თეორიული მინიმუმი

მრუდი და ზედაპირული ინტეგრალები ხშირად გვხვდება ფიზიკაში. ისინი მოდის ორ სახეობაში, რომელთაგან პირველი განიხილება აქ. ეს
ინტეგრალების ტიპი აგებულია ზოგადი სქემის მიხედვით, რომლის მიხედვითაც შემოდის განსაზღვრული, ორმაგი და სამმაგი ინტეგრალები. მოკლედ გავიხსენოთ ეს სქემა.
არის რაღაც ობიექტი, რომელზეც ხდება ინტეგრაცია (ერთგანზომილებიანი, ორგანზომილებიანი ან სამგანზომილებიანი). ეს ობიექტი დაყოფილია პატარა ნაწილებად,
თითოეულ ნაწილში არჩეულია წერტილი. თითოეულ ამ წერტილში ინტეგრანტის მნიშვნელობა გამოითვლება და მრავლდება იმ ნაწილის ზომაზე, რომელიც
მოცემული წერტილი ეკუთვნის (სეგმენტის სიგრძე, ნაწილობრივი ფართობის ფართობი ან მოცულობა). შემდეგ ყველა ასეთი პროდუქტი ჯამდება და ლიმიტი
ობიექტის უსასრულოდ მცირე ნაწილებად დაყოფაზე გადასვლა. მიღებულ ზღვარს ინტეგრალი ეწოდება.

1. პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის განმარტება

განვიხილოთ მრუდეზე განსაზღვრული ფუნქცია. ვარაუდობენ, რომ მრუდი გამოსწორებადია. გაიხსენეთ რას ნიშნავს ეს, უხეშად რომ ვთქვათ,
რომ პოლიხაზი შეიძლება ჩაიწეროს მრუდში თვითნებურად მცირე ბმულებით და უსასრულოდ დიდი რაოდენობის ბმულების ზღვარში პოლიხაზის სიგრძე უნდა დარჩეს
საბოლოო. მრუდი იყოფა სიგრძის ნაწილობრივ რკალებად და თითოეულ რკალზე არჩეულია წერტილი. ნაწარმოების შედგენა მიმდინარეობს
შეჯამება ყველა ნაწილობრივ რკალზე . შემდეგ ზღვარზე გადასვლა ხორციელდება უდიდესის სიგრძის ტენდენციით
ნაწილობრივი რკალებიდან ნულამდე. ლიმიტი არის პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალი
.
ამ ინტეგრალის მნიშვნელოვანი მახასიათებელი, რომელიც პირდაპირ გამომდინარეობს მისი განმარტებიდან, არის დამოუკიდებლობა ინტეგრაციის მიმართულებისაგან, ე.ი.
.

2. პირველი სახის ზედაპირის ინტეგრალის განმარტება

განვიხილოთ ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია გლუვ ან ნაწილებად გლუვ ზედაპირზე. ზედაპირი დაყოფილია ნაწილობრივ ნაწილებად
ტერიტორიებით, თითოეულ ასეთ ზონაში არჩეულია წერტილი. მიმდინარეობს ნაშრომის შედგენა , შეჯამება
ყველა ნაწილობრივ ფართობზე . შემდეგ ზღვარზე გადასასვლელი ხორციელდება ყველა ნაწილობრივი ყველაზე დიდი დიამეტრის ტენდენციით
ტერიტორიები ნულამდე. ლიმიტი არის პირველი სახის ზედაპირის ინტეგრალი
.

3. პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა

პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლის მეთოდი უკვე ჩანს მისი ფორმალური აღნიშვნით, მაგრამ სინამდვილეში ის პირდაპირ გამომდინარეობს
განმარტებები. ინტეგრალი მცირდება გარკვეულამდე, მხოლოდ საჭიროა ჩამოვწეროთ მრუდის რკალის დიფერენციალი, რომლის გასწვრივაც ხდება ინტეგრაცია.
დავიწყოთ ინტეგრაციის მარტივი შემთხვევით სიბრტყის მრუდის გასწვრივ, რომელიც მოცემულია აშკარა განტოლებით. ამ შემთხვევაში, რკალის დიფერენციალი
.
შემდეგ, ინტეგრანდში, ცვლადი იცვლება და ინტეგრალი იღებს ფორმას
,
სადაც სეგმენტი შეესაბამება ცვლადის ცვლილებას მრუდის იმ ნაწილის გასწვრივ, რომელზეც ხორციელდება ინტეგრაცია.

ძალიან ხშირად მრუდი პარამეტრულად არის დაყენებული, ე.ი. ტიპის განტოლებები. შემდეგ რკალის დიფერენციალი
.
ამ ფორმულის დასაბუთება ძალიან მარტივია. ძირითადად, ეს პითაგორას თეორემაა. რკალის დიფერენციალი რეალურად არის მრუდის უსასრულოდ მცირე ნაწილის სიგრძე.
თუ მრუდი გლუვია, მაშინ მისი უსასრულოდ მცირე ნაწილი შეიძლება ჩაითვალოს სწორხაზოვნად. სწორი ხაზისთვის, მიმართება
.
იმისათვის, რომ იგი განხორციელდეს მრუდის მცირე რკალისთვის, უნდა გადავიდეს სასრული ნამატებიდან დიფერენციალებზე:
.
თუ მრუდი მოცემულია პარამეტრულად, მაშინ დიფერენციაციები უბრალოდ გამოითვლება:
და ა.შ.
შესაბამისად, ინტეგრანდში ცვლადების შეცვლის შემდეგ, მრუდი ინტეგრალი გამოითვლება შემდეგნაირად:
,
სადაც მრუდის ნაწილი, რომლის გასწვრივაც ხდება ინტეგრაცია, შეესაბამება პარამეტრის ცვლილების სეგმენტს.

სიტუაცია გარკვეულწილად უფრო რთულია, როდესაც მრუდი მითითებულია მრუდის კოორდინატებში. ეს საკითხი, როგორც წესი, განიხილება დიფერენციაციის ფარგლებში
გეომეტრია. მოდით მივცეთ ფორმულა პოლარული კოორდინატებში მოცემული მრუდის გასწვრივ ინტეგრალის გამოსათვლელად განტოლებით:
.
მოდით ასევე დავამტკიცოთ რკალის დიფერენციალი პოლარულ კოორდინატებში. პოლარული კოორდინატთა სისტემის ბადეების დეტალური განხილვა
სმ. . მოდით ავირჩიოთ მრუდის პატარა რკალი, რომელიც მდებარეობს კოორდინატთა ხაზებთან მიმართებაში, როგორც ნაჩვენებია ნახ. 1. ყველას სიმცირის გამო
ისევ რკალი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ პითაგორას თეორემა და დაწეროთ:
.
აქედან მოჰყვება სასურველი გამოხატულება რკალის დიფერენციალისთვის.

წმინდა თეორიული თვალსაზრისით, საკმაოდ მარტივია იმის გაგება, რომ პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალი უნდა დაიყვანოს მის განსაკუთრებულ შემთხვევამდე -
გარკვეული ინტეგრალი. მართლაც, მრუდის პარამეტრიზაციით ნაკარნახევი ცვლილება, რომლის მიხედვითაც ინტეგრალი გამოითვლება, ჩვენ ვადგენთ
ერთი-ერთზე დასახვა მოცემული მრუდის ნაწილსა და პარამეტრის ცვლილების სეგმენტს შორის. და ეს არის შემცირება ინტეგრალამდე
სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც ემთხვევა კოორდინატთა ღერძს - განსაზღვრული ინტეგრალი.

4. პირველი სახის ზედაპირის ინტეგრალის გამოთვლა

წინა პუნქტის შემდეგ ცხადი უნდა იყოს, რომ პირველი სახის ზედაპირის ინტეგრალის გამოთვლის ერთ-ერთი მთავარი ნაწილია ზედაპირის ელემენტის ჩაწერა.
რომელზედაც ხდება ინტეგრაცია. ისევ, დავიწყოთ ზედაპირის მარტივი შემთხვევით, რომელიც მოცემულია აშკარა განტოლებით. მერე
.
ინტეგრანდში ხდება ცვლილება და ზედაპირული ინტეგრალი მცირდება ორმაგ ინტეგრალამდე:
,
სად არის სიბრტყის რეგიონი, რომელშიც ზედაპირის ნაწილია დაპროექტებული, რომელზედაც ხდება ინტეგრაცია.

თუმცა, ხშირად შეუძლებელია ზედაპირის დაზუსტება მკაფიო განტოლებით, შემდეგ კი ის პარამეტრულად ზუსტდება, ე.ი. ფორმის განტოლებები
.
ზედაპირის ელემენტი ამ შემთხვევაში უფრო რთულად არის დაწერილი:
.
ზედაპირის ინტეგრალი იწერება შესაბამისი გზით:
,
სადაც არის პარამეტრების დიაპაზონი, რომელიც შეესაბამება ზედაპირის იმ ნაწილს, რომელზეც ხორციელდება ინტეგრაცია.

5. პირველი სახის მრუდი და ზედაპირული ინტეგრალების ფიზიკური მნიშვნელობა

განხილულ ინტეგრალებს აქვთ ძალიან მარტივი და მკაფიო ფიზიკური მნიშვნელობა. იყოს მრუდი, რომლის წრფივი სიმკვრივე არ არის
მუდმივი და არის წერტილის ფუნქცია . ვიპოვოთ ამ მრუდის მასა. მოდით დავყოთ მრუდი ბევრ წვრილ ელემენტად,
რომლის ფარგლებშიც მისი სიმკვრივე შეიძლება ჩაითვალოს დაახლოებით მუდმივი. თუ მრუდის პატარა ნაწილის სიგრძე არის , მაშინ მისი მასა
, სად არის მრუდის არჩეული ნაწილის რომელიმე წერტილი (ნებისმიერი, რადგან სიმკვრივე არის შიგნით
ამ ნაწილის სავარაუდო მუდმივია). შესაბამისად, მთელი მრუდის მასა მიიღება მისი ცალკეული ნაწილების მასების შეჯამებით:
.
იმისთვის, რომ თანასწორობა ზუსტი გახდეს, მრუდის უსასრულოდ მცირე ნაწილებად დაყოფის ზღვარზე უნდა მივიდეთ, მაგრამ ეს არის პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი.

ანალოგიურად, მრუდის მთლიანი მუხტის საკითხი წყდება, თუ ცნობილია მუხტის წრფივი სიმკვრივე. .

ეს მოსაზრებები ადვილად გადადის არათანაბრად დამუხტული ზედაპირის შემთხვევაში ზედაპირული მუხტის სიმკვრივით . მერე
ზედაპირული მუხტი არის პირველი სახის ზედაპირული ინტეგრალი
.

შენიშვნა . ზედაპირული ელემენტის უხერხული ფორმულა, რომელიც პარამეტრულად არის მოცემული, არასასიამოვნოა დამახსოვრებისთვის. სხვა გამოხატულება მიიღება დიფერენციალურ გეომეტრიაში,
იგი იყენებს ე.წ. ზედაპირის პირველი კვადრატული ფორმა.

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალების გამოთვლის მაგალითები

მაგალითი 1 ინტეგრალური ხაზის გასწვრივ.
გამოთვალეთ ინტეგრალი

წერტილებში გამავალი ხაზის სეგმენტის გასწვრივ და .

პირველ რიგში, ჩვენ ვწერთ სწორი ხაზის განტოლებას, რომლის გასწვრივაც ხდება ინტეგრაცია: . მოდი ვიპოვოთ გამოთქმა:
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს:

მაგალითი 2 ინტეგრალი სიბრტყეში მრუდის გასწვრივ.
გამოთვალეთ ინტეგრალი

პარაბოლის რკალის გასწვრივ წერტილიდან წერტილამდე.

მოცემული წერტილები და საშუალებას გვაძლევს გამოვხატოთ ცვლადი პარაბოლის განტოლებიდან: .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს:
.

თუმცა, შესაძლებელი იყო გამოთვლების განხორციელება სხვა გზით, იმ ფაქტის გამოყენებით, რომ მრუდი მოცემულია განტოლებით, რომელიც ამოხსნილია ცვლადის მიმართ.
თუ პარამეტრად ავიღებთ ცვლადს, მაშინ ეს გამოიწვევს რკალის დიფერენციალური გამოხატვის უმნიშვნელო ცვლილებას:
.
შესაბამისად, ინტეგრალი გარკვეულწილად შეიცვლება:
.
ეს ინტეგრალი ადვილად გამოითვლება ცვლადის დიფერენციალის ქვეშ შეყვანით. შედეგი არის იგივე ინტეგრალი, როგორც გამოთვლის პირველ მეთოდში.

მაგალითი 3 ინტეგრალი სიბრტყეში მრუდის გასწვრივ (პარამეტრიზაციის გამოყენებით).
გამოთვალეთ ინტეგრალი

გარშემოწერილობის ზედა ნახევრის გასწვრივ .

თქვენ, რა თქმა უნდა, შეგიძლიათ გამოხატოთ ერთ-ერთი ცვლადი წრის განტოლებიდან და შემდეგ განახორციელოთ დანარჩენი გამოთვლები სტანდარტული გზით. მაგრამ თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ
პარამეტრული მრუდის სპეციფიკაცია. მოგეხსენებათ, წრე შეიძლება განისაზღვროს განტოლებებით. ზედა ნახევარწრე
შეესაბამება პარამეტრის შეცვლას შიგნით. გამოთვალეთ რკალის დიფერენციალი:
.
ამრიგად,

მაგალითი 4 ინტეგრალი მრუდის გასწვრივ სიბრტყეში მოცემული პოლარულ კოორდინატებში.
გამოთვალეთ ინტეგრალი

ლემნისკატის მარჯვენა წილის გასწვრივ .

ზემოთ ნახაზზე ნაჩვენებია ლემნისკატი. ინტეგრაცია უნდა განხორციელდეს მისი მარჯვენა წილის გასწვრივ. ვიპოვოთ მრუდის რკალის დიფერენციალი :
.
შემდეგი ნაბიჯი არის პოლარული კუთხით ინტეგრაციის საზღვრების განსაზღვრა. ცხადია, რომ უთანასწორობა უნდა შენარჩუნდეს და ამიტომ
.
ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს:

მაგალითი 5 ინტეგრალური მრუდის გასწვრივ სივრცეში.
გამოთვალეთ ინტეგრალი

პარამეტრის ცვლილების საზღვრების შესაბამისი სპირალის შემობრუნების გასწვრივ

მრუდის მასის პრობლემა.მოდით, ნაწილებად გლუვი მასალის მრუდის L: (AB) თითოეულ წერტილზე იყოს მოცემული მისი სიმკვრივე. განსაზღვრეთ მრუდის მასა.

ვაგრძელებთ ისევე, როგორც ბრტყელი რეგიონის (ორმაგი ინტეგრალი) და სივრცითი სხეულის (სამმაგი ინტეგრალი) მასის განსაზღვრისას.

1. რეგიონ-რკალი L-ის დაყოფის ორგანიზება ელემენტებად - ელემენტარულ რკალებად ისე, რომ ამ ელემენტებს არ ჰქონდეთ საერთო შიდა წერტილები და
(მდგომარეობა ა )

2. ჩვენ ვნიშნავთ დანაყოფის ელემენტებზე „მონიშნული წერტილები“ ​​M i და გამოვთვლით მათში ფუნქციის მნიშვნელობებს.

3. ააგეთ ინტეგრალური ჯამი
, სად - რკალის სიგრძე (როგორც წესი, შემოღებულია რკალის და მისი სიგრძის იგივე აღნიშვნები). ეს არის მრუდის მასის სავარაუდო მნიშვნელობა. გამარტივება იმაში მდგომარეობს, რომ ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ რკალის სიმკვრივე მუდმივია თითოეულ ელემენტზე და ავიღეთ ელემენტების სასრული რაოდენობა.

პირობით ზღვარზე გადასვლა
(მდგომარეობა B ), ჩვენ ვიღებთ პირველი სახის მრუდი ინტეგრალს, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარს:

.

არსებობის თეორემა 10 .

დაუშვით ფუნქცია
უწყვეტია ნაწილებად გლუვ რკალზე L 11 . მაშინ პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი არსებობს, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარი.

კომენტარი.ეს ზღვარი არ არის დამოკიდებული

დანაყოფის არჩევის მეთოდი, სანამ პირობა A

დანაყოფის ელემენტებზე "მონიშნული წერტილების" შერჩევა,

დანაყოფის დახვეწის მეთოდი, სანამ B პირობა დაკმაყოფილებულია

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის თვისებები.

1. წრფივობაა) სუპერპოზიციის თვისება

ბ) ჰომოგენურობის თვისება
.

მტკიცებულება. მოდით ჩავწეროთ ტოლობების მარცხენა მხარეს არსებული ინტეგრალების ინტეგრალური ჯამები. ვინაიდან ინტეგრალურ ჯამში წევრთა რაოდენობა სასრულია, მოდით გადავიდეთ ტოლობების მარჯვენა მხარის ინტეგრალურ ჯამებზე. შემდეგ გადავდივართ ზღვრამდე, თანასწორობაში ზღვარზე გადასვლის თეორემის მიხედვით ვიღებთ სასურველ შედეგს.

2. ადიტიურობა.Თუ
, მაშინ
=
+

მტკიცებულება. ჩვენ ვირჩევთ L დომენის დანაყოფს ისე, რომ დანაყოფის არცერთი ელემენტი (თავდაპირველად და როდესაც დანაყოფი დახვეწილია) არ შეიცავდეს ერთდროულად L 1 და L 2 ელემენტებს. ამის გაკეთება შესაძლებელია არსებობის თეორემით (შენიშვნა თეორემაზე). გარდა ამისა, მტკიცებულება ხორციელდება ინტეგრალური ჯამების მიხედვით, როგორც 1 ნაწილში.

3.
.Აქ - რკალის სიგრძე .

4. თუ რკალზე მაშინ უთანასწორობა დაკმაყოფილებულია

მტკიცებულება. ჩავწეროთ უტოლობა ინტეგრალური ჯამებისთვის და გადავიდეთ ზღვრამდე.

გაითვალისწინეთ, რომ, კერძოდ, შესაძლებელია

5. შეფასების თეორემა.

თუ არსებობს მუდმივები
, რაღაც

მტკიცებულება. უთანასწორობის ინტეგრირება
(საკუთრება 4), ვიღებთ
. თვისებით 1 მუდმივებით
შეიძლება ამოღებულ იქნას ინტეგრალების ქვემოდან. თვის 3-ის გამოყენებით ვიღებთ სასურველ შედეგს.

6. საშუალო თეორემა(ინტეგრალის მნიშვნელობა).

არის წერტილი
, რა

მტკიცებულება. ფუნქციიდან გამომდინარე
უწყვეტია დახურულ შემოსაზღვრულ კომპლექტზე , მაშინ მისი infimum არსებობს
და ზედა ზღვარი
. უთანასწორობა შესრულებულია. ორივე ნაწილის L-ზე გაყოფით მივიღებთ
. მაგრამ ნომერი
ჩასმულია ფუნქციის ქვედა და ზედა საზღვრებს შორის. ფუნქციიდან გამომდინარე
უწყვეტია დახურულ შემოსაზღვრულ L სიმრავლეზე, შემდეგ რაღაც მომენტში
ფუნქციამ უნდა მიიღოს ეს მნიშვნელობა. აქედან გამომდინარე,
.

პარამეტრული განტოლებებით მოცემულ მრუდს AB ეწოდება გლუვი, თუ ფუნქციები აქვთ და აქვთ უწყვეტი წარმოებულები სეგმენტზე და, უფრო მეტიც, თუ ეს წარმოებულები არ არსებობს სეგმენტის წერტილების სასრულ რაოდენობაზე ან ერთდროულად ქრება, მაშინ მრუდს ეწოდება ცალმხრივი გლუვი. . მოდით AB იყოს სიბრტყის მრუდი, გლუვი ან ნაწილებად გლუვი. დავუშვათ, f(M) არის ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია AB მრუდზე ან ამ მრუდის შემცველ D დომენში. განვიხილოთ A B მრუდის დაყოფა წერტილებად (ნახ. 1). ჩვენ ვირჩევთ თვითნებურ წერტილს Mk თითოეულ რკალზე A^At+i და ვადგენთ ჯამს, სადაც Alt არის რკალის სიგრძე და ვუწოდებთ მას f(M) ფუნქციის ინტეგრალურ ჯამს მრუდის რკალის სიგრძეზე. . მოდით D / იყოს ყველაზე დიდი ნაწილობრივი რკალების სიგრძეებიდან, ე.ი. 1-ლი სახის მრუდი ინტეგრალების თვისებები სივრცის მოსახვევებისთვის. მე-2 ტიპის მრუდი ინტეგრალები თუ , ინტეგრალურ ჯამს (I) აქვს სასრული ზღვარი, რომელიც არ არის დამოკიდებული არც AB მრუდის ნაწილებად დაყოფის მეთოდზე, არც დანაყოფის თითოეულ რკალზე წერტილების არჩევაზე, მაშინ ეს ზღვარი ე.წ. f (M) ფუნქციის \ -ე სახის მრუდი ინტეგრალი AB მრუდის გასწვრივ (ინტეგრალი მრუდის რკალის სიგრძეზე) და აღინიშნება სიმბოლოთი ამ შემთხვევაში ფუნქცია / (M) ე.წ. ინტეგრირებადი ABU მრუდის გასწვრივ, მრუდს AB ეწოდება ინტეგრაციის კონტური, A - საწყისი, B - ინტეგრაციის ბოლო წერტილები. ამგვარად, განმარტებით, მაგალითი 1. მოდით, J(M) ცვლადი წრფივი სიმკვრივის მასა განაწილებული იყოს გლუვი L მრუდის გასწვრივ. იპოვეთ L მრუდის მასა m. (2) მოდით, მრუდი L გავყოთ n თვითნებურ ნაწილად) და გამოვთვალოთ დაახლოებით თითოეული ნაწილის მასა, თუ დავუშვებთ, რომ სიმკვრივე თითოეულ ნაწილზე მუდმივია და სიმკვრივის ტოლია ზოგიერთში. მისი წერტილებიდან, მაგალითად, უკიდურეს მარცხენა წერტილში /(Af*). მაშინ ჯამი ksho სადაც D/d არის Dz-ე ნაწილის სიგრძე, იქნება m მასის მიახლოებითი მნიშვნელობა. ცხადია, რომ შეცდომა იქნება რაც უფრო მცირე, მით უფრო წვრილად იქნება მრუდის გაყოფა L. ლიმიტი, რადგან მივიღებთ L მრუდის მასის ზუსტ მნიშვნელობას, ე.ი. მაგრამ ზღვარი მარჯვნივ არის პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი. აქედან გამომდინარე, 1.1. 1-ლი სახის მრუდი ინტეგრალის არსებობა AB მრუდზე პარამეტრად ავიღოთ რკალის სიგრძე I, დათვლილი საწყისი A წერტილიდან (ნახ. 2). შემდეგ მრუდი AB შეიძლება აღიწეროს (3) განტოლებებით, სადაც L არის AB მრუდის სიგრძე. განტოლებებს (3) ეწოდება AB მრუდის ბუნებრივი განტოლებები. ბუნებრივ განტოლებაზე გადასვლისას, AB მრუდზე მოცემული ფუნქცია f(x) y) დაიყვანება I ცვლადის ფუნქციამდე: / (x(1)) y(1)). Mku წერტილის შესაბამისი I პარამეტრის მნიშვნელობით აღვნიშნავთ ინტეგრალურ ჯამს (I) სახით. ამრიგად, (5) თეორემა 1. თუ ფუნქცია f(M) არის უწყვეტი AB გლუვი მრუდის გასწვრივ, მაშინ არსებობს მრუდი ინტეგრალი (რადგან ამ პირობებში არსებობს განსაზღვრული ინტეგრალი მარჯვნივ ტოლობაში (5). 1.2. 1-ლი სახის მრუდი ინტეგრალების თვისებები 1. ინტეგრალური ჯამის (1) ფორმიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული ინტეგრაციის მიმართულებაზე. 2. წრფივობა. თუ /() თითოეული ფუნქციისთვის არის მრუდი ინტეგრალი ABt მრუდის გასწვრივ, მაშინ a/ ფუნქციისთვის, სადაც a და /3 არის ნებისმიერი მუდმივი, ასევე არსებობს მრუდი ინტეგრალი მრუდის გასწვრივ AB> და 3. დამატება. . თუ მრუდი AB შედგება ორი ნაწილისგან და /(M) ფუნქციისთვის არის მრუდი ინტეგრალი ABU-ზე, მაშინ არის ინტეგრალი და 4. თუ 0 მრუდზე AB, მაშინ 5. თუ ფუნქცია ინტეგრირებადია AB მრუდზე. , შემდეგ ფუნქცია || ასევე ინტეგრირებადია A B-ზე და უფრო მეტიც, b. საშუალო მნიშვნელობის ფორმულა. თუ ფუნქცია / არის უწყვეტი AB მრუდის გასწვრივ, მაშინ ამ მრუდზე არის წერტილი Mc ისეთი, სადაც L არის AB მრუდის სიგრძე. 1.3. პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა მოდით მრუდი AB მოცემულია პარამეტრული განტოლებებით, სადაც A წერტილი შეესაბამება მნიშვნელობას t = to, ხოლო B წერტილი შეესაბამება მნიშვნელობას. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ ფუნქციები) უწყვეტია მათ წარმოებულებთან ერთად და უტოლობა მოქმედებს, შემდეგ მრუდის რკალის დიფერენციალი გამოითვლება B ფორმულით - მნიშვნელობა x = 6, შემდეგ, x პარამეტრად ავიღებთ. მიიღეთ 1.4. პირველი სახის მრუდი ინტეგრალები სივრცული მრუდებისათვის ზემოთ ჩამოყალიბებული პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალის განმარტება, რომელიც ჩამოყალიბებულია სიბრტყე მრუდისთვის, ფაქტიურად შეიძლება გადავიდეს იმ შემთხვევაზე, როდესაც ფუნქცია f(M) მოცემულია სივრცითი მრუდის AB გასწვრივ. მრუდი AB მოცემული იყოს პარამეტრული განტოლებებით 1-ლი სახის მრუდი ინტეგრალების თვისებები სივრცული მოსახვევებისთვის მრუდი ინტეგრალები მე-2 ტიპის ინტეგრალის, სადაც L არის სამკუთხედის კონტური წვეროებით * წერტილში (ნახ. 3). დანამატის თვისებით გვაქვს მოდით გამოვთვალოთ თითოეული ინტეგრალი ცალ-ცალკე. ვინაიდან OA სეგმენტზე გვაქვს: , შემდეგ AH სეგმენტზე გვაქვს, საიდან და შემდეგ ნახ. და ბოლოს, ამიტომ, შენიშვნა. ინტეგრალების გამოთვლისას გამოვიყენეთ თვისება 1, რომლის მიხედვითაც. მეორე სახის მრუდი ინტეგრალები მოდით AB იყოს გლუვი ან ნაწილებად-გლუვი ორიენტირებული მრუდი xOy სიბრტყეზე და იყოს ვექტორული ფუნქცია განსაზღვრული ზოგიერთ D დომენში, რომელიც შეიცავს მრუდს AB. მრუდს AB ვყოფთ ნაწილებად წერტილებად, რომელთა კოორდინატებს შესაბამისად აღვნიშნავთ (ნახ. 4). თითოეულ ელემენტარულ რკალზე AkAk+\ ვიღებთ თვითნებურ წერტილს და ვადგენთ ჯამს, ვთქვათ D/ არის რკალთაგან ყველაზე დიდის სიგრძე განმარტება. თუ , ჯამს (1) აქვს სასრული ზღვარი, რომელიც არ არის დამოკიდებული AB მრუდის გაყოფის მეთოდზე ან rjk წერტილების არჩევაზე ელემენტარულ რკალებზე, მაშინ ამ ზღვარს ეწოდება 2-ქალაქის მრუდი ინტეგრალი. ვექტორული ფუნქციის AB მრუდზე და აღინიშნება სიმბოლოთ So განმარტებით თეორემა 2. თუ ფუნქციები უწყვეტია ზოგიერთ D დომენში, რომელიც შეიცავს AB მრუდს, მაშინ არსებობს 2-ქალაქის მრუდი ინტეგრალი. მოდით იყოს M(x, y) წერტილის რადიუსის ვექტორი. მაშინ ინტეგრადი ფორმულაში (2) ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს F(M) და dr ვექტორების სკალარული ნამრავლის სახით. ამრიგად, ვექტორული ფუნქციის მე-2 ტიპის ინტეგრალი AB მრუდის გასწვრივ შეიძლება მოკლედ დაიწეროს შემდეგნაირად: 2.1. მე-2 სახის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა მოდით მრუდი AB მოცემული იყოს პარამეტრული განტოლებებით, სადაც ფუნქციები უწყვეტია სეგმენტზე წარმოებულებთან ერთად და t პარამეტრის ცვლილება t0-დან t \ შეესაბამება a-ის მოძრაობას. მიუთითეთ AB მრუდის გასწვრივ A წერტილიდან B წერტილამდე. თუ რომელიმე D რეგიონში, რომელიც შეიცავს AB მრუდს, ფუნქციები უწყვეტია, მაშინ მე-2 ტიპის მრუდი ხაზოვანი ინტეგრალი მცირდება შემდეგ განსაზღვრულ ინტეგრალამდე: ამგვარად, გაანგარიშება მე-2 ტიპის მრუდი ინტეგრალი ასევე შეიძლება შემცირდეს განსაზღვრული ინტეგრალის გაანგარიშებამდე. O) მაგალითი 1. გამოთვალეთ ინტეგრალი სწორი ხაზის გასწვრივ, რომელიც აკავშირებს წერტილებს 2) პარაბოლას გასწვრივ, რომელიც აკავშირებს იმავე წვრილი ხაზებს) წრფის პარამეტრის განტოლება, საიდანაც So 2) AB წრფის განტოლება: აქედან გამომდინარე, განხილული მაგალითი სცხებს, რომ მე-2 ტიპის მრუდი ინტეგრალის მნიშვნელობა, ზოგადად, დამოკიდებულია ინტეგრაციის გზის ფორმაზე. 2.2. მეორე სახის მრუდი ხაზოვანი ინტეგრალის a თვისებები 1. წრფივობა. თუ არსებობს 1-ლი სახის მრუდი ინტეგრალების თვისებები სივრცითი მრუდებისთვის მრუდი წრფივი ინტეგრალები მე-2 ტიპის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა თვისებები შორის კავშირი მაშინ ნებისმიერი რეალური a და /5-სთვის არის ინტეგრალი, სადაც 2. Additenost. თუ მრუდი AB დაყოფილია AC და SB ნაწილებად და არსებობს მრუდი ინტეგრალი, მაშინ ინტეგრალებიც არსებობენ. ცვლის საპირისპირო ნიშანს. 2.3. კავშირი 1-ლი და მე-2 სახის მრუდი ინტეგრალებს შორის განვიხილოთ მე-2 სახის მრუდი ინტეგრალი, რომელზეც ორიენტირებულია მრუდი AB) (ნახ. 6). მაშინ dr ან სადაც r = m(1) არის AB მრუდის ტანგენტის ერთეული ვექტორი M(1) წერტილში. შემდეგ გაითვალისწინეთ, რომ ამ ფორმულაში ბოლო ინტეგრალი არის პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალი. როდესაც AB მრუდის ორიენტაცია იცვლება, ტანგენტის r ერთეული ვექტორი იცვლება საპირისპირო ვექტორით (-r), რაც იწვევს მისი ინტეგრატის ნიშნის და, შესაბამისად, თავად ინტეგრალის ნიშნის ცვლილებას.

ლექცია 5 1-ლი და მე-2 ტიპის მრუდი ინტეგრალები, მათი თვისებები ..

მრუდის მასის პრობლემა. პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი.

მრუდის მასის პრობლემა.მოდით, ნაწილებად-გლუვი მასალის მრუდის L: (AB) თითოეულ წერტილში მოცემული იყოს მისი სიმკვრივე. განსაზღვრეთ მრუდის მასა.

ვაგრძელებთ ისევე, როგორც ბრტყელი რეგიონის (ორმაგი ინტეგრალი) და სივრცითი სხეულის (სამმაგი ინტეგრალი) მასის განსაზღვრისას.

1. მოაწყეთ რკალის რეგიონის L დაყოფა ელემენტებად - ელემენტარულ რკალებად ისე, რომ ამ ელემენტებს არ ჰქონდეთ საერთო შიდა წერტილები და ( მდგომარეობა ა )

3. ავაშენოთ ინტეგრალური ჯამი, სადაც არის რკალის სიგრძე (როგორც წესი, იგივე აღნიშვნებია შემოტანილი რკალის და მისი სიგრძისთვის). ეს არის მრუდის მასის სავარაუდო მნიშვნელობა. გამარტივება იმაში მდგომარეობს, რომ ჩვენ ვივარაუდეთ, რომ რკალის სიმკვრივე მუდმივია თითოეულ ელემენტზე და ავიღეთ ელემენტების სასრული რაოდენობა.

პირობით ზღვარზე გადასვლა (მდგომარეობა B ), ჩვენ ვიღებთ პირველი სახის მრუდი ინტეგრალს, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარს:

.

არსებობის თეორემა.

ფუნქცია იყოს უწყვეტი ნაწილებად გლუვ რკალზე L. მაშინ პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი არსებობს, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარი.

კომენტარი.ეს ზღვარი არ არის დამოკიდებული

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის თვისებები.

1. წრფივობა
ა) სუპერპოზიციის თვისება

ბ) ჰომოგენურობის თვისება .

მტკიცებულება. მოდით ჩავწეროთ ტოლობების მარცხენა მხარეს არსებული ინტეგრალების ინტეგრალური ჯამები. ვინაიდან ინტეგრალურ ჯამში წევრთა რაოდენობა სასრულია, მოდით გადავიდეთ ტოლობების მარჯვენა მხარის ინტეგრალურ ჯამებზე. შემდეგ გადავდივართ ზღვრამდე, თანასწორობაში ზღვარზე გადასვლის თეორემის მიხედვით ვიღებთ სასურველ შედეგს.

2. ადიტიურობა.
Თუ , მაშინ = +

3. .აქ არის რკალის სიგრძე .

4. თუ რკალზე უტოლობა დაკმაყოფილებულია, მაშინ

მტკიცებულება. ჩავწეროთ უტოლობა ინტეგრალური ჯამებისთვის და გადავიდეთ ზღვრამდე.

გაითვალისწინეთ, რომ, კერძოდ, შესაძლებელია

5. შეფასების თეორემა.

თუ არსებობს ისეთი მუდმივები, რომ , მაშინ

მტკიცებულება. უთანასწორობის ინტეგრირება (საკუთრება 4), ვიღებთ . თვისებით 1, მუდმივები შეიძლება ამოღებულ იქნეს ინტეგრალებიდან. თვის 3-ის გამოყენებით ვიღებთ სასურველ შედეგს.

6. საშუალო თეორემა(ინტეგრალის მნიშვნელობა).

არის წერტილი , რა

მტკიცებულება. ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია დახურულ შემოსაზღვრულ სიმრავლეზე, მაშინ მისი infimum არსებობს და ზედა ზღვარი . უთანასწორობა შესრულებულია. ორივე მხარის L-ზე გაყოფით მივიღებთ . მაგრამ ნომერი ჩასმულია ფუნქციის ქვედა და ზედა საზღვრებს შორის. ვინაიდან ფუნქცია უწყვეტია დახურულ შემოსაზღვრულ L-ზე, ფუნქციამ უნდა მიიღოს ეს მნიშვნელობა რაღაც მომენტში. აქედან გამომდინარე, .

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა.

ჩვენ პარამეტრიზაციას ვაკეთებთ რკალს L: AB x = x(t), y = y (t), z =z (t). მოდით t 0 შეესაბამებოდეს A წერტილს და t 1 შეესაბამებოდეს B წერტილს. მაშინ პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი მცირდება განსაზღვრულ ინტეგრალამდე ( - რკალი სიგრძის დიფერენციალური გამოსათვლელად ცნობილი ფორმულა 1-ლი სემესტრიდან):

მაგალითი.გამოთვალეთ ერთგვაროვანი (სიმკვრივე k-ის ტოლი) სპირალის ერთი ბრუნის მასა: .

მე-2 სახის მრუდი ინტეგრალი.

ძალის მუშაობის პრობლემა.

რამდენ სამუშაოს აკეთებს ძალა?ფ(მ) წერტილის გადაადგილებისასმრკალშიAB? თუ რკალი AB იყო სწორი ხაზის სეგმენტი და ძალა იქნებოდა მუდმივი სიდიდითა და მიმართულებით, როდესაც წერტილი M მოძრაობს AB რკალის გასწვრივ, მაშინ სამუშაო შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით, სადაც არის კუთხე ვექტორებს შორის. ზოგად შემთხვევაში, ეს ფორმულა შეიძლება გამოყენებულ იქნას ინტეგრალური ჯამის ასაგებად, თუ ვივარაუდებთ, რომ ძალა მუდმივია საკმარისად მცირე სიგრძის რკალის ელემენტზე. რკალის მცირე ელემენტის სიგრძის ნაცვლად, შეგიძლიათ აიღოთ აკორდის სიგრძე, რომელიც ამცირებს მას, რადგან ეს სიდიდეები არის უსასრულო მცირე სიდიდეების ექვივალენტი პირობით (პირველი სემესტრი).

1. AB რეგიონის რკალის დაყოფის ორგანიზება ელემენტებად - ელემენტარულ რკალებად ისე, რომ ამ ელემენტებს არ ჰქონდეთ საერთო შიდა წერტილები და ( მდგომარეობა ა )

2. ჩვენ ვნიშნავთ დანაყოფის ელემენტებზე „მონიშნული წერტილები“ ​​M i და გამოვთვლით მათში ფუნქციის მნიშვნელობებს.

3. ააგეთ ინტეგრალური ჯამი , სად არის ვექტორი მიმართული აკორდის გასწვრივ, რომელიც ექვემდებარება -რკალს.

4. ლიმიტზე გავლა პირობით (მდგომარეობა B ), მივიღებთ მეორე სახის მრუდი ინტეგრალს, როგორც ინტეგრალური ჯამების (და ძალის მუშაობის) ზღვარს:

. ხშირად მოიხსენიებენ

არსებობის თეორემა.

მოდით, ვექტორული ფუნქცია იყოს უწყვეტი ცალი გლუვ რკალზე L. მაშინ არსებობს მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი, როგორც ინტეგრალური ჯამების ზღვარი.

.

კომენტარი.ეს ზღვარი არ არის დამოკიდებული

დანაყოფის არჩევის მეთოდი, სანამ დაკმაყოფილებულია A პირობა

დანაყოფის ელემენტებზე "მონიშნული წერტილების" არჩევა,

დანაყოფის დახვეწის მეთოდი, სანამ B პირობა დაკმაყოფილებულია

მე-2 სახის მრუდი ინტეგრალის თვისებები.

1. წრფივობა
ა) სუპერპოზიციის თვისება

ბ) ჰომოგენურობის თვისება .

მტკიცებულება. მოდით ჩავწეროთ ტოლობების მარცხენა მხარეს არსებული ინტეგრალების ინტეგრალური ჯამები. ვინაიდან ინტეგრალურ ჯამში წევრთა რაოდენობა სასრულია, სკალარული ნამრავლის თვისების გამოყენებით გადავდივართ ტოლობების მარჯვენა მხარის ინტეგრალურ ჯამებზე. შემდეგ გადავდივართ ზღვრამდე, თანასწორობაში ზღვარზე გადასვლის თეორემის მიხედვით ვიღებთ სასურველ შედეგს.

2. ადიტიურობა.
Თუ , მაშინ = + .

მტკიცებულება. მოდით ავირჩიოთ L დომენის დანაყოფი ისე, რომ დანაყოფის არცერთი ელემენტი (თავდაპირველად და როდესაც დანაყოფი დახვეწილია) არ შეიცავდეს ერთდროულად L 1 და L 2 ელემენტებს. ამის გაკეთება შესაძლებელია არსებობის თეორემით (შენიშვნა თეორემაზე). გარდა ამისა, მტკიცებულება ხორციელდება ინტეგრალური ჯამების მიხედვით, როგორც 1 ნაწილში.

3. ორიენტაცია.

= -

მტკიცებულება. რკალი ინტეგრალი –L, ე.ი. რკალის გვერდის ავლით უარყოფითი მიმართულებით არსებობს ინტეგრალური ჯამების ზღვარი, რომლის ტერმინებშიც არის () ნაცვლად. სკალარული ნამრავლიდან და ტერმინების სასრული რაოდენობის ჯამიდან „მინუს“ ამოღებით, ლიმიტზე გადასვლისას მივიღებთ საჭირო შედეგს.

იმ შემთხვევისთვის, როდესაც ინტეგრაციის არე არის სიბრტყეში მოქცეული რაიმე მრუდის სეგმენტი. მრუდი ინტეგრალის ზოგადი აღნიშვნა შემდეგია:

სადაც ვ(x, წ) არის ორი ცვლადის ფუნქცია და ლ- მრუდი, სეგმენტის მიხედვით ABრომლის ინტეგრაციაც ხდება. თუ ინტეგრანტი ერთის ტოლია, მაშინ მრუდი ინტეგრალი უდრის AB რკალის სიგრძეს. .

როგორც ყოველთვის ინტეგრალურ გამოთვლებში, მრუდი ინტეგრალი გაგებულია, როგორც რაღაც ძალიან დიდის ზოგიერთი ძალიან მცირე ნაწილის ინტეგრალური ჯამის ზღვარი. რა არის შეჯამებული მრუდი ინტეგრალების შემთხვევაში?

დაე, იყოს სეგმენტი თვითმფრინავზე ABრაღაც მრუდი ლდა ორი ცვლადის ფუნქცია ვ(x, წ) განსაზღვრულია მრუდის წერტილებში ლ. მოდით შევასრულოთ შემდეგი ალგორითმი მრუდის ამ სეგმენტით.

1. Split Curve ABწერტილებით ნაწილზე (სურათები ქვემოთ).
2. თითოეულ ნაწილში თავისუფლად აირჩიეთ წერტილი მ.
3. იპოვეთ ფუნქციის მნიშვნელობა არჩეულ წერტილებში.
4. გაამრავლეთ ფუნქციის მნიშვნელობები
   • ნაწილების სიგრძე შემთხვევაში პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი ;
   • ნაწილების პროექცია კოორდინატთა ღერძზე საქმეში მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი .
5. იპოვნეთ ყველა პროდუქტის ჯამი.
6. იპოვეთ ნაპოვნი ინტეგრალური ჯამის ზღვარი იმ პირობით, რომ მრუდის ყველაზე გრძელი ნაწილის სიგრძე ნულისკენ მიისწრაფვის.

თუ ეს ზღვარი არსებობს, მაშინ ეს ინტეგრალური ჯამის ზღვარი და ეწოდება ფუნქციის მრუდი ინტეგრალი ვ(x, წ) მრუდის გასწვრივ AB .

პირველი სახის

მრუდი ინტეგრალური შემთხვევა
მეორე სახის

მოდით შემოგთავაზოთ შემდეგი აღნიშვნა.

მმე ( ζ მე ; η მე)- წერტილი შერჩეული კოორდინატებით თითოეულ მონაკვეთზე.

ვმე ( ζ მე ; η მე)- ფუნქციის მნიშვნელობა ვ(x, წ) არჩეულ წერტილში.

Δ სმე- მრუდის სეგმენტის ნაწილის სიგრძე (პირველი სახის მრუდი ინტეგრალის შემთხვევაში).

Δ xმე- მრუდის სეგმენტის ნაწილის პროექცია ღერძზე ოქსი(მეორე სახის მრუდი ინტეგრალის შემთხვევაში).

დ= maxΔ სმეარის მრუდის სეგმენტის ყველაზე გრძელი ნაწილის სიგრძე.

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალები

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარე ინტეგრალური ჯამების ლიმიტის შესახებ, პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი იწერება შემდეგნაირად:

.

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალი აქვს ყველა ის თვისება, რაც განსაზღვრული ინტეგრალი. თუმცა, არის ერთი მნიშვნელოვანი განსხვავება. განსაზღვრული ინტეგრალისთვის, როდესაც ინტეგრაციის საზღვრები იცვლება, ნიშანი იცვლება საპირისპიროდ:

პირველი ტიპის მრუდი ინტეგრალის შემთხვევაში არ აქვს მნიშვნელობა მრუდის რომელი წერტილია AB (აან ბ) განიხილეთ სეგმენტის დასაწყისი და რომელი დასასრული, ანუ

.

მეორე სახის მრუდი ინტეგრალები

ინტეგრალური ჯამების ლიმიტის შესახებ ნათქვამიდან გამომდინარე, მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი იწერება შემდეგნაირად:

.

მეორე სახის მრუდი ინტეგრალის შემთხვევაში, როდესაც მრუდის სეგმენტის დასაწყისი და დასასრული შებრუნებულია, ინტეგრალის ნიშანი იცვლება:

.

მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალის ინტეგრალური ჯამის შედგენისას ფუნქციის მნიშვნელობები ვმე ( ζ მე ; η მე)ასევე შეიძლება გამრავლდეს მრუდის სეგმენტის ნაწილების ღერძზე პროექციით ოი. შემდეგ მივიღებთ ინტეგრალს

.

პრაქტიკაში ჩვეულებრივ გამოიყენება მეორე ტიპის მრუდი ინტეგრალების გაერთიანება, ანუ ორი ფუნქცია. ვ = პ(x, წ) და ვ = ქ(x, წ) და ინტეგრალები

,

და ამ ინტეგრალების ჯამი

დაურეკა მეორე სახის ზოგადი მრუდი ინტეგრალი .

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალების გამოთვლა

პირველი სახის მრუდი ინტეგრალების გამოთვლა მცირდება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლამდე. განვიხილოთ ორი შემთხვევა.

დაე, მრუდი იყოს მოცემული სიბრტყეზე წ = წ(x) და მრუდის სეგმენტი ABშეესაბამება ცვლადის შეცვლას xდან აადრე ბ. შემდეგ მრუდის წერტილებში ინტეგრადი ვ(x, წ) = ვ(x, წ(x)) ("y" უნდა იყოს გამოხატული "x"-ით), ხოლო რკალის დიფერენციალი და მრუდი ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

.

თუ ინტეგრალი უფრო ადვილია ინტეგრირება წ, მაშინ მრუდის განტოლებიდან აუცილებელია გამოვხატოთ x = x(წ) ("x"-დან "y"-მდე), სადაც და ინტეგრალი გამოითვლება ფორმულით

.

მაგალითი 1

სადაც AB- ხაზის სეგმენტი წერტილებს შორის ა(1; −1) და ბ(2; 1) .

გადაწყვეტილება. შეადგინეთ სწორი ხაზის განტოლება ABფორმულის გამოყენებით (სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ მოცემულ წერტილში ა(x1 ; წ 1 ) და ბ(x2 ; წ 2 ) ):

სწორი ხაზის განტოლებიდან გამოვხატავთ წმეშვეობით x :

მაშინ და ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ინტეგრალი, რადგან დაგვრჩა მხოლოდ "x":

დაე, მრუდი იყოს მოცემული სივრცეში

შემდეგ, მრუდის წერტილებში, ფუნქცია უნდა იყოს გამოხატული პარამეტრით ტ() და რკალის დიფერენციალი ასე რომ, მრუდი ინტეგრალი შეიძლება გამოითვალოს ფორმულით

ანალოგიურად, თუ მრუდი მოცემულია სიბრტყეზე

,

მაშინ მრუდი ინტეგრალი გამოითვლება ფორმულით

.

მაგალითი 2გამოთვალეთ მრუდი ინტეგრალი

სადაც ლ- წრის ხაზის ნაწილი

მდებარეობს პირველ ოქტანტში.

გადაწყვეტილება. ეს მრუდი არის წრის ხაზის მეოთხედი, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში ზ= 3. იგი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობებს. როგორც

შემდეგ რკალის დიფერენციალი

მოდით გამოვხატოთ ინტეგრანტი პარამეტრის მიხედვით ტ :

ახლა, როდესაც ჩვენ გვაქვს ყველაფერი გამოხატული პარამეტრით ტჩვენ შეგვიძლია შევამციროთ ამ მრუდი ინტეგრალის გამოთვლა განსაზღვრულ ინტეგრალამდე:

მეორე სახის მრუდი ინტეგრალების გამოთვლა

ისევე, როგორც პირველი სახის მრუდი ინტეგრალების შემთხვევაში, მეორე სახის ინტეგრალების გამოთვლა მცირდება განსაზღვრული ინტეგრალების გამოთვლამდე.

მრუდი მოცემულია დეკარტის მართკუთხა კოორდინატებში

სიბრტყეზე მრუდი მოცემული იყოს "y" ფუნქციის განტოლებით, რომელიც გამოხატულია "x"-ით: წ = წ(x) და მრუდის რკალი ABშეესაბამება ცვლილებას xდან აადრე ბ. შემდეგ გამონათქვამი „y“ „x“-ის მეშვეობით ჩავანაცვლებთ ინტეგრანდში და განვსაზღვრავთ ამ გამონათქვამის „y“ დიფერენციალს „x“-თან მიმართებაში: . ახლა, როდესაც ყველაფერი გამოიხატება "x"-ით, მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი გამოითვლება როგორც განსაზღვრული ინტეგრალი:

ანალოგიურად, მეორე სახის მრუდი ინტეგრალი გამოითვლება, როდესაც მრუდი მოცემულია ფუნქციის "x" განტოლებით, გამოხატული "y"-ით: x = x(წ) , . ამ შემთხვევაში, ინტეგრალის გამოთვლის ფორმულა შემდეგია:

მაგალითი 3გამოთვალეთ მრუდი ინტეგრალი

, თუ

ა) ლ- სწორი ხაზის სეგმენტი OA, სად ო(0; 0) , ა(1; −1) ;

ბ) ლ- პარაბოლის რკალი წ = x²-დან ო(0; 0)-მდე ა(1; −1) .

ა) გამოთვალეთ მრუდი ინტეგრალი სწორი ხაზის სეგმენტზე (ლურჯი ფიგურაში). დავწეროთ სწორი ხაზის განტოლება და გამოვხატოთ „Y“ „X“-ით:

.

ვიღებთ დი = dx. ჩვენ ვხსნით ამ მრუდი ინტეგრალს:

ბ) თუ ლ- პარაბოლის რკალი წ = x², ვიღებთ დი = 2xdx. ჩვენ ვიანგარიშებთ ინტეგრალს:

ახლახან ამოხსნილ მაგალითში ჩვენ მივიღეთ იგივე შედეგი ორ შემთხვევაში. და ეს არ არის დამთხვევა, არამედ ნიმუშის შედეგი, რადგან ეს ინტეგრალი აკმაყოფილებს შემდეგი თეორემის პირობებს.

თეორემა. თუ ფუნქციები პ(x,წ) , ქ(x,წ) და მათი ნაწილობრივი წარმოებულები - უწყვეტი რეგიონში დფუნქციები და ამ რეგიონის წერტილებში ნაწილობრივი წარმოებულები ტოლია, მაშინ მრუდი ინტეგრალი არ არის დამოკიდებული ხაზის გასწვრივ ინტეგრაციის გზაზე ლმდებარეობს რეგიონში დ .

მრუდი მოცემულია პარამეტრული ფორმით

დაე, მრუდი იყოს მოცემული სივრცეში

.

ხოლო ინტეგრანდებში ჩვენ ვცვლით

ამ ფუნქციების გამოხატვა პარამეტრის საშუალებით ტ. ჩვენ ვიღებთ ფორმულას მრუდი ინტეგრალის გამოსათვლელად:

მაგალითი 4გამოთვალეთ მრუდი ინტეგრალი

,

თუ ლ- ელიფსის ნაწილი

პირობის დაკმაყოფილება წ ≥ 0 .

გადაწყვეტილება. ეს მრუდი არის ელიფსის ნაწილი, რომელიც სიბრტყეშია ზ= 2. იგი შეესაბამება პარამეტრის მნიშვნელობას.

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მრუდი ინტეგრალი, როგორც განსაზღვრული ინტეგრალი და გამოვთვალოთ იგი:

მოცემულია მრუდი ინტეგრალი და ლ- დახურული ხაზი, მაშინ ასეთ ინტეგრალს ეწოდება ინტეგრალი დახურულ კონტურზე და მისი გამოთვლა უფრო ადვილია. გრინის ფორმულა .

მრუდი ხაზოვანი ინტეგრალების გამოთვლის სხვა მაგალითები

მაგალითი 5გამოთვალეთ მრუდი ინტეგრალი

სადაც ლ- ხაზის სეგმენტი მისი გადაკვეთის წერტილებს შორის კოორდინატთა ღერძებთან.

გადაწყვეტილება. განვსაზღვროთ სწორი ხაზის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. სწორი ხაზის ჩანაცვლება განტოლებაში წ= 0, ვიღებთ, . ჩანაცვლება x= 0, ვიღებთ, . ამრიგად, ღერძთან გადაკვეთის წერტილი ოქსი - ა(2; 0) , ღერძით ოი - ბ(0; −3) .

სწორი ხაზის განტოლებიდან გამოვხატავთ წ :

.

, .

ახლა ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ მრუდი ინტეგრალი, როგორც განსაზღვრული ინტეგრალი და დავიწყოთ მისი გამოთვლა:

ინტეგრანდში ვირჩევთ ფაქტორს, გამოვიღებთ მას ინტეგრალური ნიშნიდან. მიღებულ ინტეგრანდში ჩვენ ვიყენებთ დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ მოყვანადა ბოლოს მივიღებთ.