იცით, რა არის წრფის შუა წერტილი? Რა თქმა უნდა შენ აკეთებ. და წრის ცენტრი? ძალიან.

რა არის კუთხის შუა წერტილი?

შეიძლება ითქვას, რომ ეს არ ხდება. მაგრამ რატომ, სეგმენტი შეიძლება დაიყოს ნახევრად, მაგრამ კუთხე არა? სავსებით შესაძლებელია - უბრალოდ არა წერტილი, მაგრამ .... ხაზი.

გახსოვთ ხუმრობა: ბისექტორი არის ვირთხა, რომელიც ეშვება კუთხეებში და ყოფს კუთხეს.ასე რომ, ბისექტორის რეალური განმარტება ძალიან ჰგავს ამ ხუმრობას:

სამკუთხედის ბისექტორიარის სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ამ კუთხის წვეროს მოპირდაპირე მხარეს არსებულ წერტილთან.

ერთხელ ძველმა ასტრონომებმა და მათემატიკოსებმა ბისექტრის ბევრი საინტერესო თვისება აღმოაჩინეს. ამ ცოდნამ მნიშვნელოვნად გაამარტივა ადამიანების ცხოვრება.

პირველი ცოდნა, რომელიც ამაში დაგეხმარებათ, არის ...

სხვათა შორის, გახსოვთ ყველა ეს ტერმინი? გახსოვთ რით განსხვავდებიან ისინი ერთმანეთისგან? არა? არა საშინელი. ახლა მოდით გავარკვიოთ.

• ტოლფერდა სამკუთხედის ფუძე- ეს ის მხარეა, რომელიც სხვას არ უდრის. შეხედე სურათს, შენი აზრით რომელი მხარეა? მართალია - ეს არის მხარე.
• მედიანა არის სამკუთხედის წვეროდან გამოყვანილი ხაზი და ყოფს მოპირდაპირე მხარეს (ეს ისევ). ყურადღება მიაქციეთ, რომ არ ვამბობთ, "ტოლფერდა სამკუთხედის შუალედი". Იცი რატომ? იმის გამო, რომ სამკუთხედის წვეროდან გამოყვანილი მედიანა ორად ყოფს მოპირდაპირე მხარეს ნებისმიერ სამკუთხედში.
• სიმაღლე არის ზემოდან და ძირის პერპენდიკულარული ხაზი. შენიშნე? ჩვენ ისევ ვსაუბრობთ ნებისმიერ სამკუთხედზე და არა მხოლოდ ტოლკუთხედზე. სიმაღლე ნებისმიერ სამკუთხედში ყოველთვის არის ფუძის პერპენდიკულარული.

ასე რომ, თქვენ გაარკვიეთ? თითქმის.

იმისათვის, რომ უკეთ გაიგონ და სამუდამოდ დაიმახსოვრონ რა არის ბისექტორი, მედიანა და სიმაღლე, მათ სჭირდებათ შეადარეთ ერთმანეთსდა გააცნობიეროს როგორ ჰგვანან და რით განსხვავდებიან ერთმანეთისგან.

ამავდროულად, უკეთ დასამახსოვრებლად, სჯობს ყველაფერი „ადამიანის ენით“ აღწერო.

მაშინ ადვილად იმუშავებ მათემატიკის ენით, მაგრამ თავიდან ეს ენა არ გესმის და ყველაფერი უნდა გაიაზრო საკუთარ ენაზე.

მაშ როგორ ჰგვანან ისინი?

ბისექტორი, მედიანა და სიმაღლე - ისინი ყველა "გამოდიან" სამკუთხედის წვეროდან და ეყრდნობიან საპირისპირო მიმართულებით და "რამეს აკეთებენ" ან იმ კუთხით, საიდანაც გამოდიან, ან მოპირდაპირე გვერდით.

მგონი მარტივია, არა?

და რით განსხვავდებიან ისინი?

• ბისექტორი ორად ყოფს იმ კუთხეს, საიდანაც ის გამოდის.
• მედიანა ორად ყოფს მოპირდაპირე მხარეს.
• სიმაღლე ყოველთვის მოპირდაპირე მხარის პერპენდიკულარულია.

Ის არის. გაგება ადვილია. როგორც კი გაიგებ, შეგიძლია გაიხსენო.

ახლა შემდეგი კითხვა.

მაშ, რატომ ტოლფერდა სამკუთხედის შემთხვევაში ბისექტორი აღმოჩნდება როგორც მედიანა, ასევე სიმაღლე ერთდროულად?

შეგიძლიათ უბრალოდ შეხედოთ ფიგურას და დარწმუნდეთ, რომ მედიანა იყოფა ორ აბსოლუტურად თანაბარ სამკუთხედად.

Სულ ეს არის! მაგრამ მათემატიკოსებს არ უყვართ თვალების დაჯერება. მათ უნდა დაამტკიცონ ყველაფერი.

საშინელი სიტყვა?

არაფერი მსგავსი - ყველაფერი მარტივია! შეხედე: და აქვთ თანაბარი მხარეები და, აქვთ საერთო მხარე და. (- ბისექტორი!) ასე რომ, აღმოჩნდა, რომ ორ სამკუთხედს აქვს ორი ტოლი გვერდი და კუთხე მათ შორის.

გავიხსენებთ სამკუთხედების ტოლობის პირველ ნიშანს (არ გახსოვთ, გადახედეთ თემას) და ვასკვნით, რომ ეს ნიშნავს = და.

ეს უკვე კარგია - ეს ნიშნავს, რომ მედიანა აღმოჩნდა.

მაგრამ რა არის ეს?

მოდით შევხედოთ სურათს -. და ჩვენ მივიღეთ ეს. ასეც! ბოლოს და ბოლოს, ჩქარა! და.

გაგიჭირდათ ეს მტკიცებულება? შეხედეთ სურათს - ორი იდენტური სამკუთხედი თავისთავად საუბრობს.

ნებისმიერ შემთხვევაში, გახსოვდეთ:

ახლა უფრო რთულია: ჩვენ ვითვლით კუთხე ბისექტრებს შორის ნებისმიერ სამკუთხედში!ნუ გეშინია, ეს არც ისე რთულია. Შეხედე სურათს:

მოდი დავთვალოთ. გახსოვთ ეს სამკუთხედის კუთხეების ჯამი არის?

გამოვიყენოთ ეს საოცარი ფაქტი.

ერთის მხრივ, საწყისი:

ე.ი.

ახლა მოდით შევხედოთ:

მაგრამ ბისექტრები, ბისექტრები!

გავიხსენოთ შესახებ:

ახლა წერილების მეშვეობით

გასაკვირი არ არის?

აღმოჩნდა რომ ორი კუთხის ბისექტორებს შორის კუთხე დამოკიდებულია მხოლოდ მესამე კუთხეზე!

ჩვენ ორ ბისექტორს შევხედეთ. სამი რომ იყოს??!! ისინი ყველა ერთ წერტილში იკვეთება?

ან იქნება?

როგორ ფიქრობთ? აქ მათემატიკოსები ფიქრობდნენ, ფიქრობდნენ და დაადასტურეს:

მართლა, მშვენივრად?

გსურთ იცოდეთ რატომ ხდება ეს?

გადადით შემდეგ დონეზე - თქვენ მზად ხართ დაიპყროთ ცოდნის ახალი სიმაღლეები ბისექტრის შესახებ!

ბისექტორი. შუა დონე

გახსოვთ რა არის ბისექტორი?

ბისექტორი არის ხაზი, რომელიც ყოფს კუთხეს.

შეგხვდათ ბისექტორი პრობლემაში? შეეცადეთ გამოიყენოთ შემდეგი საოცარი თვისებებიდან ერთი (და ზოგჯერ შეგიძლიათ რამდენიმე).

1. ბისექტორი ტოლფერდა სამკუთხედში.

გეშინიათ სიტყვა "თეორემის"? თუ გეშინია, მაშინ - ამაოდ. მათემატიკოსებს სჩვევიათ მათემატიკის თეორემა უწოდონ ნებისმიერ დებულებას, რომელიც შეიძლება რაღაცნაირად გამოვიდეს სხვა, უფრო მარტივი დებულებებიდან.

ასე რომ, ყურადღება, თეორემა!

დავამტკიცოთეს თეორემა, ანუ ჩვენ გავიგებთ რატომ ხდება ეს? შეხედეთ ტოლფერს.

მოდით შევხედოთ მათ ყურადღებით. და მერე ამას დავინახავთ

1. - გენერალი.

და ეს ნიშნავს (უფრო სწორად, გახსოვდეთ სამკუთხედების თანასწორობის პირველი ნიშანი!), რომ.

Მერე რა? ამის თქმა გინდა? და ის ფაქტი, რომ ჩვენ ჯერ არ გვიყურებს ამ სამკუთხედების მესამე გვერდები და დარჩენილი კუთხეები.

ახლა კი ვნახოთ. ერთხელ, მაშინ აბსოლუტურად ზუსტად და თუნდაც დამატებით,.

ასეც მოხდა

1. გაყავით მხარე შუაზე, ანუ აღმოჩნდა მედიანა
2. , რაც ნიშნავს, რომ ორივე ჩართულია, რადგან (კიდევ ერთხელ შეხედეთ ფიგურას).

ასე აღმოჩნდა ბისექტორიც და სიმაღლეც!

ჰოო! ჩვენ დავამტკიცეთ თეორემა. მაგრამ გამოიცანით, ეს ყველაფერი არ არის. ერთგული და ურთიერთობის თეორემა:

მტკიცებულება? გაინტერესებთ? წაიკითხეთ თეორიის შემდეგი დონე!

და თუ არ გაინტერესებთ, მაშინ დაიმახსოვრე მტკიცედ:

რატომ არის ძნელი დასამახსოვრებელი? როგორ შეიძლება დაეხმაროს? წარმოიდგინეთ, რომ თქვენ გაქვთ დავალება:

მოცემული: .

Პოვნა: .

მაშინვე ფიქრობ, ბისექტორი და, აი, მან მხარე შუაზე გაყო! (პირობით...). თუ მტკიცედ გახსოვთ, რომ ეს ხდება მხოლოდტოლფერდა სამკუთხედში, შემდეგ დაასკვნი, რაც ნიშნავს, დაწერე პასუხი:. მშვენიერია, არა? რა თქმა უნდა, ყველა დავალება ასე მარტივი არ იქნება, მაგრამ ცოდნა აუცილებლად დაგეხმარებათ!

ახლა კი შემდეგი ქონება. მზადაა?

2. კუთხის ბისექტრი არის კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.

შეშინებული? სინამდვილეში, სანერვიულო არაფერია. ზარმაცი მათემატიკოსები ორ სტრიქონში ოთხს მალავდნენ. ასე რომ, რას ნიშნავს "ბისექტორი - წერტილების ლოკუსი"? და ეს ნიშნავს, რომ ისინი დაუყოვნებლივ შესრულებულია ორიგანცხადებები:

1. თუ წერტილი ბისექტორზე დევს, მაშინ მანძილი მისგან კუთხის გვერდებამდე ტოლია.
2. თუ რაღაც მომენტში მანძილი კუთხის გვერდებამდე ტოლია, მაშინ ეს წერტილი აუცილებლადწევს ბისექტორზე.

ხედავთ განსხვავებას 1 და 2 განცხადებებს შორის? თუ არა, მაშინ გაიხსენეთ ქუდაბანი "ალისა საოცრებათა ქვეყანაში": "ასე რომ თქვენ კიდევ გაქვთ რაიმე კარგი სათქმელი, თითქოს "მე ვხედავ რასაც ვჭამ" და "მე ვჭამ იმას, რასაც ვხედავ" ერთი და იგივეა!

ასე რომ, ჩვენ უნდა დავამტკიცოთ დებულებები 1 და 2, შემდეგ კი განცხადება: "ბისექტორი არის კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი" დამტკიცდება!

რატომ არის 1 სწორი?

აიღეთ ბისექტრის ნებისმიერი წერტილი და დაუძახეთ მას.

მოდით ჩამოვუშვათ პერპენდიკულარები ამ წერტილიდან კუთხის გვერდებზე.

ახლა კი ... მოემზადეთ მართკუთხა სამკუთხედების თანასწორობის ნიშნების დასამახსოვრებლად! თუ დაგავიწყდათ ისინი, გადახედეთ განყოფილებას.

ასე რომ ... ორი მართკუთხა სამკუთხედი: და. Მათ აქვთ:

• საერთო ჰიპოტენუზა.
• (რადგან - ბისექტორი!)

ასე რომ - კუთხით და ჰიპოტენუზით. მაშასადამე, ამ სამკუთხედების შესაბამისი ფეხები ტოლია! ე.ი.

ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ წერტილი თანაბრად (ან თანაბრად) არის ამოღებული კუთხის გვერდებიდან. პუნქტი 1 განხილულია. ახლა გადავიდეთ მე-2 პუნქტზე.

რატომ არის 2 სწორი?

და დააკავშირეთ წერტილები.

ანუ, ბისექტორზე დევს!

Სულ ეს არის!

როგორ შეიძლება ამ ყველაფრის გამოყენება პრობლემის გადაჭრაში? მაგალითად, ამოცანებში ხშირად არის ასეთი ფრაზა: "წრე ეხება კუთხის გვერდებს ...". კარგი, რაღაც უნდა მოძებნო.

ამას სწრაფად ხვდები

და თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ თანასწორობა.

3. სამკუთხედში სამი ბისექტორი იკვეთება ერთ წერტილში

ბისექტრის თვისებიდან, რომ იყოს კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი, შემდეგი დებულება მოდის:

ზუსტად როგორ მიედინება? მაგრამ შეხედე: ორი ბისექტორი აუცილებლად იკვეთება, არა?

და მესამე ბისექტორი შეიძლება ასე წავიდეს:

მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი ბევრად უკეთესია!

განვიხილოთ ორი ბისექტრის გადაკვეთის წერტილი. მოდით დავურეკოთ მას.

რა გამოვიყენეთ აქ ორივეჯერ? დიახ პუნქტი 1, რა თქმა უნდა! თუ წერტილი ბისექტორზე დევს, მაშინ ის თანაბრად დაშორებულია კუთხის გვერდებიდან.

და ასეც მოხდა.

მაგრამ ყურადღებით დააკვირდით ამ ორ თანასწორობას! ყოველივე ამის შემდეგ, მათგან გამომდინარეობს, რომ და, შესაბამისად, .

ახლა კი ის იმუშავებს წერტილი 2: თუ მანძილი კუთხის გვერდებამდე ტოლია, მაშინ წერტილი დევს ბისექტორზე ... რომელი კუთხის? კიდევ ერთხელ შეხედე სურათს:

და არის მანძილი კუთხის გვერდებამდე და ისინი ტოლია, რაც ნიშნავს, რომ წერტილი დევს კუთხის ბისექტორზე. მესამე ბისექტორმა გაიარა იგივე წერტილი! სამივე ბისექტორი ერთ წერტილში იკვეთება! და, როგორც დამატებითი საჩუქარი -

რადიები ჩაწერილიწრეები.

(ერთგულებისთვის გადახედე სხვა თემას).

ისე, ახლა არასოდეს დაგავიწყდებათ:

სამკუთხედის ბისექტორების გადაკვეთის წერტილი არის მასში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

მოდით გადავიდეთ შემდეგ თვისებაზე ... ვაა, და ბისექტორს ბევრი თვისება აქვს, არა? და ეს მშვენიერია, რადგან რაც მეტი თვისებაა, მით მეტია ინსტრუმენტი ბისექტორის შესახებ პრობლემების გადასაჭრელად.

4. ბისექტორი და პარალელიზმი, მიმდებარე კუთხეების ბისექტრები

ის ფაქტი, რომ ბისექტორი კვეთს კუთხეს ზოგიერთ შემთხვევაში იწვევს სრულიად მოულოდნელ შედეგებს. Მაგალითად,

შემთხვევა 1

მშვენიერია, არა? მოდით გავიგოთ რატომ.

ერთის მხრივ, ჩვენ ვხატავთ ბისექტორს!

მაგრამ, მეორე მხრივ, - ჯვარედინად დაწოლილი კუთხეების მსგავსად (გაიხსენეთ თემა).

ახლა კი გამოდის, რომ; შუაში ჩააგდე: ! - ტოლფერდა!

შემთხვევა 2

წარმოიდგინეთ სამკუთხედი (ან შეხედეთ სურათს)

განვაგრძოთ გვერდიგვერდ. ახლა ორი კუთხეა:

• - შიდა კუთხე
• - გარე კუთხე - გარეთაა, არა?

ასე რომ, და ახლა ვიღაცას სურდა ერთდროულად არა ერთი, არამედ ორი ბისექტრის დახატვა: ორივესთვის და ამისთვის. Რა მოხდება?

და გამოვა მართკუთხა!

გასაკვირია, რომ სწორედ ეს არის.

ჩვენ გვესმის.

თქვენი აზრით რამდენია თანხა?

რა თქმა უნდა, იმიტომ რომ ყველა ერთად ქმნის ისეთ კუთხეს, რომ გამოდის სწორი ხაზი.

ახლა კი გავიხსენებთ და ვართ ბისექტრები და დავინახავთ, რომ შიგნით კუთხე ზუსტად არის ნახევარიოთხივე კუთხის ჯამიდან: და - - ანუ ზუსტად. ის ასევე შეიძლება დაიწეროს განტოლების სახით:

ასე რომ, დაუჯერებელია, მაგრამ მართალია:

სამკუთხედის შიდა და გარე კუთხეების ბისექტორებს შორის კუთხე ტოლია.

შემთხვევა 3

ხედავთ, რომ აქ ყველაფერი იგივეა, რაც შიდა და გარე კუთხეებში?

ან კიდევ ერთხელ ვიფიქროთ რატომ არის ასე?

ისევ, რაც შეეხება მიმდებარე კუთხეებს,

(როგორც პარალელური ბაზების შესაბამისი).

და ისევ, მაკიაჟი ზუსტად ნახევარიჯამიდან

დასკვნა:თუ პრობლემაში არის ბისექტრები დაკავშირებულიკუთხეები ან ბისექტრები შესაბამისიპარალელოგრამის ან ტრაპეციის კუთხეები, შემდეგ ამ პრობლემაში რა თქმა უნდაჩართულია მართკუთხა სამკუთხედი და შესაძლოა მთელი მართკუთხედიც.

5. ბისექტორი და მოპირდაპირე მხარე

გამოდის, რომ სამკუთხედის კუთხის ბისექტორი მოპირდაპირე მხარეს ყოფს არა რაღაცნაირად, არამედ განსაკუთრებული და ძალიან საინტერესო გზით:

ანუ:

საოცარი ფაქტია, არა?

ახლა ჩვენ დავამტკიცებთ ამ ფაქტს, მაგრამ მოემზადეთ: ეს ცოტა უფრო რთული იქნება, ვიდრე ადრე.

ისევ - გასასვლელი "სივრცეში" - დამატებითი შენობა!

პირდაპირ წავიდეთ.

Რისთვის? ახლა ვნახოთ.

ჩვენ ვაგრძელებთ ბისექტორს ხაზთან კვეთამდე.

ნაცნობი სურათი? დიახ, დიახ, დიახ, ზუსტად ისევე, როგორც მე-4 პუნქტში, შემთხვევა 1 - გამოდის, რომ (- ბისექტორი)

როგორც ჯვარედინი წოლა

ასე რომ, ეს ასევე არის.

ახლა გადავხედოთ სამკუთხედებს და.

რა შეიძლება ითქვას მათზე?

ისინი მსგავსია. დიახ, მათი კუთხეები ტოლია როგორც ვერტიკალური. ასე რომ, ორი კუთხე.

ახლა ჩვენ გვაქვს უფლება დავწეროთ შესაბამისი მხარეების ურთიერთობები.

ახლა კი მოკლე ნოტაციით:

ოჰ! რაღაცას მახსენებს, არა? ამის დამტკიცება არ გვინდოდა? დიახ, დიახ, ეს ასეა!

ხედავთ, როგორი შესანიშნავი აღმოჩნდა „კოსმოსური სიარული“ - დამატებითი სწორი ხაზის აგება - ამის გარეშე არაფერი მოხდებოდა! ასე რომ, ჩვენ ეს დავამტკიცეთ

ახლა თქვენ შეგიძლიათ უსაფრთხოდ გამოიყენოთ იგი! გავაანალიზოთ სამკუთხედის კუთხეების ბისექტრების კიდევ ერთი თვისება - ნუ გეშინიათ, ახლა ყველაზე რთული დასრულდა - უფრო ადვილი იქნება.

ჩვენ ამას მივიღებთ

თეორემა 1:

თეორემა 2:

თეორემა 3:

თეორემა 4:

თეორემა 5:

თეორემა 6:

ხო, თემა დასრულდა. თუ ამ სტრიქონებს კითხულობ, მაშინ ძალიან მაგარი ხარ.

იმიტომ რომ ადამიანების მხოლოდ 5%-ს შეუძლია რაღაცის დაუფლება დამოუკიდებლად. და თუ ბოლომდე წაიკითხე, მაშინ 5%-ში ხარ!

ახლა ყველაზე მთავარი.

თქვენ გაარკვიეთ თეორია ამ თემაზე. და, ვიმეორებ, ეს ... უბრალოდ სუპერა! თქვენ უკვე უკეთესი ხართ, ვიდრე თქვენი თანატოლების უმრავლესობა.

პრობლემა ის არის, რომ ეს შეიძლება არ იყოს საკმარისი ...

Რისთვის?

გამოცდის წარმატებით ჩაბარებისთვის, ბიუჯეტში ინსტიტუტში ჩასაბარებლად და, რაც მთავარია, უვადოდ.

არაფერში არ დაგარწმუნებთ, მხოლოდ ერთს გეტყვით...

ადამიანები, რომლებმაც მიიღეს კარგი განათლება, ბევრად მეტს შოულობენ, ვიდრე მათ, ვინც არ მიუღია. ეს არის სტატისტიკა.

მაგრამ ეს არ არის მთავარი.

მთავარია, რომ ისინი უფრო ბედნიერები არიან (არის ასეთი კვლევები). ალბათ იმიტომ, რომ ბევრად მეტი შესაძლებლობა იხსნება მათ წინაშე და ცხოვრება უფრო ნათელი ხდება? არ ვიცი...

მაგრამ შენ თვითონ იფიქრე...

რა არის საჭირო იმისთვის, რომ გამოცდაზე სხვებზე უკეთესი იყო და საბოლოოდ ... ბედნიერი?

შეავსეთ ხელი, გადაჭრით პრობლემებს ამ თემაზე.

გამოცდაზე თეორიას არ მოგთხოვენ.

დაგჭირდებათ პრობლემების დროულად გადაჭრა.

და, თუ თქვენ არ მოაგვარეთ ისინი (ბევრი!), აუცილებლად დაუშვებთ სადღაც სულელურ შეცდომას ან უბრალოდ დროულად არ დაუშვებთ.

ეს სპორტშია - თქვენ უნდა გაიმეოროთ ბევრჯერ, რომ აუცილებლად გაიმარჯვოთ.

იპოვეთ კოლექცია სადაც გინდათ აუცილებლად გადაწყვეტილებებით, დეტალური ანალიზითდა გადაწყვიტე, გადაწყვიტე, გადაწყვიტე!

თქვენ შეგიძლიათ გამოიყენოთ ჩვენი ამოცანები (აუცილებელი არ არის) და ჩვენ აუცილებლად გირჩევთ მათ.

იმისათვის, რომ ხელი მოკიდოთ ჩვენს ამოცანებს, თქვენ უნდა დაეხმაროთ YouClever სახელმძღვანელოს სიცოცხლის გახანგრძლივებას, რომელსაც ამჟამად კითხულობთ.

Როგორ? არის ორი ვარიანტი:

1. განბლოკეთ წვდომა ამ სტატიაში ყველა ფარულ ამოცანაზე -
2. განბლოკეთ წვდომა ყველა ფარულ დავალებაზე სახელმძღვანელოს 99-ვე სტატიაში - შეიძინეთ სახელმძღვანელო - 899 რუბლი

დიახ, ჩვენ გვაქვს 99 ასეთი სტატია სახელმძღვანელოში და წვდომა ყველა დავალებაზე და მათში ყველა ფარულ ტექსტზე შეიძლება დაუყოვნებლივ გაიხსნას.

ყველა ფარულ ამოცანაზე წვდომა უზრუნველყოფილია საიტის მთელი სიცოცხლის განმავლობაში.

Საბოლოოდ...

თუ არ მოგწონთ ჩვენი ამოცანები, იპოვეთ სხვები. უბრალოდ არ გაჩერდე თეორიით.

"გასაგებია" და "მე ვიცი როგორ გადაჭრა" სრულიად განსხვავებული უნარებია. ორივე გჭირდება.

იპოვე პრობლემები და მოაგვარე!

ამ გაკვეთილზე დეტალურად განვიხილავთ, რა თვისებები აქვთ კუთხის ბისექტრზე მდებარე წერტილებს და მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე მდებარე წერტილებს.

თემა: წრე

გაკვეთილი: წრფის სეგმენტის კუთხის ბისექტრისა და პერპენდიკულარული ბისექტრის თვისებები

განვიხილოთ კუთხის ბისექტრზე მდებარე წერტილის თვისებები (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. ერთი

კუთხის გათვალისწინებით, მისი ბისექტორი AL, წერტილი M დევს ბისექტორზე.

თეორემა:

თუ წერტილი M დევს კუთხის ბისექტორზე, მაშინ ის თანაბარია კუთხის გვერდებიდან, ანუ მანძილი M წერტილიდან AC-მდე და კუთხის გვერდების BC-მდე ტოლია.

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედები და ისინი ტოლია, რადგან. აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა AM და კუთხეები და ტოლია, რადგან AL არის კუთხის ბისექტორი. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედები ტოლია ჰიპოტენუზაში და მახვილ კუთხეში, აქედან გამომდინარეობს, რომ რის დამტკიცება იყო საჭირო. ამრიგად, კუთხის ბისექტრის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ამ კუთხის გვერდებიდან.

საპირისპირო თეორემა მართალია.

თუ წერტილი თანაბრად არის დაშორებული არაგაშლილი კუთხის გვერდებიდან, მაშინ ის დევს მის ბისექტორზე.

ბრინჯი. 2

მოცემულია გაშლილი კუთხე, M წერტილი, რომ მანძილი მისგან კუთხის გვერდებამდე ერთნაირი იყოს (იხ. სურ. 2).

დაამტკიცეთ, რომ წერტილი M დგას კუთხის ბისექტრზე.

მტკიცებულება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე. M წერტილიდან დახაზეთ MK პერპენდიკულარები AB მხარეს და MP AC მხარეს.

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედები და ისინი ტოლია, რადგან. აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა AM, ფეხები MK და MR თანაბარია მდგომარეობის მიხედვით. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედები ტოლია ჰიპოტენუზასა და ფეხიში. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი ელემენტების ტოლობა, თანაბარი კუთხეები დევს ტოლ ფეხებთან, ამდენად, მაშასადამე, წერტილი M დევს მოცემული კუთხის ბისექტორზე.

პირდაპირი და ინვერსიული თეორემა შეიძლება გაერთიანდეს.

თეორემა

გაშლილი კუთხის ბისექტრი არის მოცემული კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ლოკუსი.

თეორემა

სამკუთხედის ბისექტრები AA 1 , BB 1 , CC 1 იკვეთება ერთ წერტილში O (იხ. სურ. 3).

ბრინჯი. 3

მტკიცებულება:

განვიხილოთ პირველი ორი ბისექტორი BB 1 და СС 1 . ისინი იკვეთებიან, გადაკვეთის წერტილი O არსებობს. ამის დასამტკიცებლად დავუშვათ პირიქით - დაე, მოცემული ბისექტრები არ იკვეთონ, ამ შემთხვევაში ისინი პარალელურები არიან. მაშინ BC წრფე არის სეკანტი და კუთხეების ჯამი , ეს ეწინააღმდეგება იმ ფაქტს, რომ მთელ სამკუთხედში კუთხეების ჯამი არის .

ასე რომ, არსებობს ორი ბისექტრის გადაკვეთის O წერტილი. განვიხილოთ მისი თვისებები:

წერტილი O დგას კუთხის ბისექტრისზე, რაც ნიშნავს, რომ იგი თანაბრად არის დაშორებული BA და BC გვერდებისგან. თუ OK არის BC-ის პერპენდიკულარული, OL არის BA-ს პერპენდიკულარული, მაშინ ამ პერპენდიკულარების სიგრძე უდრის -. ასევე, წერტილი O დგას კუთხის ბისექტორზე და თანაბრად არის დაშორებული მისი გვერდებიდან CB და CA, პერპენდიკულარები OM და OK ტოლია.

მივიღეთ შემდეგი თანასწორობები:

, ანუ O წერტილიდან სამკუთხედის გვერდებზე ჩამოშვებული სამივე პერპენდიკულარი ერთმანეთის ტოლია.

ჩვენ გვაინტერესებს OL და OM პერპენდიკულარების ტოლობა. ეს თანასწორობა ამბობს, რომ O წერტილი თანაბრად არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან, ამიტომ ის დევს მის ბისექტორზე AA 1.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ სამკუთხედის სამივე ბისექტორი იკვეთება ერთ წერტილში.

მოდით მივმართოთ სეგმენტის, მისი პერპენდიკულარული ბისექტრისა და წერტილის თვისებებს, რომელიც მდებარეობს პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

მოცემულია AB სეგმენტი, p არის პერპენდიკულარული ბისექტორი. ეს ნიშნავს, რომ წრფე p გადის AB სეგმენტის შუა წერტილში და არის მასზე პერპენდიკულარული.

თეორემა

ბრინჯი. 4

პერპენდიკულარულ ბისექტორზე მდებარე ნებისმიერი წერტილი თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან (იხ. სურ. 4).

დაამტკიცე რომ

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ისინი მართკუთხა და თანაბარია, რადგან. გვაქვს საერთო ფეხი OM, ხოლო AO-სა და OB-ის ფეხები ტოლია პირობით, შესაბამისად, გვაქვს ორი მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც ტოლია ორ ფეხში. აქედან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედების ჰიპოტენუსებიც ტოლია, ანუ რაც დასამტკიცებელი იყო.

გაითვალისწინეთ, რომ სეგმენტი AB არის საერთო აკორდი მრავალი წრისთვის.

მაგალითად, პირველი წრე, რომელიც ორიენტირებულია M წერტილზე და რადიუსზე MA და MB; მეორე წრე, რომელიც ორიენტირებულია N წერტილზე, რადიუსზე NA და NB.

ამრიგად, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ თუ წერტილი დევს მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე, ის თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან (იხ. სურ. 5).

ბრინჯი. 5

საპირისპირო თეორემა მართალია.

თეორემა

თუ რომელიმე წერტილი M თანაბრად არის დაშორებული სეგმენტის ბოლოებიდან, მაშინ ის დევს ამ მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

მოცემულია AB სეგმენტი, მასზე პერპენდიკულარული მედიანა p, წერტილი M, ტოლი დაშორებით სეგმენტის ბოლოებიდან (იხ. სურ. 6).

დაამტკიცეთ, რომ წერტილი M დევს მონაკვეთის პერპენდიკულარულ ბისექტორზე.

ბრინჯი. 6

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედი. ის ტოლფერდაა, როგორც პირობით. განვიხილოთ სამკუთხედის მედიანა: O წერტილი არის AB ფუძის შუა წერტილი, OM არის მედიანა. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისების მიხედვით, მის ფუძესთან მიყვანილი მედიანა არის სიმაღლეც და ბისექტრიც. აქედან გამომდინარეობს, რომ. მაგრამ წრფე p ასევე AB-ის პერპენდიკულარულია. ჩვენ ვიცით, რომ AB სეგმენტის ერთი პერპენდიკულარული შეიძლება იყოს O წერტილამდე, რაც ნიშნავს, რომ წრფეები OM და p ემთხვევა ერთმანეთს, აქედან გამომდინარეობს, რომ წერტილი M ეკუთვნის p წრფეს, რომლის დადასტურებაც იყო საჭირო.

პირდაპირი და ინვერსიული თეორემა შეიძლება განზოგადდეს.

თეორემა

სეგმენტის პერპენდიკულური ბისექტორი არის მისი ბოლოებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.

სამკუთხედი, როგორც მოგეხსენებათ, შედგება სამი სეგმენტისგან, რაც ნიშნავს, რომ მასში სამი პერპენდიკულარული ბისექტრის დახატვაა შესაძლებელი. გამოდის, რომ ისინი ერთ წერტილში იკვეთებიან.

სამკუთხედის პერპენდიკულარული ბისექტრები ერთ წერტილში იკვეთება.

მოცემულია სამკუთხედი. მის გვერდებზე პერპენდიკულარული: P 1 BC მხარეს, P 2 AC მხარეს, P 3 AB მხარეს (იხ. ნახ. 7).

დაამტკიცეთ, რომ Р 1 , Р 2 და Р 3 პერპენდიკულარები იკვეთება O წერტილში.

დღეს ძალიან მარტივი გაკვეთილი იქნება. განვიხილავთ მხოლოდ ერთ ობიექტს - კუთხის ბისექტრის - და დავამტკიცებთ მის ყველაზე მნიშვნელოვან თვისებას, რომელიც მომავალში ძალიან გამოგვადგება.

უბრალოდ არ დაისვენოთ: ხანდახან მოსწავლეებს, რომლებსაც სურთ მიიღონ მაღალი ქულა იმავე OGE-ზე ან USE-ზე, პირველ გაკვეთილზე, ვერც კი ჩამოაყალიბებენ ბისექტრის ზუსტ განმარტებას.

და იმის მაგივრად, რომ შევასრულოთ მართლაც საინტერესო ამოცანები, ჩვენ დროს ვხარჯავთ ასეთ მარტივ რაღაცეებზე. ასე რომ წაიკითხეთ, უყურეთ - და მიიღეთ. :)

დასაწყისისთვის, ოდნავ უცნაური კითხვა: რა არის კუთხე? ეს ასეა: კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი, რომელიც გამოდის ერთი და იმავე წერტილიდან. Მაგალითად:

კუთხეების მაგალითები: მახვილი, ბლაგვი და მართალი

როგორც სურათზე ხედავთ, კუთხეები შეიძლება იყოს მკვეთრი, ბლაგვი, სწორი - ახლა ამას არ აქვს მნიშვნელობა. ხშირად, მოხერხებულობისთვის, თითოეულ სხივზე აღინიშნება დამატებითი წერტილი და ამბობენ, რომ ჩვენ გვაქვს კუთხე $AOB$ (იწერება $\კუთხის AOB$).

კაპიტანი, როგორც ჩანს, მიანიშნებს, რომ $OA$ და $OB$ სხივების გარდა, ყოველთვის შეიძლება $O$ წერტილიდან სხივების დახატვა. მაგრამ მათ შორის იქნება ერთი განსაკუთრებული - მას ბისექტორი ჰქვია.

განმარტება. კუთხის ბისექტორი არის სხივი, რომელიც გამოდის ამ კუთხის წვეროდან და ყოფს კუთხეს.

ზემოთ მოყვანილი კუთხისთვის ბისექტრები ასე გამოიყურება:

ბისექტორების მაგალითები მახვილი, ბლაგვი და მართი კუთხისთვის

ვინაიდან რეალურ ნახატებში ყოველთვის არ არის აშკარა, რომ გარკვეული სხივი (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის $OM$ სხივი) ყოფს საწყის კუთხეს ორ თანაბარ ნაწილად, გეომეტრიაში ჩვეულებრივია ტოლი კუთხის აღნიშვნა იმავე რაოდენობით. რკალი (ჩვენს ნახატში ეს არის 1 რკალი მწვავე კუთხისთვის, ორი ბლაგვისთვის, სამი სწორი).

კარგი, ჩვენ გავარკვიეთ განმარტება. ახლა თქვენ უნდა გესმოდეთ, რა თვისებები აქვს ბისექტორს.

კუთხის ბისექტრის ძირითადი თვისება

სინამდვილეში, ბისექტორს ბევრი თვისება აქვს. და ჩვენ აუცილებლად განვიხილავთ მათ შემდეგ გაკვეთილზე. მაგრამ არის ერთი ხრიკი, რომელიც ახლავე უნდა გესმოდეთ:

თეორემა. კუთხის ბისექტორი არის მოცემული კუთხის გვერდებიდან თანაბარი დაშორებული წერტილების ადგილი.

მათემატიკურიდან რუსულად თარგმნილი, ეს ნიშნავს ერთდროულად ორ ფაქტს:

1. კუთხის ბისექტორზე დევს ყველა წერტილი იმავე მანძილზეა ამ კუთხის გვერდებიდან.
2. და პირიქით: თუ წერტილი დევს მოცემული კუთხის გვერდებიდან ერთსა და იმავე მანძილზე, მაშინ გარანტირებულია დაწოლა ამ კუთხის ბისექტორზე.

სანამ ამ დებულებებს დავამტკიცებთ, განვმარტოთ ერთი პუნქტი: რას ჰქვია მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდამდე? აქ დაგვეხმარება წერტილიდან ხაზამდე მანძილის კარგი ძველი განმარტება:

განმარტება. მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის ამ წერტილიდან ამ წრფემდე შედგენილი პერპენდიკულარულის სიგრძე.

მაგალითად, განიხილეთ ხაზი $l$ და წერტილი $A$, რომელიც არ დევს ამ ხაზზე. დახაზეთ $AH$ პერპენდიკულარული, სადაც $H\in l$. მაშინ ამ პერპენდიკულარის სიგრძე იქნება მანძილი $A$ წერტილიდან $l$ წრფემდე.

წერტილიდან ხაზამდე მანძილის გრაფიკული წარმოდგენა

ვინაიდან კუთხე არის მხოლოდ ორი სხივი და თითოეული სხივი არის ხაზის ნაჭერი, ადვილია დადგინდეს მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. ეს მხოლოდ ორი პერპენდიკულარულია:

განსაზღვრეთ მანძილი წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე

Სულ ეს არის! ახლა ჩვენ ვიცით რა არის მანძილი და რა არის ბისექტორი. აქედან გამომდინარე, ჩვენ შეგვიძლია დავამტკიცოთ მთავარი ქონება.

როგორც დაგპირდით, ჩვენ დავყავით მტკიცებულება ორ ნაწილად:

1. მანძილი ბისექტრის წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე ერთნაირია

განვიხილოთ თვითნებური კუთხე $O$ წვერით და $OM$ ბისექტრით:

მოდით დავამტკიცოთ, რომ იგივე წერტილი $M$ არის იმავე მანძილზე კუთხის გვერდებიდან.

მტკიცებულება. მოდით დავხატოთ პერპენდიკულარები $M$ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე. მოდით ვუწოდოთ მათ $M((H)_(1))$ და $M((H)_(2))$:

დახაზეთ პერპენდიკულარები კუთხის გვერდებზე

მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$. მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა $OM$ და თანაბარი კუთხეები:

1. $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$ ვარაუდით (რადგან $OM$ არის ბისექტორი);
2. $\კუთხე M((H)_(1))O=\კუთხე M((H)_(2))O=90()^\circ $ კონსტრუქციით;
3. $\კუთხე OM((H)_(1))=\კუთხე OM((H)_(2))=90()^\circ -\კუთხე MO((H)_(1))$ რადგან ჯამი მართკუთხა სამკუთხედის მახვილი კუთხეები ყოველთვის უდრის 90 გრადუსს.

მაშასადამე, სამკუთხედები ტოლია გვერდით და ორი მიმდებარე კუთხით (იხ. სამკუთხედების ტოლობის ნიშნები). ამიტომ, კერძოდ, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, ე.ი. მანძილი $O$ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე მართლაც ტოლია. Q.E.D. :)

2. თუ მანძილი ტოლია, მაშინ წერტილი დებს ბისექტორზე

ახლა სიტუაცია საპირისპიროა. მიეცით კუთხე $O$ და $M$ წერტილი, რომელიც თანაბარი მანძილით არის დაშორებული ამ კუთხის გვერდებიდან:

დავამტკიცოთ, რომ $OM$ სხივი ბისექტრია, ე.ი. $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$.

მტკიცებულება. დასაწყისისთვის, მოდით დავხატოთ ეს სხივი $OM$, წინააღმდეგ შემთხვევაში დასამტკიცებელი არაფერი იქნება:

გაატარა სხივი $OM$ კუთხეში

ისევ მივიღეთ ორი მართკუთხა სამკუთხედი: $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$. ცხადია, რომ ისინი თანაბარია, რადგან:

1. ჰიპოტენუზა $OM$ არის გავრცელებული;
2. ფეხები $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ პირობით (რადგან $M$ წერტილი თანაბარი მანძილითაა დაშორებული კუთხის გვერდებიდან);
3. დარჩენილი ფეხებიც თანაბარია, რადგან პითაგორას თეორემით $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

ამიტომ სამკუთხედები $\vartriangle OM((H)_(1))$ და $\vartriangle OM((H)_(2))$ სამ მხარეს. კერძოდ, მათი კუთხეები ტოლია: $\კუთხე MO((H)_(1))=\კუთხე MO((H)_(2))$. და ეს მხოლოდ იმას ნიშნავს, რომ $OM$ არის ბისექტორი.

მტკიცებულების დასასრულს, ჩვენ ვნიშნავთ ჩამოყალიბებულ თანაბარ კუთხეებს წითელი რკალებით:

ბისექტრი გაყოფს $\კუთხეს ((H)_(1))O((H)_(2))$ ორ ტოლად

როგორც ხედავთ, არაფერია რთული. ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ კუთხის ბისექტრი არის ამ კუთხის გვერდებისგან თანაბარი მანძილის მქონე წერტილების ადგილი. :)

ახლა, როცა მეტ-ნაკლებად გადავწყვიტეთ ტერმინოლოგია, დროა გადავიდეთ ახალ დონეზე. შემდეგ გაკვეთილზე გავაანალიზებთ ბისექტრის უფრო რთულ თვისებებს და ვისწავლით როგორ გამოვიყენოთ ისინი რეალური ამოცანების გადასაჭრელად.

სამკუთხედის ბისექტორი - სამკუთხედის კუთხის ბისექტრის სეგმენტი, რომელიც ჩასმულია სამკუთხედის წვეროსა და მის მოპირდაპირე მხარეს შორის.

ბისექტორის თვისებები

1. სამკუთხედის ბისექტრი ორად ყოფს კუთხეს.

2. სამკუთხედის კუთხის ბისექტორი ყოფს მოპირდაპირე მხარეს ორი მიმდებარე გვერდის თანაფარდობის ტოლი თანაფარდობით ()

3. სამკუთხედის კუთხის ბისექტრული წერტილები თანაბრად არის დაშორებული ამ კუთხის გვერდებისგან.

4. სამკუთხედის შიდა კუთხეების ბისექტრები იკვეთება ერთ წერტილში - ამ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის ცენტრი.

ზოგიერთი ფორმულა, რომელიც დაკავშირებულია სამკუთხედის ბისექტორთან

(ფორმულის დადასტურება - )
, სად
- გვერდით დახატული ბისექტრის სიგრძე,
- სამკუთხედის გვერდები წვეროებთან, შესაბამისად,
- სეგმენტების სიგრძე, რომლებშიც ბისექტორი ყოფს მხარეს,

გეპატიჟებით საყურებლად ვიდეო გაკვეთილი, რომელიც აჩვენებს ყველა ზემოთ ჩამოთვლილი ბისექტორის თვისების გამოყენებას.

დავალებები გაშუქებულია ვიდეოში:
1. სამკუთხედში ABC გვერდებით AB=2 სმ, BC=3 სმ, AC=3 სმ, გამოყვანილია ბისექტრი BM. იპოვეთ AM და MC სეგმენტების სიგრძეები
2. A წვეროზე შიდა კუთხის ბისექტორი და ABC სამკუთხედის C წვეროზე გარე კუთხის ბისექტორი იკვეთება M წერტილზე. იპოვეთ კუთხე BMC, თუ კუთხე B არის 40, კუთხე C არის 80 გრადუსი.
3. იპოვეთ სამკუთხედში ჩაწერილი წრის რადიუსი კვადრატული უჯრების გვერდების გათვალისწინებით 1-ის ტოლი

ასევე შეიძლება დაგაინტერესოთ მოკლე ვიდეო გაკვეთილი, სადაც გამოყენებულია ბისექტორის ერთ-ერთი თვისება

ამ გაკვეთილზე გავიხსენებთ კუთხის ბისექტრის ცნებას, ჩამოვაყალიბებთ და დავამტკიცებთ პირდაპირ და შებრუნებულ თეორემებს ბისექტრის თვისებებზე და განვაზოგადებთ მათ. ჩვენ მოვაგვარებთ პრობლემას, რომელშიც ბისექტრის შესახებ ფაქტების გარდა, გამოვიყენებთ სხვა გეომეტრიულ ფაქტებს.

თემა: წრე

გაკვეთილი: კუთხის ბისექტრის თვისებები. Დავალებები

სამკუთხედი მთელი გეომეტრიის ცენტრალური ფიგურაა და ხუმრობით ამბობენ, რომ ის ამოუწურავია, ატომის მსგავსად. მისი თვისებები მრავალრიცხოვანი, საინტერესო, გასართობია. ჩვენ განვიხილავთ ზოგიერთ ამ თვისებას.

ნებისმიერი სამკუთხედი ძირითადად სამი კუთხე და სამი სეგმენტია (იხ. სურ. 1).

ბრინჯი. ერთი

განვიხილოთ კუთხე A წვერით და გვერდები B და C - კუთხე.

ნებისმიერ კუთხეში, მათ შორის სამკუთხედის კუთხით, შეგიძლიათ დახაზოთ ბისექტორი - ანუ სწორი ხაზი, რომელიც ყოფს კუთხეს შუაზე (იხ. ნახ. 2).

ბრინჯი. 2

განვიხილოთ კუთხის ბისექტრისზე მდებარე წერტილის თვისებები (იხ. სურ. 3).

განვიხილოთ წერტილი M, რომელიც მდებარეობს კუთხის ბისექტორზე.

შეგახსენებთ, რომ მანძილი წერტილიდან წრფემდე არის ამ წერტილიდან წრფემდე ჩამოშვებული პერპენდიკულარულის სიგრძე.

ბრინჯი. 3

ცხადია, თუ ავიღებთ წერტილს, რომელიც არ დევს ბისექტორზე, მაშინ მანძილი ამ წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე განსხვავებული იქნება. მანძილი M წერტილიდან კუთხის გვერდებამდე იგივეა.

თეორემა

გაშლილი კუთხის ბისექტრის თითოეული წერტილი თანაბარია კუთხის გვერდებიდან, ანუ მანძილი M წერტილიდან AC-მდე და კუთხის გვერდების BC-მდე ტოლია.

მოცემულია კუთხე, მისი ბისექტორი არის AL, წერტილი M დევს ბისექტორზე (იხ. სურ. 4).

დაამტკიცე რომ .

ბრინჯი. 4

მტკიცებულება:

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედები და ისინი ტოლები არიან, რადგან მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა AM, ხოლო კუთხეები და ტოლია, რადგან AL არის კუთხის ბისექტორი. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედები ტოლია ჰიპოტენუზაში და მახვილ კუთხეში, აქედან გამომდინარეობს, რომ რის დამტკიცება იყო საჭირო. ამრიგად, კუთხის ბისექტრის წერტილი თანაბრად არის დაშორებული ამ კუთხის გვერდებიდან.

საპირისპირო თეორემა მართალია.

თეორემა

თუ წერტილი თანაბრად არის დაშორებული არაგაშლილი კუთხის გვერდებიდან, მაშინ ის დევს მის ბისექტორზე.

მოცემულია განუვითარებელი კუთხე, M წერტილი, რომ მანძილი მისგან კუთხის გვერდებამდე ერთნაირი იყოს.

დაამტკიცეთ, რომ წერტილი M დგას კუთხის ბისექტორზე (იხ. სურ. 5).

ბრინჯი. 5

მტკიცებულება:

მანძილი წერტილიდან ხაზამდე არის პერპენდიკულარულის სიგრძე. M წერტილიდან დახაზეთ MK პერპენდიკულარები AB მხარეს და MP AC მხარეს.

განვიხილოთ სამკუთხედები და. ეს არის მართკუთხა სამკუთხედები და ისინი ტოლია, რადგან მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა AM, MK და MR ფეხები ტოლია მდგომარეობის მიხედვით. ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედები ტოლია ჰიპოტენუზასა და ფეხიში. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს შესაბამისი ელემენტების ტოლობა, თანაბარი კუთხეები დევს ტოლ ფეხებთან, ამდენად, მაშასადამე, წერტილი M დევს მოცემული კუთხის ბისექტორზე.

ზოგჯერ პირდაპირი და ინვერსიული თეორემები გაერთიანებულია შემდეგნაირად:

თეორემა

წერტილი თანაბრად არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის დევს ამ კუთხის ბისექტორზე.

კუთხის გვერდებიდან ბისექტრის წერტილების თანაბარი მანძილი ფართოდ გამოიყენება სხვადასხვა ამოცანებში.

პრობლემა #674ატანასიანის სახელმძღვანელოდან გეომეტრია 7-9 კლასები:

გაშლილი კუთხის ბისექტრის M წერტილიდან პერპენდიკულარები MA და MB გამოყვანილია ამ კუთხის გვერდებზე (იხ. სურ. 6). დაამტკიცე რომ .

მოცემულია: კუთხე, ბისექტორი OM, პერპენდიკულარები MA და MB კუთხის გვერდებზე.

ბრინჯი. 6

დაამტკიცე რომ:

მტკიცებულება:

პირდაპირი თეორემის მიხედვით, წერტილი M თანაბარი მანძილით არის დაშორებული კუთხის გვერდებიდან, რადგან პირობით ის დევს მის ბისექტორზე. .

განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედები და (იხ. სურ. 7). მათ აქვთ საერთო ჰიპოტენუზა OM, ფეხები MA და MB თანაბარია, როგორც ადრე დავამტკიცეთ. ასე რომ, ორი მართკუთხა

ბრინჯი. 7

სამკუთხედები ტოლია ფეხისა და ჰიპოტენუზაში. სამკუთხედების ტოლობიდან გამომდინარეობს მათი შესაბამისი ელემენტების ტოლობა, აქედან გამომდინარე კუთხეების ტოლობა და სხვა ფეხების თანასწორობა.

OA და OB ფეხების ტოლობიდან გამომდინარეობს, რომ სამკუთხედი არის ტოლფერდა, ხოლო AB არის მისი ფუძე. ხაზი OM არის სამკუთხედის ბისექტორი. ტოლფერდა სამკუთხედის თვისების მიხედვით, ეს ბისექტორიც არის სიმაღლე, რაც ნიშნავს, რომ ხაზები OM და AB იკვეთება სწორი კუთხით, რაც დასამტკიცებელი იყო.

ასე რომ, ჩვენ განვიხილეთ პირდაპირი და შებრუნებული თეორემები კუთხის ბისექტრზე მდებარე წერტილის თვისებებზე, განვაზოგადეთ და პრობლემა გადავჭრით სხვადასხვა გეომეტრიული ფაქტების, მათ შორის ამ თეორემის გამოყენებით.

ბიბლიოგრაფია

1. ალექსანდროვი ა.დ. და ა.შ გეომეტრია მე-8 კლასი. - მ.: განათლება, 2006 წ.
2. ბუტუზოვი V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. გეომეტრია მე-8 კლასი. - მ.: განათლება, 2011 წ.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. გეომეტრია მე-8 კლასი. - M.: VENTANA-GRAF, 2009 წ.

1. Bymath.net().
2. Oldskola1.narod.ru ().

Საშინაო დავალება

1. ატანასიანი ლ.ს., ბუტუზოვი ვ.ფ., კადომცევი ს.ბ. და სხვ.გეომეტრია, 7-9, No676-678, მუხ. 180.