წრფივი სივრცეების თეორიაში ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება. სანამ განვსაზღვროთ ეს კონცეფცია, მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითები. 1. მოცემულია Tk სივრციდან სამი ვექტორის შემდეგი სისტემა:

ამის დანახვაც ადვილია

2. ახლა ავიღოთ ვექტორების სხვა სისტემა

ვექტორთა ამ სისტემისთვის ძნელია ტოლობის (1) მსგავსი მიმართების დანახვა. თუმცა ამის შემოწმება ადვილია

(2) მიმართების 4, -7.5 კოეფიციენტები შეიძლება მოიძებნოს შემდეგნაირად. მოდით აღვნიშნოთ ისინი, როგორც უცნობი, ჩვენ მოვახსნით ვექტორულ განტოლებას:

გამრავლებისა და შეკრების მითითებული მოქმედებების შესრულებისას და (2-ში) ვექტორული კომპონენტების ტოლობაზე გადასვლის შემდეგ, ვიღებთ წრფივი განტოლებების ერთგვაროვან სისტემას.

ამ სისტემის ერთ-ერთი გამოსავალია:

3. განვიხილოთ ვექტორების სისტემა:

Თანასწორობა

მივყავართ განტოლებათა სისტემამდე, რომელსაც აქვს უნიკალური - ნულოვანი ამონახსნი. (შეამოწმეთ!) ამრიგად, თანასწორობიდან (3) გამომდინარეობს,

რისთვისაც სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თანასწორობა (3) კმაყოფილდება მხოლოდ

ვექტორული სისტემები 1-2 მაგალითებში წრფივად არის დამოკიდებული, მე-3 მაგალითის სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

განმარტება 3. ვექტორთა სისტემას ველზე წრფივ სივრცეში ეწოდება წრფივად დამოკიდებული, თუ R ველის ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი ისეთი, რომ

თუ ვექტორებისთვის თანასწორობა ხდება მხოლოდ მაშინ, ვექტორთა სისტემას წრფივად დამოუკიდებელი ეწოდება.

გაითვალისწინეთ, რომ წრფივი დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის თვისება არის ვექტორთა სისტემის თვისება. თუმცა, იგივე ზედსართავი სახელები ფართოდ გამოიყენება ლიტერატურაში, როდესაც უშუალოდ ვექტორებზეა გამოყენებული და ისინი სიტყვის თავისუფლებით ამბობენ, "წრფივი დამოუკიდებელი ვექტორების სისტემა" და თუნდაც "ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია".

თუ სისტემაში არის მხოლოდ ერთი ვექტორი a, მაშინ ეს თვისება 6 (§ 2) გამომდინარეობს აქედან გამომდინარე, სისტემა, რომელიც შედგება ერთი არანულოვანი ვექტორისგან, წრფივად დამოუკიდებელია. პირიქით, ვექტორების ნებისმიერი სისტემა, რომელიც შეიცავს ნულოვან ვექტორს 0, წრფივად არის დამოკიდებული. მაგალითად, თუ მაშინ

თუ ორი ვექტორის სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ტოლობა მოქმედებს (ან . მაშინ

ანუ ვექტორები პროპორციულია. საპირისპირო ასევე მართალია, რადგან ის გამომდინარეობს აქედან, მაშასადამე, ორი ვექტორისგან შემდგარი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პროპორციულია.

პროპორციული ვექტორები დევს იმავე სწორ ხაზზე; ამასთან დაკავშირებით და ზოგადად, პროპორციულ ვექტორებს ზოგჯერ კოლინარულს უწოდებენ.

ჩვენ აღვნიშნავთ ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების ზოგიერთ თვისებას.

თვისება 1. წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემის შემცველი ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მოდით წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა

მაშინ ყველა ნულოვანი რიცხვი არ არის ისეთი, რომ

მოცემული სისტემის ნულოვანი კოეფიციენტებით დარჩენილი ვექტორების მიმატებით ამ ტოლობის მარცხენა მხარეს მივიღებთ საჭიროს.

თვის 1-დან გამომდინარეობს, რომ ვექტორთა წრფივად დამოუკიდებელი სისტემის ნებისმიერი ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

თვისება 2. თუ ვექტორთა სისტემა

არის წრფივად დამოუკიდებელი და ვექტორთა სისტემა

არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ ვექტორი წრფივად გამოიხატება სისტემის ვექტორებით (4).

ვინაიდან ვექტორთა სისტემა (5) წრფივად არის დამოკიდებული, ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი ისეთი, რომ

თუ მაშინ და მაშინ იქნება არანულოვანი კოეფიციენტები, რომელთა შორის იქნება სისტემის წრფივი დამოკიდებულება (4). აქედან გამომდინარე, და

თვისება 3. არანულოვანი ვექტორების მოწესრიგებული სისტემა

წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ვექტორი არის წინა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

დაე, სისტემა იყოს ხაზოვანი დამოკიდებული. რადგან ვექტორი წრფივად დამოუკიდებელია. აღნიშნეთ უმცირესი ნატურალური რიცხვით, რომელზედაც სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. (ეს არსებობს: უკიდურეს შემთხვევაში, თუ სისტემები წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი ისეთი, რომ თანასწორობა

თუ მაშინ არანულოვანი კოეფიციენტები იქნება მათ შორის და თანასწორობა შენარჩუნდება

რაც ნიშნავს სისტემის წრფივ დამოკიდებულებას, მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება რიცხვის არჩევანს.

პირიქით, თანასწორობიდან (7) თვისება 1 გულისხმობს სისტემის წრფივ დამოკიდებულებას

თვისება 3 ადვილად გულისხმობს, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც წრფივად არის გამოხატული სხვების მიხედვით. ამ თვალსაზრისით, ისინი ამბობენ, რომ წრფივი დამოკიდებულების ცნება ექვივალენტურია წრფივი გამოხატულობის კონცეფციისა.

თვისება 4. თუ ვექტორი x წრფივად არის გამოხატული სისტემის ვექტორებით

და ვექტორი წრფივად გამოიხატება სისტემის (8) დარჩენილი ვექტორებით, შემდეგ ვექტორი ასევე წრფივად არის გამოხატული სისტემის ამ ვექტორებით (8).

Ნამდვილად,

ახლა ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი თეორემა ვექტორების წრფივი დამოკიდებულების შესახებ.

თეორემა 1. თუ წრფივად დამოუკიდებელი სისტემის ყოველი ვექტორი

არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია

მაშინ სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების წრფივად დამოუკიდებელ სისტემაში, რომლებიც ვექტორების წრფივი კომბინაციებია, ვექტორების რაოდენობა არ შეიძლება იყოს მეტი

მტკიცებულება. 1 ნაბიჯი. ავაშენოთ სისტემა

ვარაუდით, სისტემის თითოეული ვექტორი (9), კერძოდ, ვექტორი წრფივად არის გამოხატული ვექტორებით (10) და, შესაბამისად, სისტემა (11) წრფივად არის დამოკიდებული. თვისებით 3 სისტემაში (11), ზოგიერთი ვექტორი, სადაც წრფივად არის გამოხატული წინა ვექტორების, და შესაბამისად, სისტემის ვექტორების მიხედვით.

მიღებული (11)-დან ვექტორის წაშლით აქედან, თვისებით 4, გვაქვს: (9) სისტემის ყოველი ვექტორი წრფივად არის გამოხატული (12) სისტემის ვექტორებით.

მე-2 ნაბიჯი. ვექტორების სისტემებზე იგივე მსჯელობის გამოყენება, როგორც საფეხურზე

და (12) და იმის გათვალისწინებით, რომ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ვიღებთ ვექტორთა სისტემას

რომლის მეშვეობითაც (9) სისტემის ყველა ვექტორი წრფივად არის გამოხატული.

თუ ვივარაუდებთ, რომ ამ პროცესის გაგრძელებით, ჩვენ ამოვწურავთ ყველა ვექტორს ნაბიჯებით და მივიღებთ სისტემას

ისეთი, რომ სისტემის ყოველი ვექტორი (9), კერძოდ, წრფივად არის გამოხატული სისტემის ვექტორებით (14). შემდეგ სისტემა (9) აღმოჩნდება წრფივად დამოკიდებული, რაც ეწინააღმდეგება მდგომარეობას. რჩება ამის მიღება

ახლა განვიხილოთ, რას ნიშნავს ვექტორების წრფივი დამოკიდებულება სხვადასხვა სივრცეში.

1. სივრცე თუ ორი ვექტორისგან შემდგარი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ ან, ანუ, ვექტორები წრფივია. პირიქითაც მართალია. სამი სივრცის ვექტორისგან შემდგარი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ისინი ერთ სიბრტყეში არიან. (დაამტკიცე!) ოთხი სივრცის ვექტორის სისტემა ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული. მართლაც, თუ ჩვენი სისტემის რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, მაშინ მთელი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. თუ არცერთი საკუთარი ქვესისტემა არ არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ, წინას მიხედვით, ეს ნიშნავს, რომ ჩვენი სისტემის არცერთი ვექტორი არ დევს იმავე სიბრტყეზე. შემდეგ გეომეტრიული მოსაზრებებიდან გამომდინარეობს, რომ არსებობს ისეთი რეალური რიცხვები, რომ პარალელეპიპედს კიდეების ვექტორებით ექნება დიაგონალი, ანუ ტოლობაში.

მოდით გადავიდეთ წრფივი სივრცეების თვისებების აღწერაზე. უპირველეს ყოვლისა, ისინი მოიცავს მის ელემენტებს შორის ურთიერთობებს.

ხაზოვანი კომბინაცია ელემენტები რეალური რიცხვების ველზე რელემენტს უწოდებენ

განმარტება.ელემენტების ერთობლიობას ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი, თუ თანასწორობიდან

ეს აუცილებლად გამომდინარეობს, რომ ,. ცხადია, რომ ელემენტების ნებისმიერი ნაწილი ასევე წრფივად დამოუკიდებელია. თუ ერთ-ერთი მაინც, მაშინ სიმრავლეს ეწოდება წრფივი დამოკიდებული.

მაგალითიIII.6. მიეცით ვექტორული სიმრავლე. თუ ვექტორებიდან ერთ-ერთი არის, მაგალითად, მაშინ ვექტორთა ასეთი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. მართლაც, დაე, სიმრავლე, …,,, … იყოს წრფივი დამოუკიდებელი, მაშინ თანასწორობიდან გამომდინარეობს, რომ.

ამ სიმრავლეს რომ დავუმატოთ ვექტორი გამრავლებული, მაინც გვაქვს ტოლობა

მაშასადამე, ვექტორთა სიმრავლე, ისევე როგორც ნებისმიერი სხვა ელემენტი, რომელიც შეიცავს ნულოვან ელემენტს, ყოველთვის წრფივად არის დამოკიდებული ▼.

კომენტარი.თუ ვექტორთა სიმრავლე ცარიელია, მაშინ ის წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, თუ არ არსებობს ინდექსები, მაშინ შეუძლებელია მათთვის შესაბამისი არანულოვანი რიცხვების არჩევა ისე, რომ ფორმის ჯამი (III.2) იყოს 0-ის ტოლი. წრფივი დამოუკიდებლობის ასეთი ინტერპრეტაცია შეიძლება მივიღოთ, როგორც მტკიცებულება, მით უმეტეს, რომ ასეთი შედეგი კარგად ეთანხმება თეორიას 11.

ზემოაღნიშნულთან დაკავშირებით, წრფივი დამოუკიდებლობის განმარტება შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: ელემენტების ერთობლიობა წრფივად დამოუკიდებელია, თუ და არ არსებობს რისი ინდექსი. კერძოდ, ეს ნაკრები ასევე შეიძლება იყოს ცარიელი.

მაგალითიIII.7. ნებისმიერი ორი მოცურების ვექტორი წრფივად არის დამოკიდებული. შეგახსენებთ, რომ მოცურების ვექტორები არის ვექტორები, რომლებიც დევს ერთ სწორ ხაზზე. ერთეული ვექტორის აღებით, შეგიძლიათ მიიღოთ ნებისმიერი სხვა ვექტორი შესაბამის რეალურ რიცხვზე გამრავლებით, ანუ ან. ამიტომ, უკვე ნებისმიერი ორი ვექტორი ერთგანზომილებიან სივრცეში წრფივად არის დამოკიდებული.

მაგალითიIII.8. განვიხილოთ მრავალწევრების სივრცე, სადაც ,,,. ჩამოვწეროთ

ვივარაუდოთ,,,, მივიღებთ, იდენტურად in ტ

ანუ სიმრავლე წრფივია დამოკიდებული. გაითვალისწინეთ, რომ ფორმის ნებისმიერი სასრული ნაკრები წრფივად დამოუკიდებელია. დასამტკიცებლად განიხილეთ საქმე, შემდეგ თანასწორობიდან

მისი წრფივი დამოკიდებულების დაშვების შემთხვევაში, გამოდის, რომ ყველა რიცხვი არ არის ნულის ტოლი  1 ,  2 ,  3, რომელიც იდენტურია ნებისმიერისთვის (III.3), მაგრამ ეს ეწინააღმდეგება ალგებრის ფუნდამენტურ თეორემას: ნებისმიერი მრავალწევრი. ნ- ხარისხს მეტი არა აქვს ნნამდვილი ფესვები. ჩვენს შემთხვევაში, ამ განტოლებას მხოლოდ ორი ფესვი აქვს და არა მათი უსასრულო რაოდენობა. ჩვენ მივიღეთ წინააღმდეგობა.

§ 2. ხაზოვანი კომბინაციები. ბაზები

იყოს . იქ ვიტყვით ხაზოვანი კომბინაცია ელემენტები .

თეორემაIII.1 (მთავარი).ნულოვანი ელემენტების სიმრავლე წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ რომელიმე ელემენტი არის წინა ელემენტების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. საჭიროება. დავუშვათ, რომ ელემენტები ,, …, წრფივად არიან დამოკიდებული და დავუშვათ, რომ იყოს პირველი ნატურალური რიცხვი, რომლისთვისაც ელემენტები ,, …, წრფივად არიან დამოკიდებული, მაშინ

რადგან ყველა ნულის ტოლი არ არის და აუცილებლად (სხვა შემთხვევაში ეს კოეფიციენტი იქნებოდა, რაც ეწინააღმდეგება მითითებულს). აქედან გამომდინარე, ჩვენ გვაქვს წრფივი კომბინაცია

ადეკვატურობააშკარაა, რადგან ყოველი ნაკრები, რომელიც შეიცავს წრფივად დამოკიდებულ სიმრავლეს, თავისთავად წრფივად არის დამოკიდებული ▼.

განმარტება.წრფივი სივრცის საფუძველი (კოორდინატთა სისტემა). ლკომპლექტს უწოდებენ აწრფივად დამოუკიდებელი ელემენტები, ისეთი, რომ თითოეული ელემენტი ლარის ელემენტების წრფივი კომბინაცია ა, 11.

ჩვენ განვიხილავთ სასრულ განზომილებიან წრფივ სივრცეებს,.

მაგალითიIII.9. განვიხილოთ სამგანზომილებიანი ვექტორული სივრცე. აიღეთ ერთეული ვექტორები,,. ისინი ქმნიან საფუძველს

ვაჩვენოთ, რომ ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, გვაქვს

ან . აქედან ვექტორის რიცხვზე გამრავლებისა და ვექტორების შეკრების წესების მიხედვით (მაგალითი III.2) ვიღებთ.

ამიტომ, ,, ▼.

მოდით იყოს თვითნებური სივრცის ვექტორი; შემდეგ, წრფივი სივრცის აქსიომებზე დაყრდნობით, მივიღებთ

მსგავსი მსჯელობა მოქმედებს საფუძვლის მქონე სივრცეზე, . მთავარი თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ თვითნებურ სასრულ განზომილებიან წრფივ სივრცეში ლნებისმიერი ელემენტი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც მისი ძირითადი ელემენტების წრფივი კომბინაცია,, ...,, ე.ი.

უფრო მეტიც, ასეთი დაშლა უნიკალურია. მართლაც, მოგვეცით

შემდეგ გამოკლების შემდეგ ვიღებთ

ამრიგად, ელემენტების დამოუკიდებლობის გამო,

ანუ ▼.

თეორემაIII.2 (ბაზის დამატებით).მოდით იყოს სასრულ-განზომილებიანი წრფივი სივრცე და იყოს წრფივად დამოუკიდებელი ელემენტების გარკვეული ნაკრები. თუ ისინი არ ქმნიან საფუძველს, მაშინ შესაძლებელია ისეთი ელემენტების პოვნა,, ...,, რომლებშიც ელემენტების ნაკრები ქმნის საფუძველს. ანუ, ხაზოვანი სივრცის ელემენტების თითოეული ხაზოვანი დამოუკიდებელი ნაკრები შეიძლება დასრულდეს საფუძვლამდე.

მტკიცებულება. ვინაიდან სივრცე სასრული განზომილებიანია, მას აქვს საფუძველი, რომელიც შედგება, მაგალითად, ნელემენტები, ეს იყოს ელემენტები. განვიხილოთ ელემენტების ნაკრები.

გამოვიყენოთ მთავარი თეორემა. ელემენტების თანმიმდევრობით, განიხილეთ ნაკრები ა. ის აშკარად წრფივად არის დამოკიდებული, ვინაიდან რომელიმე ელემენტი არის წრფივი კომბინაცია,,. ვინაიდან ელემენტები,, ..., წრფივად დამოუკიდებელია, მაშინ მას თანმიმდევრულად ვამატებთ ელემენტებს, სანამ პირველი ელემენტი არ გამოჩნდება, მაგალითად, ისე, რომ ეს იყოს ამ ნაკრების წინა ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ანუ. ამ ელემენტის ამოღება ნაკრებიდან ა, ვიღებთ . ჩვენ ვაგრძელებთ ამ პროცედურას, სანამ ეს ნაკრები არ შეიცავს ნწრფივად დამოუკიდებელი ელემენტები, რომელთა შორის ყველა ელემენტი ,, …, და ნ-მელემენტებიდან. მიღებული კომპლექტი იქნება ▼ საფუძველი.

მაგალითიIII.10. დაამტკიცეთ, რომ ვექტორები , და ქმნიან წრფივად დამოკიდებულ სიმრავლეს და ნებისმიერი სამი მათგანი წრფივად დამოუკიდებელია.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ არ არის ყველა ნულოვანი რიცხვი, რისთვისაც

მართლაც, ჩვენ გვაქვს

ხაზოვანი დამოკიდებულება დადასტურებულია. ვაჩვენოთ, რომ ვექტორების სამმაგი, მაგალითად, ,,, ქმნის საფუძველს. მოვახდინოთ თანასწორობა

ვექტორებით მოქმედებების შესრულებისას ვიღებთ

ბოლო ტოლობის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებში შესაბამისი კოორდინატების გაუტოლებით მივიღებთ განტოლებათა სისტემას ,,, მისი ამოხსნით, ვიღებთ.

მსგავსი მსჯელობა მოქმედებს ვექტორების დარჩენილ სამეულებზე ,, ან ,,.

თეორემაIII.3 (სივრცის განზომილებაზე).სასრულ-განზომილებიანი წრფივი სივრცის ყველა საფუძველი ლშედგება იგივე რაოდენობის ძირითადი ელემენტებისაგან.

მტკიცებულება. მიეცეს ორი კომპლექტი, სადაც;,. თითოეულ მათგანს ვანიჭებთ ერთ-ერთ თვისებას, რომელიც განსაზღვრავს საფუძველს: 1) ნაკრების ელემენტების მეშვეობით ანებისმიერი ელემენტიდან ლ, 2) ნაკრების ელემენტები ბწარმოადგენს ხაზობრივად დამოუკიდებელ კომპლექტს, მაგრამ არა აუცილებლად ყველა მათგანს. ლ. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ელემენტები ადა ბუბრძანა.

განიხილეთ ნაკრები ადა ვრცელდება მის ელემენტებზე მჯერ მეთოდი მთავარი თეორემიდან. ვინაიდან ელემენტებიდან ბისინი წრფივად დამოუკიდებელნი არიან, შემდეგ ვიღებთ, როგორც ადრე, წრფივად დამოკიდებულ სიმრავლეს

მართლაც, თუ , მაშინ მივიღებთ წრფივად დამოუკიდებელ კომპლექტს და დარჩენილს ნკომპლექტის ელემენტები ბმათი მეშვეობით წრფივად გამოისახებოდა, რაც შეუძლებელია, რაც ნიშნავს . მაგრამ ეს ასევე არ შეიძლება იყოს, რადგან კონსტრუქციით სიმრავლეს (III.4) აქვს სიმრავლის საფუძვლის თვისება ა. რადგან სივრცე ლსასრულ-განზომილებიანი, მაშინ მხოლოდ, ანუ სივრცის ორი განსხვავებული საფუძველი ლშედგება იგივე რაოდენობის ▼ ელემენტებისაგან.

შედეგი.ნებისმიერში ნ-განზომილებიანი წრფივი სივრცე () შეგიძლიათ იპოვოთ უსასრულოდ ბევრი საფუძველი.

მტკიცებულებაგამომდინარეობს წრფივი (ვექტორული) სივრცის ელემენტების რიცხვზე გამრავლების წესიდან.

განმარტება.ხაზოვანი სივრცის განზომილება ლარის ელემენტების რაოდენობა, რომლებიც ქმნიან მის საფუძველს.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ელემენტების ცარიელი ნაკრები - ტრივიალური წრფივი სივრცე - აქვს განზომილება 0, რაც, როგორც უნდა აღინიშნოს, ამართლებს ხაზოვანი დამოკიდებულების ტერმინოლოგიას და საშუალებას გვაძლევს განვაცხადოთ: ნ-განზომილებიან სივრცეს აქვს განზომილება ნ, .

ამრიგად, ნათქვამის შეჯამებით, მივიღებთ, რომ თითოეული ნაკრები ნ+1 ელემენტი ნ-განზომილებიანი წრფივი სივრცე წრფივად არის დამოკიდებული; მითითებული ნწრფივი სივრცის ელემენტები არის საფუძველი, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის წრფივად დამოუკიდებელია (ან სივრცის თითოეული ელემენტი არის მისი საფუძვლის ელემენტების წრფივი კომბინაცია); ნებისმიერ წრფივ სივრცეში ფუძეების რაოდენობა უსასრულოა.

მაგალითიIII.11 (კრონეკერ-კაპელის თეორემა).

მოდით გვქონდეს წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

სადაც ა – სისტემის კოეფიციენტების მატრიცა,  სისტემის კოეფიციენტების გაფართოებული მატრიცა

სად, (III.6)

ეს აღნიშვნა განტოლებათა სისტემის ტოლფასია (III.5).

თეორემაIII.4 (კრონეკერი - კაპელი).წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა (III.5) თანმიმდევრულია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მატრიცის A რანგი უდრის მატრიცის რანგის, ანუ.

მტკიცებულება.საჭიროება. სისტემა (III.5) იყოს თანმიმდევრული, მაშინ მას აქვს ამონახსნი: ,,. განიხილება (III.6), , მაგრამ ამ შემთხვევაში არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია,, …,. მაშასადამე, ვექტორთა სიმრავლის მეშვეობით,,, ..., შეიძლება ნებისმიერი ვექტორის გამოხატვა. Ეს ნიშნავს, რომ.

ადეკვატურობა. იყოს . ჩვენ ვირჩევთ ნებისმიერ საფუძველს ,,…,-დან, შემდეგ იგი წრფივად გამოიხატება საფუძვლის მეშვეობით (ეს შეიძლება იყოს როგორც ყველა ვექტორი, ასევე მათი ნაწილი) და, ამრიგად, ყველა ვექტორის მეშვეობით. ეს ნიშნავს, რომ განტოლებათა სისტემა თანმიმდევრულია ▼.

განიხილეთ ნ- განზომილებიანი ხაზოვანი სივრცე ლ. თითოეული ვექტორი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც წრფივი კომბინაცია, სადაც ნაკრები შედგება საბაზისო ვექტორებისგან. ჩვენ ვწერთ წრფივ კომბინაციას ფორმაში და ვადგენთ ერთ-ერთ შესაბამისობას ელემენტებსა და მათ კოორდინატებს შორის.

ეს ნიშნავს, რომ შორის ნ- ვექტორების განზომილებიანი ხაზოვანი ვექტორული სივრცე ნ-ნამდვილი რიცხვების განზომილებიანი ველი ადგენს ერთერთ შესაბამისობას.

განმარტება.ორი წრფივი სივრცე და იგივე სკალარული ველი იზომორფული თუ შესაძლებელია მათ ელემენტებს შორის ერთი-ერთზე შესაბამისობის დამყარება ვ, ამიტომ

ანუ იზომორფიზმი გაგებულია, როგორც ერთი-ერთთან შესაბამისობა, რომელიც ინარჩუნებს ყველა წრფივ მიმართებას. ცხადია, რომ იზომორფულ სივრცეებს ​​აქვთ იგივე განზომილება.

იზომორფიზმის მაგალითიდან და განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ წრფივობის პრობლემების შესწავლის თვალსაზრისით, იზომორფული სივრცეები იგივეა, შესაბამისად, ფორმალურად. იმის მაგივრადნ- განზომილებიანი ხაზოვანი სივრცელველის ზემოთ მხოლოდ ველის შესწავლაა შესაძლებელი.

დავალება 1.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი. ვექტორთა სისტემა განისაზღვრება სისტემის მატრიცით, რომლის სვეტები შედგება ვექტორების კოორდინატებისგან.

გადაწყვეტილება.მოდით წრფივი კომბინაცია ნულის ტოლი იყოს. ამ ტოლობის კოორდინატებში ჩაწერის შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ განტოლებების შემდეგ სისტემას:

განტოლებათა ასეთ სისტემას სამკუთხა ეწოდება. მას მხოლოდ ერთი გამოსავალი აქვს. ამრიგად, ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია.

დავალება 2.გაარკვიეთ არის თუ არა ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელი.

გადაწყვეტილება.ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია (იხ. ამოცანა 1). დავამტკიცოთ, რომ ვექტორი არის ვექტორების წრფივი კომბინაცია. ვექტორებში გაფართოების კოეფიციენტები განისაზღვრება განტოლებათა სისტემიდან

ამ სისტემას, ისევე როგორც სამკუთხას, აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

ამიტომ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

კომენტარი. მატრიცები, როგორიცაა ამოცანა 1, ეწოდება სამკუთხა და პრობლემა 2 - საფეხურიანი სამკუთხა . ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების საკითხი მარტივად წყდება, თუ ამ ვექტორების კოორდინატებისგან შემდგარი მატრიცა ეტაპობრივად სამკუთხაა. თუ მატრიცას არ აქვს სპეციალური ფორმა, მაშინ გამოიყენეთ სიმების ელემენტარული გარდაქმნები სვეტებს შორის ხაზოვანი ურთიერთობების შენარჩუნებით, ის შეიძლება შემცირდეს საფეხურზე სამკუთხა ფორმამდე.

სიმებიანი ელემენტარული გარდაქმნებიმატრიცებს (EPS) ეწოდება შემდეგი ოპერაციები მატრიცაზე:

1) ხაზების პერმუტაცია;

2) სტრიქონის გამრავლება არანულოვან რიცხვზე;

3) სტრიქონს კიდევ ერთი სტრიქონის დამატება, გამრავლებული თვითნებური რიცხვით.

დავალება 3.იპოვეთ მაქსიმალური წრფივი დამოუკიდებელი ქვესისტემა და გამოთვალეთ ვექტორთა სისტემის რანგი

გადაწყვეტილება.მოდით შევამციროთ სისტემის მატრიცა EPS-ის დახმარებით საფეხურ-სამკუთხა ფორმამდე. პროცედურის ასახსნელად, წრფე მატრიცის ნომრით, რომელიც უნდა გარდაიქმნას, აღინიშნა სიმბოლოთი. სვეტი ისრის შემდეგ აჩვენებს მოქმედებებს, რომლებიც უნდა შესრულდეს გარდაქმნილი მატრიცის მწკრივებზე ახალი მატრიცის რიგების მისაღებად.

ცხადია, მიღებული მატრიცის პირველი ორი სვეტი წრფივად დამოუკიდებელია, მესამე სვეტი მათი წრფივი კომბინაციაა, ხოლო მეოთხე არ არის დამოკიდებული პირველ ორზე. ვექტორებს ძირითადი ეწოდება. ისინი ქმნიან სისტემის მაქსიმალურ ხაზოვან დამოუკიდებელ ქვესისტემას და სისტემის რანგი არის სამი.

საფუძველი, კოორდინატები

დავალება 4.იპოვეთ ამ საფუძველზე ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები გეომეტრიული ვექტორების სიმრავლეზე, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობას.

გადაწყვეტილება. კომპლექტი არის თვითმფრინავი, რომელიც გადის საწყისზე. თვითნებური საფუძველი სიბრტყეზე შედგება ორი არასწორხაზოვანი ვექტორისგან. შერჩეულ საფუძველში ვექტორების კოორდინატები განისაზღვრება წრფივი განტოლებათა შესაბამისი სისტემის ამოხსნით.

ამ პრობლემის გადაჭრის კიდევ ერთი გზა არსებობს, როცა საფუძველს კოორდინატებით იპოვით.

სივრცის კოორდინატები არ არის კოორდინატები სიბრტყეზე, რადგან ისინი დაკავშირებულია მიმართებით, ანუ ისინი არ არიან დამოუკიდებლები. დამოუკიდებელი ცვლადები და (მათ თავისუფალს უწოდებენ) ცალსახად განსაზღვრავენ ვექტორს სიბრტყეზე და, შესაბამისად, ისინი შეიძლება აირჩიონ კოორდინატებად. მაშინ საფუძველი შედგება ვექტორებისგან, რომლებიც დევს და შეესაბამება თავისუფალი ცვლადების სიმრავლეს და, ანუ .

დავალება 5.იპოვეთ ამ საფუძველზე ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები სივრცეში არსებული ყველა ვექტორის სიმრავლეზე, რომელთა კენტი კოორდინატები ერთმანეთის ტოლია.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვირჩევთ, როგორც წინა პრობლემაში, კოორდინატებს სივრცეში.

ვინაიდან , თავისუფალი ცვლადები ცალსახად განსაზღვრავენ ვექტორს და, შესაბამისად, არიან კოორდინატები. შესაბამისი საფუძველი შედგება ვექტორებისგან.

დავალება 6.იპოვეთ ამ საფუძველში ვექტორების საფუძველი და კოორდინატები ფორმის ყველა მატრიცის სიმრავლეზე, სადაც არის თვითნებური რიცხვები.

გადაწყვეტილება. თითოეული მატრიცა შეიძლება ცალსახად იყოს წარმოდგენილი როგორც:

ეს მიმართება არის ვექტორის გაფართოება საფუძვლიდან კოორდინატებთან.

დავალება 7.იპოვეთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დიაპაზონის განზომილება და საფუძველი

გადაწყვეტილება. EPS-ის გამოყენებით ჩვენ მატრიცას სისტემის ვექტორების კოორდინატებიდან გადავიყვანთ საფეხურ-სამკუთხა ფორმაში.

ბოლო მატრიცის სვეტები წრფივად დამოუკიდებელია, სვეტები კი წრფივად გამოხატულია მათში. ამიტომ ვექტორები ქმნიან საფუძველს და .

კომენტარი. საფუძველი არჩეულია ორაზროვნად. მაგალითად, ვექტორებიც ქმნიან საფუძველს.

მოდით იყოს სკალარების ველი და F იყოს მისი საბაზისო სიმრავლე. მოდით - -განზომილებიანი არითმეტიკული სივრცე - სივრცის ვექტორების თვითნებური სისტემა

განმარტება. ვექტორთა სისტემის წრფივი კომბინაცია არის იმ ფორმის ჯამი, სადაც . სკალარები ეწოდება წრფივი კომბინაციის კოეფიციენტებს. წრფივ კომბინაციას ეწოდება არატრივიალური, თუ მისი კოეფიციენტებიდან ერთი მაინც არ არის ნულოვანი. წრფივ კომბინაციას ტრივიალური ეწოდება, თუ მისი ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია.

განმარტება. სისტემის ვექტორების ყველა წრფივი კომბინაციის სიმრავლეს ამ სისტემის წრფივი დიაპაზონი ეწოდება და აღინიშნება . ცარიელი სისტემის წრფივი დიაპაზონი ითვლება ნულოვანი ვექტორისგან შემდგარ სიმრავლედ.

ასე რომ, განსაზღვრებით,

ადვილი მისახვედრია, რომ ვექტორთა მოცემული სისტემის წრფივი დიაპაზონი დახურულია ვექტორების შეკრების, ვექტორის გამოკლების და ვექტორების სკალერებით გამრავლების ოპერაციებში.

განმარტება. ვექტორთა სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოუკიდებელ, თუ რომელიმე სკალარისთვის ტოლობები გამომდინარეობს თანასწორობიდან. ცარიელი ვექტორული სისტემა

ითვლება ხაზობრივად დამოუკიდებლად.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორთა სასრული სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სისტემაში ვექტორების რაიმე არატრივიალური წრფივი კომბინაცია არ არის ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

განმარტება. ვექტორთა სისტემას ამბობენ, რომ წრფივია დამოკიდებული, თუ არის სკალრები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლია

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ვექტორების სასრულ სისტემას უწოდებენ წრფივად დამოკიდებულს, თუ არსებობს სისტემის ვექტორების არატრივიალური წრფივი კომბინაცია ნულოვანი ვექტორის ტოლი.

ვექტორული სისტემა

ვექტორული სივრცის ერთეულ ვექტორთა სისტემას უწოდებენ.ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია. მართლაც, ნებისმიერი სკალერისთვის თანასწორობა გულისხმობს თანასწორობას და, შესაბამისად, თანასწორობას

განვიხილოთ ვექტორთა სისტემის წრფივი დამოკიდებულების და დამოუკიდებლობის თვისებები.

საკუთრება 1.1. ნულოვანი ვექტორის შემცველი ვექტორების სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

მტკიცებულება. თუ ვექტორთა სისტემაში ერთ-ერთი ვექტორი, მაგალითად, ვექტორი არის ნული, მაშინ სისტემის ვექტორთა წრფივი კომბინაცია, რომლის ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია, გარდა კოეფიციენტისა at, უდრის ნულის ვექტორს. მაშასადამე, ვექტორთა ასეთი სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

საკუთრება 1.2. ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული, თუ მისი რომელიმე ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მტკიცებულება. მოდით იყოს სისტემის წრფივად დამოკიდებული ქვესისტემა და თუნდაც ერთი კოეფიციენტი იყოს ნულოვანი. შემდეგ, შესაბამისად, ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული.

შედეგი. წრფივი დამოუკიდებელი სისტემის ნებისმიერი ქვესისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

საკუთრება 1.3. ვექტორული სისტემა

რომელშიც წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ვექტორებიდან ერთი მაინც არის წინა ვექტორების წრფივი კომბინაცია.

მტკიცებულება. მოდით, სისტემა (1) იყოს წრფივად დამოკიდებული და მაშინ არსებობს სკალარები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლი არ არის ისეთი, რომ

აღნიშნეთ k-ით ყველაზე დიდი პირობის დამაკმაყოფილებელი რიცხვებიდან, შემდეგ ტოლობა (2) შეიძლება დაიწეროს როგორც

გაითვალისწინეთ, რომ სხვა შემთხვევაში, ამიტომ, ვინაიდან . (3)-დან მოყვება თანასწორობა

ახლა დავუშვათ, რომ ვექტორი არის მის წინამორბედ ვექტორების წრფივი კომბინაცია, ანუ მაშინ, ანუ სისტემის (1) ქვესისტემა წრფივად არის დამოკიდებული. ამიტომ, თვისებით 1.2, თავდაპირველი სისტემა (1) ასევე წრფივად არის დამოკიდებული.

ქონება 1.4. თუ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია და ვექტორთა სისტემა

არის წრფივად დამოკიდებული, მაშინ ვექტორი v წრფივად არის გამოხატული ვექტორების მიხედვით

და უნიკალური გზით.

მტკიცებულება. დაშვებით, სისტემა (2) წრფივად არის დამოკიდებული, ანუ არის სკალარები, რომლებიც ყველა ნულის ტოლია, ისეთი, რომ

უფრო მეტიც, რა დროსაც ეწინააღმდეგება სისტემის ხაზოვან დამოუკიდებლობას (1). (3)-დან მოყვება თანასწორობა

(1) სისტემის ხაზოვანი დამოუკიდებლობის გამო, ეს გულისხმობს იმას

ქონება 1.5. თუ

მტკიცებულება. მდგომარეობა ნიშნავს, რომ არსებობს სკალარები ისეთი, რომ

მდგომარეობა ნიშნავს, რომ არსებობს სკალარები ისეთი, რომ

(1) და (2)-ის ძალით ვიღებთ

თეორემა 1.2. Თუ

მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივია დამოკიდებული. მტკიცებულება (განხორციელებული ინდუქციით ).

ვექტორთა სისტემა ე.წ წრფივად დამოკიდებული, თუ არის ისეთი რიცხვები, რომელთა შორის ერთი მაინც განსხვავდება ნულიდან, რომ ტოლობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src =" >.

თუ ეს თანასწორობა მოქმედებს მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა, მაშინ ვექტორთა სისტემა ეწოდება წრფივი დამოუკიდებელი.

თეორემა.ვექტორთა სისტემა იქნება წრფივად დამოკიდებულითუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ერთ-ერთი ვექტორი მაინც არის სხვების წრფივი კომბინაცია.

მაგალითი 1მრავალწევრი არის მრავალწევრების წრფივი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. მრავალწევრები ქმნიან წრფივად დამოუკიდებელ სისტემას, მას შემდეგ, რაც https პოლინომი ://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

მაგალითი 2მატრიცული სისტემა , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> წრფივად დამოუკიდებელია, ვინაიდან წრფივი კომბინაცია უდრის ნულოვანი მატრიცა მხოლოდ მაშინ, როდესაც https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> წრფივად დამოკიდებული.

გადაწყვეტილება.

შეადგინეთ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" სიმაღლე =" 22">.

თანაბარი ვექტორების იგივე სახელწოდების კოორდინატების გათანაბრება, მივიღებთ https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

ბოლოს მივიღებთ

სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური გადაწყვეტა, ამიტომ ამ ვექტორების წრფივი კომბინაცია ნულია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ყველა კოეფიციენტი ნულის ტოლია. მაშასადამე, ვექტორთა ეს სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

მაგალითი 4ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია. როგორი იქნება ვექტორთა სისტემები

გადაწყვეტილება.

ა).შეადგინეთ წრფივი კომბინაცია და გაუტოლეთ ნულს

ვექტორებთან მოქმედებების თვისებების გამოყენებით ხაზოვან სივრცეში, ბოლო ტოლობას ვწერთ ფორმაში

ვინაიდან ვექტორები წრფივად დამოუკიდებელია, კოეფიციენტები for უნდა იყოს ნულის ტოლი, ე.ი..gif" width="12" height="23 src=">

განტოლებათა სისტემას აქვს უნიკალური ტრივიალური ამოხსნა.

თანასწორობიდან გამომდინარე (*) შესრულებულია მხოლოდ https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – წრფივი დამოუკიდებელი;

ბ).შეადგინეთ თანასწორობა https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

მსგავსი მსჯელობის გამოყენებით მივიღებთ

გაუსის მეთოდით განტოლებათა სისტემის ამოხსნით ვიღებთ

ბოლო სისტემას აქვს უსასრულო რაოდენობის გადაწყვეტილებები https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. ამრიგად, არსებობს არა- კოეფიციენტების ნულოვანი ნაკრები, რომლის ტოლობა (**) . ამიტომ ვექტორთა სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

მაგალითი 5ვექტორული სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია, ხოლო ვექტორული სისტემა წრფივად დამოკიდებული..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

თანასწორობაში (***) . მართლაც, for , სისტემა იქნება ხაზოვანი დამოკიდებული.

ურთიერთობიდან (***) ვიღებთ ან აღვნიშნავთ.

ამოცანები დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის (კლასში)

1. ნულოვანი ვექტორის შემცველი სისტემა წრფივად არის დამოკიდებული.

2. ერთი ვექტორული სისტემა ა, წრფივად არის დამოკიდებული თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ, a=0.

3. სისტემა, რომელიც შედგება ორი ვექტორისგან, წრფივად არის დამოკიდებული, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ვექტორები პროპორციულია (ანუ ერთი მათგანი მიიღება მეორისგან რიცხვზე გამრავლებით).

4. თუ ვექტორი დაემატება წრფივად დამოკიდებულ სისტემას, მაშინ მიიღება წრფივად დამოკიდებული სისტემა.

5. თუ ვექტორი ამოღებულია წრფივად დამოუკიდებელი სისტემიდან, მაშინ ვექტორთა სისტემა წრფივად დამოუკიდებელია.

6. თუ სისტემა სწრფივად დამოუკიდებელი, მაგრამ წრფივად დამოკიდებული ხდება ვექტორის დამატებისას ბ, შემდეგ ვექტორი ბწრფივად გამოხატული სისტემის ვექტორებით ს.

გ).მატრიცების სისტემა , , მეორე რიგის მატრიცების სივრცეში.

10. მოდით ვექტორთა სისტემა ა,ბ,გვექტორული სივრცე წრფივად დამოუკიდებელია. დაამტკიცეთ ვექტორთა შემდეგი სისტემების წრფივი დამოუკიდებლობა:

ა).a+ბ, ბ, გ.

ბ).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">–თვითნებური ნომერი

გ).a+ბ, ა+გ, ბ+გ.

11. დაე იყოს ა,ბ,გარის სამი ვექტორი სიბრტყეში, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას სამკუთხედის შესაქმნელად. იქნება ეს ვექტორები წრფივად დამოკიდებული?

12. მოცემულია ორი ვექტორი a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). აიღეთ კიდევ ორი ​​4D ვექტორი a3 დაa4ისე რომ სისტემა a1,a2,a3,a4იყო ხაზოვანი დამოუკიდებელი .