მისი განმარტებიდან გამომდინარე. ასე რომ, რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აგანისაზღვრება, როგორც მაჩვენებლით, რომელზეც რიცხვი უნდა გაიზარდოს ანომრის მისაღებად ბ(ლოგარითმი არსებობს მხოლოდ დადებითი რიცხვებისთვის).

ამ ფორმულირებიდან გამომდინარეობს, რომ გაანგარიშება x=log a b, უდრის განტოლების ამოხსნას ცული=ბ.Მაგალითად, ჟურნალი 2 8 = 3რადგან 8 = 2 3 . ლოგარითმის ფორმულირება იძლევა იმის დასაბუთებას, რომ თუ b=a გ, შემდეგ რიცხვის ლოგარითმი ბმიზეზით აუდრის თან. ასევე ცხადია, რომ ლოგარითმის თემა მჭიდროდ არის დაკავშირებული რიცხვის სიმძლავრის თემასთან.

ლოგარითმებით, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვით, შეგიძლიათ შეასრულოთ შეკრების, გამოკლების ოპერაციებიდა გარდაიქმნება ყველა შესაძლო გზით. მაგრამ იმის გათვალისწინებით, რომ ლოგარითმები არ არის საკმაოდ ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ მოქმედებს მათი სპეციალური წესები, რომლებიც ე.წ. ძირითადი თვისებები.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება.

აიღეთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძით: ჟურნალი xდა შესვლა y. შემდეგ ამოღება შესაძლებელია შეკრების და გამოკლების ოპერაციების შესრულება:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

ჟურნალი ა(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = ჟურნალი x 1 + ჟურნალი x 2 + ჟურნალი x 3 + ... + log a x k.

დან კოეფიციენტის ლოგარითმის თეორემებიშეიძლება მივიღოთ ლოგარითმის კიდევ ერთი თვისება. ცნობილია, რომ ჟურნალი ა 1 = 0, შესაბამისად,

ჟურნალი ა 1 /ბ= ჟურნალი ა 1 - ჟურნალი ბ= -ლოგი ბ.

ასე რომ, არის თანასწორობა:

log a 1 / b = - log a b.

ორი ურთიერთშებრუნებული რიცხვის ლოგარითმებიიმავე საფუძველზე ერთმანეთისგან მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან. Ისე:

ჟურნალი 3 9= - ჟურნალი 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

ლოგარითმული გამონათქვამები, მაგალითების ამოხსნა. ამ სტატიაში განვიხილავთ ლოგარითმების ამოხსნასთან დაკავშირებულ პრობლემებს. ამოცანები სვამს კითხვას გამოხატვის მნიშვნელობის პოვნის შესახებ. უნდა აღინიშნოს, რომ ლოგარითმის ცნება გამოიყენება ბევრ ამოცანაში და ძალიან მნიშვნელოვანია მისი მნიშვნელობის გაგება. რაც შეეხება USE-ს, ლოგარითმი გამოიყენება განტოლებების ამოხსნისას, გამოყენებითი ამოცანებისას და ასევე ფუნქციების შესწავლასთან დაკავშირებულ ამოცანებში.

აქ მოცემულია მაგალითები ლოგარითმის მნიშვნელობის გასაგებად:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა:

ლოგარითმების თვისებები, რომლებიც ყოველთვის უნდა გახსოვდეთ:

*ნამრავლის ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების ჯამის.

* * *

* კოეფიციენტის (წილადის) ლოგარითმი ტოლია ფაქტორების ლოგარითმების სხვაობის.

* * *

* ხარისხის ლოგარითმი ტოლია მაჩვენებლისა და მისი ფუძის ლოგარითმის ნამრავლის.

* * *

* ახალ ბაზაზე გადასვლა

* * *

მეტი თვისებები:

* * *

ლოგარითმების გამოთვლა მჭიდრო კავშირშია ექსპონენტების თვისებების გამოყენებასთან.

ჩვენ ჩამოვთვლით ზოგიერთ მათგანს:

ამ თვისების არსი ის არის, რომ მრიცხველის მნიშვნელზე გადატანისას და პირიქით, მაჩვენებლის ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ. Მაგალითად:

ამ ქონების შედეგი:

* * *

სიმძლავრის სიმძლავრემდე აყვანისას, ბაზა იგივე რჩება, მაგრამ მაჩვენებლები მრავლდება.

* * *

როგორც ხედავთ, ლოგარითმის კონცეფცია მარტივია. მთავარია კარგი პრაქტიკა იყოს საჭირო, რაც გარკვეულ უნარს იძლევა. რა თქმა უნდა, ფორმულების ცოდნა სავალდებულოა. თუ ელემენტარული ლოგარითმების გარდაქმნის უნარი არ არის ჩამოყალიბებული, მაშინ მარტივი ამოცანების ამოხსნისას შეიძლება ადვილად დაუშვათ შეცდომა.

ივარჯიშეთ, ჯერ მათემატიკის კურსიდან ამოხსენით უმარტივესი მაგალითები, შემდეგ გადადით უფრო რთულებზე. სამომავლოდ აუცილებლად ვაჩვენებ, როგორ იხსნება "მახინჯი" ლოგარითმები, გამოცდაზე ასეთი არ იქნება, მაგრამ საინტერესოა, არ გამოტოვოთ!

Სულ ეს არის! Წარმატებას გისურვებ!

პატივისცემით, ალექსანდრე კრუტიცკიხი

P.S: მადლობელი ვიქნები, თუ სოციალურ ქსელებში მოგიყვებით საიტის შესახებ.

და ლოგარითმი მჭიდრო კავშირშია. სინამდვილეში, ეს არის განმარტების მათემატიკური აღნიშვნა ლოგარითმი. მოდით დეტალურად გავაანალიზოთ რა არის ლოგარითმი, საიდან გაჩნდა იგი.

განვიხილოთ ალგებრული მოქმედება - მაჩვენებლის გამოთვლა Xმოცემული კონკრეტული მნიშვნელობების მიხედვით ხარისხი ბდა ფონდი ა. ეს ამოცანა ძირითადად განტოლების ამოხსნა ნაჯახი = ბ, სადაც ადა ბარის გარკვეული ღირებულებები, x - უცნობი ღირებულება. გაითვალისწინეთ, რომ ამ პრობლემას ყოველთვის არ აქვს გამოსავალი.

როცა, მაგალითად, განტოლებაში ნაჯახი = ბ ნომერიადადებითი და რიცხვი ბ უარყოფითი, მაშინ ამ განტოლებას ფესვები არ აქვს. მაგრამ თუ მხოლოდ ადა ბდადებითია და a ≠ 1, მაშინ მას ნამდვილად აქვს მხოლოდ ერთი უნიკალური ფესვი. საკმაოდ ცნობილი ფაქტია, რომ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი y = a xრა თქმა უნდა კვეთს სწორი y = bდა მხოლოდ ერთ მომენტში. გადაკვეთის წერტილის აბსციზა და ნება განტოლების ფესვი.

დანიშნოს განტოლების ფესვი ნაჯახი = ბჩვეულებრივად გამოიყენება log a b (ვამბობთ: b რიცხვის ლოგარითმს a ფუძესთან).

ლოგარითმინომრები ბმიზეზით აეს ექსპონენტი, რომელზედაც გსურთ ნომრის გაზრდა ანომრის მისაღებად ბდა ა > 0, ა ≠ 1, ბ > 0.

განმარტებიდან გამომდინარე, ვიღებთ ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა :

მაგალითები:

შედეგი ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობაარის შემდეგი წესი.

ორის ტოლობიდან რეალური ლოგარითმებიჩვენ ვიღებთ თანასწორობას ლოგარითმულიგამონათქვამები.

მართლაც, როდესაც log a b = log a c, მაშინ , სად, ბ = გ.

იფიქრეთ რატომ ლოგარითმული იდენტურობაშეზღუდვებია მიღებული ა > 0, ა ≠ 1, ბ > 0 .

პირველი პირობა a ≠ 1.

ცნობილია, რომ ერთეული ნებისმიერ ხარისხიიქნება ერთიანობა და თანასწორობა x = log a b შეიძლება არსებობდეს მხოლოდ b = 1, მაგრამ ამავდროულად ჟურნალი 1 1იქნება ნებისმიერი ნამდვილი რიცხვი. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მიღებულია a ≠ 1.

დაასაბუთეთ პირობის აუცილებლობა a > 0.

ზე a = 0 on ლოგარითმის განმარტებაშეიძლება არსებობდეს მხოლოდ მაშინ, როცა b = 0. და ამიტომ მაშინ ჟურნალი 0 0შეიძლება იყოს არაფერი, გარდა ნულისა ნამდვილი რიცხვი, ვინაიდან ნული ნებისმიერი სიმძლავრის მიმართ ნულის გარდა არის ნული. ამ გაურკვევლობის თავიდან ასაცილებლად, მდგომარეობა a ≠ 0. Და როცა ა< 0 პარსინგის მიტოვება მოგვიწევს რაციონალურიდა ირაციონალურილოგარითმის მნიშვნელობები, ვინაიდან ხარისხირაციონალურთან და ირაციონალური მაჩვენებელიგანისაზღვრება მხოლოდ დადებითი მიზეზების გამო. ამ მიზეზით არის მდგომარეობა a > 0.

და საბოლოო პირობა ბ > 0უთანასწორობის შედეგია a > 0, ვინაიდან x = log a b და ხარისხის მნიშვნელობა დადებითი ფუძით აყოველთვის პოზიტიური.

პრიმიტიული დონის ალგებრის ერთ-ერთი ელემენტია ლოგარითმი. სახელი მომდინარეობს ბერძნული ენიდან სიტყვიდან "რიცხვი" ან "ხარისხი" და ნიშნავს იმ ხარისხს, რომლითაც აუცილებელია რიცხვის აწევა ფუძეზე საბოლოო რიცხვის საპოვნელად.

ლოგარითმების სახეები

• log a b არის b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - ათობითი ლოგარითმი (ლოგარითმის საფუძველი 10, a = 10);
• ln b - ბუნებრივი ლოგარითმი (ლოგარითმის საფუძველი e, a = e).

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები?

b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძემდე არის მაჩვენებელი, რომელიც მოითხოვს a ფუძის გაზრდას b რიცხვამდე. შედეგი გამოითქმის ასე: „b-ის ლოგარითმი a-ს ფუძემდე“. ლოგარითმული ამოცანების გამოსავალი არის ის, რომ თქვენ უნდა განსაზღვროთ მოცემული ხარისხი რიცხვებით მითითებული რიცხვებით. არსებობს რამდენიმე ძირითადი წესი ლოგარითმის დასადგენად ან ამოხსნისთვის, ასევე თავად აღნიშვნის გარდაქმნისთვის. მათი გამოყენებით ხდება ლოგარითმული განტოლებების ამოხსნა, წარმოებულების პოვნა, ინტეგრალების ამოხსნა და მრავალი სხვა ოპერაცია. ძირითადად, თავად ლოგარითმის გამოსავალი არის მისი გამარტივებული აღნიშვნა. ქვემოთ მოცემულია ძირითადი ფორმულები და თვისებები:

ნებისმიერი ა ; a > 0; a ≠ 1 და ნებისმიერი x-ისთვის; y > 0.

• a log a b = b არის ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა
• შესვლა a 1 = 0
• შესვლა a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, k ≠ 0-ისთვის
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა
• log a x = 1/log x a

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები - ეტაპობრივი ინსტრუქციები ამოხსნისთვის

• პირველ რიგში, ჩაწერეთ საჭირო განტოლება.

გთხოვთ გაითვალისწინოთ: თუ საბაზისო ლოგარითმი არის 10, მაშინ ჩანაწერი მცირდება, მიიღება ათობითი ლოგარითმი. თუ არის ნატურალური რიცხვი e, მაშინ ჩავწერთ ბუნებრივ ლოგარითმამდე. ეს ნიშნავს, რომ ყველა ლოგარითმის შედეგი არის სიმძლავრე, რომელზედაც ამაღლებულია საბაზისო რიცხვი b რიცხვის მისაღებად.

პირდაპირ, გამოსავალი მდგომარეობს ამ ხარისხის გაანგარიშებაში. გამონათქვამის ლოგარითმით ამოხსნამდე უნდა გამარტივდეს წესის მიხედვით, ანუ ფორმულების გამოყენებით. თქვენ შეგიძლიათ იპოვოთ ძირითადი ვინაობა სტატიაში ცოტა უკან დაბრუნებით.

ლოგარითმების შეკრებისა და გამოკლებისას ორი განსხვავებული რიცხვით, მაგრამ ერთი და იგივე ფუძით, შეცვალეთ ერთი ლოგარითმი b და c რიცხვების ნამრავლით ან გაყოფით. ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ გადასვლის ფორმულა სხვა ბაზაზე (იხ. ზემოთ).

თუ იყენებთ გამონათქვამებს ლოგარითმის გასამარტივებლად, უნდა იცოდეთ გარკვეული შეზღუდვები. და ეს არის: a ლოგარითმის საფუძველი მხოლოდ დადებითი რიცხვია, მაგრამ არა ერთის ტოლი. რიცხვი b, ისევე როგორც a, უნდა იყოს ნულზე მეტი.

არის შემთხვევები, როდესაც გამოხატვის გამარტივებით, თქვენ ვერ შეძლებთ ლოგარითმის გამოთვლას რიცხვითი ფორმით. ხდება ისე, რომ ასეთ გამოთქმას აზრი არ აქვს, რადგან ბევრი გრადუსი ირაციონალური რიცხვია. ამ პირობით, დატოვეთ რიცხვის სიმძლავრე ლოგარითმად.

მოყვანილია ლოგარითმის ძირითადი თვისებები, ლოგარითმის გრაფიკი, განსაზღვრების სფერო, სიდიდეების სიმრავლე, ძირითადი ფორმულები, მატება და შემცირება. განიხილება ლოგარითმის წარმოებულის პოვნა. ისევე როგორც ინტეგრალური, სიმძლავრის სერიის გაფართოება და წარმოდგენა რთული რიცხვების საშუალებით.

ლოგარითმის განმარტება

ლოგარითმი ფუძით aარის y ფუნქცია (x) = ჟურნალი x, შებრუნებული ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძით a: x (y) = a y.

ათწილადი ლოგარითმიარის რიცხვის ფუძის ლოგარითმი 10 : ჟურნალი x ≡ ჟურნალი 10 x.

ბუნებრივი ლოგარითმიარის ლოგარითმი e-ის ფუძის მიმართ: ln x ≡ ჟურნალი e x.

2,718281828459045... ;
.

ლოგარითმის გრაფიკი მიიღება ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკიდან სარკისებური ასახვით სწორი ხაზის შესახებ y \u003d x. მარცხნივ არის y ფუნქციის გრაფიკები (x) = ჟურნალი xოთხი ღირებულებისთვის ლოგარითმის საფუძვლები:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 და a = 1/8 . გრაფიკი აჩვენებს, რომ > 1 ლოგარითმი მონოტონურად იზრდება. x იზრდება, ზრდა მნიშვნელოვნად შენელდება. ზე 0 < a < 1 ლოგარითმი მონოტონურად მცირდება.

ლოგარითმის თვისებები

დომენი, მნიშვნელობების ნაკრები, აღმავალი, დაღმავალი

ლოგარითმი მონოტონური ფუნქციაა, ამიტომ მას არ აქვს უკიდურესობები. ლოგარითმის ძირითადი თვისებები წარმოდგენილია ცხრილში.

დომენი	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
ღირებულებების დიაპაზონი	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
მონოტონური	მონოტონურად იზრდება	მონოტონურად მცირდება
ნულები, y= 0	x= 1	x= 1
y-ღერძთან გადაკვეთის წერტილები, x = 0	არა	არა
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

პირადი ღირებულებები

ბაზის 10 ლოგარითმი ეწოდება ათობითი ლოგარითმიდა აღინიშნება ასე:

ბაზის ლოგარითმი ედაურეკა ბუნებრივი ლოგარითმი:

ძირითადი ლოგარითმის ფორმულები

შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან გამომდინარე ლოგარითმის თვისებები:

ლოგარითმების ძირითადი თვისება და მისი შედეგები

ბაზის შეცვლის ფორმულა

ლოგარითმიარის ლოგარითმის აღების მათემატიკური ოპერაცია. ლოგარითმის აღებისას ფაქტორების ნამრავლები გარდაიქმნება ტერმინთა ჯამებად.

გაძლიერებაარის ლოგარითმის შებრუნებული მათემატიკური ოპერაცია. გაძლიერებისას მოცემული ფუძე ამაღლებულია იმ გამოხატვის ძლიერებამდე, რომელზედაც ხდება გაძლიერება. ამ შემთხვევაში ტერმინების ჯამები გარდაიქმნება ფაქტორების პროდუქტებად.

ლოგარითმების ძირითადი ფორმულების დადასტურება

ლოგარითმებთან დაკავშირებული ფორმულები გამომდინარეობს ექსპონენციალური ფუნქციების ფორმულებიდან და შებრუნებული ფუნქციის განსაზღვრებიდან.

განვიხილოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისება
.
მერე
.
ექსპონენციალური ფუნქციის თვისების გამოყენება
:
.

მოდით დავამტკიცოთ ბაზის ცვლილების ფორმულა.
;
.
დაყენებით c = b, გვაქვს:

ინვერსიული ფუნქცია

ლოგარითმის ფუძის ორმხრივი არის ექსპონენციალური ფუნქცია a მაჩვენებლით.

თუ, მაშინ

თუ, მაშინ

ლოგარითმის წარმოებული

ლოგარითმის მოდულის წარმოებული x :
.
n-ე რიგის წარმოებული:
.
ფორმულების გამოყვანა > > >

ლოგარითმის წარმოებული რომ ვიპოვოთ, ის უნდა დაიყვანოთ ფუძემდე ე.
;
.

ინტეგრალური

ლოგარითმის ინტეგრალი გამოითვლება ნაწილებით ინტეგრირებით: .
Ისე,

გამონათქვამები რთული რიცხვების მიხედვით

განვიხილოთ კომპლექსური რიცხვების ფუნქცია ზ:
.
გამოვხატოთ რთული რიცხვი ზმოდულის საშუალებით რდა არგუმენტი φ :
.
შემდეგ, ლოგარითმის თვისებების გამოყენებით, გვაქვს:
.
ან

თუმცა, არგუმენტი φ მკაფიოდ არ არის განსაზღვრული. თუ დავაყენებთ
, სადაც n არის მთელი რიცხვი,
მაშინ ეს იქნება იგივე რიცხვი სხვადასხვასთვის ნ.

ამრიგად, ლოგარითმი, როგორც რთული ცვლადის ფუნქცია, არ არის ერთმნიშვნელოვანი ფუნქცია.

დენის სერიის გაფართოება

იყიდება, გაფართოება ხდება:

ცნობები:
ი.ნ. ბრონშტეინი, კ.ა. სემენდიაევი, მათემატიკის სახელმძღვანელო უმაღლესი საგანმანათლებლო დაწესებულებების ინჟინრებისა და სტუდენტებისთვის, ლან, 2009 წ.