გაკვეთილი და პრეზენტაცია თემაზე: „ექსპონენციალური განტოლებები და ექსპონენციალური უტოლობა“

დამატებითი მასალები
ძვირფასო მომხმარებლებო, არ დაგავიწყდეთ დატოვოთ თქვენი კომენტარები, გამოხმაურება, წინადადებები! ყველა მასალა შემოწმებულია ანტივირუსული პროგრამით.

სასწავლო საშუალებები და ტრენაჟორები ონლაინ მაღაზია "ინტეგრალში" მე-11 კლასისთვის
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 9-11 კლასებისთვის "ტრიგონომეტრია"
ინტერაქტიული სახელმძღვანელო 10-11 კლასებისთვის "ლოგარითმები"

ექსპონენციალური განტოლებების განმარტება

ბიჭებო, ჩვენ შევისწავლეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, ვისწავლეთ მათი თვისებები და ავაშენეთ გრაფიკები, გავაანალიზეთ განტოლებების მაგალითები, რომლებშიც შეგვხვდა ექსპონენციალური ფუნქციები. დღეს ჩვენ შევისწავლით ექსპონენციალურ განტოლებებსა და უტოლობას.

განმარტება. ფორმის განტოლებები: $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ ეწოდება ექსპონენციალურ განტოლებებს.

გავიხსენოთ თეორემები, რომლებიც შევისწავლეთ თემაში „ექსპონენციალური ფუნქცია“, შეგვიძლია შემოვიტანოთ ახალი თეორემა:
თეორემა. ექსპონენციალური განტოლება $a^(f(x))=a^(g(x))$, სადაც $a>0$, $a≠1$ უდრის $f(x)=g(x) განტოლებას. $.

ექსპონენციალური განტოლებების მაგალითები

მაგალითი.
განტოლებების ამოხსნა:
ა) $3^(3x-3)=27$.
ბ) $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
გ) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
გადაწყვეტილება.
ა) ჩვენ კარგად ვიცით, რომ $27=3^3$.
მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება: $3^(3x-3)=3^3$.
ზემოთ მოყვანილი თეორემის გამოყენებით მივიღებთ, რომ ჩვენი განტოლება მცირდება $3x-3=3$ განტოლებამდე, ამ განტოლების ამოხსნით მივიღებთ $x=2$.
პასუხი: $x=2$.

ბ) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
მაშინ ჩვენი განტოლება შეიძლება გადაიწეროს: $((\frac(2)(3)))^(2x+0,2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5 ) )=((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2x+0.2=$0.2.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

გ) თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ და $x_2=-3$.
პასუხი: $x_1=6$ და $x_2=-3$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
გადაწყვეტილება:
ჩვენ თანმიმდევრულად შევასრულებთ მოქმედებების სერიას და მივიღებთ ჩვენი განტოლების ორივე ნაწილს ერთსა და იმავე ფუძემდე.
მოდით შევასრულოთ ოპერაციების სერია მარცხენა მხარეს:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
მოდით გადავიდეთ მარჯვენა მხარეს:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x)= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
თავდაპირველი განტოლება უდრის განტოლებას:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
პასუხი: $x=0$.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლება: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
გადაწყვეტილება:
მოდით გადავწეროთ ჩვენი განტოლება: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
მოდით შევცვალოთ ცვლადები, მოდით $a=3^x$.
ახალ ცვლადებში განტოლება მიიღებს ფორმას: $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ და $a_2=3$.
მოდით შევასრულოთ ცვლადების საპირისპირო ცვლილება: $3^x=-12$ და $3^x=3$.
ბოლო გაკვეთილზე ვისწავლეთ, რომ ექსპონენციალურ გამონათქვამებს შეუძლიათ მხოლოდ დადებითი მნიშვნელობების მიღება, დაიმახსოვრე გრაფიკი. ეს ნიშნავს, რომ პირველ განტოლებას არ აქვს ამონახსნები, მეორე განტოლებას აქვს ერთი ამონახსნი: $x=1$.
პასუხი: $x=1$.

მოდით გავაკეთოთ ჩანაწერი ექსპონენციალური განტოლებების ამოხსნის გზების შესახებ:
1. გრაფიკული მეთოდი.განტოლების ორივე ნაწილს წარმოვადგენთ ფუნქციებად და ვაშენებთ მათ გრაფიკებს, ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილებს. (ეს მეთოდი გამოვიყენეთ ბოლო გაკვეთილზე).
2. ინდიკატორთა თანასწორობის პრინციპი.პრინციპი ემყარება იმ ფაქტს, რომ ერთი და იგივე ფუძის მქონე ორი გამონათქვამი ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ ფუძეების გრადუსები (ექსპონენტები) ტოლია. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. ცვლადების მეთოდის შეცვლა.ეს მეთოდი უნდა იქნას გამოყენებული, თუ განტოლება, ცვლადების შეცვლისას, ამარტივებს მის ფორმას და ბევრად უფრო ადვილად ამოსახსნელია.

მაგალითი.
ამოხსენით განტოლებათა სისტემა: $\begin (შემთხვევები) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გადაწყვეტილება.
განვიხილოთ სისტემის ორივე განტოლება ცალ-ცალკე:
$27^y*3^x=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
განვიხილოთ მეორე განტოლება:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
გამოვიყენოთ ცვლადების შეცვლის მეთოდი, მოდით $y=2^(x+y)$.
შემდეგ განტოლება მიიღებს ფორმას:
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ და $y_2=-3$.
გადავიდეთ საწყის ცვლადებზე, პირველი განტოლებიდან ვიღებთ $x+y=2$. მეორე განტოლებას ამონახსნები არ აქვს. მაშინ ჩვენი განტოლებათა საწყისი სისტემა ექვივალენტურია სისტემის: $\begin (შემთხვევები) x+3y=0, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
გამოვაკლოთ მეორე განტოლება პირველ განტოლებას, მივიღებთ: $\begin (შემთხვევები) 2y=-2, \\ x+y=2. \დასრულება (შემთხვევები)$.
$\ დასაწყისი (შემთხვევები) y=-1, \\ x=3. \დასრულება (შემთხვევები)$.
პასუხი: $(3;-1)$.

ექსპონენციური უტოლობები

გადავიდეთ უთანასწორობაზე. უტოლობების ამოხსნისას საჭიროა ყურადღება მიაქციოთ ხარისხის საფუძველს. უთანასწორობის ამოხსნისას მოვლენების განვითარების ორი შესაძლო სცენარი არსებობს.

თეორემა. თუ $a>1$, მაშინ ექსპონენციალური უტოლობა $a^(f(x))>a^(g(x))$ უდრის $f(x)>g(x)$ უტოლობას.
თუ $0 a^(g(x))$ უდრის $f(x)

მაგალითი.
უტოლობების ამოხსნა:
ა) $3^(2x+3)>81$.
ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) გ) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
გადაწყვეტილება.
ა) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.

ბ) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) ჩვენს განტოლებაში, ფუძე ნაკლები გრადუსით 1-ზე, მაშინ უტოლობის ეკვივალენტით ჩანაცვლებისას აუცილებელია ნიშნის შეცვლა.
$2x-4>2$.
$x>3$.

გ) ჩვენი უტოლობა უდრის უტოლობას:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
მოდით გამოვიყენოთ ინტერვალის ამოხსნის მეთოდი:
პასუხი: $(-∞;-5]U \ \

პასუხი: $(-4,6)$.

მაგალითი 2

განტოლებათა სისტემის ამოხსნა

სურათი 3

გადაწყვეტილება.

ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 4

განტოლებების ამოხსნის მეოთხე მეთოდს ვიყენებთ. მოდით $2^x=u\ (u >0)$ და $3^y=v\ (v >0)$, მივიღებთ:

სურათი 5

მიღებულ სისტემას ვხსნით დამატების მეთოდით. დავამატოთ განტოლებები:

\ \

შემდეგ მეორე განტოლებიდან მივიღებთ ამას

ჩანაცვლებაზე დაბრუნებისას, მე მივიღე ექსპონენციალური განტოლებების ახალი სისტემა:

სურათი 6

ჩვენ ვიღებთ:

სურათი 7

პასუხი: $(0,1)$.

ექსპონენციალური უტოლობების სისტემები

განმარტება 2

ექსპონენციალური განტოლებისგან შემდგარ უტოლობათა სისტემას ეწოდება ექსპონენციალური უტოლობების სისტემა.

განვიხილავთ ექსპონენციალური უტოლობების სისტემების ამოხსნას მაგალითების გამოყენებით.

მაგალითი 3

ამოხსენით უტოლობათა სისტემა

Ფიგურა 8

გადაწყვეტილება:

უტოლობების ეს სისტემა სისტემის ტოლფასია

სურათი 9

პირველი უტოლობის გადასაჭრელად, გაიხსენეთ შემდეგი ეკვივალენტობის თეორემა ექსპონენციალური უტოლობებისთვის:

თეორემა 1.უტოლობა $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, სადაც $a >0,a\ne 1$ უდრის ორი სისტემის სიმრავლეს

\}