ახლა განვიხილოთ კვადრატული განტოლება

სადაც უცნობი სიდიდეა, არის განტოლების პარამეტრები (კოეფიციენტები).

პარამეტრის კრიტიკული მნიშვნელობები უნდა შეიცავდეს, პირველ რიგში, მნიშვნელობას პარამეტრის მითითებულ მნიშვნელობაზე, განტოლება (1) იღებს ფორმას.

ამიტომ განტოლების რიგი მცირდება ერთით. განტოლება (2) არის წრფივი განტოლება და მისი ამოხსნის მეთოდი ადრე იყო განხილული.

სხვა კრიტიკული მნიშვნელობებისთვის, პარამეტრები განისაზღვრება განტოლების დისკრიმინანტით. ცნობილია, რომ ზე , განტოლებას (1) არ აქვს ფესვები; რადგან მას აქვს ერთი ფესვი განტოლებისთვის (1) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი და

ერთი). იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა, რომლისთვისაც არის კვადრატული განტოლება

ა) აქვს ორი განსხვავებული ფესვი;

ბ) არ აქვს ფესვები;

გ) აქვს ორი თანაბარი ფესვი.

გადაწყვეტილება.ეს განტოლება პირობითად კვადრატულია და ამიტომ განვიხილოთ ამ განტოლების დისკრიმინანტი

როდესაც განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს, იმიტომ

როცა განტოლებას ფესვები არ აქვს, იმიტომ ამ კვადრატულ განტოლებას არ შეიძლება ჰქონდეს ორი თანაბარი ფესვი, რადგან ამისთვის და ეს ეწინააღმდეგება პრობლემის მდგომარეობას.

პასუხი: როცა განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს.

როდესაც განტოლებას ფესვები არ აქვს.

2) ამოხსენით განტოლება. პარამეტრის თითოეული დასაშვები მნიშვნელობისთვის ამოხსენით განტოლება

გადაწყვეტილება.ჯერ განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც

(ამ შემთხვევაში, თავდაპირველი განტოლება ხდება წრფივი განტოლება). ამრიგად, პარამეტრის მნიშვნელობა და მისი კრიტიკული მნიშვნელობებია. ნათელია, რომ ამ განტოლების ფესვი არის და , მისი ფესვი არის

თუ იმათ. და მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული. მოდი ვიპოვოთ მისი განმასხვავებელი ნიშანი:

ყველა მნიშვნელობისთვის, დისკრიმინანტი იღებს არაუარყოფით მნიშვნელობებს და ის ქრება (პარამეტრის ეს მნიშვნელობები ასევე მისი კრიტიკული მნიშვნელობებია).

ამიტომ, თუ მაშინ ამ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი

ამ შემთხვევაში, პარამეტრის მნიშვნელობა შეესაბამება ფესვს

და მნიშვნელობა შეესაბამება ფესვს

თუ მაშინ განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს. მოდი ვიპოვოთ ეს ფესვები.

უპასუხე.თუ მაშინ თუ მაშინ თუ მაშინ

თუ მაშინ, .

3) ამოხსენით განტოლება. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე ააქვს განტოლებას უნიკალური ამონახსნი?

გადაწყვეტილება.ეს განტოლება სისტემის ტოლფასია

კვადრატული განტოლების არსებობა და ამოხსნის უნიკალურობის პირობა, ბუნებრივია, გამოიწვევს დისკრიმინანტის ფესვების ძიებას. თუმცა, მდგომარეობა x ≠ -3 უნდა მიიპყრო ყურადღება. და "დახვეწილი წერტილი" არის ის, რომ სისტემის კვადრატულ განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ორი ფესვი! მაგრამ მხოლოდ ერთი მათგანი უნდა იყოს -3-ის ტოლი. Ჩვენ გვაქვს

D= ა 2 - 4, შესაბამისად D = 0 თუ ა= ±2; x \u003d -3 - განტოლების ფესვი x 2 - ა x +1 = 0 at

ა= -10/3 და ამ მნიშვნელობით აკვადრატული განტოლების მეორე ფესვი განსხვავებულია

უპასუხე. ა= ±2 ან ა = -10/3.

4) ამოხსენით განტოლება. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება

(ა- 2)x 2 + (4 - 2ა) X+3 = 0 აქვს უნიკალური გადაწყვეტა?

გადაწყვეტილება.გასაგებია, რომ საქმით დაწყებაა საჭირო ა= 2. მაგრამ ზე a = 2თავდაპირველ განტოლებას საერთოდ არ აქვს ამონახსნები. Თუ a ≠ 2, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და, როგორც ჩანს, პარამეტრის სასურველი მნიშვნელობები არის დისკრიმინანტის ფესვები. თუმცა, დისკრიმინანტი ქრება, როცა a = 2ან a = 5. მას შემდეგ რაც დავადგინეთ a=2მაშინ არ ჯდება

უპასუხე, a = 5.

9) ამოხსენით განტოლება. პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ოჰ 2 - 4X + ა+ 3 = 0 აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

გადაწყვეტილება. ზე ა= 0 განტოლებას აქვს ერთი ფესვი, რომელიც არ აკმაყოფილებს პირობას. ზე ა≠ 0 თავდაპირველი განტოლება, როგორც კვადრატი, აქვს ორი ფესვი, თუ მისი დისკრიმინანტი არის 16-4. ა 2 – 12ადადებითი. აქედან ვიღებთ -4<ა<1.

თუმცა, შედეგად მიღებული ინტერვალი (-4; 1) მოიცავს რიცხვს 0. უპასუხე. -4<ა<0 или 0<ა<1.

ათი). პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ა(ა+3)X 2 + (2ა+6)X– 3ა– 9 = 0 აქვს ერთზე მეტი ფესვი?

გადაწყვეტილება. სტანდარტული ნაბიჯი - დაიწყეთ საქმეებით ა= 0 და ა= -3. ზე ა= 0 განტოლებას აქვს უნიკალური ამონახსნი. საინტერესოა, რომ ზე ა= -3 განტოლების ამონახსნი არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი. ზე ა≠ -3 და ა≠ 0, ამ განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ a + 3-ზე, მივიღებთ კვადრატულ განტოლებას ოჰ 2 + 2X- 3 = 0, რომლის დისკრიმინანტი არის 4 (1 + Z ა) დადებითია > ⅓-ზე. წინა მაგალითების გამოცდილება გვთავაზობს, რომ ინტერვალიდან

(-⅓ ;∞) თქვენ უნდა გამორიცხოთ წერტილი ა= 0 და არ დაგავიწყდეთ ჩართვა ა = -3.

უპასუხე. ა= -3, ან - ⅓< а < 0, или а > 0.

11).განტოლების ამოხსნა :

გადაწყვეტილება.პირველი, გაითვალისწინეთ, რომ ეს განტოლება უდრის განტოლებას, რომელსაც არ აქვს ამონახსნები. თუ

1. დავალება.
პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აგანტოლება ( ა - 1)x 2 + 2x + ა- 1 = 0 აქვს ზუსტად ერთი ფესვი?

1. გადაწყვეტილება.
ზე ა= 1 განტოლებას აქვს ფორმა 2 x= 0 და აშკარად აქვს ერთი ფესვი x= 0. თუ ა No1, მაშინ ეს განტოლება არის კვადრატული და აქვს ერთი ფესვი იმ პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის, რომლებისთვისაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულის ტოლია. დისკრიმინანტის ნულთან გათანაბრებით, ვიღებთ პარამეტრის განტოლებას ა 4ა 2 - 8ა= 0, საიდანაც ა= 0 ან ა = 2.

1. პასუხი:განტოლებას აქვს ერთი ფესვი ა O(0; 1; 2).

2. დავალება.
იპოვეთ ყველა პარამეტრის მნიშვნელობა ა, რომლის განტოლებას ორი განსხვავებული ფესვი აქვს x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0.
2. გადაწყვეტილება.
განტოლება x 2 +4ნაჯახი+8ა+3 = 0 აქვს ორი განსხვავებული ფესვი თუ და მხოლოდ თუ დ = 16ა 2 -4(8ა+3) > 0. ვიღებთ (4 საერთო კოეფიციენტით შემცირების შემდეგ) 4 ა 2 -8ა-3 > 0, საიდანაც

2. პასუხი:

ა O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) და (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. დავალება.
ცნობილია, რომ
ვ 2 (x) = 6x-x 2 -6.
ა) ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვა ვ 1 (x) ზე ა = 1.
ბ) რა ღირებულებით აფუნქციის გრაფიკები ვ 1 (x) და ვ 2 (x) გაქვთ ერთი საერთო წერტილი?

3. გამოსავალი.
3.ა.მოდით გარდავქმნათ ვ 1 (x) შემდეგნაირად
ამ ფუნქციის გრაფიკი ა= 1 ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.
3.ბ.ჩვენ დაუყოვნებლივ აღვნიშნავთ, რომ ფუნქციის გრაფიკები წ = kx+ბდა წ = ნაჯახი 2 +bx+გ (ა No 0) იკვეთება ერთ წერტილში თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ კვადრატული განტოლება kx+ბ = ნაჯახი 2 +bx+გაქვს ერთი ფესვი. ხედის გამოყენება ვ 1 of 3.ა, ვაიგივებთ განტოლების დისკრიმინანტს ა = 6x-x 2-6 ნულამდე. 36-24-4 განტოლებიდან ა= 0 ვიღებთ ა= 3. იგივეს გაკეთება მე-2 განტოლებით x-ა = 6x-x 2 -6 პოვნა ა= 2. ადვილია იმის შემოწმება, რომ ეს პარამეტრის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს პრობლემის პირობებს. პასუხი: ა= 2 ან ა = 3.

4. დავალება.
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლის მიხედვითაც უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე x 2 -2ნაჯახი-3ა i 0 შეიცავს სეგმენტს.

4. გამოსავალი.
პარაბოლის წვეროს პირველი კოორდინატი ვ(x) = x 2 -2ნაჯახი-3აუდრის x 0 = ა. კვადრატული ფუნქციის თვისებებიდან მდგომარეობა ვ(x) i 0 ინტერვალზე უდრის სამი სისტემის მთლიანობას
აქვს ზუსტად ორი გამოსავალი?

5. გადაწყვეტილება.
მოდით გადავიწეროთ ეს განტოლება ფორმაში x 2 + (2ა-2)x - 3ა+7 = 0. ეს არის კვადრატული განტოლება, მას აქვს ზუსტად ორი ამონახსნი, თუ მისი დისკრიმინანტი მკაცრად მეტია ნულზე. დისკრიმინანტის გამოთვლით მივიღებთ, რომ ზუსტად ორი ფესვის არსებობის პირობა არის უტოლობის შესრულება. ა 2 +ა-6 > 0. უტოლობის ამოხსნა ვპოულობთ ა < -3 или ა> 2. ცხადია, უტოლობებიდან პირველს არ აქვს ამონახსნები ნატურალურ რიცხვებში, ხოლო მეორის უმცირესი ნატურალური ამონახსნები არის რიცხვი 3.

5. პასუხი: 3.

6. ამოცანა (10 უჯრედი)
იპოვნეთ ყველა მნიშვნელობა ა, რომლისთვისაც ფუნქციის გრაფიკი ან აშკარა გარდაქმნების შემდეგ, ა-2 = | 2-ა| . ბოლო განტოლება უდრის უტოლობას ამე 2.

6. პასუხი: აო )