გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: "არქსინი. არქსინის ცხრილი. ფორმულა y=arcsin(x)"

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

ინსტრუქციები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზიაში "Integral" მე -10 კლასისთვის 1C-დან
პროგრამული გარემო "1C: მათემატიკური კონსტრუქტორი 6.1"
ჩვენ ვხსნით პრობლემებს გეომეტრიაში. ინტერაქტიული ამოცანები სივრცეში მშენებლობისთვის

რას შევისწავლით:
1. რა არის რკალი?
2. რკალის აღნიშვნა.
3. ცოტა ისტორია.
4. განმარტება.

6. მაგალითები.

რა არის არქსინი?

ბიჭებო, ჩვენ უკვე ვისწავლეთ როგორ ამოხსნათ განტოლებები კოსინუსისთვის, ახლა მოდით ვისწავლოთ როგორ ამოხსნათ მსგავსი განტოლებები სინუსისთვის. განვიხილოთ sin(x)= √3/2. ამ განტოლების ამოსახსნელად უნდა ააგოთ სწორი y= √3/2 და ნახოთ: რომელ წერტილებში კვეთს ის რიცხვით წრეს. ჩანს, რომ წრფე კვეთს წრეს ორ წერტილში F და G. ეს წერტილები იქნება ჩვენი განტოლების ამონახსნი. დაარქვით F-ს x1-ად და G-ს x2-ად. ჩვენ უკვე ვიპოვეთ ამ განტოლების ამონახსნი და მივიღეთ: x1= π/3 + 2πk,
და x2= 2π/3 + 2πk.

ამ განტოლების ამოხსნა საკმაოდ მარტივია, მაგრამ როგორ უნდა ამოხსნას, მაგალითად, განტოლება
sin(x)=5/6. ცხადია, ამ განტოლებას ასევე ექნება ორი ფესვი, მაგრამ რა მნიშვნელობები შეესატყვისება ამონახს რიცხვთა წრეზე? მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ჩვენს sin(x)=5/6 განტოლებას.
ჩვენი განტოლების ამონახსნი იქნება ორი წერტილი: F= x1 + 2πk და G= x2 ​​+ 2πk,
სადაც x1 არის AF რკალის სიგრძე, x2 არის AG რკალის სიგრძე.
შენიშვნა: x2= π - x1, რადგან AF= AC - FC, მაგრამ FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
მაგრამ რა არის ეს წერტილები?

მსგავსი სიტუაციის წინაშე მათემატიკოსებმა მოიგონეს ახალი სიმბოლო - arcsin (x). ის იკითხება როგორც რკალი.

მაშინ ჩვენი განტოლების ამონაწერი დაიწერება შემდეგნაირად: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

და ზოგადი ამონახსნი: x= arcsin(5/6) + 2πk და x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
რკალი არის კუთხე (რკალის სიგრძე AF, AG) სინუსი, რომელიც უდრის 5/6-ს.

ცოტა არქსინის ისტორია

ჩვენი სიმბოლოს წარმოშობის ისტორია ზუსტად ისეთივეა, როგორიც არქოსის. პირველად, არქსინის სიმბოლო ჩნდება მათემატიკოს შერფერისა და ცნობილი ფრანგი მეცნიერის ჯ.ლ. ლაგრანჟი. ცოტა ადრე, არქსინის ცნება განიხილებოდა დ.ბერნულის მიერ, თუმცა სხვა სიმბოლოებთან ერთად დაწერა.

ეს სიმბოლოები საყოველთაოდ მიღებული მხოლოდ მე-18 საუკუნის ბოლოს გახდა. პრეფიქსი "რკალი" მოდის ლათინური "arcus"-დან (მშვილდი, რკალი). ეს საკმაოდ შეესაბამება ცნების მნიშვნელობას: arcsin x არის კუთხე (ან შეიძლება ითქვას რკალი), რომლის სინუსი x-ის ტოლია.

არქსინის განმარტება

თუ |а|≤ 1, მაშინ arcsin(a) არის ასეთი რიცხვი [- π/2; π/2], რომლის სინუსი არის a.

თუ |a|≤ 1, მაშინ განტოლებას sin(x)= a აქვს ამონახსნი: x= arcsin(a) + 2πk და
x= π - arcsin(a) + 2πk

გადავიწეროთ:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

ბიჭებო, ყურადღებით დააკვირდით ჩვენს ორ გადაწყვეტილებას. როგორ ფიქრობთ: შეიძლება თუ არა მათი დაწერა ზოგადი ფორმულით? გაითვალისწინეთ, რომ თუ რკალის წინ არის პლუს ნიშანი, მაშინ π მრავლდება ლუწი რიცხვით 2πk, ხოლო თუ ნიშანი არის მინუს, მაშინ გამრავლება არის კენტი 2k+1.
ამის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ ზოგად ამოხსნის ფორმულას sin(x)=a განტოლებისთვის:

არსებობს სამი შემთხვევა, როდესაც ადამიანს ურჩევნია გადაწყვეტილებების უფრო მარტივი გზით დაწერა:

sin(x)=0, შემდეგ x= πk,

sin(x)=1, შემდეგ x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, შემდეგ x= -π/2 + 2πk.

ნებისმიერი -1 ≤ a ≤ 1-ისთვის მოქმედებს შემდეგი ტოლობა: arcsin(-a)=-arcsin(a).

მოდით დავწეროთ კოსინუსების მნიშვნელობების ცხრილი საპირისპიროდ და მივიღოთ ცხრილი რკალისთვის.

მაგალითები

1. გამოთვალეთ: arcsin(√3/2).
ამოხსნა: მოდით arcsin(√3/2)= x, შემდეგ sin(x)= √3/2. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსის მნიშვნელობებს ცხრილში: x= π/3, რადგან sin(π/3)= √3/2 და –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
პასუხი: arcsin(√3/2)= π/3.

2. გამოთვალეთ: arcsin(-1/2).
ამოხსნა: მოდით arcsin(-1/2)= x, შემდეგ sin(x)= -1/2. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსების მნიშვნელობებს ცხრილში: x= -π/6, რადგან sin(-π/6)= -1/2 და -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
პასუხი: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. გამოთვალეთ: arcsin(0).
ამოხსნა: ვთქვათ arcsin(0)= x, შემდეგ sin(x)= 0. განმარტებით: - π/2 ≤x≤ π/2. მოდით შევხედოთ სინუსების მნიშვნელობებს ცხრილში: ეს ნიშნავს x = 0, რადგან sin(0)= 0 და - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. პასუხი: arcsin(0)=0.

4. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk და x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
მოდით შევხედოთ მნიშვნელობას ცხრილში: arcsin (-√2/2)= -π/4.
პასუხი: x= -π/4 + 2πk და x= 5π/4 + 2πk.

5. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = 0.
ამოხსნა: გამოვიყენოთ განმარტება, შემდეგ ამოხსნა დაიწერება სახით:
x= arcsin(0) + 2πk და x= π - arcsin(0) + 2πk. მოდით შევხედოთ მნიშვნელობას ცხრილში: arcsin(0)= 0.
პასუხი: x= 2πk და x= π + 2πk

6. ამოხსენით განტოლება: sin(x) = 3/5.
ამოხსნა: გამოვიყენოთ განმარტება, შემდეგ ამოხსნა დაიწერება სახით:
x= arcsin(3/5) + 2πk და x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
პასუხი: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. ამოხსენით უტოლობა sin(x) ამოხსნა: სინუსი არის რიცხვითი წრის წერტილის ორდინატი. ასე რომ: უნდა ვიპოვოთ ისეთი პუნქტები, რომელთა ორდინატი 0,7-ზე ნაკლებია. დავხაზოთ სწორი ხაზი y=0.7. ის კვეთს რიცხვით წრეს ორ წერტილში. უტოლობა y მაშინ უტოლობის ამონახსნი იქნება: -π – arcsin(0.7) + 2πk

პრობლემები რკალზე დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

1) გამოთვალეთ: ა) რკალი (√2/2), ბ) რკალი (1/2), გ) რკალი (1), დ) რკალი (-0,8).
2) ამოხსენით განტოლება: ა) sin(x) = 1/2, ბ) sin(x) = 1, გ) sin(x) = √3/2, დ) sin(x) = 0.25,
ე) sin(x) = -1.2.
3) ამოხსენით უტოლობა: ა) sin (x)> 0,6, ბ) ცოდვა (x) ≤ 1/2.

მანამდე პროგრამის მიხედვით მოსწავლეებმა მიიღეს წარმოდგენა ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნის შესახებ, გაეცნენ რკალის კოსინუსისა და რკალის სინუსის ცნებებს, cos t=a და sin t=a განტოლებების ამონახსნების მაგალითებს. ამ ვიდეო გაკვეთილში განვიხილავთ tg x = a და ctg x = a განტოლებების ამოხსნას.

ამ თემის შესწავლის დასაწყისში განვიხილოთ განტოლებები tg x = 3 და tg x = - 3. თუ განტოლებას tg x = 3 გადავწყვეტთ გრაფიკის გამოყენებით, დავინახავთ, რომ y ფუნქციების გრაფიკების კვეთა. = tg x და y = 3 აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, სადაც x = x 1 + πk. მნიშვნელობა x 1 არის y = tg x და y = 3 ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის x კოორდინატი. ავტორი შემოაქვს არქტანგენტის ცნებას: arctg 3 არის რიცხვი, რომლის tg არის 3 და ეს რიცხვი ეკუთვნის. ინტერვალი -π/2-დან π/2-მდე. არქტანგენტის ცნების გამოყენებით, tan x = 3 განტოლების ამონახსნი შეიძლება ჩაიწეროს x = arctan 3 + πk.

ანალოგიით, წყდება tg x \u003d - 3 განტოლება. y \u003d tg x და y \u003d - 3 ფუნქციების აგებული გრაფიკების მიხედვით ჩანს, რომ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილები და, შესაბამისად, ამონახსნები. განტოლებიდან იქნება x \u003d x 2 + πk. რკალის ტანგენტის გამოყენებით ამონახსნი შეიძლება დაიწეროს x = arctan (- 3) + πk. შემდეგ სურათზე დავინახავთ, რომ arctg (- 3) = - arctg 3.

რკალის ტანგენტის ზოგადი განმარტება ასეთია: რკალის ტანგენსი a არის ისეთი რიცხვი -π / 2-დან π / 2-მდე ინტერვალიდან, რომლის ტანგენსი არის a. მაშინ tg x = a განტოლების ამონახსნი არის x = arctg a + πk.

ავტორი მოჰყავს მაგალითს 1. იპოვნეთ გამოსავალი arctg გამონათქვამში შემოვიღოთ აღნიშვნა: რიცხვის რკალი ტანგენსი არის x, მაშინ tg x იქნება მოცემული რიცხვის ტოლი, სადაც x ეკუთვნის სეგმენტს -π/-დან. 2-დან π/2-მდე. როგორც წინა თემების მაგალითებში, ჩვენ გამოვიყენებთ მნიშვნელობების ცხრილს. ამ ცხრილის მიხედვით, ამ რიცხვის ტანგენსი შეესაბამება x = π/3 მნიშვნელობას. ჩვენ ვწერთ ამოხსნას მოცემული რიცხვის რკალის ტანგენტის განტოლების ტოლი π / 3, π / 3 ასევე ეკუთვნის ინტერვალს -π / 2-დან π / 2-მდე.

მაგალითი 2 - გამოთვალეთ უარყოფითი რიცხვის რკალი ტანგენსი. ტოლობის გამოყენებით arctg (- a) = - arctg a, შეიყვანეთ x მნიშვნელობა. მე-2 მაგალითის მსგავსად, ჩვენ ვწერთ x-ის მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის -π/2-დან π/2-მდე ინტერვალს. სიდიდეების ცხრილის მიხედვით ვხვდებით, რომ x = π/3, შესაბამისად, -- tg x = - π/3. განტოლების პასუხია - π/3.

განვიხილოთ მაგალითი 3. ამოვიხსნათ განტოლება tan x = 1. დავწეროთ, რომ x = arctan 1 + πk. ცხრილში tg 1-ის მნიშვნელობა შეესაბამება x \u003d π / 4 მნიშვნელობას, შესაბამისად, arctg 1 \u003d π / 4. ჩაანაცვლეთ ეს მნიშვნელობა თავდაპირველ x ფორმულაში და ჩაწერეთ პასუხი x = π/4 + πk.

მაგალითი 4: გამოთვალეთ tg x = - 4.1. ამ შემთხვევაში, x = arctg (- 4.1) + πk. იმიტომ რომ ამ შემთხვევაში arctg-ის მნიშვნელობის პოვნა შეუძლებელია, პასუხი იქნება x = arctg (- 4.1) + πk.

მაგალითი 5 განიხილავს tg x > 1 უტოლობის ამოხსნას. მის ამოსახსნელად გამოვსახავთ y = tg x და y = 1 ფუნქციების გრაფიკებს. როგორც ნახატზე ჩანს, ეს გრაფიკები იკვეთება x = π წერტილებზე. /4 + πk. იმიტომ რომ ამ შემთხვევაში, tg x > 1, გრაფიკზე ვირჩევთ ტანგენტოიდის ფართობს, რომელიც დგას გრაფიკის ზემოთ y = 1, სადაც x ეკუთვნის π/4-დან π/2-მდე ინტერვალს. პასუხს ვწერთ π/4 + πk< x < π/2 + πk.

შემდეგი, განიხილეთ განტოლება ctg x = a. ნახატზე ნაჩვენებია y = ctg x, y = a, y = - a ფუნქციების გრაფიკები, რომლებსაც აქვთ მრავალი გადაკვეთის წერტილი. ამონახსნები შეიძლება დაიწეროს x = x 1 + πk, სადაც x 1 = arcctg a და x = x 2 + πk, სადაც x 2 = arcctg (- a). აღნიშნულია, რომ x 2 \u003d π - x 1. ეს გულისხმობს ტოლობას arcctg (- a) = π - arcctg a. გარდა ამისა, მოცემულია რკალის კოტანგენსის განმარტება: a-ს რკალის კოტანგენსი არის ისეთი რიცხვი 0-დან π-მდე ინტერვალიდან, რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს. сtg x = a განტოლების ამონახსნი იწერება: x = arcctg a + πk.

ვიდეოგაკვეთილის ბოლოს კეთდება კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნა - გამოთქმა ctg x = a შეიძლება დაიწეროს tg x = 1/a, იმ პირობით, რომ a არ იყოს ნულის ტოლი.

ტექსტის ინტერპრეტაცია:

განვიხილოთ tg x \u003d 3 და tg x \u003d - 3 განტოლებების ამოხსნა. პირველი განტოლების გრაფიკულად ამოხსნა, ჩვენ ვხედავთ, რომ y \u003d tg x და y \u003d 3 ფუნქციების გრაფიკებს აქვთ უსასრულოდ ბევრი გადაკვეთის წერტილი, აბსციები, რომელთა ფორმაში ვწერთ

x \u003d x 1 + πk, სადაც x 1 არის y \u003d 3 წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ტანგენტოიდის მთავარ ტოტთან (ნახ. 1), რისთვისაც გამოიგონეს აღნიშვნა.

არქტანი 3 (რკალის ტანგენსი სამი).

როგორ გავიგოთ arctg 3?

ეს არის რიცხვი, რომლის ტანგენტი არის 3 და ეს რიცხვი ეკუთვნის ინტერვალს (-;). შემდეგ tg x \u003d 3 განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება დაიწეროს x \u003d actan 3 + πk ფორმულით.

ანალოგიურად, tg x \u003d - 3 განტოლების ამონახსნი შეიძლება ჩაიწეროს x \u003d x 2 + πk, სადაც x 2 არის y \u003d - 3 წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ხაზების მთავარ განშტოებასთან. ტანგენტოიდი (ნახ. 1), რომლის აღნიშვნა arctg (- 3) (arct tangent მინუს სამი). შემდეგ განტოლების ყველა ფესვი შეიძლება დაიწეროს ფორმულით: x \u003d arctg (-3) + πk. ნახაზი აჩვენებს, რომ arctg(- 3)= - arctg 3.

ჩამოვაყალიბოთ რკალის ტანგენსის განმარტება. რკალის ტანგენტი a არის ისეთი რიცხვი (-;), რომლის ტანგენტი უდრის a-ს.

ხშირად გამოიყენება ტოლობა: arctg(-a) = -arctg a, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი a-სთვის.

რკალის ტანგენსის განმარტების ცოდნა, ჩვენ გამოვიტანთ ზოგად დასკვნას განტოლების ამოხსნის შესახებ

tg x \u003d a: განტოლებას tg x \u003d a აქვს ამონახსნი x \u003d arctg a + πk.

განვიხილოთ მაგალითები.

მაგალითი 1. გამოთვალეთ arctg.

გადაწყვეტილება. მოდით arctg = x, შემდეგ tgx = და xϵ (-;). აჩვენეთ მნიშვნელობების ცხრილი, შესაბამისად, x =, ვინაიდან tg = და ϵ (- ;).

ასე რომ, arctg =.

მაგალითი 2 გამოთვალეთ არქტანი (-).

გადაწყვეტილება. ტოლობის arctg (- a) \u003d - arctg a გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ:

arctg(-) = - arctg . მოდით - arctg = x, შემდეგ - tgx = და xϵ (-;). ამიტომ, x =, ვინაიდან tg = და ϵ (- ;). აჩვენეთ მნიშვნელობების ცხრილი

ასე რომ - arctg=- tgх= - .

მაგალითი 3. ამოხსენით განტოლება tgх = 1.

1. ჩამოვწეროთ ამოხსნის ფორმულა: x = arctg 1 + πk.

2. იპოვეთ რკალის ტანგენსის მნიშვნელობა

ვინაიდან tg =. აჩვენეთ მნიშვნელობების ცხრილი

ასე რომ, arctg1=.

3. ჩასვით ნაპოვნი მნიშვნელობა ამოხსნის ფორმულაში:

მაგალითი 4. ამოხსენით განტოლება tgx \u003d - 4.1 (ტანგენსი x უდრის მინუს ოთხი წერტილი მეათედი).

გადაწყვეტილება. მოდით ჩამოვწეროთ ამოხსნის ფორმულა: x \u003d arctg (- 4.1) + πk.

ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვთვალოთ რკალის ტანგენსის მნიშვნელობა, ამიტომ განტოლების ამოხსნას დავტოვებთ ისე, როგორც არის.

მაგალითი 5. ამოხსენით უტოლობა tgх 1.

გადაწყვეტილება. მოდით გავაკეთოთ ეს გრაფიკულად.

1. ავაშენოთ ტანგენტოიდი

y \u003d tgx და სწორი ხაზი y \u003d 1 (ნახ. 2). ისინი იკვეთებიან x = + πk ფორმის წერტილებზე.

2. აირჩიეთ x-ღერძის ინტერვალი, რომელზედაც ტანგენტოიდის მთავარი განშტოება მდებარეობს y \u003d 1 სწორი ხაზის ზემოთ, რადგან პირობის მიხედვით tgх 1. ეს არის ინტერვალი (;).

3. ვიყენებთ ფუნქციის პერიოდულობას.

თვისება 2. y \u003d tg x - პერიოდული ფუნქცია ძირითადი პერიოდით π.

y \u003d tgx ფუნქციის პერიოდულობის გათვალისწინებით, ჩვენ ვწერთ პასუხს:

(;). პასუხი შეიძლება დაიწეროს ორმაგი უტოლობის სახით:

მოდით გადავიდეთ განტოლებაზე ctg x \u003d a. წარმოვადგინოთ a დადებითი და უარყოფითი განტოლების ამოხსნის გრაფიკული ილუსტრაცია (ნახ. 3).

y \u003d ctg x და y \u003d a და ფუნქციების გრაფიკები

y=ctg x და y=-a

აქვს უსასრულოდ ბევრი საერთო წერტილი, რომელთა აბსცისებს აქვთ ფორმა:

x \u003d x 1 +, სადაც x 1 არის y \u003d a წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა ტანგენტოიდის მთავარ განშტოებასთან და

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, სადაც x 2 არის წრფის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა

y \u003d - მაგრამ ტანგენტოიდის მთავარი განშტოებით და x 2 \u003d arcсtg (- a).

გაითვალისწინეთ, რომ x 2 \u003d π - x 1. ასე რომ, ჩვენ ვწერთ მნიშვნელოვან განტოლებას:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

ჩამოვაყალიბოთ განმარტება: a-ს რკალის კოტანგენსი არის ისეთი რიცხვი (0; π) ინტერვალიდან, რომლის კოტანგენსი უდრის a-ს.

ctg x \u003d a განტოლების ამონახსნი იწერება: x \u003d arcсtg a +.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება ctg x = a შეიძლება გარდაიქმნას ფორმაში

tg x =, გარდა იმ შემთხვევისა, როდესაც a = 0.

რა არის არქსინი, არკოზინი? რა არის რკალის ტანგენსი, რკალის ტანგენსი?

ყურადღება!
არის დამატებითი
მასალა 555-ე სპეციალურ ნაწილში.
მათთვის, ვინც მტკიცედ "არა ძალიან ..."
და მათთვის, ვინც "ძალიან...")

ცნებებისკენ რკალი, არკოზინი, არქტანგენსი, არკოტანგენსი სტუდენტური მოსახლეობა ფრთხილია. მას ეს ტერმინები არ ესმის და, შესაბამისად, არ ენდობა ამ დიდებულ ოჯახს.) მაგრამ ამაოდ. ეს ძალიან მარტივი ცნებებია. რაც, სხვათა შორის, ბევრად უადვილებს მცოდნე ადამიანს ტრიგონომეტრიული განტოლებების ამოხსნისას!

დაბნეული ხართ სიმარტივეში? ამაოდ.) სწორედ აქ და ახლა ამაში დარწმუნდებით.

რა თქმა უნდა, გასაგებად, კარგი იქნებოდა ვიცოდეთ რა არის სინუსი, კოსინუსი, ტანგენსი და კოტანგენსი. დიახ, მათი ცხრილის მნიშვნელობები ზოგიერთი კუთხისთვის ... ყოველ შემთხვევაში, ყველაზე ზოგადი თვალსაზრისით. მაშინ არც აქ იქნება პრობლემა.

ასე რომ, გაკვირვებული ვართ, მაგრამ გახსოვდეთ: რკალი, არქოზინი, არქტანგენსი და არქტანგენსი მხოლოდ რამდენიმე კუთხეა.Არც მეტი არც ნაკლები. არის კუთხე, ვთქვათ 30°. და არის კუთხე arcsin0.4. ან arctg (-1.3). არსებობს ყველანაირი კუთხე.) თქვენ უბრალოდ შეგიძლიათ დაწეროთ კუთხეები სხვადასხვა გზით. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ კუთხე გრადუსებში ან რადიანებში. ან შეგიძლია - მისი სინუსის, კოსინუსის, ტანგენტისა და კოტანგენტის მეშვეობით...

რას ნიშნავს გამოთქმა

arcsin 0.4?

ეს არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0,4! Დიახ დიახ. ეს არის არქსინის მნიშვნელობა. კონკრეტულად ვიმეორებ: arcsin 0.4 არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0.4.

და ეს არის ის.

იმისთვის, რომ ეს უბრალო აზრი დიდხანს შემენარჩუნებინა, ამ საშინელი ტერმინის - არქსინის ახსნასაც კი მოვიყვან:

რკალი ცოდვა 0,4
ინექცია, რომლის სინუსი უდრის 0.4

როგორც წერია ისე ისმის.) თითქმის. პრეფიქსი რკალინიშნავს რკალი(სიტყვა თაღოვანიიცით?), რადგან უძველესი ხალხი კუთხეების ნაცვლად რკალებს იყენებდა, მაგრამ ეს არ ცვლის საქმის არსს. დაიმახსოვრეთ მათემატიკური ტერმინის ეს ელემენტარული გაშიფვრა! უფრო მეტიც, რკალის კოსინუსისთვის, რკალის ტანგენტისთვის და რკალის ტანგენტისთვის, დეკოდირება განსხვავდება მხოლოდ ფუნქციის სახელით.

რა არის arccos 0.8?
ეს არის კუთხე, რომლის კოსინუსი არის 0,8.

რა არის არქტანი (-1,3)?
ეს არის კუთხე, რომლის ტანგენტია -1,3.

რა არის arcctg 12?
ეს არის კუთხე, რომლის კოტანგენსი არის 12.

ასეთი ელემენტარული გაშიფვრა საშუალებას იძლევა, სხვათა შორის, თავიდან ავიცილოთ ეპიკური შეცდომები.) მაგალითად, გამოთქმა arccos1,8 საკმაოდ მყარად გამოიყურება. დავიწყოთ დეკოდირება: arccos1,8 არის კუთხე, რომლის კოსინუსი უდრის 1,8-ს... ჰოპ-ჰოპ!? 1.8!? კოსინუსი არ შეიძლება იყოს ერთზე მეტი!

უფლება. გამოთქმას arccos1,8 აზრი არ აქვს. და ასეთი გამოთქმის დაწერა გარკვეულ პასუხში დიდად გაამხიარულებს შემმოწმებელს.)

ელემენტარული, როგორც ხედავთ.) თითოეულ კუთხეს აქვს თავისი პირადი სინუსი და კოსინუსი. და თითქმის ყველას აქვს თავისი ტანგენსი და კოტანგენსი. მაშასადამე, ტრიგონომეტრიული ფუნქციის ცოდნით, შეგიძლიათ თავად ჩამოწეროთ კუთხე. ამისთვის განკუთვნილია არქსინები, არკოზინები, არქტანგენტები და არკოტანგენტები. გარდა ამისა, მე მთელ ამ ოჯახს დავარქმევ დამამცირებელს - თაღები.ნაკლები აკრეფა.)

ყურადღება! ელემენტარული სიტყვიერი და შეგნებულითაღების გაშიფვრა საშუალებას გაძლევთ მშვიდად და თავდაჯერებულად გადაჭრათ სხვადასხვა ამოცანები. Და ში უჩვეულოდავალებებს მხოლოდ ის ინახავს.

შესაძლებელია თუ არა თაღებიდან ჩვეულებრივ გრადუსებზე ან რადიანებზე გადასვლა?- მესმის ფრთხილი კითხვა.)

Რატომაც არა!? ადვილად. შეგიძლია იქ წახვიდე და უკან. უფრო მეტიც, ზოგჯერ საჭიროა ამის გაკეთება. თაღები მარტივი რამ არის, მაგრამ მათ გარეშე რაღაცნაირად უფრო მშვიდია, არა?)

მაგალითად: რა არის arcsin 0.5?

მოდით შევხედოთ გაშიფვრას: arcsin 0.5 არის კუთხე, რომლის სინუსი არის 0.5.ახლა ჩართეთ თავი (ან გუგლი)) და გახსოვთ რომელ კუთხეს აქვს სინუსი 0,5? სინუსი არის 0,5 y კუთხე 30 გრადუსი. სულ ეს არის: arcsin 0.5 არის 30° კუთხე.შეგიძლიათ უსაფრთხოდ დაწეროთ:

რკალი 0,5 = 30°

ან, უფრო მყარად, რადიანების თვალსაზრისით:

ესე იგი, შეგიძლიათ დაივიწყოთ რკალი და იმუშაოთ ჩვეულებრივი გრადუსით ან რადიანებით.

თუ მიხვდა რა არის რკალი, არკოზინი... რა არის არქტანგენსი, არკოტანგენსი...შემდეგ თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გაუმკლავდეთ, მაგალითად, ასეთ ურჩხულს.)

უცოდინარი ადამიანი საშინლად უკან დაიხევს, დიახ...) და მცოდნე დაიმახსოვრეთ გაშიფვრა:რკალი არის კუთხე, რომლის სინუსი არის ... ისე და ა.შ. თუ მცოდნე ადამიანმა იცის სინუსების ცხრილიც... კოსინუსების ცხრილი. ტანგენტებისა და კოტანგენტების ცხრილი, მაშინ არანაირი პრობლემა არ არის!

საკმარისია გავითვალისწინოთ, რომ:

გავშიფრავ, ე.ი. თარგმნეთ ფორმულა სიტყვებად: კუთხე, რომლის ტანგენტია 1 (arctg1)არის 45° კუთხე. ან, რაც იგივეა, Pi/4. ანალოგიურად:

და ეს ყველაფერი... ჩვენ ყველა თაღს ვცვლით რადიანებში მნიშვნელობებით, ყველაფერი შემცირებულია, რჩება გამოთვლა რამდენი იქნება 1 + 1. ეს იქნება 2.) რომელია სწორი პასუხი.

ასე შეგიძლიათ (და უნდა) გადახვიდეთ რკალებიდან, რკოსინებიდან, არქტანგენტებიდან და არქტანგენტებიდან ჩვეულებრივ გრადუსებსა და რადიანებზე. ეს მნიშვნელოვნად ამარტივებს საშინელ მაგალითებს!

ხშირად, ასეთ მაგალითებში, შიგნით არის თაღები უარყოფითიღირებულებები. მაგალითად, arctg(-1.3), ან, მაგალითად, arccos(-0.8)... ეს არ არის პრობლემა. აქ მოცემულია რამდენიმე მარტივი ფორმულა უარყოფითიდან დადებითზე გადასვლისთვის:

თქვენ უნდა, ვთქვათ, განსაზღვროთ გამოხატვის მნიშვნელობა:

ამის ამოხსნა შეგიძლიათ ტრიგონომეტრიული წრის გამოყენებით, მაგრამ არ გსურთ მისი დახატვა. Კარგი. მიდის უარყოფითიმნიშვნელობები რკალის შიგნით კოსინუსში დადებითიმეორე ფორმულის მიხედვით:

არკოზინის შიგნით უკვე მარჯვნივ დადებითიმნიშვნელობა. Რა

თქვენ უბრალოდ უნდა იცოდეთ. რჩება რადიანების ჩანაცვლება რკალის კოსინუსის ნაცვლად და გამოვთვალოთ პასუხი:

Სულ ეს არის.

შეზღუდვები არქსინზე, არკოზინზე, არქტანგენზე, არკოტანგენზე.

არის თუ არა პრობლემა 7-9 მაგალითებთან? კარგი, დიახ, არის რაღაც ხრიკი.)

ყველა ეს მაგალითი, 1-დან მე-9-მდე, საგულდაგულოდ არის დალაგებული თაროებზე 555-ე ნაწილში. რა, როგორ და რატომ. ყველა საიდუმლო ხაფანგითა და ხრიკებით. პლუს გზები გადაწყვეტის მკვეთრად გამარტივებისთვის. სხვათა შორის, ეს განყოფილება შეიცავს უამრავ სასარგებლო ინფორმაციას და პრაქტიკულ რჩევებს ზოგადად ტრიგონომეტრიის შესახებ. და არა მარტო ტრიგონომეტრიაში. ძალიან ეხმარება.

თუ მოგწონთ ეს საიტი...

სხვათა შორის, მე მაქვს კიდევ რამდენიმე საინტერესო საიტი თქვენთვის.)

შეგიძლიათ ივარჯიშოთ მაგალითების ამოხსნაში და გაიგოთ თქვენი დონე. ტესტირება მყისიერი გადამოწმებით. სწავლა - ინტერესით!)

შეგიძლიათ გაეცნოთ ფუნქციებს და წარმოებულებს.

არქტანგენტი (y = arctg x) არის ტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია (x = tg y
tg (arctg x) = x
arctg(tg x) = x

რკალის ტანგენსი აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

რკალი ტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი

y = ფუნქციის გრაფიკი arctg x

არქტანგენტური ნაკვეთი მიიღება ტანგენტის ნაკვეთიდან აბსცისა და ორდინატთა ღერძების ურთიერთგაცვლით. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, მნიშვნელობების ნაკრები შემოიფარგლება ინტერვალით, რომელზედაც ფუნქცია მონოტონურია. ამ განმარტებას უწოდებენ რკალის ტანგენსის მთავარ მნიშვნელობას.

თაღოვანი თაღოვანი, რკალი

რკალის ტანგენსი (y = arcctg x) არის კოტანგენსის შებრუნებული ფუნქცია (x = ctg y). მას აქვს ფარგლები და ღირებულებების ნაკრები.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

რკალის ტანგენსი აღინიშნება შემდეგნაირად:
.

რკალის კოტანგენტის ფუნქციის გრაფიკი

y = ფუნქციის გრაფიკი arcctg x

რკალის ტანგენსის ნაკვეთი მიიღება კოტანგენტის ნაკვეთიდან აბსცისა და ორდინატთა ღერძების ურთიერთგაცვლით. გაურკვევლობის აღმოსაფხვრელად, დიაპაზონი შემოიფარგლება იმ ინტერვალით, რომელზედაც ფუნქცია მონოტონურია. ასეთ განსაზღვრებას ეწოდება რკალის ტანგენსის ძირითადი მნიშვნელობა.

პარიტეტი

არქტანგენტის ფუნქცია უცნაურია:
არქტანი(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

რკალის კოტანგენტის ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

თვისებები - უკიდურესი, მატება, შემცირება

არქტანგენსი და არკოტანგენსი ფუნქციები უწყვეტია მათ დომენზე, ანუ ყველა x-ისთვის. (იხ. უწყვეტობის დამადასტურებელი საბუთი). არქტანგენტისა და არკოტანგენსის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

	y= arctg x	y= arcctg x
ფარგლები და უწყვეტობა	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
ბევრი ღირებულება
Აღმავალი დაღმავალი	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
მაღალი, დაბალი	არა	არა
ნულები, y= 0	x= 0	არა
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

რკალის ტანგენტებისა და რკალის ტანგენტების ცხრილი

ეს ცხრილი გვიჩვენებს რკალის ტანგენტებისა და რკალის ტანგენტების მნიშვნელობებს, გრადუსებში და რადიანებში, არგუმენტის ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის.

x	arctg x		arcctg x
	გრადუსი	გახარებული.	გრადუსი	გახარებული.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30 °	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

ფორმულები

ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

ზე

გამონათქვამები ლოგარითმის, რთული რიცხვების მიხედვით

,
.

გამონათქვამები ჰიპერბოლური ფუნქციების მიხედვით

წარმოებულები

იხილეთ არქტანგენტისა და არკოტანგენტის წარმოებულების წარმოებულები > > >

უმაღლესი ორდერების წარმოებულები:
იყოს . მაშინ რკალის ტანგენტის n-ე წარმოებული შეიძლება იყოს წარმოდგენილი ერთ-ერთი შემდეგი გზით:
;
.
სიმბოლო ნიშნავს შემდეგი გამონათქვამის წარმოსახვით ნაწილს.

იხილეთ რკალის ტანგენტისა და რკალის ტანგენსის უმაღლესი რიგის წარმოებულების წარმოებულები > > >
იქ ასევე მოცემულია პირველი ხუთი რიგის წარმოებულების ფორმულები.

ანალოგიურად რკალის ტანგენსისთვის. იყოს . მაშინ
;
.

ინტეგრალები

ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას x = ტგ ტდა ინტეგრირება ნაწილების მიხედვით:
;
;
;

ჩვენ გამოვხატავთ რკალის ტანგენტს რკალის ტანგენტის მეშვეობით:
.

დენის სერიის გაფართოება

იყიდება |x| ≤ 1 ხდება შემდეგი დაშლა:
;
.

ინვერსიული ფუნქციები

არქტანგენსის და რკოტანგენსის ინვერსიები არის ტანგენსი და კოტანგენსი, შესაბამისად.

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს განმარტების მთელ სფეროში:
tg (arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

შემდეგი ფორმულები მოქმედებს მხოლოდ რკალის ტანგენტისა და რკალის ტანგენტის მნიშვნელობების სიმრავლეზე:
arctg(tg x) = xზე
arcctg(ctg x) = xზე.

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.