Მოსალოდნელი ღირებულება

დისპერსიაუწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X, რომლის შესაძლო მნიშვნელობები ეკუთვნის მთელ ღერძს Ox, განისაზღვრება თანასწორობით:

სამსახურის დავალება. ონლაინ კალკულატორი შექმნილია პრობლემების გადასაჭრელად, რომელშიც ან განაწილების სიმკვრივე f(x) , ან განაწილების ფუნქცია F(x) (იხ. მაგალითი). ჩვეულებრივ, ასეთ ამოცანებში საჭიროა იპოვოთ მათემატიკური მოლოდინი, სტანდარტული გადახრა, დახაზეთ ფუნქციები f(x) და F(x).

ინსტრუქცია. აირჩიეთ შეყვანის მონაცემების ტიპი: განაწილების სიმკვრივე f(x) ან განაწილების ფუნქცია F(x) .

მოცემული განაწილების სიმკვრივე f(x) მოცემული განაწილების ფუნქცია F(x)

განაწილების სიმკვრივე f(x) მოცემულია:

განაწილების ფუნქცია F(x) მოცემულია:

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი განისაზღვრება ალბათობის სიმკვრივით
(რეილის განაწილების კანონი - გამოიყენება რადიოინჟინერიაში). იპოვეთ M(x) , D(x) .

შემთხვევითი ცვლადი X ეწოდება უწყვეტი , თუ მისი განაწილების ფუნქცია F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობის გამოსათვლელად:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
უფრო მეტიც, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის არ აქვს მნიშვნელობა, შედის თუ არა მისი საზღვრები ამ ინტერვალში:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
განაწილების სიმკვრივე უწყვეტ შემთხვევით ცვლადს ფუნქცია ეწოდება
f(x)=F'(x) , განაწილების ფუნქციის წარმოებული.

განაწილების სიმკვრივის თვისებები

1. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივე არის არაუარყოფითი (f(x) ≥ 0) x-ის ყველა მნიშვნელობისთვის.
2. ნორმალიზაციის მდგომარეობა:

ნორმალიზაციის პირობის გეომეტრიული მნიშვნელობა: განაწილების სიმკვრივის მრუდის ქვეშ ფართობი უდრის ერთს.
3. შემთხვევითი X ცვლადის დარტყმის ალბათობა α-დან β-მდე ინტერვალში შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

გეომეტრიულად, ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი X მოხვდება ინტერვალში (α, β) უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს განაწილების სიმკვრივის მრუდის ქვეშ ამ ინტერვალზე დაყრდნობით.
4. განაწილების ფუნქცია გამოიხატება სიმკვრივის მიხედვით შემდეგნაირად:

განაწილების სიმკვრივის მნიშვნელობა x წერტილში არ არის ამ მნიშვნელობის მიღების ალბათობის ტოლი; უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის ჩვენ შეგვიძლია ვისაუბროთ მხოლოდ მოცემულ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობაზე. მოდით (4)

სადაც ადა ბარ არის აუცილებელი სასრული. მაგალითად, გაზის მოლეკულის სიჩქარის ვექტორის მოდულისთვის ვО დევს შესაძლო მნიშვნელობების მთელ დიაპაზონში, ე.ი. x O [ x,x+ დ x] ო [ ა, ბ] (5)

მაშინ ალბათობა D ვ(x, დ x) ურტყამს xინტერვალში (5) უდრის

Აქ ნარის გაზომვების საერთო რაოდენობა xდა დ ნ(x, დ x) არის შედეგების რაოდენობა, რომლებიც ხვდება ინტერვალში (5).

ალბათობა D ვბუნებრივია, ორ არგუმენტზეა დამოკიდებული: x– ინტერვალის პოზიციები შიგნით [ ა, ბ] და დ xარის მისი სიგრძე (ვარაუდობენ, თუმცა სულაც არ არის აუცილებელი, რომ დ x> 0). მაგალითად, ზუსტი მნიშვნელობის მიღების ალბათობა xსხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დარტყმის ალბათობა xნულოვანი სიგრძის ინტერვალში არის შეუძლებელი მოვლენის ალბათობა და ამიტომ უდრის ნულს: D ვ(x, 0) = 0

მეორეს მხრივ, ღირებულების მიღების ალბათობა xსადღაც (არ აქვს მნიშვნელობა სად) მთელი ინტერვალის ფარგლებში [ ა, ბ] არის გარკვეული მოვლენის ალბათობა (რაღაც ყოველთვის ხდება) და ამიტომ უდრის ერთს (ვარაუდობენ, რომ ბ > ა):D ვ(ა, ბ – ა) = 1.

დაე დ xრამდენიმე. საკმარისი სიმცირის კრიტერიუმი დამოკიდებულია სისტემის სპეციფიკურ თვისებებზე, რომლებიც აღწერილია ალბათობის განაწილებით D ვ(x, დ x). თუ დ xპატარა, შემდეგ ფუნქცია D ვ(x, დ x) შეიძლება გაფართოვდეს სერიით D-ის უფლებამოსილებით x:

თუ დავხატავთ დამოკიდებულების გრაფიკს D ვ(x, დ x) მეორე არგუმენტიდან D x, მაშინ ზუსტი დამოკიდებულების ჩანაცვლება მიახლოებითი გამოსახულებით (7) ნიშნავს ზუსტი მრუდის შეცვლას (მცირე ფართობზე) პარაბოლის ნაწილით (7).

(7-ში) პირველი წევრი ზუსტად ნულის ტოლია, მესამე და მომდევნო წევრი, თუ D საკმარისად მცირეა, xშეიძლება გამოტოვდეს. აღნიშვნის შესავალი

იძლევა მნიშვნელოვან შედეგს დ ვ(x, დ x) » r( x) დ x (8)

მიმართება (8), რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო მცირეა D xნიშნავს, რომ მოკლე ინტერვალისთვის, ამ ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა მისი სიგრძის პროპორციულია.

თქვენ მაინც შეგიძლიათ გადახვიდეთ პატარა, მაგრამ საბოლოო D-დან xფორმალურად უსასრულოდ dxდ-ის ერთდროული ჩანაცვლებით ვ(x, დ x) ზე dW(x). მაშინ სავარაუდო ტოლობა (8) იქცევა ზუსტად dW(x) = რ( x)· dx(9)

პროპორციულობის კოეფიციენტი r( x) აქვს მარტივი მნიშვნელობა. როგორც ჩანს (8) და (9), r( x) რიცხობრივად უდრის დარტყმის ალბათობას xერთეულის სიგრძის ინტერვალში. მაშასადამე, ფუნქციის ერთ-ერთი სახელი r( x) არის ცვლადის ალბათობის განაწილების სიმკვრივე x.

ფუნქცია r( x) შეიცავს ყველა ინფორმაციას იმის შესახებ, თუ როგორ არის ალბათობა dW(x) ურტყამს xმოცემული სიგრძის ინტერვალში dxდამოკიდებულია ამ ინტერვალის მდებარეობაზე, ე.ი. ის გვიჩვენებს, თუ როგორ ნაწილდება ალბათობა x. ამიტომ ფუნქცია r( x) ჩვეულებრივ უწოდებენ ცვლადის განაწილების ფუნქციას xდა, ამრიგად, განაწილების ფუნქცია ამ ფიზიკური სისტემისთვის, იმ მდგომარეობების სპექტრის აღწერისთვის, რომელთა ცვლადი იყო შემოღებული x. სტატისტიკურ ფიზიკაში ტერმინები "ალბათობის სიმკვრივე" და "განაწილების ფუნქცია" ურთიერთშედარებით გამოიყენება.

ჩვენ შეგვიძლია განვიხილოთ ალბათობის (6) და განაწილების ფუნქციის (9) განმარტების განზოგადება, მაგალითად, სამი ცვლადის შემთხვევაში. ცვლადების თვითნებურად დიდი რაოდენობის შემთხვევაში განზოგადება ზუსტად ანალოგიურად ხდება.

მოდით, ფიზიკური სისტემის მდგომარეობა, რომელიც დროში შემთხვევით იცვლება, განისაზღვროს სამი ცვლადის მნიშვნელობებით. x, წდა ზუწყვეტი სპექტრით:

x O [ ა, ბ]

წ O [ გ, დ]

ზ O [ ე, ვ] (10)

სადაც ა, ბ,…, ვ, როგორც ადრე, სულაც არ არის სასრული. ცვლადები x, წდა ზშეიძლება იყოს, მაგალითად, გაზის მოლეკულის მასის ცენტრის კოორდინატები, მისი სიჩქარის ვექტორის კომპონენტები x YU V x, წ YU V წდა ზ YU ვზან იმპულსი და ა.შ. მოვლენა გაგებულია, როგორც სამივე ცვლადის ერთდროული გაჩენა D სიგრძის ინტერვალებში x, დ წდა დ ზშესაბამისად, ანუ:

x O [ x, x+ დ x]

წ O [ წ, წ+ დ წ]

ზ O [ ზ, ზ+ დ ზ] (11)

მოვლენის ალბათობა (11) შეიძლება განისაზღვროს (6) ანალოგიურად.

იმ განსხვავებით, რომ ახლა დ ნ- გაზომვების რაოდენობა x, წდა ზ, რომლის შედეგებიც ერთდროულად აკმაყოფილებს ურთიერთობებს (11). (7) მსგავსი სერიის გაფართოების გამოყენება იძლევა

dW(x, წ, ზ) = რ( x, წ, ზ)· dx dy dz(13)

სად r( x, წ, ზ) არის ერთდროულად სამი ცვლადის განაწილების ფუნქცია x, წდა ზ.

ალბათობის მათემატიკურ თეორიაში ტერმინი „განაწილების ფუნქცია“ გამოიყენება r(-ისგან განსხვავებული სიდიდის აღსანიშნავად. x), კერძოდ: მოდით x იყოს შემთხვევითი ცვლადის გარკვეული მნიშვნელობა x. ფუნქცია Ф(x), რომელიც იძლევა იმის ალბათობას, რომ xიღებს მნიშვნელობას არაუმეტეს x-ზე და ეწოდება განაწილების ფუნქცია. r და Ф ფუნქციებს განსხვავებული მნიშვნელობა აქვთ, მაგრამ ისინი დაკავშირებულია. ალბათობის დამატების თეორემა იძლევა (აქ აარის შესაძლო მნიშვნელობების დიაპაზონის მარცხენა ბოლო x (სმ.ალბათობის თეორია: , (14) საიდანაც

მიახლოებითი მიმართების გამოყენებით (8) იძლევა D ვ(x, დ x) » r( x) დ x.

ზუსტ გამოსახულებასთან (15) შედარება გვიჩვენებს, რომ (8) გამოყენება ექვივალენტურია (16) ინტეგრალის ჩანაცვლება ინტეგრადის r(-ის ნამრავლით. x) ინტეგრაციის ინტერვალის სიგრძით D x:

მიმართება (17) ზუსტი იქნება, თუ r = კონსტმაშასადამე, შეცდომა (16) (17)-ით ჩანაცვლებისას მცირე იქნება, როდესაც ინტეგრანტი ოდნავ შეიცვლება ინტეგრაციის D ინტერვალის სიგრძეზე. x.

შეგიძლიათ შეიყვანოთ D x effარის ინტერვალის სიგრძე, რომელზეც განაწილების ფუნქცია r( x) მნიშვნელოვნად იცვლება, ე.ი. თავად ფუნქციის თანმიმდევრობის მნიშვნელობით ან დორ ეფფმოდულო ორდერი რ. ლაგრანგის ფორმულის გამოყენებით შეგვიძლია დავწეროთ:

საიდანაც ირკვევა, რომ დ x effნებისმიერი ფუნქციისთვის r

განაწილების ფუნქცია შეიძლება ჩაითვალოს „თითქმის მუდმივ“ არგუმენტის ცვლილების გარკვეულ ინტერვალზე, თუ მისი ზრდა |Dr| ამ ინტერვალზე, აბსოლუტური მნიშვნელობა გაცილებით ნაკლებია, ვიდრე თავად ფუნქცია ამ ინტერვალის წერტილებში. მოთხოვნა |დქტორი| eff| ~ r (განაწილების ფუნქცია r і 0) იძლევა

დ x x eff (20)

ინტეგრაციის ინტერვალის სიგრძე უნდა იყოს მცირე ვიდრე ის, რომელზეც ინტეგრადი მნიშვნელოვნად იცვლება. ილუსტრაცია არის ნახ. ერთი.

ინტეგრალი (17)-ის მარცხენა მხარეს უდრის მრუდის ქვეშ არსებულ ფართობს. პროდუქტი (17) მარჯვენა მხარეს არის დაჩრდილვის ფართობი ნახ. 1 სვეტი. შესაბამის არეებს შორის სხვაობის სიმცირის კრიტერიუმია უტოლობის შესრულება (20). ამის დამოწმება შესაძლებელია ინტეგრალში (17) r( ფუნქციის გაფართოების პირველი პუნქტების ჩანაცვლებით. x) ძალაუფლების სერიაში

მოთხოვნა, რომ შესწორება (მეორე წევრი (21-ის მარჯვენა მხარეს) პირველთან შედარებით მცირე იყოს, იძლევა უტოლობას (20) D-თან. x eff(19)-დან.

განაწილების ფუნქციების მაგალითები, რომლებიც მნიშვნელოვან როლს ასრულებენ სტატისტიკურ ფიზიკაში.

მაქსველის განაწილება მოლეკულის სიჩქარის ვექტორის პროექციისთვის მოცემულ მიმართულებაზე (მაგალითად, ეს არის ღერძის მიმართულება ოქსი).

Აქ მარის გაზის მოლეკულის მასა, თ- მისი ტემპერატურა კარის ბოლცმანის მუდმივი.

მაქსველის განაწილება სიჩქარის ვექტორის მოდულისთვის:

მაქსველის განაწილება მოლეკულების მთარგმნელობითი მოძრაობის ენერგიისთვის e = mV 2/2

ბოლცმანის განაწილება, უფრო ზუსტად, ეგრეთ წოდებული ბარომეტრიული ფორმულა, რომელიც განსაზღვრავს მოლეკულების კონცენტრაციის ან ჰაერის წნევის განაწილებას სიმაღლეში. თრაღაც „ნულოვანი დონიდან“ იმ ვარაუდით, რომ ჰაერის ტემპერატურა არ არის დამოკიდებული სიმაღლეზე (იზოთერმული ატმოსფეროს მოდელი). სინამდვილეში, ატმოსფეროს ქვედა ფენებში ტემპერატურა შესამჩნევად ეცემა სიმაღლის მატებასთან ერთად.

შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ფუნქციების და მათი ცვლადების საპოვნელად აუცილებელია ცოდნის ამ სფეროს ყველა თავისებურების შესწავლა. არსებობს რამდენიმე განსხვავებული მეთოდი მოცემული მნიშვნელობების მოსაძებნად, მათ შორის ცვლადის შეცვლა და მომენტის გენერირება. განაწილება არის კონცეფცია, რომელიც დაფუძნებულია ისეთ ელემენტებზე, როგორიცაა დისპერსია, ვარიაციები. თუმცა, ისინი ახასიათებენ მხოლოდ გაფანტვის დიაპაზონის ხარისხს.

შემთხვევითი ცვლადების უფრო მნიშვნელოვანი ფუნქციები არის დაკავშირებული და დამოუკიდებელი და თანაბრად განაწილებული. მაგალითად, თუ X1 არის მამაკაცის პოპულაციიდან შემთხვევით შერჩეული ინდივიდის წონა, X2 არის სხვა ადამიანის წონა, ... და Xn არის სხვა ადამიანის წონა მამრობითი პოპულაციიდან, მაშინ ჩვენ უნდა ვიცოდეთ, როგორ შემთხვევითი ფუნქცია X ნაწილდება. ამ შემთხვევაში გამოიყენება კლასიკური თეორემა, რომელსაც ეწოდება ცენტრალური ლიმიტის თეორემა. ის საშუალებას გვაძლევს ვაჩვენოთ, რომ დიდი n-ისთვის ფუნქცია მიჰყვება სტანდარტულ განაწილებას.

ერთი შემთხვევითი ცვლადის ფუნქციები

ცენტრალური ლიმიტის თეორემა შექმნილია დისკრეტული მნიშვნელობების მიახლოებისთვის, როგორიცაა ბინომიალი და პუასონი. შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ფუნქციები განიხილება, პირველ რიგში, ერთი ცვლადის მარტივ მნიშვნელობებზე. მაგალითად, თუ X არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს საკუთარი ალბათობის განაწილება. ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვიკვლევთ, თუ როგორ ვიპოვოთ Y-ის სიმკვრივის ფუნქცია ორი განსხვავებული მიდგომის გამოყენებით, კერძოდ, განაწილების ფუნქციის მეთოდისა და ცვლადის ცვლილებაზე. პირველ რიგში, განიხილება მხოლოდ ერთი-ერთზე მნიშვნელობები. შემდეგ თქვენ უნდა შეცვალოთ ცვლადის შეცვლის ტექნიკა, რომ იპოვოთ მისი ალბათობა. და ბოლოს, საჭიროა ვისწავლოთ, თუ როგორ შეუძლია კუმულაციური განაწილება დაეხმაროს შემთხვევითი რიცხვების მოდელირებას, რომლებიც მიჰყვებიან გარკვეულ თანმიმდევრულ შაბლონებს.

განხილული მნიშვნელობების განაწილების მეთოდი

შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების ფუნქციის მეთოდი გამოიყენება მისი სიმკვრივის დასადგენად. ამ მეთოდის გამოყენებისას გამოითვლება კუმულაციური მნიშვნელობა. შემდეგ, მისი დიფერენცირებით, შეგიძლიათ მიიღოთ ალბათობის სიმკვრივე. ახლა, როდესაც ჩვენ გვაქვს განაწილების ფუნქციის მეთოდი, შეგვიძლია გადავხედოთ კიდევ რამდენიმე მაგალითს. მოდით X იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი გარკვეული ალბათობის სიმკვრივით.

რა არის x2-ის ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია? თუ უყურებთ ან ასახავთ ფუნქციას (ზედა და მარჯვნივ) y \u003d x2, შეგიძლიათ შენიშნოთ, რომ ეს არის მზარდი X და 0

ბოლო მაგალითში დიდი სიფრთხილით იქნა გამოყენებული კუმულაციური ფუნქციების და ალბათობის სიმკვრივის ინდექსირება X ან Y-ით, რათა მიეთითებინათ რომელ შემთხვევით ცვლადს მიეკუთვნებოდნენ ისინი. მაგალითად, Y კუმულაციური განაწილების ფუნქციის პოვნისას მივიღეთ X. თუ თქვენ გჭირდებათ X შემთხვევითი ცვლადის პოვნა და მისი სიმკვრივე, მაშინ უბრალოდ უნდა განასხვავოთ იგი.

ცვლადების შეცვლის ტექნიკა

მოდით X იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც მოცემულია f(x) საერთო მნიშვნელის მქონე განაწილების ფუნქციით. ამ შემთხვევაში, თუ y-ის მნიშვნელობას ჩადებთ X = v (Y)-ში, მაშინ მიიღებთ x-ის მნიშვნელობას, მაგალითად v (y). ახლა ჩვენ უნდა მივიღოთ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის Y განაწილების ფუნქცია. სადაც პირველი და მეორე თანასწორობა ხდება კუმულატიური Y-ის განსაზღვრებიდან. მესამე ტოლობა მოქმედებს, რადგან ფუნქციის ნაწილი, რომლისთვისაც u (X) ≤ y არის. ასევე მართალია, რომ X ≤ v (Y ). და ეს უკანასკნელი კეთდება უწყვეტი შემთხვევითი X ცვლადის ალბათობის დასადგენად. ახლა ჩვენ უნდა ავიღოთ FY (y) წარმოებული, Y-ის კუმულაციური განაწილების ფუნქცია, რათა მივიღოთ Y-ის ალბათობის სიმკვრივე.

განზოგადება შემცირების ფუნქციისთვის

მოდით X იყოს უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, რომელსაც აქვს საერთო f(x) განსაზღვრული c1-ზე

ამ საკითხის გადასაჭრელად შესაძლებელია რაოდენობრივი მონაცემების შეგროვება და ემპირიული კუმულაციური განაწილების ფუნქციის გამოყენება. ამ ინფორმაციასთან და მის მიმართ მიმზიდველობასთან ერთად, თქვენ უნდა დააკავშიროთ საშუალებების ნიმუშები, სტანდარტული გადახრები, მედია მონაცემები და ა.შ.

ანალოგიურად, საკმაოდ მარტივ ალბათურ მოდელსაც კი შეიძლება ჰქონდეს შედეგის დიდი რაოდენობა. მაგალითად, თუ მონეტას გადაატრიალებთ 332-ჯერ. მაშინ Flips-დან მიღებული შედეგების რაოდენობა მეტია ვიდრე google-ის (10100) - რიცხვი, მაგრამ არანაკლებ 100 კვინტილიონჯერ მეტია, ვიდრე ელემენტარული ნაწილაკები ცნობილ სამყაროში. არ აინტერესებს ანალიზი, რომელიც პასუხს გასცემს ყველა შესაძლო შედეგს. საჭირო იქნება უფრო მარტივი კონცეფცია, როგორიცაა თავების რაოდენობა ან კუდების ყველაზე გრძელი დარტყმა. ინტერესის საკითხებზე ფოკუსირებისთვის მიიღება კონკრეტული შედეგი. განმარტება ამ შემთხვევაში ასეთია: შემთხვევითი ცვლადი არის რეალური ფუნქცია ალბათობის სივრცით.

შემთხვევითი ცვლადის S დიაპაზონს ზოგჯერ სახელმწიფო სივრცეს უწოდებენ. ამრიგად, თუ X არის სადავო მნიშვნელობა, მაშინ N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc და ა.შ. ამ უკანასკნელს, X-ის დამრგვალებას უახლოეს მთელ რიცხვამდე, ეწოდება იატაკის ფუნქცია.

განაწილების ფუნქციები

როგორც კი დადგინდება x შემთხვევითი ცვლადის ინტერესის განაწილების ფუნქცია, ჩვეულებრივ ჩნდება კითხვა: "რა არის შანსი, რომ X მოხვდეს B მნიშვნელობების ზოგიერთ ქვეჯგუფში?". მაგალითად, B = (კენტი რიცხვები), B = (1-ზე მეტი), ან B = (2-დან 7-ს შორის), რათა მიუთითოთ ის შედეგები, რომლებსაც აქვთ X, შემთხვევითი ცვლადის მნიშვნელობა, A ქვეჯგუფში. ასე რომ, ზემოთ მოცემულში. მაგალითად, თქვენ შეგიძლიათ აღწეროთ მოვლენები შემდეგნაირად.

(X არის კენტი რიცხვი), (X მეტია 1-ზე) = (X > 1), (X არის 2-დან 7-მდე) = (2

შემთხვევითი ცვლადები და განაწილების ფუნქციები

ამრიგად, შესაძლებელია გამოვთვალოთ ალბათობა, რომ x შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია მიიღებს მნიშვნელობებს ინტერვალში გამოკლებით. გასათვალისწინებელია საბოლოო წერტილების ჩართვა ან გამორიცხვა.

შემთხვევით ცვლადს დავარქმევთ დისკრეტულს, თუ მას აქვს სასრული ან დასათვლელად უსასრულო სივრცე. ამრიგად, X არის მიკერძოებული მონეტის სამ დამოუკიდებელ შემობრუნებაზე თავების რაოდენობა, რომელიც იზრდება p ალბათობით. ჩვენ უნდა ვიპოვოთ დისკრეტული შემთხვევითი FX ცვლადის კუმულაციური განაწილების ფუნქცია X-სთვის. მოდით X იყოს პიკების რაოდენობა სამი კარტის კოლექციაში. შემდეგ Y = X3 FX-ის საშუალებით. FX იწყება 0-დან, მთავრდება 1-ზე და არ მცირდება x მნიშვნელობების გაზრდით. დისკრეტული შემთხვევითი X ცვლადის კუმულაციური FX განაწილების ფუნქცია მუდმივია, გარდა ნახტომებისა. გადახტომისას FX უწყვეტია. განაწილების ფუნქციის სწორი უწყვეტობის შესახებ დებულების დამტკიცება შესაძლებელია ალბათობის თვისებიდან განმარტების გამოყენებით. ეს ასე ჟღერს: მუდმივ შემთხვევით ცვლადს აქვს კუმულაციური FX, რომელიც დიფერენცირებადია.

იმის საჩვენებლად, თუ როგორ შეიძლება ეს მოხდეს, შეგვიძლია მოვიყვანოთ მაგალითი: სამიზნე ერთეული რადიუსით. სავარაუდოდ. ისარი თანაბრად ნაწილდება მითითებულ ტერიტორიაზე. ზოგიერთი λ> 0. ამრიგად, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადების განაწილების ფუნქციები შეუფერხებლად იზრდება. FX-ს აქვს განაწილების ფუნქციის თვისებები.

მამაკაცი ავტობუსის გაჩერებაზე ელოდება ავტობუსის მოსვლამდე. თავად გადაწყვიტა, რომ უარს იტყვის, როცა ლოდინი 20 წუთს მიაღწევს. აქ აუცილებელია T-სთვის კუმულაციური განაწილების ფუნქციის პოვნა. დრო, როდესაც ადამიანი კვლავ იქნება ავტოსადგურზე ან არ წავა. მიუხედავად იმისა, რომ კუმულაციური განაწილების ფუნქცია განისაზღვრება თითოეული შემთხვევითი ცვლადისთვის. ამავე დროს, საკმაოდ ხშირად გამოყენებული იქნება სხვა მახასიათებლები: მასა დისკრეტული ცვლადისთვის და შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სიმკვრივის ფუნქცია. ჩვეულებრივ, მნიშვნელობა გამოდის ამ ორი მნიშვნელობიდან ერთ-ერთის მეშვეობით.

ნაყარი ფუნქციები

ეს მნიშვნელობები განიხილება შემდეგი თვისებებით, რომლებიც ზოგადი (მასობრივი) ხასიათისაა. პირველი ეფუძნება იმ ფაქტს, რომ ალბათობა არ არის უარყოფითი. მეორე გამომდინარეობს დაკვირვებიდან, რომ სიმრავლე ყველა x=2S-ისთვის, X-ის მდგომარეობის სივრცე, ქმნის X-ის ალბათური თავისუფლების ნაწილს. მაგალითი: მიკერძოებული მონეტის სროლა, რომლის შედეგები დამოუკიდებელია. თქვენ შეგიძლიათ გააგრძელოთ გარკვეული მოქმედებების შესრულება მანამ, სანამ არ მიიღებთ თავების სროლას. მოდით X აღვნიშნოთ შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც იძლევა კუდების რაოდენობას პირველი თავის წინ. და p აღნიშნავს ალბათობას რომელიმე მოცემულ მოქმედებაში.

ასე რომ, მასის ალბათობის ფუნქციას აქვს შემდეგი დამახასიათებელი ნიშნები. იმის გამო, რომ ტერმინები ქმნიან რიცხვით მიმდევრობას, X ეწოდება გეომეტრიულ შემთხვევით ცვლადს. გეომეტრიული სქემა c, cr, cr2,. , crn აქვს ჯამი. და, შესაბამისად, sn-ს აქვს ზღვარი, როგორც n 1. ამ შემთხვევაში, უსასრულო ჯამი არის ზღვარი.

ზემოთ მოცემული მასის ფუნქცია ქმნის გეომეტრიულ მიმდევრობას თანაფარდობით. მაშასადამე, ნატურალური რიცხვები a და b. განაწილების ფუნქციაში მნიშვნელობების განსხვავება უდრის მასის ფუნქციის მნიშვნელობას.

განხილულ სიმკვრივის მნიშვნელობებს აქვთ შემდეგი განმარტება: X არის შემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილებას FX აქვს წარმოებული. FX, რომელიც აკმაყოფილებს Z xFX (x) = fX (t) dt-1 ეწოდება ალბათობის სიმკვრივის ფუნქციას. და X ეწოდება უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი. გაანგარიშების ფუნდამენტურ თეორემაში სიმკვრივის ფუნქცია არის განაწილების წარმოებული. თქვენ შეგიძლიათ გამოთვალოთ ალბათობები განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლით.

იმის გამო, რომ მონაცემები გროვდება მრავალჯერადი დაკვირვებით, ერთზე მეტი შემთხვევითი ცვლადი ერთდროულად უნდა იყოს გათვალისწინებული ექსპერიმენტული პროცედურების მოდელირებისთვის. მაშასადამე, ამ მნიშვნელობების ნაკრები და მათი ერთობლივი განაწილება ორი ცვლადის X1 და X2 ნიშნავს მოვლენების ნახვას. დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის განსაზღვრულია ერთობლივი ალბათური მასის ფუნქციები. უწყვეტისთვის განიხილება fX1, X2, სადაც დაკმაყოფილებულია ერთობლივი ალბათობის სიმკვრივე.

დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადები

ორი შემთხვევითი ცვლადი X1 და X2 დამოუკიდებელია, თუ მათთან დაკავშირებული ორი მოვლენა ერთნაირია. სიტყვებით რომ ვთქვათ, ალბათობა იმისა, რომ ორი მოვლენა (X1 2 B1) და (X2 2 B2) მოხდეს ერთდროულად, y, უდრის ზემოთ მოცემული ცვლადების ნამრავლს, რომ თითოეული მათგანი ინდივიდუალურად ხდება. დამოუკიდებელი დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადებისთვის არსებობს ერთობლივი ალბათური მასის ფუნქცია, რომელიც არის შეზღუდვის იონის მოცულობის პროდუქტი. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის, რომლებიც დამოუკიდებელია, ერთობლივი ალბათობის სიმკვრივის ფუნქცია არის ზღვრული სიმკვრივის მნიშვნელობების პროდუქტი. საბოლოოდ განიხილება n დამოუკიდებელი დაკვირვება x1, x2. , xn, რომელიც წარმოიქმნება უცნობი სიმკვრივის ან მასის ფუნქციიდან f. მაგალითად, უცნობი პარამეტრი ექსპონენციური შემთხვევითი ცვლადის ფუნქციებში, რომელიც აღწერს ავტობუსის ლოდინის დროს.

შემთხვევითი ცვლადების სიმულაცია

ამ თეორიული სფეროს მთავარი მიზანია სტატისტიკური მეცნიერების მყარ პრინციპებზე დაფუძნებული დასკვნის პროცედურების შემუშავებისთვის საჭირო ინსტრუმენტების უზრუნველყოფა. ამრიგად, პროგრამული უზრუნველყოფის გამოყენების ერთ-ერთი ძალიან მნიშვნელოვანი შემთხვევაა ფსევდო-მონაცემების გენერირების შესაძლებლობა რეალური ინფორმაციის მიბაძვის მიზნით. ეს შესაძლებელს ხდის ანალიზის მეთოდების ტესტირებას და გაუმჯობესებას, სანამ მათ რეალურ მონაცემთა ბაზაში გამოიყენებთ. ეს საჭიროა მოდელირების საშუალებით მონაცემთა თვისებების შესასწავლად. შემთხვევითი ცვლადების მრავალი ხშირად გამოყენებული ოჯახებისთვის, R იძლევა ბრძანებებს მათი გენერირებისთვის. სხვა გარემოებებისთვის საჭირო იქნება დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადების თანმიმდევრობის მოდელირების მეთოდები, რომლებსაც აქვთ საერთო განაწილება.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადები და ნიმუშის ბრძანება. ნიმუშის ბრძანება გამოიყენება მარტივი და სტრატიფიცირებული შემთხვევითი ნიმუშების შესაქმნელად. შედეგად, თუ თანმიმდევრობა x არის შეყვანილი, ნიმუში (x, 40) ირჩევს 40 ჩანაწერს x-დან ისე, რომ 40 ზომის ყველა არჩევანს აქვს იგივე ალბათობა. ეს იყენებს ნაგულისხმევ R ბრძანებას ჩანაცვლების გარეშე მისაღებად. ასევე შეიძლება გამოყენებულ იქნას დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების მოდელირებისთვის. ამისათვის თქვენ უნდა მიუთითოთ სახელმწიფო სივრცე x ვექტორში და მასის ფუნქცია f. ჩანაცვლების გამოძახება = TRUE მიუთითებს, რომ ნიმუშის აღება ხდება ჩანაცვლებით. შემდეგ, n დამოუკიდებელი შემთხვევითი ცვლადის ნიმუშის მისაცემად, რომელსაც აქვს საერთო მასის ფუნქცია f, გამოიყენება ნიმუში (x, n, ჩანაცვლება = TRUE, prob = f).

დადგენილია, რომ 1 არის წარმოდგენილი ყველაზე პატარა მნიშვნელობა, ხოლო 4 არის ყველაზე დიდი. თუ ბრძანება prob = f გამოტოვებულია, მაშინ ნიმუში ერთგვაროვნად შეარჩევს x ვექტორში მოცემულ მნიშვნელობებს. თქვენ შეგიძლიათ შეამოწმოთ სიმულაცია მასის ფუნქციის მიმართ, რომელმაც შექმნა მონაცემები ორმაგი ტოლობის ნიშნის ნახვით, ==. და დაკვირვებების ხელახალი გამოთვლა, რომლებიც იღებენ x-ის ყველა შესაძლო მნიშვნელობას. შეგიძლიათ გააკეთოთ მაგიდა. გაიმეორეთ ეს 1000 და შეადარეთ სიმულაცია შესაბამის მასის ფუნქციას.

ალბათობის ტრანსფორმაციის ილუსტრაცია

პირველი, შემთხვევითი ცვლადების ერთგვაროვანი განაწილების ფუნქციების სიმულაცია u1, u2,. , უნ ინტერვალზე . რიცხვების დაახლოებით 10% უნდა იყოს . ეს შეესაბამება 10% სიმულაციას შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალზე, სადაც ნაჩვენებია FX განაწილების ფუნქცია. ანალოგიურად, შემთხვევითი რიცხვების დაახლოებით 10% უნდა იყოს ინტერვალში. ეს შეესაბამება 10%-იან სიმულაციებს შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალზე FX განაწილების ფუნქციით. x ღერძზე ამ მნიშვნელობების მიღება შესაძლებელია FX-დან ინვერსიის აღებით. თუ X არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი სიმკვრივით fX დადებითი ყველგან მის დომენში, მაშინ განაწილების ფუნქცია მკაცრად იზრდება. ამ შემთხვევაში, FX-ს აქვს ინვერსიული FX-1 ფუნქცია, რომელიც ცნობილია როგორც კვანტილურ ფუნქცია. FX (x) u მხოლოდ მაშინ, როდესაც x FX-1 (u). ალბათობის ტრანსფორმაცია გამომდინარეობს შემთხვევითი ცვლადის ანალიზიდან U = FX(X).

FX-ს აქვს დიაპაზონი 0-დან 1-მდე. მას არ შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები 0-დან ქვემოთ ან 1-ზე მეტი. u-ს მნიშვნელობებისთვის 0-დან 1-მდე. თუ U-ს მოდელირება შესაძლებელია, მაშინ აუცილებელია შემთხვევითი ცვლადის სიმულაცია FX განაწილებით. რაოდენობრივი ფუნქციის მეშვეობით. აიღეთ წარმოებული, რომ ნახოთ, რომ u სიმკვრივე იცვლება 1-ის ფარგლებში. ვინაიდან შემთხვევით ცვლადს U აქვს მუდმივი სიმკვრივე მისი შესაძლო მნიშვნელობების ინტერვალზე, მას უწოდებენ ერთგვაროვან ინტერვალზე. ის მოდელირებულია R-ში runif ბრძანებით. იდენტობას ალბათური ტრანსფორმაცია ეწოდება. თქვენ ხედავთ როგორ მუშაობს ისრის დაფის მაგალითზე. X 0-სა და 1-ს შორის, განაწილების ფუნქცია u = FX(x) = x2 და აქედან გამომდინარე კვანტილურ ფუნქცია x = FX-1(u). შესაძლებელია დარტის პანელის ცენტრიდან დაშორების დამოუკიდებელი დაკვირვების მოდელირება, ერთგვაროვანი შემთხვევითი ცვლადების გენერირებისას U1, U2,. , უნ. განაწილების ფუნქცია და ემპირიული ფუნქცია დაფუძნებულია ისრის დაფის განაწილების 100 სიმულაციაზე. ექსპონენციალური შემთხვევითი ცვლადისთვის, სავარაუდოდ, u = FX (x) = 1 - exp (- x), და აქედან გამომდინარე x = - 1 ln (1 - u). ზოგჯერ ლოგიკა შედგება ექვივალენტური განცხადებებისგან. ამ შემთხვევაში, თქვენ უნდა დააკავშიროთ არგუმენტის ორი ნაწილი. გადაკვეთის იდენტურობა მსგავსია ყველა 2 (S i i) S-ისთვის, გარკვეული მნიშვნელობის ნაცვლად. კავშირი Ci უდრის S სივრცის მდგომარეობას და თითოეული წყვილი ურთიერთგამომრიცხავია. ვინაიდან Bi - იყოფა სამ აქსიომად. თითოეული შემოწმება ეფუძნება შესაბამის ალბათობას P. ნებისმიერი ქვეჯგუფისთვის. იდენტურობის გამოყენება, რათა დარწმუნდეთ, რომ პასუხი არ არის დამოკიდებული იმაზე, შედის თუ არა ინტერვალის ბოლო წერტილები.

ექსპონენციალური ფუნქცია და მისი ცვლადები

ყველა მოვლენის თითოეული შედეგისთვის, საბოლოოდ გამოიყენება ალბათობათა უწყვეტობის მეორე თვისება, რომელიც ითვლება აქსიომურად. აქ შემთხვევითი ცვლადის ფუნქციის განაწილების კანონი გვიჩვენებს, რომ თითოეულს აქვს თავისი ამონახსნი და პასუხი.

შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის განაწილების ფუნქცია და მისი თვისებები.

განიხილეთ ფუნქცია F(x), განსაზღვრულია მთელ რიცხვით ღერძზე შემდეგნაირად: თითოეულისთვის Xმნიშვნელობა F(x)უდრის ალბათობას, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს იმაზე ნაკლებ მნიშვნელობას X, ე.ი.

(18)

ეს ფუნქცია ე.წ ალბათობის განაწილების ფუნქციაან მოკლედ, განაწილების ფუნქცია.

მაგალითი 1იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია, რომელიც მოცემულია მაგალით 1, პუნქტი 1.

გადაწყვეტილება:გასაგებია, რომ თუ, მაშინ F(x)=0, რადგან ის არ იღებს ერთზე ნაკლებ მნიშვნელობებს. თუ , მაშინ ; თუ , მაშინ . მაგრამ მოვლენა<3 в данном случае является суммой двух несовместных событий: =1 и =2. Следовательно,

ასე რომ, ჩვენ გვაქვს F(x)=1/3. ფუნქციის მნიშვნელობები ინტერვალებში და გამოითვლება ანალოგიურად. საბოლოოდ, თუ x>6მაშინ F(x)=1, ვინაიდან ამ შემთხვევაში ნებისმიერი შესაძლო მნიშვნელობა (1, 2, 3, 4, 5, 6) ნაკლები ვიდრე x. ფუნქციის გრაფიკი F(x)ნაჩვენებია ნახ. 4.

მაგალითი 2იპოვეთ შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია, რომელიც მოცემულია მაგალით 2, პუნქტი 1.

გადაწყვეტილება:აშკარაა რომ

განრიგი F(x)ნაჩვენებია ნახ. 5.

განაწილების ფუნქციის ცოდნა F(x), ადვილია იპოვოთ ალბათობა , რომ შემთხვევითი ცვლადი აკმაყოფილებს უტოლობებს .
განვიხილოთ მოვლენა, როდესაც შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობას ნაკლები. ეს მოვლენა იშლება ორი შეუთავსებელი მოვლენის ჯამად: 1) შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობებს ნაკლები, ე.ი. ; 2) შემთხვევითი ცვლადი იღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც აკმაყოფილებს უტოლობებს. მიმატების აქსიომის გამოყენებით ვიღებთ

მაგრამ განაწილების ფუნქციის განსაზღვრებით F(x)[სმ. ფორმულა (18)], გვაქვს , ; ამიტომ,

(19)

ამრიგად, დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობა უდრის ამ ინტერვალზე განაწილების ფუნქციის ზრდას.

განვიხილოთ განაწილების ფუნქციის ძირითადი თვისებები.
1°. განაწილების ფუნქცია არ არის კლებადი.
მართლაც, დაე< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . მაშასადამე, ფორმულიდან (19) გამომდინარეობს, რომ , ე.ი. .

2°. განაწილების ფუნქციის მნიშვნელობები აკმაყოფილებს უტოლობებს .
ეს ქონება გამომდინარეობს იქიდან, რომ F(x)განისაზღვრა როგორც ალბათობა [იხ. ფორმულა (18)]. ცხადია, რომ * და .

3°. ალბათობა იმისა, რომ დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ერთ-ერთ შესაძლო მნიშვნელობას xi უდრის გადახტომას განაწილების ფუნქციაში xi წერტილში..
მართლაც, დაე xi- დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის მიერ მიღებული მნიშვნელობა და . ფორმულით (19) , , , მივიღებთ

იმათ. მნიშვნელობა p(xi)უდრის ფუნქციის ნახტომს ** xi. ეს თვისება ნათლად არის ილუსტრირებული ნახ. 4 და ნახ. 5.

*აქ და შემდეგში მოცემულია შემდეგი აღნიშვნები: , .
** ამის ჩვენება შეიძლება F(xi)=F(xi-0), ე.ი. რა ფუნქცია აქვს F(x)დარჩა უწყვეტი წერტილში xi.

3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადები.

დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადების გარდა, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან რიცხვების სასრულ ან უსასრულო თანმიმდევრობას, რომლებიც სრულად არ ავსებენ არცერთ ინტერვალს, ხშირად არის შემთხვევითი ცვლადები, რომელთა შესაძლო მნიშვნელობები ქმნიან გარკვეულ ინტერვალს. ასეთი შემთხვევითი ცვლადის მაგალითია ნაწილის გარკვეული ზომის ნომინალური მნიშვნელობიდან გადახრა სათანადოდ ჩამოყალიბებული ტექნოლოგიური პროცესით. ამ ტიპის შემთხვევითი ცვლადების დაზუსტება შეუძლებელია ალბათობის განაწილების კანონის გამოყენებით p(x). თუმცა, მათი დაზუსტება შესაძლებელია ალბათობის განაწილების ფუნქციის გამოყენებით F(x). ეს ფუნქცია განისაზღვრება ზუსტად ისე, როგორც დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში:

ამრიგად, აქაც ფუნქცია F(x)განისაზღვრება მთელი რიცხვის ღერძზე და მისი მნიშვნელობა წერტილში Xუდრის ალბათობას, რომ შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს ნაკლებ მნიშვნელობას X.
ფორმულა (19) და თვისებები 1° და 2° მოქმედებს ნებისმიერი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქციისთვის. მტკიცებულება ხორციელდება ისევე, როგორც დისკრეტული რაოდენობის შემთხვევაში.
შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება უწყვეტი, თუ მისთვის არსებობს არაუარყოფითი ცალმხრივი უწყვეტი ფუნქცია*, რომელიც აკმაყოფილებს ნებისმიერ მნიშვნელობას xთანასწორობა

ინტეგრალის, როგორც ფართობის გეომეტრიული მნიშვნელობიდან გამომდინარე, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ უტოლობების შესრულების ალბათობა უდრის მრუდი ტრაპეციის ფართობს ფუძით. ზემოთ შემოსაზღვრულია მრუდით (სურ. 6).

მას შემდეგ, რაც ფორმულა (22)

გაითვალისწინეთ, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, განაწილების ფუნქცია F(x)უწყვეტი ნებისმიერ წერტილში X, სადაც ფუნქცია უწყვეტია. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ F(x)ამ წერტილებში დიფერენცირებადია.
ფორმულაზე დაყრდნობით (23), ვარაუდით x 1 = x, , ჩვენ გვაქვს

ფუნქციის უწყვეტობის გამო F(x)ჩვენ ამას ვიღებთ

აქედან გამომდინარე

ამრიგად, ალბათობა იმისა, რომ უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი შეიძლება მიიღოს x-ის რომელიმე მნიშვნელობით არის ნული.
აქედან გამომდინარეობს, რომ მოვლენები, რომლებიც შედგება თითოეული უთანასწორობის შესრულებაში

მათ აქვთ იგივე ალბათობა, ე.ი.

მართლაც, მაგალითად,

როგორც

კომენტარი.როგორც ვიცით, თუ მოვლენა შეუძლებელია, მაშინ მისი დადგომის ალბათობა ნულის ტოლია. ალბათობის კლასიკურ განმარტებაში, როდესაც ტესტის შედეგების რაოდენობა სასრულია, ხდება საპირისპირო წინადადებაც: თუ მოვლენის ალბათობა ნულის ტოლია, მაშინ მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ამ შემთხვევაში არც ერთი ტესტის შედეგი არ ემხრობა მას. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, მისი შესაძლო მნიშვნელობების რაოდენობა უსასრულოა. ალბათობა იმისა, რომ ეს მნიშვნელობა მიიღებს რაიმე კონკრეტულ მნიშვნელობას x 1როგორც ვნახეთ, ნულის ტოლია. თუმცა, აქედან არ გამომდინარეობს, რომ ეს მოვლენა შეუძლებელია, რადგან ტესტის შედეგად შემთხვევითმა ცვლადმა შეიძლება, კერძოდ, მიიღოს მნიშვნელობა x 1. ამიტომ, უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის შემთხვევაში, აზრი აქვს ვისაუბროთ შემთხვევითი ცვლადის ინტერვალში მოხვედრის ალბათობაზე და არა იმაზე, რომ ის მიიღებს კონკრეტულ მნიშვნელობას.
ასე რომ, მაგალითად, როლიკერის დამზადებისას, ჩვენ არ გვაინტერესებს იმის ალბათობა, რომ მისი დიამეტრი ნომინალური მნიშვნელობის ტოლი იქნება. ჩვენთვის მნიშვნელოვანია იმის ალბათობა, რომ როლიკერის დიამეტრი არ გამოვიდეს ტოლერანტობიდან.

X შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის ფუნქცია F(x), რომელიც გამოხატავს ყოველ x-ის ალბათობას, რომ X შემთხვევითი ცვლადი მიიღებს მნიშვნელობას., უფრო პატარა x

მაგალითი 2.5. მოცემულია შემთხვევითი ცვლადის განაწილების სერია

იპოვეთ და გრაფიკულად ასახეთ მისი განაწილების ფუნქცია. გადაწყვეტილება. განმარტების მიხედვით

F(jc) = 0 ამისთვის X X

F(x) = 0,4 + 0,1 = 0,5 4 F(x) = 0,5 + 0,5 = 1 ზე X > 5.

ასე რომ (იხ. ნახ. 2.1):

განაწილების ფუნქციის თვისებები:

1. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის არაუარყოფითი ფუნქცია, რომელიც ჩასმულია ნულსა და ერთს შორის:

2. შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია არის შეუმცირებელი ფუნქცია მთელ რიცხვთა ღერძზე, ე.ი. ზე X 2 > x

3. მინუს უსასრულობისას განაწილების ფუნქცია ნულის ტოლია, პლუს უსასრულობისას უდრის ერთი, ე.ი.

4. შემთხვევითი ცვლადის დარტყმის ალბათობა Xინტერვალშიუდრის მისი ალბათობის სიმკვრივის განსაზღვრულ ინტეგრალს, რომელიც მერყეობს აადრე ბ(იხ. სურ. 2.2), ე.ი.

ბრინჯი. 2.2

3. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის განაწილების ფუნქცია (იხ. ნახ. 2.3) შეიძლება გამოისახოს ალბათობის სიმკვრივის მიხედვით ფორმულის გამოყენებით:

F(x)= Jp(*)*. (2.10)

4. უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადის ალბათობის სიმკვრივის უსასრულო ზღვრებში არასწორი ინტეგრალი უდრის ერთს:

გეომეტრიული თვისებები / და 4 ალბათობის სიმკვრივე ნიშნავს, რომ მისი ნაკვეთი არის განაწილების მრუდი - არ არის x ღერძის ქვემოთ, და ფიგურის მთლიანი ფართობი, შეზღუდული განაწილების მრუდი და x-ღერძი, უდრის ერთს.

უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადისთვის Xმოსალოდნელი ღირებულება M(X)და დისპერსიას D(X)განისაზღვრება ფორმულებით:

(თუ ინტეგრალი აბსოლუტურად იყრის თავს); ან

(თუ შემცირებული ინტეგრალები ერთმანეთს ემთხვევა).

ზემოთ აღნიშნულ ციფრულ მახასიათებლებთან ერთად, კვანტილების და პროცენტული პუნქტების ცნება გამოიყენება შემთხვევითი ცვლადის აღსაწერად.

q დონის კვანტილი(ან q-კვანტილი) არის ასეთი მნიშვნელობაx qშემთხვევითი ცვლადი, რომლის განაწილების ფუნქცია იღებს მნიშვნელობას, q-ის ტოლი,ე.ი.

• 100q%-ou წერტილი არის კვანტილი X~ q .
• ? მაგალითი 2.8.

მაგალითი 2.6-ის მიხედვით იპოვეთ კვანტილი xqj და 30% შემთხვევითი ცვლადი წერტილი x.

გადაწყვეტილება. განმარტებით (2.16) F(xo t3)= 0.3, ე.ი.

~Y~ = 0.3, საიდანაც კვანტილი x 0 3 = 0.6. 30% შემთხვევითი ცვლადი წერტილი X, ან კვანტილი Х)_о,з = xoj» გვხვდება ანალოგიურად განტოლებიდან ^ = 0.7. საიდანაც *,= 1.4. ?

შემთხვევითი ცვლადის რიცხობრივ მახასიათებლებს შორის არის საწყისი v* და მთავარი R* k-ე რიგის მომენტები, განსაზღვრულია დისკრეტული და უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადებისთვის ფორმულებით: