ამისთვის გამოიყენება უმცირესი კვადრატების მეთოდი. ხაზოვანი წყვილი რეგრესიის ანალიზი

ფუნქციას ვაახლოებთ მე-2 ხარისხის მრავალწევრით. ამისათვის ჩვენ ვიანგარიშებთ განტოლებათა ნორმალური სისტემის კოეფიციენტებს:

, ,

მოდით შევადგინოთ უმცირესი კვადრატების ნორმალური სისტემა, რომელსაც აქვს ფორმა:

სისტემის გამოსავალი მარტივია:, , .

ამრიგად, მე-2 ხარისხის მრავალწევრი გვხვდება: .

თეორიული ფონი

გვერდზე დაბრუნება<Введение в вычислительную математику. Примеры>

მაგალითი 2. მრავალწევრის ოპტიმალური ხარისხის პოვნა.

გვერდზე დაბრუნება<Введение в вычислительную математику. Примеры>

მაგალითი 3. ემპირიული დამოკიდებულების პარამეტრების მოსაძებნად განტოლებათა ნორმალური სისტემის გამოყვანა.

გამოვიყვანოთ განტოლებათა სისტემა კოეფიციენტებისა და ფუნქციების დასადგენად , რომელიც ასრულებს მოცემული ფუნქციის ფესვ-საშუალო-კვადრატის მიახლოებას წერტილებთან მიმართებაში. ფუნქციის შედგენა და ჩაწერეთ ამისთვის აუცილებელი ექსტრემალური პირობა:

შემდეგ ნორმალური სისტემა მიიღებს ფორმას:

ჩვენ მივიღეთ უცნობი პარამეტრების განტოლებათა წრფივი სისტემა და, რომელიც ადვილად ამოსახსნელია.

თეორიული ფონი

გვერდზე დაბრუნება<Введение в вычислительную математику. Примеры>

მაგალითი.

ექსპერიმენტული მონაცემები ცვლადების მნიშვნელობებზე Xდა ზემოცემულია ცხრილში.

მათი გასწორების შედეგად ფუნქცია

გამოყენება მინიმალური კვადრატის მეთოდი, მიახლოებით ამ მონაცემებს წრფივი დამოკიდებულებით y=ax+b(იპოვეთ პარამეტრები ადა ბ). გაარკვიეთ, ორი ხაზიდან რომელია უკეთესი (უმცირესი კვადრატების მეთოდის გაგებით) ასწორებს ექსპერიმენტულ მონაცემებს. გააკეთე ნახატი.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის არსი (LSM).

პრობლემა მდგომარეობს იმაში, რომ ვიპოვოთ წრფივი დამოკიდებულების კოეფიციენტები, რომლებისთვისაც ორი ცვლადის ფუნქციაა ადა ბიღებს უმცირეს მნიშვნელობას. ანუ მონაცემების გათვალისწინებით ადა ბნაპოვნი სწორი ხაზიდან ექსპერიმენტული მონაცემების კვადრატული გადახრების ჯამი ყველაზე მცირე იქნება. ეს არის უმცირესი კვადრატების მეთოდის მთელი აზრი.

ამრიგად, მაგალითის ამოხსნა მცირდება ორი ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის პოვნამდე.

კოეფიციენტების მოძიების ფორმულების გამოყვანა.

შედგენილია და ამოხსნილია ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით. ფუნქციების ნაწილობრივი წარმოებულების მოძიება ცვლადების მიხედვით ადა ბ, ამ წარმოებულებს ვატოლებთ ნულს.

ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას ნებისმიერი მეთოდით (მაგალითად ჩანაცვლების მეთოდიან კრამერის მეთოდი) და მიიღეთ ფორმულები კოეფიციენტების მოსაძებნად უმცირესი კვადრატების მეთოდის (LSM) გამოყენებით.

მონაცემებით ადა ბფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. ამ ფაქტის დასტური მოცემულია ქვემოთ მოცემულ ტექსტში, გვერდის ბოლოს.

ეს არის უმცირესი კვადრატების მთელი მეთოდი. პარამეტრის პოვნის ფორმულა აშეიცავს ჯამებს , , , და პარამეტრს ნარის ექსპერიმენტული მონაცემების რაოდენობა. ამ თანხების მნიშვნელობები რეკომენდებულია ცალკე გამოითვალოს.

კოეფიციენტი ბნაპოვნია გაანგარიშების შემდეგ ა.

დროა გავიხსენოთ ორიგინალური მაგალითი.

გადაწყვეტილება.

ჩვენს მაგალითში n=5. ჩვენ ვავსებთ ცხრილს იმ თანხების გამოთვლის მოხერხებულობისთვის, რომლებიც შედის საჭირო კოეფიციენტების ფორმულებში.

ცხრილის მეოთხე მწკრივის მნიშვნელობები მიიღება მე -2 რიგის მნიშვნელობების გამრავლებით მე -3 რიგის მნიშვნელობებზე თითოეული ნომრისთვის. მე.

ცხრილის მეხუთე მწკრივის მნიშვნელობები მიიღება მე-2 რიგის მნიშვნელობების კვადრატში თითოეული ნომრისთვის. მე.

ცხრილის ბოლო სვეტის მნიშვნელობები არის მნიშვნელობების ჯამები რიგებში.

კოეფიციენტების საპოვნელად ვიყენებთ უმცირესი კვადრატების მეთოდის ფორმულებს ადა ბ. ჩვენ მათში ვცვლით შესაბამის მნიშვნელობებს ცხრილის ბოლო სვეტიდან:

აქედან გამომდინარე, y=0.165x+2.184არის სასურველი მიახლოებითი სწორი ხაზი.

რჩება იმის გარკვევა, თუ რომელი სტრიქონი y=0.165x+2.184ან უკეთ აახლოებს თავდაპირველ მონაცემებს, ანუ შეაფასოს უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის ცდომილების შეფასება.

ამისათვის თქვენ უნდა გამოთვალოთ თავდაპირველი მონაცემების კვადრატული გადახრების ჯამები ამ ხაზებიდან და , უფრო მცირე მნიშვნელობა შეესაბამება ხაზს, რომელიც უკეთ უახლოვდება თავდაპირველ მონაცემებს უმცირესი კვადრატების მეთოდის მიხედვით.

მას შემდეგ, ხაზი y=0.165x+2.184უკეთ აახლოებს თავდაპირველ მონაცემებს.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის გრაფიკული ილუსტრაცია (LSM).

ჩარტებზე ყველაფერი მშვენივრად გამოიყურება. წითელი ხაზი არის ნაპოვნი ხაზი y=0.165x+2.184, ლურჯი ხაზი არის , ვარდისფერი წერტილები ორიგინალური მონაცემებია.

რისთვის არის ეს, რისთვის არის ყველა ეს მიახლოება?

მე პირადად ვიყენებ მონაცემთა გასწორების, ინტერპოლაციისა და ექსტრაპოლაციის პრობლემების გადასაჭრელად (პირველ მაგალითში შეიძლება გთხოვოთ დაკვირვებული მნიშვნელობის მნიშვნელობის პოვნა წზე x=3ან როდის x=6 MNC მეთოდის მიხედვით). მაგრამ ამის შესახებ მოგვიანებით ვისაუბრებთ საიტის სხვა განყოფილებაში.

გვერდის ზედა

მტკიცებულება.

ისე რომ როცა იპოვეს ადა ბფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას, აუცილებელია, რომ ამ დროს ფუნქციისთვის მეორე რიგის დიფერენციალური კვადრატული ფორმის მატრიცა დადებითი იყო გარკვეული. ვაჩვენოთ.

მეორე რიგის დიფერენციალს აქვს ფორმა:

ე.ი

მაშასადამე, კვადრატული ფორმის მატრიცას აქვს ფორმა

და ელემენტების მნიშვნელობები არ არის დამოკიდებული ადა ბ.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ მატრიცა არის დადებითი განსაზღვრული. ეს მოითხოვს, რომ კუთხის მცირე რაოდენობა დადებითი იყოს.

პირველი რიგის კუთხოვანი მინორი . უთანასწორობა მკაცრია, რადგან ქულები ერთმანეთს არ ემთხვევა. ეს იგულისხმება შემდეგში.

მეორე რიგის კუთხოვანი მინორი

ეს დავამტკიცოთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

დასკვნა: ნაპოვნი მნიშვნელობები ადა ბშეესაბამება ფუნქციის უმცირეს მნიშვნელობას მაშასადამე, არის სასურველი პარამეტრები უმცირესი კვადრატების მეთოდისთვის.

ოდესმე გაიგე?
შეუკვეთეთ გამოსავალი

გვერდის ზედა

პროგნოზის შემუშავება უმცირესი კვადრატების მეთოდით. პრობლემის გადაჭრის მაგალითი

ექსტრაპოლაცია - ეს არის მეცნიერული კვლევის მეთოდი, რომელიც ეფუძნება წარსული და აწმყო ტენდენციების გავრცელებას, შაბლონებს, პროგნოზირების ობიექტის მომავალ განვითარებას. ექსტრაპოლაციის მეთოდები მოიცავს მოძრავი საშუალო მეთოდი, ექსპონენციალური დაგლუვების მეთოდი, უმცირესი კვადრატების მეთოდი.

არსი უმცირესი კვადრატების მეთოდი შედგება დაკვირვებულ და გამოთვლილ მნიშვნელობებს შორის კვადრატული გადახრების ჯამის მინიმიზაციაში. გამოთვლილი მნიშვნელობები გვხვდება შერჩეული განტოლების მიხედვით - რეგრესიის განტოლება. რაც უფრო მცირეა მანძილი რეალურ მნიშვნელობებსა და გამოთვლილ მნიშვნელობებს შორის, მით უფრო ზუსტია პროგნოზი რეგრესიის განტოლების საფუძველზე.

მრუდის არჩევის საფუძველს წარმოადგენს შესასწავლი ფენომენის არსის თეორიული ანალიზი, რომლის ცვლილებაც ნაჩვენებია დროის სერიებით. ზოგჯერ მხედველობაში მიიღება მოსაზრებები სერიის დონეების ზრდის ბუნების შესახებ. ასე რომ, თუ გამომუშავების ზრდა მოსალოდნელია არითმეტიკული პროგრესიით, მაშინ გლუვი შესრულებულია სწორი ხაზით. თუ აღმოჩნდება, რომ ზრდა ექსპონენციალურია, მაშინ გლუვება უნდა მოხდეს ექსპონენციალური ფუნქციის მიხედვით.

უმცირესი კვადრატების მეთოდის სამუშაო ფორმულა : Y t+1 = a*X + b, სადაც t + 1 არის საპროგნოზო პერიოდი; Уt+1 – პროგნოზირებული მაჩვენებელი; a და b არის კოეფიციენტები; X არის დროის სიმბოლო.

a და b კოეფიციენტები გამოითვლება შემდეგი ფორმულების მიხედვით:

სადაც, Uf - დინამიკის სერიის რეალური მნიშვნელობები; n არის დონეების რაოდენობა დროის სერიაში;

დროის სერიების უმცირესი კვადრატების მეთოდით გათანაბრება ემსახურება შესასწავლი ფენომენის განვითარების შაბლონების ასახვას. ტენდენციის ანალიტიკურ გამოხატულებაში დრო განიხილება, როგორც დამოუკიდებელი ცვლადი, ხოლო სერიის დონეები მოქმედებს როგორც ამ დამოუკიდებელი ცვლადის ფუნქცია.

ფენომენის განვითარება არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ რამდენი წელი გავიდა საწყისი წერტილიდან, არამედ იმაზე, თუ რა ფაქტორებმა მოახდინეს გავლენა მის განვითარებაზე, რა მიმართულებით და რა ინტენსივობით. აქედან ირკვევა, რომ ფენომენის დროში განვითარება სწორედ ამ ფაქტორების მოქმედების შედეგად ჩნდება.

მრუდის ტიპის სწორად დაყენება, დროზე ანალიტიკური დამოკიდებულების ტიპი არის წინასწარი პროგნოზირების ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე რთული ამოცანა. .

ფუნქციის ტიპის არჩევანი, რომელიც აღწერს ტენდენციას, რომლის პარამეტრები განისაზღვრება უმცირესი კვადრატების მეთოდით, უმეტეს შემთხვევაში ემპირიულია, რიგი ფუნქციების აგებით და მათი ერთმანეთთან შედარებით ფესვის მნიშვნელობის მიხედვით. - საშუალო კვადრატული შეცდომა, გამოითვლება ფორმულით:

სადაც Uf - დინამიკის სერიის რეალური მნიშვნელობები; Ur - დროის სერიების გამოთვლილი (გათლილი) მნიშვნელობები; n არის დონეების რაოდენობა დროის სერიაში; p არის ტენდენციის აღწერის ფორმულებში განსაზღვრული პარამეტრების რაოდენობა (განვითარების ტენდენცია).

უმცირესი კვადრატების მეთოდის ნაკლოვანებები :

როდესაც ცდილობთ აღწეროთ შესასწავლი ეკონომიკური ფენომენი მათემატიკური განტოლების გამოყენებით, პროგნოზი იქნება ზუსტი დროის მოკლე პერიოდის განმავლობაში და რეგრესიის განტოლება ხელახლა უნდა გამოითვალოს ახალი ინფორმაციის მიღებისთანავე;
რეგრესიის განტოლების შერჩევის სირთულე, რომელიც ამოსახსნელია სტანდარტული კომპიუტერული პროგრამების გამოყენებით.

პროგნოზის შემუშავებისთვის უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენების მაგალითი

დავალება . არსებობს მონაცემები, რომლებიც ახასიათებს უმუშევრობის დონეს რეგიონში, %

შეადგინეთ რეგიონში უმუშევრობის დონის პროგნოზი ნოემბრის, დეკემბრის, იანვრის თვეებში, მეთოდების გამოყენებით: მოძრავი საშუალო, ექსპონენციალური გლუვი, უმცირესი კვადრატები.
გამოთვალეთ შეცდომები მიღებულ პროგნოზებში თითოეული მეთოდის გამოყენებით.
შეადარეთ მიღებული შედეგები, გამოიტანეთ დასკვნები.

უმცირესი კვადრატების გადაწყვეტა

ამოხსნისთვის ჩვენ შევადგენთ ცხრილს, რომელშიც გავაკეთებთ საჭირო გამოთვლებს:

ε = 28,63/10 = 2,86% პროგნოზის სიზუსტემაღალი.

დასკვნა : გამოთვლებით მიღებული შედეგების შედარება მოძრავი საშუალო მეთოდი , ექსპონენციური დაგლუვება და უმცირესი კვადრატების მეთოდით, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ექსპონენციალური დაგლუვების მეთოდით გამოთვლების საშუალო ფარდობითი ცდომილება 20-50%-ის ფარგლებშია. ეს ნიშნავს, რომ პროგნოზის სიზუსტე ამ შემთხვევაში მხოლოდ დამაკმაყოფილებელია.

პირველ და მესამე შემთხვევაში პროგნოზის სიზუსტე მაღალია, ვინაიდან საშუალო ფარდობითი შეცდომა 10%-ზე ნაკლებია. მაგრამ მოძრავი საშუალო მეთოდით შესაძლებელი გახდა უფრო სანდო შედეგების მიღება (ნოემბრის პროგნოზი - 1,52%, დეკემბრის პროგნოზი - 1,53%, იანვრის პროგნოზი - 1,49%), რადგან ამ მეთოდის გამოყენებისას საშუალო ფარდობითი შეცდომა ყველაზე მცირეა - 1. ცამეტი%.

მინიმალური კვადრატის მეთოდი

სხვა დაკავშირებული სტატიები:

გამოყენებული წყაროების სია

სამეცნიერო და მეთოდოლოგიური რეკომენდაციები სოციალური რისკების დიაგნოსტიკისა და გამოწვევების, საფრთხეებისა და სოციალური შედეგების პროგნოზირების საკითხებზე. რუსეთის სახელმწიფო სოციალური უნივერსიტეტი. მოსკოვი. 2010 წელი;
ვლადიმიროვა L.P. პროგნოზირება და დაგეგმვა საბაზრო პირობებში: პროკ. შემწეობა. მ .: გამომცემლობა "დაშკოვი და კომპანია", 2001;
ნოვიკოვა ნ.ვ., პოზდეევა ო.გ. ეროვნული ეკონომიკის პროგნოზირება: საგანმანათლებლო და მეთოდოლოგიური გზამკვლევი. ეკატერინბურგი: გამომცემლობა ურალი. სახელმწიფო ეკონომია უნივერსიტეტი, 2007;
სლუცკინი ლ.ნ. MBA კურსი ბიზნესის პროგნოზირებაში. მოსკოვი: Alpina Business Books, 2006 წ.

MNE პროგრამა

შეიყვანეთ მონაცემები

მონაცემები და მიახლოება y = a + b x

მე- ექსპერიმენტული წერტილის რაოდენობა;
x i- ფიქსირებული პარამეტრის მნიშვნელობა წერტილში მე;
y მე- გაზომილი პარამეტრის მნიშვნელობა წერტილში მე;
ω i- გაზომეთ წონა წერტილში მე;
y i, გამოთ.- განსხვავება გაზომილ მნიშვნელობასა და რეგრესიიდან გამოთვლილ მნიშვნელობას შორის წწერტილში მე;
S x i (x i)- შეცდომის შეფასება x iგაზომვისას წწერტილში მე.

მონაცემები და მიახლოება y = kx

მე	x i	y მე	ω i	y i, გამოთ.	Δy i	S x i (x i)

დააწკაპუნეთ დიაგრამაზე

მომხმარებლის სახელმძღვანელო MNC ონლაინ პროგრამისთვის.

მონაცემთა ველში, თითოეულ ცალკეულ სტრიქონზე შეიყვანეთ `x` და `y` მნიშვნელობები ერთ ექსპერიმენტულ წერტილში. მნიშვნელობები უნდა გამოიყოს უფსკრულით (სივრცე ან ჩანართი).

მესამე მნიშვნელობა შეიძლება იყოს `w`-ის წერტილის წონა. თუ წერტილის წონა არ არის მითითებული, მაშინ ის უდრის ერთს. შემთხვევების აბსოლუტურ უმრავლესობაში ექსპერიმენტული წერტილების წონა უცნობია ან არ არის გამოთვლილი; ყველა ექსპერიმენტული მონაცემი ითვლება ექვივალენტად. ზოგჯერ წონა შესწავლილი მნიშვნელობების დიაპაზონში ნამდვილად არ არის ექვივალენტური და შეიძლება თეორიულადაც კი გამოითვალოს. მაგალითად, სპექტროფოტომეტრიაში, წონა შეიძლება გამოითვალოს მარტივი ფორმულების გამოყენებით, თუმცა ძირითადად ყველა უგულებელყოფს ამას შრომის ხარჯების შესამცირებლად.

მონაცემთა ჩასმა შესაძლებელია ბუფერში საოფისე კომპლექტის ცხრილებიდან, როგორიცაა Excel Microsoft Office-დან ან Calc Open Office-დან. ამისათვის აირჩიეთ ელცხრილში დასაკოპირებელი მონაცემების დიაპაზონი, დააკოპირეთ იგი ბუფერში და ჩასვით მონაცემები ამ გვერდის მონაცემთა ველში.

უმცირესი კვადრატების მეთოდით გამოსათვლელად, მინიმუმ ორი წერტილია საჭირო ორი კოეფიციენტის დასადგენად `b` - სწორი ხაზის დახრილობის კუთხის ტანგენსი და `a` - მნიშვნელობა, რომელიც ამოჭრილია სწორი ხაზით `y-ზე. `ღერძი.

გამოთვლილი რეგრესიის კოეფიციენტების ცდომილების შესაფასებლად აუცილებელია ექსპერიმენტული ქულების რაოდენობა ორზე მეტის დაყენება.

უმცირესი კვადრატების მეთოდი (LSM).

რაც უფრო მეტია ექსპერიმენტული ქულების რაოდენობა, მით უფრო ზუსტი იქნება კოეფიციენტების სტატისტიკური შეფასება (სტუდენტის კოეფიციენტის შემცირების გამო) და მით უფრო უახლოვდება შეფასება ზოგადი ნიმუშის შეფასებას.

თითოეულ ექსპერიმენტულ წერტილში მნიშვნელობების მიღება ხშირად ასოცირდება შრომის მნიშვნელოვან ხარჯებთან, ამიტომ ხშირად ტარდება ექსპერიმენტების კომპრომისული რაოდენობა, რაც იძლევა მოსანელებელ შეფასებას და არ იწვევს გადაჭარბებულ შრომის ხარჯებს. როგორც წესი, ორი კოეფიციენტით წრფივი უმცირესი კვადრატების დამოკიდებულების ექსპერიმენტული პუნქტების რაოდენობა არჩეულია 5-7 ქულის რეგიონში.

მცირე კვადრატების მოკლე თეორია ხაზოვანი დამოკიდებულებისთვის

დავუშვათ, გვაქვს ექსპერიმენტული მონაცემების ნაკრები მნიშვნელობების წყვილის სახით [`y_i`, `x_i`], სადაც `i` არის ერთი ექსპერიმენტული გაზომვის რიცხვი 1-დან `n`-მდე; `y_i` - გაზომილი მნიშვნელობის მნიშვნელობა `i` წერტილში; `x_i` - პარამეტრის მნიშვნელობა, რომელიც ჩვენ დავაყენეთ `i` წერტილში.

ამის მაგალითია ოჰმის კანონის მოქმედება. ელექტრული წრედის მონაკვეთებს შორის ძაბვის (პოტენციური სხვაობის) შეცვლით, ჩვენ ვზომავთ ამ მონაკვეთში გამავალი დენის რაოდენობას. ფიზიკა გვაძლევს ექსპერიმენტულად აღმოჩენილ დამოკიდებულებას:

`I=U/R`,
სადაც `მე` - მიმდინარე ძალა; `R` - წინააღმდეგობა; `U` - ძაბვა.

ამ შემთხვევაში, `y_i` არის გაზომილი დენის მნიშვნელობა, ხოლო `x_i` არის ძაბვის მნიშვნელობა.

როგორც სხვა მაგალითი, განვიხილოთ სინათლის შთანთქმა ხსნარში არსებული ნივთიერების ხსნარით. ქიმია გვაძლევს ფორმულას:

`A = εl C`,
სადაც `A` არის ხსნარის ოპტიკური სიმკვრივე; `ε` - ხსნარის გამტარობა; `l` - ბილიკის სიგრძე, როდესაც სინათლე გადის ხსნარით კუვეტაში; "C" არის გამხსნელის კონცენტრაცია.

ამ შემთხვევაში, `y_i` არის გაზომილი ოპტიკური სიმკვრივე `A`, ხოლო `x_i` არის ნივთიერების კონცენტრაცია, რომელიც ჩვენ დავაყენეთ.

განვიხილავთ შემთხვევას, როდესაც შედარებითი შეცდომა `x_i`-ის დაყენებაში გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე შედარებითი შეცდომა `y_i`-ის გაზომვისას. ჩვენ ასევე ვივარაუდებთ, რომ `y_i`-ის ყველა გაზომილი მნიშვნელობა არის შემთხვევითი და ნორმალურად განაწილებული, ე.ი. დაიცავით ნორმალური განაწილების კანონი.

`y`-ის წრფივი დამოკიდებულების შემთხვევაში `x`-ზე, შეგვიძლია დავწეროთ თეორიული დამოკიდებულება:
`y = a + bx`.

გეომეტრიული თვალსაზრისით, კოეფიციენტი `b` აღნიშნავს წრფის დახრილობის კუთხის ტანგენტს `x` ღერძზე, ხოლო კოეფიციენტი `a` - y-ის მნიშვნელობას კვეთის წერტილში. ხაზი `y` ღერძით (`x = 0`-ისთვის).

რეგრესიის ხაზის პარამეტრების მოძიება.

ექსპერიმენტში, `y_i`-ის გაზომილი მნიშვნელობები არ შეიძლება იყოს ზუსტად თეორიულ ხაზზე გაზომვის შეცდომების გამო, რომლებიც ყოველთვის თანდაყოლილია რეალურ ცხოვრებაში. ამრიგად, წრფივი განტოლება უნდა იყოს წარმოდგენილი განტოლებათა სისტემით:
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
სადაც `ε_i` არის `y`-ის უცნობი გაზომვის შეცდომა `i`-ე ექსპერიმენტში.

დამოკიდებულებას (1) ასევე უწოდებენ რეგრესია, ე.ი. ორი სიდიდის ერთმანეთზე დამოკიდებულება სტატისტიკური მნიშვნელოვნებით.

დამოკიდებულების აღდგენის ამოცანაა `ა` და `ბ` კოეფიციენტების პოვნა ექსპერიმენტული წერტილებიდან [`y_i`, `x_i`].

კოეფიციენტების მოსაძებნად ჩვეულებრივ გამოიყენება `a` და `b` მინიმალური კვადრატის მეთოდი(MNK). ეს არის მაქსიმალური ალბათობის პრინციპის განსაკუთრებული შემთხვევა.

გადავიწეროთ (1) როგორც `ε_i = y_i - a - b x_i`.

მაშინ კვადრატული შეცდომების ჯამი იქნება
`Φ = ჯამი_(i=1)^(n) ε_i^2 = ჯამი_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)

უმცირესი კვადრატების მეთოდის პრინციპია ჯამის (2) მინიმიზაცია `a` და `b` პარამეტრებთან მიმართებაში..

მინიმალური მიიღწევა მაშინ, როდესაც ჯამის (2) ნაწილობრივი წარმოებულები კოეფიციენტებთან მიმართებაში `a` და `b` უდრის ნულს:
`frac(ნაწილობრივი Φ)(ნაწილობრივი a) = frac(ნაწილობრივი ჯამი_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(ნაწილობრივი a) = 0`
`frac(ნაწილობრივი Φ)(ნაწილობრივი b) = frac(ნაწილობრივი ჯამი_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(ნაწილობრივი b) = 0`

წარმოებულების გაფართოებით, ჩვენ ვიღებთ ორი განტოლების სისტემას ორი უცნობით:
`sum_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = ჯამი_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`sum_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = ჯამი_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`

ვხსნით ფრჩხილებს და გადავიტანთ სასურველი კოეფიციენტებისგან დამოუკიდებელ ჯამებს მეორე ნახევარში, ვიღებთ წრფივი განტოლებათა სისტემას:
`sum_(i=1)^(n) y_i = a n + b ჯამი_(i=1)^(n) bx_i`
`sum_(i=1)^(n) x_iy_i = a sum_(i=1)^(n) x_i + b sum_(i=1)^(n) x_i^2`

შედეგად მიღებული სისტემის ამოხსნით, ჩვენ ვპოულობთ ფორმულებს კოეფიციენტებისთვის `a` და `b`:

`a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i ჯამი_(i=1)^(n) x_i^2 - ჯამი_(i=1)^(n) x_i ჯამი_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n ჯამი_(i=1)^(n) x_i^2 — (ჯამ_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1)

`b = frac(n ჯამი_(i=1)^(n) x_iy_i - ჯამი_(i=1)^(n) x_i ჯამი_(i=1)^(n) y_i) (n ჯამი_(i=1)^ (n) x_i^2 - (ჯამ_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2)

ამ ფორმულებს აქვთ ამონახსნები, როდესაც `n > 1` (ხაზის დახატვა შესაძლებელია მინიმუმ 2 წერტილის გამოყენებით) და როდესაც განმსაზღვრელი `D = n ჯამი_(i=1)^(n) x_i^2 — (ჯამ_(i= 1) )^(n) x_i)^2 != 0`, ე.ი. როდესაც ექსპერიმენტში `x_i` წერტილები განსხვავებულია (ანუ როცა ხაზი ვერტიკალური არ არის).

რეგრესიის ხაზის კოეფიციენტებში შეცდომების შეფასება

`a` და `b` კოეფიციენტების გამოთვლაში შეცდომის უფრო ზუსტი შეფასებისთვის სასურველია ექსპერიმენტული ქულების დიდი რაოდენობა. როდესაც `n = 2`, შეუძლებელია კოეფიციენტების ცდომილების შეფასება, რადგან მიახლოებითი ხაზი ცალსახად გაივლის ორ წერტილს.

დგინდება შემთხვევითი ცვლადის `V` შეცდომა შეცდომების დაგროვების კანონი
`S_V^2 = ჯამი_(i=1)^p (frac(ნაწილობრივი f)(ნაწილობრივი z_i))^2 S_(z_i)^2`,
სადაც `p` არის `z_i` პარამეტრების რაოდენობა `S_(z_i)` შეცდომით, რომლებიც გავლენას ახდენენ `S_V` შეცდომაზე;
`f` არის `V`-ის დამოკიდებულების ფუნქცია `z_i`-ზე.

დავწეროთ ცდომილების დაგროვების კანონი `a` და `b` კოეფიციენტების შეცდომისთვის.
`S_a^2 = ჯამი_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი a)(ნაწილობრივი y_i))^2 S_(y_i)^2 + ჯამი_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი a )(ნაწილობრივი x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 ჯამი_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი a)(ნაწილობრივი y_i))^2 `,
`S_b^2 = sum_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი b)(ნაწილობრივი y_i))^2 S_(y_i)^2 + sum_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი b )(ნაწილობრივი x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 ჯამი_(i=1)^(n)(frac(ნაწილობრივი b)(ნაწილობრივი y_i))^2 `,
რადგან `S_(x_i)^2 = 0` (ადრე გავაკეთეთ დათქმა, რომ `x`-ის შეცდომა უმნიშვნელოა).

`S_y^2 = S_(y_i)^2` - შეცდომა (ვარიანტობა, კვადრატული სტანდარტული გადახრა) `y` განზომილებაში, თუ ვივარაუდებთ, რომ შეცდომა ერთგვაროვანია ყველა `y` მნიშვნელობისთვის.

"a"-ს და "b"-ის გამოთვლის ფორმულების ჩანაცვლებით გამოსახულებებში, მივიღებთ

`S_a^2 = S_y^2 ფრაკი(ჯამ_(i=1)^(n) (ჯამ_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i ჯამი_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 ფრაკი((n ჯამი_(i=1)^(n) x_i^2 - (ჯამ_(i=1)^(n) x_i)^2) ჯამი_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 ფრაკი(ჯამ_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1)

`S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i - sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n ჯამი_(i=1)^(n) x_i^2 - (ჯამ_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 ფრაკ(n) (D) ` (4.2)

უმეტეს რეალურ ექსპერიმენტებში, `Sy`-ის მნიშვნელობა არ იზომება. ამისათვის საჭიროა რამდენიმე პარალელური გაზომვის (ექსპერიმენტის) ჩატარება გეგმის ერთ ან რამდენიმე წერტილში, რაც ზრდის ექსპერიმენტის დროს (და შესაძლოა ღირებულებას). ამიტომ, ჩვეულებრივ, ვარაუდობენ, რომ `y`-ის გადახრა რეგრესიის ხაზიდან შეიძლება შემთხვევით ჩაითვალოს. დისპერსიის შეფასება `y` ამ შემთხვევაში გამოითვლება ფორმულით.

`S_y^2 = S_(y, დანარჩენი)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`.

გამყოფი `n-2` ჩნდება იმის გამო, რომ ჩვენ შევამცირეთ თავისუფლების ხარისხების რაოდენობა ექსპერიმენტული მონაცემების ერთი და იგივე ნიმუშისთვის ორი კოეფიციენტის გამოთვლის გამო.

ამ შეფასებას ასევე უწოდებენ ნარჩენ დისპერსიას `S_(y, დანარჩენი)^2` რეგრესიის ხაზთან მიმართებაში.

კოეფიციენტების მნიშვნელოვნების შეფასება ხორციელდება სტუდენტის კრიტერიუმით

`t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)`

თუ გამოთვლილი კრიტერიუმები `t_a`, `t_b` ნაკლებია ცხრილის კრიტერიუმებზე `t(P, n-2)`, მაშინ ითვლება, რომ შესაბამისი კოეფიციენტი მნიშვნელოვნად არ განსხვავდება ნულისაგან მოცემული ალბათობით `P`.

წრფივი ურთიერთობის აღწერის ხარისხის შესაფასებლად, შეგიძლიათ შეადაროთ `S_(y, დანარჩენი)^2` და `S_(ბარი y)` საშუალოსთან შედარებით ფიშერის კრიტერიუმის გამოყენებით.

`S_(ბარი y) = ფრაკ(ჯამ_(i=1)^n (y_i - ბარი y)^2) (n-1) = ფრაკ(ჯამ_(i=1)^n (y_i - (ჯამ_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - `y`-ის დისპერსიის ნიმუშის შეფასება საშუალოსთან მიმართებაში.

დამოკიდებულების აღწერისთვის რეგრესიის განტოლების ეფექტურობის შესაფასებლად გამოითვლება ფიშერის კოეფიციენტი
`F = S_(ბარი y) / S_(y, დასვენება)^2`,
რომელიც შედარებულია ფიშერის ცხრილის კოეფიციენტთან `F(p, n-1, n-2)`.

თუ `F > F(P, n-1, n-2)`, სხვაობა დამოკიდებულების აღწერას `y = f(x)` რეგრესიის განტოლების გამოყენებით და აღწერილობას შორის საშუალოს გამოყენებით ითვლება სტატისტიკურად მნიშვნელოვანი ალბათობით. `P`. იმათ. რეგრესია უფრო კარგად აღწერს დამოკიდებულებას, ვიდრე `y`-ის გავრცელება საშუალოზე.

დააწკაპუნეთ დიაგრამაზე
ცხრილის მნიშვნელობების დასამატებლად

მინიმალური კვადრატის მეთოდი. უმცირესი კვადრატების მეთოდი ნიშნავს უცნობი პარამეტრების a, b, c, მიღებული ფუნქციური დამოკიდებულების განსაზღვრას.

უმცირესი კვადრატების მეთოდი ნიშნავს უცნობი პარამეტრების განსაზღვრას a, b, c,…მიღებული ფუნქციური დამოკიდებულება

y = f(x,a,b,c,…),

რომელიც უზრუნველყოფს შეცდომის საშუალო კვადრატის (ვარიანსის) მინიმუმს

, (24)

სადაც x i, y i - ცდის შედეგად მიღებული რიცხვების წყვილთა სიმრავლე.

ვინაიდან რამდენიმე ცვლადის ფუნქციის უკიდურესობის პირობა არის პირობა, რომ მისი ნაწილობრივი წარმოებულები იყოს ნულის ტოლი, მაშინ პარამეტრები a, b, c,…განისაზღვრება განტოლებათა სისტემიდან:

; ; ; … (25)

უნდა გვახსოვდეს, რომ ყველაზე მცირე კვადრატების მეთოდი გამოიყენება ფუნქციის ფორმის შემდეგ პარამეტრების შესარჩევად y = f(x)განსაზღვრული.

თუ თეორიული მოსაზრებებიდან შეუძლებელია რაიმე დასკვნის გაკეთება იმის შესახებ, თუ როგორი უნდა იყოს ემპირიული ფორმულა, მაშინ უნდა ვიხელმძღვანელოთ ვიზუალური გამოსახულებებით, უპირველეს ყოვლისა, დაკვირვებული მონაცემების გრაფიკული წარმოდგენით.

პრაქტიკაში, ყველაზე ხშირად შემოიფარგლება შემდეგი ტიპის ფუნქციებით:

1) ხაზოვანი ;

2) კვადრატული a .

მინიმალური კვადრატის მეთოდი

თემის დასკვნით გაკვეთილზე გავეცნობით ყველაზე ცნობილ აპლიკაციას FNP, რომელიც ყველაზე ფართო გამოყენებას პოულობს მეცნიერებისა და პრაქტიკის სხვადასხვა დარგში. ეს შეიძლება იყოს ფიზიკა, ქიმია, ბიოლოგია, ეკონომიკა, სოციოლოგია, ფსიქოლოგია და ა.შ. ბედის ნებით ხშირად მიწევს ეკონომიკასთან შეხება და ამიტომ დღეს დაგიმზადებ ბილეთს გასაოცარ ქვეყანაში ე.წ. ეკონომიკა=) ... ეს როგორ არ გინდა?! იქ ძალიან კარგია - უბრალოდ უნდა გადაწყვიტო! ...მაგრამ ის, რაც თქვენ ალბათ ნამდვილად გსურთ, არის ისწავლოთ პრობლემების გადაჭრა უმცირესი კვადრატები. და განსაკუთრებით გულმოდგინე მკითხველები ისწავლიან მათ გადაჭრას არა მხოლოდ ზუსტად, არამედ ძალიან სწრაფად ;-) მაგრამ ჯერ პრობლემის ზოგადი განცხადება+ დაკავშირებული მაგალითი:

მოდით, ინდიკატორები შეისწავლოს ზოგიერთ საგნობრივ სფეროში, რომელსაც აქვს რაოდენობრივი გამოხატულება. ამავდროულად, ყველა საფუძველი არსებობს იმის დასაჯერებლად, რომ ინდიკატორი დამოკიდებულია ინდიკატორზე. ეს ვარაუდი შეიძლება იყოს როგორც მეცნიერული ჰიპოთეზა, ასევე ელემენტარული საღი აზრის საფუძველზე. თუმცა, მეცნიერებას თავი დავანებოთ და უფრო მადისაღმძვრელი სფეროები გამოვიკვლიოთ - კერძოდ, სასურსათო მაღაზიები. აღნიშნეთ:

– სასურსათო მაღაზიის საცალო ფართი, კვ.მ.
- სასურსათო მაღაზიის წლიური ბრუნვა, მილიონი რუბლი.

სავსებით გასაგებია, რომ რაც უფრო დიდია მაღაზიის ფართობი, მით მეტია მისი ბრუნვა უმეტეს შემთხვევაში.

დავუშვათ, რომ დაკვირვების / ექსპერიმენტების / გამოთვლების / ტამბურით ცეკვის ჩატარების შემდეგ, ჩვენს განკარგულებაშია რიცხვითი მონაცემები:

სასურსათო მაღაზიებთან, ვფიქრობ, ყველაფერი ნათელია: - ეს არის 1-ლი მაღაზიის ფართობი, - მისი წლიური ბრუნვა, - მე-2 მაღაზიის ფართობი, - მისი წლიური ბრუნვა და ა.შ. სხვათა შორის, საერთოდ არ არის აუცილებელი საიდუმლო მასალებზე წვდომა - ბრუნვის საკმაოდ ზუსტი შეფასება შეიძლება მიღებულ იქნას გამოყენებით მათემატიკური სტატისტიკა. თუმცა, ნუ გეშლებათ, კომერციული ჯაშუშობის კურსი უკვე ფასიანია =)

ტაბულური მონაცემები ასევე შეიძლება დაიწეროს წერტილების სახით და გამოსახული იყოს ჩვენთვის ჩვეულებრივი გზით. დეკარტის სისტემა .

მოდით ვუპასუხოთ მნიშვნელოვან კითხვას: რამდენი ქულაა საჭირო თვისებრივი კვლევისთვის?

რაც უფრო დიდია, მით უკეთესი. მინიმალური დასაშვები ნაკრები შედგება 5-6 ქულისგან. გარდა ამისა, მცირე რაოდენობის მონაცემებით, „არანორმალური“ შედეგები არ უნდა იყოს შეტანილი ნიმუშში. ასე, მაგალითად, პატარა ელიტარულ მაღაზიას შეუძლია დაეხმაროს უფრო მასშტაბურ ბრძანებებს, ვიდრე „მათი კოლეგები“, რითაც ამახინჯებს ზოგადი ნიმუში, რომელიც უნდა მოიძებნოს!

თუ ეს საკმაოდ მარტივია, ჩვენ უნდა ავირჩიოთ ფუნქცია, განრიგირომელიც რაც შეიძლება ახლოს გადის წერტილებთან . ასეთ ფუნქციას ე.წ მიახლოებითი (დაახლოება - დაახლოება)ან თეორიული ფუნქცია . საერთოდ, აქ მაშინვე ჩნდება აშკარა „პრეტენდენტი“ - მაღალი ხარისხის პოლინომი, რომლის გრაფიკი გადის ყველა წერტილს. მაგრამ ეს ვარიანტი რთულია და ხშირად უბრალოდ არასწორია. (რადგან დიაგრამა მუდმივად "ქარი" და ცუდად ასახავს მთავარ ტენდენციას).

ამრიგად, სასურველი ფუნქცია უნდა იყოს საკმარისად მარტივი და ამავე დროს ადეკვატურად ასახავდეს დამოკიდებულებას. როგორც თქვენ ალბათ მიხვდებით, ასეთი ფუნქციების პოვნის ერთ-ერთ მეთოდს ე.წ უმცირესი კვადრატები. პირველ რიგში, მოდით გავაანალიზოთ მისი არსი ზოგადი გზით. დაე, რომელიმე ფუნქცია მიახლოებით ახლდეს ექსპერიმენტულ მონაცემებს:

როგორ შევაფასოთ ამ მიახლოების სიზუსტე? ასევე გამოვთვალოთ განსხვავებები (გადახრები) ექსპერიმენტულ და ფუნქციურ მნიშვნელობებს შორის (ჩვენ ვსწავლობთ ნახატს). პირველი აზრი, რაც თავში მოდის, არის იმის შეფასება, თუ რამდენად დიდია თანხა, მაგრამ პრობლემა ის არის, რომ განსხვავებები შეიძლება იყოს უარყოფითი. (Მაგალითად, ) და ასეთი შეჯამების შედეგად გადახრები გააუქმებს ერთმანეთს. მაშასადამე, როგორც მიახლოების სიზუსტის შეფასება, ის თავის თავს გვთავაზობს ჯამის აღებას მოდულებიგადახრები:

ან დაკეცილი ფორმით: (მათთვის ვინც არ იცის: არის ჯამის ხატი და - დამხმარე ცვლადი - "მრიცხველი", რომელიც იღებს მნიშვნელობებს 1-დან ) .

სხვადასხვა ფუნქციით ექსპერიმენტული წერტილების მიახლოებით მივიღებთ განსხვავებულ მნიშვნელობებს და აშკარაა, სად არის ეს ჯამი უფრო მცირე - ეს ფუნქცია უფრო ზუსტია.

ასეთი მეთოდი არსებობს და ე.წ მინიმალური მოდულის მეთოდი. თუმცა, პრაქტიკაში ის ბევრად უფრო ფართოდ გავრცელდა. მინიმალური კვადრატის მეთოდი, რომელშიც შესაძლო უარყოფითი მნიშვნელობები აღმოიფხვრება არა მოდულით, არამედ გადახრების კვადრატში:

, რის შემდეგაც ძალისხმევა მიმართულია ისეთი ფუნქციის შერჩევაზე, რომ კვადრატული გადახრების ჯამი რაც შეიძლება პატარა იყო. სინამდვილეში, აქედან მოდის მეთოდის სახელი.

ახლა კი ჩვენ ვუბრუნდებით კიდევ ერთ მნიშვნელოვან პუნქტს: როგორც ზემოთ აღინიშნა, შერჩეული ფუნქცია საკმაოდ მარტივი უნდა იყოს - მაგრამ ასევე არსებობს მრავალი ასეთი ფუნქცია: ხაზოვანი , ჰიპერბოლური , ექსპონენციალური , ლოგარითმული , კვადრატული და ა.შ. და, რა თქმა უნდა, აქ მსურს დაუყოვნებლივ "შევამცირო საქმიანობის სფერო". რა კლასის ფუნქციები აირჩიოს კვლევისთვის? პრიმიტიული, მაგრამ ეფექტური ტექნიკა:

- ქულების დახატვის უმარტივესი გზა ნახატზე და გააანალიზეთ მათი მდებარეობა. თუ ისინი სწორ ხაზზე არიან, მაშინ უნდა მოძებნოთ სწორი ხაზის განტოლება ოპტიმალური მნიშვნელობებით და. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ამოცანაა იპოვოთ ასეთი კოეფიციენტები - ისე, რომ კვადრატული გადახრების ჯამი იყოს ყველაზე მცირე.

თუ წერტილები მდებარეობს, მაგალითად, გასწვრივ ჰიპერბოლა, მაშინ ცხადია, რომ წრფივი ფუნქცია მისცემს ცუდ მიახლოებას. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვეძებთ ყველაზე "ხელსაყრელ" კოეფიციენტებს ჰიპერბოლის განტოლებისთვის - ისინი, რომლებიც იძლევა კვადრატების მინიმალურ ჯამს .

ახლა ყურადღება მიაქციეთ, რომ ორივე შემთხვევაში ჩვენ ვსაუბრობთ ორი ცვლადის ფუნქცია, რომლის არგუმენტებიც არის მოძებნილი დამოკიდებულების ვარიანტები:

და არსებითად, ჩვენ უნდა გადავწყვიტოთ სტანდარტული პრობლემა - ვიპოვოთ ორი ცვლადის ფუნქციის მინიმუმი.

გავიხსენოთ ჩვენი მაგალითი: დავუშვათ, რომ "მაღაზიის" წერტილები, როგორც წესი, განლაგებულია სწორ ხაზზე და არსებობს ყველა მიზეზი, რომ დავიჯეროთ მისი არსებობა. ხაზოვანი დამოკიდებულებაბრუნვა სავაჭრო ზონიდან. ვიპოვოთ ასეთი კოეფიციენტები "a" და "be" ისე, რომ კვადრატული გადახრების ჯამი იყო ყველაზე პატარა. ყველაფერი, როგორც ყოველთვის - პირველი 1-ლი რიგის ნაწილობრივი წარმოებულები. Მიხედვით წრფივი წესითქვენ შეგიძლიათ განასხვავოთ ჯამის ხატის ქვეშ:

თუ გსურთ გამოიყენოთ ეს ინფორმაცია ესეისთვის ან საკურსო ნაშრომისთვის, ძალიან მადლობელი ვიქნები წყაროების სიაში მოცემული ბმულისთვის, ასეთ დეტალურ გამოთვლებს ვერსად ნახავთ:

მოდით შევქმნათ სტანდარტული სისტემა:

ჩვენ ვამცირებთ თითოეულ განტოლებას "ორით" და, გარდა ამისა, "ვაყოფთ" ჯამებს:

შენიშვნა : დამოუკიდებლად გააანალიზეთ, რატომ შეიძლება ამოიღოთ "a" და "be" ჯამის ხატიდან. სხვათა შორის, ფორმალურად ეს შეიძლება გაკეთდეს თანხით

მოდით გადავიწეროთ სისტემა "გამოყენებითი" ფორმით:

რის შემდეგაც იწყება ჩვენი პრობლემის გადაჭრის ალგორითმის შედგენა:

ვიცით თუ არა წერტილების კოორდინატები? Ჩვენ ვიცით. თანხები შეგვიძლია ვიპოვოთ? ადვილად. ჩვენ ვწერთ უმარტივესს ორი წრფივი განტოლების სისტემა ორი უცნობით("ა" და "ბეჰ"). ჩვენ ვხსნით სისტემას, მაგალითად, კრამერის მეთოდი, რის შედეგადაც სტაციონარული წერტილი. შემოწმება საკმარისი პირობა ექსტრემისთვის, შეგვიძლია გადავამოწმოთ, რომ ამ ეტაპზე ფუნქცია ზუსტად აღწევს მინიმალური. გადამოწმება დაკავშირებულია დამატებით გამოთვლებთან და ამიტომ მას კულისებში დავტოვებთ. (საჭიროების შემთხვევაში, დაკარგული ჩარჩოს ნახვა შესაძლებელიააქ ) . ჩვენ ვაკეთებთ საბოლოო დასკვნას:

ფუნქცია საუკეთესო გზა (ყოველ შემთხვევაში სხვა წრფივ ფუნქციასთან შედარებით)აახლოებს ექსპერიმენტულ წერტილებს . უხეშად რომ ვთქვათ, მისი გრაფიკი რაც შეიძლება ახლოს გადის ამ წერტილებთან. ტრადიციაში ეკონომეტრიაშედეგად მიახლოებით ფუნქციას ასევე უწოდებენ დაწყვილებული წრფივი რეგრესიის განტოლება .

განხილულ პრობლემას დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვს. ჩვენი მაგალითის სიტუაციაში, განტოლება საშუალებას გაძლევთ წინასწარ განსაზღვროთ რა სახის ბრუნვა ("იგი")იქნება მაღაზიაში გასაყიდი ფართის ამა თუ იმ ღირებულებით ("x"-ის ერთი ან სხვა მნიშვნელობა). დიახ, შედეგად მიღებული პროგნოზი იქნება მხოლოდ პროგნოზი, მაგრამ ხშირ შემთხვევაში ის საკმაოდ ზუსტი აღმოჩნდება.

მე გავაანალიზებ მხოლოდ ერთ პრობლემას "რეალური" რიცხვებით, რადგან მასში არანაირი სირთულე არ არის - ყველა გამოთვლა სკოლის სასწავლო გეგმის დონეზეა 7-8 კლასებში. შემთხვევების 95 პროცენტში მოგეთხოვებათ მხოლოდ წრფივი ფუნქციის პოვნა, მაგრამ სტატიის ბოლოს მე გაჩვენებთ, რომ ოპტიმალური ჰიპერბოლის, მაჩვენებლის და სხვა ფუნქციების განტოლებების პოვნა აღარ არის რთული.

სინამდვილეში, რჩება დაპირებული სიკეთეების განაწილება - ასე რომ თქვენ ისწავლით როგორ ამოხსნათ ასეთი მაგალითები არა მხოლოდ ზუსტად, არამედ სწრაფად. ჩვენ ყურადღებით ვსწავლობთ სტანდარტს:

დავალება

ორ ინდიკატორს შორის ურთიერთობის შესწავლის შედეგად მიიღეს რიცხვების შემდეგი წყვილი:

უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით იპოვეთ წრფივი ფუნქცია, რომელიც საუკეთესოდ უახლოვდება ემპირიულს (გამოცდილი)მონაცემები. გააკეთეთ ნახატი, რომელზედაც დეკარტის მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში გამოსახულია ექსპერიმენტული წერტილები და მიახლოებითი ფუნქციის გრაფიკი . იპოვეთ კვადრატული გადახრების ჯამი ემპირიულ და თეორიულ მნიშვნელობებს შორის. გაარკვიეთ არის თუ არა ფუნქცია უკეთესი (უმცირესი კვადრატების მეთოდის მიხედვით)სავარაუდო ექსპერიმენტული წერტილები.

გაითვალისწინეთ, რომ "x" მნიშვნელობები ბუნებრივი მნიშვნელობებია და ამას აქვს დამახასიათებელი მნიშვნელობითი მნიშვნელობა, რაზეც ცოტა მოგვიანებით ვისაუბრებ; მაგრამ ისინი, რა თქმა უნდა, შეიძლება იყოს წილადი. გარდა ამისა, კონკრეტული ამოცანის შინაარსიდან გამომდინარე, ორივე "X" და "G" მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მთლიანად ან ნაწილობრივ უარყოფითი. ჰოდა, „უსახო“ დავალება მოგვცეს და ვიწყებთ გადაწყვეტილება:

სისტემის ამოხსნის სახით ვპოულობთ ოპტიმალური ფუნქციის კოეფიციენტებს:

უფრო კომპაქტური აღნიშვნის მიზნით, „მრიცხველი“ ცვლადი შეიძლება გამოტოვდეს, რადგან უკვე ნათელია, რომ შეჯამება ხორციელდება 1-დან .

უფრო მოსახერხებელია საჭირო თანხების გამოთვლა ცხრილის სახით:

გამოთვლები შეიძლება განხორციელდეს მიკროკალკულატორზე, მაგრამ ბევრად უკეთესია Excel-ის გამოყენება - როგორც უფრო სწრაფად, ასევე შეცდომების გარეშე; უყურეთ მოკლე ვიდეოს:

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ შემდეგს სისტემა:

აქ შეგიძლიათ მეორე განტოლება გაამრავლოთ 3-ზე და გამოვაკლოთ მე-2 1-ლი განტოლებიდან ტერმინით. მაგრამ ეს არის იღბალი - პრაქტიკაში, სისტემები ხშირად არ არის ნიჭიერი და ასეთ შემთხვევებში ის ზოგავს კრამერის მეთოდი:
ასე რომ, სისტემას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა.

მოდით შევამოწმოთ. მესმის, რომ არ მინდა, მაგრამ რატომ გამოტოვო შეცდომები, სადაც მათ აბსოლუტურად არ გამოტოვებ? შეცვალეთ ნაპოვნი ამონახსნები სისტემის თითოეული განტოლების მარცხენა მხარეს:

მიღებულია შესაბამისი განტოლებების სწორი ნაწილები, რაც ნიშნავს, რომ სისტემა სწორად არის ამოხსნილი.

ამრიგად, სასურველი მიახლოებითი ფუნქცია: – საწყისი ყველა წრფივი ფუნქციაექსპერიმენტული მონაცემები საუკეთესოდ არის მიახლოებული მასზე.

განსხვავებით სწორი მაღაზიის ბრუნვის დამოკიდებულება მის ფართობზე, აღმოჩენილი დამოკიდებულება არის საპირისპირო (პრინციპი "რაც მეტი - მით ნაკლები"), და ეს ფაქტი მაშინვე ნეგატივით ვლინდება კუთხოვანი კოეფიციენტი. ფუნქცია გვამცნობს, რომ გარკვეული მაჩვენებლის 1 ერთეულით გაზრდით, დამოკიდებული ინდიკატორის მნიშვნელობა მცირდება საშუალო 0,65 ერთეულით. როგორც ამბობენ, რაც უფრო მაღალია წიწიბურა, მით ნაკლები იყიდება.

მიახლოებითი ფუნქციის გამოსათვლელად, ჩვენ ვპოულობთ მის ორ მნიშვნელობას:

და შეასრულეთ ნახაზი:

აგებულ ხაზს ე.წ ტრენდის ხაზი (კერძოდ, წრფივი ტრენდის ხაზი, ანუ ზოგად შემთხვევაში ტენდენცია სულაც არ არის სწორი ხაზი). გამოთქმა „იყო ტრენდში“ ყველასთვის ცნობილია და ვფიქრობ, რომ ამ ტერმინს დამატებითი კომენტარები არ სჭირდება.

გამოთვალეთ კვადრატული გადახრების ჯამი ემპირიულ და თეორიულ ღირებულებებს შორის. გეომეტრიულად, ეს არის "ჟოლოსფერი" სეგმენტების სიგრძის კვადრატების ჯამი (ორი მათგანი ისეთი პატარაა, რომ ვერც კი ხედავთ).

მოდით შევაჯამოთ გამოთვლები ცხრილში:

მათი ხელახლა შესრულება შესაძლებელია, მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მე მოვიყვან მაგალითს პირველი პუნქტისთვის:

მაგრამ ბევრად უფრო ეფექტურია უკვე ცნობილი ხერხის გაკეთება:

გავიმეოროთ: რას ნიშნავს შედეგი?დან ყველა წრფივი ფუნქციაფუნქცია მაჩვენებელი ყველაზე პატარაა, ანუ საუკეთესო მიახლოებაა მის ოჯახში. და აქ, სხვათა შორის, პრობლემის საბოლოო კითხვა არ არის შემთხვევითი: რა მოხდება, თუ შემოთავაზებული ექსპონენციალური ფუნქცია უკეთესი იქნება ექსპერიმენტული ქულების მიახლოება?

ვიპოვოთ კვადრატული გადახრების შესაბამისი ჯამი - მათ გამოსაყოფად აღვნიშნავ ასო „ეპსილონს“. ტექნიკა ზუსტად იგივეა:

და ისევ ყოველი ხანძრის გაანგარიშებისთვის პირველი პუნქტისთვის:

Excel-ში ვიყენებთ სტანდარტულ ფუნქციას ვადა (სინტაქსი შეგიძლიათ იხილოთ Excel Help-ში).

დასკვნა: , ასე რომ, ექსპონენციალური ფუნქცია აახლოებს სწორ წრფეზე უარეს ექსპერიმენტულ წერტილებს .

მაგრამ აქვე უნდა აღინიშნოს, რომ "უარესი". ჯერ არ ნიშნავს, რა მოხდა. ახლა მე ავაშენე ამ ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი - და ის ასევე გადის წერტილებთან ახლოს - იმდენად, რომ ანალიტიკური კვლევის გარეშე ძნელი სათქმელია, რომელი ფუნქციაა უფრო ზუსტი.

ეს ავსებს გამოსავალს და მე ვუბრუნდები არგუმენტის ბუნებრივი მნიშვნელობების საკითხს. სხვადასხვა კვლევებში, როგორც წესი, ეკონომიკურ თუ სოციოლოგიურ თვეებს, წლებს ან სხვა თანაბარ დროის ინტერვალებს ითვლიან ბუნებრივი „X“-ით. განვიხილოთ, მაგალითად, შემდეგი პრობლემა:

ჩვენ გვაქვს შემდეგი მონაცემები მაღაზიის საცალო ბრუნვის შესახებ წლის პირველი ნახევრის განმავლობაში:

სწორი ხაზის ანალიტიკური გასწორების გამოყენებით იპოვეთ გაყიდვების მოცულობა ივლისისთვის.

დიახ, პრობლემა არ არის: ჩვენ ვითვლით თვეებს 1, 2, 3, 4, 5, 6 და ვიყენებთ ჩვეულ ალგორითმს, რის შედეგადაც ვიღებთ განტოლებას - ერთადერთი, რაც დროზე მოდის, არის ასო „ტე“ ” (თუმცა ეს არ არის კრიტიკული). შედეგად მიღებული განტოლება აჩვენებს, რომ წლის პირველ ნახევარში ბრუნვა გაიზარდა საშუალოდ 27,74 ფე.მ. თვეში. მიიღეთ ივლისის პროგნოზი (თვე #7): ევროპა.

და მსგავსი ამოცანები - სიბნელე ბნელია. მსურველებს შეუძლიათ ისარგებლონ დამატებითი სერვისით, კერძოდ ჩემი Excel კალკულატორი (დემო ვერსია), რომელიც წყვეტს პრობლემას თითქმის მყისიერად!ხელმისაწვდომია პროგრამის სამუშაო ვერსია სანაცვლოდან ამისთვის სიმბოლური გადახდა.

გაკვეთილის ბოლოს მოკლე ინფორმაცია სხვა ტიპის დამოკიდებულების პოვნის შესახებ. სინამდვილეში, არაფერია განსაკუთრებული სათქმელი, რადგან ფუნდამენტური მიდგომა და ამოხსნის ალგორითმი იგივე რჩება.

დავუშვათ, რომ ექსპერიმენტული წერტილების მდებარეობა ჰიპერბოლას წააგავს. შემდეგ, საუკეთესო ჰიპერბოლის კოეფიციენტების მოსაძებნად, თქვენ უნდა იპოვოთ ფუნქციის მინიმუმი - მსურველებს შეუძლიათ განახორციელონ დეტალური გამოთვლები და მივიდნენ მსგავს სისტემაში:

ფორმალური ტექნიკური თვალსაზრისით იგი მიღებულია „წრფივი“ სისტემიდან (მოდით მოვნიშნოთ ვარსკვლავით)"x"-ის შეცვლა . ისე, თანხები გამოთვალეთ, რის შემდეგაც ოპტიმალური კოეფიციენტები "a" და "be" ხელთ.

თუ არსებობს ყველა საფუძველი იმის დასაჯერებლად, რომ პუნქტები განლაგებულია ლოგარითმული მრუდის გასწვრივ, შემდეგ მოძებნეთ ოპტიმალური მნიშვნელობები და იპოვეთ ფუნქციის მინიმალური . ფორმალურად, სისტემაში (*) უნდა შეიცვალოს:

Excel-ში გაანგარიშებისას გამოიყენეთ ფუნქცია LN. ვაღიარებ, რომ არ გამიჭირდება კალკულატორების შექმნა თითოეული განსახილველი შემთხვევისთვის, მაგრამ მაინც უკეთესი იქნება, თუ თავად „დაპროგრამებთ“ გამოთვლებს. ვიდეო გაკვეთილები დასახმარებლად.

ექსპონენციალური დამოკიდებულებით, სიტუაცია ოდნავ უფრო რთულია. მატერიის წრფივ შემთხვევამდე რომ შევიყვანოთ, ვიღებთ ფუნქციის ლოგარითმს და ვიყენებთ ლოგარითმის თვისებები:

ახლა, მიღებული ფუნქციის წრფივ ფუნქციასთან შედარებისას მივდივართ დასკვნამდე, რომ სისტემაში (*) უნდა შეიცვალოს , და --ით. მოხერხებულობისთვის, ჩვენ აღვნიშნავთ:

გთხოვთ გაითვალისწინოთ, რომ სისტემა მოგვარებულია და-სთან მიმართებაში და, შესაბამისად, ფესვების პოვნის შემდეგ, არ უნდა დაგვავიწყდეს თავად კოეფიციენტის პოვნა.

ექსპერიმენტული ქულების მიახლოებით ოპტიმალური პარაბოლა , უნდა მოიძებნოს მინიმუმ სამი ცვლადის ფუნქცია . სტანდარტული მოქმედებების შესრულების შემდეგ ვიღებთ შემდეგ "მუშაობას" სისტემა:

დიახ, რა თქმა უნდა, აქ მეტი თანხაა, მაგრამ საერთოდ არ არის სირთულეები თქვენი საყვარელი აპლიკაციის გამოყენებისას. და ბოლოს, მე გეტყვით, თუ როგორ სწრაფად შეამოწმოთ Excel-ის გამოყენებით და ააწყოთ სასურველი ტრენდის ხაზი: შექმენით სკატერის დიაგრამა, შეარჩიეთ რომელიმე წერტილი მაუსით და მარჯვენა ღილაკით აირჩიეთ ოფცია "ტენდენციის ხაზის დამატება". შემდეგი, აირჩიეთ დიაგრამის ტიპი და ჩანართზე "Პარამეტრები"გააქტიურეთ ვარიანტი "განტოლების ჩვენება დიაგრამაზე". კარგი

როგორც ყოველთვის, მინდა დავასრულო სტატია ლამაზი ფრაზით და კინაღამ დავწერე "იყავი ტრენდში!". მაგრამ დროთა განმავლობაში მან გადაიფიქრა. და არა იმიტომ, რომ ეს არის ფორმული. არ ვიცი როგორ ვინმე, მაგრამ საერთოდ არ მინდა გავყოლოდი პოპულარულ ამერიკულ და განსაკუთრებით ევროპულ ტრენდს =) ამიტომ, თითოეულ თქვენგანს ვუსურვებ საკუთარ ხაზს!

http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html

უმცირესი კვადრატების მეთოდი ერთ-ერთი ყველაზე გავრცელებული და ყველაზე განვითარებულია მისი გამო ხაზოვანი ეკონომეტრიული მოდელების პარამეტრების შეფასების მეთოდების სიმარტივე და ეფექტურობა. ამავდროულად, სიფრთხილე უნდა იქნას გამოყენებული მისი გამოყენებისას, რადგან მის გამოყენებით აშენებული მოდელები შეიძლება არ აკმაყოფილებდეს რიგ მოთხოვნებს მათი პარამეტრების ხარისხის შესახებ და, შედეგად, არ ასახავდეს პროცესის განვითარების ნიმუშებს.

განვიხილოთ უფრო დეტალურად წრფივი ეკონომეტრიული მოდელის პარამეტრების შეფასების პროცედურა უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით. ასეთი მოდელი ზოგადი ფორმით შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებით (1.2):

y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t .

საწყისი მონაცემები a 0, a 1,..., a n პარამეტრების შეფასებისას არის დამოკიდებული ცვლადის მნიშვნელობების ვექტორი. წ= (y 1 , y 2 , ... , y T)" და დამოუკიდებელი ცვლადების მნიშვნელობების მატრიცა

რომელშიც პირველი სვეტი, რომელიც შედგება ერთეულებისგან, შეესაბამება მოდელის კოეფიციენტს.

უმცირესი კვადრატების მეთოდმა მიიღო სახელი იმ ძირითადი პრინციპიდან გამომდინარე, რომ მის საფუძველზე მიღებული პარამეტრების შეფასება უნდა აკმაყოფილებდეს: მოდელის შეცდომის კვადრატების ჯამი მინიმალური უნდა იყოს.

უმცირესი კვადრატების მეთოდით ამოცანების ამოხსნის მაგალითები

მაგალითი 2.1.სავაჭრო საწარმოს აქვს 12 მაღაზიისგან შემდგარი ქსელი, რომლის საქმიანობის შესახებ ინფორმაცია მოცემულია ცხრილში. 2.1.

კომპანიის ხელმძღვანელობას სურს იცოდეს, რამდენად არის დამოკიდებული წლიური ბრუნვის ზომა მაღაზიის საცალო ფართზე.

ცხრილი 2.1

მაღაზიის ნომერი	წლიური ბრუნვა, მილიონი რუბლი	სავაჭრო ფართი ათასი მ 2
	19,76	0,24
	38,09	0,31
	40,95	0,55
	41,08	0,48
	56,29	0,78
	68,51	0,98
	75,01	0,94
	89,05	1,21
	91,13	1,29
	91,26	1,12
	99,84	1,29
	108,55	1,49

უმცირესი კვადრატების გადაწყვეტა.მოდით დავასახელოთ - მე-ე მაღაზიის წლიური ბრუნვა, მილიონი რუბლი; - მაღაზიის გასაყიდი ფართი ათასი მ 2.

ნახ.2.1. Scatterplot მაგალითისთვის 2.1

ცვლადებს შორის ფუნქციონალური ურთიერთობის ფორმის დადგენა და სკატერპლტის აგება (ნახ. 2.1).

სკატერის დიაგრამაზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წლიური ბრუნვა დადებითად არის დამოკიდებული გაყიდვის ზონაზე (ანუ, y გაიზრდება ზრდით). ფუნქციური კავშირის ყველაზე შესაფერისი ფორმაა ხაზოვანი.

ინფორმაცია შემდგომი გამოთვლებისთვის მოცემულია ცხრილში. 2.2. უმცირესი კვადრატების მეთოდის გამოყენებით ვაფასებთ ხაზოვანი ერთფაქტორიანი ეკონომეტრიული მოდელის პარამეტრებს

ცხრილი 2.2

ტ	y t	x 1ტ	y t 2	x1t2	x 1t y t

	19,76	0,24	390,4576	0,0576	4,7424
	38,09	0,31	1450,8481	0,0961	11,8079
	40,95	0,55	1676,9025	0,3025	22,5225
	41,08	0,48	1687,5664	0,2304	19,7184
	56,29	0,78	3168,5641	0,6084	43,9062
	68,51	0,98	4693,6201	0,9604	67,1398
	75,01	0,94	5626,5001	0,8836	70,5094
	89,05	1,21	7929,9025	1,4641	107,7505
	91,13	1,29	8304,6769	1,6641	117,5577
	91,26	1,12	8328,3876	1,2544	102,2112
	99,84	1,29	9968,0256	1,6641	128,7936
	108,55	1,49	11783,1025	2,2201	161,7395
ს	819,52	10,68	65008,554	11,4058	858,3991
საშუალო	68,29	0,89

ამრიგად,

ამრიგად, სავაჭრო ფართობის 1 ათასი მ 2-ით გაზრდით, სხვა თანაბარი პირობებით, საშუალო წლიური ბრუნვა იზრდება 67,8871 მილიონი რუბლით.

მაგალითი 2.2.საწარმოს ხელმძღვანელობამ შენიშნა, რომ წლიური ბრუნვა დამოკიდებულია არა მხოლოდ მაღაზიის გაყიდვის ზონაზე (იხ. მაგალითი 2.1), არამედ ვიზიტორთა საშუალო რაოდენობაზეც. შესაბამისი ინფორმაცია მოცემულია ცხრილში. 2.3.

ცხრილი 2.3

გადაწყვეტილება.აღნიშნე - მაღაზიის ვიზიტორთა საშუალო რაოდენობა დღეში, ათასი ადამიანი.

ცვლადებს შორის ფუნქციონალური ურთიერთობის ფორმის დადგენა და სკატერპლტის აგება (ნახ. 2.2).

სკატერის დიაგრამაზე დაყრდნობით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ წლიური ბრუნვა დადებითად არის დაკავშირებული დღე-ღამეში ვიზიტორთა საშუალო რაოდენობასთან (ანუ, y გაიზრდება ზრდით). ფუნქციური დამოკიდებულების ფორმა წრფივია.

ბრინჯი. 2.2. Scatterplot მაგალითად 2.2

ცხრილი 2.4

ტ	x 2 ტ	x 2t 2	yt x 2 ტ	x 1t x 2t

	8,25	68,0625	163,02	1,98
	10,24	104,8575	390,0416	3,1744
	9,31	86,6761	381,2445	5,1205
	11,01	121,2201	452,2908	5,2848
	8,54	72,9316	480,7166	6,6612
	7,51	56,4001	514,5101	7,3598
	12,36	152,7696	927,1236	11,6184
	10,81	116,8561	962,6305	13,0801
	9,89	97,8121	901,2757	12,7581
	13,72	188,2384	1252,0872	15,3664
	12,27	150,5529	1225,0368	15,8283
	13,92	193,7664	1511,016	20,7408
ს	127,83	1410,44	9160,9934	118,9728
საშუალო	10,65

ზოგადად, აუცილებელია ორფაქტორიანი ეკონომეტრიული მოდელის პარამეტრების დადგენა

y t \u003d a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t

შემდგომი გამოთვლებისთვის საჭირო ინფორმაცია მოცემულია ცხრილში. 2.4.

მოდით შევაფასოთ წრფივი ორფაქტორიანი ეკონომეტრიული მოდელის პარამეტრები უმცირესი კვადრატების მეთოდით.

ამრიგად,

კოეფიციენტის შეფასება = 61,6583 გვიჩვენებს, რომ ყველა სხვა თანაბარი მდგომარეობით, გაყიდვების ფართობის 1 ათასი მ 2-ით გაზრდით, წლიური ბრუნვა გაიზრდება საშუალოდ 61,6583 მილიონი რუბლით.

კოეფიციენტის შეფასება = 2.2748 გვიჩვენებს, რომ სხვა თანაბარ პირობებში, 1 ათას ადამიანზე ვიზიტორთა საშუალო რაოდენობის ზრდა. დღეში, წლიური ბრუნვა გაიზრდება საშუალოდ 2,2748 მილიონი რუბლით.

მაგალითი 2.3.ცხრილში წარმოდგენილი ინფორმაციის გამოყენებით. 2.2 და 2.4, შეაფასეთ ერთფაქტორიანი ეკონომეტრიული მოდელის პარამეტრი

სად არის მე-ე მაღაზიის წლიური ბრუნვის ორიენტირებული ღირებულება, მილიონი რუბლი; - t-th მაღაზიაში ვიზიტორების საშუალო დღიური რაოდენობის ორიენტირებული მნიშვნელობა, ათასი ადამიანი. (იხ. მაგალითები 2.1-2.2).

გადაწყვეტილება.გამოთვლებისთვის საჭირო დამატებითი ინფორმაცია მოცემულია ცხრილში. 2.5.

ცხრილი 2.5



	-48,53	-2,40	5,7720	116,6013
	-30,20	-0,41	0,1702	12,4589
	-27,34	-1,34	1,8023	36,7084
	-27,21	0,36	0,1278	-9,7288
	-12,00	-2,11	4,4627	25,3570
	0,22	-3,14	9,8753	-0,6809
	6,72	1,71	2,9156	11,4687
	20,76	0,16	0,0348	3,2992
	22,84	-0,76	0,5814	-17,413
	22,97	3,07	9,4096	70,4503
	31,55	1,62	2,6163	51,0267
	40,26	3,27	10,6766	131,5387
ჯამი			48,4344	431,0566

ფორმულის გამოყენებით (2.35) ვიღებთ

ამრიგად,

http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html

მაგალითი.

მათი გასწორების შედეგად ფუნქცია

გადაწყვეტილება.

ცხრილის ბოლო სვეტის მნიშვნელობები არის მნიშვნელობების ჯამები რიგებში.

აქედან გამომდინარე, y=0.165x+2.184არის სასურველი მიახლოებითი სწორი ხაზი.

მტკიცებულება.

მეორე რიგის დიფერენციალს აქვს ფორმა:

ე.ი

პირველი რიგის კუთხოვანი მინორი . უთანასწორობა მკაცრია, რადგან ქულები

შესავალი გაკვეთილი უფასოდ;
გამოცდილი მასწავლებლების დიდი რაოდენობა (მშობლიური და რუსულენოვანი);
კურსები არა კონკრეტული პერიოდისთვის (თვე, ექვსი თვე, წელი), არამედ გაკვეთილების გარკვეული რაოდენობა (5, 10, 20, 50);
10000-ზე მეტი კმაყოფილი მომხმარებელი.
ერთი გაკვეთილის ღირებულება რუსულენოვან მასწავლებელთან - 600 რუბლიდანმშობლიურ ენაზე - 1500 რუბლიდან

უმცირესი კვადრატების მეთოდის არსი არის ტენდენციის მოდელის პარამეტრების პოვნაში, რომელიც საუკეთესოდ აღწერს ნებისმიერი შემთხვევითი ფენომენის განვითარების ტენდენციას დროში ან სივრცეში (ტენდენცია არის ხაზი, რომელიც ახასიათებს ამ განვითარების ტენდენციას). უმცირესი კვადრატების მეთოდის (OLS) ამოცანაა იპოვოთ არა მხოლოდ ტენდენციის მოდელი, არამედ იპოვოთ საუკეთესო ან ოპტიმალური მოდელი. ეს მოდელი იქნება ოპტიმალური, თუ დაკვირვებულ რეალურ მნიშვნელობებსა და შესაბამის გამოთვლილ ტრენდულ მნიშვნელობებს შორის კვადრატული გადახრების ჯამი მინიმალურია (უმცირესი):

სად არის სტანდარტული გადახრა დაკვირვებულ ფაქტობრივ მნიშვნელობას შორის

და შესაბამისი გამოთვლილი ტენდენციის მნიშვნელობა,

შესწავლილი ფენომენის რეალური (დაკვირვებული) მნიშვნელობა,

ტენდენციის მოდელის სავარაუდო ღირებულება,

შესწავლილ ფენომენზე დაკვირვებების რაოდენობა.

MNC იშვიათად გამოიყენება დამოუკიდებლად. როგორც წესი, ყველაზე ხშირად იგი გამოიყენება მხოლოდ როგორც აუცილებელი ტექნიკა კორელაციულ კვლევებში. უნდა გვახსოვდეს, რომ LSM-ის საინფორმაციო საფუძველი შეიძლება იყოს მხოლოდ სანდო სტატისტიკური სერია და დაკვირვებების რაოდენობა არ უნდა იყოს 4-ზე ნაკლები, წინააღმდეგ შემთხვევაში, LSM-ის გამარტივების პროცედურებმა შეიძლება დაკარგოს საღი აზრი.

OLS ხელსაწყოების ნაკრები დაყვანილია შემდეგ პროცედურებზე:

პირველი პროცედურა. გამოდის, არის თუ არა რაიმე ტენდენცია, რომ შეიცვალოს მიღებული ატრიბუტი, როდესაც იცვლება შერჩეული ფაქტორი-არგუმენტი, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არის თუ არა კავშირი "-ს შორის. ზე "და" X ».

მეორე პროცედურა. დგინდება, რომელი ხაზი (ტრაექტორია) შეუძლია ამ ტენდენციის აღწერას ან დახასიათებას ყველაზე კარგად.

მესამე პროცედურა.

მაგალითი. დავუშვათ, გვაქვს ინფორმაცია შესასწავლი მეურნეობის საშუალო მზესუმზირის მოსავლიანობის შესახებ (ცხრილი 9.1).

ცხრილი 9.1

დაკვირვების ნომერი

პროდუქტიულობა, ც/ჰა

ვინაიდან ჩვენს ქვეყანაში მზესუმზირის წარმოების ტექნოლოგია დიდად არ შეცვლილა ბოლო 10 წლის განმავლობაში, ეს ნიშნავს, რომ, სავარაუდოდ, მოსავლიანობის რყევები გაანალიზებულ პერიოდში ძალიან იყო დამოკიდებული ამინდისა და კლიმატური პირობების რყევებზე. Მართალია?

პირველი MNC პროცედურა. შემოწმებულია ჰიპოთეზა მზესუმზირის მოსავლიანობის ცვლილების ტენდენციის არსებობის შესახებ, რომელიც დამოკიდებულია ამინდისა და კლიმატური პირობების ცვლილებაზე გაანალიზებული 10 წლის განმავლობაში.

ამ მაგალითში, ამისთვის " წ » მიზანშეწონილია მზესუმზირის მოსავლის აღება და « x » არის დაკვირვებული წლის რიცხვი საანალიზო პერიოდში. ჰიპოთეზის ტესტირება რაიმე ურთიერთობის არსებობის შესახებ " x "და" წ » შეიძლება გაკეთდეს ორი გზით: ხელით და კომპიუტერული პროგრამების დახმარებით. რა თქმა უნდა, კომპიუტერული ტექნოლოგიების ხელმისაწვდომობით, ეს პრობლემა თავისთავად მოგვარებულია. მაგრამ იმისათვის, რომ უკეთ გავიგოთ OLS ინსტრუმენტები, მიზანშეწონილია შეამოწმოთ ჰიპოთეზა ურთიერთობის არსებობის შესახებ " x "და" წ » ხელით, როცა ხელთ მხოლოდ კალამი და ჩვეულებრივი კალკულატორია. ასეთ შემთხვევებში, ტენდენციის არსებობის ჰიპოთეზა საუკეთესოდ შემოწმდება ვიზუალურად გაანალიზებული დროის სერიების გრაფიკული გამოსახულების მდებარეობით - კორელაციის ველით:

ჩვენს მაგალითში კორელაციის ველი მდებარეობს ნელა მზარდი ხაზის გარშემო. ეს თავისთავად მიუთითებს მზესუმზირის მოსავლიანობის ცვლილების გარკვეული ტენდენციის არსებობაზე. შეუძლებელია რაიმე ტენდენციის არსებობაზე საუბარი მხოლოდ მაშინ, როდესაც კორელაციური ველი ჰგავს წრეს, წრეს, მკაცრად ვერტიკალურ ან მკაცრად ჰორიზონტალურ ღრუბელს, ან შედგება შემთხვევით გაფანტული წერტილებისგან. ყველა სხვა შემთხვევაში, ჰიპოთეზა ურთიერთობის არსებობის შესახებ " x "და" წ და გააგრძელე კვლევა.

მეორე MNC პროცედურა. დგინდება, რომელი ხაზი (ტრაექტორია) უკეთ აღწერს ან ახასიათებს მზესუმზირის მოსავლიანობის ცვლილების ტენდენციას გაანალიზებული პერიოდისთვის.

კომპიუტერული ტექნოლოგიების ხელმისაწვდომობით, ოპტიმალური ტენდენციის შერჩევა ხდება ავტომატურად. „ხელით“ დამუშავებით ოპტიმალური ფუნქციის არჩევა ხდება, როგორც წესი, ვიზუალურად - კორელაციური ველის მდებარეობით. ანუ, სქემის ტიპის მიხედვით შეირჩევა წრფის განტოლება, რომელიც საუკეთესოდ შეეფერება ემპირიულ ტენდენციას (ფაქტობრივ ტრაექტორიას).

მოგეხსენებათ, ბუნებაში არსებობს ფუნქციური დამოკიდებულებების უზარმაზარი მრავალფეროვნება, ამიტომ მათი მცირე ნაწილის ვიზუალური ანალიზიც კი უკიდურესად რთულია. საბედნიეროდ, რეალურ ეკონომიკურ პრაქტიკაში, ურთიერთობების უმეტესობა შეიძლება ზუსტად იყოს აღწერილი პარაბოლით, ჰიპერბოლით ან სწორი ხაზით. ამ მხრივ, საუკეთესო ფუნქციის შერჩევის „სახელმძღვანელო“ ვარიანტით შეგიძლიათ შემოიფარგლოთ მხოლოდ ამ სამი მოდელით.

		ჰიპერბოლა:

მეორე რიგის პარაბოლა: :

ადვილი მისახვედრია, რომ ჩვენს მაგალითში მზესუმზირის მოსავლიანობის ცვლილების ტენდენცია გაანალიზებულ 10 წელიწადში საუკეთესოდ ხასიათდება სწორი ხაზით, ამიტომ რეგრესიის განტოლება იქნება სწორი ხაზის განტოლება.

მესამე პროცედურა. გამოითვლება რეგრესიის განტოლების პარამეტრები, რომლებიც ახასიათებს ამ ხაზს, ან სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, განისაზღვრება ანალიტიკური ფორმულა, რომელიც აღწერს საუკეთესო ტრენდის მოდელს.

რეგრესიის განტოლების პარამეტრების მნიშვნელობების პოვნა, ჩვენს შემთხვევაში, პარამეტრების და , არის LSM-ის ბირთვი. ეს პროცესი მცირდება ნორმალური განტოლებების სისტემის ამოხსნამდე.

(9.2)

განტოლებათა ეს სისტემა საკმაოდ მარტივად ამოხსნილია გაუსის მეთოდით. შეგახსენებთ, რომ გადაწყვეტის შედეგად, ჩვენს მაგალითში, ნაპოვნია პარამეტრების მნიშვნელობები და. ამრიგად, ნაპოვნი რეგრესიის განტოლებას შემდეგი ფორმა ექნება:

რეგრესიის ფუნქციის ტიპის არჩევა, ე.ი. Y-ის X-ზე (ან X-ზე Y-ზე) დამოკიდებულების განხილული მოდელის ტიპი, მაგალითად, წრფივი მოდელი y x \u003d a + bx, აუცილებელია განისაზღვროს კოეფიციენტების კონკრეტული მნიშვნელობები. მოდელი.

a და b-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის შესაძლებელია y x =a+bx ფორმის უსასრულო რაოდენობის დამოკიდებულების აგება, ანუ კოორდინატულ სიბრტყეზე არის უსასრულო რაოდენობის წრფეები, მაგრამ ჩვენ გვჭირდება ისეთი დამოკიდებულება, რომ საუკეთესოდ შეესაბამება დაკვირვებულ მნიშვნელობებს. ამრიგად, პრობლემა მცირდება საუკეთესო კოეფიციენტების შერჩევამდე.

ჩვენ ვეძებთ წრფივ ფუნქციას a + bx, მხოლოდ ხელმისაწვდომი დაკვირვებების გარკვეული რაოდენობის საფუძველზე. იმისათვის, რომ ვიპოვოთ ფუნქცია, რომელიც საუკეთესოდ შეესაბამება დაკვირვებულ მნიშვნელობებს, ვიყენებთ ყველაზე მცირე კვადრატების მეთოდს.

აღვნიშნო: Y i - მნიშვნელობა, რომელიც გამოითვლება განტოლებით Y i =a+bx i . y i - გაზომილი მნიშვნელობა, ε i =y i -Y i - განსხვავება გაზომილ და გამოთვლილ მნიშვნელობებს შორის, ε i =y i -a-bx i.

უმცირესი კვადრატების მეთოდი მოითხოვს, რომ ε i, სხვაობა გაზომილ y i-სა და განტოლებიდან გამოთვლილ Y i მნიშვნელობებს შორის, იყოს მინიმალური. მაშასადამე, ჩვენ ვპოულობთ a და b კოეფიციენტებს ისე, რომ დაკვირვებული მნიშვნელობების კვადრატული გადახრების ჯამი სწორი რეგრესიის ხაზის მნიშვნელობებისგან ყველაზე მცირეა:

a არგუმენტების ამ ფუნქციის გამოკვლევით და ექსტრემის წარმოებულების დახმარებით შეგვიძლია დავამტკიცოთ, რომ ფუნქცია იღებს მინიმალურ მნიშვნელობას, თუ კოეფიციენტები a და b არის სისტემის ამონახსნები:

(2)

თუ ნორმალური განტოლების ორივე მხარეს გავყოფთ n-ზე, მივიღებთ:

Იმის გათვალისწინებით, რომ (3)

მიიღეთ , აქედან, პირველ განტოლებაში a-ს მნიშვნელობის ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

ამ შემთხვევაში b-ს რეგრესიის კოეფიციენტი ეწოდება; a ეწოდება რეგრესიის განტოლების თავისუფალი წევრი და გამოითვლება ფორმულით:

მიღებული სწორი ხაზი არის თეორიული რეგრესიის ხაზის შეფასება. Ჩვენ გვაქვს:

Ისე, არის წრფივი რეგრესიის განტოლება.

რეგრესია შეიძლება იყოს პირდაპირი (b>0) და ინვერსიული (b მაგალითი 1. X და Y მნიშვნელობების გაზომვის შედეგები მოცემულია ცხრილში:

x i	-2	0	1	2	4
y მე	0.5	1	1.5	2	3

თუ დავუშვებთ, რომ არსებობს წრფივი კავშირი X და Y y=a+bx-ს შორის, განსაზღვრეთ a და b კოეფიციენტები უმცირესი კვადრატების მეთოდით.

გადაწყვეტილება. აქ n=5
x i =-2+0+1+2+4=5;
x i 2 =4+0+1+4+16=25
x i y i =-2 0.5+0 1+1 1.5+2 2+4 3=16.5
y i =0.5+1+1.5+2+3=8

და ნორმალურ სისტემას (2) აქვს ფორმა

ამ სისტემის ამოხსნით მივიღებთ: b=0.425, a=1.175. ამიტომ y=1,175+0,425x.

მაგალითი 2. არსებობს ეკონომიკური მაჩვენებლების (X) და (Y) 10 დაკვირვების ნიმუში.

x i	180	172	173	169	175	170	179	170	167	174
y მე	186	180	176	171	182	166	182	172	169	177

საჭიროა მოძებნოთ ნიმუში რეგრესიის განტოლება Y X-ზე. ააგეთ ნიმუში რეგრესიის ხაზი X-ზე.

გადაწყვეტილება. 1. დავახარისხოთ მონაცემები x i და y i მნიშვნელობებით. ჩვენ ვიღებთ ახალ ცხრილს:

x i	167	169	170	170	172	173	174	175	179	180
y მე	169	171	166	172	180	176	177	182	182	186

გამოთვლების გასამარტივებლად შევადგენთ გამოთვლის ცხრილს, რომელშიც შევიყვანთ საჭირო რიცხვით მნიშვნელობებს.

x i	y მე	x i 2	x i y i
167	169	27889	28223
169	171	28561	28899
170	166	28900	28220
170	172	28900	29240
172	180	29584	30960
173	176	29929	30448
174	177	30276	30798
175	182	30625	31850
179	182	32041	32578
180	186	32400	33480
∑x i =1729	∑y i =1761	∑x i 2 299105	∑x i y i =304696
x=172.9	y=176.1	x i 2 =29910.5	xy=30469.6

ფორმულის მიხედვით (4) ვიანგარიშებთ რეგრესიის კოეფიციენტს

და ფორმულით (5)

ამრიგად, ნიმუშის რეგრესიის განტოლება ჰგავს y=-59.34+1.3804x.
გამოვსახოთ წერტილები (x i ; y i) კოორდინატულ სიბრტყეზე და მოვნიშნოთ რეგრესიის წრფე.

ნახ 4

სურათი 4 გვიჩვენებს, თუ როგორ მდებარეობს დაკვირვებული მნიშვნელობები რეგრესიის ხაზთან შედარებით. y i-ის გადახრების რიცხობრივად შესაფასებლად Y i-დან, სადაც y i არის დაკვირვებული მნიშვნელობები და Y i არის მნიშვნელობები, რომლებიც განისაზღვრება რეგრესით, ჩვენ გავაკეთებთ ცხრილს:

x i	y მე	Y i	Y i -y i
167	169	168.055	-0.945
169	171	170.778	-0.222
170	166	172.140	6.140
170	172	172.140	0.140
172	180	174.863	-5.137
173	176	176.225	0.225
174	177	177.587	0.587
175	182	178.949	-3.051
179	182	184.395	2.395
180	186	185.757	-0.243

Y i მნიშვნელობები გამოითვლება რეგრესიის განტოლების მიხედვით.

ზოგიერთი დაკვირვებული მნიშვნელობის შესამჩნევი გადახრა რეგრესიის ხაზიდან აიხსნება დაკვირვებების მცირე რაოდენობით. Y-ის X-ზე წრფივი დამოკიდებულების ხარისხის შესწავლისას მხედველობაში მიიღება დაკვირვებების რაოდენობა. დამოკიდებულების სიძლიერე განისაზღვრება კორელაციის კოეფიციენტის მნიშვნელობით.

მაგალითი.

მათი გასწორების შედეგად ფუნქცია

უმცირესი კვადრატების მეთოდის არსი (LSM).

პრობლემა მდგომარეობს იმაში, რომ ვიპოვოთ წრფივი დამოკიდებულების კოეფიციენტები, რომლებისთვისაც ორი ცვლადის ფუნქციაა ადა ბ იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. ანუ მონაცემების გათვალისწინებით ადა ბნაპოვნი სწორი ხაზიდან ექსპერიმენტული მონაცემების კვადრატული გადახრების ჯამი ყველაზე მცირე იქნება. ეს არის უმცირესი კვადრატების მეთოდის მთელი აზრი.

კოეფიციენტების მოძიების ფორმულების გამოყვანა.

შედგენილია და ამოხსნილია ორი განტოლების სისტემა ორი უცნობით. ცვლადების მიმართ ფუნქციის ნაწილობრივი წარმოებულების მოძიება ადა ბ, ამ წარმოებულებს ვატოლებთ ნულს.

ჩვენ ვხსნით განტოლებათა სისტემას ნებისმიერი მეთოდით (მაგალითად ჩანაცვლების მეთოდიან ) და მიიღეთ ფორმულები კოეფიციენტების მოსაძებნად უმცირესი კვადრატების მეთოდის (LSM) გამოყენებით.

მონაცემებით ადა ბფუნქცია იღებს უმცირეს მნიშვნელობას. ამ ფაქტის მტკიცებულება მოცემულია.

ეს არის უმცირესი კვადრატების მთელი მეთოდი. პარამეტრის პოვნის ფორმულა აშეიცავს ჯამებს , , , და პარამეტრს ნ- ექსპერიმენტული მონაცემების რაოდენობა. ამ თანხების მნიშვნელობები რეკომენდებულია ცალკე გამოითვალოს. კოეფიციენტი ბნაპოვნია გაანგარიშების შემდეგ ა.

დროა გავიხსენოთ ორიგინალური მაგალითი.

გადაწყვეტილება.