როდესაც პირველად გავიგე ამ პრინციპის შესახებ, რაღაც მისტიკის განცდა დამეუფლა. როგორც ჩანს, ბუნება იდუმალ ახარისხებს სისტემის მოძრაობის ყველა შესაძლო გზას და ირჩევს მათგან საუკეთესოს.
დღეს მინდა ცოტათი ვისაუბრო ერთ-ერთ ყველაზე თვალსაჩინო ფიზიკურ პრინციპზე - უმცირესი მოქმედების პრინციპზე.
ფონი
გალილეოს დროიდან ცნობილია, რომ სხეულები, რომლებზეც არ მოქმედებს რაიმე ძალები, მოძრაობენ სწორი ხაზებით, ანუ უმოკლესი გზის გასწვრივ. სინათლის სხივები ასევე მოძრაობენ სწორი ხაზებით.არეკვლისას სინათლეც ისე მოძრაობს, რომ ერთი წერტილიდან მეორეში უმოკლეს გზაზე მოხვდება. სურათზე უმოკლესი გზა იქნება მწვანე ბილიკი, რომლის დაცემის კუთხე ტოლია არეკვლის კუთხის. ნებისმიერი სხვა გზა, როგორიცაა წითელი, უფრო გრძელი იქნება.
ამის დამტკიცება მარტივია სარკის მოპირდაპირე მხარეს სხივების ბილიკების უბრალოდ ასახვით. ისინი გამოსახულია წერტილოვანი ხაზებით სურათზე.
ჩანს, რომ მწვანე ბილიკი ACB იქცევა სწორ ხაზად ACB'. და წითელი ბილიკი იქცევა გატეხილ ხაზად ADB', რომელიც, რა თქმა უნდა, მწვანეზე გრძელია.
1662 წელს პიერ ფერმამ თქვა, რომ სინათლის სიჩქარე მკვრივ ნივთიერებაში, როგორიცაა მინა, ჰაერზე ნაკლებია. მანამდე საყოველთაოდ მიღებული ვერსია იყო დეკარტი, რომლის მიხედვითაც სინათლის სიჩქარე მატერიაში ჰაერზე მეტი უნდა იყოს, რათა მივიღოთ გარდატეხის სწორი კანონი. ფერმატისთვის არაბუნებრივი ჩანდა ვარაუდი, რომ სინათლეს უფრო მჭიდრო გარემოში შეეძლო მოძრაობა უფრო სწრაფად, ვიდრე იშვიათ გარემოში. ამიტომ, მან ჩათვალა, რომ ყველაფერი ზუსტად საპირისპიროა და დაამტკიცა საოცარი რამ - ამ ვარაუდით, სინათლე ირღვევა ისე, რომ მინიმალურ დროში მიაღწიოს დანიშნულების ადგილს.
ნახატზე ისევ მწვანე ფერი გვიჩვენებს გზას, რომელსაც სინათლის სხივი რეალურად გადის. წითლად მონიშნული გზა უმოკლესია, მაგრამ არა უსწრაფესი, რადგან შუქს შუშაში უფრო გრძელი გზა აქვს გასავლელი და მასში მისი სიჩქარე უფრო ნელია. ყველაზე სწრაფი არის სინათლის სხივის რეალური გზა.
ყველა ეს ფაქტი ვარაუდობდა, რომ ბუნება მოქმედებს რაღაც რაციონალურად, სინათლე და სხეულები მოძრაობენ ყველაზე ოპტიმალურად, რაც შეიძლება ნაკლებ ძალისხმევას ხარჯავენ. მაგრამ რა იყო ეს ძალისხმევა და როგორ გამოვთვალოთ ისინი, საიდუმლო დარჩა.
1744 წელს მაუპერტუისმა შემოიტანა „მოქმედების“ კონცეფცია და ჩამოაყალიბა პრინციპი, რომლის მიხედვითაც ნაწილაკების ნამდვილი ტრაექტორია განსხვავდება ნებისმიერი სხვასგან იმით, რომ მისთვის მოქმედება მინიმალურია. თუმცა, თავად მაუპერტუისმა ვერ მისცა მკაფიო განმარტება, თუ რას უდრის ეს მოქმედება. უმცირესი მოქმედების პრინციპის მკაცრი მათემატიკური ფორმულირება შეიმუშავეს სხვა მათემატიკოსებმა - ეილერმა, ლაგრანჟმა და საბოლოოდ მისცა უილიამ ჰამილტონმა:
მათემატიკური ენაზე უმცირესი მოქმედების პრინციპი საკმაოდ მოკლედ არის ჩამოყალიბებული, მაგრამ ყველა მკითხველს არ შეუძლია გაიგოს გამოყენებული აღნიშვნის მნიშვნელობა. მე მინდა ვეცადო ავხსნა ეს პრინციპი უფრო ნათლად და მარტივად.
ფხვიერი სხეული
ასე რომ, წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ ზიხართ მანქანაში ერთ წერტილში და დროის გარკვეულ მომენტში თქვენ გეძლევათ მარტივი დავალება: დროთა განმავლობაში თქვენ უნდა მართოთ მანქანა წერტილამდე.
მანქანის საწვავი ძვირია და, რა თქმა უნდა, გინდა რაც შეიძლება ნაკლები დახარჯო. თქვენი მანქანა დამზადებულია უახლესი სუპერტექნოლოგიების გამოყენებით და შეუძლია აჩქარდეს ან შეანელოს ისე სწრაფად, როგორც გსურთ. თუმცა, ის ისეა შექმნილი, რომ რაც უფრო სწრაფად მიდის, მით მეტ საწვავს მოიხმარს. უფრო მეტიც, საწვავის მოხმარება სიჩქარის კვადრატის პროპორციულია. თუ მართავთ ორჯერ სწრაფად, თქვენ მოიხმართ 4-ჯერ მეტ საწვავს იმავე დროში. სიჩქარის გარდა, საწვავის მოხმარებაზე, რა თქმა უნდა, გავლენას ახდენს მანქანის მასა. რაც უფრო მძიმეა ჩვენი მანქანა, მით მეტ საწვავს მოიხმარს. ჩვენი მანქანის საწვავის მოხმარება დროის ყოველ მომენტში არის, ე.ი. ზუსტად უდრის მანქანის კინეტიკურ ენერგიას.
მაშ, როგორ გჭირდებათ მანქანა, რომ დროულად მიხვიდეთ წერტილამდე და გამოიყენოთ რაც შეიძლება ნაკლები საწვავი? გასაგებია, რომ თქვენ უნდა გაიაროთ სწორი ხაზი. გავლილი მანძილის მატებასთან ერთად საწვავი მოიხმარება ზუსტად არანაკლებ. და შემდეგ შეგიძლიათ აირჩიოთ სხვადასხვა ტაქტიკა. მაგალითად, შეგიძლიათ სწრაფად მიხვიდეთ პუნქტში წინასწარ და უბრალოდ დაჯდეთ, დაელოდოთ დადგომას. მოძრაობის სიჩქარე და, შესაბამისად, საწვავის მოხმარება დროის თითოეულ მომენტში მაღალი იქნება, მაგრამ ასევე შემცირდება მართვის დრო. შესაძლოა ამ შემთხვევაში საწვავის საერთო მოხმარება არც ისე დიდი იყოს. ან შეგიძლიათ იაროთ თანაბრად, იგივე სიჩქარით, ისე, რომ აუჩქარებლად ზუსტად მივიდეთ დროის მომენტში. ან გზის ნაწილი ჩქარა, ნაწილი კი ნელა. რა არის საუკეთესო გზა?
გამოდის, რომ მართვის ყველაზე ოპტიმალური, ყველაზე ეკონომიური გზა არის მუდმივი სიჩქარით მართვა, როგორიცაა ზუსტად დანიშნულ დროს ადგილზე ყოფნა. ნებისმიერი სხვა ვარიანტი მოიხმარს მეტ საწვავს. შეგიძლიათ თავად შეამოწმოთ რამდენიმე მაგალითით. მიზეზი ის არის, რომ საწვავის მოხმარება იზრდება სიჩქარის კვადრატთან ერთად. ამიტომ, სიჩქარის მატებასთან ერთად, საწვავის მოხმარება იზრდება უფრო სწრაფად, ვიდრე მცირდება მართვის დრო და ასევე იზრდება საწვავის მთლიანი მოხმარება.
ამრიგად, ჩვენ გავარკვიეთ, რომ თუ მანქანა ნებისმიერ დროს მოიხმარს საწვავს მისი კინეტიკური ენერგიის პროპორციულად, მაშინ ყველაზე ეკონომიური გზა წერტილიდან წერტილამდე ზუსტად დანიშნულ დროს არის მოძრაობა თანაბრად და სწორი ხაზით, ისევე როგორც სხეული მოძრაობს მასზე მოქმედი ძალების არარსებობის შემთხვევაში. მართვის ნებისმიერი სხვა გზა გამოიწვევს საწვავის მთლიან მოხმარებას.
გრავიტაციის ველში
ახლა ცოტა გავაუმჯობესოთ ჩვენი მანქანა. მოდი მას რეაქტიული ძრავები მივამაგროთ, რათა თავისუფლად იფრინოს ნებისმიერი მიმართულებით. ზოგადად, დიზაინი იგივე დარჩა, ამიტომ საწვავის მოხმარება კვლავ მკაცრად პროპორციული დარჩა მანქანის კინეტიკური ენერგიის მიმართ. თუ დავალება ახლა მოცემულია დროში გასვლა და t მომენტში მისვლა, მაშინ ყველაზე ეკონომიური გზა, როგორც ადრე, რა თქმა უნდა, გაფრინდება ერთნაირად და სწორი ხაზით, რათა მივიდეს ზუსტად წერტილში. დანიშნული დრო თ. ეს ისევ შეესაბამება სხეულის თავისუფალ მოძრაობას სამგანზომილებიან სივრცეში.
თუმცა, მანქანის უახლეს მოდელში უჩვეულო მოწყობილობა დამონტაჟდა. ამ ერთეულს შეუძლია საწვავის წარმოება ფაქტიურად არაფრისგან. მაგრამ დიზაინი ისეთია, რომ რაც უფრო მაღალია მანქანა, მით მეტ საწვავს გამოიმუშავებს მოწყობილობა ნებისმიერ დროს. საწვავის გამომუშავება პირდაპირპროპორციულია იმ სიმაღლისა, რომელზეც ამჟამად მდებარეობს მანქანა. ასევე, რაც უფრო მძიმეა მანქანა, მით უფრო მძლავრია მასზე დაყენებული მოწყობილობა და უფრო მეტ საწვავს გამოიმუშავებს და გამომუშავება პირდაპირპროპორციულია მანქანის მასის. აპარატი ისეთი აღმოჩნდა, რომ საწვავის გამომუშავება ზუსტად უდრის (სად არის თავისუფალი ვარდნის აჩქარება), ე.ი. მანქანის პოტენციური ენერგია.
საწვავის მოხმარება დროის თითოეულ მომენტში უდრის კინეტიკურ ენერგიას გამოკლებული მანქანის პოტენციური ენერგია (მინუს პოტენციურ ენერგიას, რადგან დამონტაჟებული მანქანა აწარმოებს საწვავს და არ ხარჯავს). ახლა ჩვენი ამოცანაა მანქანის ყველაზე ეკონომიური მოძრაობა წერტილებს შორის და ეს უფრო რთული ხდება. მართკუთხა ერთგვაროვანი მოძრაობა ამ შემთხვევაში არ არის ყველაზე ეფექტური. გამოდის, რომ უფრო ოპტიმალურია ცოტათი ასვლა, ცოტა ხნით დაყოვნება, მეტი საწვავის დამუშავების შემდეგ და შემდეგ წერტილამდე დაშვება. ფრენის სწორი ბილიკით, ასვლის გამო საწვავის მთლიანი მოხმარება დაფარავს საწვავის დამატებით ხარჯებს ბილიკის სიგრძის გაზრდისა და სიჩქარის გაზრდისთვის. თუ ფრთხილად გამოვთვალეთ, მანქანისთვის ყველაზე ეკონომიური გზა იქნება პარაბოლაში ფრენა, ზუსტად იმავე ტრაექტორიით და ზუსტად ისეთივე სიჩქარით, როგორიც ქვა დედამიწის მიზიდულობის ველში გაფრინდება.
აქ ღირს განმარტების გაკეთება. რა თქმა უნდა, შესაძლებელია ქვის სროლა წერტილიდან სხვადასხვა გზით ისე, რომ ის მოხვდეს წერტილში. მაგრამ თქვენ უნდა გადააგდოთ ის ისე, რომ გაფრენის შემდეგ ის ზუსტად იმ დროს მოხვდეს წერტილში. სწორედ ეს მოძრაობა იქნება ყველაზე ეკონომიური ჩვენი მანქანისთვის.
ლაგრანგის ფუნქცია და უმცირესი მოქმედების პრინციპი
ახლა ჩვენ შეგვიძლია გადავიტანოთ ეს ანალოგია რეალურ ფიზიკურ სხეულებზე. სხეულებისთვის საწვავის მოხმარების ინტენსივობის ანალოგს ეწოდება ლაგრანგის ფუნქცია ან ლაგრანგული (ლაგრანჟის პატივსაცემად) და აღინიშნება ასოთი. ლაგრანგიანი გვიჩვენებს რამდენ „საწვავს“ მოიხმარს ორგანიზმი მოცემულ დროს. პოტენციურ ველში მოძრავი სხეულისთვის ლაგრანჟის ტოლია მისი კინეტიკური ენერგია მინუს პოტენციური ენერგია.გადაადგილების მთელი დროის განმავლობაში მოხმარებული საწვავის მთლიანი რაოდენობის ანალოგი, ე.ი. მოძრაობის მთელი დროის განმავლობაში დაგროვილი ლაგრანგის მნიშვნელობას ეწოდება "მოქმედება".
უმცირესი მოქმედების პრინციპი არის ის, რომ სხეული ისე მოძრაობს, რომ მოქმედება (რომელიც მოძრაობის ტრაექტორიაზეა დამოკიდებული) მინიმალური იყოს. ამ შემთხვევაში არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ მოცემულია საწყისი და საბოლოო პირობები, ე.ი. სადაც სხეული არის დრო და დრო .
ამ შემთხვევაში სხეულს არ უწევს გადაადგილება ერთგვაროვან გრავიტაციულ ველში, რომელიც ჩვენ ჩავთვალეთ ჩვენი მანქანისთვის. თქვენ შეგიძლიათ განიხილოთ სრულიად განსხვავებული სიტუაციები. სხეულს შეუძლია რეზინის ზოლზე რხევა, ქანქარაზე ქანაობა ან მზის ირგვლივ ფრენა, ყველა ამ შემთხვევაში ის მოძრაობს ისე, რომ მინიმუმამდე დაიყვანოს „საწვავის მთლიანი მოხმარება“ ე.ი. მოქმედება.
თუ სისტემა შედგება რამდენიმე სხეულისგან, მაშინ ასეთი სისტემის ლაგრანგიანი ტოლი იქნება ყველა სხეულის მთლიანი კინეტიკური ენერგიის გამოკლებით ყველა სხეულის მთლიან პოტენციურ ენერგიაზე. და ისევ, ყველა სხეული იმოძრავებს თანმიმდევრულად ისე, რომ მთელი სისტემის ეფექტი ასეთი მოძრაობის დროს მინიმალური იყოს.
არც ისე მარტივი
ფაქტობრივად, ცოტა მოვიტყუე იმით, რომ სხეულები ყოველთვის ისე მოძრაობენ, რომ მინიმუმამდე დაიყვანონ მოქმედება. მიუხედავად იმისა, რომ ძალიან ბევრ შემთხვევაში ეს ასეა, შესაძლებელია ვიფიქროთ სიტუაციებზე, რომლებშიც ქმედება აშკარად არ არის მინიმალური.მაგალითად, ავიღოთ ბურთი და მოვათავსოთ ცარიელ ადგილას. მისგან გარკვეულ მანძილზე ჩვენ ელასტიური კედელი დავაყენეთ. ვთქვათ, გვინდა, რომ გარკვეული დროის შემდეგ ბურთი იმავე ადგილას დასრულდეს. მოცემულ პირობებში, ბურთს შეუძლია ორი განსხვავებული გზით გადაადგილება. პირველი, მას შეუძლია უბრალოდ დარჩეს. მეორეც, შეგიძლიათ კედლისკენ მიიზიდოთ. ბურთი მიაღწევს კედელს, გადმოხტება და დაბრუნდება. გასაგებია, რომ შეგიძლია ისეთი სიჩქარით აწიო, რომ ზუსტად საჭირო დროს დაბრუნდეს.
ბურთის მოძრაობის ორივე ვარიანტი შესაძლებელია, მაგრამ მოქმედება მეორე შემთხვევაში უფრო დიდი იქნება, რადგან მთელი ამ ხნის განმავლობაში ბურთი მოძრაობს არანულოვანი კინეტიკური ენერგიით.
როგორ შეიძლება უმცირესი მოქმედების პრინციპის გადარჩენა, რათა ის მართალი იყოს ასეთ სიტუაციებში? ამაზე ვისაუბრებთ ში.
1. მატერიალური წერტილის კინემატიკა. მატერიალური წერტილი გაგებულია, როგორც ფიზიკური ობიექტი, გეომეტრიულად ექვივალენტური მათემატიკური წერტილის, მაგრამ მასის მქონე. კინემატიკა არის ფიზიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს სხეულების მოძრაობის ტიპებს მოძრაობის მიზეზების გათვალისწინების გარეშე. წერტილის პოზიცია სივრცეში ხასიათდება რადიუსის ვექტორით. წერტილის რადიუს-ვექტორი არის ვექტორი, რომლის დასაწყისი ემთხვევა კოორდინატთა სისტემის საწყისს, ხოლო დასასრული ემთხვევა განხილულ წერტილს. რ = მე x + ჯ y + კზ. სიჩქარე არის სხეულის მიერ გავლილი მანძილი დროის ერთეულზე. ვ(t) = d რ/დტ. ვ(t) = მე dx/dt + ჯ dy/dt + კძ/დტ. აჩქარება არის სიჩქარის ცვლილების სიჩქარე. ა=დ ვ/dt = d2 რ/dt2= მე d2x/dt2 + ჯ d 2 y/dt 2 + კ d 2 z/dt 2 . ა = ა τ + ა n= τ dv/dt + ნ v2/R.
დ რ = ვ dt; დ ვ = ა dt, შესაბამისად ვ = ვ 0 + ატ; რ = რ 2 – რ 1 = ვ 0 ტ + ა t2/2.
2. მატერიალური წერტილის დინამიკა. ნიუტონის კანონები. დინამიკაში ძირითადი ცნებებია მასის და ძალის ცნება. ძალა არის მოძრაობის მიზეზი, ე.ი. სხეულის ძალის გავლენით იძენს სიჩქარეს. ძალა არის ვექტორული სიდიდე. მასა არის სხეულის ინერციის საზომი. მასისა და სიჩქარის ნამრავლს იმპულსი ეწოდება. გვ= მ ვ. მატერიალური წერტილის კუთხური იმპულსი არის ვექტორი ლ = რ * გვ. მატერიალურ წერტილზე მოქმედი ძალის მომენტს ვექტორი ეწოდება მ = რ * ფ. თუ გამონათქვამს განვასხვავებთ კუთხური იმპულსისთვის, მივიღებთ: დ ლ/dt=d რ/dt* გვ + რ*დ გვ/დტ. იმის გათვალისწინებით, რომ დ რ/dt= ვდა ვპარალელურად გვ, ვიღებთ დ ლ/dt= მ.ნიუტონის კანონები.ნიუტონის პირველი კანონი ამბობს, რომ სხეული ინარჩუნებს დასვენების მდგომარეობას ან ერთგვაროვან სწორხაზოვან მოძრაობას, თუ მასზე სხვა ძალები არ მოქმედებს ან მათი მოქმედება კომპენსირდება. ნიუტონის მეორე კანონი ამბობს, რომ იმპულსის ცვლილება დროთა განმავლობაში არის მუდმივი მნიშვნელობა და უდრის მოქმედ ძალას d. გვ/ dt = d / dt (მ ვ) = მდ ვ/dt= ფ.ეს არის ნიუტონის მეორე კანონი დაწერილი დიფერენციალური ფორმით. ნიუტონის მესამე კანონი ამბობს, რომ ორი სხეულის ურთიერთქმედებისას, თითოეული მათგანი მოქმედებს მეორეზე იგივე მნიშვნელობით, მაგრამ მიმართულების საწინააღმდეგო ძალით. ფ 1 = - ფ 2 .
3. მატერიალური წერტილების სისტემის დინამიკა. კონსერვაციის კანონები. მატერიალური წერტილების სისტემა არის მათი სასრული რიცხვის მთლიანობა. სისტემის თითოეულ წერტილზე გავლენას ახდენს შიდა (სხვა წერტილებიდან) და გარე ძალები. დაე m იყოს მასა, r i რადიუსის ვექტორი. x i, y i, z i - კაბელი. მე-მე წერტილი. მატერიალური წერტილების სისტემის იმპულსი არის მატერიალური წერტილების იმპულსების ჯამი, რომლებიც ქმნიან სისტემას: გვ= Σ (i=1,n) გვმე = [ გვ 1 + გვ 2 +…+ გვ n]. მატერიალური წერტილების სისტემის კუთხური იმპულსი არის იმპულსის მომენტების ჯამი, რომლებიც ქმნიან მატერიალური წერტილების სისტემას: ლ = Σ [ ლ i ] = Σ [ რმე * გვმე ]. მატერიალური წერტილების სისტემაზე მოქმედი ძალა განისაზღვრება, როგორც სისტემის წერტილებზე მოქმედი ყველა ძალის ჯამი, სისტემის წერტილებს შორის ურთიერთქმედების ძალების ჩათვლით: ფ = Σ [ ფმე ], სადაც ფმე = ფ i' + Σ(j ≠ i) ფ ji არის ძალა, რომელიც მოქმედებს სისტემის მატერიალურ წერტილზე, რომელიც აღინიშნება i ინდექსით. იგი შედგება გარე ძალისგან ფ i' და შინაგანი ძალა Σ(i ≠ j) [ ფ ji ], რომელიც მოქმედებს წერტილზე სისტემის სხვა წერტილებთან ურთიერთქმედების შედეგად. მაშინ: F = Σ (i=1,n) [ ფ i '] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ ფჯი]. ნიუტონის მესამე კანონის მიხედვით Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [ ფ ji ] = 0, ასე რომ ფ = Σ [ ფმე']. მატერიალური წერტილების სისტემაზე მოქმედი ძალის მომენტი არის სისტემის წერტილებზე გამოყენებული ძალების მომენტების ჯამი. მ= Σ (i) [ მ i ] = Σ (i) [ რმე * ფ i ] = Σ (i) [ რმე * ფმე']. მატერიალური წერტილების სისტემისთვის მოძრაობის განტოლებას აქვს ფორმა d გვ/ dt = Σ = Σ [ ფმე ].
მატერიალური წერტილების სისტემის მასის ცენტრი არის წარმოსახვითი წერტილი რადიუსის ვექტორით რ= 1/mΣ . მისი მოძრაობის სიჩქარე ვ=დ რ/დტ. მაშინ მოძრაობის განტოლება m d ვ/dt= ფ. მატერიალური წერტილების სისტემის მომენტების განტოლება დ ლ/dt= მ. კონსერვაციის კანონები.იზოლირებული სისტემა არის ის, რომელზედაც გავლენას არ ახდენს გარე ძალები. Მასში ფ= 0, ასე რომ დ გვ/dt = 0. შემდეგ გვ= კონსტ. იზოლირებულ სისტემაში გარე ძალების მომენტი მ= 0. ამიტომ, დ ლ/dt = 0, რაც ნიშნავს ლ= კონსტ. მატერიალური წერტილის კინეტიკური ენერგიის ცვლილება, როდესაც ის მოძრაობს ორ პოზიციას შორის, უდრის ძალის მიერ შესრულებულ სამუშაოს. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) ფდ ლან m 0 v 2 /2 + E p \u003d კონსტ.
4. მოძრაობა ცენტრალურ სიმეტრიულ ველში. კეპლერის კანონები. ველს ცენტრალური ეწოდება, თუ მასში არსებული სხეულის პოტენციური ენერგია დამოკიდებულია მხოლოდ r მანძილზე გარკვეულ ფიქსირებულ წერტილამდე. ძალის ფ= - ∂U(r)/ ∂ რ= - dU/dr რ/r, რომელიც მოქმედებს ნაწილაკზე, აბსოლუტური მნიშვნელობით, ასევე დამოკიდებულია მხოლოდ r-ზე და მიმართულია რადიუსის ვექტორის გასწვრივ თითოეულ წერტილზე. ცენტრალურ ველში გადაადგილებისას შენარჩუნებულია სისტემის მომენტი ველის ცენტრთან მიმართებაში. ერთი ნაწილაკების მომენტისთვის მ = [რ*რ]. ვინაიდან M და r ვექტორები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია, M-ის მუდმივობა ნიშნავს, რომ როდესაც ნაწილაკი მოძრაობს, მისი რადიუსის ვექტორი ყოველთვის რჩება იმავე სიბრტყეში - M-ის პერპენდიკულარული სიბრტყე. ამრიგად, ნაწილაკების ტრაექტორია ცენტრალურ ველში მთლიანად დევს. ერთ თვითმფრინავში. მასში პოლარული კოორდინატების r, φ შემოღებით ვწერთ ლაგრანგის ფუნქციას L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r) სახით. ეს ფუნქცია ცალსახად არ შეიცავს φ კოორდინატს. ასეთი კოორდინატისთვის მისი შესაბამისი განზოგადებული იმპულსი p i არის მოძრაობის ინტეგრალი. ამ შემთხვევაში განზოგადებული იმპულსი p φ = mr 2 φ(∙) ემთხვევა მომენტს M z = M, ასე რომ M = mr 2 φ(∙) (1). გაითვალისწინეთ, რომ ერთი ნაწილაკის სიბრტყეზე მოძრაობა ცენტრალურ ველში, ეს კანონი უშვებს მარტივ გეომეტრიულ ინტერპრეტაციას. გამოხატულება 1/2 r r d φ არის სექტორის ფართობი, რომელიც ჩამოყალიბებულია ორი უსასრულოდ მჭიდრო რადიუსის ვექტორებით და ტრაექტორიის რკალის ელემენტით. მისი აღნიშვნისას df, ჩვენ ვწერთ ნაწილაკების იმპულსს სახით M = 2mf, სადაც წარმოებულს f ეწოდება სექტორული სიჩქარე. ამრიგად, იმპულსის კონსერვაცია ნიშნავს სექტორული სიჩქარის მუდმივობას - დროის თანაბარი პერიოდის განმავლობაში, მოძრავი წერტილის რადიუსის ვექტორი აღწერს თანაბარ ფართობებს ( კეპლერის მეორე კანონი). გამოვხატავთ φ(∙) M-ით (1)-დან და ჩანაცვლებით გამოსახულებაში ენერგიად მივიღებთ: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). აქედან გამომდინარე r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) ან, ცვლადების გამოყოფა და ინტეგრირება: t = ∫dr/√(2/m (E – U( რ)) - M 2 /მ 2 რ 2) + კონსტ. გარდა ამისა, ჩაწერით (1) როგორც dφ = M 2 /mr 2 dt, ჩანაცვლებით dt და ინტეგრირებით, ვპოულობთ: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + კონსტ. კეპლერის პირველი კანონი.ყოველი პლანეტა ბრუნავს ელიფსად მზესთან ერთ-ერთ კერაზე. კეპლერის მესამე კანონი.პლანეტების გვერდითი პერიოდების კვადრატები დაკავშირებულია მათი ორბიტების ნახევრად მთავარი ღერძების კუბებად T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .
5. ლაგრანგის ფუნქცია და მატერიალური წერტილების სისტემის ლაგრანგის განტოლებები. მოძრაობის ინტეგრალები. განვიხილოთ მატერიალური წერტილების დახურული სისტემა. მისთვის ლაგრანგის ფუნქციას აქვს ფორმა L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), სადაც T = Σ (a) არის კინეტიკური ენერგია და U არის ნაწილაკების ურთიერთქმედების პოტენციური ენერგია. მაშინ მოძრაობის განტოლებები d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a იღებს m a dv a /dt = - ∂U/∂r a ფორმას. მოძრაობის ამ განტოლებებს ნიუტონის განტოლებებს უწოდებენ. ვექტორი ფ a = - ∂U/∂r a ეწოდება ძალა. თუ მოძრაობის აღსაწერად გამოიყენება არა წერტილების დეკარტეზული კოორდინატები, არამედ თვითნებური განზოგადებული კოორდინატები q i, მაშინ ლაგრანგის ფუნქციის მისაღებად აუცილებელია შესაბამისი ტრანსფორმაციის შესრულება: x a = f(q 1, q 2, .., q s) , x a (∙) = Σ(k ) [∂f a /∂q k (∙)] და ა.შ. ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებით ფუნქცია L= 1 / 2 Σ(a) – U, მივიღებთ ფორმის სასურველ ლაგრანჟის ფუნქციას. L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). მოძრაობის ინტეგრალები.არსებობს განზოგადებული კოორდინატების ისეთი ფუნქციები, რომლებიც ინარჩუნებენ მუდმივ მნიშვნელობებს მოძრაობის დროს, რაც დამოკიდებულია მხოლოდ საწყის პირობებზე. მათ უწოდებენ მოძრაობის ინტეგრალებს. დროის ერთგვაროვნების გამო, dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. ∂L/∂q i ლაგრანჟის განტოლებების მიხედვით d/dt (∂L/∂q i (∙)) ჩანაცვლებით, მივიღებთ dL/dt = Σ(i) ან d/dt (Σ(i) - L) = 0. ეს გვიჩვენებს, რომ რაოდენობა E = Σ(i) – L, რომელსაც ეწოდება ენერგია, არ იცვლება, ე.ი. მოძრაობის ინტეგრალი. სივრცის ჰომოგენურობის გამო უსასრულოდ მცირე გადაცემის ε, როდესაც სისტემის ყველა წერტილი გადაადგილებულია ε = δr, ლაგრანგის ფუნქციის ცვლილება, ტოლია δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], უნდა იყოს ნულის ტოლი, ე.ი. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. ლაგრანგის განტოლებების გამოყენებით ვიღებთ Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. შემდეგ რაოდენობა რ= Σ(a)[ ∂L/∂v a ], რომელსაც ეწოდება იმპულსი, უცვლელი რჩება, ე.ი. მოძრაობის ინტეგრალი. სივრცის იზოტროპიის გამო უსასრულოდ მცირე ბრუნვის დროს δφ კუთხით, ლაგრანგის ფუნქციის ცვლილება ტოლია δL = Σ(a) [∂L/∂r a δ. რ a + ∂L/∂v a δ ვ a] უნდა იყოს ნული. ცვლილების შეტანა ∂L/∂ ვ a = გვ a და ∂L/∂ რ a = გვ a (∙) δφ-ის თვითნებობის გათვალისწინებით, ვიღებთ d/dt Σ(a) [ რა გვ a ] = 0. მნიშვნელობა М = Σ(a) [ რა გვ a ], რომელსაც კუთხოვანი იმპულსი ეწოდება, რჩება მუდმივი, ე.ი. მოძრაობის ინტეგრალი.
6. აბსოლუტურად ხისტი სხეულის დინამიკა. ინერციის ტენსორი. ეილერის განტოლებები. ხისტი სხეული არის მატერიალური წერტილების სისტემა, რომელთა შორის მანძილი მუდმივი რჩება. ხისტი სხეულის მოძრაობის სრული აღწერისთვის, გარდა მისი ერთ-ერთი წერტილის მოძრაობისა, აუცილებელია ვიცოდეთ სხეულის მოძრაობა ამ წერტილთან ახლოს, როგორც დამაგრების წერტილი. დაე, სხეული დაფიქსირდეს O წერტილში. ჩვენ აღვნიშნავთ m i წერტილის რადიუსის ვექტორს O-სთან მიმართებაში. რმე , ვარის სხეულის მყისიერი კუთხური სიჩქარე, შემდეგ კუთხოვანი იმპულსი ლ= Σ [ რმე * მე მე ვ i ] = Σ = ვΣ - Σ . ეს ვექტორული თანასწორობა შეიძლება ჩაიწეროს სამი პროექციის სახით კოორდინატთა ღერძებზე L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Იმის გათვალისწინებით, რომ ( ვ რი) = x i w x + y i w y + z i w z ვიღებთ L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z, სადაც J xx = Σ, J xy = Σ, სხვები მსგავსია. მნიშვნელობებს J xx, J yy, J zz ეწოდება ინერციის ღერძული მომენტები, ხოლო J xy = J yx, J xz = J zx, J yz = J zy ეწოდება ინერციის ცენტრიდანული მომენტები. J ij მნიშვნელობების სიმრავლეს ინერციის ტენსორი ეწოდება. J ii-ს ელემენტებს დიაგონალი ეწოდება. თუ ყველა არადიაგონალური ელემენტი ნულის ტოლია, მაშინ ისინი ამბობენ, რომ სხეულის ღერძები, რომლებიც ემთხვევა კოორდინატთა ღერძებს, არის ინერციის მთავარი ღერძი, ხოლო J ii სიდიდეებს უწოდებენ ინერციის მთავარ მომენტებს. ასეთი ტენსორი მცირდება დიაგონალურ ფორმამდე.
ეილერის განტოლებები. სხეულის მასის ცენტრის მოძრაობის განტოლებას აქვს ფორმა m d ვ 0 /dt = md/dt ( ვ * რ 0) = ფ, სად რ 0 არის სხეულის მასის ცენტრის რადიუსის ვექტორი, გამოყვანილი მისი მიმაგრების წერტილიდან. მოსახერხებელია სხეულთან დაკავშირებული კოორდინატთა სისტემის ღერძების მიმართვა ინერციის ძირითადი ღერძების გასწვრივ. ამ შემთხვევაში კუთხური იმპულსი იძენს მარტივ ფორმას L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 და w i არის კუთხური სიჩქარის პროგნოზები კოორდინატულ ღერძებზე ერთად მოძრავი. სხეულთან ერთად. ზოგადი ფორმულის გამოყენებით დ ა/dt = ∂ ა/∂t + ვ* ა, მომენტების განტოლება შეგვიძლია წარმოვადგინოთ შემდეგნაირად: ∂ ლ/∂t + ვ * ლ = მ. იმის გათვალისწინებით, რომ L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , ჩვენ გადავიწერთ ამ განტოლებას პროექციებით მოძრავი კოორდინატთა სისტემის ღერძებზე: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x, J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y, J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z. ამ განტოლებებს ეილერის განტოლებებს უწოდებენ.
7.
მოძრაობა არაინერციული მითითების ჩარჩოებთან მიმართებაში.
NISO არის სისტემა, რომელშიც სხეული დასვენებასთან შედარებით აჩქარებით მოძრაობს. კოორდინატთა სისტემები. აქ არ სრულდება სივრცისა და დროის ერთგვაროვნებისა და იზოტროპიის ცნებები, რადგან ხანგრძლივობა და ხანგრძლივობა NISO-ში განსხვავდება. გარდა ამისა, იკარგება მე-3 ნიუტონის კანონისა და კონსერვაციის კანონების შინაარსი. ყველაფრის მიზეზი არის ინერციის ძალები, რომლებიც დაკავშირებულია მხოლოდ კოორდინატულ სისტემასთან, კატასთან. გავლენას ახდენს სხეულის მოძრაობაზე. მაშინ. აჩქარება შეიძლება შეიცვალოს გარე ძალით ან ინერციით. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), სადაც Fi არის ინერციის ძალა, a არის აჩქარება. ორგანოები IFR-ში, a′-accel. იგივე სხეული NISO-ში. NISO-ში პირველი ნიუტონის კანონი არ სრულდება! Fi=-m(a′-a), ე.ი. ინერციული ძალები არ ემორჩილება ნიუტონის მე-3 z-ჭას, რადგან ისინი ხანმოკლეა. ISO-დან NISO-ზე გადასვლისას ინერციული ძალები ქრება. ინერცია ძალები ყოველთვის მიმართულია ქუთუთოების წინააღმდეგ. გარე ძალები. ინერციის ძალები შეიძლება დაემატოს ვექტორულად. ISO-ში: v=const, v< dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U'x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x' + a 0 = a x. NISO-ში შემოტანილია აბსოლუტური, ფარდობითი და ტრანსლაციის სიჩქარის ცნებები: u 0 - აბსოლუტური სიჩქარე, 0 - ფარდობითი აჩქარება. მიძინებული კოორდინატთა სისტემები. u x 0 \u003d v + u x 0 '; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ’ a x - ფარდობითი სიჩქარე და აჩქარება. მოძრაობა კოორდინატთა სისტემები. (ნათესავი); v, a′-სიჩქარე. და აჩქარდა. k′ ეხება. კ, ე.ი. პორტატული სიჩქარე და აჩქარება არსებობს განზოგადებული კოორდინატის ფუნქცია, სიჩქარე, დრო. განვიხილოთ 2S განზომილებიანი სივრცე, მაშინ სისტემის პოზიცია S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L არის ლაგრანჟის ფუნქცია; S-მოქმედება. მოქმედების ფუნქციას ეწოდება itnegral S=∫ Ldt=0, კატასთან. მოძრაობის ჭეშმარიტი ტრაექტორიის გასწვრივ, სისტემას ექნება მინიმალური მნიშვნელობა, ე.ი. S=Smin, δS=0. იმათ. სისტემა 1-დან 2-მდე მოძრაობს ისეთ ტრაექტორიაზე, რომ მისი მოქმედება მინიმალურია - ჰამილტონის უმცირესი მოქმედების პრინციპი. L = T – U არის სხვაობა სისტემის კინეტიკურ და პოტენციურ ენერგიას შორის. ჰამილტონის აზრით, რეალური ტრაექტორია შეესაბამება მინიმალურ მოქმედებას. მოდი ვიპოვოთ ტრაექტორია. ფაქტობრივი ტრაექტორია არის მინიმალური ტრაექტორია. S- ფუნქციონალური. მოდი ვიპოვოთ მისი მინ. δS = 0 პირველი ვარიაცია. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i () δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt; δg მე არ ვართ დამოკიდებული ერთმანეთზე 9.
თავისუფლების ერთი და მრავალი ხარისხის მქონე სისტემების რხევები. თავისუფალი და იძულებითი ვიბრაციები
.
უმარტივესი შემთხვევაა, როდესაც სისტემას აქვს თავისუფლების ერთი ხარისხი. სტაბილური წონასწორობა შეესაბამება სისტემის ასეთ პოზიციას კატაში. მისი პოტენციალი. en. U(q) აქვს მინიმუმი. ამ პოზიციიდან გადახრა იწვევს ძალის გაჩენას - dU/dq, რომელიც მიდრეკილია სისტემის უკან დაბრუნებისკენ. q 0 - განზოგადებული კოორდინატი. ვაფართოვებთ U(q) - U(q0) სიმძლავრეებში და ვიღებთ U(q) - U(q0) ≈ k / 2 (q - q 0) 2 სადაც k \u003d U '' (q 0) არის დადებითი კოეფიციენტი . U(q 0) \u003d 0, ჩვენ აღვნიშნავთ x \u003d q - q 0 - კოორდინატის გადახრა წონასწორობის მნიშვნელობიდან, შემდეგ U (x) \u003d kx 2 / 2 არის პოტენციური ენერგია. 1/2a(q) q' 2 =1/2a(q)x' 2 -კინეტიკური ენერგია q = q0 და a(q0) = m ვიღებთ ლაგრანგის ფუნქციას ერთგანზომილებიანი რხევების შემსრულებელი სისტემისთვის: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. ამ ფუნქციის შესაბამისი მოძრაობის განტოლება იქნება: mx(∙∙) + kx = 0 ან x(∙∙) + w 2 x = 0, სადაც w = √(k/m) არის ციკლური რხევის სიხშირე. ამ ur-ის ამონახსნი არის x \u003d a cos (wt + α), სადაც a არის რხევების ამპლიტუდა, wt + α არის რხევების ფაზა. მაშინ. რხევადი სისტემის ენერგია იქნება E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. იძულებითი ვიბრაციები.ამ შემთხვევაში, საკუთარ პოტენციურ ენერგიასთან ერთად ½ kx 2, სისტემას ასევე აქვს პოტენციური ენერგია U e (x, m), რომელიც დაკავშირებულია გარე ველის მოქმედებასთან. შესაბამისად, ასეთი სისტემის ლაგრანჟის ფუნქცია იქნება: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), სადაც F(t) არის გარე ძალა. მოძრაობის შესაბამისი განტოლება იქნება mx(∙∙) + kx = F(t), ან x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. თუ F(t) დროის მარტივი პერიოდული ფუნქციაა გარკვეული სიხშირით γ: F(t) = f cos(γt + β) მაშინ მოძრაობის განტოლებების ამონახსნი იქნება: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a და α განისაზღვრება საწყისი პირობებიდან. რომ. მამოძრავებელი ძალის მოქმედებით, სისტემა აკეთებს მოძრაობას, რომელიც წარმოადგენს ორი რხევის ერთობლიობას - w სისტემის ბუნებრივი სიხშირით და მამოძრავებელი ძალის სიხშირით - γ. თავისუფლების მრავალი ხარისხის მქონე სისტემების რხევები
.
ქოთანი. en. სისტემა U(q i) აქვს მინიმუმ q i =q i 0-ზე. მცირე გადაადგილების შემოღებით x i = q i - q i 0 და მათში U გაფართოებით მე-2 რიგის ტერმინების სიზუსტით, ვიღებთ პოტენციალს. ენერგია: U = 1/2 Σ(i,k) , k ik =k ki . კინეტი. en. ასეთი სისტემისთვის იქნება 1/2 Σ(i,k) , სადაც m ik =m ki . ასეთი სისტემის ლაგრანჟის განტოლება იქნება: L = 1/2 Σ(i,k) . შემდეგ dL = Σ(i,k) . ჩვენ ვეძებთ x k (t) სახით x k \u003d A k exp (-iwt), A k არის მუდმივი. ამის ჩანაცვლებით ლაგრანგის განტოლებით, მივიღებთ წრფივი ერთგვაროვანი განტოლებების სისტემას. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - დამახასიათებელი განტოლება, მას აქვს s განსხვავებული ფესვები w 2 α (α=1,2,….,s) w α - ბუნებრივი სიხშირეები სისტემა . სისტემის კონკრეტულ ამოხსნას აქვს ფორმა: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). ზოგადი ამონახსნი არის ყველა კონკრეტული ამონახსნის ჯამი: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], სადაც Q = Re (C α exp(-iw α t)). 10.
ჰამილტონის კანონიკური განტოლება.
რიგი უპირატესობები მექანიკის კითხვების შესწავლისას არის აღწერა განზოგადებული კოორდინატების და მომენტების დახმარებით, დამოუკიდებელი ცვლადების ერთი ნაკრებიდან მეორეზე გადასვლა შეიძლება მოხდეს ლეჟანდრის ტრანსფორმაციის გზით. ამ შემთხვევაში საქმე შემდეგზე მოდის. ლაგრანჟის ფუნქციების ჯამური დიფერენციალი კოორდინატებისა და სიჩქარის ფუნქციით არის: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. ეს გამოთქმა შეიძლება დაიწეროს როგორც dL = Σ(i) + Σ(i) . გადავიწეროთ სახით: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მყოფი სიდიდე არის კოორდინატებითა და მომენტებით გამოხატული სისტემის ენერგია და მას ჰამილტონის ფუნქცია ჰქვია: H (p, q, t) = Σ (i) - L. დიფ. ტოლობები dH = - Σ(i) + Σ(i) მიჰყვება განტოლებებს: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i არის ჰამილტონის განტოლებები. მათი სიმარტივისა და სიმეტრიის გათვალისწინებით, მათ ასევე უწოდებენ. კანონიკური. პუასონის ფრჩხილები.განზოგადებული კოორდინატების, მომენტისა და დროის ნებისმიერი F ფუნქციის დროის წარმოებული არის dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂ p i dpi /dt]. ჰამილტონის განტოლებების გამოყენებით შეგვიძლია გადავიწეროთ ეს განტოლება შემდეგი სახით: dF/dt = ∂F/∂t + , სადაც = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F /∂ p i ] - ე.წ. პუასონის ფრჩხილი. ცხადია, ჰამილტონის განტოლება შეიძლება დაიწეროს პუასონის ფრჩხილების გამოყენებით. 11.
ჰამილტონი-ჯაკობის განტოლება
.
უმცირესი მოქმედების პრინციპით გვაქვს S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. განიხილეთ მოქმედება (S), როგორც სიდიდე, რომელიც ახასიათებს მოძრაობას ჭეშმარიტი ტრაექტორიების გასწვრივ. ლაგრანჟის განტოლების საფუძველზე მოქმედების შეცვლისას ერთი ტრაექტორიიდან მეორე ტრაექტორიაზე მასთან ახლოს (თავისუფლების ერთი ხარისხით) გადაადგილებისას ვიღებთ: δS = pδq ან თავისუფლების ნებისმიერი რაოდენობის გრადუსზე: δS = Σ(i) . ეს გულისხმობს, რომ მოქმედების ნაწილობრივი წარმოებულები კოორდინატებთან მიმართებაში უდრის შესაბამის მომენტს: ∂S/∂q i = p i (1). განმარტებით, dS/dt = L, მეორეს მხრივ, თუ განვიხილავთ S-ს, როგორც კოორდინატებისა და დროის ფუნქციას და (1) ფორმულის გამოყენებით, გვაქვს: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S /∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . ორივე გამონათქვამის შედარებისას მივიღებთ ∂S/∂t = L - Σ(i) ან ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). ფორმულები (1), (2) შეიძლება ერთად ჩაიწეროს როგორც dS = Σ(i) – Hdt. ხოლო მოქმედება (S) თავად იქნება S = ∫ (Σ(i) – Hdt). T-ისგან დამოუკიდებელი H-სთვის S(q,t)=S 0 (q) - Et, სადაც S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] არის შემოკლებული მოქმედება და Еt შეიცვალა H(p-ით. , ქ). ფუნქცია S(q,t) აკმაყოფილებს გარკვეულ განსხვავებას. განტოლება, რომელსაც ვიღებთ (2) მიმართებაში Р იმპულსების ∂S/∂q წარმოებულებით ჩანაცვლებით: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 არის განტოლება 1-ლი რიგის ნაწილობრივ წარმოებულებში მოწოდებული. ჰამილტონ-ჯაკობის განტოლება. ასე რომ, ერთი ნაწილაკი გარე ველში U(x,y,z,t) აქვს ფორმა: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0. 12.
დეფორმაციები და ძაბვები მყარ სხეულებში. იანგის მოდული, ათვლა. საწამლავის სიძლიერე
.
დეფორმაცია არის სხეულის ფორმისა და მოცულობის ცვლილება გარე ძალების გავლენის ქვეშ. გარეგანი ძალის მოქმედებით, სხეულის ფორმა იცვლება. ბუნებაში არსებული ყველა დეფორმაცია შეიძლება შემცირდეს 3-მდე მძირითადი დეფორმაციები: 1) დაჭიმულობა, შეკუმშვა; 2) გაპარსვა; 3) ტორსიონი. განასხვავებენ ერთგვაროვან და არაერთგვაროვან დეფორმაციებს. თუ ყველა ნაწილი დეფორმირებულია ერთნაირად, მაშინ ეს ერთნაირად დეფორმირებული.თუ სხეულის ყველა ნაწილი განსხვავებულად დეფორმირდება, მაშინ ეს არაჰომოგენურად დეფორმირებული.ჰუკის კანონი დაკმაყოფილებულია მხოლოდ ელასტიური დეფორმაციის რეგიონში. = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F კონტროლი = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0; F კონტროლი \u003d ESx / ლ 0. ჰუკის კანონი განსაზღვრავს ურთიერთობას -სა და -ს შორის. k არის ელასტიურობის კოეფიციენტი, ეს დამოკიდებულია გეომეტრიულ ზომებზე, მასალაზე, საიდანაც მზადდება სხეული. E არის იანგის მოდული. იანგის მოდული უდრის იმ ძალას, რომელიც უნდა იქნას გამოყენებული ერთეული განივი კვეთის სხეულზე, რათა მისი სხეული 2-ჯერ გაიზარდოს. დეფორმაციის სხვა სახეობაა ათვლის დეფორმაცია, იგი შეინიშნება ზედაპირის ტანგენციურად გამოყენებისას; იგი პარალელურია ათვლის დეფორმაციის ზედაპირის, რომელიც შეინიშნება ტანგენციალური ძალების მოქმედებით, ანუ ძალები გამოიყენება ტანგენციალურად. Ψ~F t /S (ცვლის კუთხე). Ψ = nF t /S; n არის ცვლის ფაქტორი. F t = nS. (E> N, E~ 4N). 13.
სითხეებისა და აირების მექანიკა.
ყველა სითხესა და აირზე გამაერთიანებელი პარამეტრია: სიმკვრივე ρ, წნევა P=F n /S. სითხეებსა და აირებში იანგის მოდული ხდება, მაგრამ ათვლის მოდული |σ|=|P|, σ - ძაბვა არ ხდება. თუ სითხე (გაზი) უმოძრაოა, მაშინ საქმე გვაქვს ჰიდროსტატიკასთან (აეროსტატიკა). დამახასიათებელი კანონები: პასკალის კანონი: გაზებსა და სითხეებში შექმნილი ჭარბი წნევა თანაბრად გადადის ყველა მიმართულებით. Zn Archimedes მოქმედებს როგორც სითხეებზე, ასევე აირებზე. არქიმედეს ძალა ყოველთვის მოქმედებს მიზიდულობის ძალის წინააღმდეგ. არქიმედეს ძალის გაჩენის მიზეზი არის V მოცულობის სხეულის არსებობა. Zn არქიმედი: სხეულზე სითხეში ან აირში ყოველთვის მოქმედებს ძალა, რომელიც ტოლია სითხის ან აირის წონის ტოლფასი სითხის ან გაზის ჩაძირული ნაწილის მიერ. სხეული და მიმართულია ვერტიკალურად ზემოთ. თუ F A >F HEAVY, მაშინ სხეული ცურავს, თუ პირიქით, მაშინ იძირება. თუ სითხე (გაზი) მიედინება, მაშინ ამ განტოლებებს ემატება ჭავლური უწყვეტობის განტოლება. სითხეში ნაწილაკების მოძრაობის ტრაექტორია ეწოდება. მიმდინარე ხაზი. სივრცის ნაწილი, რომელიც შემოსაზღვრულია მიმდინარე ხაზით, ეწოდება. მიმდინარე მილი. ნაკადის მილში სითხე შეიძლება მიედინება სტაციონარული ან არასტაციონარული. მიმდინარე ე.წ სადგური თუ ერთეულზე მიმდინარე მილის მოცემული მონაკვეთის მეშვეობით. დრო გადის სითხის (გაზის) იგივე რაოდენობით, წინააღმდეგ შემთხვევაში, ნაკადი არასტატიკურია. გვქონდეს შემდეგი ფორმის დენის მილი: თუ სითხის ნაკადი სტატიკურია. მაშინ m 1 =m 2 =…=m n დროის ერთეულში, თუ სითხე შეუკუმშველია, მაშინ ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; \u003d ρ n Δx n, ρ 1 υ 1 ΔtS 1 \u003d ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n, ვინაიდან სითხე შეკუმშვადია ρ არის მუდმივი υ 1 S 1 = υ 2 S 2 =… = υ n S n , υS=const; υ=const/S არის ჭავლური უწყვეტობის განტოლება. პ დ ვ/dt = ρ გ– ხარისხი P – ეკვ. ეილერი - მე-2 რიგი. ნიუტონი სითხეებისა და გაზებისთვის. კანონი დაცულია. ენერგია სითხეებსა და აირებში. ლვ. ბერნული. ID ნაზ. შეკუმშვადი სითხე, რომელშიც ბლანტი ხახუნის ძალების უგულებელყოფა შეიძლება. კინეტიკური ენერგია არ იხარჯება ხახუნის ძალების წინააღმდეგ სამუშაოზე. Ρυ 2 /2+ρgh + P = const – ეკვ. ბერნული, ρυ 2 /2 – დინამიური წნევა, ρgh – ჰიდროსტატი. წნევა, P - მოლეკულური წნევა. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= ρυ 2 /2. ბლანტი ხახუნის ძალა F A = - ηΔυΔS/ΔZ 6 π r η υ – სტოქსის ძალა. Η - კოეფიციენტი. სიბლანტე, Δυ/ΔZ – grad υ, r – სხეულის ზომები. ეს არის ნიუტონის ფორმულა ბლანტი ხახუნის ძალებისთვის. თუ სითხეში არის ხახუნის ძალები, მაშინ id. სითხე ხდება ბლანტი. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 / 2 + ρgh 2 + P 2; (P 1 - P 2) \u003d ρ (υ 2 2 - υ 1 2) / 2. თუ ΔP = 0, მაშინ υ 2 2 - υ 1 2 = 0 და არ იქნება სითხის ნაკადი. სადაც P მეტია, იქ არის სწრაფი. ნაკლები მიმდინარეობა. თუ კვეთა S იზრდება, მაშინ P იზრდება და υ მცირდება. თუ მიმდინარე მილი ჰორიზონტალურად არ დევს, მაშინ υ 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); υ \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - ტორიჩელის ფორმულა. ის ახლა გახდა მექანიკის ერთ-ერთი ფუნდამენტური პრინციპი. ჰოლონომიური მექანიკური სისტემებისთვის, ის შეიძლება მიღებულ იქნას უშუალოდ დ'ალმბერ-ლაგრანჟის პრინციპის შედეგად. თავის მხრივ, ჰოლონომიური მექანიკური სისტემების მოძრაობის ყველა თვისება შეიძლება მივიღოთ ჰამილტონ-ოსტროგრადსკის პრინციპიდან. განვიხილოთ მატერიალური წერტილების სისტემის მოძრაობა რომელიმე ინერციული ათვლის სისტემასთან მიმართებაში აქტიური ძალების მოქმედების ქვეშ, მოდით, სისტემის წერტილების შესაძლო გადაადგილება შეიზღუდოს იდეალური ჰოლონომიური შეზღუდვებით. წერტილის დეკარტის კოორდინატები ავღნიშნოთ როგორც და დამოუკიდებელი ლაგრანჟის კოორდინატები როგორც დეკარტისა და ლაგრანგის კოორდინატებს შორის ურთიერთობა მოცემულია მიმართებით. შემდეგში ვივარაუდებთ, რომ კოორდინატები წარმოდგენილია ცვლადების ერთმნიშვნელოვანი, უწყვეტი და თვითნებურად დიფერენცირებადი ფუნქციებით, გარდა ამისა, ვივარაუდებთ, რომ სისტემის თითოეული პოზიციიდან პარამეტრები შეიძლება შეიცვალოს როგორც დადებითი, ასევე უარყოფითი მიმართულებით. . ჩვენ განვიხილავთ სისტემის მოძრაობას, დაწყებული დროის გარკვეული მომენტიდან მომენტამდე, სისტემის საწყისი პოზიცია შეესაბამებოდეს მნიშვნელობებს. ლაგრანგის კოორდინატები და სისტემის მდებარეობა მომენტში - მნიშვნელობები. მოდით გავითვალისწინოთ კოორდინატების განზომილებიანი გაფართოებული სივრცე და დრო, რომელშიც ერთი წერტილი შეესაბამება სისტემის თითოეულ კონკრეტულ პოზიციას. ასეთ გაფართოებულ-განზომილებიან სივრცეში სისტემის მოძრაობა წარმოდგენილია გარკვეული მრუდით, რომელსაც შემდეგში სისტემის ტრაექტორია ეწოდება. აქ ორი ქულა შეესაბამება სისტემის საწყის და საბოლოო პოზიციებს. სისტემის რეალური მოძრაობისას პოზიციიდან პოზიციაზე, ლაგრანგის კოორდინატები მუდმივად იცვლება, რაც განსაზღვრავს მრუდს განზომილებიანი სივრცეში, რომელსაც ჩვენ დავარქმევთ სისტემის რეალურ ტრაექტორიას. შესაძლებელია სისტემის გადაადგილება სისტემაზე დაწესებული შეზღუდვების შესაბამისად, პოზიციიდან პოზიციაზე იმავე დროის ინტერვალში, მაგრამ სხვა ტრაექტორიის გასწვრივ, რეალურთან ახლოს, მოძრაობის განტოლებების დაკმაყოფილებაზე ფიქრის გარეშე. ასეთ ტრაექტორიას განზომილებიანი სივრცეში წრიულ ტრაექტორიას ვუწოდებთ. ფაქტობრივი და შემოვლითი ტრაექტორიების გასწვრივ მოძრაობების შედარებისას, მოდით დავსახოთ მიზნად, განვსაზღვროთ რეალური ტრაექტორია შემოვლით ბილიკებს შორის. სისტემის პოზიცია მომენტში ფაქტობრივ ტრაექტორიაზე მონიშნული იყოს P წერტილით, ხოლო სისტემის პოზიცია ამავე დროს წრიულ ტრაექტორიაზე - წერტილით P (ნახ. 252). სეგმენტი, რომელიც ერთდროულად აკავშირებს ორ წერტილს სხვადასხვა ტრაექტორიაზე, წარმოადგენს სისტემის შესაძლო მოძრაობას იმ მომენტში, რაც შეესაბამება ლაგრანგის კოორდინატების ცვლილებას იმ მომენტში, როდესაც გადაადგილდება P პოზიციიდან P პოზიციაზე. სისტემის მოძრაობა შეესატყვისება დეკარტის კოორდინატების ვარიაციებს, რომლებიც შეიძლება გამოიხატოს ლაგრანჟის კოორდინატების ვარიაციით თანასწორობის სახით. განვიხილოთ თვითნებური ერთპარამეტრიანი "ტრაექტორიების" ოჯახი. რომელთაგან თითოეული აკავშირებს მათში გამავალ წერტილებს, შესაბამისად, და პარამეტრის მნიშვნელობა შეესაბამებოდეს ფაქტობრივ ტრაექტორიას (პირდაპირი გზა), რომელსაც სისტემა დროულად გადის პოზიციიდან პოზიციაზე, ანუ ყველა სხვა ტრაექტორია, რომელიც აკავშირებს წერტილებს. დრო.სისტემის მოძრაობა ნებისმიერი ტრაექტორიის გასწვრივ შეესატყვისება ლაგრანგის კოორდინატების ცვლილებას დროის ცვლილების გამო, როდესაც პარამეტრი a რჩება უცვლელი. პარამეტრი a შეიცვლება მხოლოდ ერთი ტრაექტორიიდან მეორეზე გადასვლისას. კოორდინატთა ცვალებადობა ახლა განისაზღვრება შემდეგნაირად: ხოლო კოორდინატის დროის წარმოებულს ექნება ფორმა ლაგრანგის კოორდინატები იყოს ერთმნიშვნელოვანი უწყვეტი დიფერენცირებადი ფუნქციები. მერე მიღებულ მიმართებებს მექანიკაში უწოდებენ "პერმუტაციას". დიფერენციაციის ოპერაციები შეუცვლელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყველა კოორდინატი დამოუკიდებელია და არ არის დაკავშირებული არაინტეგრაციული ურთიერთობებით. ვაჩვენოთ, რომ ცვალებადობისა და დიფერენციაციის ოპერაციების ცვალებადობა ასევე მოქმედებს დეკარტის კოორდინატებზე. დაე იყოს განვიხილოთ დროის წარმოებული Მეორეს მხრივ, მეორე ტოლობის გამოკლებით პირველს მივიღებთ საიდანაც მოჰყვება ე.ი. დიფერენციაციისა და ვარიაციის ოპერაციები შეუცვლელია დეკარტის კოორდინატებისთვისაც, თუ მხოლოდ ჰოლონომიური იდეალური შეზღუდვებია დაწესებული მატერიალური წერტილების სისტემაზე. მოდით გადავიდეთ ფაქტობრივი ტრაექტორიის განსაზღვრაზე ყველა შემოვლით გზაზე. სისტემის ფაქტობრივი მოძრაობა ხდება დ'ალმბერ-ლაგრანჟის პრინციპის შესაბამისად რომელიც განსაზღვრავს ჭეშმარიტი მოძრაობის (ფაქტობრივი მოძრაობის) „ტენდენციას“ დროის ყოველ მომენტში. განვიხილოთ ინტეგრალი აღებულია სისტემის რეალური ტრაექტორიის გასწვრივ. სისტემის ყველა შედარებითი ტრაექტორია იწყება ერთსა და იმავე დროს და განზომილებიანი სივრცის ერთი და იმავე წერტილიდან. ისინი ყველა მთავრდება ერთსა და იმავე მომენტში დროის ერთსა და იმავე მომენტში. ამიტომ, ტრაექტორიების ბოლოებზე ზე, პირობები ჩვენ გარდაქმნის შედეგად განტოლებას ნაწილებად ინტეგრირებით გამოხატვის და ვინაიდან ვარიაციები ქრება ტრაექტორიის ბოლოებში, გვაქვს დიფერენციაციისა და ვარიაციის ოპერაციების ცვალებადობის გამო გვაქვს რის შემდეგაც განტოლება იღებს ფორმას ამ ფორმით, მიღებული განტოლება გამოხატავს ჰამილტონის "უმცირესი მოქმედების პრინციპს" ზოგადი მექანიკური სისტემებისთვის. სისტემის რეალურ ტრაექტორიაზე ფუნქციის ინტეგრალი ქრება თუ სისტემაზე მოქმედ ძალებს აქვთ ძალის ფუნქცია, მაშინ მოქმედებს შემდეგი მიმართება: და ზემოთ განტოლება იღებს ფორმას ვინაიდან ვარიაცია არ არის დაკავშირებული დროის ცვლილებასთან, ვარიაციისა და ინტეგრაციის ოპერაციები შეიძლება შეიცვალოს: ე.ი. ინტეგრალს რეალურ ტრაექტორიაზე აქვს სტაციონარული მნიშვნელობა. ჩვენ ვაჩვენეთ ინტეგრალის სტაციონარული მნიშვნელობის საჭიროება რეალურ ტრაექტორიაზე. მოდით ვაჩვენოთ, რომ ინტეგრალური ვარიაციის გაქრობა საკმარისი პირობაა სისტემის რეალური მოძრაობისთვის. ამისათვის საკმარისია სისტემის მოძრაობის განტოლებების მიღება ჰამილტონის პრინციპიდან. განვიხილოთ მექანიკური სისტემა ჰოლონომიური იდეალური შეზღუდვებით, რომლის პოზიცია განისაზღვრება ლაგრანგის კოორდინატებით და ცოცხალი ძალით. დამოკიდებულია განზოგადებულ სიჩქარეებზე, კოორდინატებზე და დროზე. ცნობილი მიმართების გათვალისწინებით მოდით გადავიწეროთ ჰამილტონის პრინციპი სახით სამუშაო ძალის ვარიაციის შესრულება შემდეგ კი ინტეგრირება ნაწილებით ვინაიდან ინტერვალის ბოლოებში კოორდინატების ცვალებადობა ნულის ტოლია, ჰამილტონის პრინციპიდან ვიღებთ ვარიაციები თვითნებური და დამოუკიდებელია ინტერვალის ფარგლებში და შემდეგ, ვარიაციების გამოთვლის მთავარი ლემის მიხედვით, თანასწორობა შესაძლებელი იქნება მხოლოდ მაშინ, როცა ყველა კოეფიციენტი გაქრება, ე.ი. მიღებული განტოლებები მართებული უნდა იყოს მექანიკური სისტემის რეალურ მოძრაობაში. ჰამილტონის პრინციპის საკმარისობას ადასტურებს ის ფაქტი, რომ ეს განტოლებები არის ლაგრანგის მეორე სახის განტოლებები, რომლებიც აღწერს მექანიკური სისტემის მოძრაობას, რომელზედაც დაწესებულია ჰოლონომიური იდეალური შეზღუდვები. ჰამილტონის პრინციპი ჰოლონომიური იდეალური შეზღუდვების მქონე მექანიკური სისტემებისთვის ახლა შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: სისტემის ფაქტობრივი მოძრაობა ორ მოცემულ პოზიციას შორის ჰოლონომიური იდეალური კავშირებით განსხვავდება ამ პოზიციებს შორის კინემატიკურად შესაძლო მოძრაობებისგან, რომლებიც შესრულებულია იმავე დროის ინტერვალში, რადგან ინტეგრალი ქრება რეალურ მოძრაობაზე. ყველა მნიშვნელობისთვის, რომელიც აკმაყოფილებს მითითებულ პირობებს. დ'ალმბერის პრინციპის გამოყენება შესაძლებელს ხდის ბმების რეაქციის ძალების გათვალისწინებას და შესაძლებელს ხდის თვითნებური განზოგადებული კოორდინატების გამოყენებას. თუმცა, განტოლებების მიღება განზოგადებულ კოორდინატებში შეიძლება რთული იყოს დ'ალბერტის პრინციპში სკალარული პროდუქტების არსებობის გამო (2.13). კოორდინატების გარდაქმნების დახმარებით განტოლებები (2.13) შეიძლება გარდაიქმნას ფორმად, რომელიც შეიცავს მხოლოდ განზოგადებული კოორდინატების სკალარული ფუნქციებს. ჩვენ სხვა გზას მივუთითებთ, როდესაც თავდაპირველად დ'ალბერტის პრინციპიდან ინტეგრალურ ვარიაციულ პრინციპზე გადავა. ვარიაციული პრინციპიდან მექანიკის განტოლებების გამოყვანამ შესაძლებელი გახადა მრავალი მნიშვნელოვანი შედეგის მიღება. მომავალში, ვარიაციული პრინციპების გამოყენება დაიწყო თეორიული ფიზიკის სხვა სფეროებში. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც ძალებს აქვთ პოტენციალი. შემდეგ ფორმაში დაიწერება ძალთა ვირტუალური მუშაობა ზოგადად, პოტენციური ენერგია შეიძლება დროზე იყოს დამოკიდებული. ვინაიდან ვარიაცია გამოითვლება ფიქსირებული მნიშვნელობით, ეს არანაირად არ იმოქმედებს დასკვნებზე. განზოგადებული კოორდინატების გამოყენებისას პოტენციური ენერგია საბოლოო ჯამში განზოგადებული კოორდინატების ფუნქციაა. მაშინ პოტენციური ენერგიის ვარიაციას ექნება ფორმა გამონათქვამებთან (1.12) ანალოგიით, პოტენციური ენერგიის ნაწილობრივი წარმოებულები განზოგადებულ კოორდინატებთან მიმართებაში ე.წ. განზოგადებული ძალები: იმისათვის, რომ აჩქარებით ტერმინები სკალარული ფუნქციის ვარიაციად გადავიტანოთ, ჯერ განტოლებას ვაერთიანებთ ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ საწყისი დროის მომენტში და საბოლოო პოზიცია დროის მომენტში მოცემულია მატერიალური წერტილების სისტემის. ამიტომ, დროის ამ მომენტებისთვის ის ნულის ტოლია და (2.18) პირველი წევრი ქრება. ვინაიდან კოორდინატთა ვარიაციები განიხილება ფიქსირებული დროებისთვის, დროის წარმოებული და ვარიაცია შეიძლება შეიცვალოს. მეორე წევრი (2.18) გარდაიქმნება ფორმაში იგივე გარდაქმნები შეიძლება განხორციელდეს ყველა მატერიალური წერტილის ყველა კოორდინატისთვის. ჩვენ ასევე ვითვალისწინებთ გამოთქმას (2.14) ვირტუალური სამუშაოსთვის პოტენციური ფუნქციის თვალსაზრისით. შედეგად, ინტეგრალისთვის (2.17) ვიღებთ . (2.20) განსხვავება კინეტიკურ და პოტენციურ ენერგიას შორის, რომელიც შედის ფორმულის ბოლო ინტეგრალებში (2.20) ე.წ. ლაგრანგის ფუნქციადა აღინიშნება ასოთი .
ლაგრანგის ფუნქცია დამოკიდებულია მატერიალური წერტილების კოორდინატებსა და სიჩქარეზე. განზოგადებულ კოორდინატებზე გადასვლისას იგი გამოიხატება განზოგადებული კოორდინატებისა და განზოგადებული სიჩქარით: დრო შეიძლება არ იყოს ჩართული ლაგრანგის ფუნქციაში. ინტეგრალი (2.20)-დან აღინიშნება ასოთი და ეწოდება მოქმედება; ამ აღნიშვნების შემოღების შემდეგ, პირობა (2.20) იღებს ფორმას. (2.23) მოქმედების ვარიაცია ნულის ტოლია. ეს ნიშნავს, რომ მოქმედებას აქვს ექსტრემუმი, იღებს უდიდეს ან უმცირეს მნიშვნელობას, თუ მექანიკური სისტემის მოძრაობის აღწერის ფუნქციები ჩანაცვლებულია ინტეგრალში (2.22), როგორც დამოკიდებულება. მაშასადამე, მოქმედების ექსტრემის მდგომარეობა შეიძლება გამოყენებულ იქნას მატერიალური წერტილების სისტემის მოძრაობის კანონის მოსაძებნად. ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ინტეგრალური პრინციპი,დაურეკა ჰამილტონის პრინციპი: მექანიკური სისტემის მოძრაობა დროის სასრულ მონაკვეთზე ადრე ეს ხდება ისე, რომ მოქმედებას აქვს ექსტრემუმი.
კონსერვატიული სისტემებისთვის ჰამილტონის პრინციპი ნიუტონის კანონების ტოლფასია. მაშასადამე, ის შეიძლება ჩაითვალოს მექანიკის ძირითად პრინციპად, საიდანაც გამომდინარეობს მექანიკის ყველა განტოლება, ეს არის ვარიაციული პრინციპი, რადგან განზოგადებული კოორდინატების დროზე დამოკიდებულება გამოვლინდება მოქმედების ინტეგრალის მინიმალური მდგომარეობიდან. ჰამილტონის პრინციპის გამოყენების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ იგი მოიცავს მხოლოდ სკალარული ფუნქციებს, რომლებიც შეიძლება გადაითვალოს თვითნებურად განზოგადებულ კოორდინატებზე. ამიტომ, განტოლებები, რომლებიც გამომდინარეობს ცვალებადობის პრინციპიდან, დაუყოვნებლივ იწერება განზოგადებულ კოორდინატებში. ვარიაციული პრინციპიდან მექანიკის განტოლებების მიღებამ ასევე შესაძლებელი გახადა კლასიკური მექანიკის რიგი ფუნდამენტური კითხვების ამოხსნა. ლექცია 2 ELECTRON - ტალღა და ნაწილაკი მოდით შევხედოთ ამ ექსპერიმენტს. გარკვეული ენერგიის ელექტრონები, რომლებიც გამოფრინდებიან წყაროდან, სათითაოდ გადიან პატარა ხვრელებს მათ გზაზე მოთავსებულ ბარიერში და შემდეგ ეცემა ფოტოგრაფიულ ფირფიტაზე, ან ლუმინესცენტურ ეკრანზე, სადაც ისინი ტოვებენ კვალს. ფოტოგრაფიული ფირფიტის შემუშავების შემდეგ შეიძლება დაინახოს მასზე მონაცვლეობითი მსუბუქი და მუქი ზოლების კომბინაცია, ე.ი. დიფრაქციის ნიმუში, რომელიც საკმაოდ რთული ფიზიკური ფენომენია, მათ შორის, ფაქტობრივად, დიფრაქცია (ანუ დაბრკოლების დამრგვალება ტალღით) და ინტერფერენცია (ტალღების სუპერპოზიცია). დეტალებზე შეჩერების გარეშე, განვიხილოთ ეს ფენომენი. ჩვენ აღვნიშნავთ შემდეგ პუნქტებს: −
ასეთ ექსპერიმენტში დაფიქსირებული დიფრაქციაც და ჩარევაც თან ელექტრონები, ისინი საუბრობენ მათ მიერ ტალღური თვისებების გამოვლინებაზე (და, ზოგადად, მიკრონაწილაკებით), რადგან მხოლოდ ტალღებს შეუძლიათ დაბრკოლების ირგვლივ მოხრილი და შეხვედრის ადგილზე ერთმანეთის გადაფარვა; - მაშინაც კი, როდესაც ელექტრონები გადიან ხვრელში ერთდროულად (ანუ დიდი ინტერვალით), მიღებული დიფრაქციის ნიმუში იგივე რჩება, რაც მასიური ჭურვის დროს, რაც ნიშნავს შესახებ თითოეული ცალკეული ელექტრონის ტალღური თვისებების გამოვლინება; −
ელექტრონების დიფრაქციის ასახსნელად აუცილებელია მათი მოძრაობის შედარებაზოგიერთი ტალღური ფუნქცია, რომლის თვისებებმა უნდა განსაზღვროს დაკვირვებული დიფრაქციის ნიმუში. მაგრამ რადგან არსებობს ტალღის ფუნქცია, მაშინ უნდა არსებობდეს ტალღის განტოლება, რომლის ამოხსნაც არის ეს ფუნქცია. ამრიგად, ჩვენ დავიწყებთ არა თავად განტოლების, არამედ ფუნქციის შესწავლას, ე.ი. ტალღის განტოლების ამონახსნები. მაგრამ პირველ რიგში, ჩვენ გავიხსენებთ ჰამილტონის პრინციპს, რომელიც მუშაობს როგორც აქსიომა კვანტურ მექანიკაში. 1833 წელს სერ ჰამილტონმა "ნათელისა და პლანეტების გზების გამოხატვის ზოგადი მეთოდის შესახებ გარკვეული დამახასიათებელი ფუნქციის კოეფიციენტებით" განმარტა იდეა, რომელიც შემდეგნაირად იყო: მექანიკის კანონების პრეზენტაცია ჩვეულებრივ იწყება ნიუტონის კანონებით. მაგრამ, შეიძლება დაიწყოს „სხვა ბოლოდან“, კერძოდ, ძალიან ზოგადი განცხადების ფორმულირებიდან, ე.წ მინიმალური მოქმედების პრინციპი. ამ პრინციპის მიხედვით, მექანიკური სისტემის რეალური მოძრაობა (განსხვავებით ყველა სხვა წარმოსახვითი მოძრაობები) შეესაბამება ინტეგრალის უკიდურეს (და საკმარისად მცირე დროის ინტერვალისთვის ∆ t = t 2 − t 1 − მინიმალურ) მნიშვნელობას, ე.წ. მოცემული "მოქმედებით" S = ∫ Ldt, სადაც L არის კოორდინატების, სიჩქარის და, ზოგადად რომ ვთქვათ, დროის ზოგიერთი ფუნქცია, რომელსაც ეწოდება "ლაგრანჟის ფუნქცია". როგორც ჰამილტონმა აჩვენა, მექანიკაში ნებისმიერი სიდიდე შეესაბამება გეომეტრიულ ოპტიკაში მის ანალოგიურ რაოდენობას. ამრიგად, სიბრტყე ტალღის გავრცელება შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მუდმივი ფაზის ზედაპირის სივრცეში გადაადგილების სახით ϕ = const. ამავდროულად, იდენტური მატერიალური წერტილების სისტემის მოძრაობა ტრაექტორიების შეკვრის გასწვრივ შეიძლება ასოცირებული იყოს მუდმივი მოქმედების ზოგიერთი ზედაპირის სივრცეში მოძრაობასთან S = const. ანალოგია "ფაზა" - "მოქმედება" შეიძლება გაგრძელდეს, მაშინ ისეთი სიდიდეები, როგორიცაა ენერგია და სიხშირე, ისევე როგორც იმპულსი და ტალღის ვექტორი, იქნება "მსგავსი" (ანუ ფორმულები მსგავსია, თუმცა მნიშვნელობა განსხვავებულია). E = − ∂ ∂ S t ; ω = − ∂ ∂ ϕ t ; p = S; k = ϕ. − ოპერატორი ″nabla″ წარადგინა ჰამილტონმა = ∂ ∂ x i + ∂ ∂ y j + ∂ ∂ z k. ჰამილტონის მიერ აღმოჩენილი ოპტიკურ-მექანიკური ანალოგია 100 წელზე მეტი ხნის განმავლობაში არ იქცევდა ყურადღებას. და მხოლოდ დე ბროლის ესმოდა ამ ანალოგიის მნიშვნელობა მიკრო-ობიექტის ორმაგი ბუნებით (ჩვენ მოგვიანებით ვისაუბრებთ დე ბროლის მიმართებაზე). თუმცა, შემდგომი მუშაობისთვის, ჩვენ უნდა შევადაროთ ობიექტი დასვენების მასას და ტალღას. ჰამილტონის პრინციპის თანახმად, ელექტრონის (დასვენების მასის მქონე ობიექტის) ერთგანზომილებიანი მოძრაობა "x" ღერძის მიმართულებით შეიძლება ასოცირებული იყოს სიბრტყე მონოქრომატულ ტალღასთან: Ψ = A cos 2π −νt Ψ = ცოდვა 2π −νt Ψ − ამპლიტუდა (მაქსიმალური აბსოლუტური მნიშვნელობით A ) , λ - ტალღის სიგრძე, ν - სიხშირე, t - დრო. მოდით შემოვიტანოთ წრიული სიხშირე ω = 2 πν და ტალღის ვექტორი k = 2 λ π n, სადაც n არის ერთეული ვექტორი, რომელიც მიუთითებს სიბრტყე ტალღის მოძრაობის მიმართულებაზე; შემდეგ: Ψ = Acos(kx − ω t) Ψ = A sin(kx − ω t ) (6) გამოხატულებას (kx − ω t ) ეწოდება ტალღის ფაზა (φ ). უფრო მოსახერხებელია გამოხატვის (6) დაწერა ექვივალენტური რთული ფორმით: Ψ = A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i ϕ , (7) სადაც A − ასევე შეიძლება იყოს რთული. გამოთქმა e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ (8) არის ეილერის ფორმულა. ფუნქცია (8) პერიოდულია 2 π n პერიოდით (n = 0, ± 1; ± 2;...). AT (7) არის ტალღური და დისკრეტული მახასიათებლები, რომლებიც შეესაბამება პერიოდს (8). ამრიგად, ჩვენ გადავდგით პირველი ნაბიჯი ტალღის ფუნქციის მისაღებად, რომელიც შედარებულია თავისუფალი ელექტრონის მოძრაობასთან ფორმულის ჩაწერით (7). ასე რომ, ელექტრონი შეიძლება ასოცირებული იყოს ნაწილაკთან დასვენების მასის გარეშე, რომელიც ავლენს ტალღურ თვისებებს. ეს ფაქტი პირველად იწინასწარმეტყველა გამოჩენილმა ფრანგმა ფიზიკოსმა ლუი დე ბროლიმ 1924 წელს ჰამილტონის პრინციპის საფუძველზე, შემდეგ კი ექსპერიმენტულად დაადგინა 1927 წელს. ამერიკელები J. Davisson და A. Germer. ლუი დე ბროგლი ვარაუდობს, რომ თავისუფლად მოძრავი ელექტრონი იმპულსით p და ენერგიით E შეიძლება ასოცირებული იყოს ტალღასთან ტალღის ვექტორთან k და სიხშირით ω და: p = სთ (9) და E = h ω (10). (შეგახსენებთ, რომ h \u003d 2 h π \u003d 1.054 10 - 34 J s) ამ კავშირებმა გამორჩეული როლი ითამაშა კვანტური ფიზიკის შექმნის ისტორიაში, რადგან ისინი ექსპერიმენტულად დადასტურებული ურთიერთობებია. მოდით გავიგოთ დევისონისა და გერმერის ექსპერიმენტების არსი. დევისონი, რომელიც სწავლობდა ელექტრონების ასახვას მყარი სხეულებიდან, ცდილობდა ცალკეული ატომის გარშემო ელექტრული ველის კონფიგურაციის „გამოკვლევას“, ე.ი. ეძებდა ელექტრონულ ჭურვებს კი ატომები. 1923 წელს თავის სტუდენტ გ.კანსმანთან ერთად მან მოიპოვა მრუდები გაფანტული ელექტრონების კუთხეებზე განაწილებისთვის, რაც დამოკიდებულია საწყისი (გაუფანტველი) სხივის სიჩქარეზე. ინსტალაციის სქემა ძალიან მარტივია, შეიცვალა სხივის ენერგია, სამიზნეზე დაცემის კუთხე და დეტექტორის პოზიცია. კლასიკური ფიზიკის მიხედვით, გაფანტული ელექტრონები უნდა გაფრინდნენ ყველა მიმართულებით. მათი ინტენსივობა არ უნდა იყოს დამოკიდებული კუთხეებზე ან ენერგიაზე. ასე მოხდა დევისონისა და კანსმანის ექსპერიმენტებში. თითქმის ..., მაგრამ ჯერ კიდევ იყო მცირე მაქსიმუმები ენერგიებიდან კუთხეებში განაწილების მრუდეებზე, ისინი აიხსნებოდა სამიზნე ატომების მახლობლად ველების არაერთგვაროვნებით. გერმანელი ფიზიკოსები J. Frank და W. Elsasser ვარაუდობენ, რომ ეს გამოწვეულია ელექტრონის დიფრაქციის გამო. კამათმა ხელი შეუწყო საქმის მოგვარებას. 1927 წელს დევისონმა გერმერთან ერთად ექსპერიმენტი ჩაატარა ნიკელის ფირფიტაზე. ჰაერი შემთხვევით შევიდა ინსტალაციაში და ლითონის ზედაპირი დაჟანგდა. საჭირო იყო ოქსიდის ფირის ამოღება კრისტალის შედუღებით მაღალი ტემპერატურის ღუმელში შემცირების გარემოში, რის შემდეგაც ექსპერიმენტი გაგრძელდა. მაგრამ შედეგები განსხვავებული იყო. კუთხით გაფანტული ელექტრონების ინტენსივობის მონოტონური (ან თითქმის მონოტონური) ცვლილების ნაცვლად დაფიქსირდა გამოხატული მაქსიმუმები და მინიმმები, რომელთა პოზიცია დამოკიდებულია ელექტრონის ენერგიაზე. გაფანტვის ნიმუშის ასეთი მკვეთრი ცვლილების მიზეზი არის ნიკელის ერთკრისტალების წარმოქმნა სროლის შედეგად, რომლებიც დიფრაქციული ბადეების როლს ასრულებდნენ. თუ დე ბროლი მართალია და ელექტრონებს აქვთ ტალღის თვისებები, მაშინ გაფანტვის ნიმუში უნდა ჰგავდეს რენტგენის ნიმუშს და რენტგენის ნიმუშის გაანგარიშება ხორციელდება ბრაგის ფორმულის მიხედვით, რომელიც უკვე ცნობილი იყო. ამრიგად, ნახატზე ნაჩვენები შემთხვევისთვის, კუთხე α ბრეგის სიბრტყესა და ელექტრონების მაქსიმალური გაფანტვის მიმართულებას შორის არის 650. მანძილი "a" გაზომილი რენტგენის მეთოდით თვითმფრინავებს შორის Ni ერთკრისტალში არის 0,091 ნმ. ბრაგის განტოლებას, რომელიც აღწერს მაქსიმუმის პოზიციას დიფრაქციის დროს, აქვს ფორმა: n λ = 2asin α (n არის მთელი რიცხვი). n = 1-ის დაშვებით და ″a″-ის ექსპერიმენტული მნიშვნელობების გამოყენებით და ″ α ″ , ვიღებთ λ : λ = 2 0,091 sin 650 = 0,165 ნმ. დე ბროლის ფორმულა: რომელიც შესანიშნავად შეესაბამება ექსპერიმენტს. შემდგომში მსგავსი შედეგები მიიღო ტომ- ძე (1928) და 1930 წელს მრავალი სხვა ფიზიკოსის მიერ. ამრიგად, ექსპერიმენტმაც და თეორიამაც აჩვენა ელექტრონის ქცევის ორმაგობა. მიუხედავად ამ თვალსაზრისის რევოლუციური ხასიათისა, ელექტრონის შიდა სტრუქტურა მაინც გაურკვეველი რჩებოდა. თუმცა მეცნიერებაში ხშირად ხდება მოვლენები, რისი წყალობითაც შესაძლებელია ცოდნის გადაულახავი სფეროების გვერდის ავლით და გარკვეული ნაბიჯების გადადგმა პროგრესის გზაზე შემოვლითი გზით. 1920-იან წლებში, კვანტური მექანიკის გარიჟრაჟზე, ფიზიკოსებმა კიდევ ერთი დავალება დაუსვეს საკუთარ თავს - აეშენებინათ მიკროსამყაროს მექანიკა, ე.ი. იპოვეთ კანონები, რომლებიც განსაზღვრავენ ელექტრონის მოძრაობას სხვადასხვა პირობებში პირობები, მოდელების გამოყენების გარეშე, რომლებიც აღწერს მის შიდა სტრუქტურას. მაშ ასე: გვაქვს მიკრო-ობიექტი უარყოფითი მუხტით და გარკვეული მასით, რომელიც ერთგვარად აერთიანებს ტალღისა და ნაწილაკის თვისებებს. საკითხავია: რა თავისებურებები ახასიათებს ასეთი მიკრო ობიექტის მოძრაობის ფიზიკურ აღწერას? ერთი თვისება უკვე ნათელია. მოძრაობა ენერგიის დაკარგვის გარეშე შეიძლება შეასრულოს მხოლოდ ნაწილაკმა დასვენების მასის გარეშე, რომელსაც აქვს ექსკლუზიურად ტალღური თვისებები, ანუ ფოტონი. მაგრამ ამ ობიექტის კიდევ ერთი თავისებურება ის არის, რომ ის მოსვენებას მოკლებულია. მიკრონაწილაკების ამ ორი მახასიათებლის გაერთიანებას სპეციალური აქსიომები, ანუ პრინციპები სჭირდება. ასეთი ობიექტების აღწერის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი პრინციპი, რომლებიც გაუგებარ მომენტებში ცვლის მათ არსს და ასახავს ტალღურ ან კორპუსკულურ თვისებებს, არის გაურკვევლობის პრინციპი.8. ჰამილტონის ვარიაციული პრინციპი. (უმცირესი მოქმედების პრინციპი).
;
=0
ფაქტობრივ ტრაექტორიაზე შემდეგი განტოლება უნდა დაკმაყოფილდეს: 
- ლაგრანჟის განტოლება (ნებისმიერი i= 1,…S).
რაოდენობრივი კავშირი E და N-ს შორის მოცემულია პუასონის თანაფარდობით. N = E/(2(1+μ)), სადაც არის პუასონის თანაფარდობა. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. პუასონის თანაფარდობა განსაზღვრავს განივი ზომების ცვლილებას დაჭიმვის ან შეკუმშვის დროს. 0,5.1. ჰამილტონ-ოსტროგრადსკის პრინციპი
(2.14)
(2.15)
(2.9) დროში: 
. (2.17)
(2.18)
(2.19)
(2.22)ჰამილტონის პრინციპი
თვითმფრინავის ტალღის ფორმულა.
ექსპერიმენტები ელექტრონული ჭურვების მოსაძებნად.
