რომ იპოვეთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციათქვენ უნდა გამოიყენოთ ეს კალკულატორი. სავარჯიშო 1. უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს ფორმა:
Პოვნა:
ა) პარამეტრი A ;
ბ) განაწილების ფუნქცია F(x) ;
გ) შემთხვევითი X ცვლადის დარტყმის ალბათობა ინტერვალში;
დ) მათემატიკური მოლოდინი MX და დისპერსიული DX.
დახაზეთ f(x) და F(x) ფუნქციები.

დავალება 2. იპოვეთ ინტეგრალური ფუნქციით მოცემული X შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

დავალება 3. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი განაწილების ფუნქციით.

დავალება 4. ზოგიერთი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივე მოცემულია შემდეგნაირად: f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
იპოვეთ კოეფიციენტი A , განაწილების ფუნქცია F(x), მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიები, ასევე ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში. დახაზეთ f(x) და F(x) გრაფიკები.

დავალება. ზოგიერთი უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია მოცემულია შემდეგნაირად:

განსაზღვრეთ a და b პარამეტრები, იპოვეთ f(x) ალბათობის სიმკვრივის გამოხატულება, მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსიული, ასევე ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში. დახაზეთ f(x) და F(x) გრაფიკები.

ვიპოვოთ განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია, როგორც განაწილების ფუნქციის წარმოებული.

იმის ცოდნა

იპოვნეთ პარამეტრი a:


ან 3a=1, საიდანაც a = 1/3
b პარამეტრს ვპოულობთ შემდეგი თვისებებიდან:
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 საიდანაც b = -1/3
მაშასადამე, განაწილების ფუნქციაა: F(x) = (x-1)/3

Მოსალოდნელი ღირებულება.


დისპერსია.

1 / 9 4 3 - (1 / 9 1 3) - (5 / 2) 2 = 3 / 4
იპოვეთ ალბათობა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას ინტერვალში
P(2< x< 3) = F(3) – F(2) = (1/3*3 - 1/3) - (1/3*2 - 1/3) = 1/3

მაგალითი #1. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე f(x). საჭირო:

1. განსაზღვრეთ კოეფიციენტი A.
2. იპოვეთ განაწილების ფუნქცია F(x) .
3. სქემატურად დახაზეთ F(x) და f(x) .
4. იპოვეთ X-ის მათემატიკური მოლოდინი და დისპერსია.
5. იპოვეთ ალბათობა, რომ X იღებს მნიშვნელობას ინტერვალიდან (2;3).

f(x) = A*sqrt(x), 1 ≤ x ≤ 4.
გადაწყვეტილება:

შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია f(x) განაწილების სიმკვრივით:

იპოვეთ პარამეტრი A მდგომარეობიდან:



ან
14/3*A-1=0
სად,
A = 3/14

განაწილების ფუნქცია შეგიძლიათ იხილოთ ფორმულით.

Შემთხვევითი ცვლადიეწოდება ცვლადი, რომელიც ყოველი ტესტის შედეგად იღებს ერთ ადრე უცნობ მნიშვნელობას, შემთხვევითი მიზეზების მიხედვით. შემთხვევითი ცვლადები აღინიშნება დიდი ლათინური ასოებით: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ მათი ტიპის მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადები შეიძლება იყოს დისკრეტულიდა უწყვეტი.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი- ეს არის ისეთი შემთხვევითი ცვლადი, რომლის მნიშვნელობები შეიძლება იყოს არაუმეტეს თვლადი, ანუ სასრული ან თვლადი. დათვლა ნიშნავს, რომ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები შეიძლება ჩამოთვალოს.

მაგალითი 1 . მოდით მოვიყვანოთ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

ა) მიზანზე დარტყმების რაოდენობა $n$ გასროლით, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

ბ) გერბების რაოდენობა, რომლებიც ამოვარდა მონეტის სროლისას, აქ შესაძლო მნიშვნელობებია $0,\ 1,\ \dots,\ n$.

გ) გემების რაოდენობა, რომლებიც ჩამოვიდნენ გემზე (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

დ) ბირჟაზე შემოსული ზარების რაოდენობა (მნიშვნელობების დასათვლელი ნაკრები).

1. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების კანონი.

დისკრეტულ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$. ამ მნიშვნელობებსა და მათ ალბათობას შორის შესაბამისობა ეწოდება დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი. როგორც წესი, ეს კორესპონდენცია მითითებულია ცხრილის გამოყენებით, რომლის პირველ სტრიქონში მითითებულია $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობები, ხოლო მეორე სტრიქონში ამ მნიშვნელობების შესაბამისი ალბათობაა $. p_1, \ წერტილები, \ p_n$.

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \წერტილები & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \წერტილები & p_n \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

მაგალითი 2 . დაე, შემთხვევითი ცვლადი $X$ იყოს კამათლის გაშვებისას გაშვებული ქულების რაოდენობა. ასეთ შემთხვევით ცვლადს $X$ შეუძლია მიიღოს შემდეგი მნიშვნელობები $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5, \ 6$. ყველა ამ მნიშვნელობის ალბათობა უდრის $1/6$-ს. შემდეგ ალბათობის განაწილების კანონი შემთხვევითი ცვლადის $X$-ისთვის:

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\ბოლო (მასივი)$

კომენტარი. ვინაიდან მოვლენები $1,\ 2,\ \dots,\ 6$ ქმნიან მოვლენათა სრულ ჯგუფს $X$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონში, ალბათობათა ჯამი უნდა იყოს ერთის ტოლი, ანუ $\sum( p_i)=1$.

2. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინიგანსაზღვრავს მის "ცენტრალურ" მნიშვნელობას. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადისთვის, მათემატიკური მოლოდინი გამოითვლება, როგორც $x_1,\dots,\ x_n$ მნიშვნელობების ნამრავლების ჯამი და ამ მნიშვნელობების შესაბამისი $p_1,\dots,\ p_n$ ალბათობები, ე.ი.: $M\მარცხენა(X\მარჯვნივ)=\ჯამობა ^n_(i=1)(p_ix_i)$. ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება სხვა აღნიშვნა $E\left(X\right)$.

მოლოდინის თვისებები$M\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

1. $M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს და უდიდეს მნიშვნელობებს შორის.
2. მუდმივის მათემატიკური მოლოდინი ტოლია თავად მუდმივის, ე.ი. $M\left(C\right)=C$.
3. მუდმივი ფაქტორი შეიძლება ამოღებულ იქნას მოლოდინის ნიშნიდან: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. შემთხვევითი ცვლადების ჯამის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ჯამს: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ნამრავლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მათი მათემატიკური მოლოდინების ნამრავლს: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

მაგალითი 3 . მოდი ვიპოვოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი მაგალითიდან $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6)) +6\cdot ((1 )\ მეტი (6))=3.5.$$

ჩვენ შეგვიძლია შევამჩნიოთ, რომ $M\left(X\right)$ არის $X$ შემთხვევითი ცვლადის უმცირეს ($1$) და უდიდეს ($6$) მნიშვნელობებს შორის.

მაგალითი 4 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=2$. იპოვეთ $3X+5$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

მაგალითი 5 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის $M\left(X\right)=4$. იპოვეთ $2X-9$ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით მივიღებთ $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია.

შემთხვევითი ცვლადების შესაძლო მნიშვნელობები თანაბარი მათემატიკური მოლოდინებით შეიძლება განსხვავებულად გაიფანტოს მათი საშუალო მნიშვნელობების გარშემო. მაგალითად, ორ სტუდენტურ ჯგუფში ალბათობის თეორიის გამოცდის საშუალო ქულა აღმოჩნდა 4, მაგრამ ერთ ჯგუფში ყველა კარგი მოსწავლე აღმოჩნდა, მეორე ჯგუფში კი მხოლოდ C და წარჩინებული სტუდენტები. აქედან გამომდინარე, საჭიროა შემთხვევითი ცვლადის ისეთი რიცხვითი მახასიათებელი, რომელიც აჩვენებს შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობების გავრცელებას მისი მათემატიკური მოლოდინის გარშემო. ეს მახასიათებელია დისპერსიულობა.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია$X$ არის:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\მარჯვნივ))^2).\ $$

ინგლისურ ლიტერატურაში გამოიყენება აღნიშვნა $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. ძალიან ხშირად, $D\left(X\right)$ დისპერსია გამოითვლება ფორმულით $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) მარცხენა(X \მარჯვნივ)\მარჯვნივ))^2$.

დისპერსიული თვისებები$D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)$:

1. დისპერსია ყოველთვის მეტია ან ტოლია ნულის, ე.ი. $D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)\ge 0$.
2. მუდმივიდან დისპერსია ნულის ტოლია, ე.ი. $D\მარცხნივ(C\მარჯვნივ)=0$.
3. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნეს დისპერსიის ნიშნიდან, იმ პირობით, რომ ის კვადრატშია, ე.ი. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\მარჯვნივ)$.
4. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების ჯამის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X+Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.
5. დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების სხვაობის დისპერსია უდრის მათი ვარიაციების ჯამს, ე.ი. $D\left(X-Y\right)=D\მარცხნივ(X\მარჯვნივ)+D\მარცხნივ(Y\მარჯვნივ)$.

მაგალითი 6 . მოდით გამოვთვალოთ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია მაგალითიდან $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\მარჯვნივ))^2)=(1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(1-3,5\მარჯვნივ))^2+((1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(2-3,5\მარჯვნივ))^2+ \წერტილები +((1)\ზედა (6))\cdot (\ მარცხნივ(6-3,5\მარჯვნივ))^2=((35)\ზედ (12))\დაახლოებით 2,92.$$

მაგალითი 7 . ცნობილია, რომ $X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=2$. იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის $4X+1$.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=16\cdot 2=32$.

მაგალითი 8 . ცნობილია, რომ $X$-ის დისპერსია უდრის $D\left(X\right)=3$. იპოვეთ $3-2X$ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიული.

ზემოაღნიშნული თვისებების გამოყენებით, ჩვენ ვიპოვით $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ მარცხენა(X\მარჯვნივ)=4\cdot 3=12$.

4. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერიის სახით წარმოდგენის მეთოდი არ არის ერთადერთი და რაც მთავარია, ის არ არის უნივერსალური, რადგან უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დაზუსტება განაწილების სერიის გამოყენებით შეუძლებელია. არსებობს შემთხვევითი ცვლადის წარმოდგენის კიდევ ერთი გზა - განაწილების ფუნქცია.

განაწილების ფუნქციაშემთხვევითი ცვლადი $X$ არის ფუნქცია $F\left(x\right)$, რომელიც განსაზღვრავს ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ მიიღოს ნაკლები მნიშვნელობა, ვიდრე ფიქსირებული $x$, ანუ $F\left(x\). მარჯვნივ)$ )=P\მარცხნივ(X< x\right)$

განაწილების ფუნქციის თვისებები:

1. $0\le F\მარცხნივ(x\მარჯვნივ)\le 1$.
2. ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადი $X$ იღებს მნიშვნელობებს $\left(\alpha ;\\beta \right)$ ინტერვალიდან, უდრის სხვაობას ამ ინტერვალის ბოლოებში განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის. : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - არ კლებულობს.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x \მარჯვნივ)=1\ )$.

მაგალითი 9 . მოდით ვიპოვოთ განაწილების ფუნქცია $F\left(x\right)$ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონისთვის $X$ მაგალითიდან $2$.

$\begin(მასივი)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\ბოლო (მასივი)$

თუ $x\le 1$, მაშინ აშკარად $F\left(x\right)=0$ (მათ შორის $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

თუ $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

თუ $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

თუ $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

თუ $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

თუ $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

თუ $x > 6$ მაშინ $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\მარჯვნივ)+P\left(X=3\მარჯვნივ) + P\მარცხენა(X=4\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=5\მარჯვნივ)+P\მარცხნივ(X=6\მარჯვნივ)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.

ასე რომ, $F(x)=\მარცხნივ\(\დაწყება(მატრიცა)
0,\ at\ x\le 1, \\
1/6, \ 1-ზე< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, \ 3-ზე< x\le 4,\\
2/3,\ at\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ ზე \ 4< x\le 5,\\
1, \ x > 6-ისთვის.
\end(მატრიცა)\right.$

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები თემაზე „შემთხვევითი ცვლადები“.

დავალება 1 . ლატარიაში 100 ბილეთია გაცემული. ითამაშა ერთი მოგება 50 აშშ დოლარი. და ათი მოგება თითო $10. იპოვეთ X მნიშვნელობის განაწილების კანონი - შესაძლო მოგების ღირებულება.

გადაწყვეტილება. X-ის შესაძლო მნიშვნელობები: x 1 = 0; x 2 = 10 და x 3 = 50. ვინაიდან 89 „ცარიელი“ ბილეთია, მაშინ გვ 1 = 0.89, გამარჯვების ალბათობაა 10 ც. (10 ბილეთი) – გვ 2 = 0.10 და 50 ც.უ. გამარჯვებისთვის. -გვ 3 = 0.01. ამრიგად:

	0,89	0,10	0,01

მარტივი კონტროლი: .

დავალება 2. ალბათობა იმისა, რომ მყიდველმა წინასწარ გაეცნო პროდუქტის რეკლამას, არის 0,6 (p = 0,6). რეკლამის შერჩევითი ხარისხის კონტროლს ახორციელებს გამოკითხვის მყიდველები პირველზე, ვინც წინასწარ შეისწავლა რეკლამა. გააკეთეთ გამოკითხული მყიდველების რაოდენობის განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება. ამოცანის პირობის მიხედვით p = 0.6. მდებარეობა: q=1 -გვ = 0.4. ამ მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ:და შექმენით განაწილების სერია:

პი		0,24

დავალება 3. კომპიუტერი შედგება სამი დამოუკიდებლად მოქმედი ელემენტისგან: სისტემის ერთეული, მონიტორი და კლავიატურა. ძაბვის ერთი მკვეთრი მატებით, თითოეული ელემენტის უკმარისობის ალბათობა არის 0.1. ბერნულის განაწილების საფუძველზე შეადგინეთ განაწილების კანონი ქსელში დენის მატების დროს წარუმატებელი ელემენტების რაოდენობისთვის.

გადაწყვეტილება. განიხილეთ ბერნულის განაწილება(ან ბინომი): ალბათობა იმისა, რომ inნ ტესტები, მოვლენა A გამოჩნდება ზუსტადკ ერთხელ: , ან:

	ქ ნ					გვ ნ

AT დავუბრუნდეთ დავალებას.

X-ის შესაძლო მნიშვნელობები (ჩავარდნების რაოდენობა):

x 0 =0 - არცერთი ელემენტი არ ჩავარდა;

x 1 =1 - ერთი ელემენტის უკმარისობა;

x 2 =2 - ორი ელემენტის უკმარისობა;

x 3 =3 - ყველა ელემენტის უკმარისობა.

ვინაიდან, პირობით, p = 0.1, მაშინ q = 1 - p = 0.9. ბერნულის ფორმულის გამოყენებით ვიღებთ

, ,

, .

Კონტროლი: .

ამიტომ, სასურველი განაწილების კანონი:

	0,729	0,243	0,027	0,001

დავალება 4. დამზადდა 5000 ცალი. ალბათობა იმისა, რომ ერთი ვაზნა დეფექტურია . რა არის ალბათობა იმისა, რომ მთელ პარტიაში იქნება ზუსტად 3 დეფექტური ვაზნა?

გადაწყვეტილება. გამოიყენება პუასონის განაწილება: ეს განაწილება გამოიყენება იმის დასადგენად, რომ ალბათობა ძალიან დიდია

ცდების რაოდენობა (მასობრივი ცდები), რომელთაგან თითოეულში A მოვლენის ალბათობა ძალიან მცირეა, მოვლენა A მოხდება k-ჯერ: , სადაც .

აქ n \u003d 5000, p \u003d 0.0002, k \u003d 3. ჩვენ ვპოულობთ , შემდეგ სასურველ ალბათობას: .

დავალება 5. პირველ დარტყმამდე სროლისას დარტყმის ალბათობით პ = 0.6 გასროლისთვის, თქვენ უნდა იპოვოთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გადაწყვეტილება. გამოვიყენოთ გეომეტრიული განაწილება: ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომლებშიც A მოვლენას აქვს p დადგომის ალბათობა (და არ მომხდარა q = 1 - p). ცდები მთავრდება A მოვლენის დადგომისთანავე.

ასეთ პირობებში, ალბათობა იმისა, რომ A მოვლენა მოხდეს k-ე ტესტზე, განისაზღვრება ფორმულით: . აქ p = 0.6; q \u003d 1 - 0.6 \u003d 0.4; k \u003d 3. ამიტომ, .

დავალება 6. მოცემული იყოს X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონი:

იპოვნეთ მათემატიკური მოლოდინი.

გადაწყვეტილება. .

გაითვალისწინეთ, რომ მათემატიკური მოლოდინის ალბათური მნიშვნელობა არის შემთხვევითი ცვლადის საშუალო მნიშვნელობა.

დავალება 7. იპოვეთ X შემთხვევითი ცვლადის ვარიაცია შემდეგი განაწილების კანონით:

გადაწყვეტილება. Აქ .

X-ის კვადრატის განაწილების კანონი 2 :

X 2

საჭირო ვარიაცია: .

დისპერსია ახასიათებს შემთხვევითი ცვლადის გადახრის (გაფანტვის) ხარისხს მისი მათემატიკური მოლოდინისგან.

დავალება 8. დაე, შემთხვევითი ცვლადი იყოს მოცემული განაწილებით:

			10მ

იპოვეთ მისი რიცხვითი მახასიათებლები.

ამოხსნა: m, m 2 ,

მ 2 , მ.

შემთხვევითი X ცვლადის შესახებ შეიძლება ითქვას ერთიც - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6.4 მ დისპერსიით 13.04 მ. 2 , ან - მისი მათემატიკური მოლოდინი არის 6,4 მ გადახრით მ. მეორე ფორმულირება აშკარად უფრო ნათელია.

დავალება 9. შემთხვევითი მნიშვნელობა X მოცემულია განაწილების ფუნქციით:
.

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად X მნიშვნელობა მიიღებს ინტერვალში მოცემულ მნიშვნელობას .

გადაწყვეტილება. ალბათობა იმისა, რომ X მიიღებს მნიშვნელობას მოცემული ინტერვალიდან, უდრის ამ ინტერვალში ინტეგრალური ფუნქციის ზრდას, ე.ი. . ჩვენს შემთხვევაში და შესაბამისად

.

დავალება 10. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი X განაწილების კანონით მოცემულია:

იპოვნეთ განაწილების ფუნქცია F(x ) და შექმენით მისი გრაფიკი.

გადაწყვეტილება. განაწილების ფუნქციიდან გამომდინარე

ამისთვის , მაშინ

ზე ;

ზე ;

ზე ;

ზე ;

შესაბამისი სქემა:

დავალება 11.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოცემულია დიფერენციალური განაწილების ფუნქციით: .

იპოვნეთ დარტყმის ალბათობა X ინტერვალამდე

გადაწყვეტილება. გაითვალისწინეთ, რომ ეს არის ექსპონენციური განაწილების კანონის განსაკუთრებული შემთხვევა.

მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა: .

დავალება 12. იპოვეთ X დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის რიცხვითი მახასიათებლები, რომლებიც მოცემულია განაწილების კანონით:

	–5
	X 2: x2 . , სადაც არის ლაპლასის ფუნქცია. ამ ფუნქციის მნიშვნელობები ნაპოვნია ცხრილის გამოყენებით. ჩვენს შემთხვევაში: . ცხრილის მიხედვით ვხვდებით:, შესაბამისად:

4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება განისაზღვროს განაწილების ფუნქციის გამოყენებით ფ(x) . დაყენების ეს გზა ერთადერთი არ არის. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი ასევე შეიძლება განისაზღვროს სხვა ფუნქციის გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება განაწილების სიმკვრივე ან ალბათობის სიმკვრივე (ზოგჯერ უწოდებენ დიფერენციალურ ფუნქციას).

განმარტება 4.1: უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე Xდარეკეთ ფუნქციას ვ (x) - განაწილების ფუნქციის პირველი წარმოებული ფ(x) :

ვ ( x ) = ფ "( x ) .

ამ განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ განაწილების ფუნქცია არის განაწილების სიმკვრივის ანტიდერივატი. გაითვალისწინეთ, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების აღსაწერად, განაწილების სიმკვრივე არ გამოიყენება.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა მოცემულ ინტერვალში

განაწილების სიმკვრივის ცოდნა, ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც მიეკუთვნება მოცემულ ინტერვალს.

თეორემა: ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მიიღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს (ა, ბ), უდრის განაწილების სიმკვრივის გარკვეულ ინტეგრალს, აღებული დიაპაზონშიაადრებ :

მტკიცებულება:ჩვენ ვიყენებთ თანაფარდობას

პ(ა ≤ Xბ) = ფ(ბ) – ფ(ა).

ნიუტონ-ლაიბნიცის ფორმულის მიხედვით,

ამრიგად,

.

როგორც პ(ა ≤ X ბ)= პ(ა X ბ) , შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ

.

გეომეტრიულად, შედეგი შეიძლება განიმარტოს შემდეგნაირად: ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (ა, ბ), ტოლია ღერძით შემოსაზღვრული მრუდი ტრაპეციის ფართობისოქსი, განაწილების მრუდივ(x) და პირდაპირიx = ადაx = ბ.

კომენტარი:კერძოდ, თუ ვ(x) არის ლუწი ფუნქცია და ინტერვალის ბოლოები სიმეტრიულია საწყისის მიმართ, მაშინ

.

მაგალითი.შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის გათვალისწინებით X

იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს (0.5; 1).

გადაწყვეტილება:სასურველი ალბათობა

.

განაწილების ფუნქციის პოვნა ცნობილი განაწილების სიმკვრივიდან

განაწილების სიმკვრივის ცოდნა ვ(x) , ჩვენ შეგვიძლია ვიპოვოთ განაწილების ფუნქცია ფ(x) ფორმულის მიხედვით

.

მართლაც, ფ(x) = პ(X x) = პ(-∞ X x) .

აქედან გამომდინარე,

.

ამრიგად, განაწილების სიმკვრივის ცოდნა, შეგიძლიათ იპოვოთ განაწილების ფუნქცია. რა თქმა უნდა, ცნობილი განაწილების ფუნქციიდან შეიძლება ვიპოვოთ განაწილების სიმკვრივე, კერძოდ:

ვ(x) = ფ"(x).

მაგალითი.იპოვეთ განაწილების ფუნქცია მოცემული განაწილების სიმკვრივისთვის:

გადაწყვეტილება:მოდით გამოვიყენოთ ფორმულა

Თუ x ≤ ა, მაშინ ვ(x) = 0 , შესაბამისად, ფ(x) = 0 . Თუ ა, მაშინ f(x) = 1/(b-a),

აქედან გამომდინარე,

.

Თუ x > ბ, მაშინ

.

ასე რომ, სასურველი განაწილების ფუნქცია

კომენტარი:ჩვენ მივიღეთ თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია (იხ. ერთგვაროვანი განაწილება).

განაწილების სიმკვრივის თვისებები

საკუთრება 1:განაწილების სიმკვრივე არის არაუარყოფითი ფუნქცია:

ვ ( x ) ≥ 0 .

საკუთრება 2:-∞-დან ∞-მდე განაწილების სიმკვრივის არასწორი ინტეგრალი უდრის ერთს:

.

კომენტარი:განაწილების სიმკვრივის ნაკვეთი ე.წ განაწილების მრუდი.

კომენტარი:უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს ასევე უწოდებენ განაწილების კანონს.

მაგალითი.შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივეს აქვს შემდეგი ფორმა:

იპოვნეთ მუდმივი პარამეტრი ა.

გადაწყვეტილება:განაწილების სიმკვრივე უნდა აკმაყოფილებდეს პირობას, ამიტომ ჩვენ ვითხოვთ ტოლობას

.

აქედან
. ვიპოვოთ განუსაზღვრელი ინტეგრალი:

.

ჩვენ ვიანგარიშებთ არასწორ ინტეგრალს:

ამრიგად, საჭირო პარამეტრი

.

განაწილების სიმკვრივის სავარაუდო მნიშვნელობა

დაე იყოს ფ(x) არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X. განაწილების სიმკვრივის განმარტებით, ვ(x) = ფ"(x) , ან

განსხვავება ფ(x+∆х) -ფ(x) განსაზღვრავს იმის ალბათობას, რომ Xმიიღებს ინტერვალის კუთვნილ მნიშვნელობას (x, x+∆х). ამრიგად, ალბათობის შეფარდების ზღვარი, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი იღებს ინტერვალს მიკუთვნებულ მნიშვნელობას (x, x+∆х), ამ ინტერვალის სიგრძემდე (at ∆х→0) უდრის წერტილში განაწილების სიმკვრივის მნიშვნელობას X.

ასე რომ ფუნქცია ვ(x) განსაზღვრავს ალბათობის განაწილების სიმკვრივეს თითოეული წერტილისთვის X. დიფერენციალური გამოთვლებიდან ცნობილია, რომ ფუნქციის ზრდა დაახლოებით უდრის ფუნქციის დიფერენციალს, ე.ი.

როგორც ფ"(x) = ვ(x) და dx = ∆ x, მაშინ ფ(x+∆ x) - ფ(x) ≈ ვ(x)∆ x.

ამ თანასწორობის სავარაუდო მნიშვნელობა ასეთია: ალბათობა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (x, x+∆ x) , დაახლოებით უდრის x წერტილში ალბათობის სიმკვრივის ნამრავლს და ∆х ინტერვალის სიგრძეს.

გეომეტრიულად, ეს შედეგი შეიძლება განიმარტოს როგორც: ალბათობა, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს (x, x+∆ x), დაახლოებით ტოლია მართკუთხედის ფართობი ფუძით ∆х და სიმაღლევ(x).

5. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების ტიპიური განაწილება

5.1. ბერნულის განაწილება

განმარტება 5.1: შემთხვევითი მნიშვნელობა X, რომელიც იღებს ორ მნიშვნელობას 1 და 0 ალბათობით ("წარმატება") გვდა ("მარცხი") ქ, ეწოდება ბერნული:

, სადაც კ=0,1.

5.2. ბინომალური განაწილება

დაე, წარმოიქმნას ნ დამოუკიდებელი სასამართლო პროცესები, რომელთაგან თითოეულში არის მოვლენა აშეიძლება გამოჩნდეს ან არ გამოჩნდეს. ყველა ცდაში მოვლენის დადგომის ალბათობა მუდმივი და ტოლია გვ(აქედან გამომდინარე გამოუცხადებლობის ალბათობა ქ = 1 - გვ).

განვიხილოთ შემთხვევითი ცვლადი X- მოვლენის შემთხვევების რაოდენობა აამ ტესტებში. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xიღებს ღირებულებებს 0,1,2,… ნბერნულის ფორმულით გამოთვლილი ალბათობებით: , სად კ = 0,1,2,… ნ.

განმარტება 5.2: ბინომიალურიეწოდება ბერნულის ფორმულით განსაზღვრული ალბათობის განაწილება.

მაგალითი.სამი გასროლა ისვრება მიზანში და ყოველი გასროლის ალბათობა არის 0,8. ჩვენ განვიხილავთ შემთხვევით ცვლადს X- მიზანზე დარტყმების რაოდენობა. იპოვეთ მისი განაწილების სერია.

გადაწყვეტილება:შემთხვევითი მნიშვნელობა Xიღებს ღირებულებებს 0,1,2,3 ბერნულის ფორმულით გამოთვლილი ალბათობებით, სადაც ნ = 3, გვ = 0,8 (დარტყმის ალბათობა), ქ = 1 - 0,8 = = 0,2 (დაკარგვის ალბათობა).

ამრიგად, განაწილების სერიას აქვს შემდეგი ფორმა:

გამოიყენეთ ბერნულის ფორმულა დიდი მნიშვნელობებისთვის ნსაკმაოდ რთულია, შესაბამისად, შესაბამისი ალბათობების გამოთვლა, გამოიყენება ლაპლასის ადგილობრივი თეორემა, რომელიც საშუალებას იძლევა დაახლოებით იპოვოთ მოვლენის ზუსტად დადგომის ალბათობა. კერთხელ ნცდები, თუ ცდების რაოდენობა საკმარისად დიდია.

ლოკალური ლაპლასის თეორემა: თუ ალბათობა გვმოვლენის დადგომა ა
რომ მოვლენა ა გამოჩნდება ნტესტები ზუსტად კჯერ, დაახლოებით თანაბარი (რაც უფრო ზუსტია, მით მეტი ნ) ფუნქციის მნიშვნელობა
, სადაც
, .

შენიშვნა 1:ფუნქციის მნიშვნელობების შემცველი ცხრილები
, მოცემულია დანართ 1-ში და
. ფუნქცია არის სტანდარტული ნორმალური განაწილების სიმკვრივე (იხ. ნორმალური განაწილება).

მაგალითი:იპოვნეთ მოვლენის ალბათობა ა მოდის ზუსტად 80 ერთხელ 400 ცდები თუ ამ მოვლენის დადგომის ალბათობა თითოეულ ცდაში უდრის 0,2.

გადაწყვეტილება:პირობით ნ = 400, კ = 80, გვ = 0,2 , ქ = 0,8 . მოდით გამოვთვალოთ პრობლემის მონაცემებით განსაზღვრული მნიშვნელობა x:
. დანართ 1-ის ცხრილის მიხედვით ვხვდებით
. მაშინ სასურველი ალბათობა იქნება:

თუ გსურთ გამოთვალოთ მოვლენის ალბათობა აგამოჩნდება ნტესტები მაინც კ 1 ერთხელ და მეტი არა კ 2 ჯერ, მაშინ თქვენ უნდა გამოიყენოთ ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა:

ლაპლასის ინტეგრალური თეორემა: თუ ალბათობა გვმოვლენის დადგომა ათითოეულ ტესტში არის მუდმივი და განსხვავდება ნულიდან და ერთიდან, შემდეგ ალბათობა რომ მოვლენა ა გამოჩნდება ნტესტები საწყისი კ 1 ადრე კ 2 ჯერ, დაახლოებით ტოლია განსაზღვრული ინტეგრალის

, სადაც
და
.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენის ალბათობა ა გამოჩნდება ნტესტები საწყისი კ 1 ადრე კ 2 ჯერ, დაახლოებით ტოლი

სადაც
, და .

შენიშვნა 2:ფუნქცია
ლაპლასის ფუნქციას უწოდებენ (იხ. ნორმალური განაწილება). ფუნქციის მნიშვნელობების შემცველი ცხრილები , მოცემულია დანართ 2-ში და
.

მაგალითი:იპოვეთ ალბათობა, რომ შორის 400 შემთხვევით შერჩეული ნაწილების მოხსნა მოხდება 70-დან 100 ნაწილამდე, თუ ალბათობა იმისა, რომ ნაწილმა არ გაიარა QCD შემოწმება უდრის 0,2.

გადაწყვეტილება:პირობით ნ = 400, გვ = 0,2 , ქ = 0,8, კ 1 = 70, კ 2 = 100 . მოდით გამოვთვალოთ ინტეგრაციის ქვედა და ზედა ზღვარი:

;
.

ამრიგად, ჩვენ გვაქვს:

დანართ 2-ის ცხრილის მიხედვით ვხვდებით, რომ
და
. მაშინ საჭირო ალბათობაა:

შენიშვნა 3:დამოუკიდებელი ცდების სერიაში (როდესაც n დიდია, p არის პატარა), პუასონის ფორმულა გამოიყენება ზუსტად k-ჯერ მოვლენის დადგომის ალბათობის გამოსათვლელად (იხ. პუასონის განაწილება).

5.3. პუასონის განაწილება

განმარტება 5.3: დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება შხამი,თუ მის განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

, სადაც
და
(მუდმივი ღირებულება).

პუასონის შემთხვევითი ცვლადების მაგალითები:

ავტომატურ სადგურზე ზარების რაოდენობა დროის ინტერვალში თ.

გარკვეული რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლის ნაწილაკების რაოდენობა გარკვეული პერიოდის განმავლობაში თ.

ტელევიზორების რაოდენობა, რომლებიც შედიან სახელოსნოში გარკვეული პერიოდის განმავლობაში თდიდ ქალაქში .

მანქანების რაოდენობა, რომლებიც ჩამოვლენ დიდ ქალაქში გადაკვეთის გაჩერებაზე .

შენიშვნა 1:ამ ალბათობების გამოსათვლელად სპეციალური ცხრილები მოცემულია მე-3 დანართში.

შენიშვნა 2:დამოუკიდებელი ცდების სერიაში (როდესაც ნდიდი, გვმცირე) მოვლენის დადგომის ალბათობის ზუსტად გამოთვლა კპუასონის ფორმულის გამოყენების შემდეგ:
, სადაც
, ანუ მოვლენების შემთხვევების საშუალო რაოდენობა უცვლელი რჩება.

შენიშვნა 3:თუ არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ნაწილდება პუასონის კანონის მიხედვით, მაშინ აუცილებლად არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც ნაწილდება ექსპონენციალური კანონის მიხედვით და პირიქით (იხ. ექსპონენციალური განაწილება).

მაგალითი.ქარხანა გაგზავნილია ბაზაზე 5000 კარგი ხარისხის პროდუქცია. ტრანზიტის დროს პროდუქტის დაზიანების ალბათობა ტოლია 0,0002 . იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ ზუსტად სამი გამოუყენებელი ელემენტი მივიდეს ბაზაზე.

გადაწყვეტილება:პირობით ნ = 5000, გვ = 0,0002, კ = 3. მოდი ვიპოვოთ λ: λ = np= 5000 0.0002 = 1.

პუასონის ფორმულის მიხედვით, სასურველი ალბათობა უდრის:

, სადაც შემთხვევითი ცვლადი X- დეფექტური პროდუქტების რაოდენობა.

5.4. გეომეტრიული განაწილება

მოდით ჩატარდეს დამოუკიდებელი ცდები, რომელთაგან თითოეულში არის მოვლენის დადგომის ალბათობა მაგრამუდრის გვ(0 გვ

ქ = 1 - გვ. სასამართლო პროცესი მთავრდება მოვლენის გამოჩენისთანავე მაგრამ. ამრიგად, თუ მოვლენა მაგრამგამოჩნდა კ-ე ტესტი, შემდეგ წინა კ – 1 ტესტებში არ ჩანდა.

აღნიშნეთ მიერ Xდისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი - ცდების რაოდენობა, რომელიც უნდა ჩატარდეს მოვლენის პირველ დადგომამდე მაგრამ. ცხადია, შესაძლო მნიშვნელობები Xარის ნატურალური რიცხვები x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2, ...

დაე პირველი კ-1 სატესტო ღონისძიება მაგრამარ მოვიდა, მაგრამ კგამოჩნდა ტესტი. ამ „რთული მოვლენის“ ალბათობა დამოუკიდებელი მოვლენების ალბათობების გამრავლების თეორემის მიხედვით, პ (X = კ) = ქ კ -1 გვ.

განმარტება 5.4: დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი აქვს გეომეტრიული განაწილებათუ მის განაწილების კანონს აქვს შემდეგი ფორმა:

პ ( X = კ ) = ქ კ -1 გვ , სადაც
.

შენიშვნა 1:ვარაუდით კ = 1,2,… პირველი წევრით ვიღებთ გეომეტრიულ პროგრესიას გვდა მნიშვნელი ქ (0ქ. ამ მიზეზით, განაწილებას გეომეტრიული ეწოდება.

შენიშვნა 2:მწკრივი
იყრის თავს და მისი ჯამი ერთის ტოლია. მართლაც, სერიის ჯამი არის
.

მაგალითი.იარაღი პირველ დარტყმამდე ისვრის სამიზნეს. მიზანში დარტყმის ალბათობა გვ = 0,6 . იპოვეთ ალბათობა, რომ დარტყმა მოხდება მესამე გასროლაზე.

გადაწყვეტილება:პირობით გვ = 0,6, ქ = 1 – 0,6 = 0,4, კ = 3. სასურველი ალბათობა უდრის:

პ (X = 3) = 0,4 2 0,6 = 0,096.

5.5. ჰიპერგეომეტრიული განაწილება

განვიხილოთ შემდეგი პრობლემა. გაუშვით წვეულება ნხელმისაწვდომი პროდუქტები მსტანდარტული (მნ). წვეულებიდან შემთხვევით შერჩეული ნპროდუქტები (თითოეული პროდუქტი შეიძლება ამოღებულ იქნეს იგივე ალბათობით), და შერჩეული პროდუქტი არ უბრუნდება პარტიას შემდეგის არჩევამდე (აქედან გამომდინარე, ბერნულის ფორმულა აქ არ გამოიყენება).

აღნიშნეთ მიერ Xშემთხვევითი ცვლადი - რიცხვი მსტანდარტულ პროდუქტებს შორის ნშერჩეული. შემდეგ შესაძლო მნიშვნელობები Xიქნება 0, 1, 2,…, წთ ; მოდი მივაწეროთ მათ იარლიყი და... onდამოუკიდებელი ცვლადის მნიშვნელობები (Fonds), გამოიყენეთ ღილაკი ( თავი ...

საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი დისციპლინის "ზოგადი ფსიქოლოგიური სემინარი"

სასწავლო და მეთოდოლოგიური კომპლექსი

... მეთოდური ინსტრუქციები onპრაქტიკული სამუშაოს შესრულება 5.1 მეთოდურირეკომენდაციები onსასწავლო პროექტების განხორციელება 5.2 მეთოდურირეკომენდაციები on... მგრძნობელობა), ერთგანზომილებიანიდა მრავალგანზომილებიანი... შემთხვევითიკომპონენტი შიგნით ზომა... თან განყოფილება"Შესრულება...

საგანმანათლებლო და მეთოდური კომპლექსი ფიზიკის დისციპლინაში (სახელი)

სასწავლო და მეთოდოლოგიური კომპლექსი

... სექციებისახელმძღვანელოებში. Პრობლემის გადაჭრა onთითოეული თემა. დამუშავება მეთოდური ინსტრუქციებილაბორატორიული სამუშაოებისთვის on ... შემთხვევითიდა ინსტრუმენტული გაზომვის შეცდომა 1.8 საკონტროლო სამუშაოების საგნები და მეთოდური ინსტრუქციები on... ნაწილაკი შიგნით ერთგანზომილებიანიპოტენციური ხვრელი. ...

ლაბორატორიული მუშაობის სახელმძღვანელო ინფორმატიკის დისციპლინაში

გაიდლაინები

... მეთოდური ინსტრუქციებილაბორატორიული სამუშაოებისკენ on ... სიდიდედა ყველაზე დიდი თანხა რაოდენობები... მასივი შემთხვევითირიცხვები... 3.0 4.0 3.0 -2.5 14.3 16.2 18.0 1.0 ა) ერთგანზომილებიანიმასივი ბ) ორგანზომილებიანი მასივი ნახ. 2– ფაილები... აღწერილია აქ განყოფილებაგანხორციელება შემდეგ...

განაწილების სიმკვრივე ალბათობები Xდარეკეთ ფუნქციას f(x)არის განაწილების ფუნქციის პირველი წარმოებული F(x):

შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივის კონცეფცია Xდისკრეტული რაოდენობისთვის არ გამოიყენება.

ალბათობის სიმკვრივე f(x)დიფერენციალური განაწილების ფუნქციას უწოდებენ:

საკუთრება 1.განაწილების სიმკვრივე არის არაუარყოფითი მნიშვნელობა:

საკუთრება 2.განაწილების სიმკვრივის არასწორი ინტეგრალი დიაპაზონში დან მდე უდრის ერთს:

მაგალითი 1.25.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციის გათვალისწინებით X:

f(x).

გადაწყვეტილება:განაწილების სიმკვრივე უდრის განაწილების ფუნქციის პირველ წარმოებულს:

1. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X:

იპოვეთ განაწილების სიმკვრივე.

2. მოცემულია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია X:

იპოვეთ განაწილების სიმკვრივე f(x).

1.3. უწყვეტი შემთხვევითობის რიცხვითი მახასიათებლები

რაოდენობები

Მოსალოდნელი ღირებულებაუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს ოჰ, განისაზღვრება თანასწორობით:

ვარაუდობენ, რომ ინტეგრალი აბსოლუტურად იყრის თავს.

ა, ბ), შემდეგ:

f(x)არის შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე.

დისპერსია უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს, განისაზღვრება თანასწორობით:

Განსაკუთრებული შემთხვევა. თუ შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობები ეკუთვნის ინტერვალს ( ა, ბ), შემდეგ:

იმის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც მიეკუთვნება ინტერვალს ( ა, ბ), განისაზღვრება თანასწორობით:

.

მაგალითი 1.26.უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X

იპოვეთ მათემატიკური მოლოდინი, განსხვავება და შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (0; 0.7).

გადაწყვეტილება:შემთხვევითი ცვლადი ნაწილდება ინტერვალზე (0,1). მოდით განვსაზღვროთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე X:

ა) მათემატიკური მოლოდინი :

ბ) დისპერსია

in)

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. შემთხვევითი ცვლადი Xმოცემულია განაწილების ფუნქციით:

M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

Xინტერვალში (2,3).

2. შემთხვევითი მნიშვნელობა X

იპოვეთ: ა) მათემატიკური მოლოდინი M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

გ) დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში (1; 1.5).

3. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემულია ინტეგრალური განაწილების ფუნქციით:

იპოვეთ: ა) მათემატიკური მოლოდინი M(x);

ბ) დისპერსიას D(x);

გ) დაადგინეთ შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალში.

1.4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების კანონები

1.4.1. ერთგვაროვანი განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xაქვს ერთიანი განაწილება ინტერვალზე [ ა, ბ], თუ ამ სეგმენტზე შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე მუდმივია, მის გარეთ კი ნულის ტოლია, ე.ი.

ბრინჯი. 4.

; ; .

მაგალითი 1.27.ზოგიერთი მარშრუტის ავტობუსი ერთნაირად მოძრაობს 5 წუთის ინტერვალით. იპოვეთ ალბათობა, რომ თანაბრად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადი X– ავტობუსის ლოდინის დრო 3 წუთზე ნაკლები იქნება.

გადაწყვეტილება:შემთხვევითი მნიშვნელობა X- თანაბრად ნაწილდება ინტერვალზე.

ალბათობის სიმკვრივე: .

იმისათვის, რომ ლოდინის დრო არ აღემატებოდეს 3 წუთს, მგზავრი ავტობუსის გაჩერებაზე უნდა მივიდეს წინა ავტობუსის გასვლიდან 2-დან 5 წუთამდე, ე.ი. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xუნდა მოხვდეს ინტერვალში (2;5). რომ. სასურველი ალბათობა:

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. ა) იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xთანაბრად განაწილებული ინტერვალში (2; 8);

ბ) იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის დისპერსიისა და სტანდარტული გადახრა X,თანაბრად ნაწილდება ინტერვალში (2;8).

2. ელექტრული საათის წუთების ისარი ყოველი წუთის ბოლოს ხტება. იპოვეთ ალბათობა, რომ მოცემულ მომენტში საათი აჩვენებს დროს, რომელიც განსხვავდება ნამდვილი დროისგან არაუმეტეს 20 წამით.

1.4.2. ექსპონენციალური (ექსპონენციალური) განაწილება

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი Xექსპონენტურად ნაწილდება, თუ მისი ალბათობის სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

სადაც არის ექსპონენციალური განაწილების პარამეტრი.

ამგვარად

ბრინჯი. 5.

რიცხვითი მახასიათებლები:

მაგალითი 1.28.შემთხვევითი მნიშვნელობა X- ნათურის მუშაობის დრო - აქვს ექსპონენციალური განაწილება. დაადგინეთ ალბათობა იმისა, რომ ნათურა იმუშავებს მინიმუმ 600 საათი, თუ ნათურის საშუალო ხანგრძლივობაა 400 საათი.

გადაწყვეტილება:პრობლემის პირობის მიხედვით, შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი Xუდრის 400 საათს, ასე რომ:

;

სასურველი ალბათობა, სად

საბოლოოდ:

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. დაწერეთ ექსპონენციალური კანონის სიმკვრივისა და განაწილების ფუნქცია, თუ პარამეტრი .

2. შემთხვევითი მნიშვნელობა X

იპოვეთ სიდიდის მათემატიკური მოლოდინი და განსხვავება X.

3. შემთხვევითი მნიშვნელობა Xმოცემული ალბათობის განაწილების ფუნქციით:

იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა.

1.4.3. Ნორმალური დისტრიბუცია

ნორმალურიეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილება X, რომლის სიმკვრივეს აქვს ფორმა:

სადაც ა– მათემატიკური მოლოდინი, – სტანდარტული გადახრა X.

იმის ალბათობა Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც ეკუთვნის ინტერვალს:

, სად

არის ლაპლასის ფუნქცია.

განაწილება, რომელსაც აქვს; , ე.ი. ალბათობის სიმკვრივით სტანდარტი ეწოდება.

ბრინჯი. 6.

ალბათობა იმისა, რომ გადახრის აბსოლუტური მნიშვნელობა ნაკლებია დადებით რიცხვზე:

.

კერძოდ, როცა a= 0 ტოლობა მართალია:

მაგალითი 1.29.შემთხვევითი მნიშვნელობა Xგანაწილებულია ნორმალურად. Სტანდარტული გადახრა . იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ შემთხვევითი ცვლადის გადახრა მისი მათემატიკური მოლოდინიდან აბსოლუტური მნიშვნელობით იქნება 0,3-ზე ნაკლები.

გადაწყვეტილება: .

ამოცანები დამოუკიდებელი მუშაობისთვის:

1. დაწერეთ შემთხვევითი ცვლადის ნორმალური განაწილების ალბათობის სიმკვრივე X, ამის ცოდნა M(x)= 3, D(x)= 16.

2. ნორმალურად განაწილებული შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი და სტანდარტული გადახრა Xარის შესაბამისად 20 და 5. იპოვეთ ალბათობა, რომ ტესტის შედეგად Xმიიღებს მნიშვნელობას, რომელიც შეიცავს ინტერვალს (15;20).

3. შემთხვევითი გაზომვის შეცდომები ექვემდებარება ნორმალურ კანონს სტანდარტული გადახრით mm და მათემატიკური მოლოდინი a= 0. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ 3 დამოუკიდებელი გაზომვიდან ერთის ცდომილება აბსოლუტურ მნიშვნელობაში არ აღემატებოდეს 4 მმ-ს.

4. ზოგიერთი ნივთიერება იწონება სისტემატური შეცდომების გარეშე. შემთხვევითი აწონვის შეცდომები ექვემდებარება ნორმალურ კანონს სტანდარტული გადახრით r. იპოვეთ ალბათობა იმისა, რომ აწონვა განხორციელდება შეცდომით, რომელიც არ აღემატება 10 გ აბსოლუტურ მნიშვნელობას.