შემთხვევითი ცვლადები დაკავშირებულია შემთხვევით მოვლენებთან. შემთხვევით მოვლენებზე საუბრობენ, როდესაც შეუძლებელია ცალსახად წინასწარ განსაზღვრო შედეგი, რომელიც შეიძლება მიღებულ იქნას გარკვეულ პირობებში.

დავუშვათ, რომ ჩვეულებრივ მონეტას ვაგდებთ. როგორც წესი, ამ პროცედურის შედეგი არ არის ცალსახად გარკვეული. მხოლოდ დარწმუნებით შეიძლება ითქვას, რომ ორიდან ერთი მოხდება: ან თავები ან კუდები ამოვარდება. ამ მოვლენებიდან ნებისმიერი იქნება შემთხვევითი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ ცვლადი, რომელიც აღწერს ამ შემთხვევითი მოვლენის შედეგს. ცხადია, ეს ცვლადი მიიღებს ორ დისკრეტულ მნიშვნელობას: თავები და კუდები. ვინაიდან წინასწარ ზუსტად ვერ ვიწინასწარმეტყველებთ, ორი შესაძლო მნიშვნელობიდან რომელს მიიღებს ეს ცვლადი, შეიძლება ითქვას, რომ ამ შემთხვევაში საქმე გვაქვს შემთხვევით ცვლადებთან.

ახლა დავუშვათ, რომ ექსპერიმენტში ჩვენ ვაფასებთ სუბიექტის რეაქციის დროს რაიმე სტიმულის წარდგენისას. როგორც წესი, გამოდის, რომ მაშინაც კი, როდესაც ექსპერიმენტატორი იღებს ყველა ზომას ექსპერიმენტული პირობების სტანდარტიზებისთვის, სტიმულის წარმოდგენის შესაძლო ვარიაციების მინიმუმამდე დაყვანის ან თუნდაც აღმოფხვრის შემთხვევაში, სუბიექტის რეაქციის დროის გაზომილი მნიშვნელობები მაინც განსხვავდება. ამ შემთხვევაში, ისინი ამბობენ, რომ სუბიექტის რეაქციის დრო აღწერილია შემთხვევითი ცვლადით. ვინაიდან, პრინციპში, ექსპერიმენტში შეგვიძლია მივიღოთ რეაქციის დროის ნებისმიერი მნიშვნელობა - რეაქციის დროის შესაძლო მნიშვნელობების ნაკრები, რომელიც შეიძლება მივიღოთ გაზომვების შედეგად, აღმოჩნდება უსასრულო, - ამბობენ მათ შესახებ. უწყვეტობა ეს შემთხვევითი ცვლადი.

ჩნდება კითხვა: არის თუ არა რაიმე კანონზომიერება შემთხვევითი ცვლადების ქცევაში? ამ კითხვაზე პასუხი დადებითი გამოდის.

ამგვარად, თუ ადამიანი ერთი და იგივე მონეტის უსასრულო რაოდენობის სროლას განახორციელებს, აღმოაჩენს, რომ წვეთების რაოდენობა მონეტის ორივე მხარეს დაახლოებით იგივე იქნება, თუ, რა თქმა უნდა, მონეტა ყალბი არ არის და არ არის მოხრილი. . ამ შაბლონის ხაზგასასმელად შემოღებულია შემთხვევითი მოვლენის ალბათობის კონცეფცია. ნათელია, რომ მონეტის გადაყრის შემთხვევაში, ორი შესაძლო მოვლენადან ერთ-ერთი უშეცდომოდ მოხდება. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ამ ორი მოვლენის ჯამური ალბათობა, სხვაგვარად საერთო ალბათობას, არის 100%. თუ ვივარაუდებთ, რომ მონეტის ტესტირებასთან დაკავშირებული ორივე მოვლენა ხდება თანაბარი ალბათობით, მაშინ თითოეული შედეგის ალბათობა ცალ-ცალკე, ცხადია, გამოდის 50%. ამრიგად, თეორიული მოსაზრებები საშუალებას გვაძლევს აღვწეროთ მოცემული შემთხვევითი ცვლადის ქცევა. მათემატიკურ სტატისტიკაში ასეთი აღწერა აღინიშნება ტერმინით "შემთხვევითი ცვლადის განაწილება".

სიტუაცია უფრო რთულია შემთხვევითი ცვლადით, რომელსაც არ აქვს კარგად განსაზღვრული მნიშვნელობების ნაკრები, ე.ი. უწყვეტი აღმოჩნდება. მაგრამ ამ შემთხვევაშიც შეიძლება აღინიშნოს მისი ქცევის რამდენიმე მნიშვნელოვანი კანონზომიერება. ასე რომ, სუბიექტის რეაქციის დროის გაზომვით ექსპერიმენტის ჩატარებისას შეიძლება აღინიშნოს, რომ სუბიექტის რეაქციის ხანგრძლივობის სხვადასხვა ინტერვალები შეფასებულია სხვადასხვა ხარისხის ალბათობით. სავარაუდოა, რომ სუბიექტი ძალიან სწრაფად რეაგირებს. მაგალითად, სემანტიკური გადაწყვეტილების ამოცანებისას, სუბიექტები პრაქტიკულად ვერ პასუხობენ მეტ-ნაკლებად ზუსტად 500 ms-ზე (1/2 წმ) ნაკლები სიჩქარით. ანალოგიურად, ნაკლებად სავარაუდოა, რომ სუბიექტმა, რომელიც ერთგულად მიჰყვება ექსპერიმენტატორის მითითებებს, მნიშვნელოვნად დააყოვნებს მის პასუხს. სემანტიკური გადაწყვეტილების პრობლემებში, მაგალითად, პასუხები, რომლებიც შეფასებულია 5 წმ-ზე მეტს, ჩვეულებრივ არასანდოად ითვლება. მიუხედავად ამისა, 100% დარწმუნებით, შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ სუბიექტის რეაქციის დრო იქნება 0-დან + co-მდე დიაპაზონში. მაგრამ ეს ალბათობა არის შემთხვევითი ცვლადის თითოეული ინდივიდუალური მნიშვნელობის ალბათობების ჯამი. ამრიგად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილება შეიძლება აღწერილი იყოს როგორც უწყვეტი ფუნქცია y = ვ (X ).

თუ საქმე გვაქვს დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადთან, როდესაც მისი ყველა შესაძლო მნიშვნელობა წინასწარ არის ცნობილი, როგორც მონეტის მაგალითში, მისი განაწილებისთვის მოდელის აშენება, როგორც წესი, არც ისე რთულია. საკმარისია შემოვიტანოთ მხოლოდ რამდენიმე გონივრული დაშვება, როგორც ეს გავაკეთეთ განხილულ მაგალითში. სიტუაცია უფრო რთულია უწყვეტი სიდიდეების განაწილებით, რომლებიც წინასწარ იღებენ უცნობი რაოდენობის მნიშვნელობებს. რა თქმა უნდა, თუ ჩვენ, მაგალითად, შევიმუშავებთ თეორიულ მოდელს, რომელიც აღწერს სუბიექტის ქცევას ექსპერიმენტში, რეაქციის დროის გაზომვით სემანტიკური ამოხსნის პრობლემის გადაჭრისას, შეგვიძლია ვცადოთ რეაქციის კონკრეტული მნიშვნელობების თეორიული განაწილება. ერთი და იგივე სტიმულის წარდგენისას ერთი და იგივე საგნის დრო. თუმცა, ეს ყოველთვის არ არის შესაძლებელი. ამიტომ, ექსპერიმენტატორი შეიძლება აიძულოს ვივარაუდოთ, რომ მისთვის საინტერესო შემთხვევითი ცვლადის განაწილება აღწერილია წინასწარ უკვე შესწავლილი კანონით. ყველაზე ხშირად, თუმცა ეს შეიძლება ყოველთვის არ იყოს აბსოლუტურად სწორი, ამ მიზნებისთვის გამოიყენება ეგრეთ წოდებული ნორმალური განაწილება, რომელიც მოქმედებს როგორც სტანდარტი ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის განაწილებისთვის, მიუხედავად მისი ბუნებისა. ეს განაწილება პირველად მათემატიკურად იყო აღწერილი მე-18 საუკუნის პირველ ნახევარში. დე მოივრე.

Ნორმალური დისტრიბუცია ხდება მაშინ, როდესაც ჩვენთვის საინტერესო ფენომენი ექვემდებარება უსასრულო რაოდენობის შემთხვევითი ფაქტორების გავლენას, რომლებიც აბალანსებს ერთმანეთს. ფორმალურად, ნორმალური განაწილება, როგორც დე მოივმა აჩვენა, შეიძლება აღწერილი იყოს შემდეგი ურთიერთობით:

სადაც X წარმოადგენს ჩვენთვის საინტერესო შემთხვევით ცვლადს, რომლის ქცევას ვსწავლობთ; რ არის ალბათობის მნიშვნელობა, რომელიც დაკავშირებულია ამ შემთხვევით ცვლადთან; π და e - კარგად ცნობილი მათემატიკური მუდმივები, რომლებიც აღწერენ, შესაბამისად, წრეწირის შეფარდებას დიამეტრსა და ბუნებრივი ლოგარითმის ფუძესთან; μ და σ2 არის შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების პარამეტრები, შესაბამისად, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და ვარიაცია. X.

ნორმალური განაწილების აღსაწერად საჭირო და საკმარისი აღმოჩნდება მხოლოდ μ და σ2 პარამეტრების განსაზღვრა.

ამიტომ, თუ გვაქვს შემთხვევითი ცვლადი, რომლის ქცევა აღწერილია (1.1) განტოლებით μ და σ2 თვითნებური მნიშვნელობებით, მაშინ შეგვიძლია აღვნიშნოთ როგორც Ν (μ, σ2) ამ განტოლების ყველა დეტალის დამახსოვრების გარეშე.

ბრინჯი. 1.1.

ნებისმიერი განაწილება შეიძლება ვიზუალურად იყოს წარმოდგენილი გრაფიკის სახით. გრაფიკულად ნორმალურ განაწილებას აქვს ზარის ფორმის მრუდის ფორმა, რომლის ზუსტი ფორმა განისაზღვრება განაწილების პარამეტრებით, ე.ი. მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება. ნორმალური განაწილების პარამეტრებს შეუძლიათ მიიღონ თითქმის ნებისმიერი მნიშვნელობა, რომელიც შემოიფარგლება მხოლოდ ექსპერიმენტატორის მიერ გამოყენებული საზომი მასშტაბით. თეორიულად, მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობა შეიძლება იყოს ნებისმიერი რიცხვი რიცხვების დიაპაზონიდან -∞-დან +∞-მდე, ხოლო ვარიაცია შეიძლება იყოს ნებისმიერი არაუარყოფითი რიცხვი. აქედან გამომდინარე, არსებობს უსასრულო რაოდენობის სხვადასხვა ტიპის ნორმალური განაწილება და, შესაბამისად, უსასრულო რაოდენობის მრუდები, რომლებიც წარმოადგენენ მას (თუმცა მსგავსი ზარის ფორმის მქონე). გასაგებია, რომ ყველა მათგანის აღწერა შეუძლებელია. თუმცა, თუ კონკრეტული ნორმალური განაწილების პარამეტრები ცნობილია, ის შეიძლება გარდაიქმნას ე.წ ერთეული ნორმალური განაწილება, მათემატიკური მოლოდინი, რომლის ტოლია ნულის ტოლი და დისპერსიული ტოლია ერთი. ამ ნორმალურ განაწილებას ასევე უწოდებენ სტანდარტული ან z-განაწილება. ერთეულის ნორმალური განაწილების დიაგრამა ნაჩვენებია ნახ. 1.1, საიდანაც აშკარაა, რომ ნორმალური განაწილების ზარის ფორმის მრუდის ზედა ნაწილი ახასიათებს მათემატიკური მოლოდინის მნიშვნელობას. ნორმალური განაწილების კიდევ ერთი პარამეტრი - დისპერსია - ახასიათებს ზარის ფორმის მრუდის "გავრცელების" ხარისხს ჰორიზონტალურთან (აბსცისის ღერძი).

სხვა სახის განაწილებასთან შედარებით. ამ განაწილების მთავარი მახასიათებელია ის, რომ ყველა სხვა განაწილების კანონი მიდრეკილია ამ კანონისკენ ცდების რაოდენობის უსასრულო გამეორებით. როგორ მიიღება ეს განაწილება?

წარმოიდგინეთ, რომ ხელის დინამომეტრის აღებისას თქვენ იმყოფებით თქვენს ქალაქში ყველაზე ხალხმრავალ ადგილას. და ყველას, ვინც გაივლის, თქვენ შესთავაზებთ გაზომოთ თქვენი ძალა დინამომეტრის მარჯვენა ან მარცხენა ხელით დაჭერით. თქვენ ყურადღებით ჩაწერეთ დინამომეტრის ჩვენებები. გარკვეული პერიოდის შემდეგ, საკმარისად დიდი რაოდენობის ტესტებით, თქვენ დებთ დინამომეტრის მაჩვენებლებს აბსცისის ღერძზე, ხოლო იმ ადამიანთა რაოდენობას, ვინც ეს მაჩვენებელი „დააწურა“ ორდინატთა ღერძზე. მიღებული წერტილები ერთმანეთთან დაკავშირებულია გლუვი ხაზით. შედეგი არის მრუდი, რომელიც ნაჩვენებია სურათზე 9.8. ამ მრუდის ფორმა დიდად არ შეიცვლება ექსპერიმენტის დროის გაზრდით. უფრო მეტიც, რაღაც მომენტიდან ახალი მნიშვნელობები მხოლოდ დახვეწავს მრუდს მისი ფორმის შეცვლის გარეშე.

ბრინჯი. 9.8.

ახლა ჩვენი დინამომეტრით გადავინაცვლოთ სპორტულ დარბაზში და გავიმეოროთ ექსპერიმენტი. ახლა მრუდის მაქსიმუმი გადაინაცვლებს მარჯვნივ, მარცხენა ბოლო რამდენადმე გამკაცრდება, ხოლო მარჯვენა ბოლო უფრო ციცაბო (ნახ. 9.9).

ბრინჯი. 9.9.

გაითვალისწინეთ, რომ მეორე განაწილების მაქსიმალური სიხშირე (პუნქტი B) დაბალი იქნება პირველი განაწილების მაქსიმალურ სიხშირეზე (პუნქტი A). ეს შეიძლება აიხსნას იმით, რომ სპორტდარბაზში დამსწრე ადამიანების რაოდენობა ნაკლები იქნება პირველ შემთხვევაში ექსპერიმენტატორთან ახლოს (ქალაქის ცენტრში საკმაოდ ხალხმრავალ ადგილას) იმ ადამიანების რაოდენობაზე, ვინც გაიარა. მაქსიმუმი მარჯვნივ გადავიდა, რადგან სპორტულ დარბაზებს ზოგად ფონთან შედარებით ფიზიკურად უფრო ძლიერი ხალხი ესწრება.

და ბოლოს, ჩვენ ვეწვევით სკოლებს, საბავშვო ბაღებსა და მოხუცთა სახლებს იმავე მიზნით: გამოვავლინოთ ამ ადგილების მნახველთა ხელების ძალა. და ისევ, განაწილების მრუდს ექნება მსგავსი ფორმა, მაგრამ ახლა, ცხადია, მისი მარცხენა ბოლო უფრო ციცაბო იქნება, ხოლო მარჯვენა ბოლო უფრო გამკაცრებული. და როგორც მეორე შემთხვევაში, მაქსიმუმი (C წერტილი) უფრო დაბალი იქნება ვიდრე A წერტილი (ნახ. 9.10).

ბრინჯი. 9.10.

ნორმალური განაწილების ეს შესანიშნავი თვისება - შეინარჩუნოს ალბათობის სიმკვრივის მრუდის ფორმა (ნახ. 8 - 10) შენიშნა და აღწერა 1733 წელს მოივრემ, შემდეგ კი გამოიკვლია გაუსმა.

სამეცნიერო კვლევებში, ტექნოლოგიაში, მასობრივ ფენომენებში ან ექსპერიმენტებში, როდესაც საქმე ეხება შემთხვევითი ცვლადების განმეორებით გამეორებას მუდმივ ექსპერიმენტულ პირობებში, ისინი ამბობენ, რომ ტესტის შედეგები განიცდის შემთხვევით გაფანტვას, ემორჩილება ნორმალური განაწილების მრუდის კანონს.

(21)

სად ხდება ყველაზე ხშირად მოვლენა. როგორც წესი, ფორმულაში (21) პარამეტრის ნაცვლად, . უფრო მეტიც, რაც უფრო გრძელია ექსპერიმენტული სერია, მით უფრო ნაკლები იქნება პარამეტრი მათემატიკური მოლოდინისგან. მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი (ნახ. 9.11) მიჩნეულია ერთის ტოლად. x-ღერძის ნებისმიერი ინტერვალის შესაბამისი ფართობი რიცხობრივად უდრის შემთხვევითი შედეგის ამ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობას.

ბრინჯი. 9.11.

ნორმალური განაწილების ფუნქციას აქვს ფორმა

(22)

გაითვალისწინეთ, რომ ნორმალური მრუდი (ნახ. 9.11) სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ და ასიმპტომურად უახლოვდება OX ღერძს .

გამოთვალეთ მათემატიკური მოლოდინი ნორმალური კანონისთვის

(23)

ნორმალური განაწილების თვისებები

მოდით განვიხილოთ ამ ყველაზე მნიშვნელოვანი განაწილების ძირითადი თვისებები.

საკუთრება 1. ნორმალური განაწილების (21) სიმკვრივის ფუნქცია განსაზღვრავს მთელ x-ღერძს.

საკუთრება 2. ნორმალური განაწილების (21) სიმკვრივის ფუნქცია ნულზე მეტია განსაზღვრების ნებისმიერი დომენისთვის ().

საკუთრება 3. უსასრულო მატებით (კლებით), განაწილების ფუნქცია (21) ნულისკენ მიისწრაფვის .

საკუთრება 4. როდესაც , (21)-ით მოცემულ განაწილების ფუნქციას აქვს უდიდესი მნიშვნელობა ტოლი

(24)

საკუთრება 5. ფუნქციის გრაფიკი (ნახ. 9.11) სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ.

საკუთრება 6. ფუნქციის გრაფიკს (ნახ. 9.11) აქვს ორი გადახრის წერტილი, რომლებიც სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ:

(25)

საკუთრება 7. ყველა უცნაური ცენტრალური მომენტი ნულის ტოლია. გაითვალისწინეთ, რომ თვისება 7-ის გამოყენებით, ფუნქციის ასიმეტრია განისაზღვრება ფორმულით. თუ, მაშინ ისინი ასკვნიან, რომ შესასწავლი განაწილება სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ. თუ , მაშინ ისინი ამბობენ, რომ მწკრივი გადატანილია მარჯვნივ (უფრო ნაზად დახრილი გრაფის მარჯვენა ტოტი ან გამკაცრებულია). თუ , მაშინ ითვლება, რომ მწკრივი მარცხნივ არის გადატანილი (გრაფიკის უფრო გაბრტყელებული მარცხენა ტოტი ნახ. 9.12-ზე).

ბრინჯი. 9.12.

საკუთრება 8. განაწილების კურტოზი არის 3. პრაქტიკაში ხშირად გამოითვლება და გრაფიკის „შეკუმშვის“ ან „დაბუნდოვნების“ ხარისხი განისაზღვრება ამ მნიშვნელობის ნულთან სიახლოვით (ნახ. 9.13). და რადგან ის დაკავშირებულია , ის საბოლოოდ ახასიათებს მონაცემთა სიხშირის დისპერსიის ხარისხს. და რადგან ის განსაზღვრავს

ყველაზე ცნობილი და ხშირად გამოყენებული კანონი ალბათობის თეორიაში არის ნორმალური განაწილების კანონი ან გაუსის კანონი .

მთავარი თვისებანორმალური განაწილების კანონი მდგომარეობს იმაში, რომ ის არის შემზღუდველი კანონი სხვა განაწილების კანონებისთვის.

გაითვალისწინეთ, რომ ნორმალური განაწილებისთვის, ინტეგრალურ ფუნქციას აქვს ფორმა:

.

ახლა ვაჩვენოთრომ პარამეტრების სავარაუდო მნიშვნელობა და ასეთია: ა არსებობს მათემატიკური მოლოდინი, - ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა (ეს არის ):

ა) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინის განმარტებით გვაქვს

მართლა

,

ვინაიდან ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ არის უცნაური ფუნქცია და ინტეგრაციის საზღვრები სიმეტრიულია საწყისის მიმართ;

- პუასონის ინტეგრალი .

ასე რომ, ნორმალური განაწილების მათემატიკური მოლოდინი პარამეტრის ტოლია ა .

ბ) უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიის განმარტებით და იმის გათვალისწინებით, რომ შეგვიძლია დავწეროთ

.

ნაწილების მიერ ინტეგრირება, დაყენება , იპოვე

აქედან გამომდინარე .

ასე რომ, ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა უდრის პარამეტრს.

თუ და ნორმალურ განაწილებას ეწოდება ნორმალიზებული (ან, სტანდარტული ნორმალური) განაწილება. შემდეგ, ცხადია, ნორმალიზებული სიმკვრივე (დიფერენციალური) და ნორმალიზებული ინტეგრალური განაწილების ფუნქცია დაიწერება შესაბამისად სახით:

(ფუნქციას, როგორც მოგეხსენებათ, ეწოდება ლაპლასის ფუნქცია (იხ. ლექცია 5) ან ალბათობის ინტეგრალი. ორივე ფუნქციას, ე.ი. , არის ცხრილი და მათი მნიშვნელობები აღირიცხება შესაბამის ცხრილებში).

ნორმალური განაწილების თვისებები (ნორმალური მრუდის თვისებები):

1. ცხადია, ფუნქცია მთელ რეალურ ხაზზე.

2. , ანუ ნორმალური მრუდი მდებარეობს ღერძის ზემოთ ოჰ .

3. , ანუ ღერძი ოჰ ემსახურება გრაფიკის ჰორიზონტალურ ასიმპტოტს.

4. ნორმალური მრუდი სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ x = a (შესაბამისად, ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია ღერძის მიმართ OU ).

ამიტომ შეგვიძლია დავწეროთ: .

5. .

6. ადვილია იმის ჩვენება, რომ ქულები და არის ნორმალური მრუდის გადახრის წერტილები (დაადასტურეთ საკუთარი თავი).

7.აშკარაა რომ

მაგრამ მას შემდეგ , მაშინ . გარდა ამისა მაშასადამე, ყველა უცნაური მომენტი ნულის ტოლია.

თუნდაც წამებით შეგვიძლია დავწეროთ:

8. .

9. .

10. , სადაც .

11. შემთხვევითი ცვლადის უარყოფითი მნიშვნელობებისთვის: , სადაც .

13. განაწილების ცენტრის სიმეტრიულ ნაკვეთზე შემთხვევითი ცვლადის მოხვედრის ალბათობა უდრის:

მაგალითი 3. აჩვენეთ, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი X გადაუხვევს მოლოდინს მ(X) მეტი აღარ .

გადაწყვეტილება. ნორმალური განაწილებისთვის: .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა იმისა, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა გადააჭარბებსსამმაგი სტანდარტული გადახრა არის ძალიან მცირე, კერძოდ 0.0027. ეს ნიშნავს, რომ მხოლოდ 0.27% შემთხვევაში შეიძლება ეს მოხდეს. ასეთი მოვლენები, წარმოუდგენელი მოვლენების შეუძლებლობის პრინციპიდან გამომდინარე, შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად შეუძლებლად.

ასე რომ, მოვლენა 0,9973 ალბათობით შეიძლება ჩაითვალოს პრაქტიკულად გარკვეულად, ანუ შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მათემატიკური მოლოდინიდან არაუმეტეს .

მაგალითი 4. შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების მახასიათებლების ცოდნა X - ფოლადის დაჭიმვის სიძლიერე: კგ / მმ 2 და კგ / მმ 2, იპოვნეთ ფოლადის მიღების ალბათობა 31 კგ / მმ 2-დან 35 კგ / მმ 2-მდე.

გადაწყვეტილება.

3. ექსპონენციალური განაწილება (ექსპონენციალური განაწილების კანონი)

ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება X , რომელიც აღწერილია დიფერენციალური ფუნქციით (განაწილების სიმკვრივე)

სადაც არის მუდმივი დადებითი მნიშვნელობა.

ექსპონენციალური განაწილება განისაზღვრება ერთიპარამეტრი . ექსპონენციური განაწილების ეს მახასიათებელი მიუთითებს მის უპირატესობაზე დისტრიბუციებზე, რომლებიც დამოკიდებულია უფრო მეტ პარამეტრზე. ჩვეულებრივ, პარამეტრები უცნობია და უნდა მოიძებნოს მათი შეფასებები (მიახლოებითი მნიშვნელობები); რა თქმა უნდა, უფრო ადვილია ერთი პარამეტრის შეფასება, ვიდრე ორი, ან სამი და ა.შ.

ექსპონენციალური განაწილების ინტეგრალური ფუნქციის დაწერა მარტივია:

ჩვენ განვსაზღვრეთ ექსპონენციალური განაწილება დიფერენციალური ფუნქციის გამოყენებით; ნათელია, რომ მისი დადგენა შესაძლებელია ინტეგრალური ფუნქციის გამოყენებით.

კომენტარი: განვიხილოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი თ - პროდუქტის მუშაობის ხანგრძლივობა. მოდით აღვნიშნოთ მისი მიღებული მნიშვნელობები ტ , . კუმულაციური განაწილების ფუნქცია განსაზღვრავს წარუმატებლობის ალბათობაპროდუქტები გარკვეული პერიოდის განმავლობაში ტ . აქედან გამომდინარე, მარცხის გარეშე მუშაობის ალბათობა იმავე დროის განმავლობაში ტ , ანუ საპირისპირო მოვლენის ალბათობა უდრის

განმარტება. ნორმალურიეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება, რომელიც აღწერილია ალბათობის სიმკვრივით

ნორმალურ განაწილებას ასევე უწოდებენ გაუსის კანონი.

ნორმალური განაწილების კანონი ცენტრალურია ალბათობის თეორიაში. ეს გამოწვეულია იმით, რომ ეს კანონი ვლინდება ყველა შემთხვევაში, როდესაც შემთხვევითი ცვლადი არის მრავალი განსხვავებული ფაქტორების შედეგი. ყველა სხვა განაწილების კანონი უახლოვდება ნორმალურ კანონს.

მარტივად შეიძლება აჩვენო, რომ პარამეტრები და შედის განაწილების სიმკვრივეში, შესაბამისად, X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა.

იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x).

ნორმალური განაწილების სიმკვრივის დიაგრამა ეწოდება ნორმალური მრუდიან გაუსის მრუდი.

ნორმალურ მრუდს აქვს შემდეგი თვისებები:

1) ფუნქცია განისაზღვრება მთელ რიცხვთა ღერძზე.

2) ყველასთვის Xგანაწილების ფუნქცია იღებს მხოლოდ დადებით მნიშვნელობებს.

3) OX ღერძი არის ალბათობის სიმკვრივის გრაფიკის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი, ვინაიდან არგუმენტის აბსოლუტური მნიშვნელობის შეუზღუდავი ზრდით X, ფუნქციის მნიშვნელობა ნულისკენ მიისწრაფვის.

4) იპოვეთ ფუნქციის უკიდურესი.

იმიტომ რომ ზე y' > 0ზე x< m და შენ< 0 ზე x > m, შემდეგ წერტილში x = tფუნქციას აქვს მაქსიმალური ტოლი.

5) ფუნქცია სიმეტრიულია სწორი ხაზის მიმართ x = a, იმიტომ განსხვავება

(x - a) შედის კვადრატული განაწილების სიმკვრივის ფუნქციაში.

6) გრაფიკის დახრის წერტილების საპოვნელად ვპოულობთ სიმკვრივის ფუნქციის მეორე წარმოებულს.

ზე x = m+ s და x = m- s მეორე წარმოებული უდრის ნულს და ამ წერტილებში გავლისას იცვლის ნიშანს, ე.ი. ამ წერტილებში ფუნქციას აქვს ფლექსია.

ამ წერტილებში ფუნქციის მნიშვნელობა არის .

ავაშენოთ განაწილების სიმკვრივის ფუნქციის გრაფიკი.

აშენდა გრაფიკები ტ=0 და სტანდარტული გადახრის სამი შესაძლო მნიშვნელობა s = 1, s = 2 და s = 7. როგორც ხედავთ, როგორც სტანდარტული გადახრის მნიშვნელობა იზრდება, გრაფიკი უფრო ბრტყელი ხდება, ხოლო მაქსიმალური მნიშვნელობა მცირდება.

Თუ ა> 0, მაშინ გრაფიკი გადაინაცვლებს დადებითი მიმართულებით თუ ა < 0 – в отрицательном.

ზე ა= 0 და s = 1 მრუდი ეწოდება ნორმალიზებული. ნორმალიზებული მრუდის განტოლება:

მოკლედ ვამბობთ, რომ CV X ემორჩილება კანონს N(m, s), ე.ი. X ~ N(m, s). m და s პარამეტრები ემთხვევა განაწილების ძირითად მახასიათებლებს: m = m X , s = s X = . თუ SV X ~ N(0, 1), მაშინ მას ეძახიან სტანდარტიზებული ნორმალური მნიშვნელობა. DF ეწოდება სტანდარტიზებულ ნორმალურ მნიშვნელობას ლაპლასის ფუნქციადა აღინიშნება როგორც Ф(x). ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას N(m, s) ნორმალური განაწილებისთვის ინტერვალის ალბათობების გამოსათვლელად:

P(x 1 £ X< x 2) = Ф - Ф .

ნორმალურ განაწილებაზე პრობლემების გადაჭრისას ხშირად საჭიროა ლაპლასის ფუნქციის ტაბულური მნიშვნელობების გამოყენება. ვინაიდან ლაპლასის ფუნქცია აკმაყოფილებს მიმართებას F(-x) = 1 - F(x), მაშინ საკმარისია ფუნქციის ტაბულური მნიშვნელობების არსებობა F(x)მხოლოდ დადებითი არგუმენტების მნიშვნელობებისთვის.

მათემატიკური მოლოდინის მიმართ სიმეტრიული ინტერვალის დარტყმის ალბათობისთვის მართებულია შემდეგი ფორმულა: P(|X - m X |< e) = 2×F(e/s) - 1.

ნორმალური განაწილების ცენტრალური მომენტები აკმაყოფილებს რეკურსიულ მიმართებას: m n +2 = (n+1)s 2 m n , n = 1, 2, ... . ეს გულისხმობს, რომ კენტი რიგის ყველა ცენტრალური მომენტი ნულის ტოლია (რადგან m 1 = 0).

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი მოცემულ ინტერვალში მოხვდება.

აღნიშნეთ

იმიტომ რომ ინტეგრალი არ არის გამოხატული ელემენტარული ფუნქციების მიხედვით, შემდეგ ფუნქცია შემოდის მხედველობაში

,

რომელსაც ქვია ლაპლასის ფუნქციაან ალბათობის ინტეგრალი.

ამ ფუნქციის მნიშვნელობები სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის Xგამოითვლება და წარმოდგენილია სპეციალურ ცხრილებში.

ქვემოთ მოცემულია ლაპლასის ფუნქციის გრაფიკი.

ლაპლასის ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები:

2) F(- X) = - F( X);

ლაპლასის ფუნქციასაც უწოდებენ შეცდომის ფუნქციადა აღვნიშნავთ ერფ x.

ჯერ კიდევ გამოიყენება ნორმალიზებულილაპლასის ფუნქცია, რომელიც დაკავშირებულია ლაპლასის ფუნქციასთან მიმართებით:

ქვემოთ მოცემულია ლაპლასის ნორმალიზებული ფუნქციის დიაგრამა.

ნორმალური განაწილების განხილვისას გამოიყოფა მნიშვნელოვანი განსაკუთრებული შემთხვევა, რომელიც ცნობილია როგორც სამი სიგმის წესი.

მოდით დავწეროთ ალბათობა იმისა, რომ ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის გადახრა მათემატიკური მოლოდინიდან ნაკლებია მოცემულ მნიშვნელობაზე D:

თუ მივიღებთ D = 3s, მაშინ ვიღებთ ლაპლასის ფუნქციის მნიშვნელობების ცხრილების გამოყენებით:

იმათ. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მათემატიკური მოლოდინიდან სამჯერ მეტი ოდენობით, ვიდრე სტანდარტული გადახრა, პრაქტიკულად ნულის ტოლია.

ამ წესს ე.წ სამი სიგმის წესი.

პრაქტიკაში მიჩნეულია, რომ თუ რომელიმე შემთხვევითი ცვლადისთვის სამი სიგმის წესი დაკმაყოფილებულია, მაშინ ამ შემთხვევით ცვლადს აქვს ნორმალური განაწილება.

მაგალითი.მატარებელი 100 ვაგონისგან შედგება. თითოეული ვაგონის მასა არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით მათემატიკური მოლოდინით ა= 65 ტ და სტანდარტული გადახრა s = 0,9 ტ. ლოკომოტივს შეუძლია ატაროს მატარებელი არაუმეტეს 6600 ტ-ისა, წინააღმდეგ შემთხვევაში აუცილებელია მეორე ლოკომოტივის მიმაგრება. იპოვეთ ალბათობა, რომ მეორე ლოკომოტივი არ არის საჭირო.

მეორე ლოკომოტივი არ არის საჭირო, თუ მატარებლის მასის გადახრა მოსალოდნელიდან (100 × 65 = 6500) არ აღემატება 6600 - 6500 = 100 ტონას.

იმიტომ რომ თითოეული ვაგონის მასას აქვს ნორმალური განაწილება, მაშინ მთელი მატარებლის მასაც ნორმალურად გადანაწილდება.

ჩვენ ვიღებთ:

მაგალითი.ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია მისი პარამეტრებით - a \u003d 2 -მათემატიკური მოლოდინი და s = 1 – სტანდარტული გადახრა. საჭიროა დაწეროთ ალბათობის სიმკვრივე და გამოვსახოთ იგი, იპოვოთ ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან (1; 3), იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ X გადახრის (მოდული) მათემატიკური მოლოდინიდან არაუმეტეს 2-ით.

განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

მოდით ავაშენოთ გრაფიკი:

ვიპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა ინტერვალში (1; 3).

იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი გადახრის მათემატიკური მოლოდინიდან არაუმეტეს 2-ის მნიშვნელობით.

იგივე შედეგი შეიძლება მივიღოთ ნორმალიზებული ლაპლასის ფუნქციის გამოყენებით.

ლექცია 8 დიდი რიცხვების კანონი(ნაწილი 2)

ლექციის გეგმა

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა (ზოგადი ფორმულირება და ცალკეული ფორმულირება დამოუკიდებელი იდენტურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადებისათვის).

ჩებიშევის უთანასწორობა.

დიდი რიცხვების კანონი ჩებიშევის სახით.

მოვლენის სიხშირის კონცეფცია.

ალბათობის სტატისტიკური გაგება.

დიდი რიცხვების კანონი ბერნულის ფორმაში.

სტატისტიკური კანონზომიერებების შესწავლამ შესაძლებელი გახადა იმის დადგენა, რომ გარკვეულ პირობებში დიდი რაოდენობით შემთხვევითი ცვლადის მთლიანი ქცევა თითქმის კარგავს თავის შემთხვევით ხასიათს და ხდება რეგულარული (სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემთხვევითი გადახრები ზოგიერთი საშუალო ქცევიდან არღვევს ერთმანეთს). კერძოდ, თუ ცალკეული ტერმინების ჯამზე გავლენა ერთნაირად მცირეა, ჯამის განაწილების კანონი ნორმალურად უახლოვდება. ამ განცხადების მათემატიკური ფორმულირება მოცემულია თეორემების ჯგუფში ე.წ დიდი რიცხვების კანონი.

კანონი დიდი რიცხვების შესახებ- ზოგადი პრინციპი, რომლის ძალითაც შემთხვევითი ფაქტორების ერთობლივი მოქმედება იწვევს, გარკვეულ ძალიან ზოგად პირობებში, შედეგამდე, რომელიც თითქმის დამოუკიდებელ შედეგამდეა. ამ პრინციპის მოქმედების პირველი მაგალითია შემთხვევითი მოვლენის დადგომის სიხშირის დაახლოება მის ალბათობასთან ცდების რაოდენობის მატებასთან (ხშირად გამოიყენება პრაქტიკაში, მაგალითად, ნებისმიერი ხარისხის სიხშირის გამოყენებისას. ნიმუშის რესპონდენტის, როგორც შესაბამისი ალბათობის შეფასების ნიმუში).

არსი დიდი რიცხვების კანონიარის ის, რომ დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი ექსპერიმენტებით, ზოგიერთი მოვლენის დადგომის სიხშირე ახლოსაა მის ალბათობასთან.

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა (CLT) (ლიაპუნოვის A.M. ფორმულირებაში იდენტურად განაწილებული RV-ებისთვის).თუ წყვილად დამოუკიდებელ RV-ებს X 1 , X 2 , ..., X n , ... აქვთ იგივე განაწილების კანონი სასრული რიცხვითი მახასიათებლებით M = m და D = s 2 , მაშინ n ® ¥-სთვის RV-ის განაწილების კანონი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება ნორმალურ კანონს N(n×m, ).

შედეგი.თუ CB თეორემის პირობებში , მაშინ როგორც n ® ¥ SW Y განაწილების კანონი უახლოვდება ნორმალურ კანონს N(m, s/ ) განუსაზღვრელი ვადით.

დე მოივრე-ლაპლასის თეორემა.მოდით SV K იყოს "წარმატებების" რაოდენობა n ცდაში ბერნულის სქემის მიხედვით. შემდეგ, n ® ¥-სთვის და "წარმატების" ალბათობის ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის ერთ საცდელ p-ში, RV K-ის განაწილების კანონი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება ნორმალურ კანონს N(n×p, ).

შედეგი.თუ თეორემის პირობებში, SV K-ის ნაცვლად, განვიხილავთ SV K/n - „წარმატებების“ სიხშირე n ცდაში ბერნულის სქემის მიხედვით, მაშინ მისი განაწილების კანონი n® ¥-სთვის და p-ის ფიქსირებული მნიშვნელობა უახლოვდება. ნორმალური კანონი N(p, ) განუსაზღვრელი ვადით.

კომენტარი.მოდით SV K იყოს "წარმატებების" რაოდენობა n ცდაში ბერნულის სქემის მიხედვით. ასეთი SW-ის განაწილების კანონი არის ბინომიალური კანონი. შემდეგ, როგორც n ® ¥, ბინომიურ კანონს აქვს ორი ლიმიტური განაწილება:

n განაწილება პუასონი(n ® ¥-სთვის და l = n×p = const);

n განაწილება გაუსიანი N(n×p, ) (n ® ¥-სთვის და p = const).

მაგალითი."წარმატების" ალბათობა ერთ საცდელში არის მხოლოდ p = 0.8. რამდენი ცდა უნდა გაკეთდეს ისე, რომ მინიმუმ 0,9 ალბათობით შეგვიძლია ველოდოთ, რომ ცდებში „წარმატების“ დაკვირვებული სიხშირე ბერნულის სქემის მიხედვით გადაიხრება p ალბათობიდან არაუმეტეს e = 0,01-ით?

გადაწყვეტილება.შედარებისთვის, პრობლემას ორი გზით ვაგვარებთ.

ალბათობის თეორიაში განიხილება სხვადასხვა განაწილების კანონების საკმაოდ დიდი რაოდენობა. საკონტროლო სქემების აგებასთან დაკავშირებული პრობლემების გადასაჭრელად მხოლოდ ზოგიერთი მათგანია საინტერესო. მათგან ყველაზე მნიშვნელოვანია ნორმალური განაწილების კანონი, რომელიც გამოიყენება საკონტროლო სქემების შესაქმნელად რაოდენობრივი კონტროლი, ე.ი. როდესაც საქმე გვაქვს უწყვეტ შემთხვევით ცვლადთან. ნორმალური განაწილების კანონი განსაკუთრებულ ადგილს იკავებს სხვა განაწილების კანონებს შორის. ეს აიხსნება იმით, რომ ჯერ ერთი, ყველაზე ხშირად გვხვდება პრაქტიკაში და მეორეც, ეს არის შემზღუდველი კანონი, რომელსაც უახლოვდება განაწილების სხვა კანონები ძალიან ხშირად ტიპიურ პირობებში. რაც შეეხება მეორე გარემოებას, ალბათობის თეორიით დადასტურდა, რომ საკმარისად დიდი რაოდენობის დამოუკიდებელი (ან სუსტად დამოკიდებული) შემთხვევითი ცვლადების ჯამი, რომლებიც ექვემდებარება რაიმე განაწილების კანონებს (გარკვეული ძალიან არახისტი შეზღუდვების გათვალისწინებით) დაახლოებით ემორჩილება ნორმალურ კანონს. და ეს განხორციელდება რაც უფრო ზუსტად იქნება შეჯამებული შემთხვევითი ცვლადების რაოდენობა. შემთხვევითი ცვლადების უმეტესობა, რომლებიც გვხვდება პრაქტიკაში, როგორიცაა, მაგალითად, გაზომვის შეცდომები, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ძალიან დიდი რაოდენობის შედარებით მცირე ტერმინების ჯამი - ელემენტარული შეცდომები, რომელთაგან თითოეული გამოწვეულია ცალკეული მიზეზის დამოუკიდებელი მოქმედებით. სხვათა. ნორმალური კანონი ჩნდება, როდესაც შემთხვევითი ცვლადია Xარის დიდი რაოდენობით სხვადასხვა ფაქტორების შედეგი. თითოეული ფაქტორი ცალკე მნიშვნელობის მიხედვით Xგავლენას ახდენს ოდნავ და შეუძლებელია იმის დაზუსტება, თუ რომელი გავლენას ახდენს სხვებზე მეტად.

Ნორმალური დისტრიბუცია(ლაპლას-გაუსის განაწილება) არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება Xისეთი, რომ ალბათობის განაწილების სიმკვრივე - ¥-ზე<х< + ¥ принимает действительное значение:

ექსპ (3)

ანუ ნორმალური განაწილება ხასიათდება ორი პარამეტრით m და s, სადაც m არის მათემატიკური მოლოდინი; s არის ნორმალური განაწილების სტანდარტული გადახრა.

s ღირებულება 2 არის ნორმალური განაწილების ვარიაცია.

მათემატიკური მოლოდინი m ახასიათებს განაწილების ცენტრის პოზიციას, ხოლო სტანდარტული გადახრა s (RMS) არის დისპერსიის მახასიათებელი (ნახ. 3).

f(x) f(x)

სურათი 3 - ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფუნქციები:

ა) განსხვავებული მათემატიკური მოლოდინი მ; ბ) სხვადასხვა RMS ს.

ამრიგად, ღირებულება μ განისაზღვრება x-ღერძზე განაწილების მრუდის პოზიციით. განზომილება μ - იგივეა რაც შემთხვევითი ცვლადის განზომილება X. როდესაც მათემატიკური მოლოდინი იზრდება, ორივე ფუნქცია მოძრაობს პარალელურად მარჯვნივ. კლებადი დისპერსიით ს 2 სიმკვრივე სულ უფრო და უფრო კონცენტრირდება m-ის გარშემო, ხოლო განაწილების ფუნქცია უფრო და უფრო ციცაბო ხდება.

σ-ის მნიშვნელობა განსაზღვრავს განაწილების მრუდის ფორმას. ვინაიდან განაწილების მრუდის ქვეშ არსებული ფართობი ყოველთვის უნდა დარჩეს ერთიანობის ტოლი, რადგან σ იზრდება, განაწილების მრუდი უფრო ბრტყელი ხდება. ნახ. 3.1 გვიჩვენებს სამ მრუდს სხვადასხვა σ-სთვის: σ1 = 0.5; σ2 = 1,0; σ3 = 2.0.

ნახაზი 3.1 - ნორმალური განაწილების სიმკვრივის ფუნქციებისხვადასხვა RMS s.

განაწილების ფუნქციას (ინტეგრალურ ფუნქციას) აქვს ფორმა (ნახ. 4):

(4)

სურათი 4 - ინტეგრალური (ა) და დიფერენციალური (ბ) ნორმალური განაწილების ფუნქციები

განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის წრფივ ტრანსფორმაციას X, რის შემდეგაც მიიღება შემთხვევითი ცვლადი ზმათემატიკური მოლოდინით 0 და ვარიაციით 1. ასეთ ტრანსფორმაციას ნორმალიზაცია ეწოდება:

ეს შეიძლება გაკეთდეს ყველა შემთხვევითი ცვლადისთვის. ნორმალიზაცია საშუალებას იძლევა ნორმალური განაწილების ყველა შესაძლო ვარიანტი შემცირდეს ერთ შემთხვევაში: m = 0, s = 1.

ნორმალური განაწილება m = 0, s = 1 ეწოდება ნორმალიზებული ნორმალური განაწილება (სტანდარტიზებული).

სტანდარტული ნორმალური განაწილება(სტანდარტული ლაპლას-გაუსის განაწილება ან ნორმალიზებული ნორმალური განაწილება) არის სტანდარტიზებული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება ზ, რომლის განაწილების სიმკვრივე უდრის:

- ¥-ზე<ზ< + ¥

ფუნქციის მნიშვნელობები Ф(z)განისაზღვრება ფორმულით:

(7)

ფუნქციის მნიშვნელობები Ф(z)და სიმკვრივე f(z)ნორმალიზებული ნორმალური განაწილება გამოითვლება და შეჯამებულია ცხრილებში. ცხრილი შედგენილია მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობებისთვის ზᲐმიტომაც:

F (–ზ) = 1–Ф (z) (8)

ამ ცხრილების გამოყენებით შეიძლება განისაზღვროს არა მხოლოდ ნორმალიზებული ნორმალური განაწილების ფუნქციისა და სიმკვრივის მნიშვნელობები მოცემულისთვის. ზ, არამედ ზოგადი ნორმალური განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობები, რადგან:

; (9)

. 10)

ბევრ პრობლემაში, რომელიც დაკავშირებულია ნორმალურად განაწილებულ შემთხვევით ცვლადებთან, უნდა განისაზღვროს შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა. X, ნორმალურ კანონს ექვემდებარება m და s პარამეტრებით, გარკვეულ ფართობზე. ასეთი საიტი შეიძლება იყოს, მაგალითად, ტოლერანტობის ველი ზედა მნიშვნელობის პარამეტრისთვის Uბოლოში ლ.

დან ინტერვალში ჩავარდნის ალბათობა X 1-მდე X 2 შეიძლება განისაზღვროს ფორმულით:

ამრიგად, შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა (პარამეტრის მნიშვნელობა) Xტოლერანტობის ველში განისაზღვრება ფორმულით

შეიძლება იპოვოთ შემთხვევითი ცვლადის ალბათობა Xმ ფარგლებში იქნება კს . მიღებული მნიშვნელობები კ=1,2 და 3 არის შემდეგი (იხ. აგრეთვე სურ. 5):

ამრიგად, თუ რაიმე მნიშვნელობა გამოჩნდება სამ სიგმას რეგიონის გარეთ, რომელიც შეიცავს ყველა შესაძლო მნიშვნელობის 99,73%-ს და ასეთი მოვლენის დადგომის ალბათობა ძალიან მცირეა (1:270), უნდა ჩაითვალოს, რომ მოცემული მნიშვნელობა აღმოჩნდა. იყოს ძალიან მცირე ან ძალიან დიდი არა შემთხვევითი ცვალებადობის გამო, არამედ თავად პროცესში მნიშვნელოვანი ჩარევის გამო, რომელსაც შეუძლია გამოიწვიოს ცვლილებები განაწილების ბუნებაში.

სამი სიგმის საზღვრების შიგნით მდებარე ტერიტორიას ასევე უწოდებენ სტატისტიკური ტოლერანტობის სფეროშესაბამისი მანქანა ან პროცესი.