ამ სტატიაში ჩვენ ჩამოვთვლით განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებს. ამ თვისებების უმეტესობა დადასტურებულია რიმანისა და დარბუს ცნებების განსაზღვრული ინტეგრალის საფუძველზე.

განსაზღვრული ინტეგრალის გამოთვლა ძალიან ხშირად ხორციელდება პირველი ხუთი თვისების გამოყენებით, ამიტომ საჭიროების შემთხვევაში მათ მივმართავთ. განსაზღვრული ინტეგრალის დარჩენილი თვისებები ძირითადად გამოიყენება სხვადასხვა გამონათქვამების შესაფასებლად.

სანამ გადავიდოდი განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებებივეთანხმებით, რომ a არ აღემატება b.

x = a-სთვის განსაზღვრული y = f(x) ფუნქციისთვის, ტოლობა მართალია.

ანუ, განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა იგივე ინტეგრაციის ლიმიტებით არის ნული. ეს თვისება არის რიმანის ინტეგრალის განსაზღვრის შედეგი, რადგან ამ შემთხვევაში თითოეული ინტეგრალური ჯამი ინტერვალის ნებისმიერი დანაყოფისთვის და ნებისმიერი წერტილის არჩევანი ნულის ტოლია, რადგან, შესაბამისად, ინტეგრალური ჯამების ზღვარი არის ნული.

სეგმენტზე ინტეგრირებული ფუნქციისთვის გვაქვს .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, როდესაც ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვარი შებრუნებულია, განსაზღვრული ინტეგრალის მნიშვნელობა იცვლება. განსაზღვრული ინტეგრალის ეს თვისება ასევე გამომდინარეობს რიმანის ინტეგრალის კონცეფციიდან, მხოლოდ სეგმენტის დანაყოფის ნუმერაცია უნდა დაიწყოს x = b წერტილიდან.

y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებისთვის ინტერვალზე ინტეგრირებადი.

მტკიცებულება.

ვწერთ ფუნქციის ინტეგრალურ ჯამს სეგმენტის მოცემული დანაყოფისთვის და პუნქტების მოცემული არჩევანისთვის:

სადაც და არის y = f(x) და y = g(x) ფუნქციების ინტეგრალური ჯამები სეგმენტის მოცემული დანაყოფისთვის, შესაბამისად.

ლიმიტამდე გავლა ზე ჩვენ ვიღებთ, რომ რიმანის ინტეგრალის განმარტებით, უდრის დადასტურებული თვისების მტკიცებას.

მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან. ანუ, y = f(x) და თვითნებური რიცხვის k სეგმენტზე ინტეგრირებული ფუნქციისთვის, ტოლობა .

განსაზღვრული ინტეგრალის ამ თვისების მტკიცებულება აბსოლუტურად მსგავსია წინას:


მოდით ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი X ინტერვალზე და და მერე .

ეს ქონება მოქმედებს ორივესთვის და ან .

მტკიცებულება შეიძლება განხორციელდეს განსაზღვრული ინტეგრალის წინა თვისებების საფუძველზე.

თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია სეგმენტზე, მაშინ ის ასევე ინტეგრირებულია ნებისმიერ შიდა სეგმენტზე.

მტკიცებულება ემყარება დარბუს ჯამების თვისებას: თუ სეგმენტის არსებულ დანაყოფს დაემატება ახალი წერტილები, მაშინ ქვედა დარბუს ჯამი არ შემცირდება და ზედა არ გაიზრდება.

თუ ფუნქცია y = f(x) ინტეგრირებადია არგუმენტის ინტერვალზე და ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ .

ეს თვისება დასტურდება რიმანის ინტეგრალის განმარტებით: ნებისმიერი ინტეგრალური ჯამი სეგმენტის გამყოფი წერტილებისა და წერტილების ნებისმიერი არჩევანისთვის იქნება არაუარყოფითი (არა დადებითი).

შედეგი.

y = f(x) და y = g(x) ფუნქციებისთვის, რომლებიც ინტეგრირდება ინტერვალზე, მოქმედებს შემდეგი უტოლობა:


ეს განცხადება ნიშნავს, რომ უთანასწორობების ინტეგრაცია დასაშვებია. ჩვენ გამოვიყენებთ ამ დასკვნას შემდეგი თვისებების დასამტკიცებლად.

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტზე, შემდეგ უტოლობა .

მტკიცებულება.

აშკარაა რომ . წინა თვისებაში გავარკვიეთ, რომ უტოლობა შეიძლება იყოს ტერმინის მიხედვით ინტეგრირებული, შესაბამისად, მართალია . ეს ორმაგი უტოლობა შეიძლება დაიწეროს როგორც .

მოდით, y = f(x) და y = g(x) ფუნქციები ინტეგრირებადი იყოს არგუმენტის ინტერვალზე და ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, მაშინ , სად და .

მტკიცებულება ხორციელდება ანალოგიურად. ვინაიდან m და M არის y = f(x) ფუნქციის უმცირესი და უდიდესი მნიშვნელობები სეგმენტზე, მაშინ . ორმაგი უტოლობის გამრავლება არაუარყოფით ფუნქციაზე y = g(x) მიგვიყვანს შემდეგ ორმაგ უტოლობამდე. მისი ინტეგრირება სეგმენტზე, ჩვენ მივდივართ დასამტკიცებელ მტკიცებამდე.

შედეგი.

თუ ავიღებთ g(x) = 1-ს, მაშინ უტოლობა იღებს ფორმას .

პირველი ფორმულა საშუალოზე.

დაე, ფუნქცია y = f(x) იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტზე, და , მაშინ არის ისეთი რიცხვი, რომ .

შედეგი.

თუ ფუნქცია y = f(x) უწყვეტია სეგმენტზე, მაშინ არის ისეთი რიცხვი, რომელიც .

საშუალო მნიშვნელობის პირველი ფორმულა განზოგადებული ფორმით.

დაე ფუნქციები y = f(x) და y = g(x) იყოს ინტეგრირებადი ინტერვალზე, და , და g(x) > 0 არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის. მაშინ არის ისეთი რიცხვი, რომ .

მეორე ფორმულა საშუალოზე.

თუ სეგმენტზე ფუნქცია y = f(x) ინტეგრირებადია და y = g(x) არის მონოტონური, მაშინ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომელიც ტოლია .

ეს თვისებები გამოიყენება ინტეგრალის ტრანსფორმაციების განსახორციელებლად, რათა მოხდეს მისი ერთ-ერთ ელემენტარულ ინტეგრალამდე მიყვანა და შემდგომი გამოთვლა.

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს:

2. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია:

3. ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს:

4. ინტეგრალური ნიშნიდან შეიძლება ამოღებულ იქნეს მუდმივი ფაქტორი:

უფრო მეტიც, a ≠ 0

5. ჯამის (განსხვავების) ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის (განსხვავების) ტოლია:

6. ქონება არის 4 და 5 თვისებების კომბინაცია:

უფრო მეტიც, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. განუსაზღვრელი ინტეგრალის უცვლელობის თვისება:

თუ, მაშინ

8. საკუთრება:

თუ, მაშინ

სინამდვილეში, ეს თვისება არის ინტეგრაციის განსაკუთრებული შემთხვევა ცვლადის ცვლილების მეთოდის გამოყენებით, რომელიც უფრო დეტალურად განიხილება შემდეგ ნაწილში.

განვიხილოთ მაგალითი:

ჯერ გამოვიყენეთ თვისება 5, შემდეგ თვისება 4, შემდეგ გამოვიყენეთ ანტიდერივატიული ცხრილი და მივიღეთ შედეგი.

ჩვენი ონლაინ ინტეგრალური კალკულატორის ალგორითმი მხარს უჭერს ყველა ზემოთ ჩამოთვლილ თვისებას და ადვილად იპოვის თქვენი ინტეგრალის დეტალურ გადაწყვეტას.

დიფერენციალურ გამოთვლებში პრობლემა მოგვარებულია: მოცემული ƒ(x) ფუნქციით იპოვეთ მისი წარმოებული(ან დიფერენციალური). ინტეგრალური გამოთვლა ხსნის შებრუნებულ პრობლემას: ვიპოვოთ F (x) ფუნქცია, იცოდეთ მისი წარმოებული F "(x) \u003d ƒ (x) (ან დიფერენციალი). სასურველ F ფუნქციას (x) ეწოდება ფუნქციის ანტიდერივატი. ƒ (x).

ფუნქცია F(x) ეწოდება პრიმიტიულიფუნქცია ƒ(x) ინტერვალზე (a; b), თუ რომელიმე x є (a; b) ტოლობა

F "(x)=ƒ(x) (ან dF(x)=ƒ(x)dx).

მაგალითად, ანტიწარმოებული ფუნქცია y \u003d x 2, x є R, არის ფუნქცია, ვინაიდან

ცხადია, ანტიდერივატები ასევე იქნება ნებისმიერი ფუნქცია

სადაც C არის მუდმივი, რადგან

თეორემა 29. 1. თუ ფუნქცია F(x) არის ƒ(x) ფუნქციის ანტიწარმოებული (a;b), მაშინ ყველა ანტიწარმოებულის სიმრავლე ƒ(x)-ისთვის მოცემულია F(x)+ ფორმულით. C, სადაც C არის მუდმივი რიცხვი.

▲ ფუნქცია F(x)+C არის ƒ(x) ანტიწარმოებული.

მართლაც, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

დაე, F(x) იყოს სხვა, განსხვავებული F(x-ისგან), ანტიწარმოებული ფუნქცია ƒ(x), ანუ Ф "(x)=ƒ(x). შემდეგ ნებისმიერი x є (a; b) გვაქვს

და ეს ნიშნავს (იხ. დასკვნა 25.1) რომ

სადაც C არის მუდმივი რიცხვი. ამიტომ, Ф(х)=F(x)+С.▼

ყველა პრიმიტიული ფუნქციის სიმრავლე F(x)+C ƒ(x)-ისთვის ეწოდება ƒ(x) ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალიდა აღინიშნება ∫ ƒ(x) dx სიმბოლოთი.

ასე რომ, განსაზღვრებით

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

აქ ƒ(x) ეწოდება ინტეგრანდ, ƒ(x)dx — ინტეგრანტი, X - ინტეგრაციის ცვლადი, ∫ -განუსაზღვრელი ინტეგრალური ნიშანი.

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალის პოვნის ოპერაციას ამ ფუნქციის ინტეგრაცია ეწოდება.

გეომეტრიულად განუსაზღვრელი ინტეგრალი არის "პარალელური" მრუდების ოჯახი y \u003d F (x) + C (C-ის თითოეული რიცხვითი მნიშვნელობა შეესაბამება ოჯახის გარკვეულ მრუდს) (იხ. სურ. 166). თითოეული ანტიწარმოებულის (მრუდის) გრაფიკი ე.წ ინტეგრალური მრუდი.

აქვს თუ არა ყველა ფუნქციას განუსაზღვრელი ინტეგრალი?

არსებობს თეორემა, რომელშიც ნათქვამია, რომ "ყოველ უწყვეტ ფუნქციას (a; b) აქვს ანტიწარმოებული ამ ინტერვალზე" და, შესაბამისად, განუსაზღვრელი ინტეგრალი.

ჩვენ აღვნიშნავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის მთელ რიგ თვისებებს, რომლებიც გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან.

1. განუსაზღვრელი ინტეგრალის დიფერენციალი ინტეგრადის ტოლია, ხოლო განუსაზღვრელი ინტეგრალის წარმოებული ტოლია ინტეგრადის:

დ(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

მართლაც, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

ამ თვისების წყალობით, ინტეგრაციის სისწორე მოწმდება დიფერენციაციის გზით. მაგალითად, თანასწორობა

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

მართალია, რადგან (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალური განუსაზღვრელი ინტეგრალი უდრის ამ ფუნქციისა და თვითნებური მუდმივის ჯამს:

∫dF(x)=F(x)+C.

მართლაც,

3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნიდან:

α ≠ 0 არის მუდმივი.

მართლაც,

(დააყენეთ C 1 / a \u003d C.)

4. უწყვეტი რაოდენობის უწყვეტი ფუნქციების ალგებრული ჯამის განუსაზღვრელი ინტეგრალი ტოლია ფუნქციების ტერმინების ინტეგრალების ალგებრული ჯამის:

მოდით F"(x)=ƒ(x) და G"(x)=g(x). მაშინ

სადაც C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (ინტეგრაციის ფორმულის ინვარიანტობა).

Თუ , სადაც u=φ(x) არის თვითნებური ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი წარმოებული.

▲ მოდით x იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი, ƒ(x) უწყვეტი ფუნქცია და F(x) მისი ანტიწარმოებული. მაშინ

მოდით დავაყენოთ u=φ(x), სადაც φ(x) არის განუწყვეტლივ დიფერენცირებადი ფუნქცია. განვიხილოთ რთული ფუნქცია F(u)=F(φ(x)). ფუნქციის პირველი დიფერენციალური ფორმის უცვლელობის გამო (იხ. გვ. 160) გვაქვს

აქედან ▼

ამრიგად, განუსაზღვრელი ინტეგრალის ფორმულა ძალაში რჩება, მიუხედავად იმისა, არის თუ არა ინტეგრაციის ცვლადი დამოუკიდებელი ცვლადი თუ მისი რომელიმე ფუნქცია, რომელსაც აქვს უწყვეტი წარმოებული.

ასე რომ, ფორმულიდან x-ით u (u=φ(x)) ჩანაცვლებით ვიღებთ

Კერძოდ,

მაგალითი 29.1.იპოვნეთ ინტეგრალი

სადაც C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

მაგალითი 29.2.იპოვნეთ ინტეგრალური გადაწყვეტა:

• 29.3. ძირითადი განუსაზღვრელი ინტეგრალების ცხრილი

იმის გათვალისწინებით, რომ ინტეგრაცია არის დიფერენციაციის ინვერსია, შეიძლება მივიღოთ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი დიფერენციალური გამოთვლის შესაბამისი ფორმულების (დიფერენციალთა ცხრილის) შებრუნებით და განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებების გამოყენებით.

მაგალითად, როგორც

d(sin u)=cos u . du,

ინტეგრაციის ძირითადი მეთოდების განხილვისას მოცემულია ცხრილის რიგი ფორმულების წარმოშობა.

ქვემოთ მოცემულ ცხრილში მოცემულ ინტეგრალებს ტაბულური ინტეგრალები ეწოდება. ისინი ზეპირად უნდა იყოს ცნობილი. ინტეგრალურ გამოთვლებში არ არსებობს მარტივი და უნივერსალური წესები ელემენტარული ფუნქციებიდან ანტიწარმოებულების მოსაძებნად, როგორც დიფერენციალურ გამოთვლებში. ანტიწარმოებულების (ანუ ფუნქციის ინტეგრირების) პოვნის მეთოდები მცირდება იმ მეთოდების მითითებამდე, რომლებიც მოცემულ (სასურველ) ინტეგრალს ტაბულურში მოაქვს. ამიტომ აუცილებელია ცხრილის ინტეგრალების ცოდნა და მათი ამოცნობის უნარი.

გაითვალისწინეთ, რომ ძირითადი ინტეგრალების ცხრილში, ინტეგრაციის ცვლადი და შეუძლია აღნიშნოს როგორც დამოუკიდებელი ცვლადი, ასევე დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია (ინტეგრაციის ფორმულის უცვლელობის თვისების მიხედვით).

ქვემოთ მოყვანილი ფორმულების მართებულობა შეიძლება დადასტურდეს მარჯვენა მხარეს არსებული დიფერენციალის აღებით, რომელიც ტოლი იქნება ფორმულის მარცხენა მხარეს ინტეგრანდზე.

მოდით დავამტკიცოთ, მაგალითად, ფორმულის 2-ის მართებულობა. ფუნქცია 1/u არის განსაზღვრული და უწყვეტი u-ის ყველა არანულოვანი მნიშვნელობისთვის.

თუ u > 0, მაშინ ln|u|=lnu, მაშინ Ისე

Თუ შენ<0, то ln|u|=ln(-u). Ноნიშნავს

ასე რომ, ფორმულა 2 სწორია. ანალოგიურად, მოდით შევამოწმოთ ფორმულა 15:

ძირითადი ინტეგრალების ცხრილი

Მეგობრები! გეპატიჟებით განხილვაზე. თუ გაქვთ აზრი, მოგვწერეთ კომენტარებში.

ამ სტატიაში დეტალურად არის საუბარი განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებზე. ისინი დადასტურებულია რიმანისა და დარბუს ინტეგრალის კონცეფციის გამოყენებით. განსაზღვრული ინტეგრალის გაანგარიშება 5 თვისების წყალობით. დანარჩენი მათგანი გამოიყენება სხვადასხვა გამონათქვამების შესაფასებლად.

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითად თვისებებზე გადასვლამდე აუცილებელია დავრწმუნდეთ, რომ a არ აღემატებოდეს b-ს.

განსაზღვრული ინტეგრალის ძირითადი თვისებები

განმარტება 1

ფუნქცია y \u003d f (x) , განსაზღვრული x \u003d a-სთვის, მსგავსია სამართლიანი ტოლობის ∫ a a f (x) d x \u003d 0.

მტკიცებულება 1

აქედან ჩვენ ვხედავთ, რომ ინტეგრალის მნიშვნელობა დამთხვევის ზღვრებით ნულის ტოლია. ეს არის რიმანის ინტეგრალის შედეგი, რადგან ყოველი ინტეგრალური ჯამი σ ნებისმიერი დანაყოფისთვის ინტერვალზე [a; a ] და ζ i წერტილების ნებისმიერი არჩევანი უდრის ნულს, რადგან x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n, მივიღებთ, რომ ინტეგრალური ფუნქციების ზღვარი არის ნული.

განმარტება 2

ინტერვალზე ინტეგრირებადი ფუნქციისთვის [a; b ] , პირობა ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x დაკმაყოფილებულია.

მტკიცებულება 2

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თუ თქვენ შეცვლით ინტეგრაციის ზედა და ქვედა ზღვრებს ადგილებზე, მაშინ ინტეგრალის მნიშვნელობა შეცვლის მნიშვნელობას საპირისპიროდ. ეს თვისება აღებულია რიმანის ინტეგრალიდან. თუმცა, სეგმენტის გაყოფის ნუმერაცია იწყება x = b წერტილიდან.

განმარტება 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x გამოიყენება y = f (x) და y = g (x) ტიპის ინტეგრირებადი ფუნქციებისთვის, რომლებიც განსაზღვრულია [ a ; ბ] .

მტკიცებულება 3

ჩაწერეთ y = f (x) ± g (x) ფუნქციის ინტეგრალური ჯამი სეგმენტებად დაყოფისთვის ζ i წერტილების მოცემული არჩევანით: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i x i - x i - 1 = σ f ± σ g

სადაც σ f და σ g არის y = f (x) და y = g (x) ფუნქციების ინტეგრალური ჯამები სეგმენტის გასაყოფად. ლიმიტზე გადასვლის შემდეგ λ = m a x i = 1 , 2 , . . . , n (x i - x i - 1) → 0 მივიღებთ, რომ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

რიმანის განმარტებით, ეს გამოთქმა ექვივალენტურია.

განმარტება 4

მუდმივი ფაქტორის ამოღება განსაზღვრული ინტეგრალის ნიშნიდან. ინტეგრირებადი ფუნქცია ინტერვალიდან [a; b ] k-ის თვითნებური მნიშვნელობით აქვს ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x ფორმის სწორი უტოლობა.

მტკიცებულება 4

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისების მტკიცებულება წინა მსგავსია:

σ = ∑ i = 1 n k f ζ i (x i - x i - 1) = = k ∑ i = 1 n f ζ i (x i - x i - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k f (x) d x = k ∫ a b f (x) d x

განმარტება 5

თუ y = f (x) ფორმის ფუნქცია ინტეგრირებადია x ინტერვალზე a ∈ x , b ∈ x , მივიღებთ ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d x .

მტკიცებულება 5

ქონება ითვლება მოქმედად c ∈ a ; b , c ≤ a და c ≥ b . მტკიცებულება ხორციელდება წინა თვისებების მსგავსად.

განმარტება 6

როდესაც ფუნქციას აქვს უნარი იყოს ინტეგრირებადი სეგმენტიდან [a; b], მაშინ ეს შესაძლებელია ნებისმიერი შიდა სეგმენტისთვის c; d ∈ a; ბ.

მტკიცებულება 6

მტკიცებულება ეფუძნება Darboux თვისებას: თუ ქულები დაემატება სეგმენტის არსებულ დანაყოფს, მაშინ ქვედა Darboux ჯამი არ შემცირდება და ზედა არ გაიზრდება.

განმარტება 7

როდესაც ფუნქცია ინტეგრირებადია [a; b ] f-დან (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 x ∈ a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის; b , მაშინ მივიღებთ, რომ ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

თვისება შეიძლება დადასტურდეს რიმანის ინტეგრალის განმარტებით: ნებისმიერი ინტეგრალური ჯამი სეგმენტის დაყოფის წერტილებისა და ζ i წერტილების ნებისმიერი არჩევანისთვის იმ პირობით, რომ f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 არის არაუარყოფითი.

მტკიცებულება 7

თუ y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებადია სეგმენტზე [a; b ], მაშინ შემდეგი უტოლობა ითვლება მართებულად:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; ბ

მტკიცების წყალობით, ჩვენ ვიცით, რომ ინტეგრაცია დასაშვებია. ეს დასკვნა გამოყენებული იქნება სხვა თვისებების დასადასტურებლად.

განმარტება 8

ინტეგრირებადი ფუნქციისთვის y = f (x) სეგმენტიდან [a; b ] გვაქვს ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ფორმის სწორი უტოლობა.

მტკიცებულება 8

გვაქვს, რომ - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . წინა თვისებიდან მივიღეთ, რომ უტოლობა შეიძლება ინტეგრირებული იყოს ტერმინით და იგი შეესაბამება ფორმის უტოლობას - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . ეს ორმაგი უტოლობა შეიძლება დაიწეროს სხვა ფორმით: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

განმარტება 9

როდესაც y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებულია [a; b ] g (x) ≥ 0 ნებისმიერი x ∈ a ; b , ვიღებთ m ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x , სადაც m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) .

მტკიცებულება 9

მტკიცებულება კეთდება ანალოგიურად. M და m ითვლება y = f (x) ფუნქციის უდიდეს და უმცირეს მნიშვნელობებად, რომლებიც განსაზღვრულია [a; b ] , მაშინ m ≤ f (x) ≤ M . აუცილებელია ორმაგი უტოლობა გავამრავლოთ ფუნქციით y = g (x) , რომელიც მისცემს ფორმის ორმაგი უტოლობის მნიშვნელობას m g (x) ≤ f (x) g (x) ≤ M g (x) . აუცილებელია მისი ინტეგრირება სეგმენტზე [a; b ], მაშინ ვიღებთ დასამტკიცებელ მტკიცებას.

შედეგი: g (x) = 1-ისთვის უტოლობა ხდება m b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M (b - a) .

პირველი საშუალო ფორმულა

განმარტება 10

y = f (x) ინტეგრირებადი ინტერვალზე [a; b ] ერთად m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) არის რიცხვი μ ∈ m ; M , რომელიც შეესაბამება ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

შედეგი: როდესაც ფუნქცია y = f (x) არის უწყვეტი სეგმენტიდან [a; b ] , მაშინ არის ასეთი რიცხვი c ∈ a ; b , რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a .

საშუალო მნიშვნელობის პირველი ფორმულა განზოგადებული ფორმით

განმარტება 11

როდესაც y = f (x) და y = g (x) ფუნქციები ინტეგრირებადია [a; b ] ერთად m = m i n x ∈ a ; b f (x) და M = m a x x ∈ a ; b f (x) , და g (x) > 0 x ∈ a-ს ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის; ბ. აქედან გვაქვს, რომ არსებობს μ ∈ m რიცხვი; M , რომელიც აკმაყოფილებს ტოლობას ∫ a b f (x) g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

მეორე საშუალო მნიშვნელობის ფორმულა

განმარტება 12

როდესაც ფუნქცია y = f (x) ინტეგრირებადია [a; b ] , და y = g (x) მონოტონურია, მაშინ არის რიცხვი, რომელიც c ∈ a ; b , სადაც მივიღებთ ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

ინტეგრალების ამოხსნა მარტივი ამოცანაა, მაგრამ მხოლოდ ელიტისთვის. ეს სტატია მათთვისაა, ვისაც სურს ინტეგრალების გაგება ისწავლოს, მაგრამ მათ შესახებ ცოტა ან არაფერი იცის. ინტეგრალური... რატომ არის საჭირო? როგორ გამოვთვალოთ? რა არის განსაზღვრული და განუსაზღვრელი ინტეგრალები?

თუ თქვენ იცით ინტეგრალის ერთადერთი გამოყენება არის ძნელად მისადგომი ადგილებიდან რაიმე სასარგებლოს მიღება ინტეგრალური ხატის ფორმის კაუჭით, მაშინ მოგესალმებით! ისწავლეთ როგორ ამოხსნათ მარტივი და სხვა ინტეგრალები და რატომ არ შეგიძლიათ ამის გარეშე მათემატიკაში.

ჩვენ ვსწავლობთ კონცეფციას « განუყოფელი »

ინტეგრაცია ცნობილი იყო ძველ ეგვიპტეში. რა თქმა უნდა, არა თანამედროვე ფორმით, მაგრამ მაინც. მას შემდეგ მათემატიკოსებმა დაწერეს უამრავი წიგნი ამ თემაზე. განსაკუთრებით გამორჩეული ნიუტონი და ლაიბნიცი მაგრამ საგნების არსი არ შეცვლილა.

როგორ გავიგოთ ინტეგრალები ნულიდან? Არანაირად! ამ თემის გასაგებად მაინც დაგჭირდებათ მათემატიკური ანალიზის საფუძვლების საბაზისო ცოდნა. ინფორმაცია ლიმიტებისა და წარმოებულების შესახებ, რომელიც აუცილებელია ინტეგრალების გასაგებად, უკვე გვაქვს ჩვენს ბლოგში.

განუსაზღვრელი ინტეგრალი

მოდით რაიმე ფუნქცია f(x) .

ფუნქციის განუსაზღვრელი ინტეგრალი f(x) ასეთ ფუნქციას უწოდებენ F(x) , რომლის წარმოებული ფუნქციის ტოლია f(x) .

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ინტეგრალი არის საპირისპირო წარმოებული ან ანტიდერივატი. სხვათა შორის, წაიკითხეთ ჩვენი სტატია, თუ როგორ გამოვთვალოთ წარმოებულები.

ანტიდერივატი არსებობს ყველა უწყვეტი ფუნქციისთვის. ასევე, მუდმივი ნიშანი ხშირად ემატება ანტიწარმოებულს, რადგან ფუნქციების წარმოებულები, რომლებიც განსხვავდებიან მუდმივობით, ემთხვევა ერთმანეთს. ინტეგრალის პოვნის პროცესს ინტეგრაცია ეწოდება.

მარტივი მაგალითი:

იმისათვის, რომ მუდმივად არ გამოვთვალოთ ელემენტარული ფუნქციების ანტიდერივატივები, მოსახერხებელია მათი ცხრილში მოყვანა და მზა მნიშვნელობების გამოყენება.

ინტეგრალების სრული ცხრილი სტუდენტებისთვის

განსაზღვრული ინტეგრალი

როდესაც საქმე გვაქვს ინტეგრალის ცნებასთან, საქმე გვაქვს უსასრულო სიდიდეებთან. ინტეგრალი დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ფიგურის ფართობი, არაერთგვაროვანი სხეულის მასა, არათანაბარი მოძრაობის დროს გავლილი გზა და მრავალი სხვა. უნდა გვახსოვდეს, რომ ინტეგრალი არის უსასრულოდ დიდი რაოდენობის უსასრულოდ მცირე წევრთა ჯამი.

მაგალითად, წარმოიდგინეთ რაიმე ფუნქციის გრაფიკი.

როგორ მოვძებნოთ ფიგურის ფართობი, რომელიც შემოსაზღვრულია ფუნქციის გრაფიკით? ინტეგრალის დახმარებით! მოდით დავყოთ მრუდი ტრაპეცია, რომელიც შემოსაზღვრულია კოორდინატთა ღერძებით და ფუნქციის გრაფიკით, უსასრულოდ მცირე სეგმენტებად. ამრიგად, ფიგურა დაიყოფა თხელ სვეტებად. სვეტების ფართობების ჯამი იქნება ტრაპეციის ფართობი. მაგრამ გახსოვდეთ, რომ ასეთი გაანგარიშება მიახლოებით შედეგს მისცემს. თუმცა, რაც უფრო მცირე და ვიწროა სეგმენტები, მით უფრო ზუსტი იქნება გაანგარიშება. თუ მათ ისე შევამცირებთ, რომ სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის, მაშინ სეგმენტების ფართობების ჯამი ფიგურის ფართობამდე მიისწრაფვის. ეს არის განსაზღვრული ინტეგრალი, რომელიც იწერება შემდეგნაირად:

a და b წერტილებს ინტეგრაციის ზღვრები ეწოდება.

« ინტეგრალური »

Ჰო მართლა! ჩვენი მკითხველისთვის ახლა მოქმედებს 10%-იანი ფასდაკლება ნებისმიერი სახის სამუშაო

ინტეგრალების გამოთვლის წესები დუმებისთვის

განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებები

როგორ ამოხსნათ განუსაზღვრელი ინტეგრალი? აქ განვიხილავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალის თვისებებს, რაც გამოგადგებათ მაგალითების ამოხსნაში.

• ინტეგრალის წარმოებული უდრის ინტეგრანდს:

• მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალური ნიშნის ქვეშ:

• ჯამის ინტეგრალი ინტეგრალების ჯამის ტოლია. ასევე მართალია განსხვავებაზე:

განსაზღვრული ინტეგრალის თვისებები

• წრფივიობა:

• ინტეგრალის ნიშანი იცვლება, თუ ინტეგრაციის საზღვრები შეიცვლება:

• ზე ნებისმიერიქულები ა, ბდა თან:

ჩვენ უკვე გავარკვიეთ, რომ განსაზღვრული ინტეგრალი არის ჯამის ზღვარი. მაგრამ როგორ მივიღოთ კონკრეტული მნიშვნელობა მაგალითის ამოხსნისას? ამისათვის არსებობს ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულა:

ინტეგრალების ამოხსნის მაგალითები

ქვემოთ განვიხილავთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი და მაგალითები ამონახსნებით. ჩვენ გთავაზობთ დამოუკიდებლად გაიგოთ გადაწყვეტის სირთულეები და თუ რამე არ არის ნათელი, დასვით შეკითხვები კომენტარებში.

მასალის კონსოლიდაციისთვის უყურეთ ვიდეოს, თუ როგორ იხსნება ინტეგრალები პრაქტიკაში. არ დაიდარდოთ, თუ ინტეგრალი დაუყოვნებლივ არ არის მოცემული. მიმართეთ სტუდენტის პროფესიონალურ სერვისს და დახურულ ზედაპირზე ნებისმიერი სამმაგი ან მრუდი ინტეგრალი თქვენს ძალაში იქნება.