ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება ეწოდება განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს, ამ ცვლადის უცნობ ფუნქციას და სხვადასხვა რიგის მის წარმოებულებს (ან დიფერენციალებს).

დიფერენციალური განტოლების რიგი არის მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

ჩვეულებრივის გარდა, შესწავლილია ნაწილობრივი დიფერენციალური განტოლებებიც. ეს არის დამოუკიდებელ ცვლადებთან დაკავშირებული განტოლებები, ამ ცვლადების უცნობი ფუნქცია და მისი ნაწილობრივი წარმოებულები იმავე ცვლადებთან მიმართებაში. მაგრამ ჩვენ მხოლოდ განვიხილავთ ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები და ამიტომ მოკლედ გამოვტოვებთ სიტყვას „ჩვეულებრივი“.

დიფერენციალური განტოლებების მაგალითები:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

განტოლება (1) არის მეოთხე რიგის, განტოლება (2) არის მესამე რიგის, განტოლებები (3) და (4) არის მეორე რიგის, განტოლება (5) არის პირველი რიგის.

დიფერენციალური განტოლება ნწესრიგი არ უნდა შეიცავდეს ცალსახად ფუნქციას, მის ყველა წარმოებულს პირველიდან ნრიგითი და დამოუკიდებელი ცვლადი. ის შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს ზოგიერთი ბრძანების წარმოებულებს, ფუნქციას, დამოუკიდებელ ცვლადს.

მაგალითად, განტოლებაში (1) აშკარად არ არის მესამე და მეორე რიგის წარმოებულები, ასევე ფუნქციები; განტოლებაში (2) - მეორე რიგის წარმოებული და ფუნქცია; განტოლებაში (4) - დამოუკიდებელი ცვლადი; განტოლებაში (5) - ფუნქციები. მხოლოდ განტოლება (3) შეიცავს ყველა წარმოებულს, ფუნქციას და დამოუკიდებელ ცვლადს.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნით ნებისმიერ ფუნქციას ეძახიან y = f(x), რომლის ჩანაცვლება განტოლებაში, იქცევა იდენტურობაში.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პროცესს მისი ეწოდება ინტეგრაცია.

მაგალითი 1იპოვნეთ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებისთვის.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვწერთ ამ განტოლებას ფორმით. გამოსავალი არის ფუნქციის პოვნა მისი წარმოებულის მიხედვით. ორიგინალური ფუნქცია, როგორც ცნობილია ინტეგრალური გამოთვლებიდან, არის ანტიწარმოებული, ე.ი.

სწორედ ეს არის მოცემული დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა . იცვლება მასში C, ჩვენ მივიღებთ სხვადასხვა გადაწყვეტილებებს. ჩვენ გავარკვიეთ, რომ არსებობს პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა ნრიგი არის მისი ამოხსნა, რომელიც გამოხატულია უცნობი ფუნქციის მიმართ და შეიცავს ნდამოუკიდებელი თვითნებური მუდმივები, ე.ი.

დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი 1-ში ზოგადია.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნა მისი გამოსავალი ეწოდება, რომელშიც სპეციფიკური რიცხვითი მნიშვნელობები მინიჭებულია თვითნებურ მუდმივებზე.

მაგალითი 2იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები და კონკრეტული ამონახსნები .

გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე ნაწილს იმდენჯერ ვაერთიანებთ, რომ დიფერენციალური განტოლების რიგი ტოლი იყოს.

,

.

შედეგად მივიღეთ ზოგადი გამოსავალი -

მოცემული მესამე რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ახლა მოდით ვიპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი მითითებულ პირობებში. ამისათვის ჩვენ ვცვლით მათ მნიშვნელობებს თვითნებური კოეფიციენტების ნაცვლად და ვიღებთ

.

თუ დიფერენციალური განტოლების გარდა, საწყისი პირობა მოცემულია სახით, მაშინ ასეთ პრობლემას ე.წ. კუშის პრობლემა . მნიშვნელობები და ჩანაცვლებულია განტოლების ზოგად ამოხსნაში და ნაპოვნია თვითნებური მუდმივის მნიშვნელობა Cდა შემდეგ ნაპოვნი მნიშვნელობის განტოლების კონკრეტული ამოხსნა C. ეს არის კოშის პრობლემის გადაწყვეტა.

მაგალითი 3ამოხსენით კოშის ამოცანა დიფერენციალური განტოლებისთვის მაგალითიდან 1 პირობით.

გადაწყვეტილება. ჩვენ ვცვლით ზოგად ხსნარში მნიშვნელობებს საწყისი მდგომარეობიდან წ = 3, x= 1. ვიღებთ

ჩვენ ვწერთ კოშის ამოცანის ამოხსნას პირველი რიგის მოცემული დიფერენციალური განტოლებისთვის:

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა, თუნდაც უმარტივესი, მოითხოვს წარმოებულების ინტეგრირებისა და აღების კარგ უნარებს, მათ შორის რთული ფუნქციების. ეს ჩანს შემდეგ მაგალითში.

მაგალითი 4იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები.

გადაწყვეტილება. განტოლება იწერება ისე, რომ ორივე მხარე შეიძლება დაუყოვნებლივ იყოს ინტეგრირებული.

.

ჩვენ ვიყენებთ ინტეგრაციის მეთოდს ცვლადის შეცვლით (ჩანაცვლება). მოდით, მაშინ.

მიღება აუცილებელია dxახლა კი - ყურადღება - ამას ვაკეთებთ რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესების მიხედვით, ვინაიდან xდა არის რთული ფუნქცია ("ვაშლი" - კვადრატული ფესვის ამოღება ან, რაც იგივეა - "ერთი წამის" სიმძლავრის აწევა და "დაფქული ხორცი" - თავად გამოთქმა ფესვის ქვეშ):

ჩვენ ვპოულობთ ინტეგრალს:

ცვლადზე დაბრუნება x, ვიღებთ:

.

ეს არის პირველი ხარისხის ამ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი გადაწყვეტა.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას საჭირო იქნება არა მხოლოდ უმაღლესი მათემატიკის წინა სექციების უნარები, არამედ დაწყებითი, ანუ სასკოლო მათემატიკის უნარები. როგორც უკვე აღვნიშნეთ, ნებისმიერი რიგის დიფერენციალურ განტოლებაში არ შეიძლება იყოს დამოუკიდებელი ცვლადი, ანუ ცვლადი. x. პროპორციების შესახებ ცოდნა, რომელიც არ დავიწყებულია (თუმცა, ვინმეს აქვს მსგავსი) სკოლის სკამიდან, დაგეხმარებათ ამ პრობლემის მოგვარებაში. ეს არის შემდეგი მაგალითი.

ფიზიკის ზოგიერთ პრობლემაში, პროცესის აღმწერ სიდიდეებს შორის პირდაპირი კავშირის დადგენა შეუძლებელია. მაგრამ არსებობს შესასწავლი ფუნქციების წარმოებულების შემცველი ტოლობის მიღების შესაძლებლობა. ასე ჩნდება დიფერენციალური განტოლებები და მათი ამოხსნის საჭიროება უცნობი ფუნქციის მოსაძებნად.

ეს სტატია განკუთვნილია მათთვის, ვისაც აწყდება დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის პრობლემა, რომელშიც უცნობი ფუნქცია არის ერთი ცვლადის ფუნქცია. თეორია აგებულია ისე, რომ დიფერენციალური განტოლებების ნულოვანი გაგებით, თქვენ შეძლებთ თქვენი სამუშაოს შესრულებას.

დიფერენციალური განტოლების თითოეული ტიპი ასოცირდება ამოხსნის მეთოდთან დეტალური ახსნა-განმარტებით და ტიპიური მაგალითებისა და ამოცანების ამონახსნებით. თქვენ უბრალოდ უნდა განსაზღვროთ თქვენი პრობლემის დიფერენციალური განტოლების ტიპი, იპოვოთ მსგავსი გაანალიზებული მაგალითი და განახორციელოთ მსგავსი ქმედებები.

დიფერენციალური განტოლებების წარმატებით გადასაჭრელად, ასევე დაგჭირდებათ სხვადასხვა ფუნქციის ანტიწარმოებულების (განუსაზღვრელი ინტეგრალების) სიმრავლის პოვნის შესაძლებლობა. საჭიროების შემთხვევაში, გირჩევთ მიმართოთ განყოფილებას.

ჯერ განვიხილავთ პირველი რიგის ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებების ტიპებს, რომელთა ამოხსნაც შესაძლებელია წარმოებულთან მიმართებაში, შემდეგ გადავდივართ მეორე რიგის ODE-ებზე, შემდეგ უფრო მაღალი რიგის განტოლებებზე ვჩერდებით და დავასრულებთ დიფერენციალური განტოლებების სისტემებით.

შეგახსენებთ, რომ თუ y არის x არგუმენტის ფუნქცია.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

ფორმის პირველი რიგის უმარტივესი დიფერენციალური განტოლებები.

მოდით ჩამოვწეროთ ასეთი DE-ს რამდენიმე მაგალითი .

დიფერენციალური განტოლებები შეიძლება გადაწყდეს წარმოებულის მიმართ ტოლობის ორივე მხარის f(x)-ზე გაყოფით. ამ შემთხვევაში მივდივართ განტოლებამდე, რომელიც ორიგინალის ექვივალენტური იქნება f(x) ≠ 0-ისთვის. ასეთი ODE-ების მაგალითებია.

თუ არსებობს x არგუმენტის მნიშვნელობები, რომლებისთვისაც ფუნქციები f(x) და g(x) ერთდროულად ქრება, მაშინ გამოჩნდება დამატებითი ამონახსნები. განტოლების დამატებითი ამონახსნები მოცემული x არის ნებისმიერი ფუნქცია, რომელიც განსაზღვრულია ამ არგუმენტის მნიშვნელობებისთვის. ასეთი დიფერენციალური განტოლებების მაგალითებია.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.

LODE მუდმივი კოეფიციენტებით არის დიფერენციალური განტოლებების ძალიან გავრცელებული ტიპი. მათი გადაწყვეტა არ არის განსაკუთრებით რთული. პირველი, ნაპოვნია დამახასიათებელი განტოლების ფესვები . სხვადასხვა p და q-სთვის შესაძლებელია სამი შემთხვევა: დამახასიათებელი განტოლების ფესვები შეიძლება იყოს რეალური და განსხვავებული, რეალური და დამთხვევა. ან რთული კონიუგატი. დამახასიათებელი განტოლების ფესვების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები იწერება როგორც , ან , ან შესაბამისად.

მაგალითად, განვიხილოთ მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებით. მისი დამახასიათებელი განტოლების ფესვებია k 1 = -3 და k 2 = 0. ფესვები რეალური და განსხვავებულია, ამიტომ LDE-ის ზოგადი გადაწყვეტა მუდმივი კოეფიციენტებით არის


წრფივი არაჰომოგენური მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტებით.

მეორე რიგის LIDE-ის ზოგადი ამონახსნები მუდმივი y კოეფიციენტებით მოიძებნება, როგორც შესაბამისი LODE-ის ზოგადი ამონახსნის ჯამი. და თავდაპირველი არაჰომოგენური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, ანუ . წინა აბზაცი ეძღვნება მუდმივი კოეფიციენტებით ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნას. და კონკრეტული ამოხსნა განისაზღვრება ან განუსაზღვრელი კოეფიციენტების მეთოდით f (x) ფუნქციის გარკვეული ფორმისთვის, რომელიც დგას თავდაპირველი განტოლების მარჯვენა მხარეს, ან თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდით.

როგორც მეორე რიგის LIDE-ების მაგალითები მუდმივი კოეფიციენტებით, წარმოგიდგენთ


თეორიის გასაგებად და მაგალითების დეტალური ამონახსნების გასაცნობად, გვერდზე გთავაზობთ მეორე რიგის წრფივ არაერთგვაროვან დიფერენციალურ განტოლებებს მუდმივი კოეფიციენტებით.

წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები (LODEs) და მეორე რიგის წრფივი არაჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები (LNDEs).

ამ ტიპის დიფერენციალური განტოლებების განსაკუთრებული შემთხვევაა LODE და LODE მუდმივი კოეფიციენტებით.

LODE-ის ზოგადი ამონახსნები გარკვეულ ინტერვალზე წარმოდგენილია ამ განტოლების ორი წრფივად დამოუკიდებელი კონკრეტული ამონახსნის წრფივი კომბინაციით, ანუ, .

მთავარი სირთულე სწორედ ამ ტიპის დიფერენციალური განტოლების წრფივი დამოუკიდებელი ნაწილობრივი ამონახსნების პოვნაშია. ჩვეულებრივ, კონკრეტული გადაწყვეტილებები არჩეულია ხაზოვანი დამოუკიდებელი ფუნქციების შემდეგი სისტემებიდან:


თუმცა, კონკრეტული გადაწყვეტილებები ყოველთვის არ არის წარმოდგენილი ამ ფორმით.

LODU-ს მაგალითია .

LIDE-ის ზოგადი ამონახსნები მოძებნილია ფორმით, სადაც არის შესაბამისი LODE-ის ზოგადი ამონახსნები და არის ორიგინალური დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახვა. ჩვენ უბრალოდ ვისაუბრეთ პოვნაზე, მაგრამ მისი დადგენა შესაძლებელია თვითნებური მუდმივების ვარიაციის მეთოდის გამოყენებით.

LNDE-ის მაგალითია .

უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები.

დიფერენციალური განტოლებები, რომლებიც აღიარებენ შეკვეთის შემცირებას.

დიფერენციალური განტოლების რიგი , რომელიც არ შეიცავს სასურველ ფუნქციას და მის წარმოებულებს k-1 ბრძანებამდე, შეიძლება შემცირდეს n-k-მდე ჩანაცვლებით.

ამ შემთხვევაში, და ორიგინალური დიფერენციალური განტოლება მცირდება. მისი p(x) ამოხსნის პოვნის შემდეგ რჩება ჩანაცვლებაზე დაბრუნება და უცნობი ფუნქციის y განსაზღვრა.

მაგალითად, დიფერენციალური განტოლება მას შემდეგ, რაც ჩანაცვლება ხდება განცალკევებული განტოლება და მისი რიგი მცირდება მესამედან პირველზე.

I. ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლებები

1.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც აკავშირებს დამოუკიდებელ ცვლადს x, სასურველი ფუნქცია წდა მისი წარმოებულები ან დიფერენცილები.

სიმბოლურად, დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y(n))=0

დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ჩვეულებრივი, თუ სასურველი ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ დამოუკიდებელ ცვლადზე.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნითეწოდება ისეთ ფუნქციას, რომელიც ამ განტოლებას იდენტურად აქცევს.

დიფერენციალური განტოლების რიგიარის უმაღლესი წარმოებულის რიგი ამ განტოლებაში

მაგალითები.

1. განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფუნქცია y = 5 ln x. მართლაც, ჩანაცვლებით y"განტოლებაში ვიღებთ - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია y = 5 ln x– არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამონახსნი.

2. განვიხილოთ მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება y" - 5y" + 6y = 0. ფუნქცია არის ამ განტოლების ამოხსნა.

ნამდვილად,.

ამ გამონათქვამების განტოლებაში ჩანაცვლებით მივიღებთ: , - იდენტურობას.

და ეს ნიშნავს, რომ ფუნქცია არის ამ დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა.

დიფერენციალური განტოლებების ინტეგრაციაარის დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნების ძიების პროცესი.

დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნაფორმის ფუნქცია ეწოდება , რომელიც მოიცავს იმდენ დამოუკიდებელ თვითნებურ მუდმივობას, რამდენიც განტოლების წესრიგს.

დიფერენციალური განტოლების ნაწილობრივი ამოხსნაეწოდება გადაწყვეტა, რომელიც მიიღება ზოგადი ამონახსნებიდან თვითნებური მუდმივების სხვადასხვა რიცხვითი მნიშვნელობებისთვის. თვითნებური მუდმივების მნიშვნელობები გვხვდება არგუმენტისა და ფუნქციის გარკვეულ საწყის მნიშვნელობებზე.

დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნის გრაფიკი ეწოდება ინტეგრალური მრუდი.

მაგალითები

1. იპოვეთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი

xdx + ydy = 0, თუ წ= 4 საათზე x = 3.

გადაწყვეტილება. განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება, მივიღებთ

კომენტარი. ინტეგრაციის შედეგად მიღებული თვითნებური მუდმივი C შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდგომი გარდაქმნებისთვის მოსახერხებელი ნებისმიერი ფორმით. ამ შემთხვევაში, წრის კანონიკური განტოლების გათვალისწინებით, მოსახერხებელია თვითნებური მუდმივი С სახით .

არის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს წ = 4 საათზე x = 3 მოიძებნება ზოგადიდან საწყისი პირობების ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით: 3 2 + 4 2 = C 2; C=5.

C=5 ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით მივიღებთ x2+y2 = 5 2 .

ეს არის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა, რომელიც მიღებულია ზოგადი ამონახსნით მოცემულ საწყის პირობებში.

2. იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახსნები

ამ განტოლების ამონახსნი არის ფორმის ნებისმიერი ფუნქცია, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი. მართლაც, განტოლებებში ჩანაცვლებით მივიღებთ: , .

ამრიგად, ამ დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა, რადგან მუდმივი C-ის სხვადასხვა მნიშვნელობებისთვის, თანასწორობა განსაზღვრავს განტოლების სხვადასხვა ამონახსნებს.

მაგალითად, პირდაპირი ჩანაცვლებით, შეგიძლიათ შეამოწმოთ, რომ ფუნქციები არის განტოლების ამონახსნები.

პრობლემა, რომელშიც საჭიროა განტოლების კონკრეტული ამოხსნის პოვნა y" = f(x, y)აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(x0) = y0კოშის პრობლემას უწოდებენ.

განტოლების ამოხსნა y" = f(x, y)დააკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას, y(x0) = y0, ეწოდება კოშის პრობლემის გადაწყვეტას.

კოშის პრობლემის ამოხსნას აქვს მარტივი გეომეტრიული მნიშვნელობა. მართლაც, ამ განმარტებების მიხედვით, კოშის პრობლემის გადაჭრა y" = f(x, y)იმის გათვალისწინებით, რომ y(x0) = y0, ნიშნავს განტოლების ინტეგრალური მრუდის პოვნას y" = f(x, y)რომელიც გადის მოცემულ წერტილში M0 (x0,y 0).

II. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

2.1. Ძირითადი ცნებები

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება F(x,y,y") = 0.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება მოიცავს პირველ წარმოებულს და არ შეიცავს უმაღლესი რიგის წარმოებულებს.

განტოლება y" = f(x, y)წარმოებულის მიმართ ამოხსნილ პირველი რიგის განტოლებას უწოდებენ.

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც შეიცავს ერთ თვითნებურ მუდმივობას.

მაგალითი.განვიხილოთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება.

ამ განტოლების გამოსავალი არის ფუნქცია.

მართლაც, ამ განტოლებაში მისი მნიშვნელობით ჩანაცვლებით, მივიღებთ

ე.ი 3x=3x

მაშასადამე, ფუნქცია არის განტოლების ზოგადი ამოხსნა ნებისმიერი C მუდმივისთვის.

იპოვეთ ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას y(1)=1საწყისი პირობების ჩანაცვლება x=1, y=1განტოლების ზოგად ამოხსნაში ვიღებთ საიდან C=0.

ამრიგად, ჩვენ ვიღებთ კონკრეტულ ამონახსანს ზოგადიდან ამ განტოლებაში, მიღებული მნიშვნელობის ჩანაცვლებით C=0პირადი გადაწყვეტილებაა.

2.2. დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

დიფერენციალური განტოლება განცალკევებული ცვლადებით არის ფორმის განტოლება: y"=f(x)g(y)ან დიფერენციალებით, სადაც f(x)და g(y)აძლევენ ფუნქციებს.

Მათთვის წ, რომლისთვისაც, განტოლება y"=f(x)g(y)განტოლების ტოლფასია რომელშიც ცვლადი წარის მხოლოდ მარცხენა მხარეს, ხოლო ცვლადი x არის მხოლოდ მარჯვენა მხარეს. ისინი ამბობენ: "განტოლებაში y"=f(x)g(yცვლადების გამოყოფა.

ტიპის განტოლება ეწოდება განცალკევებული ცვლადი განტოლება.

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირების შემდეგ on x, ვიღებთ G(y) = F(x) + Cარის განტოლების ზოგადი ამოხსნა, სადაც G(y)და F(x)არის ზოგიერთი ანტიდერივატი, შესაბამისად, ფუნქციებისა და f(x), Cთვითნებური მუდმივი.

გამყოფი ცვლადებით პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

მაგალითი 1

განტოლების ამოხსნა y" = xy

გადაწყვეტილება. ფუნქციის წარმოებული y"შეცვლა

გამოვყოფთ ცვლადებს

მოდით გავაერთიანოთ თანასწორობის ორივე ნაწილი:

მაგალითი 2

2 წ" = 1- 3x 2, თუ y 0 = 3ზე x0 = 1

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. მოდით წარმოვადგინოთ იგი დიფერენციალებში. ამისათვის ჩვენ გადავწერთ ამ განტოლებას ფორმაში აქედან

ბოლო თანასწორობის ორივე ნაწილის ინტეგრირება, ჩვენ ვხვდებით

საწყისი მნიშვნელობების ჩანაცვლება x 0 = 1, y 0 = 3იპოვე თან 9=1-1+C, ე.ი. C = 9.

ამიტომ სასურველი ნაწილობრივი ინტეგრალი იქნება ან

მაგალითი 3

დაწერეთ განტოლება მრუდისთვის, რომელიც გადის წერტილში M(2;-3)და დახრილობის მქონე ტანგენსი

გადაწყვეტილება. პირობის მიხედვით

ეს არის განცალკევებული ცვლადი განტოლება. ცვლადების გაყოფით მივიღებთ:

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირება, მივიღებთ:

საწყისი პირობების გამოყენებით, x=2და y=-3იპოვე C:

მაშასადამე, სასურველ განტოლებას აქვს ფორმა

2.3. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებები

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლება არის ფორმის განტოლება y" = f(x)y + g(x)

სადაც f(x)და g(x)- ზოგიერთი მოცემული ფუნქცია.

Თუ g(x)=0მაშინ წრფივ დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება ერთგვაროვანი და აქვს ფორმა: y" = f(x)y

თუ მაშინ განტოლება y" = f(x)y + g(x)ჰეტეროგენული ეწოდება.

წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)yმოცემულია ფორმულით: სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

კერძოდ, თუ C \u003d 0,მაშინ გამოსავალი არის y=0თუ წრფივ ერთგვაროვან განტოლებას აქვს ფორმა y" = კისადაც კარის რაღაც მუდმივი, მაშინ მის ზოგად ამოხსნას აქვს ფორმა: .

წრფივი არაერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა y" = f(x)y + g(x)მოცემული ფორმულით ,

იმათ. უდრის შესაბამისი წრფივი ერთგვაროვანი განტოლების ზოგადი ამონახსნისა და ამ განტოლების კონკრეტული ამონახსნის ჯამს.

ფორმის წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებისთვის y" = kx + b,

სადაც კდა ბ- ზოგიერთი რიცხვი და კონკრეტული ამონახსნი იქნება მუდმივი ფუნქცია. ამიტომ, ზოგად გადაწყვეტას აქვს ფორმა.

მაგალითი. განტოლების ამოხსნა y" + 2y +3 = 0

გადაწყვეტილება. ჩვენ წარმოვადგენთ განტოლებას ფორმაში y" = -2y - 3სადაც k=-2, b=-3ზოგადი გამოსავალი მოცემულია ფორმულით.

აქედან გამომდინარე, სადაც C არის თვითნებური მუდმივი.

2.4. პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნა ბერნულის მეთოდით

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნის პოვნა y" = f(x)y + g(x)ამცირებს ორი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნას გამოყოფილი ცვლადებით ჩანაცვლების გამოყენებით y=uv, სად uდა ვ- უცნობი ფუნქციები x. ამოხსნის ამ მეთოდს ბერნულის მეთოდს უწოდებენ.

პირველი რიგის წრფივი დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის ალგორითმი

y" = f(x)y + g(x)

1. შეიყვანეთ ჩანაცვლება y=uv.

2. განასხვავეთ ეს თანასწორობა y"=u"v + uv"

3. შემცვლელი წდა y"ამ განტოლებაში: u"v + uv" =f(x)uv + g(x)ან u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. დააჯგუფეთ განტოლების ტერმინები ისე, რომ uამოიღეთ იგი ფრჩხილებიდან:

5. ფრჩხილიდან ნულის ტოლფასი იპოვეთ ფუნქცია

ეს არის განცალკევებული განტოლება:

გაყავით ცვლადები და მიიღეთ:

სად . .

6. ჩაანაცვლეთ მიღებული ღირებულება ვგანტოლებაში (მე-4 პუნქტიდან):

და იპოვეთ ფუნქცია ეს არის განცალკევებული განტოლება:

7. დაწერეთ ზოგადი ამონახსნები სახით: , ე.ი. .

მაგალითი 1

იპოვნეთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი y" = -2y +3 = 0თუ y=1ზე x=0

გადაწყვეტილება. მოვაგვაროთ ჩანაცვლებით y=uv,.y"=u"v + uv"

ჩანაცვლება წდა y"ამ განტოლებაში მივიღებთ

განტოლების მარცხენა მხარეს მეორე და მესამე წევრის დაჯგუფებით ვიღებთ საერთო ფაქტორს u ფრჩხილებიდან

ფრჩხილებში გამოსახულებას ვატოლებთ ნულს და მიღებული განტოლების ამოხსნის შემდეგ ვპოულობთ ფუნქციას v = v(x)

მივიღეთ განტოლება გამოყოფილი ცვლადებით. ჩვენ ვაერთიანებთ ამ განტოლების ორივე ნაწილს: იპოვნეთ ფუნქცია ვ:

შეცვალეთ მიღებული მნიშვნელობა ვგანტოლებაში ვიღებთ:

ეს არის გამოყოფილი ცვლადი განტოლება. ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლების ორივე ნაწილს: მოდი ვიპოვოთ ფუნქცია u = u(x,c) მოდი ვიპოვოთ ზოგადი გამოსავალი: მოდი ვიპოვოთ განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის პირობებს y=1ზე x=0:

III. უმაღლესი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

3.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება არის განტოლება, რომელიც შეიცავს წარმოებულებს, რომლებიც არ აღემატება მეორე რიგის. ზოგად შემთხვევაში, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად: F(x,y,y,y") = 0

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამონახვა არის ფორმის ფუნქცია, რომელიც მოიცავს ორ თვითნებურ მუდმივას. C1და C2.

მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი არის გამოსავალი, რომელიც მიღებულია ზოგადიდან თვითნებური მუდმივების ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. C1და C2.

3.2. მეორე რიგის წრფივი ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებები მუდმივი კოეფიციენტები.

მეორე რიგის წრფივი ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლება მუდმივი კოეფიციენტებითფორმის განტოლება ეწოდება y" + py" + qy = 0, სად გვდა ქმუდმივი მნიშვნელობებია.

მუდმივი კოეფიციენტებით მეორე რიგის ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის ალგორითმი

1. დაწერეთ დიფერენციალური განტოლება სახით: y" + py" + qy = 0.

2. შეადგინეთ მისი დამახასიათებელი განტოლება, აღნიშნეთ y"მეშვეობით r2, y"მეშვეობით რ, წ 1-ში: r2 + pr + q = 0

პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები. გადაწყვეტის მაგალითები.
დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

დიფერენციალური განტოლებები (DE). ეს ორი სიტყვა ჩვეულებრივ აშინებს საშუალო ერისკაცს. როგორც ჩანს, დიფერენციალური განტოლებები არის რაღაც აღმაშფოთებელი და ძნელი დასაუფლებელი ბევრი სტუდენტისთვის. უუუუუ... დიფერენციალური განტოლებები, როგორ გადავრჩე ამ ყველაფერს?!

ასეთი აზრი და ასეთი დამოკიდებულება ფუნდამენტურად არასწორია, რადგან სინამდვილეში დიფერენციალური განტოლებები მარტივი და სახალისოა. რა უნდა იცოდე და შეგეძლოს დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნის სწავლა? განსხვავებების წარმატებით შესასწავლად, კარგად უნდა გქონდეთ ინტეგრირება და დიფერენცირება. რაც უფრო კარგად არის შესწავლილი თემები ერთი ცვლადის ფუნქციის წარმოებულიდა განუსაზღვრელი ინტეგრალი, მით უფრო ადვილი იქნება დიფერენციალური განტოლებების გაგება. მეტსაც ვიტყვი, თუ მეტ-ნაკლებად ღირსეული ინტეგრაციის უნარები გაქვთ, მაშინ თემა პრაქტიკულად ათვისებულია! რაც უფრო მეტი ინტეგრალის ამოხსნა შეგიძლიათ, მით უკეთესი. რატომ? ბევრი უნდა გქონდეს ინტეგრირება. და განასხვავებენ. ასევე ყველაზე მეტად რეკომენდირებულიისწავლეთ პოვნა.

შემთხვევათა 95%-ში ტესტის ნაშრომებში არის პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების 3 ტიპი: გამყოფი განტოლებები, რომელსაც ამ გაკვეთილზე განვიხილავთ; ერთგვაროვანი განტოლებებიდა წრფივი არაერთგვაროვანი განტოლებები. დამწყებთათვის დიფუზორების შესწავლის მიზნით, გირჩევთ, წაიკითხოთ გაკვეთილები ამ თანმიმდევრობით და პირველი ორი სტატიის შესწავლის შემდეგ, არ დააზარალებს თქვენი უნარების კონსოლიდაციას დამატებით სემინარში - განტოლებები, რომლებიც მცირდება ერთგვაროვანებამდე.

არსებობს დიფერენციალური განტოლებების კიდევ უფრო იშვიათი ტიპები: განტოლებები მთლიან დიფერენციალებში, ბერნულის განტოლებები და სხვა. ბოლო ორი ტიპიდან ყველაზე მნიშვნელოვანია განტოლებები ჯამურ დიფერენციალებში, რადგან ამ DE-ს გარდა, განვიხილავ ახალ მასალას - ნაწილობრივი ინტეგრაცია.

თუ მხოლოდ ერთი ან ორი დღე გაქვთ დარჩენილი, მაშინ ულტრა სწრაფი მომზადებისთვისიქ არის ბლიცის კურსი pdf ფორმატში.

ასე რომ, ღირშესანიშნაობები დადგენილია - მოდით წავიდეთ:

ჯერ გავიხსენოთ ჩვეულებრივი ალგებრული განტოლებები. ისინი შეიცავს ცვლადებს და რიცხვებს. უმარტივესი მაგალითი: . რას ნიშნავს ჩვეულებრივი განტოლების ამოხსნა? ეს ნიშნავს პოვნას ნომრების ნაკრებირომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას. ადვილი მისახვედრია, რომ ბავშვთა განტოლებას აქვს ერთი ფესვი: . გასართობად, მოდით შევამოწმოთ, ჩავანაცვლოთ ნაპოვნი ფესვი ჩვენს განტოლებაში:

- მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ამონახსნობა სწორად არის ნაპოვნი.

დიფუზები დაახლოებით ერთნაირადაა მოწყობილი!

დიფერენციალური განტოლება პირველი შეკვეთაზოგადად შეიცავს:
1) დამოუკიდებელი ცვლადი;
2) დამოკიდებული ცვლადი (ფუნქცია);
3) ფუნქციის პირველი წარმოებული: .

1-ლი რიგის ზოგიერთ განტოლებაში შეიძლება არ იყოს "x" ან (და) "y", მაგრამ ეს არ არის არსებითი - მნიშვნელოვანიისე რომ DU-ში იყოპირველი წარმოებული და არ ქონაუმაღლესი რიგის წარმოებულები - და ა.შ.

Რას ნიშნავს ?დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა ნიშნავს პოვნას ყველა ფუნქციის კომპლექტირომელიც აკმაყოფილებს ამ განტოლებას. ფუნქციების ასეთ კომპლექტს ხშირად აქვს ფორმა ( არის თვითნებური მუდმივი), რომელსაც ე.წ დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ამოხსნა.

მაგალითი 1

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

სრული საბრძოლო მასალა. სად უნდა დაიწყოს გადაწყვეტილება?

უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა გადაწეროთ წარმოებული ოდნავ განსხვავებული ფორმით. ჩვენ ვიხსენებთ უხერხულ აღნიშვნას, რომელიც ბევრ თქვენგანს ალბათ სასაცილოდ და არასაჭირო თვლიდა. დიფუზერებში სწორედ ის მართავს!

მეორე ეტაპზე ვნახოთ შესაძლებელია თუ არა გაყოფილი ცვლადები?რას ნიშნავს ცვლადების გამოყოფა? უხეშად რომ ვთქვათ, მარცხნივჩვენ უნდა დავტოვოთ მხოლოდ "თამაშები", ა სწორ მხარესორგანიზება მხოლოდ x-ები. ცვლადების გამოყოფა ხორციელდება „სასკოლო“ მანიპულაციებით: ფრჩხილებში, ტერმინების ნაწილიდან ნაწილზე ნიშნის ცვლილებით, ფაქტორების ნაწილიდან ნაწილზე გადატანა პროპორციის წესით და ა.შ.

დიფერენციალური და არის სრული მულტიპლიკატორები და აქტიური მონაწილეები საბრძოლო მოქმედებებში. ამ მაგალითში, ცვლადები ადვილად გამოიყოფა გადაბრუნების ფაქტორებით პროპორციის წესის მიხედვით:

ცვლადები გამოყოფილია. მარცხენა მხარეს - მხოლოდ "თამაში", მარჯვენა მხარეს - მხოლოდ "X".

შემდეგი ეტაპი - დიფერენციალური განტოლების ინტეგრაცია. ეს მარტივია, ჩვენ ორივე ნაწილზე ვკიდებთ ინტეგრალებს:

რა თქმა უნდა, ინტეგრალები უნდა იქნას მიღებული. ამ შემთხვევაში, ისინი ტაბულურია:

როგორც გვახსოვს, მუდმივი ენიჭება ნებისმიერ ანტიწარმოებულს. აქ არის ორი ინტეგრალი, მაგრამ საკმარისია მუდმივის ერთხელ ჩაწერა (რადგან მუდმივი + მუდმივი მაინც უდრის სხვა მუდმივას). უმეტეს შემთხვევაში, ის მოთავსებულია მარჯვენა მხარეს.

მკაცრად რომ ვთქვათ, ინტეგრალების აღების შემდეგ დიფერენციალური განტოლება ამოხსნილად ითვლება. ერთადერთი ის არის, რომ ჩვენი „y“ არ არის გამოხატული „x“-ით, ანუ წარმოდგენილია ამონახსნები იმპლიციტურშიფორმა. დიფერენციალური განტოლების იმპლიციტური ამოხსნა ეწოდება დიფერენციალური განტოლების ზოგადი ინტეგრალი. ანუ არის ზოგადი ინტეგრალი.

ამ ფორმით პასუხი საკმაოდ მისაღებია, მაგრამ არის თუ არა უკეთესი ვარიანტი? ვეცადოთ მივიღოთ საერთო გადაწყვეტილება.

Არაფრის, გაიხსენეთ პირველი ტექნიკა, ის ძალიან გავრცელებულია და ხშირად გამოიყენება პრაქტიკულ ამოცანებში: თუ ინტეგრაციის შემდეგ ლოგარითმი გამოჩნდება მარჯვენა მხარეს, მაშინ ხშირ შემთხვევაში (მაგრამ არა ყოველთვის!) ასევე მიზანშეწონილია მუდმივის ჩაწერა ლოგარითმის ქვეშ..

ე.ი. ᲘᲛᲘᲡ ᲛᲐᲒᲘᲕᲠᲐᲓჩანაწერები ჩვეულებრივ იწერება .

რატომ არის ეს საჭირო? და რათა გაადვილდეს „y“-ის გამოხატვა. ჩვენ ვიყენებთ ლოგარითმების თვისებებს . Ამ შემთხვევაში:

ახლა ლოგარითმები და მოდულები შეიძლება წაიშალოს:

ფუნქცია აშკარად არის წარმოდგენილი. ეს არის ზოგადი გამოსავალი.

უპასუხე: საერთო გადაწყვეტილება: .

ბევრ დიფერენციალურ განტოლებაზე პასუხის შემოწმება საკმაოდ მარტივია. ჩვენს შემთხვევაში, ეს კეთდება საკმაოდ მარტივად, ვიღებთ ნაპოვნი გამოსავალს და განვასხვავებთ მას:

შემდეგ ჩვენ ვანაცვლებთ წარმოებულს თავდაპირველ განტოლებაში:

- მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ ზოგადი ამონახსნი აკმაყოფილებს განტოლებას, რომლის შემოწმებაც იყო საჭირო.

მუდმივი სხვადასხვა მნიშვნელობების მიცემით, შეგიძლიათ მიიღოთ უსასრულო რაოდენობა პირადი გადაწყვეტილებებიდიფერენციალური განტოლება. გასაგებია, რომ რომელიმე ფუნქცია და ა.შ. აკმაყოფილებს დიფერენციალურ განტოლებას.

ზოგჯერ ზოგადი გამოსავალი ე.წ ფუნქციების ოჯახი. ამ მაგალითში, ზოგადი გადაწყვეტა არის წრფივი ფუნქციების ოჯახი, უფრო სწორად, პირდაპირი პროპორციულობის ოჯახი.

პირველი მაგალითის დეტალური განხილვის შემდეგ, მიზანშეწონილია ვუპასუხოთ რამდენიმე გულუბრყვილო კითხვას დიფერენციალური განტოლებების შესახებ:

1)ამ მაგალითში ჩვენ მოვახერხეთ ცვლადების გამოყოფა. ყოველთვის შესაძლებელია ამის გაკეთება?არა ყოველთვის არა. და კიდევ უფრო ხშირად ცვლადები არ შეიძლება განცალკევდეს. მაგალითად, in პირველი რიგის ერთგვაროვანი განტოლებებიჯერ უნდა შეიცვალოს. სხვა ტიპის განტოლებებში, მაგალითად, პირველი რიგის წრფივ არაერთგვაროვან განტოლებაში, თქვენ უნდა გამოიყენოთ სხვადასხვა ხრიკები და მეთოდები ზოგადი ამოხსნის მოსაძებნად. განცალკევებული ცვლადი განტოლებები, რომლებსაც განვიხილავთ პირველ გაკვეთილზე, არის დიფერენციალური განტოლებების უმარტივესი ტიპი.

2) ყოველთვის შესაძლებელია დიფერენციალური განტოლების ინტეგრირება?არა ყოველთვის არა. ძალიან ადვილია ისეთი „ლამაზი“ განტოლების გამომუშავება, რომლის ინტეგრირებაც შეუძლებელია, გარდა ამისა, არის ინტეგრალები, რომელთა აღებაც შეუძლებელია. მაგრამ ასეთი DE-ები შეიძლება გადაწყდეს დაახლოებით სპეციალური მეთოდების გამოყენებით. დ'ალმბერი და კოში გარანტია... ...აჰა, მიმალო. ახლა ბევრი წავიკითხე, კინაღამ დავამატე "სხვა სამყაროდან".

3) ამ მაგალითში ჩვენ მივიღეთ გამოსავალი ზოგადი ინტეგრალის სახით . ყოველთვის შესაძლებელია ზოგადი ინტეგრალიდან ზოგადი ამოხსნის პოვნა, ანუ „y“-ის გამოხატვა გამოხატული ფორმით?არა ყოველთვის არა. Მაგალითად: . აბა, როგორ გამოვხატო "y" აქ ?! ასეთ შემთხვევებში პასუხი უნდა დაიწეროს ზოგადი ინტეგრალის სახით. გარდა ამისა, ზოგჯერ შესაძლებელია ზოგადი ამოხსნის პოვნა, მაგრამ ისე უხერხულად და მოუხერხებლად არის დაწერილი, რომ ჯობია პასუხი ზოგადი ინტეგრალის სახით დავტოვოთ.

4) ... ალბათ საკმარისია ამ დროისთვის. პირველ მაგალითში ჩვენ შევხვდით კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი წერტილი, ოღონდ იმისთვის, რომ ახალი ინფორმაციის ზვავი არ დაფაროს „დუმალებმა“, მომავალ გაკვეთილამდე დავტოვებ.

ნუ ვიჩქარებთ. კიდევ ერთი მარტივი დისტანციური მართვა და სხვა ტიპიური გადაწყვეტა:

მაგალითი 2

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას

გადაწყვეტილება: მდგომარეობის მიხედვით საჭიროა მოძებნა პირადი გადაწყვეტა DE, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის მდგომარეობას. ამგვარ დაკითხვასაც ეძახიან კუშის პრობლემა.

პირველ რიგში, ჩვენ ვპოულობთ ზოგად გამოსავალს. განტოლებაში არ არის "x" ცვლადი, მაგრამ ეს არ უნდა იყოს სამარცხვინო, მთავარია მას აქვს პირველი წარმოებული.

ჩვენ ხელახლა ვწერთ წარმოებულს საჭირო ფორმით:

ცხადია, ცვლადები შეიძლება დაიყოს, ბიჭები მარცხნივ, გოგოები მარჯვნივ:

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას:

მიღებულია ზოგადი ინტეგრალი. აქვე დავხატე მუდმივი აქცენტიანი ვარსკვლავით, ფაქტია, რომ ძალიან მალე ის სხვა მუდმივად გადაიქცევა.

ახლა ჩვენ ვცდილობთ გადავიტანოთ ზოგადი ინტეგრალი ზოგად გადაწყვეტად (გამოხატეთ "y" პირდაპირ). ჩვენ გვახსოვს ძველი, კარგი სკოლა: . Ამ შემთხვევაში:

ინდიკატორში მუდმივი რატომღაც არ გამოიყურება კოშერულად, ამიტომ ის ჩვეულებრივ ზეციდან დედამიწაზე ქვეითდება. დეტალურად, ეს ასე ხდება. გრადუსების თვისების გამოყენებით, ჩვენ გადავიწერთ ფუნქციას შემდეგნაირად:

თუ მუდმივია, მაშინ ასევე არის მუდმივი, გადაანაწილეთ იგი ასოებით:

გახსოვდეთ მუდმივის "დანგრევა" არის მეორე ტექნიკა, რომელიც ხშირად გამოიყენება დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას.

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის: ექსპონენციალური ფუნქციების ასეთი ლამაზი ოჯახი.

დასკვნით ეტაპზე, თქვენ უნდა იპოვოთ კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს მოცემულ საწყის მდგომარეობას. ესეც მარტივია.

რა არის ამოცანა? საჭიროა აყვანა ასეთიმუდმივის მნიშვნელობა პირობის დასაკმაყოფილებლად.

თქვენ შეგიძლიათ მოაწყოთ იგი სხვადასხვა გზით, მაგრამ ყველაზე გასაგები, ალბათ, ასეთი იქნება. ზოგად ამოხსნაში „x“-ის ნაცვლად ჩვენ ვცვლით ნულს, ხოლო „y“-ს ნაცვლად ორს:



ე.ი.

სტანდარტული დიზაინის ვერსია:

ახლა ჩვენ ვცვლით მუდმივის ნაპოვნი მნიშვნელობას ზოგად ამონახსნით:
- ეს არის კონკრეტული გამოსავალი, რომელიც ჩვენ გვჭირდება.

უპასუხე: პირადი გადაწყვეტა:

მოდით შევამოწმოთ. კონკრეტული გადაწყვეტის შემოწმება მოიცავს ორ ეტაპს:

უპირველეს ყოვლისა, აუცილებელია შეამოწმოთ, ნამდვილად აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი კონკრეტული გამოსავალი საწყის მდგომარეობას? "x"-ის ნაცვლად ჩვენ ვცვლით ნულს და ვნახოთ რა ხდება:
- დიახ, მართლაც, მიიღეს დიუსი, რაც ნიშნავს, რომ საწყისი პირობა დაკმაყოფილებულია.

მეორე ეტაპი უკვე ნაცნობია. ჩვენ ვიღებთ მიღებულ კონკრეტულ ამოხსნას და ვპოულობთ წარმოებულს:

ჩანაცვლება თავდაპირველ განტოლებაში:

- მიღებულია სწორი თანასწორობა.

დასკვნა: კონკრეტული გამოსავალი არის ნაპოვნი სწორად.

მოდით გადავიდეთ უფრო მნიშვნელოვან მაგალითებზე.

მაგალითი 3

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნა

გადაწყვეტილება:ჩვენ ხელახლა ვწერთ წარმოებულს ჩვენთვის საჭირო ფორმით:

აფასებთ შესაძლებელია თუ არა ცვლადების გამიჯვნა? შეუძლია. მეორე ტერმინს მარჯვენა მხარეს გადავიტანთ ნიშნის ცვლილებით:

და ჩვენ ვაბრუნებთ ფაქტორებს პროპორციის წესის მიხედვით:

ცვლადები გამოყოფილია, მოდით გავაერთიანოთ ორივე ნაწილი:

უნდა გაგაფრთხილო, განკითხვის დღე მოდის. თუ კარგად ვერ ისწავლე განუსაზღვრელი ინტეგრალები, რამდენიმე მაგალითი ამოხსნა, მერე წასასვლელი არსად არის - ახლავე უნდა დაეუფლო მათ.

მარცხენა მხარის ინტეგრალი ადვილად მოსაძებნია, კოტანგენტის ინტეგრალით საქმე გვაქვს სტანდარტულ ტექნიკასთან, რომელიც განვიხილეთ გაკვეთილზე ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ინტეგრაციაᲒასულ წელს:

მარჯვენა მხარეს გვაქვს ლოგარითმი და, ჩემი პირველი ტექნიკური რეკომენდაციით, მუდმივიც ლოგარითმის ქვეშ უნდა ჩაიწეროს.

ახლა ჩვენ ვცდილობთ გავამარტივოთ ზოგადი ინტეგრალი. ვინაიდან ჩვენ გვაქვს მხოლოდ ლოგარითმები, მათი მოშორება სავსებით შესაძლებელია (და აუცილებელიც). მეშვეობით ცნობილი თვისებებიმაქსიმალურად „შეფუთეთ“ ლოგარითმები. დაწვრილებით დავწერ:

შეფუთვა დასრულებულია ბარბაროსულად დატკეპნილისთვის:

შესაძლებელია თუ არა "y"-ის გამოხატვა? შეუძლია. ორივე ნაწილი უნდა იყოს კვადრატში.

მაგრამ თქვენ არ გჭირდებათ.

მესამე ტექნიკური რჩევა:თუ ზოგადი გადაწყვეტის მისაღებად საჭიროა ძალაზე აყვანა ან ფესვების გადგმა, მაშინ Უმეტეს შემთხვევაშითავი უნდა შეიკავოთ ამ ქმედებებისგან და პასუხი დატოვოთ ზოგადი ინტეგრალის სახით. ფაქტია, რომ ზოგადი გამოსავალი უბრალოდ საშინლად გამოიყურება - დიდი ფესვებით, ნიშნებით და სხვა ნაგვით.

ამიტომ პასუხს ვწერთ ზოგად ინტეგრალის სახით. კარგ ფორმად ითვლება მისი სახით წარდგენა, ანუ მარჯვენა მხარეს, თუ შესაძლებელია, დატოვეთ მხოლოდ მუდმივი. ამის გაკეთება აუცილებელი არ არის, მაგრამ ყოველთვის მომგებიანია პროფესორის სიამოვნება ;-)

პასუხი:ზოგადი ინტეგრალი:

! Შენიშვნა: ნებისმიერი განტოლების ზოგადი ინტეგრალი შეიძლება დაიწეროს ერთზე მეტი გზით. ამრიგად, თუ თქვენი შედეგი არ დაემთხვა ადრე ცნობილ პასუხს, მაშინ ეს არ ნიშნავს, რომ თქვენ არასწორად ამოხსენით განტოლება.

ზოგადი ინტეგრალიც საკმაოდ მარტივად შემოწმდება, მთავარია, პოვნა შეძლოს იმპლიციტურად განსაზღვრული ფუნქციის წარმოებული. მოდით განვასხვავოთ პასუხი:

ჩვენ ვამრავლებთ ორივე ტერმინს:

და ჩვენ ვყოფთ:

ორიგინალური დიფერენციალური განტოლება ზუსტად იქნა მიღებული, რაც ნიშნავს, რომ ზოგადი ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მაგალითი 4

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას. შეასრულეთ შემოწმება.

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი.

შეგახსენებთ, რომ ალგორითმი შედგება ორი ეტაპისგან:
1) ზოგადი გადაწყვეტის პოვნა;
2) საჭირო კონკრეტული გადაწყვეტის პოვნა.

შემოწმება ასევე ტარდება ორ ეტაპად (იხ. ნიმუში მაგალითში No2), საჭიროა:
1) დარწმუნდით, რომ ნაპოვნი კონკრეტული გამოსავალი აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას;
2) შეამოწმეთ, რომ კონკრეტული გამოსავალი ზოგადად აკმაყოფილებს დიფერენციალურ განტოლებას.

სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

მაგალითი 5

იპოვეთ დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამონახსნი საწყის პირობას აკმაყოფილებს. შეასრულეთ შემოწმება.

გადაწყვეტილება:ჯერ ვიპოვოთ ზოგადი ამონახსნები, ეს განტოლება უკვე შეიცავს მზა დიფერენციალებს და , რაც ნიშნავს, რომ ამოხსნა გამარტივებულია. ცვლადების გამიჯვნა:

ჩვენ ვაერთიანებთ განტოლებას:

ინტეგრალი მარცხნივ არის ცხრილი, ინტეგრალი მარჯვნივ არის აღებული დიფერენციალური ნიშნის ქვეშ ფუნქციის შეჯამების მეთოდი:

ზოგადი ინტეგრალი მიღებულია, შესაძლებელია თუ არა ზოგადი ამოხსნის წარმატებით გამოხატვა? შეუძლია. ლოგარითმებს ორივე მხრიდან ვკიდებთ. ვინაიდან ისინი დადებითია, მოდულის ნიშნები ზედმეტია:

(იმედია ყველას ესმის ტრანსფორმაცია, ასეთი რამ უკვე უნდა იცოდეს)

ასე რომ, ზოგადი გამოსავალი არის:

მოდი ვიპოვოთ მოცემული საწყისი პირობის შესაბამისი კონკრეტული გამოსავალი.
ზოგად ამონახსნში „x“-ის ნაცვლად ვცვლით ნულს, ხოლო „y“-ის ნაცვლად ორის ლოგარითმს:

უფრო ნაცნობი დიზაინი:

ჩვენ ვცვლით მუდმივის ნაპოვნი მნიშვნელობას ზოგად ამონახსნით.

პასუხი:პირადი გადაწყვეტა:

შეამოწმეთ: პირველ რიგში, შეამოწმეთ შესრულებულია თუ არა საწყისი პირობა:
- ყველაფერი კარგადაა.

ახლა შევამოწმოთ, აკმაყოფილებს თუ არა ნაპოვნი კონკრეტული ამონახსნი დიფერენციალურ განტოლებას. ჩვენ ვპოულობთ წარმოებულს:

მოდით შევხედოთ თავდაპირველ განტოლებას: – წარმოდგენილია დიფერენციალურად. შემოწმების ორი გზა არსებობს. შესაძლებელია დიფერენციაციის გამოხატვა ნაპოვნი წარმოებულისგან:

ჩვენ ვცვლით ნაპოვნი კონკრეტული ამონახსნის და შედეგად მიღებული დიფერენციალის თავდაპირველ განტოლებას :

ჩვენ ვიყენებთ ძირითად ლოგარითმულ იდენტობას:

მიიღება სწორი ტოლობა, რაც ნიშნავს, რომ კონკრეტული ამონახსნები სწორად არის ნაპოვნი.

შემოწმების მეორე გზა სარკისებული და უფრო ნაცნობია: განტოლებიდან გამოვხატოთ წარმოებული, ამისათვის ჩვენ ვყოფთ ყველა ნაწილს:

ხოლო გარდაქმნილ DE-ში ჩვენ ვცვლით მიღებულ კონკრეტულ ამონახსანს და ნაპოვნ წარმოებულს. გამარტივებების შედეგად ასევე უნდა მივიღოთ სწორი თანასწორობა.

მაგალითი 6

ამოხსენით დიფერენციალური განტოლება. პასუხი გამოხატეთ ზოგადი ინტეგრალის სახით.

ეს არის მაგალითი თვითგამორკვევის, სრული ამოხსნისა და გაკვეთილის ბოლოს პასუხისთვის.

რა სირთულეები ელის დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნას განცალკევებული ცვლადებით?

1) ყოველთვის არ არის აშკარა (განსაკუთრებით ჩაიდანისთვის) ცვლადების განცალკევება. განვიხილოთ პირობითი მაგალითი: . აქ თქვენ უნდა ამოიღოთ ფაქტორები ფრჩხილებიდან: და გამოყოთ ფესვები:. როგორ გავაგრძელოთ შემდგომი, გასაგებია.

2) სირთულეები თავად ინტეგრაციაში. ინტეგრალები ხშირად წარმოიქმნება არა უმარტივესი, და თუ არსებობს ხარვეზები პოვნის უნარში განუსაზღვრელი ინტეგრალი, მაშინ რთული იქნება ბევრი დიფუზორით. გარდა ამისა, კრებულებისა და სახელმძღვანელოების შემდგენელები პოპულარულია ლოგიკით „რადგან დიფერენციალური განტოლება მარტივია, მაშინ მაინც ინტეგრალები უფრო რთული იქნება“.

3) გარდაქმნები მუდმივით. როგორც ყველამ შენიშნა, დიფერენციალურ განტოლებებში მუდმივი თავისუფლად შეიძლება დამუშავდეს და ზოგიერთი ტრანსფორმაცია დამწყებთათვის ყოველთვის არ არის ნათელი. მოდით შევხედოთ კიდევ ერთ ჰიპოთეტურ მაგალითს: . მასში მიზანშეწონილია ყველა ტერმინის 2-ზე გამრავლება: . შედეგად მიღებული მუდმივი ასევე არის გარკვეული სახის მუდმივი, რომელიც შეიძლება აღვნიშნოთ: . დიახ, და რადგან მარჯვენა მხარეს არის ლოგარითმი, მიზანშეწონილია გადაწეროთ მუდმივი, როგორც სხვა მუდმივი: .

უბედურება ის არის, რომ ხშირად არ იტანჯებიან ინდექსებით და ერთსა და იმავე ასოს იყენებენ. შედეგად, გადაწყვეტილების ჩანაწერი იღებს შემდეგ ფორმას:

რა ერესი? აქ არის შეცდომები! მკაცრად რომ ვთქვათ, დიახ. თუმცა, არსებითი თვალსაზრისით, შეცდომები არ არის, რადგან ცვლადი მუდმივის გარდაქმნის შედეგად, მაინც მიიღება ცვლადი მუდმივი.

ან სხვა მაგალითი, დავუშვათ, რომ განტოლების ამოხსნისას მიიღება ზოგადი ინტეგრალი. ეს პასუხი მახინჯად გამოიყურება, ამიტომ მიზანშეწონილია შეცვალოთ თითოეული ტერმინის ნიშანი: . ფორმალურად, ისევ არის შეცდომა - მარჯვნივ, უნდა ეწეროს . მაგრამ არაფორმალურად იგულისხმება, რომ "მინუს ce" კვლავ მუდმივია ( რომელიც ისევე კარგად იღებს ნებისმიერ მნიშვნელობას!), ამიტომ "მინუსის" დადებას აზრი არ აქვს და შეგიძლიათ იგივე ასო გამოიყენოთ.

მე ვეცდები თავიდან ავიცილოთ უყურადღებო მიდგომა და მაინც ჩამოვაყალიბო სხვადასხვა ინდექსები მუდმივებისთვის მათი კონვერტაციისას.

მაგალითი 7

ამოხსენით დიფერენციალური განტოლება. შეასრულეთ შემოწმება.

გადაწყვეტილება:ეს განტოლება აღიარებს ცვლადების გამოყოფას. ცვლადების გამიჯვნა:

ჩვენ ვაერთიანებთ:

აქ მუდმივი არ უნდა განისაზღვროს ლოგარითმის ქვეშ, რადგან კარგი არაფერი გამოვა.

პასუხი:ზოგადი ინტეგრალი:

შეამოწმეთ: პასუხის დიფერენცირება (იმპლიციტური ფუნქცია):

ჩვენ ვაშორებთ წილადებს, ამისთვის ვამრავლებთ ორივე წევრს:

მიღებულია ორიგინალური დიფერენციალური განტოლება, რაც ნიშნავს, რომ ზოგადი ინტეგრალი სწორად იქნა ნაპოვნი.

მაგალითი 8

იპოვნეთ DE-ს კონკრეტული გამოსავალი.
,

ეს არის საკუთარი თავის მაგალითი. ერთადერთი მინიშნება ის არის, რომ აქ თქვენ მიიღებთ ზოგად ინტეგრალს და, უფრო სწორად, თქვენ უნდა მოიფიქროთ, რომ იპოვოთ არა კონკრეტული გამოსავალი, არამედ კერძო ინტეგრალი. სრული ამოხსნა და პასუხი გაკვეთილის ბოლოს.

6.1. ძირითადი ცნებები და განმარტებები

მათემატიკისა და ფიზიკის, ბიოლოგიისა და მედიცინის სხვადასხვა ამოცანების გადაჭრისას, საკმაოდ ხშირად შეუძლებელია ფუნქციური დამოკიდებულების დაუყოვნებლად ჩამოყალიბება ფორმულის სახით, რომელიც აკავშირებს ცვლადებს, რომლებიც აღწერს შესასწავლ პროცესს. ჩვეულებრივ, უნდა გამოვიყენოთ განტოლებები, რომლებიც, გარდა დამოუკიდებელი ცვლადისა და უცნობი ფუნქციისა, შეიცავს მის წარმოებულებსაც.

განმარტება.განტოლება, რომელიც ეხება დამოუკიდებელ ცვლადს, უცნობ ფუნქციას და სხვადასხვა რიგის მის წარმოებულებს, ეწოდება დიფერენციალური.

უცნობი ფუნქცია ჩვეულებრივ აღინიშნება y(x)ან უბრალოდ y,და მისი წარმოებულებია y", y"და ა.შ.

შესაძლებელია სხვა აღნიშვნებიც, მაგალითად: თუ წ= x(t), მაშინ x"(t), x""(t)არის მისი წარმოებულები და ტდამოუკიდებელი ცვლადია.

განმარტება.თუ ფუნქცია დამოკიდებულია ერთ ცვლადზე, მაშინ დიფერენციალურ განტოლებას ჩვეულებრივი ეწოდება. ზოგადი ფორმა ჩვეულებრივი დიფერენციალური განტოლება:

ან

ფუნქციები ფდა ვშეიძლება არ შეიცავდეს რამდენიმე არგუმენტს, მაგრამ იმისათვის, რომ განტოლებები იყოს დიფერენციალური, აუცილებელია წარმოებულის არსებობა.

განმარტება.დიფერენციალური განტოლების რიგიარის მასში შემავალი უმაღლესი წარმოებულის რიგი.

Მაგალითად, x 2 y"- წ= 0, y" + ცოდვა x= 0 არის პირველი რიგის განტოლებები და y"+ 2 y"+ 5 წ= xარის მეორე რიგის განტოლება.

დიფერენციალური განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ინტეგრაციის ოპერაცია, რომელიც დაკავშირებულია თვითნებური მუდმივის გამოჩენასთან. თუ ინტეგრაციის მოქმედება გამოიყენება ნჯერ, მაშინ, ცხადია, გამოსავალი შეიცავს ნთვითნებური მუდმივები.

6.2. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები

ზოგადი ფორმა პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებაგანისაზღვრება გამონათქვამით

განტოლება შეიძლება აშკარად არ შეიცავდეს xდა y,მაგრამ აუცილებლად შეიცავს y“.

თუ განტოლება შეიძლება დაიწეროს როგორც

მაშინ მივიღებთ პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ამოხსნილი წარმოებულის მიმართ.

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლების (6.3) (ან (6.4)) ზოგადი ამონახსნები არის ამონახსნების სიმრავლე. , სად თანარის თვითნებური მუდმივი.

დიფერენციალური განტოლების ამოხსნის გრაფიკს ეწოდება ინტეგრალური მრუდი.

თვითნებური მუდმივის მიცემა თანგანსხვავებული მნიშვნელობებით, შესაძლებელია კონკრეტული გადაწყვეტილებების მიღება. ზედაპირზე xOyზოგადი ამოხსნა არის ინტეგრალური მრუდების ოჯახი, რომელიც შეესაბამება თითოეულ კონკრეტულ ამონახსნებს.

თუ პუნქტს დაადგენ A(x0, y0),რომლის მეშვეობითაც ინტეგრალური მრუდი უნდა გაიაროს, შემდეგ, როგორც წესი, ფუნქციების სიმრავლიდან შეიძლება გამოვყოთ ერთი - კონკრეტული გამოსავალი.

განმარტება.პირადი გადაწყვეტილებადიფერენციალური განტოლების არის მისი ამონახსნი, რომელიც არ შეიცავს თვითნებურ მუდმივებს.

Თუ არის ზოგადი გამოსავალი, შემდეგ მდგომარეობიდან

შეგიძლიათ იპოვოთ მუდმივი თან.მდგომარეობა ე.წ საწყისი მდგომარეობა.

დიფერენციალური განტოლების (6.3) ან (6.4) კონკრეტული ამოხსნის პოვნის პრობლემა, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას. ზე დაურეკა კოშის პრობლემა.ამ პრობლემას ყოველთვის აქვს გამოსავალი? პასუხი მოცემულია შემდეგ თეორემაში.

კოშის თეორემა(არსებობის თეორემა და ამონახსნის უნიკალურობა). შევიტანოთ დიფერენციალური განტოლება y"= f(x, y)ფუნქცია f(x, y)და ის

ნაწილობრივი წარმოებული განსაზღვრული და ზოგიერთში უწყვეტი

ტერიტორიები D,წერტილის შემცველი მერე რაიონში დარსებობს

განტოლების ერთადერთი გამოსავალი, რომელიც აკმაყოფილებს საწყის მდგომარეობას ზე

კოშის თეორემა ამბობს, რომ გარკვეულ პირობებში არსებობს უნიკალური ინტეგრალური მრუდი წ= f(x),წერტილის გავლით წერტილები, სადაც თეორემის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული

კატებს ეძახიან განსაკუთრებული.შესვენებები ამ წერტილებში ვ(x, y) ან.

ან რამდენიმე ინტეგრალური მრუდი გადის სინგულურ წერტილში, ან არცერთი.

განმარტება.თუ გამოსავალი (6.3), (6.4) ნაპოვნია ფორმაში ვ(x, y, გ)= 0 დაუშვებელია y-სთან მიმართებაში, მაშინ მას უწოდებენ საერთო ინტეგრალიდიფერენციალური განტოლება.

კოშის თეორემა მხოლოდ იმის გარანტიას იძლევა, რომ გამოსავალი არსებობს. ვინაიდან არ არსებობს ამოხსნის ერთი მეთოდი, ჩვენ განვიხილავთ პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების მხოლოდ რამდენიმე ტიპს, რომლებიც ინტეგრირებადია კვადრატები.

განმარტება.დიფერენციალური განტოლება ე.წ ინტეგრირებადი კვადრატებში,თუ მისი ამოხსნის ძიება ფუნქციების ინტეგრირებამდე დაიყვანება.

6.2.1. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებები გამყოფი ცვლადებით

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალურ განტოლებას ეწოდება განტოლება განცალკევებული ცვლადები,

განტოლების (6.5) მარჯვენა მხარე არის ორი ფუნქციის ნამრავლი, რომელთაგან თითოეული დამოკიდებულია მხოლოდ ერთ ცვლადზე.

მაგალითად, განტოლება არის განტოლება გამოყოფით

ცვლადების გავლა
და განტოლება

არ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ფორმით (6.5).

Იმის გათვალისწინებით, რომ , ჩვენ ვწერთ (6.5) როგორც

ამ განტოლებიდან ვიღებთ დიფერენციალურ განტოლებას განცალკევებული ცვლადებით, რომელშიც დიფერენციალი შეიცავს ფუნქციებს, რომლებიც დამოკიდებულია მხოლოდ შესაბამის ცვლადზე:

ტერმინის მიხედვით ინტეგრირება გვაქვს

სადაც C= C 2 - C 1 არის თვითნებური მუდმივი. გამოხატულება (6.6) არის (6.5) განტოლების ზოგადი ინტეგრალი.

განტოლების (6.5) ორივე ნაწილის გაყოფით ჩვენ შეგვიძლია დავკარგოთ ის ამონახსნები, რომელთათვისაც: მართლაც, თუ ზე

მაშინ აშკარად არის (6.5) განტოლების ამონახსნი.

მაგალითი 1იპოვნეთ დამაკმაყოფილებელი განტოლების ამონახსნი

მდგომარეობა: წ= 6 საათზე x= 2 (y(2) = 6).

გადაწყვეტილება.შევცვალოთ ზე"მაშინ . გავამრავლოთ ორივე მხარე

dx,ვინაიდან შემდგომი ინტეგრაციისას გასვლა შეუძლებელია dxმნიშვნელში:

შემდეგ კი ორივე ნაწილის გაყოფა ჩვენ ვიღებთ განტოლებას,

რომელიც შეიძლება იყოს ინტეგრირებული. ჩვენ ვაერთიანებთ:

მერე ; გაძლიერება, მივიღებთ y = C. (x + 1) - ob-

გამოსავალი.

საწყის მონაცემებზე დაყრდნობით, ჩვენ განვსაზღვრავთ თვითნებურ მუდმივობას მათი ზოგადი ამონახსნით ჩანაცვლებით

ბოლოს მივიღებთ წ= 2(x + 1) არის კონკრეტული ამოხსნა. განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნის კიდევ რამდენიმე მაგალითი გამყოფი ცვლადებით.

მაგალითი 2იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.Იმის გათვალისწინებით, რომ , ვიღებთ .

განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება გვაქვს

სადაც

მაგალითი 3იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.განტოლების ორივე ნაწილს ვყოფთ იმ ფაქტორებზე, რომლებიც დამოკიდებულია ცვლადზე, რომელიც არ ემთხვევა ცვლადს დიფერენციალური ნიშნით, ე.ი. და ინტეგრირება. შემდეგ მივიღებთ

და ბოლოს

მაგალითი 4იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.ვიცით რას მივიღებთ. განყოფილება -

lim ცვლადები. მერე

ინტეგრირება, ჩვენ ვიღებთ

კომენტარი.მაგალითებში 1 და 2, სასურველი ფუნქცია წგამოხატული ექსპლიციტურად (ზოგადი გადაწყვეტა). მე-3 და მე-4 მაგალითებში - იმპლიციტურად (ზოგადი ინტეგრალი). სამომავლოდ გადაწყვეტილების ფორმა არ დაზუსტდება.

მაგალითი 5იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.

მაგალითი 6იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი დამაკმაყოფილებელი

მდგომარეობა y(e)= 1.

გადაწყვეტილება.განტოლებას ვწერთ ფორმაში

განტოლების ორივე მხარის გამრავლება dxდა ჩვენ ვიღებთ

განტოლების ორივე მხარის ინტეგრირება (მარჯვენა მხარეს ინტეგრალი აღებულია ნაწილებით), ვიღებთ

მაგრამ პირობით წ= 1 at x= ე. მერე

შეცვალეთ ნაპოვნი მნიშვნელობები თანზოგად გადაწყვეტაში:

მიღებულ გამონათქვამს ეწოდება დიფერენციალური განტოლების კონკრეტული ამოხსნა.

6.2.2. პირველი რიგის ჰომოგენური დიფერენციალური განტოლებები

განმარტება.პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლება ეწოდება ერთგვაროვანითუ შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც

წარმოგიდგენთ ერთგვაროვანი განტოლების ამოხსნის ალგორითმს.

1. სამაგიეროდ წშეიტანეთ ახალი ფუნქცია შემდეგ და აქედან გამომდინარე

2. ფუნქციის თვალსაზრისით uგანტოლება (6.7) იღებს ფორმას

ე.ი. ჩანაცვლება ამცირებს ერთგვაროვან განტოლებას განტოლებამდე განცალკევებული ცვლადებით.

3. (6.8) განტოლების ამოხსნით, ჯერ ვპოულობთ u, შემდეგ კი წ= ux.

მაგალითი 1განტოლების ამოხსნა გადაწყვეტილება.განტოლებას ვწერთ ფორმაში

ჩვენ ვაკეთებთ ჩანაცვლებას:
მერე

შევცვალოთ

გავამრავლოთ dx-ზე: გაყავით xდა შემდეგ მაშინ

განტოლების ორივე ნაწილის ინტეგრირება შესაბამისი ცვლადების მიმართ, გვაქვს

ან, ძველ ცვლადებს დავუბრუნდეთ, საბოლოოდ მივიღებთ

მაგალითი 2განტოლების ამოხსნა გადაწყვეტილება.დაე იყოს მაშინ

გაყავით განტოლების ორივე მხარე x2: გავხსნათ ფრჩხილები და ვაწესრიგოთ ტერმინები:

ძველ ცვლადებზე გადასვლისას მივდივართ საბოლოო შედეგამდე:

მაგალითი 3იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი იმის გათვალისწინებით, რომ

გადაწყვეტილება.სტანდარტული ჩანაცვლების შესრულება ვიღებთ

ან

ან

ასე რომ, კონკრეტულ გადაწყვეტას აქვს ფორმა მაგალითი 4იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი

გადაწყვეტილება.

მაგალითი 5იპოვნეთ განტოლების ამონახსნი გადაწყვეტილება.

დამოუკიდებელი მუშაობა

იპოვნეთ გამოსავალი დიფერენციალური განტოლებების გამყოფი ცვლადებით (1-9).

იპოვნეთ ერთგვაროვანი დიფერენციალური განტოლებების ამონახსნი (9-18).

6.2.3. პირველი რიგის დიფერენციალური განტოლებების ზოგიერთი გამოყენება

რადიოაქტიური დაშლის პრობლემა

Ra (რადიუმის) დაშლის სიჩქარე დროის თითოეულ მომენტში არის მისი ხელმისაწვდომი მასის პროპორციული. იპოვეთ Ra-ს რადიოაქტიური დაშლის კანონი, თუ ცნობილია, რომ საწყის მომენტში იყო Ra და Ra-ს ნახევარგამოყოფის პერიოდი 1590 წელია.

გადაწყვეტილება.მოდით ამ მომენტში მასა Ra იყოს x= x(t)გ და მაშინ Ra-ს დაშლის მაჩვენებელი არის

დავალების მიხედვით

სადაც კ

ბოლო განტოლებაში ცვლადების გამოყოფა და ინტეგრირება, მივიღებთ

სადაც

დადგენისთვის Cჩვენ ვიყენებთ საწყის მდგომარეობას: .

მერე და, შესაბამისად,

პროპორციულობის ფაქტორი კგანისაზღვრება დამატებითი პირობით:

Ჩვენ გვაქვს

აქედან და სასურველი ფორმულა

ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარის პრობლემა

ბაქტერიების გამრავლების სიჩქარე მათი რაოდენობის პროპორციულია. საწყის მომენტში 100 ბაქტერია იყო. 3 საათში მათი რიცხვი გაორმაგდა. იპოვნეთ ბაქტერიების რაოდენობის დროზე დამოკიდებულება. რამდენჯერ გაიზრდება ბაქტერიების რაოდენობა 9 საათის განმავლობაში?

გადაწყვეტილება.დაე იყოს x- ბაქტერიების რაოდენობა მომენტში ტ.შემდეგ, მდგომარეობის მიხედვით,

სადაც კ- პროპორციულობის კოეფიციენტი.

აქედან ცნობილია იმ პირობით, რომ . ნიშნავს,

დამატებითი მდგომარეობიდან . მერე

საჭირო ფუნქცია:

ასე რომ, ზე ტ= 9 x= 800, ანუ 9 საათის განმავლობაში ბაქტერიების რაოდენობა 8-ჯერ გაიზარდა.

ფერმენტის რაოდენობის გაზრდის ამოცანა

ლუდის საფუარის კულტურაში აქტიური ფერმენტის ზრდის ტემპი მისი საწყისი რაოდენობის პროპორციულია. x.ფერმენტის საწყისი რაოდენობა აერთ საათში გაორმაგდა. იპოვნეთ დამოკიდებულება

x(t).

გადაწყვეტილება.პირობით, პროცესის დიფერენციალურ განტოლებას აქვს ფორმა

აქედან

მაგრამ . ნიშნავს, C= ადა მერე

ასევე ცნობილია, რომ

აქედან გამომდინარე,

6.3. მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებები

6.3.1. Ძირითადი ცნებები

განმარტება.მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებაეწოდება დამოუკიდებელი ცვლადის, სასურველი ფუნქციის და მისი პირველი და მეორე წარმოებულების დამაკავშირებელ მიმართებას.

განსაკუთრებულ შემთხვევებში, x შეიძლება არ იყოს განტოლებაში, ზეან y". თუმცა მეორე რიგის განტოლება აუცილებლად უნდა შეიცავდეს y". ზოგად შემთხვევაში, მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლება იწერება შემდეგნაირად:

ან, თუ შესაძლებელია, მეორე წარმოებულისთვის დაშვებული ფორმით:

როგორც პირველი რიგის განტოლების შემთხვევაში, მეორე რიგის განტოლებას შეიძლება ჰქონდეს ზოგადი და კონკრეტული ამონახსნი. ზოგადი გამოსავალი ასე გამოიყურება:

პირადი გადაწყვეტის პოვნა

საწყის პირობებში - მოცემული

ნომერი) ეძახიან კოშის პრობლემა.გეომეტრიულად, ეს ნიშნავს, რომ საჭიროა ინტეგრალური მრუდის პოვნა ზე= y(x),მოცემულ წერტილში გავლისას და ამ წერტილში ტანგენტის მქონე, რაც დაახლოებით

ჩანგლები დადებითი ღერძის მიმართულებით ოქსიმოცემული კუთხე. ე. (ნახ. 6.1). კოშის პრობლემას აქვს უნიკალური ამოხსნა, თუ განტოლების მარჯვენა მხარეა (6.10), არაპრე-

არის უწყვეტი და აქვს უწყვეტი ნაწილობრივი წარმოებულები მიმართ შენ, შენ"საწყისი წერტილის რომელიღაც უბანში

მუდმივი საპოვნელად შედის კონკრეტულ გადაწყვეტაში, აუცილებელია სისტემის დაშვება

ბრინჯი. 6.1.ინტეგრალური მრუდი