n-განზომილებიანი ვექტორების შესახებ სტატიაში მივედით n-განზომილებიანი ვექტორების სიმრავლით წარმოქმნილი წრფივი სივრცის კონცეფციამდე. ახლა ჩვენ უნდა განვიხილოთ არანაკლებ მნიშვნელოვანი ცნებები, როგორიცაა ვექტორული სივრცის განზომილება და საფუძველი. ისინი პირდაპირ კავშირშია ვექტორთა ხაზოვანი დამოუკიდებელი სისტემის კონცეფციასთან, ამიტომ დამატებით რეკომენდებულია ამ თემის საფუძვლების შეხსენებაც.

მოდით შემოგთავაზოთ რამდენიმე განმარტება.

განმარტება 1

ვექტორული სივრცის განზომილებაარის რიცხვი, რომელიც შეესაბამება ამ სივრცეში წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალურ რაოდენობას.

განმარტება 2

ვექტორული სივრცის საფუძველი- წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორების ერთობლიობა, დალაგებული და მისი რიცხვით სივრცის განზომილების ტოლი.

განვიხილოთ n -ვექტორების გარკვეული სივრცე. მისი განზომილება შესაბამისად უდრის n-ს. ავიღოთ n-ერთეული ვექტორების სისტემა:

e (1) = (1, 0,...

მოდით გამოვიყენოთ ეს ვექტორები A მატრიცის კომპონენტებად: ის იქნება ერთეული n განზომილებით n-ზე. ამ მატრიცის რანგი არის n. ამიტომ ვექტორული სისტემა e (1) , e (2) , . . . , e (n) არის წრფივი დამოუკიდებელი. ამ შემთხვევაში შეუძლებელია სისტემაში ერთი ვექტორის დამატება მისი წრფივი დამოუკიდებლობის დარღვევის გარეშე.

ვინაიდან ვექტორების რაოდენობა სისტემაში ტოლია n-ის, მაშინ n-განზომილებიანი ვექტორების სივრცის განზომილება უდრის n-ს, ხოლო ერთეული ვექტორები e (1) , e (2) , . . . , e (n) არის მითითებული სივრცის საფუძველი.

მიღებული განმარტებიდან ვასკვნით: n-განზომილებიანი ვექტორების ნებისმიერი სისტემა, რომელშიც ვექტორების რაოდენობა n-ზე ნაკლებია, არ არის სივრცის საფუძველი.

თუ გავცვლით პირველ და მეორე ვექტორს, მივიღებთ ვექტორების სისტემას e (2) , e (1) , . . . , e (n) . ის ასევე იქნება n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი. მოდით შევადგინოთ მატრიცა და მივიღოთ მიღებული სისტემის ვექტორები მის მწკრივად. მატრიცა შეიძლება მივიღოთ იდენტურობის მატრიციდან პირველი ორი მწკრივის შეცვლით, მისი რანგი იქნება n-ის ტოლი. სისტემა e (2) , e (1) , . . . , e (n) წრფივად დამოუკიდებელია და წარმოადგენს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველს.

თავდაპირველ სისტემაში სხვა ვექტორების გადალაგებით, ჩვენ კიდევ ერთ საფუძველს ვიღებთ.

ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ არაერთეული ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა და ეს ასევე წარმოადგენს n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველს.

განმარტება 3

n განზომილების მქონე ვექტორულ სივრცეს აქვს იმდენი ფუძე, რამდენიც არსებობს n-განზომილებიანი ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემები n ნომრით.

სიბრტყე არის ორგანზომილებიანი სივრცე - მისი საფუძველი იქნება ნებისმიერი ორი არასწორხაზოვანი ვექტორი. ნებისმიერი სამი არათანაბარი ვექტორი იქნება სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

განვიხილოთ ამ თეორიის გამოყენება კონკრეტულ მაგალითებზე.

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები:ვექტორები

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

აუცილებელია იმის დადგენა, არის თუ არა მითითებული ვექტორები სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი.

გამოსავალი

ამოცანის ამოსახსნელად ვსწავლობთ ვექტორთა მოცემულ სისტემას წრფივი დამოკიდებულებისათვის. მოდით გავაკეთოთ მატრიცა, სადაც რიგები არის ვექტორების კოორდინატები. მოდით განვსაზღვროთ მატრიცის რანგი.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

შესაბამისად, ამოცანის პირობით მოცემული ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია და მათი რიცხვი ვექტორული სივრცის განზომილების ტოლია - ისინი ვექტორული სივრცის საფუძველია.

პასუხი:ეს ვექტორები არის ვექტორული სივრცის საფუძველი.

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები:ვექტორები

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

აუცილებელია იმის დადგენა, შეიძლება თუ არა ვექტორთა მითითებული სისტემა იყოს სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

გამოსავალი

ამოცანის პირობაში მითითებული ვექტორების სისტემა წრფივია დამოკიდებული, ვინაიდან წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების მაქსიმალური რაოდენობაა 3. ამრიგად, ვექტორთა ეს სისტემა არ შეიძლება გახდეს სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი. მაგრამ აღსანიშნავია, რომ საწყისი სისტემის ქვესისტემა a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) არის საფუძველი.

პასუხი:ვექტორთა მითითებული სისტემა არ არის საფუძველი.

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები:ვექტორები

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

შეიძლება ისინი იყოს ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი?

გამოსავალი

შეადგინეთ მატრიცა მოცემული ვექტორების კოორდინატების მწკრივის სახით

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

გაუსის მეთოდის გამოყენებით, ჩვენ განვსაზღვრავთ მატრიცის რანგს:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

მაშასადამე, მოცემული ვექტორების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და მათი რიცხვი ვექტორული სივრცის განზომილების ტოლია – ისინი ოთხგანზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველია.

პასუხი:მოცემული ვექტორები არის ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

მაგალითი 4

საწყისი მონაცემები:ვექტორები

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

ქმნიან თუ არა ისინი 4 განზომილებიანი სივრცის საფუძველს?

გამოსავალი

ვექტორთა თავდაპირველი სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაგრამ მასში ვექტორების რაოდენობა არასაკმარისია იმისათვის, რომ გახდეს ოთხგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი.

პასუხი:არა, არა.

ვექტორის დაშლა საფუძვლის მიხედვით

ჩვენ ვიღებთ, რომ თვითნებური ვექტორები e (1) , e (2) , . . . , e (n) არის ვექტორული n-განზომილებიანი სივრცის საფუძველი. დავუმატოთ მათ რამდენიმე n-განზომილებიანი ვექტორი x →: ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული გახდება. წრფივი დამოკიდებულების თვისებები მიუთითებს, რომ ასეთი სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც შეიძლება წრფივად გამოხატული იყოს სხვების მიხედვით. ამ დებულების ხელახალი ფორმულირებით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ წრფივად დამოკიდებული სისტემის ერთ-ერთი ვექტორი მაინც შეიძლება გაფართოვდეს სხვა ვექტორების თვალსაზრისით.

ამრიგად, ჩვენ მივედით ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემის ფორმულირებამდე:

განმარტება 4

n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი ცალსახად იშლება საფუძვლის მიხედვით.

მტკიცებულება 1

დავამტკიცოთ ეს თეორემა:

დააყენეთ n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის საფუძველი - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . გავხადოთ სისტემა წრფივად დამოკიდებული მასში n-განზომილებიანი x → ვექტორის დამატებით. ეს ვექტორი შეიძლება წრფივად გამოიხატოს თავდაპირველი ვექტორებით ე:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , სადაც x 1 , x 2 , . . . , x n - ზოგიერთი რიცხვი.

ჩვენ ახლა ვამტკიცებთ, რომ ასეთი დაშლა უნიკალურია. დავუშვათ, რომ ეს ასე არ არის და არის სხვა მსგავსი გაფართოება:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , სადაც x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ზოგიერთი რიცხვი.

ამ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილებს, შესაბამისად, გამოვაკლოთ ტოლობის მარცხენა და მარჯვენა ნაწილები x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . ჩვენ ვიღებთ:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

საბაზისო ვექტორების სისტემა e (1) , e (2) , . . . , e (n) არის წრფივი დამოუკიდებელი; ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განმარტებით, ზემოთ თანასწორობა შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც ყველა კოეფიციენტია (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) იქნება ნულის ტოლი. საიდანაც სამართლიანი იქნება: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n . და ეს ადასტურებს ერთადერთ გზას ვექტორის გაფართოების საფუძვლის თვალსაზრისით.

ამ შემთხვევაში, კოეფიციენტები x 1 , x 2 , . . . , x n ეწოდება x → ვექტორის კოორდინატებს e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

დადასტურებული თეორია ცხადყოფს გამოთქმას "n-განზომილებიანი ვექტორი x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) მოცემულია": განიხილება ვექტორი x → n განზომილებიანი ვექტორული სივრცე და მისი კოორდინატები მოცემულია რაღაც საფუძველი. ასევე ნათელია, რომ იგივე ვექტორს n-განზომილებიანი სივრცის განსხვავებულ საფუძველში ექნება განსხვავებული კოორდინატები.

განვიხილოთ შემდეგი მაგალითი: დავუშვათ, რომ n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის რომელიმე საფუძველში მოცემულია n წრფივად დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა.

და ასევე მოცემულია ვექტორი x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

ვექტორები e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) ამ შემთხვევაში ასევე არის ამ ვექტორული სივრცის საფუძველი.

დავუშვათ, რომ აუცილებელია x → ვექტორის კოორდინატების განსაზღვრა e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , აღინიშნება როგორც x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n .

ვექტორი x → წარმოდგენილი იქნება შემდეგნაირად:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

ჩვენ ვწერთ ამ გამოთქმას კოორდინატების სახით:

(x 1, x 2, . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1, e (1) 2, . . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , ... , e (2) n) + . . . + + x ~ n (e (n) 1, e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ n e 2 (n) , . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + . . . + x ~ n e n (n))

შედეგად მიღებული თანასწორობა ექვივალენტურია n წრფივი ალგებრული გამონათქვამების სისტემის n უცნობი წრფივი ცვლადით x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

ამ სისტემის მატრიცა ასე გამოიყურება:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

მოდით ეს იყოს მატრიცა A , და მისი სვეტები იყოს ვექტორების წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ვექტორები e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) . მატრიცის რანგი არის n და მისი განმსაზღვრელი არ არის ნულოვანი. ეს მიუთითებს იმაზე, რომ განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნები, რომელიც შეიძლება განისაზღვროს ნებისმიერი მოსახერხებელი გზით: მაგალითად, კრამერის მეთოდით ან მატრიცის მეთოდით. ამ გზით ჩვენ შეგვიძლია განვსაზღვროთ კოორდინატები x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n ვექტორის x → საფუძველში e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

გამოვიყენოთ განხილული თეორია კონკრეტულ მაგალითზე.

მაგალითი 6

საწყისი მონაცემები:ვექტორები მოცემულია სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველზე

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

აუცილებელია დადასტურდეს ის ფაქტი, რომ ვექტორების სისტემა e (1), e (2), e (3) ასევე ემსახურება მოცემული სივრცის საფუძველს და ასევე ვექტორის x-ის კოორდინატების განსაზღვრა მოცემულ საფუძველში. .

გამოსავალი

ვექტორების e (1), e (2) , e (3) სისტემა იქნება სამგანზომილებიანი სივრცის საფუძველი, თუ ის წრფივად დამოუკიდებელია. მოდით გავარკვიოთ ეს შესაძლებლობა A მატრიცის რანგის განსაზღვრით, რომლის რიგები არის მოცემული ვექტორები e (1) , e (2) , e (3) .

ჩვენ ვიყენებთ გაუსის მეთოდს:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3. ამრიგად, e (1), e (2) , e (3) ვექტორების სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და წარმოადგენს საფუძველს.

დაე, ვექტორს x → საფუძველში ჰქონდეს კოორდინატები x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 . ამ კოორდინატების კავშირი განისაზღვრება განტოლებით:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

მოდით გამოვიყენოთ მნიშვნელობები პრობლემის პირობების მიხედვით:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

განტოლებათა სისტემას ვხსნით კრამერის მეთოდით:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

ასე რომ, ვექტორს x → e (1) , e (2) , e (3) საფუძველში აქვს კოორდინატები x ~ 1 = 1 , x ~ 2 = 1 , x ~ 3 = 1 .

პასუხი: x = (1, 1, 1)

კავშირი ბაზებს შორის

დავუშვათ, რომ n-განზომილებიანი ვექტორული სივრცის რომელიმე საფუძველში მოცემულია ვექტორების ორი წრფივად დამოუკიდებელი სისტემა:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , ... , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

ეს სისტემები ასევე წარმოადგენს მოცემული სივრცის საფუძველს.

მოდით c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - c (1) ვექტორის კოორდინატები e (1) , e (2) , . . . , e (3) , მაშინ კოორდინატების ურთიერთობა მოცემულია წრფივი განტოლებათა სისტემით:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

მატრიცის სახით სისტემა შეიძლება გამოისახოს შემდეგნაირად:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

მოდით გავაკეთოთ იგივე აღნიშვნა ვექტორისთვის c (2) ანალოგიით:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

მატრიცული თანასწორობები გაერთიანებულია ერთ გამოსახულებაში:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

ის განსაზღვრავს ორი განსხვავებული ფუძის ვექტორების ურთიერთობას.

იგივე პრინციპის გამოყენებით შესაძლებელია ყველა საბაზისო ვექტორის e (1) , e (2) , . . . , e (3) მეშვეობით c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

ჩვენ ვაძლევთ შემდეგ განმარტებებს:

განმარტება 5

მატრიცა c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) არის გადასვლის მატრიცა e (1) , e (2) , ფუძედან. . . , e(3)

საფუძველს c (1), c (2) , . . . , c (n) .

განმარტება 6

მატრიცა e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) არის გარდამავალი მატრიცა c (1) , c (2) , ფუძედან. . . ,c(n)

ე (1) , e (2) , საფუძვლამდე. . . , ე (3) .

ამ თანასწორობიდან ირკვევა, რომ

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

იმათ. გარდამავალი მატრიცები ურთიერთშებრუნებულია.

განვიხილოთ თეორია კონკრეტულ მაგალითზე.

მაგალითი 7

საწყისი მონაცემები:აუცილებელია საფუძვლიდან მოძებნოთ გარდამავალი მატრიცა

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

თქვენ ასევე უნდა მიუთითოთ თვითნებური ვექტორის x → კოორდინატების ურთიერთობა მოცემულ ფუძეებში.

გამოსავალი

1. ვთქვათ T იყოს გარდამავალი მატრიცა, მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

და მიიღე:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. განსაზღვრეთ გარდამავალი მატრიცა:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. განსაზღვრეთ x → ვექტორის კოორდინატების მიმართება:

დავუშვათ, რომ c (1) , c (2) , . . . , c (n) ვექტორი x → აქვს კოორდინატები x 1 , x 2 , x 3 , შემდეგ:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

და საფუძველში e (1), e (2) , . . . , e (3) აქვს კოორდინატები x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3, შემდეგ:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

იმიტომ რომ ამ ტოლობის მარცხენა ნაწილები ტოლია, ჩვენ შეგვიძლია გავათანაბროთ მარჯვენა ნაწილებიც:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

გაამრავლეთ ორივე მხარე მარჯვნივ

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

და მიიღე:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Მეორეს მხრივ

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ბოლო ტოლობები აჩვენებს x → ვექტორის კოორდინატების ურთიერთობას ორივე ფუძეში.

პასუხი:გარდამავალი მატრიცა

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

x → ვექტორის კოორდინატები მოცემულ ფუძეებში დაკავშირებულია მიმართებით:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

იპოვეთ ვექტორებისა და ვექტორების სისტემის საფუძველი, რომლებიც არ შედის საფუძველში, გააფართოვეთ საფუძველზე:

ა 1 = {5, 2, -3, 1}, ა 2 = {4, 1, -2, 3}, ა 3 = {1, 1, -1, -2}, ა 4 = {3, 4, -1, 2}, ა 5 = {13, 8, -7, 4}.

გამოსავალი. განვიხილოთ წრფივი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა

ა 1 X 1 + ა 2 X 2 + ა 3 X 3 + ა 4 X 4 + ა 5 X 5 = 0

ან გაფართოვდა.

ჩვენ მოვაგვარებთ ამ სისტემას გაუსის მეთოდის გამოყენებით, სტრიქონების და სვეტების გაცვლის გარეშე და, გარდა ამისა, მთავარ ელემენტს ავირჩევთ არა ზედა მარცხენა კუთხეში, არამედ მთელ რიგზე. ამოცანაა აირჩიეთ ვექტორთა გარდაქმნილი სისტემის დიაგონალური ნაწილი.

~ ~

~ ~ ~ .

ვექტორთა დაშვებულ სისტემას, რომელიც ორიგინალის ეკვივალენტურია, აქვს ფორმა

ა 1 1 X 1 + ა 2 1 X 2 + ა 3 1 X 3 + ა 4 1 X 4 + ა 5 1 X 5 = 0 ,

სად ა 1 1 = , ა 2 1 = , ა 3 1 = , ა 4 1 = , ა 5 1 = . (1)

ვექტორები ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1 ქმნის დიაგონალურ სისტემას. აქედან გამომდინარე ვექტორები ა 1 , ა 3 , ა 4 ქმნის ვექტორთა სისტემის საფუძველს ა 1 , ა 2 , ა 3 , ა 4 , ა 5 .

ახლა ვაფართოვებთ ვექტორებს ა 2 და ა 5 საფუძველზე ა 1 , ა 3 , ა 4 . ამისათვის ჯერ ვაფართოებთ შესაბამის ვექტორებს ა 2 1 და ა 5 1 დიაგონალური სისტემა ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1, იმის გათვალისწინებით, რომ ვექტორის გაფართოების კოეფიციენტები დიაგონალურ სისტემაში არის მისი კოორდინატები x i.

(1)-დან გვაქვს:

ა 2 1 = ა 3 1 (-1) + ა 4 1 0 + ა 1 1 1 ა 2 1 = ა 1 1 – ა 3 1 .

ა 5 1 = ა 3 1 0 + ა 4 1 1+ ა 1 1 2 ა 5 1 = 2ა 1 1 + ა 4 1 .

ვექტორები ა 2 და ა 5 გაფართოების საფუძველზე ა 1 , ა 3 , ა 4 იგივე კოეფიციენტებით, როგორც ვექტორები ა 2 1 და ა 5 1 დიაგონალური სისტემა ა 1 1 , ა 3 1 , ა 4 1 (ეს კოეფიციენტები x i). აქედან გამომდინარე,

ა 2 = ა 1 – ა 3 , ა 5 = 2ა 1 + ა 4 .

Დავალებები. 1.იპოვეთ ვექტორთა სისტემის საფუძველი და ვექტორები, რომლებიც არ შედის საფუძველში, გააფართოვეთ საფუძვლის მიხედვით:

1. ა 1 = { 1, 2, 1 }, ა 2 = { 2, 1, 3 }, ა 3 = { 1, 5, 0 }, ა 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ა 1 = { 1, 1, 2 }, ა 2 = { 0, 1, 2 }, ა 3 = { 2, 1, -4 }, ა 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ა 1 = { 1, -2, 3 }, ა 2 = { 0, 1, -1 }, ა 3 = { 1, 3, 0 }, ა 4 = { 0, -7, 3 }, ა 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ა 1 = { 1, 2, -2 }, ა 2 = { 0, -1, 4 }, ა 3 = { 2, -3, 3 }.

2. იპოვეთ ვექტორთა სისტემის ყველა საფუძველი:

1. ა 1 = { 1, 1, 2 }, ა 2 = { 3, 1, 2 }, ა 3 = { 1, 2, 1 }, ა 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ა 1 = { 1, 1, 1 }, ა 2 = { -3, -5, 5 }, ა 3 = { 3, 4, -1 }, ა 4 = { 1, -1, 4 }.

ლექციები ალგებრასა და გეომეტრიაზე. სემესტრი 1.

ლექცია 9. ვექტორული სივრცის საფუძველი.

რეზიუმე: ვექტორთა სისტემა, ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია, ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტები, საფუძველი წრფეზე, სიბრტყეზე და სივრცეში, ვექტორული სივრცეების ზომები წრფეზე, სიბრტყეზე და სივრცეში, დაშლა ვექტორი საფუძველში, ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან მიმართებაში, თანასწორობის თეორემა ორი ვექტორი, წრფივი მოქმედებები ვექტორებით კოორდინატულ აღნიშვნით, ვექტორთა ორთონორმალური სამეული, ვექტორების მარჯვენა და მარცხენა სამეული, ორთონორმალური საფუძველი, ვექტორული ალგებრის ფუნდამენტური თეორემა.

თავი 9

პუნქტი 1. საფუძველი ხაზის, თვითმფრინავისა და სივრცეში.

განმარტება. ვექტორთა ნებისმიერ სასრულ სიმრავლეს ვექტორთა სისტემა ეწოდება.

განმარტება. გამოთქმა სად
ეწოდება ვექტორთა სისტემის წრფივ კომბინაციას
და ნომრები
ამ წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებს უწოდებენ.

მოდით L, Р და S იყოს წრფე, სიბრტყე და წერტილების სივრცე, შესაბამისად და
. მერე
არის ვექტორების ვექტორული სივრცეები, როგორც მიმართული სეგმენტები L წრფეზე, P სიბრტყეზე და S სივრცეში, შესაბამისად.

ნებისმიერ არანულოვან ვექტორს ეწოდება
, ე.ი. ნებისმიერი არანულოვანი ვექტორი, რომელიც ტოლია სწორ ხაზთან L:
და
.

საბაზისო აღნიშვნა
:
- საფუძველი
.

განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველი
არის ნებისმიერი მოწესრიგებული წყვილი არასწორხაზოვანი ვექტორები სივრცეში
.

, სად
,
- საფუძველი
.

განმარტება. ვექტორული სივრცის საფუძველი
არის სივრცის არათანაბარი ვექტორების (ანუ ერთსა და იმავე სიბრტყეში არ დევს) ნებისმიერი მოწესრიგებული სამმაგი
.

- საფუძველი
.

კომენტარი. ვექტორული სივრცის საფუძველი არ შეიძლება შეიცავდეს ნულოვან ვექტორს: სივრცეში
განსაზღვრებით, სივრცეში
ორი ვექტორი იქნება კოლინარული, თუ ერთი მათგანი მაინც ნულია, სივრცეში
სამი ვექტორი იქნება თანაპლენარული, ანუ ისინი განლაგდებიან იმავე სიბრტყეში, თუ სამი ვექტორიდან ერთი მაინც არის ნული.

პუნქტი 2. ვექტორის დაშლა საფუძვლის მიხედვით.

განმარტება. დაე არის თვითნებური ვექტორი,
არის ვექტორთა თვითნებური სისტემა. თუ თანასწორობა

შემდეგ ამბობენ, რომ ვექტორი წარმოდგენილია ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივი კომბინაცია. თუ მოცემული ვექტორთა სისტემა
არის ვექტორული სივრცის საფუძველი, მაშინ ტოლობას (1) ეწოდება ვექტორის დაშლა საფუძველი
. ხაზოვანი კომბინაციის კოეფიციენტები
ეწოდება ამ შემთხვევაში ვექტორის კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

თეორემა. (ვექტორის გაფართოების შესახებ საფუძვლის თვალსაზრისით.)

ვექტორული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი შეიძლება დაიშალოს მის საფუძველზე და, უფრო მეტიც, უნიკალური გზით.

მტკიცებულება. 1) მოდით L იყოს თვითნებური ხაზი (ან ღერძი) და
- საფუძველი
. აიღეთ თვითნებური ვექტორი
. ვინაიდან ორივე ვექტორი და კოლინარული იგივე ხაზის L, შემდეგ
. გამოვიყენოთ თეორემა ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ. იმიტომ რომ
, მაშინ არის (არსებობს) ასეთი რიცხვი
, Რა
და ამგვარად მივიღეთ ვექტორის დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
.

ჩვენ ახლა ვამტკიცებთ ასეთი დაშლის უნიკალურობას. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
:

და
, სად
. მერე
და განაწილების კანონის გამოყენებით მივიღებთ:

იმიტომ რომ
, მაშინ ბოლო ტოლობიდან გამომდინარეობს რომ
და ა.შ.

2) ახლა მოდით P იყოს თვითნებური სიბრტყე და
- საფუძველი
. დაე
ამ სიბრტყის თვითნებური ვექტორი. გადავდოთ სამივე ვექტორი ამ სიბრტყის რომელიმე წერტილიდან. მოდით ავაშენოთ 4 სწორი ხაზი. დავხატოთ სწორი ხაზი , რომელზეც ვექტორი დევს , პირდაპირი
, რომელზეც ვექტორი დევს . ვექტორის ბოლოდან ვექტორის პარალელურად დახაზეთ ხაზი და სწორი ხაზი ვექტორის პარალელურად . ეს 4 ხაზი წყვეტს პარალელოგრამს. იხილეთ ქვემოთ ნახ. 3. პარალელოგრამის წესის მიხედვით
, და
,
,
- საფუძველი ,
- საფუძველი
.

ახლა, რაც უკვე დადასტურდა ამ მტკიცებულების პირველ ნაწილში, არის რიცხვები
, Რა

და
. აქედან ვიღებთ:

და დადასტურებულია საფუძვლის თვალსაზრისით გაფართოების შესაძლებლობა.

ახლა დავამტკიცოთ გაფართოების უნიკალურობა საფუძვლების თვალსაზრისით. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
ვექტორული სივრცე
:
და
. ჩვენ ვიღებთ თანასწორობას

სად უნდა
. თუ
, ეს
, და მას შემდეგ
, ეს
და გაფართოების კოეფიციენტებია:
,
. მოდით ახლა
. მერე
, სად
. ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ თეორემით ეს გულისხმობს იმას
. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა თეორემის პირობასთან. აქედან გამომდინარე,
და
და ა.შ.

3) მოდით
- საფუძველი
გაუშვი
თვითნებური ვექტორი. მოდით განვახორციელოთ შემდეგი კონსტრუქციები.

გამოვყოთ სამივე საბაზისო ვექტორი
და ვექტორი ერთი წერტილიდან და ააგეთ 6 სიბრტყე: სიბრტყე, რომელშიც დევს ფუძის ვექტორები
, თვითმფრინავი
და თვითმფრინავი
; შემდგომ ვექტორის ბოლომდე დახაზეთ სამი სიბრტყე პარალელურად ახლახან აშენებული სამი სიბრტყის პარალელურად. ამ 6 თვითმფრინავმა ამოჭრა ყუთი:

ვექტორის დამატების წესის მიხედვით ვიღებთ ტოლობას:

. (1)

მშენებლობით
. აქედან გამომდინარე, ორი ვექტორის კოლინარობის შესახებ თეორემადან გამომდინარეობს, რომ არსებობს რიცხვი
, ისეთივე როგორც
. ანალოგიურად,
და
, სად
. ახლა, ამ ტოლობების (1) ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

და დადასტურებულია საფუძვლის თვალსაზრისით გაფართოების შესაძლებლობა.

მოდით დავამტკიცოთ ასეთი დაშლის უნიკალურობა. დავუშვათ პირიქით. მოდით იყოს ვექტორის ორი დაშლა საფუძველი
:

და . მერე

გაითვალისწინეთ, რომ ვარაუდით, ვექტორები
არაერთობლივი, შესაბამისად ისინი წყვილ-წყვილად არასწორხაზოვანია.

შესაძლებელია ორი შემთხვევა:
ან
.

ა) მოდით
, შემდეგ ტოლობიდან (3) გამოდის:

. (4)

ტოლობიდან (4) გამომდინარეობს, რომ ვექტორი გაფართოვდა საფუძვლის თვალსაზრისით
, ე.ი. ვექტორი დევს ვექტორულ სიბრტყეში
და აქედან გამომდინარე ვექტორები
თანაპლენარული, რაც ეწინააღმდეგება მდგომარეობას.

ბ) საქმე რჩება
, ე.ი.
. შემდეგ ტოლობიდან (3) ვიღებთ ან

იმიტომ რომ
არის სიბრტყეში განლაგებული ვექტორების სივრცის საფუძველი და ჩვენ უკვე დავამტკიცეთ სიბრტყის ვექტორების საფუძველზე გაფართოების უნიკალურობა, თანასწორობიდან (5) გამომდინარეობს, რომ
და
და ა.შ.

თეორემა დადასტურდა.

შედეგი.

1) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე R.

2) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და კარტეზიული მოედანი

3) ვექტორული სივრცის ვექტორთა სიმრავლეს შორის არის ერთი-ერთზე შესაბამისობა
და დეკარტის კუბი
ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლეები R.

მტკიცებულება. დავამტკიცოთ მესამე მტკიცება. პირველი ორი დადასტურებულია ანალოგიურად.

ავირჩიოთ და დავაფიქსიროთ სივრცეში
რაღაც საფუძველი
და დააყენეთ ჩვენება
შემდეგი წესის მიხედვით:

იმათ. თითოეული ვექტორი ასოცირდება მისი კოორდინატების მოწესრიგებულ სიმრავლესთან.

ვინაიდან, ფიქსირებული საფუძვლით, თითოეულ ვექტორს აქვს კოორდინატების უნიკალური ნაკრები, წესით მოცემული შესაბამისობა (6) ნამდვილად არის რუკა.

თეორემის დადასტურებიდან გამომდინარეობს, რომ სხვადასხვა ვექტორს აქვს განსხვავებული კოორდინატები ერთი და იგივე საფუძვლის მიმართ, ე.ი. რუქა (6) არის ინექცია.

დაე
რეალური რიცხვების თვითნებური მოწესრიგებული ნაკრები.

განვიხილოთ ვექტორი
. კონსტრუქციით, ამ ვექტორს აქვს კოორდინატები
. მაშასადამე, რუკების დახატვა (6) არის გამოთქმა.

რუკა, რომელიც არის ინექციურიც და სუბიექტურიც, არის ბიჯექტური, ე.ი. ერთი-ერთზე და ა.შ.

შედეგი დადასტურებულია.

თეორემა. (ორი ვექტორის ტოლობის შესახებ.)

ორი ვექტორი ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მათი კოორდინატები ერთსა და იმავე საფუძველთან მიმართებაში ტოლია.

მტკიცებულება დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს წინა დასკვნისგან.

პუნქტი 3. ვექტორული სივრცის ზომა.

განმარტება. ვექტორების რაოდენობას ვექტორული სივრცის საფუძველში ეწოდება მისი განზომილება.

Დანიშნულება:
არის ვექტორული სივრცის განზომილება V.

ამრიგად, ამ და წინა განმარტებების შესაბამისად, გვაქვს:

1)
არის L წრფის ვექტორების ვექტორული სივრცე.

- საფუძველი
,
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
- ვექტორული კოორდინატი საფუძველთან შედარებით
.

2)
არის Р სიბრტყის ვექტორების ვექტორული სივრცე.

- საფუძველი
,
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
არის ვექტორული კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

3)
არის ვექტორთა ვექტორული სივრცე S წერტილების სივრცეში.

- საფუძველი
,
,
- ვექტორული დაშლა
საფუძველი
,
არის ვექტორული კოორდინატები საფუძველთან შედარებით
.

კომენტარი. თუ
, ეს
და თქვენ შეგიძლიათ აირჩიოთ საფუძველი
სივრცე
Ისე
- საფუძველი
და
- საფუძველი
. მერე
, და
, .

ამრიგად, L წრფის ნებისმიერი ვექტორი, სიბრტყე P და სივრცე S შეიძლება გაფართოვდეს საფუძვლის მიხედვით
:

Დანიშნულება. ვექტორული თანასწორობის თეორემის მიხედვით, შეგვიძლია ნებისმიერი ვექტორის ამოცნობა რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამმაგით და დავწეროთ:

ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ საფუძველი
გასწორებულია და არ არის ჩახლართული საშიშროება.

განმარტება. ვექტორის ჩანაწერს რეალური რიცხვების მოწესრიგებული სამეულის სახით ეწოდება ვექტორული ჩანაწერის კოორდინატთა ფორმა:
.

პუნქტი 4. ხაზოვანი მოქმედებები ვექტორებით კოორდინატულ აღნიშვნით.

დაე
- სივრცის საფუძველი
და
არის მისი ორი თვითნებური ვექტორი. დაე
და
არის ამ ვექტორების აღნიშვნა კოორდინატულ ფორმაში. მოდით, შემდგომში,
არის თვითნებური რეალური რიცხვი. ამ აღნიშვნებში მოქმედებს შემდეგი თეორემა.

თეორემა. (ხაზოვანი ოპერაციების შესახებ ვექტორებით კოორდინატულ ფორმაში.)

2)
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ორი ვექტორის დასამატებლად, თქვენ უნდა დაამატოთ მათი შესაბამისი კოორდინატები, ხოლო ვექტორის რიცხვზე გასამრავლებლად, ამ ვექტორის თითოეული კოორდინატი უნდა გაამრავლოთ მოცემულ რიცხვზე.

მტკიცებულება. ვინაიდან, თეორემის პირობის მიხედვით, ვექტორული სივრცის აქსიომების გამოყენებით, რომლებიც ექვემდებარება ვექტორების დამატების და ვექტორის რიცხვზე გამრავლების ოპერაციებს, ვიღებთ:

ეს გულისხმობს.

მეორე თანასწორობაც ანალოგიურად არის დადასტურებული.

თეორემა დადასტურდა.

პუნქტი 5. ორთოგონალური ვექტორები. ორთონორალური საფუძველი.

განმარტება. ორ ვექტორს ორთოგონალური ეწოდება, თუ მათ შორის კუთხე ტოლია მართი კუთხის, ე.ი.
.

Დანიშნულება:
- ვექტორები და ორთოგონალური.

განმარტება. ვექტორული ტრიო
ორთოგონალური ეწოდება, თუ ეს ვექტორები ერთმანეთის მიმართ წყვილი ორთოგონალურია, ე.ი.
,
.

განმარტება. ვექტორული ტრიო
ორთონორმალურს უწოდებენ, თუ ის ორთოგონალურია და ყველა ვექტორის სიგრძე ერთის ტოლია:
.

კომენტარი. განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ვექტორთა ორთოგონალური და, მაშასადამე, ორთონორმალური სამეული არათანაბლატურია.

განმარტება. დალაგებული ვექტორების არათანაბარი სამმაგი
ერთი წერტილიდან გათიშული, ეწოდება მარჯვენა (მარჯვნივ ორიენტირებული), თუ მესამე ვექტორის ბოლოდან დაკვირვებისას სიბრტყემდე, რომელიც შეიცავს პირველ ორ ვექტორს და , პირველი ვექტორის უმოკლეს ბრუნვა მეორემდე ხდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ვექტორების სამეულს ეწოდება მარცხენა (მარცხნივ ორიენტირებული).

აქ, ნახ. 6 გვიჩვენებს ვექტორების მარჯვენა სამეულს
. შემდეგი სურათი 7 გვიჩვენებს ვექტორების მარცხენა სამეულს
:

განმარტება. საფუძველი
ვექტორული სივრცე
ორთონორმალურს უწოდებენ თუ
ვექტორთა ორთონორმალური სამეული.

Დანიშნულება. შემდგომში ჩვენ გამოვიყენებთ სწორ ორთონორმალურ საფუძველს
, იხილეთ შემდეგი სურათი.

ფორმის გამოხატვა დაურეკა ვექტორების წრფივი კომბინაცია A 1 , A 2 ,...,A nკოეფიციენტებით λ 1, λ 2 ,...,λ n.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივად დამოკიდებული, თუ არსებობს რიცხვების არანულოვანი ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n, რომლის ქვეშაც ვექტორთა წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლიანუ განტოლებათა სისტემა: აქვს არანულოვანი გამოსავალი.
ნომრების ნაკრები λ 1, λ 2 ,...,λ n ნულოვანია, თუ რიცხვებიდან ერთი მაინც λ 1, λ 2 ,...,λ n განსხვავდება ნულიდან.

ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოუკიდებლობის განსაზღვრა

ვექტორული სისტემა A 1 , A 2 ,...,A nდაურეკა წრფივი დამოუკიდებელი, თუ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A nნულოვანი ვექტორის ტოლია მხოლოდ ნულოვანი რიცხვების სიმრავლისთვის λ 1, λ 2 ,...,λ n ანუ განტოლებათა სისტემა: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θაქვს უნიკალური ნულოვანი გადაწყვეტა.

მაგალითი 29.1

შეამოწმეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული

გამოსავალი:

1. ჩვენ ვადგენთ განტოლებათა სისტემას:

2. ჩვენ ვხსნით გაუსის მეთოდით. სისტემის იორდანული გარდაქმნები მოცემულია ცხრილში 29.1. გაანგარიშებისას, სისტემის სწორი ნაწილები არ იწერება, რადგან ისინი ნულის ტოლია და არ იცვლება იორდანიის გარდაქმნების დროს.

3. ცხრილის ბოლო სამი რიგიდან ჩვენ ვწერთ დაშვებულ სისტემას ორიგინალის ეკვივალენტსსისტემა:

4. ჩვენ ვიღებთ სისტემის ზოგად გადაწყვეტას:

5. თქვენი შეხედულებისამებრ დააყენეთ უფასო ცვლადის მნიშვნელობა x 3 =1, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ არანულოვან ამონახსნებს X=(-3,2,1).

პასუხი: ამგვარად, რიცხვების არანულოვანი სიმრავლით (-3,2,1) ვექტორთა წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვან ვექტორს -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. აქედან გამომდინარე, ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოკიდებული.

ვექტორული სისტემების თვისებები

ქონება (1)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ვექტორებიდან ერთი მაინც იშლება დანარჩენის მიხედვით და პირიქით, თუ სისტემის ვექტორებიდან ერთი მაინც იშლება დანარჩენის მიხედვით, მაშინ სისტემა ვექტორები წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (2)
თუ ვექტორების რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება (3)
თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

ქონება (4)
ვექტორთა ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს, წრფივია დამოკიდებული.

ქონება (5)
m-განზომილებიანი ვექტორების სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული, თუ ვექტორების რაოდენობა n აღემატება მათ განზომილებას (n>m).

ვექტორული სისტემის საფუძველი

ვექტორთა სისტემის საფუძველი A 1 , A 2 ,..., A n ასეთი ქვესისტემა B 1 , B 2 ,...,B r(თითოეული ვექტორი B 1 , B 2 ,...,B r არის ერთ-ერთი ვექტორი A 1 , A 2 ,..., A n), რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:
1. B 1 ,B 2 ,...,B rვექტორთა წრფივი დამოუკიდებელი სისტემა;
2. ნებისმიერი ვექტორიაჯ სისტემის A 1 , A 2 ,..., A n წრფივი გამოსახულია B 1 ,B 2 ,...,B r ვექტორებით

რარის საფუძველში შემავალი ვექტორების რაოდენობა.

თეორემა 29.1 ვექტორთა სისტემის ერთეულ საფუძველზე.

თუ m განზომილებიანი ვექტორების სისტემა შეიცავს m სხვადასხვა ერთეულ ვექტორებს E 1 E 2 ,..., E m , მაშინ ისინი ქმნიან სისტემის საფუძველს.

ვექტორთა სისტემის საფუძვლის პოვნის ალგორითმი

A 1 ,A 2 ,...,A n ვექტორების სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

• შეადგინეთ ვექტორთა სისტემის შესაბამისი განტოლებათა ერთგვაროვანი სისტემა A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• მოიყვანეთ ეს სისტემა

საბაზისო განმარტება.ვექტორთა სისტემა ქმნის საფუძველს, თუ:

1) ის არის ხაზოვანი დამოუკიდებელი,

2) მასში არსებული სივრცის ნებისმიერი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული.

მაგალითი 1სივრცის საფუძველი: .

2. ვექტორთა სისტემაში ვექტორები არის საფუძველი: , იმიტომ წრფივად გამოხატული ვექტორებით.

კომენტარი.ვექტორების მოცემული სისტემის საფუძვლის მოსაძებნად საჭიროა:

1) ჩაწერეთ ვექტორების კოორდინატები მატრიცაში,

2) ელემენტარული გარდაქმნების გამოყენებით, მიიტანეთ მატრიცა სამკუთხა ფორმამდე,

3) მატრიცის არანულოვანი რიგები იქნება სისტემის საფუძველი,

4) ვექტორების რაოდენობა საფუძველში უდრის მატრიცის რანგს.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა

კრონეკერ-კაპელის თეორემა ამომწურავ პასუხს იძლევა წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემის უცნობებთან თავსებადობის კითხვაზე.

კრონეკერ-კაპელის თეორემა. წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემის გაფართოებული მატრიცის რანგი უდრის მთავარი მატრიცის რანგის, .

წრფივი განტოლებათა თანმიმდევრული სისტემის ყველა ამონახსნის პოვნის ალგორითმი გამომდინარეობს კრონეკერ-კაპელის თეორემიდან და შემდეგი თეორემებიდან.

თეორემა.თუ თანმიმდევრული სისტემის რანგი უდრის უცნობთა რაოდენობას, მაშინ სისტემას აქვს უნიკალური ამონახსნი.

თეორემა.თუ თანმიმდევრული სისტემის რანგი ნაკლებია უცნობის რაოდენობაზე, მაშინ სისტემას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

წრფივი განტოლებათა თვითნებური სისტემის ამოხსნის ალგორითმი:

1. იპოვეთ სისტემის ძირითადი და გაფართოებული მატრიცების რიგები. თუ ისინი არ არიან ტოლი (), მაშინ სისტემა არათანმიმდევრულია (არ აქვს გადაწყვეტილებები). თუ რიგები თანაბარია ( , მაშინ სისტემა თანმიმდევრულია.

2. თავსებადი სისტემისთვის ვპოულობთ რამდენიმე მინორს, რომლის თანმიმდევრობა განსაზღვრავს მატრიცის რანგს (ასეთ მინორს ეწოდება ძირითადი). ჩვენ ვქმნით განტოლებათა ახალ სისტემას, რომელშიც უცნობების კოეფიციენტები შედის ძირითად მინორში (ამ უცნობებს უწოდებენ მთავარ უცნობებს), ჩვენ უარვყოფთ დანარჩენ განტოლებებს. მთავარ უცნობებს ვტოვებთ კოეფიციენტებით მარცხნივ, ხოლო დარჩენილ უცნობებს (მათ თავისუფალ უცნობებს უწოდებენ) განტოლებების მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ.

3. ვიპოვოთ ძირითადი უცნობის გამოთქმები თავისუფალის მიხედვით. ჩვენ ვიღებთ სისტემის ზოგად გადაწყვეტას.

4. თავისუფალ უცნობებს თვითნებური მნიშვნელობების მიცემით, ჩვენ ვიღებთ ძირითადი უცნობის შესაბამის მნიშვნელობებს. ამრიგად, ჩვენ ვპოულობთ განტოლებათა თავდაპირველი სისტემის კონკრეტულ ამონახსნებს.

ხაზოვანი პროგრამირება. Ძირითადი ცნებები

ხაზოვანი პროგრამირებაარის მათემატიკური პროგრამირების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს, რომლებიც ხასიათდება ცვლადებსა და ხაზოვან კრიტერიუმს შორის წრფივი დამოკიდებულებით.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის დასადგენად აუცილებელი პირობაა რესურსების ხელმისაწვდომობის შეზღუდვა, მოთხოვნის ოდენობა, საწარმოს წარმოების სიმძლავრე და სხვა წარმოების ფაქტორები.

წრფივი პროგრამირების არსი არის გარკვეული ფუნქციის უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობის წერტილების პოვნა არგუმენტებსა და გენერატორებზე დაწესებული შეზღუდვების გარკვეული ნაკრების ქვეშ. შეზღუდვების სისტემა , რომელსაც ჩვეულებრივ აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა. ცვლადი მნიშვნელობების თითოეული ნაკრები (ფუნქციის არგუმენტები ფ ) რომლებიც აკმაყოფილებენ შეზღუდვების სისტემას ეწოდება მისაღები გეგმა ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემები. ფუნქცია ფ , რომლის მაქსიმუმი ან მინიმუმი განისაზღვრება, ე.წ ობიექტური ფუნქცია დავალებები. დასაშვები გეგმა, რომელზედაც მიიღწევა ფუნქციის მაქსიმუმი ან მინიმალური ფ , ეწოდება ოპტიმალური გეგმა დავალებები.

შეზღუდვების სისტემა, რომელიც განსაზღვრავს გეგმების ერთობლიობას, ნაკარნახევია წარმოების პირობებით. ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემა ( ZLP ) არის ყველაზე მომგებიანი (ოპტიმალური) არჩევანი შესაძლებელი გეგმების სიმრავლიდან.

ხაზოვანი პროგრამირების პრობლემის ზოგადი ფორმულირება შემდეგია:

არის რამდენიმე ცვლადი x \u003d (x 1, x 2, ... x n) და ამ ცვლადების ფუნქცია f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , რომელიც სახელს ატარებს სამიზნე ფუნქციები. დასახულია ამოცანა: იპოვონ ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი (მაქსიმუმი ან მინიმალური). f(x) იმ პირობით, რომ ცვლადები x ეკუთვნის რაღაც ტერიტორიას გ :

ფუნქციის ტიპის მიხედვით f(x) და ტერიტორიები გ და განასხვავებენ მათემატიკური პროგრამირების განყოფილებებს: კვადრატული პროგრამირება, ამოზნექილი პროგრამირება, მთელი რიცხვითი პროგრამირება და ა.შ. ხაზოვანი პროგრამირება ხასიათდება იმით, რომ
ა) ფუნქცია f(x) არის ცვლადების წრფივი ფუნქცია x 1, x 2, ... x n
ბ) ფართობი გ სისტემით განსაზღვრული ხაზოვანი თანასწორობა ან უთანასწორობა.