და სხვები.ყველა მათგანი არის მათი თეორიული ანალოგიების შეფასება, რომლის მიღებაც შეიძლებოდა, თუ იქნებოდა არა ნიმუში, არამედ საერთო პოპულაცია. მაგრამ სამწუხაროდ, საერთო მოსახლეობა ძალიან ძვირია და ხშირად მიუწვდომელია.

ინტერვალის შეფასების ცნება

ნებისმიერი ნიმუშის შეფასებას აქვს გარკვეული გაფანტვა, რადგან არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც დამოკიდებულია კონკრეტულ ნიმუშში არსებულ მნიშვნელობებზე. ამიტომ, უფრო სანდო სტატისტიკური დასკვნებისთვის, უნდა იცოდეთ არა მხოლოდ ქულების შეფასება, არამედ ინტერვალიც, რომელიც დიდი ალბათობით γ (გამა) ფარავს სავარაუდო მაჩვენებელს θ (თეტა).

ფორმალურად, ეს არის ორი ასეთი მნიშვნელობა (სტატისტიკა) T1 (X)და T2 (X), რა T1< T 2 , რისთვისაც ალბათობის მოცემულ დონეზე γ პირობა დაკმაყოფილებულია:

მოკლედ, სავარაუდოა γ ან მეტი ჭეშმარიტი მნიშვნელობა არის წერტილებს შორის T1 (X)და T2 (X), რომლებსაც ქვედა და ზედა საზღვრებს უწოდებენ ნდობის ინტერვალი.

ნდობის ინტერვალების აგების ერთ-ერთი პირობაა მისი მაქსიმალური სივიწროვე, ე.ი. რაც შეიძლება მოკლე უნდა იყოს. სურვილი საკმაოდ ბუნებრივია, რადგან. მკვლევარი ცდილობს უფრო ზუსტად მოახდინოს სასურველი პარამეტრის მიგნების ლოკალიზება.

აქედან გამომდინარეობს, რომ ნდობის ინტერვალი უნდა მოიცავდეს განაწილების მაქსიმალურ ალბათობას. და თავად ანგარიში იყოს ცენტრში.

ანუ, გადახრის ალბათობა (ჭეშმარიტი ინდიკატორის შეფასებადან) ზემოთ უდრის გადახრის ალბათობას ქვემოთ. აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ დახრილი განაწილებისთვის, მარჯვნივ ინტერვალი არ არის მარცხნივ ინტერვალის ტოლი.

ზემოთ მოყვანილი ფიგურა ნათლად აჩვენებს, რომ რაც უფრო დიდია ნდობის დონე, მით უფრო ფართოა ინტერვალი - პირდაპირი ურთიერთობა.

ეს იყო მცირე შესავალი უცნობი პარამეტრების ინტერვალის შეფასების თეორიაში. მოდით გადავიდეთ მათემატიკური მოლოდინის ნდობის ლიმიტების პოვნაზე.

ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინისთვის

თუ ორიგინალური მონაცემები განაწილებულია ზე, მაშინ საშუალო იქნება ნორმალური მნიშვნელობა. ეს გამომდინარეობს წესიდან, რომ ნორმალური მნიშვნელობების ხაზოვან კომბინაციას ასევე აქვს ნორმალური განაწილება. ამიტომ, ალბათობების გამოსათვლელად, ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნორმალური განაწილების კანონის მათემატიკური აპარატი.

თუმცა, ეს მოითხოვს ორი პარამეტრის ცოდნას - მოსალოდნელი მნიშვნელობისა და დისპერსიის შესახებ, რომლებიც, როგორც წესი, უცნობია. თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შეფასებები პარამეტრების ნაცვლად (საშუალო არითმეტიკული და ), მაგრამ შემდეგ საშუალო განაწილება არ იქნება საკმაოდ ნორმალური, ის ოდნავ გაბრტყელდება. ირლანდიის მოქალაქე უილიამ გოსეტმა ოსტატურად აღნიშნა ეს ფაქტი, როდესაც თავისი აღმოჩენა გამოაქვეყნა 1908 წლის მარტის გამოცემაში Biometrica. საიდუმლო მიზნებისათვის, გოსეტმა ხელი მოაწერა სტუდენტს. ასე გაჩნდა Student's t-დისტრიბუცია.

თუმცა, კ.გაუსის მიერ გამოყენებული ასტრონომიული დაკვირვებების შეცდომების ანალიზისას მონაცემთა ნორმალური განაწილება ძალზე იშვიათია ხმელეთის ცხოვრებაში და ამის დადგენა საკმაოდ რთულია (მაღალი სიზუსტისთვის საჭიროა დაახლოებით 2 ათასი დაკვირვება). ამიტომ, უმჯობესია უარი თქვან ნორმალურობის დაშვებაზე და გამოიყენოთ მეთოდები, რომლებიც არ არის დამოკიდებული ორიგინალური მონაცემების განაწილებაზე.

ჩნდება კითხვა: რა არის არითმეტიკული საშუალოს განაწილება, თუ იგი გამოითვლება უცნობი განაწილების მონაცემებით? პასუხს იძლევა ალბათობის თეორიაში ცნობილი ცენტრალური ლიმიტის თეორემა(CPT). მათემატიკაში მისი რამდენიმე ვერსია არსებობს (ფორმულირებები წლების განმავლობაში დაიხვეწა), მაგრამ ყველა მათგანი, უხეშად რომ ვთქვათ, მიდის იმ განცხადებამდე, რომ დიდი რაოდენობით დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამი ემორჩილება ნორმალურ განაწილების კანონს.

საშუალო არითმეტიკული გამოთვლისას გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადების ჯამი. აქედან ირკვევა, რომ საშუალო არითმეტიკას აქვს ნორმალური განაწილება, რომელშიც მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის ორიგინალური მონაცემების მოსალოდნელი მნიშვნელობა, ხოლო განსხვავება არის .

ჭკვიანმა ადამიანებმა იციან როგორ დაამტკიცონ CLT, მაგრამ ჩვენ ამას გადავამოწმებთ Excel-ში ჩატარებული ექსპერიმენტის დახმარებით. მოდით მოვახდინოთ 50 ერთნაირად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის ნიმუშის სიმულაცია (ექსელის ფუნქციის RANDOMBETWEEN-ის გამოყენებით). შემდეგ გავაკეთებთ 1000 ასეთ ნიმუშს და გამოვთვლით საშუალო არითმეტიკას თითოეულისთვის. მოდით შევხედოთ მათ განაწილებას.

ჩანს, რომ საშუალო განაწილება ნორმალურ კანონთან ახლოსაა. თუ ნიმუშების მოცულობა და მათი რაოდენობა კიდევ უფრო დიდი იქნება, მაშინ მსგავსება კიდევ უკეთესი იქნება.

ახლა, როცა ჩვენ თვითონ დავინახეთ CLT-ის ვალიდობა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ არითმეტიკული საშუალოს ნდობის ინტერვალები, რომლებიც ფარავს ჭეშმარიტ საშუალოს ან მათემატიკურ მოლოდინს მოცემული ალბათობით.

ზედა და ქვედა საზღვრების დასადგენად საჭიროა ნორმალური განაწილების პარამეტრების ცოდნა. როგორც წესი, ისინი არ გამოიყენება, ამიტომ შეფასებები გამოიყენება: საშუალო არითმეტიკულიდა ნიმუშის განსხვავება. ისევ და ისევ, ეს მეთოდი იძლევა კარგ მიახლოებას მხოლოდ დიდი ნიმუშებისთვის. როდესაც ნიმუშები მცირეა, ხშირად რეკომენდებულია სტუდენტური განაწილების გამოყენება. არ დაიჯერო! სტუდენტის განაწილება საშუალოზე ხდება მხოლოდ მაშინ, როდესაც თავდაპირველ მონაცემს აქვს ნორმალური განაწილება, ანუ თითქმის არასდროს. ამიტომ უმჯობესია დაუყონებლივ დააწესოთ მინიმალური ბარი საჭირო მონაცემების ოდენობაზე და გამოიყენოთ ასიმპტომურად სწორი მეთოდები. მათი თქმით, 30 დაკვირვება საკმარისია. აიღეთ 50 – ვერ შეცდებით.

T 1.2არის ნდობის ინტერვალის ქვედა და ზედა საზღვრები

- საშუალო არითმეტიკული ნიმუში

s0- ნიმუშის სტანდარტული გადახრა (მიკერძოებული)

ნ - ნიმუშის ზომა

γ - ნდობის დონე (ჩვეულებრივ ტოლია 0,9, 0,95 ან 0,99)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების ფუნქციის ორმხრივი. მარტივი სიტყვებით, ეს არის სტანდარტული შეცდომების რაოდენობა არითმეტიკული საშუალოდან ქვედა ან ზედა ზღვარზე (მითითებული სამი ალბათობა შეესაბამება 1.64, 1.96 და 2.58 მნიშვნელობებს).

ფორმულის არსი იმაში მდგომარეობს, რომ საშუალო არითმეტიკული აღებულია და შემდეგ მისგან გამოყოფილია გარკვეული რაოდენობა ( γ-თან ერთად) სტანდარტული შეცდომები ( s 0 /√n). ყველაფერი ცნობილია, აიღე და დაითვალე.

კომპიუტერების მასობრივ გამოყენებამდე, ნორმალური განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობებისა და მისი შებრუნებული მნიშვნელობების მისაღებად, ისინი იყენებდნენ. ისინი ჯერ კიდევ გამოიყენება, მაგრამ უფრო ეფექტურია მზა Excel-ის ფორმულებზე გადასვლა. ყველა ელემენტი ზემოთ მოცემული ფორმულიდან ( , და ) მარტივად შეიძლება გამოითვალოს Excel-ში. მაგრამ ასევე არსებობს მზა ფორმულა ნდობის ინტერვალის გამოსათვლელად - ნდობის ნორმა. მისი სინტაქსი შემდეგია.

ნდობის ნორმა (ალფა, standard_dev, ზომა)

ალფა– მნიშვნელოვნების დონე ანუ ნდობის დონე, რომელიც ზემოთ აღნიშვნით უდრის 1-γ, ე.ი. ალბათობა იმისა, რომ მათემატიკურიმოლოდინი იქნება ნდობის ინტერვალის მიღმა. 0,95 ნდობის დონით, ალფა არის 0,05 და ა.შ.

standard_offარის ნიმუშის მონაცემების სტანდარტული გადახრა. თქვენ არ გჭირდებათ სტანდარტული შეცდომის გამოთვლა, Excel გაყოფს n-ის ფესვზე.

ზომა– ნიმუშის ზომა (n).

CONFIDENCE.NORM ფუნქციის შედეგი არის ნდობის ინტერვალის გამოთვლის ფორმულის მეორე წევრი, ე.ი. ნახევარი ინტერვალი. შესაბამისად, ქვედა და ზედა წერტილები არის საშუალო ± მიღებული მნიშვნელობა.

ამრიგად, შესაძლებელია შეიქმნას უნივერსალური ალგორითმი არითმეტიკული საშუალოსთვის ნდობის ინტერვალების გამოსათვლელად, რომელიც არ არის დამოკიდებული საწყისი მონაცემების განაწილებაზე. უნივერსალურობის ფასი მისი ასიმპტომური ბუნებაა, ე.ი. შედარებით დიდი ნიმუშების გამოყენების აუცილებლობა. თუმცა, თანამედროვე ტექნოლოგიების ეპოქაში, მონაცემების სწორი მოცულობის შეგროვება, როგორც წესი, არ არის რთული.

სტატისტიკური ჰიპოთეზების ტესტირება ნდობის ინტერვალის გამოყენებით

(მოდული 111)

სტატისტიკაში გადაჭრილი ერთ-ერთი მთავარი პრობლემაა. მოკლედ, მისი არსი ასეთია. კეთდება დაშვება, მაგალითად, რომ ზოგადი მოსახლეობის მოლოდინი უდრის გარკვეულ მნიშვნელობას. შემდეგ აგებულია სანიმუშო საშუალებების განაწილება, რომლის დაკვირვებაც შესაძლებელია მოცემული მოლოდინით. შემდეგი, ჩვენ ვუყურებთ სად მდებარეობს ამ პირობით განაწილებაში რეალური საშუალო. თუ ის სცილდება დასაშვებ საზღვრებს, მაშინ ასეთი საშუალოს გამოჩენა ძალზე ნაკლებად სავარაუდოა და ექსპერიმენტის ერთჯერადი გამეორებით თითქმის შეუძლებელია, რაც ეწინააღმდეგება წამოყენებულ ჰიპოთეზას, რომელიც წარმატებით უარყოფილია. თუ საშუალო მაჩვენებელი არ სცილდება კრიტიკულ დონეს, მაშინ ჰიპოთეზა არ არის უარყოფილი (მაგრამ არც მტკიცდება!).

ასე რომ, ნდობის ინტერვალების დახმარებით, ჩვენს შემთხვევაში მოლოდინისთვის, თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეამოწმოთ რამდენიმე ჰიპოთეზა. ამის გაკეთება ძალიან ადვილია. დავუშვათ, რომ ზოგიერთი ნიმუშისთვის საშუალო არითმეტიკული არის 100. შემოწმებულია ჰიპოთეზა, რომ მოსალოდნელი მნიშვნელობა არის, ვთქვათ, 90. ანუ, თუ კითხვას პრიმიტიულად დავსვათ, ეს ასე ჟღერს: შეიძლება თუ არა ჭეშმარიტი მნიშვნელობით? საშუალო უდრის 90-ს, დაკვირვებული საშუალო იყო 100?

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად საჭიროა დამატებითი ინფორმაცია სტანდარტული გადახრისა და ნიმუშის ზომის შესახებ. ვთქვათ, სტანდარტული გადახრა არის 30, ხოლო დაკვირვების რაოდენობა 64 (ძირის ადვილად ამოსაღებად). მაშინ საშუალო სტანდარტული შეცდომა არის 30/8 ან 3.75. 95%-იანი ნდობის ინტერვალის გამოსათვლელად, თქვენ უნდა გამოყოთ ორი სტანდარტული შეცდომა საშუალოს ორივე მხარეს (უფრო ზუსტად, 1.96). ნდობის ინტერვალი იქნება დაახლოებით 100 ± 7.5, ანუ 92.5-დან 107.5-მდე.

შემდგომი მსჯელობა შემდეგია. თუ შემოწმებული მნიშვნელობა ხვდება ნდობის ინტერვალში, მაშინ ის არ ეწინააღმდეგება ჰიპოთეზას, ვინაიდან ჯდება შემთხვევითი რყევების საზღვრებში (95%-იანი ალბათობით). თუ ტესტირებადი წერტილი ნდობის ინტერვალის მიღმაა, მაშინ ასეთი მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, ნებისმიერ შემთხვევაში მისაღები დონის ქვემოთ. შესაბამისად, ჰიპოთეზა უარყოფილია, როგორც დაკვირვებულ მონაცემებს ეწინააღმდეგება. ჩვენს შემთხვევაში, მოლოდინის ჰიპოთეზა ნდობის ინტერვალის მიღმაა (90-ის შემოწმებული მნიშვნელობა არ შედის 100±7.5 ინტერვალში), ამიტომ იგი უარყოფილი უნდა იყოს. ზემოთ მოცემულ პრიმიტიულ კითხვაზე პასუხის გაცემისას უნდა ითქვას: არა, ეს არ შეიძლება, არავითარ შემთხვევაში, ეს ხდება ძალიან იშვიათად. ხშირად ეს მიუთითებს ჰიპოთეზის მცდარი უარყოფის კონკრეტულ ალბათობაზე (p-დონე) და არა მოცემულ დონეზე, რომლის მიხედვითაც აშენდა ნდობის ინტერვალი, არამედ უფრო სხვა დროს.

როგორც ხედავთ, არ არის რთული საშუალო (ან მათემატიკური მოლოდინის) ნდობის ინტერვალის აშენება. მთავარია, არსი დაიჭირო და მერე წავა საქმე. პრაქტიკაში, უმეტესობა იყენებს 95% ნდობის ინტერვალს, რაც დაახლოებით ორი სტანდარტული შეცდომის სიგანეა საშუალოს ორივე მხარეს.

ჯერჯერობით სულ ესაა. Ყველაფერი საუკეთესო!

დაე, ნიმუში შედგეს კანონს დაქვემდებარებული საერთო პოპულაციისგან ნორმალურიგანაწილება X N( მ;  ). მათემატიკური სტატისტიკის ეს ძირითადი დაშვება ემყარება ცენტრალური ლიმიტის თეორემას. მოდით ცნობილი იყოს ზოგადი სტანდარტული გადახრა  , მაგრამ თეორიული განაწილების მათემატიკური მოლოდინი უცნობია მ(ნიშნავს).

ამ შემთხვევაში, ნიმუში ნიშნავს ცდის დროს მიღებული (სექცია 3.4.2), ასევე იქნება შემთხვევითი ცვლადი მ;
). შემდეგ "ნორმალიზებული" გადახრა
N(0;1) არის სტანდარტული ნორმალური შემთხვევითი ცვლადი.

პრობლემა ის არის, რომ იპოვოთ ინტერვალის შეფასება მ. მოდით ავაშენოთ ორმხრივი ნდობის ინტერვალი ამისთვის მ ისე, რომ ჭეშმარიტი მათემატიკური მოლოდინი მას ეკუთვნის მოცემული ალბათობით (სანდოობით)  .

დააყენეთ ასეთი ინტერვალი მნიშვნელობისთვის
ნიშნავს ამ რაოდენობის მაქსიმალური მნიშვნელობის პოვნას
და მინიმალური
, რომელიც არის კრიტიკული რეგიონის საზღვრები:
.

იმიტომ რომ ეს ალბათობა არის
, მაშინ ამ განტოლების ფესვი
შეგიძლიათ იხილოთ ლაპლასის ფუნქციის ცხრილების გამოყენებით (ცხრილი 3, დანართი 1).

მერე ალბათობით  შეიძლება ითქვას, რომ შემთხვევითი ცვლადი
, ანუ სასურველი ზოგადი საშუალო ეკუთვნის ინტერვალს
. (3.13)

ღირებულება
(3.14)

დაურეკა სიზუსტეშეფასებები.

ნომერი
– კვანტილინორმალური განაწილება - შეიძლება მოიძებნოს ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტად (ცხრილი 3, დანართი 1), თანაფარდობის გათვალისწინებით 2Ф( u)=, ე.ი. F( u)=
.

პირიქით, მითითებული გადახრის მნიშვნელობის მიხედვით  შესაძლებელია იმის დადგენა, თუ რა ალბათობით მიეკუთვნება უცნობი ზოგადი საშუალო ინტერვალს
. ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ

. (3.15)

აიღეთ შემთხვევითი ნიმუში საერთო პოპულაციისგან ხელახალი შერჩევის მეთოდით. განტოლებიდან
შეიძლება მოიძებნოს მინიმალურიხელახალი ნიმუშის მოცულობა ნსაჭიროა უზრუნველყოს ნდობის ინტერვალი მოცემული სანდოობით არ აღემატებოდა წინასწარ დაყენებულ მნიშვნელობას  . საჭირო ნიმუშის ზომა შეფასებულია ფორმულის გამოყენებით:

. (3.16)

Გამოკვლევა შეფასების სიზუსტე
:

1) ნიმუშის ზომის გაზრდით ნსიდიდე  მცირდება, და აქედან გამომდინარე, შეფასების სიზუსტე იზრდება.

2) გ მომატებაშეფასებების სანდოობა არგუმენტის მნიშვნელობა იზრდება u(რადგან ფ(u) მონოტონურად იზრდება) და მაშასადამე იზრდება  . ამ შემთხვევაში, საიმედოობის გაზრდა ამცირებსმისი შეფასების სიზუსტე  .

შეფასება
(3.17)

დაურეკა კლასიკური(სად ტარის პარამეტრი, რომელიც დამოკიდებულია და ნ), რადგან იგი ახასიათებს განაწილების კანონებს ყველაზე ხშირად.

3.5.3 ნდობის ინტერვალები ნორმალური განაწილების მოლოდინის შესაფასებლად უცნობი სტანდარტული გადახრით 

ცნობილია, რომ საერთო მოსახლეობა ექვემდებარება ნორმალური განაწილების კანონს X N( მ; ), სადაც მნიშვნელობა ფესვი საშუალო კვადრატიგადახრები უცნობი.

ზოგადი საშუალოს შესაფასებლად ნდობის ინტერვალის შესაქმნელად, ამ შემთხვევაში, სტატისტიკა გამოიყენება
, რომელსაც აქვს სტუდენტის განაწილება კ= ნ-1 გრადუსი თავისუფლება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ N(0;1) (იხ. პუნქტი 3.5.2) და
(იხ. პუნქტი 3.5.3) და სტუდენტის განაწილების განმარტებიდან (ნაწილი 1. პუნქტი 2.11.2).

ვიპოვოთ სტუდენტის განაწილების კლასიკური შეფასების სიზუსტე: ე.ი. იპოვე ტფორმულიდან (3.17). დავუშვათ უტოლობის შესრულების ალბათობა
სანდოობით არის მოცემული  :

. (3.18)

Იმდენად, რამდენადაც თ ქ( ნ-1), აშკარაა, რომ ტდამოკიდებულია  და ნასე რომ, ჩვენ ჩვეულებრივ ვწერთ
.

(3.19)

სადაც
არის სტუდენტის განაწილების ფუნქცია ნ-1 გრადუსი თავისუფლება.

ამ განტოლების ამოხსნა მ, ვიღებთ ინტერვალს
რომელიც  სანდოობით ფარავს უცნობ პარამეტრს მ.

ღირებულება ტ  , ნ-1 , გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის ნდობის ინტერვალის დასადგენად თ(ნ-1), გავრცელდა სტუდენტის მიერ ნ-1 გრადუსი თავისუფლება ჰქვია სტუდენტის კოეფიციენტი. ის უნდა მოიძებნოს მოცემული მნიშვნელობებით ნდა  ცხრილებიდან „მოსწავლის განაწილების კრიტიკული წერტილები“. (ცხრილი 6, დანართი 1), რომლებიც არის (3.19) განტოლების ამონახსნები.

შედეგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგ გამონათქვამს სიზუსტე ნდობის ინტერვალი მათემატიკური მოლოდინის შესაფასებლად (ზოგადი საშუალო), თუ განსხვავება უცნობია:

(3.20)

ამრიგად, არსებობს ზოგადი ფორმულა ზოგადი პოპულაციის მათემატიკური მოლოდინისთვის ნდობის ინტერვალების ასაგებად:

სად არის ნდობის ინტერვალის სიზუსტე  ცნობილი ან უცნობი დისპერსიის მიხედვით გვხვდება ფორმულების შესაბამისად 3.16. და 3.20.

დავალება 10.ჩატარდა რამდენიმე ტესტი, რომლის შედეგები მოცემულია ცხრილში:

x მე

ცნობილია, რომ ისინი ემორჩილებიან ნორმალურ განაწილების კანონს
. იპოვნეთ შეფასება მ* მათემატიკური მოლოდინისთვის მ, შექმენით მისთვის 90%-იანი ნდობის ინტერვალი.

გადაწყვეტილება:

Ისე, მ(2.53;5.47).

დავალება 11.ზღვის სიღრმე იზომება ხელსაწყოთი, რომლის სისტემატური ცდომილება არის 0, და შემთხვევითი შეცდომები ნაწილდება ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით, სტანდარტული გადახრით.  = 15 მ. რამდენი დამოუკიდებელი გაზომვა უნდა განხორციელდეს სიღრმის დასადგენად არაუმეტეს 5 მ შეცდომით 90% ნდობის დონით?

გადაწყვეტილება:

პრობლემის პირობით გვაქვს X N( მ;  ), სადაც  = 15 მ,  = 5 მ,  =0.9. მოდი ვიპოვოთ მოცულობა ნ.

1) მოცემული სანდოობით = 0.9, მე-3 ცხრილიდან (დანართი 1) ვპოულობთ ლაპლასის ფუნქციის არგუმენტს. u  = 1.65.

2) მოცემული შეფასების სიზუსტის ცოდნა  =u  =5, იპოვე
. Ჩვენ გვაქვს

. ამიტომ, საცდელების რაოდენობა ნ 25.

დავალება 12.ტემპერატურის ნიმუშის აღება ტიანვრის პირველი 6 დღისთვის მოცემულია ცხრილში:

იპოვეთ ნდობის ინტერვალი მოლოდინისთვის მსაერთო მოსახლეობა ნდობის ალბათობით
და შეაფასეთ ზოგადი სტანდარტული გადახრა ს.

გადაწყვეტილება:

და
.

2) მიუკერძოებელი შეფასება იპოვეთ ფორმულით
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) ვინაიდან ზოგადი დისპერსია უცნობია, მაგრამ მისი შეფასება ცნობილია, მაშინ მათემატიკური მოლოდინის შეფასება მვიყენებთ სტუდენტის განაწილებას (ცხრილი 6, დანართი 1) და ფორმულას (3.20).

იმიტომ რომ ნ 1 =ნ 2 =6, შემდეგ,
, ს 1 =6.85 გვაქვს:
, შესაბამისად -29.2-4.1<მ 1 < -29.2+4.1.

ამიტომ -33.3<მ 1 <-25.1.

ანალოგიურად, ჩვენ გვაქვს
, ს 2 = 4.8, ასე რომ

–34.9< მ 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: მ 1(-33.3;-25.1) და მ 2 (-34.9;-29.1).

გამოყენებით მეცნიერებებში, მაგალითად, სამშენებლო დისციპლინებში, ობიექტების სიზუსტის შესაფასებლად გამოიყენება ნდობის ინტერვალების ცხრილები, რომლებიც მოცემულია შესაბამის საცნობარო ლიტერატურაში.

ხშირად შემფასებელს უწევს იმ სეგმენტის უძრავი ქონების ბაზრის ანალიზი, რომელშიც განლაგებულია შეფასების ობიექტი. თუ ბაზარი განვითარებულია, შეიძლება რთული იყოს წარმოდგენილი ობიექტების მთელი ნაკრების ანალიზი, ამიტომ ანალიზისთვის გამოიყენება ობიექტების ნიმუში. ეს ნიმუში ყოველთვის არ არის ერთგვაროვანი, ზოგჯერ საჭიროა მისი გაწმენდა უკიდურესობებისგან - ძალიან მაღალი ან ძალიან დაბალი ბაზრის შეთავაზებები. ამ მიზნით, იგი გამოიყენება ნდობის ინტერვალი. ამ კვლევის მიზანია ნდობის ინტერვალის გამოთვლის ორი მეთოდის შედარებითი ანალიზის ჩატარება და საუკეთესო გამოთვლის ვარიანტის არჩევა estimatica.pro სისტემაში სხვადასხვა ნიმუშებთან მუშაობისას.

ნდობის ინტერვალი - გამოითვლება ნიმუშის საფუძველზე, მახასიათებლის მნიშვნელობების ინტერვალით, რომელიც ცნობილი ალბათობით შეიცავს ზოგადი პოპულაციის სავარაუდო პარამეტრს.

ნდობის ინტერვალის გამოთვლის მნიშვნელობა არის ისეთი ინტერვალის აგება, რომელიც ეფუძნება ნიმუშის მონაცემებს, რათა შესაძლებელი იყოს იმის დამტკიცება, რომ სავარაუდო პარამეტრის მნიშვნელობა ამ ინტერვალშია. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ნდობის ინტერვალი გარკვეული ალბათობით შეიცავს სავარაუდო რაოდენობის უცნობ მნიშვნელობას. რაც უფრო ფართოა ინტერვალი, მით უფრო მაღალია უზუსტობა.

ნდობის ინტერვალის განსაზღვრის სხვადასხვა მეთოდი არსებობს. ამ სტატიაში განვიხილავთ 2 გზას:

• მედიანური და სტანდარტული გადახრის მეშვეობით;
• t-სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობის მეშვეობით (სტუდენტის კოეფიციენტი).

CI გამოთვლის სხვადასხვა მეთოდების შედარებითი ანალიზის ეტაპები:

1. მონაცემთა ნიმუშის შექმნა;

2. ვამუშავებთ სტატისტიკური მეთოდებით: ვიანგარიშებთ საშუალო მნიშვნელობას, მედიანას, დისპერსიას და ა.შ.;

3. ჩვენ ვიანგარიშებთ ნდობის ინტერვალს ორი გზით;

4. გააანალიზეთ გაწმენდილი ნიმუშები და მიღებული ნდობის ინტერვალები.

ეტაპი 1. მონაცემთა შერჩევა

ნიმუში ჩამოყალიბდა estimatica.pro სისტემის გამოყენებით. ნიმუში მოიცავდა 91 შეთავაზებას 1-ოთახიანი ბინების გასაყიდად მე-3 საფასო ზონაში დაგეგმარების „ხრუშჩოვის“ ტიპის მიხედვით.

ცხრილი 1. საწყისი ნიმუში

	ფასი 1 კვ.მ, ქ.

ნახ.1. საწყისი ნიმუში

ეტაპი 2. საწყისი ნიმუშის დამუშავება

სტატისტიკური მეთოდებით ნიმუშის დამუშავება მოითხოვს შემდეგი მნიშვნელობების გამოთვლას:

1. საშუალო არითმეტიკული

2. მედიანა - რიცხვი, რომელიც ახასიათებს ნიმუშს: ნიმუშის ელემენტების ზუსტად ნახევარი მეტია მედიანაზე, მეორე ნახევარი ნაკლებია მედიანაზე.

(ნიმუშისთვის კენტი რაოდენობის მნიშვნელობებით)

3. დიაპაზონი - განსხვავება ნიმუშში მაქსიმალურ და მინიმალურ მნიშვნელობებს შორის

4. ვარიაცია - გამოიყენება მონაცემების ცვალებადობის უფრო ზუსტად შესაფასებლად

5. ნიმუშის სტანდარტული გადახრა (შემდგომში RMS) არის არითმეტიკული საშუალო ირგვლივ კორექტირების მნიშვნელობების დისპერსიის ყველაზე გავრცელებული მაჩვენებელი.

6. ვარიაციის კოეფიციენტი - ასახავს კორექტირების მნიშვნელობების დისპერსიის ხარისხს

7. რხევის კოეფიციენტი - ასახავს ნიმუშში ფასების უკიდურესი მნიშვნელობების შედარებით რყევას საშუალოზე.

ცხრილი 2. ორიგინალური ნიმუშის სტატისტიკური მაჩვენებლები

ცვალებადობის კოეფიციენტი, რომელიც ახასიათებს მონაცემთა ერთგვაროვნებას, არის 12,29%, მაგრამ რხევის კოეფიციენტი ძალიან დიდია. ამრიგად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ორიგინალური ნიმუში არ არის ერთგვაროვანი, ამიტომ გადავიდეთ ნდობის ინტერვალის გამოთვლაზე.

ეტაპი 3. ნდობის ინტერვალის გამოთვლა

მეთოდი 1. გამოთვლა მედიანური და სტანდარტული გადახრის მეშვეობით.

ნდობის ინტერვალი განისაზღვრება შემდეგნაირად: მინიმალური მნიშვნელობა - სტანდარტული გადახრა აკლდება მედიანას; მაქსიმალური მნიშვნელობა - სტანდარტული გადახრა ემატება მედიანას.

ამრიგად, ნდობის ინტერვალი (47179 CU; 60689 CU)

ბრინჯი. 2. მნიშვნელობები ნდობის ინტერვალის ფარგლებში 1.

მეთოდი 2. ნდობის ინტერვალის აგება t- სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობის მეშვეობით (სტუდენტის კოეფიციენტი)

ს.ვ. გრიბოვსკი წიგნში „საკუთრების ღირებულების შეფასების მათემატიკური მეთოდები“ აღწერს სტუდენტის კოეფიციენტის მეშვეობით ნდობის ინტერვალის გამოთვლის მეთოდს. ამ მეთოდით გაანგარიშებისას, შემფასებელმა თავად უნდა დააყენოს მნიშვნელოვნების დონე ∝, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომლითაც აშენდება ნდობის ინტერვალი. ჩვეულებრივ გამოიყენება მნიშვნელოვნების დონეები 0.1; 0.05 და 0.01. ისინი შეესაბამება ნდობის ალბათობას 0,9; 0.95 და 0.99. ამ მეთოდით მათემატიკური მოლოდინისა და დისპერსიის ჭეშმარიტი მნიშვნელობები პრაქტიკულად უცნობია (რაც თითქმის ყოველთვის მართებულია პრაქტიკული შეფასების ამოცანების გადაჭრისას).

ნდობის ინტერვალის ფორმულა:

n - ნიმუშის ზომა;

t-სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობა (სტუდენტის განაწილებები) მნიშვნელოვნების დონით ∝, თავისუფლების გრადუსების რაოდენობა n-1, რომელიც განისაზღვრება სპეციალური სტატისტიკური ცხრილებით ან MS Excel-ის გამოყენებით (→"სტატისტიკური"→ STUDRASPOBR);

∝ - მნიშვნელოვნების დონე, ვიღებთ ∝=0.01.

ბრინჯი. 2. მნიშვნელობები ნდობის ინტერვალის ფარგლებში 2.

ნაბიჯი 4. ნდობის ინტერვალის გამოთვლის სხვადასხვა გზების ანალიზი

ნდობის ინტერვალის გამოთვლის ორმა მეთოდმა - მედიანასა და სტუდენტის კოეფიციენტის მეშვეობით - გამოიწვია ინტერვალების განსხვავებული მნიშვნელობები. შესაბამისად, მიღებული იქნა ორი განსხვავებული გაწმენდილი ნიმუში.

ცხრილი 3. სტატისტიკური მაჩვენებლები სამი ნიმუშისთვის.

ინდიკატორი	საწყისი ნიმუში	1 ვარიანტი	ვარიანტი 2
ნიშნავს
დისპერსია
კოფ. ვარიაციები
კოფ. რხევები
საპენსიო ობიექტების რაოდენობა, ც.

შესრულებული გამოთვლებიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ სხვადასხვა მეთოდით მიღებული ნდობის ინტერვალების მნიშვნელობები იკვეთება, ასე რომ თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი გაანგარიშების მეთოდი შემფასებლის შეხედულებისამებრ.

თუმცა, მიგვაჩნია, რომ estimatica.pro სისტემაში მუშაობისას მიზანშეწონილია აირჩიოთ ნდობის ინტერვალის გამოთვლის მეთოდი, ბაზრის განვითარების ხარისხზე დაყრდნობით:

• თუ ბაზარი არ არის განვითარებული, გამოიყენეთ გაანგარიშების მეთოდი მედიანური და სტანდარტული გადახრის გზით, რადგან ამ შემთხვევაში გადამდგარი ობიექტების რაოდენობა მცირეა;
• თუ ბაზარი განვითარებულია, გამოიყენეთ გამოთვლა t-სტატისტიკის კრიტიკული მნიშვნელობის მიხედვით (სტუდენტის კოეფიციენტი), ვინაიდან შესაძლებელია დიდი საწყისი ნიმუშის ფორმირება.

სტატიის მომზადებისას გამოყენებული იქნა:

1. გრიბოვსკი ს.ვ., სივეცი ს.ა., ლევიკინა ი.ა. ქონების ღირებულების შეფასების მათემატიკური მეთოდები. მოსკოვი, 2014 წ

2. მონაცემები estimatica.pro სისტემიდან

დაე, შემთხვევითი ცვლადი (შეიძლება ვისაუბროთ ზოგად პოპულაციაზე) განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, რისთვისაც ცნობილია ვარიაცია D = 2 (> 0). ზოგადი პოპულაციისგან (ობიექტთა სიმრავლეზე, რომელთა შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება) კეთდება n ზომის ნიმუში. ნიმუში x 1, x 2,..., x n განიხილება, როგორც n დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის კრებული, რომელიც განაწილებულია ისევე, როგორც (ტექსტში ზემოთ ახსნილი მიდგომა).

ადრე ასევე განიხილებოდა და დადასტურდა შემდეგი თანასწორობები:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

საკმარისია უბრალოდ დავამტკიცოთ (ჩვენ გამოვტოვებთ მტკიცებულებას), რომ შემთხვევითი ცვლადი ამ შემთხვევაშიც ნაწილდება ნორმალური კანონის მიხედვით.

უცნობი მნიშვნელობა M ავღნიშნოთ a-ით და მოცემული სანდოობის მიხედვით ავირჩიოთ რიცხვი d > 0, რათა დაკმაყოფილდეს შემდეგი პირობა:

P(- a< d) = (1)

ვინაიდან შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით მათემატიკური მოლოდინით M = M = a და დისპერსიით D = D /n = 2 /n, მივიღებთ:

P(- a< d) =P(a - d < < a + d) =

რჩება ისეთი დ არჩევა, რომ თანასწორობა

ნებისმიერისთვის, ცხრილიდან შეგიძლიათ იპოვოთ ისეთი რიცხვი t, რომელიც (t) \u003d / 2. ამ რიცხვს t ზოგჯერ უწოდებენ კვანტილი.

ახლა თანასწორობიდან

განსაზღვრეთ d-ის მნიშვნელობა:

ჩვენ ვიღებთ საბოლოო შედეგს ფორმულის (1) წარმოდგენით ფორმაში:

ბოლო ფორმულის მნიშვნელობა ასეთია: სანდოობით, ნდობის ინტერვალი

მოიცავს პოპულაციის უცნობ პარამეტრს a = M. სხვაგვარად შეიძლება ითქვას: წერტილის შეფასება განსაზღვრავს M პარამეტრის მნიშვნელობას d= t/ სიზუსტით და სანდოობით.

დავალება. დაე, იყოს ზოგადი პოპულაცია ზოგიერთი მახასიათებლით, რომელიც განაწილებულია ნორმალური კანონის მიხედვით, დისპერსიით ტოლი 6.25. გაკეთდა n = 27 ზომის ნიმუში და მიღებული იყო მახასიათებლის საშუალო ნიმუში = 12. იპოვეთ ნდობის ინტერვალი, რომელიც ფარავს ზოგადი პოპულაციის შესწავლილი მახასიათებლის უცნობი მათემატიკური მოლოდინის სანდოობით = 0.99.

გადაწყვეტილება. პირველი, ლაპლასის ფუნქციისთვის ცხრილის გამოყენებით, ვპოულობთ t-ის მნიშვნელობას განტოლებიდან (t) \u003d / 2 \u003d 0.495. მიღებული მნიშვნელობიდან გამომდინარე t = 2,58, ჩვენ განვსაზღვრავთ შეფასების სიზუსტეს (ან ნდობის ინტერვალის სიგრძის ნახევარს) d: d = 2,52,58 / 1,24. აქედან ვიღებთ სასურველ ნდობის ინტერვალს: (10.76; 13.24).

სტატისტიკური ჰიპოთეზა ზოგადი ვარიაციული

ნდობის ინტერვალი ნორმალური განაწილების მოლოდინისთვის უცნობი დისპერსიით

მოდით იყოს ჩვეულებრივი კანონის მიხედვით განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი უცნობი მათემატიკური მოლოდინით M, რომელსაც აღვნიშნავთ a ასოთი. მოდით გავაკეთოთ ნიმუში n ზომის. მოდით განვსაზღვროთ საშუალო ნიმუში და შესწორებული ნიმუშის ვარიაცია s 2 ცნობილი ფორმულების გამოყენებით.

შემთხვევითი მნიშვნელობა

განაწილებულია სტუდენტის კანონის მიხედვით n - 1 გრადუსი თავისუფლებით.

ამოცანაა ვიპოვოთ ასეთი რიცხვი t მოცემული სანდოობის და თავისუფლების ხარისხების რაოდენობის მიხედვით n - 1 ისე, რომ ტოლობა

ან ექვივალენტური თანასწორობა

აქ, ფრჩხილებში, იწერება პირობა, რომ უცნობი პარამეტრის მნიშვნელობა a ეკუთვნის გარკვეულ ინტერვალს, რომელიც არის ნდობის ინტერვალი. მისი საზღვრები დამოკიდებულია სანდოობაზე, ასევე შერჩევის პარამეტრებზე და s.

t-ის მნიშვნელობის დასადგენად სიდიდის მიხედვით, ჩვენ ვცვლით ტოლობას (2) ფორმაში:

ახლა, t შემთხვევითი ცვლადის ცხრილის მიხედვით, განაწილებული სტუდენტის კანონის მიხედვით, ალბათობის 1 - და თავისუფლების გრადუსების რაოდენობის მიხედვით n - 1, ვპოულობთ t. ფორმულა (3) იძლევა პასუხს პრობლემაზე.

დავალება. 20 ელექტრული ნათურის საკონტროლო ტესტებზე მათი მუშაობის საშუალო ხანგრძლივობა იყო 2000 საათის ტოლი სტანდარტული გადახრით (გამოითვლება შესწორებული ნიმუშის დისპერსიის კვადრატული ფესვით) ტოლი 11 საათისა. ცნობილია, რომ ნათურის მუშაობის ხანგრძლივობა ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადია. 0,95 სანდოობით განსაზღვრეთ ნდობის ინტერვალი ამ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინისთვის.

გადაწყვეტილება. მნიშვნელობა 1 - ამ შემთხვევაში უდრის 0,05-ს. სტუდენტის განაწილების ცხრილის მიხედვით, თავისუფლების ხარისხების რიცხვით ტოლია 19, ვპოულობთ: t = 2.093. ახლა გამოვთვალოთ შეფასების სიზუსტე: 2.093121/ = 56.6. აქედან ვიღებთ სასურველ ნდობის ინტერვალს: (1943.4; 2056.6).

მოდით ავაშენოთ ნდობის ინტერვალი MS EXCEL-ში განაწილების საშუალო მნიშვნელობის შესაფასებლად დისპერსიის ცნობილი მნიშვნელობის შემთხვევაში.

რა თქმა უნდა არჩევანი ნდობის დონემთლიანად დამოკიდებულია დავალებაზე. ამრიგად, საჰაერო მგზავრის ნდობის ხარისხი თვითმფრინავის საიმედოობაში, რა თქმა უნდა, უნდა იყოს უფრო მაღალი, ვიდრე მყიდველის ნდობის ხარისხი ნათურის სანდოობაში.

დავალების ფორმულირება

დავუშვათ, რომ დან მოსახლეობარომელმაც მიიღო ნიმუშიზომა n. ვარაუდობენ, რომ სტანდარტული გადახრაეს განაწილება ცნობილია. ამის საფუძველზე აუცილებელია ნიმუშებიშეაფასეთ უცნობი განაწილების საშუალო(μ, ) და ააგეთ შესაბამისი ორმხრივი ნდობის ინტერვალი.

ქულების შეფასება

როგორც ცნობილია სტატისტიკა(მოდით დავარქვათ X იხ) არის საშუალოს მიუკერძოებელი შეფასებაეს მოსახლეობადა აქვს განაწილება N(μ;σ 2 /n).

შენიშვნა: რა მოხდება, თუ თქვენ გჭირდებათ აშენება ნდობის ინტერვალიგანაწილების შემთხვევაში, რომელიც არ არის ნორმალური?ამ შემთხვევაში, მოდის სამაშველო, რომელიც ამბობს, რომ საკმარისად დიდი ზომის ნიმუშები n განაწილებიდან არა ნორმალური, სტატისტიკის შერჩევის განაწილება Х avნება დაახლოებითშეესაბამება ნორმალური დისტრიბუცია N(μ;σ 2 /n) პარამეტრებით.

Ისე, ქულების შეფასება შუა განაწილების ღირებულებებიჩვენ გვაქვს არის ნიმუში ნიშნავს, ე.ი. X იხ. ახლა კი დავიკავოთ ნდობის ინტერვალი.

ნდობის ინტერვალის აგება

ჩვეულებრივ, განაწილების და მისი პარამეტრების ცოდნა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან. ახლა გავაკეთოთ პირიქით: ვიპოვოთ ინტერვალი, რომელშიც შემთხვევითი ცვლადი ეცემა მოცემული ალბათობით. მაგალითად, თვისებებიდან ნორმალური დისტრიბუციაცნობილია, რომ 95%-იანი ალბათობით, შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ნორმალური კანონი, დაეცემა დაახლოებით +/- 2-დან ინტერვალში საშუალო ღირებულება(იხილეთ სტატია შესახებ). ეს ინტერვალი იქნება ჩვენი პროტოტიპი ნდობის ინტერვალი.

ახლა ვნახოთ, ვიცით თუ არა განაწილება , ამ ინტერვალის გამოთვლა? კითხვაზე პასუხის გასაცემად უნდა დავაზუსტოთ განაწილების ფორმა და მისი პარამეტრები.

ჩვენ ვიცით, რომ განაწილების ფორმა არის ნორმალური დისტრიბუცია(გახსოვდეთ, რომ ჩვენ ვსაუბრობთ შერჩევის განაწილება სტატისტიკა X იხ).

პარამეტრი μ ჩვენთვის უცნობია (ის უბრალოდ უნდა შეფასდეს გამოყენებით ნდობის ინტერვალი), მაგრამ გვაქვს მისი შეფასება X cf,გამოითვლება საფუძველზე ნიმუში,რომლის გამოყენებაც შესაძლებელია.

მეორე პარამეტრი არის ნიმუში საშუალო სტანდარტული გადახრა ცნობილი გახდება, ის უდრის σ/√n.

იმიტომ რომ ჩვენ არ ვიცით μ, მაშინ ავაშენებთ ინტერვალს +/- 2 სტანდარტული გადახრებიარა დან საშუალო ღირებულება, მაგრამ მისი ცნობილი შეფასებით X იხ. იმათ. გაანგარიშებისას ნდობის ინტერვალიჩვენ არ ვივარაუდებთ, რომ X იხდაეცემა +/- 2 ინტერვალში სტანდარტული გადახრებიμ-დან 95%-იანი ალბათობით და ჩავთვლით, რომ ინტერვალი არის +/- 2 სტანდარტული გადახრებიდან X იხ 95% ალბათობით დაფარავს μ - საერთო მოსახლეობის საშუალო მაჩვენებელი,საიდანაც ნიმუში. ეს ორი დებულება ექვივალენტურია, მაგრამ მეორე დებულება გვაძლევს აგების საშუალებას ნდობის ინტერვალი.

გარდა ამისა, ჩვენ ვაზუსტებთ ინტერვალს: შემთხვევითი ცვლადი განაწილებულია ნორმალური კანონი, 95%-იანი ალბათობით +/- 1,960 ინტერვალში მოდის სტანდარტული გადახრები,არა +/- 2 სტანდარტული გადახრები. ეს შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით \u003d NORM.ST.OBR ((1 + 0.95) / 2), სმ. ფაილის ნიმუში Sheet Spacing.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ ალბათური დებულება, რომელიც გამოგვადგება ნდობის ინტერვალი:
„ალბათობა იმისა მოსახლეობა ნიშნავსმდებარეობა ნიმუშის საშუალო 1.960" ფარგლებში ნიმუშის საშუალო სტანდარტული გადახრები", უდრის 95%-ს.

განცხადებაში მითითებულ ალბათობის მნიშვნელობას აქვს სპეციალური სახელი , რომელიც დაკავშირებულიამნიშვნელოვნების დონე α (ალფა) მარტივი გამოსახულებით ნდობის დონე =1 -α . ჩვენს შემთხვევაში მნიშვნელობის დონე α =1-0,95=0,05 .

ახლა, ამ ალბათური დებულების საფუძველზე, ჩვენ ვწერთ გამოთვლას ნდობის ინტერვალი:

სადაც Za/2 – სტანდარტული ნორმალური დისტრიბუცია(შემთხვევითი ცვლადის ასეთი მნიშვნელობა ზ, რა პ(ზ>=Za/2 )=α/2).

შენიშვნა: ზედა α/2-კვანტილიგანსაზღვრავს სიგანეს ნდობის ინტერვალი in სტანდარტული გადახრები ნიმუში ნიშნავს. ზედა α/2-კვანტილი სტანდარტული ნორმალური დისტრიბუციაყოველთვის 0-ზე მეტია, რაც ძალიან მოსახერხებელია.

ჩვენს შემთხვევაში, α=0.05, ზედა α/2-კვანტილი უდრის 1.960. სხვა მნიშვნელოვნების დონეებისთვის α (10%; 1%) ზედა α/2-კვანტილი Za/2 შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით \u003d NORM.ST.OBR (1-α / 2) ან, თუ ცნობილია ნდობის დონე, =NORM.ST.OBR((1+ნდობის დონე)/2).

ჩვეულებრივ აშენებისას ნდობის ინტერვალები საშუალოს შესაფასებლადგამოიყენეთ მხოლოდ ზედა α/2-კვანტილიდა არ გამოიყენოთ ქვედა α/2-კვანტილი. ეს შესაძლებელია იმიტომ სტანდარტული ნორმალური დისტრიბუციასიმეტრიული x-ღერძის მიმართ ( მისი განაწილების სიმკვრივესიმეტრიული შესახებ საშუალოდ, ე.ი. 0). ამიტომ, არ არის საჭირო გამოთვლა ქვედა α/2-კვანტილი(მას უბრალოდ α /2-კვანტილი), რადგან ის თანაბარია ზედა α/2-კვანტილიმინუს ნიშნით.

შეგახსენებთ, რომ x-ის განაწილების ფორმის მიუხედავად, შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადი X იხგანაწილებული დაახლოებით ჯარიმა N(μ;σ 2 /n) (იხილეთ სტატია შესახებ). ამიტომ, ზოგადად, ზემოაღნიშნული გამოთქმა ნდობის ინტერვალიარის მხოლოდ მიახლოებითი. თუ x ნაწილდება ნორმალური კანონი N(μ;σ 2 /n), შემდეგ გამოხატულება for ნდობის ინტერვალიზუსტია.

ნდობის ინტერვალის გაანგარიშება MS EXCEL-ში

მოვაგვაროთ პრობლემა.
ელექტრონული კომპონენტის რეაგირების დრო შეყვანის სიგნალზე არის მოწყობილობის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი. ინჟინერს სურს გამოსახოს ნდობის ინტერვალი საშუალო პასუხის დროს ნდობის დონეზე 95%. წინა გამოცდილებიდან ინჟინერმა იცის, რომ რეაგირების დროის სტანდარტული გადახრა არის 8 ms. ცნობილია, რომ ინჟინერმა გააკეთა 25 გაზომვა რეაგირების დროის შესაფასებლად, საშუალო მნიშვნელობა იყო 78 ms.

გადაწყვეტილება: ინჟინერს სურს იცოდეს ელექტრონული მოწყობილობის რეაგირების დრო, მაგრამ მას ესმის, რომ რეაგირების დრო არ არის ფიქსირებული, არამედ შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს საკუთარი განაწილება. ასე რომ, საუკეთესო, რისი იმედიც მას შეუძლია, არის ამ განაწილების პარამეტრების და ფორმის განსაზღვრა.

სამწუხაროდ, პრობლემის მდგომარეობიდან გამომდინარე, ჩვენ არ ვიცით პასუხის დროის განაწილების ფორმა (ეს არ არის აუცილებელი ნორმალური). , ეს განაწილება ასევე უცნობია. მხოლოდ ის არის ცნობილი სტანდარტული გადახრაσ=8. ამიტომ, ჩვენ არ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ალბათობა და კონსტრუქცია ნდობის ინტერვალი.

თუმცა, მიუხედავად იმისა, რომ ჩვენ არ ვიცით განაწილება დრო ცალკე პასუხი, ამის მიხედვით ვიცით CPT, შერჩევის განაწილება საშუალო პასუხის დროარის დაახლოებით ნორმალური(ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ პირობები CPTშესრულებულია, რადგან ზომა ნიმუშებისაკმარისად დიდი (n=25)) .

გარდა ამისა, საშუალოეს განაწილება უდრის საშუალო ღირებულებაერთეული რეაგირების განაწილებები, ე.ი. μ. მაგრამ სტანდარტული გადახრაამ განაწილების (σ/√n) შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით =8/ROOT(25) .

ასევე ცნობილია, რომ ინჟინერმა მიიღო ქულების შეფასებაპარამეტრი μ უდრის 78 ms (X cf). ამიტომ, ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ალბათობა, რადგან ჩვენ ვიცით განაწილების ფორმა ( ნორმალური) და მისი პარამეტრები (Х ср და σ/√n).

ინჟინერს სურს იცოდეს მოსალოდნელი ღირებულებარეაგირების დროის განაწილების μ. როგორც ზემოთ აღინიშნა, ეს μ უდრის საშუალო პასუხის დროის ნიმუშის განაწილების მოლოდინი. თუ ვიყენებთ ნორმალური დისტრიბუცია N(X cf; σ/√n), მაშინ სასურველი μ იქნება +/-2*σ/√n დიაპაზონში, დაახლოებით 95%-ის ალბათობით.

მნიშვნელოვნების დონეუდრის 1-0,95=0,05.

ბოლოს იპოვნეთ მარცხენა და მარჯვენა საზღვარი ნდობის ინტერვალი.
მარცხენა საზღვარი: \u003d 78-NORM.ST.INR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) = 74,864
მარჯვენა საზღვარი: \u003d 78 + NORM. ST. OBR (1-0.05 / 2) * 8 / ROOT (25) \u003d 81.136

მარცხენა საზღვარი: =NORM.INV(0.05/2, 78, 8/SQRT(25))
მარჯვენა საზღვარი: =NORM.INV(1-0.05/2, 78, 8/SQRT(25))

უპასუხე: ნდობის ინტერვალიზე 95% ნდობის დონე და σ=8msecუდრის 78+/-3.136 ms

AT ფაილის მაგალითი ფურცელზე Sigmaცნობილმა შექმნა გაანგარიშებისა და კონსტრუქციის ფორმა ორმხრივი ნდობის ინტერვალითვითნებობისთვის ნიმუშებიმოცემული σ-ით და მნიშვნელობის დონე.

CONFIDENCE.NORM() ფუნქცია

თუ ღირებულებები ნიმუშებიდიაპაზონში არიან B20: B79 , ა მნიშვნელობის დონე 0,05-ის ტოლია; შემდეგ MS EXCEL ფორმულა:
=საშუალო(B20:B79)-დარწმუნებულობა(0.05,σ, COUNT(B20:B79))
დააბრუნებს მარცხენა საზღვარს ნდობის ინტერვალი.

იგივე ზღვარი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულის გამოყენებით:
=AVERAGE(B20:B79)-NORM.ST.INV(1-0.05/2)*σ/SQRT(COUNT(B20:B79))

შენიშვნა: TRUST.NORM() ფუნქცია გამოჩნდა MS EXCEL 2010-ში. MS EXCEL-ის ადრინდელი ვერსიები იყენებდნენ TRUST() ფუნქციას.