გაკვეთილის თემა: „დიჰედრული კუთხე“.

გაკვეთილის მიზანი: დიედრული კუთხის და მისი წრფივი კუთხის ცნების გაცნობა.

Დავალებები:

საგანმანათლებლო: ამ ცნებების გამოყენების ამოცანების განხილვა, სიბრტყეებს შორის კუთხის პოვნის კონსტრუქციული უნარის ჩამოყალიბება;

განვითარება: მოსწავლეთა შემოქმედებითი აზროვნების განვითარება, მოსწავლეთა პიროვნული თვითგანვითარება, მოსწავლეთა მეტყველების განვითარება;

საგანმანათლებლო: გონებრივი მუშაობის კულტურის, კომუნიკაციური კულტურის, რეფლექტორული კულტურის განათლება.

გაკვეთილის ტიპი: ახალი ცოდნის შესწავლის გაკვეთილი

სწავლების მეთოდები: განმარტებითი და საილუსტრაციო

აღჭურვილობა: კომპიუტერი, ინტერაქტიული დაფა.

ლიტერატურა:

გეომეტრია. 10-11 კლასები: სახელმძღვანელო. 10-11 უჯრედისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები: ძირითადი და პროფილი. დონეები / [ლ. ს.ატანასიანი, ვ.ფ.ბუტუზოვი, ს.ბ.კადომცევი და სხვები] - მე-18 გამოცემა. - მ. : განათლება, 2009. - 255გვ.

Გაკვეთილის გეგმა:

საორგანიზაციო მომენტი (2 წთ)

ცოდნის განახლება (5 წთ)

ახალი მასალის შესწავლა (12 წთ)

შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია (21 წთ)

საშინაო დავალება (2 წთ)

შეჯამება (3 წთ)

გაკვეთილების დროს:

1. საორგანიზაციო მომენტი.

მოიცავს კლასის მასწავლებლის მისალმებას, გაკვეთილისთვის ოთახის მომზადებას, დაუსწრებელთა შემოწმებას.

2. საბაზისო ცოდნის აქტუალიზაცია.

მასწავლებელი: ბოლო გაკვეთილზე თქვენ დაწერეთ დამოუკიდებელი ნაშრომი. ზოგადად, ნამუშევარი კარგად იყო დაწერილი. ახლა ცოტა გავიმეოროთ. რას ჰქვია კუთხე სიბრტყეზე?

Სტუდენტი: სიბრტყეში კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ერთი წერტილიდან გამომავალი ორი სხივით.

მასწავლებელი: რა ჰქვია სივრცეში ხაზებს შორის კუთხეს?

Სტუდენტი: სივრცეში ორ გადამკვეთ წრფეს შორის კუთხე არის ყველაზე პატარა კუთხე, რომელიც წარმოიქმნება ამ წრფეების სხივებით წვეროსთან მათი გადაკვეთის წერტილში.

Სტუდენტი: გადაკვეთის ხაზებს შორის კუთხე არის კუთხე გადამკვეთ ხაზებს შორის, შესაბამისად, მონაცემების პარალელურად.

მასწავლებელი: რა ჰქვია კუთხეს წრფესა და სიბრტყეს შორის?

Სტუდენტი: კუთხე ხაზსა და სიბრტყეს შორისნებისმიერ კუთხეს სწორ ხაზსა და მის პროექციას შორის ამ სიბრტყეზე ეწოდება.

3. ახალი მასალის შესწავლა.

მასწავლებელი: სტერეომეტრიაში ასეთ კუთხეებთან ერთად განიხილება სხვა ტიპის კუთხეები - დიედრული კუთხეები. ალბათ უკვე მიხვდით რა არის დღევანდელი გაკვეთილის თემა, ამიტომ გახსენით რვეულები, ჩაწერეთ დღევანდელი თარიღი და გაკვეთილის თემა.

დაფაზე და რვეულებში ჩაწერა:

10.12.14.

დიჰედრული კუთხე.

მასწავლებელი : დიედრული კუთხის ცნების გასაცნობად უნდა გავიხსენოთ, რომ მოცემულ სიბრტყეში დახატული ნებისმიერი სწორი ხაზი ამ სიბრტყეს ორ ნახევრად სიბრტყედ ყოფს.(ნახ. 1a)

მასწავლებელი : წარმოიდგინეთ, რომ სიბრტყე სწორი ხაზის გასწვრივ დავხრილეთ ისე, რომ ორი ნახევრად სიბრტყე საზღვრებთან ერთად აღმოჩნდა, რომ აღარ დევს იმავე სიბრტყეში (ნახ. 1, ბ). შედეგად მიღებული ფიგურა არის დიჰედრული კუთხე. დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო საზღვრით, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს. ნახევრად სიბრტყეებს, რომლებიც ქმნიან დიედრალურ კუთხეს, მის სახეებს უწოდებენ. დიედრალურ კუთხეს ორი სახე აქვს, აქედან მოდის სახელწოდება - დიჰედრული კუთხე. სწორ ხაზს - ნახევრად სიბრტყეების საერთო საზღვარს - ეწოდება დიედრული კუთხის კიდე. დაწერეთ განმარტება ბლოკნოტში.

დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო საზღვრით, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

მასწავლებელი : ყოველდღიურ ცხოვრებაში ხშირად ვხვდებით ობიექტებს, რომლებსაც აქვთ დიედრული კუთხის ფორმა. მიეცით მაგალითები.

Სტუდენტი : ნახევრად ღია საქაღალდე.

Სტუდენტი : ოთახის კედელი იატაკთან ერთად.

Სტუდენტი : შენობების ორპირიანი სახურავები.

მასწავლებელი : სწორად. და ასეთი მაგალითები ბევრია.

მასწავლებელი : მოგეხსენებათ, სიბრტყეზე კუთხეები იზომება გრადუსით. თქვენ ალბათ გაქვთ შეკითხვა, მაგრამ როგორ იზომება დიედრული კუთხეები? ეს კეთდება შემდეგი გზით.ჩვენ აღვნიშნავთ რაღაც წერტილს დიედრული კუთხის კიდეზე და ამ წერტილიდან თითოეულ სახეზე ვხატავთ კიდეზე პერპენდიკულარულ სხივს. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე ეწოდება. გააკეთე ნახატი რვეულებში.

წერა დაფაზე და რვეულებში.

ო ∈ ა, აო ⊥ a, VO ⊥ ა, SABD- დიედრული კუთხე,∠ AOBარის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

მასწავლებელი : დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ტოლია. გააკეთე საკუთარი თავი მსგავსი რამ.

მასწავლებელი : დავამტკიცოთ. განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB დაPQR. სხივები OA დაQPწევენ ერთსა და იმავე სახეზე და არიან პერპენდიკულარულიOQ, რაც ნიშნავს რომ ისინი გასწორებულია. ანალოგიურად, სხივები OB დაQRთანარეჟისორი. ნიშნავს,∠ AOB= ∠ PQR(კუთხების მსგავსად თანამიმართული გვერდებით).

მასწავლებელი : კარგი, ახლა ჩვენს კითხვაზე პასუხი არის როგორ იზომება დიედრული კუთხე.დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის მისი წრფივი კუთხის ხარისხი. გადახაზეთ მახვილი, მართი და ბლაგვი დიედრული კუთხის ნახატები სახელმძღვანელოდან 48 გვერდზე.

4. შესწავლილი მასალის კონსოლიდაცია.

მასწავლებელი : დავალებების ნახატების გაკეთება.

№ 1 . მოცემული: ΔABC, AC = BC, AB დევს სიბრტყეშიα, CD ⊥ α, C∉ ა. დიედრული კუთხის ხაზოვანი კუთხის აგებაCABD.

Სტუდენტი : გადაწყვეტილება:ᲡᲛ ⊥ AB, DC ⊥ AB.∠ cmd - სასურველი.

№ 2. მოცემული: ΔABC, ∠ C= 90°, BC დევს სიბრტყეα, AO⊥ α, ა∈ α.

დიედრული კუთხის ხაზოვანი კუთხის აგებაAVSO.

Სტუდენტი : გადაწყვეტილება:AB ⊥ ძვ.წ, სს⊥ მზე ნიშნავს OS⊥ მზე.∠ ACO - სასურველი.

№ 3 . მოცემული: ΔABC, ∠ C \u003d 90 °, AB დევს თვითმფრინავშიα, CD⊥ α, C∉ ა. აშენებახაზოვანი დიჰედრული კუთხეDABC.

Სტუდენტი : გადაწყვეტილება: CK ⊥ AB, DC ⊥ AB,DK ⊥ AB ნიშნავს∠ DKC - სასურველი.

№ 4 . მოცემული:DABC- ტეტრაედონი,ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ⊥ ABC.ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხეᲐ Ბ Გ Დ.

Სტუდენტი : გადაწყვეტილება:DM ⊥ მზე,ᲙᲔᲗᲔᲑᲐ ⊥ BC ნიშნავს OM⊥ მზე;∠ OMD - სასურველი.

5. შეჯამება.

მასწავლებელი: რა ახალი ისწავლეთ დღევანდელ გაკვეთილზე?

სტუდენტები : რას ჰქვია ორწახნაგოვანი კუთხე, წრფივი კუთხე, როგორ იზომება დიედრული კუთხე.

მასწავლებელი : რა გაიმეორე?

სტუდენტები : რას ჰქვია კუთხე სიბრტყეზე; კუთხე ხაზებს შორის.

6. საშინაო დავალება.

დაფაზე და დღიურებში ჩაწერა: პუნქტი 22, No167, No170.

დიედრული კუთხის კონცეფცია

დიედრული კუთხის კონცეფციის გასაცნობად, ჯერ გავიხსენოთ სტერეომეტრიის ერთ-ერთი აქსიომა.

ნებისმიერი თვითმფრინავი შეიძლება დაიყოს ამ სიბრტყეში არსებული $a$ ხაზის ორ ნახევარ სიბრტყედ. ამ შემთხვევაში, იმავე ნახევარსიბრტყეში მდებარე წერტილები არის $a$ სწორი ხაზის ერთსა და იმავე მხარეს, ხოლო სხვადასხვა ნახევარსიბრტყეში განლაგებული წერტილები არის $a$ სწორი ხაზის მოპირდაპირე მხარეს (ნახ. 1). ).

სურათი 1.

ამ აქსიომას ეფუძნება დიედრული კუთხის აგების პრინციპი.

განმარტება 1

ფიგურა ე.წ დიედრული კუთხეთუ იგი შედგება წრფისა და ამ წრფის ორი ნახევარსიბრტყისგან, რომლებიც არ მიეკუთვნება იმავე სიბრტყეს.

ამ შემთხვევაში დიედრული კუთხის ნახევრად სიბრტყეებს უწოდებენ სახეებიდა ნახევრად სიბრტყეების გამყოფი სწორი ხაზი - დიჰედრული კიდე(ნახ. 1).

სურათი 2. დიჰედრული კუთხე

დიედრული კუთხის ხარისხის საზომი

განმარტება 2

ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს $A$ კიდეზე. კუთხე ორ წრფეს შორის, რომლებიც განლაგებულია სხვადასხვა ნახევარსიბრტყეში, კიდეზე პერპენდიკულარული და $A$ წერტილში კვეთს, ეწოდება ხაზოვანი კუთხის დიედრული კუთხე(ნახ. 3).

სურათი 3

ცხადია, ყველა დიედრალურ კუთხეს აქვს წრფივი კუთხეების უსასრულო რაოდენობა.

თეორემა 1

ერთი დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

მტკიცებულება.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე $AOB$ და $A_1(OB)_1$ (ნახ. 4).

სურათი 4

ვინაიდან $OA$ და $(OA)_1$ სხივები დევს ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში $\alpha $ და პერპენდიკულარულია ერთი სწორი ხაზის მიმართ, ისინი თანამიმართულნი არიან. ვინაიდან $OB$ და $(OB)_1$ სხივები დევს ერთსა და იმავე ნახევრად სიბრტყეში $\beta $ და პერპენდიკულარულია ერთი სწორი ხაზის მიმართ, ისინი თანამიმართულები არიან. აქედან გამომდინარე

\[\კუთხე AOB=\კუთხე A_1(OB)_1\]

წრფივი კუთხეების არჩევის თვითნებობის გამო. ერთი დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია.

თეორემა დადასტურდა.

განმარტება 3

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის ხარისხი.

დავალების მაგალითები

მაგალითი 1

მოდით მივცეთ ორი არაპერპენდიკულარული სიბრტყე $\alpha $ და $\beta $, რომლებიც იკვეთება $m$ წრფის გასწვრივ. წერტილი $A$ ეკუთვნის $\beta $ სიბრტყეს. $AB$ არის $m$ წრფის პერპენდიკულარული. $AC$ არის $\alpha $ სიბრტყის პერპენდიკულარული (პუნქტი $C$ ეკუთვნის $\alpha $). დაამტკიცეთ, რომ კუთხე $ABC$ არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

მტკიცებულება.

დავხატოთ სურათი პრობლემის მდგომარეობის მიხედვით (სურ. 5).

სურათი 5

ამის დასამტკიცებლად გავიხსენებთ შემდეგ თეორემას

თეორემა 2:სწორი ხაზი, რომელიც გადის დახრილის ფუძეზე, მის პერპენდიკულარულზე, პერპენდიკულარულია მის პროექციაზე.

ვინაიდან $AC$ არის $\alpha $ სიბრტყის პერპენდიკულარული, მაშინ $C$ წერტილი არის $A$ წერტილის პროექცია $\alpha $ სიბრტყეზე. აქედან გამომდინარე, $BC$ არის ირიბი $AB$-ის პროექცია. თეორემა 2-ის მიხედვით, $BC$ არის პერპენდიკულარული დიედრული კუთხის კიდეზე.

შემდეგ, კუთხე $ABC$ აკმაყოფილებს ყველა მოთხოვნას დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის განსაზღვრისთვის.

მაგალითი 2

დიჰედრული კუთხე არის $30^\circ$. ერთ-ერთ სახეზე დევს წერტილი $A$, რომელიც არის $4$ სმ მანძილი მეორე სახიდან.იპოვეთ მანძილი $A$ წერტილიდან დიედრული კუთხის კიდემდე.

გადაწყვეტილება.

მოდით შევხედოთ სურათს 5.

ვარაუდით გვაქვს $AC=4\cm$.

დიედრული კუთხის ხარისხის საზომის განმარტებით, ჩვენ გვაქვს, რომ კუთხე $ABC$ უდრის $30^\circ$-ს.

სამკუთხედი $ABC$ არის მართკუთხა სამკუთხედი. მახვილი კუთხის სინუსის განმარტებით

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

პრეზენტაციების წინასწარი გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში (ანგარიში) და შედით: https://accounts.google.com

სლაიდების წარწერები:

DOUBLE ANGLE მათემატიკის მასწავლებელი GOU №10 საშუალო სკოლა ერემენკო მ.ა.

გაკვეთილის ძირითადი მიზნები: დიედრული კუთხის და მისი წრფივი კუთხის ცნების გაცნობა ამ ცნებების გამოსაყენებლად დავალებების გათვალისწინება.

განმარტება: დიედრული კუთხე არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება ორი ნახევრად სიბრტყით საერთო სასაზღვრო ხაზით.

დიედრული კუთხის მნიშვნელობა არის მისი წრფივი კუთხის მნიშვნელობა. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB არის ACD B დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე

დავამტკიცოთ, რომ დიედრული კუთხის ყველა წრფივი კუთხე ერთმანეთის ტოლია. განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A 1 OB 1 . სხივები OA და OA 1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია OO 1-ზე, ამიტომ ისინი ერთდროული მიმართულია. სხივები OB და OB 1 ასევე ერთობლივად არის მიმართული. ამიტომ, ∠ AOB = ∠ A 1 OB 1 (როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან).

დიედრული კუთხეების მაგალითები:

განმარტება: კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის არის ამ სიბრტყეების მიერ წარმოქმნილი დიედრული კუთხეებიდან ყველაზე პატარა.

ამოცანა 1: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და CDD 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 90o.

დავალება 2: კუბში A ... D 1 იპოვეთ კუთხე ABC და CDA 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 45o.

ამოცანა 3: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ABC და BDD 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 90o.

ამოცანა 4: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე ACC 1 და BDD 1 სიბრტყეებს შორის. პასუხი: 90o.

დავალება 5: A ... D 1 კუბში იპოვეთ კუთხე BC 1 D და BA 1 D სიბრტყეებს შორის. ამოხსნა: O იყოს B D-ის შუა წერტილი. A 1 OC 1 არის A 1 B D C 1 დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე.

ამოცანა 6: ტეტრაედრონში DABC ყველა კიდე ტოლია, წერტილი M არის AC კიდის შუა წერტილი. დაამტკიცეთ, რომ ∠ DMB არის დიედრული კუთხის BACD წრფივი კუთხე.

ამოხსნა: ABC და ADC სამკუთხედები რეგულარულია, ამიტომ BM ⊥ AC და DM ⊥ AC და, შესაბამისად, ∠ DMB არის დიედრული კუთხის DACB წრფივი კუთხე.

დავალება 7: ABC სამკუთხედის B წვეროდან, რომლის გვერდი AC დევს α სიბრტყეში, ამ სიბრტყეზე პერპენდიკულარული BB 1 გამოყვანილია. იპოვეთ მანძილი B წერტილიდან AC წრფემდე და α სიბრტყემდე, თუ AB=2, ∠BAC=150 0 და დიედრული კუთხე BACB 1 არის 45 0 .

ამოხსნა: ABC არის ბლაგვი სამკუთხედი ბლაგვი A კუთხით, ამიტომ BK სიმაღლის ფუძე დგას AC გვერდის გაფართოებაზე. VC არის მანძილი B წერტილიდან AC-მდე. BB 1 - მანძილი B წერტილიდან α სიბრტყემდე

2) მას შემდეგ, რაც AS ⊥VK, მაშინ AS⊥KV 1 (თეორემით საპირისპიროა სამი პერპენდიკულარული თეორემა). ამიტომ, ∠VKV 1 არის დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე BACB 1 და ∠VKV 1 =45 0 . 3) ∆VAK: ∠A=30 0 , VK=VA sin 30 0 , VK =1. ∆VKV 1: VV 1 \u003d VK sin 45 0, VV 1 \u003d

გეომეტრიაში ფორმების შესასწავლად გამოიყენება ორი მნიშვნელოვანი მახასიათებელი: გვერდების სიგრძე და მათ შორის კუთხეები. სივრცითი ფიგურების შემთხვევაში, ამ მახასიათებლებს ემატება დიედრული კუთხეები. მოდით განვიხილოთ რა არის ეს და ასევე აღვწეროთ ამ კუთხეების განსაზღვრის მეთოდი პირამიდის მაგალითის გამოყენებით.

დიედრული კუთხის კონცეფცია

ყველამ იცის, რომ ორი გადამკვეთი ხაზი ქმნის კუთხეს წვეროსთან მათი გადაკვეთის წერტილში. ეს კუთხე შეიძლება გაიზომოს პროტრატორით, ან შეგიძლიათ გამოიყენოთ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები მის გამოსათვლელად. ორი მართი კუთხით წარმოქმნილ კუთხეს წრფივი კუთხე ეწოდება.

ახლა წარმოიდგინეთ, რომ სამგანზომილებიან სივრცეში არის ორი სიბრტყე, რომლებიც იკვეთება სწორ ხაზზე. ისინი ნაჩვენებია სურათზე.

დიედრული კუთხე არის კუთხე ორ გადამკვეთ სიბრტყეს შორის. ისევე, როგორც ხაზოვანი, ის იზომება გრადუსით ან რადიანებით. თუ სწორი ხაზის ნებისმიერ წერტილში, რომლის გასწვრივაც თვითმფრინავები იკვეთება, აღადგინეთ ამ სიბრტყეში მყოფი ორი პერპენდიკულარი, მაშინ მათ შორის კუთხე იქნება საჭირო დიედრული. ამ კუთხის დასადგენად ყველაზე მარტივი გზა სიბრტყეების ზოგადი განტოლებების გამოყენებაა.

სიბრტყეების განტოლება და მათ შორის კუთხის ფორმულა

სივრცის ნებისმიერი სიბრტყის განტოლება ზოგადი თვალსაზრისით იწერება შემდეგნაირად:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

აქ x, y, z არის სიბრტყის კუთვნილი წერტილების კოორდინატები, A, B, C, D კოეფიციენტები ზოგიერთი ცნობილი რიცხვია. ამ თანასწორობის მოხერხებულობა დიედრული კუთხეების გამოსათვლელად არის ის, რომ იგი ცალსახად შეიცავს სიბრტყის მიმართულების ვექტორის კოორდინატებს. ჩვენ აღვნიშნავთ მას n¯-ით. შემდეგ:

ვექტორი n¯ სიბრტყის პერპენდიკულარულია. კუთხე ორ სიბრტყეს შორის უდრის კუთხეს მათ n 1 ¯ და n 2 ¯ შორის. მათემატიკიდან ცნობილია, რომ ორი ვექტორის მიერ წარმოქმნილი კუთხე ცალსახად განისაზღვრება მათი სკალარული ნამრავლიდან. ეს საშუალებას გაძლევთ დაწეროთ ფორმულა ორ სიბრტყეს შორის დიედრული კუთხის გამოსათვლელად:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

თუ შევცვლით ვექტორების კოორდინატებს, მაშინ ფორმულა ცალსახად დაიწერება:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

მრიცხველში მოდულის ნიშანი გამოიყენება მხოლოდ მკვეთრი კუთხის დასადგენად, ვინაიდან დიედრული კუთხე ყოველთვის ნაკლებია ან ტოლია 90 o-ზე.

პირამიდა და მისი კუთხეები

პირამიდა არის ფიგურა, რომელიც იქმნება ერთი n-გონებით და n სამკუთხედით. აქ n არის მთელი რიცხვი, რომელიც უდრის მრავალკუთხედის გვერდების რაოდენობას, რომელიც არის პირამიდის საფუძველი. ეს სივრცითი ფიგურა არის პოლიედონი ან პოლიედონი, რადგან იგი შედგება ბრტყელი სახეებისგან (გვერდებისგან).

პირამიდის პოლიედრები შეიძლება იყოს ორი ტიპის:

• ფუძესა და გვერდს შორის (სამკუთხედი);
• ორ მხარეს შორის.

თუ პირამიდა სწორად ითვლება, მაშინ მისთვის დასახელებული კუთხეების დადგენა რთული არ არის. ამისათვის სამი ცნობილი წერტილის კოორდინატების მიხედვით უნდა შედგეს სიბრტყეების განტოლება, შემდეგ კი φ კუთხისთვის ზემოთ აბზაცში მოცემული ფორმულა გამოიყენოს.

ქვემოთ ჩვენ ვაძლევთ მაგალითს, რომელშიც ვაჩვენებთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ორკუთხედი კუთხეები ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდის ძირში.

ოთხკუთხა და კუთხე მის ფუძესთან

დავუშვათ, რომ გვეძლევა ჩვეულებრივი პირამიდა კვადრატული ფუძით. კვადრატის გვერდის სიგრძეა a, ფიგურის სიმაღლე h. იპოვეთ კუთხე პირამიდის ფუძესა და მის მხარეს შორის.

კოორდინატთა სისტემის საწყისს ვათავსებთ კვადრატის ცენტრში. მაშინ ფიგურაში ნაჩვენები A, B, C, D წერტილების კოორდინატები ტოლი იქნება:

A = (a/2; -a/2; 0);

B = (a/2; a/2; 0);

C = (-a/2; a/2; 0);

განვიხილოთ თვითმფრინავები ACB და ADB. ცხადია, მიმართულების ვექტორი n 1 ¯ ACB სიბრტყისთვის ტოლი იქნება:

ADB სიბრტყის n 2 ¯ მიმართულების ვექტორის დასადგენად, ჩვენ ვიმოქმედებთ შემდეგნაირად: ვიპოვოთ ორი თვითნებური ვექტორი, რომელიც ეკუთვნის მას, მაგალითად, AD¯ და AB¯, შემდეგ გამოვთვალოთ მათი ჯვარედინი ნამრავლი. მისი შედეგი მისცემს კოორდინატებს n 2 ¯. Ჩვენ გვაქვს:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);

AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);

n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

ვინაიდან ვექტორის რიცხვზე გამრავლება და გაყოფა არ ცვლის მის მიმართულებას, ჩვენ გარდაქმნით მიღებულ n 2 ¯-ს, ვყოფთ მის კოორდინატებს -a-ზე, მივიღებთ:

ჩვენ განვსაზღვრეთ მიმართულების ვექტორები n 1 ¯ და n 2 ¯ საბაზისო სიბრტყეებისთვის ACB და გვერდითი მხარისთვის ADB. რჩება ფორმულის გამოყენება φ კუთხისთვის:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

მოდით გადავცვალოთ მიღებული გამონათქვამი და გადავწეროთ შემდეგნაირად:

φ \u003d რკალი (a / √ (a 2 + 4 × h 2)).

ჩვენ მივიღეთ ფორმულა ორკუთხა კუთხისთვის ფუძეზე რეგულარული ოთხკუთხა პირამიდისთვის. ფიგურის სიმაღლისა და მისი მხარის სიგრძის ცოდნა, შეგიძლიათ გამოთვალოთ φ კუთხე. მაგალითად, კეოპსის პირამიდისთვის, რომლის ფუძის გვერდი 230,4 მეტრია, ხოლო საწყისი სიმაღლე იყო 146,5 მეტრი, კუთხე φ ტოლი იქნება 51,8 o.

თქვენ ასევე შეგიძლიათ განსაზღვროთ ორკუთხა კუთხე ოთხკუთხა რეგულარული პირამიდისთვის გეომეტრიული მეთოდის გამოყენებით. ამისათვის საკმარისია განვიხილოთ მართკუთხა სამკუთხედი, რომელიც წარმოიქმნება h სიმაღლით, a/2 ფუძის სიგრძის ნახევარით და ტოლფერდა სამკუთხედის აპოთემით.

გაკვეთილის ტექსტის ახსნა:

პლანიმეტრიაში მთავარი ობიექტებია ხაზები, სეგმენტები, სხივები და წერტილები. ერთი წერტილიდან გამომავალი სხივები ქმნის მათ ერთ-ერთ გეომეტრიულ ფორმას - კუთხეს.

ჩვენ ვიცით, რომ წრფივი კუთხე იზომება გრადუსით და რადიანებით.

სტერეომეტრიაში თვითმფრინავი ემატება ობიექტებს. a სწორი ხაზით და ორი ნახევრად სიბრტყით წარმოქმნილ ფიგურას საერთო a საზღვრით, რომლებიც გეომეტრიაში ერთსა და იმავე სიბრტყეს არ ეკუთვნის, დიედრული კუთხე ეწოდება. ნახევარი სიბრტყე არის დიედრული კუთხის სახეები. სწორი ხაზი a არის დიედრული კუთხის კიდე.

დიედრული კუთხე, ისევე როგორც წრფივი კუთხე, შეიძლება იყოს დასახელებული, გაზომილი, აშენებული. ეს არის ის, რის გარკვევას ვაპირებთ ამ გაკვეთილზე.

იპოვეთ დიედრული კუთხე ABCD ტეტრაედრონის მოდელზე.

დიედრალურ კუთხეს AB კიდით ეწოდება CABD, სადაც C და D წერტილები ეკუთვნის კუთხის სხვადასხვა სახეებს, ხოლო კიდე AB ეწოდება შუაში.

ჩვენს ირგვლივ არის უამრავი ობიექტი დიედრული კუთხის სახით ელემენტებით.

ბევრ ქალაქში პარკებში დამონტაჟდა სპეციალური სკამები შერიგებისთვის. სკამი დამზადებულია ორი დახრილი სიბრტყის სახით, რომლებიც გადადიან ცენტრისკენ.

სახლების მშენებლობაში ხშირად გამოიყენება ე.წ. ამ სახლის სახურავი გაკეთებულია 90 გრადუსიანი დიედრული კუთხის სახით.

დიედრული კუთხე ასევე იზომება გრადუსით ან რადიანებით, მაგრამ როგორ გავზომოთ იგი.

საინტერესოა ისიც, რომ სახლების სახურავები რაფებზე დევს. და რაფტერების კრატი ქმნის ორ სახურავის ფერდობს მოცემული კუთხით.

გადავიტანოთ სურათი ნახატზე. ნახატზე ორწახნაგოვანი კუთხის საპოვნელად მის კიდეზე აღინიშნება B წერტილი.ამ წერტილიდან კუთხის კიდეს პერპენდიკულარულად გამოყვანილია ორი სხივი BA და BC. ამ სხივების მიერ წარმოქმნილ კუთხეს ABC ეწოდება დიედრული კუთხის წრფივ კუთხეს.

დიედრული კუთხის გრადუსული ზომა უდრის მისი წრფივი კუთხის გრადუსულ ზომას.

გავზომოთ კუთხე AOB.

მოცემული დიჰედრული კუთხის გრადუსული ზომა არის სამოცი გრადუსი.

დიედრული კუთხისთვის წრფივი კუთხეები შეიძლება დაიხაზოს უსასრულო რაოდენობით, მნიშვნელოვანია იცოდეთ, რომ ისინი ყველა თანაბარია.

განვიხილოთ ორი წრფივი კუთხე AOB და A1O1B1. სხივები OA და O1A1 დევს ერთსა და იმავე სახეზე და პერპენდიკულარულია OO1 სწორი ხაზის მიმართ, ამიტომ ისინი თანამიმართულია. სხივები OB და O1B1 ასევე ერთობლივად მიმართულია. მაშასადამე, AOB კუთხე უდრის A1O1B1 კუთხეს, როგორც კუთხეები თანამიმართულ გვერდებთან.

ასე რომ, დიედრულ კუთხეს ახასიათებს წრფივი კუთხე, ხოლო ხაზოვანი კუთხეები არის მკვეთრი, ბლაგვი და მართი. განვიხილოთ დიედრული კუთხეების მოდელები.

ბლაგვი კუთხე არის ის, რომლის წრფივი კუთხე არის 90-დან 180 გრადუსამდე.

მართი კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე 90 გრადუსია.

მწვავე კუთხე, თუ მისი წრფივი კუთხე არის 0-დან 90 გრადუსამდე.

მოდით დავამტკიცოთ წრფივი კუთხის ერთ-ერთი მნიშვნელოვანი თვისება.

წრფივი კუთხის სიბრტყე პერპენდიკულარულია დიედრული კუთხის კიდეზე.

დაე, კუთხე AOB იყოს მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე. აგებულებით, სხივები AO და OB პერპენდიკულარულია a სწორი ხაზის მიმართ.

სიბრტყე AOB გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე AO და OB თეორემის მიხედვით: სიბრტყე გადის ორ გადამკვეთ წრფეზე და უფრო მეტიც, მხოლოდ ერთზე.

წრფე a პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე ორი გადამკვეთი წრფის მიმართ, რაც ნიშნავს, რომ წრფისა და სიბრტყის პერპენდიკულარულობის ნიშნით წრფე a არის AOB სიბრტყის პერპენდიკულარული.

პრობლემების გადასაჭრელად მნიშვნელოვანია, რომ შეძლოთ მოცემული დიედრული კუთხის წრფივი კუთხის აგება. ააგეთ დიედრული კუთხის წრფივი კუთხე AB კიდით ABCD ტეტრაედრისთვის.

საუბარია დიჰედრალურ კუთხეზე, რომელიც წარმოიქმნება, პირველ რიგში, AB კიდით, ერთი ასპექტით ABD, მეორე ასპექტით ABC.

აქ არის მშენებლობის ერთი გზა.

დავხაზოთ პერპენდიკულარი D წერტილიდან ABC სიბრტყემდე, მოვნიშნოთ M წერტილი პერპენდიკულას ფუძედ. შეგახსენებთ, რომ ტეტრაედრონში პერპენდიკულარულის ფუძე ემთხვევა ტეტრაედრის ფუძეში ჩაწერილი წრის ცენტრს.

დახაზეთ დახრილობა D წერტილიდან პერპენდიკულარულად AB კიდესამდე, მონიშნეთ წერტილი N, როგორც ფერდობის საფუძველი.

სამკუთხედში DMN, სეგმენტი NM იქნება ირიბი DN-ის პროგნოზები ABC სიბრტყეზე. სამი პერპენდიკულარის თეორემის მიხედვით, კიდე AB იქნება NM პროექციის პერპენდიკულარული.

ეს ნიშნავს, რომ DNM კუთხის გვერდები პერპენდიკულარულია AB კიდეზე, რაც ნიშნავს, რომ აგებული კუთხე DNM არის საჭირო წრფივი კუთხე.

განვიხილოთ დიედრული კუთხის გამოთვლის პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

ტოლფერდა სამკუთხედი ABC და რეგულარული სამკუთხედი ADB არ დევს ერთ სიბრტყეში. სეგმენტი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული. იპოვეთ დიედრული კუთხე DABC, თუ AC=CB=2სმ, AB=4სმ.

დიედრული კუთხე DABC უდრის მის წრფივ კუთხეს. ავაშენოთ ეს კუთხე.

დავხატოთ AB კიდეს პერპენდიკულარული ირიბი SM, რადგან სამკუთხედი ACB არის ტოლკუთხედი, მაშინ M წერტილი დაემთხვევა AB კიდის შუა წერტილს.

ხაზი CD არის ADB სიბრტყის პერპენდიკულარული, რაც ნიშნავს, რომ ის პერპენდიკულარულია ამ სიბრტყეში მდებარე DM წრფეზე. ხოლო სეგმენტი MD არის ირიბი SM-ის პროექცია ADB სიბრტყეზე.

AB წრფე კონსტრუქციით პერპენდიკულარულია ირიბი CM-ზე, რაც ნიშნავს, რომ სამი პერპენდიკულარული თეორემით იგი პერპენდიკულარულია პროექციის MD-ზე.

ასე რომ, ორი პერპენდიკულარი CM და DM გვხვდება AB კიდესთან. ასე რომ, ისინი ქმნიან DABC დიედრული კუთხის СMD წრფივ კუთხეს. და რჩება ჩვენთვის ვიპოვოთ იგი მართკუთხა სამკუთხედიდან СDM.

ვინაიდან სეგმენტი SM არის ASV ​​ტოლფერდა სამკუთხედის მედიანა და სიმაღლე, მაშინ პითაგორას თეორემის მიხედვით SM-ის ფეხი არის 4 სმ.

მართკუთხა სამკუთხედიდან DMB, პითაგორას თეორემის მიხედვით, ფეხი DM უდრის სამის ორ ფესვს.

მართკუთხა სამკუთხედიდან კუთხის კოსინუსი ტოლია მიმდებარე ფეხის MD-ის შეფარდებას CM ჰიპოტენუზასთან და უდრის სამ ფესვს სამი ორზე. ასე რომ, კუთხე CMD არის 30 გრადუსი.