სამუშაოს ტიპი: 7

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-4; 10). იპოვეთ კლებადი ფუნქციის ინტერვალები f (x). თქვენს პასუხში , მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოგეხსენებათ, f (x) ფუნქცია მცირდება იმ ინტერვალებზე, რომელთა თითოეულ წერტილში წარმოებული f "(x) არის ნულზე ნაკლები. თუ გავითვალისწინებთ, რომ აუცილებელია მათგან ყველაზე დიდის სიგრძის პოვნა, სამი ასეთი ინტერვალი. ბუნებრივად გამოირჩევიან ფიგურისგან: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

მათგან ყველაზე დიდი - (5; 9) სიგრძე 4-ის ტოლია.

უპასუხე

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-8; 7). იპოვეთ f (x) ფუნქციის კუთვნილი მაქსიმალური წერტილების რაოდენობა. ინტერვალით [-6; -2].

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

გრაფიკზე ნაჩვენებია, რომ f (x) ფუნქციის f "(x) წარმოებული ცვლის ნიშანს პლუსიდან მინუსზე (ასეთ წერტილებში იქნება მაქსიმუმი) ზუსტად ერთ წერტილში (-5-დან -4-ს შორის) ინტერვალიდან [. -6; -2 ამიტომ, არის ზუსტად ერთი მაქსიმალური წერტილი [-6;-2] ინტერვალზე.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია (-2; 8) ინტერვალზე განსაზღვრული y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი. განსაზღვრეთ წერტილების რაოდენობა, სადაც f(x) ფუნქციის წარმოებული 0-ის ტოლია.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

თუ წერტილის წარმოებული ტოლია ნულის, მაშინ ამ წერტილში დახატული ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ ისეთ წერტილებს, რომლებშიც ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი არის Ox ღერძის პარალელურად. ამ სქემაზე ასეთი პუნქტები არის ექსტრემალური წერტილები (მაქსიმალური ან მინიმალური ქულები). როგორც ხედავთ, არის 5 ექსტრემალური წერტილი.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y=f(x) ფუნქციის გრაფიკი და მონიშნულია წერტილები -6, -1, 1, 4 x ღერძზე. ამ წერტილებიდან რომელზეა წარმოებულის მნიშვნელობა ყველაზე მცირე? გთხოვთ, თქვენს პასუხში მიუთითოთ ეს წერტილი.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსებს ვხატავთ მითითებულ აბსცისებით წერტილებზე. ჩვენ განვსაზღვრავთ რა კუთხით არიან ისინი მიდრეკილი Ox ღერძის დადებითი მიმართულებით. მოგეხსენებათ, მითითებული კუთხის ტანგენტის მნიშვნელობა არის წარმოებულის მნიშვნელობა მითითებულ წერტილებში.

-1 და 4 წერტილებში ტანგენტები დახრილია მახვილი კუთხით, ამიტომ წარმოებულის მნიშვნელობა ამ წერტილებში უარყოფითია. იმის გათვალისწინებით, რომ x=-6 წერტილში ტანგენსი დახრილია უფრო მცირე ბლაგვი კუთხით (უფრო ახლოს ვერტიკალურ ხაზთან), წარმოებულის მნიშვნელობა ამ წერტილში ყველაზე მცირეა.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-9; 4). იპოვეთ f (x) ფუნქციის გაზრდის ინტერვალები. პასუხი, მიუთითეთ მათგან ყველაზე დიდი სიგრძე.

გადაწყვეტის ჩვენება

გადაწყვეტილება

მოგეხსენებათ, f (x) ფუნქცია იზრდება იმ ინტერვალებზე, რომელთა თითოეულ წერტილში წარმოებული f "(x) არის ნულზე მეტი. იმის გათვალისწინებით, რომ აუცილებელია მათგან ყველაზე დიდის სიგრძის პოვნა, სამი ასეთი ინტერვალი. ბუნებრივად გამოირჩევიან ფიგურისგან: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

მათგან ყველაზე დიდის (-5; -1) სიგრძეა 4.

უპასუხე

წყარო: „მათემატიკა. გამოცდისთვის მზადება-2017 წ. პროფილის დონე. რედ. ფ.ფ.ლისენკო, ს.იუ.კულაბუხოვა.

სამუშაოს ტიპი: 7
თემა: წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში

მდგომარეობა

ნახატზე ნაჩვენებია y \u003d f "(x) გრაფიკი - f (x) ფუნქციის წარმოებული, განსაზღვრული ინტერვალზე (-8; 7). იპოვეთ f (x) ფუნქციის მინიმალური რაოდენობა. ინტერვალით [-4; 3].

თუ რომელიმე ინტერვალში ფუნქციის გრაფიკი არის უწყვეტი ხაზი, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისეთი ხაზი, რომელიც შეიძლება ფურცლიდან ფანქრის გარეშე დაიხაზოს, მაშინ ასეთ ფუნქციას ამ ინტერვალზე უწყვეტი ეწოდება. ასევე არის ფუნქციები, რომლებიც არ არის უწყვეტი. მაგალითად, განვიხილოთ ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც ინტერვალებზე და [c; b] არის უწყვეტი, მაგრამ წერტილში
x = c არის უწყვეტი და ამიტომ არ არის უწყვეტი მთელ სეგმენტზე. ყველა ფუნქცია, რომელსაც ჩვენ ვსწავლობთ სკოლის მათემატიკის კურსზე, არის უწყვეტი ფუნქციები თითოეულ ინტერვალზე, რომელზედაც ისინი განისაზღვრება.

გაითვალისწინეთ, რომ თუ ფუნქციას აქვს წარმოებული რაღაც ინტერვალზე, მაშინ ის უწყვეტია ამ ინტერვალზე.

საპირისპირო არ შეესაბამება სიმართლეს. ფუნქციას, რომელიც უწყვეტია ინტერვალზე, შეიძლება არ ჰქონდეს წარმოებული ამ ინტერვალის ზოგიერთ წერტილში. მაგალითად, ფუნქცია
y = | ჟურნალი 2 x| უწყვეტია x > 0 ინტერვალზე, მაგრამ x = 1 წერტილში მას არ გააჩნია წარმოებული, იმის გამო, რომ ამ ეტაპზე ფუნქციის გრაფიკს არ აქვს ტანგენსი.

განვიხილოთ გრაფიკების გამოსახვა წარმოებულის გამოყენებით.

დახაზეთ ფუნქცია f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

გადაწყვეტილება.

1) ეს ფუნქცია განსაზღვრულია ყველა x ∈ R-სთვის.

2) წარმოებულის გამოყენებით იპოვეთ განსახილველი ფუნქციისა და მისი უკიდურესი წერტილის ერთფეროვნების ინტერვალები. წარმოებული არის f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. იპოვეთ სტაციონარული წერტილები:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, საიდანაც x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

წარმოებულის ნიშნის დასადგენად, ჩვენ ვყოფთ კვადრატულ ტრინომს 3x 2 - 4x + 1 ფაქტორებად:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). ამიტომ, x ინტერვალებზე< 1/3 и х >1 წარმოებული დადებითია; ამიტომ ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალებზე.

წარმოებული უარყოფითია 1/3-ზე< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

წერტილი x 1 \u003d 1/3 არის მაქსიმალური წერტილი, რადგან ფუნქცია მცირდება ამ წერტილის მარჯვნივ და იზრდება მარცხნივ. ამ ეტაპზე ფუნქციის მნიშვნელობა არის f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

მინიმალური წერტილი არის წერტილი x 2 \u003d 1, რადგან ფუნქცია მცირდება ამ წერტილის მარცხნივ და იზრდება მარჯვნივ; მისი მნიშვნელობა ამ მინიმალურ წერტილში არის f(1) = 0.

3) გრაფიკის აგებისას ჩვეულებრივ გვხვდება გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. ვინაიდან f(0) = 0, გრაფიკი გადის საწყისში. f(0) = 0 განტოლების ამოხსნით ვპოულობთ გრაფიკის x ღერძთან გადაკვეთის წერტილებს:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, საიდანაც x \u003d 0, x \u003d 1.

4) უფრო ზუსტი შედგენისთვის, ვიპოვოთ ფუნქციის მნიშვნელობები კიდევ ორ წერტილში: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) კვლევის შედეგების გამოყენებით (პუნქტები 1 - 4), ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

ფუნქციის გამოსათვლელად, ჩვეულებრივ, პირველ რიგში გამოიკვლიეთ ამ ფუნქციის თვისებები მისი წარმოებულის გამოყენებით 1-ლი პრობლემის გადაჭრის სქემის მსგავსი სქემის მიხედვით.

ამრიგად, ფუნქციის თვისებების შესწავლისას აუცილებელია იპოვოთ:

1) მისი განსაზღვრის არეალი;

2) წარმოებული;

3) სტაციონარული წერტილები;

4) მატებისა და შემცირების ინტერვალები;

5) ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის მნიშვნელობები ამ წერტილებში.

კვლევის შედეგები მოხერხებულად არის ჩაწერილი ცხრილის სახით. შემდეგ ცხრილის გამოყენებით შექმენით ფუნქციის გრაფიკი. უფრო ზუსტი შედგენისთვის ჩვეულებრივ გვხვდება მისი გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან და, საჭიროების შემთხვევაში, გრაფიკის კიდევ რამდენიმე წერტილი.

თუ ჩვენ წინაშე დგას ლუწი ან კენტი ფუნქცია, მაშინ for მისი გრაფიკის აგებისას, საკმარისია გამოვიკვლიოთ თვისებები და ავაშენოთ მისი გრაფიკი x\u003e 0-სთვის, შემდეგ კი სიმეტრიულად ასახოთ y-ღერძის (წარმოშობის) მიმართ. მაგალითად, f(x) = x + 4/x ფუნქციის ანალიზით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ეს ფუნქცია კენტია: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). გეგმის ყველა პუნქტის დასრულების შემდეგ, ჩვენ ვაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს x\u003e 0-სთვის, ხოლო ამ ფუნქციის გრაფიკს x-სთვის.< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 წარმოშობასთან შედარებით.

ფუნქციების შედგენის ამოცანების გადაჭრის სიმოკლეობისთვის, მსჯელობის უმეტესი ნაწილი ხორციელდება ზეპირად.

ჩვენ ასევე აღვნიშნავთ, რომ ზოგიერთი პრობლემის გადაჭრისას შეიძლება შეგვხვდეს ფუნქციის შესწავლის აუცილებლობა არა განსაზღვრების მთელ დომენზე, არამედ მხოლოდ გარკვეულ ინტერვალზე, მაგალითად, თუ დაგჭირდებათ, ვთქვათ, ფუნქციის დახატვა f(x) = 1 + 2x 2 - x 4 სეგმენტზე [-1; 2].

საიტი, მასალის სრული ან ნაწილობრივი კოპირებით, საჭიროა წყაროს ბმული.

ცვლადი ე.წ ფუნქციაცვლადი , თუ თითოეული სწორი მნიშვნელობა შეესაბამება ერთ მნიშვნელობას . ცვლადი მას ჰქვია დამოუკიდებელი ცვლადიან არგუმენტიფუნქციები.

ყველა არგუმენტის მნიშვნელობების ნაკრები, რომლებისთვისაც ფუნქცია იღებს გარკვეულ რეალურ მნიშვნელობებს, ეწოდება განმარტების სფეროამ ფუნქციას. ფუნქციის ყველა მნიშვნელობის სიმრავლე ეწოდება მისი დიაპაზონი.

ფუნქციის ფარგლები და ფარგლები ვსიმბოლური
და
შესაბამისად. დომენი
დაურეკა სიმეტრიული ნაკრებითუ თითოეულ ელემენტთან ერთად ის ასევე შეიცავს საპირისპირო ელემენტს (
).

გამოიკვლიეთ ფუნქცია ლუწია თუ კენტი.

ფუნქცია
დაურეკა თუნდაც

ყველასთვის
.

ფუნქცია ვდაურეკა კენტი, თუ მისი დომენი არის
არის სიმეტრიული სიმრავლე და თანასწორობა
ყველასთვის
.

ლუწი ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია y ღერძის მიმართ ოიდა კენტი ფუნქციის გრაფიკი საწყისთან შედარებით. ამიტომ, თუ შესასწავლი ფუნქცია არის ლუწი ან კენტი, მაშინ საკმარისია მისი შესწავლა არგუმენტის დადებითი მნიშვნელობებისთვის მისი განმარტების სფეროდან.

გამოიკვლიეთ ფუნქცია პერიოდულია თუ არა.

Რამოდენიმე
დაურეკა პერიოდული T პერიოდით (
), თუ რომელიმე
შესრულებული
და
.

ფუნქცია ვდაურეკა პერიოდული პერიოდით T, თუ
- პერიოდული ნაკრები პერიოდით თდა ნებისმიერისთვის
თანასწორობა
.

პერიოდული სქემა პერიოდით თფუნქცია გადადის თავისთავად, როდესაც გადაინაცვლებს თ x-ღერძის გასწვრივ.

პირდაპირ
ზედაპირზე
დაურეკა ვერტიკალური ასიმპტოტიფუნქციები
, თუ ერთ-ერთი ცალმხრივი ლიმიტი
ან
უდრის
.

ამრიგად, პირდაპირი
არის ფუნქციის ვერტიკალური ასიმპტოტა
თუ წერტილი - მეორე სახის წყვეტის წერტილი ფუნქციისთვის
.

გამოიკვლიეთ ფუნქციის ქცევა უსასრულობაში და იპოვეთ მისი ჰორიზონტალური და ირიბი ასიმპტოტები.

პირდაპირ
დაურეკა ირიბი ასიმპტოტიფუნქციის გრაფიკი
ზე
(
), თუ
ზე
(
).

თეორემა 1.ირიბი ასიმპტოტის არსებობისთვის
ზე
ფუნქციები
საჭირო და საკმარისი
დაკმაყოფილდა პირობები:

1.
,
,

2.
,
.

იპოვეთ ექსტრემალური წერტილები და ფუნქციის გაზრდისა და შემცირების ინტერვალები.

ფუნქცია
დაურეკა იზრდება(მცირდება) ზე
, თუ რომელიმესთვის
უთანასწორობიდან
მიჰყვება უთანასწორობას
(
).

გაზრდის და კლების ფუნქციები ეწოდება ერთფეროვანი.

თეორემა 2(საკმარისი პირობა ერთფეროვნებისთვის). დაუშვით ფუნქცია
განსაზღვრული და უწყვეტი
და დიფერენცირებადი მიერ
. Თუ
(
), შემდეგ
იზრდება (მცირდება)
.

Წერტილი
დაურეკა მაქსიმალური ქულა (მინიმალური ქულა) ფუნქციები
თუ ყველა პუნქტში , საკმარისად ახლოს პუნქტთან
(
).

მაქსიმუმის (მინიმუმის) წერტილში ფუნქციის მნიშვნელობა ეწოდება მაქსიმუმ (მინიმალური) ფუნქციები.

Წერტილი
დაურეკა მკაცრი მაქსიმალური წერტილი (მკაცრი მინიმუმი) ფუნქციები
თუ ყველა პუნქტში , საკმარისად ახლოს პუნქტთან და მისგან განსხვავებული უთანასწორობა
(
).

ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში დაურეკა მკაცრი მაქსიმუმი (მკაცრი მინიმუმი) ფუნქციები.

მაქსიმალური და მინიმალური ქულები ეწოდება ექსტრემალური წერტილებიდა მათში ფუნქციის მნიშვნელობებია უკიდურესობებიფუნქციები.

თეორემა 3(აუცილებელი ექსტრემალური მდგომარეობა). თუ ფუნქცია
აქვს წერტილში ექსტრემუმი, მაშინ ფუნქციის წარმოებული ამ ეტაპზე ნულის ტოლია ან არ არსებობს.

Წერტილი დაურეკა სტაციონარული წერტილიფუნქციები
, თუ
. Წერტილი დაურეკა კრიტიკული წერტილიფუნქციები
, თუ
ან არ არსებობს.

მე-3 თეორემადან გამომდინარეობს, რომ მხოლოდ კრიტიკული წერტილები შეიძლება იყოს ექსტრემალური წერტილები. საპირისპირო ყოველთვის არ არის მართალი.

თეორემა 4(საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. პირველი წესი). მოდით წერტილი
ფუნქციის წარმოებული
ქრება და ცვლის ნიშანს ამ წერტილის გავლისას, შემდეგ წერტილს არის ფუნქციის უკიდურესი წერტილი და თუ:

1)
ზე
და
ზე
, მაშინ
- მკაცრი მაქსიმალური წერტილი;

2)
ზე
და
ზე
, მაშინ
არის მკაცრი მინიმალური წერტილი.

თეორემა 5(საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის. მეორე წესი). თუ წერტილში
ფუნქციის პირველი წარმოებული
უდრის ნულს, ხოლო მეორე წარმოებული არის არანულოვანი, მაშინ - ექსტრემალური წერტილი და:

1) არის მაქსიმალური ქულა, თუ
;

2) არის მინიმალური ქულა, თუ
.

უწყვეტი ჩართული ფუნქციისთვის უკიდურესი წერტილების პოვნის ალგორითმი
:

მოდი ვიპოვოთ კრიტიკული წერტილები
ფუნქციები
ზე
. მოდით დავალაგოთ ისინი ზრდადი თანმიმდევრობით: იზიარებენ
ინტერვალებით
,
,…,
. თითოეულ მათგანში
, ის მუდმივი ნიშნისაა (დადებითი ან უარყოფითი). წარმოებულის ნიშნის დასადგენად ინტერვალში, აუცილებელია მისი ნიშნის განსაზღვრა ინტერვალის ნებისმიერ წერტილში. შემდეგ, წარმოებულის ნიშნის შეცვლით ერთი ინტერვალიდან მეორეზე გადასვლისას, მე-4 თეორემის მიხედვით განვსაზღვრავთ უკიდურეს წერტილებს.

ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექილობის მიმართულებების და გადახრის წერტილების განსაზღვრა.

დაუშვით ფუნქცია
დიფერენცირებადი მიერ
. შემდეგ არის ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი
ნებისმიერ მომენტში
,
და ეს ტანგენტები არ არიან ღერძის პარალელურად
.

ფუნქცია
დაურეკა ამოზნექილი (ქვემოთ) ზე
თუ ფუნქციის გრაფიკი შიგნით არის
არ დევს მის რომელიმე ტანგენტს ზემოთ (არა ქვემოთ).

თეორემა 6(საკმარისი პირობაა ამოზნექილისთვის). დაუშვით ფუნქცია
ორმაგად დიფერენცირებადი on
. მაშინ თუ
(
) ზე
, მაშინ ფუნქცია ამოზნექილია ქვემოთ (ზემოთ).
.

Წერტილი დაურეკა დახრის წერტილიფუნქციები
თუ ამ წერტილის გავლისას ფუნქციის ამოზნექილობის მიმართულება იცვლება
.

თეორემა 7(აუცილებელი ფლექციის პირობა). თუ გადახრის წერტილში ფუნქციები
მეორე წარმოებული არსებობს და არის უწყვეტი, მაშინ ის ამ ეტაპზე ნულის ტოლია.

თეორემა 8(საკმარისი პირობა ფლექსისთვის). Თუ
და

1)
ცვლის ნიშანს გავლისას , მაშინ - ფუნქციის დახრის წერტილი
;

2)
არ იცვლის ნიშანს გავლისას , მაშინ არ არის ფუნქციის გადახრის წერტილი
.

ფუნქციის გრაფიკის შედგენა.

განრიგიფუნქციები
არის სიბრტყეში წერტილების ერთობლიობა, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს მოცემულ ფუნქციურ დამოკიდებულებას.

მაგალითი 7.1.ექსპლორ ფუნქცია

გადაწყვეტილება.

, ვინაიდან ეს ფუნქცია მრავალწევრია.

ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციას ერთფეროვნებისთვის, ვპოულობთ უკიდურეს წერტილებს.

ჯერ ვიპოვოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

, ვინაიდან წარმოებულიც მრავალწევრია.


ან
, ან
. აქედან გამომდინარე,
,
,
არის ფუნქციის კრიტიკული წერტილები.

ჰ მოვათავსოთ ფუნქციის კრიტიკული წერტილები რეალურ წრფეზე და განვსაზღვროთ ნიშნები წარმოებული

Შორის
,
ფუნქცია მცირდება, ინტერვალებით
,
ფუნქცია იზრდება.

ქულები
და
არის ფუნქციის მინიმალური ქულები, .

Წერტილი
არის ფუნქციის მაქსიმალური წერტილი,
.

ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციას ამოზნექის მიმართულებისთვის, ვპოულობთ დახრის წერტილებს.



.

დავდოთ წერტილები X 1 და X 2 რიცხვით ხაზზე და განსაზღვრეთ ნიშნები მეორე წარმოებულითითოეულ მიღებულ ინტერვალში.

ჰ და მათ შორის
და
ფუნქცია ამოზნექილია ქვემოთ, ინტერვალზე
ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ. ქულები
და
არის გადახრის წერტილები.

მაგალითი 7.2.ექსპლორ ფუნქცია
მონოტონურობაზე და ამოზნექილობის მიმართულებაზე იპოვნეთ უკიდურესი და გადახრის წერტილები.

გადაწყვეტილება.

იპოვნეთ ფუნქციის დომენი.

:

 .

2. ვიკვლევთ ფუნქციას ერთფეროვნებისთვის, ვპოულობთ უკიდურეს წერტილებს.

, .



. აქედან გამომდინარე,
– ფუნქციის კრიტიკული წერტილი.

ჩვენ გამოვსახავთ ფუნქციის დომენს და კრიტიკულ წერტილს რეალურ ხაზზე. მოდით განვსაზღვროთ წარმოებულის ნიშნები თითოეულ მიღებულ ინტერვალზე.

ჰ და მათ შორის
,
ფუნქცია მცირდება, ინტერვალზე
ფუნქცია იზრდება. Წერტილი
- მაქსიმალური ქულა,
.

3. დაადგინეთ ფუნქციის გრაფიკის ამოზნექის მიმართულება და იპოვეთ გადახრის წერტილები.



.

თ ქულები
- შესაძლო გადახრის წერტილი. განვსაზღვროთ მეორე წარმოებულის ნიშნები ინტერვალებში
,
,
.

Შორის
,
ფუნქცია ამოზნექილია ზემოთ, ინტერვალზე
ფუნქცია ამოზნექილია ქვემოთ. Წერტილი
- დახრის წერტილი.

მაგალითი 7.3.ჩაატარეთ ფუნქციის სრული შესწავლა
და შეადგინე იგი.

გადაწყვეტილება. 1.
.

2. ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი.

3. ფუნქცია არ არის პერიოდული.

4. იპოვეთ გრაფიკის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან და მუდმივობის ინტერვალებთან. O ღერძი Xგრაფიკი არ იკვეთება, რადგან
ყველასთვის
. O ღერძი ზე:
,
.

ზე
,
ზე
.

5. ფუნქცია უწყვეტია განსაზღვრების დომენზე, ვინაიდან ელემენტარულია,
- რღვევის წერტილი. მოდით გამოვიკვლიოთ ხარვეზის ბუნება:

,
.

აქედან გამომდინარე,
– მეორე სახის შეწყვეტის წერტილი, სწორი ხაზი
არის ფუნქციის გრაფიკის ვერტიკალური ასიმპტოტი.

6. ვსწავლობთ ფუნქციის ქცევას
და ზე
:

,
. ამიტომ, სწორი ხაზი
არის ფუნქციის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი at
.

როგორც
, შემდეგ სხვა ირიბი ასიმპტოტები ზე
არა.

გაარკვიეთ არის თუ არა ირიბი ასიმპტოტები ამისთვის
:

. ამიტომ, ზე
ირიბი ასიმპტოტები არ არსებობს.

7. ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციას ერთფეროვნებისა და ექსტრემისთვის.

,

- მინიმალური ქულა
- მინიმალური.

8. ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციას ამოზნექილობისა და დახრის მიმართულებისთვის.

=

.

ზე
,წერტილი არ არსებობს
.არ არის გადახრის წერტილები.

9. ავაშენოთ ფუნქციის გრაფიკი (სურ. 4).

სურათი 4 - ილუსტრაცია მაგალითად 7.3.

მაგალითი 7.4.ექსპლორ ფუნქცია
და შეადგინე იგი.

გადაწყვეტილება.მოდით გამოვიკვლიოთ ეს ფუნქცია.

,
.

ჩვენ ვიკვლევთ ფუნქციის ქცევას უსასრულობაში და ვპოულობთ ჰორიზონტალურ და ირიბ ასიმპტოტებს:

როგორც
, მაშინ არ არსებობს ჰორიზონტალური ასიმპტოტები.

,

ამრიგად, არსებობს უნიკალური ირიბი ასიმპტოტი

ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციას ერთფეროვნებისთვის და ვპოულობთ უკიდურესობას:

.

დან
უნდა
, სად
,
.

ინტერვალში

, შესაბამისად, ფუნქცია იზრდება ამ ინტერვალში; in

, ანუ ფუნქცია მცირდება. ამიტომ, წერტილი
არის მაქსიმალური ქულა:
. ინტერვალში

, შესაბამისად, ფუნქცია მცირდება ამ ინტერვალზე; in

, ანუ ფუნქცია იზრდება. წერტილში
ჩვენ გვაქვს მინიმუმი:
.

ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის გრაფიკს ამოზნექის მიმართულებისთვის და განვსაზღვრავთ გადახრის წერტილებს. ამისათვის ჩვენ ვპოულობთ

ცხადია, ინტერვალში

მაშასადამე, ამ ინტერვალში მრუდი ამოზნექილია ზემოთ; ინტერვალში

, ანუ, ამ ინტერვალში, მრუდი ამოზნექილია ქვემოთ. წლიდან
ფუნქცია არ არის განსაზღვრული, მაშინ არ არის დახრის წერტილი.

ფუნქციის გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. 5.

სურათი 5 - ილუსტრაცია მაგალითად 7.3.

ფუნქციის გრაფიკის დახატვის ამოცანის გადაჭრის ალგორითმი.

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

3.იპოვეთ სტაციონარული წერტილები.

4. განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშანი მიღებულ ინტერვალებზე.

5. ერთფეროვნების ინტერვალების განსაზღვრა.

6. დაადგინეთ უკიდურესობების წერტილები და იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა ამ წერტილებში.

7. გააკეთე მაგიდა.

8. იპოვეთ დამატებითი ქულები.

9. ფუნქციის გრაფიკის დახატვა.

Მაგალითად.გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და დახაზეთ მისი გრაფიკი.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , შემდეგ ფუნქცია იზრდება;

შემდეგ ფუნქცია მცირდება;

ეს ფუნქცია იზრდება;

6. - მაქსიმალური ქულა, რადგან წარმოებული შეიცვალა ნიშანი +-დან --მდე;

მინიმალური ქულა, რადგან წარმოებულმა შეცვალა ნიშანი --დან +-მდე.

X
	+		-		+

8. დამატებითი ქულები:

9. გრაფიკის აგება.

2.3 . საკონტროლო სამუშაოების ვარიანტები.

გამოცდა No1 თემაზე „წარმოებული“ B-1

ა ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

გ ) f(x)= 2x cosx,

ა) f(x)= 5 3x-4 ;

ბ) f(x) = sin(4x-7);

დ) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x).

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა ფუნქციის გრაფიკზე f (x) \u003d 4 - x 2 x 0 \u003d -3 წერტილში.

აბსცისის წერტილში x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x აბსცისის წერტილში x 0 \u003d -2.

6. სხეულის მოძრაობის განტოლებას აქვს ფორმა s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. იპოვეთ სხეულის სიჩქარე მოძრაობის დაწყებიდან 4 წამის შემდეგ.

7.

No1 გამოცდა თემაზე „წარმოებული“ B-2

ა ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

გ ) f(x)=2x sinx-1,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f (x) \u003d 4 2 x -1;

ბ) f(x) = cos(4x+5);

დ) f(x) = +2x.

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა ფუნქციის გრაფიკზე f (x) \u003d - x 4 + x 3 x 0 \u003d - 1 წერტილში.

4. რა წერტილშია ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსი

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 x ღერძის პარალელურად?

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 აბსცისის წერტილში x 0 \u003d 2.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. დროის რომელ მომენტში იქნება სხეულის სიჩქარე 20-ის ტოლი? (კოორდინატი იზომება მეტრებში, დრო - წამებში).

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

No1 გამოცდა თემაზე „წარმოებული“ B-3

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

ბ) ;

in) f(x)

გ ) f(x)= 3x სინქსი,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f (x) \u003d 2 5 x +3;

ბ) f(x) = сos(0.5x+3);

დ) f(x) = +5x.

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა f (x) ფუნქციის გრაფიკზე \u003d 2x 2 + x x 0 \u003d -2 წერტილში.

4. რომელ წერტილში არის ტანგენსი f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 ფუნქციის გრაფიკზე x-ღერძის პარალელურად?

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 აბსცისის წერტილში x 0 \u003d -1.

6. წერტილი მოძრაობს სწორხაზოვანი კანონის მიხედვით x(t) = 3t 2 + t + 4. დროის რომელ მომენტში იქნება სხეულის სიჩქარე 7-ის ტოლი? (კოორდინატი არის მეტრებში, დრო წამებში)

გამოცდა No1 თემაზე „წარმოებული“ B-4

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

გ ) f(x)=5x cosx+2,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f(x)= 3 4 x- 1 ;

ბ) f(x) = 2sin (2.5x-2);

დ) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა f (x) ფუნქციის გრაფიკზე \u003d 0.5x 2 + 1 x 0 \u003d 3 წერტილში.

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე აბსცისის წერტილში x 0 = 1.

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f(x) = x 2 +2x+1 გ

აბსციზა x 0 = - 2.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 4t + t 2 - . იპოვეთ მისი სიჩქარე t=2 დროს (კოორდინატი იზომება მეტრებში, დრო წამებში).

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

No1 გამოცდა თემაზე „წარმოებული“ B-5

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

ბ) ;

in) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

გ ) f(x)=2x cos3x,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f(x)= 2 3x-4 ;

ბ) f (x) \u003d ცოდვა (3x 2 - 2);

დ) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 ფუნქციის გრაფიკზე x 0 \u003d -1.

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე

f (x) \u003d აბსცისის წერტილში x 0 \u003d - 1.

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 აბსცისის წერტილში x 0 \u003d - 2.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 3t 3 +2t+1. იპოვეთ მისი სიჩქარე დროს t = 2 (კოორდინატი არის მეტრებში, დრო არის წამებში.)

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

გამოცდა No1 თემაზე „წარმოებული“ B-6

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

გ ) f(x)=2x sin5x,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f(x)= 2 3 x+ 5,

ბ) f(x) = сos(3x-1);

დ) f(x) = -2x.

3. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 x 0 \u003d 2 წერტილში.

4. რომელ წერტილში არის ტანგენსი f (x) \u003d x 3 -3x + 1 ფუნქციის გრაფიკზე x-ღერძის პარალელურად?

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 აბსცისის წერტილში x 0 \u003d -1.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 3t 2 -2t+4. დროის რომელ მომენტში იქნება სხეულის სიჩქარე 4? (კოორდინატი არის მეტრებში, დრო წამებში)

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

გამოცდა No3 თემაზე „წარმოებული“ B-7

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

გ ) f(x)=5x cosx+2,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f(x)= 3 4 x + 2 ;

ბ) f(x) = 2sin (5x+2);

დ) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა f (x) ფუნქციის გრაფიკზე \u003d 0.5x 2 -1 x 0 \u003d - 3 წერტილში.

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე აბსცისის წერტილში x 0 = -1.

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 აბსცისის წერტილში x 0 \u003d - 2.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 4t - t 2 + . იპოვეთ მისი სიჩქარე დროს t = 2 (კოორდინატი არის მეტრებში, დრო არის წამებში.)

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

გამოცდა No1 თემაზე „წარმოებული“ B-8

1. იპოვეთ წარმოებულის მნიშვნელობა x 0 წერტილში

ა ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

ბ) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

გ ) f(x)=2x sinx-1,

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

ა) f (x) \u003d 5 2 x +3,

ბ) f(x) = cos(5x 2 +1);

დ) f(x) = +5x.

3. იპოვეთ ტანგენსის დახრილობა f (x) \u003d x 4 -x 2 ფუნქციის გრაფიკზე x 0 \u003d 1 წერტილში.

4. იპოვეთ ფუნქციის გრაფიკზე ტანგენსის დახრის კუთხე

f (x) \u003d აბსცისის წერტილში x 0 \u003d 2.

5. დაწერეთ ფუნქციის გრაფიკის ტანგენსის განტოლება

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x აბსცისის წერტილში x 0 \u003d 2.

6. წერტილი მოძრაობს მართკუთხა კანონის მიხედვით x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. იპოვეთ სხეულის სიჩქარე დროს t = 4 (კოორდინატი იზომება მეტრებში, დრო წამებში).

7. გამოიკვლიეთ ფუნქცია წარმოებულის გამოყენებით და შექმენით გრაფიკი:

ავტორის ინფორმაცია

ოსიპცოვა გალინა პეტროვნა

სამუშაო ადგილი, თანამდებობა:

ქალაქ ვიბორგის MBOU „მე-12 საშუალო სკოლა“, მათემატიკის მასწავლებელი.

ლენინგრადის რეგიონი

გაკვეთილის მახასიათებლები (კლასები)

განათლების დონე:

საშუალო (სრული) ზოგადი განათლება

სამიზნე აუდიტორია:

მასწავლებელი (მასწავლებელი)

კლასები:

ელემენტ(ებ)ი:

Ალგებრა

ელემენტ(ებ)ი:

მათემატიკა

გაკვეთილის მიზანი:

წარმოებულის გამოყენების უნარის ჩამოყალიბება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში.

განავითარეთ ლოგიკური აზროვნება, ანალიზის უნარი, პრობლემის დასმის, გადაჭრის უნარი.

გამოუმუშავეთ თქვენი აზრის გამოხატვის სურვილი.

გაკვეთილის ტიპი:

სწავლის გაკვეთილი და ახალი ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია

კლასში მოსწავლეები:

გამოყენებული სახელმძღვანელოები და სახელმძღვანელოები:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. შევკინი

გამოყენებული მეთოდოლოგიური ლიტერატურა:

მ.კ. პოტაპოვი, A.V. შევკინი "ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი, 10". წიგნი მასწავლებლისთვის. M: „განმანათლებლობა“ 2010 წ.

მეორადი აღჭურვილობა:

კომპიუტერი, დოკუმენტის კამერა, ცხრილი ფუნქციების კვლევის ალგორითმით, დავალების ბარათები.

Მოკლე აღწერა:

1. სისტემურ-აქტივობის მიდგომა ალგებრის გაკვეთილის აგებაში და ანალიზი დაიწყო მე-11 კლასში.

ალგებრის გაკვეთილი და ანალიზი დაიწყო მე-11 კლასში

(UMK: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

გაკვეთილის თემა: "წარმოებულის გამოყენება ფუნქციების გრაფიკების აგებაში"

გაკვეთილის ძირითადი მიზნები:

წარმოებულის გამოყენების უნარის ჩამოყალიბება ფუნქციების შესწავლასა და გამოსახულებაში;

პრობლემის დასმის, გადაჭრის, ლოგიკური აზროვნების, ანალიზის უნარის განვითარება;

აღზარდოს საკუთარი აზრის გამოხატვის სურვილი.

აღჭურვილობა და დარიგებები:კომპიუტერი, დოკუმენტის კამერა, ცხრილი ფუნქციის კვლევის ალგორითმით, დავალების ბარათები.

გაკვეთილების დროს

საგანმანათლებლო საქმიანობის მოტივაცია.

Გამარჯობათ ბიჭებო.

რა ისწავლეთ წინა გაკვეთილებზე? (როგორ გამოვიყენოთ წარმოებული კრიტიკული წერტილების, ფუნქციის ზრდის ინტერვალების, კლების, მისი უკიდურესი, უდიდესი (უმცირესი) მნიშვნელობის საპოვნელად).

ამ გაკვეთილზე ჩვენ გავაგრძელებთ ფუნქციების შესწავლას წარმოებულის გამოყენებით.

ცოდნის განახლება.

ეკრანზე ხედავთ ფუნქციის გრაფიკს y=ვ(x):

ფუნქციის რა თვისებები შეიძლება განისაზღვროს გრაფიკიდან? დაასახელეთ ისინი.

პასუხი: 1) D(f) = R;

2) ფუნქცია უწყვეტია

3) ფუნქცია იზრდება სეგმენტზე [-2; 0.5] და ინტერვალზე და , და, შესაბამისად, f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

ფუნქციის მაქსიმალური ქულები: x მინიმალური ქულები : x=-2 x=3;

4) ფუნქციის უდიდესი მნიშვნელობა არ არსებობს, ყველაზე პატარა არის -2 at = 3;

E(f) = [-2; +∞).

როგორ მოვძებნოთ ფუნქციის უკიდურესი წერტილები? (თუ წარმოებული კრიტიკულ წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს "+"-დან "-", მაშინ ეს წერტილი არის მაქსიმალური წერტილი, თუ წარმოებული კრიტიკულ წერტილში გავლისას ცვლის ნიშანს.

„-“-ზე „+“, მაშინ ეს წერტილი არის მინიმალური წერტილი, თუ წარმოებული არ ცვლის ნიშანს კრიტიკულ წერტილში გავლისას, მაშინ ეს კრიტიკული წერტილი არ არის ექსტრემალური წერტილი.

− ჩამოაყალიბეთ ალგორითმი ფუნქციის გაზრდის, კლების და ექსტრემის ინტერვალების საპოვნელად ზე = ვ(x) მოცემულია ანალიტიკურად.

მოსწავლეები აყალიბებენ, ალგორითმის საფეხურები თანმიმდევრულად იხსნება ეკრანზე.

ალგორითმი.

1. იპოვეთ ფუნქციის დომენი.

2. იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული.

3. იპოვეთ კრიტიკული წერტილები.

4. მონიშნეთ განსაზღვრების სფერო და კრიტიკული წერტილები რეალურ წრფეზე. ინტერვალების განზოგადებული მეთოდის გამოყენებით განსაზღვრეთ წარმოებულის ნიშნები მიღებულ ინტერვალებზე.

5. საკმარისი ნიშნების გამოყენებით იპოვეთ ფუნქციის გაზრდის, კლების და ექსტრემის ინტერვალები.

ახლა შეისწავლეთ ფუნქცია f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

მასწავლებელი წერს დაფაზე, როგორც ამას მოსწავლეები კარნახობენ. მოსწავლეები მუშაობენ რვეულებში.

1. D(f) = R, f(x) არის უწყვეტი D(f)-ზე.

   ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი, არაპერიოდული.

გადაკვეთის წერტილები

x ღერძით: (0; 0) და (-3; 0), რადგან

f(x) = 0, ანუ ⅓x³ + 2x² + 3x = 0

⅓x(x² + 6x + 9) = 0

⅓x (x + 3)² = 0

y ღერძით: (0; 0).

ფუნქციის წარმოებული: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f"(x)) \u003d R

კრიტიკული წერტილები: f "(x) \u003d 0 x \u003d -3, x \u003d -1.

ჩვენ აღვნიშნავთ კრიტიკულ წერტილებს რიცხვითი წრფეზე და განვსაზღვრავთ წარმოებულის ნიშნებს მიღებულ ინტერვალებზე:

f "(x) > 0 on (-∞; -3) და on (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

ვ მაქს= 0 x = -3, f წთ= -4 x = -1-ზე

4) ფუნქციას არ აქვს მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები.

რა გაიმეორე?

როგორ ფიქრობთ შემდეგ დავალებაზე, რომელსაც შემოგთავაზებთ?

ასე რომ, თქვენ გააკეთეთ თქვენი ფუნქციების კვლევა. ახლა კი, კვლევის შედეგების გამოყენებით, დაგჭირდებათ ფუნქცია f (x) \u003d ⅓x³ + 2x² + 3x.

რაიმე სირთულე შეგექმნებათ?

3. სირთულეების, პრობლემების იდენტიფიცირება

მასწავლებელი იწვევს რამდენიმე მოსწავლეს, რომ გაახმოვანონ სირთულეები.

რა დავალების შესრულება მოგიწიათ? (კვლევის მონაცემების გამოყენებით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი).

რატომ გიჭირს? (ფუნქციის შესწავლის მიხედვით გრაფიკების გამოსახვა არ ვიცით).

რას იყენებთ მხატვრული კვლევისთვის? (წარმოებული).

4. სირთულიდან გამოსვლის პროექტის აგება.

მიუთითეთ თქვენი საქმიანობის მიზანი. (ისწავლეთ გრაფიკის დახატვა ფუნქციების შესწავლის გამოყენებით წარმოებულის დახმარებით).

ჩამოაყალიბეთ გაკვეთილის თემა. (წარმოებულის გამოყენება ფუნქციის გრაფიკების გამოსათვლელად).

დაფაზე გამოსახულია გაკვეთილის თემა.

ასე რომ, თქვენ უჭირთ ფუნქციის გრაფიკის შედგენა. რას იყენებდით ადრე ფუნქციის გრაფიკების დასაწერად? (ცხრილები გარკვეული პუნქტებით, რომლებიც ეკუთვნის გრაფიკს).

მაგრამ ხშირად წერტილები არ იძლევა გრაფიკის ობიექტურ სურათს. ახლა კი, ფუნქციის კვლევის ალგორითმის ცოდნით, რა მონაცემებს შეიტანთ ცხრილში? (თქვენ უნდა შეიყვანოთ ფუნქციის შესწავლის შედეგები ცხრილში, შემდეგ დახაზოთ გრაფიკი ცხრილიდან).

5. აშენებული პროექტის განხორციელება

დაფაზე ცარიელი მაგიდა იხსნება:

თქვენ შეისწავლეთ ფუნქცია f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

ჩამოთვალეთ ის ნაბიჯები, რომლებიც გადადგით ფუნქციის შესასწავლად. (ცხრილი ივსება როგორც თქვენ წახვალთ)

ცხრილში მიღებული შედეგები გადატანილია კოორდინატულ სიბრტყეში.

კიდევ რა შეიძლება გაკეთდეს იმისათვის, რომ გრაფიკი უფრო ზუსტი იყოს? (შეგიძლიათ იპოვოთ რამდენიმე დამატებითი წერტილი, რომელიც ეკუთვნის ფუნქციის გრაფიკს).

დაფაზე ჩნდება f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x ფუნქციის გრაფიკი.

თქვენ დახატეთ ფუნქცია.

როგორ გააკეთე ეს? (ჩვენ შევქმენით გრაფიკული ალგორითმი). (კიდევ ერთხელ ვისაუბროთ ფუნქციის შესწავლისა და მისი გრაფიკის აგების ეტაპებზე).

წარმოებულის გამოყენებით გრაფიკის გამოსახვის ალგორითმი..

1. D (f), f(x) უწყვეტობა;
2. f" (x);
3. f "(x) =0, f "(x) არ არსებობს;

დამატებითი ქულები;

6. შეძენილი ცოდნის პირველადი კონსოლიდაცია.

რა უნდა გაკეთდეს ახლა? (თქვენ უნდა ისწავლოთ როგორ გამოიყენოთ ალგორითმი გრაფიკების ასაგებად).

დახატეთ ახლა ფუნქციის გრაფიკი. ვ(x) = X + .

ერთი მოსწავლე მუშაობს დაფაზე და აკეთებს კომენტარს თავის ქმედებებზე, დანარჩენები მუშაობენ რვეულებში.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ∞), f(x) არის უწყვეტი D (f)-ზე.
2. ფუნქციის წარმოებული: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f") = (-∞; 0) U (0; + ∞).

კრიტიკული წერტილები: \u003d 0 x \u003d 2 და x \u003d -2, არ არსებობს წერტილები, რომლებშიც f "() არ არსებობს.

5. დამატებითი ქულები:

6. გრაფიკის ფუნქცია:

შეეცადეთ თავად დახაზოთ გრაფიკი.

ეკრანზე ჩნდება დიაგრამა გადამოწმებისთვის.

7. თვითგამოკვლევით დამოუკიდებელი მუშაობა ნიმუშის მიხედვით

ახლა კი მოდით შევამოწმოთ, თუ როგორ გაიგო თითოეულმა თქვენგანმა, როგორ გამოიყენოს აგებული ალგორითმი.

	ვარიანტი 1. შეისწავლეთ ფუნქცია და დახაზეთ მისი გრაფიკი ვარიანტი 2. ნაწილობრივ ჩატარებული კვლევის მიხედვით ააგეთ ფუნქციის გრაფიკი

მოსწავლეები დამოუკიდებლად ასრულებენ დავალებას, სამუშაოს დასრულების შემდეგ მოსწავლეები ადარებენ მათ სამუშაოს დეტალურ ნიმუშს:

ვარიანტი 1 .

1) D(f)=რ, ფუნქცია უწყვეტია.

2) წ | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; დ(ფ | ) = რ

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

ვარიანტი 2.

1) D(f)=რ, ფუნქცია უწყვეტია.

2) წ¢ = 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; დ(ფ | ) = რ

X 1 = − 1; X 2 = 1

ვის დავალებამ გამოიწვია სირთულე?

− ალგორითმის რომელ საფეხურზეა?

- რა არის პრობლემის მიზეზი?

- ვინ შეასრულა დავალება სწორად?

8. ცოდნის სისტემაში ჩართვა და გამეორება.

ახლა ვნახოთ, გამოცდის რომელ ამოცანებში შეძლებთ მიღებული ცოდნის გამოყენებას.

Პობლემების მოგვარება:

1. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე.

2. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე რგანტოლება = გვაქვს 2 ფესვი, 1 ფესვი, ფესვი არ აქვს?

1) პასუხი: (− ¥; − 4] U )