ლექციების რეზიუმე დისციპლინაზე "შემთხვევითი პროცესების თეორია"
თემა 1. შემთხვევითი პროცესების თეორიის ძირითადი ცნებები 2
1.1. შემთხვევითი პროცესის განმარტება. შემთხვევითი პროცესების ამოცანის ძირითადი მიდგომები. რეალიზაციის ცნება და მონაკვეთი. ელემენტარული შემთხვევითი პროცესები. 2
1.2. შემთხვევითი პროცესის ზოგიერთი კლასი და ტიპი 3
თემა 2. შემთხვევითი პროცესების კორელაციის თეორიის ელემენტები 4
2.1. შემთხვევითი პროცესების კორელაციის თეორიის კონცეფცია 4
2.2. მათემატიკური მოლოდინი და შემთხვევითი პროცესის ვარიაცია. სტანდარტული გადახრა 5
2.3. შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქცია და მისი თვისებები. ნორმალიზებული კორელაციის ფუნქცია 5
2.4. ჯვარედინი კორელაციის ფუნქცია და ორი შემთხვევითი პროცესის ნორმალიზებული ჯვარედინი კორელაციის ფუნქცია 6
2.5 ორი შემთხვევითი ცვლადის ჯამის ალბათური მახასიათებლები 6
თემა 3. შემთხვევითი ანალიზის ელემენტები 7
3.1. კონვერგენცია და უწყვეტობა 7
3.2. შემთხვევითი პროცესის წარმოებული და მისი თვისებები 8
3.3. შემთხვევითი პროცესის ინტეგრალი და მისი თვისებები 9
თემა 4. შემთხვევითი პროცესების კანონიკური გაფართოება 10
4.1. შემთხვევითი პროცესის კანონიკური დაშლის კონცეფცია 10
4.2. განზოგადებული ფუნქციის კონცეფცია. დირაკის დელტას ფუნქცია. შემთხვევითი პროცესების ინტეგრალური კანონიკური წარმოდგენა. თერთმეტი
4.3. შემთხვევითი პროცესების წრფივი და არაწრფივი გარდაქმნები 12
თავი 5. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესები 14
5.1. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის კონცეფცია. სტაციონალურობა ვიწრო და ფართო გაგებით 14
5.2 სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის ალბათური მახასიათებლების თვისებები 15
5.3. სტაციონარული დაწყვილებული შემთხვევითი პროცესები. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის წარმოებული და ინტეგრალი 15
5.4. ერგოდიული სტაციონარული შემთხვევითი პროცესები და მათი მახასიათებლები 16
5.5. ღონისძიების ნაკადები 17
თემა 6. მარკოვის ჯაჭვები 19
6.1. მარკოვის ჯაჭვები. ცხრამეტი
თემა 1. შემთხვევითი პროცესების თეორიის ძირითადი ცნებები
1.1. შემთხვევითი პროცესის განმარტება. შემთხვევითი პროცესების ამოცანის ძირითადი მიდგომები. რეალიზაციის ცნება და მონაკვეთი. ელემენტარული შემთხვევითი პროცესები.
შემთხვევითი (სტოქასტური, ალბათური) პროცესი არის t რეალური ცვლადის ფუნქცია, რომლის მნიშვნელობებია შესაბამისი შემთხვევითი ცვლადები X(t).
შემთხვევითი პროცესების თეორიაში t განიხილება, როგორც დრო, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს რეალური რიცხვების სიმრავლის T ქვეჯგუფიდან (t T, T R).
კლასიკური მათემატიკური ანალიზის ფარგლებში y=f(t) ფუნქცია გაგებულია, როგორც t და y ცვლადების დამოკიდებულების ისეთი ტიპი, როდესაც t არგუმენტის სპეციფიკური რიცხვითი მნიშვნელობა შეესაბამება y ფუნქციის ერთადერთ ციფრულ მნიშვნელობას. . შემთხვევითი პროცესებისთვის სიტუაცია ფუნდამენტურად განსხვავებულია: t კონკრეტული არგუმენტის დაყენება იწვევს შემთხვევითი ცვლადის X(t) გამოჩენას ცნობილი განაწილების კანონით (თუ ეს არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი) ან მოცემული განაწილების სიმკვრივით (თუ არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი). სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შესწავლილი მახასიათებელი დროის თითოეულ მომენტში არის შემთხვევითი ბუნებით არა შემთხვევითი განაწილებით.
მნიშვნელობები, რომლებსაც ჩვეულებრივი ფუნქცია y=f(t) იღებს დროის ყოველ მომენტში, სრულად განსაზღვრავს ამ ფუნქციის სტრუქტურას და თვისებებს. შემთხვევითი პროცესებისთვის სიტუაცია განსხვავებულია: აქ აბსოლუტურად არ არის საკმარისი იმის ცოდნა, რომ შემთხვევითი ცვლადი X(t) განაწილებულია t-ის თითოეული მნიშვნელობისთვის, საჭიროა ინფორმაცია მოსალოდნელი ცვლილებებისა და მათი ალბათობების შესახებ, ანუ ინფორმაცია შემთხვევითი პროცესის მომავალი მნიშვნელობის დამოკიდებულების ხარისხი მის ისტორიაზე.
ყველაზე ზოგადი მიდგომა შემთხვევითი პროცესების აღწერისთვის არის მისი ყველა მრავალვარიანტული განაწილების დაყენება, როდესაც განისაზღვრება შემდეგი მოვლენების ერთდროულად განხორციელების ალბათობა:
T1, t2,…,tn T, n N: X(ti)≤xi; i=1,2,…,n;
F(t1;t2;…;tn;x1;x2;…;xn)=P(X(t1)≤ x1; X(t2)≤x2;…; X(tn)≤xn).
შემთხვევითი პროცესების აღწერის ეს გზა უნივერსალურია, მაგრამ ძალიან რთული. მნიშვნელოვანი შედეგების მისაღებად, გამოიყოფა ყველაზე მნიშვნელოვანი სპეციალური შემთხვევები, რომლებიც საშუალებას იძლევა გამოიყენოთ უფრო მოწინავე ანალიტიკური აპარატი. კერძოდ, მოსახერხებელია შემთხვევითი პროცესი X(t, ω) განვიხილოთ, როგორც ორი ცვლადის ფუნქცია: t T, ω Ω, რომელიც t T-ის ნებისმიერი ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის ხდება შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც განსაზღვრულია ალბათობის სივრცეში (Ω, A, P), სადაც Ω - ელემენტარული მოვლენების არა ცარიელი სიმრავლე ω; A არის Ω სიმრავლის ქვესიმრავლეების σ-ალგებრა, ანუ მოვლენათა სიმრავლე; P არის A-ზე განსაზღვრული ალბათობის საზომი.
არა შემთხვევითი რიცხვითი ფუნქცია x(t)=X(t,ω0) ეწოდება X(t, ω) შემთხვევითი პროცესის რეალიზაციას (ტრაექტორიას).
X(t, ω) შემთხვევითი პროცესის ჯვარი მონაკვეთი არის შემთხვევითი ცვლადი, რომელიც შეესაბამება t=t0 მნიშვნელობას.
თუ არგუმენტი t იღებს ყველა რეალურ მნიშვნელობას ან ყველა მნიშვნელობას რეალური ღერძის გარკვეული T ინტერვალიდან, მაშინ საუბარია შემთხვევით პროცესზე უწყვეტი დროით. თუ t იღებს მხოლოდ ფიქსირებულ მნიშვნელობებს, მაშინ საუბარია შემთხვევით პროცესზე დისკრეტული დროით.
თუ შემთხვევითი პროცესის განივი განყოფილება არის დისკრეტული შემთხვევითი ცვლადი, მაშინ ასეთ პროცესს ეწოდება პროცესი დისკრეტული მდგომარეობებით. თუ რომელიმე განყოფილება არის უწყვეტი შემთხვევითი ცვლადი, მაშინ შემთხვევით პროცესს ეწოდება პროცესი უწყვეტი მდგომარეობებით.
ზოგად შემთხვევაში, ანალიტიკურად შეუძლებელია შემთხვევითი პროცესის დაკონკრეტება. გამონაკლისი არის ეგრეთ წოდებული ელემენტარული შემთხვევითი პროცესები, რომელთა ფორმა ცნობილია და შემთხვევითი ცვლადები შედის პარამეტრებად:
X(t)=X(t,A1,…,An), სადაც Ai, i=1,…,n არის თვითნებური შემთხვევითი ცვლადები სპეციფიკური განაწილებით.
1.2. შემთხვევითი პროცესის ზოგიერთი კლასი და ტიპი
1.1.1. გაუსის სტოქასტური პროცესები
შემთხვევით პროცესს X(t) ეწოდება გაუსიანი, თუ მისი ყველა სასრული განაწილება ნორმალურია, ე.ი.
t1, t2,…,tn T
შემთხვევითი ვექტორი
(X(t1); X(t2);…; X(tn))
აქვს შემდეგი განაწილების სიმკვრივე:
სადაც ai=MX(ti); =M(X(ti)-ai)2; сij= M((X(ti)-ai)(X(tj)-aj)); ;
- сij ელემენტის ალგებრული დანამატი.
1.1.2. შემთხვევითი პროცესები დამოუკიდებელი მატებით
შემთხვევითი პროცესი X(t) ეწოდება პროცესს დამოუკიდებელი ნამატებით, თუ მისი ნამატები არ გადახურვის დროის ინტერვალებზე ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული:
t1, t2,…,tn T: t1 ≤t2 ≤…≤tn,
შემთხვევითი ცვლადები
X(t2)-X(t1); X(t3)-X(t2); …; X(tn)-X(tn-1)
დამოუკიდებელი.
1.1.3. შემთხვევითი პროცესები არაკორელირებული ნამატებით
შემთხვევითი პროცესი X(t) ეწოდება პროცესს არაკორელირებული ნამატებით, თუ დაკმაყოფილებულია შემდეგი პირობები:
1) t T: МX2(t)< ∞;
2) t1, t2, t3, t4 T: t1 ≤t2 ≤ t3≤ t4: М((X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3)))=0.
1.1.4. სტაციონარული სტოქასტური პროცესები (იხ. თავი 5)
1.1.5. მარკოვის სტოქასტური პროცესები
ჩვენ შემოვიფარგლებით მარკოვის შემთხვევითი პროცესის განმარტებით დისკრეტული მდგომარეობებით და დისკრეტული დროით (მარკოვის ჯაჭვი).
დაე, სისტემა A იყოს ერთ-ერთ შეუთავსებელ მდგომარეობაში A1; A2;…;A, და ამავდროულად, Рij(s) ალბათობა, რომ s-ე ტესტში სისტემა გადავიდეს მდგომარეობიდან Aj მდგომარეობაზე, არ არის დამოკიდებული სისტემის მდგომარეობაზე s-1-ის წინა ტესტებში. . ამ ტიპის შემთხვევით პროცესს მარკოვის ჯაჭვი ეწოდება.
1.1.6. პუასონის შემთხვევითი პროცესები
შემთხვევით პროცესს X(t) ეწოდება პუასონის პროცესი პარამეტრით a (a>0), თუ მას აქვს შემდეგი თვისებები:
1) t T; T= ეწოდება ზღვარი rms-ში λ→0 (n→0)
ინტეგრალური ჯამები სადაც si (ti; ti+1); λ=max(ti+1 - ti), i=0,…,n-1.
თეორემა 4. შემთხვევითი პროცესის ინტეგრალის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მისი მათემატიკური მოლოდინის ინტეგრალს: , .
თეორემა 5. X(t) შემთხვევითი პროცესის ინტეგრალის კორელაციური ფუნქცია უდრის მისი კორელაციური ფუნქციის ორმაგ ინტეგრალს: .
თეორემა 6. X(t) შემთხვევითი პროცესისა და მისი ინტეგრალის ურთიერთკორელაციის ფუნქცია უდრის X(t) შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქციის ინტეგრალის:
თემა 4. შემთხვევითი პროცესების კანონიკური გაფართოებები
4.1. შემთხვევითი პროცესის კანონიკური დაშლის კონცეფცია
V შემთხვევითი ცვლადი ეწოდება ცენტრირებულს, თუ მისი მათემატიკური მოლოდინი 0-ის ტოლია. ელემენტარული ცენტრირებული შემთხვევითი პროცესი არის V ცენტრიდანული შემთხვევითი ცვლადის ნამრავლი და არა შემთხვევითი ფუნქციის φ(t): X(t)=V φ(t) ). ელემენტარული ორიენტირებული შემთხვევითი პროცესი აქვს შემდეგი მახასიათებლები:
ფორმის გამოხატულება, სადაც φk(t), k=1;2;…-არაშემთხვევითი ფუნქციები; , k=1;2;… - არაკორელაციური ცენტრირებული შემთხვევითი ცვლადები, ეწოდება X(t) შემთხვევითი პროცესის კანონიკურ გაფართოებას, ხოლო შემთხვევით ცვლადებს - კანონიკური გაფართოების კოეფიციენტებს; და არა შემთხვევითი ფუნქციები φk(t) - კანონიკური გაფართოების საკოორდინატო ფუნქციები.
განვიხილოთ შემთხვევითი პროცესის მახასიათებლები
ვინაიდან პირობით
ცხადია, ერთსა და იმავე შემთხვევით პროცესს აქვს სხვადასხვა ტიპის კანონიკური გაფართოება, რაც დამოკიდებულია კოორდინატთა ფუნქციების არჩევანზე. უფრო მეტიც, მაშინაც კი, როდესაც კოორდინატთა ფუნქციების არჩევა მოხდა, Vk შემთხვევითი ცვლადების განაწილების თვითნებობაა. პრაქტიკაში, ექსპერიმენტების შედეგების საფუძველზე, მიიღება შეფასებები მათემატიკური მოლოდინისა და კორელაციის ფუნქციისთვის: . ორმაგ ფურიეს სერიაში გაფართოების შემდეგ კოორდინატთა ფუნქციების ფκ(t):
მიიღეთ Vk შემთხვევითი ცვლადების დისპერსიების მნიშვნელობები.
4.2. განზოგადებული ფუნქციის კონცეფცია. დირაკის დელტას ფუნქცია. შემთხვევითი პროცესების ინტეგრალური კანონიკური წარმოდგენა.
განზოგადებული ფუნქცია არის უწყვეტი ფუნქციების ერთპარამეტრიანი ოჯახის მიმდევრობის ზღვარი.
დირაკის დელტა ფუნქცია არის განზოგადებული ფუნქცია, რომელიც წარმოიქმნება ფუნქციების ოჯახში ზღვრამდე გადასვლის შედეგად
-ფუნქციის თვისებებს შორის აღვნიშნავთ შემდეგს:
1.
2.
3. თუ f(t) უწყვეტი ფუნქციაა, მაშინ
შემთხვევით პროცესს X(t), რომლის კორელაციის ფუნქციას აქვს ფორმა, ეწოდება არასტაციონარული "თეთრი ხმაური". თუ W(t1)=W - const, მაშინ Х(t)-სტაციონარული "თეთრი ხმაური".
როგორც განმარტებიდან ჩანს, ორი, თუნდაც თვითნებურად მჭიდრო, „თეთრი ხმაურის“ ჯვარი არ არის დაკავშირებული. გამოთქმას W(t) ეწოდება "თეთრი ხმაურის" ინტენსივობა.
X(t) შემთხვევითი პროცესის განუყოფელი კანონიკური გამოსახულება არის იმ ფორმის გამოხატულება, სადაც არის შემთხვევითი ორიენტირებული ფუნქცია; - უწყვეტი არგუმენტების არა შემთხვევითი ფუნქცია
ასეთი შემთხვევითი პროცესის კორელაციის ფუნქციას აქვს ფორმა:
.
შეიძლება აჩვენოს, რომ არსებობს არა შემთხვევითი ფუნქცია G(λ) ისეთი, რომ
სადაც G(λ1) არის დისპერსიის სიმკვრივე; δ(x) - დირაკის დელტას ფუნქცია. ვიღებთ
მაშასადამე, X(t) შემთხვევითი პროცესის ვარიაცია:
.
4.3. სტოქასტური პროცესების წრფივი და არაწრფივი გარდაქმნები
განიხილება შემდეგი პრობლემა: „შესვლის სიგნალი“ მიეწოდება S სისტემის (მოწყობილობა, გადამყვანი) შეყვანას, რომელსაც აქვს შემთხვევითი პროცესის X(t) ხასიათი. სისტემა გარდაქმნის მას "გამომავალ სიგნალად" Y(t):
.
ფორმალურად, შემთხვევითი პროცესის X(t) ტრანსფორმაცია Y(t)-ად შეიძლება აღწერილი იყოს ეგრეთ წოდებული სისტემის ოპერატორი Аt:
Y(t)=At(X(t)).
ინდექსი t მიუთითებს, რომ ეს ოპერატორი დროულად ასრულებს ტრანსფორმაციას. შესაძლებელია შემთხვევითი პროცესის ტრანსფორმაციის პრობლემის შემდეგი ფორმულირება.
1. ცნობილია შემთხვევითი პროცესის X(t) განაწილების კანონები ან ზოგადი მახასიათებლები S სისტემაში შესვლისას, მოცემულია S სისტემის ოპერატორი Аt, საჭიროა განისაზღვროს განაწილების კანონი ან ზოგადი მახასიათებლები. შემთხვევითი პროცესი Y(t) სისტემის S გამოსავალზე.
2. ცნობილია X(t) შემთხვევითი პროცესის განაწილების კანონები (ზოგადი მახასიათებლები) და Y(t) შემთხვევითი პროცესის მოთხოვნები; აუცილებელია განისაზღვროს S სისტემის Аt ოპერატორის ფორმა, რომელიც საუკეთესოდ აკმაყოფილებს Y(t) მოცემულ მოთხოვნებს.
3. ცნობილია Y(t) შემთხვევითი პროცესის განაწილების კანონები (ზოგადი მახასიათებლები) და მოცემულია S სისტემის ოპერატორი Аt; საჭიროა X(t) შემთხვევითი პროცესის განაწილების კანონების ან ზოგადი მახასიათებლების განსაზღვრა.
მიღებულია S სისტემის ოპერატორების შემდეგი კლასიფიკაცია:
სისტემის ოპერატორები
წრფივი L არაწრფივი N
წრფივი ერთგვაროვანი L0 წრფივი არაერთგვაროვანი Lн
1. განვიხილოთ წრფივი არაჰომოგენური სისტემის გავლენა
Ln(...)=L0(…)+φ(t)
შემთხვევით პროცესზე X(t), რომელსაც აქვს შემდეგი კანონიკური გაფართოება:
.
ჩვენ ვიღებთ:
შემოვიღოთ აღნიშვნა
შემდეგ Y(t)-ის კანონიკური დაშლა იღებს ფორმას:
.
შემთხვევითი პროცესის მათემატიკური მოლოდინი Y(t):
შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქცია Y(t):
აქედან გამომდინარე,
.
Მეორეს მხრივ
შემთხვევითი პროცესის დისპერსია Y(t):
ამ განყოფილების დასასრულს აღვნიშნავთ, რომ შემთხვევითი პროცესების დიფერენციაციისა და ინტეგრაციის ოპერატორები წრფივი ჰომოგენურია.
2. კვადრატული ტრანსფორმაცია ითვლება:
Y(t)=(X(t))2,
Vk-ზე ორიენტირებული შემთხვევითი ცვლადები, რომლებსაც აქვთ სიმეტრიული განაწილება ნულის მიმართ; ოთხი მათგანი კოლექტიურად დამოუკიდებელია. მერე
ჩვენ შემოგთავაზებთ არა შემთხვევით ფუნქციებს
და შემთხვევითი ცვლადები
შემდეგ შემთხვევითი პროცესი Y(t) იღებს ფორმას
მიღებულია Y(t) შემთხვევითი პროცესის კანონიკური დაშლა. კორელაციის ფუნქცია Y(t):
დისპერსია:
თავი 5. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესები
5.1. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის კონცეფცია. სტაციონალურობა ვიწრო და ფართო გაგებით
სტაციონარული (დროში ჰომოგენური) არის შემთხვევითი პროცესი, რომლის სტატისტიკური მახასიათებლები დროთა განმავლობაში არ იცვლება, ანუ ისინი უცვლელია დროის ცვლასთან მიმართებაში.
განასხვავეთ შემთხვევითი პროცესები სტაციონარული ფართო და ვიწრო გაგებით.
სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი ვიწრო გაგებით არის შემთხვევითი პროცესი X(t), რომლის ყველა სავარაუდო მახასიათებელი არ იცვლება დროთა განმავლობაში, ანუ ისეთი, რომ მდგომარეობა
F(t1; t2;…;tn; x1; x2;…; xn)=F(t1+τ; t2+τ;…;tn+τ; x1; x2;…; xn) და, შესაბამისად, ყველა n-განზომილებიანი განაწილება არ არის დამოკიდებული დროის წერტილებზე t1; t2;… ;tn, მაგრამ დროის ინტერვალების ხანგრძლივობა τi:
კერძოდ, ერთგანზომილებიანი განაწილების სიმკვრივე საერთოდ არ არის დამოკიდებული t დროზე:
ორგანზომილებიანი მონაკვეთის სიმკვრივე t1 და t2 დროს
მონაკვეთების N-განზომილებიანი სიმკვრივე t1 დროს; t2...; tn:
შემთხვევით პროცესს X(t) ეწოდება სტაციონარული ფართო გაგებით, თუ მისი პირველი და მეორე რიგის მომენტები უცვლელია დროის ცვლასთან მიმართებაში, ანუ მისი მათემატიკური მოლოდინი არ არის დამოკიდებული t დროზე და არის მუდმივი და კორელაციის ფუნქცია. დამოკიდებულია მხოლოდ მონაკვეთებს შორის დროის ინტერვალის სიგრძეზე:
აშკარაა, რომ სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი ვიწრო გაგებით არის სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი ფართო გაგებითაც; საპირისპირო არ შეესაბამება სიმართლეს.
5.2 სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის ალბათური მახასიათებლების თვისებები
1.
3. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქცია ლუწია:
4. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის ვარიაცია არის მუდმივი ტოლი
მისი კორელაციის ფუნქციის მნიშვნელობა წერტილში:
5.
6. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქციაა
დადებითი გარკვეული, ანუ
სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის ნორმალიზებული კორელაციური ფუნქცია ასევე არის ლუწი, დადებითი განსაზღვრული და, უფრო მეტიც,
5.3. სტაციონარული დაწყვილებული შემთხვევითი პროცესები. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის წარმოებული და ინტეგრალი
შემთხვევით პროცესებს X(t) და Y(t) ეწოდება სტაციონარული, თუ მათი ურთიერთკორელაციის ფუნქცია დამოკიდებულია მხოლოდ τ =t2-t1 არგუმენტების განსხვავებაზე: RXY(t1;t2)=rXY(τ).
თვით შემთხვევითი პროცესების X(t) და Y(t) სტაციონარობა არ ნიშნავს მათ სტაციონალურ კავშირს.
ჩვენ აღვნიშნავთ სტაციონარული შემთხვევითი პროცესების ძირითად თვისებებს, სტაციონარული შემთხვევითი პროცესების წარმოებულს და ინტეგრალს,
1) rXY(τ)=rYX(-τ).
2)
3)
4)
სადაც
5) სად
6) ;
5.4. ერგოდიული სტაციონარული სტოქასტური პროცესები და მათი მახასიათებლები
სტაციონარული შემთხვევითი პროცესებიდან არის პროცესების სპეციალური კლასი, სახელწოდებით ერგოდიული, რომელსაც აქვს შემდეგი თვისება: მათი მახასიათებლები, რომლებიც მიღებულია ყველა რეალიზაციის სიმრავლის საშუალო გამოანგარიშებით, ემთხვევა შესაბამის მახასიათებლებს, რომლებიც მიღებულ იქნა დროთა განმავლობაში ინტერვალზე დაფიქსირებული ერთი რეალიზაციის საშუალო გამოანგარიშებით (0, ტ) საკმარისად ხანგრძლივი ხანგრძლივობის. ანუ საკმარისად დიდ დროის ინტერვალზე ნებისმიერი განხორციელება გადის ნებისმიერ მდგომარეობაზე, მიუხედავად იმისა, თუ როგორი იყო სისტემის საწყისი მდგომარეობა t=0; და ამ თვალსაზრისით, ნებისმიერი რეალიზაცია სრულად წარმოადგენს რეალიზაციის მთელ კომპლექსს.
ერგოდიკური ბირხოფ-ხინჩინის თეორემა
ნებისმიერი სტაციონარული შემთხვევითი პროცესისთვის ვიწრო გაგებით X(t), რომელსაც აქვს სასრული მათემატიკური მოლოდინი 1 ალბათობით, არსებობს ზღვარი.
SSP-სთვის უწყვეტი დროით,
SSP-სთვის დისკრეტული დროით.
თუ გარდა ამისა, X(t) არის ერგოდიული სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი, მაშინ
თეორემის პირობით, შემთხვევითი პროცესის პირობითი მათემატიკური მოლოდინი X(t) Jx-ის მიმართ; Jx არის მოვლენათა -ალგებრა უცვლელი X(t) მიმართ; მოვლენა A არის უცვლელი X(t) ქვეშ, თუ B ისეთია, რომ A=(ω: X(ω,t) B).
ერგოდიულობისთვის საკმარისი პირობები
თეორემა 1. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი X(t) ერგოდიულია
მათემატიკური მოლოდინი, თუ მისი კორელაციური ფუნქცია
მიისწრაფვის ნულისკენ, როგორც τ→∞;
სადაც: .
თეორემა 2. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი X(t) ერგოდიულია
დისპერსია, თუ კორელაციური ფუნქცია სტაციონარული შემთხვევითი
ჩაის პროცესი Y(t)=X2(t) ნულისკენ მიისწრაფვის, როგორც τ→∞;
სადაც:
თეორემა 3. სტაციონარული შემთხვევითი პროცესი X(t) ერგოდიულია
კორელაციის ფუნქცია, თუ მიდრეკილია ნულისკენ, როგორც τ→∞ კორ-
სტაციონარული შემთხვევითი პროცესის მიმართებითი ფუნქცია
Z(t, τ)= ;
სადაც:
პრაქტიკულ გამოთვლებში, ინტერვალი (0; T) იყოფა n თანაბარ ნაწილად; თითოეულ ინტერვალში არჩეულია წერტილი ti (მაგალითად, შუა). თუ შემოვიფარგლებით მართკუთხედების ფორმულით, მივიღებთ
5.5. ღონისძიების ნაკადები
მოვლენათა ნაკადი არის მოვლენათა თანმიმდევრობა, რომელიც ხდება დროის შემთხვევით მომენტში.
მოვლენის ნაკადის თვისებები:
1) სტაციონარული ნაკადი.
ნაკადს ეწოდება სტაციონარული, თუ m მოვლენების ალბათობა ნებისმიერ დროის ინტერვალში τ დამოკიდებულია მხოლოდ მოვლენების რაოდენობაზე m და ინტერვალის სიგრძეზე და არ არის დამოკიდებული დროის იმ მომენტზე, როდესაც დაიწყო ეს ინტერვალი.
2) არანაირი შემდგომი ეფექტი.
ნათქვამია, რომ მოვლენათა ნაკადს არ აქვს შემდგომი ეფექტი, თუ m მოვლენების დადგომის ალბათობა დროის ნებისმიერ მონაკვეთში არ არის დამოკიდებული იმაზე, გამოჩნდა თუ არა მოვლენები ამ პერიოდის უშუალო წინა მომენტებში.
თემის ისტორია არ ახდენს გავლენას უახლოეს მომავალში მოვლენების განვითარებაზე. თუ ნაკადს აქვს თვისება არ ჰქონდეს შემდგომი ეფექტი, მაშინ შემთხვევითი ცვლადები მოვლენების წარმოშობის არაგადაკვეთის ინტერვალებზე ერთმანეთისგან დამოუკიდებელია.
3) ჩვეულებრივობა.
ნათქვამია, რომ ნაკადს აქვს ჩვეულებრივი იყოს, თუ ერთზე მეტი მოვლენა არ შეიძლება მოხდეს უსასრულოდ მცირე დროის ინტერვალში, ე.ი. მოკლე დროში 2 ან მეტი მოვლენის დადგომა პრაქტიკულად შეუძლებელია.
4) პუასონის ნაკადი
თუ ნაკადი ერთდროულად ფლობს სტაციონარულობის, შემდგომი ეფექტის არარსებობის და ჩვეულებრივობის თვისებებს, მაშინ მას უმარტივეს (პუასონის) ნაკადს უწოდებენ.
თეორემა. თუ ნაკადი არის დიდი რაოდენობის დამოუკიდებელი სტაციონარული ნაკადების ჯამი, რომელთაგან თითოეულის გავლენა უმნიშვნელოა, მაშინ მთლიანი ნაკადი, იმ პირობით, რომ ის ჩვეულებრივია, ახლოს არის უმარტივესთან.
ნაკადის ინტენსივობა არის მოვლენების საშუალო რაოდენობა, რომლებიც ხდება დროის ერთეულზე.
თუ ნაკადს აქვს მუდმივი ინტენსივობა, მაშინ m მოვლენების დადგომის ალბათობა τ ხანგრძლივობის დროის ინტერვალებისთვის გამოითვლება პუასონის ფორმულით.
– პუასონის ნაკადი.
მარტივი ტელეგრაფის ტალღის პრობლემა.
არის მოწყობილობა, რომელზეც სიგნალი გამოიყენება. ეს სიგნალები ქმნიან უმარტივეს ნაკადს.
X(t) a -a
P 1/2 1/2
გამოიკვლიეთ SP X(t) მახასიათებლები, რომელიც იღებს ±a მნიშვნელობებს თვითნებურ დროს. დისკრეტული SP უწყვეტი დროით. M(X(t)) = 0
X(t1)X(t2) a2 -a2
P P ლუწი P კენტი
მოდით t1< t2 => τ > 0
შესაბამისად, ტელეგრაფის ტალღა არის ერგოდიული SCS.
დასაბუთება - შემდეგი თვისებები უნდა შეიცავდეს
1) სტაციონალურობა - არ არის დამოკიდებული დროის ინტერვალის არჩევანზე.
2) შემდგომი ეფექტის არარსებობა - დროის მომენტები არ ჩანს ფორმულაში.
3) ჩვეულებრივობა
ერთზე მეტი მოვლენის ალბათობა
1-ლი მოვლენის ალბათობა
2-ზე მეტი მოვლენის ალბათობა
ერთად =>
მცირე τ-სთვის ნულისკენ მიდრეკილია კვადრატზე არანაკლებ სიჩქარით.
თემა 6. მარკოვის ჯაჭვები
6.1. მარკოვის ჯაჭვები.
მარკოვის ჯაჭვი არის მოვლენათა თანმიმდევრობა, რომელთაგან თითოეულში ჩნდება მხოლოდ ერთი შეუთავსებელი მოვლენა A1,A2…Ak, ხოლო პირობითი ალბათობა pij(s) s-ე ტესტში იქნება მოვლენა Ai და პირობა, რომ s-1 ტესტი, რომელიც Aj e მოხდა, დამოკიდებულია წინა მოვლენების შედეგზე.
დისკრეტული დროის მარკოვის ჯაჭვი არის ჯაჭვი, რომლის მდგომარეობა იცვლება ფიქსირებულ დროში.
მარკოვის ჯაჭვი უწყვეტი დროით არის ჯაჭვი, რომლის მდგომარეობის ცვლილებები ხდება დროის თვითნებურ მომენტში.
მარკოვის ჯაჭვს ეწოდება ჰომოგენური, თუ პირობითი ალბათობა pij(s) გადასვლის მდგომარეობაზე Ai-დან Aj-ზე არ არის დამოკიდებული საცდელ რიცხვზე, s-ზე.
ალბათობას, რომლის გამოც სისტემა აი-დან Aj-ზე გადადის, ჰომოგენური მარკოვის ჯაჭვის გარდამავალ ალბათობას უწოდებენ.
გარდამავალი ალბათობები ქმნიან გარდამავალი ალბათობების მატრიცას i=1;…;k
მარკოვის თანასწორობა
Pij(n) არის სისტემის გადასვლის ალბათობა Ai მდგომარეობიდან Aj-ზე n ცდაში
შედეგები
1) n=2; m=1
; Pij(1)=pi,j; P2=(Pi,j(2))=P1P1=P2
2) n=3; m=2
; P3=P3
3) Pn=P12.
1. შემთხვევითი ფუნქციის ცნება, სტოქასტური პროცესები
მრავალი ფენომენის შესწავლისას სისტემატურად უნდა გაუმკლავდეთ შემთხვევით ცვლადებს, რომლებიც იცვლება ტესტირების პროცესში გარკვეული დროის განმავლობაში. ჩვენ უკვე შევხვდით ასეთი ფენომენის მაგალითებს 6.2 თავებში. და 9.2. პუასონის განაწილების კანონთან დაკავშირებით.
ასეთი რ.ვ. მაგალითები. არის: რადიოაქტიური ნივთიერების დაშლა ქიმიურ რეაქციაში, სიგნალი რადიომიმღების გამომავალზე ჩარევის გავლენის ქვეშ, ფეხბურთის მატჩის ბილეთის რიგის სიგრძე, ფასის რყევები ძირითადი საქონლის ვაჭრობის სისტემაში, სტუდენტების დატვირთვა სასწავლო სემესტრის განმავლობაში, ნაწილაკების ტრაექტორია ბრაუნის მოძრაობაში, აპლიკანტთა რეიტინგი საარჩევნო პროცესებში, სატელეფონო სადგურზე შემოსული ზარების რაოდენობა და ა.შ.
ასეთ შემთხვევით ცვლადებს, რომლებიც იცვლება გამოცდილების პროცესში (დაკვირვება, ტესტირება) ეწოდება შემთხვევითი პროცესები (შემთხვევითი ფუნქციები). დღეისათვის ტექნოლოგიის და მეცნიერების მთელმა რიგმა დარგებმა (ფიზიკური სტატისტიკა, დიფუზიის პროცესი, ქიმიური რეაქციის პროცესები და ა.შ.) ახალი პრობლემები შეუქმნა ალბათობის თეორიას, რომლებიც არ ჯდება კლასიკური ალბათობის თეორიის ჩარჩოებში. იმ დროს, ადამიანის საქმიანობის მრავალი დარგები დაინტერესებული იყო პროცესების, ანუ დროში მომხდარი ფენომენების შესწავლით. ისინი მოითხოვდნენ ალბათობის თეორიის მეცნიერებიდან ე.წ შემთხვევითი პროცესების ზოგადი თეორიის შემუშავებას. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, თეორიის შემუშავება, რომელიც შეისწავლის შემთხვევით ცვლადებს, რომლებიც დამოკიდებულნი არიან დროის ერთ ან რამდენიმე მუდმივად ცვალებად პარამეტრზე. მოვიყვანოთ ასეთი პრობლემების მაგალითები, რომლებიც ასახავს შემთხვევითი პროცესების თეორიის აგების აუცილებლობას.
წარმოიდგინეთ, რომ ჩვენ გვინდა მივყვეთ გაზის ან სითხის მოლეკულის მოძრაობას. ეს მოლეკულა შემთხვევით ეჯახება სხვა მოლეკულებს და იცვლის სიჩქარეს და პოზიციას. ცხადია, მოლეკულის მდგომარეობა ექვემდებარება შემთხვევით ცვლილებებს დროის ყოველ მომენტში. ბუნების მრავალი ფენომენი მოითხოვს მათი შესწავლის შესაძლებლობას გამოთვალოს ალბათობა იმისა, რომ გარკვეული რაოდენობის ფენომენები (მოლეკულები, ფასების ცვლილებები, რადიოსიგნალების მოსვლა და ა.შ.) ცვლის ამა თუ იმ პოზიციას. ყველა ამ და ბევრ სხვა კითხვას პასუხობს შემთხვევითი პროცესების სტატისტიკური თეორია, ან, როგორც ამას ჩვეულებრივ უწოდებენ " სტოქასტური პროცესების თეორია ». ცხადია, მსგავსი პრობლემები ჩნდება ფიზიკაში, ქიმიაში, ასტრონომიაში, ეკონომიკაში, გენეტიკაში და ა.შ. მაგალითად, ქიმიური რეაქციის პროცესის შესწავლისას ჩნდება ლეგიტიმური კითხვა:
მოლეკულის რომელ ნაწილს აქვს უკვე რეაქცია?
როგორ ხდება ეს რეაქცია დროთა განმავლობაში?
როდის არის რეაქცია თითქმის დასრულებული?
ფენომენების დიდი რაოდენობა მიმდინარეობს რადიოაქტიური დაშლის პრინციპით. ამ ფენომენის არსი ის არის, რომ რადიოაქტიური ნივთიერების ატომები მყისიერად იშლება და სხვა ქიმიური ელემენტის ატომებად იქცევა. თითოეული ატომის დაშლა ხდება სწრაფად და დროში დიდი სიჩქარით, როგორც აფეთქება, გარკვეული რაოდენობის ენერგიის გამოთავისუფლებით. როგორც წესი, მრავალი დაკვირვება აჩვენებს, რომ დამკვირვებლისთვის სხვადასხვა ატომების დაშლა ხდება შემთხვევით მიღებულ დროს. ამ შემთხვევაში, დროის ამ მომენტების მდებარეობა ერთმანეთზე არ არის დამოკიდებული ალბათობის თეორიის გაგებით. რადიოაქტიური დაშლის პროცესის შესასწავლად აუცილებელია დადგინდეს, რა არის ალბათობა იმისა, რომ გარკვეული რაოდენობის ატომები დაიშლება დროის გარკვეულ მონაკვეთში? ფორმალურად, თუკი ადამიანი ითხოვს მხოლოდ ასეთი ფენომენების მათემატიკური სურათის გარკვევას, მაშინ შეიძლება ისეთი მათემატიკური ამოცანების მარტივი გადაწყვეტის პოვნა, რომლებსაც ასეთი ფენომენები იწვევს.
მოკლედ აღვწეროთ, თუ როგორ მიიღეს მეცნიერებმა პლანკმა და ფოკერმა დიფუზიის თეორიაში დიფერენციალური განტოლება ნაწილაკების სწორ ხაზზე მოხეტიალე პრობლემის განხილვის საფუძველზე.
დაუშვით ნაწილაკი დროის მომენტში წერტილში 
, მომენტებში 
განიცდის შემთხვევით დარტყმებს, რის შედეგადაც ყოველ ჯერზე მოძრაობს ალბათობით 
თანხით 
მარჯვნივ და ალბათობით 
ასევე თანხით 
მარცხნივ.
აღნიშნეთ მიერ 
ალბათობა იმისა, რომ ნაწილაკი შედეგად 
დარტყმები გამოჩნდება ამ დროს 
ორსული 
(ნათელია, რომ ლუწი რაოდენობის დარტყმისთვის, მნიშვნელობა 
შეიძლება იყოს მხოლოდ ლუწი ნაბიჯების რაოდენობა 
, და როცა 
კენტი - ნაბიჯების მხოლოდ უცნაური რაოდენობა 
. თუ მეშვეობით 
მიუთითეთ ნაწილაკის მიერ მარჯვნივ გადადგმული ნაბიჯების რაოდენობა (შემდეგ 
არის ნაბიჯების რაოდენობა, რომელიც ნაწილაკმა გააკეთა მარცხნივ), მაშინ ბერნულის ფორმულის მიხედვით, ეს ალბათობა უდრის
ცხადია, რომ ეს რაოდენობები დაკავშირებულია თანასწორობით 
შეიძლება პირდაპირ გადაამოწმო, რომ ფუნქცია 
აკმაყოფილებს განსხვავებულ განტოლებას
საწყისი პირობებით 
და ზე 
. პრობლემის ფიზიკური ბუნება გვაიძულებს გადავიდეთ პარამეტრების თანაფარდობის გარკვეულ ბუნებრივ შეზღუდვებზე 
. ზოგიერთი აუცილებელი პირობის შეუსრულებლობა, რომელიც ქვემოთ იქნება განხილული, შეიძლება მიგვიყვანოს იმ ფაქტამდე, რომ სასრული დროის განმავლობაში ერთის ტოლი ალბათობის ნაწილაკი შეიძლება წავიდეს უსასრულობამდე. ამ შესაძლებლობის გამორიცხვის მიზნით, ჩვენ ვაწესებთ შემდეგ პირობებს პარამეტრებზე 
სადაც ღირებულება 
გამოხატავს სიჩქარე
დინებები, ა 
დიფუზიის კოეფიციენტი.
ტოლობის ორივე ნაწილს (1) გამოვაკლოთ რაოდენობა 
, ვიღებთ
დავუშვათ, რომ ფუნქცია 
დიფერენცირებადი მიმართებით 
ორჯერ და ერთხელ 
. მაშინ გვაქვს
მიღებული ტოლობების (3) ჩანაცვლების შემდეგ გვაქვს
აქედან ზღვრამდე გადის 
და (2) პირობების საფუძველზე საბოლოოდ ვიღებთ
(4)
ამრიგად, ჩვენ მივიღეთ ცნობილი განტოლება, რომელსაც დიფუზიის თეორიაში ე.წ ფოკერ-პლანკის განტოლებები.
სტოქასტური პროცესების ზოგადი თეორიის დასაწყისი ჩაეყარა A.N.-ის ფუნდამენტურ ნაშრომებში. კოლმოგოროვი და ა.ია. ხინჩინი 1930-იანი წლების დასაწყისში. სტატიაში A.N. კოლმოგოროვს "ალბათობის თეორიის ანალიტიკური მეთოდების შესახებ" მიეცა სტოქასტური პროცესების თეორიის საფუძვლების სისტემატური და მკაცრი აგებულება. არანაირი შემდგომი ეფექტიან, როგორც ხშირად ამბობენ, მარკოვის ტიპის პროცესები. ხინჩინის არაერთმა ნაშრომმა შექმნა ეგრეთ წოდებული სტაციონარული პროცესების თეორია.
ამრიგად, მათემატიკის ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევით მოვლენებს მათი დინამიკაში
განვითარება ეწოდება შემთხვევითი პროცესების თეორია(შემთხვევითი ფუნქციები). მისი მეთოდები ხშირად გამოიყენება: ავტომატური კონტროლის თეორიაში, საწარმოებისა და ფერმების ფინანსური საქმიანობის ანალიზსა და დაგეგმვაში, საჭირო ინფორმაციის დამუშავებასა და გადაცემაში (სიგნალები რადიო საინჟინრო მოწყობილობებში, სატელიტური კომუნიკაციები და ა.შ.), ეკონომიკაში და მასობრივი მომსახურების თეორიაში.
მოკლედ განვიხილოთ შემთხვევითი პროცესების თეორიის (SP) ძირითადი ცნებები.
თუ თითოეული ღირებულება 
, სად 
აღნიშნავს ნამდვილ რიცხვთა ერთობლიობას, შეესაბამება r.v. 
, მაშინ ჩვენ ამას ვამბობთ გადასაღებ მოედანზე 
მოცემულია შემთხვევითი ფუნქცია (ს.ფ.) 
. შემთხვევითი პროცესები რომ 
, განსაკუთრებით მნიშვნელოვანია აპლიკაციებში. იმ შემთხვევებში, როდესაც პარამეტრი 
ინტერპრეტირებულია როგორც დროის პარამეტრი, მაშინ შემთხვევითი ფუნქცია გამოძახებულია შემთხვევითი პროცესი, ე.ი. შემთხვევითი პროცესირ.ვ.-ის ოჯახს უწოდებენ. 
პარამეტრებზე დამოკიდებული 
და მოცემულია ელემენტარული მოვლენების იმავე სივრცეზე 
აღინიშნება 
ან 
შემთხვევითი პროცესი შეიძლება განისაზღვროს ფორმულის სახით (ანალიტიკური აღნიშვნა), თუ ცნობილია შემთხვევითი ფუნქციის ფორმა. მაგალითად, ს.ფ. არის r.p., სადაც შემთხვევითი ცვლადია 
აქვს ერთგვაროვანი განაწილება. ფიქსირებული ღირებულებისთვის 
, ს.პ. 
, შემდეგ რ.პ. გარდაიქმნება r.v. 
რომელსაც შემთხვევითი პროცესის კვეთა ეწოდება.
განხორციელებაან ტრაექტორიაშემთხვევითი პროცესი 
დაურეკა არა შემთხვევითიდროის ფუნქცია 
ფიქსირებულზე 
, ე.ი. ტესტირების შედეგად ს.პ. იღებს კონკრეტულ ფორმას. 
, ხოლო რეალიზაციის რ.ს. აღინიშნება 
,
სადაც ინდექსებში მითითებულია ტესტის ნომერი.
სურათი 59 გვიჩვენებს სამ განხორციელებას 
შემთხვევითი პროცესი ზე 
;
ისინი წააგავს სამი სინუსოიდური რხევითი ფენომენის ტიპებს ზოგიერთ მექანიკურ პროცესში, ხოლო თითოეული ასეთი რეალიზაცია (ტრაექტორია) ჩვეულებრივი ფუნქციაა. 
სურ.59 (დაწერილი).
ამ მაგალითში, r.v. 
სამ ექსპერიმენტში მან მიიღო სამი მნიშვნელობა, შესაბამისად: 1, 2, 0.5, ე.ი. აღნიშნულია ერთობლივი საწარმოს სამი განხორციელება: სამივე ფუნქცია არა შემთხვევითია. თუ ამ მაგალითში დავაფიქსირებთ დროის მომენტს, საათზე 
, შემდეგ ვიღებთ ჯვარედინი განყოფილებას: 
- შემთხვევითი ცვლადი ან 
, არის შემთხვევითი ცვლადები. გაითვალისწინეთ, რომ ე.წ შემთხვევითი პროცესის ერთგანზომილებიანი განაწილების კანონი 
არ არის ამომწურავი მახასიათებელი ს.პ.შემთხვევითი პროცესი
არის ყველა ჯვრის მონაკვეთის ნაკრები სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის 
ამიტომ, მისი სრული აღწერისთვის, გასათვალისწინებელია პროცესის ჯვარედინი მონაკვეთების ერთობლივი განაწილების ფუნქცია:
რ.პ.-ის განაწილების სასრულ-განზომილებიანი კანონის ე.წ. მომენტებში 
. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, წარმოიქმნება მრავალგანზომილებიანი r.v.s.
ამრიგად, კონცეფცია s.p. არის შემთხვევითი ცვლადების სისტემის კონცეფციის პირდაპირი განზოგადება, როდესაც ეს ცვლადები უსასრულო სიმრავლეა.
შემთხვევითი პროცესების თეორიამათემატიკური მეცნიერება ეწოდება, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს მათი განვითარების დინამიკაში.
შემთხვევითი პროცესების თეორია (სხვა ტერმინოლოგიაში - შემთხვევითი ფუნქციების თეორია) არის ალბათობის თეორიის შედარებით ახალი ფილიალი, რომელიც განსაკუთრებით სწრაფად ვითარდება ბოლო ათწლეულების განმავლობაში მისი პრაქტიკული გამოყენების მუდმივ გაფართოებასთან დაკავშირებით.
გარემომცველი სამყაროს ფენომენების შესწავლისას ხშირად ვაწყდებით პროცესებს, რომელთა მსვლელობის წინასწარ ზუსტი პროგნოზირება შეუძლებელია. ეს გაურკვევლობა (არაპროგნოზირებადობა) გამოწვეულია შემთხვევითი ფაქტორების გავლენით, რომლებიც გავლენას ახდენენ პროცესის მიმდინარეობაზე. მოდით მოვიყვანოთ ასეთი პროცესების რამდენიმე მაგალითი.
1. ძაბვა ელექტრო ქსელში, ნომინალურად მუდმივი და ტოლია 220 ვ, რეალურად იცვლება დროთა განმავლობაში, მერყეობს ნომინალური მნიშვნელობის გარშემო ისეთი შემთხვევითი ფაქტორების გავლენით, როგორიცაა ქსელთან დაკავშირებული მოწყობილობების რაოდენობა და ტიპი, მათი მომენტები. ჩართვა და გამორთვა და ა.შ.
2. ქალაქის (ან რეგიონის) მოსახლეობა დროთა განმავლობაში იცვლება შემთხვევითი (არაპროგნოზირებადი) გზით ისეთი ფაქტორების გავლენით, როგორიცაა დაბადება, სიკვდილი, მიგრაცია და ა.შ.
3. მდინარეში (ან წყალსაცავში) წყლის დონე დროთა განმავლობაში შემთხვევით იცვლება ამინდის, ნალექის, თოვლის დნობის, მორწყვის ინტენსივობის და ა.შ.
4. ნაწილაკი, რომელიც ახორციელებს ბრაუნის მოძრაობას მიკროსკოპის ხედვის ველში, თავის პოზიციას შემთხვევით ცვლის სითხის მოლეკულებთან შეჯახების შედეგად.
5. დაფრინავს კოსმოსური რაკეტა, რომელიც მოცემულ მომენტში უნდა იყოს გაშვებული კოსმოსის მოცემულ წერტილში მოცემული მიმართულებით და სიჩქარის ვექტორის აბსოლუტური მნიშვნელობით. რაკეტის რეალური მოძრაობა არ ემთხვევა გაანგარიშებულს ისეთი შემთხვევითი ფაქტორების გამო, როგორიცაა ატმოსფერული ტურბულენტობა, საწვავის ჰეტეროგენულობა, შეცდომები ბრძანების დამუშავებაში და ა.შ.
6. კომპიუტერი მუშაობის პროცესში შეიძლება შემთხვევით გადავიდეს მდგომარეობიდან სახელმწიფოში, მაგალითად:
S1- მუშაობს გამართულად;
S2- არის გაუმართაობა, მაგრამ არ არის გამოვლენილი;
S3- აღმოჩენილია გაუმართაობა, მიმდინარეობს მისი წყაროს ძებნა;
S4- სარემონტო და ა.შ.
მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე გადასვლა ხდება შემთხვევითი ფაქტორების გავლენის ქვეშ, როგორიცაა ძაბვის რყევები კომპიუტერის ელექტრომომარაგების ქსელში, ცალკეული ელემენტების გაუმართაობა, ხარვეზების გამოვლენის მომენტი, მათი აღმოფხვრის დრო და ა.შ.
მკაცრად რომ ვთქვათ, ბუნებაში არ არსებობს აბსოლუტურად არაშემთხვევითი, ზუსტად დეტერმინისტული პროცესები, მაგრამ არის პროცესები, რომლებზეც შემთხვევითი ფაქტორები იმდენად სუსტად მოქმედებს, რომ მათი უგულებელყოფა შესაძლებელია ფენომენის შესწავლისას (მაგალითად: პლანეტების პროცესი, რომლებიც ბრუნავენ პლანეტების ირგვლივ. მზე). თუმცა, არის ისეთი პროცესებიც, სადაც შემთხვევითობა თამაშობს მთავარ როლს (მაგალითი: ნაწილაკების ბრაუნის მოძრაობის ზემოთ განხილული პროცესი). ორ უკიდურესობას შორის არის მთელი რიგი პროცესები, რომლებშიც შანსი მეტ-ნაკლებად როლს თამაშობს. პროცესის შემთხვევითობის გათვალისწინება (ან არ გათვალისწინება) ასევე დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა პრაქტიკულ პრობლემას ვწყვეტთ. მაგალითად, თვითმფრინავების გადაადგილების დაგეგმვისას ორ წერტილს შორის, მათი ტრაექტორიები შეიძლება ჩაითვალოს სწორხაზოვანად, ხოლო მოძრაობა ერთგვაროვანია; იგივე ვარაუდები არ იმუშავებს, თუ მოგვარდება ავტოპილოტის დიზაინის პრობლემა, რომელიც აკონტროლებს თვითმფრინავის ფრენას.
არსებობს ორი ძირითადი ტიპის პრობლემა, რომელთა გადაწყვეტა მოითხოვს შემთხვევითი ფუნქციების თეორიის გამოყენებას (შემთხვევითი პროცესები).
პირდაპირი პრობლემა (ანალიზი):მოცემულია გარკვეული მოწყობილობის პარამეტრები და მისი სავარაუდო მახასიათებლები (მათემატიკური მოლოდინები, კორელაციის ფუნქციები, განაწილების კანონები) ფუნქციის (სიგნალი, პროცესი) მის „შეყვანამდე“; საჭიროა მოწყობილობის „გამომავალი“ მახასიათებლების განსაზღვრა (ისინი გამოიყენება მოწყობილობის „ხარისხის“ შესაფასებლად).
ინვერსიული პრობლემა (სინთეზი):მოცემულია „შესვლის“ და „გამომავალი“ ფუნქციების ალბათური მახასიათებლები; საჭიროა შეიმუშაოს ოპტიმალური მოწყობილობა (მოძებნოს მისი პარამეტრები), რომელიც გარდაქმნის მოცემულ შეყვანის ფუნქციას გამომავალ ფუნქციად, რომელსაც აქვს მოცემული მახასიათებლები. ამ პრობლემის გადაწყვეტას, შემთხვევითი ფუნქციების აპარატის გარდა, მოზიდვა და სხვა დისციპლინები სჭირდება.
შესავალი
შემთხვევითი პროცესების თეორია (შემთხვევითი ფუნქციები) არის მათემატიკური მეცნიერების ფილიალი, რომელიც სწავლობს შემთხვევითი ფენომენების ნიმუშებს მათი განვითარების დინამიკაში.
ამჟამად გამოჩნდა დიდი რაოდენობით ლიტერატურა, რომელიც უშუალოდ ეძღვნება რიგის თეორიას, მისი მათემატიკური ასპექტების განვითარებას, ასევე მისი გამოყენების სხვადასხვა სფეროს - სამხედრო, სამედიცინო, სატრანსპორტო, ვაჭრობას, ავიაციას და ა.შ.
რიგის თეორია ეფუძნება ალბათობის თეორიას და მათემატიკურ სტატისტიკას. რიგის თეორიის საწყისი განვითარება დაკავშირებულია დანიელი მეცნიერის ა.კ. ერლანგი (1878-1929), თავისი ნაწერებით სატელეფონო სადგურების დიზაინისა და ექსპლუატაციის შესახებ.
რიგის თეორია არის გამოყენებითი მათემატიკის დარგი, რომელიც ეხება წარმოების, მომსახურებისა და კონტროლის სისტემებში პროცესების ანალიზს, რომლებშიც ერთგვაროვანი მოვლენები მრავალჯერ მეორდება, მაგალითად, მომხმარებელთა მომსახურების საწარმოებში; ინფორმაციის მიღების, დამუშავებისა და გადაცემის სისტემებში; ავტომატური საწარმოო ხაზები და ა.შ.. ამ თეორიის შემუშავებაში დიდი წვლილი შეიტანეს რუსმა მათემატიკოსებმა ა.ი. ხინჩინი, ბ.ვ. გნედენკო, ა.ნ. კოლმოგოროვი, ე.ს. ვენცელი და სხვები.
რიგის თეორიის საგანია აპლიკაციების ნაკადის ბუნებას, სერვისის არხების რაოდენობას, ცალკეული არხის შესრულებასა და ეფექტურ სერვისს შორის ურთიერთობების დამყარება, რათა იპოვოთ ამ პროცესების კონტროლის საუკეთესო გზები. რიგის თეორიის ამოცანები ოპტიმიზაციის ხასიათს ატარებს და საბოლოოდ მოიცავს სისტემის ისეთი ვარიანტის განსაზღვრის ეკონომიკურ ასპექტს, რომელიც უზრუნველყოფს მინიმალურ მთლიან ხარჯებს სერვისის მოლოდინიდან, მომსახურებისთვის დროისა და რესურსების დაკარგვით და შეფერხებიდან. მომსახურების არხებიდან.
კომერციულ საქმიანობაში რიგის თეორიის გამოყენებამ ჯერ კიდევ ვერ იპოვა სასურველი განაწილება.
ეს ძირითადად განპირობებულია მიზნების დასახვის სირთულით, კომერციული საქმიანობის შინაარსის ღრმა გაგების აუცილებლობით, ასევე საიმედო და ზუსტი ინსტრუმენტებით, რომლებიც საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ სხვადასხვა ვარიანტები მენეჯერული გადაწყვეტილებების შედეგების შესახებ კომერციულ საქმიანობაში.
1. შემთხვევითი პროცესის განმარტება და მისი მახასიათებლები
შემთხვევითი პროცესი X(t) არის პროცესი, რომლის მნიშვნელობა t არგუმენტის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის არის შემთხვევითი ცვლადი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, შემთხვევითი პროცესი არის ფუნქცია, რომელსაც ტესტირების შედეგად შეუძლია მიიღოს ესა თუ ის კონკრეტული ფორმა, წინასწარ უცნობი. ფიქსირებული t =-დან X(to) არის ჩვეულებრივი შემთხვევითი ცვლადი, ე.ი. შემთხვევითი პროცესის ჯვარი მონაკვეთი იმ დროს.
X (t, w) შემთხვევითი პროცესის განხორციელება არის არა შემთხვევითი ფუნქცია x(t), რომელშიც შემთხვევითი პროცესი X(t) გადადის ტესტირების შედეგად (ფიქსირებული w-ისთვის), ე.ი. X(t) შემთხვევითი პროცესით მიღებული კონკრეტული ფორმა, მისი ტრაექტორია.
ამრიგად, შემთხვევითი პროცესი X (t, w) აერთიანებს შემთხვევითი ცვლადის და ფუნქციის მახასიათებლებს. თუ დავაფიქსირებთ t არგუმენტის მნიშვნელობას, შემთხვევითი პროცესი გადაიქცევა ჩვეულებრივ შემთხვევით ცვლადად, თუ დავაფიქსირებთ w, მაშინ ყოველი ცდის შედეგად ის იქცევა ჩვეულებრივ არა შემთხვევით ფუნქციად.
შემთხვევითი ცვლადის მსგავსად, შემთხვევითი პროცესი შეიძლება აღწერილი იყოს რიცხვითი მახასიათებლებით.
X(t) შემთხვევითი პროცესის მათემატიკური მოლოდინი არის არა შემთხვევითი ფუნქცია a x (t), რომელიც t ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის უდრის X(t) შემთხვევითი პროცესის შესაბამისი მონაკვეთის მათემატიკურ მოლოდინს, ე.ი. ნაჯახი (t) = M.
X(t) შემთხვევითი პროცესის ვარიაცია არა შემთხვევითი ფუნქციაა. დ x (t), t ცვლადის ნებისმიერი მნიშვნელობისთვის, უდრის X(t) შემთხვევითი პროცესის შესაბამისი მონაკვეთის დისპერსიას, ე.ი. Dx (t) = D.
Სტანდარტული გადახრა შემთხვევითი პროცესი X(t) არის მისი ვარიაციის კვადრატული ფესვის არითმეტიკული მნიშვნელობა, ე.ი.
შემთხვევითი პროცესის მათემატიკური მოლოდინი ახასიათებს მისი ყველა შესაძლო განხორციელების საშუალო ტრაექტორიას, ხოლო მისი ვარიაცია ან სტანდარტული გადახრა ახასიათებს განხორციელების გავრცელებას საშუალო ტრაექტორიასთან მიმართებაში.
შემთხვევითი პროცესის კორელაციური ფუნქცია X(t) არის არა შემთხვევითი ფუნქცია
ორი ცვლადი t1 და t 2, რომელიც t1 და t2 ცვლადების თითოეული წყვილისთვის უდრის X(t1) და X(t) შესაბამისი მონაკვეთების კოვარიანსს. 2) შემთხვევითი პროცესი.
X(t) შემთხვევითი პროცესის ნორმალიზებული კორელაციის ფუნქცია არის ფუნქცია
შემთხვევითი პროცესები შეიძლება კლასიფიცირდეს იმისდა მიხედვით, იცვლება თუ არა სისტემის მდგომარეობები, რომელშიც ისინი წარმოიქმნება, შეუფერხებლად ან მოულოდნელად, რა თქმა უნდა (დათვლად) თუ ამ მდგომარეობების უსასრულო რაოდენობა და ა.შ. შემთხვევით პროცესებს შორის განსაკუთრებული ადგილი უკავია მარკოვის შემთხვევით პროცესს. მაგრამ ჯერ გავეცნოთ რიგის თეორიის ძირითად ცნებებს.
2. ძირითადი ცნებები რიგის თეორია
პრაქტიკაში ხშირად ხვდება სისტემებს, რომლებიც შექმნილია მრავალჯერადი გამოყენებისთვის, იგივე ტიპის პრობლემების გადასაჭრელად. პროცესებს, რომლებიც წარმოიქმნება ამ შემთხვევაში, ეწოდება სერვისის პროცესები, ხოლო სისტემებს ეწოდება რიგის სისტემები (QS). ასეთი სისტემების მაგალითებია სატელეფონო სისტემები, სარემონტო მაღაზიები, კომპიუტერული სისტემები, ბილეთების ოფისები, მაღაზიები, საპარიკმახეროები და სხვა.
თითოეული QS შედგება გარკვეული რაოდენობის სერვისული ერთეულისგან (ინსტრუმენტები, მოწყობილობები, წერტილები, სადგურები), რომლებსაც ჩვენ ვუწოდებთ სერვისის არხებს. არხები შეიძლება იყოს საკომუნიკაციო ხაზები, საოპერაციო პუნქტები, კომპიუტერები, გამყიდველები და ა.შ. არხების რაოდენობის მიხედვით QS იყოფა ერთარხიან და მრავალარხებად.
აპლიკაციები, როგორც წესი, მოდის QS-ში არა რეგულარულად, არამედ შემთხვევით, რაც ქმნის ეგრეთ წოდებულ აპლიკაციების შემთხვევით ნაკადს (მოთხოვნებს). მოთხოვნის სერვისი, ზოგადად რომ ვთქვათ, ასევე გრძელდება გარკვეული დროით. აპლიკაციების ნაკადისა და მომსახურების დროის შემთხვევითი ხასიათი იწვევს იმ ფაქტს, რომ QS იტვირთება არათანაბრად: დროის ზოგიერთ მონაკვეთში, აპლიკაციების ძალიან დიდი რაოდენობა გროვდება (ისინი ან რიგში დგანან, ან ტოვებენ QS-ს გამოუყენებლად), ხოლო სხვა დროს. პერიოდებში QS მუშაობს დატვირთული ან უმოქმედოა.
რიგის თეორიის საგანი არის მათემატიკური მოდელების აგება, რომლებიც აკავშირებენ QS-ის მოცემულ ოპერაციულ პირობებს (არხების რაოდენობა, მათი შესრულება, მოთხოვნის ნაკადის ბუნება და ა. მოთხოვნების ნაკადით.
QS-ის შესრულების ინდიკატორებად გამოიყენება შემდეგი: განაცხადების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე; განაცხადების საშუალო რაოდენობა რიგში; მომსახურების მოლოდინის საშუალო დრო; მოლოდინის გარეშე სერვისზე უარის თქმის ალბათობა; ალბათობა იმისა, რომ რიგში მოთხოვნის რაოდენობა გადააჭარბებს გარკვეულ მნიშვნელობას და ა.შ.
QS იყოფა ორ ძირითად ტიპად (კლასებად): QS წარუმატებლობით და QS ლოდინით (რიგით). უარყოფით QS-ში მოთხოვნა, რომელიც მოდის იმ მომენტში, როდესაც ყველა არხი დაკავებულია, იღებს უარს, ტოვებს QS-ს და არ მონაწილეობს შემდგომ სერვისის პროცესში (მაგალითად, სატელეფონო საუბრის მოთხოვნა იმ მომენტში, როდესაც ყველა არხი არიან დაკავებულები, იღებს უარს და ტოვებს QS-ს უმოქმედოდ). ლოდინის დროს QS-ში, პრეტენზია, რომელიც მოდის იმ დროს, როდესაც ყველა არხი დაკავებულია, არ ტოვებს, მაგრამ დგას რიგებში მომსახურებისთვის.
ლოდინის მქონე QS იყოფა სხვადასხვა ტიპად იმის მიხედვით, თუ როგორ არის ორგანიზებული რიგი: რიგის შეზღუდული ან შეუზღუდავი სიგრძით, შეზღუდული ლოდინის დროით და ა.შ.
3. მარკოვის შემთხვევითი პროცესის კონცეფცია
QS პროცესი შემთხვევითი პროცესია.
პროცესს ეწოდება პროცესი დისკრეტული მდგომარეობებით, თუ მისი შესაძლო მდგომარეობები S1, S2, S3… შეიძლება წინასწარ იყოს ჩამოთვლილი და სისტემის გადასვლა მდგომარეობიდან მდგომარეობაზე ხდება მყისიერად (ნახტომი). პროცესს ეწოდება პროცესი უწყვეტი დროით, თუ სისტემის შესაძლო გადასვლის მომენტები მდგომარეობიდან მდგომარეობამდე წინასწარ არ არის დაფიქსირებული, არამედ შემთხვევითია.
QS ოპერაციის პროცესი არის შემთხვევითი პროცესი დისკრეტული მდგომარეობებით და უწყვეტი დროით. ეს ნიშნავს, რომ QS-ის მდგომარეობა მკვეთრად იცვლება ზოგიერთი მოვლენის გამოჩენის შემთხვევით მომენტებში (მაგალითად, ახალი მოთხოვნის ჩამოსვლა, მომსახურების დასრულება და ა.შ.).
QS-ის მუშაობის მათემატიკური ანალიზი მნიშვნელოვნად გამარტივებულია, თუ ამ სამუშაოს პროცესი მარკოვია. შემთხვევით პროცესს ეწოდება მარკოვი ან შემთხვევითი პროცესი შემდგომი ეფექტის გარეშე, თუ მომავალში პროცესის ალბათური მახასიათებლები დამოკიდებულია მხოლოდ მის ამჟამინდელ მდგომარეობაზე და არ არის დამოკიდებული იმაზე, თუ როდის და როგორ მივიდა სისტემა ამ მდგომარეობამდე.
მარკოვის პროცესის მაგალითი: სისტემა S არის მრიცხველი ტაქსში. სისტემის მდგომარეობა t დროს ხასიათდება იმ მომენტამდე მანქანით გავლილი კილომეტრების (მეათე კილომეტრების) რაოდენობით. დაე მრიცხველმა აჩვენოს ამ მომენტში. ალბათობა იმისა, რომ t > მრიცხველზე აჩვენებს კილომეტრების ამა თუ იმ რაოდენობას (უფრო ზუსტად, რუბლის შესაბამის რაოდენობას) S1 დამოკიდებულია So-ზე, მაგრამ არ არის დამოკიდებული იმ დროზე, როდესაც მრიცხველის ჩვენებები შეიცვალა მომენტამდე. რომ.
ბევრი პროცესი შეიძლება ჩაითვალოს დაახლოებით მარკოვიანად. მაგალითად, ჭადრაკის თამაშის პროცესი; სისტემა S არის ჭადრაკის ფიგურების ჯგუფი. სისტემის მდგომარეობა ხასიათდება მოწინააღმდეგის ფიგურების რაოდენობით, რომლებიც რჩება დაფაზე მომენტში. ალბათობა იმისა, რომ მატერიალური უპირატესობის მომენტში ერთ-ერთი მოწინააღმდეგის მხარე იქნება, პირველ რიგში დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა მდგომარეობაშია სისტემა ამ მომენტში და არა იმაზე, თუ როდის და რა თანმიმდევრობით გაქრა ფიგურები დაფიდან. მომენტამდე რომ.
ზოგიერთ შემთხვევაში განსახილველი პროცესების პრეისტორია შეიძლება უბრალოდ უგულებელვყოთ და მათ შესასწავლად გამოვიყენოთ მარკოვის მოდელები.
დისკრეტული მდგომარეობებით შემთხვევითი პროცესების გაანალიზებისას მოსახერხებელია გეომეტრიული სქემის - ე.წ. მდგომარეობის გრაფიკის გამოყენება. ჩვეულებრივ, სისტემის მდგომარეობა წარმოდგენილია მართკუთხედებით (წრეებით), ხოლო შესაძლო გადასვლები მდგომარეობიდან მდგომარეობამდე - ისრებით (ორიენტირებული რკალი), დამაკავშირებელი სახელმწიფოები.
მარკოვის შემთხვევითი პროცესის მათემატიკური აღწერისთვის დისკრეტული მდგომარეობებით და უწყვეტი დროით, რომელიც მიედინება QS-ში, მოდით გავეცნოთ ალბათობის თეორიის ერთ-ერთ მნიშვნელოვან კონცეფციას - მოვლენათა ნაკადის კონცეფციას.
. ღონისძიების ნაკადები
მოვლენების ნაკადი გაგებულია, როგორც ჰომოგენური მოვლენების თანმიმდევრობა, რომლებიც მიჰყვებიან ერთმანეთის მიყოლებით რაღაც შემთხვევით დროს (მაგალითად, ზარების ნაკადი სატელეფონო სადგურზე, კომპიუტერის გაუმართაობის ნაკადი, კლიენტების ნაკადი და ა.შ.).
ნაკადი ხასიათდება X ინტენსივობით - მოვლენების წარმოშობის სიხშირე ან QS-ში შესული მოვლენების საშუალო რაოდენობა დროის ერთეულზე.
მოვლენათა ნაკადს ეწოდება რეგულარული, თუ მოვლენები ერთმანეთის მიყოლებით მიჰყვება რეგულარული ინტერვალებით. მაგალითად, პროდუქტების ნაკადი შეკრების ხაზზე (მუდმივი სიჩქარით) რეგულარულია.
მოვლენათა ნაკადს სტაციონარული ეწოდება, თუ მისი სავარაუდო მახასიათებლები დროზე არ არის დამოკიდებული. კერძოდ, სტაციონარული ნაკადის ინტენსივობა არის მუდმივი მნიშვნელობა: მაგალითად, მანქანების ნაკადი ქალაქის გამზირზე არ არის სტაციონარული დღის განმავლობაში, მაგრამ ეს ნაკადი შეიძლება ჩაითვალოს სტაციონალურად დღის გარკვეულ მონაკვეთში, ვთქვათ, დროს. პიკის საათები. ამ შემთხვევაში, მანქანების რეალური რაოდენობა დროის ერთეულზე (მაგალითად, ყოველ წუთში) შეიძლება მნიშვნელოვნად განსხვავდებოდეს, მაგრამ მათი საშუალო რაოდენობა მუდმივია და არ იქნება დამოკიდებული დროზე.
მოვლენათა ნაკადს ეწოდება ნაკადი შემდგომი ეფექტის გარეშე, თუ რომელიმე ან ორი არაგადაკვეთის დროის ინტერვალით T1 და T2, ერთ-ერთ მათგანზე მოვლენილი მოვლენების რაოდენობა არ არის დამოკიდებული სხვაზე დადებული მოვლენების რაოდენობაზე. მაგალითად, მეტროში შესულ მგზავრთა ნაკადს თითქმის არანაირი ეფექტი არ აქვს. და, ვთქვათ, მომხმარებელთა ნაკადს, რომლებიც ტოვებენ დახლს თავიანთი შესყიდვებით, უკვე აქვს შემდგომი ეფექტი (თუ მხოლოდ იმიტომ, რომ ცალკეულ მომხმარებლებს შორის დროის ინტერვალი არ შეიძლება იყოს თითოეული მათგანისთვის მომსახურების მინიმალურ დროზე ნაკლები).
მოვლენათა ნაკადს ეწოდება ჩვეულებრივი თუ ალბათობა ორი ან მეტი მოვლენის დროს მცირე (ელემენტარული) დროის ინტერვალის დარტყმა უმნიშვნელოა თანერთი მოვლენის დარტყმის ალბათობა. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოვლენათა ნაკადი ჩვეულებრივია, თუ მასში მოვლენები ჩნდება სათითაოდ და არა ჯგუფურად. მაგალითად, სადგურთან მიმავალი მატარებლების ნაკადი ჩვეულებრივია, მაგრამ ვაგონების ნაკადი არ არის ჩვეულებრივი.
მოვლენათა ნაკადს ე.წ უმარტივესი(ან სტაციონარული პუასონი) თუ ის ერთდროულად სტაციონარულია, ჩვეულებრივია და არ აქვს შემდგომი ეფექტი. სახელწოდება „უმარტივესი“ აიხსნება იმით, რომ უმარტივესი ნაკადების მქონე QS-ს აქვს უმარტივესი მათემატიკური აღწერა. რეგულარული ნაკადი არ არის უმარტივესი, რადგან მას აქვს შემდგომი ეფექტი: ასეთ ნაკადში მოვლენების წარმოშობის მომენტები მკაცრად არის დაფიქსირებული.
უმარტივესი ნაკადი, როგორც შემზღუდველი ნაკადი, წარმოიქმნება შემთხვევითი პროცესების თეორიაში, ისევე ბუნებრივად, როგორც ალბათობის თეორიაში, ნორმალური განაწილება მიიღება როგორც შემზღუდველი შემთხვევითი ცვლადების ჯამისთვის: საკმარისად დიდი რაოდენობის n-ის დამოუკიდებელი ზედმეტობისას (ზედაპოზიცია) , სტაციონარული და ჩვეულებრივი ნაკადები (ერთმანეთთან შესადარებელი ინტენსივობით Аi (i=1,2…p)) ნაკადი ახლოს არის უმარტივესთან, რომლის ინტენსივობა X უდრის შემომავალი დინების ინტენსივობების ჯამს, ე.ი.
ბინომალური განაწილების კანონი:
პარამეტრებით
ბინომალური განაწილება პარამეტრით მიდრეკილია პუასონის განაწილებისკენ
რომლისთვისაც შემთხვევითი ცვლადის მათემატიკური მოლოდინი უდრის მის დისპერსიას:
კერძოდ, ალბათობა იმისა, რომ არც ერთი მოვლენა არ მოხდება t დროის განმავლობაში (t = 0) უდრის
ალბათობის სიმკვრივის ან განაწილების ფუნქციით მოცემული განაწილება არის ექსპონენციალური (ექსპონენციალური). ამრიგად, დროის ინტერვალი უმარტივესი ნაკადის ორ მიმდებარე თვითნებურ მოვლენას შორის აქვს ექსპონენციალური განაწილება, რომლის მათემატიკური მოლოდინი უდრის შემთხვევითი ცვლადის სტანდარტულ გადახრას:
და პირიქით დინების ინტენსივობის მიხედვით
ექსპონენციური განაწილების (მხოლოდ ექსპონენციური განაწილების თანდაყოლილი) ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება შემდეგია: თუ ექსპონენციალური კანონის მიხედვით განაწილებული დროის ინტერვალი უკვე გაგრძელდა გარკვეული დრო t, მაშინ ეს არ იმოქმედებს დარჩენილი ნაწილის განაწილების კანონზე. ინტერვალის (T - t): იგივე იქნება, ისევე როგორც მთელი T ინტერვალის განაწილების კანონი.
სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, დროის T ინტერვალისთვის ნაკადის ორ თანმიმდევრულ მეზობელ მოვლენას შორის, რომელსაც აქვს ექსპონენციალური განაწილება, ნებისმიერი ინფორმაცია იმის შესახებ, თუ რამდენი ხანი გავიდა ეს ინტერვალი, არ მოქმედებს ნარჩენების განაწილებაზე. ექსპონენციური კანონის ეს თვისება, არსებითად, არის კიდევ ერთი ფორმულირება „შემდეგ ეფექტის ნაკლებობის“ - უმარტივესი ნაკადის მთავარი თვისება.
ინტენსივობით უმარტივესი ნაკადისთვის ელემენტარული (პატარა) დროის ინტერვალზე At-ზე ნაკადის მინიმუმ ერთი მოვლენის დარტყმის ალბათობა უდრის:
(ეს მიახლოებითი ფორმულა, რომელიც მიღებულია ფუნქციის ჩანაცვლებით მისი გაფართოების მხოლოდ პირველი ორი წევრით, სერიაში At-ის სიმძლავრეებით, რაც უფრო ზუსტია, მით უფრო მცირეა At).
5. კოლმოგოროვის განტოლებები. შეზღუდეთ მდგომარეობების ალბათობა
პროცესის მდგომარეობის შესაბამისი გრაფიკი ნაჩვენებია ნახ. დავალებისკენ. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ სისტემის ყველა გადასვლა Si მდგომარეობიდან Sj-ზე ხდება ინტენსივობით მოვლენების უმარტივესი ნაკადების გავლენის ქვეშ. (მე , j = 0, 1, 2.3); ამრიგად, სისტემის გადასვლა S0 მდგომარეობიდან S1 მოხდება პირველი კვანძის წარუმატებლობის ნაკადის გავლენის ქვეშ, ხოლო S0 მდგომარეობიდან S1-ზე საპირისპირო გადასვლა მოხდება პირველი კვანძის „შეკეთების ბოლოების“ ნაკადის გავლენის ქვეშ და ა.შ.
სისტემის მდგომარეობის გრაფიკს ისრებზე მონიშნული ინტენსივობით ეწოდება ეტიკეტირებული (იხ. სურათი ზემოთ). განხილულ სისტემას S აქვს ოთხი შესაძლო მდგომარეობა: S0 , S1 S2, S3. i-ე მდგომარეობის ალბათობა არის ალბათობა pi(t), რომ t მომენტში სისტემა იქნება Si მდგომარეობაში. ცხადია, t ნებისმიერ მომენტში, ყველა მდგომარეობის ალბათობის ჯამი უდრის ერთს:
მოდით განვიხილოთ სისტემა t მომენტში და, მივცეთ მცირე ინტერვალი At, ვიპოვოთ ალბათობა po (t + At), რომ სისტემა t + At მომენტში იყოს S0 მდგომარეობაში. ეს მიიღწევა სხვადასხვა გზით.
1.სისტემა t მომენტში იყო S0 მდგომარეობაში, ალბათობით po (t), მაგრამ არ დატოვა იგი At დროის განმავლობაში.
სისტემის გამოყვანა შესაძლებელია ამ მდგომარეობიდან (იხ. დიაგრამა ნახატზე პრობლემისთვის) ინტენსივობით უმარტივესი ჯამური ნაკადის გამოყენებით. , დაახლოებით ტოლი ალბათობით
და ალბათობა იმისა, რომ სისტემა არ დატოვებს მდგომარეობას S0 უდრის . ალბათობა, რომ სისტემა იქნება S0 მდგომარეობაში და არ დატოვებს მას დროს At არის, ალბათობის გამრავლების თეორემის მიხედვით:
t დროს სისტემა იყო S1 ან S2 მდგომარეობაში, ალბათობით p1 (t) (ან p2 (t)) და დროში At გადავიდა მდგომარეობაში
ინტენსივობის ნაკადით სისტემა გადავა მდგომარეობამდე ასე ალბათობით დაახლოებით ტოლი . ალბათობა იმისა, რომ სისტემა იქნება მდგომარეობაში ასე რომ, ამ მეთოდის მიხედვით უდრის (ან )
ალბათობის დამატების თეორემის გამოყენებით, მივიღებთ:
ლიმიტის გავლა At 0 (დაახლოებითი ტოლობები გადაიქცევა ზუსტებად), ვიღებთ წარმოებულს განტოლების მარცხენა მხარეს (მოდით აღვნიშნოთ სიმარტივისთვის):
მიიღება პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება, ე.ი. განტოლება, რომელიც შეიცავს როგორც თავად უცნობ ფუნქციას, ასევე მის პირველი რიგის წარმოებულს.
ანალოგიურად მსჯელობით S სისტემის სხვა მდგომარეობებზე, ჩვენ შეგვიძლია მივიღოთ კოლმოგოროვის დიფერენციალური განტოლებების სისტემა მდგომარეობების ალბათობებისთვის:
ჩამოვაყალიბოთ კოლმოგოროვის განტოლებების შედგენის წესი. თითოეული მათგანის მარცხენა მხარეს არის i-ე მდგომარეობის ალბათობის წარმოებული. მარჯვენა მხარეს - ყველა მდგომარეობის ალბათობის ნამრავლების ჯამი (საიდანაც ისრები ამ მდგომარეობამდე მიდიან) მოვლენათა შესაბამისი ნაკადების ინტენსივობით გამოკლებული ყველა დინების ჯამური ინტენსივობა, რომელიც სისტემას ამ მდგომარეობიდან გამოჰყავს. , გამრავლებული მოცემულის ალბათობაზე (i-ე მდგომარეობა
ზემოთ მითითებულ სისტემაში დამოუკიდებელი განტოლებების რაოდენობა ერთით ნაკლებია განტოლებათა საერთო რაოდენობაზე. ამიტომ სისტემის ამოსახსნელად საჭიროა განტოლების დამატება
ზოგადად დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის თავისებურებაა ის, რომ საჭიროა ეგრეთ წოდებული საწყისი პირობების დაყენება, ამ შემთხვევაში სისტემის მდგომარეობების ალბათობა საწყის მომენტში t = 0. სისტემა იყო So მდგომარეობაში, ე.ი. საწყის პირობებში
კოლმოგოროვის განტოლებები საშუალებას იძლევა ვიპოვოთ მდგომარეობების ყველა ალბათობა, როგორც დროის ფუნქციები. განსაკუთრებით საინტერესოა სისტემის ალბათობები პ მე (ტ) შემზღუდველ სტაციონალურ რეჟიმში, ე.ი. ზე , რომლებსაც შემზღუდველი (საბოლოო) მდგომარეობის ალბათობები ეწოდება.
შემთხვევითი პროცესების თეორიაში დადასტურებულია, რომ თუ სისტემის მდგომარეობების რაოდენობა სასრულია და თითოეული მათგანიდან შესაძლებელია (სასრული რაოდენობის საფეხურებით) ნებისმიერ სხვა მდგომარეობაში გადასვლა, მაშინ არსებობს შეზღუდვის ალბათობა.
Si მდგომარეობის შეზღუდვის ალბათობას აქვს მკაფიო მნიშვნელობა: ის აჩვენებს საშუალო ფარდობით დროს, რომელსაც სისტემა ატარებს ამ მდგომარეობაში. მაგალითად, თუ სახელმწიფოს ზღვრული ალბათობა So, ე.ი. p0=0.5, ეს ნიშნავს, რომ სისტემა საშუალოდ S0 მდგომარეობაშია დროის ნახევარში.
ვინაიდან შემზღუდველი ალბათობები მუდმივია, მათი წარმოებულები კოლმოგოროვის განტოლებებში ნულოვანი მნიშვნელობებით შევცვალეთ, ვიღებთ ხაზოვანი ალგებრული განტოლებების სისტემას, რომელიც აღწერს სტაციონარულ რეჟიმს.
სიკვდილისა და რეპროდუქციის პროცესები
რიგის თეორიაში გავრცელებულია შემთხვევითი პროცესების სპეციალური კლასი - ე.წ. სიკვდილი და რეპროდუქციული პროცესები.ეს სახელწოდება დაკავშირებულია მთელ რიგ ბიოლოგიურ პრობლემასთან, სადაც ეს პროცესი ემსახურება ბიოლოგიური პოპულაციების რაოდენობის ცვლილების მათემატიკურ მოდელს.
განვიხილოთ სისტემის მდგომარეობების მოწესრიგებული ნაკრები S 0, S1, S2,…, სკ. გადასვლები შეიძლება განხორციელდეს ნებისმიერი შტატიდან მხოლოდ მეზობელი ნომრების მქონე სახელმწიფოებში, ე.ი. Sk-1 მდგომარეობიდან შესაძლებელია გადასვლა ან მდგომარეობაზე ან S k+11 მდგომარეობაზე .
ასეთი განტოლებების შედგენის წესის მიხედვით (კოლმოგოროვის განტოლება), ვიღებთ: S0 მდგომარეობისთვის.
დასკვნა
ეს აბსტრაქტი ავლენს ცნებებს, რომლებიც მიჰყავს შემთხვევითი რიგის პროცესის თეორიის სისტემურ ელემენტებს, კერძოდ: შემთხვევითი პროცესი, სერვისი, რიგის სისტემა, რიგის სისტემა.
ცნობები
შემთხვევითი მასა მარკოვი კოლმოგოროვი
1. ნ.შ. კრემერის "ალბათობის თეორია და მათემატიკური სტატისტიკა" ერთიანობა, მოსკოვი, 2003 წ
რეპეტიტორობა
გჭირდებათ დახმარება თემის შესწავლაში?
ჩვენი ექსპერტები გაგიწევენ კონსულტაციას ან გაგიწევენ სადამრიგებლო მომსახურებას თქვენთვის საინტერესო თემებზე.
განაცხადის გაგზავნათემის მითითება ახლავე, რათა გაიგოთ კონსულტაციის მიღების შესაძლებლობის შესახებ.
