განმარტება. ელიფსი არის სიბრტყეზე წერტილების გეომეტრიული ადგილი, რომელთაგან თითოეულის მანძილის ჯამი ამ სიბრტყის ორი მოცემული წერტილიდან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი, არის მუდმივი მნიშვნელობა (იმ პირობით, რომ ეს მნიშვნელობა მეტია კერებს შორის მანძილს). .

კერები ავღნიშნოთ მათ შორის მანძილით - ით, ხოლო მუდმივი მნიშვნელობა ტოლია ელიფსის თითოეული წერტილიდან კერებამდე მანძილების ჯამის (პირობით).

ავაშენოთ დეკარტის კოორდინატთა სისტემა ისე, რომ კერები იყოს აბსცისის ღერძზე, ხოლო კოორდინატების წარმოშობა ემთხვევა სეგმენტის შუას (სურ. 44). შემდეგ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: მარცხენა ფოკუსი და მარჯვენა ფოკუსი. გამოვიტანოთ ელიფსის განტოლება ჩვენ მიერ არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში. ამ მიზნით განიხილეთ ელიფსის თვითნებური წერტილი. ელიფსის განმარტებით, ამ წერტილიდან კერამდე მანძილების ჯამი უდრის:

ორ წერტილს შორის მანძილის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ ვიღებთ

ამ განტოლების გასამარტივებლად, ჩვენ ვწერთ მას ფორმაში

შემდეგ განტოლების ორივე მხარის კვადრატში ვიღებთ

ან აშკარა გამარტივების შემდეგ:

ახლა ისევ განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვაქცევთ, რის შემდეგაც გვაქვს:

ან იდენტური გარდაქმნების შემდეგ:

ვინაიდან, ელიფსის განმარტებაში არსებული მდგომარეობის მიხედვით, რიცხვი დადებითია. შემოვიღოთ აღნიშვნა

შემდეგ განტოლება მიიღებს შემდეგ ფორმას:

ელიფსის განმარტებით, მისი რომელიმე წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (26). მაგრამ განტოლება (29) არის (26) განტოლების შედეგი. შესაბამისად, ის ასევე კმაყოფილდება ელიფსის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებით.

შეიძლება აჩვენოს, რომ წერტილების კოორდინატები, რომლებიც არ დევს ელიფსზე, არ აკმაყოფილებს განტოლებას (29). ამრიგად, განტოლება (29) არის ელიფსის განტოლება. მას ელიფსის კანონიკური განტოლება ეწოდება.

მოდით დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

უპირველეს ყოვლისა, მივაქციოთ ყურადღება, რომ ეს განტოლება შეიცავს x და y-ის მხოლოდ ლუწი ხარისხებს. ეს ნიშნავს, რომ თუ რომელიმე წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ ის ასევე შეიცავს სიმეტრიულ წერტილს აბსცისის ღერძთან მიმართებით წერტილთან და სიმეტრიულ წერტილს ორდინატთა ღერძის მიმართ. ამრიგად, ელიფსს აქვს სიმეტრიის ორი ერთმანეთის პერპენდიკულარული ღერძი, რომლებიც ჩვენს არჩეულ კოორდინატულ სისტემაში ემთხვევა კოორდინატთა ღერძებს. ელიფსის სიმეტრიის ღერძებს ამიერიდან ელიფსის ღერძებს დავარქმევთ, ხოლო მათი გადაკვეთის წერტილს ელიფსის ცენტრს. ღერძს, რომელზეც მდებარეობს ელიფსის კერები (ამ შემთხვევაში, აბსცისის ღერძი) ფოკალური ღერძი ეწოდება.

ჯერ განვსაზღვროთ ელიფსის ფორმა პირველ მეოთხედში. ამისათვის გადავწყვიტოთ განტოლება (28) y-სთვის:

აშკარაა, რომ აქ, რადგან y იღებს წარმოსახვით მნიშვნელობებს. 0-დან a-მდე გაზრდისას y მცირდება b-დან 0-მდე. ელიფსის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ მეოთხედში, იქნება რკალი, რომელიც შემოიფარგლება B (0; b) წერტილებით და მდებარეობს კოორდინატთა ღერძებზე (სურ. 45). ახლა ელიფსის სიმეტრიის გამოყენებით მივდივართ დასკვნამდე, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 45.

ელიფსის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილებს ელიფსის წვეროები ეწოდება. ელიფსის სიმეტრიიდან გამომდინარეობს, რომ წვეროების გარდა, ელიფსს კიდევ ორი ​​წვერო აქვს (იხ. სურ. 45).

ელიფსის მოპირდაპირე წვეროებს და დამაკავშირებელ სეგმენტებს, ისევე როგორც მათ სიგრძეებს, შესაბამისად ელიფსის მთავარ და მცირე ღერძებს უწოდებენ. a და b რიცხვებს უწოდებენ ელიფსის მთავარ და მცირე ნახევარღერძებს, შესაბამისად.

კერებს შორის მანძილის ნახევრის თანაფარდობას ელიფსის ნახევრად ძირითად ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და ჩვეულებრივ აღინიშნება ასოებით:

ვინაიდან , ელიფსის ექსცენტრიულობა ერთიანობაზე ნაკლებია: ექსცენტრიულობა ახასიათებს ელიფსის ფორმას. მართლაც, ფორმულიდან (28) გამომდინარეობს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით ნაკლებია მისი ნახევრად მცირე ღერძი b განსხვავდება ნახევრად მთავარი ღერძისგან a, ანუ მით უფრო ნაკლებად წაგრძელებულია ელიფსი (ფოკალური ღერძის გასწვრივ).

შემზღუდველ შემთხვევაში, შედეგი არის a რადიუსის წრე: , ან . ამავდროულად, ელიფსის კერები თითქოს ერწყმის ერთ წერტილს - წრის ცენტრში. წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია:

კავშირი ელიფსსა და წრეს შორის შეიძლება დადგინდეს სხვა თვალსაზრისით. ვაჩვენოთ, რომ a და b ნახევრადღერძებით ელიფსი შეიძლება ჩაითვალოს a რადიუსის წრის პროექციად.

განვიხილოთ ორი სიბრტყე P და Q, რომლებიც ქმნიან მათ შორის ისეთ კუთხეს a, რომლისთვისაც (სურ. 46). ავაშენოთ კოორდინატთა სისტემა P სიბრტყეში, ხოლო Q სიბრტყეში Oxy სისტემა საერთო საწყისი O და საერთო აბსცისის ღერძი, რომელიც ემთხვევა სიბრტყეების გადაკვეთის ხაზს. განვიხილოთ წრე P სიბრტყეში

ცენტრით საწყისთან და რადიუსით ტოლი a. მოდით იყოს თვითნებურად არჩეული წერტილი წრეზე, იყოს მისი პროექცია Q სიბრტყეზე და იყოს M წერტილის პროექცია Ox ღერძზე. ვაჩვენოთ, რომ წერტილი დევს ელიფსზე a და b ნახევრად ღერძებით.

მეორე რიგის ხაზები.
ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება. წრე

საფუძვლიანი შესწავლის შემდეგ სწორი ხაზები თვითმფრინავშიჩვენ ვაგრძელებთ ორგანზომილებიანი სამყაროს გეომეტრიის შესწავლას. ფსონები გაორმაგებულია და გეპატიჟებით ეწვიოთ ელიფსების, ჰიპერბოლების, პარაბოლების თვალწარმტაცი გალერეას, რომლებიც ტიპიური წარმომადგენლები არიან. მეორე რიგის ხაზები. ექსკურსია უკვე დაწყებულია და ჯერ მოკლე ინფორმაცია მუზეუმის სხვადასხვა სართულზე მთელი გამოფენის შესახებ:

ალგებრული წრფის ცნება და მისი რიგი

ხაზს თვითმფრინავზე ეწოდება ალგებრული, თუ შიგნით აფინური კოორდინატთა სისტემამის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება ფორმის ტერმინებისგან ( – რეალური რიცხვი, – არაუარყოფითი მთელი რიცხვები).

როგორც ხედავთ, ალგებრული წრფის განტოლება არ შეიცავს სინუსებს, კოსინუსებს, ლოგარითმებს და სხვა ფუნქციურ ბომონდს. მხოლოდ X და Y არის შემოსული არაუარყოფითი მთელი რიცხვებიგრადუსი.

ხაზის შეკვეთამასში შემავალი ტერმინების მაქსიმალური მნიშვნელობის ტოლი.

შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ალგებრული წრფის კონცეფცია, ისევე როგორც მისი რიგი, არ არის დამოკიდებული არჩევანზე. აფინური კოორდინატთა სისტემამაშასადამე, არსებობის სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ყველა შემდგომი გამოთვლა ხდება ქ დეკარტის კოორდინატები.

ზოგადი განტოლებამეორე რიგის ხაზს აქვს ფორმა, სადაც - თვითნებური რეალური რიცხვები (ჩვეულებრივია მისი დაწერა ორჯერ), და კოეფიციენტები არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი.

თუ , მაშინ განტოლება ამარტივებს , და თუ კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მაშინ ეს არის ზუსტად "ბრტყელი" ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც წარმოადგენს პირველი შეკვეთის ხაზი.

ბევრს ესმოდა ახალი ტერმინების მნიშვნელობა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მასალის 100%-ით ათვისების მიზნით, თითებს ბუდეში ვყრით. ხაზის რიგის დასადგენად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ ყველა ტერმინიმისი განტოლებები და იპოვეთ თითოეული მათგანისთვის გრადუსების ჯამიშემომავალი ცვლადები.

Მაგალითად:

ტერმინი შეიცავს "x"-ს პირველ ხარისხამდე;
ტერმინი შეიცავს „Y“-ს პირველ ხარისხამდე;
ტერმინში არ არის ცვლადები, ამიტომ მათი ძალების ჯამი არის ნული.

ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ განსაზღვრავს განტოლება ხაზს მეორეშეკვეთა:

ტერმინი შეიცავს „x“-ს მე-2 ხარისხამდე;
ჯამს აქვს ცვლადების ძალაუფლების ჯამი: 1 + 1 = 2;
ტერმინი შეიცავს „Y“ მე-2 ხარისხს;
ყველა სხვა პირობა - ნაკლებიგრადუსი.

მაქსიმალური ღირებულება: 2

თუ დამატებით დავუმატებთ, ვთქვათ, ჩვენს განტოლებას, მაშინ ის უკვე დაადგენს მესამე რიგის ხაზი. აშკარაა, რომ მე-3 რიგის ხაზის განტოლების ზოგადი ფორმა შეიცავს ტერმინების „სრულ კომპლექტს“, ცვლადების ძალაუფლების ჯამი, რომელშიც ტოლია სამი:
, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ დაამატებთ ერთ ან მეტ შესაფერის ტერმინს, რომელიც შეიცავს , შემდეგ უკვე ვისაუბრებთ მე -4 შეკვეთის ხაზებიდა ა.შ.

მე-3, მე-4 და უფრო მაღალი რიგის ალგებრულ ხაზებს არაერთხელ უნდა შევხვდეთ, კერძოდ, გაცნობისას. პოლარული კოორდინატთა სისტემა.

თუმცა, დავუბრუნდეთ ზოგად განტოლებას და გავიხსენოთ მისი უმარტივესი სასკოლო ვარიაციები. მაგალითად, წარმოიქმნება პარაბოლა, რომლის განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ჰიპერბოლა ექვივალენტური განტოლებით. თუმცა ყველაფერი ასე მშვიდად არ არის...

ზოგადი განტოლების მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ თითქმის ყოველთვის არ არის ნათელი, რომელ ხაზს განსაზღვრავს იგი. უმარტივეს შემთხვევაშიც კი, მაშინვე ვერ მიხვდებით, რომ ეს ჰიპერბოლაა. ასეთი განლაგება კარგია მხოლოდ მასკარადისთვის, ამიტომ ტიპიური პრობლემა განიხილება ანალიტიკური გეომეტრიის დროს. მე-2 რიგის ხაზის განტოლება კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა.

რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა?

ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული პრობლემის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორი, ჯერ ერთი, მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი ადვილად ჩანს.

აშკარაა, რომ ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიარის სწორი ხაზი. მეორე სართულზე აღარ გველოდება დარაჯი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია:

მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია

მოქმედებების სპეციალური ნაკრების გამოყენებით, მეორე რიგის ხაზის ნებისმიერი განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ფორმამდე:

(და დადებითი რეალური რიცხვებია)

1) – ელიფსის კანონიკური განტოლება;

2) – ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება;

3) – პარაბოლის კანონიკური განტოლება;

4) – წარმოსახვითიელიფსი;

5) – გადამკვეთი ხაზების წყვილი;

6) – წყვილი წარმოსახვითიგადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთი მოქმედი წერტილით);

7) – პარალელური წრფეების წყვილი;

8) – წყვილი წარმოსახვითიპარალელური ხაზები;

9) – წყვილი დამთხვევა ხაზები.

ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში განტოლება აზუსტებს წყვილს პირდაპირი, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ორდინატთა ღერძის პარალელურ წრფეებს? Უპასუხე არ ითვლება კანონიკურად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით, ხოლო კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან მას ფუნდამენტურად ახალი არაფერი მოაქვს.

ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა სხვადასხვა ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს ამოცანების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის/ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს.

ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება

მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ „როგორ ავაშენოთ ელიფსი“, „განსხვავება ელიფსა და ოვალს შორის“ და „ელიფსის ექსცენტრიულობა“.

ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. მე მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ ელიფსის განმარტებას, მაგრამ ახლა დროა დავისვენოთ მოლაპარაკე მაღაზიიდან და მოვაგვაროთ საერთო პრობლემა:

როგორ ავაშენოთ ელიფსი?

დიახ, უბრალოდ აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება ხშირად ხდება და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი სწორად ვერ უმკლავდება ნახატს:

მაგალითი 1

ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი

გამოსავალი: ჯერ განტოლება მოვიყვანოთ კანონიკურ ფორმამდე:

რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც განლაგებულია წერტილებში. ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

Ამ შემთხვევაში :


ხაზის სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
ხაზის სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი დაურეკა ნახევრად ძირითადი ლილვიელიფსი;
ნომერი – მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .

იმისთვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება კონკრეტული ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს.

ყველაფერი კარგადაა, გლუვი და ლამაზია, მაგრამ არის ერთი სიფრთხილე: ნახატი პროგრამის გამოყენებით გავაკეთე. და თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ნახატი ნებისმიერი აპლიკაციის გამოყენებით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე უჯრა ქაღალდი დევს, ხელებზე კი თაგვები წრეებში ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ამაო არ არის, რომ კაცობრიობამ გამოიგონა სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი ხელსაწყოები ხატვისთვის.

ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შევძლოთ ელიფსის ზუსტად დახატვა მხოლოდ წვეროების ცოდნით. კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევრად ღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგადად, ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა.

ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მომწონს კონსტრუქცია კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით, რადგან ალგორითმი არ არის უმოკლესი და ნახატი საგრძნობლად გადატვირთულია. გადაუდებელი შემთხვევის შემთხვევაში მიმართეთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ:

შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად:
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს;
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.

კანონიკური განტოლებით განსაზღვრული ელიფსი სიმეტრიულია როგორც კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე საწყისის მიმართ. და ეს შესანიშნავია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის უსასყიდლოების საწინდარია. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ ჩვენ გვჭირდება ფუნქცია . ითხოვს დამატებითი ქულების პოვნა აბსცისებით . მოდით შეეხეთ სამ SMS შეტყობინებას კალკულატორზე:

რა თქმა უნდა, ასევე სასიამოვნოა, რომ თუ გამოთვლებში სერიოზული შეცდომა დაშვებულია, მაშინვე გახდება ნათელი მშენებლობის დროს.

მოდით აღვნიშნოთ წერტილები ნახაზზე (წითელი), სიმეტრიული წერტილები დარჩენილ რკალებზე (ლურჯი) და ყურადღებით დავაკავშიროთ მთელი კომპანია ხაზით:


ჯობია, საწყისი ჩანახატი ძალიან თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ დააჭიროთ ფანქრით. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?

ელიფსის განმარტება. ელიფსის კერები და ელიფსის ექსცენტრიულობა

ელიფსი ოვალის განსაკუთრებული შემთხვევაა. სიტყვა "ოვალური" არ უნდა გავიგოთ ფილისტიმური გაგებით ("ბავშვმა დახატა ოვალი" და ა.შ.). ეს არის მათემატიკური ტერმინი, რომელსაც აქვს დეტალური ფორმულირება. ამ გაკვეთილის მიზანი არ არის განიხილოს ოვალების თეორია და მათი სხვადასხვა ტიპები, რომლებსაც პრაქტიკულად არ ექცევა ყურადღება ანალიტიკური გეომეტრიის სტანდარტულ კურსში. და, უფრო აქტუალური საჭიროებების შესაბამისად, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავდივართ ელიფსის მკაცრ განმარტებაზე:

ელიფსიარის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეულის მანძილის ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან, ე.წ. ხრიკებიელიფსი არის მუდმივი სიდიდე, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ელიფსის მთავარი ღერძის სიგრძეს: .
ამ შემთხვევაში ფოკუსებს შორის მანძილი ამ მნიშვნელობაზე ნაკლებია: .

ახლა ყველაფერი უფრო ნათელი გახდება:

წარმოიდგინეთ, რომ ლურჯი წერტილი "მოგზაურობს" ელიფსის გასწვრივ. ასე რომ, არ აქვს მნიშვნელობა ელიფსის რომელ წერტილს ავიღებთ, სეგმენტების სიგრძის ჯამი ყოველთვის იგივე იქნება:

დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ჯამის მნიშვნელობა ნამდვილად რვის ტოლია. გონებრივად მოათავსეთ წერტილი "um" ელიფსის მარჯვენა წვეროზე, შემდეგ: , რაც უნდა შემოწმდეს.

მისი დახატვის კიდევ ერთი მეთოდი ემყარება ელიფსის განმარტებას. უმაღლესი მათემატიკა ზოგჯერ დაძაბულობისა და სტრესის მიზეზია, ამიტომ დროა კიდევ ერთი განტვირთვის სესია. გთხოვთ, აიღეთ ვატმენის ქაღალდი ან მუყაოს დიდი ფურცელი და მიამაგრეთ მაგიდაზე ორი ლურსმნით. ეს იქნება ხრიკები. ამობურცულ ფრჩხილის თავებს მიამაგრეთ მწვანე ძაფი და ფანქრით ბოლომდე მიათრევთ. ფანქრის ტყვია დასრულდება გარკვეულ წერტილში, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს. ახლა დაიწყეთ ფანქრის გადაადგილება ფურცლის გასწვრივ, შეინარჩუნეთ მწვანე ძაფი დაჭიმული. განაგრძეთ პროცესი სანამ არ დაბრუნდებით საწყის წერტილში... მშვენიერია... ნახატის შემოწმება შესაძლებელია ექიმმა და მასწავლებელმა =)

როგორ მოვძებნოთ ელიფსის კერები?

ზემოხსენებულ მაგალითში მე გამოვხატე "მზა" ფოკუსური წერტილები და ახლა ჩვენ ვისწავლით როგორ გამოვყოთ ისინი გეომეტრიის სიღრმიდან.

თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მის კერებს აქვთ კოორდინატები , სად არის მანძილი თითოეული ფოკუსიდან ელიფსის სიმეტრიის ცენტრამდე.

გამოთვლები უფრო მარტივია, ვიდრე მარტივი:

! ფოკუსების კონკრეტული კოორდინატები ვერ გაიგივება „ცე“-ს მნიშვნელობით!ვიმეორებ, რომ ეს არის DISTANCE თითოეული ფოკუსიდან ცენტრამდე(რომელიც ზოგად შემთხვევაში არ უნდა მდებარეობდეს ზუსტად საწყისზე).
და, შესაბამისად, კერებს შორის მანძილი ასევე არ შეიძლება იყოს მიბმული ელიფსის კანონიკურ პოზიციასთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსი შეიძლება გადავიდეს სხვა ადგილას და მნიშვნელობა უცვლელი დარჩეს, ხოლო კერები ბუნებრივად შეცვლიან კოორდინატებს. Გთხოვთ გაითვალისწინოთ ამ მომენტშითემის შემდგომი შესწავლისას.

ელიფსის ექსცენტრიულობა და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის თანაფარდობა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები დიაპაზონში.

ჩვენს შემთხვევაში:

მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დამოკიდებული ელიფსის ფორმა მის ექსცენტრიულობაზე. Ამისთვის დააფიქსირეთ მარცხენა და მარჯვენა წვეროებიგანხილული ელიფსის, ანუ ნახევარმთავარი ღერძის მნიშვნელობა მუდმივი დარჩება. მაშინ ექსცენტრიულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას: .

დავიწყოთ ექსცენტრიულობის მნიშვნელობის ერთიანობასთან მიახლოება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ. Რას ნიშნავს? ...დაიმახსოვრე ხრიკები . ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის ფოკუსები აბსცისის ღერძის გასწვრივ გვერდითი წვეროებამდე "გადაინაცვლებს". და რადგან „მწვანე სეგმენტები არ არის რეზინი“, ელიფსი აუცილებლად დაიწყებს გაბრტყელებას და გადაიქცევა ღერძზე დაყრილ ძეხვად.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ელიფსის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ერთიანობასთან, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი.

ახლა მოდი საპირისპირო პროცესის მოდელირება: ელიფსის კერები ერთმანეთისკენ წავიდნენ, ცენტრს მიუახლოვდნენ. ეს ნიშნავს, რომ „ce“-ს მნიშვნელობა სულ უფრო და უფრო მცირდება და, შესაბამისად, ექსცენტრიულობა ნულისკენ მიისწრაფვის: .
ამ შემთხვევაში, "მწვანე სეგმენტები", პირიქით, "გადატვირთული გახდება" და ისინი დაიწყებენ ელიფსის ხაზის "დაძაბვას" ზემოთ და ქვემოთ.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო მსგავსია ელიფსი... შეხედეთ შემზღუდველ შემთხვევას, როდესაც კერები წარმატებით გაერთიანებულია საწყისთან:

წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა

მართლაც, ნახევრადღერძების თანასწორობის შემთხვევაში, ელიფსის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას, რომელიც რეფლექსურად გარდაიქმნება სკოლიდან კარგად ცნობილი "a" რადიუსის სათავეში ცენტრის მქონე წრის განტოლებაში.

პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება აღნიშვნა „სალაპარაკო“ ასო „ერ“-ით: . რადიუსი არის სეგმენტის სიგრძე, წრის თითოეული წერტილი ამოღებულია ცენტრიდან რადიუსის მანძილით.

გაითვალისწინეთ, რომ ელიფსის განმარტება რჩება სრულიად სწორი: კერები ემთხვევა, ხოლო წრის თითოეული წერტილისთვის დამთხვევა სეგმენტების სიგრძის ჯამი მუდმივია. ვინაიდან კერებს შორის მანძილი არის, მაშინ ნებისმიერი წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია.

წრის აგება მარტივი და სწრაფია, უბრალოდ გამოიყენეთ კომპასი. თუმცა, ზოგჯერ საჭიროა მისი ზოგიერთი წერტილის კოორდინატების გარკვევა, ამ შემთხვევაში მივდივართ ნაცნობ გზაზე - განტოლებას მივყავართ მხიარულ მატანოვის ფორმამდე:

– ზედა ნახევარწრის ფუნქცია;
- ქვედა ნახევარწრის ფუნქცია.

შემდეგ ჩვენ ვიპოვით საჭირო მნიშვნელობებს, განასხვავებენ, ინტეგრირებადა გააკეთე სხვა კარგი საქმეები.

სტატია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ ცნობისთვისაა, მაგრამ როგორ შეიძლება იცხოვრო სამყაროში სიყვარულის გარეშე? კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 2

შეადგინეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება, თუ ცნობილია მისი ერთ-ერთი კერა და ნახევრად მცირე ღერძი (ცენტრი სათავეშია). იპოვეთ წვეროები, დამატებითი წერტილები და დახაზეთ ხაზი ნახაზზე. გამოთვალეთ ექსცენტრიულობა.

ამოხსნა და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს

დავამატოთ მოქმედება:

მოტრიალეთ და პარალელურად თარგმნეთ ელიფსი

დავუბრუნდეთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, კერძოდ, იმ მდგომარეობას, რომლის საიდუმლოც აწამებს ცნობისმოყვარე გონებას ამ მრუდის პირველი ხსენების შემდეგ. ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ ელიფსს , მაგრამ პრაქტიკაში არ არის შესაძლებელი განტოლების დაკმაყოფილება ? თუმცა აქაც ხომ ელიფსია!

ასეთი განტოლება იშვიათია, მაგრამ გვხვდება. და ის რეალურად განსაზღვრავს ელიფსს. მოდი გავამჟღავნოთ:

აგების შედეგად მიიღეს ჩვენი მშობლიური ელიფსი, რომელიც შემოტრიალდა 90 გრადუსით. ანუ - ეს არაკანონიკური ჩანაწერიელიფსი . ჩანაწერი!- განტოლება არ განსაზღვრავს სხვა ელიფსს, ვინაიდან ღერძზე არ არის წერტილები (ფოკუსები), რომლებიც დააკმაყოფილებს ელიფსის განმარტებას.

ელიფსი არის სიბრტყეზე წერტილების გეომეტრიული ადგილი, რომელთაგან დაშორების ჯამი თითოეულიდან ორ მოცემულ წერტილამდე F_1 და F_2 არის მუდმივი მნიშვნელობა (2a), რომელიც აღემატება მანძილს (2c) მოცემულ წერტილებს შორის (ნახ. 3.36, ა). ეს გეომეტრიული განსაზღვრება გამოხატავს ელიფსის ფოკუსური თვისება.

ელიფსის ფოკუსური თვისება

F_1 და F_2 წერტილებს უწოდებენ ელიფსის ფოკუსებს, მათ შორის მანძილი 2c=F_1F_2 არის ფოკუსური მანძილი, F_1F_2 სეგმენტის შუა O არის ელიფსის ცენტრი, რიცხვი 2a არის მთავარი ღერძის სიგრძე. ელიფსი (შესაბამისად, რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი). სეგმენტებს F_1M და F_2M, რომლებიც აკავშირებენ ელიფსის თვითნებურ M წერტილს მის კერებთან, ეწოდება M წერტილის კეროვანი რადიუსი. ელიფსის ორი წერტილის დამაკავშირებელ სეგმენტს ელიფსის აკორდი ეწოდება.

შეფარდება e=\frac(c)(a) ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობას. განმარტებიდან (2a>2c) გამომდინარეობს, რომ 0\leqslant e<1 . При e=0 , т.е. при c=0 , фокусы F_1 и F_2 , а также центр O совпадают, и эллипс является окружностью радиуса a (рис.3.36,6).

ელიფსის გეომეტრიული განმარტება, რომელიც გამოხატავს მის ფოკუსურ თვისებას, უდრის მის ანალიტიკურ განმარტებას - ელიფსის კანონიკური განტოლებით მოცემული ხაზი:

მართლაც, შემოვიღოთ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა (ნახ. 3.36c). კოორდინატთა სისტემის საწყისად ვიღებთ ელიფსის O ცენტრს; ფოკუსში (ფოკალური ღერძი ან ელიფსის პირველი ღერძი) გამავალ სწორ ხაზს ვიღებთ აბსცისის ღერძად (მასზე დადებითი მიმართულება არის F_1 წერტილიდან F_2 წერტილამდე); ავიღოთ სწორი ხაზი ფოკუსური ღერძის პერპენდიკულარული და რომელიც გადის ელიფსის ცენტრს (ელიფსის მეორე ღერძი) ორდინატთა ღერძად (მიმართულება ორდინატთა ღერძზე არჩეულია ისე, რომ მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა Oxy სწორია) .

მოდით შევქმნათ ელიფსის განტოლება მისი გეომეტრიული განმარტების გამოყენებით, რომელიც გამოხატავს ფოკუსურ თვისებას. შერჩეულ კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ განვსაზღვრავთ კერების კოორდინატებს F_1(-c,0),~F_2(c,0). M(x,y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს, გვაქვს:

\vline\,\overrightarrow(F_1M)\,\vline\,+\vline\,\overrightarrow(F_2M)\,\vline\,=2a.

ამ თანასწორობის კოორდინატების სახით ჩაწერისას მივიღებთ:

\sqrt((x+c)^2+y^2)+\sqrt((x-c)^2+y^2)=2a.

მეორე რადიკალს გადავიტანთ მარჯვენა მხარეს, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში და მივყავართ მსგავსი ტერმინები:

(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt((x-c)^2+y^2)+(x-c)^2+y^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი ~4a\sqrt((x-c )^2+y^2)=4a^2-4cx.

4-ზე გაყოფით, განტოლების ორივე მხარეს კვადრატში ვსვამთ:

A^2(x-c)^2+a^2y^2=a^4-2a^2cx+c^2x^2~\მარცხენა მარჯვენა ისარი~ (a^2-c^2)^2x^2+a^2y^ 2=a^2(a^2-c^2).

დანიშნულმა b=\sqrt(a^2-c^2)>0, ვიღებთ b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2. ორივე მხარის გაყოფით a^2b^2\ne0-ზე მივდივართ ელიფსის კანონიკურ განტოლებამდე:

\frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1.

ამიტომ, არჩეული კოორდინატთა სისტემა კანონიკურია.

თუ ელიფსის კერები ემთხვევა, მაშინ ელიფსი არის წრე (სურ. 3.36,6), ვინაიდან a=b. ამ შემთხვევაში, ნებისმიერი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა, რომელსაც წერტილი აქვს წერტილი, კანონიკური იქნება O\equiv F_1\equiv F_2, და განტოლება x^2+y^2=a^2 არის წრის განტოლება, რომელსაც აქვს ცენტრი O წერტილში და რადიუსი ტოლია a-ს.

მსჯელობის საპირისპირო თანმიმდევრობით განხორციელებისას შეიძლება აჩვენოს, რომ ყველა წერტილი, რომლის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას (3.49) და მხოლოდ ისინი, მიეკუთვნება წერტილების ადგილს, რომელსაც ეწოდება ელიფსი. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსის ანალიტიკური განმარტება უდრის მის გეომეტრიულ განმარტებას, რომელიც გამოხატავს ელიფსის კეროვან თვისებას.

ელიფსის სარეჟისორო საკუთრება

ელიფსის მიმართულებები არის ორი სწორი ხაზი, რომელიც გადის კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის პარალელურად მისგან იმავე მანძილზე \frac(a^2)(c). c=0-ზე, როდესაც ელიფსი არის წრე, არ არსებობს მიმართულებები (შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ მიმართულებები უსასრულობაშია).

ელიფსი ექსცენტრიულობით 0 სიბრტყეში წერტილების ლოკუსი, რომელთაგან თითოეულისთვის მანძილის შეფარდება მოცემულ წერტილთან F (ფოკუსი) მანძილამდე მოცემულ სწორ წრფესთან d (მიმართულება), რომელიც არ გადის მოცემულ წერტილში, არის მუდმივი და ტოლია ექსცენტრიულობასთან. ე ( ელიფსის სარეჟისორო საკუთრება). აქ F და d არის ელიფსის ერთ-ერთი კერა და მისი ერთ-ერთი მიმართულება, რომელიც მდებარეობს კანონიკური კოორდინატთა სისტემის ორდინატთა ღერძის ერთ მხარეს, ე.ი. F_1,d_1 ან F_2,d_2.

ფაქტობრივად, მაგალითად, ფოკუსისთვის F_2 და მიმართულებისთვის d_2 (ნახ. 3.37,6) მდგომარეობა \frac(r_2)(\rho_2)=eშეიძლება დაიწეროს კოორდინატის სახით:

\sqrt((x-c)^2+y^2)=e\cdot\!\left(\frac(a^2)(c)-x\right)

ირაციონალურობისგან თავის დაღწევა და ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~a^2-c^2=b^2, მივდივართ კანონიკურ ელიფსის განტოლებამდე (3.49). მსგავსი მსჯელობა შეიძლება განხორციელდეს ფოკუსისთვის F_1 და დირექტორისთვის d_1\colon\frac(r_1)(\rho_1)=e.

ელიფსის განტოლება პოლარულ კოორდინატულ სისტემაში

ელიფსის განტოლებას პოლარული კოორდინატთა სისტემაში F_1r\varphi (ნახ. 3.37, c და 3.37 (2)) აქვს ფორმა

R=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi)

სადაც p=\frac(b^2)(a) არის ელიფსის ფოკალური პარამეტრი.

ფაქტობრივად, ავირჩიოთ ელიფსის მარცხენა ფოკუსი F_1, როგორც პოლარული კოორდინატთა სისტემის პოლუსი, ხოლო სხივი F_1F_2, როგორც პოლარული ღერძი (ნახ. 3.37, გ). მაშინ თვითნებური წერტილისთვის M(r,\varphi), ელიფსის გეომეტრიული განმარტების (ფოკალური თვისების) მიხედვით გვაქვს r+MF_2=2a. ჩვენ გამოვხატავთ მანძილს M(r,\varphi) და F_2(2c,0) წერტილებს შორის (იხ. 2.8 შენიშვნების მე-2 პუნქტი):

\begin(გასწორებული)F_2M&=\sqrt((2c)^2+r^2-2\cdot(2c)\cdot r\cos(\varphi-0))=\\ &=\sqrt(r^2- 4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2).\end (გასწორებული)

მაშასადამე, კოორდინატულ ფორმაში ელიფსის განტოლებას F_1M+F_2M=2a აქვს ფორმა

R+\sqrt(r^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2)=2\cdot a.

ჩვენ გამოვყოფთ რადიკალს, კვადრატში განტოლების ორივე მხარეს, ვყოფთ 4-ზე და წარმოვადგენთ მსგავს ტერმინებს:

R^2-4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2~\Leftrightarrow~a\cdot\!\left(1-\frac(c)(a)\cdot\cos \varphi\right)\!\cdot r=a^2-c^2.

გამოხატეთ პოლარული რადიუსი r და გააკეთეთ ჩანაცვლება e=\frac(c)(a),~b^2=a^2-c^2,~p=\frac(b^2)(a):

R=\frac(a^2-c^2)(a\cdot(1-e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(b^2)(a\cdot(1 -e\cdot\cos\varphi)) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),

ქ.ე.დ.

კოეფიციენტების გეომეტრიული მნიშვნელობა ელიფსის განტოლებაში

ვიპოვოთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები (იხ. სურ. 3.37a) კოორდინატთა ღერძებთან (ელიფსის წვეროები). y=0 განტოლებაში ჩანაცვლებით ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს აბსცისის ღერძთან (ფოკალური ღერძით): x=\pm a. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით შემავალი ფოკუსური ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2a-ს. ამ სეგმენტს, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, ეწოდება ელიფსის მთავარი ღერძი, ხოლო რიცხვი a არის ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი. x=0 ჩანაცვლებით მივიღებთ y=\pm b. მაშასადამე, ელიფსის შიგნით შემავალი ელიფსის მეორე ღერძის სეგმენტის სიგრძე უდრის 2b-ს. ამ სეგმენტს ელიფსის მცირე ღერძი ეწოდება, ხოლო b რიცხვი არის ელიფსის ნახევრად ღერძი.

მართლაც, b=\sqrt(a^2-c^2)\leqslant\sqrt(a^2)=a, ხოლო b=a ტოლობა მიიღება მხოლოდ c=0 შემთხვევაში, როცა ელიფსი არის წრე. დამოკიდებულება k=\frac(b)(a)\leqslant1ეწოდება ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი.

შენიშვნები 3.9

1. სწორი ხაზები x=\pm a,~y=\pm b ზღუდავს მთავარ ოთხკუთხედს კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომლის შიგნით არის ელიფსი (იხ. სურ. 3.37, ა).

2. ელიფსი შეიძლება განისაზღვროს როგორც წრის დიამეტრზე შეკუმშვით მიღებული წერტილების ადგილი.

მართლაც, მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში Oxy წრის განტოლება იყოს x^2+y^2=a^2. x ღერძზე შეკუმშვისას კოეფიციენტით 0

\begin(cases)x"=x,\\y"=k\cdot y.\end(cases)

განტოლებაში x=x" და y=\frac(1)(k)y" წრეების ჩანაცვლებით, ვიღებთ M(x,y) წერტილის M"(x",y") გამოსახულების კოორდინატთა განტოლებას. ) :

(x")^2+(\left(\frac(1)(k)\cdot y"\right)\^2=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{k^2\cdot a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad \frac{(x")^2}{a^2}+\frac{(y")^2}{b^2}=1, !}

ვინაიდან b=k\cdot a . ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება.

3. კოორდინატთა ღერძები (კანონიკური კოორდინატთა სისტემის) არის ელიფსის სიმეტრიის ღერძი (ე.წ. ელიფსის მთავარ ღერძებს), ხოლო მისი ცენტრი არის სიმეტრიის ცენტრი.

მართლაც, თუ წერტილი M(x,y) ეკუთვნის ელიფსს. მაშინ M"(x,-y) და M""(-x,y) წერტილები, კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში M წერტილის სიმეტრიული, ასევე იმავე ელიფსს ეკუთვნის.

4. ელიფსის განტოლებიდან პოლარული კოორდინატთა სისტემაში r=\frac(p)(1-e\cos\varphi)(იხ. სურ. 3.37, გ), დაზუსტებულია ფოკუსური პარამეტრის გეომეტრიული მნიშვნელობა - ეს არის ელიფსის აკორდის სიგრძის ნახევარი, რომელიც გადის მის ფოკუსზე პერპენდიკულარულად კეროვანი ღერძის მიმართ ( r = p at \varphi=\frac(\pi)(2)).

5. ექსცენტრიულობა e ახასიათებს ელიფსის ფორმას, კერძოდ განსხვავებას ელიფსსა და წრეს შორის. რაც უფრო დიდია e, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი და რაც უფრო ახლოს არის e ნულთან, მით უფრო უახლოვდება ელიფსი წრეს (სურ. 3.38a). მართლაც, იმის გათვალისწინებით, რომ e=\frac(c)(a) და c^2=a^2-b^2, მივიღებთ

E^2=\frac(c^2)(a^2)=\frac(a^2-b^2)(a^2)=1-(\left(\frac(a)(b)\მარჯვნივ )\^2=1-k^2, !}

სადაც k არის ელიფსის შეკუმშვის კოეფიციენტი, 0

6. განტოლება \frac(x^2)(a^2)+\frac(y^2)(b^2)=1ზე ა

7. განტოლება \frac((x-x_0)^2)(a^2)+\frac((y-y_0)^2)(b^2)=1,~a\geqslant bგანსაზღვრავს ელიფსს ცენტრით O"(x_0,y_0) წერტილით, რომლის ღერძები კოორდინატთა ღერძების პარალელურია (ნახ. 3.38, გ). ეს განტოლება მცირდება კანონიკურთან პარალელური გადაყვანის გამოყენებით (3.36).

როდესაც a=b=R განტოლება (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2აღწერს R რადიუსის წრეს ცენტრით O წერტილში"(x_0,y_0) .

ელიფსის პარამეტრული განტოლება

ელიფსის პარამეტრული განტოლებაკანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში აქვს ფორმა

\begin(cases)x=a\cdot\cos(t),\\ y=b\cdot\sin(t),\end(cases)0\leqslant t<2\pi.

მართლაც, ამ გამონათქვამების ჩანაცვლებით განტოლებით (3.49), მივდივართ მთავარ ტრიგონომეტრიულ იდენტობამდე \cos^2t+\sin^2t=1.

მაგალითი 3.20.დახატეთ ელიფსი \frac(x^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1კანონიკურ კოორდინატთა სისტემაში Oxy. იპოვეთ ნახევრადღერძები, ფოკუსური მანძილი, ექსცენტრიულობა, შეკუმშვის კოეფიციენტი, ფოკალური პარამეტრი, მიმართულების განტოლებები.

გამოსავალი.მოცემული განტოლების კანონიკურთან შედარებისას ვადგენთ ნახევრადღერძებს: a=2 - ნახევრად მთავარი ღერძი, b=1 - ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი. ვაშენებთ მთავარ ოთხკუთხედს გვერდებით 2a=4,~2b=2 საწყისთან ცენტრით (სურ. 3.39). ელიფსის სიმეტრიის გათვალისწინებით, ჩვენ მას ვუთავსებთ მთავარ მართკუთხედს. საჭიროების შემთხვევაში, განსაზღვრეთ ელიფსის ზოგიერთი წერტილის კოორდინატები. მაგალითად, x=1 ელიფსის განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ

\frac(1^2)(2^2)+\frac(y^2)(1^2)=1 \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \quad y^2=\frac(3)(4) \quad \მარცხენა მარჯვენა ისარი \ quad y=\pm\frac(\sqrt(3))(2).

ამიტომ, წერტილები კოორდინატებით \left(1;\,\frac(\sqrt(3))(2)\right)\!,~\left(1;\,-\frac(\sqrt(3))(2)\right)- ელიფსს ეკუთვნის.

შეკუმშვის კოეფიციენტის გაანგარიშება k=\frac(b)(a)=\frac(1)(2); ფოკუსური მანძილი 2c=2\sqrt(a^2-b^2)=2\sqrt(2^2-1^2)=2\sqrt(3); ექსცენტრიულობა e=\frac(c)(a)=\frac(\sqrt(3))(2); ფოკალური პარამეტრი p=\frac(b^2)(a)=\frac(1^2)(2)=\frac(1)(2). ჩვენ ვადგენთ დირექტივის განტოლებებს: x=\pm\frac(a^2)(c)~\მარცხნივ ისარი~x=\pm\frac(4)(\sqrt(3)).

Javascript გამორთულია თქვენს ბრაუზერში.
გამოთვლების შესასრულებლად, თქვენ უნდა ჩართოთ ActiveX კონტროლი!

11.1. Ძირითადი ცნებები

განვიხილოთ ხაზები, რომლებიც განსაზღვრულია მეორე ხარისხის განტოლებებით მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში

განტოლების კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაგრამ A, B ან C რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნული. ასეთ ხაზებს მეორე რიგის ხაზებს (მრუდეებს) უწოდებენ. ქვემოთ დადგინდება, რომ განტოლება (11.1) განსაზღვრავს წრეს, ელიფსს, ჰიპერბოლას ან პარაბოლას სიბრტყეზე. სანამ ამ განცხადებაზე გადავიდოდეთ, შევისწავლოთ ჩამოთვლილი მრუდების თვისებები.

11.2. წრე

მეორე რიგის უმარტივესი მრუდი არის წრე. შეგახსენებთ, რომ R რადიუსის წრე წერტილით ცენტრით არის სიბრტყის ყველა M წერტილის სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები x 0, y 0 და - თვითნებური წერტილი წრეზე (იხ. სურ. 48).

შემდეგ მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებას

(11.2)

განტოლება (11.2) კმაყოფილდება მოცემულ წრის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება წრეზე არ მდებარე წერტილის კოორდინატებით.

განტოლება (11.2) ეწოდება წრის კანონიკური განტოლება

კერძოდ, დაყენება და , ვიღებთ წრის განტოლებას, რომლის ცენტრი სათავეშია .

წრის განტოლება (11.2) მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას. ამ განტოლების მეორე რიგის მრუდის ზოგად განტოლებასთან (11.1) შედარებისას ადვილი შესამჩნევია, რომ წრის განტოლებისთვის ორი პირობაა დაკმაყოფილებული:

1) x 2 და y 2-ის კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია;

2) არ არსებობს წევრი, რომელიც შეიცავს მიმდინარე კოორდინატების ნამრავლს xy.

განვიხილოთ საპირისპირო პრობლემა. მნიშვნელობების დაყენებით და განტოლებაში (11.1) ვიღებთ

მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება:

(11.4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლება (11.3) განსაზღვრავს წრეს პირობით . მისი ცენტრი არის წერტილში და რადიუსი

.

თუ , მაშინ განტოლებას (11.3) აქვს ფორმა

.

ის კმაყოფილდება ერთი წერტილის კოორდინატებით . ამ შემთხვევაში ისინი ამბობენ: "წრე გადაგვარდა წერტილად" (აქვს ნულოვანი რადიუსი).

თუ , შემდეგ განტოლება (11.4) და შესაბამისად ეკვივალენტური განტოლება (11.3) არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს, რადგან განტოლების (11.4) მარჯვენა მხარე უარყოფითია, ხოლო მარცხენა არ არის უარყოფითი (ვთქვათ: „წარმოსახვითი წრე“).

11.3. ელიფსი

კანონიკური ელიფსის განტოლება

ელიფსი არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც აღემატება მანძილს კერებს შორის.

მოდით აღვნიშნოთ ფოკუსები F 1და F 2, მათ შორის მანძილი არის 2 გ, ხოლო მანძილების ჯამი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან კერებამდე - 2-ში ა(იხ. სურ. 49). განმარტებით 2 ა > 2გ, ე.ი. ა > გ.

ელიფსის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F 1და F 2იწვა ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუას F 1 F 2. მაშინ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: და .

მოდით იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი. მაშინ, ელიფსის განმარტებით, ე.ი.

ეს, არსებითად, არის ელიფსის განტოლება.

მოდით გადავიყვანოთ განტოლება (11.5) უფრო მარტივ ფორმად შემდეგნაირად:

იმიტომ რომ ა>თან, რომ . დავსვათ

(11.6)

შემდეგ ბოლო განტოლება მიიღებს ფორმას ან

(11.7)

შეიძლება დადასტურდეს, რომ განტოლება (11.7) ორიგინალური განტოლების ტოლია. ჰქვია კანონიკური ელიფსის განტოლება .

ელიფსი არის მეორე რიგის მრუდი.

ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

მოდით დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.7) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ წერტილები ,, ასევე ეკუთვნის მას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია და ღერძების მიმართ, ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. დაყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ორ წერტილს და , სადაც ღერძი კვეთს ელიფსს (იხ. სურ. 50). განტოლებაში ჩასვით (11.7) ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან: და . ქულები ა 1 , A 2 , B 1, B 2უწოდებენ ელიფსის წვეროები. სეგმენტები ა 1 A 2და B 1 B 2, ისევე როგორც მათი სიგრძე 2 ადა 2 ბშესაბამისად იწოდებიან ძირითადი და მცირე ღერძიელიფსი. ნომრები ადა ბეძახიან შესაბამისად დიდს და პატარას ღერძების ლილვებიელიფსი.

3. (11.7) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთს, ე.ი. უტოლობები და ან და ადგილი აქვს. შესაბამისად, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში.

4. განტოლებაში (11.7) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. შესაბამისად, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორე მცირდება, ანუ თუ იზრდება, მცირდება და პირიქით.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 50 (ოვალური დახურული მრუდი).

მეტი ინფორმაცია ელიფსის შესახებ

ელიფსის ფორმა დამოკიდებულია თანაფარდობაზე. როდესაც ელიფსი იქცევა წრედ, ელიფსის განტოლება (11.7) იღებს ფორმას. თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება ელიფსის ფორმის დასახასიათებლად. კერებს შორის მანძილის ნახევრის შეფარდებას ელიფსის ნახევრად მთავარ ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა, ხოლო o6o აღინიშნება ε ასოთი ("ეფსილონი"):

0-ით<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით უფრო ნაკლებად გაბრტყელდება ელიფსი; თუ ჩვენ დავაყენებთ ε = 0, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

მოდით M(x;y) იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი F 1 და F 2 კერებით (იხ. სურ. 51). F 1 M = r 1 და F 2 M = r 2 სეგმენტების სიგრძეებს M წერტილის კეროვანი რადიუსი ეწოდება. ცხადია,

ფორმულები ინახება

პირდაპირი ხაზები ე.წ

თეორემა 11.1.თუ არის მანძილი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან რომელიმე ფოკუსამდე, d არის მანძილი იმავე წერტილიდან ამ ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე, მაშინ თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა ელიფსის ექსცენტრიულობის ტოლი:

თანასწორობიდან (11.6) გამომდინარეობს, რომ . თუ, მაშინ განტოლება (11.7) განსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ძირითადი ღერძი დევს Oy ღერძზე, ხოლო მცირე ღერძი Ox ღერძზე (იხ. სურ. 52). ასეთი ელიფსის კერები არის წერტილებში და , სადაც .

11.4. ჰიპერბოლა

კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

ჰიპერბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა ნაკლები მანძილი კერებს შორის.

მოდით აღვნიშნოთ ფოკუსები F 1და F 2მათ შორის მანძილი არის 2 წმ, და ჰიპერბოლის თითოეული წერტილიდან კერამდე მანძილების სხვაობის მოდული 2ა. ა-პრიორიტეტი 2ა < 2 წმ, ე.ი. ა < გ.

ჰიპერბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F 1და F 2იწვა ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუას F 1 F 2(იხ. სურ. 53). მაშინ კერებს ექნება კოორდინატები და

მოდით იყოს ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი. შემდეგ, ჰიპერბოლის განმარტების მიხედვით ან, ანუ გამარტივების შემდეგ, როგორც ეს გაკეთდა ელიფსის განტოლების გამოყვანისას, ვიღებთ კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

(11.9)

(11.10)

ჰიპერბოლა არის მეორე რიგის ხაზი.

ჰიპერბოლის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

მოდით დავადგინოთ ჰიპერბოლის ფორმა მისი კაკონური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.9) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში. შესაბამისად, ჰიპერბოლა არის სიმეტრიული ღერძების და , ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ე.წ. ჰიპერბოლის ცენტრი.

2. იპოვეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. განტოლებაში (11.9) ჩასვით, ვპოულობთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის ორ წერტილს ღერძთან: და. ჩასვით (11.9), ვიღებთ , რაც არ შეიძლება იყოს. ამიტომ ჰიპერბოლა არ კვეთს Oy ღერძს.

პუნქტები ე.წ მწვერვალები ჰიპერბოლები და სეგმენტი

რეალური ღერძი ხაზის სეგმენტი - რეალური ნახევრად ღერძი ჰიპერბოლა.

წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი , ნომერი ბ - წარმოსახვითი ნახევრადღერძი . მართკუთხედი გვერდებით 2ადა 2ბდაურეკა ჰიპერბოლის ძირითადი მართკუთხედი .

3. (11.9) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მინუენდი არ არის ერთზე ნაკლები, ანუ ის ან . ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის წერტილები განლაგებულია წრფის მარჯვნივ (ჰიპერბოლის მარჯვენა განშტოება) და ხაზის მარცხნივ (ჰიპერბოლის მარცხენა განშტოება).

4. ჰიპერბოლის (11.9) განტოლებიდან ირკვევა, რომ როდესაც ის იზრდება, იზრდება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ განსხვავება ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობას ერთის ტოლი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლას აქვს 54-ზე ნაჩვენები ფორმა (მრუდი, რომელიც შედგება ორი შეუზღუდავი ტოტისაგან).

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

სწორ ხაზს L ეწოდება ასიმპტოტი შეუზღუდავი მრუდი K, თუ მანძილი d K მრუდის M წერტილიდან ამ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის, როდესაც M წერტილის მანძილი K მრუდის გასწვრივ საწყისიდან შეუზღუდავია. სურათი 55 ასახავს ასიმპტოტის კონცეფციის ილუსტრაციას: სწორი ხაზი L არის ასიმპტოტი K მრუდისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტი:

(11.11)

ვინაიდან სწორი ხაზები (11.11) და ჰიპერბოლა (11.9) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, საკმარისია გავითვალისწინოთ მითითებული ხაზების მხოლოდ ის წერტილები, რომლებიც განლაგებულია პირველ მეოთხედში.

ავიღოთ წერტილი N სწორ ხაზზე, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა x, რაც ჰიპერბოლაზე. (იხ. სურ. 56) და იპოვეთ განსხვავება ΜΝ სწორი ხაზის ორდინატებსა და ჰიპერბოლის ტოტს შორის:

როგორც ხედავთ, x იზრდება, წილადის მნიშვნელი იზრდება; მრიცხველი არის მუდმივი მნიშვნელობა. ამიტომ, სეგმენტის სიგრძე ΜΝ მიდრეკილია ნულისკენ. ვინაიდან MN მეტია d მანძილს M წერტილიდან წრფემდე, მაშინ d მიდრეკილია ნულისკენ. ასე რომ, ხაზები ჰიპერბოლის ასიმპტოტებია (11.9).

ჰიპერბოლის აგებისას (11.9), მიზანშეწონილია ჯერ ააგოთ ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი (იხ. სურ. 57), დახაზოთ სწორი ხაზები, რომლებიც გადის ამ მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებზე - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები და მონიშნოთ წვეროები და . ჰიპერბოლას.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლება.

რომელთა ასიმპტოტებია კოორდინატთა ღერძები

ჰიპერბოლას (11.9) ეწოდება ტოლგვერდა, თუ მისი ნახევრად ღერძი ტოლია (). მისი კანონიკური განტოლება

(11.12)

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს აქვთ განტოლებები და, შესაბამისად, არიან კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრები.

განვიხილოთ ამ ჰიპერბოლის განტოლება ახალ კოორდინატულ სისტემაში (იხ. სურ. 58), რომელიც მიღებულია ძველიდან კოორდინატთა ღერძების კუთხით ბრუნვით. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისთვის:

ჩვენ ვცვლით x და y მნიშვნელობებს განტოლებაში (11.12):

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლებას, რომლისთვისაც Ox და Oy ღერძები ასიმპტოტებია, ექნება ფორმა.

მეტი ინფორმაცია ჰიპერბოლის შესახებ

ექსცენტრიულობა ჰიპერბოლა (11.9) არის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა ჰიპერბოლის რეალური ღერძის მნიშვნელობასთან, რომელიც აღინიშნება ε:

ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის, ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია: . ექსცენტრიულობა ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას. მართლაც, თანასწორობიდან (11.10) გამომდინარეობს, რომ ე.ი. და .

აქედან ჩანს, რომ რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა, მით უფრო მცირეა მისი ნახევრადღერძების თანაფარდობა და, შესაბამისად, უფრო წაგრძელებული მისი მთავარი მართკუთხედი.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის . მართლაც,

ფოკალური რადიუსი და მარჯვენა შტოს წერტილებისთვის ჰიპერბოლებს აქვთ ფორმა და, ხოლო მარცხენა შტოსთვის - და .

პირდაპირ ხაზებს ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის ε > 1, მაშინ . ეს ნიშნავს, რომ მარჯვენა მიმართულება მდებარეობს ჰიპერბოლის ცენტრსა და მარჯვენა წვეროს შორის, მარცხენა - ცენტრსა და მარცხენა წვეროს შორის.

ჰიპერბოლის მიმართულებებს აქვთ იგივე თვისება, რაც ელიფსის მიმართულებებს.

განტოლებით განსაზღვრული მრუდი ასევე არის ჰიპერბოლა, რომლის რეალური ღერძი 2b მდებარეობს Oy ღერძზე, ხოლო წარმოსახვითი ღერძი 2. ა- ოქსის ღერძზე. ნახაზზე 59 ის ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით.

აშკარაა, რომ ჰიპერბოლებს აქვთ საერთო ასიმპტოტები. ასეთ ჰიპერბოლებს კონიუგატს უწოდებენ.

11.5. პარაბოლა

პარაბოლის კანონიკური განტოლება

პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული ხაზისგან, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p (p > 0).

პარაბოლას განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას Oxy ისე, რომ Ox ღერძი გაივლის ფოკუსს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო O კოორდინატების საწყისი მდებარეობს შუაში. ფოკუსი და მიმართულება (იხ. სურ. 60). არჩეულ სისტემაში F ფოკუსს აქვს კოორდინატები, ხოლო მიმართულების განტოლებას აქვს ფორმა ან.

1. განტოლებაში (11.13) ცვლადი y ჩანს ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; Ox ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან ρ > 0, (11.13)-დან გამომდინარეობს, რომ . შესაბამისად, პარაბოლა მდებარეობს Oy ღერძის მარჯვნივ.

3. როცა გვაქვს y = 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. როგორც x იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ასევე იზრდება y მოდული განუსაზღვრელი ვადით. პარაბოლას აქვს 61-ზე ნაჩვენები ფორმა (ფორმა). O(0; 0) წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება, FM = r სეგმენტს M წერტილის ფოკუსური რადიუსი.

განტოლებები, , ( p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს, ისინი ნაჩვენებია სურათზე 62

ადვილია იმის ჩვენება, რომ კვადრატული ტრინომის გრაფიკი, სადაც B და C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, არის პარაბოლა მისი ზემოთ მოცემული განმარტების გაგებით.

11.6. მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება

მეორე რიგის მრუდების განტოლებები სიმეტრიის ღერძებით კოორდინატთა ღერძების პარალელურად

ჯერ ვიპოვოთ ელიფსის განტოლება ცენტრით იმ წერტილში, რომლის სიმეტრიის ღერძები პარალელურია კოორდინატთა ღერძების Ox და Oy და ნახევრადღერძები შესაბამისად ტოლია. ადა ბ. მოდით, ელიფსის O 1 ცენტრში მოვათავსოთ ახალი კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი, რომლის ღერძები და ნახევრად ღერძი ადა ბ(იხ. სურ. 64):

დაბოლოს, 65-ზე გამოსახულ პარაბოლებს აქვთ შესაბამისი განტოლებები.

განტოლება

ელიფსის, ჰიპერბოლის, პარაბოლის განტოლებები და წრის განტოლება გარდაქმნების შემდეგ (გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ განტოლების ყველა წევრი ერთ მხარეს, მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები, შემოიტანეთ ახალი აღნიშვნები კოეფიციენტებისთვის) შეიძლება დაიწეროს ერთი განტოლების გამოყენებით. ფორმა

სადაც A და C კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

ჩნდება კითხვა: (11.14) ფორმის ყოველი განტოლება განსაზღვრავს თუ არა მეორე რიგის ერთ-ერთ მრუდს (წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა)? პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 11.2. განტოლება (11.14) ყოველთვის განსაზღვრავს: ან წრეს (A = C-სთვის), ან ელიფსს (A C > 0-სთვის), ან ჰიპერბოლას (A C-სთვის).< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

ზოგადი მეორე რიგის განტოლება

ახლა განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება ორი უცნობით:

იგი განსხვავდება განტოლებისგან (11.14) კოორდინატების ნამრავლთან ტერმინის არსებობით (B¹ 0). შესაძლებელია, კოორდინატთა ღერძების a კუთხით ბრუნვით, ეს განტოლება ისე გარდაიქმნას, რომ კოორდინატების ნამრავლის ტერმინი არ იყოს.

ღერძის ბრუნვის ფორმულების გამოყენება

გამოვხატოთ ძველი კოორდინატები ახლის მიხედვით:

მოდით ავირჩიოთ კუთხე a ისე, რომ x" · y"-ის კოეფიციენტი გახდეს ნული, ანუ ტოლობა

ამრიგად, როდესაც ღერძები ბრუნავს a კუთხით, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას (11.17), განტოლება (11.15) მცირდება განტოლებამდე (11.14).

დასკვნა: ზოგადი მეორე რიგის განტოლება (11.15) სიბრტყეზე (გარდა გადაგვარებისა და დაშლის შემთხვევებისა) განსაზღვრავს შემდეგ მრუდებს: წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა.

შენიშვნა: თუ A = C, მაშინ განტოლება (11.17) უაზრო ხდება. ამ შემთხვევაში, cos2α = 0 (იხ. (11.16)), შემდეგ 2α = 90°, ანუ α = 45°. ასე რომ, როდესაც A = C, კოორდინატთა სისტემა უნდა შემობრუნდეს 45°-ით.