ინსტრუქცია

თუ განტოლება წარმოდგენილია როგორც: dy/dx = q(x)/n(y), მიუთითეთ დიფერენციალური განტოლებების კატეგორია განცალკევებული ცვლადებით. მათი ამოხსნა შესაძლებელია პირობის დიფერენციალებში ჩაწერით შემდეგნაირად: n(y)dy = q(x)dx. შემდეგ გააერთიანეთ ორივე ნაწილი. ზოგიერთ შემთხვევაში, ამოხსნა იწერება ცნობილი ფუნქციებიდან აღებული ინტეგრალების სახით. მაგალითად, dy/dx = x/y შემთხვევაში ვიღებთ q(x) = x, n(y) = y. ჩაწერეთ როგორც ydy = xdx და დააკავშირეთ. თქვენ უნდა მიიღოთ y^2 = x^2 + c.

ხაზოვანი განტოლებებიმიეწერება განტოლებები "პირველი". უცნობი ფუნქცია თავისი წარმოებულებით ასეთ განტოლებაში შედის მხოლოდ პირველ ხარისხში. Linear-ს აქვს ფორმა dy/dx + f(x) = j(x), სადაც f(x) და g(x) x-ზე დამოკიდებული ფუნქციებია. ამოხსნა იწერება ცნობილი ფუნქციებიდან აღებული ინტეგრალების გამოყენებით.

გაითვალისწინეთ, რომ ბევრი დიფერენციალური განტოლება არის მეორე რიგის განტოლება (შეიცავს მეორე წარმოებულებს). მაგალითად, ეს არის მარტივი ჰარმონიული მოძრაობის განტოლება, დაწერილი როგორც ზოგადი: md 2x / dt 2 \u003d -kx. ასეთ განტოლებებს აქვთ ნაწილობრივი ამონახსნები. მარტივი ჰარმონიული მოძრაობის განტოლება არის რაღაც საკმაოდ მნიშვნელოვანი მაგალითი: წრფივი დიფერენციალური განტოლებები, რომლებსაც აქვთ მუდმივი კოეფიციენტი.

თუ პრობლემის პირობებში მხოლოდ ერთი წრფივი განტოლებაა, მაშინ გეძლევათ დამატებითი პირობები, რის გამოც შეგიძლიათ იპოვოთ გამოსავალი. ყურადღებით წაიკითხეთ პრობლემა, რომ იპოვოთ ეს პირობები. Თუ ცვლადები x და y არის მანძილი, სიჩქარე, წონა - თავისუფლად დააყენეთ ზღვარი x≥0 და y≥0. სავსებით შესაძლებელია, რომ x ან y მალავს რიცხვს , ვაშლი და ა.შ. - მაშინ მნიშვნელობები შეიძლება იყოს მხოლოდ . თუ x არის შვილის ასაკი, გასაგებია, რომ ის არ შეიძლება იყოს მამაზე უფროსი, ამიტომ მიუთითეთ ეს პრობლემის პირობებში.

წყაროები:

• როგორ ამოხსნათ განტოლება ერთი ცვლადით

დიფერენციალური და ინტეგრალური გამოთვლების ამოცანები არის მათემატიკური ანალიზის თეორიის, უნივერსიტეტებში შესწავლილი უმაღლესი მათემატიკის განყოფილების კონსოლიდაციის მნიშვნელოვანი ელემენტები. დიფერენციალური განტოლებამოგვარებულია ინტეგრაციის მეთოდით.

ინსტრუქცია

დიფერენციალური გაანგარიშება იკვლევს თვისებებს. პირიქით, ფუნქციის ინტეგრაცია საშუალებას იძლევა, მოცემული თვისებების მიხედვით, ე.ი. ფუნქციის წარმოებულები ან დიფერენციალები, რომ იპოვოთ იგი თავად. ეს არის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

ნებისმიერი არის თანაფარდობა უცნობ მნიშვნელობასა და ცნობილ მონაცემებს შორის. დიფერენციალური განტოლების შემთხვევაში უცნობის როლს ასრულებს ფუნქცია, ხოლო ცნობილი სიდიდეების როლს მისი წარმოებულები. გარდა ამისა, თანაფარდობა შეიძლება შეიცავდეს დამოუკიდებელ ცვლადს: F(x, y(x), y'(x), y''(x),…, y^n(x)) = 0, სადაც x უცნობია. ცვლადი, y (x) არის განსაზღვრული ფუნქცია, განტოლების რიგი არის წარმოებულის მაქსიმალური რიგი (n).

ასეთ განტოლებას ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება. თუ ამ ცვლადებთან მიმართებაში არის რამდენიმე დამოუკიდებელი ცვლადი ფუნქციების მიმართებაში და ნაწილობრივ წარმოებულებში (დიფერენციალებში), მაშინ განტოლებას ეწოდება დიფერენციალური განტოლება ნაწილობრივი წარმოებულებით და აქვს ფორმა: x∂z/∂y - ∂z/∂. x = 0, სადაც z(x, y) არის საჭირო ფუნქცია.

ასე რომ, იმისათვის, რომ ისწავლოთ დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, თქვენ უნდა შეძლოთ ანტიწარმოებულების პოვნა, ე.ი. შებრუნებული დიფერენციაციის პრობლემის გადაჭრა. მაგალითად: ამოხსენით პირველი რიგის განტოლება y’ = -y/x.

ამოხსნა ჩაანაცვლეთ y' dy/dx-ით: dy/dx = -y/x.

მიიტანეთ განტოლება ინტეგრაციისთვის მოსახერხებელ ფორმამდე. ამისთვის გავამრავლოთ ორივე მხარე dx-ზე და გავყოთ y:dy/y = -dx/x-ზე.

ინტეგრირება: ∫dy/y = - ∫dx/x + Сln |y| = - ჟურნალი |x| +C.

ამ ამონახსანს ზოგადი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება. C არის მუდმივი, რომლის მნიშვნელობების ნაკრები განსაზღვრავს განტოლების ამონახსნების სიმრავლეს. C-ის ნებისმიერი კონკრეტული მნიშვნელობისთვის, გამოსავალი იქნება უნიკალური. ასეთი გამოსავალი არის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნები.

უმაღლესი განტოლებების უმეტესობის ამოხსნა გრადუსიარ აქვს მკაფიო ფორმულა, როგორიცაა კვადრატის ფესვების პოვნა განტოლებები. თუმცა, არსებობს შემცირების რამდენიმე მეთოდი, რომელიც საშუალებას გაძლევთ გადააქციოთ უმაღლესი ხარისხის განტოლება უფრო ვიზუალურ ფორმად.

ინსტრუქცია

უმაღლესი ხარისხის განტოლებების ამოხსნის ყველაზე გავრცელებული მეთოდია გაფართოება. ეს მიდგომა არის მთელი რიცხვის ფესვების შერჩევის, თავისუფალი წევრის გამყოფებისა და ზოგადი მრავალწევრის შემდგომი დაყოფის ერთობლიობა (x - x0).

მაგალითად, ამოხსენით განტოლება x^4 + x³ + 2 x² - x - 3 = 0. ამოხსნა ამ მრავალწევრის თავისუფალი წევრია -3, შესაბამისად, მისი მთელი გამყოფები შეიძლება იყოს ±1 და ±3. ჩაანაცვლეთ ისინი სათითაოდ განტოლებაში და გაარკვიეთ, მიიღებთ თუ არა იდენტურობას: 1: 1 + 1 + 2 - 1 - 3 = 0.

მეორე ფესვი x = -1. გაყავით გამოსახულებით (x + 1). დაწერეთ მიღებული განტოლება (x - 1) (x + 1) (x² + x + 3) = 0. ხარისხი დაეცა მეორეზე, შესაბამისად, განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს კიდევ ორი ​​ფესვი. მათ საპოვნელად ამოხსენით კვადრატული განტოლება: x² + x + 3 = 0D = 1 - 12 = -11

დისკრიმინანტი არის უარყოფითი მნიშვნელობა, რაც ნიშნავს, რომ განტოლებას აღარ აქვს რეალური ფესვები. იპოვეთ განტოლების რთული ფესვები: x = (-2 + i √11)/2 და x = (-2 – i √11)/2.

უმაღლესი ხარისხის განტოლების ამოხსნის კიდევ ერთი მეთოდია ცვლადების შეცვლა მის კვადრატში. ეს მიდგომა გამოიყენება მაშინ, როდესაც განტოლების ყველა ძალა ლუწია, მაგალითად: x^4 - 13 x² + 36 = 0

ახლა იპოვეთ საწყისი განტოლების ფესვები: x1 = √9 = ±3; x2 = √4 = ±2.

რჩევა 10: როგორ განვსაზღვროთ რედოქსის განტოლებები

ქიმიური რეაქცია არის ნივთიერებების ტრანსფორმაციის პროცესი, რომელიც ხდება მათი შემადგენლობის ცვლილებით. იმ ნივთიერებებს, რომლებიც შედიან რეაქციაში, ეწოდება საწყისი, ხოლო მათ, რომლებიც წარმოიქმნება ამ პროცესის შედეგად, ეწოდება პროდუქტები. ეს ხდება, რომ ქიმიური რეაქციის დროს, ელემენტები, რომლებიც ქმნიან საწყისი მასალებს, ცვლის ჟანგვის მდგომარეობას. ანუ მათ შეუძლიათ მიიღონ სხვა ადამიანების ელექტრონები და მისცეს საკუთარი. ორივე შემთხვევაში მათი საფასური იცვლება. ასეთ რეაქციებს რედოქს რეაქციებს უწოდებენ.

1. პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

თუ ამ განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია ta-ს მიმართ, ის შეიძლება დაიწეროს როგორც

ამ შემთხვევაში, ჩვენ ვამბობთ, რომ დიფერენციალური განტოლება ამოხსნილია წარმოებულის მიმართ. ასეთი განტოლებისთვის მოქმედებს შემდეგი თეორემა, რომელსაც ეწოდება თეორემა დიფერენციალური განტოლების ამონახსნის არსებობისა და უნიკალურობის შესახებ. თეორემა. თუ განტოლებაში

ფუნქცია და მისი ნაწილობრივი წარმოებული y-სთან მიმართებაში უწყვეტია D ზოგიერთ დომენში სიბრტყეზე, რომელიც შეიცავს რაღაც წერტილს, მაშინ არსებობს ამ განტოლების უნიკალური ამოხსნა

პირობის დაკმაყოფილება ზე

ეს თეორემა დადასტურდება § 27 Ch. XVI.

თეორემის გეომეტრიული მნიშვნელობა არის ის, რომ არსებობს და, უფრო მეტიც, უნიკალური ფუნქცია, რომლის გრაფიკი გადის წერტილში.

ახლახან ნათქვამი თეორემიდან გამომდინარეობს, რომ განტოლებას აქვს უსასრულო რაოდენობის სხვადასხვა ამონახსნები (მაგალითად, ამონახსნი, რომლის გრაფიკი გადის წერტილს, სხვა ამონახსნი, რომლის გრაფიკი გადის წერტილს და ა.შ., თუ ​​მხოლოდ ეს წერტილები მდებარეობს რეგიონში.

პირობას, როდესაც ფუნქცია y უნდა იყოს მოცემული რიცხვის ტოლი, ეწოდება საწყისი პირობა. ხშირად იწერება როგორც

განმარტება 1. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ფუნქცია

რომელიც დამოკიდებულია ერთ თვითნებურ მუდმივზე C და აკმაყოფილებს შემდეგ პირობებს:

ა) ის აკმაყოფილებს C მუდმივის ნებისმიერი კონკრეტული მნიშვნელობის დიფერენციალურ განტოლებას;

ბ) რაც არ უნდა იყოს საწყისი პირობა, შეგიძლიათ იპოვოთ ისეთი მნიშვნელობა, რომ ფუნქცია დააკმაყოფილოს მოცემულ საწყის მდგომარეობას. ვარაუდობენ, რომ მნიშვნელობები მიეკუთვნება x და y ცვლადების ვარიაციის რეგიონს, რომელშიც დაკმაყოფილებულია არსებობის თეორემისა და ამოხსნის უნიკალურობის პირობები.

2. დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის ძიების პროცესში ხშირად მივდივართ ფორმის მიმართებაში.

დაუშვებელია მიმართებაში y-ის მიმართ ამ მიმართების ამოხსნით, ვიღებთ ზოგად ამონახსანს. თუმცა, ყოველთვის არ არის შესაძლებელი y-ის გამოხატვა (2) მიმართებიდან ელემენტარულ ფუნქციებში; ასეთ შემთხვევებში ზოგადი გადაწყვეტა ნაგულისხმევი რჩება. ფორმის ტოლობას, რომელიც გულისხმობს ზოგადი ამონახსნის მითითებას, ეწოდება დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

განმარტება 2. კონკრეტული ამონახსნი არის ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც მიიღება ზოგადი ამონახსნებიდან, თუ გარკვეული მნიშვნელობა მოცემულია ბოლო თვითნებურ მუდმივ C-ში. თანაფარდობა ამ შემთხვევაში ეწოდება განტოლების ნაწილობრივი ინტეგრალი.

მაგალითი 1. პირველი რიგის განტოლებისთვის

ზოგადი გამოსავალი იქნება ფუნქციების ოჯახი; ეს შეიძლება შემოწმდეს განტოლებაში მარტივი ჩანაცვლებით.

მოდი ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს შემდეგ საწყის პირობას: ამ მნიშვნელობების ფორმულაში ჩანაცვლებისას მივიღებთ ან შესაბამისად, საჭირო კონკრეტული ამონახსნები იქნება ფუნქცია.

გეომეტრიული თვალსაზრისით, ზოგადი ინტეგრალი არის მრუდების ოჯახი კოორდინატულ სიბრტყეზე, რომელიც დამოკიდებულია ერთ თვითნებურ მუდმივზე C (ან, როგორც ამბობენ, ერთ პარამეტრზე C).

ამ მრუდებს ეწოდება მოცემული დიფერენციალური განტოლების ინტეგრალური მრუდები. ნაწილობრივი ინტეგრალი შეესაბამება ამ ოჯახის ერთ მრუდს, რომელიც გადის სიბრტყის რომელიმე მოცემულ წერტილში.

ასე რომ, ბოლო მაგალითში, ზოგადი ინტეგრალი გეომეტრიულად წარმოდგენილია ჰიპერბოლების ოჯახით, ხოლო ნაწილობრივი ინტეგრალი, რომელიც განსაზღვრულია მითითებული საწყისი პირობით, წარმოდგენილია ერთ-ერთი ჰიპერბოლით, რომელიც გადის წერტილში. 251 აჩვენებს ოჯახის მრუდებს, რომლებიც შეესაბამება ზოგიერთი პარამეტრის მნიშვნელობას: და ა.შ.

მსჯელობის უფრო მკაფიოდ რომ გავხადოთ, ამიერიდან განტოლების ამოხსნას დავარქმევთ არა მხოლოდ ფუნქციას, რომელიც აკმაყოფილებს განტოლებას, არამედ შესაბამის ინტეგრალურ მრუდსაც. ამასთან დაკავშირებით, ჩვენ ვისაუბრებთ, მაგალითად, ამოხსნაზე, რომელიც გადის წერტილში.

კომენტარი. განტოლებას არ აქვს გამოსავალი, რომელიც გადის ნახ. 251), რადგან განტოლების მარჯვენა მხარე არ არის განსაზღვრული და, შესაბამისად, არ არის უწყვეტი.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ან, როგორც ხშირად ამბობენ, ინტეგრირება ნიშნავს:

ა) იპოვონ მისი ზოგადი ამოხსნა ან ზოგადი ინტეგრალი (თუ საწყისი პირობები არ არის მოცემული), ან

ბ) იპოვეთ განტოლების ის კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის პირობებს (ასეთის არსებობის შემთხვევაში).

3. მოდით მივცეთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების გეომეტრიული ინტერპრეტაცია.

მოდით მივცეთ დიფერენციალური განტოლება, რომელიც ამოხსნილია წარმოებულის მიმართ:

და იყოს ამ განტოლების ზოგადი ამონახსნი. ეს ზოგადი გამოსავალი განსაზღვრავს სიბრტყეში ინტეგრალური მრუდების ოჯახს

განტოლება (D) M ყოველი წერტილისთვის x და y კოორდინატებით განსაზღვრავს წარმოებულის მნიშვნელობას, ანუ ტანგენტის დახრილობას ინტეგრალურ მრუდზე, რომელიც გადის ამ წერტილში. ამრიგად, დიფერენციალური განტოლება (D) იძლევა მიმართულებების ერთობლიობას, ან, როგორც ამბობენ, განსაზღვრავს მიმართულებების ველს სიბრტყეზე.

მაშასადამე, გეომეტრიული თვალსაზრისით, დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირების პრობლემაა მოსახვევების პოვნა, რომელთა ტანგენტის მიმართულება ემთხვევა ველის მიმართულებას შესაბამის წერტილებში.

დიფერენციალური განტოლებისთვის (1) წერტილების ლოკუსს, რომლებზეც ეს მიმართებაა, ეწოდება მოცემული დიფერენციალური განტოლების იზოკლინი.

k-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის ვიღებთ სხვადასხვა იზოკლინას. იზოკლინის განტოლება, რომელიც შეესაბამება k-ს მნიშვნელობას, ცხადია, იქნება: იზოკლინების ოჯახის აგებით, დაახლოებით შეიძლება ავაშენოთ ინტეგრალური მრუდების ოჯახი. ამბობენ, რომ იზოკლინების ცოდნით შეიძლება თვისობრივად განვსაზღვროთ ინტეგრალური მრუდების მდებარეობა სიბრტყეზე.

ფიზიკის ზოგიერთ პრობლემაში, პროცესის აღმწერ სიდიდეებს შორის პირდაპირი კავშირის დადგენა შეუძლებელია. მაგრამ არსებობს შესასწავლი ფუნქციების წარმოებულების შემცველი ტოლობის მიღების შესაძლებლობა. ასე ჩნდება დიფერენციალური განტოლებები და მათი ამოხსნის საჭიროება უცნობი ფუნქციის მოსაძებნად.

ეს სტატია განკუთვნილია მათთვის, ვისაც აწყდება დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პრობლემა, რომელშიც უცნობი ფუნქცია არის ერთი ცვლადის ფუნქცია. თეორია აგებულია ისე, რომ დიფერენციალური განტოლებების ნულოვანი გაგებით, თქვენ შეძლებთ თქვენი სამუშაოს შესრულებას.

დიფერენციალური განტოლების თითოეული ტიპი ასოცირდება ამოხსნის მეთოდთან დეტალური ახსნა-განმარტებით და ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნებით. თქვენ უბრალოდ უნდა განსაზღვროთ თქვენი პრობლემის დიფერენციალური განტოლების ტიპი, იპოვოთ მსგავსი გაანალიზებული მაგალითი და განახორციელოთ მსგავსი ქმედებები.

დიფერენციალური განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად, ასევე დაგჭირდებათ სხვადასხვა ფუნქციის ანტიწარმოებულების (განუსაზღვრელი ინტეგრალების) სიმრავლის პოვნის შესაძლებლობა. საჭიროების შემთხვევაში, გირჩევთ მიმართოთ განყოფილებას.

ჯერ განვიხილავთ პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ტიპებს, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია წარმოებულის მიმართ, შემდეგ გადავდივართ მეორე რიგის ODE-ებზე, შემდეგ უფრო მაღალი რიგის განტოლებებზე ვჩერდებით და დავასრულებთ დიფერენციალური განტოლებების სისტემებით.

შეგახსენებთ, რომ თუ y არის x არგუმენტის ფუნქცია.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

ფორმის პირველი რიგის უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებები.

მოდით ჩამოვწეროთ ასეთი DE-ს რამდენიმე მაგალითი .

დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს წარმოებულის მიმართ ტოლობის ორივე მხარის f(x)-ზე გაყოფით. ამ შემთხვევაში მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც ორიგინალის ექვივალენტური იქნება f(x) ≠ 0-ისთვის. ასეთი ODE-ების მაგალითებია.

თუ არსებობს x არგუმენტის მნიშვნელობები, რომელთათვისაც f(x) და g(x) ფუნქციები ერთდროულად ქრება, მაშინ გამოჩნდება დამატებითი ამონახსნები. განტოლების დამატებითი ამონახსნები მოცემული x არის ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ამ არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის. ასეთი დიფერენციალური განტოლებების მაგალითებია.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.

LODE მუდმივი კოეფიციენტებით არის დიფერენციალური განტოლებების ძალიან გავრცელებული ტიპი. მათი გადაწყვეტა არ არის განსაკუთრებით რთული. პირველი, ნაპოვნია დამახასიათებელი განტოლების ფესვები . სხვადასხვა p და q-სთვის შესაძლებელია სამი შემთხვევა: დამახასიათებელი განტოლების ფესვები შეიძლება იყოს რეალური და განსხვავებული, რეალური და დამთხვევა. ან რთული კონიუგატი. დამახასიათებელი განტოლების ფესვების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები იწერება როგორც , ან , ან შესაბამისად.

მაგალითად, განვიხილოთ მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. მისი დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია k 1 = -3 და k 2 = 0. ფესვები რეალური და განსხვავებულია, ამიტომ LDE-ის ზოგადი გადაწყვეტა მუდმივი კოეფიციენტებით არის


წრფივი არაჰომოგენური მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.

მეორე რიგის LIDE-ის ზოგადი ამონახსნები მუდმივი y კოეფიციენტებით მოიძებნება, როგორც შესაბამისი LODE-ის ზოგადი ამონახსნის ჯამი. და თავდაპირველი არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, ანუ . წინა აბზაცი ეძღვნება მუდმივი კოეფიციენტებით ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნას. და კონკრეტული ამოხსნა განისაზღვრება ან განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით f (x) ფუნქციის გარკვეული ფორმისთვის, რომელიც დგას თავდაპირველი განტოლების მარჯვენა მხარეს, ან თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდით.

როგორც მეორე რიგის LIDE-ების მაგალითები მუდმივი კოეფიციენტებით, წარმოგიდგენთ


თეორიის გასაგებად და მაგალითების დეტალური ამონახსნების გასაცნობად, გვერდზე გთავაზობთ მეორე რიგის წრფივ არაერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით.

წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები (LODEs) და მეორე რიგის წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები (LNDEs).

ამ ტიპის დიფერენციალური განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევაა LODE და LODE მუდმივი კოეფიციენტებით.

LODE-ის ზოგადი ამონახსნები გარკვეულ ინტერვალზე წარმოდგენილია ამ განტოლების ორი წრფივად დამოუკიდებელი კონკრეტული ამონახსნის წრფივი კომბინაციით, ანუ, .

მთავარი სირთულე სწორედ ამ ტიპის დიფერენციალური განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ნაწილობრივი ამონახსნების პოვნაშია. ჩვეულებრივ, კონკრეტული გადაწყვეტილებები არჩეულია ხაზოვანი დამოუკიდებელი ფუნქციების შემდეგი სისტემებიდან:


თუმცა, კონკრეტული გადაწყვეტილებები ყოველთვის არ არის წარმოდგენილი ამ ფორმით.

LODU-ს მაგალითია .

LIDE-ის ზოგადი ამონახსნები მოძებნილია ფორმით, სადაც არის შესაბამისი LODE-ის ზოგადი ამონახსნები და არის ორიგინალური დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახვა. ჩვენ უბრალოდ ვისაუბრეთ პოვნაზე, მაგრამ მისი დადგენა შესაძლებელია თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდის გამოყენებით.

LNDE-ის მაგალითია .

უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც აღიარებენ შეკვეთის შემცირებას.

დიფერენციალური განტოლების რიგი , რომელიც არ შეიცავს სასურველ ფუნქციას და მის წარმოებულებს k-1 ბრძანებამდე, შეიძლება შემცირდეს n-k-მდე ჩანაცვლებით.

ამ შემთხვევაში, და ორიგინალური დიფერენციალური განტოლება მცირდება. მისი p(x) ამოხსნის პოვნის შემდეგ რჩება ჩანაცვლებაზე დაბრუნება და უცნობი ფუნქციის y განსაზღვრა.

მაგალითად, დიფერენციალური განტოლება მას შემდეგ, რაც ჩანაცვლება ხდება განცალკევებული განტოლება და მისი რიგი მცირდება მესამედან პირველზე.

a 1 (x) y "+ a 0 (x) y \u003d b (x) ფორმის პირველი რიგის განტოლებას ეწოდება წრფივი დიფერენციალური განტოლება. თუ b (x) ≡ 0 მაშინ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი, წინააღმდეგ შემთხვევაში - ჰეტეროგენული. წრფივი დიფერენციალური განტოლებისთვის არსებობისა და უნიკალურობის თეორემა უფრო კონკრეტული ფორმა აქვს.

სამსახურის დავალება. გადაწყვეტის შესამოწმებლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ონლაინ კალკულატორი ერთგვაროვანი და არაერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლებებიროგორიცაა y"+y=b(x) .

=

გამოიყენეთ ცვლადის ჩანაცვლება y=u*v
გამოიყენეთ თვითნებური მუდმივი ვარიაციის მეთოდი
იპოვნეთ კონკრეტული გამოსავალი y ( ) = .

ამოხსნის მისაღებად, ორიგინალური გამოხატულება უნდა შემცირდეს ფორმამდე: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) . მაგალითად, y" -exp(x)=2*y ეს იქნება y"-2 *y=exp(x) .

თეორემა. მოდით a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) იყოს უწყვეტი [α,β] ინტერვალზე, a 1 ≠0 ∀x∈[α,β]-ისთვის. მაშინ ნებისმიერი წერტილისთვის (x 0 , y 0), x 0 ∈[α, β], არის განტოლების უნიკალური ამონახსნები, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას y(x 0) = y 0 და განისაზღვრება მთელ ინტერვალზე [α. , β].
განვიხილოთ ერთგვაროვანი წრფივი დიფერენციალური განტოლება a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0 .
ცვლადების გამოყოფით, ვიღებთ, ან ორივე ნაწილის ინტეგრირებას, ბოლო მიმართება, აღნიშვნის exp(x) = e x გათვალისწინებით, იწერება ფორმაში

ახლა შევეცადოთ ვიპოვოთ განტოლების ამონახსნი მითითებული ფორმით, რომელშიც ფუნქცია C(x) ჩანაცვლებულია C მუდმივის ნაცვლად, ანუ სახით.

ამ ხსნარის თავდაპირველ ხსნარში ჩანაცვლებით, აუცილებელი გარდაქმნების შემდეგ ვიღებთ ამ უკანასკნელის ინტეგრირება გვაქვს

სადაც C 1 არის ახალი მუდმივი. მიღებული გამოხატვის C(x) ჩანაცვლებით, საბოლოოდ მივიღებთ თავდაპირველი წრფივი განტოლების ამოხსნას
.

მაგალითი. ამოხსენით განტოლება y" + 2y = 4x. განვიხილოთ შესაბამისი ერთგვაროვანი განტოლება y" + 2y = 0. მისი ამოხსნით მივიღებთ y = Ce -2 x. ჩვენ ახლა ვეძებთ ამოხსნას საწყისი განტოლებისთვის y = C(x)e -2 x სახით. y და y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ჩანაცვლებით თავდაპირველ განტოლებაში, გვაქვს C"(x) = 4xe 2 x, საიდანაც C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 და y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x არის საწყისი განტოლების ზოგადი ამონახსნი. ეს ამონახსნი, y 1 ( x) = 2x-1 - ობიექტის მოძრაობა ძალის მოქმედებით b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - ობიექტის სწორი მოძრაობა.

მაგალითი #2. იპოვეთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
ეს არის არაჰომოგენური განტოლება. მოდით შევცვალოთ ცვლადები: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x ან u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
გამოსავალი შედგება ორი ეტაპისგან:
1. u(3vtg(3x)+v") = 0
2. u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
1. გაატოლეთ u=0, იპოვეთ ამონახსნი 3v tg(3x)+v" = 0
წარმოადგინეთ სახით: v" = -3v tg(3x)

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos (3x)
2. იცოდე v, იპოვე შენ მდგომარეობიდან: u "v \u003d 2cos (3x) / sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/ცოდვა 2 2x
ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ:
y=u v პირობიდან მივიღებთ:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) ან y = C cos(3x)-cos(2x) ctg(3x)

წარმოებულის მიმართ ამოხსნილი პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

როგორ ამოხსნათ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

მოდით მივიღოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება ამოხსნილი წარმოებულის მიმართ:
.
ამ განტოლების გაყოფით ზე, მივიღებთ ფორმის განტოლებას:
,
სად .

შემდეგი, ჩვენ ვნახოთ, ეკუთვნის თუ არა ეს განტოლებები ქვემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ ტიპს. თუ არა, მაშინ ჩვენ გადავწერთ განტოლებას დიფერენციალური სახით. ამისათვის ჩვენ ვწერთ და ვამრავლებთ განტოლებას . ჩვენ ვიღებთ განტოლებას დიფერენციალური სახით:
.

თუ ეს განტოლება არ არის განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში, მაშინ მიგვაჩნია, რომ ამ განტოლებაში არის დამოუკიდებელი ცვლადი და არის ფუნქცია . მოდით გავყოთ განტოლება:
.
შემდეგი, ჩვენ ვუყურებთ, რომ ეს განტოლება ეკუთვნის თუ არა ქვემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ ტიპს, იმის გათვალისწინებით, რომ და უკვე შეიცვალა.

თუ ამ განტოლებისთვის ტიპი ვერ მოიძებნა, მაშინ ჩვენ ვეძებთ, თუ შესაძლებელია განტოლების გამარტივება მარტივი ჩანაცვლებით. მაგალითად, თუ განტოლება არის:
,
მაშინ ჩვენ ვამჩნევთ, რომ. შემდეგ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას. ამის შემდეგ განტოლება უფრო მარტივ ფორმას მიიღებს:
.

თუ ეს არ დაგვეხმარა, მაშინ ვცდილობთ ვიპოვოთ ინტეგრირებული ფაქტორი.

განცალკევებული ცვლადი განტოლებები

;
.
გაყოფა და ინტეგრირება. როცა მივიღებთ:
.

განტოლებები, რომლებიც მცირდება განტოლებამდე გამყოფი ცვლადებით

ჰომოგენური განტოლებები

ჩვენ ვხსნით ჩანაცვლებით:
,
სად არის ფუნქცია. მერე
;
.
ცვლადების გამოყოფა და ინტეგრირება.

განტოლებები ერთგვაროვანამდე

ჩვენ შემოგთავაზებთ ცვლადებს და:
;
.
მუდმივები და არჩეულია ისე, რომ თავისუფალი ტერმინები გაქრეს:
;
.
შედეგად, ვიღებთ ერთგვაროვან განტოლებას ცვლადებში და.

განზოგადებული ერთგვაროვანი განტოლებები

ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას. ვიღებთ ერთგვაროვან განტოლებას ცვლადებში და.

წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

წრფივი განტოლებების ამოხსნის სამი მეთოდი არსებობს.

2)ბერნულის მეთოდი.
ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ორი ფუნქციის პროდუქტის სახით და ცვლადისგან:
.
;
.
ჩვენ შეგვიძლია თვითნებურად ავირჩიოთ ამ ფუნქციებიდან ერთ-ერთი. ამიტომ, როდესაც ჩვენ ვირჩევთ განტოლების ნებისმიერ არანულოვან ამონახსანს:
.

3) მუდმივის ვარიაციის მეთოდი (ლაგრანჟი).
აქ პირველ რიგში ვხსნით ერთგვაროვან განტოლებას:

ერთგვაროვანი განტოლების ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა:
,
სადაც არის მუდმივი. შემდეგი, ჩვენ ვცვლით მუდმივას ფუნქციით, რომელიც დამოკიდებულია ცვლადზე:
.
ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში. შედეგად, ვიღებთ განტოლებას, საიდანაც განვსაზღვრავთ.

ბერნულის განტოლებები

ჩანაცვლებით ბერნულის განტოლება მცირდება წრფივ განტოლებამდე.

ეს განტოლება ასევე შეიძლება ამოხსნას ბერნულის მეთოდით. ანუ, ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს ორი ფუნქციის პროდუქტის სახით, ცვლადის მიხედვით:
.
ჩვენ ვცვლით თავდაპირველ განტოლებას:
;
.
როგორც ვირჩევთ განტოლების ნებისმიერ არანულოვან ამონახსანს:
.
განვსაზღვრავთ, ვიღებთ განტოლებას გამყოფი ცვლადებით .

რიკატის განტოლებები

ეს არ არის გადაწყვეტილი ზოგადი გზით. Ცვლილება

რიკატის განტოლება მცირდება ფორმაში:
,
სად არის მუდმივი; ; .
შემდეგი, ჩანაცვლება:

ეს ჰგავს:
,
სად .

გვერდზე მოცემულია რიკატის განტოლების თვისებები და მისი ამოხსნის რამდენიმე განსაკუთრებული შემთხვევა
რიკატის დიფერენციალური განტოლება >>>

ჯაკობის განტოლებები

მოგვარებულია ჩანაცვლებით:
.

განტოლებები სულ დიფერენციალებში

Იმის გათვალისწინებით, რომ
.
როდესაც ეს პირობა დაკმაყოფილებულია, გამოსახულება ტოლობის მარცხენა მხარეს არის ზოგიერთი ფუნქციის დიფერენციალი:
.
მერე
.
აქედან ვიღებთ დიფერენციალური განტოლების ინტეგრალს:
.

ფუნქციის მოსაძებნად ყველაზე მოსახერხებელი გზაა დიფერენციალური თანმიმდევრული შერჩევის მეთოდი. ამისათვის გამოიყენება ფორმულები:
;
;
;
.

ინტეგრირების ფაქტორი

თუ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება არ არის დაყვანილი რომელიმე ჩამოთვლილ ტიპზე, მაშინ შეგიძლიათ სცადოთ ინტეგრაციის ფაქტორის პოვნა. ინტეგრაციული ფაქტორი არის ისეთი ფუნქცია, როდესაც მასზე მრავლდება, დიფერენციალური განტოლება ხდება განტოლება ჯამურ დიფერენციალებში. პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ინტეგრირების ფაქტორების უსასრულო რაოდენობა. თუმცა, არ არსებობს ინტეგრაციის ფაქტორის პოვნის ზოგადი მეთოდები.

y" წარმოებულისთვის გადაუჭრელი განტოლებები

განტოლებები, რომლებიც იღებენ ამოხსნას y" წარმოებულთან მიმართებაში

ჯერ თქვენ უნდა სცადოთ ამოხსნათ განტოლება წარმოებულთან მიმართებაში. თუ შესაძლებელია, მაშინ განტოლება შეიძლება შემცირდეს ზემოთ ჩამოთვლილ ერთ-ერთ ტიპზე.

განტოლებები, რომლებიც იძლევა ფაქტორიზაციის საშუალებას

თუ შეგიძლიათ განტოლების ფაქტორიზირება:
,
მაშინ პრობლემა მცირდება უფრო მარტივი განტოლებების თანმიმდევრულ ამონახვამდე:
;
;

;
. Ჩვენ გვჯერა . მერე
ან .
შემდეგი, ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას:
;
.
შედეგად, პარამეტრის მეშვეობით ვიღებთ მეორე ცვლადის გამოხატვას.

უფრო ზოგადი განტოლებები:
ან
პარამეტრული ფორმითაც იხსნება. ამისათვის თქვენ უნდა აირჩიოთ ფუნქცია ისე, რომ ორიგინალური განტოლებიდან შეგიძლიათ გამოხატოთ ან პარამეტრის მეშვეობით.
მეორე ცვლადის გამოსახატავად პარამეტრის მიხედვით, ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას:
;
.

y-ის მიმართ ამოხსნილი განტოლებები

კლეროტის განტოლებები

ამ განტოლებას აქვს ზოგადი ამონახსნი

ლაგრანგის განტოლებები

ჩვენ ვეძებთ გამოსავალს პარამეტრული ფორმით. ჩვენ ვვარაუდობთ, სად არის პარამეტრი.

ბერნულის განტოლებამდე მიმავალი განტოლებები

ეს განტოლებები მცირდება ბერნულის განტოლებამდე, თუ ჩვენ ვეძებთ მათ ამონახსნებს პარამეტრული ფორმით, პარამეტრის შემოღებით და ჩანაცვლებით.

ცნობები:
ვ.ვ. სტეპანოვი, დიფერენციალური განტოლებების კურსი, LKI, 2015 წ.
ნ.მ. გიუნტერი, რ.ო. კუზმინი, პრობლემების კრებული უმაღლეს მათემატიკაში, ლან, 2003 წ.