ, რომ აუზის ფსკერი მეტრი მეტრზე კუბურებისგან შედგება. თუ თქვენი ფილები მეტრზე მეტრია, დაგჭირდებათ ნაჭრები. ადვილია... მაგრამ სად ნახე ასეთი ფილა? კრამიტი უფრო სმ-სმ იქნება, მერე კი „თითით დათვლა“ დაგატანჯავთ. მაშინ უნდა გაამრავლო. ასე რომ, აუზის ფსკერის ერთ მხარეს მოვათავსებთ ფილებს (ნაჭრებს), ხოლო მეორეზე ასევე ფილებს. გამრავლებით მიიღებთ ფილებს ().
შენიშნეთ, რომ ერთი და იგივე რიცხვი თავისთავად გავამრავლეთ აუზის ფსკერის ფართობის დასადგენად? Რას ნიშნავს? ვინაიდან ერთი და იგივე რიცხვი მრავლდება, შეგვიძლია გამოვიყენოთ გაძლიერების ტექნიკა. (რა თქმა უნდა, როდესაც თქვენ გაქვთ მხოლოდ ორი რიცხვი, თქვენ მაინც გჭირდებათ მათი გამრავლება ან ხარისხზე აწევა. მაგრამ თუ ბევრი გაქვთ, მაშინ ხარისხზე აწევა ბევრად უფრო ადვილია და ასევე ნაკლებია შეცდომები გამოთვლებში. გამოცდისთვის ეს ძალიან მნიშვნელოვანია).
ასე რომ, ოცდაათი მეორე ხარისხი იქნება (). ან შეიძლება ითქვას, რომ ოცდაათი კვადრატი იქნება. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვის მეორე ხარისხი ყოველთვის შეიძლება იყოს კვადრატის სახით. და პირიქით, თუ ხედავთ კვადრატს, ის ყოველთვის არის რომელიმე რიცხვის მეორე ხარისხში. კვადრატი არის რიცხვის მეორე ხარისხის გამოსახულება.
რეალური ცხოვრების მაგალითი #2
აქ არის დავალება თქვენთვის, დათვალეთ რამდენი კვადრატია ჭადრაკის დაფაზე რიცხვის კვადრატის გამოყენებით ... უჯრედების ერთ მხარეს და მეორეზეც. მათი რიცხვის დასათვლელად საჭიროა რვა გაამრავლოთ რვაზე, ან ... თუ შეამჩნევთ, რომ ჭადრაკის დაფა არის კვადრატი გვერდით, მაშინ შეგიძლიათ რვა კვადრატში. მიიღეთ უჯრედები. () Ისე?
რეალური ცხოვრების მაგალითი #3
ახლა კუბი ან რიცხვის მესამე ხარისხი. იგივე აუზი. მაგრამ ახლა თქვენ უნდა გაარკვიოთ რამდენი წყალი უნდა ჩაასხათ ამ აუზში. თქვენ უნდა გამოთვალოთ მოცულობა. (მოცულობები და სითხეები, სხვათა შორის, იზომება კუბ.
უბრალოდ აჩვენე თითი და დაითვალე! ერთი, ორი, სამი, ოთხი… ოცდაორი, ოცდასამი… რამდენი გამოვიდა? არ დაიკარგა? რთულია თითით დათვლა? Ამიტომ! აიღეთ მაგალითი მათემატიკოსებისგან. ისინი ზარმაცები არიან, ამიტომ შენიშნეს, რომ აუზის მოცულობის გამოსათვლელად საჭიროა მისი სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ერთმანეთზე გაამრავლოთ. ჩვენს შემთხვევაში აუზის მოცულობა კუბების ტოლი იქნება... უფრო ადვილია, არა?
ახლა წარმოიდგინეთ, რა ზარმაცი და ეშმაკნი არიან მათემატიკოსები, თუ ამას ძალიან აადვილებენ. ყველაფერი ერთ მოქმედებამდე შეამცირა. მათ შენიშნეს, რომ სიგრძე, სიგანე და სიმაღლე ტოლია და რომ იგივე რიცხვი მრავლდება თავისთავად... და რას ნიშნავს ეს? ეს ნიშნავს, რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ხარისხი. ასე რომ, რასაც ერთხელ თითით დათვალეთ, ისინი აკეთებენ ერთ მოქმედებას: კუბში სამი ტოლია. ასე წერია:
რჩება მხოლოდ დაიმახსოვრეთ გრადუსების ცხრილი. თუ, რა თქმა უნდა, მათემატიკოსებივით ზარმაცი და მზაკვარი არ ხართ. თუ გიყვართ შრომა და შეცდომების დაშვება, შეგიძლიათ თითით დათვლა განაგრძოთ.
ისე, იმისთვის, რომ საბოლოოდ დაგარწმუნოთ, რომ ხარისხები ლოფერებმა და ეშმაკმა ადამიანებმა გამოიგონეს, რომ გადაჭრან თავიანთი ცხოვრებისეული პრობლემები და არა პრობლემები შეგიქმნან, აი, კიდევ ორიოდე მაგალითი ცხოვრებიდან.
რეალური ცხოვრების მაგალითი #4
თქვენ გაქვთ მილიონი რუბლი. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე კიდევ მილიონს გამოიმუშავებთ. ანუ, ყოველი თქვენი მილიონი ყოველი წლის დასაწყისში გაორმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წლების განმავლობაში? თუ ახლა ზიხარ და "თითით ითვლი", მაშინ ძალიან შრომისმოყვარე და .. სულელი ხარ. მაგრამ დიდი ალბათობით რამდენიმე წამში გაგცემთ პასუხს, რადგან ჭკვიანი ხართ! ასე რომ, პირველ წელს - ორჯერ ორი ... მეორე წელს - რა მოხდა, კიდევ ორმა, მესამე წელს ... გაჩერდი! თქვენ შენიშნეთ, რომ რიცხვი თავისთავად მრავლდება ერთხელ. ასე რომ, ორი მეხუთე ხარისხამდე არის მილიონი! ახლა წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ კონკურსი და ვინც უფრო სწრაფად ითვლის, მიიღებს ამ მილიონებს... ღირს თუ არა დაიმახსოვროთ რიცხვების ხარისხი, რას ფიქრობთ?
რეალური ცხოვრების მაგალითი #5
მილიონი გაქვს. ყოველი წლის დასაწყისში ყოველ მილიონზე ორს გამოიმუშავებთ. მშვენიერია არა? ყოველი მილიონი გასამმაგდება. რამდენი ფული გექნებათ წელიწადში? დავთვალოთ. პირველი წელი - გაამრავლე, მერე შედეგი მეორეზე... ეს უკვე მოსაწყენია, რადგან უკვე ყველაფერი გაიგე: სამი თავისთავად მრავლდება ჯერ. ასე რომ, მეოთხე ძალა არის მილიონი. თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ სამიდან მეოთხე ხარისხში არის ან.
ახლა თქვენ იცით, რომ რიცხვის ძლიერებამდე აყვანით, ბევრად გაგიადვილებთ ცხოვრებას. მოდით, უფრო დეტალურად განვიხილოთ, რა შეგიძლიათ გააკეთოთ ხარისხებით და რა უნდა იცოდეთ მათ შესახებ.
ტერმინები და ცნებები... ისე რომ არ აგერიოთ
ასე რომ, პირველ რიგში, მოდით განვსაზღვროთ ცნებები. Რას ფიქრობ, რა არის ექსპონატი? ეს ძალიან მარტივია – ეს ის რიცხვია, რომელიც რიცხვის სიმძლავრის „ზედაზეა“. არა მეცნიერული, მაგრამ გასაგები და ადვილად დასამახსოვრებელი ...
აბა, ამავდროულად, რა ხარისხის ასეთი ბაზა? კიდევ უფრო მარტივია რიცხვი, რომელიც არის ბოლოში, ძირში.
აი სურათი რომ დარწმუნდეთ.
ისე, ზოგადად, იმისათვის, რომ განვაზოგადოთ და უკეთ დავიმახსოვროთ ... ხარისხი ფუძით "" და ინდიკატორი "" იკითხება როგორც "ხარისხში" და იწერება შემდეგნაირად:
რიცხვის სიმძლავრე ბუნებრივი მაჩვენებლით
თქვენ ალბათ უკვე მიხვდით: რადგან მაჩვენებელი ნატურალური რიცხვია. კი მაგრამ რა არის ბუნებრივი რიცხვი? ელემენტარული! ნატურალური რიცხვები არის ის რიცხვები, რომლებიც გამოიყენება დათვლაში ერთეულების ჩამოთვლისას: ერთი, ორი, სამი... როდესაც ვითვლით ერთეულებს, არ ვამბობთ: „მინუს ხუთი“, „მინუს ექვსი“, „მინუს შვიდი“. არც „ერთ მესამედს“ და არც „ნულ ქულას ხუთი მეათედი“ არ ვამბობთ. ეს არ არის ბუნებრივი რიცხვები. როგორ ფიქრობთ, რა არის ეს რიცხვები?
რიცხვები, როგორიცაა "მინუს ხუთი", "მინუს ექვსი", "მინუს შვიდი" ეხება მთელი რიცხვები.ზოგადად, მთელი რიცხვები მოიცავს ყველა ნატურალურ რიცხვს, ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვებს (ანუ აღებული მინუს ნიშნით) და რიცხვს. ნული ადვილი გასაგებია - ეს მაშინ, როცა არაფერია. და რას ნიშნავს უარყოფითი ("მინუს") რიცხვები? მაგრამ ისინი გამოიგონეს, პირველ რიგში, ვალების აღსანიშნავად: თუ თქვენს ტელეფონზე ბალანსი რუბლებში გაქვთ, ეს ნიშნავს, რომ ოპერატორის რუბლები გაქვთ.
ყველა წილადი რაციონალური რიცხვია. როგორ გაჩნდნენ, როგორ ფიქრობთ? Ძალიან მარტივი. რამდენიმე ათასი წლის წინ ჩვენმა წინაპრებმა აღმოაჩინეს, რომ მათ არ ჰქონდათ საკმარისი ბუნებრივი რიცხვები სიგრძის, წონის, ფართობის გასაზომად და ა.შ. და გამოვიდნენ რაციონალური რიცხვი... საინტერესოა, არა?
არის ირაციონალური რიცხვებიც. რა არის ეს რიცხვები? მოკლედ, უსასრულო ათობითი წილადი. მაგალითად, თუ წრის გარშემოწერილობას გაყოფთ მის დიამეტრზე, მაშინ მიიღებთ ირაციონალურ რიცხვს.
Შემაჯამებელი:
განვსაზღვროთ ხარისხის ცნება, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).
- ნებისმიერი რიცხვი პირველ ხარისხში უდრის თავის თავს:
- რიცხვის კვადრატში გაყვანა ნიშნავს მის თავის თავზე გამრავლებას:
- რიცხვის კუბირება ნიშნავს მის სამჯერ გამრავლებას:
განმარტება.რიცხვის ბუნებრივ ხარისხზე აყვანა ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
.
ხარისხის თვისებები
საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? ახლავე გაჩვენებ.
ვნახოთ რა არის და ?
ა-პრიორიტეტი:
რამდენი მულტიპლიკატორია სულ?
ეს ძალიან მარტივია: ჩვენ ფაქტორებს დავამატეთ ფაქტორები და შედეგი არის ფაქტორები.
მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხი მაჩვენებლით, ანუ: , რომელიც საჭირო იყო დასამტკიცებლად.
მაგალითი: გამოთქმის გამარტივება.
გადაწყვეტილება:
მაგალითი:გამოხატვის გამარტივება.
გადაწყვეტილება:მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე მიზეზი უნდა იყოს!
მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:
მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!
არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დაწეროთ ეს.
2. ანუ - რიცხვის ხარისხში
ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:
გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის მე-თე ხარისხი:
სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:
გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა?
მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.
ხარისხი უარყოფითი ბაზით
ამ მომენტამდე ჩვენ მხოლოდ განვიხილეთ, თუ რა უნდა იყოს მაჩვენებელი.
მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი?
გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელისაფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი. მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი.
მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?
მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ? პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.
მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ გამოდის.
თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
მოახერხე?
აი პასუხები: პირველ ოთხ მაგალითში იმედი მაქვს ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
მაგალით 5-ში) ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება.
კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).
მაგალითი 6) ასე მარტივი აღარ არის!
6 პრაქტიკის მაგალითი
ამოხსნის ანალიზი 6 მაგალითი
თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა! ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი გაცვლიან, ეს წესი შეიძლება მოქმედებდეს.
მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.
ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები.
მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!
დავუბრუნდეთ მაგალითს:
და ისევ ფორმულა:
მთლიანივასახელებთ ნატურალურ რიცხვებს, მათ საპირისპიროებს (ანუ აღებულს "" ნიშნით) და რიცხვს.
დადებითი მთელი რიცხვიდა ის არაფრით განსხვავდება ბუნებრივისგან, მაშინ ყველაფერი ზუსტად ისე გამოიყურება, როგორც წინა განყოფილებაში.
ახლა მოდით შევხედოთ ახალ შემთხვევებს. დავიწყოთ ტოლი ინდიკატორით.
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის:
როგორც ყოველთვის, საკუთარ თავს ვეკითხებით: რატომ არის ასე?
განვიხილოთ გარკვეული სიმძლავრე ფუძით. აიღეთ, მაგალითად, და გაამრავლეთ:
ასე რომ, ჩვენ გავამრავლეთ რიცხვი და მივიღეთ იგივე, რაც იყო -. რა რიცხვზე უნდა გავამრავლოთ, რომ არაფერი შეიცვალოს? მართალია, ჩართულია. ნიშნავს.
იგივე შეგვიძლია გავაკეთოთ თვითნებური რიცხვით:
გავიმეოროთ წესი:
ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის.
მაგრამ არსებობს გამონაკლისები მრავალი წესისგან. და აქ არის ისიც - ეს არის რიცხვი (როგორც საფუძველი).
ერთის მხრივ, ის უნდა იყოს ნებისმიერი ხარისხის ტოლი - რაც არ უნდა გაამრავლო ნული თავის თავზე, მაინც მიიღებ ნულს, ეს გასაგებია. მაგრამ მეორეს მხრივ, როგორც ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი ხარისხით, ის უნდა იყოს ტოლი. მაშ, რა არის ამის სიმართლე? მათემატიკოსებმა გადაწყვიტეს არ ჩაერთონ და უარი განაცხადეს ნულის ნულოვან ხარისხზე აყვანაზე. ანუ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია არა მარტო გავყოთ ნულზე, არამედ ავიყვანოთ ის ნულოვან სიმძლავრემდე.
მოდით წავიდეთ უფრო შორს. ნატურალური რიცხვებისა და რიცხვების გარდა, მთელ რიცხვებში შედის უარყოფითი რიცხვები. იმის გასაგებად, თუ რა არის უარყოფითი ხარისხი, მოდით გავაკეთოთ იგივე, რაც წინა ჯერზე: ჩვენ გავამრავლებთ ზოგიერთ ნორმალურ რიცხვს იმავეზე უარყოფით ხარისხში:
აქედან უკვე ადვილია სასურველის გამოხატვა:
ახლა ჩვენ ვაფართოებთ შედეგად წესს თვითნებურ ხარისხზე:
მაშ ასე, ჩამოვაყალიბოთ წესი:
რიცხვი უარყოფით ხარისხზე არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხზე. Მაგრამ ამავდროულად ბაზა არ შეიძლება იყოს ნულოვანი:(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).
შევაჯამოთ:
I. გამოთქმა არ არის განსაზღვრული შემთხვევაში. თუ, მაშინ.
II. ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია ერთის: .
III. რიცხვი, რომელიც არ უდრის ნულის უარყოფით ხარისხს, არის იგივე რიცხვის შებრუნებული დადებითი ხარისხი: .
ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
ისე, როგორც ყოველთვის, დამოუკიდებელი გადაწყვეტის მაგალითები:
ამოცანების ანალიზი დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის:
ვიცი, ვიცი, ციფრები საშინელია, მაგრამ გამოცდაზე ყველაფრისთვის მზად უნდა იყო! ამოხსენით ეს მაგალითები ან გააანალიზეთ მათი ამოხსნა, თუ ვერ ამოხსნით და გაიგებთ, თუ როგორ მარტივად გაუმკლავდეთ მათ გამოცდაზე!
მოდით გავაგრძელოთ მაჩვენებლის სახით „შესაფერისი“ რიცხვების დიაპაზონის გაფართოება.
ახლა განიხილეთ რაციონალური რიცხვი.რომელ რიცხვებს ეწოდება რაციონალური?
პასუხი: ყველაფერი, რაც შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები, უფრო მეტიც.
იმის გასაგებად რა არის "ფრაქციული ხარისხი"განვიხილოთ წილადი:
მოდით ავიყვანოთ განტოლების ორივე მხარე ხარისხზე:
ახლა დაიმახსოვრე წესი "ხარისხიდან ხარისხამდე":
რა რიცხვი უნდა გაიზარდოს სიმძლავრის მისაღებად?
ეს ფორმულირება არის მე-6 ხარისხის ფესვის განმარტება.
შეგახსენებთ: რიცხვის () მეათე ხარისხის ფესვი არის რიცხვი, რომელიც ხარისხზე აყვანისას ტოლია.
ანუ, th ხარისხის ფესვი არის შებრუნებული მოქმედების სიძლიერე: .
თურმე. ცხადია, ეს განსაკუთრებული შემთხვევა შეიძლება გაგრძელდეს: .
ახლა დაამატეთ მრიცხველი: რა არის ეს? პასუხის მიღება მარტივია ძალაუფლება-ძალაში წესით:
მაგრამ შეიძლება თუ არა საფუძველი იყოს ნებისმიერი რიცხვი? ყოველივე ამის შემდეგ, ფესვის ამოღება შეუძლებელია ყველა რიცხვიდან.
არცერთი!
დაიმახსოვრე წესი: ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც ლუწი ხარისხზეა გაზრდილი, დადებითი რიცხვია. ანუ უარყოფითი რიცხვებიდან ლუწი ხარისხის ფესვების ამოღება შეუძლებელია!
და ეს ნიშნავს, რომ ასეთი რიცხვები არ შეიძლება გაიზარდოს წილადის ხარისხამდე ლუწი მნიშვნელით, ანუ გამოხატვას აზრი არ აქვს.
რაც შეეხება გამოხატვას?
მაგრამ აქ ჩნდება პრობლემა.
რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს სხვა, შემცირებული წილადების სახით, მაგალითად, ან.
და გამოდის, რომ ის არსებობს, მაგრამ არ არსებობს, და ეს არის მხოლოდ ორი განსხვავებული ჩანაწერი ერთი და იგივე ნომრით.
ან კიდევ ერთი მაგალითი: ერთხელ, მაშინ შეგიძლია ჩაწერო. მაგრამ როგორც კი ინდიკატორს სხვანაირად ვწერთ, ისევ გვიჭირს: (ანუ მივიღეთ სრულიად განსხვავებული შედეგი!).
ასეთი პარადოქსების თავიდან ასაცილებლად, გაითვალისწინეთ მხოლოდ დადებითი ბაზის მაჩვენებლები წილადის მაჩვენებლით.
ასე რომ, თუ:
- - ნატურალური რიცხვი;
- არის მთელი რიცხვი;
მაგალითები:
რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ძალები ძალიან სასარგებლოა ფესვებით გამონათქვამების გარდაქმნისთვის, მაგალითად:
5 პრაქტიკის მაგალითი
ტრენინგის 5 მაგალითის ანალიზი
კარგი, ახლა - ყველაზე რთული. ახლა ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით.
გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხებისთვის, გარდა
მართლაც, განმარტებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ, ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).
ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით.
მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი;
...ნულოვანი სიმძლავრე- ეს არის, თითქოს, თავისთავად ერთხელ გამრავლებული რიცხვი, ანუ ის ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული ”მომზადება ნომერი“, კერძოდ ნომერი;
...უარყოფითი მთელი რიცხვი- თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.
სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის.
მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.
სადაც ჩვენ დარწმუნებული ვართ, რომ წახვალ! (თუ ისწავლით ასეთი მაგალითების ამოხსნას :))
Მაგალითად:
თავად გადაწყვიტე:
გადაწყვეტილებების ანალიზი:
1. დავიწყოთ ხარისხზე ამაღლების უკვე ჩვეულებრივი წესით:
ახლა შეხედე ქულას. ის რამეს გახსენებს? გავიხსენებთ კვადრატების სხვაობის შემოკლებული გამრავლების ფორმულას:
Ამ შემთხვევაში,
გამოდის, რომ:
პასუხი: .
2. წილადები მაჩვენებლებში ერთსა და იმავე ფორმაზე მივყავართ: ორივე ათწილადი ან ორივე ჩვეულებრივი. ჩვენ ვიღებთ, მაგალითად:
პასუხი: 16
3. არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:
გაფართოებული დონე
ხარისხის განსაზღვრა
ხარისხი არის ფორმის გამოხატულება: , სადაც:
- — ხარისხის საფუძველი;
- - ექსპონენტი.
ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით (n = 1, 2, 3,...)
რიცხვის აწევა ბუნებრივ ხარისხამდე n ნიშნავს რიცხვის თავისთავად გამრავლებას:
სიმძლავრე მთელი რიცხვის მაჩვენებლით (0, ±1, ±2,...)
თუ მაჩვენებელი არის დადებითი მთელი რიცხვინომერი:
ერექცია ნულოვანი სიმძლავრისკენ:
გამოთქმა განუსაზღვრელია, რადგან, ერთის მხრივ, ნებისმიერი ხარისხით არის ეს, ხოლო მეორე მხრივ, ნებისმიერი რიცხვი მე-ე ხარისხის არის ეს.
თუ მაჩვენებელი არის მთელი უარყოფითინომერი:
(რადგან გაყოფა შეუძლებელია).
კიდევ ერთხელ ნულის შესახებ: გამოთქმა არ არის განსაზღვრული საქმეში. თუ, მაშინ.
მაგალითები:
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით
- - ნატურალური რიცხვი;
- არის მთელი რიცხვი;
მაგალითები:
ხარისხის თვისებები
პრობლემების გადაჭრის გასაადვილებლად, შევეცადოთ გავიგოთ: საიდან გაჩნდა ეს თვისებები? მოდით დავამტკიცოთ ისინი.
ვნახოთ: რა არის და?
ა-პრიორიტეტი:
ამრიგად, ამ გამონათქვამის მარჯვენა მხარეს მიიღება შემდეგი პროდუქტი:
მაგრამ განმარტებით, ეს არის რიცხვის ხარისხობრივი მაჩვენებელი, ანუ:
ქ.ე.დ.
მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.
გადაწყვეტილება : .
მაგალითი : გამოთქმის გამარტივება.
გადაწყვეტილება : მნიშვნელოვანია აღინიშნოს, რომ ჩვენს წესში აუცილებლადიგივე საფუძველი უნდა ჰქონდეს. მაშასადამე, ჩვენ ვათავსებთ ხარისხებს ბაზასთან, მაგრამ ვრჩებით ცალკე ფაქტორად:
კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი შენიშვნა: ეს წესი - მხოლოდ ძალაუფლების პროდუქტებისთვის!
არავითარ შემთხვევაში არ უნდა დავწერო ეს.
ისევე, როგორც წინა საკუთრებაში, მოდით მივმართოთ ხარისხის განმარტებას:
მოდით გადავაწყოთ ასე:
გამოდის, რომ გამონათქვამი თავისთავად მრავლდება ერთხელ, ანუ, განმარტების მიხედვით, ეს არის რიცხვის --ე ხარისხი:
სინამდვილეში, ამას შეიძლება ეწოდოს "ინდიკატორის ბრეკეტირება". მაგრამ ამას ვერასოდეს გააკეთებ მთლიანობაში:!
გავიხსენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები: რამდენჯერ გვინდოდა დაწერა? მაგრამ ეს არ არის სიმართლე, ნამდვილად.
სიმძლავრე უარყოფითი ბაზით.
ამ დრომდე ჩვენ განვიხილეთ მხოლოდ ის, რაც უნდა იყოს მაჩვენებელიხარისხი. მაგრამ რა უნდა იყოს საფუძველი? გრადუსით ბუნებრივი მაჩვენებელი საფუძველი შეიძლება იყოს ნებისმიერი ნომერი .
მართლაც, ჩვენ შეგვიძლია გავამრავლოთ ნებისმიერი რიცხვი ერთმანეთზე, იქნება ეს დადებითი, უარყოფითი თუ ლუწი. მოდით ვიფიქროთ იმაზე, თუ რა ნიშნებს ("" ან "") ექნებათ დადებითი და უარყოფითი რიცხვების ხარისხი?
მაგალითად, რიცხვი დადებითი იქნება თუ უარყოფითი? მაგრამ? ?
პირველთან ერთად ყველაფერი ნათელია: რამდენი დადებითი რიცხვიც არ უნდა გავამრავლოთ ერთმანეთში, შედეგი დადებითი იქნება.
მაგრამ უარყოფითი მხარეები ცოტა უფრო საინტერესოა. ბოლოს და ბოლოს, ჩვენ გვახსოვს მარტივი წესი მე-6 კლასიდან: „მინუს გამრავლებული მინუს იძლევა პლუსს“. ანუ ან. მაგრამ თუ გავამრავლებთ (), მივიღებთ -.
და ასე შემდეგ უსასრულოდ: ყოველი მომდევნო გამრავლებით, ნიშანი შეიცვლება. თქვენ შეგიძლიათ ჩამოაყალიბოთ ეს მარტივი წესები:
- თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის ნული ნულის ტოლია.
თავად განსაზღვრეთ, რა ნიშანი ექნება შემდეგ გამონათქვამებს:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
მოახერხე? აქ არის პასუხები:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
პირველ ოთხ მაგალითში, იმედი მაქვს, ყველაფერი ნათელია? ჩვენ უბრალოდ ვუყურებთ ფუძეს და მაჩვენებელს და ვიყენებთ შესაბამის წესს.
მაგალით 5-ში) ყველაფერი ასევე არ არის ისეთი საშინელი, როგორც ჩანს: არ აქვს მნიშვნელობა რისი ტოლია საფუძველი - ხარისხი არის თანაბარი, რაც ნიშნავს, რომ შედეგი ყოველთვის დადებითი იქნება. კარგად, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც ბაზა ნულის ტოლია. ბაზა იგივე არ არის, არა? ცხადია, არა, რადგან (იმიტომ).
მაგალითი 6) აღარ არის ასე მარტივი. აქ თქვენ უნდა გაარკვიოთ რომელია ნაკლები: ან? თუ გახსოვთ, ირკვევა, რომ ეს ნიშნავს, რომ ბაზა ნულზე ნაკლებია. ანუ ვიყენებთ მე-2 წესს: შედეგი უარყოფითი იქნება.
და კვლავ ვიყენებთ ხარისხის განმარტებას:
ყველაფერი ჩვეულებრივად არის - ჩვენ ვწერთ ხარისხების განმარტებას და ვყოფთ მათ ერთმანეთში, ვყოფთ წყვილებად და ვიღებთ:
სანამ ბოლო წესს გავაანალიზებთ, გადავწყვიტოთ რამდენიმე მაგალითი.
გამოთვალეთ გამონათქვამების მნიშვნელობები:
გადაწყვეტილებები :
თუ მერვე ხარისხს არ მივაქცევთ ყურადღება, რას ვხედავთ აქ? გადავხედოთ მე-7 კლასის პროგრამას. მაშ, გახსოვს? ეს არის შემოკლებული გამრავლების ფორმულა, კერძოდ კვადრატების სხვაობა!
ჩვენ ვიღებთ:
ჩვენ ყურადღებით ვუყურებთ მნიშვნელს. ძალიან ჰგავს ერთ-ერთ მრიცხველ ფაქტორს, მაგრამ რისი ბრალია? პირობების არასწორი თანმიმდევრობა. თუ ისინი შეცვლილი იქნებოდა, შეიძლება გამოყენებულ იქნას წესი 3. მაგრამ როგორ გავაკეთოთ ეს? გამოდის, რომ ძალიან მარტივია: აქ მნიშვნელის ლუწი ხარისხი გვეხმარება.
თუ გაამრავლებ, არაფერი იცვლება, არა? მაგრამ ახლა ასე გამოიყურება:
ტერმინებმა ჯადოსნურად შეიცვალა ადგილები. ეს „ფენომენი“ ნებისმიერ გამონათქვამს ეხება თანაბრად: ჩვენ შეგვიძლია თავისუფლად შევცვალოთ ფრჩხილებში ჩასმული ნიშნები. მაგრამ მნიშვნელოვანია გვახსოვდეს: ყველა ნიშანი ერთდროულად იცვლება!მისი შეცვლა შეუძლებელია ჩვენთვის მხოლოდ ერთი უსიამოვნო მინუსის შეცვლით!
დავუბრუნდეთ მაგალითს:
და ისევ ფორმულა:
ახლა ბოლო წესი:
როგორ ვაპირებთ ამის დამტკიცებას? რა თქმა უნდა, როგორც ყოველთვის: მოდით გავაფართოვოთ ხარისხის კონცეფცია და გავამარტივოთ:
აბა, ახლა გავხსნათ ფრჩხილები. რამდენი ასო იქნება? ჯერ გამრავლებით - როგორ გამოიყურება? ეს სხვა არაფერია, თუ არა ოპერაციის განმარტება გამრავლება: სულ იყო მულტიპლიკატორები. ანუ, ეს არის, განსაზღვრებით, რიცხვის ძალა მაჩვენებლით:
მაგალითი:
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
საშუალო დონის ხარისხების შესახებ ინფორმაციის გარდა, ჩვენ გავაანალიზებთ ხარისხს ირაციონალური მაჩვენებლით. გრადუსების ყველა წესი და თვისება აქ ზუსტად იგივეა, რაც რაციონალური მაჩვენებლის მქონე ხარისხში, გამონაკლისი - ბოლოს და ბოლოს, განსაზღვრებით, ირაციონალური რიცხვები არის რიცხვები, რომლებიც არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს წილადად, სადაც და არის მთელი რიცხვები (ანუ ირაციონალური რიცხვები ყველა რეალური რიცხვია რაციონალურის გარდა).
ბუნებრივი, მთელი და რაციონალური ინდიკატორით ხარისხების შესწავლისას, ყოველ ჯერზე ჩვენ ვქმნიდით გარკვეულ „სურათს“, „ანალოგიას“ ან აღწერას უფრო ნაცნობი ტერმინებით. მაგალითად, ხარისხი ბუნებრივი მაჩვენებლით არის თავისთავად რამდენჯერმე გამრავლებული რიცხვი; რიცხვი ნულოვანი ხარისხით არის, თითქოს, ერთჯერადად გამრავლებული რიცხვი, ანუ ჯერ არ დაწყებულა გამრავლება, რაც ნიშნავს, რომ თავად რიცხვი ჯერ არც კი გამოჩენილა - შესაბამისად, შედეგი არის მხოლოდ გარკვეული „რიცხვის მომზადება“, კერძოდ რიცხვი; ხარისხი უარყოფითი მთელი რიცხვით - თითქოს მოხდა გარკვეული „საპირისპირო პროცესი“, ანუ რიცხვი თავისთავად კი არ გამრავლდა, არამედ გაიყო.
უკიდურესად რთულია ხარისხის წარმოდგენა ირაციონალური მაჩვენებლით (ისევე, როგორც რთულია 4 განზომილებიანი სივრცის წარმოდგენა). პირიქით, ეს არის წმინდა მათემატიკური ობიექტი, რომელიც მათემატიკოსებმა შექმნეს, რათა გააფართოვონ გრადუსის კონცეფცია რიცხვების მთელ სივრცეში.
სხვათა შორის, მეცნიერებაში ხშირად გამოიყენება კომპლექსური მაჩვენებლის მქონე ხარისხი, ანუ მაჩვენებელი რეალური რიცხვიც კი არ არის. მაგრამ სკოლაში ჩვენ არ ვფიქრობთ ასეთ სირთულეებზე, თქვენ გექნებათ შესაძლებლობა გაიაზროთ ეს ახალი ცნებები ინსტიტუტში.
რა ვქნათ, თუ ირაციონალურ მაჩვენებელს დავინახავთ? ყველანაირად ვცდილობთ თავი დავაღწიოთ! :)
Მაგალითად:
თავად გადაწყვიტე:
| 1) | 2) | 3) |
პასუხები:
- გახსოვდეთ კვადრატების ფორმულის განსხვავება. პასუხი:.
- წილადებს მივყავართ ერთნაირი ფორმით: ან ორივე ათწილადი, ან ორივე ჩვეულებრივი. ვიღებთ, მაგალითად: .
- არაფერი განსაკუთრებული, ჩვენ ვიყენებთ ხარისხების ჩვეულებრივ თვისებებს:
ნაწილის შეჯამება და ძირითადი ფორმულა
ხარისხიეწოდება ფორმის გამოხატულება: , სადაც:
ხარისხი მთელი რიცხვის მაჩვენებლით
ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია ნატურალური რიცხვი (ანუ მთელი და დადებითი).
ხარისხი რაციონალური მაჩვენებლით
ხარისხი, რომლის მაჩვენებელია უარყოფითი და წილადი რიცხვები.
ხარისხი ირაციონალური მაჩვენებლით
მაჩვენებელი, რომლის მაჩვენებელია უსასრულო ათობითი წილადი ან ფესვი.
ხარისხის თვისებები
ხარისხების მახასიათებლები.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა თუნდაცხარისხი, - რიცხვი დადებითი.
- უარყოფითი რიცხვი გაიზარდა კენტიხარისხი, - რიცხვი უარყოფითი.
- ნებისმიერი სიმძლავრის დადებითი რიცხვი არის დადებითი რიცხვი.
- ნული უდრის ნებისმიერ ძალას.
- ნებისმიერი რიცხვი ნულოვანი სიმძლავრის ტოლია.
ახლა შენ გაქვს სიტყვა...
როგორ მოგწონთ სტატია? შემატყობინეთ ქვემოთ მოცემულ კომენტარებში, მოგეწონათ თუ არა.
გვითხარით თქვენი გამოცდილების შესახებ დენის თვისებებთან დაკავშირებით.
ალბათ თქვენ გაქვთ შეკითხვები. ან წინადადებები.
დაწერეთ კომენტარებში.
და წარმატებებს გისურვებთ გამოცდებში!
