ჯერ განვიხილოთ ორი ცვლადის ფუნქციის შემთხვევა. $z=f(x,y)$ ფუნქციის პირობითი ექსტრემუმი $M_0(x_0;y_0)$ არის ამ ფუნქციის უკიდურესობა, მიღწეული იმ პირობით, რომ ცვლადები $x$ და $y$ ამ წერტილის სიახლოვეს დააკმაყოფილეთ შეზღუდვის განტოლება $\ varphi(x,y)=0$.
სახელწოდება „პირობითი“ ექსტრემი განპირობებულია იმით, რომ ცვლადებზე დაწესებულია დამატებითი პირობა $\varphi(x,y)=0$. თუ შესაძლებელია კავშირის განტოლებიდან ერთი ცვლადის გამოხატვა მეორის მიხედვით, მაშინ პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის პრობლემა მცირდება ერთი ცვლადის ფუნქციის ჩვეული უკიდურესობის პრობლემამდე. მაგალითად, თუ $y=\psi(x)$ გამომდინარეობს შეზღუდვის განტოლებიდან, მაშინ $y=\psi(x)$-ით ჩანაცვლება $z=f(x,y)$-ით, მივიღებთ $ ცვლადის ფუნქციას. z=f\მარცხნივ (x,\psi(x)\მარჯვნივ)$. თუმცა, ზოგად შემთხვევაში, ეს მეთოდი ნაკლებად გამოიყენება, ამიტომ ახალი ალგორითმია საჭირო.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი ორი ცვლადის ფუნქციისთვის.
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი არის ის, რომ პირობითი ექსტრემის საპოვნელად, ლაგრანგის ფუნქცია შედგენილია: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (პარამეტრი $\lambda. $-ს ეწოდება ლაგრანგის მულტიპლიკატორი). აუცილებელი ექსტრემალური პირობები მოცემულია განტოლებათა სისტემით, საიდანაც განისაზღვრება სტაციონარული წერტილები:
$$ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(გასწორებული)\მარჯვნივ.$$
ნიშანი $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. თუ სტაციონარულ წერტილში $d^2F > 0$, მაშინ $z=f(x,y)$ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი ამ ეტაპზე, მაგრამ თუ $d^2F< 0$, то условный максимум.
არსებობს კიდევ ერთი გზა ექსტრემის ბუნების დასადგენად. შეზღუდვის განტოლებიდან ვიღებთ: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, ასე რომ ნებისმიერ სტაციონარულ წერტილში გვაქვს:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \მარჯვნივ)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\მარჯვნივ)$$
მეორე ფაქტორი (მდებარეობს ფრჩხილებში) შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ამ ფორმით:
$\left|-ის ელემენტები \ დასაწყისი(მასივი) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ დასასრული (მასივი) \right|$ რომელიც არის ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანი. თუ $H > 0$, მაშინ $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$0, ე.ი. გვაქვს $z=f(x,y)$ ფუნქციის პირობითი მინიმუმი.
შენიშვნა $H$ განმსაზღვრელი ფორმის შესახებ. ჩვენება დამალვა
$$ H=-\მარცხნივ|\begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ დასასრული(მასივი) \right| $$
ამ სიტუაციაში, ზემოთ ჩამოყალიბებული წესი იცვლება შემდეგნაირად: თუ $H > 0$, მაშინ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, ხოლო $H-სთვის< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
ორი ცვლადის ფუნქციის შესწავლის ალგორითმი პირობითი ექსტრემისთვის
- შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
- სისტემის ამოხსნა $ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & \frac(\ნაწილობრივი F)(\ნაწილი x)=0;\\ & \frac(\ნაწილი F)(\ნაწილობრივი y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(გასწორებული)\right.$
- განსაზღვრეთ ექსტრემის ბუნება წინა აბზაცში ნაპოვნი თითოეულ სტაციონარულ წერტილში. ამისათვის გამოიყენეთ რომელიმე შემდეგი მეთოდი:
- შეადგინეთ $H$ განმსაზღვრელი და გაარკვიეთ მისი ნიშანი
- შეზღუდვის განტოლების გათვალისწინებით, გამოთვალეთ $d^2F$-ის ნიშანი
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი n ცვლადის ფუნქციებისთვის
დავუშვათ, გვაქვს $n$ ცვლადის ფუნქცია $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ და $m$ შეზღუდვის განტოლებები ($n > m$):
$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების აღნიშვნისას როგორც $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
პირობითი ექსტრემის არსებობისთვის აუცილებელი პირობები მოცემულია განტოლებების სისტემით, საიდანაც ნაპოვნია სტაციონარული წერტილების კოორდინატები და ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მნიშვნელობები:
$$\ მარცხნივ\(\ დასაწყისი (გასწორებული) & \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ ნაწილობრივი x_i)=0; (i=\ გადახაზული (1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$
შესაძლებელია გაირკვეს, აქვს თუ არა ფუნქციას პირობითი მინიმუმი თუ პირობითი მაქსიმუმი ნაპოვნი წერტილში, როგორც ადრე, ნიშნის $d^2F$-ის გამოყენებით. თუ ნაპოვნი წერტილში $d^2F > 0$, მაშინ ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, მაგრამ თუ $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
მატრიცის განმსაზღვრელი $\left| \begin(მასივი) (cccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ნაწილობრივი x_(1)\ნაწილი x_(3)) &\ldots & \frac(\ნაწილობრივი^2F)(\ნაწილობრივი x_(1)\ ნაწილობრივი x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\ ნაწილობრივი x_(2)\ ნაწილობრივი x_(3)) &\ldots & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(2)\ ნაწილობრივი x_(n))\\ \frac(\ ნაწილობრივი^2F )(\ ნაწილობრივი x_(3) \ნაწილობრივი x_(1)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(3)\ ნაწილობრივი x_(2)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots \\ \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(n)\ ნაწილობრივი x_(1)) & \frac(\ ნაწილობრივი^2F)(\ ნაწილობრივი x_(n)\ ნაწილობრივი x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( მასივი) \right|$ ხაზგასმულია წითლად $L$ მატრიცაში არის ლაგრანგის ფუნქციის ჰესიანი. ჩვენ ვიყენებთ შემდეგ წესს:
- თუ კუთხის მინორების ნიშნებია $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ მატრიცები $L$ ემთხვევა $(-1)^m$ ნიშანს, მაშინ შესასწავლი სტაციონარული წერტილი არის $ ფუნქციის პირობითი მინიმალური წერტილი. z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.
- თუ კუთხის მინორების ნიშნებია $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ მონაცვლეობით და მცირეს ნიშანი $H_(2m+1)$ ემთხვევა რიცხვის ნიშანს $(-1)^(m+1 )$, მაშინ შესწავლილი სტაციონარული წერტილი არის $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$ ფუნქციის პირობითი მაქსიმალური წერტილი.
მაგალითი #1
იპოვეთ $z(x,y)=x+3y$ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი $x^2+y^2=10$ პირობით.
ამ ამოცანის გეომეტრიული ინტერპრეტაცია ასეთია: საჭიროა ვიპოვოთ $z=x+3y$ სიბრტყის აპლიკატის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობა მისი გადაკვეთის წერტილებისთვის $x^2+y^2 ცილინდრთან. = 10$.
გარკვეულწილად რთულია შეზღუდვის განტოლებიდან ერთი ცვლადის მეორის მნიშვნელობით გამოხატვა და მისი ჩანაცვლება $z(x,y)=x+3y$ ფუნქციით, ამიტომ გამოვიყენებთ ლაგრანგის მეთოდს.
$\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$-ის აღსანიშნავად, ჩვენ ვადგენთ Lagrange ფუნქციას:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი x)=1+2\ლამბდა x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
ჩამოვწეროთ განტოლებათა სისტემა ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილების დასადგენად:
$$ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 1+2\ლამბდა x=0;\\ & 3+2\ლამბდა y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \დასასრული (გასწორებული)\მარჯვნივ.$$
თუ დავუშვებთ $\lambda=0$, მაშინ პირველი განტოლება ხდება: $1=0$. შედეგად მიღებული წინააღმდეგობა ამბობს, რომ $\lambda\neq 0$. $\lambda\neq 0$ პირობით, პირველი და მეორე განტოლებიდან გვაქვს: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. მიღებული მნიშვნელობების მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \მარჯვნივ)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(გასწორებული) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(გასწორებული) $$
ამრიგად, სისტემას აქვს ორი გამოსავალი: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ და $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. მოდით გავარკვიოთ ექსტრემის ბუნება თითოეულ სტაციონარულ წერტილში: $M_1(1;3)$ და $M_2(-1;-3)$. ამისათვის ჩვენ გამოვთვალეთ $H$ განმსაზღვრელი თითოეულ წერტილში.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\ლამბდა;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\ლამბდა.\\ H=\მარცხნივ| \begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(მასივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მასივი) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (cccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ| $$
$M_1(1;3)$ წერტილში ვიღებთ: $H=8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\ მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end (მასივი) \მარჯვნივ|=40 > 0$, ასე რომ, წერტილში $M_1(1;3)$ ფუნქციას $z(x,y)=x+3y$ აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
ანალოგიურად, $M_2(-1;-3)$ წერტილში ვპოულობთ: $H=8\cdot\left| \ დასაწყისი (მასივი) (ccc) 0 & x & y\\ x & \ლამბდა & 0 \\ y & 0 & \ლამბდა \ბოლო (მასივი) \მარჯვნივ|= 8\cdot\ მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(მაივი) \მარჯვნივ|=-40$. მას შემდეგ, რაც $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
მე აღვნიშნავ, რომ იმის ნაცვლად, რომ გამოვთვალოთ $H$ განმსაზღვრელი მნიშვნელობის თითოეულ წერტილში, ბევრად უფრო მოსახერხებელია მისი გახსნა ზოგადი გზით. იმისთვის, რომ ტექსტი დეტალებით არ გადაიტვირთოს, ამ მეთოდს ჩანაწერის ქვეშ დავმალავ.
განმსაზღვრელი $H$ აღნიშვნა ზოგადი ფორმით. ჩვენება დამალვა
$$ H=8\cdot\left|\begin(მასივი)(cccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(მასივი)\მარჯვნივ| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
პრინციპში, უკვე აშკარაა, თუ რომელი ნიშანი აქვს $H$-ს. ვინაიდან არცერთი წერტილი $M_1$ ან $M_2$ არ ემთხვევა საწყისს, მაშინ $y^2+x^2>0$. ამიტომ, $H$-ის ნიშანი საპირისპიროა $\lambda$-ის ნიშნისა. თქვენ ასევე შეგიძლიათ შეასრულოთ გამოთვლები:
$$ \დაწყება(გასწორებული) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\მარჯვნივ)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\მარჯვნივ)=-40. \ბოლო (გასწორებული) $$
კითხვა $M_1(1;3)$ და $M_2(-1;-3)$ სტაციონარულ წერტილებში ექსტრემის ბუნების შესახებ შეიძლება გადაწყდეს $H$ განმსაზღვრელი გამოყენების გარეშე. იპოვეთ $d^2F$-ის ნიშანი თითოეულ სტაციონარულ წერტილში:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
აღვნიშნავ, რომ აღნიშვნა $dx^2$ ნიშნავს ზუსტად $dx$ ამაღლებულს მეორე ხარისხში, ე.ი. $\მარცხნივ(dx\მარჯვნივ)^2$. აქედან გამომდინარე, გვაქვს: $dx^2+dy^2>0$, ასე რომ $\lambda_1=-\frac(1)(2)$-ისთვის მივიღებთ $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
უპასუხე: $(-1;-3)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, $z_(\min)=-10$. $(1;3)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=10$
მაგალითი #2
იპოვეთ $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ფუნქციის პირობითი უკიდურესი $x+y=0$.
პირველი გზა (ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი)
$\varphi(x,y)=x+y$ აღვნიშნავთ, ჩვენ ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\ ნაწილობრივი F)(\ნაწილობრივი y)=9y^2-x+\ლამბდა.\\ \მარცხნივ \( \დაწყება(გასწორებული) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(გასწორებული)\მარჯვნივ.$$
სისტემის ამოხსნისას მივიღებთ: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ და $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$, $\lambda_2=-10$. გვაქვს ორი სტაციონარული წერტილი: $M_1(0;0)$ და $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. მოდით გავარკვიოთ ექსტრემის ბუნება თითოეულ სტაციონარულ წერტილში $H$ განმსაზღვრელი გამოყენებით.
$$ H=\მარცხენა| \begin(მასივი) (cccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(მასივი) \მარჯვნივ|= \მარცხნივ| \begin(მაივი) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(მაივი) \მარჯვნივ|=-10-18y $$
წერტილში $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, ასე რომ ამ ეტაპზე ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
ჩვენ ვიკვლევთ ექსტრემის ბუნებას თითოეულ წერტილში განსხვავებული მეთოდით, $d^2F$ ნიშნის საფუძველზე:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$
შეზღუდვის განტოლებიდან $x+y=0$ გვაქვს: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
ვინაიდან $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, მაშინ $M_1(0;0)$ არის $z(x,y)=3y^3+ ფუნქციის პირობითი მინიმალური წერტილი 4x^ 2-xy$. ანალოგიურად, $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
მეორე გზა
შეზღუდვის განტოლებიდან $x+y=0$ ვიღებთ: $y=-x$. $y=-x$ ფუნქციით $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ ჩანაცვლებით, მივიღებთ $x$ ცვლადის ზოგიერთ ფუნქციას. ავღნიშნოთ ეს ფუნქცია, როგორც $u(x)$:
$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
ამრიგად, ორი ცვლადის ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემა ერთი ცვლადის ფუნქციის კიდურების განსაზღვრის პრობლემამდე შევამცირეთ.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$
მივიღე ქულები $M_1(0;0)$ და $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. შემდგომი კვლევა ცნობილია ერთი ცვლადის ფუნქციების დიფერენციალური გაანგარიშების კურსიდან. $u_(xx)^("")$-ის ნიშნის გამოკვლევით თითოეულ სტაციონარულ წერტილში ან $u_(x)^(")$-ის ნიშნის ცვლილების შემოწმება აღმოჩენილ წერტილებში, მივიღებთ იგივე დასკვნებს, როგორც პირველის ამოხსნისას. მეთოდი. მაგალითად, შეამოწმეთ ნიშანი $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
ვინაიდან $u_(xx)^("")(M_1)>0$, მაშინ $M_1$ არის $u(x)$ ფუნქციის მინიმალური წერტილი, ხოლო $u_(\min)=u(0)=0 $ . $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
$u(x)$ ფუნქციის მნიშვნელობები მოცემული კავშირის პირობებში ემთხვევა $z(x,y)$ ფუნქციის მნიშვნელობებს, ე.ი. $u(x)$ ფუნქციის ნაპოვნი უკიდურესი არის $z(x,y)$ ფუნქციის სასურველი პირობითი ექსტრემა.
უპასუხე: $(0;0)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მინიმუმი, $z_(\min)=0$. $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.
მოდით განვიხილოთ კიდევ ერთი მაგალითი, რომელშიც ჩვენ ვიგებთ ექსტრემის ბუნებას $d^2F$ ნიშნის განსაზღვრით.
მაგალითი #3
იპოვეთ $z=5xy-4$ ფუნქციის მაქსიმალური და მინიმალური მნიშვნელობები, თუ ცვლადები $x$ და $y$ დადებითია და აკმაყოფილებენ შეზღუდვის განტოლებას $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.
შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. იპოვეთ ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილები:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \მარცხნივ \( \ დასაწყისი (გასწორებული) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(გასწორებული) \მარჯვნივ.$$
ყველა შემდგომი ტრანსფორმაცია ხორციელდება $x > 0-ის გათვალისწინებით; \; y > 0$ (ეს გათვალისწინებულია პრობლემის პირობებში). მეორე განტოლებიდან ჩვენ გამოვხატავთ $\lambda=-\frac(5x)(y)$ და აღმოჩენილ მნიშვნელობას ვცვლით პირველ განტოლებაში: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. $x=2y$ მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y =1$.
ვინაიდან $y=1$, შემდეგ $x=2$, $\lambda=-10$. ექსტრემის ბუნება $(2;1)$ წერტილში განისაზღვრება $d^2F$ ნიშნით.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\ლამბდა. $$
ვინაიდან $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, მაშინ:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
პრინციპში, აქ შეგიძლიათ დაუყოვნებლივ ჩაანაცვლოთ სტაციონარული წერტილის კოორდინატები $x=2$, $y=1$ და პარამეტრი $\lambda=-10$, რითაც მიიღოთ:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \მარჯვნივ)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \მარჯვნივ)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
თუმცა, პირობითი ექსტრემის სხვა პრობლემებში შეიძლება იყოს რამდენიმე სტაციონარული წერტილი. ასეთ შემთხვევებში, უმჯობესია წარმოვადგინოთ $d^2F$ ზოგადი ფორმით და შემდეგ ჩაანაცვლოთ თითოეული ნაპოვნი სტაციონარული წერტილის კოორდინატები შედეგად გამოსახულებაში:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \მარჯვნივ)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \მარჯვნივ)\cdot dx^2 $$
$x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ ჩანაცვლებით მივიღებთ:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \მარჯვნივ)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
ვინაიდან $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
უპასუხე: $(2;1)$ წერტილში ფუნქციას აქვს პირობითი მაქსიმუმი, $z_(\max)=6$.
შემდეგ ნაწილში განვიხილავთ ლაგრანგის მეთოდის გამოყენებას ცვლადების უფრო დიდი რაოდენობის ფუნქციებისთვის.
პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის მეთოდი იწყება დამხმარე ლაგრანჟის ფუნქციის აგებით, რომელიც შესაძლებელი გადაწყვეტილებების რეგიონში აღწევს მაქსიმუმს ცვლადების იგივე მნიშვნელობებისთვის. x 1 , x 2 , ..., x ნ , რომელიც არის ობიექტური ფუნქცია ზ . დაუშვით ფუნქციის პირობითი ექსტრემის განსაზღვრის პრობლემა z=f(X) შეზღუდვების ქვეშ φ მე ( x 1 , x 2 , ..., x ნ ) = 0, მე = 1, 2, ..., მ , მ < ნ
ფუნქციის შედგენა
რომელსაც ქვია ლაგრანგის ფუნქცია. X , - მუდმივი ფაქტორები ( ლაგრანგის მულტიპლიკატორები). გაითვალისწინეთ, რომ ლაგრანგის მულტიპლიკატორებს შეიძლება მიენიჭოთ ეკონომიკური მნიშვნელობა. Თუ f(x 1 , x 2 , ..., x ნ ) - შემოსავალი გეგმის მიხედვით X = (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) და ფუნქცია φ მე (x 1 , x 2 , ..., x ნ ) არის ამ გეგმის შესაბამისი i-ე რესურსის ხარჯები, მაშინ X , - მე-ე რესურსის ფასი (შეფასება), რომელიც ახასიათებს ობიექტური ფუნქციის უკიდურესი მნიშვნელობის ცვლილებას მე-ის რესურსის ზომის ცვლილებაზე (ზღვრული შეფასება). L(X) - ფუნქცია n+m ცვლადები (x 1 , x 2 , ..., x ნ , λ 1 , λ 2 , ..., λ ნ ) . ამ ფუნქციის სტაციონარული წერტილების დადგენა იწვევს განტოლებათა სისტემის ამოხსნას
|
|
ამის დანახვა ადვილია
. ამრიგად, ფუნქციის პირობითი ექსტრემის პოვნის პრობლემა z=f(X)
ამცირებს ფუნქციის ლოკალური ექსტრემის აღმოჩენას L(X)
. თუ იპოვეს სტაციონარული წერტილი, მაშინ უმარტივეს შემთხვევებში ექსტრემის არსებობის საკითხი წყდება ექსტრემისთვის საკმარისი პირობების საფუძველზე - მეორე დიფერენციალური ნიშნის შესწავლა. დ
2
L(X)
სტაციონარულ წერტილში, იმ პირობით, რომ ცვლადი იზრდება Δx
მე
- დაკავშირებული ურთიერთობებით
|
|
მიღებული შეზღუდვის განტოლებების დიფერენცირებით.
არაწრფივი განტოლებათა სისტემის ამოხსნა ორი უცნობით Solver ინსტრუმენტის გამოყენებით
დაყენება გამოსავლის პოვნასაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ გამოსავალი არაწრფივი განტოლებების სისტემისთვის ორი უცნობით:
სადაც 
- ცვლადების არაწრფივი ფუნქცია x
და
წ
,
არის თვითნებური მუდმივი.
ცნობილია, რომ წყვილი x , წ ) არის ამონახსნი განტოლებათა სისტემის (10) თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს არის ამონახსნი შემდეგი განტოლებისა ორ უცნობში:
თანმეორეს მხრივ, სისტემის ამონახსნი (10) არის ორი მრუდის გადაკვეთის წერტილები: ვ ] (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 ზედაპირზე XOი.
აქედან გამომდინარეობს სისტემის ფესვების პოვნის მეთოდი. არაწრფივი განტოლებები:
განსაზღვრეთ (მინიმუმ დაახლოებით) განტოლებათა სისტემის (10) ან განტოლების (11) ამონახსნის არსებობის ინტერვალი. აქ აუცილებელია გავითვალისწინოთ სისტემაში შემავალი განტოლებების ტიპი, მათი თითოეული განტოლების განსაზღვრის სფერო და ა.შ. ზოგჯერ გამოიყენება ამონახსნის საწყისი მიახლოების შერჩევა;
შეადგინეთ (11) განტოლების ამონახსნი x და y ცვლადებისთვის შერჩეულ ინტერვალზე, ან შექმენით ფუნქციების გრაფიკები ვ 1 (x, წ) = C და ვ 2 (x, y) = C 2 (სისტემა (10)).
განტოლებათა სისტემის სავარაუდო ფესვების ლოკალიზაცია - იპოვნეთ რამდენიმე მინიმალური მნიშვნელობა განტოლების ფესვების ცხრილიდან (11), ან განსაზღვრეთ სისტემაში შემავალი მრუდების გადაკვეთის წერტილები (10).
4. იპოვეთ (10) განტოლებათა სისტემის ფესვები დანამატის გამოყენებით გამოსავლის ძიება.
| პარამეტრის სახელი | მნიშვნელობა |
| სტატიის თემა: | ლაგრანგის მეთოდი. |
| რუბრიკა (თემატური კატეგორია) | მათემატიკა |
პოლინომის პოვნა ნიშნავს მისი კოეფიციენტის მნიშვნელობების განსაზღვრას 
. ამისათვის, ინტერპოლაციის პირობის გამოყენებით, შეგიძლიათ შექმნათ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემა (SLAE).
ამ SLAE-ის განმსაზღვრელს ჩვეულებრივ უწოდებენ ვანდერმონდის დეტერმინანტს. ვანდერმონდის განმსაზღვრელი არ არის ნულის ტოლი როდესაც for , ანუ იმ შემთხვევაში, როდესაც საძიებო ცხრილში არ არის შესატყვისი კვანძები. თუმცა, შეიძლება ითქვას, რომ SLAE-ს აქვს გამოსავალი და ეს გამოსავალი უნიკალურია. SLAE-ის ამოხსნა და უცნობი კოეფიციენტების დადგენა შეიძლება ავაშენოთ ინტერპოლაციის პოლინომი.
პოლინომი, რომელიც აკმაყოფილებს ინტერპოლაციის პირობებს, ლაგრანგის მეთოდით ინტერპოლაციისას, აგებულია როგორც n ხარისხის მრავალწევრების წრფივი კომბინაცია:
მრავალწევრებს უწოდებენ ძირითადიმრავალწევრები. Იმისთვის რომ ლაგრაჟის მრავალწევრიაკმაყოფილებს ინტერპოლაციის პირობებს, უაღრესად მნიშვნელოვანია, რომ შემდეგი პირობები დაკმაყოფილდეს მისი ძირითადი მრავალწევრებისთვის:
ამისთვის 
.
თუ ეს პირობები დაკმაყოფილებულია, მაშინ ნებისმიერისთვის გვაქვს:
ᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, ძირითადი მრავალწევრებისთვის მოცემული პირობების შესრულება ნიშნავს, რომ ინტერპოლაციის პირობებიც დაკმაყოფილებულია.
განვსაზღვროთ ძირითადი მრავალწევრების ფორმა მათზე დაწესებული შეზღუდვების საფუძველზე.
1 პირობა:ზე.
მე-2 პირობა: .
და ბოლოს, ძირითადი მრავალწევრისთვის შეგვიძლია დავწეროთ:
შემდეგ, ძირითადი მრავალწევრებისთვის მიღებული გამოხატულების ჩანაცვლებით თავდაპირველ მრავალწევრში, მივიღებთ ლაგრანგის მრავალწევრის საბოლოო ფორმას:
ლაგრანჟის პოლინომის კონკრეტულ ფორმას ჩვეულებრივ უწოდებენ ხაზოვანი ინტერპოლაციის ფორმულას:
.
ლაგრანჟის პოლინომს, რომელსაც აღებული აქვს, ჩვეულებრივ უწოდებენ კვადრატული ინტერპოლაციის ფორმულას:
ლაგრანგის მეთოდი. - კონცეფცია და ტიპები. კატეგორიის კლასიფიკაცია და მახასიათებლები "ლაგრანჟის მეთოდი". 2017, 2018 წ.
ხაზოვანი დისტანციური მართვის პულტი. განმარტება. ტიპის კონტროლი ე.ი. წრფივი უცნობი ფუნქციისა და მისი წარმოებულის მიმართ წრფივი ეწოდება. ამ ტიპის ამოხსნისთვის ur-th განიხილავს ორ მეთოდს: ლაგრანგის მეთოდს და ბერნულის მეთოდს, განვიხილოთ ჰომოგენური DE.
განმარტება. DU ეწოდება ერთგვაროვანს, თუ f-i შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც f-i მათი არგუმენტების მიმართ. მაგალითი. F-th ეწოდება ერთგვაროვანი f-th საზომი, თუ მაგალითები: 1) - ჰომოგენურობის 1-ლი რიგი. 2) - ჰომოგენურობის მე-2 რიგი. 3) - ჰომოგენურობის ნულოვანი რიგი (უბრალოდ ერთგვაროვანი... .
ეკონომიკურ გამოთვლებში დიდი მნიშვნელობა აქვს ექსტრემალურ ამოცანებს. ეს არის, მაგალითად, მაქსიმალური შემოსავლის, მოგების, მინიმალური ღირებულების გაანგარიშება, რაც დამოკიდებულია რამდენიმე ცვლადზე: რესურსებზე, წარმოების აქტივებზე და ა.შ. ფუნქციების უკიდურესობების პოვნის თეორია... .
3. 2. 1. DE გამყოფი ცვლადებით S.R. 3. ბუნებისმეტყველებაში, ტექნოლოგიასა და ეკონომიკაში ხშირად უხდება საქმე ემპირიულ ფორმულებთან, ე.ი. სტატისტიკური მონაცემების დამუშავების საფუძველზე შედგენილი ფორმულები ან ...
ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდი არის ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც საშუალებას იძლევა გადაჭრას არაწრფივი პროგრამირების პრობლემები.
არაწრფივი პროგრამირება არის მათემატიკური პროგრამირების ფილიალი, რომელიც სწავლობს ექსტრემალური ამოცანების გადაჭრის მეთოდებს არაწრფივი ობიექტური ფუნქციით და არაწრფივი შეზღუდვებით განსაზღვრული შესაძლებელი ამონახსნების დომენით. ეკონომიკაში ეს შეესაბამება იმ ფაქტს, რომ შედეგები (ეფექტურობა) იზრდება ან მცირდება რესურსების გამოყენების მასშტაბის (ან, ექვივალენტურად, წარმოების მასშტაბის) ცვლილებების არაპროპორციულად: მაგალითად, საწარმოებში წარმოების ხარჯების ცვლადებად დაყოფის გამო. და პირობითი მუდმივები; საქონელზე მოთხოვნის გაჯერების გამო, როდესაც ყოველი მომდევნო ერთეული უფრო რთული გასაყიდია, ვიდრე წინა და ა.შ.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა დასმულია, როგორც გარკვეული ობიექტური ფუნქციის ოპტიმუმის პოვნის პრობლემა
F(x 1,…x n), ფ (x) → მაქს
პირობებში
g j (x 1,…x n)≥0, გ (x) ≤ ბ , x ≥ 0
სადაც x-მოთხოვნილი ცვლადების ვექტორი;
ფ (x) -ობიექტური ფუნქცია;
გ (x) არის შეზღუდვის ფუნქცია (უწყვეტად დიფერენცირებადი);
ბ - შეზღუდვის მუდმივების ვექტორი.
არაწრფივი პროგრამირების ამოცანის ამოხსნა (გლობალური მაქსიმუმი ან მინიმალური) შეიძლება მიეკუთვნებოდეს დასაშვები ნაკრების ზღვარს ან ინტერიერს.
წრფივი პროგრამირების პრობლემისგან განსხვავებით, არაწრფივი პროგრამირების პრობლემაში ოპტიმალური სულაც არ დევს შეზღუდვებით განსაზღვრული რეგიონის საზღვარზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, პრობლემა არის ცვლადების ისეთი არაუარყოფითი მნიშვნელობების არჩევა, რომლებიც ექვემდებარება შეზღუდვების სისტემას უტოლობების სახით, რომლის მიხედვითაც მიიღწევა მოცემული ფუნქციის მაქსიმალური (ან მინიმალური). ამ შემთხვევაში არც ობიექტური ფუნქციის და არც უტოლობების ფორმები არ არის გათვალისწინებული. შეიძლება იყოს სხვადასხვა შემთხვევები: ობიექტური ფუნქცია არაწრფივია, შეზღუდვები კი წრფივი; ობიექტური ფუნქცია წრფივია, ხოლო შეზღუდვები (ერთი მათგანი მაინც) არაწრფივი; ობიექტური ფუნქციაც და შეზღუდვებიც არაწრფივია.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემა გვხვდება საბუნებისმეტყველო მეცნიერებებში, ინჟინერიაში, ეკონომიკაში, მათემატიკაში, ბიზნეს ურთიერთობებში და მმართველობის მეცნიერებაში.
მაგალითად, არაწრფივი პროგრამირება დაკავშირებულია ძირითად ეკონომიკურ პრობლემასთან. ასე რომ, შეზღუდული რესურსების განაწილების პრობლემაში ან ეფექტურობა არის მაქსიმალური, ან, თუ მომხმარებელი შესწავლილია, მოხმარება შეზღუდვების არსებობისას, რომლებიც გამოხატავს რესურსების სიმცირის პირობებს. ასეთ ზოგად ფორმულირებაში, პრობლემის მათემატიკური ფორმულირება შეიძლება შეუძლებელი აღმოჩნდეს, მაგრამ კონკრეტულ აპლიკაციებში, ყველა ფუნქციის რაოდენობრივი ფორმა შეიძლება პირდაპირ განისაზღვროს. მაგალითად, სამრეწველო საწარმო აწარმოებს პლასტმასის პროდუქტებს. წარმოების ეფექტურობა აქ იზომება მოგებით, ხოლო შეზღუდვები ინტერპრეტირებულია, როგორც ხელმისაწვდომი შრომა, წარმოების სივრცე, აღჭურვილობის პროდუქტიულობა და ა.შ.
არაწრფივი პროგრამირების სქემაში ჯდება „დანახარჯების“ მეთოდიც. ეს მეთოდი შეიქმნა მთავრობაში გადაწყვეტილების მიღებისას გამოსაყენებლად. საერთო ეფექტურობის ფუნქცია არის კეთილდღეობა. აქ წარმოიქმნება პროგრამირების ორი არაწრფივი პრობლემა: პირველი არის ეფექტის მაქსიმიზაცია შეზღუდული ხარჯებით, მეორე არის ხარჯების მინიმიზაცია, იმ პირობით, რომ ეფექტი მაღლა დგას გარკვეულ მინიმალურ დონეზე. ეს პრობლემა, როგორც წესი, კარგად არის მოდელირებული არაწრფივი პროგრამირების გამოყენებით.
არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის გადაჭრის შედეგები გამოსადეგია მთავრობის გადაწყვეტილებების მიღებაში. შედეგად მიღებული გამოსავალი, რა თქმა უნდა, რეკომენდირებულია, ამიტომ საბოლოო გადაწყვეტილების მიღებამდე აუცილებელია გამოვიკვლიოთ არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის ფორმულირების დაშვებები და სიზუსტე.
არაწრფივი ამოცანები რთულია, ხშირად ისინი გამარტივებულია წრფივზე მიყვანით. ამისათვის პირობითად ვარაუდობენ, რომ კონკრეტულ არეალში ობიექტური ფუნქცია იზრდება ან მცირდება დამოუკიდებელი ცვლადების ცვლილების პროპორციულად. ამ მიდგომას ეწოდება ცალმხრივი წრფივი მიახლოების მეთოდი; თუმცა, იგი გამოიყენება მხოლოდ გარკვეული ტიპის არაწრფივი ამოცანების მიმართ.
არაწრფივი ამოცანები გარკვეულ პირობებში წყდება ლაგრანგის ფუნქციის გამოყენებით: როდესაც იპოვეს მისი საყრდენი წერტილი, ისინი ასევე პოულობენ პრობლემის გადაწყვეტას. გრადიენტურ მეთოდებს მნიშვნელოვანი ადგილი უჭირავს გამოთვლით ალგორითმებს შორის N.P. არაწრფივი ამოცანების უნივერსალური მეთოდი არ არსებობს და, როგორც ჩანს, შეიძლება არც იყოს, რადგან ისინი უკიდურესად მრავალფეროვანია. განსაკუთრებით რთულია მრავალ ექსტრემალური პრობლემების გადაჭრა.
ერთ-ერთი მეთოდი, რომელიც იძლევა არაწრფივი პროგრამირების პრობლემის შემცირებას განტოლებათა სისტემის ამოხსნამდე, არის განუსაზღვრელი მამრავლების ლაგრანგის მეთოდი.
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდის გამოყენებით, არსებითად, იქმნება აუცილებელი პირობები, რაც საშუალებას იძლევა, გამოავლინოს ოპტიმალური წერტილები ოპტიმიზაციის პრობლემებში შეზღუდვებით თანასწორობის სახით. ამ შემთხვევაში შეზღუდვების პრობლემა გარდაიქმნება შეუზღუდავი ოპტიმიზაციის ექვივალენტურ პრობლემად, რომელშიც ჩნდება რამდენიმე უცნობი პარამეტრი, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორები ეწოდება.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორების მეთოდი შედგება პირობითი ექსტრემისთვის ამოცანების შემცირებაში დამხმარე ფუნქციის უპირობო ექსტრემის პრობლემებზე - ე.წ. ლაგრანგის ფუნქციები.
ფუნქციის უკიდურესობის პრობლემისთვის ვ(x 1, x 2,..., x n) პირობებში (დაწყვილების განტოლებები) φ მე(x 1 , x 2 , ..., x n) = 0, მე= 1, 2,..., მ, Lagrange ფუნქციას აქვს ფორმა
L(x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2 ,…λm)=f(x 1, x 2… x n)+∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)
მულტიპლიკატორები λ 1 , λ 2 , ..., λmდაურეკა ლაგრანგის მულტიპლიკატორები.
თუ რაოდენობები x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λmარის განტოლებების ამონახსნები, რომლებიც განსაზღვრავენ ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონალურ წერტილებს, კერძოდ, დიფერენცირებადი ფუნქციებისთვის, ისინი განტოლებათა სისტემის ამონახსნებია.
მაშინ საკმარისად ზოგადი დაშვებების ქვეშ x 1 , x 2 , ..., x n გადმოსცემს f ფუნქციის უკიდურესობას.
განვიხილოთ n ცვლადის ფუნქციის მინიმიზაციის პრობლემა, ტოლობის სახით ერთი შეზღუდვის გათვალისწინებით:
მინიმუმამდე f(x 1, x 2… x n) (1)
შეზღუდვებით h 1 (x 1, x 2… x n)=0 (2)
ლაგრანგის მულტიპლიკატორის მეთოდის შესაბამისად, ეს პრობლემა გარდაიქმნება შემდეგ შეუზღუდავ ოპტიმიზაციის პრობლემად:
მინიმიზაცია L(x,λ)=f(x)-λ*h(x) (3)
სადაც L(х;λ) ფუნქციას ეწოდება ლაგრანგის ფუნქცია,
λ უცნობი მუდმივია, რომელსაც ლაგრანგის მულტიპლიკატორი ეწოდება. λ-ის ნიშანზე მოთხოვნები არ არის დაწესებული.
მოდით, მოცემული მნიშვნელობისთვის λ=λ 0, L(x,λ) ფუნქციის უპირობო მინიმუმი x-სთან მიმართებაში მიღწეული იყოს x=x 0 წერტილში და x 0 აკმაყოფილებს განტოლებას h 1 (x 0)=0. . შემდეგ, როგორც ადვილი შესამჩნევია, x 0 ამცირებს (1) (2) გათვალისწინებით, რადგან x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის დამაკმაყოფილებელია (2), h 1 (x)=0 და L(x,λ)= წთ f(x).
რა თქმა უნდა, აუცილებელია λ=λ 0 მნიშვნელობის არჩევა ისე, რომ უპირობო მინიმალური წერტილის x 0 კოორდინატმა დააკმაყოფილოს თანასწორობა (2). ეს შეიძლება გაკეთდეს, თუ λ ცვლადად განვიხილავთ, იპოვით (3) ფუნქციის უპირობო მინიმუმს λ ფუნქციის სახით და შემდეგ აირჩევთ λ-ის მნიშვნელობას, რომლითაც ტოლობა (2) დაკმაყოფილებულია. მოდი ეს კონკრეტული მაგალითით ავხსნათ.
მინიმიზაცია f(x)=x 1 2 +x 2 2 =0
შეზღუდვით h 1 (x)=2x 1 +x 2 -2=0=0
შესაბამისი შეუზღუდავი ოპტიმიზაციის პრობლემა იწერება შემდეგნაირად:
მინიმალური L(x,λ)=x 1 2 +x 2 2 -λ(2x 1 +x 2 -2)
გადაწყვეტილება. გრადიენტის L-ის ორი კომპონენტის ნულთან გაუტოლებით, მივიღებთ
→ x 1 0 =λ
→ x 2 0 =λ/2
იმისათვის, რომ შევამოწმოთ, შეესაბამება თუ არა სტაციონარული წერტილი x° მინიმუმს, ჩვენ გამოვთვლით L(x; u) ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტებს, განხილული x-ის ფუნქციად,
რაც პოზიტიური გარკვეული გამოდის.
ეს ნიშნავს, რომ L(x, u) არის x-ის ამოზნექილი ფუნქცია. ამიტომ კოორდინატები x 1 0 =λ, x 2 0 =λ/2 განსაზღვრავს გლობალურ მინიმალურ წერტილს. λ-ის ოპტიმალური მნიშვნელობა გვხვდება x 1 0 და x 2 0 მნიშვნელობების ჩანაცვლებით განტოლებაში 2x 1 +x 2 =2, საიდანაც 2λ+λ/2=2 ან λ 0 =4/5. ამრიგად, პირობითი მინიმუმი მიღწეულია x 1 0 =4/5 და x 2 0 =2/5 და უდრის min f(x)=4/5.
მაგალითიდან ამოცანის ამოხსნისას განვიხილეთ L(x; λ) ორი x 1 და x 2 ცვლადის ფუნქციად და, გარდა ამისა, ვივარაუდეთ, რომ პარამეტრის λ მნიშვნელობა ისე იყო არჩეული, რომ შეზღუდვა დაკმაყოფილდა. თუ სისტემის ამოხსნა
J=1,2,3,…,n
არ შეიძლება მიღებულ იქნას λ-ს აშკარა ფუნქციების სახით, შემდეგ x და λ მნიშვნელობები გვხვდება შემდეგი სისტემის ამოხსნით, რომელიც შედგება n + 1 განტოლებისგან n + 1 უცნობით:
J=1,2,3,…,n., h 1 (x)=0
რიცხვითი ძიების მეთოდები (მაგალითად, ნიუტონის მეთოდი) შეიძლება გამოყენებულ იქნას მოცემული სისტემის ყველა შესაძლო ამოხსნის მოსაძებნად. თითოეული ამოხსნისთვის () უნდა გამოვთვალოთ L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განხილული x-ის ფუნქციად და გავარკვიოთ, არის თუ არა ეს მატრიცა დადებითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მინიმალური) თუ უარყოფითი განსაზღვრული (ადგილობრივი მაქსიმუმი). ).
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდი შეიძლება გავრცელდეს იმ შემთხვევაში, როდესაც პრობლემას აქვს რამდენიმე შეზღუდვა ტოლობის სახით. განვიხილოთ ზოგადი პრობლემა, რომელიც მოითხოვს
მინიმიზაცია f(x)
შეზღუდვებით h k =0, k=1, 2, ..., K.
Lagrange ფუნქცია იღებს შემდეგ ფორმას:
Აქ λ 1 , λ 2 , ..., λk-ლაგრანჟის მამრავლები, ე.ი. უცნობი პარამეტრები, რომელთა მნიშვნელობები უნდა განისაზღვროს. L-ის ნაწილობრივი წარმოებულების განტოლებით x-ის მიმართ ნულის მიმართ, მივიღებთ n განტოლების სისტემას n უცნობით:
თუ ძნელი აღმოჩნდება ზემოაღნიშნული სისტემის ამოხსნის პოვნა λ ვექტორის ფუნქციების სახით, მაშინ სისტემა შეიძლება გაფართოვდეს ტოლობების სახით შეზღუდვების ჩათვლით.
გაფართოებული სისტემის ამოხსნა, რომელიც შედგება n + K განტოლებისგან n + K უცნობიებით, განსაზღვრავს L ფუნქციის სტაციონარულ წერტილს. შემდეგ ხორციელდება მინიმალური ან მაქსიმუმის შემოწმების პროცედურა, რომელიც ხორციელდება გაანგარიშების საფუძველზე. L ფუნქციის ჰესიანური მატრიცის ელემენტები, განხილული x-ის ფუნქციად, მსგავსი, როგორც ეს გაკეთდა ერთი შეზღუდვის ამოცანის შემთხვევაში. ზოგიერთი პრობლემისთვის n+K განტოლებათა გაფართოებულ სისტემას n+K უცნობით შეიძლება არ ჰქონდეს ამონახსნები და ლაგრანგის გამრავლების მეთოდი გამოუყენებელი აღმოჩნდეს. თუმცა, უნდა აღინიშნოს, რომ მსგავსი ამოცანები პრაქტიკაში საკმაოდ იშვიათია.
განვიხილოთ არაწრფივი პროგრამირების ზოგადი პრობლემის კონკრეტული შემთხვევა, თუ ვივარაუდებთ, რომ შეზღუდვების სისტემა შეიცავს მხოლოდ განტოლებებს, არ არსებობს პირობები ცვლადების არაუარყოფითობისთვის და არის უწყვეტი ფუნქციები მათ ნაწილობრივ წარმოებულებთან ერთად. ამრიგად, განტოლებათა სისტემის ამოხსნის შემდეგ (7), მიიღება ყველა წერტილი, რომლებზეც ფუნქციას (6) შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი მნიშვნელობები.
ლაგრანჟის მულტიპლიკატორების მეთოდის ალგორითმი
1. ვადგენთ ლაგრანგის ფუნქციას.
2. ვპოულობთ ლაგრანჟის ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს x J ,λ i ცვლადებთან მიმართებაში და ვატოლებთ ნულს.
3. ვხსნით განტოლებათა სისტემას (7), ვპოულობთ წერტილებს, რომლებშიც ამოცანის ობიექტურ ფუნქციას შეიძლება ჰქონდეს უკიდურესი.
4. უკიდურესობაზე საეჭვო წერტილებს შორის ვპოულობთ მათ, რომლებზეც მიიღწევა ექსტრემუმი და გამოვთვალოთ ფუნქციის (6) მნიშვნელობები ამ წერტილებში.
მაგალითი.
საწყისი მონაცემები:საწარმოო გეგმის მიხედვით, საწარმოს 180 პროდუქტის წარმოება სჭირდება. ამ პროდუქტების დამზადება შესაძლებელია ორი ტექნოლოგიური გზით. X 1 პროდუქტის წარმოებისას მეთოდი 1, ხარჯებია 4x 1 + x 1 2 რუბლი, ხოლო x 2 პროდუქტის წარმოებაში მეთოდი 2, ისინი 8x 2 + x 2 2 რუბლს შეადგენს. დაადგინეთ, რამდენი პროდუქტი უნდა დამზადდეს თითოეული მეთოდით, რომ წარმოების ღირებულება მინიმალური იყოს.
პრობლემის ობიექტურ ფუნქციას აქვს ფორმა
® წთპირობებში x 1 +x 2 =180, x 2 ≥0.
1. შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია
.
2.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს x 1, x 2, λ მიმართ და ვატოლებთ მათ ნულს: 
3.
შედეგად მიღებული განტოლებების სისტემის ამოხსნით, ვპოულობთ x 1 \u003d 91, x 2 \u003d 89
4. ობიექტურ ფუნქციაში x 2 \u003d 180-x 1 ჩანაცვლების შემდეგ, ჩვენ ვიღებთ ერთი ცვლადის ფუნქციას, კერძოდ f 1 \u003d 4x 1 +x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2
გამოთვალეთ ან 4x 1 -364=0,
საიდანაც გვაქვს x 1 * =91, x 2 * =89.
პასუხი: პირველი მეთოდით წარმოებული პროდუქციის რაოდენობაა x 1 \u003d 91, მეორე მეთოდით x 2 \u003d 89, ხოლო ობიექტური ფუნქციის ღირებულებაა 17278 რუბლი.
თანლაგრანგის მეთოდის არსი არის პირობითი ექსტრემუმის პრობლემის შემცირება უპირობო ექსტრემუმის პრობლემის გადაწყვეტამდე. განვიხილოთ არაწრფივი პროგრამირების მოდელი:
(5.2)
სადაც 
არის ცნობილი ფუნქციები,
ა 
მოცემულია კოეფიციენტები.
გაითვალისწინეთ, რომ პრობლემის ამ ფორმულირებაში შეზღუდვები მოცემულია ტოლობებით და არ არსებობს პირობა, რომ ცვლადები იყოს არაუარყოფითი. გარდა ამისა, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ფუნქციები 
უწყვეტია მათი პირველი ნაწილობრივი წარმოებულებით.
მოდით გადავცვალოთ პირობები (5.2) ისე, რომ ტოლობების მარცხენა ან მარჯვენა ნაწილები შეიცავდეს ნული:
(5.3)
შევადგინოთ ლაგრანგის ფუნქცია. იგი მოიცავს ობიექტურ ფუნქციას (5.1) და შეზღუდვების (5.3) მარჯვენა მხარეს, კოეფიციენტების შესაბამისად აღებულს. 
. იქნება იმდენი ლაგრანგის კოეფიციენტი, რამდენი შეზღუდვა იქნება პრობლემაში.
(5.4) ფუნქციის უკიდურესი წერტილები არის საწყისი ამოცანის უკიდურესი წერტილები და პირიქით: ამოცანის ოპტიმალური გეგმა (5.1)-(5.2) არის ლაგრანგის ფუნქციის გლობალური უკიდურესი წერტილი.
მართლაც, დაე, გამოსავალი მოიძებნოს 
პრობლემა (5.1)-(5.2), შემდეგ პირობები (5.3) დაკმაყოფილებულია. ჩავანაცვლოთ გეგმა 
შევიდა ფუნქცია (5.4) და გადაამოწმეთ ტოლობის მართებულობა (5.5).
ამრიგად, იმისთვის, რომ ვიპოვოთ თავდაპირველი პრობლემის ოპტიმალური გეგმა, აუცილებელია ლაგრანგის ფუნქციის გამოკვლევა ექსტრემისთვის. ფუნქციას აქვს უკიდურესი მნიშვნელობები იმ წერტილებში, სადაც მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ტოლია ნული. ასეთ წერტილებს ე.წ სტაციონარული.
ჩვენ განვსაზღვრავთ ფუნქციის ნაწილობრივ წარმოებულებს (5.4)
,
.
გათანაბრების შემდეგ ნულიწარმოებულები ვიღებთ სისტემას m+nგანტოლებები m+nუცნობი
,
(5.6)
ზოგად შემთხვევაში, სისტემას (5.6)-(5.7) ექნება რამდენიმე ამონახსნი, რომელიც მოიცავს ლაგრანჟის ფუნქციის ყველა მაქსიმუმს და მინიმუმს. იმისათვის, რომ ხაზი გავუსვა გლობალურ მაქსიმუმს ან მინიმუმს, ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები გამოითვლება ყველა ნაპოვნი წერტილში. ამ მნიშვნელობებიდან ყველაზე დიდი იქნება გლობალური მაქსიმუმი, ყველაზე პატარა კი გლობალური მინიმუმი. ზოგიერთ შემთხვევაში შესაძლებელია მისი გამოყენება საკმარისი პირობები მკაცრი ექსტრემისთვისუწყვეტი ფუნქციები (იხ. ამოცანა 5.2 ქვემოთ):
დაუშვით ფუნქცია 
არის უწყვეტი და ორჯერ დიფერენცირებადი მისი სტაციონარული წერტილის ზოგიერთ უბანში 
(ისინი. 
)). შემდეგ:
ა
) თუ 
,
(5.8)
მაშინ 
არის ფუნქციის მკაცრი მაქსიმალური წერტილი 
;
ბ)
თუ 
,
(5.9)
მაშინ 
არის ფუნქციის მკაცრი მინიმალური წერტილი 
;
გ
) თუ 
,
მაშინ ექსტრემის არსებობის საკითხი ღია რჩება.
უფრო მეტიც, სისტემის ზოგიერთი გამოსავალი (5.6)-(5.7) შეიძლება იყოს უარყოფითი. რაც არ შეესაბამება ცვლადების ეკონომიკურ მნიშვნელობას. ამ შემთხვევაში, უნდა გაანალიზდეს უარყოფითი მნიშვნელობების ნულით ჩანაცვლების შესაძლებლობა.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორების ეკონომიკური მნიშვნელობა.ოპტიმალური მულტიპლიკატორის მნიშვნელობა 
აჩვენებს რამდენად შეიცვლება კრიტერიუმის მნიშვნელობა ზ
რესურსის გაზრდის ან შემცირებისას ჯერთეულზე, რადგან
ლაგრანგის მეთოდი ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას, როდესაც შეზღუდვები უტოლობებია. ასე რომ, ფუნქციის ექსტრემის პოვნა 
პირობებში
,
შესრულებულია რამდენიმე ეტაპად:
1. დაადგინეთ ობიექტური ფუნქციის სტაციონარული წერტილები, რისთვისაც ხსნიან განტოლებათა სისტემას
.
2. სტაციონარული წერტილებიდან ირჩევენ ისეთებს, რომელთა კოორდინატები აკმაყოფილებს პირობებს
3. ტოლობის შეზღუდვების (5.1)-(5.2) ამოცანის ამოსახსნელად გამოიყენება ლაგრანგის მეთოდი.
4. მეორე და მესამე ეტაპებზე ნაპოვნი პუნქტები განიხილება გლობალური მაქსიმუმისთვის: ამ წერტილებში ობიექტური ფუნქციის მნიშვნელობები შედარებულია - ყველაზე დიდი მნიშვნელობა შეესაბამება ოპტიმალურ გეგმას.
ამოცანა 5.1პირველ ნაწილში განხილული ამოცანა 1.3 გადავწყვიტოთ ლაგრანგის მეთოდით. წყლის რესურსების ოპტიმალური განაწილება აღწერილია მათემატიკური მოდელით
.
შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია
იპოვეთ ამ ფუნქციის უპირობო მაქსიმუმი. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ ნაწილობრივ წარმოებულებს და ვატოლებთ მათ ნულს
,
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ფორმის წრფივი განტოლებათა სისტემა
განტოლებათა სისტემის ამოხსნა არის წყლის რესურსების განაწილების ოპტიმალური გეგმა სარწყავ ადგილებზე
,
.
რაოდენობები 
იზომება ასობით ათასი კუბური მეტრით. 
- წმინდა შემოსავლის ოდენობა ასი ათასი კუბური მეტრი სარწყავი წყალზე. აქედან გამომდინარე, სარწყავი წყლის ზღვრული ფასი 1 მ 3 არის 
დენ. ერთეულები
მაქსიმალური დამატებითი წმინდა შემოსავალი სარწყავი იქნება
160 12.26 2 +7600 12.26-130 8.55 2 +5900 8.55-10 16.19 2 +4000 16.19=
172391.02 (დენ. ერთეული)
ამოცანა 5.2პროგრამირების არაწრფივი ამოცანის ამოხსნა
ჩვენ წარმოვადგენთ შეზღუდვას, როგორც:
.
შეადგინეთ ლაგრანგის ფუნქცია და დაადგინეთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები
.
ლაგრანგის ფუნქციის სტაციონარული წერტილების დასადგენად, უნდა გავაიგივოთ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები ნულთან. შედეგად ვიღებთ განტოლებათა სისტემას
.
პირველი განტოლებიდან გამომდინარეობს
. (5.10)
გამოხატულება 
ჩაანაცვლეთ მეორე განტოლებაში
,
საიდანაც არის ორი გამოსავალი 
:
და 
. (5.11)
ამ ამონახსნები მესამე განტოლებაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ
, 
.
ლაგრანგის მულტიპლიკატორისა და უცნობის მნიშვნელობები 
გამოთვალეთ გამონათქვამები (5.10)-(5.11):
, 
,
,
.
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ორი უკიდურესი ქულა:
; 
.
იმისათვის, რომ გავიგოთ ეს ქულები მაქსიმალურია თუ მინიმალური, ვიყენებთ საკმარის პირობებს მკაცრი ექსტრემისთვის (5.8)-(5.9). წინასწარი გამოხატულება ამისთვის 
მათემატიკური მოდელის შეზღუდვის შედეგად მიღებულს, ჩვენ ვცვლით ობიექტურ ფუნქციას 
,
. (5.12)
მკაცრი ექსტრემის პირობების შესამოწმებლად, უნდა განვსაზღვროთ ფუნქციის (5.11) მეორე წარმოებულის ნიშანი ჩვენს მიერ აღმოჩენილ უკიდურეს წერტილებში. 
და 
.
, 
;
.
ამრიგად, (·) 
არის საწყისი პრობლემის მინიმალური წერტილი ( 
), ა (·) 
- მაქსიმალური ქულა.
ოპტიმალური გეგმა:
, 
,
,
.
