მარტივი რიცხვები ერთ-ერთი ყველაზე საინტერესო მათემატიკური ფენომენია, რომელიც ორ ათასწლეულზე მეტია იპყრობს მეცნიერთა და რიგითი მოქალაქეების ყურადღებას. იმისდა მიუხედავად, რომ ჩვენ ახლა ვცხოვრობთ კომპიუტერების და ყველაზე თანამედროვე საინფორმაციო პროგრამების ეპოქაში, მარტივი რიცხვების მრავალი საიდუმლო ჯერ კიდევ არ არის ამოხსნილი, არის ისეთებიც, რომლებსაც მეცნიერებმა არ იციან როგორ მიუახლოვდნენ.

მარტივი რიცხვები, როგორც ცნობილია ელემენტარული არითმეტიკის კურსიდან, არის ის რიცხვები, რომლებიც ნაშთების გარეშე იყოფა მხოლოდ ერთზე და საკუთარ თავზე. სხვათა შორის, თუ ნატურალური რიცხვი, გარდა ზემოთ ჩამოთვლილთა გარდა, იყოფა სხვა რიცხვზე, მაშინ მას კომპოზიციური ეწოდება. ერთ-ერთი ყველაზე ცნობილი თეორემა ამბობს, რომ ნებისმიერი შედგენილი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი, როგორც მარტივი რიცხვების ერთადერთი შესაძლო ნამრავლი.

რამდენიმე საინტერესო ფაქტი. ჯერ ერთი, ერთეული უნიკალურია იმ გაგებით, რომ, ფაქტობრივად, ის არ მიეკუთვნება არც მარტივ და არც შედგენილ რიცხვებს. ამავდროულად, სამეცნიერო საზოგადოებაში ჯერ კიდევ ჩვეულებრივია მისი მიკუთვნება პირველ ჯგუფს, რადგან ფორმალურად იგი სრულად აკმაყოფილებს მის მოთხოვნებს.

მეორეც, ერთადერთი ლუწი რიცხვი, რომელიც შევიდა "პირველ რიცხვებში" ჯგუფში, რა თქმა უნდა, ორია. ნებისმიერი სხვა ლუწი რიცხვი უბრალოდ აქ ვერ მოხვდება, რადგან განსაზღვრებით, გარდა თავისა და ერთისა, ის ასევე იყოფა ორზე.

მარტივი რიცხვები, რომელთა სია, როგორც ზემოთ აღინიშნა, შეიძლება დაიწყოს ერთით, არის უსასრულო რიგი, ისეთივე უსასრულო, როგორც ნატურალური რიცხვების სერია. არითმეტიკის ფუნდამენტური თეორემიდან გამომდინარე, შეიძლება მივიდეთ დასკვნამდე, რომ მარტივი რიცხვები არასოდეს წყდება და არასოდეს მთავრდება, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ნატურალური რიცხვების სერია აუცილებლად შეწყდება.

პირველი რიცხვები შემთხვევით არ ჩანს ბუნებრივ სერიებში, როგორც ეს ერთი შეხედვით შეიძლება ჩანდეს. მათი გულდასმით გაანალიზების შემდეგ დაუყოვნებლივ შეამჩნევთ რამდენიმე მახასიათებელს, რომელთაგან ყველაზე ცნობისმოყვარე ასოცირდება ეგრეთ წოდებულ "ტყუპ" ნომრებთან. მათ ასე ეძახიან იმიტომ, რომ რაღაც გაუგებარი სახით, ისინი ერთმანეთის გვერდით ხვდებოდნენ, მხოლოდ ლუწი განმსაზღვრელი (ხუთი და შვიდი, ჩვიდმეტი და ცხრამეტი) გამოყოფილი.

თუ მათ ყურადღებით დააკვირდებით, შეამჩნევთ, რომ ამ რიცხვების ჯამი ყოველთვის სამის ნამრავლია. უფრო მეტიც, მარცხენა თანამონაწილის სამჯერ გაყოფისას, ნაშთი ყოველთვის რჩება ორად, ხოლო მარჯვენა - ერთი. გარდა ამისა, ამ რიცხვების განაწილება ბუნებრივი სერიების გასწვრივ შეიძლება ვიწინასწარმეტყველოთ, თუ მთელი ეს სერია წარმოდგენილია რხევადი სინუსოიდების სახით, რომელთა ძირითადი წერტილები იქმნება, როდესაც რიცხვები იყოფა სამზე და ორზე.

მარტივი რიცხვები არა მხოლოდ მათემატიკოსების მიერ მთელი მსოფლიოს მასშტაბით შესწავლის ობიექტია, არამედ დიდი ხანია წარმატებით გამოიყენება რიცხვების სხვადასხვა სერიის შედგენისას, რაც საფუძველს წარმოადგენს, მათ შორის შიფროგრაფიისთვისაც. ამავდროულად, უნდა ვაღიაროთ, რომ ამ შესანიშნავ ელემენტებთან დაკავშირებული საიდუმლოებების უზარმაზარი რაოდენობა ჯერ კიდევ ელოდება გადაჭრას, ბევრ კითხვას აქვს არა მხოლოდ ფილოსოფიური, არამედ პრაქტიკული მნიშვნელობა.

განმარტება 1. მარტივი რიცხვიარის 1-ზე მეტი ნატურალური რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ თავისთავზე და 1-ზე.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, რიცხვი მარტივია, თუ მას აქვს მხოლოდ ორი განსხვავებული ბუნებრივი გამყოფი.

განმარტება 2. ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს, რომელსაც თავისი და ერთის გარდა სხვა გამყოფებიც აქვს, ეწოდება კომპოზიტური ნომერი.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, უწოდებენ კომპოზიტურ რიცხვებს. განმარტება 1 გულისხმობს, რომ შედგენილ რიცხვს აქვს ორზე მეტი ბუნებრივი გამყოფი. რიცხვი 1 არც მარტივია და არც შედგენილი. აქვს მხოლოდ ერთი გამყოფი 1 და, გარდა ამისა, მარტივი რიცხვების შესახებ ბევრი თეორემა არ შეესაბამება ერთიანობას.

1 და 2 განმარტებები გულისხმობს, რომ 1-ზე მეტი ყოველი დადებითი რიცხვი არის მარტივი ან შედგენილი რიცხვი.

ქვემოთ მოცემულია 5000-მდე მარტივი რიცხვების ჩვენების პროგრამა. შეავსეთ უჯრები, დააჭირეთ ღილაკს "შექმნა" და დაელოდეთ რამდენიმე წამს.

ძირითადი რიცხვების ცხრილი

განცხადება 1. Თუ გვარის მარტივი რიცხვი და ანებისმიერი მთელი რიცხვი, მაშინ ან აიყოფა გვ, ან გვდა აშედარებით მარტივი რიცხვები.

მართლა. Თუ გვმარტივი რიცხვი, მაშინ ის მხოლოდ თავისთავად იყოფა და 1 თუ აარ იყოფა გვ, მაშინ ყველაზე დიდი საერთო გამყოფი ადა გვუდრის 1. მაშინ გვდა აშედარებით მარტივი რიცხვები.

განცხადება 2. თუ რიცხვთა რამდენიმე რიცხვის ნამრავლი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... იყოფა მარტივ რიცხვზე გვ, მაშინ მინიმუმ ერთი ნომერი ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... იყოფა გვ.

მართლა. თუ არცერთი რიცხვი არ იყოფა გვ, შემდეგ ნომრები ა 1 , ა 2 , ა 3, ... იქნება შედარებით მარტივი რიცხვები მიმართებაში გვ. მაგრამ დასკვნა 3 ()დან გამომდინარეობს, რომ მათი პროდუქტი ა 1 , ა 2 , ა 3, ... ასევე coprime მიმართებაში გვ, რაც ეწინააღმდეგება მტკიცების პირობას. აქედან გამომდინარე, რიცხვებიდან ერთი მაინც იყოფა გვ.

თეორემა 1. ნებისმიერი შედგენილი რიცხვი ყოველთვის შეიძლება იყოს წარმოდგენილი და უფრო მეტიც, უნიკალური გზით, როგორც მარტივი რიცხვების სასრული რაოდენობის ნამრავლი.

მტკიცებულება. დაე იყოს კკომპოზიტური რიცხვი და ნება ა 1 არის მისი ერთ-ერთი გამყოფი, რომელიც განსხვავდება 1-ისგან და საკუთარი თავისგან. Თუ ა 1 არის კომპოზიტური, შემდეგ მას აქვს დამატებით 1 და ა 1 და კიდევ ერთი გამყოფი ა 2. Თუ ა 2 არის კომპოზიტური რიცხვი, შემდეგ მას აქვს, გარდა 1 და ა 2 და კიდევ ერთი გამყოფი ა 3 . ამგვარად კამათი და იმის გათვალისწინებით, რომ რიცხვები ა 1 , ა 2 , ა 3 , ... შემცირება და ეს სერია შეიცავს სასრულ რიცხვს, ჩვენ მივაღწევთ მარტივ რიცხვს გვერთი . მერე კშეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

დავუშვათ, რომ არსებობს რიცხვის ორი გაფართოება კ:

როგორც k=p 1 გვ 2 გვ 3 ... იყოფა მარტივ რიცხვზე ქ 1 , შემდეგ მინიმუმ ერთი ფაქტორი, მაგალითად გვ 1 იყოფა ქერთი . მაგრამ გვ 1 არის მარტივი და იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. აქედან გამომდინარე გვ 1 =ქ 1 (რადგან ქ 1 ≠1)

შემდეგ (2)-დან შეგვიძლია გამოვრიცხოთ გვ 1 და ქ 1:

ამრიგად, ჩვენ დავრწმუნდებით, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი, რომელიც შედის პირველ გაფართოებაში ფაქტორად ერთჯერ ან მეტჯერ, შედის მეორე გაფართოებაში, სულ მცირე, იმდენივე ჯერ და პირიქით, ნებისმიერი მარტივი რიცხვი, რომელიც შედის მეორე გაფართოებაში, როგორც ერთი ან რამდენიმე ფაქტორი. ჯერ ასევე შედის პირველ გაფართოებაში მინიმუმ იმდენჯერ. მაშასადამე, ნებისმიერი მარტივი რიცხვი ორივე გაფართოების კოეფიციენტად შედის ერთსა და იმავე რაოდენობაში და, შესაბამისად, ეს ორი გაფართოება ერთნაირია.■

კომპოზიტური რიცხვის დაშლა კშეიძლება დაიწეროს შემდეგი ფორმით

სადაც გვ 1 , გვ 2, ... განსხვავებული მარტივი რიცხვები, α, β, γ ... მთელი დადებითი რიცხვები.

დაშლა (3) ე.წ კანონიკური დაშლანომრები.

ნატურალური რიცხვების რიგის მარტივი რიცხვები არათანაბრად ჩნდება. სერიალის ზოგიერთ ნაწილში უფრო მეტია, ზოგში - ნაკლები. რაც უფრო შორს მივდივართ რიცხვთა სერიების გასწვრივ, მით უფრო იშვიათია მარტივი რიცხვები. საკითხავია, არის თუ არა ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი? ძველმა ბერძენმა მათემატიკოსმა ევკლიდემ დაამტკიცა, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია. ამ მტკიცებულებას ქვემოთ წარმოგიდგენთ.

თეორემა 2. მარტივი რიცხვების რაოდენობა უსასრულოა.

მტკიცებულება. დავუშვათ, რომ არსებობს მარტივი რიცხვების სასრული რიცხვი და ყველაზე დიდი მარტივი იყოს გვ. განვიხილოთ ყველა რიცხვი გვ. განცხადების დაშვებით, ეს რიცხვები უნდა იყოს შედგენილი და უნდა გაიყოს სულ მცირე ერთ მარტივ რიცხვზე. მოდით ავირჩიოთ რიცხვი, რომელიც არის ყველა ამ მარტივი რიცხვის ნამრავლი, პლუს 1:

ნომერი ზმეტი გვროგორც 2გვუკვე მეტი გვ. გვარ იყოფა არცერთ ამ მარტივ რიცხვზე, ვინაიდან როდესაც იყოფა თითოეულ მათგანზე, ის იძლევა ნაშთს 1-ის. ამგვარად მივდივართ წინააღმდეგობამდე. მაშასადამე, არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები.

ეს თეორემა არის უფრო ზოგადი თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა:

თეორემა 3. მიეცით არითმეტიკული პროგრესია

შემდეგ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი ნ, ასევე უნდა იყოს ჩართული მ, ასე რომ შიგნით ნარ შეიძლება შეიცავდეს სხვა ძირითად ფაქტორებს, რომლებიც არ შედის მდა, უფრო მეტიც, ეს ძირითადი ფაქტორები ნგამოჩნდება არა მეტჯერ, ვიდრე მასში მ.

პირიქითაც მართალია. თუ რიცხვის ყოველი მარტივი კოეფიციენტი ნხდება სულ მცირე ერთი და იგივე რამდენჯერ მ, მაშინ მიყოფა ნ.

განცხადება 3. დაე იყოს ა 1 ,ა 2 ,ა 3 ,... სხვადასხვა მარტივი რიცხვები ჩნდება მისე

სადაც მე=0,1,...α , ჯ=0,1,...,β , k=0,1,..., γ . შეამჩნია, რომ ა იიღებს α +1 მნიშვნელობები, β j იღებს β +1 მნიშვნელობები, γ k იღებს γ +1 მნიშვნელობები, ... .

• თარგმანი

მარტივი რიცხვების თვისებები პირველად ძველი საბერძნეთის მათემატიკოსებმა შეისწავლეს. პითაგორას სკოლის მათემატიკოსები (ძვ. წ. 500 - 300 წწ.) პირველ რიგში დაინტერესებულნი იყვნენ მარტივი რიცხვების მისტიკური და ნუმეროლოგიური თვისებებით. მათ პირველებმა გაუჩნდათ იდეა სრულყოფილი და მეგობრული ნომრების შესახებ.

სრულყოფილ რიცხვს აქვს თავისი გამყოფები, რომლებიც ტოლია თავის თავს. მაგალითად, რიცხვი 6-ის სწორი გამყოფებია: 1, 2 და 3. 1 + 2 + 3 = 6. 28 რიცხვის გამყოფებია 1, 2, 4, 7 და 14. უფრო მეტიც, 1 + 2 + 4. + 7 + 14 = 28.

რიცხვებს უწოდებენ მეგობრულს, თუ ერთი რიცხვის სწორი გამყოფების ჯამი უდრის მეორეს და პირიქით - მაგალითად, 220 და 284. შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სრულყოფილი რიცხვი მეგობრულია თავისთვის.

ევკლიდეს „დასაწყისების“ ნაწარმოების გამოჩენის დროისათვის 300 წ. რამდენიმე მნიშვნელოვანი ფაქტი მარტივი რიცხვების შესახებ უკვე დადასტურებულია. ელემენტების IX წიგნში ევკლიდემ დაამტკიცა, რომ არსებობს უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები. სხვათა შორის, ეს არის მტკიცების წინააღმდეგობრივი გამოყენების ერთ-ერთი პირველი მაგალითი. ის ასევე ამტკიცებს არითმეტიკის საბაზისო თეორემას - ყოველი მთელი რიცხვი შეიძლება იყოს წარმოდგენილი უნიკალური სახით, როგორც მარტივი რიცხვების ნამრავლი.

მან ასევე აჩვენა, რომ თუ რიცხვი 2 n -1 არის მარტივი, მაშინ რიცხვი 2 n-1 * (2 n -1) იქნება სრულყოფილი. კიდევ ერთმა მათემატიკოსმა, ეილერმა, 1747 წელს შეძლო ეჩვენებინა, რომ ყველა სრულყოფილი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ამ ფორმით. დღემდე არ არის ცნობილი, არსებობს თუ არა კენტი სრულყოფილი რიცხვები.

200 წელს ძვ. ბერძენმა ერატოსთენესმა გამოიგონა მარტივი რიცხვების პოვნის ალგორითმი, რომელსაც ეწოდებოდა ერატოსთენეს საცერი.

შემდეგ კი დიდი შესვენება მოხდა შუა საუკუნეებთან დაკავშირებული მარტივი რიცხვების შესწავლის ისტორიაში.

შემდეგი აღმოჩენები უკვე მე-17 საუკუნის დასაწყისში გააკეთა მათემატიკოსმა ფერმატმა. მან დაამტკიცა ალბერტ ჟირარის ვარაუდი, რომ 4n+1 ფორმის ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება დაიწეროს ცალსახად, როგორც ორი კვადრატის ჯამი, და ასევე ჩამოაყალიბა თეორემა, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ოთხი კვადრატის ჯამად.

მან შეიმუშავა ახალი ფაქტორიზაციის მეთოდი დიდი რიცხვებისთვის და აჩვენა ის რიცხვზე 2027651281 = 44021 × 46061. მან ასევე დაამტკიცა ფერმას პატარა თეორემა: თუ p არის მარტივი რიცხვი, მაშინ ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის a, a p = მოდული p იქნება ჭეშმარიტი. .

ეს განცხადება ამტკიცებს იმის ნახევარს, რაც ცნობილი იყო როგორც "ჩინური ჰიპოთეზა" და თარიღდება 2000 წლით ადრე: მთელი რიცხვი n არის მარტივი, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ 2n-2 იყოფა n-ზე. ჰიპოთეზის მეორე ნაწილი მცდარი აღმოჩნდა - მაგალითად, 2341 - 2 იყოფა 341-ზე, თუმცა რიცხვი 341 შედგენილია: 341 = 31 × 11.

ფერმას პატარა თეორემა იყო მრავალი სხვა შედეგის საფუძველი რიცხვების თეორიაში და მეთოდების შესამოწმებლად, არის თუ არა რიცხვები მარტივი, რომელთაგან ბევრი დღემდე გამოიყენება.

ფერმა ფართო მიმოწერა ჰქონდა თავის თანამედროვეებს, განსაკუთრებით ბერს, სახელად მარინ მერსენს. ერთ-ერთ წერილში მან გამოთქვა ვარაუდი, რომ 2 n + 1 ფორმის რიცხვები ყოველთვის მარტივი იქნება, თუ n არის ორი ხარისხოვანი. მან გამოსცადა ეს n = 1, 2, 4, 8 და 16-ისთვის და დარწმუნებული იყო, რომ როდესაც n არ არის ორის ხარისხში, რიცხვი სულაც არ იყო მარტივი. ამ რიცხვებს უწოდებენ ფერმას რიცხვებს და მხოლოდ 100 წლის შემდეგ ეილერმა აჩვენა, რომ შემდეგი რიცხვი, 232 + 1 = 4294967297, იყოფა 641-ზე და, შესაბამისად, არ არის მარტივი.

2 n - 1 ფორმის რიცხვები ასევე იყო კვლევის საგანი, რადგან ადვილია იმის ჩვენება, რომ თუ n არის შედგენილი, მაშინ თავად რიცხვიც შედგენილია. ამ რიცხვებს მერსენის რიცხვებს უწოდებენ, რადგან ის აქტიურად სწავლობდა მათ.

მაგრამ 2 n - 1 ფორმის ყველა რიცხვი, სადაც n არის მარტივი, არ არის მარტივი. მაგალითად, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. ეს პირველად აღმოაჩინეს 1536 წელს.

მრავალი წლის განმავლობაში, ამ ტიპის რიცხვები მათემატიკოსებს აძლევდა ყველაზე დიდ ცნობილ მარტივ რიცხვებს. რომ რიცხვი M 19 დაადასტურა კატალდიმ 1588 წელს და 200 წლის განმავლობაში იყო ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი, სანამ ეილერმა არ დაადასტურა, რომ M 31 ასევე მარტივია. ეს რეკორდი გაგრძელდა კიდევ ასი წლის განმავლობაში და შემდეგ ლუკასმა აჩვენა, რომ M 127 არის მარტივი (და ეს უკვე 39 ციფრია), და ამის შემდეგ, კვლევა გაგრძელდა კომპიუტერების მოსვლასთან ერთად.

1952 წელს დადასტურდა M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 და M 2281 რიცხვების პირველობა.

2005 წლისთვის 42 მერსენის პრაიმები იქნა ნაპოვნი. მათგან ყველაზე დიდი, M 25964951, შედგება 7816230 ციფრისგან.

ეილერის ნაშრომმა დიდი გავლენა მოახდინა რიცხვების თეორიაზე, მათ შორის მარტივ რიცხვებზე. მან გააფართოვა ფერმას პატარა თეორემა და შემოიტანა φ-ფუნქცია. ფაქტორიზაცია მოახდინა მე-5 ფერმას რიცხვი 2 32 +1, იპოვა 60 წყვილი მეგობრული რიცხვი და ჩამოაყალიბა (მაგრამ ვერ დაამტკიცა) ორმხრივობის კვადრატული კანონი.

მან პირველმა შემოიტანა მათემატიკური ანალიზის მეთოდები და შეიმუშავა რიცხვების ანალიტიკური თეორია. მან დაამტკიცა, რომ არა მხოლოდ ჰარმონიული სერია ∑ (1/n), არამედ ფორმის სერიაც

1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…

მიიღება მარტივი რიცხვების შებრუნებული რაოდენობების ჯამით, ასევე განსხვავდება. ჰარმონიული სერიების n წევრთა ჯამი იზრდება დაახლოებით log(n)ვით, ხოლო მეორე სერია უფრო ნელა განსხვავდება, როგორც log[ log(n) ]. ეს ნიშნავს, რომ, მაგალითად, დღემდე ნაპოვნი ყველა მარტივი რიცხვის საპასუხო ჯამი მისცემს მხოლოდ 4-ს, თუმცა სერია მაინც განსხვავდება.

ერთი შეხედვით ჩანს, რომ მარტივი რიცხვები მთელ რიცხვებს შორის საკმაოდ შემთხვევით ნაწილდება. მაგალითად, 100 რიცხვს შორის უშუალოდ 10000000-მდე არის 9 მარტივი, ხოლო 100 რიცხვს შორის არის მხოლოდ 2. მაგრამ დიდ სეგმენტებზე მარტივი რიცხვები ნაწილდება საკმაოდ თანაბრად. ლეჟანდრი და გაუსმა განიხილეს მათი განაწილება. ერთხელ გაუსმა უთხრა მეგობარს, რომ ნებისმიერ თავისუფალ 15 წუთში ის ყოველთვის ითვლის მარტივ რიცხვებს მომდევნო 1000 რიცხვში. სიცოცხლის ბოლომდე მან დათვალა ყველა მარტივი რიცხვი 3 მილიონამდე. ლეჟანდრმა და გაუსმა თანაბრად გამოთვალეს, რომ დიდი n-სთვის მარტივი რიცხვების სიმკვრივეა 1/log(n). ლეჟანდრმა შეაფასა მარტივი რიცხვი 1-დან n-მდე

π(n) = n/(log(n) - 1.08366)

ხოლო გაუსი - როგორც ლოგარითმული ინტეგრალი

π(n) = / 1/log(t) dt

ინტეგრაციის ინტერვალით 2-დან n-მდე.

დებულება მარტივი რიცხვების 1/log(n) სიმკვრივის შესახებ ცნობილია, როგორც პირველი რიცხვების თეორემა. ისინი ცდილობდნენ ამის დამტკიცებას მე-19 საუკუნეში და ჩებიშევი და რიმანი პროგრესირებდნენ. მათ ის დაუკავშირეს რიმანის ჰიპოთეზას, აქამდე დაუმტკიცებელ ვარაუდს რიმანის ზეტა ფუნქციის ნულების განაწილების შესახებ. მარტივი რიცხვების სიმკვრივე ერთდროულად დაამტკიცეს ჰადამარმა და დე ლა ვალე-პუსენმა 1896 წელს.

მარტივი რიცხვების თეორიაში ჯერ კიდევ ბევრი გადაუჭრელი კითხვაა, რომელთაგან ზოგიერთი მრავალი ასეული წლისაა:

• ტყუპი მარტივი ჰიპოთეზა - უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვების წყვილის შესახებ, რომლებიც ერთმანეთისგან 2-ით განსხვავდებიან.
• გოლდბახის ვარაუდი: ნებისმიერი ლუწი რიცხვი, დაწყებული 4-დან, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი.
• არის თუ არა n 2 + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
• ყოველთვის შესაძლებელია მარტივი რიცხვის პოვნა n 2-სა და (n + 1) 2-ს შორის? (ის, რომ ყოველთვის არის მარტივი რიცხვი n-სა და 2n-ს შორის, დაადასტურა ჩებიშევმა)
• არსებობს ფერმას მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? არის თუ არა ფერმას მარტივი რიცხვები მე-4-ის შემდეგ?
• არის თუ არა თანმიმდევრული მარტივი რიცხვების არითმეტიკული პროგრესია რომელიმე მოცემულ სიგრძეზე? მაგალითად, სიგრძისთვის 4: 251, 257, 263, 269. ნაპოვნი მაქსიმალური სიგრძე არის 26.
• არის თუ არა სამი თანმიმდევრული მარტივი რიცხვის სიმრავლეების უსასრულო რაოდენობა არითმეტიკულ პროგრესიაში?
• n 2 - n + 41 არის მარტივი რიცხვი 0 ≤ n ≤ 40-ისთვის. არსებობს ასეთი მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? იგივე კითხვა n 2 ფორმულისთვის - 79 n + 1601. ეს რიცხვები მარტივია 0 ≤ n ≤ 79-ისთვის.
• არის თუ არა n# + 1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა? (n# არის n-ზე ნაკლები ყველა მარტივი რიცხვის გამრავლების შედეგი)
• არის თუ არა n# -1 ფორმის მარტივი რიცხვების უსასრულო რაოდენობა?
• არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! +1?
• არის თუ არა უსასრულო რიცხვი n ფორმის მარტივი რიცხვები! -ერთი?
• თუ p არის მარტივი, 2 p -1 ყოველთვის არ მოიცავს კვადრატულ მარტივ ფაქტორებს შორის
• შეიცავს თუ არა ფიბონაჩის მიმდევრობა უსასრულო რიცხვს მარტივ რიცხვს?

ყველაზე დიდი ტყუპი მარტივი რიცხვებია 2003663613 × 2 195000 ± 1. ისინი შედგება 58711 ციფრისგან და აღმოაჩინეს 2007 წელს.

ყველაზე დიდი ფაქტორული მარტივი რიცხვი (n! ± 1 ფორმის) არის 147855! - 1. შედგება 142891 ციფრისგან და ნაპოვნია 2002 წელს.

ყველაზე დიდი პირველადი რიცხვი (n# ± 1 ფორმის რიცხვი) არის 1098133# + 1.

გამყოფთა სია.განსაზღვრებით, რიცხვი ნმარტივია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არ იყოფა 2-ზე და 1-ისა და თავის გარდა სხვა მთელ რიცხვებზე. ზემოაღნიშნული ფორმულა შლის ზედმეტ ნაბიჯებს და დაზოგავს დროს: მაგალითად, შემოწმების შემდეგ არის თუ არა რიცხვი 3-ზე, არ არის საჭირო იმის შემოწმება, იყო თუ არა იგი 9-ზე.

• სართული(x) ფუნქცია ამრგვალავს x-ს უახლოეს მთელ რიცხვამდე x-ზე ნაკლები ან ტოლი.

შეიტყვეთ მოდულარული არითმეტიკის შესახებ.ოპერაცია "x mod y" (მოდ არის ლათინური სიტყვის "modulo", რაც ნიშნავს "მოდულს") ნიშნავს "გაყავით x y-ზე და იპოვნეთ დარჩენილი ნაწილი". სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდულურ არითმეტიკაში, გარკვეული მნიშვნელობის მიღწევისას, რომელსაც ე.წ მოდული, რიცხვები "უბრუნდება" ნულს. მაგალითად, საათი ზომავს დროს 12 მოდულში: ის აჩვენებს 10, 11 და 12 საათს და შემდეგ უბრუნდება 1-ს.

• ბევრ კალკულატორს აქვს mod გასაღები. ამ განყოფილების ბოლოს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა გამოვთვალოთ ეს ფუნქცია ხელით დიდი რიცხვებისთვის.

რიცხვები განსხვავებულია: ბუნებრივი, ბუნებრივი, რაციონალური, მთელი და წილადი, დადებითი და უარყოფითი, რთული და მარტივი, კენტი და ლუწი, რეალური და ა.შ. ამ სტატიიდან შეგიძლიათ გაიგოთ რა არის მარტივი რიცხვები.

რომელ რიცხვებს უწოდებენ ინგლისურ სიტყვას "მარტივი"?

ძალიან ხშირად, სკოლის მოსწავლეებმა არ იციან როგორ უპასუხონ მათემატიკაში ერთ-ერთ ყველაზე მარტივ კითხვას იმის შესახებ, თუ რა არის მარტივი რიცხვი. ისინი ხშირად ურევენ მარტივ რიცხვებს ბუნებრივ რიცხვებთან (ანუ იმ რიცხვებს, რომლებსაც ადამიანები იყენებენ საგნების დათვლისას, მაშინ როცა ზოგიერთ წყაროში იწყებენ ნულიდან, ზოგში კი - ერთიდან). მაგრამ ეს ორი სრულიად განსხვავებული ცნებაა. მარტივი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, ანუ მთელი და დადებითი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და რომლებსაც აქვთ მხოლოდ 2 ბუნებრივი გამყოფი. ამ შემთხვევაში, ამ გამყოფებიდან ერთი არის მოცემული რიცხვი, ხოლო მეორე არის ერთეული. მაგალითად, სამი არის მარტივი რიცხვი, რადგან ის თანაბრად არ იყოფა რომელიმე სხვა რიცხვზე, გარდა თავისისა და ერთისა.

კომპოზიტური რიცხვები

მარტივი რიცხვების საპირისპიროა შედგენილი რიცხვები. ისინი ასევე ბუნებრივია, ასევე ერთზე დიდი, მაგრამ აქვთ არა ორი, არამედ მეტი გამყოფი. ასე, მაგალითად, რიცხვები 4, 6, 8, 9 და ა.შ. არის ბუნებრივი, შედგენილი, მაგრამ არა მარტივი რიცხვები. როგორც ხედავთ, ეს ძირითადად ლუწი რიცხვებია, მაგრამ არა ყველა. მაგრამ "ორი" არის ლუწი რიცხვი და "პირველი რიცხვი" მარტივი რიცხვების სერიებში.

ქვემიმდევრობა

მარტივი რიცხვების სერიის ასაგებად, აუცილებელია ყველა ნატურალური რიცხვიდან არჩევანის გაკეთება, მათი განმარტების გათვალისწინებით, ანუ თქვენ უნდა იმოქმედოთ წინააღმდეგობით. აუცილებელია თითოეული ბუნებრივი დადებითი რიცხვის გათვალისწინება იმ თემაზე, აქვს თუ არა მას ორზე მეტი გამყოფი. შევეცადოთ ავაშენოთ რიგი (მიმდევრობა), რომელიც შედგება მარტივი რიცხვებისგან. სია იწყება ორით, შემდეგ მოდის სამი, რადგან ის მხოლოდ თავისთავად და ერთზე იყოფა. განვიხილოთ ნომერი ოთხი. ოთხი და ერთის გარდა სხვა გამყოფები აქვს? დიახ, ეს რიცხვია 2. ასე რომ, ოთხი არ არის მარტივი რიცხვი. ხუთი ასევე მარტივია (გარდა 1-ისა და 5-ისა, ის არ იყოფა სხვა რიცხვზე), მაგრამ ექვსი იყოფა. და საერთოდ, თუ ყველა ლუწი რიცხვს მიჰყვებით, შეამჩნევთ, რომ „ორის“ გარდა არცერთი არ არის მარტივი. აქედან ვასკვნით, რომ ლუწი რიცხვები, გარდა ორისა, არ არის მარტივი. კიდევ ერთი აღმოჩენა: ყველა რიცხვი, რომელიც იყოფა სამზე, გარდა თავად სამეულისა, ლუწი თუ კენტი, ასევე არ არის მარტივი (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 და ა.შ.). იგივე ეხება რიცხვებს, რომლებიც იყოფა ხუთზე და შვიდზე. მათი მთელი ნაკრები ასევე არ არის მარტივი. შევაჯამოთ. ამრიგად, ყველა კენტი რიცხვი, გარდა ერთისა და ცხრასა, მიეკუთვნება მარტივ ერთნიშნა რიცხვებს და მხოლოდ „ორი“ ლუწებიდან. თავად ათეულები (10, 20,... 40 და ა.შ.) არ არის მარტივი. ორნიშნა, სამნიშნა და ა.შ. მარტივი რიცხვები შეიძლება განისაზღვროს ზემოაღნიშნული პრინციპებიდან გამომდინარე: თუ მათ არ აქვთ სხვა გამყოფები, გარდა საკუთარი თავისა და ერთისა.

თეორიები მარტივი რიცხვების თვისებების შესახებ

არსებობს მეცნიერება, რომელიც სწავლობს მთელი რიცხვების თვისებებს, მათ შორის პირველ რიცხვებს. ეს არის მათემატიკის დარგი, რომელსაც უმაღლესს უწოდებენ. მთელი რიცხვების თვისებების გარდა, იგი ასევე ეხება ალგებრულ, ტრანსცენდენტურ რიცხვებს, ასევე სხვადასხვა წარმოშობის ფუნქციებს, რომლებიც დაკავშირებულია ამ რიცხვების არითმეტიკასთან. ამ კვლევებში, გარდა ელემენტარული და ალგებრული მეთოდებისა, გამოიყენება ანალიტიკური და გეომეტრიულიც. კერძოდ, მარტივი რიცხვების შესწავლა ეხება „რიცხვთა თეორიას“.

მარტივი რიცხვები ნატურალური რიცხვების „სამშენებლო ბლოკებია“.

არითმეტიკაში არის თეორემა, რომელსაც მთავარი თეორემა ეწოდება. მისი მიხედვით, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი, გარდა ერთობისა, შეიძლება წარმოვიდგინოთ ნამრავლად, რომლის ფაქტორები არის მარტივი რიცხვები, ხოლო ფაქტორების რიგი უნიკალურია, რაც ნიშნავს, რომ წარმოდგენის მეთოდი უნიკალურია. მას უწოდებენ ნატურალური რიცხვის მარტივ ფაქტორებად დაშლას. ამ პროცესს სხვა სახელი აქვს - რიცხვების ფაქტორიზაცია. აქედან გამომდინარე, პირველ რიცხვებს შეიძლება ეწოდოს "სამშენებლო მასალა", "ბლოკები" ნატურალური რიცხვების ასაგებად.

მარტივი რიცხვების ძიება. სიმარტივის ტესტები

სხვადასხვა დროის მრავალი მეცნიერი ცდილობდა ეპოვა გარკვეული პრინციპები (სისტემები) მარტივი რიცხვების სიის საპოვნელად. მეცნიერებამ იცის სისტემები, რომლებსაც უწოდებენ ატკინის საცერს, სუნდარტამის საცერს, ერატოსთენეს. თუმცა, ისინი არ იძლევიან რაიმე მნიშვნელოვან შედეგს და მარტივი ტესტი გამოიყენება მარტივი რიცხვების მოსაძებნად. ალგორითმები მათემატიკოსებმაც შექმნეს. მათ პირველობის ტესტებს უწოდებენ. მაგალითად, არსებობს რაბინისა და მილერის მიერ შემუშავებული ტესტი. მას იყენებენ კრიპტოგრაფები. ასევე არსებობს Kayala-Agrawala-Saskena ტესტი. თუმცა, მიუხედავად მისი საკმარისი სიზუსტისა, ძალიან რთულია გამოთვლა, რაც ამცირებს მის პრაქტიკულ ღირებულებას.

აქვს თუ არა მარტივი რიცხვების სიმრავლეს ზღვარი?

ის, რომ მარტივი რიცხვების სიმრავლე არის უსასრულობა, დაწერილია ძველი ბერძენი მეცნიერის ევკლიდეს წიგნში „საწყისები“. მან ასე თქვა: „მოდით, ერთი წუთით წარმოვიდგინოთ, რომ მარტივ რიცხვებს აქვთ საზღვარი. შემდეგ გავამრავლოთ ისინი ერთმანეთში და ერთი დავამატოთ ნამრავლს. ამ მარტივი მოქმედებების შედეგად მიღებული რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს მარტივი რიცხვების რომელიმე სერიზე, რადგან ნაშთი ყოველთვის ერთი იქნება. და ეს ნიშნავს, რომ არის სხვა რიცხვი, რომელიც ჯერ არ არის შეტანილი მარტივი რიცხვების სიაში. მაშასადამე, ჩვენი ვარაუდი არ შეესაბამება სიმართლეს და ამ კომპლექტს არ შეიძლება ჰქონდეს ლიმიტი. ევკლიდეს მტკიცებულების გარდა, არსებობს უფრო თანამედროვე ფორმულა, რომელიც მოცემულია მეთვრამეტე საუკუნის შვეიცარიელი მათემატიკოსის ლეონჰარდ ეილერის მიერ. მისი თქმით, ჯამი, პირველი n რიცხვის ჯამის საპასუხო, განუსაზღვრელი ვადით იზრდება n რიცხვის ზრდასთან ერთად. და აი, თეორემის ფორმულა მარტივი რიცხვების განაწილებასთან დაკავშირებით: (n) იზრდება n/ln (n) მსგავსად.

რა არის ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვი?

ერთი და იგივე ლეონარდ ეილერმა შეძლო თავისი დროის ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვის პოვნა. ეს არის 2 31 - 1 = 2147483647. თუმცა, 2013 წლისთვის გამოითვალა კიდევ ერთი ყველაზე ზუსტი უდიდესი რიცხვების სიაში - 2 57885161 - 1. მას უწოდებენ მერსენის რიცხვს. იგი შეიცავს დაახლოებით 17 მილიონ ათობითი ციფრს. როგორც ხედავთ, მეთვრამეტე საუკუნის მეცნიერის მიერ აღმოჩენილი რიცხვი ამაზე რამდენჯერმე მცირეა. ასეც უნდა ყოფილიყო, რადგან ეილერმა ეს გამოთვლა ხელით გააკეთა, მაგრამ ჩვენს თანამედროვეს ალბათ კომპიუტერი დაეხმარა. უფრო მეტიც, ეს რიცხვი მიიღეს მათემატიკის დეპარტამენტში, ერთ-ერთ ამერიკულ დეპარტამენტში. ამ მეცნიერის სახელობის რიცხვები გადის ლუკ-ლემერის პირველობის ტესტს. თუმცა, მეცნიერებას არ სურს აქ გაჩერება. Electronic Frontier Foundation, რომელიც დაარსდა 1990 წელს ამერიკის შეერთებულ შტატებში (EFF), შესთავაზა ფულადი ჯილდო დიდი პირველი რიცხვების პოვნისთვის. და თუ 2013 წლამდე პრიზი ენიჭებოდათ იმ მეცნიერებს, რომლებიც იპოვნიდნენ მათ 1 და 10 მილიონი ათობითი რიცხვებიდან, დღეს ეს მაჩვენებელი 100 მილიონიდან 1 მილიარდამდეა. პრიზები 150-დან 250 ათას აშშ დოლარამდე მერყეობს.

სპეციალური მარტივი რიცხვების სახელები

იმ ციფრებს, რომლებიც აღმოაჩინეს გარკვეული მეცნიერების მიერ შექმნილი ალგორითმების წყალობით და გაიარეს სიმარტივის ტესტი, სპეციალური ეწოდება. აქ არის რამდენიმე მათგანი:

1. მერსინი.

4. კულენი.

6. მილსი და სხვ.

ზემოაღნიშნული მეცნიერების სახელობის ამ რიცხვების სიმარტივე დადგენილია შემდეგი ტესტების გამოყენებით:

1. ლუკას-ლემერი.

2. პეპინა.

3. რიზელი.

4. ბილჰარტი - ლემერი - სელფრიჯი და სხვები.

თანამედროვე მეცნიერება ამით არ ჩერდება და, ალბათ, უახლოეს მომავალში მსოფლიო გაიგებს მათ სახელებს, ვინც 250 000 დოლარის ოდენობის პრიზის მოპოვება შეძლეს ყველაზე დიდი მარტივი რიცხვის აღმოჩენით.