საბაზისო განმარტება.ვექტორთა სისტემა ქმნის საფუძველს, თუ:

1) ის არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი,

2) მასში არსებული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული.

მაგალითი 1სივრცის საფუძველი: .

2. ვექტორთა სისტემაში ვექტორები არის საფუძველი: , იმიტომ წრფივად გამოხატული ვექტორებით.

კომენტარი.ვექტორების მოცემული სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

1) ჩაწერეთ ვექტორების კოორდინატები მატრიცაში,

2) ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ მატრიცა სამკუთხა ფორმამდე,

3) მატრიცის არანულოვანი რიგები იქნება სისტემის საფუძველი,

4) ვექტორების რაოდენობა საფუძველში უდრის მატრიცის რანგს.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა

კრონეკერ-კაპელის თეორემა ამომწურავ პასუხს იძლევა წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემის უცნობებთან თავსებადობის კითხვაზე.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის მთავარი მატრიცის რანგის, .

წრფივი განტოლებათა თანმიმდევრული სისტემის ყველა ამონახსნის პოვნის ალგორითმი გამომდინარეობს კრონეკერ-კაპელის თეორემიდან და შემდეგი თეორემებიდან.

თეორემა.თუ თანმიმდევრული სისტემის რანგი უდრის უცნობთა რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

თეორემა.თუ თანმიმდევრული სისტემის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემის ამოხსნის ალგორითმი:

1. იპოვეთ სისტემის ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები. თუ ისინი არ არიან ტოლი (), მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები). თუ რიგები თანაბარია ( , მაშინ სისტემა თანმიმდევრულია.

2. თავსებადი სისტემისთვის ჩვენ ვპოულობთ ზოგიერთ მინორს, რომლის რიგიც განსაზღვრავს მატრიცის წოდებას (ასეთ მინორს ეწოდება ძირითადი). ჩვენ ვქმნით განტოლებათა ახალ სისტემას, რომელშიც უცნობების კოეფიციენტები შედის ძირითად მინორში (ამ უცნობებს უწოდებენ მთავარ უცნობებს), ჩვენ უარვყოფთ დანარჩენ განტოლებებს. მთავარ უცნობებს ვტოვებთ კოეფიციენტებით მარცხნივ, ხოლო დარჩენილ უცნობებს (მათ თავისუფალ უცნობებს უწოდებენ) განტოლებების მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ.

3. ვიპოვოთ ძირითადი უცნობის გამოთქმები თავისუფალის მიხედვით. ჩვენ ვიღებთ სისტემის ზოგად გადაწყვეტას.

4. თავისუფალ უცნობებს თვითნებური მნიშვნელობების მიცემით, ჩვენ ვიღებთ ძირითადი უცნობის შესაბამის მნიშვნელობებს. ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის კონკრეტულ ამონახსნებს.

ხაზოვანი პროგრამირება. Ძირითადი ცნებები

ხაზოვანი პროგრამირებაარის მათემატიკური პროგრამირების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს, რომლებიც ხასიათდება ცვლადებსა და ხაზოვან კრიტერიუმს შორის წრფივი დამოკიდებულებით.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის დასადგენად აუცილებელი პირობაა რესურსების ხელმისაწვდომობის შეზღუდვა, მოთხოვნის ოდენობა, საწარმოს წარმოების სიმძლავრე და სხვა წარმოების ფაქტორები.

წრფივი პროგრამირების არსი არის გარკვეული ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის წერტილების პოვნა არგუმენტებსა და გენერატორებზე დაწესებული შეზღუდვების გარკვეული ნაკრების ქვეშ. შეზღუდვების სისტემა , რომელსაც ჩვეულებრივ აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ცვლადი მნიშვნელობების თითოეული ნაკრები (ფუნქციის არგუმენტები ფ ) რომლებიც აკმაყოფილებენ შეზღუდვების სისტემას ეწოდება მისაღები გეგმა ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემები. ფუნქცია ფ , რომლის მაქსიმუმი ან მინიმუმი განისაზღვრება, ე.წ ობიექტური ფუნქცია დავალებები. დასაშვები გეგმა, რომელზედაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმუმი ან მინიმალური ფ , ეწოდება ოპტიმალური გეგმა დავალებები.

შეზღუდვების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს გეგმების ერთობლიობას, ნაკარნახევია წარმოების პირობებით. ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა ( ZLP ) არის ყველაზე მომგებიანი (ოპტიმალური) არჩევანი შესაძლებელი გეგმების სიმრავლიდან.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის ზოგადი ფორმულირება შემდეგია:

არის რამდენიმე ცვლადი x \u003d (x 1, x 2, ... x n) და ამ ცვლადების ფუნქცია f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , რომელიც სახელს ატარებს სამიზნე ფუნქციები. დასახულია ამოცანა: იპოვონ ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი (მაქსიმუმი ან მინიმალური). f(x) იმ პირობით, რომ ცვლადები x ეკუთვნის რაღაც ტერიტორიას გ :

ფუნქციის ტიპის მიხედვით f(x) და ტერიტორიები გ და განასხვავებენ მათემატიკური პროგრამირების განყოფილებებს: კვადრატული პროგრამირება, ამოზნექილი პროგრამირება, მთელი რიცხვითი პროგრამირება და ა.შ. ხაზოვანი პროგრამირება ხასიათდება იმით, რომ
ა) ფუნქცია f(x) არის ცვლადების წრფივი ფუნქცია x 1, x 2, ... x n
ბ) რეგიონი გ განსაზღვრულია სისტემის მიერ ხაზოვანი თანასწორობა ან უთანასწორობა.

ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე. სემესტრი 1.

ლექცია 9. ვექტორული სივრცის საფუძველი.

რეზიუმე: ვექტორთა სისტემა, ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია, ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტები, საფუძველი წრფეზე, სიბრტყეზე და სივრცეში, ვექტორული სივრცეების ზომები წრფეზე, სიბრტყეზე და სივრცეში, ვექტორის დაშლა საფუძველში, ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან მიმართებაში, თეორემა ვექტორული მოქმედების არა თანასწორობაზე ან ვექტორზე. ვექტორების le, ვექტორების მარჯვენა და მარცხენა სამეულები, ორთონორმალური საფუძველი, მთავარი ვექტორული ალგებრის თეორემა.

თავი 9

პუნქტი 1. საფუძველი ხაზის, თვითმფრინავისა და სივრცეში.

განმარტება. ვექტორთა ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს ვექტორთა სისტემა ეწოდება.

განმარტება. გამოთქმა სად
ეწოდება ვექტორთა სისტემის წრფივ კომბინაციას
და ნომრები
ამ წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებს უწოდებენ.

მოდით L, Р და S იყოს წრფე, სიბრტყე და წერტილების სივრცე, შესაბამისად და
. მერე
არის ვექტორების ვექტორული სივრცეები, როგორც მიმართული სეგმენტები L წრფეზე, P სიბრტყეზე და S სივრცეში, შესაბამისად.

ნებისმიერ არანულოვან ვექტორს ეწოდება
, ე.ი. ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც ტოლია სწორ ხაზთან L:
და
.

საბაზისო აღნიშვნა
:
- საფუძველი
.

განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველი
არის ნებისმიერი მოწესრიგებული წყვილი არასწორხაზოვანი ვექტორები სივრცეში
.

, სად
,
- საფუძველი
.

განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველი
არის სივრცის არათანაბარი ვექტორების (ანუ ერთსა და იმავე სიბრტყეში არ დევს) ნებისმიერი მოწესრიგებული სამმაგი
.

- საფუძველი
.

კომენტარი. ვექტორული სივრცის საფუძველი არ შეიძლება შეიცავდეს ნულოვან ვექტორს: სივრცეში
განსაზღვრებით, სივრცეში
ორი ვექტორი იქნება კოლინარული, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულია, სივრცეში
სამი ვექტორი იქნება თანაპლენარული, ანუ ისინი განლაგდებიან იმავე სიბრტყეში, თუ სამი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნული.

პუნქტი 2. ვექტორის დაშლა საფუძვლის მიხედვით.

განმარტება. დაე არის თვითნებური ვექტორი,
არის ვექტორთა თვითნებური სისტემა. თუ თანასწორობა

შემდეგ ამბობენ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია. თუ მოცემული ვექტორთა სისტემა
არის ვექტორული სივრცის საფუძველი, მაშინ ტოლობას (1) ეწოდება ვექტორის დაშლა საფუძველი
. ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები
ეწოდება ამ შემთხვევაში ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

თეორემა. (ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით.)

ვექტორული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიშალოს მის საფუძველზე და, უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.

მტკიცებულება. 1) მოდით L იყოს თვითნებური ხაზი (ან ღერძი) და
- საფუძველი
. აიღეთ თვითნებური ვექტორი
. ვინაიდან ორივე ვექტორი და კოლინარული იგივე ხაზის L, შემდეგ
. გამოვიყენოთ თეორემა ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ. იმიტომ რომ
, მაშინ არის (არსებობს) ასეთი რიცხვი
, Რა
და ამგვარად მივიღეთ ვექტორის დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
.

ჩვენ ახლა ვამტკიცებთ ასეთი დაშლის უნიკალურობას. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
:

და
, სად
. მერე
და განაწილების კანონის გამოყენებით მივიღებთ:

იმიტომ რომ
, მაშინ ბოლო ტოლობიდან გამომდინარეობს რომ
და ა.შ.

2) ახლა მოდით P იყოს თვითნებური სიბრტყე და
- საფუძველი
. დაე
ამ სიბრტყის თვითნებური ვექტორი. გადავდოთ სამივე ვექტორი ამ სიბრტყის რომელიმე წერტილიდან. მოდით ავაშენოთ 4 სწორი ხაზი. დავხატოთ სწორი ხაზი , რომელზეც ვექტორი დევს , პირდაპირი
, რომელზეც ვექტორი დევს . ვექტორის ბოლოდან ვექტორის პარალელურად დახაზეთ ხაზი და სწორი ხაზი ვექტორის პარალელურად . ეს 4 ხაზი წყვეტს პარალელოგრამს. იხილეთ ქვემოთ ნახ. 3. პარალელოგრამის წესის მიხედვით
, და
,
,
- საფუძველი ,
- საფუძველი
.

ახლა, რაც უკვე დადასტურდა ამ მტკიცებულების პირველ ნაწილში, არის რიცხვები
, Რა

და
. აქედან ვიღებთ:

და დადასტურებულია საფუძვლის თვალსაზრისით გაფართოების შესაძლებლობა.

ახლა დავამტკიცოთ გაფართოების უნიკალურობა საფუძვლების თვალსაზრისით. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
:
და
. ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას

სად უნდა
. თუ
, ეს
, და მას შემდეგ
, ეს
და გაფართოების კოეფიციენტებია:
,
. მოდით ახლა
. მერე
, სად
. ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ თეორემით ეს გულისხმობს იმას
. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა თეორემის პირობასთან. აქედან გამომდინარე,
და
და ა.შ.

3) მოდით
- საფუძველი
გაუშვი
თვითნებური ვექტორი. მოდით განვახორციელოთ შემდეგი კონსტრუქციები.

გამოვყოთ სამივე საბაზისო ვექტორი
და ვექტორი ერთი წერტილიდან და ააგეთ 6 სიბრტყე: სიბრტყე, რომელშიც დევს ფუძის ვექტორები
, თვითმფრინავი
და თვითმფრინავი
; შემდგომ ვექტორის ბოლომდე დახაზეთ სამი სიბრტყე პარალელურად ახლახან აშენებული სამი სიბრტყის პარალელურად. ამ 6 თვითმფრინავმა ამოჭრა ყუთი:

ვექტორის დამატების წესის მიხედვით ვიღებთ ტოლობას:

. (1)

მშენებლობით
. აქედან გამომდინარე, ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ თეორემადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს რიცხვი
, ისეთივე როგორც
. ანალოგიურად,
და
, სად
. ახლა, ამ ტოლობების (1) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

და დადასტურებულია საფუძვლის თვალსაზრისით გაფართოების შესაძლებლობა.

მოდით დავამტკიცოთ ასეთი დაშლის უნიკალურობა. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
:

და . მერე

გაითვალისწინეთ, რომ ვარაუდით, ვექტორები
არაერთობლივი, შესაბამისად ისინი წყვილ-წყვილად არასწორხაზოვანია.

შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
ან
.

ა) მოდით
, შემდეგ ტოლობიდან (3) გამოდის:

. (4)

ტოლობიდან (4) გამომდინარეობს, რომ ვექტორი გაფართოვდა საფუძვლის თვალსაზრისით
, ე.ი. ვექტორი ვექტორულ სიბრტყეში დევს
და აქედან გამომდინარე ვექტორები
თანაპლენარული, რაც ეწინააღმდეგება მდგომარეობას.

ბ) საქმე რჩება
, ე.ი.
. შემდეგ ტოლობიდან (3) ვიღებთ ან

იმიტომ რომ
არის სიბრტყეში განლაგებული ვექტორების სივრცის საფუძველი და ჩვენ უკვე დავამტკიცეთ სიბრტყის ვექტორების საფუძველზე გაფართოების უნიკალურობა, თანასწორობიდან (5) გამომდინარეობს, რომ
და
და ა.შ.

თეორემა დადასტურდა.

შედეგი.

1) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R.

2) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და კარტეზიული მოედანი

3) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და დეკარტის კუბი
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეები R.

მტკიცებულება. დავამტკიცოთ მესამე მტკიცება. პირველი ორი დადასტურებულია ანალოგიურად.

ავირჩიოთ და დავაფიქსიროთ სივრცეში
რაღაც საფუძველი
და დააყენეთ ჩვენება
შემდეგი წესის მიხედვით:

იმათ. თითოეული ვექტორი ასოცირდება მისი კოორდინატების მოწესრიგებულ სიმრავლესთან.

ვინაიდან, ფიქსირებული საფუძვლით, თითოეულ ვექტორს აქვს კოორდინატების უნიკალური ნაკრები, წესით მოცემული შესაბამისობა (6) ნამდვილად არის რუკა.

თეორემის დადასტურებიდან გამომდინარეობს, რომ სხვადასხვა ვექტორს აქვს განსხვავებული კოორდინატები ერთი და იგივე საფუძვლის მიმართ, ე.ი. რუქა (6) არის ინექცია.

დაე
რეალური რიცხვების თვითნებური მოწესრიგებული ნაკრები.

განვიხილოთ ვექტორი
. კონსტრუქციით, ამ ვექტორს აქვს კოორდინატები
. მაშასადამე, რუკების დახატვა (6) არის გამოთქმა.

რუკა, რომელიც არის ინექციურიც და სუბიექტურიც, არის ბიჯექტური, ე.ი. ერთი-ერთზე და ა.შ.

შედეგი დადასტურებულია.

თეორემა. (ორი ვექტორის ტოლობის შესახებ.)

ორი ვექტორი ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოორდინატები ერთსა და იმავე საფუძველთან მიმართებაში ტოლია.

მტკიცებულება დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს წინა დასკვნისგან.

პუნქტი 3. ვექტორული სივრცის ზომა.

განმარტება. ვექტორების რაოდენობას ვექტორული სივრცის საფუძველში ეწოდება მისი განზომილება.

Დანიშნულება:
არის ვექტორული სივრცის განზომილება V.

ამრიგად, ამ და წინა განმარტებების შესაბამისად, გვაქვს:

1)
არის L წრფის ვექტორების ვექტორული სივრცე.

- საფუძველი
,
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
- ვექტორული კოორდინატი საფუძველთან შედარებით
.

2)
არის Р სიბრტყის ვექტორების ვექტორული სივრცე.

- საფუძველი
,
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
არის ვექტორული კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

3)
არის ვექტორთა ვექტორული სივრცე S წერტილების სივრცეში.

- საფუძველი
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
არის ვექტორული კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

კომენტარი. თუ
, ეს
და თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ საფუძველი
სივრცე
Ისე
- საფუძველი
და
- საფუძველი
. მერე
, და
, .

ამრიგად, L წრფის ნებისმიერი ვექტორი, სიბრტყე P და სივრცე S შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლის მიხედვით
:

Დანიშნულება. ვექტორული თანასწორობის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია ნებისმიერი ვექტორის ამოცნობა რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამმაგით და დავწეროთ:

ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საფუძველი
გასწორებულია და არ არის ჩახლართული საშიშროება.

განმარტება. ვექტორის ჩანაწერს რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამეულის სახით ეწოდება ვექტორული ჩანაწერის კოორდინატთა ფორმა:
.

პუნქტი 4. ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებით კოორდინატულ აღნიშვნით.

დაე
- სივრცის საფუძველი
და
არის მისი ორი თვითნებური ვექტორი. დაე
და
არის ამ ვექტორების აღნიშვნა კოორდინატულ ფორმაში. მოდით, შემდგომში,
არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ამ აღნიშვნებში მოქმედებს შემდეგი თეორემა.

თეორემა. (ხაზოვანი ოპერაციების შესახებ ვექტორებით კოორდინატულ ფორმაში.)

2)
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი ვექტორის დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი კოორდინატები, ხოლო ვექტორის რიცხვზე გასამრავლებლად, ამ ვექტორის თითოეული კოორდინატი უნდა გაამრავლოთ მოცემულ რიცხვზე.

მტკიცებულება. ვინაიდან, თეორემის პირობის მიხედვით, ვექტორული სივრცის აქსიომების გამოყენებით, რომლებიც ექვემდებარება ვექტორების დამატების და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებს, ვიღებთ:

ეს გულისხმობს.

მეორე თანასწორობაც ანალოგიურად არის დადასტურებული.

თეორემა დადასტურდა.

პუნქტი 5. ორთოგონალური ვექტორები. ორთონორალური საფუძველი.

განმარტება. ორ ვექტორს ორთოგონალური ეწოდება, თუ მათ შორის კუთხე ტოლია მართი კუთხის, ე.ი.
.

Დანიშნულება:
- ვექტორები და ორთოგონალური.

განმარტება. ვექტორული ტრიო
ორთოგონალური ეწოდება, თუ ეს ვექტორები ერთმანეთის მიმართ წყვილი ორთოგონალურია, ე.ი.
,
.

განმარტება. ვექტორული ტრიო
ორთონორმალურს უწოდებენ, თუ ის ორთოგონალურია და ყველა ვექტორის სიგრძე ერთის ტოლია:
.

კომენტარი. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ვექტორთა ორთოგონალური და, მაშასადამე, ორთონორმალური სამეული არათანაბლატურია.

განმარტება. დალაგებული ვექტორების არათანაბარი სამმაგი
ერთი წერტილიდან გათიშული, ეწოდება მარჯვენა (მარჯვნივ ორიენტირებული), თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან დაკვირვებისას სიბრტყემდე, რომელიც შეიცავს პირველ ორ ვექტორს და , პირველი ვექტორის უმოკლეს ბრუნვა მეორემდე ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ვექტორების სამეულს ეწოდება მარცხენა (მარცხნივ ორიენტირებული).

აქ, ნახ. 6 გვიჩვენებს ვექტორების მარჯვენა სამეულს
. შემდეგი სურათი 7 გვიჩვენებს ვექტორების მარცხენა სამეულს
:

განმარტება. საფუძველი
ვექტორული სივრცე
ორთონორმალურს უწოდებენ თუ
ვექტორთა ორთონორმალური სამეული.

Დანიშნულება. შემდგომში ჩვენ გამოვიყენებთ სწორ ორთონორმალურ საფუძველს
, იხილეთ შემდეგი სურათი.

ფორმის გამოხატვა დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1 , A 2 ,...,A nკოეფიციენტებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს რიცხვების არანულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n, რომლის ქვეშაც ვექტორთა წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლიანუ განტოლებათა სისტემა: აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
ნომრების ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულოვანია, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც λ 1, λ 2 ,...,λ n განსხვავდება ნულიდან.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელი, თუ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლია მხოლოდ ნულოვანი რიცხვების სიმრავლისთვის λ 1, λ 2 ,...,λ n ანუ განტოლებათა სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θაქვს უნიკალური ნულოვანი გადაწყვეტა.

მაგალითი 29.1

შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული

გამოსავალი:

1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას:

2. ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით. სისტემის იორდანული გარდაქმნები მოცემულია ცხრილში 29.1. გაანგარიშებისას, სისტემის სწორი ნაწილები არ იწერება, რადგან ისინი ნულის ტოლია და არ იცვლება იორდანიის გარდაქმნების დროს.

3. ცხრილის ბოლო სამი რიგიდან ჩვენ ვწერთ დაშვებულ სისტემას ორიგინალის ეკვივალენტსსისტემა:

4. ჩვენ ვიღებთ სისტემის ზოგად გადაწყვეტას:

5. თქვენი შეხედულებისამებრ დააყენეთ უფასო ცვლადის მნიშვნელობა x 3 =1, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ არანულოვან ამონახსნებს X=(-3,2,1).

პასუხი: ამგვარად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლით (-3,2,1) ვექტორთა წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. აქედან გამომდინარე, ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების თვისებები

ქონება (1)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორებიდან ერთი მაინც იშლება დანარჩენის მიხედვით და პირიქით, თუ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც დაიშლება დანარჩენის მიხედვით, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (2)
თუ ვექტორების რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება (4)
ვექტორთა ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ ვექტორების რაოდენობა n აღემატება მათ განზომილებას (n>m).

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორთა სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთი ქვესისტემა B 1 , B 2 ,...,B r(თითოეული ვექტორი B 1 , B 2 ,...,B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1 , A 2 ,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. ნებისმიერი ვექტორიაჯ სისტემის A 1 , A 2 ,..., A n წრფივი გამოსახულია B 1 ,B 2 ,...,B r ვექტორებით

რარის საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის ერთეულ საფუძველზე.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთეულ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , მაშინ ისინი ქმნიან სისტემის საფუძველს.

ვექტორთა სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

A 1 ,A 2 ,...,A n ვექტორების სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

• შეადგინეთ ვექტორთა სისტემის შესაბამისი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• მოიყვანეთ ეს სისტემა